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8/19/2019 CUARTO GRADO -Matemática.docx

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Reconsiderar el sentido de la Matemática en la

escuela

En síntesis, “cómo” se hace Matemática en el aula

define, al mismo tiempo, “qué” Matemática se hace,

y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea una disyuntiva central en relación con la

construcción de las condiciones que posibilitan el

acceso a la Matemática de unos pocos o de todos

!"á#$%&Priorizar un tipo de trabajo matemático

'esulta pues vital que prioricemos en la escuela,

desde el momento en que los niños se inician en elestudio de la Matemática, la construcción del

sentido de los conocimientos por medio de la

resolución de problemas y de la refle(ión sobreestos, para promover así un modo particular de

traba)o matemático que esté al alcance de todos los

alumnos y que supon#a para cada uno*+ nvolucrarse en la resolución del problema

presentado, vinculando lo que se quiere resolver conlo que ya se sabe y plantearse nuevas pre#untas

!"á#$%&Elaborar estrate#ias propias y compararlas con las

de sus compañeros considerando que los

procedimientos incorrectos o las e(ploraciones queno los llevan al resultado esperado son instancias

ineludibles y necesarias para el aprendi-a)e

+ .iscutir sobre la valide- de los procedimientosreali-ados y de los resultados obtenidos

+ 'efle(ionar para determinar qué procedimientos

fueron los más adecuados o /tiles para la situaciónresuelta

+ Establecer relaciones y elaborar formas de

representación, discutirlas con los demás, confrontar

las interpretaciones sobre ellas y acerca de lanotación convencional

+ Elaborar con)eturas, formularlas, comprobarlas

mediante el uso de e)emplos o )ustificarlasutili-ando contrae)emplos o propiedades conocidas

+ 'econocer los nuevos conocimientos y

relacionarlos con los ya sabidos

+ nterpretar la información presentada de distintosmodos, y pasar de una forma de representación a

otra se#/n su adecuación a la situación que se

quiere resolver+ "roducir te(tos con información matemática

avan-ando en el uso del vocabulario adecuado

!"á#$0&Elegir los problemas

1onsideramos que cada actividad constituye un

problema matemático para un alumno en lamedida en que involucra un eni#ma, un desafío a

sus conocimientos matemáticos, es decir, si estos le

permiten iniciar la resolución del problema y, parahacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en

)ue#o las nociones que tiene disponibles,

modificándolas y estableciendo nuevas relacionesEn este sentido, la actividad que puede resultar

problemática para un alumno no lo es

necesariamente para otro, puesto que depende de los

conocimientos de que dispone 2sí, para atender lahetero#eneidad en cada #rupo de alumnos respecto

de sus conocimientos iniciales y dar a todos la

posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas pre#untas, confiar en que todos los

niños pueden responderlas de al#/n modo, admitir

diferentes procedimientos y, lue#o, traba)ar con losconocimientos que sur)an para avan-ar hacia los que

se quiere enseñar por medio del planteo de nuevas

pre#untas!"á#$3&

Los contextos4e parte de la idea de que una noción matemática

cobra sentido a partir del con)unto de problemas enlos cuales resulta un instrumento efica- de

resolución

Esos problemas constituyen el o los conte(tos para presentar la noción a los alumnos "or e)emplo, el

cálculo de puntos en un )ue#o, la construcción de

una fi#ura, la elaboración de un procedimiento parareali-ar un cálculo son conte(tos posibles para

presentar la suma, los rectán#ulos o la propiedad

conmutativa"ara cada noción es posible considerar diferentes

conte(tos que nos permitan plantear problemas en

los que la resolución requiera su uso Estos

conte(tos podrán ser matemáticos o no, incluyendoentre estos /ltimos los de la vida cotidiana, los

li#ados a la información que aparece en los medios

de comunicación y los de otras disciplinas"or e)emplo, la noción de multiplicación de

decimales es frecuentemente tratada por medio de la

resolución de problemas, como ¿Cuál es el precio

de 2,5 kg de carne sabiendo que el kg vale $ 8,7?En este caso, se trata de un contexto no

matemático de la vida cotidiana 5ambién habrá

que plantear que calculen el área de un rectángulode 2,5 de base y 8,7 de altura !e(presadas en unaunidad arbitraria de lon#itud&, que también requiere

reali-ar una multiplicación En este caso se trata deun contexto matemático. En los dos casos, la

multiplicación es el instrumento que resuelve el

problema* la noción está conte(tuali-ada y“funciona” en esos casos particulares


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En este sentido, al producir la solución, el alumno

sabe que en ella hay conocimiento matemático,aunque no lo#re identificar cuál es "ara que pueda

reconocerlo, tendremos que intervenir nombrando

las nociones del modo en que se usa en la disciplinay reformulando las conclusiones alcan-adas por el

#rupo con representaciones lo más pró(imas

posibles a las convencionales, es decir reconociendo

como conocimientos matemáticos los que se usaroncomo instrumento de resolución, ahora

independientemente del conte(to 2simismo, se

podrá relacionar esos conocimientos con otros quefueron traba)ados anteriormente

2l presentar cada noción en diferentes conte(tos, y

desconte(tuali-arla cada ve-, se amplía el campo de problemas que los alumnos pueden resolver con

ella .e este modo, con cada nuevo problema, los

chicos avan-an en la construcción de su sentidoEn todos los casos, los conte(tos tendrán que ser

significativos para los alumnos, es decir queimplicarán un desafío que puedan resolver en el

marco de sus posibilidades co#nitivas y suse(periencias sociales y culturales previas

2simismo, los conocimientos involucrados en el

problema deberán cobrar interés para ellos y sercoherentes desde el punto de vista disciplinar

2l interactuar en su vida social, los niños aprenden

las prácticas habituales de cada comunidad yconstruyen saberes, al#unos de los cuales están

li#ados a la Matemática 4on estos saberes los que

debemos recuperar en la escuela para vincularloscon los conocimientos que deben aprender, ya sea

para reconocerlos como parte de ellos y

sistemati-arlos, como para utili-arlos en nuevos

conte(tos.e este modo, es esperable que los alumnos puedan

incorporar en su vida cotidiana nuevas prácticas

superadoras y valorar el aporte brindado por laescuela para su adquisición

6os resultados de investi#aciones reali-adas sobre

el uso de conocimientos matemáticos en situaciones

de la vida cotidiana, como hacer compras dealimentos, dan cuenta de los m/ltiples factores que

determinan las decisiones que tomamos acerca de

“cuánto” compramos y muestran que a veces noutili-amos conocimientos matemáticos "or

e)emplo, tenemos en cuenta las preferencias o

necesidades de los inte#rantes de la familia y nosólo la relación precio7cantidad o restrin#imos la

compra a la cantidad de dinero disponible 2l

formular ese tipo de problemas con propósitos deenseñan-a, seleccionamos al#unos datos que

intervienen en la situación o conte(to real 2sí, las

relaciones que se establecen entre los datos paraencontrar la respuesta están más relacionadas con

los conocimientos que se quieren enseñar que con la

situación real que da ori#en al problema2l ele#ir los problemas, también es esencial revisar

los enunciados y las pre#untas que presentamos,

pues muchas veces se incluyen pre#untas que

carecen de sentido en sí mismas, pues no aluden a problemas reales o verosímiles

"or e)emplo, si en un enunciado se habla de la suma

de las edades de dos hermanos o de la cantidad dehormi#as de dos hormi#ueros, cabe pre#untarse

quién puede necesitar estos valores y para qué

8n conte(to muy utili-ado en la clase deMatemática es el de los )ue#os El sentido de

incluirlo va más allá de la idea de despertar el

interés de los alumnos9u#ar permite “entrar en el )ue#o” de la disciplina

Matemática, pues se eli#en arbitrariamente unos puntos de partida y unas re#las que todos los

participantes acuerdan y se comprometen a respetar6ue#o, se usan estrate#ias que anticipan el resultado

de las acciones, se toman decisiones durante el

)ue#o y se reali-an acuerdos frente a las discusiones :o debemos perder de vista que, al utili-ar el )ue#o

como una actividad de aprendi-a)e, la finalidad de

la actividad para el alumno será #anar, pero nuestro propósito es que aprenda un determinado

conocimiento "or eso, el hecho de )u#ar no es

suficiente para aprender* la actividad tendrá quecontinuar con un momento de refle(ión durante el

cual se lle#ará a conclusiones li#adas a los

conocimientos que se utili-aron durante el )ue#o

6ue#o, convendrá plantear problemas de distintotipo en los que se vuelvan a usar esos

conocimientos* partidas simuladas, nuevas

instancias de )ue#o para me)orar las estrate#ias,tareas a reali-ar con los conocimientos

desconte(tuali-ados !"á# $3;$


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) en relaci+n a *? En estos problemas se establecendiferentes relaciones entre las cantidadesinvolucradas En el primer problema, >7? representa

la relación entre una parte !en este caso subcon)unto

de cardinal >& con el todo !con)unto de cardinal ?&En el se#undo problema, >7? indica el resultado de

dividir > entre ? !en este caso repartir > entre ?&,

mientras que en el tercer problema, indica la medida

de un ob)eto, resultado de la comparación entre lostamaños del se#mento 2 y del se#mento A

1ada uno de estos si#nificados e(i#e y pone en

funcionamiento aspectos diversos del concepto den/mero racional y también de distinto orden de

comple)idad

Esto obli#a a pensar en cómo es posible or#ani-arsu aborda)e en el tiempo

2 lo lar#o de su recorrido por el 4e#undo 1iclo, los

alumnos deben ir traba)ando con estos si#nificados, pero a su ve- en cada uno de ellos se requiere del

planteo de distintos problemas que permita trataraspectos relativos al orden de racionales, a la

equivalencia, a la operatoria aditiva ymultiplicativa Esto indica que para cada si#nificado

es necesaria la construcción de un con)unto de

problemas de diferentes niveles de comple)idad!"á#BC&

Las representaciones

En el con)unto de problemas que seleccionamos

también es necesario tener en cuenta las distintas

representaciones posibles de la noción quequeremos enseñar, ya que la posibilidad de avan-ar

en la comprensión de una noción implica

reconocerla en sus distintas representaciones

pudiendo pasar de una a otra y ele#ir la másconveniente en función del problema a resolver

Es importante señalar que, por e)emplo, cuando no

se articulan las distintas representaciones del mismon/mero racional, muchos niños conciben “las

fracciones” como ob)etos distintos de “los n/meros

decimales” "ara representar un mismo n/mero

racional se pueden escribir las si#uientese(presiones* $ D $7B= $ $7B= >7B= > ( $7B= $, y $,C,

utili-ar la recta numérica, establecer equivalencias

con otras e(presiones fraccionarias y decimales oe(presiones como* $ D ( $7$C o $CF 4in

embar#o, y aunque podrían ser usadas

indistintamente en tanto refieren al mismo n/mero,los conte(tos de uso y las estrate#ias de cálculo

suelen determinar la conveniencia de utili-ar

una u otra representación

Gtras representaciones de las fracciones que suelen

aparecer en las producciones de los alumnos sondistintas formas #ráficas, como círculos o

rectán#ulos

En estos casos, deberían ser anali-adas en el #rupo,sociali-adas, para darles un lu#ar entre los

conocimientos construidos en la clase y,

posteriormente, incluirlas en las actividades que

presentemos El tiempo que aparentemente se“pierde” en este traba)o de anali-ar las

representaciones en función del problema que se

está resolviendo, se “#ana” en la si#nificatividadque cobran para el alumno .el mismo modo, el uso

o no de materiales “concretos” debería ser decidido

por el alumno en función de sus necesidades, queestarán li#adas al estado de sus conocimientos

2simismo, en Heometría, para representar una

fi#ura se usan dibu)os, te(tos que describen elcon)unto de propiedades que cumple e instructivos

que permiten construirla .urante este 1iclo, habráque propiciar discusiones acerca de las

características de estas distintas representaciones, yla transformación de una en otra, para que los

alumnos avancen en la conceptuali-ación de los

ob)etos matemáticos y los diferencien de susrepresentaciones En este caso, el obstáculo

fundamental es la identificación de una fi#ura con

un dibu)o particular2l plantear los problemas, deberemos promover que

la representación que cada alumno utilice sea una

forma de e(presar lo que está pensando, y que eldebate posterior a las producciones sobre la

pertinencia y economía de estas permita su

evolución hacia las representaciones

convencionales Iue los alumnos vayanevolucionando en el uso de las representaciones será

una tarea a lar#o pla-o

Las relaciones entre preguntas y datos

2l#unos de los problemas que se presentan yfuncionan como conte(to para utili-ar una noción

permiten traba)ar lo que denominamos tratamientode la información.En estos casos, tanto para los contenidos del E)e

“:/mero y Gperaciones”, como para el de

“Heometría y Medida”, lo que se pone en )ue#oes la relación entre las pre#untas y la construcción

de datos para responderlas

Muchas veces, detectamos que los alumnos intentan

resolver un problema aritmético buscando laoperación que deben reali-ar para solucionarlo Esa


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forma de enfrentarse al problema está fomentada

por la estructura y el contenido de muchosenunciados que forman parte de la tradición escolar

y por el tratamiento que se les da en clase En ellos

suelen aparecer todos los datos necesarios pararesponder a la pre#unta que se hace y esta se refiere

al resultado de una operación entre ellos En

muchos casos, además, el maestro que ya enseñó los

cálculos propone a los alumnos que identifiquen“la” operación y espera que resuelvan el problema

sin dificultad

6a resolución de problemas requiere, en cambio,#enerar en los chicos la necesidad de leer e

interpretar el enunciado o la información que se

presenta para construir una representación mentalde la situación que les permita plantearse al#una

estrate#ia inicial para su resolución Esta necesidad

se puede instalar variando tanto la forma de presentación del enunciado como el tipo de tarea

que el alumno debe reali-ar, e incluyendo problemas que ten#an una, varias o nin#una

solución6os enunciados pueden ser breves relatos o te(tos

informativos de otra área de conocimiento, tener

datos “de más” e incluir imá#enes 6as pre#untastambién serán variadas* al#unas no se podrán

contestar, otras se contestarán con un dato y sin

operar, y otras requerirán hacer una operación, perola respuesta podrá ser una información diferente del

resultado de la misma 5ambién los alumnos podrán

proponer problemas, para lo cual se puede darinformación y pedir que formulen pre#untas o

presentar datos y respuestas para elaborar una

pre#unta que los relacione 2 la ve-, tendremos que

or#ani-ar la clase de modo que cada alumno puedainterpretar el problema y tomar una primera

decisión autónoma a propósito de su resolución

En Heometría, la tradición escolar sólo incluye problemas para el caso de cálculos de medidas,

como el perímetro, la superficie y el volumen, y su

tratamiento es el mismo que el mencionado

6a propuesta de este enfoque es problemati-ar eltraba)o con las construcciones, considerándolas un

medio para conocer las propiedades #eométricas En

este sentido, las actividades de reproducción defi#uras permiten a los alumnos poner en )ue#o en

forma implícita las propiedades involucradas y

avan-ar lue#o hacia otras que requieran sue(plicitación 2demás, en 4e#undo 1iclo es

importante proponer problemas con una, varias o

nin#una solución, como por e)emplo determinar

cuáles son las fi#uras que cumplen un con)unto de

condiciones iniciales !"á# BB&

onstruir condiciones para resolver problemas

"ara que cada alumno se involucre en el )ue#omatemático, además de ele#ir un problema

desafiante pero adecuado para sus conocimientos, y

en el que la noción a enseñar sea un instrumento

efica- de resolución, es necesario tener en cuenta uncon)unto de condiciones* cuáles son los materiales

necesarios, qué interacciones prevemos derivadas

de la forma de or#ani-ar la clase y nuestrasintervenciones durante su transcurso

1uidar estas condiciones, anticiparlas al planificar

la clase, es, en realidad, uno de nuestros #randesdesafíos como maestros

Las situaciones de ense!anza

En al#unas ocasiones, la tarea que se propone al

alumno puede presentarse sólo mediante elenunciado de un problema o con una pre#unta para

un con)unto bien ele#ido de cálculos o con uninterro#ante que deba ser respondido a partir de una

información publicada en el diario o en un te(to de

1iencias :aturales o de 1iencias 4ociales En otrasocasiones, habrá que proporcionar los instrumentos

de Heometría para reali-ar una construcción o los

materiales para un )ue#o Jpor e)emplo dados ytablas para anotar punta)esJ, el croquis de un

recorrido, un mapa, etc En todos los casos, una

primera condición es ase#urarnos de tenerdisponibles los materiales a utili-ar

5ambién habrá que anticipar cuál es el tipo de

interacciones que queremos que se den para

or#ani-ar distintos momentos de la clase* las decada alumno y el problema, las de los alumnos entre

sí y las de los alumnos con el maestro "ara ello,

habrá que proponer, se#/n conven#a y de manerano e(cluyente, momentos de traba)o en forma

individual, en pequeños #rupos o con toda la clase

6os niños podrán reali-ar diferentes tareas En

al#unas ocasiones, traba)arán usando losconocimientos matemáticos de manera implícita, sin

nombrarlos ni escribirlos, por e)emplo, al medir,

construir, decidir cómo )u#ar o calcular En otras,utili-arán los conocimientos matemáticos de manera

e(plícita* tendrán que describir cómo midieron o

calcularon, qué instrumentos usaron para construir yqué hicieron en cada paso, o producirán un

instructivo para que otro construya una fi#ura o

realice un cálculo, e(plicarán por qué decidieronutili-ar un procedimiento u otro, cómo pueden


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comprobar que un resultado es adecuado 5ambién

darán ra-ones para convencer a otro compañero deque los n/meros encontrados o las fi#uras dibu)adas

cumplen con las condiciones del problema= tendrán

que ar#umentar sobre si un procedimiento es o nocorrecto En otras oportunidades, será el maestro

el que presente una afirmación para que los alumnos

discutan sobre su valide-

En 4e#undo 1iclo, es importante también que losalumnos comiencen a anali-ar el nivel de

generalidad que tienen las respuestas a los

problemas que resuelven 2sí, comprobar que se pueden obtener dos trián#ulos i#uales ple#ando

un cuadrado de papel #lasé no es suficiente para

afirmar que las dia#onales de cualquier cuadradoson con#ruentes 2simismo, habrá que descubrir y

e(plicitar que al#unas afirmaciones son verdaderas

en un campo numérico, o para un con)unto defi#uras, y no lo son para otros "or e)emplo, el

producto de una multiplicación es mayor quecualquiera de sus factores, siempre que se opera con

n/meros naturales, pero esto no es cierto si, pore)emplo, los factores son n/meros racionales

menores que $

2l anticipar el desarrollo de la clase y prever lascondiciones necesarias para que ocurran las

interacciones que nos interesan, diseñamos una

situación problemática a propósito delconocimiento que queremos enseñar Esta situación

incluye un con)unto de elementos y relaciones que

estarán presentes en la clase* el problema, losmateriales, una cierta or#ani-ación del #rupo, un

desarrollo con momentos para diferentes

intercambios 2l planificar, también anticipamos

los diferentes procedimientos y las representacionesque podrán usar los alumnos, nuestras pre#untas y

las conclusiones matemáticas posibles

La gestión de la clase

Kemos planteado ya que, para que los alumnos

desarrollen el tipo de traba)o matemático que

buscamos promover, serán fundamentales lasintervenciones del docente durante la clase

El traba)o de resolución de problemas que se

propone en este enfoque #enera muchas vecesinse#uridad "ensamos ¿c+(o voy a presentar este proble(a si no (uestro antes c+(o &acerlo?,¿c+(o voy a organiar la clase si cada unoresponde de una (anera distinta? o ¿c+(o voy acorregir si &ay distintos procedi(ientos en loscuadernos? 'especto de la primera pre#unta, parainiciar el aprendi-a)e de un nuevo conocimiento en

el proyecto de cada año escolar tendremos quepresentar un problema ase#urándonos de quetodos hayan comprendido cuál es el desafío que seles propone "ara que cada alumno acepte ocuparsede él, es esencial #enerar el deseo de resolverloEste tipo de intervención, que busca que el alumnose ha#a car#o de la resolución, es siempre parte

del inicio de la clase, pero puede reiterarse en

distintos momentos, toda ve- que sea necesario yoportuno Es una invitación para que el chico

resuelva por sí solo y no una orientación sobre

cómo debe hacerlo o qué debe hacer"ara comen-ar, los niños lo resuelven de manera

individual o en pequeños #rupos, con diferentes

procedimientos, se#/n los conocimientos de los quedispone cada uno "or e)emplo, en ?L año7#rado,

aunque a/n no se haya traba)ado sobre las cuentas

de dividir es posible plantear a los niños un problema como*

-os lápices se venden en paquetes de a ./,¿cuántos paquetes se deben co(prar para dar unlápi a los .27 ni0os de la escuela? ¿1 si ueran25/ ni0os? 6os niños podrán recurrir a una variedadde procedimientos para resolverlo* procedimientosaditivos o sustractivos, de a die-, de a dobles= o procedimientos multiplicativos6ue#o, habrá que dar lu#ar a un intercambio donde

participen todos los alumnos y en el que se vayane(plicando las diferentes apro(imaciones al

conocimiento que se quiere enseñar, y debatir sobre

ellas 2l anali-ar las diferentes soluciones,tendremos que valori-ar de i#ual modo todas las

producciones, ya sea que permitan o no arribar a

una respuesta al problema planteado

2l dar lu#ar a la presentación y e(plicación de los procedimientos utili-ados por los chicos, es

necesario animarlos a dar razones de lo reali-ado, a

e(plicar por qué lo hicieron de cierta forma, aar#umentar sobre la valide- de sus producciones

Esto les permitirá volver sobre lo que han pensado,

para anali-ar sus aciertos y errores, y controlar, de

este modo, el traba)o 2lentarlos a hablar o participar a aquellos que no lo hacen

espontáneamente si#nifica traba)ar suponiendo que

los chicos pueden pro#resar y no que van a fracasarEn al#/n caso, recuperar todas las producciones

escritas distintas, y presentarlas en con)unto para

compararlas y discutir cómo me)orar cada una, puede contribuir a “despersonali-ar” las mismas,

focali-ando el análisis en su valide- o nivel de

#eneralidad y no en los conocimientos de quienes


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las elaboraron 2sí el “error” de unos se capitali-a

en la refle(ión de todosEste traba)o incorpora a los alumnos en el proceso

de evaluación en un lu#ar diferente del habitual,

donde quedan a la espera de la palabra del docenteque les ratifica de inmediato si lo que hicieron está

bien o no 4i han asumido como propia la tarea de

resolución, querrán saber si lo producido es o no

una respuesta a la pre#unta que or#ani-ó elquehacer matemático en el aula El debate del

con)unto de la clase dará por válida o no una

respuesta, y llevará a la modificación de los procedimientos que conducen a errores

En un comien-o, las ra-ones que los alumnos den al

debatir se apoyarán en e)emplos, comprobacionescon materiales como ple#ar papeles o tomar

medidas, entre otros casos, para lue#o avan-ar hacia

el uso de propiedades2 la ve-, estas /ltimas se enunciarán con distintos

niveles de #eneralidad= por e)emplo, pasaremos de* 3od"s &acer 4 ! y te da lo (is(o que ! 4 , en el"rimer 1iclo, a* )l su(ar es posible ca(biar elorden de los n(eros, en el 4e#undo 1iclo1on la intervención del maestro, se reconocerán y

sistemati-arán los saberes que se van descubriendoEsta tarea de establecer relaciones entre las

conclusiones de la clase y el conocimiento

matemático al que se pretende lle#ar, introduciendolas re#las y el len#ua)e específicos, y entre los

conocimientos ya incorporados y los nuevos, es una

tarea que está siempre a car#o del maestro y queresulta imprescindible para que los alumnos

identifiquen qué han aprendido

"ara esto, no tenemos que basarnos en nin#/n

esquema rí#ido Esas intervenciones pueden darseen distintos momentos, siempre que sean oportunas=

es decir que lle#uen después de que los alumnos

hayan desple#ado sus propios ra-onamientosEl camino propuesto no implica diluir la palabra

del maestro. 1uando los chicos están resolviendo

los problemas solos o con su #rupo, el maestro

podrá pasar cerca de cada uno, atendiendo lo quevan haciendo, los términos que usan, lo que

escriben, quiénes no participan y quiénes si#uen

atentamente Jaun sin hablarJ lo que hacen suscompañeros .e tal modo, el maestro tendrá un

re#istro del con)unto de conocimientos que se

desplie#an en la clase Esta información seráfundamental para tomar decisiones en el momento

del debate* qué #rupo conviene que hable

primeroN, cuáles tienen una respuesta similarN,qué procedimiento es el más potente para hacer

avan-ar el debate hacia el conocimiento que se

espera enseñarN Esto permitirá optimi-ar el tiempodedicado a la puesta en com/n, de manera que no

resulte tediosa para los alumnos ya que, cuando los

procedimientos son muy similares, bastará contomar como ob)eto de análisis la producción de uno

solo de los #rupos

El docente tampoco queda al mar#en del debate de

la clase, puesto que es él quien lo conduce 2 veces,las conclusiones a las que los chicos lle#an en

con)unto son parcialmente válidas 2llí, el maestro

podrá decir, por e)emplo* 3or a&ora acorda(os queresolve(os as%# en la pr+6i(a clase lo seguire(osviendo .e esta manera, interviene en el proceso sinanticiparse, pero de)ando marcas, planteando la provisoriedad de lo acordado o al#una contradicción

que queda pendiente por resolver 2sí, no

invalidaremos el traba)o de la “comunidad clase”, pero de)aremos instalado que hay al#una cuestión

que hay que se#uir discutiendoEn relación con el modo de organizar la clase

frente a las distintas respuestas y tiempos de traba)ode los niños, los docentes muchas veces planteamos

situaciones para que sean resueltas por todo el

#rupo, lo que nos permite valorar, corre#ir, hacerseñalamientos a las intervenciones de los alumnos

Es cierto que es más fácil llevar adelante el traba)o

colectivo sobre un /nico procedimiento, pero deeste modo se corre el ries#o de que sólo un #rupo de

alumnos participe activamente si#uiendo al maestro

mientras otros se quedan al mar#en de la propuesta=y aunque todos lo si#uieran, lo aprendido se limita a

una /nica manera de pensar

6a alternativa que proponemos a la or#ani-ación

habitual de la clase, se#/n nuestros ob)etivos, seráor#ani-ar la actividad de distintas maneras*

individual, por pares o #rupos de más alumnos, y

aun con distintos tipos de tareas para cada #rupo odentro del mismo #rupo, alentando la movilidad de

los roles y estando atentos a la posible

confi#uración de estereotipos que,

lamentablemente, al#unas veces hacen que ladiscriminación se e(prese en la clase de

Matemática 5anto los momentos de traba)o

individual como los compartidos en #rupo aportanal alumno un tipo de interacción diferente con el

conocimiento, por lo que ambos deberán estar

presentes en la claseMuchas veces, cuando estamos a car#o de un

plurigrado, separamos a los niños se#/n el

año7#rado que cursan, y vamos atendiendo a un#rupo por ve-


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4in embar#o, a la hora de reali-ar adaptaciones a las

actividades presentadas, es importante tener encuenta el enfoque de enseñan-a, de manera de no

perder la rique-a de las propuestas que ofrecemos

"or e)emplo, para alcan-ar determinadosaprendi-a)es, es indispensable #enerar espacios de

debate en los que deberían participar alumnos que

compartan repertorios de conocimientos y niveles

de análisis similares 4in embar#o, ocurre muyfrecuentemente que en estos escenarios haya solo

uno o que sean muy pocos los alumnos en al#uno de

los años7#rados, lo que hace imposible or#ani-ar unverdadero deba;te entre ellos En estos casos,

proponemos a#rupar niños de varios años7#rados

y or#ani-ar actividades con un conte(to com/n, proponiendo una tarea distinta a cada #rupo, de

modo que los desafíos sean adecuados a los

distintos conocimientos de los alumnos Esto permite que al momento de la confrontación todos

los alumnos puedan entender las discusiones que seori#inen e incluso puedan participar de las mismas,

aunque no sean ori#inadas por la actividad que lecorrespondió a su #rupo "or e)emplo, se podría

proponer para #rupos armados con niños de ?L, L y

%L año7#rado un )ue#o como “6a escoba del uno”$de cartas con fracciones, diferenciando la

comple)idad a la hora de anali-ar las partidas

simuladasEn esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene

diferentes funciones* en él, cada chico ensaya

procedimientos, escribe conclusiones que coincideno no con su resolución y, eventualmente, re#istra

sus pro#resos, por e)emplo, en tablas en las que da

cuenta del repertorio de cálculos que ya conoce .e

este modo, el cuaderno o la carpeta resultan unre#istro de la historia del aprendi-a)e y los docentes

podemos recuperar las conclusiones que los

alumnos hayan anotado cuando sea necesario paranuevos aprendi-a)es

En este sentido, conviene además conversar con los

padres que, acostumbrados a otros usos del

cuaderno, pueden reclamar o preocuparse alencontrar en él huellas de errores que para nosotros

)ue#an un papel constructivo en el aprendi-a)e .e

todos modos, es recomendable discutir con elequipo de cole#as de la escuela cómo se re#istra en

el cuaderno la presencia de una producción que se

revisará más adelante5ambién el pizarrón tiene diferentes funciones 2llí

aparecerá todo lo que sea de interés para el #rupo

completo de la clase, por e)emplo* los procedimientos que queremos que los alumnos

comparen, escritos por un representante del #rupo

que lo elaboró o por el maestro, se#/n lo que pare-ca más oportuno

1onvendrá usar también papeles afiche o de otro

tipo para llevar el re#istro de las conclusiones, comotablas de productos, acuerdos sobre cómo describir

una fi#ura, etc, para que el #rupo las pueda

consultar cuando sea necesario

"romover la diversidad de producciones es unmodo de incluir a todos en el aprendi-a)e, de

#enerar confian-a en las propias posibilidades de

aprender y de poner en evidencia la multiplicidad deformas de pensar frente a una misma cuestión, así

como la necesidad de acordar cuáles se consideran

adecuadas en función de las re#las propias de laMatemática

Es muy importante instalar en la escuela las

condiciones necesarias para que los niños sientanque los errores y los aciertos sur#en en función de

los conocimientos que circulan en la clase, es decirque pueden ser discutidos y validados con

ar#umentos y e(plicaciones Es así como pretendemos que los niños vayan internali-ando

pro#resivamente que la Matemática es una ciencia

cuyos resultados y pro#resos se obtienen comoconsecuencia necesaria de la aplicación de ciertas

relaciones y del debate entre quienes las plantean, y

no como una práctica de la adivinación o del a-ar oun saber que no sufre transformaciones

.e todos modos, sabemos que seleccionar

problemas y secuencias de actividades que puedanser abordadas por los alumnos de la clase con

distintas herramientas, e intervenir

convenientemente para que todos puedan avan-ar,

supone para nosotros una dificultad mucho mayorque la de presentar un problema que la mayoría

resuelve de la misma manera Iui-á nos dé un poco

de tranquilidad saber que a traba)ar en #rupo seaprende y que, en el inicio de este aprendi-a)e, hay

que tolerar una cuota de desor#ani-ación, hasta que

los alumnos incorporen la nueva dinámica

8na cuestión li#ada a la or#ani-ación de laenseñan-a que conviene tener en cuenta es la de

articular, en cada unidad de traba)o, al#/n con)unto

de actividades que formen una secuencia paradesarrollar cierto contenido El criterio que

utili-amos al presentar al#unos e)emplos en el

apartado “"ropuestas para la enseñan-a” es que encada nueva actividad de una misma secuencia se

tome como conocimiento de partida aquel que haya

sido sistemati-ado como conclusión en la anterior


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Gtra cuestión también li#ada a la elaboración de una

unidad de traba)o, y que permite me)orar el uso del

tiempo de clase" es la articulación de contenidos

2l#unos contenidos relacionados con distintos :2"

pueden abordarse en una misma unidad y a/n enuna misma secuencia "or ello, es conveniente tener

en cuenta que la presentación de los :2" no indica

un orden de enseñan-a y que, antes de armar las

unidades, es indispensable tener un panorama de latotalidad de la propuesta

Evaluar para tomar decisiones

En cuanto a los ob)etivos con que presentamos los

problemas, podemos plantear distintas opciones*

para introducir un tema nuevo, para que vuelvan ausar un conocimiento con el que traba)aron pero en

un conte(to distinto o con un si#nificado o

representación diferentes, o para recuperar prácticasya conocidas que les permitan familiari-arse con lo

que saben hacer y lo ha#an ahora con másse#uridad "ero los problemas son también un tipo

de tarea que plantearemos para evaluar4in desconocer que cada maestro tomará decisiones

de promoción y acreditación en función de acuerdos

institucionales y )urisdiccionales sobre criteriosy parámetros, queremos poner énfasis en la idea de

que un sentido fundamental de la evaluación es

reco#er información sobre el estado de los saberesde los alumnos" para lue#o tomar decisiones que

permitan orientar las estrate#ias de enseñan-a

6as producciones de los niños dan cuenta tanto delos resultados derivados de nuestras propias

estrate#ias de enseñan-a, como de lo que

aprendieron y de sus dificultades

El modo de traba)o propuesto en estas pá#inasintroductorias permite tomar permanentemente

información sobre qué saben los chicos acerca de lo

que se ha enseñado o se desea enseñar 6os problemas seleccionados para iniciar cada tema

pueden funcionar para tener al#unos indicios de los

conocimientos del #rupo y considerarlos en un

sentido dia#nóstico para terminar de elaborar launidad didáctica

.e este modo, la evaluación dia#nóstica, en lu#ar

de focali-arse en el inicio del año, se vincula con la planificación de cada unidad y de cada secuencia de

traba)o

2l considerar las producciones de los alumnos, pueden aparecer errores de diferente ori#en, pero

muchas veces los que llamamos “errores” no son

tales

2l#unos de ellos están vinculados con una

distracción circunstancial, como copiar mal unn/mero del pi-arrón que sólo habrá que aclarar

Gtros, en cambio, estarán mostrando una forma de

pensar provisoria, por e)emplo, cuando los chicosdicen, frente al dibu)o de un cuadrado, sta igurano es un rectángulo Esto /ltimo no es cierto si seconsidera que el cuadrado es un paralelo#ramo con

cuatro án#ulos rectos, condición que caracteri-a alos rectán#ulos 4in embar#o, las primeras

clasificaciones que reali-an los niños parten de la

idea de que un ob)eto pertenece a una /nica clase* siuna fi#ura es un cuadrado, no puede ser un

rectán#ulo

Orente a los “errores” descubiertos será necesarioanali-arlos, intentar comprender cómo y por qué se

producen y plantear actividades de distinto tipo

5anto en el caso de cuestiones presentes en las producciones de muchos alumnos del #rupo como

respecto de al#unas ideas provisorias como lasmencionadas respecto de la multiplicación de

n/meros racionales y de las relaciones entrecuadrado y rectán#ulo, habrá que volver sobre la

noción involucrada en ese momento,

cuestionándolos con e)emplos que contradi#an susideas :o es evitando los “errores” como se acorta

el proceso de aprendi-a)e, sino tomándolos como se

enriquece

#vanzar a!o a a!o en los conocimientos de

$egundo iclo6a mayoría de las nociones matemáticas que se

enseñan en la escuela llevan mucho tiempo de

elaboración, por lo que es necesario delinear un

recorrido precisando el punto de partida yatendiendo al alcance pro#resivo que debiera tener

el tratamiento de las nociones en el aula

El E)e “:/mero y Gperaciones” incluye comoaprendi-a)es prioritarios, durante el 4e#undo 1iclo,

avan-ar en el conocimiento del sistema de

numeración y de fracciones y decimales= y en el uso

de las operaciones y las formas de calcular connaturales, fracciones y decimales para resolver

problemas 2l finali-ar el 1iclo, se espera lo#rar

que los chicos puedan anali-ar las relaciones entrelas distintas clases de n/meros y sus distintas

representaciones, iniciando la sistemati-ación

de relaciones numéricas y propiedades de lasoperaciones

"ara ello, en relación con los n%meros naturales y

se#/n lo abordado en el "rimer 1iclo, en el4e#undo 1iclo se parte de los conocimientos que


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los niños tienen sobre las relaciones entre la serie

numérica oral y la serie numérica escrita hasta elorden de las unidades de mil y las vinculaciones

entre la descomposición aditiva y la

descomposición aditiva y multiplicativa de losn/meros !?% se puede descomponer como ?CC D

C D % y como ? ( $CC D ( $C D % ( $& para

traba)ar con n/meros más #randes, anali-ando

equivalencias de escrituras, procedimientos deorden y comparación basados en distintas

representaciones y la conveniencia de una u otra,

se#/n el problema puesto en )ue#o1on respecto a los n%meros racionales, en >er

año7#rado los niños han tenido apro(imaciones a

al#unas fracciones y al#unos decimales sur#idas alabordar situaciones del E)e “Heometría y Medida”

En ?L año7#rado, se usan e(presiones fraccionarias y

decimales de los n/meros racionales asociadas aconte(tos que les dan si#nificado, como el de la

medida, el de sistema monetario, situaciones dereparto y partición, para resolver problemas de

equivalencia, orden, comparación suma y resta o producto por un natural 5ambién se inicia el traba)o

con problemas en conte(to matemático que se

profundi-a en L y %L año7#rado2 partir de L año7#rado, se aborda la equivalencia

entre e(presiones fraccionarias y decimales, y se

incluye la representación en la recta numérica En%P año7#rado, se incorpora la escritura porcentual y

se avan-a en la transformación de una e(presión en

otra, reconociendo además la conveniencia del usode unas u otras se#/n los problemas a resolver

2demás, se inicia el reconocimiento de que las

re#las del sistema de numeración estudiadas para

los naturales se e(tienden a los racionalesGtro aprendi-a)e prioritario del E)e “:/mero y

Gperaciones” es el de las operaciones básicas"

tanto en relación con los problemas aritméticos quedeben resolver los niños, como con las formas de

calcular En 4e#undo 1iclo, es esperable que los

alumnos avancen en nuevos significados de la

suma, la resta, la multiplicación y la división de losn/meros naturales, y que calculen en forma e(acta y

apro(imada con distintos procedimientos,

incluyendo la construcción de otros máseconómicos Este traba)o contribuirá a lo lar#o del

ciclo a sistemati-ar relaciones numéricas y

propiedades de cada una de las operacionesEn particular, se iniciará en L año7#rado la

e(plicitación de las relaciones de m%ltiplo&divisor

en la resolución de problemas, así como la relación

entre dividendo, divisor, cociente y resto en

conte(tos matemáticos5ambién comien-an a tratarse en forma sistemática

las relaciones de proporcionalidad" li#adas

inicialmente a la operatoria multiplicativa yavan-ando hacia el análisis de sus propiedades 6os

problemas que incluyen la representación de un

con)unto or#ani-ado de datos mediante #ráficos

estadísticos !#ráficos de barras, circulares y delíneas& resultan de interés para enriquecer los

conte(tos de uso de estas relaciones

En relación con las formas de calcular" esimportante considerar como inicio del traba)o el uso

de diferentes procedimientos en función de los

conocimientos disponibles de los alumnos sobre losn/meros involucrados y sobre las operaciones, antes

de anali-ar y utili-ar procedimientos más

económicos6a evolución de las formas de calcular con n/meros

naturales dependerá de la disponibilidad que ten#anlos alumnos tanto del repertorio multiplicativo

como de las propiedades, de las intervenciones deldocente, y de las comparaciones y validaciones que

se ha#an de las distintas formas de calcular que

conviven en la clase En particular, el cálculo escritode la división debiera evolucionar desde

estrate#ias de sucesivas apro(imaciones en ?L

año7#rado, hasta lo#rar apro(imaciones al dividendoen menos pasos

6a operatoria aditiva y la multiplicación por un

entero con fracciones y decimales se inicia en ?Laño7#rado li#ada a los conte(tos que le dan sentido

6a misma avan-a en L y %L año7#rado, tanto con las

e(presiones fraccionarias como con las decimales,

con la intención de elaborar y comparar procedimientos de cálculo para lle#ar a

sistemati-arlos

2l hablar de tratamiento de la información enrelación con los contenidos del E)e “:/mero y

Gperaciones”, nos referimos a un traba)o específico

que permita a los alumnos desple#ar en forma

pro#resiva ciertas capacidades, como interpretar lainformación que se presenta en diferentes

portadores !enunciados, #ráficos, tablas, etc&,

seleccionar y or#ani-ar la información necesaria para responder pre#untas, diferenciar datos de

incó#nitas, clasificar los datos, planificar una

estrate#ia de resolución, anticipar resultados6a lectura y or#ani-ación de la información, así

como su eventual recolección a partir de

e(periencias si#nificativas para los alumnos, seiniciará en ?L año7#rado y avan-ará en el 1iclo en


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las formas de representación en #ráficos,

finali-ando en %L año7#rado con problemas querequieran tomar decisiones entre distintas

alternativas de or#ani-ación y presentación de

datosEn el E)e “Heometría y Medida” incluimos el

estudio del espacio 6as referencias espaciales

construidas en el "rimer 1iclo se articulan

pro#resivamente en un sistema que permite ubicarlos ob)etos en el espacio sensible, y en la

representación de ese espacio en el plano En este

1iclo, se avan-a en el tamaño del espacio que serepresenta y en las referencias que se usen,

comen-ando por la elección de referencias por parte

del alumno en ?L año7#rado, y evolucionando haciala inclusión de representaciones convencionales en

función de un sistema de referencia dado, en %P

año7#radoEn paralelo con el estudio del espacio, se estudian

los ob)etos geom'tricos" es decir las formas de dosy tres dimensiones "ara ello, es posible traba)ar con

las figuras y los cuerpos sin relacionarlosnecesariamente con ob)etos del mundo sensible

El avance de los conocimientos #eométricos, en este

1iclo, no se plantea en relación con el repertorio defi#uras y cuerpos, sino en función de las

propiedades que se incluyan 4e inicia en ?P

año7#rado la consideración de bordes rectos ocurvos, n/mero de lados y de vértices, án#ulos

rectos o no para las fi#uras, y de las superficies

curvas o planas, n/mero y forma de las caras para elcaso de los cuerpos

"ara las fi#uras se avan-a incluyendo el paralelismo

de los lados y las propiedades de las dia#onales 4e

evolucionará también en el tipo de ar#umentacionesque se acepten como válidas Jdesde las empíricas

hacia otras basadas en propiedadesJ, lo que irá en

paralelo con la conceptuali-ación de las fi#urascomo ob)etos #eométricos y con el uso de un

vocabulario cada ve- más preciso

6os problemas del E)e “Heometría y Medida” en el

4e#undo 1iclo en principio funcionan comoarticuladores entre la aritmética y la #eometría, en el

sentido que permiten atribuir sentido a los n/meros

racionales y cuantificar ciertos atributos de losob)etos y de las formas 6os problemas reales de

medición efectiva de lon#itudes, capacidades, pesos

y tiempo que se incluyan en cada año deben permitir al alumno elaborar una apreciación de los

diferentes órdenes de cada ma#nitud y utili-ar

instrumentos para establecer diferentes medidas

En este 1iclo se hace necesario, además, un traba)o

profundo en relación con los cambios de unidadesEn ?L año7#rado habrá que establecer, a propósito

de diferentes ma#nitudes, qué relación e(iste entre

las unidades ele#idas y las medidascorrespondientes 6ue#o, se hace necesario avan-ar

en la comprensión de la or#ani-ación decimal de los

sistemas de unidades del 4ME62, lo que

constituye un soporte interesante para lacomprensión de la escritura decimal de los

racionales En %P año7#rado habrá que e(plicitar las

relaciones de proporcionalidad involucradas en lae(presión de una misma cantidad con distintas

unidades

#rticular el trabajo en la clase de () a!o&grado

2l or#ani-ar unidades de traba)o, es necesario tener

en cuenta, además de las decisiones didácticas quetome el docente, las vinculaciones matemáticas

entre las nociones que se enseñan y que tienen quever con su ori#en y, por lo tanto, con las

características que le son propiasEl traba)o con los contenidos vinculados a :/mero

y los vinculados a Gperaciones supone, tanto para

los naturales como para las fracciones y decimales,considerar relaciones de distinto tipo El traba)o

sobre numeración se relaciona con el de cálculo,

dado que los métodos de cálculo, redondeo,apro(imación y encuadramiento están li#ados a la

estructura del sistema de numeración decimal

"or su parte, las diferentes estrate#ias de cálculoe(acto y apro(imado dependen del si#nificado que

se les da a las operaciones en los distintos

conte(tos

En relación con los contenidos vinculados aHeometría y los vinculados a Medida, es necesario

considerar que el estudio de las propiedades de las

fi#uras y los cuerpos incluye nociones de medida, por e)emplo, las lon#itudes de los se#mentos o las

amplitudes de los án#ulos

2 su ve-, los contenidos de Medida se relacionan

con los de :/mero y Gperaciones, ya que la nociónde n/mero racional, entendida como cociente entre

enteros, sur#e en el conte(to de la medición de

cantidades "or lo tanto, habrá que avan-arsimultáneamente con la comprensión de los usos de

los n/meros racionales y del proceso de medir

En relación con las decisiones didácticas, soloseñalaremos en este apartado que los contenidos de

tratamiento de la información son transversales a

todas las unidades de traba)o "resentar lainformación de diferentes modos en los problemas y


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variar la tarea, tanto en los problemas aritméticos

como #eométricos, dará lu#ar a que los alumnos noconciban la idea de problema de una manera

estereotipada, tanto en lo que se refiere a la forma

de los enunciados como a las formas de resolución y

el n/mero de soluciones a investi#ar

cuarto grado -matemática.docx

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