cuaderno ejercicios 5º año media
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Cuaderno de Ejercicios de Matemática de 5º Año de Educación Media GeneralTRANSCRIPT
Autor: Prof. Luis E. Camacho
lf 03220035101806X
1
Datos de Identificación del Alumno
Mi Colegio / Liceo se llama:_____________________________________
Nombres : _______________________________
Apellidos:__________________________________
Grado:______________ Sección :___________________ Turno:___________________
Dirección de mi Liceo:__________________________________________________________
Nombre de mi Profesor:______________________________________
2
Prologo
El cuaderno de Ejercicios de Matemática que utilizarán los alumnos del 5º Año de Media General, refleja en
forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa actual.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo
práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.
Los Teques, Enero del 2005
3
Contenido
.- Suma de polinomios..................................................................................................................................................................................5
.- Propiedades de la suma de polinomios....................................................................................................................................................6
.- Propiedades de la suma de polinomios....................................................................................................................................................7
.- Sustracción de polinomios.......................................................................................................................................................................8
.- Producto de polinomios...........................................................................................................................................................................9
.- Propiedades del producto de polinomios........................................................................................................................................ 10,11
.- División de polinomios..........................................................................................................................................................................12
.- Regla de Ruffinni...................................................................................................................................................................................13
.- División de un polinomio p(x) entre un binomio (x a).......................................................................................................................14
.- Teorema del Resto.................................................................................................................................................................................15
.- Teorema de Descartes.......................................................................................................................................................................... 16
.- Calculo de raíces enteras mediante Ruffini..........................................................................................................................................17
.- Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini..................................................................................................................18
.- Raíces fraccionarias aplicando Ruffini.................................................................................................................................................19
.- Inecuaciones Lineales en R...................................................................................................................................................................20
.- Inecuaciones de segundo grado en una variable..................................................................................................................................21
.- Representaciones de los ejercicios anteriores......................................................................................................................................22
.- Variación Ordinaria.............................................................................................................................................................................23
.- Ecuaciones de Variaciones...................................................................................................................................................................24
.- Permutaciones Ordinarias....................................................................................................................................................................25
.- Combinación Ordinarias......................................................................................................................................................................26
.- Números Combinatorios.......................................................................................................................................................................27
4
.- Binomio de Newton..............................................................................................................................................................................28
.- Puntos en el Espacio............................................................................................................................................................................29
.- Componentes de un vector ligado........................................................................................................................................................30
.- Suma de Vectores.................................................................................................................................................................................31
.- Sustracción de vectores........................................................................................................................................................................32
.- Producto de un vector por un número real..........................................................................................................................................33
.- Combinación lineal..............................................................................................................................................................................34
.- Vectores Colineales..............................................................................................................................................................................35
.- Vectores linealmente dependientes e independientes...........................................................................................................................36
.- Distancia entre dos puntos...................................................................................................................................................................37
.- Ecuación de la recta en el espacio.......................................................................................................................................................38
.- Ecuación del plano en el espacio.........................................................................................................................................................39
.- Adición y producto de matrices............................................................................................................................................................40
.-Regla de Sarrus.....................................................................................................................................................................................41
.- Teorema Rouche-Frobenius.................................................................................................................................................................42
.- Secciones Cónicas......................................................................................................................................................................43,44,45
.- Probabilidad y Estadística..............................................................................................................................................46,47,48,49,50
5
Suma de Polinomios
1.- Sumar p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x3 – 2x2 + 4x 2.- Sumar t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3
3.- Sumar s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ; h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4 4.- Sumar s(x) = 2/5x2 + 1/4x – 8/2 ; h(x) = 2/6x – 5/4
6
Propiedades de la suma de Polinomios
1.- Conmutativa .- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5 2.- Conmutativa p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7
3.- Asociativa p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ;
h(x) = 2x –6
4.- Asociativa p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6
7
Propiedades de la suma de Polinomios
5.- Elemento Neutro .- p(x) = 5x2 + 3x – 6 6.- Elemento Neutro p(x) = 8x2 – 3x + 2
7.- Elemento Simétrico .- p(x) = 5x2 – 3x + 8 8.- Elemento Simétrico p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2
8
Sustracción de Polinomios
1.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 2.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8
3.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8 4.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x +6
9
Multiplicación de Polinomios
1.- p(x) = 3x2 + 5x –5 ; q(x) = 4x – 8 2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2
3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7 4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4 ; q(x) = 3x + 7
10
Propiedades del Producto de Polinomios
1.- Conmutativa p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x – 2 2.- Conmutativa p(x) =4x – 6 ; q(x) = 5x + 6
3.- Asociativa p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3 4.- Asociativa p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1
11
Propiedades del Producto de Polinomios
5.- Distributiva p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2 6.- Distributiva p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12
7.- Elemento neutro p(x) = 5x2 + 3x – 6 8.- Elemento neutro p(x) = 4x2 – 6x + 5
12
División de Polinomios
1.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) 2.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3)
3.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) 4.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3):(1/2x+3)
13
Regla de Ruffini
1.- Resolver x4-11x2-18x-8=0 2.- Resolver x3-3x2-4x+12=0
3.- Resolver x3+ 4x2+ 5x+2=0 4.- Resolver x3+ x2-5x+3=0
14
División de un polinomio p(x) entre un binomio (x a)
1.- Resuelve (2x3+ 3x2-4x+3) : (x + 2) 2.- Resuelve (x2+ 4x-8) : (x-6)
3.- Resuelve (3x3+ 2x2-6x+2) : (x-7) 4.- Resuelve (6x4-6x2-8) : (x + 4)
15
Teorema del Resto
1.- (3x2+ 4x-6) : (x + 3) 2.- (4x3-2x2-6x+1) : (x-6)
3.- (2x3-5x2-4x+9) : (2x-3) 4.- (6x2-7x+2) : (x-4)
16
Teorema de Descartes
1.- (5x2+ 2x-6) : ( x-2) 2.- (4x2-6x+5) : (x-3)
3.- (3x2+ 5x+6) : (x-3) 4.- (5x2-7x+2) : (x-4)
17
Calculo de raíces enteras mediante Ruffini
1.- Resolver x3+ 6x2+ 11x+6 = 0 2.- Resolver x3 – 7x – 6 = 0 3.- Resolver x4 –5x2 + 4 = 0
4.- Resolver 10x4 – 20x2 + 10 = 0 5.- Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0 6.- Resolver x4 + 4x3 + 3x2 – 4x – 4 = 0
18
Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini
1.- Factorizar -x4 + 8x2 – 16 2.- Factorizar x3 + x2 – x – 1 = 0
3.- Factorizar x3 – 8x2 + 17x – 10 = 0 4.- Factorizar x4-4x3+ 3x2+ 4x-4 = 0
19
Raíces fraccionarias aplicando Ruffini
1.- x3+ x2-5x+3
x3-3x+2
2.- x5-21x3+16x2+108x-144
x3+x2-x-1
3.- x4+5x3+8x2+7x+3
x3+2x2-x-2
4.- -x4 + 8x2 – 16
x3-3x2-4x+12
20
Inecuaciones Lineales en R
1.- 2x + 3x – 5 4 – x 4
2.- 3x – 5 – 2 2x - 4 5
3.- 4 – 6x – x 4x + 6 3 2
4.- 5x – 4 3 – 2
21
Inecuaciones de segundo grado en una variable
1.- Representar y = x2 – 6x + 9 2.- Representar y = x2 +3x + 2
3.- Representar y = x2 – 4x + 3 4.- Representar y = x2 + 5x + 4
22
Representaciones de los ejercicios anteriores
1.- 2.-
3.- 4.-
23
Variación Ordinaria
1.- Calcular V7, 2 2.- Calcular V8,5
3.- Calcular V12,4 4.- Calcular V11,4
24
Ecuaciones de Variaciones
1.- Resolver 4Vx , 3 = 25 2.- Resolver 6Vx , 4 = 12
3.- Resolver 8V x , 2 = 10 4.- Resolver 10V x , 6 = 20
25
Permutaciones Ordinarias
1.- Resolver P4,2 2.- Resolver P6,2 3.- Resolver P8,5
4.- Resolver P12,4 5.- Resolver P9, 3 6.- Resolver P24,6
26
Combinación Ordinaria
1.- C3,2 2.- C8,3
3.- C12,5 4.- C7,3
27
Números Combinatorios
1.- Resolver 12 12
x2 - 1 x2 + 5
2.- Resolver 7 7
4y + 2 2y – 1
3.- Resolver 16 16
5y – 1 2y + 3
4.- 20 20
-2y + 6 5y – 1
28
Binomio de Newton
1.- (x – y)3 2.- ( 3x + y)4
3.- (1 – x2)5 4.- (2 + 2y)4
29
Puntos en el Espacio
1.- Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a y b son puntos de corte.
2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras, donde a y b son puntos de corte.
3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c, d, e, f son puntos de corte.
30
Componentes de un vector ligado
1.- a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7) 2.- a = ( 5,8) ; b = (-6,9)
3.- a = ( -4,-7) ; b = (-5,9) 4.- a = ( -4,-7) ; b = (-5,9)
31
Suma de Vectores
1.- Sumar a = (-2,5) b = (-5,-6) 2.- Sumar a = (4,-5) b = (10,4)
3.- Sumar a = (-7,-4) b = (6,10) 4.- Sumar a = (-1,4) b = (8,-6) c = (-4,9)
32
Sustracción de Vectores
1.- Restar b = (8,-6) ; c = (-4,9) 2.- Restar b = (6,1) ; a = (-1,4
3.- Restar p = (10,-6) ; q = (4,4) 4.- Restar a = (-5,9) ; b = (-12,7)
33
Producto de un vector por un número real
1.- Dado a = (-2,7). Hallar 3 . a 2.- Dado b = (1,6). Hallar -5 . b
3.- Dado c = (3√2,4√2). Hallar -8 . c 4.- Dado d = (10,-5). Hallar 2/4 . d
34
Combinación Lineal
1.- Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b 2.- Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q
3.- Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y 4.- Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b
35
Vectores Colineales
1.- Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y
c = (-2,1)
2.- Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y
t = (3,5)
36
Vectores linealmente Dependientes e Independientes
1) x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y 2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z , x + y - z
3.- 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z 4.- x - y - z , 2 x + 3 y + 2 z , x + z
37
Distancia entre dos puntos
1.- P1(2,4) P2(2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)
38
Ecuación de la recta en el espacio
1.- 2x + y = 4
3x + 2y = 1
2.- 2x + y = 4
3x + 2y = -1
39
Ecuación del plano en el espacio
1.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 2x – 0y + 5 = 0 2.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 3 = 0
3.- Hallar la distancia desde el origen a la recta x – 3y + 9 = 0 4.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 5 x – 13y + 7 = 0
40
Adición y Producto de Matrices
1.- Hallar la suma de las matrices
A = 2 4 0 B = 0 2 9
-2 -2 9 -3 3 6
2 7 -1 1 3 9
2.- Hallar la suma de las matrices
A = 1 -8 4 B = 0 0 3
-3 6 7 7 5 9
1 5 -2 2 4 4
3.- Hallar el producto de las matrices 3A+ 2B
A = 2 5 1 B = 6 2 4
-2 -1 6 1 1 1
2 7 -3 1 3 9
4.- Hallar el producto de las matrices 6.A
A = 5 6 0
-7 3 2
9 7 -1
41
Regla de Sarrus
1.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
2 4 -3
2 1 0
4 9 1
2.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
3 4 -2
2 5 0
-1 8 1
3.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
-4 5 -6
3 1 8
-2 5 9
4.- Calcular el valor de la siguiente determinante:
7 5 4
5 0 9
-2 2 7
42
Teorema Rouche-Frobenius
1.- Resuelve:
4 2 4 1
1 2 6 0
2 4 8 0
-1 2 6 7
2.- Resuelve:
-1 2 6 7
0 -4 6 4
-3 7 1 5
3 2 0 1
3.- Resuelve:
3 2 0 1
3 2 0 1
1 6 -2 8
1 6 -2 8
4.- Resuelve:
2 -1 6 7
0 5 1 9
-3 9 0 5
0 3 1 4
43
Secciones Cónicas
1.- Dibuja la gráfica de la ecuación (circunferencia)
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 16
2.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 4 9determinar sus vértices, sus focos, la longitud de sus ejes y laexcentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.
44
Secciones Cónicas
3.- Dibuja la gráfica de la ecuación (circunferencia)
(x – 5)2 + (y – 6)2 = 25
4.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 16 4determinar sus vértices, sus focos, la longitud de sus ejes y laexcentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.
45
Secciones Cónicas
5.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son
y = ± 2 y sus vértices son V(0,4) y V’(0,-4)
6.- Determina la ecuación de la parábola que cumple con las
condiciones dadas: a) vértice en el origen y foco en F(2,0)
y2 = 12x . b) vértice en el origen y directriz y-1 = 0
46
Probabilidad1) Hallar la probabilidad de que:
Al lanzar dos dados salga el N° 4y 6.
2) Hallar la probabilidad de que allanzar dos monedas salga cara y sello.
3) Hallar la probabilidad de que al meterla mano en un envase que contiene unaficha azul, dos rojas y una verde, salgauna azul y una roja
4) Hallar la probabilidad de que al lanzaruna moneda y un dado salga sello y 3.
5) Hallar la probabilidad de que allanzar dos dados y dos monedas, salga:2,5,cara y sello
6) Hallar la probabilidad de que allanzar 3 monedas, salga: cara, cara ysello
7) Hallar la probabilidad de extraer un 4del tablero:
4 6 4 9 13 3 4 6 44 7 8 5 4
8) Hallar la probabilidad de extraer una“a” del tablero:
a e i o ue a a u io u i a eo u i a a
9) Hallar la probabilidad de que allanzar dos monedas y un dado, salga:cara, sello y N° par.
47
Probabilidad Estadística10.- Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 8 rojas, 15 blancas, 16 azules y 20 naranjas. Halle la probabilidad de que
sea: a.- Naranja; b.- No sea roja o azul; c.- No Azul
2.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 2 de las 6 preguntas de un examen verdadero o falso?
48
Estadística1) Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:
Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada
01 - 05 6 6
06 - 10 8 14
11 - 15 4 18
16 - 20 5 23
2) Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular
Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada
01-05 5 3 5
06-10 6 8 11
11-15 4 13 15
16-20 7 18 22
49
Estadística
3) Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras
Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f
001-002 6
003-004 8
005-006 7
007-008 4
4) Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular
Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f
01-02 5
03-04 3
05-06 7
07-08 2