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Indice
- Prólogo……………………………………………………………………………………………………. .…. .4
- Agradecimientos…………………………………………………………………………………………. .5
- Introducc ión
Un poc o de His toria…………………………………………………………. . . .6
Objetivos Principal es y s ecundarios de la investigación…. .7
Camino a s eguir…………………………………………………………………. .7
- 0) L eyes de la ec ología poblac ional…………………………………………………………….9
0-1) ¿Qué es una L ey?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
0-2) L eyes de la ecología poblac ional……………………………….10
0-3) L ey Ma l thus iana…………………………………………………………11
0-4) L ey de Al l ee………………………………………………………………. . .13
0-5) L ey de Verhulst……………………………………………………………15
0-6) L ey de Lotka - Volterra………………………………………………. .16
- 1) Ma rc o teóric o
1-1) Inic io……………..…………….……………………………………………. .18
1-2) L ey de Malthus……………………………………………………………19
1-3) Poblaciones acotadas y la ecuación Logística………… . .21
1-4) Obs ervando la función logís tica………………………………. .22
1-5) Es ta bil ida d de sol uciones de la ecuación di ferenc ial
logíst ica……………………………………………………………………………. .24
1-6) Es ta bil ida d de puntos crí t icos logís ticos………………….25
1-7) S istemas de dos ecuaciones l ogíst icas
1-7-A ) Depreda dor-Presa……………………………………27
1-7-B ) C ompetencias de especies……………………….28
1-7-C ) Propagac ión o dis eminación…………………..30
1-8) Expl osión demog ráfica contra extinción…………………33
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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1-9) Cos echa en una poblac ión logís tica………………………. . .34
- 2) Poblac ión de Ma rc os Pa z des de 1947 has ta 2010
2-1) Bol etín demográ fico edic ión es pecial C EL ADE (1950 -1990)
“Población c ensada y tasas de c rec imiento medio a nual s egún
ciudades”………………………………………………………………………………. .40
2-2) Población de Ma rc os Paz s egún los c ens os de 1960,1970,
1980 y 1991………………………………………………………………………….41
2-3) Población de Ma rc os Paz por s exo y eda d según c ensos
nacional es de poblac ión……………………………………………………. .42
2-4) Compa raciones entre Ma rc os Pa z - Provincia de Buenos
Aires- Argent ina
2-4-1) Poblac ión de Marcos Paz…………………………43
2-4-2) C ompa rac iones
A) Educac ión……………………………. .44
B) Soc ial…………………………………….44
C) Poblac ión oc upa da s egún c a tego ría s
ocupacionales…………………………. .45
D) Hogares y viviendas…………. . .45
2-5) Da tos pert inentes del últ imo c enso nacional (rec orte de
datos ofic ial es )
2-5-1) Censo 2010. Resultados Provisionales…… .46
2-5-2) C ens o 2010. Resultados definit ivos………. .46
2-6) Cua dro sintét ico: Poblac ión total de Marcos Paz por
década censada…………………………………………………………….48
2-7) Tas a de N atal ida d y M ortal ida d
2-7-1) Tasa de Na tal idad……………………………………49
2-7-2) Tasa de Mortal idad…………………………………50
2-7-3) Tasas en la c iudad de Marcos Paz………….50
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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- 3) La poblac ión de Ma rcos paz
3-1) C recimiento Natural……………………………………….53
3-2) C recimiento logíst ico: Valor máximo de la población de
Marc os pa z……………………………………………………………. .55
3-3) Predicc ión……………………………………………………. .60
3-4) Gráf ico Logíst ico (de Marcos Paz)……………….63
3-5) Conclusión……………………………………………………65
- 4) R ec reac ión
4-1) Depreda dor-Presa en buenos Aires………………67
4-2) A rgentina Alca nzó su ta sa de na tal ida d más baja de la
historia………………………………………………………………….73
- 5) Acla raciones………………………………………………………………………………75
Bibl iogra fía y recurs os informáticos……………………………………………………….103
Dedicatoria………………………………………………………………………………………………. .103
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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Prólogo
“Si se tiene la suerte de permanecer o de regresar (aunque sea de visita)
al sitio donde ha transcurrido la infancia, es muy posible percibir que la
cantidad de habitantes a variado; y esto ocurre en dos direcciones, esa
cantidad ha aumentado o ha disminuido (es poco probable que se
mantenga constante). Y ¿Por qué ocurre esto?, ¿crecerá infinitamente?,
¿disminuirá hasta llegar a desaparecer?, ¿s e l legará a una determinada
cantidad?, a todo esto ¿cómo?, ¿a cuánto? y ¿por qué? Este simple planteo
abre una gama de interrogantes que quizá se comience a clarificar en este
trabajo de investigación , realizando un corte geográfico y así repetir la
investigación donde se desee”
Esta investigación comenzó con el encuentro, en un libro (Funciones
elementales. Autora: magister Mónica Bocco. Colección: Las ciencias
naturales y la matemática) de nivel secundario, de una función llamada
Función Logística , desarrollada por un tal Pierre F. Verhuls . En el libro se
la exponía, en pocas páginas, simplemente, como un ejemplo de una
función exponencial . Lo interesante era que decía: “…la función logística
describe, de forma más precisa que el modelo exponencial, lo que
realmente ocurre con la poblaciones de seres vivos o la vida completa de
un individuo.”
El recorrido del trabajo se basa en la recolección de datos y el
reconocimiento de los mismos como constantes o variables para conseguir
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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un modelo matemático lo gístico adecuado, es decir, que describa la
realidad lo más acertadamente posib le. En esta oportunidad se analizará
la ciudad de Marcos Paz, ubicada en la Provincia de Buenos Aires,
Argentina.
Este trabajo se ha realizado analizando textos referidos a el estudio del
crecimiento poblacional, tanto de economistas como de ecologistas y
biólogos así también como de matemáticos, estos últimos sumergidos en
el “mundo” de las ecuaciones diferenciales.
Finalmente, las conclusiones se pueden encontrar en la sección 5 del
capítulo 3 del trabajo, las cuales se nutren de los capítulos previos, los
cuales se complementan con el capitulo 5.
Agradecimientos
Agradezco a:
- Barreto Jorge, quien confió en mí, casi sin conocerme, dándome la posibilidad de dar los primeros pasos como docente universitario y brindando su paciencia, ante mí ansiedad, en la elaboración de la presente investigación.
- Mi familia que me acompaño en el transcurso de la carrera y me alentó a dar, siempre, un paso más.
- Los docentes de la l icenciatura, por su dedicación e insistencia en que continuemos capacitándonos.
- A mis amigos y amigas, quienes han leído este escrito y han tolerado mis monólogos respecto a la investigación.
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Introducción
Un poco de historia:
Pierre-François Verhulst (1804-1849) Matemático belga y
demógrafo, mejor conocido por la conceptualización y la especificación de la curva logística,
nació en Bruselas de padres ricos. Adolphe Quetelet (1796-1874), matemático belga y
demógrafo, fue el primer maestro de matemática de Verhulst en el Ateneo Real. Verhulst
obtuvo un doctorado en matemática después de sólo tres años de estudio. Era un hombre
muy versátil, que escribió la poesía latina e incluso redactó una constitución para los Estados
Pontificios, cuando estaba en Italia, un país que finalmente lo expulsó por esa razón. De
regreso en Bruselas, Verhulst fue invitado a unirse a la Academia Royale, de la cual Quetelet
era también un miembro. Verhulst ha ocupado su sillón en la Academia en 1848, sólo un
año antes de su muerte a los 45 años.
A partir de la década de 1920, muchas aplicaciones de la teoría fueron encontradas en una
amplia variedad de campos. La curva logística se convirtió en uno de los pilares esenciales
del mundo de modelado de sistemas. También demostró ofrecer buenas descripciones de
los procesos de cierta difusión, sobre todo de los que se basan en los principios de contagio:
Enfermedades, novedades técnicas, nuevas ideas y todos los rumores que crecen dentro de
una población virgen, claro que alcanzando un máximo, debido a que cada uno se
encontraría con la resistencia y el agotamiento, o ser recusado por una invención o un
concepto mejor.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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La curva logística Verhulst fue redescubierta en 1975 por dos físicos alemanes (Einstein y
Benoit Mandelbrot), determinando que era una de las fórmulas esenciales en la matemática
de los fractales.
A principios de siglo XXI, las contribuciones, de Quetelet, a la demografía han desvanecido
en gran medida, mientras que los de Verhulst han aumentado constantemente en
importancia. Sin embargo, todavía es rara vez citado por los demógrafos como el inventor
de la curva logística o el modelo de contagio o de la difusión.
Objetivo Principal de la Investigación:
- Construir la función logística, mediante los datos
oficiales obtenidos y hallar la capacidad máxima de población de la ciudad de Marcos Paz,
según la Ley de Verhulst y su función Logística.
Objetivo secundario de la investigación:
-Pronosticar el comportamiento poblacional
(crecimiento o decrecimiento de la población, en cantidad de habitantes) de la ciudad de
Marcos Paz
Camino a seguir:
En la presente investigación se encontrará un capitulo
designado con el número cero, esto se debe a que en di cho capitulo se
desarrollará, brevemente, la explicación de 4 leyes de ecología
poblacional, para que el lector aprecie mediante, lo que se podría decir,
un lenguaje coloquial, la Ley de Verhulst (o Ley Logística).
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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Este capítulo es seguido por el Marco Teó rico (ocuparía el lugar de
capitulo 1), el cual presenta el desarrollo matemático de distintos
métodos, que respetan las leyes expuestas en el capitulo cero.
Siguiendo, el capitulo 2, brindará la información necesaria para construir
la funciones y ecuaciones que representan a las distintas leyes que
competen al trabajo. Luego, el capitulo 3, comienza y finaliza el propósito
del presente trabajo, mediante la construcción de la función logística y
ecuación diferencial logística, permitiendo así predecir lo q ue podría
ocurrir en los próximos años respecto a la población de Marcos Paz; al
final de este capítulo, dividido en secciones (como los capítulos
anteriores), nos brinda las conclusiones obtenidas, fundadas en los
contenidos de los capítulos anteriores.
El capitulo 4, llamado, recreación, se ha agregado con el objetivo de
entretener. En el cual se pres enta un ejercicio y una noticia que
involucran las leyes que se presentan a lo largo de la investigación.
Luego en este escrito, se encuentra, el capitulo 5 llamado Aclaraciones, el
cual contiene el desarrollo de todas las referencias indicadas con un *
acompañado de un número natural.
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0) Leyes de la Ecología Poblacional
El descubrimiento de leyes sobre la ecología tuvo lugar con posterioridad
al de las leyes de la física y la química. Al parecer, esto se debe
principalmente a que la ecología es una ciencia mucho más reciente y que
la investigación en todas sus ramas lamentablemente cuenta con muy
poco financiamiento y personal.
Sin embargo, los malos entendidos y las expectativas surrealistas sobre lo
que son las leyes también ha perjudicado a la investigación, al igual que
las creencias erróneas de que la ecología es una ciencia demasiado
compleja para contar con leyes o que el poder explicativo pueda ser
mejorado construyendo complejos modelos. No obstante, a lo largo de los
años, agudos e ingeniosos investigadores han conseguido identificar
algunas de las leyes existentes en la ecología.
Si bien aún falta mucho por aprender, al aparecer ahora las leyes de la
ecología se parecen a las de la física, ya que describen situaciones
idealizadas, poseen muchas excepciones, y no necesitan dar explicaciones
o predicciones. No obstante, debido a que expresan importan tes
principios y relaciones que son aplicables a un amplio conjunto de
situaciones del mundo real, definitivamente merecen ser l lamadas leyes.
A continuación se enumera y resume las leyes de la ecología poblacional,
una rama de la ciencia de la ecológica q ue estudia poblaciones de
animales y plantas.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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0-1) ¿Qué es una Ley?
Una ley científica es "una regularidad que se aplica a todos los miembros
de una amplia clase de fenómenos, "una descripción generalizada de cómo
las cosas se comportan en la naturaleza bajo una variedad de
circunstancias".
Un principio es "una ley científica que es muy general o fundamental, y de
la cual se derivan otras leyes". Una alometría es una función de potencia
que relaciona diferentes cosas entre sí . Por ejempl o, las alometrías que se
examina en esta sección relacionan el tamaño del cuerpo de los
organismos con diferentes cantidades de una población tales como la
densidad, la proporción de crecimiento de la población y la duración del
ciclo poblacional. Tal como las leyes de Kepler, q ue describen los
movimientos de los cuerpos celestes en sus órbitas, las alometrías
ecológicas son regresiones y por ello no se refieren a los mecanismos.
0-2) Leyes de la Ecología Poblacional
Actualmente, se reconocen nueve leyes de ecología poblacional. Cada una
se enumera a continuación y se divide en categorías según si se trata de
un principio o una alometría. También se incluye una candidata a
principio. Pero solo se desarrollaran, resumidamente, a modo de
introducción, las primeras cuatro.
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Principios:
Ley de Malthusiana
Ley de Allee
Ley de Verhulst
Ley de Lotka-Volterra
Ley de Liebig
Alometrías:
Ley de Fenchel
Ley de Calder
Ley de Damuth
Ley de Tiempo de Generación
Candidata a Principio:
Ley de Ginzburg
0-3) Ley Malthusiana
Etimología: Llamada así en honor a Thomas Robert Malthus (1766 -1834)
quién fue el primero en describir esta ley (Malthus, 1798).
Sinónimos: Ley Exponencial de Crecimiento Poblacional; Ley de Malthus;
Principio de Malthusian; Primer Principio.
Según esta ley cuando las tasas de natalidad o mortalidad son constantes,
una población crecerá (o decaerá) a una proporción exponencial.
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Así, la Ley de Malthusiana describe cómo las poblaciones crecen o se
reducen cuando nada más sucede. "Describe la situación predefinida para
las poblaciones - cómo se comportan en ausencia de cualquier factor que
las perturbe".
Ginzburg (1986) señaló que la Ley de Malthusian a desempeña un papel en
la ecología similar al de la Primera Ley de Newton en la física. Antes de
Gali leo y Newton, Aristóteles afirmó que el estado predefinido de todos
los objetos era el reposo, y que el movimiento sólo ocurría cuando se
aplicaba fuerza a un objeto. Sir Isaac Newton, sin embargo, demostró lo
contrario: que el movimiento uniforme era el estado predefinido y que el
movimiento no uniforme y el reposo normalmente ocurrían sólo cuando se
aplicaba fuerza a un objeto. Su primera ley incorpora el conce pto de
inercia que es "la tendencia de un cuerpo a resistirse al cambio de su
velocidad".
Al igual que la Primera Ley de Newton, la Ley de Malthusian a señala que
el estado predefinido de una población no es el reposo (es decir una
población constante), sino el movimiento (es decir el crecimiento o
declive exponencial); y que cuando las poblaciones no crecen o
disminuyen exponencialmente es porque una fuerza externa (es decir algo
en el ambiente) está alterando las tasas de natalidad y/o mortalidad. Esta
fuerza externa (del medio ambiente) puede ser un factor abiótico o un
factor biótico, tal como "el grado de aglomeración inter -específico y las
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densidades de todas las demás especies en la comunidad que pod rían
interactuar con la especie focal.
0-4) Ley de Allee
Etimología: Nombrada así en honor a Warder C. Allee (1885 -1955) quien
fue el primero en describir este principio (Allee, 1932).
Sinónimos: El Efecto Allee; El Principio Allee; Segundo Principio
(Berryman, 2003), Cooperación (Allee, 1932; Berryman, 2003).
Según la Ley de Allee, existe una relación positiva entre la aptitud
individual y los números o la densidad de los conespecíficos
(conespecíficos son otros individuos de la misma especie). En otras
palabras, a medida que aumenta el número de individuos de una población
o la densidad poblacional, también crece la sobrevivencia y la
reproducción. Un buen ejemplo ocurre cuando los animales se reúnen en
grupos para protegerse y, de esta forma, diluyen la amenaza que cada
individuo enfrenta de ser atacado por un depredador. Por ejemplo, un
gorrión en una bandada de cuatro individuos que sea atacada por un
depredador que siempre logra su cometido tiene una probabilidad del
75% de sobrevivencia, mientras que un individuo en una bandada de 100
gorriones tiene un 99% de probabilidad de sobrevivencia.
Un mayor número de conespecíficos beneficia a la población ya que
aumenta la dilución o saturación del depredador, incrementa la vigilancia
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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o agresión contra los depredadores, mejora la defensa cooperativa de los
recursos y la defensa cooperativa en contra de los depredadores,
incrementa la termorregulación social, aumenta la modificación colectiva
o el perfeccionamiento del medio ambiente, incrementa la disponibilidad
de parejas, el éxito de la polinización o fertilizaci ón, mejora la
reproducción y reducción de la endogamia, la desviación genética o
pérdida de integridad mediante hibridización.
De acuerdo con la Ley de Allee, en bajas densidades poblacionales o
pequeñas poblaciones existe una reducida reproducción o sobre vivencia.
Por ejemplo, cuando el tamaño de la población de una planta polinizada
por insectos se torna bajo, o si un pequeño número de individuos florece
durante un año, la planta producirá menos semillas debido a que los
insectos polinizadores tendrán may or dificultad para encontrar pocas
flores. Debido a que las pequeñas poblaciones poseen una menor
reproducción o sobrevivencia, la Ley de Allee es de especial interés para
los ecologistas que trabajan con especies en peligro de extinción.
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0-5) Ley de Verhulst
Etimología: Nombrada así en honor a Pierre -François Verhulst (1804 -
1849) quien fue el primero en describir esta ley (Verhulst, 1838)
mediante la conocida “Ecuación logística”.
Sinónimos: Tercer Principio; Competencia Intra -Específica; Auto-
Limitación Poblacional, Auto-Limitación (Turchin, 2001).
Aunque los individuos puedan beneficiarse de la presencia de los
conespecíficos, el crecimiento de la población no puede continuar para
siempre sin consecuencias negativas. Eventualmente, se alcanza un límite
máximo luego del cual la densidad poblacional n o puede aumentar.
Diversos factores diferentes pueden limitar una población, tales como los
depredadores, las enfermedades, los niveles de recursos y la competencia
con otras especies. Sin embargo, esta ley sólo trata un factor: la
competencia intra -específica (es decir, la competencia entre los miembros
de la misma especie). Debido a que los organismos que limitan la
población también son miembros de la población, a esta ley también se le
conoce como “auto- limitación poblacional”.
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La ley de Verhulst establece que en algún momento la tasa de crecimiento
per cápita de una población está limitada directa e inmediatamente por su
propia densidad, a través del proce so de competencia intra -específica.
Los mecanismos de competencia intra -específica, que aumentan c on una
densidad poblacional creciente y actúan para eventualmente limitar el
crecimiento de la población, incluyen la agresión intra -específica, la
territorialidad, la interferencia con la búsqueda debido a las interacciones
agonísticas con conespecíficos, el canibalismo y la competencia por
espacios libres de enemigos. Estos mecanismos aumentan con una
densidad poblacional creciente debido a que los individuos luchan por
ocupar la cantidad insuficiente de espacio disponible en este momento,
espacio necesario para recolectar recursos o esconderse o escapar de los
enemigos. Afortunadamente, usualmente otros factores limitan una
población antes que crezca hasta alcanzar la densidad en la que comienza
la autolimitación mediante la competencia intra -específica.
0-6) Ley de Lotka-Volterra
Etimología: Llamada así en honor a Alfred James Lotka (1880 -1949) y a
Vito Volterra (1860-1940) quienes describieron en forma independiente
una primera versión de esta ley (Lotka, 1925; Volterra, 1926).
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Sinónimos: Cuarto Principio (Berryman, 2003); Ley de Hutchinson
(Berryman, 2003); Ley de Las Oscilaciones Consumidor -Recurso (Turchin,
2001).
Los organismos interactúan con otras especies y con el medio ambiente
físico de diversas maneras. Estas interacciones incluyen algunas veces
“retroalimentaciones negativas”. Un ejemplo de retroalimentación
negativa es cuando el aumento en la población de una especie de presa
genera un incremento de la población de sus depredadores (a través del
aumento de la reproducción) y, a su vez, esto ocasi ona una reducción de
la población de presas mediante el aumento de la mortalidad debido a la
depredación.
La ley de Lotka-Volterra establece que “cuando las poblaciones están
involucradas en una retroalimentación negativa con otras especies, o
incluso con componentes de su medio ambiente", es probable que se
observe una dinámica oscilatoria (cíclica).
Lotka y Volterra respectivamente.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
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1) Marco teórico
1-1) Inicio
En este capítulo se reunirán los datos más relevantes de la Ecuación Logística:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝2
Esta ecuación se conoce como ley logística del crecimiento de una población y los
números 𝑎 𝑦 𝑏 se llaman coeficientes vitales de la población*1. En general la constante 𝑏
es muy pequeña respecto a la constante 𝑎 de tal modo que si 𝑝 (población) no es
demasiado grande el término −𝑏𝑝2 es insignificante respecto al término 𝑎𝑝 por lo que la
población crece exponencialmente. De otro modo, si 𝑝 es lo suficientemente grande,
entonces hay que tener en cuenta al término −𝑏𝑝2, ya que hará disminuir la tasa de
crecimiento poblacional.
Pero a primera vista parece imposible describir el crecimiento poblacional mediante una
ecuación diferencial, ya que el tamaño de una población siempre se mide con números
enteros (más precisamente con números naturales, incluyendo el cero), y así el tamaño
de una población no puede ser una función diferenciable. Sin embargo el incremento de
un individuo en una población, considerablemente grande, es insignificante. Así,
entonces, se considera que el crecimiento (o decrecimiento) de grandes poblaciones es
continuo e incluso de manera diferenciable respecto al tiempo 𝑡.
*1: Este punto, junto con todos los * n (donde n es un número natural), será desarrollado brevemente en el capítulo
“Aclaraciones”.
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1-2) Ley de Malthus
“La población, cuando no es restringida, aumenta en proporción geométrica, y los
medios de subsistencia del hombre, en proporción aritmética”.
Thomas R. Malthus.
SI se supone que una población cambia solo por la ocurrencia de nacimientos y muertes
(no se considera la inmigración o migración de poblaciones o condiciones de tipo
ambiental).
Si:
𝐴(𝑡) = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡.
y
𝐵(t)= es el número de muertes por unidad de población por unidad de tiempo en el
tiempo t.
Entonces, el número de nacimientos y muertes que se registran durante el intervalo de
tiempo [t;t+Δt] está dado por:
Nacimientos= A(t).P(t). Δt Muertes= B(t).P(t). Δt
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Entonces, el cambio ΔP en la población durante el intervalo de tiempo [t;t+Δt] de
longitud Δt es
ΔP = [nacimientos] − [muertes] ≈ A(t). P(t). Δt − B(t). P(t). Δt
De donde:
ΔP
Δt≈ [𝐴(𝑡) − 𝐵(𝑡)]. 𝑃(𝑡)
Si el error de esta aproximación debe tender a cero mientras que Δt→0 para llegar a la
ecuación diferencial (tomando el límite):
𝑑𝑃
𝑑𝑡= [𝐴(𝑡) − 𝐵(𝑡)]. 𝑃(𝑡) (1)
Si [𝐴(𝑡) − 𝐵(𝑡)] es constante, llamada K, queda:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝐾. 𝑃(𝑡)
Que es la ecuación conocida como Ley de Malthus para el crecimiento de una población.
Siendo su solución la función exponencial:
𝑃(𝑡) = 𝑎. 𝑒𝑘𝑡
Donde 𝑎 es la población en el tiempo t=0
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1-3) Poblaciones acotadas y la ecuación logística
En poblaciones humanas (o de animales, o de insectos, o de plantas, etc) bajo ciertas
condiciones (respecto al espacio) se ha observado (en distintas investigaciones
realizadas por diferentes expertos) que la tasa de nacimientos decrece en la medida en
que la población se incrementa. Las razones pueden variar desde un mayor desarrollo
científico o cultural hasta una limitación en el suministro de alimentos.
“…miseria y vicio…son las verdaderas causas del lento aumento de la población…”
“Una tierra rica y abundante…es una causa tan poderosa del incremento de la población,
que supera todos los demás obstáculos”.
Thomas R. Malthus.
Para obtener la Ley de Malthus se consideró constante la diferencia entre la cantidad de
nacimientos y muertes. Pero (por lo dicho al comienzo de esta sección) podría
suponerse que A(t) que depende, también, de P(t), es una función lineal decreciente. Y si
B(t) es constante , entonces:
𝐴(𝑡) = 𝑎1 – 𝑎0 𝑝(𝑡) 𝐵(𝑡) = 𝑏0
Y queda, teniendo en cuenta (1)
𝑑𝑃
𝑑𝑡= [𝑎1 – 𝑎0 𝑝(𝑡) − 𝑏0]. 𝑃(𝑡)
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Luego:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝2 (2)
Que, si 𝑎 𝑦 𝑏 son constantes positivas*2, se conoce como ecuación Logística,
donde 𝑎 = (𝑎1 − 𝑏0) y b = 𝑎0 .
La solución*3 de la ecuación Logística (ecuación diferencial) es:
𝑝(𝑡) =𝑎𝑝0
𝑏𝑝0 + (𝑎 − 𝑏𝑝0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0) (3)
Donde P(t0) = p0. Así obtenemos la Función Logística P(t).
1-4) Observando la Función logística
Si t→∞ entonces P(t)→𝑎
𝑏 . Esto dice que, el valor inicial 𝑝0 no interesa, ya que la
población siempre tiende al valor 𝑎
𝑏 .
Además la función P(t) es monótona creciente respecto el tiempo si 0 < 𝑝0< 𝑎
𝑏
Además su segunda derivada:
𝑑2𝑃
𝑑𝑡2= (𝑎 − 2𝑏𝑝)𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)
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Donde 𝑑𝑃
𝑑𝑡 es creciente si P(t) <
𝑎
2𝑏 o
𝑑𝑃
𝑑𝑡 es decreciente si P(t) >
𝑎
2𝑏 .
Y así el grafico de P(t) debe tener la siguiente forma (aproximadamente):
(G-M-1) : (Gráfico- Marco teórico-1)
P
𝑎
𝑏 – -------------------------
𝑎
2𝑏 --
t0 T
Esta curva se llama curva logística o en “S”, donde el tiempo antes de que la población
alcance la mitad de su valor limite es un crecimiento acelerado, después de este punto, la
tasa de crecimiento disminuye hasta llegar a cero (periodo de crecimiento reducido).
Luego, si llamo M=𝑎
𝑏 al valor máximo de la población a estudiar y P(0) =P0. La ecuación
Logística quedará expresada de la siguiente manera:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑏𝑃(𝑀 − 𝑃)*4 (4)
Y su solución será*5:
𝑝(𝑡) =𝑀𝑝0
𝑝0+ (𝑀−𝑝0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0)
(5)
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La ecuación diferencial (4) es utilizada en situaciones ambientales limitadas, como por
ejemplo una población de ciertos peces en una pecera.
1-5) Estabilidad de soluciones de la ecuación diferencial logística
Teniendo en cuenta (4) (con P>0 y M>0). Tiene dos puntos críticos, en P=0 y P=M de la
ecuación 𝑓(𝑝) = 𝑏𝑃(𝑀 − 𝑃) = 0
También, teniendo en cuenta (5) como solución de (4) que satisface la condición inicial
P(0)=P0, los valores P0=0 y P0=M conducen a soluciones de equilibrio (Una solución
constante de una ecuación diferencial se conoce como solución de equilibrio).
Como P>0, entonces P(t)→M conforme a t→+∞. Pero si P<0, entonces el denominador
en la ecuación (5) es inicialmente positivo, pero desaparece cuando
𝑡 = 𝑡1 =1
𝑏𝑀ln (𝑀 − 𝑃0−𝑃0
) > 0
Como el numerador en (5), en este caso, es negativo, entonces:
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑡1−P(t)= -∞ si P0<0
De aquí se concluye que las curvas solución de la ecuación logística (4) tiene la siguiente
forma:
P ---------------------------------------------P=M (G-M-2)
------------------------------------------P=Po
0 t
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
25
También se observa gráficamente que toda solución se acerca a la solución de equilibrio
P0=M conforme a t se incrementa o diverge de la solución de equilibrio P0=0, en un
sentido visualmente obvio.
Como la ecuación logística, se puede pensar como 𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑓(𝑃) , que es una ecuación
diferencial de primer orden autónoma (una en la cual la variable independiente t no
aparece explícitamente). Las soluciones de 𝑓(𝑃) = 0 juegan un papel importante y son
llamados puntos críticos de la ecuación diferencial 𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑓(𝑃)
1-6) Estabilidad de puntos críticos logísticos
Se dice que un punto crítico 𝑃 = 𝑐 es estable, de una ecuación diferencial de primer
orden autónoma siempre que el valor inicial esté suficientemente cercano a 𝑐, entonces
P(t) permanece cercano a c para todo t>0. Mas precisamente, el punto c es estable si,
para cada ω>0, existe un δ>0 tal que
|𝑃0 − 𝑐| < 𝛿 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 |𝑃(𝑡) − 𝑐| < 𝜔
Para todo t>0. De otra manera el punto 𝑃 = 𝑐 será inestable.
Y así se podría resumir el comportamiento de soluciones de la ecuación logística (4) - en
términos de sus valores iniciales- según el siguiente diagrama:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
26
(G-M-3)
P´<0 P´>0 P´<0
¡ ¡
P=0 P=M
Inestable Estable
Éste indica que P(t)→M conforme a t→+∞ si P(0) > M o 0 < P(0)< M, considerando que
si P(t)→-∞ conforme a t se incrementa si P(0) < 0. El hecho de que M sea un punto crítico
estable debe ser importante, por ejemplo, si se quiere hacer un experimento con la
población de una bacteria M. Es imposible contar de manera precisa las M bacterias para
un M numeroso, pero cualquier población positiva se aproximará inicialmente a M
conforme a t se incrementa.
En relación con la estabilidad de la solución limite M=𝑎
𝑏 de la ecuación logística
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝2
es el “pronostico” de M para una población real. Los coeficientes 𝑎 𝑦 𝑏 no son conocidos
de manera precisa para una población real. Pero si se sustituyen con proximidades
cercanas 𝑎 ∗ 𝑦 𝑏 ∗ (derivadas, tal vez, de medidas empíricas), entonces la población
límite M*=𝑎∗
𝑏∗ se acercara a la población límite real M=
𝑎
𝑏 . Por lo tanto, se puede decir
que el valor M de la población limite pronosticada por la ecuación logística no sólo es un
punto crítico estable de la ecuación diferencial, sino que también es un valor “estable”
con respecto a pequeñas perturbaciones de los coeficientes constantes de la ecuación.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
27
1-7) Sistema de dos ecuaciones Logísticas
“Debido a que las especies de un mismo género presentan usualmente, aunque no en
forma invariable, mucho mayor similitud en habitad, constitución y siempre en
estructura, la lucha entre ellos será, por lo general, más intensa si llegaran a competir
entre sí que si lo hacen con especies de género distintos”
Charles Darwin
A continuación se considera algunos, de los tantos, sistemas interesantes.
1-7-A) Depredador-Presa:
Siguiendo el modelo clásico de Vito Volterra*6, el siguiente sistema
describe una población (llamada depredador) que se alimenta de otra población
(llamada presa), y esta última se alimenta de un tercer alimento que se encuentra en el
medio ambiente.
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎𝑥 − 𝑐𝑥𝑦 = 𝑥(𝑎 − 𝑐𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑏𝑦 + 𝑑𝑥𝑦 = 𝑦(−𝑏 + 𝑑𝑦)
(𝐴)
Donde x(t) es el numero de presas en el tiempo t, y(t) es el número de depredadores y
las constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 son todas positivos. Además si,
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
28
- En la ausencia de depredadores, la población de presas crece naturalmente, con
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎𝑥, 𝑎 > 0
- En la ausencia de presas, la población de depredadores debe inclinar a una tasa
natural, con 𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑏𝑦,> 0
- Con ambos presentes, en combinación con las tasas naturales de crecimiento y de
decrecimiento, ocurre una declinación en la población de presas y un crecimiento
en la de los depredadores, cada una a una tasa proporcional a la frecuencia de
encuentros entre individuos de las dos especies. Asumimos que la frecuencia de
tales encuentros es proporcional al producto xy, pensando que la duplicar una
población también debe duplicar se la frecuencia de encuentros, mientras que
duplicando ambas poblaciones debe cuadruplicarse la frecuencia de encuentros.
En consecuencia, la extinción de la presas, debido a los depredadores, ocurre
cuando: i) se tiene la tasa de interacción de decrecimiento – 𝑐𝑥𝑦 en la población
de presas x, ii) se tiene una tasa de crecimiento 𝑑𝑥𝑦 en la población de
depredadores y.
1-7-B) Competencias de especies:
Si dos especies (de animales, plantas, bacterias, etc) compiten
entre sí por el alimento disponible en su ambiente común, aunque rara vez ocurre que
dos especies similares ocupen el mismo nicho (Entendiendo que Un nicho indica la
ubicación característica de una especie dada en una comunidad, es decir, cuáles son sus
hábitos, alimentación y modos de vida). Si las dos especies tienden a ocupar el mismo
nicho, entonces la lucha intensa entre ellas por la supervivencia dará como resultado la
extinción de la especie más débil.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
29
Teniendo en cuenta (2) se armará el sistema que describe esta competencia.
Sacando factor común me queda que:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑃(1 −
𝑏
𝑎𝑃)
Siendo M= 𝑎
𝑏 el valor máximo de la población a estudiar, como ya fue mencionado,
queda:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑃 (
𝑀 − 𝑃
𝑀 ) (6)
Está ecuación tiene la siguiente interpretación: Si la población P es muy pequeña,
entonces crece de acuerdo a la ley malthusiana 𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑃. El término 𝑎𝑃 e conoce como
“Potencial Biótico” de la especie. Se trata de la tasa potencial de crecimiento de la
especie en condiciones ideales y se desarrolla si no hay restricciones de alimento o
espacio vital y si los individuos no excretan algún producto residual tóxico. El factor 𝑀−𝑃
𝑀,
llamado por los ecólogos, “factor de resistencia ambiental”, el cual es el número relativo
de sitios que aún están vacantes, este factor reduce el potencial biótico mientras la
población crece.
Ahora bien, si tengo 2 poblaciones, P1(t) y P2(t) en el tiempo t, de las especies 1 y 2
respectivamente. Y sean además, M1 y M2 las poblaciones máximas de las poblaciones 1 y
2. Entonces:
{
𝑑𝑃1𝑑𝑡
= 𝑎1𝑃1 ( 𝑀1 − 𝑃1 − 𝑐1
𝑀1 )
𝑑𝑃2𝑑𝑡
= 𝑎2𝑃2( 𝑀2 − 𝑃2 − 𝑐2
𝑀2 )
(𝐵)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
30
Donde 𝑐2 es el número total de sitios de la primera especie que son ocupados por
miembros de la segunda especie, y 𝑐1 es el número total de sitios de la segunda especie
que son ocupados por la primera especie. No es común que 𝑐1 = 𝑃1 o que 𝑐2 = 𝑃2 , ya
que es muy improbable que dos especies ocupen el entorno o ambiente en forma
idéntica. Un individuo de la especie 1 no consume en promedio igual cantidad de
alimento, ni requiere el mismo espacio vital, ni excreta igual cantidad de productos
residuales de la misma composición química, que igual de elementos de la especie 2.
La restricción que se presenta a continuación será en el caso de que dos especies sean
muy parecidas y reclamen el mismo nicho. Entonces las constantes que indican el grado
de influencia de una especie sobre la otra son 1*7. Luego el sistema (B) queda:
{
𝑑𝑃1𝑑𝑡
= 𝑎1𝑃1 ( 𝑀1 − 𝑃1 − 𝑃2
𝑀1 )
𝑑𝑃2𝑑𝑡
= 𝑎2𝑃2( 𝑀2 − 𝑃1 − 𝑃2
𝑀2 )
(𝐶)
1-7-C) Propagación o diseminación:
Teniendo en cuenta el Teorema del Umbral en
Epidemiología, el cual establece que se desatará una epidemia sí el número de personas
susceptibles a la enfermedad sobrepasa un cierto valor umbral.
Si: (I)=población infectada. (S)=población susceptible. (R)=población retirada.*8
Y se supone que la diseminación de una enfermedad se rige por las siguientes reglas:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
31
Regla 1: En el intervalo de tiempo considerado la población (total) permanece en un
nivel fijo P. Ello significa que se caso omiso de nacimientos, muertes por causas ajenas a
la enfermedad, inmigración y emigración.
Regla 2: La rapidez de variación de la población susceptible es proporcional al producto
de números de miembros de (S) y de (I).
Regla 3: Los individuos que se retiran de la población infectada (I) lo hacen según una
tasa proporcional al tamaño de (I).
Llamo S(t) , I(t) , R(t) al número de individuos en las clases (S), (I) y (R), respectivamente
en el tiempo t. Y de las tres reglas se construye el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales
{
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝑎𝑆𝐼
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝑎𝑆𝐼 − 𝑏𝐼
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝑏𝐼
(𝐷)
Donde las constantes 𝑎 𝑦 𝑏 son positivas. La constante de proporcionalidad 𝑎 se conoce
como tasa de infección y la constante de proporcionalidad 𝑏 se denomina tasa de retiro.
Relacionando las ecuaciones se obtiene que*9:
𝑅(𝑡) = 𝑃 − 𝑆(𝑡) − 𝐼(𝑡)
𝑑𝐼
𝑑𝑆= −1 +
𝑏
𝑎𝑆
Integrando se llega a:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
32
𝐼(𝑡) = 𝐼0 + 𝑆0 − 𝑆 + 𝑐 ln (𝑆
𝑆0) (7)
Donde 𝐼0 𝑦 𝑆0 son números de infecciosos y susceptibles, respectivamente, en el instante
t=t0 , y c=𝑏
𝑎
Luego de análisis correspondiente *10 se concluye que:
Se presentará una epidemia solo si el número de susceptibles en la población
excede el valor del umbral. En general esto nos dice que las epidemias tienden a
desarrollarse más rápidamente si la densidad de los susceptibles es alta, debido,
por ejemplo, a la sobre población, y si la tasa de retiro es baja, debido, por
ejemplo, a la ignorancia, aislamiento inadecuado o tratamiento médico
insuficiente. Por otro lado, si las buenas condiciones sociales permiten una
densidad más baja de los susceptibles, entonces los brotes tienden hacer de
alcance limitado. Lo mismo ocurre si las tasas de retiro son altas debido a un
buen control y buena vigilancia de la salud pública.
Si al número 𝑆0 es inicialmente mayor que el valor umbral 𝐶, aunque cercano a él,
entonces es posible estimar el número de individuos que contraerán finalmente
la enfermedad. En concreto, si 𝑆0 − 𝐶 es pequeño comparado con 𝐶, entonces el
número de individuos que por fin contraerán la enfermedad es aproximadamente
2(𝑆0 − 𝐶). Este es el Teorema del Umbral en epidemiología, el cual fue
demostrado por primera vez en 1927 por los biólogos matemáticos Kermack y
McKendrick.*11
La propagación de la enfermedad no se detiene por falta de una población
susceptible, para sólo por falta de infecciosos.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
33
1-8) Explosión demográfica contra extinción
En el simple hecho de describir otra situación de alguna población, donde se asume que
los nacimientos ocurren a una tasa de 𝑏𝑝2 (por unidad de tiempo, con b constante), La
tasa de natalidad (nacimientos/tiempo/población) está dada por ℎ = 𝑏𝑃. Si la tasa de
mortalidad ℎ es constante, entonces la ecuación de población general (1) nos conduce a:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= −ℎ𝑝 + 𝑏𝑝2
Y así:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑏𝑝(𝑝 −𝑀) (8)
Donde M=ℎ
𝑏 como modelo matemático de la población.
Se ve que el lado derecho de la ecuación (8) es el negativo del lado derecho de la
ecuación (4).
Este modelo presentó dos situaciones extremas, donde la población estalla o es una
especie bajo amenaza de extinción, dependiendo de si su valor inicial excede o no a la
población umbral M (Una aproximación a este fenómeno se ha observado, algunas veces,
con poblaciones de animales como la de los lagartos en ciertas áreas del sur de los
Estados Unidos)
Si P(0)= M (¡exactamente!), entonces la población permanece constante. Sin embargo
esta situación de equilibrio es muy inestable. Si P(0) excede a M (aunque sea
ligeramente), entonces P(t) se incrementa rápidamente sin límites, mientras que si la
población inicial (positiva) es menor que M (aunque sea ligeramente), entonces decrece
(mas gradualmente) hacia cero conforme a t→+∞. Gráficamente:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
34
(G-M-4)
-------------------------------------------------------------------------------P=M
t
Curvas de solución típicas para la ecuación explosión/extinción 𝑃´ = 𝑏𝑃(𝑃 −𝑀)
1-9) Cosecha en una población logística
La siguiente ecuación diferencial
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝2 − 𝑐 (9)
Donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes positiva, se considera para describir una población
logística con cosecha. Por ejemplo, se puede pensar en la población de peces en un lago
el cual 𝑐 peces por año son retirados por la pesca.
Luego, escribiendo (9) de la siguiente manera:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑏𝑝(𝑀 − 𝑝) − 𝑐
La cual presenta una población limite M de “no cosecha” en el caso que 𝑐=0.
Asumiendo de aquí en adelante que 𝑐 >0, se pueden resolver las ecuación cuadrática
−𝑏𝑝2 + 𝑏𝑀𝑝 − 𝑐 = 0 , para los puntos críticos:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
35
𝛼, 𝛽 =𝑏𝑀±√(𝑏𝑀)2−4𝑐𝑏
2𝑏=
1
2(𝑀 ± √(𝑀2 − 4
𝑐
𝑏)
Asumiendo que la tasa de la cosecha 𝑐 es suficientemente pequeña para que 4𝑐 <
𝑏𝑀2 de manera que ambas raíces de 𝛼 𝑦 𝛽 sean reales con 0 < 𝛼 < 𝛽 < 𝑀. Por lo tanto
puede reescribirse la ecuación (9) de la forma:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑏(𝛼 − 𝑝)(𝑝 − 𝛽) (10)
Que tiene como solución a:
𝑃(𝑡) =𝛼𝑒(𝑏𝑡+𝑘)(𝛼−𝛽) − 𝛽
𝑒(𝑏𝑡+𝑘)(𝛼−𝛽) − 1
Como 𝛼 < 𝛽 → 𝛼 − 𝛽 < 0 . Si h= 𝛼 − 𝛽 → -h > 0, luego –h = q > 0
Operando*12 queda:
𝑃(𝑡) =𝛼 − 𝛽𝑒(𝑏𝑡+𝑘)𝑞
1 − 𝑒(𝑏𝑡+𝑘)𝑞
Y así, si se aplica distributiva y siendo r = eqk y δ = qb, finalmente queda:
𝑃(𝑡) =𝛼 − 𝛽𝑟𝑒𝛿𝑡
1 − 𝑟𝑒𝛿𝑡 (11)
Observando el comportamiento de la función anterior se ve, en primera instancia, que:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
36
lim𝑡→∞
𝑃(𝑡) =−∞
−∞
Salvando la indeterminación mediante la Regla de L´ Hospital, queda:
lim𝑡→∞
𝑃(𝑡) = lim𝑡→∞
−𝛽𝑟𝛿𝑒𝛿𝑡
−𝑟𝛿𝑒𝛿𝑡= 𝛽
Y además, en segunda instancia, se ve que:
lim𝑡→𝑜
𝑃(𝑡) =𝛼 − 𝛽𝑟
1 − 𝑟
Pero, ¿qué indica esta expresión?
Pensando a r como una variable independiente de una función, y recordando que 𝑟 > 𝑜,
entonces 0 > −𝑟, luego1 > 1 − 𝑟. Queda que 𝑆(𝑟) =𝛼−𝛽𝑟
1−𝑟
Luego si:
lim𝑟→∞
𝑆(𝑟) =−∞
−∞
Salvando la indeterminación, queda:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
37
lim𝑟→∞
𝑆(𝑟) = lim𝑟→∞
𝑎𝑟 − 𝛽
1𝑟 − 1
= 𝛽
Si:
lim𝑟→0
𝑆(𝑟) = 𝛼
Se concluye que cuando t→0, P(t)→α (cuando 𝑟 → 0) , o bien P(t)→β (cuando 𝑟 → ∞) y
cuando t→∞, P(t)→β
Otra forma de proceder para 𝑆(𝑟) =𝛼−𝛽𝑟
1−𝑟=
𝛼+𝛽(−𝑟)
1−𝑟=
𝛼+𝛽(1−𝑟−1)
1−𝑟=
𝛼−𝛽+𝛽(1−𝑟)
1−𝑟 y como
1 > 1 − 𝑟 se puede pensar en los siguientes limites:
Primero lim(1−𝑟)→1
𝑆(𝑟) = 𝛼
Segundo lim(1−𝑟)→−∞
𝑆(𝑟) =−∞
−∞ salvando la indeterminación queda:
lim(1−𝑟)→−∞
𝑆(𝑟) = lim(1−𝑟)→−∞
𝛼 − 𝛽1 − 𝑟 + 𝛽
1 − 𝑟1 − 𝑟
= 𝛽
Curvas solución para la ecuación logística con cosecha:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑏(𝛼 − 𝑝)(𝑝 − 𝛽)
(G-M-5)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
38
p
P=β
P=α
0 t
Además, al pensar en un valor inicial p(0), tal que, α < p(0) < β entonces P(t)→β, cuando
t→+∞.
Pero, también, si p(0) > β, entonces P(t)→β, cuando t→+∞.
Mientras que si p(0) < α, entonces P(t)→-∞, cuando t→t1. Para un valor t1 que depende de
p0.
Ahora se pueden ver las curvas solución de (9):
(G-M-6)
P´<0 P´>0 P´<0
I I
P=α P=β
Inestable Estable
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
39
De este modo la solución constante P=β es una solución Limite de equilibrio, mientras
que la solución constante P=α es una solución Umbral que separa comportamientos
diferentes, es decir, la población se aproxima a β si α < p(0), mientras se extingue debido a
la cosecha si p(0) < α.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
40
2) Población de Marcos Paz desde 1947 hasta 2010
En este capítulo se presentan datos oficiales (recorte de documentos) brindados por
distintos organismos.
2-1) Boletín Demográfico Edición Especial CELADE – Período 1950-1990
Población censada y tasas de crecimiento medio anual, según ciudades
Cuadro Nº 13
Argentina: Población Censada y Tasas de crecimiento medio-Anual, según ciudades y periodo 1950-1990
REGIÓN/ Población Tasa de crecimiento PROVINCIA/ Anual (por
cien)
Aglomerados/ 1947 1960 1970 1980 1991 1947- 1960- 1970- 1980- 1950-
Ciudades
1960 1970
1980
1991
1991
Total país Población total 15 893 815 20 013 793 23 364 331 27 949 480 32 615 528 1.7 1.5 1.8 1.5 1.6 Población urbana total 9 932 133 14 761 041 18 454 045 23 192 892 28 461 854 3.0 2.2 2.3 1.9 2.4 Población rural total 5 961 682 5 252 752 4 910 286 4 756 588 4 153 674 -0.9 -0.7 -0.3 -1.3 -0.8 Población loc. De 2000 y más 10 151 928 14 858 527 18 601 401 23 371 890 28 329 852 2.8 2.2 2.3 1.8 2.3
BUENOS AIRES a
Población total 7 254 917 9 732 742 11 746 982 13 788 237 15 560 377 2.2 1.9 1.6 1.1 1.7 Gran Buenos Aires c 4 748 723 6 807 236 8 461 955 9 969 826 11 255 618 2.7 2.2 1.6 1.1 2.0 Capital Federal 2 982 580 2 966 634 2 972 453 2 922 829 2 960 976 0.0 0.0 -0.2 0.1 0.0 La Matanza 98 471 401 738 657 920 944 474 1 111 811 10.5 4.9 3.6 1.5 5.5 General Sarmiento 46 413 167 160 314 344 502 926 646 891 9.6 6.3 4.7 2.4 6.0 Morón 110 344 341 920 485 983 598 420 641 541 8.4 3.5 2.1 0.7 4.0 Lomas de Zamora 127 880 272 116 410 806 510 130 572 769 5.6 4.1 2.2 1.1 3.4 Quilmes 123 132 245 165 354 976 446 587 509 445 5.1 3.7 2.3 1.2 3.2 Lanús d 244 473 375 428 449 824 466 980 466 755 3.2 1.8 0.4 0.0 1.5 Almirante Brown 39 700 136 924 241 540 326 437 448 762 9.2 5.7 3.0 3.0 5.5 General San Martín 269 514 278 751 360 573 385 625 407 506 0.3 2.6 0.7 0.5 0.9 Merlo 19 865 100 146 184 843 292 005 386 304 12.1 6.1 4.5 2.6 6.7 Tres de Febrero - 263 391 313 460 345 424 349 221 - 1.7 1.0 0.1 - Avellaneda 273 839 326 531 337 538 334 145 346 620 1.3 0.3 -0.1 0.3 0.5 San Isidro 90 086 188 065 250 008 289 170 299 022 5.5 2.8 1.4 0.3 2.7 Vicente López 149 958 247 656 285 178 291 072 289 142 3.7 1.4 0.2 -0.1 1.5 Moreno 15 101 59 338 110 352 189 064 285 964 10.2 6.2 5.4 3.9 6.7 Esteban Echeverría 19 068 69 730 106 966 184 772 274 303 9.7 4.3 5.4 3.7 6.1 Tigre e 58 348 91 725 146 451 200 813 253 748 3.4 4.7 3.1 2.2 3.3 Florencio Varela 10 480 41 707 92 493 166 623 249 006 10.3 8.0 5.9 3.8 7.2 Berazategui - 72 618 125 379 198 119 244 881 - 5.5 4.5 2.0 - San Fernando 44 666 92 302 113 249 128 351 141496 5.4 2.0 1.2 0.9 2.6 Escobar 3 693 21 850 40 440 71 801 116 675 13.3 6.2 5.7 4.6 7.8 Pilar 4 712 18 849 37 907 75 872 113 428 10.4 7.0 6.9 3.8 7.2 San Vicente 2 189 9 158 36 781 52 707 69 176 10.7 13.9 3.6 2.6 7.8 General Rodríguez 4 482 9 771 19 946 27 204 43 385 5.8 7.1 3.1 4.4 5.2 Marcos Paz 4 115 7 697 10 082 15 299 23 982 4.7 2.7 4.1 4.3 4.0 Cañuelas 5 614 866 884 1 959 2 611 -14.0 0.2 7.9 2.7 -1.7 La Plata - - 1 579 1 018 198 - -4.4 -15.5 - Gran La Plata f 273 220 404 129 485 939 564 750 640 344 2.9 1.8 1.5 1.2 1.9 La Plata 273 220 337 060 391 247 459 054 520 449 1.6 1.5 1.6 1.2 1.5
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
41
2-2) Población de Marcos Paz según los censos de 1960, 1970, 1980 y 1991
(A continuación se encuentra solo un recorte del cuadro pertinente otorgado por el
Departamento de informaciones de la Dirección Provincial de Estadística)
Marcos Paz
CENSO DE 1980 CENSO DE 1991
LOCALIDAD VARONES MUJERES TOTAL VARONES MUJERES TOTAL
TOTAL 10.557 9.562 20.119 14.679 14.360 29.039
MARCOS PAZ 5.532 5.605 11.137 11.901 12.081 23.982
COL. GUTIERREZ ******** ******** ******** ******** ******** ********
VILLARS ******** ******** ******** ******** ******** ********
ZONA RURAL 5.025 3.957 8.982 2.778 2.279 5.057
CENSO DE 1960 CENSO DE 1970
LOCALIDAD VARONES MUJERES TOTAL VARONES MUJERES TOTAL
TOTAL 6.666 5.597 12.263 7.958 7.112 15.070
MARCOS
PAZ 3.723 3.699 7.422 ******** ******** ********
COL. GUTIERREZ 367 154 521 ******** ******** ********
VILLARS 400 373 773 ******** ******** ********
ZONA
RURAL 2.176 1.371 3.547 ******** ******** ********
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
42
2-3) Población de Marcos Paz por sexo y edad según censos Nacionales de población.
Elaboración: Dirección Provincial de Estadística y Control de Gestión.
Fuente: Censos Nacionales de Población. (INDEC).
1991 1980
EDAD TOTAL TOTAL TOTAL TOTAL TOTAL TOTAL
POBLACION VARONES MUJERES POBLACION VARONES MUJERES
TOTAL 29.104 14.674 14.430 20.225 10.532 9.693
0-4 3.534 1.793 1.741 2.588 1.355 1.233
5-9 3.310 1.650 1.660 2.122 1.061 1.061
10-14 3.159 1.646 1.513 1.876 970 906
15-19 2.643 1.332 1.311 1.685 919 766
20-24 2.140 1.098 1.042 1.666 855 811
25-29 2.056 1.009 1.047 1.617 845 772
30-34 2.028 995 1.033 1.435 764 671
35-39 1.908 955 953 1.215 649 566
40-44 1.753 934 819 1.095 607 488
45-49 1.353 718 635 959 501 458
50-54 1.137 604 533 974 528 446
55-59 975 511 464 863 443 420
60-64 948 471 477 673 350 323
65-69 790 366 424 566 263 303
70-74 615 297 318 372 196 176
75-79 419 162 257 265 122 143
80-84 184 70 114 163 70 93
85 y más 152 63 89 91 34 57
1970 (no se registraron datos discriminados
como en censos anteriores)
TOTAL TOTAL TOTAL
POBLACION VARONES MUJERES
15.070 7.958 7.112
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
43
2-4) Comparaciones entre Marcos Paz- Buenos Aires- Argentina
DATOS CORRESPONDIENTES AL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, VIVIENDA Y
HOGARES AÑO 2001
(Obtenidos del sitio del Instituto Nacional de Estadísticas y Censos – INDEC)
2-4-1) POBLACIÓN DE MARCOS PAZ
Población 2001: 43.400 habitantes
Población 1991: 29.104 habitantes
POBLACIÓN POR GRUPOS DE EDAD
Mujeres Grupos de Edad Varones
158 85 y más 67
220 80 a 84 146
340 75 a 79 226
431 70 a 74 374
472 65 a 69 434
553 60 a 64 590
693 55 a 59 720
888 50 a 54 1023
1027 45 a 49 1175
1222 40 a 44 1352
1352 35 a 39 1497
1435 30 a 34 1632
1596 25 a 29 1747
1749 20 a 24 2208
1954 15 a 19 2013
2333 10 a 14 2364
2337 5 a 9 2474
2276 0 a 4 2322
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
44
2-4-2) COMPARACIONES
A) EDUCACIÓN
Asistencia a establecimientos educativos: Porcentaje de población de cada grupo.
Grupos de Edad Municipio Provincia País
3 a 4 años 37,42% 54,14% 39,13%
5 años 74,53% 83,73% 78,80%
4 a 11 años 97,67% 98,44% 98,20%
12 a 14 años 96,08% 97,56% 95,11%
15 a 17 años 77,56% 84,75% 79,40%
18 a 24 años 31,68% 36,54% 36,86%
25 a 29 años 11,19% 14,24% 14,41%
30 y mas años 3,61% 3,24% 3,01%
Nivel de Instrucción alcanzado: Porcentaje de población de 15 años y más
Nivel de Instrucción Municipio Provincia País
Sin Instrucción o primaria incompleta 19,97% 15,61% 17,90%
Primaria completa y secundaria incompleta 59,09% 53,16% 48,87%
Secundaria completa y terciario o universitario incompleto 15,65% 23,71% 24,49%
Terciario o universitario completo 5,29% 7,52% 8,73%
B) SOCIAL
Municipio Provincia País
Porcentaje de población con cobertura de obra
social o plan privado de salud o mutual. 40,12% 51,21% 51,95%
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
45
C) POBLACIÓN OCUPADA SEGÚN CATEGORÍAS OCUPACIONALES
Categoría del Trabajador Municipio Provincia País
Obrero o empleado en el sector público 23,34% 18,98% 21,20%
Obrero o empleado en el sector privado 51,82% 53,72% 48,94%
Patrón 5,45% 6,66% 6,24%
Trabajador por cuenta propia 17,09% 18,27% 20,26%
Trabajador familiar 2,30% 2,38% 3,37%
D) HOGARES Y VIVIENDA
TOTAL: 10.755
Calidad de los materiales de la vivienda (CALMAT) Porcentaje de hogares
CALMAT Municipio Provincia País
CALMAT I 45,23% 65,28% 60,24%
CALMAT II 27,06% 19,79% 21,05%
CALMAT III 23,57% 12,89% 12,60%
CALMAT IV 4,14% 2,03% 6,11%
Hacinamiento del Hogar: Porcentaje de hogares
Cantidad de Personas por cuarto Municipio Provincia País
Hasta 0,50 13,68% 19,74% 20,85%
0,51 a 0,99 12,96% 18,53% 18,33%
1 a 1,49 30,13% 32,80% 31,55%
1,50 a 1,99 12,45% 10,67% 10,25%
2,00 a 3,00 21,48% 14,27% 14,23%
Más de 3,00 9,30% 3,98% 4,78%
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
46
2-5) Datos pertinentes del último censo nacional (Recorte de cuadros oficiales)
2-5-1) Censo 2010. Resultados provisionales. Cuadro 5.4
Provincia de Buenos Aires: interior de la provincia. Viviendas, población por sexo, según partido.
Partido Total viviendas Total población Varones Mujeres
Total
5.581.761 15.594.428 7.616.917 7.977.511
24 Partidos del Gran Buenos Aires 3.147.638 9.910.282 4.826.994 5.083.288
Interior de la provincia 2.434.123 5.684.146 2.789.923 2.894.223
General Lavalle 1.682 3.645 1.855 1.790
General Paz 5.379 11.160 5.549 5.611
General Pinto 5.153 11.356 5.710 5.646
General Pueyrredón 308.570 614.350 293.447 320.903
General Rodríguez 31.222 87.491 43.674 43.817
Lobos 14.216 36.416 17.651 18.765
Luján 38.649 106.899 52.802 54.097
Magdalena 6.893 19.171 10.611 8.560
Maipú 4.375 10.172 4.844 5.328
Mar Chiquita 14.451 21.348 10.672 10.676
Marcos Paz 16.715 53.462 27.587 25.875
Mercedes 24.153 62.807 30.880 31.927
Monte 8.657 21.025 10.352 10.673
Monte Hermoso 10.127 6.494 3.334 3.160
Fuente: INDEC. Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2010.
2-5-2) Censo 2010. Resultados Definitivos.
Cuadro P5-D. Provincia de Buenos Aires, partido Marcos Paz. Población total por país de nacimiento,
según sexo y grupo de edad. Año 2010
Nota: la población total incluye a las personas viviendo en situación de calle.
Fuente: INDEC. Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2010
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
47
Sexo y
grupo edad
País de nacimiento
Argentina Otros
Total
54.181
51.222
2.959
0-4
5.431
5.39
5
36
5-9 5.085 4.964
121 10-14 5.186 5.06
6 120
15-19 5.387 5.205
182 20-24 5.142 4.81
7 325
25-29 4.343 4.024
319 30-34 4.252 3.97
2 280
35-39 3.620 3.341
279 40-44 3.088 2.82
6 262
45-49 2.811 2.600
211 50-54 2.356 2.17
2 184
55-59 2.055 1.885
170 60-64 1.742 1.58
9 153
65-69 1.311 1.198
113 70-74 930 85
1 79
75-79 667 618
49 80 y más 775 69
9 76
Varones
27.802
26.232
1.570
0-4 2.687 2.667
20 5-9 2.579 2.51
9 60
10-14 2.692 2.625
67 15-19 2.889 2.78
8 101
20-24 2.761 2.574
187 25-29 2.247 2.07
6 171
30-34 2.324 2.154
170 35-39 1.832 1.68
5 147
40-44 1.589 1.450
139 45-49 1.413 1.29
9 114
50-54 1.200 1.110
90 55-59 1.083 99
8 85
60-64 879 804
75 65-69 644 59
3 51
70-74 437 406
31 75-79 271 24
6 25
80 y más 275 238
37 Mujeres
26.379
24.990
1.389
0-4 2.744 2.728
16 5-9 2.506 2.44
5 61
10-14 2.494 2.441
53 15-19 2.498 2.41
7 81
20-24 2.381 2.243
138 25-29 2.096 1.94
8 148
30-34 1.928 1.818
110 35-39 1.788 1.65
6 132
40-44 1.499 1.376
123 45-49 1.398 1.30
1 97
50-54 1.156 1.062
94 55-59 972 88
7 85
60-64 863 785
78 65-69 667 60
5 62
70-74 493 445
48 75-79 396 37
2 24
80 y más 500 461
39
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
48
2-6) Cuadro Sintético: Población Total de Marcos Paz por década censada.
(A continuación se presentarán, a modo de resumen, los datos obtenidos de 2-1 hasta 2-5)
Documento,
registros y
años de
poblaciones
Boletín
CELADE
Dto de Inf.
De DPE
INDEC y
DPE y
control de
Gestión
Inst. Nac. De
Estadística y
Censo
INDEC
1947 4115 - - - -
1960a 7697 12263 - - -
1970b 10082 15070 15070 - -
1980c 15299 20119 20225 - -
1991d 23982 29039 29104 29104 -
2001 - - - 43400 -
2010e - - - - 54181
1960a: La diferencia que existe entre los datos que brinda el Boletín de CALADE y la
información brindada por el Departamento de informaciones de la Dirección Provincial
de Estadísticas, se funda en que el primero no considera la población rural y el segundo
si la considera.
1970b: Ocurre la misma situación que en el punto anterior. Con la suma de que los datos
brindados por el INDEC y la Dirección Provincial de Estadística y Control de Gestión
coinciden, en este censo, con los brindados por el Departamento de informaciones de la
Dirección Provincial de Estadísticas.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
49
1980c: Ocurre la misma situación que en a. Además la diferencia entre la información
del censo de 1980 entre los datos brindados por el Dto de informaciones de la Dirección
Provincial de Estadísticas y los brindados por el INDEC y la Dirección Provincial de
Estadística y Control de Gestión, radica en que el primero no tuvo en consideración el
barrio llamado Colonia Gutierrez, debido a su ubicación geográfica (en la actualidad no
hay dudas de su dependencia con el municipio de M. Paz).
1991d: Ocurre la misma situación que en el punto anterior. Además se suman los datos
brindados por Nacional de Estadísticas y Censos – INDEC, coincidentes con el Dto de
informaciones de la Dirección Provincial de Estadísticas.
2010e: Solo se ha tenido en cuenta el dato definitivo brindado por INDEC, aunque no
perderá de vista el dato provisorio de 53462.
2-7) Tasa de natalidad y Mortalidad
Una tasa refleja la relación existente entre una cantidad y la frecuencia de un fenómeno.
Se trata, por lo tanto, de la relación entre dos magnitudes.
2-7-1) Tasa de Natalidad
La tasa de natalidad, tasa bruta de natalidad o simplemente natalidad es el número
proporcional de nacimientos que tiene lugar en una población y periodo determinados.
Es una medida que indica la fecundidad, es decir, la realización efectiva de la fertilidad o
la abundancia de la reproducción de los seres humanos.
TBAN= 𝑁º 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑎ñ𝑜∙ 1000
(TBAN= Tasa bruta anual de natalidad)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
50
Ejemplo: si la tasa de natalidad de un pueblo X es del 12%, está señalando que allí se
producen 120 nacimientos al año por cada 1.000 habitantes.
2-7-2) Tasa de Mortalidad
La tasa de mortalidad es un indicador que refleja el número de defunciones por cada
1.000 habitantes de una población en un cierto periodo de tiempo (generalmente, un
año). Es habitual hacer referencia a este índice demográfico como tasa bruta de
mortalidad o simplemente como mortalidad.
Se suele considerar que la tasa de mortalidad es alta si supera el 30%; moderada si se
sitúa entre el 15% y el 30%; y baja si aparece por debajo del 15%.
TBAM= 𝑁º 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑎ñ𝑜∙ 1000
(TBAM= Tasa bruta anual de mortalidad)
2-7-3) Tasas en Marcos Paz
A continuación se ve un fragmento de un documento difundido, en 2011, por la
SECRETARIA DE POLITICAS, REGULACION E INSTITUTOS-DIRECCION DE
ESTADISTICAS E INFORMACION DE SALUD-Ministerio de salud-Presidencia de la
Nación, donde se observan datos referidos al año 2009.
(El siguiente cuadro será representativo para el presente trabajo, es decir, se tendrá en
cuenta los datos brindados, para realizar el análisis que le compete a la investigación)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
51
TABLA 3 B: POBLACION, NACIDOS VIVOS REGISTRADOS, DEFUNCIONES TOTALES, DEFUNCIONES INFANTILES Y TASAS DE
NATALIDAD, MORTALIDAD GENERAL E INFANTIL POR LUGAR DE RESIDENCIA, BUENOS AIRES - AÑO 2009 (Página 33)
LUGAR DE RESIDENCIA
POBLACION
NACIDOS
VIVOS
REGISTRADOS
DEFUNCIONES TASAS TOTALES MENORES
DE 1 AÑO NATALIDAD MORTALIDAD
GENERAL MORTALIDAD
INFANTIL Leandro N. Alem
Lincoln
Lobería
Lobos
Lomas de Zamora ""
Luján
Magdalena
Maipú
Malvinas Argentinas ""
Mar Chiquita
Marcos Paz ""
Mercedes
Merlo ""
Monte
Monte Hermoso
Moreno ""
Morón ""
Navarro
Necochea
9 de Julio
Olavarría
Patagones
Pehuajo
16.518
43.091
16.902
35.079
624.728
105.580
18.538
10.788
329.711
19.160
52.339
63.351
535.389
19.181
5.838
451.549
327.204
17.895
94.960
49.816
111.217
30.187
39.501
237
649
211
682
12.647
1.823
327
160
6.200
343
1.153
1.002
10.103
364
102
9.790
4.770
316
1.538
672
1.853
448
700
148
467
160
345
5.436
948
169
114
2.051
178
347
665
3.403
184
41
2.653
3.594
145
909
458
1.003
227
361
3
12
0
7
166
17
4
0
89
1
8
23
183
9
1
147
50
3
17
8
13
3
6
14,3
15,1
12,5
19,4
20,2
17,3
17,6
14,8
18,8
17,9
22,0
15,8
18,9
19,0
17,5
21,7
14,6
17,7
16,2
13,5
16,7
14,8
17,7
9,0
10,8
9,5
9,8
8,7
9,0
9,1
10,6
6,2
9,3
6,6
10,5
6,4
9,6
7,0
5,9
11,0
8,1
9,6
9,2
9,0
7,5
9,1
*
*
*
*
13,1
9,3
*
*
14,4
*
*
23,0
18,1
*
*
15,0
10,5
*
11,1
*
*
*
*
NOTAS: Las tasas de natalidad y mortalidad general se calcularon cada 1000 habitantes y la tasa de mortalidad infantil cada 1000 nacidos vivos
* No se calculó la tasa porque el error estándar relativo es mayor a 25 %
("") Partido del Aglomerado Gran Buenos Aires
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
52
Como se aprecia, el cuadro proporciona la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad de
varias ciudades de Buenos Aires, entre ellas Marcos Paz (marcada con rojo). No olvidar que
los datos pertenecen al año 2009, aunque también hay que tener en cuenta que el trabajo
fue presentado y certificado, en enero de 2011, por el Ministerio de Salud-Presidencia de la
Nación Argentina, es decir, que estos son los datos oficiales y más actualizados que se
pueden poseer hasta el momento.
Teniendo en cuenta lo anterior, de ahora en más, se considera estos valores como datos
fundamentales para la construcción de la función logística. Claro que hay que dejar en
evidencia que ambas tasas han variado durante el transcurso del tiempo (desde 1947 hasta
2010), pero esas variaciones no han sido extremas (según datos no oficiales).
Además, se puede pensar que, como Marcos Paz esta dentro de la provincia de Buenos Aires
donde en la actualidad (Según el Registro Nacional de las Personas) la tasa de natalidad es
de 22 aproximadamente, y la tasa de mortalidad es de 7 aproximadamente (lo que me dice
que cada 1000 personas nacen 22 y mueren 7 por año) entonces, esta ciudad podría
responder a estos valores aproximadamente (efectivamente es así, según el cuadro
anterior).
La tranquilidad de elegir estos valores como tasa de natalidad y tasa de mortalidad
respectivamente se sujeta a la importancia de aproximarse a la actualidad para poseer un
pronóstico lo más exacto posible.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
53
3) La población limite de Marcos Paz
A continuación, teniendo en cuenta los datos y el marco teórico del presente trabajo, se
llegará a una estimación del valor límite de la población de Marcos Paz, llamado 𝑀 en
secciones anteriores, siendo 𝑀 =𝑎
𝑏 , donde 𝑎 𝑦 𝑏 son constantes vitales.
3-1) Crecimiento Natural
Mediante la ley de Malthus, se considera 𝐴(𝑡) =22
1000 𝑦 𝐵(𝑡) =
7
1000 (según los datos
expuestos en el cuadro correspondiente a la sección 2-7-3), entonces:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= (
22
1000−
7
1000)𝑃(𝑡)
𝑑𝑃
𝑑𝑡= (
15
1000)𝑃(𝑡)
Resolviendo la ecuación diferencial:
∫𝑑𝑃
𝑃(𝑡)= ∫(
15
1000) 𝑑𝑡
ln 𝑃(𝑡) = 0,015. 𝑡 + 𝑐
𝑃(𝑡) = 𝑒0,015.𝑡+𝑐
𝑝(𝑡) = 𝑒0,015𝑡𝑒𝑐
Siendo 𝑎 = 𝑒𝑐 , queda:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
54
𝑃(𝑡) = 𝑎𝑒0,015.𝑡
A continuación se considera a 1947 como año inicial, con una población de 4115, entonces:
4115 = 𝑎𝑒0,015.0
4115 = 𝑎
Finalmente se obtiene que
𝑃(𝑡) = 4115𝑒0,015.𝑡
El siguiente cuadro (C-3-1) proporciona, mediante la utilización de 𝑃(𝑡) = 4115𝑒0,015.𝑡 La
cantidad de población que debería haber siguiendo este modelo. Pero claramente deja al
descubierto que estos valores (P(t)) no coinciden con los datos oficiales, y que el error de
utilizar este modelo matemática cada vez es mayor.
Año Valor de t Población P(t) Datos oficiales Error Natural
1947 0 4115 4115 0
1960 13 4791 12263 -7472
1970 23 5386 15070 -9684
1980 33 6055 20225 -14170
1991 44 6888 29104 -22216
2001 54 7744 43400 -35656
2010 63 8604 54181 -45577
C-3-1
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
55
Si se desea obtener 𝑎 mediante el modelo natural:
𝑃(0) = 4115 (𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 𝑒𝑛 1947)
Entonces: 𝑃(𝑡) = 4115. 𝑒𝑎𝑡 → 54181 = 4115. 𝑒𝑎.63 → ln54181
4115= 𝑎 ln 𝑒63
𝑎 = 0,040915737
Esto dice que el crecimiento promedio de la población entre 1947 y 2010 fue de,
aproximadamente, de 4,0915% por año. (Esto da lugar a la pregunta. ¿Será cierto?)
3-2) Crecimiento logístico: valor máximo de la población de Marcos paz
De la sección 1-4, la ecuación (5) 𝑝(𝑡) =𝑀𝑝0
𝑝0+ (𝑀−𝑝0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0)
permitirá obtener un valor M,
siendo la cantidad de población inicial de 4115 en 1947, de 20225 en 1980 y de 541981 en
2010.
Armando un sistema con estos datos, queda:
(𝑇)
{
20225 =
4115𝑀
4115 + (𝑀 − 4115)𝑒−33𝑎
54181 =4115𝑀
4115 + (𝑀 − 4115)𝑒−63𝑎
Despejando en ambas ecuaciones la misma incógnita:
𝑀 =4115 − 4115. 𝑒−33𝑎
411520225
− 𝑒−33𝑎
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
56
𝑀 =4115 − 4115. 𝑒−63𝑎
411554181
− 𝑒−63𝑎
Igualando:
0 = −0,127511929 − 0,796538937. 𝑒−63𝑎 + 0,924050866. 𝑒−33𝑎
0,796538937. 𝑒−63𝑎 = −0,127511929 + 0,924050866. 𝑒−33𝑎 (z)
Aquí, utilizando el programa Excel de Microsoft, se puede obtener el valor de 𝑎 (o un valor
aproximado)
Siendo 𝐹(𝑎) = 0,796538937. 𝑒−63𝑎 y 𝐺(𝑎) = −0,127511929 + 0,924050866. 𝑒−33𝑎
Valores de 𝑎 F(𝑎) G(𝑎) F(𝑎)-G(𝑎)
0 0,7965389370 0,7965389370 0
0,054428478 0,0258234217 0,0258234200 1,77518E-09
0,054428478 0,0258234216 0,0258234195 2,11853E-09
0,054428478 0,0258234214 0,0258234190 2,46189E-09
0,054428478 0,0258234213 0,0258234185 2,80524E-09
0,054428478 0,0258234211 0,0258234180 3,1486E-09
0,054428479 0,0258234209 0,0258234174 3,49195E-09
0,054428479 0,0258234208 0,0258234169 3,8353E-09
0,054428479 0,0258234206 0,0258234164 4,17866E-09
C-3-2
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
57
𝑎 = 0.0544284780000003 es un valor que satisface, aproximadamente, la ecuación (z).
Luego reemplazando este valor en el sistema (T) se obtiene el valor de M = 91469
aproximadamente (91468,64963 es el valor más exacto, pero al trabajar con cantidad de
poblaciones se utiliza el número natural más cercano)
Nota: Otro valor para 𝑎 que satisface la ecuación (z) es 6,6.10-11, pero este valor regresa un
valor negativo para M. Analizando esta cuestión se ve que en
𝑀 =4115 − 4115. 𝑒−33𝑎
411520225
− 𝑒−33𝑎
el numerador siempre es positivo debido a que 𝑎 > 0, entonces el denominador debería ser
mayor que cero, ya que M es un número límite de población y debe ser positivo. Para que se
cumpla esta condición 4115
20225> 𝑒−33𝑎
Despejando la incógnita:
ln4115
20225> −33. 𝑎. ln 𝑒
−1,592280629
−33< 𝑎
0,048250928 < 𝑎
Así, 𝑎 = 0.0544284780000003 es el valor que satisface la condición de que 4115
20225> 𝑒−33𝑎
además hace que 𝐹(𝑎) ≅ 𝐺(𝑎) y como consecuencia 𝑀 > 0. Con este valor para 𝑎,𝑀 ≅ 91469.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
58
Con los valores de 𝑎 𝑦 𝑀 encontrados anteriormente, la ecuación logística:
𝑝(𝑡) =𝑀𝑝0
𝑝0 + (𝑀 − 𝑝0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0)
Con 𝑃0 = 4115 𝑦 𝑡0 = 0(en 1947), queda:
𝑝(𝑡) =91469 . 4115
415 + (91469 − 4115)𝑒−0,0544284780000003.𝑡
𝑝(𝑡) =376394935
415 + 87354. 𝑒−0,0544284780000003.𝑡 (𝑳)
Realizando un cuadro comparativo entre los datos oficiales y los brindados por la Función
logística (L) al transcurrir el tiempo t (en años), se ve:
Años
Valores
de t Población
Datos
oficiales Error
1947 0 4115 4115 0
1960 13 7980 12263 -4283
1970 23 12936 15070 -2134
1980 33 20225 20225 0
1991 44 31157 29104 2053
2001 54 43080 43400 -320
2010 63 54181 54181 0
C-3-3
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
59
que el error es mucho menor que en el crecimiento natural (utilizando la Ley de Malthus).
Aunque en 1960 hay una diferencia de 4283 que se puede considerar grande para la
población de aquella época.
A continuación se sacará /obtendrá el valor de 𝑏 de la ecuación logística
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝2
Como 𝑎 = 0,0544284780000003 𝑦 𝑀 = 91468,64963 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑀 =𝑎
𝑏
Entonces:
91468,64963 =0,0544284780000003
𝑏
Así:
𝑏 =0,0544284780000003
91468,64963
Finalmente:
𝑏 = 0,00000059506345
donde se nota, claramente, que 𝑏 es pequeña con respecto a 𝑎.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
60
3-3) Predicción
A continuación se dará a una predicción de la cantidad de habitantes en los próximos años.
Con los datos anteriormente obtenidos, se puede escribir la función logística y la ecuación
logística respectivamente, que describen el comportamiento poblacional de Marcos paz:
𝑝(𝑡) =376394935
4115 + 87354. 𝑒−0,0544284780000003.𝑡 (𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒐𝒈𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂)
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 0,0544284780000003𝑝 − 0,00000059506345𝑝2 (𝑬𝒄.𝑫𝒊𝒇 𝑳𝒐𝒈𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂)
A continuación (en la próxima pagina) se presenta un cuadro que describe el crecimiento
poblacional según la Función Logística de Marcos Paz.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
61
Año Valor de t Logística Población
1947 0 4115 4115
1960 13 7980,1216 7980
1970 23 12936,3309 12936
1980 33 20225,0145 20225
1991 44 31157,312 31157
2001 54 43080,4895 43080
2010 63 54181,1189 54181
2012 65 56559,2171 56559
2014 67 58876,8819 58876
2016 69 61123,2326 61123
2018 71 63288,8618 63288
2020 73 65365,9422 65365
2022 75 67348,2749 67348
2024 77 69231,2796 69231
2026 79 71011,9367 71011
2028 81 72688,6885 72688
2030 83 74261,3095 74261
2050 103 84849,156 84849
2070 123 89127,7204 89127
2090 143 90667,0813 90667
2110 163 91197,4164 91197
2130 183 91377,378 91377
2150 203 91438,1306 91438
2200 253 91466,9687 91466
2204 257 91467,3661 91467
2208 261 91467,6858 91467
2212 265 91467,9429 91467
2213 266 91467,9989 91467
2214 267 91468,0519 91468
2215 268 91468,1022 91468
2216 269 91468,1497 91468
2300 353 91468,9912 91468
C-3-4
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
62
En el cuadro C-3-4 se puede observar:
- Una primera etapa (en rojo), la cual contiene los datos oficiales (en los años
correspondientes), que se han observado, también, en el cuadro C-3-3 con su
respectivo análisis cuantitativo. Recordando que había una apreciación en que el
error iba reduciéndose a pasar el tiempo. Pero ¿esto será siempre así?, lo sabremos
en el futuro próximo o no tan próximo.
- En la segunda etapa del cuadro (en negro), ya entrando en una predicción, los años
estudiados son desde 2012 hasta 2030 (solo los años pares), aquí se rompe el mito
de que la población se duplica, como por ejemplo se tiene que en 2014 hay una
población de 58876 y en 2028 una población de 72688, apenas una diferencia de
13812 de habitantes.
- Siguiendo el camino, en busca del año en que Marcos paz llegase a su población
máxima, en esta tercera etapa (en verde), se fue sumando los años de 20 en 20.
Nuevamente se ve que la duplicación no ocurre a largo plazo. Llegando a 2212, es
decir, ¡dentro de dos siglos!, la población llegaría a 91467.
- En la cuarta etapa del cuadro (Fondo color amarillo), se observa que, un año
después, la población es la misma que 2212; y que en 2213 solo aumenta la
cantidad en un individuo. “Esto no es muy común en una población”, salvo que
acurran catástrofes, epidemias, guerras, etc.
- En la quinta etapa (color verde) se aprecia que a pesar de que los años transcurren,
la población no varía.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
63
- Finalmente, en la sexta etapa (Fondo color verde) se intenta mostrar que a pesar de
que han trascurrido 84 años, la población se mantiene en 91468 habitante.
Justamente este es el valor de M, encontrado en la sección 3-2. Pero se podría
preguntar, según los análisis realizados en el capítulo 1: ¿M era una asíntota o un
punto máximo?, la respuesta inmediata es que M es una asíntota, ya que
M= 91468,64963 , es un valor al cual la función logística nunca llega; pero hay que
recordar que en el caso de poblaciones se trabaja con números naturales y esto
presenta, quizá, alguna confusión
3-4) Gráfico logístico:
G-3-1
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 2350
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
64
Se ve que
𝑝(𝑡) =376394935
4115 + 87354. 𝑒−0,0544284780000003.𝑡
Es creciente. Además:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 0,0544284780000003𝑝 − 0,00000059506345𝑝2
𝑑2𝑃
𝑑𝑡2= (0,0544284780000003 − 0,0000005950634𝑝) 𝑝 (0,0544284780000003
− 2 . 0,0000005950634𝑝2)
Y por lo visto en la sección 1.4, se sabe que
Donde 𝑑𝑃
𝑑𝑡 es creciente si P(t0) <
𝑎
2𝑏
En este caso 𝑎
2𝑏=
0,0544284780000003𝑝
2 . 0,00000059506345≅ 45733 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝0 = 4115, en consecuencia
𝑑𝑃
𝑑𝑡 es creciente.
Además lim𝑡→0
𝑃(𝑡) = 4115 y lim𝑡→∞
𝑃(𝑡) = 𝑀 = 91468,64963
Como se mencionó al principio del trabajo, se está trabajando con números naturales
y esto inhibe a la hora de hablar de continuidad funcional, pero nuevamente, se
tendrá en cuenta que en grandes cantidades, la variación de una unidad es
insignificante. A pesar de que gráficamente se ha respetado esta situación, marcando
puntos aislados, se considerará continua la función analizada, debido a la “armonía
de su trayecto”.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
65
3-5) Conclusión
Luego de la difícil tarea de conseguir los datos necesarios para la construcción de la
función logística y ecuación logística, se ha logrado una descripción aproximada de
lo ocurrido en el pasado y de la actualidad, poblacionalmente hablando. Esta
construcción, inmediatamente, provoca la tarea de llevar a cabo un pronóstico de
cómo sería el comportamiento de la población en el futuro. Pero la dedicación de
muchos técnicos, aficionados y expertos han demostrado que la Función Logística
brinda valores muy cercanos a la realidad, aunque, a medida que transcurre el
tiempo, los errores, de los resultados ofrecidos por este modelo, van creciendo. Pero
no hay que olvidar que estos resultados son muchos más efectivos que los ofrecidos
por el modelo de crecimiento natural. La función Logística puede ser utilizada, sin
temor al fracaso, si se quiere pronosticar lo que ocurrirá en un tiempo no muy
grande.
Esta función se ha utilizado para situaciones muy variadas y hasta sorprendentes, un
ejemplo de ello es, averiguar cómo corre un chisme en un lugar determinado al
trascurrir el tiempo.
En el caso de su aplicación en la población de Marcos Paz, ha informado que la
población máxima sería de 91468, el cual se alcanzaría aproximadamente en el año
2214. Pero hay que dejar claro que la función logística se aplica bajo la condición de
que la población a estudiar debe encontrarse en un espacio geográfico limitado, no
cuenta con problemas de alimentación, ni enfermedades, migraciones, emigraciones,
etc, sólo tiene en cuenta la tasa de natalidad y de mortalidad. Debido a esto, el valor
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
66
encontrado para M, es un valor que, sin duda alguna, se modificará en un plazo
considerable (ni largo, ni corto), es decir, que su variación dependerá de que si las
condiciones no tomadas en cuenta, en la ecuación, han de modificar a la población en
una tasa mucho mayor que las tasas de nacimiento y de mortalidad. Un ejemplo
podría ser la creación de nuevos barrios ocupados por personas procedentes de
otros lugares.
Así que finalmente, hoy, bajo las condiciones solicitadas por la Ley de Verhulst para
construir la Función logística, junto con los datos oficiales obtenidos, se llega a que la
población límite de Marcos Paz es de 91468 alcanzada en el año 2214.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
67
4) Recreación
Como su titulo lo indica, en este capítulo se verá, a modo de ejercicio, la aplicación de un
sistema de ecuaciones diferenciales visto en el marco teórico; y además, se expone una
noticia que incumbe a las constantes utilizadas en la ley logística (dejando el análisis de la
noticia y su aplicación al lector)
4-1) Depredador- Presa en Buenos Aires
Considerando, nuevamente, que Marcos paz está ubicado en la Provincia de Buenos Aires y
que esta ciudad participa activamente en la producción y el consumo del ganado bovino;
teniendo en cuenta el siguiente cuadro Elaborado por el SIIA (Sistema Integrado de
información Agropecuaria) y la Dirección de Análisis Económico Pecuario a partir de datos
de la Dirección de Control de Gestión Comercial, se estudiará la situación de presa-
depredador en la Provincia Buenos Aires.
Nota: Como no hay datos oficiales acerca de la relación Producción- Consumo
específicamente en Marcos Paz, se dará, a modo de ejemplo, lo que ocurre en la Provincia de
Buenos Aires, utilizando estimaciones de datos.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
68
Reconociendo el campo de trabajo
En la actualidad, Marcos paz tiene 54181 habitantes (datos oficiales), y como se ha
mencionado esta ciudad está ubicada en la Provincia de Buenos Aires, Argentina.
Culturalmente e Históricamente Argentina no sólo se ha destacado en la producción de
carne, también lo ha hecho en el consumo de la misma. Principalmente, es la vaca el animal
que proporciona, involuntariamente, las carnes y los lácteos que se consumen cada día en
cada hogar, escuela, trabajo, etc. Todas estas situaciones también ocurren en Marcos paz.
Nota: Hay que dejar en claro que existe una cantidad de personas que son vegetarianas, y
algunas otras que tampoco consumen lácteos. Pero en la actualidad esa cantidad de
personas es mínima comparada a la cantidad total de población. De hecho no existen datos
oficiales que comparen los porcentajes entre carnívoros y vegetarianos (en todos sus
niveles, estilos y elecciones). Ni siquiera en los Censos nacionales dan relevancia a un dato
muy importante como el de la elección alimenticia, que permitiría planificar mejor la
economía en este sentido. En este análisis se tendrá en cuenta el supuesto que el 10% de la
población total no necesita de la vaca para alimentarse.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
69
GANADO BOVINO
Buenos Aires
2008 2009 2010 2011Dic
Total de Plantas 142 143 145 145
Plantas activas 117 111 115 113
Plantas senasa 68 69 75 64
Tipificación 51 51 51 51
Matadero Frigorífico 133 134 136 136
Matadero Municipal 7 7 7 7
Matadero Rural (c/usuarios)
0 0 0 0
Matadero Rural (s/usuarios)
2 2 2 2
Cabezas 7905105 8536156 6238775 5769307
C-4-1
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
70
Armando el sistema:
{𝑉𝑎𝑐𝑎𝑠:
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 5739307𝑉 − 1,14𝑉𝐻
𝐻𝑢𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠 =𝑑𝐻
𝑑𝑡= −5023585𝐻 + 0,008753𝐻𝑉
5739307 es la cantidad de población de vacas en 2011 en Buenos Aires.
5023585 es la cantidad de humanos carnívoros en 2011.
1,14 es la cantidad de vacas por humano en un año, es el resultado del cociente 5739307
5023585
0,00875 es la cantidad de personas que trabaja en tambos o frigoríficos (se considero el 1%
de la población carnívora) por vaca en un año, es el resultado del cociente 50236
5739307
Ahora sería conveniente buscar un nivel moderado de consumo bovino.
Si se divide ambas ecuaciones diferenciales se obtiene:
𝑑𝑉
𝑑𝐻=
5739307𝑉 − 1,14𝑉𝐻
−5023585𝐻 + 0,008753𝐻𝑉
Queda:
−5023585 ln 𝑉 + 0,008753𝑉 = 5739307 ln𝐻 − 1,14𝐻
Donde:
−5023585 ln 𝑉 + 0,008753𝑉 − 5739307 ln𝐻 + 1,14𝐻 = 𝑘1 (𝑤)
Tomando exponenciales en ambas lados de la ecuación (w) queda:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
71
𝐻5739307
𝑒1,14𝐻 .𝑉5023585
𝑒0,008753𝑉= 𝐾
Así pues, las órbitas del sistema son la familia de curvas definidas por (w), donde dichas
curvas son cerradas para H > 0 𝑦 𝑉 > 0
H
5739307
1,14 G-4-1
5023585
0,008753 V
Como los datos que se tienen son promedios entre las magnitudes, es preciso calcular los
“valores promedios” de H y V.
Los valores promedios son definidos de la siguiente manera:
Sean V(t) y H(t) una solución periódica del sistema inicialmente presentado en esta sección,
con periodo 𝑇 > 0
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
72
�̅� = 1
𝑇∫ 𝑉(𝑡)𝑑𝑡 �̅� =
1
𝑇∫ 𝐻(𝑡)
𝑇
0
𝑇
0
Y teniendo en cuenta que toda solución V(t) y H(t) del sistema con V(0) y H(0), tiene la
propiedad de que V(t+T)= V(t) y H(t+T) = H(t)
Queda que:
�̅� =5023585 + 𝑠
0,008753 �̅� =
5739307 − 𝑠
1,14
Con 5739307 − 𝑠 > 0, s refleja la intensidad en que las vacas son tomadas como alimento,
es decir, la intensidad con que mueren en manos de los frigoríficos.
Este resultado indica que un nivel moderado de matanza de vacas debe ser con 𝑠 <
5739307 y así se incrementa la cantidad de vacas, en promedio, al igual que disminuye la
cantidad de humanos. Recíprocamente, un nivel bajo de s, incrementa el números de
humanos y disminuye el número de vacas comestibles.
Nota: Se acaba de utilizar el Modelo de Volterra. Hay que tener en cuenta que este modelo
no es aceptado por muchos biólogos y ecologistas, subrayando que el hecho de que en la
mayoría de los sistemas Presa-depredador que se observan, no ocurre lo predicho en este
modelo.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
73
4-2) ARGENTINA ALCANZÓ SU TASA DE NATALIDAD MÁS BAJA DE LA HISTORIA 1 2
Un estudio del Unfpa reveló que el país tiene un promedio de 2,4 hijos por mujer, lo que muestra una reducción en los nacimientos. Esta disminución más la extensión de la esperanza de vida conforman una pirámide poblacional invertida
Las mujeres argentinas quieren tener cada vez menos hijos, según un informe del Fondo de Población de las Naciones Unidas (Unfpa) que reveló que en la actualidad el país tiene una tasa de natalidad de 2,4 hijos, la tasa más baja de la historia.
Esta cifra era de 7 descendientes por mujer en 1895, en 1914 disminuyó a 5,3, y en la década del 50 rondaba los 3,2. En los 90 ese número siguió cayendo a 2,8, alcanzando su menor índice en la última medición.
Este descenso en los nacimientos, sumado a la extensión de la esperanza de vida, está dando lugar a una pirámide poblacional que presentan una base cada vez más estrecha y una cima más ancha.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
74
En la ciudad de Buenos Aires esa cifra es menor que en el promedio nacional, con 1,9 hijos por mujer. Este dato se relaciona con el hecho de que en el país la fecundidad todavía está asociada con el nivel socioeconómico.
De acuerdo con el estudio, el 39% de las mujeres de hogares no pobres no tiene hijos, y entre quienes son madres, el 84% tiene entre uno y tres hijos, y sólo el 16% tiene más de cuatro.
Tasa de mortalidad infantil: total: 10,81 muertes/1.000 nacimientos hombres: 12,08 muertes/1.000 nacimientos mujeres: 9,48 muertes/1.000 nacimientos
Definición: Esta variable da el número de muertes de niños menores de un año de edad en
un año determinado por cada 1000 niños nacidos vivos en el mismo año. Se incluye la tasa
de mortalidad total, y las muertes por género, masculino y femenino. Esta tasa se utiliza a
menudo como un indicador del nivel de salud de un país.
(Fuente: CIA World Factbook - A menos que sea indicado, toda la información en esta sección es correcta hasta el 11 de marzo de 2011)
Año Tasa de mortalidad infantil Posición Cambio Porcentual Fecha de la Información
2003 16,16 135
2003 est.
2004 15,18 134 -6,06 % 2004 est.
2005 15,18 133 0,00 % 2005 est.
2006 14,73 133 -2,96 % 2006 est.
2007 14,29 134 -2,99 % 2007 est.
2008 11,78 146 -17,56 % 2008 est.
2009 11,44 148 -2,89 % 2009 est.
2010 11,11 147 -2,88 % 2010 est.
2011 10,81 145 -2,70 % 2011 est.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
75
5) Aclaraciones
“En este capítulo se encontrarán las anotaciones necesarias para continuar con la lectura
del presente trabajo.”
*1) Se entiende por coeficientes vitales de la población a
𝑎 = (𝑎1 − 𝑏0) y b = 𝑎0
Donde 𝑎1 es la cantidad de nacimiento por unidad de población en p(t) = 0 , y 𝑎0 =𝑎1
𝑝(𝑡1) que
es la cantidad proveniente del cociente entre la cantidad de nacimientos por unidad de
población en p(t) = 0 y la cantidad de población en un tiempo t = t1. Y b0 es el número
constante de muertes por unidad de población por unidad de tiempo.
Gráficamente:
Muertes respecto a la población
(G- A-1)
B(𝑝𝑡)
b0 B(𝑝𝑡)= b0
𝑝(𝑡)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
76
Nacimientos respecto a la población
(G-A-2)
A(𝑝𝑡)
𝑎1 A(𝑝𝑡)=𝑎1 − 𝑎0𝑝(𝑡)
I 𝑝(𝑡)
𝑎0
Al decir que 𝑎0 =𝑎1
𝑝(𝑡1) se ve que 𝑎0 será nula en el único caso de que 𝑎1 sea igual a cero, ya
que p(t), matemáticamente, no puede ser cero, ya que no tiene sentido dividir por cero, y
además, biológicamente hablando (en lo que se refiere a poblaciones) si 𝑎1 es igual a cero
estamos diciendo que la cantidad de nacimientos por unidad de población por unidad de
tiempo es nula, lo que tampoco tendría sentido analizar, ya que la población estudiada no
tendría cambios en su población (respecto a través del tiempo, salvo que solo los
integrantes estén muriendo y así desaparecería la población)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
77
Teniendo en cuenta que 𝑑𝑃
𝑑𝑡= [𝐴(𝑡) − 𝐵(𝑡)]. 𝑃(𝑡) , que representa el cambio de la población,
se llega a encontrar los coeficientes que aparecen en la ecuación diferencial logística, de la
siguiente manera:
nota: se entiende que como la función A(p(t)) depende de la población, y a su vez ésta
función depende del tiempo, podemos pensar a A(p(t)) en función del tiempo y queda A(t).
De manera análoga pensamos en B(t).
𝑑𝑃
𝑑𝑡= [𝐴(𝑡) − 𝐵(𝑡)]𝑝(𝑡)
𝑑𝑃
𝑑𝑡= [𝑎1 − 𝑎0𝑝(𝑡) − 𝑏0]𝑝(𝑡)
𝑑𝑃
𝑑𝑡= (𝑎1 − 𝑏0)𝑝(𝑡) − 𝑎0𝑝(𝑡)
2
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝(𝑡) − 𝑏𝑝(𝑡)
2
Donde 𝑎 = (𝑎1 − 𝑏0) y 𝑏 = 𝑎0 son los coeficientes vitales de la población.
*2) Si 𝑎 > 0 → 𝑎1 − 𝑏0 > 0 entonces 𝑎1 > 𝑏0, es decir la cantidad de nacimientos por
unidad de población por unidad de tiempo es mayor a la cantidad de muertes por unidad de
población por unidad de tiempo. ¿Pero qué ocurre si 𝑎 < 0? En este caso 𝑎1 < 𝑏0y claro que
ocurriría lo contrario a lo anteriormente mencionado, y el camino sería (si b>0)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
78
𝑑𝑃
𝑑𝑡= −(𝑎𝑝(𝑡) + 𝑏𝑝(𝑡)
2 )
donde resolviendo:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= −𝑝(𝑡)(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡))
∫𝑑𝑃
𝑝(𝑡)(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡))= ∫−𝑑𝑡
Calculo Auxiliar:
∫𝑑𝑃
𝑝(𝑡)(𝑎+𝑏𝑝(𝑡))= ∫
𝑥
𝑝(𝑡)𝑑𝑃 + ∫
𝑦
𝑎+𝑏𝑝(𝑡)𝑑𝑃 con x e Y constantes.
∫𝑑𝑃
𝑝(𝑡)(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡))= ∫ [
𝑥(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑝(𝑡)(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡))] 𝑑𝑝
De aquí: 1= 𝑥(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)) + 𝑦𝑝(𝑡), luego si 𝑝(𝑡) = 0 → 1 = 𝑥𝑎 → 𝑥 =1
𝑎 y si 𝑝(𝑡) =
−𝑎
𝑏→ 1 =
𝑦 (−𝑎
𝑏) → 𝑦 =
−𝑏
𝑎, siguiendo con la integral se llega a:
∫𝑑𝑃
𝑝(𝑡)(𝑎+𝑏𝑝(𝑡))= ∫
𝑥
𝑝(𝑡)𝑑𝑃 + ∫
𝑦
𝑎+𝑏𝑝(𝑡)𝑑𝑃 = ∫
1
𝑎𝑝(𝑡)𝑑𝑃 + ∫
−𝑏
𝑎(𝑎+𝑏𝑝(𝑡))𝑑𝑃
∫𝑑𝑃
𝑝(𝑡)(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡))=ln (𝑝(𝑡))
𝑎−ln(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡))
𝑎=1
𝑎𝑙𝑛 |
𝑝(𝑡)
𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)|
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
79
La igualdad
∫𝑑𝑃
𝑝(𝑡)(𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡))= ∫−𝑑𝑡
Queda:
1
𝑎𝑙𝑛 |
𝑝(𝑡)
𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)| = −𝑡 + 𝑐
Con c constante. Luego despejando 𝑝(𝑡):
𝑒−𝑎𝑡+𝑎𝑐 = |𝑝(𝑡)
𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)|
Con 𝑞 = 𝑒𝑎𝑐 y como se está analizando cuando 𝑎 < 0, entonces – 𝑎 > 0,
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 = −𝑎.
Por un lado queda:
𝑒−𝑎𝑡+𝑎𝑐 =𝑝(𝑡)
𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)
Despejando:
𝑝(𝑡) =𝑎𝑞𝑒𝑘𝑡
1 − 𝑏𝑞𝑒𝑘𝑡
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
80
Se llega a que:
𝑝(𝑡) =𝑎𝑞
𝑒−𝑘𝑡 − 𝑏𝑞
A continuación se ven los gráficos de algunos casos cuando
a < 0, 𝑏 > 0,−𝑎 = 𝑘, 𝑞 = eac, c < 0:
Por ejemplo: si a = −1, b = 1, k = 1, c = −10 y q = eac, calculando con excel p(t)
(G-A-3)
0,99995
1
1,00005
1,0001
1,00015
1,0002
1,00025
1,0003
1,00035
1,0004
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
81
Pero si solo se cambia el valor de c por -2, queda:
(G-A-4)
Y si ahora c=-0,1, queda:
(G-A-5)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
-2
0
2
4
6
8
10
12
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
82
Ahora se ven los gráficos de algunos casos cuando a < 0, 𝑏 > 0,−𝑎 = 𝑘,
q = eac, con c = 0 y para c > 0.
Por ejemplo: si a = −1, b = 1, k = 1, c = 0 y q = eac, calculando con excel p(t)
(G-A-6)
Y si c=0,1 , queda:
(G-A-7)
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-10 0 10 20 30
P(t)
P(t)
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-10 0 10 20 30
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
83
Y con c=2, queda:
(G-A-8)
Finalmente, que ocurre con c=10
(G-A-9)
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
84
Regresando, por otro lado:
𝑒−𝑎𝑡+𝑎𝑐 = |𝑝(𝑡)
𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)|
Queda:
−𝑒−𝑎𝑡+𝑎𝑐 =𝑝(𝑡)
𝑎 + 𝑏𝑝(𝑡)
Despejando nuevamente:
𝑝(𝑡) =𝑘𝑞𝑒𝑘𝑡
1 + 𝑏𝑞𝑒𝑘𝑡
𝑝(𝑡) =𝑘𝑞
𝑒−𝑘𝑡 + 𝑏𝑞
Y de esta manera, (teniendo en cuenta el último despeje de 𝑝(𝑡), aquí se ven los gráficos de
algunos casos cuando 𝑎 < 0, 𝑏 > 0,−𝑎 = 𝑘, 𝑞 = 𝑒𝑎𝑐, 𝑐 < 0:
Por ejemplo: 𝑠𝑖 𝑎 = −1, 𝑏 = 1, 𝑘 = 1, 𝑐 = −10 𝑦 𝑞 = 𝑒𝑎𝑐 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑙 𝑝(𝑡)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
85
(G-A-10)
Con c =-2
(G-A-11)
0,9996
0,99965
0,9997
0,99975
0,9998
0,99985
0,9999
0,99995
1
1,00005
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
86
Con c= -0,1
(G-A-12)
Con c=0
(G-A-13)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
87
Con c=0,1
(G-A-14)
Con c =2
(G-A-15)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
88
Con c=10
(G-A-16)
En los gráficos anteriores se ve que cuando
𝑝(𝑡) =𝑎𝑞
𝑒−𝑘𝑡 − 𝑏𝑞
No importa el valor de c (recordar que este valor proviene de realizar la integral, y que se
podría obtener utilizando el dato de la población inicial) lo que resulta poco coherente para
el estudio del comportamiento logístico.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-5 0 5 10 15 20 25
P(t)
P(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
89
En cambio cuando
𝑝(𝑡) =𝑘𝑞
𝑒−𝑘𝑡 + 𝑏𝑞
El gráfico tiende a la forma que representa a la función logística, pero ocurre que en esta
ecuación no aparece, como dato a utilizar, ni la constante de integración c ni la población
inicial p(0) en un tiempo t determinado.
Además si la población inicial fuese cero, entonces q debería valer cero, pero esto no es
posible ya que q>0 por ser q = ecq, y además, como 𝑘 = −𝑎 𝑦 𝑎 < 0 → 𝑘 > 0.
Ambas soluciones (aunque similares, no son iguales a la forma de la función logística)
presentan otras situaciones, diferentes (quizá sirvan de modelos matemáticos que
describan alguna situación, cercana a la realidad), pero escapan al actual trabajo, aunque es
interesante destacar que ambas soluciones al estudiar su límite con t→∞, nos muestra que
𝑝(𝑡)→𝑘
𝑏> 0, dato interesante si recordamos que en la función logística
𝑎
𝑏= 𝑀 es el valor
máximo de la población a estudiar, y teniendo en cuenta que en esta oportunidad 𝑘 = −𝑎 >
0 (sin dejar de lado lo que ocurriría si 𝑎 < 0 𝑦 𝑏 < 0)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
90
*3) Partiendo de
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝2
∫𝑑𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)= ∫𝑑𝑡
Calculo auxiliar: con A y B reales
∫𝑑𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)= ∫
𝐴
𝑝𝑑𝑝 + ∫
𝐵
𝑎 − 𝑏𝑝𝑑𝑝
∫𝑑𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)= ∫
𝐴(𝑎 − 𝑏𝑝) + 𝐵𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝) 𝑑𝑝
Entonces igualando numeradores:
1 = 𝐴(𝑎 − 𝑏𝑝) + 𝐵𝑝
Donde, si 𝑝 = 0 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝐴 =1
𝑎 𝑦 𝑠𝑖 𝑝 =
𝑎
𝑏 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝐵 =
𝑏
𝑎
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
91
Y así la integral
∫𝑑𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)= ∫
1
𝑎𝑝𝑑𝑝 + ∫
𝑏
𝑎(𝑎 − 𝑏𝑝)𝑑𝑝
∫𝑑𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)=1
𝑎𝑙𝑛|𝑝| +
𝑏
𝑎
𝑙𝑛|𝑎 − 𝑏𝑝|
(−𝑏)
∫𝑑𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)=1
𝑎𝑙𝑛 |
𝑝
𝑎 − 𝑏𝑝|
Y así la igualdad:
∫𝑑𝑝
𝑝(𝑎 − 𝑏𝑝)= ∫𝑑𝑡
1
𝑎𝑙𝑛 |
𝑝
𝑎 − 𝑏𝑝| = 𝑡 + 𝑐
Con c perteneciente a los reales.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
92
Luego, despejamos p:
𝑙𝑛 |𝑝
𝑎 − 𝑏𝑝| = 𝑎𝑡 + 𝑎𝑐
𝑒𝑎𝑡+𝑎𝑐 =𝑝
𝑎 − 𝑏𝑝
Si 𝑒𝑎𝑐 = 𝑘 → 𝑘𝑒𝑎𝑡 =𝑝
𝑎−𝑏𝑝. Como en esta clase de situaciones podemos considerar una
población inicial po en el tiempo t=0, sustituyendo, queda:
𝑘𝑒𝑎.0 =𝑝0
𝑎 − 𝑏𝑝0→ 𝑘 =
𝑝0𝑎 − 𝑏𝑝0
Luego como 𝑘𝑒𝑎𝑡 =𝑝
𝑎−𝑏𝑝 queda:
𝑝0𝑎 − 𝑏𝑝0
𝑒𝑎𝑡 =𝑝
𝑎 − 𝑏𝑝
Despejando P:
𝑝0𝑒𝑎𝑡
𝑎 − 𝑏𝑝0(𝑎 − 𝑏𝑝) = 𝑝
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
93
𝑝0𝑒𝑎𝑡
𝑎 − 𝑏𝑝0𝑎 −
𝑝0𝑒𝑎𝑡
𝑎 − 𝑏𝑝0𝑏𝑝 = 𝑝
Entonces:
𝑝0𝑒𝑎𝑡
𝑎 − 𝑏𝑝0𝑎 = 𝑝 +
𝑝0𝑒𝑎𝑡
𝑎 − 𝑏𝑝0𝑏𝑝 = 𝑝(1 +
𝑝0𝑒𝑎𝑡
𝑎 − 𝑏𝑝0𝑏)
𝑎𝑝0𝑒𝑎𝑡
(𝑎 − 𝑏𝑝0)(1 +𝑝0𝑒𝑎𝑡
𝑎 − 𝑏𝑝0𝑏)= 𝑝
Realizando la distributiva en el denominador, dividiendo (numerador y denominador) por
𝑒𝑎𝑡 y reacomodando términos, queda p en función de t, que es a lo que se quería llegar:
𝑃(𝑡) =𝑎𝑝0
𝑏𝑝0 + (𝑎 − 𝑏𝑝0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0)
Donde to es el tiempo inicial que se considera.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
94
*4) Partiendo nuevamente de:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝2
Se puede pensar de la siguiente manera:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑏𝑝(
𝑎
𝑏− 𝑝)
Si se considera que M = 𝑎
𝑏 es la capacidad máxima, según distintas condiciones, la ecuación
logística queda expresada como:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑏𝑝(𝑀 − 𝑝)
*5) de la misma manera se puede expresar la función logística. Se llega dividiendo
numerador y denominador por la constante vital b:
𝑃(𝑡) =
𝑎𝑏𝑝0
𝑏𝑝0𝑏+ (𝑎 − 𝑏𝑝0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0)
𝑏
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
95
𝑃(𝑡) =𝑀𝑝0
𝑝0 + (𝑀 − 𝑝0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0)
*6) El Biólogo Italiano Umberto D´Ancona, quién investigaba porqué aumento
notablemente el número de tiburones capturados en el Mediterráneo durante la primera
guerra mundial, se dirigió a Vito Volterra con una inquietud: crear un modelo matemático
del crecimiento de los selacios y sus presas, y de los peces comestibles, y que dicho modelo
diera una respuesta a su interrogante.
Vito Volterra, Italiano, físico y matemático, cuya investigación se extiende desde el análisis
funcional a las ecuaciones integrales y diferenciales, desde la teoría de la elasticidad a la
biología matemática. Volterra inicio el análisis de la situación, separando los animales en
dos poblaciones: las presas y los depredadores. Donde los peces comestibles no compiten
muy intensamente entre sí por su alimento, ya que este es muy abundante y la población de
peces no es muy densa, por ello, en ausencia de los selacios, los peces comestibles crecerían
de acuerdo con la ley malthusiana de crecimiento de poblaciones, además tenía en cuenta,
el número de contactos por unidad de tiempo entre depredadores y presas, como también
que los depredadores tenían una tasa natural de decrecimiento, proporcional a su número,
y que su incremento tenía, también, una tasa proporcional a su número en ese momento
determinado y al suministro de alimentos y así armó el sistema:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
96
(A){
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎𝑥 − 𝑐𝑥𝑦 = 𝑥(𝑎 − 𝑐𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑏𝑦 + 𝑑𝑥𝑦 = 𝑦(−𝑏 + 𝑑𝑦)
Que describe la situación que le planteó D´Ancona a Volterra.
Pero es preciso mencionar que hay algunas interacciones de presa-depredador en la
naturaleza que no pueden ser modeladas por ningún sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Tales como ocurre cuando la presa dispone de un refugio que no es accesible a
los depredadores.
*7) Aquí será de esperar una lucha muy intensa por la sobrevivencia entre las especies P1 y
P2, que tendrá como resultado la extinción de una de las especies. A continuación se
muestra que efectivamente esto sucede:
“Principio de exclusión competitiva”
Suponiendo que 𝑀1 > 𝑀2. Entonces toda solución del sistema (C) tiende a la solución de
equilibrio 𝑃1 = 𝑀1𝑃2 = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 → ∞. Dicho de otro modo, si las especies 1 y 2 son casi
idénticas y el microcosmos puede albergar mas miembros de la especie 1 que de la 2, esta
última se extinguirá.
Para entender su demostración primero se debe señalar que 𝑃1 𝑦 𝑃2 no pueden tomar
valores negativos. Una solución del sistema es:
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
97
𝑃1(𝑡) =𝑀1𝑝1(0)
𝑝1(0) + (𝑀1−𝑝1(0))𝑒−𝑎1𝑡 𝑃2(𝑡) = 0
Y además que todas las soluciones del sistema que están en el primer cuadrante deben
permanecer en ese cuadrante. Luego dividiendo el primer cuadrante en regiones en las que
tanto 𝑑𝑃1
𝑑𝑡 𝑦
𝑑𝑃2
𝑑𝑡 tengan signos fijos. Eso se logra de la siguiente manera. Sean L1 y L2
(Paralelas) las rectas 𝑀1 − 𝑃1 − 𝑃2 = 0 y 𝑀2 − 𝑃1 − 𝑃2 = 0 respectivamente se observa
gráficamente:
P2 (G-A-17)
M1
L1 III
𝑃1` < 0
M2 II 𝑃2` < 0
I L2 𝑃1` > 0 𝑃2` < 0
𝑃1` > 0, 𝑃2 > 0
M2 M1 P1
Analizando se observa que:
- Toda solución del sistema que empieza en la región I en t=t0, debe salir de dicha
región en algún tiempo futuro.
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
98
- Toda solución del sistema que empieza en la región II en t=t0 permanecerá en dicha
región para todo tiempo futuro t ≥ t0 y tenderá a la solución de equilibrio P1=M1 ,
P2=0.
- Toda solución del sistema que empieza en la región III para t =t0 y permanecerá en
ella para todo tiempo futuro, tiende a la solución de equilibrio P1=M1, P2=0 cuando t
tiende a infinito
(Las demostraciones correspondientes al análisis anterior se pueden encontrar en
Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones de M Braun)
Lo anteriormente analizado nos hace notar que cualquier solución del sistema que
comienza en L1 o L2 entra inmediatamente a la región II. Por ultimo si la solución del
sistema sale de la región III, debe entonces cruzar la recta L1 y entrar inmediatamente
después a la región II. El segundo punto del análisis implica entonces que dicha solución
tiende a la solución de equilibrio P1=M1 , P2=0.
El principio de exclusión competitiva trata el caso de especies idénticas, es decir, α=β=1
siendo M2=αP2 y M1=βP1, dichas constantes indican la influencia de una especie sobre la
otra. Mediante un análisis similar se puede predecir el resultado de la lucha por la
sobrevivencia para cualquier valor de α y β.
*8) Se tendrá en cuenta el supuesto de que la enfermedad que se está considerando
confiere inmunidad permanente a cualquier individuo que se haya recuperado
completamente de ella, y que su periodo de incubación es muy breve. Esta última
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
99
suposición implica que un individuo que contrae la enfermedad se convierte
inmediatamente en agente de contagio.. En tal caso es posible dividir la población en tres
clases de individuos: La clase infectada (I), la clase susceptible (S) y la clase de retirada. La
clase infectada la constituyen aquellos individuas que están en condiciones de transmitir la
enfermedad a otros. La clase susceptible está formada por los individuos que no son
agentes de infección pero que están en condiciones de adquirir la enfermedad y volverse
infecciosos. A la clase de retirada la forman los individuos que adquirieron la enfermedad y
murieron, los que se han recuperado y son inmunes permanentes, y los que fueron aislados
hasta su recuperación y adquisición de inmunidad permanente.
*9) Las primeras dos ecuaciones de (E) no depende de R. De modo que se considera
solamente el sistema de ecuaciones
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝑎𝑆𝐼
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝑎𝑆𝐼 − 𝑏𝐼 *
Para las dos funciones desconocidas S(t) e I(t) una vez que se conocen los valores S(t) e I(t), es
posible resolver para R(t) en la tercera ecuación de (E). Otra manera de verlo es
observando que 𝑑(𝑆+𝐼+𝑅)
𝑑𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑃 y así se llega a que:
𝑅(𝑡) = 𝑃 − 𝑆(𝑡) − 𝐼(𝑡)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
100
*10) Para analizar el comportamiento de la curva (7), se calcula 𝐼´(𝑠) = −1 +𝑐
𝑆. La cantidad
−1 +𝑐
𝑆 es negativa para S > c y positiva para S < c. Por lo tanto 𝐼(𝑠)es función creciente de S
para S < c y una función decreciente para S > c.
Observar además que I(0)=-∞ e I(s0)=I0 > 0. Por consiguiente existe un único punto S∞, con
0 < S∞ < S0 , tal que I(S∞) = 0 e 𝐼(𝑠)>0 para S∞ < S < S0. El punto (S∞;0) es un punto de
equilibrio de * ya que tanto dS/dt como dI/dt se anulan cuando I = 0. Así que las orbitas de
* para t0 < t < ∞ tiene la forma que se indica a continuación:
I (G-A-18)
(S0;I0)
c S
Ahora se analizarán las aplicaciones de estos resultados sobre la desimanación de una
enfermedad en una población. Conforme a t transcurre de t0 a∞ el punto (S(t);I(t)) se mueve
a lo largo de la curva (7) y lo hace en la dirección de que la S es decreciente, ya que S(t)
Crecimiento poblacional en Marcos Paz 2012
101
decrece momentáneamente con el tiempo. Por consiguiente, si S0 es menor que c, entonces
I(t) decrece momentáneamente a cero y S(t) decrece momentáneamente a S∞. Así pues si se
incluye un pequeño grupo de infecciosos I0 en un grupo de susceptibles S0, con S0 < c ,
entonces la enfermedad desaparecerá rápidamente. Por otro lado, si S0 > c, entonces I(t)
crece mientras S(t) decrece hasta el valor de c, momento en el que I(t) alcanza el valor
máximo cuando S= c. I(t) empieza a decrecer solamente cuando el número de susceptibles
se encuentra por debajo del valor del umbral c.
*11) Teorema del Umbral en epidemiología : “ sea S0 = c + v y supóngase que v/c es muy
pequeño comparado con uno. Supóngase además que el número inicial de infecciosos I0 es
muy pequeño. Entonces, el número de individuos que finalmente contraen la enfermedad es
2v. Dicho de otro modo, el nivel de susceptibles de reduce a un nivel que dista (por abajo)
del valor de umbral en la misma proporción que éste distaba del número inicial de
susceptibles. (Donde al tender t a infinito en (7) queda S0 - S∞ = 2v )
Durante el curso de una epidemia es imposible decir con exactitud el número de nuevos
infecciosos por día o semanas, ya que solamente aquellos infecciosos que buscan ayuda
médica son los únicos que pueden ser reconocidos y retirados de la circulación. Así pues, las
estadísticas de salud publica registran solo el número de nuevos retirados por día o
semana, no el número de infecciosos. Por lo tanto, para comparar los resultados predichos
por el modelo con los valores de la epidemia real, es necesario encontrar la cantidad dR/dt
como función del tiempo (el procedimiento se puede encontrar en los libros de ecuaciones
diferenciales y matemática aplicadas):
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𝑑𝑅
𝑑𝑡=𝑏𝑑2𝑐2
2𝑆0𝑠𝑒𝑐ℎ2 (
𝑑𝑏𝑡
2− 𝜃)
Esta ecuación (donde b, c, y d son constantes) define una curva simétrica con forma de
campana en el plano t-𝑑𝑅
𝑑𝑡. Dicha grafica se conoce como curva epidémica de la enfermedad,
e ilustra muy bien la observación común de que en muchas epidemias reales, el número de
nuevos casos reportados cada día aumenta hasta alcanzar un valor máximo, para disminuir
después nuevamente.
(G-A-19)
𝑑𝑅
𝑑𝑡 .. . . .
. . . .
. . .
…. .
…. … . . ….. .. . .
2𝜃
𝑑𝑏 t
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Bibliografía y Recursos Informáticos
- “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera”. Autores: Edwards
C. Henry y Penney David E. Editorial: PEARSON PRENTICE HALL (cuarta edición),
2009.
- “Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones”. Autor: M. Braun. Editorial: Grupo
Editorial Iberoamérica. Traductor: Dr. Ignacio Barradas Bridiesca, 1990
- “El Origen de las especies”. Autor: Charles Darwin. Editorial: ALBA, 1998 (Propiedad
de editorial LIBSA S.A). Traductor: A. López White.
- “Ensayo sobre principio de población”. Autor: Thomas R. Malthus. Editorial: Claridad
S.A., 2007.
- “Essential Mathematical Biology”. Autor: N.F. Britton. Editorial: Springer, Londres
2003.
- “Funciones elementales para construir modelos matemáticos” Autora: Magister
Mónica Bocco. Colección: Las ciencias naturales y la matemática, 2010.
- “Las matemáticas de la vida”. Autor: Ian Stewart. Editorial: Critica (Barcelona), 2011.
- “Métodos cualitativos en ecuaciones diferenciales”. PDF (Apunte universitario)
- “Revista de divulgación matemática del departamento de matematicos de la
Universidad Autónoma de Barcelona”. www.uab.cat/matmat (última consulta:
22/06/2011 a las 16:52 hs). Volumen 2006, nº17, pag 24. ISSN: 1887-10097.
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- “Tesis, tesinas, monografías e informes”. Autora: Mirta Botta. Editorial: Biblos
Metodologías, 2007.
- “The refractory Model: The logistic curve and the history of population ecology”.
Autora: Sharon Kingsland. Department of the history of Science, The Johns Hopkins
University, Baltimore, Maryland 21218 USA. Traducción propia con el asesoramiento
de la Licenciada Adriana Massimo en la cátedra de Ingles IV.
Dedico este trabajo a mis 4 sobrinos (Julieta, Lucas, Micaela y Milagros) Quienes alimentan mi alma.
“Imagino un lugar mejor, quiero hacerlo realidad para ustedes” Bravo Silvio Damian