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INTRODUCCION AL MUESTREO
1.1INTRODUCCION
Estadística
Censo Población
Variable
Cuantificar Continuas
Discretas
Cualificar Variables ordinales
Variables nominales
MUESTRA: Proporcion de toda la población
Estadística descriptiva: Describe datos
Estadística Inferencial: Percibir
Población Parámetro
Muestra Estadístico
InformaciRecopilar
Analizar
Interpreta
Representativa
Característica
Muestra
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1.TI!OS DE MUESTREO
Muestra Probabilístico
Muestreo No Probabilístico
1."DETERMINACION DEL TAMA#O DE LA MUESTRA
Población
Ele$ent% de la $&estra
• Nivel de significancia: Es la probabilidad ue podamos incurrir en un error de
muestreo!
• Nivel de confian"a: Es la probabilidad de cuan confiable ueremos ue sea el muestreo!
• Varian"a:
p: proporción positiva
: proporción negativa• Error: Es el error a causa de observar una muestra en lugar de la población completa!
e2=(5 )2=0.052 Como má#imo puede ser $%
E'ERCICIO
Interval% de c%nfian(a para diferencia de $edias si esta$%s )a*land% de pr%$edi%s.
A :65… … … … ..95→ n A=9→ δ A2 =110,25→ ´ X A=80
B :39… … … … ..80→nB=4→ δ
B
2=174→ ´ X B=65
!as%s para &n est&di% de $&estre%
Definir %*+etiv%o &ipótesis
o Variables
o Definir población
MuestreosimpleSistemáticoEstraticado
DiscretoPor cuotas
inita
n= z2
N × p ×qe2
× ( N −1 )+ z2× p× q
p!
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o Determinar tipo de muestreo
o Determinar tama'o de la muestra
o Recopilar información
o (nálisis
Ta*&lar
Inferencial
1.,. MUESTREO ALEATORIO SIM!LE
)in reposición
Meinteresa orden: N !
n ! ( N −n )!
Nome interesa orden: N !
( N −n )!
E'EM!LON*$
n*+
Numero de cal"ado ,: -+./+0/12/1+/134
5 3 + ´ X S
2=∑ ( x−´ x )
2
n
5 +. 12 12 +0/.6 +/$.
3 +. 12 +. +6/++ +/$.
+ +. 12 +. +6/++ +/$.1 12 12 +. +0/.6 +/$.
$ 12 12 +. +0/.6 +/$.
. +. 12 +. +6/++ +/$.
6 +. +. 12 +. +/$.
0 +. +. +. +6/++ +/$.
7 +. 12 +. +6/++ +/$.
52 +. 12 +. +6/++ +/$.
P ( x>37 )
N ( μ , σ ) N (38,1.87 )
)i #: peso de 8airo
P ( x>37 )=1− P ( z−37 )=1− P( z< 37−381.87 )
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P ( x>37 )=1− P ( z37 )=1−0,2981
P ( x>37 )=0.7019
z=
x− μσ
P ( x
-
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Coeficiente de elevación
n*3
k =22
6=3,67
1.. MUESTREO ESTRATI/ICADO
Considera la clasificación conforme una determinada característica
E'EM!LO
N =100
N 1=50
N 2=5
N 3=45
k = N
n
N = N 1+ N
2+ N
3+ N
4+ N
5+ N
6
Proporciona i"a n
N =
n1= N
1
n2= N
2
n1= N
1=7,5=7
n2= N
2=0,75=1n
N == 15
100=0,15
-
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n=15
E'EM!LO
N 1=c #icos60
N 2=c #icos50
N 3=c # icos40
)olución: Desventa9a: e#iste diferencia significativa en cantidad
n N = n1
N 1= n2
N 2= n3
N 3
1.0. MUESTREO !OR CONLOMERADO
(grupación de elementos eterog;neos
Nivel acad;mico: Edad en ue ingresan los estudiantes a las universidades!
1.2. A!LICACI3N !R4CTICA
-. Cantidad total
/. conglomerado
0na de las caracter1sticas es
muestrear el conglomerado
0P20MS
0-I3A440C2
EMI 0PSA
CARIMBO
SALUDO: Objetivo de la encuesta
Información bsica:
Se!o
"dad #ona
$ %re&unta bater'a ()re&unta )rinci)al*
Consume mermelada+
Si ,o
- .u/ marca consume+
0 %referencia de consumo
Mu1 bueno Im)ortante %oco im)ortante ,ada im)ortante
Calidad
Sabor
%recio
"nvase
M
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MUESTRA,: Edad
50/33/3+/3$/56/35/32/35/3+/31/57/32/32/33/3$/3./31/35/17
xi $ i i $ i /n $ i i
56 3 3 2!5 52 2!5 52
50 3 1 2!5 52 2!3 32
57 3 . 2!5 52 2!+ +2
32 + 7 2!5$ 5$ 2!1$ 1$
35 + 53 2!5$ 5$ 2!.2 .2
33 3 51 2!5 52 2!62 62
3+ 5 5$ 2!2$ $ 2!6$ 6$
31 3 56 2!5 52 2!0$ 0$
3$ 3 57 2!5 52 2!7$ 7$
3. 5 32 2!2$ $ 5!22 522
R*52
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%an&o= xmax− xmin=26−17=9
-
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xi N ( μ , σ )
( ( xi )= μ=∑ xi
n
) ( xi )=σ 2=∑ ( x i−n )
2
n
nm*estra→ ´ xi distri+*ci n m*estra
• )i la población es finita > acemos muestreo con reempla"o
xi=∑ xi
n
((∑ xin )=1n ( (∑ xi )=1n∑ x in
( ( x i )=1
n+nμ
• Población finita sin reempla"o
( ( ´ x )= μ
σ x
2=σ
2
n ( N −n N −1 )
• Estandari"ación de la media
( ( xi )= μ
σ x2=
σ 2
n
n -30 z´ x=´ xi− μ
σ
√ n
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E'EM!LO
)ea una población con variables aleatorias iguales a 2/5/3/+ se toman pares de variables
aleatorias con reempla"amiento sin considerar el orden/ determine:
a4 Media > varian"a poblacional!
b4 ?a distribución de la media muestral!c4 Verifiue los teoremas de la media > desviación estándar de la media!
S%l&ci6n
Población 2/5/3/+
Población ´ x i
2!2 22!5 2!$
2!3 5
2!+ 5!$
5!2 2!$
5!5 5
5!3 5!$
5!+ 3
+!2 3!$
+!5 +!$
+!3 5
+!+ +!$
+!1 +!$
3!2 5
3!5 5!$
3!3 3
3!+ 3!$
( ( x )= μ=∑ xi
n =
0+1+2+34
n=15
) ( x )=σ 2=∑ ( x i−15 )
2
4
-
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'
&
#
*
)
*6( '6(' & &6( #
σ 2=1,25
σ =1,118
´ xi 2 2/$ 5 5/$ 3 3/$ +
$ i 5 3 + 1 + 3 5
*
*6(
'
'6(
&
&6(
#
#6(
)
)6(
( ( ´ x )=∑ ´ xi
n =1,5
( ( ´ x )=∑ $ i ´ xi
n =1,5
σ 2
2=σ
2
n =
1,25
2
-
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σ x
2=∑ ´ xi− [ ( ( ´ xi ) ]
2
N =
10
16=0,625
σ x2=0.625
E'EM!LO
@na empresa ue produce focos considera ue la vida Atil en oras de su producto sigue una
distribución normal con media de $2 > desviación estándar de +/$! Calcular la probabilidad ue
de una muestra de 5. focos tenga una vida Atil media mínima de 10 oras!
x i=.iempode /ida0 ti #oras
N (50,3.5 )
n=16
P ( ´ xi -48)=1− P ( ´ x 148)
z´ x=´ xi− μ
σ
√ n
¿1−( P´ xi− μ
σ
√ n
-
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¿1−0,0113=0,9887
E'EM!LO
)e toma un foco al a"ar cuál la probabilidad ue dure a lo sumo $5 oras
P ( xi 151)= P( z 1 61−503,5 )
P ( xi 151)= P ( z
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P ( ´ x>65 )=1− P( z 1 65−67
55
25×√
1000−25
1000−1 )
P ( ´ x>65 )=1− P ( z 11.88 )
P ( ´ x>65 )=1−0.0324=0.9671
b4 P (651 x 169 )= P ( x 169 )− P ( x 165 )
P (651 ´ xi 169)= P ( ´ xi 169 )− P ( ´ xi -65)
P (651 ´ xi 169)=1− P ( ´ xi>69)− P ( ´ xi -65)
P (651 ´ xi 169)= P( z 1 69−67
5.5
25 √100−25100−1
)−1+ P( 65−67
5.5
25×√
100−25100−1
) P (651 ´ xi 169)= P ( z 11.89 )−1+ P ( z 1−1.89 )
P (651 ´ xi 169)=0.0648
-
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.1.". DISTRI5UCION MUESTRAL DE UNA !RO!ORCI3N
Distri*&ci6n 5in%$ial
B (n , p )= N !
x ! ( N − x )!× p
x× q
N − x
∴ p= 4
1203 xito
q=1− p
p Proporción
2 $ 2 44 0×1164 5=160389488 2
5 1 2!3 44 1×1164 4=28640980 $63057.
3 + 2!1 44 2×1164 3=1520760 .20+21
+ 3 2!. 44 3×1164 2=26680 5.220
1 5 2!0 44 4×1164 1=116 73!0
Muestra
s
572$60231
T%$and% para n7-1204 5=
120!
5 ! (120−5) !=190578024
) productos
defectuosos
'&* unidades
n7(
xi= prod*ctosde$ect*osos (0,1,2,3,4)
-
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μ p=∑n*mera P i
n*mera =
0+5728196+608304+16008+928
190578024
μ p=0.033 Media de a proporci n
x i B (n , p ) N (np ,√ npq )
Proporci n N (np ,√ npq ) Par 5 metro ^ p N ( p ,√ pq )
p= x
n
x i B (n , p )
p= x i
n N (np ,√ npq )
( ( p )= (( xn )=1
n ( ( x )=
1
n np
( ( p )= P
σ 2=npq
μ=np
σ 2 p= pq
E'EM!LO
)e a estimado ue el $$% de los $2 estudiantes de estadística aprobaran/ se toma unamuestra de 0 personas! Calcule la probabilidad ue por lo menos $ o más est;n aprobados
S%l&ci6n
N*$2
-
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xi apr*e+an
p=0.55
∴q=0.45
n=8
p ( x -5 )
media np=50×0.55=27.5
√ npq=3.517des/iaci n estandar
mediam*estra=np=8×0.55=4.4
des/iaci 6 n estandar=√ npq=1.407
P ( x -5 )=1− P ( x
-
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¿1− P( z< 0.425−0.550.497 )
¿1− P ( z 10.15 )
¿1−(1−0.4404 )
¿0.4404
P N ( p ,√ pq )
μ= p
σ 2= pq
( ( p )= μ
σ 2 p=
pq
n
σ x
2=σ
2
n
Si 8&ere$%s deter$inar c&9ntas pre&ntas resp%ndier%n *ien
xi=n*mero de pre&*ntas +*enas
# 2 5 3 + 1 $
$ ( x ) 2!25231 2!26.0 2!3+21 2!+1$. 2!3$1 2!260
p 2 2!3 2!5 2!. 2!0 5!2
B (n , p ) 7istri+*ci n +inomia
n=5
p=0.6 Pro+a+iidad de acertar *na de eas
-
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P ( X = x )= n !
x ! (n− x )!× p
x× q
n− x
( ( x )=np= μ
) ( x )=npq=σ 2
Proporci n P= x
n
P ( X = x )=∑ xPx
P ( P= p )=∑ pPp
→ P ( P=0.4 )=0×0.012×0.2×0.07×0.4 ×0.230=0.107
( ( p )= (( xn )× 1
n ( ( x )=np
n = p
σ 2
( p )= pq
n
( ( p )= p
E'EM!LO
()& #'*
-
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De la totalidad de alumnos ue cursan estadística en todos los cursos de verano se estableció
ue el porcenta9e de alumnos aprobados es el 62%! )i se toma una muestra de 12 personas/
determinar la probabilidad de ue al menos +2 esten aprobados!
S%l&ci6n
xi=a*mnos apro+ados
p=0.7
q=0.3
n=40
P ( x>30 )
( ( x )=np=40×0.7=28
) ( x ) → σ x=√ npq=2.89
P ( x>30 )= P( z>29.5−282.89 )= P ( z>0.52 )
P ( x>30)=0.3015
-
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Con proporciones
p=0.7
q=0.3
n=40
pi= x
n=
30
40=0.75
P ( p>0.75 )
) ( p ) σ ( p)=
√
pq
n
=
√
0.7×0.3
40
σ ( p)=0.072
P ( p>0.75 )= P( z> 0.7375−0.70.072 )
P ( p>0.75 )=0.3015
E'EM!LO
)i el porcenta9e de personas ue no aceptan el Puma atari es el 12% de una muestra de +2
personas determinar la probabilidad de ue al menos el .2% acepte el Puma atari!
S%l&ci6n
-
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xi=si aceptan e P*ma 8atari
p=0.55
q=0.45
n=30
P ( x>18 )
( ( x )=np=16.15
σ ( x ) → σ x=√ npq=2.72
P ( x>18 )= P( z>17.5−16.52.72 )= P ( z>0.37 )
P ( x>18)=0.3332
C%n pr%p%rci%nes
p=0.55
q=0.45
n=30
p=0.6
( ( p )= p=0.55
) ( p ) σ ( p)=√ pq
n =√
0.55×0.45
30
σ ( p)=0.09
-
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P ( p>0.6)= P( z> 0.583−0.550.09 )= P ( z>0.37 )
P ( p>0.6)=0.3037
2.1. DISTRIBUCION MUESTRAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS
PROPORCIONES
N 1
N 2
μ1− μ2
´ x1−´ x
2
( ( x )= μ
( ( ´ x )= μ
( ( ´ x1−´ x2)= ( ( ´ x1 )− ( ( ´ x2 )
( ( ´ x1−´ x2)= μ1− μ2
σ ( x )2=∑ ( x i−´ x )
2
n σ
2
87notas
n4 x
4
n3 x
3
n x
N 1
N ( μ1 , σ 1 ) 9
N 2
N ( μ2 , σ 2 )n4 x
4
n3 x
3
n x
M
-
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σ ( x )2 =
σ 2
n
σ ( ´ x1−´ x2 )2 =
σ 12
n1+
σ 22
n2
Sesgo7Estimado : Real
Ses&o=n−1
n × σ
2−σ 2
Ses&o=n σ
2−σ 2−n σ 2
n
Ses&o=−σ 2
n
Me9or estimador de la varian"a será:Ŝ
2=
n
n−1× S
2 9nses&ado
S2=∑ ( x i−´ x )
2
n−1
x2=
n−1
σ 2
× S2
& ' '=n−1
E'EM!LO
El supervisor de una planta asegura ue la varian"a del diámetro del producto es 5cm/ si
tomamos de 56 unidades cual será la probabilidad ue la varian"a muestral e#ceda a 3cm!
S%l&ci6n
σ 2=1
n=17
P ( S2>2)=2
-
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x2=
( n−1 )
σ 2
S2=
16
1×2=32
?a probabilidad es 2!5
E'EM!LO
?a varian"a poblacional de la estatura de alumnos es s $!$cm/ si tomamos una muestra aleatoria
de 5$ personas/ cual es la probabilidad ue la varian"a de la muestra tomada sea a lo sumo
1!5cm
S%l&ci6n
σ 2=5.5
n=15
P ( S2>4.1)=2
x2=
( n−1 )
σ 2 S
2=14
5.5×4.1=10.44
-
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1−0.75=0.25
E'EM!LO
?a varian"a poblacional de una variable aleatoria es igual a . si se toma una muestra de 3$
unidades determine la probabilidad ue la varian"a muestral sea:
a4 ( 7!5
b4 )e encuentre entre +!1. > 52!61
S%l&ci6n
σ 2=6
n=25
a¿ P ( S2>9.1)=2
x2=
( n−1 )
σ 2
S2=
24
6×9.1=36.4
?a probabilidad ue e#cede a 7!5 es de $%
+¿ P (3.46
-
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x2=24
6×10.74=42.96
P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=0.95−0.01=0.94
R( PRP3.46 )=1− P (S2>10.74 )−(1− P ( S2>3.46 ))
P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=− P ( S2>1074 )+ P (S2>3.46 )
P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=−0.01+0.95
P (¿10.74 )− P (S2>3.46 )=0.94
E'EM!LO
?a varian"a poblacional de una variable aleatoria es 52 si se toma una muestra de 3$
unidades cual la probabilidad ue la desviación estándar de la muestra
a4 sea ma>or a 3!12
b4 cual la probabilidad ue la varian"a muestral sea como mínimo $!56 > a lo sumo
55!6$
-
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c4
S%l&ci6n
σ 2=10
n=25
a¿ P ( S2>5.76)=2
x2=
( n−1 )
σ 2
S2=
24
10×5.76=13.824
P ( S2
>5.76
)=0.95
+¿ P (5.17
-
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Ses%: Estimado=Real*2
Estimadores*insesgado
μ( ´ x )= μ inses&ado
Ses&o=−σ 2
n
Eficiente: ) ( x1) 1) ( x2)
C%nsistencia:
σ x2=
σ 2
n
μ ( x )= μ
S&ficiente: odas las características de la , en la población!
Estimadores ue ueremos predecir la media > la varian"a/ con estos dos estimadores se
puede e#plicar las características de dica variable!
.". ESTIMACION !UNTUAL
3!+!5 M;todos de estimación por momento
→ ( ( x )=∑ xi
n
( ( ´ x )=∑ x i
n =´ x= μ
→ ( ( x2 )=∑ x2
n =2momento=/arianza de a po+acion
n4
-
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( ( xk )=∑ xik
n
N x (2,4,6,8 ) po+acion q*etoma esos c*atro /aores
$== ∑
n
# u i
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
# # i 33333
3 $0$.$1$3 −+−+−+−=−
= ∑
σ
1
$3
=
=
σ
u
omar dos valores con repetición para asegurar/ ue cada uno de estos valores sean
independientes!
523$ =C
-
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muestra una es ellos de uno Cada
00
.0
10
30
0.1.
3.
01
.1
11
31
03
.3
13
33
iable una constitu>e )e
u sesgada es corregida no Varian"a #
var
20
56
1.76
2.
5$
11
1.
5$
21
5+7$
11
5+
23
$F$F 33
↓
==⇒ σ σ
( ) u # E =
media poblacional
( ) $== ∑n
# # E
i
n sale del total de muestras
Varian"a partiendo de mis muestras
$/33 =s
$/3$3
5
5
3
33
==
−=
s
n
n
s σ
Cuasi;arianza
( )$/35
3
5G 33 =
−
= s n
n s
-
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⇒= $G3s estimador sesgado
Dada una población cu 4adistribución muestral de la media b>4a distribución muestral de la ;arianza c> la
media < la ;arianza poblacional a tra;?s de las muestras6
- !@*=#='=(=)> con reposición
Muestras
11
$1+1
51
21
1$
$$
5$
+$
2$
15
$5
55
+5
25
1+
$+
5+
++2+
12
$2
52
+2
22
21
63/53$
3$/2$/1
3$/3$/3
3/2$/+
13
3$/2$/1
2$
1+
51
3$/.$/33$/3$/3
1+
25
53
3$/2$/2
3$/2$/+
51
53
3$/3$/5
13
3$/.$/3
3$/2$/2
3$/3$/5
22
3
3
=
∑σ
σ #
( )
( )
( )
./3G
+/553
3G
5G
+/5
./33
53
5
11/+
./3
./3
3
3
33
3
3
33
3
=
−=
−=
=
−=
−=
=
=
== ∑
s
s
s n
n s
s
s
n
n s
u n
# # E i
σ
σ
21/25220/2$/221/22 ⋅+⋅+⋅Para obtener media poblacional
-
8/18/2019 cuaderno parte 1.docx
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2 2/$ 5 5/$ 3 3/$ + +/$ 1 1/$ $
5 3 5 3 1 1 + 3 + 3 5
2/21 2/20 2/21 2/20 2/5. 2/5. 2/53 2/20 2/53 2/20 2/21
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