cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/curs-cuadrice.pdf · oana constantinescu cuadrice. cilindrul...

30

Upload: others

Post on 05-Nov-2019

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Cuadrice

Oana Constantinescu

March 19, 2013

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 2: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

De�nition

O cuadrica este locul geometric al punctelor din spatiu ale caror

coordonate in raport cu un reper ortonormat R = {O; i , j , k}veri�ca o ecuatie de tipul:

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + (1)

2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0 ,

a211 + a222 + a233 > 0.

tXAX + 2BX + a00 = 0, A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

6= O3 (2)

A =t A, B = (a10 a20 a30) .

Page 3: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Theorem

Calitatea unei submultimi de a � o cuadrica nu depinde de reperul

ortonormat in raport cu care s-a dat ecuatia ei.

La o schimbare de repere ortonormate

R = {O; i , j , k} → R′ = {O ′; i ′, j ′, k ′}, ce determina

schimbarea de coordonate X = SX ′ + S0, ecuatia (2) devine

tX ′A′X ′ + 2B ′X ′ + a′00 = 0,

unde

A′ =t SAS 6= O3, B ′ = (tS0A + B) S a′00 = f (S0) .

Page 4: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Elipsoidul

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0 (3)

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 5: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Hiperboloidul cu o panza

x2

a2+

y2

b2− z2

c2− 1 = 0 (4)

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 6: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Generatoarele hiperboloidului cu o panza

Hiperboloidul cu o panza este o cuadrica riglata, adica exista

o familie de drepte cu proprietatile:

1 orice dreapta din familie este situata pe cuadrica;2 prin orice punct al cuadricei trece cel putin o dreapta din

familie.

O astfel de familie se numeste sistem de generatoare

rectilinii pentru cuadrica respectiva.

(xa− z

c

) (xa

+ zc

)=(1− y

b

) (1 + y

b

)dλ :

{xa− z

c= λ

(1− y

b

)λ(xa

+ zc

)=(1 + y

b

)δµ :

{xa− z

c= µ

(1 + y

b

)µ(xa

+ zc

)=(1− y

b

) λ, µ ∈ R ∪ {∞}

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 7: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Hiperboloidul cu doua panze

x2

a2− y2

b2− z2

c2− 1 = 0 (5)

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 8: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Paraboloidul eliptic

x2

a2+

y2

b2− 2z = 0 (6)

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 9: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Paraboloidul hiperbolic

x2

a2− y2

b2− 2z = 0 (7)

-2 -1 0 1 2

-1-0.500.51

-1

0

1

2

3

-1-0.5

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 10: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Generatoarele paraboloidului hiperbolic

(xa

+ yb

) (xa− y

b

)= 2z

dλ :

{xa

+ yb

= 2λ

λ(xa− y

b

)= z

δµ

{xa

+ yb

= µz

µ(xa− y

b

)= 2

λ, µ ∈ R ∪ {∞}, µ 6= 0.

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 11: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Cilindri patratici

Se considera o conica (γ), reprezentata intr-un reper

ortonormat din spatiu prin{a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0

z = 0

De�nition

Locul geometric al punctelor dreptelor din spatiu δ, paralele cu axa

Oz a reperului considerat, care se sprijina pe conica (γ), senumeste cilindru patratic. Conica (γ) se numeste curba

directoare iar dreptele paralele cu Oz se numesc generatoarele

(rectilinii) ale cilindrului.

Ecuatia unui astfel de cilindru patratic este

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 (8)

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 12: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Cilindrul eliptic

x2

a2+

y2

b2− 1 = 0

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 13: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Cilindrul hiperbolic

x2

a2− y2

b2− 1 = 0

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 14: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Cilindrul parabolic

y2 = 2px

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 15: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Cilindru general (nu e cuadrica)

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 16: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Conuri patratice

Se considera o conica (γ), reprezentata intr-un reper

ortonormat din spatiu prin{a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0

z = k 6= 0

De�nition

Locul geometric al punctelor dreptelor din spatiu δ, care se sprijina

pe conica (γ) si trec toate prin O, se numeste con patratic (cu

varful in O). Conica (γ) se numeste curba directoare iar dreptele

paralele cu OM, M ∈ γ se numesc generatoarele (rectilinii) ale

conului.

Ecuatia acestui con patratic este

a11k2x2 + a22k

2y2 + a00z2 + 2a12k

2xy + 2a10kxz + 2a20kyz = 0

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 17: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Con patratic

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 18: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Con general (nu e cuadrica)

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 19: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Conicele ca sectiuni in conul de rotatie

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 20: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Cuadrice degenerate

O pereche de plane

(ax + by + cz + d)(a′x + b′y + c ′z + d ′) = 0, a2 + b2 + c2 > 0

a′2 + b′2 + c ′2 > 0

O dreapta dubla

x2 + y2 = 0

Un punct dublu

x2 + y2 + z2 = 0

O cuadrica vida

x2 + y2 + z2 + 1 = 0

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 21: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Invarianti ortogonali si centro-ortogonali ai unei cuadrice

Fie o cuadrica (Γ) de�nita, in raport cu un reper ortonormat �xat,

prin ecuatia

tXAX + 2BX + a00 = 0, A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

6= O3

A =t A, B = (a10 a20 a30) ,

D =

(A tB

B a00

)=t D.

De�nim:

I = Tr(A), δ = det(A), J =suma minorilor diagonali de

ordinul 2 lui A

∆ = det(D), L = suma minorilor diagonali de ordinul 2 ai lui

D, K = suma minorilor diagonali de ordinul 3 ai lui D

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 22: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Theorem

a) δ, ∆, I , J sunt invarianti ortogonali ai cuadricei.

b) L, K sunt invarianti centro-ortogonali ai cuadricei.

c) Daca δ = ∆ = 0, atunci K este invariant ortogonal.

d) Daca δ = ∆ = K = J = 0, atunci Leste invariant ortogonal.

Fie λ1, λ2, λ3 valorile proprii (nu neaparat distincte) ale matricii A:

λ3 − Iλ2 + Jλ− δ = 0.

Putem obtine o clasi�care a cuadricelor in functie de semnele

invariantilor asociati acesteia cat si a valorilor proprii.

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 23: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Clasi�carea cuadricelor

δ ∆ λ1, λ2, λ3 − ∆λi δ

K L Cuadrica

> 0 6= 0 + + + Elipsoid

< 0 6= 0 + + - Hiperboloid cu o panza

> 0 6= 0 - - + Hiperboloid cu doua panze

< 0 6= 0 - - - Cuadrica vida

6= 0 0 acelasi semn Punct dublu

6= 0 0 + + - Con patratic

0 6= 0 λ1λ2 > 0, λ3 = 0 Paraboloid eliptic

0 6= 0 λ1λ2 < 0, λ3 = 0 Paraboloid hiperbolic

0 0 + + 0 > 0 Cuadrica vida

0 0 λ1λ2 > 0, λ3 = 0 0 Dreapta dubla

0 0 + + 0 < 0 Cilindru eliptic

0 0 - - 0 > 0 Cilindru eliptic

0 0 - - 0 < 0 Cuadrica vida

0 0 λ1λ2 < 0, λ3 = 0 6= 0 Cilindru hiperbolic

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 24: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

δ ∆ λ1, λ2, λ3 − ∆λi δ

K L Cuadrica

0 0 λ1λ2 < 0, λ3 = 0 0 Plane secante

0 0 λ1 6= 0, λ2 = λ3 = 0 0 > 0 Cuadrica vida

0 0 λ1 6= 0, λ2 = λ3 = 0 0 0 Plan dublu

0 0 λ1 6= 0, λ2 = λ3 = 0 0 < 0 Plane paralele

0 0 λ1 6= 0, λ2 = λ3 = 0 6= 0 Cilindru parabolic

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 25: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Gaudi

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 26: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 27: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 28: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 29: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Oana Constantinescu Cuadrice

Page 30: Cuadrice - math.uaic.rooanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf · Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul eliptic x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 Oana Constantinescu Cuadrice. Cilindrul hiperbolic

Oana Constantinescu Cuadrice