PRACTICACrecimiento Poblacional Logístico

I. Introducción Malthus, ya a fines del siglo XVIII, planteó el modelo de crecimiento exponencial precedente y concluyó que, como la población aumentaba geométricamente y los recursos sólo aritméticamente, había un límite natural al crecimiento de la población (Malthus, 1798). Medio siglo después, Darwin creó el concepto Severe Struggle for Existence para explicar este fenómeno. Es decir, en condiciones ideales una población debía crecer exponencialmente, pero la existencia de otras especies y lo limitado de los recursos, generaba en ellas una severa competencia que llamó “lucha por la existencia”. No todas las especies estaban igualmente capacitadas, y creó el concepto de aptitud de adaptación (fitness) para expresar la calidad de la relación entre cada organismo y su ambiente (conjunto de todos los factores externos que pueden influenciar a los organismos durante su vida). Esta medida de la calidad de relación entre el organismo y su ambiente estaba determinada por factores tales como: fertilidad, habilidad para conseguir alimento, habilidad para evitar peligros, etc. Darwin, además postuló que estas características, ese fitness, eran hereditarias, transmitiéndose a los descendientes, de generación en generación. Luego, si los individuos de una población tienen más fitness que los individuos de otra población, los primeros podrían aumentar su número más rápidamente, teniendo una mejor oportunidad para sobrevivir y procrear individuos como ellos; habría así una selección natural de los organismos. La objeción a la ecuación de crecimiento exponencial es que, para r>0, la población se incrementa explosivamente, mientras que

si r<0 la población decrece hacia la extinción, fluctuando alrededor de un valor finito, si r=0; pero es evidente que nuca alcanza valores infinitos. Usualmente se denomina resistencia ambiental al conjunto de factores ambientales que limitan el crecimiento de una población (reducción en la tasa de natalidad, incremento en la tasa de mortalidad). El tamaño máximo (expresado en individuos, biomasa, energía, etc.) de una población permitido por un cierto ambiente se conoce como capacidad de carga de ese ambiente. La capacidad de carga varía, no sólo en función de las variables ambientales, sino también con relación a los atributos de la población considerada. Representando este tamaño máximo por K (corresponde a la N máxima para un ambiente dado), se deduce el modelo logístico básico, en el que se establece una tasa de crecimiento poblacional en función de la densidad de la población, es decir, F(N)= dN/dt = r(N)N, siendo r(N) = ro

(1-N/K); esto genera la ecuación logística, que se expresa como dN/dt = roN[1-(N/K)]. La relación anterior puede descomponerse de la siguiente manera, dN/dt = ro N-(ro /K)N2 = ro N-bN2 ; como se observa, el lado derecho de la ecuación está formado por dos términos: el primero, r0 N, que representa la tendencia de la población a crecer exponencialmente a una tasa r0 , y el término bN2 , cuyo papel es reflejar la reducción poblacional causada por conflictos entre individuos de la misma especie (efecto competencia). La figura 1 ilustra la relación entre el potencial biótico, la curva de crecimiento exponencial, logístico y la resistencia ambiental (Boughey, 1973).

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La relación entre población, tasa neta de cambio poblacional, nacimientos y competencia, se ilustra en la figura 3

Figura 2: Esquema Causal del Modelo Logístico

El esquema causal de la figura 2 muestra las relaciones entre los elementos que definen el modelo logístico, interpretado desde el punto de vista de dinámica de sistemas. Dicho esquema se compone de dos lazos, uno positivo (el aumento en población hace que aumenten los nacimientos, lo que a su vez incrementa la tasa neta de cambio poblacional), que representa la tendencia que tiene la población a crecer exponencialmente, y otro lazo negativo (el aumento en población hace que aumente la competencia, lo cual reduce la tasa neta de cambio poblacional, disminuyendo el nivel de la población), que refleja los efectos que frenan el crecimiento, debidos a la competencia entre los componentes de la población. En la ecuación exponencial, r es un parámetro independiente del tamaño de la población, distinto para cada población y situación considerada; en este contexto r se denomina parámetro malthusiano, y su valor máximo (ro ), en una población dada, se conoce como potencial biótico de esa población. En la familia de funciones determinadas por la

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ecuación Nt = No eπ, la única variable independiente es t, (No y r son parámetros); esta ecuación está definida sólo para una población con una estructura estable por edades, con tasas de natalidad y mortalidad constantes. Cuando r se hace dependiente del tamaño de la población (y por tanto del tiempo) su valor cambia con las fluctuaciones de la población. De manera que r toma el valor r(t) en el intervalo (t; t+dt) y esto define la ecuación logística. El razonamiento que sustenta esta ecuación es simple: la población se incrementa, pero a medida que aumenta la densidad poblacional, disminuye la tasa de crecimiento hasta detenerse al llegar a una densidad máxima definida. Ahora, en el modelo logístico, la tasa de crecimiento exponencial r, ha sido reemplazada por (r-bN), una función lineal de N, siendo b el parámetro que expresa en qué grado la densidad poblacional hace disminuir la tasa de crecimiento de la población. Cuando esta tasa de crecimiento se hace cero, la población cesa de crecer y el tamaño N de la población representa la capacidad de carga del ambiente (N = K). El modelo logístico se basa en los siguientes supuestos: (1) La población tiene una estructura estable por edades. (2)La tasa de variación (dN/dt) decrece en una cantidad constante y en forma instantánea. (3) El ambiente no se modifica y la capacidad de carga K es constante. (4) La congestión afecta igualmente a todos los individuos.

Este modelo de crecimiento puede plantearse de varias maneras:

1. Definiendo la ley logística de crecimiento, como se ve en la figura 4 (Véase Anexo 2, Modelo 2):

2. Formulando relaciones empíricas, basadas en datos de poblaciones específicas, en las que se definen las tasas de crecimiento o decrecimiento en función de la densidad poblacional; por ejemplo, puede definirse la fracción de mortalidad como una función directa del tamaño poblacional: m= f(N), f’> 0; el punto en el cual la fracción de decrecimiento supera a la fracción de crecimiento, se denomina punto de inflexión de la curva (punto en el que se produce el máximo crecimiento neto); allí, el proceso de feedback positivo asociado con el crecimiento de la población, comienza a perder su dominancia, a favor del proceso de feedback

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negativo relacionado con el decrecimiento poblacional; la población continúa creciendo, pero a una tasa neta menor y cada vez más baja, hasta que se detiene en el estado estacionario (punto en el que N=K).

Figura 3: Modelo de crecimiento logístico. (Parámetros: K=100.000; r=0.03; No=1000; t=300)

Especificando relaciones causales entre la población y el sustrato alimenticio (la tasa de crecimiento depende directamente de los recursos disponibles para la población). Suponiendo que la tasa de reproducción r es proporcional a la concentración de nutrientes o alimento C, (r=kC), y que el incremento de la población en una unidad requiere el consumo de b unidades de nutriente, entonces el sistema población-nutriente puede representarse por el siguiente par de ecuaciones, representadas en la figura 4:

Ecuación de la población: dN/dt = rNt = kCNt

Ecuación del nutriente: dC/dt = -b(dN/dt) = -bkCNt

Se deduce entonces la ley de crecimiento poblacional siguiente Nt =K/[1+((K/No )-1)]e-rt, siendo No la población inicial; r=(kCo ), la tasa intrínseca de crecimiento; y K=(Co /b),

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la capacidad de carga (concentración inicial de alimento por el rendimiento). Así, el supuesto anterior equivale a formular la tasa de reproducción en función de la densidad poblacional, siendo r(N)=k(Co -bNt ) (Edelstein, 1988).

El patrón del modelo logístico exhibe una transición suave desde el estado de crecimiento al estado estacionario, punto en el cual cesa el crecimiento. En muchos sistemas no se verifica esa transición suave; por ejemplo, las semillas plantadas en suelo arenoso crecen rápidamente al principio, pero luego se marchitan y mueren, debido a la escasez de agua y de nutrientes. En estos casos es necesario definir nuevos modelos, como el modelo de crecimiento con colapso y el modelo de crecimiento con oscilaciones.

a)Modelo de Crecimiento con Colapso: La fase de crecimiento de este modelo se asemeja al patrón de crecimiento del modelo logístico: hay un crecimiento rápido al inicio, seguido de un desaceleramiento a medida que el valor de la variable de estado se acerca a su nivel máximo; luego de alcanzar este máximo, se inicia la fase de decrecimiento y colapso, pues cambia la el dominio del estado de crecimiento al estado de decrecimiento. En la

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Figura 4: Modelo logístico con nutriente

figura 6, se da un ejemplo en el cual el crecimiento de la población (N) está condicionado por la disponibilidad de alimento (ALMN), que se va agotando a una tasa definida por el flujo (CONS); la fracción de mortalidad depende de esa disponibilidad de alimento (se trata de algún tipo de recurso no renovable: a medida que el recurso desaparece, el flujo de decrecimiento domina al flujo crecimiento). Como se ve en la figura 6, la curva de población crece hasta llegar a un máximo, para luego decrecer y colapsar, con el agotamiento del alimento.

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Figura 5: Modelo de crecimiento con colapso

Figura 6: Ejemplo de crecimiento con colapso

b)Modelo de Crecimiento con Oscilación

Muchos sistemas naturales tienen un patrón de crecimiento oscilatorio, que se ubica entre la estabilidad total del modelo logístico y la inestabilidad del modelo con colapso; ejemplos de ello es el movimiento del péndulo, los ciclos estaciónales, el comportamiento del sistema predador-presa. El movimiento oscilatorio viene causado por un patrón repetitivo de cambios en la dominancia de los flujos asociados con cada nivel, es decir, cuando a una estructura de crecimiento y colapso se le sobrepone una estructura que representa un recurso que puede renovarse rápidamente. Los movimientos oscilatorios pueden ser de tipo sostenido, convergente o divergente. En la figura 7, se presenta el diagrama que genera un patrón oscilante convergente, y los resultados de la simulación se ven en la figura 8.

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Figura 7: Modelo de crecimiento con oscilación

II. Materiales 1 cartulina con cuadricula de 4 x 4 cm (64

cuadrados) 1 marco de madera de 32x 32 cm de perímetro

interno 1 vaso de precipitación 150 frejoles

III. Procedimiento1. Coloque su marco sobre la cartulina y haga las

lanzadas dejando caer los frejoles del vaso de

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Figura 8: Ejemplo de crecimiento con oscilación

precipitación desde 30cm de altura (procure que todas las lanzadas sean semejantes)

2. Considere un organismo que se reproduce por bipartición y que la población se inicia a partir de 1 individuo

3. Las reglas de reproducción son las siguientes:a. Si cae un frijol aislado en un cuadro se

reproduce como se señalób. Si cae 2 frijoles en el mismo cuadro no se

reproducen pero persisten en la siguiente generación

c. Si cae 3 frijoles o más en un mismo cuadro todos ellos mueren y no aparecen en la siguiente generación

4. Registran los datos en una tabla5. Siga haciendo las lanzadas hasta que no haya un

aumento consistente de Nt

T (x) Nt M S A Nt+1 y0 1 0 1 1 2 3,791 2 0 2 2 4 3,062 4 0 4 4 8 2,323 8 0 8 8 16 1,534 16 0 16 10 26 0,595 26 3 23 15 38 -0,326 38 12 26 14 40 -1,717 40 13 27 21 48 -2,10

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8 48 17 31 19 50

9 50 15 35 15 50

10 50 25 25 13 38

IV.Análisis de resultados1. Calcule “k” como la media geométrica de las 5

últimas lanzadas

k= n√ x1 . x2 . x3 . x4 . x5 .…. xn

k= 5√50 .50 .48 .40 .38

k=44.9

2. Calcule el valor de :

y=ln( k−NtNt )3. Sustituya los parámetros “a” y “r” en la ecuación

Nt= k1+ea−rt

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V. CO

NCLUSIONES

El crecimiento de poblaciones es el cambio en el número de individuos dentro de una población todo esto depende del tiempo. Los factores que dependen son la densidad por unidad de tiempo.

El crecimiento poblacional se define como capacidad de carga como el número máximo de individuos que un medio determinado puede soportar

VI.BIBLIOGRAFIA

o Tratado de Ecología .Roger Dajoz ,2° EDICION .Ediciones Mundi-Prensa – 2002.

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Curva logística

Curva logística

Tiempo

Núm

ero

de in

divi

duos

o Ecología – el puente entre ciencia y sociedad, Odum – Sarmiento, McGraw – Hill Interamericana. México – 2001.

o http://www.youtube.com/watch?v=XyMcJ5M2qqQ

o http://www.slideshare.net/anselmosrl/crecimiento-poblacional

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