CredibilityTheory

ChristophChlubna

Credibility Theory

Christoph Chlubna

10. Januar 2012

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CredibilityTheory

ChristophChlubna

Gliederung

1 Was ist Credibility Theory

2 Das Problem der Risikobewertung

3 Das individuelle Risiko

4 Die verschiedenen Pramienarten

5 Die Risikofunktion

6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

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Gliederung

1 Was ist Credibility Theory

2 Das Problem der Risikobewertung

3 Das individuelle Risiko

4 Die verschiedenen Pramienarten

5 Die Risikofunktion

6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

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1 Was ist Credibility Theory

2 Das Problem der Risikobewertung

3 Das individuelle Risiko

4 Die verschiedenen Pramienarten

5 Die Risikofunktion

6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

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1 Was ist Credibility Theory

2 Das Problem der Risikobewertung

3 Das individuelle Risiko

4 Die verschiedenen Pramienarten

5 Die Risikofunktion

6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

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1 Was ist Credibility Theory

2 Das Problem der Risikobewertung

3 Das individuelle Risiko

4 Die verschiedenen Pramienarten

5 Die Risikofunktion

6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

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1 Was ist Credibility Theory

2 Das Problem der Risikobewertung

3 Das individuelle Risiko

4 Die verschiedenen Pramienarten

5 Die Risikofunktion

6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

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Gliederung

1 Was ist Credibility Theory

2 Das Problem der Risikobewertung

3 Das individuelle Risiko

4 Die verschiedenen Pramienarten

5 Die Risikofunktion

6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

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Was ist Credibility Theory

1 statistisches Verfahren

2 Bewertung von Versicherungsprodukten

3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos

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Was ist Credibility Theory

1 statistisches Verfahren

2 Bewertung von Versicherungsprodukten

3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos

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Was ist Credibility Theory

1 statistisches Verfahren

2 Bewertung von Versicherungsprodukten

3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos

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Was ist Credibility Theory

1 statistisches Verfahren

2 Bewertung von Versicherungsprodukten

3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos

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Das Problem der Risikobewertung

Die zugrunde liegende Aufgabe der Bewertung des Riskos besteht in der Bestimmungder sogenannten reinen Risikopramie Pi = E[Xi]. Dazu betrachten wir eineVersicherung mit einem Portfolio bestehend aus I versicherten Risiken miti = 1, 2, . . . , I . In einer wohldefinierten Versicherungsperiode erzeugt das Risiko i

1 eine Anzahl an Schaden Ni ,

2 mit den Schadenshohen Y(v)i (v = 1, 2, . . . ,Ni ),

3 welche zusammen den Gesamtschaden Xi =∑Ni

v=1 Y(v)i ergeben.

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Das Problem der Risikobewertung

Die zugrunde liegende Aufgabe der Bewertung des Riskos besteht in der Bestimmungder sogenannten reinen Risikopramie Pi = E[Xi]. Dazu betrachten wir eineVersicherung mit einem Portfolio bestehend aus I versicherten Risiken miti = 1, 2, . . . , I . In einer wohldefinierten Versicherungsperiode erzeugt das Risiko i

1 eine Anzahl an Schaden Ni ,

2 mit den Schadenshohen Y(v)i (v = 1, 2, . . . ,Ni ),

3 welche zusammen den Gesamtschaden Xi =∑Ni

v=1 Y(v)i ergeben.

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Individuelles Risiko

Das individuelle Risiko erzeugt Gesamtschaden Xj mit (j = 1, 2, . . . , n).Mit den Beobachtungen aus vergangenen Perioden X = (X1, . . . ,Xn) als Basis, wollenwir nun die Gesamtschaden fur zukunftige Perioden schatzen, zum Beispiel Xn+1.Hierzu mussen wir einige Standardannahme uber die Verteilungsfunktion derZufallsvariablen Xj treffen:

1 (Stationaritat) Alle X ′j s sind identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F (x).

2 (Bedingte Unabhangigkeit) Die stochastischen Großen Xj mit j = 1, 2, . . . , nsind bedingt unabhangig (mit Verteilung F (x)).

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Individuelles Risiko

Das individuelle Risiko erzeugt Gesamtschaden Xj mit (j = 1, 2, . . . , n).Mit den Beobachtungen aus vergangenen Perioden X = (X1, . . . ,Xn) als Basis, wollenwir nun die Gesamtschaden fur zukunftige Perioden schatzen, zum Beispiel Xn+1.Hierzu mussen wir einige Standardannahme uber die Verteilungsfunktion derZufallsvariablen Xj treffen:

1 (Stationaritat) Alle X ′j s sind identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F (x).

2 (Bedingte Unabhangigkeit) Die stochastischen Großen Xj mit j = 1, 2, . . . , nsind bedingt unabhangig (mit Verteilung F (x)).

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Individuelle Pramie

Definition:Die individuelle Pramie eines Risikos mit Risikoprofil θ ist gegeben durch

µ(θ) := P ind (θ) = E [Xn+1|θ].

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Individuelle Pramie

Definition:Die individuelle Pramie eines Risikos mit Risikoprofil θ ist gegeben durch

µ(θ) := P ind (θ) = E [Xn+1|θ].

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Kollektive Pramie

Definition:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs.

Definition:Die kollektive Pramie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch

µ0 := Pcoll =

∫Θµ(θ)dU(θ) = E [Xn+1].

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Kollektive Pramie

Definition:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs.

Definition:Die kollektive Pramie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch

µ0 := Pcoll =

∫Θµ(θ)dU(θ) = E [Xn+1].

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Kollektive Pramie

Definition:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs.

Definition:Die kollektive Pramie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch

µ0 := Pcoll =

∫Θµ(θ)dU(θ) = E [Xn+1].

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Das Zwei-Urnen Modell und die Bayes Pramie

1 Bedingt durch das Ereignis Θ = θ sind die X1,X2, . . . unabhangig und identischverteilt mit Verteilungsfunktion Fθ.

2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U.

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Das Zwei-Urnen Modell und die Bayes Pramie

1 Bedingt durch das Ereignis Θ = θ sind die X1,X2, . . . unabhangig und identischverteilt mit Verteilungsfunktion Fθ.

2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U.

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Bayes Pramie

Definition:Die Bayes Pramie ist definiert duch

µ(Θ) = PBayes := E [µ(Θ)|X].

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Bayes Pramie

Definition:Die Bayes Pramie ist definiert duch

µ(Θ) = PBayes := E [µ(Θ)|X].

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Risikofunktion

Sei L(θ,T (x)) die Verlustfunktion, wenn θ der wahre Parameter ist.Die Risikofunktion des Schatzers T ist gegeben durch

RT (θ) := Eθ[L(θ,T )] =

∫Rn

L(θ,T (x))dFθ(x).

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Risikofunktion

Sei L(θ,T (x)) die Verlustfunktion, wenn θ der wahre Parameter ist.Die Risikofunktion des Schatzers T ist gegeben durch

RT (θ) := Eθ[L(θ,T )] =

∫Rn

L(θ,T (x))dFθ(x).

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Bayes Risiko

Definition:Das Bayes Risiko des Schatzers T , mit Bezug auf die a priori Verteilung U(θ) istgegeben durch

R(T ) :=

∫ΘRT (θ)dU(θ).

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Bayes Risiko

Definition:Das Bayes Risiko des Schatzers T , mit Bezug auf die a priori Verteilung U(θ) istgegeben durch

R(T ) :=

∫ΘRT (θ)dU(θ).

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Quadratische Verlustfunktion

Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion

L(θ,T (x)) = (µ(θ)− T (x))2.

Satz:Der Bayes Schatzer bezuglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch

µ(Θ) = E [µ(Θ)|X].

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Quadratische Verlustfunktion

Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion

L(θ,T (x)) = (µ(θ)− T (x))2.

Satz:Der Bayes Schatzer bezuglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch

µ(Θ) = E [µ(Θ)|X].

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Quadratische Verlustfunktion

Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion

L(θ,T (x)) = (µ(θ)− T (x))2.

Satz:Der Bayes Schatzer bezuglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch

µ(Θ) = E [µ(Θ)|X].

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

Modellannahme Das einfache Credibility Modell

1 Die stochastischen Großen Xj mit (j = 1, . . . , n) sind, bedingt in Θ = θ,unabhangig mit identischer Verteilungsfunktion Fθ und bedingten Momenten

µ(θ) = E [Xj |Θ = θ],

σ2(θ) = Var[Xj |Θ = θ].

2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U(θ).

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

Modellannahme Das einfache Credibility Modell

1 Die stochastischen Großen Xj mit (j = 1, . . . , n) sind, bedingt in Θ = θ,unabhangig mit identischer Verteilungsfunktion Fθ und bedingten Momenten

µ(θ) = E [Xj |Θ = θ],

σ2(θ) = Var[Xj |Θ = θ].

2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U(θ).

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

Satz:Die Credibility Pramie unter den Annahmen des einfachen Credibility Modells istgegeben durch

µ(Θ) = αX + (1− α)µ0,

mit

X = 1n

∑nj=1 Xj ,

µ0 = E [µ(Θ)],

α = n

n+ σ2

τ2

.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

Satz:Die Credibility Pramie unter den Annahmen des einfachen Credibility Modells istgegeben durch

µ(Θ) = αX + (1− α)µ0,

mit

X = 1n

∑nj=1 Xj ,

µ0 = E [µ(Θ)],

α = n

n+ σ2

τ2

.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

1 µ0 ist der beste Schatzer, der auf dem a priori-Wissen allein basiert.Der quadratische Verlust ist

E [(µ0 − µ(Θ))2] = Var(µ(Θ)) = τ2

2 X ist der bestmogliche, lineare und individuell erwartungstreue Schatzer, der nurauf dem Beobachtungsvektor X basiert.Mit quadratischem Verlust

E [(X− µ(Θ))2] = E [σ2(Θ)/n] = σ2/n.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

1 µ0 ist der beste Schatzer, der auf dem a priori-Wissen allein basiert.Der quadratische Verlust ist

E [(µ0 − µ(Θ))2] = Var(µ(Θ)) = τ2

2 X ist der bestmogliche, lineare und individuell erwartungstreue Schatzer, der nurauf dem Beobachtungsvektor X basiert.Mit quadratischem Verlust

E [(X− µ(Θ))2] = E [σ2(Θ)/n] = σ2/n.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

1 µ0 ist der beste Schatzer, der auf dem a priori-Wissen allein basiert.Der quadratische Verlust ist

E [(µ0 − µ(Θ))2] = Var(µ(Θ)) = τ2

2 X ist der bestmogliche, lineare und individuell erwartungstreue Schatzer, der nurauf dem Beobachtungsvektor X basiert.Mit quadratischem Verlust

E [(X− µ(Θ))2] = E [σ2(Θ)/n] = σ2/n.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

1 κ = σ2

τ2 wird der Credibility Koeffizient genannt. Er kann auch durch

κ = ( σµ0

)2( τµ0

)−2 dargestellt werden.τµ0

ist der Koeffizient fur die Variation von µ(Θ). Er ist ein Maß fur die

Heterogenitat eines Portfolios.σµ0

=√

E [Var[Xj |Θ]]/E [Xj ] ist ein Maß fur die Variation innerhalb der

Risikokategorien.

2 α ist das sogenannte Credibility Gewicht. Es wachst, wenn

1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wachst,2

τµ0

, das Maß fur die Heterogenitat des Portfolios, wachst,

3σµ0

, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

1 κ = σ2

τ2 wird der Credibility Koeffizient genannt. Er kann auch durch

κ = ( σµ0

)2( τµ0

)−2 dargestellt werden.τµ0

ist der Koeffizient fur die Variation von µ(Θ). Er ist ein Maß fur die

Heterogenitat eines Portfolios.σµ0

=√

E [Var[Xj |Θ]]/E [Xj ] ist ein Maß fur die Variation innerhalb der

Risikokategorien.

2 α ist das sogenannte Credibility Gewicht. Es wachst, wenn

1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wachst,2

τµ0

, das Maß fur die Heterogenitat des Portfolios, wachst,

3σµ0

, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

1 κ = σ2

τ2 wird der Credibility Koeffizient genannt. Er kann auch durch

κ = ( σµ0

)2( τµ0

)−2 dargestellt werden.τµ0

ist der Koeffizient fur die Variation von µ(Θ). Er ist ein Maß fur die

Heterogenitat eines Portfolios.σµ0

=√

E [Var[Xj |Θ]]/E [Xj ] ist ein Maß fur die Variation innerhalb der

Risikokategorien.

2 α ist das sogenannte Credibility Gewicht. Es wachst, wenn

1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wachst,2

τµ0

, das Maß fur die Heterogenitat des Portfolios, wachst,

3σµ0

, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

Satz:

Der quadratische Verlust der Credibility Pramie istµ(Θ) gegeben durch

E

[(µ(Θ)− µ(Θ)

)2]

= (1− α)τ2

= ασ2

n.

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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell

Satz:

Der quadratische Verlust der Credibility Pramie istµ(Θ) gegeben durch

E

[(µ(Θ)− µ(Θ)

)2]

= (1− α)τ2

= ασ2

n.

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ChristophChlubna

Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!

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