12

BAB III

LANDASAN TEORI

3.1. Prinsip Dasar CSAMT

Metoda CSAMT merupakan salah satu metoda survai dengan

menggunakan sistem induksi elektromagnetik sebagai metoda geofisika untuk

mengetahui resistivitas batuan bawah permukaan. Metoda CSAMT ini

merupakan perluasan dari metoda MT. Pada metoda MT sumber energi berasal

dari sinyal elektromagnetik alamiah yang sangat lemah dengan frekuensi kurang

dari 1 Hz (Akmam, 1997) dari sistem arus di ionosfer, magnetosfer dan badai

listrik di atmosfer. Karena lemahnya sinyal alamiah tersebut, pengambilan data

MT memerlukan waktu stacking yang panjang. Untuk meningkatkan kualitas

sinyal tersebut, Goldstein dan Strangway (1975) mengembangkan suatu metoda

yang menggunakan sumber medan buatan (CSAMT). Sumber medan yang

digunakan berasal dari dipol listrik yang diinjeksikan ke dalam bumi (Zonge dan

Hughes, 1988). Informasi tentang resistivitas batuan bawah permukaan sebagai

fungsi kedalaman, diperoleh dengan mengukur besarnya medan listrik dan medan

magnet untuk berbagai frekuensi.

Secara umum pada metoda elektromagnetik, gelombang yang berasal dari

sumber, jika sampai ke permukaan, maka sebagian ada yang dipantulkan dan

sebagian lagi ditransmisikan. Sedangkan gelombang yang ditransmisikan, jika

13

mengenai anomali (bahan konduktif) akan menimbulkan medan, dan medan ini

yang kemudian dicatat oleh receiver. Karena ada sebagian gelombang yang

dipantulkan, maka medan yang tercatat pada receiver adalah medan totalnya, yaitu

medan primer yang berasal dari sumber dan medan sekunder yang berasal dari

induksi oleh anomali. Namun untuk kasus CSAMT efek medan primer tidak

tercatat, karena sumber gelombangnya langsung diinjeksikan ke dalam bumi.

Prinsip dasarnya adalah medan elektromagnetik primer akan dipancarkan

ke seluruh arah oleh dipol listrik yang digroundkan. Pada saat medan

elektromagnetik primer mencapai permukaan bumi di daerah lain, maka medan

elektromagnetik akan menginduksi arus pada lapisan-lapisan bumi yang dianggap

konduktor. Arus tersebut disebut sebagai arus telluric atau arus eddy.

Adanya arus telluric pada lapisan-lapisan bumi ini akan menyebabkan

timbulnya medan elektromagnetik sekunder yang kemudian akan dipancarkan

kembali ke seluruh arah sampai di permukaan bumi. Dalam pengukuran medan

sekunder inilah yang akan dicatat oleh receiver untuk memperoleh informasi

tentang pengukuran lapisan di bawah permukaan bumi yang diukur. Informasi

yang diperoleh adalah berupa impedansi gelombang elektromagnetik sekunder

yang dihasilkan rapat arus telluric pada masing-masing lapisan. Setiap lapisan

mempunyai harga konduktivitas yang berbeda-beda, sehingga medan

elektromagnetik sekunder yang dihasilkan juga akan berbeda-beda bergantung

pada jenis lapisannya.

14

3.2. Asumsi Dasar CSAMT

Penurunan persamaan untuk metoda MT maupun CSAMT dikembangkan

mengikuti pendekatan Cagniard (1953). Asumsi dasar yang digunakan dalam

pendekatan Cagniard tersebut: pertama, bumi dianggap lapisan horizontal dimana

masing-masing lapisan mempunyai sifat homogen isotropis. Kedua, gelombang

elektromagneik alam yang berinteraksi dengan bumi merupakan gelombang

bidang. Yang dimaksud gelombang bidang adalah gelombang yang hanya berubah

dalam arah penjalaran gelombang, dan konstan pada bidang yang tegak lurus

dalam arah penjalarannya.

Gambar 3.1. Sifat gelombang bidang.

(a)

(b)

(c)

15

Sifat-sifat gelombang bidang tersebut (Gambar 3.1) antara lain:

1. Pada suatu bidang tertentu, E dan H akan bervariasi terhadap waktu

(Gambar 3.1a).

2. Jika gelombang bidang merambat dalam arah z, maka E dan H akan

bervariasi secara sinusoidal terhadap z (Gambar 3.1b)

3. Medan listrik E dan medan magnet H mempunyai harga yang konstan

pada bidang tegak lurus dengan sumbu z (Gambar 3.1c). Bidang-bidang E

dan H yang berjarak tertentu sepanjang sumbu z mempunyai magnitude

masing-masing. Pada Gambar 3.1b. di titik 1 dan 3 harga Ex dan Hy

mencapai maksimum, sedangkan di titik 2 berharga nol.

3.3. Persamaan Gelombang Elektromagnetik

3.3.1. Persamaan Maxwell

Persamaan yang dapat menjelaskan prinsip-prinsip gelombang

elektromagnetik adalah persamaan Maxwell. Persamaan Maxwell menyatakan

bahwa setiap perubahan medan magnet H akan menimbulkan medan listrik E atau

sebaliknya. Suatu medan EM dapat dapat dinyatakan dalam empat vektor medan

(Zonge dan Hughes, 1988, dan Sharma, 1997):

E = intensitas medan listrik (V/m)

D = rapat fluks listrik (C/m2)

H = intensitas medan magnet (A/m)

B = rapat fluks magnet (Wb/m2)

16

Keempat vektor tersebut terkait dengan empat persamaan Maxwell:

t- x

∂∂=∇ B

E (3.1)

t

x ∂∂+=∇ D

JH (3.2)

c ρ=•∇ D (3.3)

0 =•∇ B (3.4)

dimana:

J = rapat arus listrik (A/m2).

cρ = rapat muatan listrik (C/m3)

Persamaan yang menghubungkan sifat fisik medium dengan medan yang

timbul pada medium tersebut adalah:

D = εE (3.5)

B = µH (3.6)

J = σE (3.7)

dimana:

ε = permivitas listrik (F/m)

µ = permeabilitas magnet (H/m)

σ = konduktivitas medium (S/m)

Dengan menganggap bahwa bumi bersifat homogen isotropis (Grant dan West,

1965), sifat fisik medium tidak bervariasi terhadap waktu, dan tidak ada suatu

17

sumber muatan dalam medium yang ditinjau, sehingga diperoleh persamaan

Maxwell kembali dalam bentuk:

t

- x ∂∂=∇ H

E µ (3.8)

t

x ∂∂+=∇ E

EH εσ (3.9)

0 =•∇ E (3.10)

0 =•∇ H (3.11)

Dengan melakukan operasi curl pada persamaan (3.8) dan (3.9) dan

mensubstitusikan besaran-besaran yang ada, akan diperoleh persamaan

gelombang untuk medan listrik dan medan magnet secara terpisah, kemudian

dengan menerapkan identitas vektor:

AAA A 2 - )(A - )() x ( x ∇•∇∇=∇•∇•∇∇=∇∇ (3.12)

maka diperoleh persamaan gelombang medan listrik dan medan magnet yang

merupakan fungsi waktu dan jarak sebagai berikut:

0t

- 2

22 =

∂∂−

∂∂∇

t

EEE εµσµ (3.13)

0t

- 2

22 =

∂∂−

∂∂∇

t

HHH εµσµ (3.14)

Apabila variasi terhadap waktu dinyatakan sebagai fungsi sinusoidal, akan

diperoleh persamaan (Grant dan West, 1965):

E(r,t) = Re E(r,ω)eiωt (3.15)

H(r,t) = Re H(r, ω)eiωt (3.16)

18

dimana:

ω = frekuensi sudut (ω = 2πf)

maka persamaan (3.13) dan (3.14) menjadi:

EEE 22 εµωσµω −=∇ i (3.17)

HHH 22 εµωσµω −=∇ i (3.18)

3.3.2. Atenuasi Gelombang dan Skin depth

Dengan memasukkan konstanta perambatan atau bilangan gelombang k, ke

dalam persamaan (3.17) dan (3.18), maka diperoleh:

0 2 EE =+∇ 2k (3.19)

0 2 HH =+∇ 2k (3.20)

dimana:

k2 = µεω2 – iµσω = µω(εω – iσ) Re(k) > 0 (3.21)

k2 = – iµω (σ + iωε) Im(k) < 0 (3.22)

k = α – β = [-iµω(σ + iωε)]1/2 (3.23)

konstanta fasa α, diberikan oleh:

2

1

2

112

+

+=εωσµεωα (3.24)

sedangkan konstanta atenuasi β, diberikan oleh:

19

2

1

2

112

−

+=εωσµεωβ (3.25)

skin depth δ, didefinisikan sebagai:

δ = 1/β (3.26)

panjang gelombang dari sinyal adalah:

λ = 2πδ (3.26)

kecepatan perambatan gelombang diberikan oleh:

v = λf (3.27)

Pada medium konduktif amplitudo berkurang sesuai dengan konstanta

atenuasi β, sedangkan beda fasa medan bergantung pada konstanta fasa α.

Konduktivitas medium merupakan parameter yang menentukan dalam penentuan

struktur bawah permukaan. Asumsi medan quasi-statik dapat dipakai jika

konduktivitas batuan cukup besar. Biasanya material bumi mempunyai

konduktivitas σ>10-4 S/m (ρ<104 Ω.m) dan permitivitas ε<10-11 F/m. Untuk

frekuensi di bawah 100 kHz, σ>>εω (Zonge dan Hughes, 1988), sehingga efek

arus perpindahan jauh lebih kecil dan dapat diabaikan dibandingkan dengan arus

konduksi. Pada kasus ini α = β dan konstanta perambatan k, diberikan oleh:

( ) 2

1

21

−= µσωik (3.28)

20

Skin depth adalah jarak pelemahan gelombang elektromagnetik dalam

medium homogen sehingga menjadi 1/e (~37%) dari amplitudo di permukaan.

Dengan menggunakan pendekatan quasi-statik persamaan (3.26) menjadi:

2

1

2

=

µσωδ (3.29)

Besarnya skin depth pada medium konduktif bergantung dari permeabilitas

medium, resistivitas, dan frekuensi gelombang elektromagnetik yang melalui

medium. Dengan mengasumsikan harga permeabilitas µ = µ0 = 1,256 x 10-6 H/m,

dan memasukkan frekuensi (ω = 2πf), maka persamaan (3.29) menjadi:

2

1

503

=

f

ρδ m (3.30)

dimana:

δ = skin depth (m)

ρ = resistivitas medium homogen (Ω.m)

f = frekuensi gelombang EM (Hz)

3.4. Impedansi Gelombang dan Resistivitas Semu

Impedansi gelombang didefinisikan sebagai perbandingan antara medan

listrik dan medan magnet. Sedangkan resistivitas semu adalah resistivitas yang

terukur di atas medium berlapis-lapis, yang mempunyai perbedaan reistivitas dan

ketebalan lapisan dianggap homogen isotropis. Untuk mendapatkan resistivitas

21

yang sebenarnya dimana bumi mempunyai resistivitas yang heterogen diperoleh

dengan cara membuat model dan diturunkan hubungan antara resistivitas semu

dan resistivitas sebenarnya (metoda inversi).

3.4.1. Medium Homogen Isotropis

3.4.1.1. Bumi Homogen dengan Kejadian Secara Normal insiden

Pada kasus ini gelombang bidang datang tegak lurus di permukaan bumi.

Gelombang bidang tersebut sebagian akan dipantulkan dan sebagian lagi

diteruskan. Bentuk geometri tersebut terlihat pada Gambar 3.2

Gambar 3.2. Bentuk Geometri Bumi Homogen dengan

Kejadian Secara Normal Insiden

Persamaan gelombang bidang yang datang:

untuk di udara:

zikz-ik 00 e e -00

0x BAE += + (3.31)

(datang) (pantul)

di dalam bumi:

e z-ik1+= 11x AE (transmisi) (3.32)

z Hy

udara

bumi

e z-ik0+= 00x AE

22

dimana:

( )2

1

00 εµω=0k = konstanta perambatan di udara

42

1

π

ρωµ i

1 ek−

= = konstanta perambatan di dalam bumi

koefisien subskip “0” dan “1” pada persamaan (3.31) dan (3.32) menunjukkan

gelombang pada lapisan “0” (udara) dan di dalam bumi, sedangkan superskrip-

superskrip tersebut menunjukkan arah perambatannya.

Pemecahan untuk konstanta-konstanta yang tidak diketahui seperti pada

persamaan (3.31) dan (3.32) dapat diselesaikan dengan memaksakan suatu

keadaan bahwa Ex dan Hy harus kontinu pada bidang batas udara-bumi. Dengan

meninjau kembali persamaan (3.8), maka diperoleh:

z

E

iH x

y ∂∂

−=0

1

ωµ (3.33)

substitusi persamaan (3.32) ke persamaan (3.33), memberikan:

ziky e

kAH 1

0

11

−+=ωµ

(3.34)

dengan memasukkan persamaan (3.33) ke persamaan (3.31) dan (3.32),

menghasilkan:

zikziky e

Z

Be

Z

AH 00

0

0

0

00−

−+

−= (3.35)

ziky e

Z

AH 1

1

11 −+

= (3.36)

23

dimana Z0 dan Z1 adalah impedansi udara-bumi:

2

1

0

0

00

==

εµωµ

ik

iZ (3.37a)

( ) 42

1

01

01

π

ρωµωµ i

eik

iZ == (3.37b)

dengan menyamakan komponen tangensial E dan H pada z = 0, maka diperoleh

hubungan:

−++ += 001 BAA

0

0

0

0

1

1

Z

B

Z

A

Z

A −++

−=

pemecahan dari sistem persamaan di atas adalah:

++

+= 0

10

11

2A

ZZ

ZA (amplitudo gelombang transmisi)

+−

+−

= 001

010 A

ZZ

ZZB (amplitudo gelombang pantul)

dengan mensubstitusi hasil di atas ke persamaan (3.31), (3.32), (3.35), dan (3.36)

akan diperoleh bentuk persamaan medan listrik dan medan magnet.

di udara:

+−

+= −+ zikzikx e

ZZ

ZZeAE 00

01

010

0 (3.38)

+−

−= −+

zikziky e

ZZ

ZZe

Z

AH 00

01

01

0

00 (3.39)

24

di dalam bumi:

zikx e

ZZ

ZAE 1

10

10

1 2 −+

+= (3.40)

ziky e

ZZ

ZAH 1

10

10

1 2 −+

+= (3.41)

Pada permukaan bumi (z = 0), persamaan di atas akan beralaku sama.

Perbandingan antara Ex/Hy pada permukaan disebut impedansi permukaan Z.

Dengan membandingkan persamaan (3.40) dan (3.41), impedansinya diperoleh:

( ) 42

1

0

π

ρωµi

eZ = (3.42)

Besarnya impedansi Z adalah modulus dari Z (Kaufman dan Keller, 1981),

sehingga persamaan (3.42) menjadi:

( ) ( )2

1

02

1

0 ρωµρωµ ==Z (3.43)

Berdasarkan persamaan (3.43) dan dengan memasukkan harga permeabilitas µ =

µ0 = 1,256 x 10-6 H/m, ω = 2πf, maka resistivitas semu untuk bumi homogen

isotropis adalah:

2510 x 27,1

H

E

fa =ρ (3.44)

dimana:

ρa = resistivitas semu

H

E = impedansi listrik

25

3.4.1.2. Bumi Homogen dengan Kejadian Sebarang

Medan elektromagnetik yang datang sebarang pada medium homogen

yang bebas sumber, dapat di tulis sebagai jumlah medan TM dan TE. Dalam mode

TM medan listrik tegak lurus terhadap strike, sedangkan pada mode TE medan

magnet tegak lurus terhadap strike (Jupp dan Vozoff, 1976).

3.4.1.2.1. Mode TM

Dalam mode TM komponen-komponen yang ada adalah: Ex, Ez, dan Hy,

yang semuanya bervariasi terhadap arah x dan z.

Gelombang yang datang dinyatakan dalam:

yeH rkiy ˆ0 −=H (3.45)

dimana:

y = vektor satuan dalam arah y

Gelombang bidang yang menjalar pada arah z mempunyai komponen-komponen

Ex dan Hy, karena:

z

y

Ex

Ez

Hy

Gambar 3.3. Bentuk Geometri Mode TM

x

26

zEyExE zyx ˆˆˆ 2222 ∇+∇+∇=∇ E (3.46)

maka persamaan (3.19) menjadi:

022 =+∇ xx EkE (3.47)

karena:

2

2

2

2

2

22

z

E

y

E

x

EE zyx

x ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇ (3.48)

dengan Ex tidak berubah pada arah x dan y, diperoleh persamaan diferensial:

0z

22

2

=+∂

∂x

x EkE

(3.49)

Cara yang sama seperti di atas, dipakai untuk mendapatkan:

022

2

2

2

=+∂

∂+

∂∂

yyy Hk

z

H

x

H (3.50)

Pemecahan umumnya berbentuk:

[ ] ziuzuzy eeHeHH λ−−−+ += (3.51)

Gelombang dapat menjalar ke atas dan ke bawah, tetapi selalu dalam arah x

positif, sehingga hubungan parameter u dan λ adalah:

( )2

122 ku −= λ (3.52)

Gelombang datang dituliskan:

( ) ( )θθλ sincos000

00 xikzikrkixiuz eeHeHeeH −−−−−+ −= (3.53)

dimana:

λ = k0 sin θ

27

u = ik0 cos θ

dimana k0 sin θ merupakan konstanta perambatan dalam arah x dan k0 cos θ

merupakan konstanta perambatan dalam arah z. Dengan mendefinisikan:

λ0 = k0 sin θ0 untuk di udara

λ1 = k1 sin θ1 di bumi

Syarat batasnya adalah medan harus kontinu pada bidang batas.

dimana:

λ0 = λ1

k0 sin θ0 = k1 sin θ1

01

01 sinsin θθ

k

k= (3.54)

Jika k1>>k0 maka gelombang menjalar secara vertikal di dalam bumi dengan sudut

tertentu. Sebagai syarat batas, dimana λ harus sama untuk kedua sisi bidang batas,

maka persamaan (3.51) hanya bergantung pada arah z, sehingga medan magnetik:

θ0

θ1

Gambar 3.4. Gelombang Datang pada Bidang Batas

k0

k1

28

di udara:

zuzuy eHeHH 00

000 −−+ += (3.55)

di bumi:

zuy eHH 1

11 −+= (3.56)

di mana:

( )2

120

2x0 ku −= λ

( )2

121

2x1 ku −= λ

Dengan meninjau kembali hukum Ampere, medan listrik horizontal Ex

dapat ditentukan dengan:

z

H

iE y

x ∂∂

+−=

ωεσ1

(3.57)

Dengan mensubstitusi persamaan (3.55) dan (3.56) ke dalam persamaan (3.57),

akan menghasilkan:

zuzux eHKeHKE 00

00000 −−+ −= (3.58)

zux eHKE 0

111 −+= (3.59)

dimana:

0

00 ωεi

uK =

1

11 σ

uK =

29

Dengan menggunakan syarat batas seperti sebelumnya, persamaan tangensial E

dan H pada z = 0 diperoleh:

−++ += 001 HHH (3.60)

−++ −= 000011 HKHKHK (3.61)

Pemecahan persamaan (3.60) dan (3.61), memberikan:

++

+= 0

10

01

2H

KK

KH (gelombang transmisi) (3.62)

+−

+−

= 010

100 H

KK

KKH (gelombang pantul) (3.63)

3.4.1.2.2. Mode TE

Dalam mode TE komponen-komponen yang ada adalah: Ey, Hx, dan Hz.

Dengan cara yang sama seperti dalam penurunan mode TM, maka diperoleh

pemecahan umum untuk Ey adalah:

[ ] xieuzEuzeEyE λ−+−+= (3.63)

z

y

Hx

Hz

Ey

Gambar 3.5. Bentuk Geometri Mode TE

x

30

Sebagaimana asumsi yang digunakan sebelumnya, dengan menggunakan

syarat batas, medium homogen dalam dalam arah horizontal, dan dengan hanya

meninjau pemecahan untuk arah z sebagai berikut:

di udara:

zuzuy eEeEE 00

000 −−+ += (3.65)

di dalam bumi:

zuy eEE 1

11 −+= (3.65)

Dengan meninjau kembali hukum Faraday, medan magnet horizontal Hx

dapat ditentukan dengan:

z

E

iH y

x ∂∂

−=0

1

ωµ (3.67)

Dengan mensubstitusi persamaan (3.65) dan (3.66) ke dalam persamaan (3.67),

diperoleh:

zuzux eENeENH 00

00000 −−+ +−= (3.68)

zux eENH 1

111 −+−= (3.69)

dimana:

0

00 ωµi

uN =

0

11 ωµi

uN =

31

Dengan menggunakan syarat batas seperti sebelumnya, persamaan tangensial E

dan H pada z = 0, diperoleh:

−++ += 001 EEE (3.70)

−++ −= 000011 ENENEN (3.71)

Pemecahan persamaan (3.70) dan (3.71), memberikan:

++

+= 0

10

01

2E

NN

NE (gelombang transmisi) (3.72)

++

+−

= 010

100 E

NN

NNE (gelombang pantul) (3.73)

Dapat terlihat adanya kemiripan penyelesaian antara persamaan (3.62) dengan

(3.72) dan (3.63) dengan (3.73).

Untuk kasus TM, impedansi permukaan pada z = 0 diberikan oleh:

11

11

0

KH

HK

H

EZ

zy

x === +

+

=

( ) ( )

1

2

12

1022

0

1

2

12

12

1

1 sin

σθ

σλ

σkkku

Z−

=−

==

2

1

02

2

1

0

1

1 sin1

−= θ

σ k

kikZ (3.74)

karena harga :diperoleh maka ,1sindan 12

1

0 ≤<<

θ

k

k

32

( ) ( ) 42

1

101

2

1

10

1

1 π

ρωµσ

σωµσ

i

eiiik

Z =−

=≅ (3.75)

dari persamaan (3.75) memperlihatkan bahwa impedansi permukaan tidak

bergantung pada sudut θ dan besarnya sama dengan impedansi pada kejadian

normal insiden (3.43).

Dengan cara yang sama, untuk kasus TE dari persamaan (3.66) dan (3.69),

diperoleh juga:

( ) 42

1

10 π

ρωµi

eZ = (3.76)

Berdasarkan penyelesaian di atas untuk mode TM dan TE didapatkan bahwa

gelombang bidang akan menjalar vertikal di dalam bumi, berapapun sudut

datangnya, karena bumi merupakan konduktor yang baik, sehingga pembahasan

untuk mode TM dan TE tidak perlu secara terpisah.

3.4.2. Medium Dua Lapis

Model medium dua lapis dapat dilihat pada Gambar 3.6. Lapisan pertama

dan kedua masing-masing diasumsikan homogen isotropis dengan lapisan pertama

mempunyai resistivitas ρ1 dan ketebalan h1, sedangkan lapisan kedua mempunyai

resistivitas ρ2 dan tebal tak berhingga ke bawah, dimana besarnya permeabilitas

magnet µ = µ0.

33

Persamaan untuk kasus medium dua lapis (Kaufman dan Keller, 1981):

di lapisan 1:

( ) 1112

1, 0 ,) 11 hzeBeAzE zikzikx ≤≤+= − (3.77)

( ) ( )zikziky eBeA

kzH 11

1112

1,−−=

ωµ (3.78)

di lapisan 2:

( ) 122

2, ,2 hzeAzE zikx ≥= (3.79)

( ) ziky eA

kzH 2

222

2, ωµ= (3.80)

dimana:

( )2

1

11 µωσik =

( )2

1

22 µωσik =

Karena intensitas medan primer ( 00 , yx HE ) tidak diketahui, sehingga tidak dapat

menggunakan syarat batas pada permukaan bumi (z = 0) untuk mengeliminasi dari

Z

h1

h2 = ∞

Gambar 3.6. Model Medium Dua Lapis

ρ2

ρ1

z = 0

z = h1

34

A1, B1, A2, dan B2, maka dipakai beberapa manipulasi matematik dan

menggunakan syarat batas yaitu komponen tangensial medan listrik dan medan

magnet kontinu pada saat melewati bidang batas (Kaufman dan Keller, 1981):

( )1+= mx

mx EE (3.81)

( )1+= my

my HH (3.82)

Berdasarkan persamaan (3.81) dan (3.82), berlaku (Nurcahya, 1991):

( ) ( )1221

21 hZhZ = (3.83)

dimana:

( )121 hZ = impedansi medium pada lapisan pertama (z = h1)

( )122 hZ = impedansi medium pada lapisan kedua (z = h1)

untuk lapisan pertama ditinjau pengukuran impedansi pada z = z1:

( )

−+

= −

−

1111

1111

11

11

11

21 zikzik

zikzik

eBeA

eBeA

kzZ

ωµ (3.84)

Persamaan (3.84) ruas kanan dikalikan dengan: ])//[(])/[( )2/1(11

)2/1(11

−− BABA ,

sehingga diperoleh:

( )

−

+

=

−

−

1111

1111

2

1

1

12

1

1

1

2

1

1

12

1

1

1

11

21

zikzik

zikzik

eA

Be

B

A

eA

Be

B

A

kzZ

ωµ (3.85)

Dengan menggunakan sifat identitas:

35

2

1

1

1ln2

1

1

1

=

A

B

eB

A

dan mensubstitusikan ke dalam persamaan (3.85), diperoleh:

( )

−

+=

+−

+

+−

+

2

1

1

111

2

1

1

111

2

1

1

111

2

1

1

111

lnln

lnln

11

21

B

Azik

B

Azik

B

Azik

B

Azik

ee

ee

kzZ

ωµ (3.86)

atau:

( )

+=

2

1

1

111

11

21 lncoth

B

Azik

kzZ

ωµ (3.87)

Dengan menggunakan cara yang sama di z = z1 pada lapisan pertama, diperoleh:

( )

+=

2

1

1

121

12

21 lncoth

B

Azik

kzZ

ωµ (3.88)

dengan menggunakan persamaan (3.88) diperoleh:

( ) 111

121

2

1

1

1

coth

1ln zik

kzZ

B

A−

=

ωµ (3.89)

apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (3.87), diperoleh:

( ) ( ) ( )

+−=

ωµωµ 1

22121

12

21 coth

1coth

kzZzzik

kzZ (3.90)

apabila harga z1 = 0 dan harga z2 = h1, diperoleh:

36

( ) ( )

+−=

ωµωµ 1

12111

12

21 coth

1coth

khZhik

kzZ (3.91)

besarnya impedansi pada z = z3 pada lapisan kedua:

( )2

322 k

zZωµ= (3.92)

dan z3 = h1, seperti pada persamaan (3.83), dengan mensubstitusi persamaan

(3.92) ke dalam persamaan (3.91), diperoleh:

( )

+−=

2

111

1

21 coth

1coth0

k

khik

kZ

ωµ (3.93)

Persamaan (3.93) dapat dinyatakan bahwa impedansi medium horizontal

dengan dua buah lapisan yang horizontal pada pengukuran z = 0, ( )021Z dengan

simbol Z2. Besarnya dinyatakan (Kaufman dan Keller, 1981):

−−=

2

111

1

2

coth

1coth

k

khik

Z

Z (3.94)

atau:

+−=

2

1

1

21112 coth

1coth

ρρ

hikZZ (3.95)

dimana:

2

1

11

=

σωµ

Z (3.96)

sehingga resistivitas semu pada medium dua lapis dapat diperoleh:

37

2

2

1

1

21111 cothcoth

+−= −

ρρρρ hika (3.97)

3.4.3. Medium Tiga Lapis

Untuk mendapatkan impedansi gelombang elektromagnetik dengan tiga

buah lapisan horizontal dapat diilustrasikan seperti Gambar 3.7.

Persamaan untuk medium tiga lapis (Kaufman dan Keller, 1981):

di lapisan 1:

( ) 1113

1, 0 ,11 hzeBeAzE zikzikx ≤≤+= − (3.98)

( ) ( )zikziky eBeA

kzH 11

1113

1,−−=

ωµ (3.99)

di lapisan 2:

( ) ( )211223

2, ,22 hhzheBeAzE zikzikx +≤≤+= − (3.100)

( ) ( )zikziky eBeA

kzH 22

2223

2,−−=

ωµ (3.101)

Z

h1

h2

Gambar 3.7. Model Medium Tiga Lapis

ρ2

ρ1

z = 0

z = h1

z = h1+ h2

h3 = ∞ ρ3

38

di lapisan 3:

( ) ( )2133

3, ,3 hhzeAzE zikx +≥= (3.102)

( ) ziky eA

kzH 3

333

3, ωµ= (3.103)

dimana:

( )2

1

11 µωσik =

( )2

1

22 µωσik =

( )2

1

33 µωσik =

Dengan menggunakan cara yang sama seperti penyelesaian untuk medium dua

lapis (Nurcahya, 1991) diperoleh:

( ) ( )

+−=ωµ

ωµ 11

3211

1

31 coth

1coth0

khZhik

kZ (3.104)

( ) ( )

++−=ωµ

ωµ 221

3222

21

32 coth

1coth

khhZhik

khZ (3.105)

( )3

2133 k

hhZωµ=+ (3.106)

Dengan menggunakan syarat batas seperti persamaan (3.81) dan (3.82), berlaku:

( ) ( ) ( ) ( )213321

321

321

31 dan hhZhhZhZhZ +=+= (3.107)

Subsitusi persamaan (3.107) ke dalam persamaan (106) akan diperoleh impedansi

di permukaan (z = 0) (Kaufman dan Keller, 1981):

39

( ) [

+−+

+−= 22

2

1

1

211

1

31 coth

coth

1coth0 hikhik

kZ

ρρωµ

2

1

3

coth

1

ωµρ

(3.108)

Besarnya impedansi:

[

+−+

+−= 22

2

1

1

21113 coth

coth

1coth hikhikZZ

ρρ

2

1

3

coth

1

ωµρ

(3.109)

sehingga resistivitas semu pada medium horizontal tiga lapisan diperoleh:

[

+−+

+−= −

22

2

1

1

21111 cothcothcoth hikhika ρ

ρρρ

2

2

1

2

31coth

−

ρρ

(3.110)

3.4.4. Medium N-Lapis

Untuk menurunkan persamaan berulang dari impedansi pada permukaan

model n-lapis, dapat digunakan hasil-hasil yang diperoleh sebelumnya, yaitu

40

model dua lapis dan tiga lapis. Pertama, mencari hubungan antara impedansi pada

dua level kedalaman pada lapisan pertama, kemudian dikembangkan untuk

lapisan kedua, ketiga, dan seterusnya, sehingga diperoleh persamaan berulang

untuk impedansi pada medium n-lapis. Model matematis untuk medium n-lapis

dapat dilihat pada Gambar 3.8.

Persamaan untuk medium n-lapis pada tiap-tiap lapisan (Kaufman dan

Keller, 1981):

( ) zikm

zikm

nmx

mm eBeAzE −+=, (3.111)

Z

h1

h2

Gambar 3.8. Model Medium N-Lapis

ρ2

ρ1

z = 0

hm ρm

z = H2

z = H3

z = Hm-1

z = Hm

z = Hn-1

z = Hn

ρn-1 hn-1

hn = ∞ ρn

41

( ) ( )ωµ

mzikm

zikm

nmy

keBeAzH mm −−=, (3.112)

dimana:

1 ≤ m ≤ (n-1)

untuk m = n, persamaan (3.111) dan (3.112) menjadi:

( ) zikn

nmx

neBzE −=, (3.113)

( ) zikn

nnmy

neBk

zH −=ωµ, (3.114)

Dengan menggunakan cara yang sama dengan penyelesaian untuk medium

dua lapis dan tiga lapis, maka diperoleh impedansi pada tiap-tiap lapisan:

( ) ( )

+−=− ωµωµ j

jnjjj

jj

nj

kHZhik

kHZ

coth

1coth1 (3.115)

dimana:

∑=

=j

llj hH

1

∑=

−− =j

llj hH

111

00 =h

( )2

1

jj ik ωµσ= , j = 1,2,3,……, n-1, n-2.

untuk lapisan ke-n, impedansinya:

( )n

nnn k

HZωµ=−1 (3.116)

42

dimana:

∑=

−− =n

lln hH

111

( )2

1

nn ik ωµσ=

Syarat batas seperti pada persamaan (3.81) dan (3.82) digunakan, maka

berlaku:

( ) ( )jnjj

nj HZHZ =−1 (3.117)

dimana:

j = 1,2,3,….., n-2, n-1.

Dengan menggunakan cara yang sama seperti penyelesaian untuk medium dua

lapis dan tiga lapis, dan sebagaimana persamaan (3.116) dan (3.117), diperoleh

impedansi gelombang elektromagnetik untuk medium horizontal dengan n-lapis

pada permukaan (z = 0) (Kaufman dan Keller, 1981):

( ) [

+−+−

+= 333

222

2

111

1

cothcoth

1coth

coth

1coth0 hik

k

khik

k

khik

kZ n

n

ωµ

+−

−−−

−

− ......coth

1coth

coth

1......

111

1

2

n

nnn

n

n

k

khik

k

k (3.118)

Besarnya impedansi:

+−

+−=

2

1

2

322

2

1

1

2111 coth

1coth

coth

1coth

ρρ

ρρ

hikhikZZn

43

+−

++− −−

−

−

coth

1coth

coth

1....coth 11

2

1

1

233 nn

n

n hikhikρρ

−

...........2

1

1n

n

ρρ

(3.119)

sehingga resistivitas semu pada medium horizontal n-lapis diperoleh:

+−

+−= −−

2

1

2

3122

2

1

1

21111 cothcothcothcoth

ρρ

ρρρρ hikhika

[

+−

++− −

−−−

−− 111

2

1

1

2133 cothcothcoth....coth nn

n

n hikhikρρ

−

.......2

1

1n

n

ρρ

(3.120)

dimana:

ρ1, ρ2, ρ3, ……, ρn = resistivitas sebenarnya

h1, h2, h3, ……, hn-1 = ketebalan lapisan

3.5. Sistem Panas Bumi

Sistem panas bumi mencakup daerah di permukaan bumi dimana dalam

batas tertentu terdapat energi panas bumi dalam suatu kondisi hidrologi batuan.

2

44

Energi panas bumi adalah energi panas yang keluar dari dalam bumi yang

terkandung pada batuan dan fluida yang mengisi rekahan dan pori batuan pada

kerak bumi. Panas yang berasal dari inti bumi mengalir ke permukaan secara

kontinu, yang kemudian menghantarkan panas ke sekeliling lapisan batuan

(mantel bumi). Ketika suhu dan tekanan menjadi cukup tinggi, beberapa bagian

dari batuan mantel bumi meleleh menjadi magma dan karena akibat kerapatannya

yang lebih kecil daripada batuan di sekelilingnya akan berkonveksi, bergerak

secara perlahan ke atas, ke kerak bumi dengan membawa panas (Rybach dan

Muffler, 1981).

3.6. Sistem Hidrotermal

Pada sistem hidrotermal, fluida bertemperatur tinggi berada dalam batuan

reservoar yang permeabel dan berpori. Model sistem hidrotermal dapat

diilustrasikan pada Gambar 3.9. (White, 1967). Air yang berasal dari permukaan

bumi akan mengalami proses penyaringan. Proses penyaringan ini terjadi pada

saat air melewati struktur batuan yang permeabel pada kedalaman tertentu. Pada

kedalaman tersebut, air mengalami proses pemanasan karena adanya kontak yang

dekat dengan ruang magma. Mekanisme pemanasan air dalam reservoar

memudahkan terjadinya aliran panas secara vertikal melalui lapisan kulit bumi.

Penurunan permebilitas terhadap kedalaman menunjukkan bahwa produksi panas

bagian dalam lebih besar daripada bagian di atasnya. Adanya gaya apung di dalam

reservoir akan menyeimbangkan antara kolom air panas dan air dingin.

45

Selanjutnya gaya ini mendorong fluida ke atas dan kembali ke permukaan bumi

melalui saluran permeabel lainnya.

Fluida dan batuan reservoar dalam sistem panas bumi biasanya saling

bereaksi mengakibatkan perubahan (alterasi) fase padat dan cair, sehingga

menghasilkan mineral baru. Perubahan fase ini disebabkan adanya distribusi

temperatur yang berbeda-beda dalam reservoar panas bumi. Secara umum bentuk

alterasi hidrotermal meliputi mineralogi, tekstur, dan respon kimia batuan termal

maupun lingkungan kimianya berubah yang ditandai oleh kenampakan air panas,

uap air, dan gas (Wohletz dan Heiken, 1992).

Gambar 3.9. Model Sistem Hidrotermal (White, 1967)

600 300

46

3.7. Resistivitas Batuan

Tinjauan konduktivitas listrik dari mineral-mineral secara umum sebagian

besar dikarakterisasi oleh resistivitas yang sangat tinggi atau konduktivitas yang

rendah. Untuk batuan berpori atau batuan terkekar berisi air konduktifitasnya

berasal dari konduktifitas elektrolitnya sendiri dan interaksi antara komponen

padat dan cair yang dapat mempertinggi konduktifitas listrik. Adapun

kecenderungan sifat batuan terhadap kandungan air adalah (Schon, 1998):

1. Resistivitas akan berkurang dengan bertambahnya porositas dan rekahan.

2. Permitivitas bertambah dengan meningkatnya porositas dan rekahan.

Pengaruh temperatur dan tekanan juga akan merubah konduktifitas fluida

berpori. Dengan semakin naiknya temperatur dan tekanan, maka akan

mengurangi harga resistivitas batuan (Schon, 1998).

Porositas, saturasi, dan resistivitas fluida dapat berubah secara signifikan

dalam proses vulkanik. Perubahan tekanan internal disebabkan karena akumulasi

magma dalam ruang dapat membuka atau menutup crack (celah) ataupun rekahan,

sehingga mempengaruhi keseluruhan porositas batuan. Porositas dapat juga

berkurang oleh pembentukan mineral alterasi secara kimiawi. Pada sistem

gunungapi, konduktifitas akan bertambah apabila dekat daerah magma (Lenat,

1995), fluida termineralisasi ke dalam atau terjadi akumulasi dalam batuan

berpori. Pengisian kembali dapur magma akan mempunyai pengaruh yang sangat

signifikan dalam distribusi resistifitas sebagai akibat perubahan skala yang besar

dari sistem vulkanik.

47

Tabel 3.1. Harga Beberapa Resistivitas Batuan

Tipe Batuan Range Resistivitas (Ω.m)

Granite porphyry Feeldspar porphyry Syenite Carbonatized porphyry Dacite Andesit Diabase (various) Gabbro Basalt Olivin norite Peridotite Schists (calcareous and mica) Marble Gneiss (various) Quarzites (various) Slates (various) Skarn

4.5x103 (wet) – 1.3x106 (dry) 4x103 (wet) 102 - 106

2.5x103 (wet) – 6x104 (dry) 2x104 (wet) 4.5x104 (wet) – 1.7x102 (dry) 20 – 5x107 103 - 106

10 – 1.3x107 (dry) 103 – 6x104 (wet) 3x103 (wet) -6.5x103 (dry) 20 – 104

102 – 2.5x108 (dry) 6.8x104 (wet) – 3x106 (dry) 10 – 2x108

6x102 – 4x107

2.5x102 (wet) – 2.5x108 Sumber: (Telford, dkk.,1998)

Gambar 3.10. Model Geoelektrik Ideal dan Distribusi Resistivitas dari Sistem Gunungapi (Lenat, 1995)