1 C w=2t/m D 1 tm4IK=4I/6=2 K/2=1

h=3,0m I I IK=I/3=1 K=I/3=1 K=I/3=1

B w=2t/m E8I

h=3,0m I K=8I/6=4 I I K/2=2K=I/3=1 K=I/3=1 K=I/3=1

A L=6,0m F L=3,0m

Est Simetrica de 01 Crujia Est Equivalente Kv=K/2Solucion( Adaptacion C Zapatel)1,-Determinacion de las Propiedades Geometricas

Nudo B K C=K/SumK Nudo C K C=K/SumKViga 2 0.5 Viga 1 0.5col sup 1 0.25 col sup 1 0.5col inf 1 0.25 col inf 0 0Suma 4 1 Suma 2 1

2,-Momentos de Empotramiento Mº ,.Considerar voladizoviga sup 2*6^2/12= 6 tm col sup 0 t-mviga inf 2*6^2/12= 6 tm col inf 0 t-m3,-Etapa I.- Procedimiento de Cross CNudo mas desquiciado B,C,B,C -1 1

C Accion Reaccion0.5 0.5 Nudo C

-1 +1 0 -6 Mº Mdesq -4.250.75 -0.133

2.125 2.125 -0.004-0.1330.066 0.066 Horario

-0.004 +0.002 0.002 Nudo B

Mi 2.807 -3.807 Mdesq -6Mdesq 1.063

Mdesq 0.033Mi 2.322

-0.0080.033

-0.2661.063

Mº 1.50.25 0.50.25 B

Mº 0 -6Mt 1.5 3

-0.266 -0.531-0.008 -0.017

Mi 1.226 -3.548

Mi 0.617-0.133

0.75Mº 0 3.807

Metodo de Cross aplicando Hoja de Calculo EXCELL Por Ing C Zapatel S.Ejemplo de Estructura Carga Simetrica, Ref Bartolome pag 54Solucion de un aligerado.- La fig representa la planta tipica hipotetica, ya que la placa esta mal distribuida que puede causar problemas torsionales por efectos sismicosAdaptacion C. Zapatel

1 2 3 4 56.00 m 6.00 6.00 1.00

B

M

1.00 6.00

placa M t=0,25mh=3,0m

Aancho 0.25 0.3 0.3

Viga sobre Viga VoladoFig 1.-Planta Tipica de una Edificacion de 4 Niveles

ACERO TEMP REC=2CMACERO LONG SUP

Ec= 2*10^6T/m2 5

Ec= 200T/cm2 20 V V V H=25 cm

LAD LAD

cm 10 30 10 30 10ACERO LONG INF REC=2CM

Fig 2.-TECHO ALIGERADO H=25CM-SECCION TRANSVERSAL M-MESC 1/10

Viga principal Viga Eje 1, Eje 2,Eje3 V=Vigueta=ala(5)+alma(20)=25cm Viga Eje 4, Eje 5Viga secundaria Viga Eje A, Eje B 100

8.75 5 AA1

CG 20 25 A216.25

25

Ig=(25*100) 56770.83 cm4 use para ancho 1,0mIg=(10*25) 22708 cm4CG( ) = Centro de gravedad 8.75 50

1,-Metrado de cargas sobre el techo aligerado1,a.- Cargas permanentes o muertasPeso propio h=25cm 350 Kg/m2Enlucidos + acabados 100Tabiqueria movil 100Carga permanente D= 550 Kg/m21,b.- Cargas Viva o Sobrecarga

Fig 3.-Modelo Estructural.- Vigueta ancho 100cm

L= 300 Kg/m21,c,-Carga Total w=1,0D+1,0L Asumido factores =1,0

W= 850 Kg/m2W= 0.85 T/m2

2,-Modelaje de la placa, se realizara empotrando sus extremos lejanos(ver fig), suponiendo que no existe repercusion de los giros de un nivel a otro; hipotesis aceptada por Norma E-060 y ACIpara el analisis por carga vertical

1m

H=3,0m

h

1.00 m

H=3,0m

Fig.- Isometrico placa techo para Area de influencia 40(100)cm

0,25 m3,-Momento de Inercia I=bh^3/12=Momento de Inercia de un rectangulob= dimension perpendicular al plano frontalh= dimension paralelo al plano frontal

3,1,-Placaespesor 0.25 ancho tributario Elem t ancho tributL=Altura 300cm Placa 25 100

Ip=40*25^3/12= 52083 cm4 Techo 100Ip/L= 174 cm3 I=Io=

3,2,-Techo aligeradoVer Secc M-MIg=22 700 cm4(10*40)Ig=56 750 cm4(25*100)CG(8,75; 20) = Centro de gravedadUse Ig=22700 cm4

Ig/L=22701/600= 38 cm34,-Modelo matematico, para un ancho tributario de 1,00m

h=3mI=1300208cm4K=I/L=0,76

6,0m 6,0m 6,0m 1,0mh=3m I=56770cm4

I=1300208cm K=I/L=0,17 K=I/L=0,17K=I/L=0,76

La placa rigidiza al techo en el nudo K=0,76*2=1,52 Ip/It= 8.94117647

5,-Simplificacion del Modelo matematico.-Se permitie simplificar la estructuraEs usual trabajar con cargas lineales para un ancho tributario de 1,0m, luego la carga t/m2 se transforma en carga lineal:W=0,85t/m2*1,0m=0,85t/m

Empot w=0,85t/m2=0,85*1m= 0.85 t/m1 2 3 4

L(m) 6 6 6 1.00I 1 1 1

k=I/L= k=I/L= S3=5mm0.16666667 0.16666667 K1=3/4*K= 0.125

0.33333333 0.291666670 0.5 0.50 0.57 0.43 1Fig.- Modelo matematico simplificado para asentamiento apoyo S3=5mm

1,-Calculo de Rigidez y Coeficiente distribucionKo=Rigidez de comparacion=I/L=I/6=38 Mº MºKij=kij/Ko 1 2Ver grafico

Fig.- Posicion 0: Estructura sin desplazamiento2,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "0" sin desplazamientoViga Mº=0,85*6^2/12= 2.55

Mº1=0,85*6^2/8= 3.825Volado Mº=0,85*1^2/2= 0.4253,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento, sincargas externas Mº=-6EIЏ/L=-6EIS/L^2 Mº1=-3EIЏ/L=-3EIS/L^2E=210T/cm2 Icg=56750 cm4 EI= 11917500 T*cm2S=5mm=0,50cm EIS= 5958750 T*cm3tramo 23=32 Mº=-6(EIS)/600^2=-6*5958750/600^2= - 99.3125 T-cm= -0,99T-mtramo 34 Mº=-3(EIS)/6^2=-6*(-5958750)/600^2= 49.65625 T-cm= 0,50T-m

NOTA S es Negativo Mº 34

1 2 2 3 3 4

S=0,5mmFig.- Posicion 1: Estructura con desplazamiento

4,-Debido a la geometria de la estructura, por superposicion de efectos:Signo negativo ANTIHORARIOViga 12 Mº12=2,55+0=2,55 2.55 T-mViga 21 Mº21=2,55+0=2,55 2.55 T-mViga 23 Mº23=-2,55-0,99= -3,45 -3.45 T-m VoladoViga 32 Mº32=2,55-0,99=1,65 1.65 T-m Mv=0,425Viga 34 Mº34=-3,825+0,50= -3,325 -3.325 T-m5,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 0 + Etapa 1

1 2 2 3 3 40 0.5 0.50 0.57 0.43 1.00

Mº -2.55 2.55 -3.45 1.65 -3.325 0.4250.213

0.836 0.627+ 0.418

0.241 0.2410.121 0.121

-0.069 -0.052-0.03443878

Rgto indica si ΣKp/Kt>8 considerar empotrado, luego 1,52/0,17=9, luego cumple

ΣKC=K/ΣK=

0.017 0.0170.009-2.421 2.808 -2.808 2.537 -2.537 0.425

Proceso 4,3,2,3,2,3nudo 3 M = -1.4625nudo 2 M = -0.48214286nudo 3 M = 0.12053571nudo 2 M = -0.03443878

2.42 2.81 . 2,54 0.43

1 2 . 3 46,0m 6,0m 6,0m 1,0m

Fig.- DMF para Techo aligerado para ancho tributario 1,0m(T-m)

Mi=ΣMi

M =Mto desquiciado

Determinacion de I seccion en Teex1 y1 A y25 20 500 15 7500

100 5 500 2.5 1250Suma 1000 8750

8.75CG(50,8,75)

Io Ad^2 Ix1041.67 19531.25 20572.92

16666.67 19531.25 36197.92Suma 56770.83

AX

y=Ax/ΣA=

I(cm4) I/Io L(m) K=I/L130208.333 2.29 3 0.76

56770.83 1 6 0.1756770.83

MÉTODO DE CROSSLa Fig representa un Portico Simetrico a 2 Aguas de Concreto Armado( E=2060*10^4 Ton/m2)Los elementos estructurales se definen b= base, h=alturaColocar la mayor dimension paralelo a la vista frontal del porticoColocar la menor dimension perpendicular a la vista frontal del porticoIo= Mto de Inercia de comparacion, I/Io= Inercia relativa

Elem b h I(cm4) I/Io L(m) K w(t/m)Col 0 0 1 1 15.00 0.067 0Viga 0 0 2 2 26.249 0.076 3

h1= 8.00

0

h1= 8.00 0 0

Iv= 2.00Kv= 0.076

0.143Cij=Kij/Σki

Ci= 0.533Cj= 0.467

h2= 15Ic= 1

Kc= 0.067Fig.- Isometrico portico a 2 Aguas

0

0

w= 3 T/m

L= 25 L= 25

L= 26.2498.00 m K= 0.076

ø

Fig.- Portico Simetrico a 2 AguasK=

15.00 0 0.067 0.305 0

t/m 0.952 t/m

0.320

EmpotL= 25 L= 25

Σki=

senø=Cosø=tgø=

w= 3 T/m

3L= 25

L= 26.249 . d18.00 m K= 0.076 1

2

Fig.- Modelo matematico simplificado por Simetria

15.00 0 K=t/m 0.067

1 EmpotL= 25

1,-Solucion Estructura para la posicion 0 sin desplazamiento, 1 grado de Libertad (1 GL)Para evitar la deformacion se colocara un apoyo c/rodillo ficticio en la mitad de la estructura

w= 33

L= 25

L= 26.2498 K= 0.076

2 R10

15 0 K=0.067

1 EmpotL= 25

Fig.- Portico para posicion "0" sin desplazamientoMetodo de Cross aplicando Hoja de Calculo EXCELL Por Ing C Zapatel S.1.1,-Calculo de Rigidez y Coeficiente distribucionKo=Rigidez de comparacion Mº MºKij=kij/Ko i jVer grafico

Fig.- Posicion 0: Estructura sin desplazamiento1.2,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "0" sin desplazamiento

Elem L W(t/m) Mº= WL^2/12 t-mCol 15 0 0Viga 25 3 156.250

1,3,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 0

1 2 2 30 0.467 0.533 0

Mº 0 0 -156.250 156.2536.458 72.915 83.335

41.667+

36.458 72.915 -72.915 197.917El signo menos es antihorarioProceso 2,3,2,3,2,3nudo 2 M = -156.250OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2, ver el apoyo fictucioCalculo de R10Analizar la columna12

w= 3 197.917 tm. (3x)= 7.29

L= 25

L= 26.2498 m

2 R10ΣFx=0

(3x)= 7.290 ΣM1=0

15 t/m K=0,333R10= 40.17 t

1 Empot -7.29 tL= 25

-36.458 tm

El signo menos es antihorario, Mtos valores Absolutos

72.915 tm2

0 7.29

formato Zap15 0

t/m ΣM2=0

1 Empot 0 7.29

-7.29 t 0.305

0.952

Mi=ΣMi

M =Mto desquiciado

senø=Cosø=

-36.458 tm 0.320

2,-Solucion Estructura para la posicion 1 con desplazamiento, 1 grado de Libertad (1 GL)

d21 (3). 90º Hacemos d1= 1

d1d21

8 26.249(2) R10

d21d23 d1=1

Col

15 Col d21= -0,30*d1 øViga d21= -0.32

Vigad23=d1/Cosø=1,044d1d23= 1.04996

(1)L=5,0m

Fig.- Portico para posicion "1" con desplazamientoSe desplaza columna(d21) y luego la viga(d23), ambos perpendicular Eje elementoSigno (+) desplazamiento horario

2,1,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamientoMº= -6(EI)S/L^2 S= desplazamiento Horiz(d21) u Diagonal(d23)

col EI=1 Ton/m2 I(m4) EI(Tm2)viga EI=2 Ton/m2 col 0.00000001 1

viga 0.00000002 2Columna Mº12=Mº21= -6*(EI)*(-0,4)/4^2= 0.12 T-mViga Mº23=Mº32=-6*(EI)(1,077)/4,698^2= -0.58556 T-m

2,3,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 1

1 2 2 30 0.467 0.533 0

Mº 0.12 0.12 -0.586 -0.5860.109 0.21726 0.248

0.124+

0.229 0.337 -0.337 -0.461

Proceso 2,3,nudo 2 M = -0.47

tgø=

tgø=d21/d1

d21=tgø*d1=

Cosø=d1/d23

Mi=ΣMi

M =Mto desquiciado

OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2ESTOS VALORES DEBEN MULTIPLICARSE POR FACTOR d1Calculo de R11

0 tm. (3x)= 0.03772566 t

L= 26.2498

2 R11ΣFx=0

(3x)= 0.037725662ΣM1=0

15R11= 0.0440 t

1 Empot 0 T Ver DCL ColumnaL= 25

0 tm

0.337 tm2

15 m ΣM2=0

1 0.04 t

0.229 tm

3,-Determinacion del Factor d1Por equilibrio de la coordenada 1:

R10-d1*R11=014,11-d1(29473)=0d1= 912.4920851 md1= 912492.085 mm

4,-Determinacion de los Momentos FinalesMij=Mij(0)+ d1*Mij(1)

Barra 1-2 2-1 2-3 3-2Mij(0) 36.458 72.915 -72.915 197.917Mij(1) 0 0 0 0

d1*Mij(1) 208.62 307.74 -307.74 -421.03Mij(0) 245.08 380.66 -380.66 -223.11

223.11

380.66 380.66

Fig.- DMF™

245.08 245.08

5,-La solucion del Cross en la posicion 1(con desplazamiento) se puede resolver en lo siguienteSea d1=Δ= desplazamiento vertical d21= -0,3ΔVer Item 2,0 d23= 1,044Δ5,1,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento

Mº= -6(EI)S/L^2 S= desplazamiento Horiz(d21) u Diagonal(d23)I=Io=1 cm4 Ic=1 Iv=2Columna T-mViga T-m

X=EIΔ Asumiendo X=1 0.1125,2,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 1 -0.954

1 2 2 30 0.467 0.533 0

Mº 0.112 0.112 -0.954 -0.9540.196 0.393 0.449

0.224+

0.309 0.505 -0.505 -0.730

Proceso 2,3,nudo 2 M = -0.842OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2ESTOS VALORES DEBEN MULTIPLICARSE POR FACTOR XCalculo de R11Primero Analizar COLUMNA

Mº12=Mº21= -6*(EI)(-0,3Δ)/4^2=0,1125(EIΔ)=0,1125XMº23=Mº32=-6*(E*3,38)(1,044Δ)/4,698^2= -0,959(EIΔ)= -0,959X

Mi=ΣMi

M =Mto desquiciado

0.730 tm. (3x)= 0.054

L=5,385m8 m

2 R11ΣFx=0

(3x)= 0.054ΣM1=0

15 mR11= 0.067 X

1 Empot 0.054 T Ver DCL ColumnaL= 25

0.309 tm

0.505 tm2

15 m ΣM2=0

1 0.0543 t

t

0.309 tm

5.3,-Determinacion del Factor XPor equilibrio de la coordenada 1: R10= 40.17

R10-X*R11=0 R11= 0.067

X= 601.58X=EIΔ

5.4,-Determinacion de los Momentos FinalesMij=Mij(0)+ d1*Mij(1)

Barra 1-2 2-1 2-3 3-2

Mij(0) 36.458 72.915 -72.915 197.917Mij(1) 0.309 0.505 -0.505 -0.730X*Mij(1) 185.82 303.96 -303.96 -438.99Mij(0) 222.28 376.88 -376.88 -241.07

5,5,-Determinacion de las deflexiones Vertical y HorizontalDatosE= 20600000 T/m2I=Io=Ic= 0.00000001 m4EI= 0.206 Tm2X= 601.58

X=EIΔΔ=X/(EI)= 2920.27255 m 2920272.55 mmdesp Horiz d21= -0,3Δ= -876.081765 m -876081.76 mmdesp Vertl d23= 1,04Δ 3037.083451 m 3037083.45 mm

El signo negativo significa que se desplaza sentido antihorario

d21= -876081.76(3)

d23= d1= 2920272.553037083.45

ø

Fig.- Deformacion Nudo (3) en mm