cuplaj maxim de valoare minima intr-un graf bipartit

8/12/2019 Cuplaj MAXIM de Valoare Minima Intr-un Graf Bipartit

1/3

G I n f o n r .

1 5 / 3 - m a r t

i e 2 0 0 5

38

f o c u s

Un fel de cupluri...

CuplajMAXIM

de valoareMINIM ntr-un GRAFBIPARTIT

Ilie Vieru

n cadrul acestui articol vom prezenta un algoritm interesant pentrudeterminarea cuplajului maxim de cost minim ntr-un graf bipartit. nmomentul de fa algoritmul este sub tipar i la prestigioasa revistMathematics Magazine.

Sunt cunoscute problemele n care sesolicit asocierea optim a elemente-lor unei mulimi A = {a1, a2, ...,an} cuelementele mulimiiB= {b1, b2, ...,bm}, n condiiile unor limitri ale posibi-litilor de asociere.

n general, fiecare asociere posi-bilai b j aduce un anumit efect(cost, profit etc.) pe care l presupu-nem cunoscut.

Limitrile asupra asocierilor n-seamn: un elementai din A poate fi asociat

doar cu anumite elemente dinB ireciproc;

n final, fiecrui element din A i s-aasociat cel mult un element dinB ireciproc.

Asocierea optim nseamn gsi-rea unui cuplaj maxim ntr-un graf bipartit i presupune, de obicei, douobiective: s se determine maximul de asocieri; suma efectelor asocierilor s fie op-

tim (maxim sau minim).

Dintre problemele practice carese reduc la a determina un cuplaj ma-xim de valoare optim, amintim [1]:

repartizarea muncitorilor unei sec-ii pe utilaje n funcie de pregtireai preferinele muncitorilor dar ide complexitatea mainilor;

repartizarea angajailor pe posturi; formarea grupelor de lucru dup afi-

nitile dintre membrii colectivului; transferarea unor informaii ntr-un

grup.

ObservaiePresupunem cunoscute definiiile cuprivire la graf bipartit, cuplaj, cuplajmaxim, valoarea cuplajului([1], [2],[4]).

n anul 1931 Kniga formulatteorema prezentat n continuare.

TeoremNumrul maxim de muchii ale unuicuplaj ntr-un graf bipartitG = ( A B, U ) este .

n anul 1955, bazndu-se pe teo-rema lui Knig, H.W. Kuhna elabo-rat un algoritm cunoscut sub denu-mirea dealgoritmul ungar cu ajuto-rul cruia se poate determina un cu-plaj maxim de valoare minim ntr-un

graf bipartit pentru | A| = |B| =n. Else bazeaz pe observaia prezentat n continuare.

ObservaieDac se adun (sau se scade) acelainumr la toate valorile muchiilor,atunci nu se schimb ierarhia cupla- jelor maxime.

Algoritmul pornete de la matri-cea ptratic , unde:

Acest algoritm, este laborios, greude implementat, dei are complexita-te polinomial ([1]).

Pentru determinarea cuplajuluibipartit maxim se poate folosi i me-toda Ford-Fulkersonpentru grafulbipartitG = ( X = A B, U ), ntr-untimp polinomial n | X | i |U |.

Soluia const n construirea uneireele de transport n care fluxurilereprezint cuplajele.

Graful iniial se completeaz cu nc dou vrfuris (sursa) it (desti-

=

].,[muchiaexistnudac,];,[muchiaexistdac

],,[muchieivaloarea

ji ji

jimij

( ) n jiijmM = ,1

( )( )C U C A AC

+

min


2/3

f o c u s

GI nf onr .1

5 / 3 -m ar t i e2

0 0 5

39

naia), legate de vrfurile din A, res-pectivB ca n exemplul de la p. 517din [2].

Se presupune c fiecare muchieare o capacitate pozitiv. n acest con-text se aplic algoritmul Ford-Fulker-sonobinndu-se soluia optim.

n continuare v propun un algo-ritm original, rapid i foarte uor deimplementat. Pentru aceasta pornimde la cteva elemente de algebrsuperioar. Se tie c pentru a calculavaloarea determinantului asociat uneimatrice avem formula:

unde reprezintsignaturapermutrii, iar fiecare din termeniisumei reprezint cte un produs cunelemente ale matricei A, n aa fel n-ct ele epuizeaz toate liniile i toatecoloanele matricei.

Cu alte cuvinte, nu exist n niciun termen al sumei doi factori aflaipe aceeai linie sau aceeai coloan amatricei.

Presupunem mai nti c avem| A| = |B| =n. n acest caz va trebui sdeterminm ntr-un mod asemntordefiniiei prezentate anterior terme-nul de va-loare minim, reinnd n acelai timpi permutarea care l-a generat.

Introducem notaia:

Astfel putem scrie expresia:

Cu alte cuvinte, Ak+1se obinedin Ak prin bordare la dreapta i joscu elementele corespunztoate coloa-neik + 1, respectiv ale linieik + 1.

Atam matricei An vectorul dedecizie , cu semnificaia:

d i = j0 unde aij0 reprezint termenulde pe liniai ales la un pask (1 i, j0 k) n sumaSn, i k n. De aseme-nea, construim vectorul ,

care memoreaz permutarea inversataat permutriid , adicvd i = i, saud v j = j (1 i, j0 k).

Iterativ construim: A1 = (a11);d 1 = 1;S1 =a11; v1 = 1.Presupunem construite cele patru

iruri pn n pasulk, k 1.Pentru pasulk + 1 ntreaga con-

strucie urmrete: obinerea elementuluiSk+1 cu valoa-

re minim, n sensul definiiei, cutermeni din matricea Ak+1folosindrezultatele obinute pn la pasulk;

actualizarea vectorilor (d 1, d 2, ...,d k),respectiv (v1, v2, ...,vk).

La acest pas se disting trei situaii: laSk se adaugak+1,k+1, caz n careefectum urmtoarele operaii:Sk+1=Sk +ak+1,k+1; d k+1= 1;vk+1= 1.

Sk+1se formeaz adugnd termeniiai,k+1i ak+1, j pentru care avemd i = j,caz n care efectum operaiile:Sk+1=Sk - aij +ai,k+1+ak+1, j; d i =k + 1;d k+1= j; vk+1= i;v j =k + 1.

Sk+1se formeaz adugnd termeniiai,k+1i ak+1, j pentru care avemd i j,caz n care se efectueaz operaiile:Sk+1=Sk - ai,d i - av j, j +av j,d i +ai,k+1+ak+1, j; d v j =d i;vd i =v j; d i =k + 1;vk+1= i; d k+1= j; v j =k + 1.

n finalSn reprezint valoarea mi-nim a cuplajului maxim: (1,d 1), ...,(n, d n).

Pentrun = | A| < |B| = m, algorit-mul parcurge urmtorii pai: se aplic algoritmul anterior i se

determinSn, d n, vn; pentru valorile j cuprinse ntren + 1

i m avem dacl i0 < 0, atunci se efectueaz urmtoa-rele actualizriSn =Sn + l i0; d i0 = j.

ObservaieSoluia se exprim la fel ca n cazulalgoritmului prezentat anterior (cndmulimile A i Bau acelai numr deelemente).

Pentrun = |B| < | A| = m, algorit-mul parcurge urmtorii pai: se aplic algoritmul anterior i se

determinSn, d n, vn; pentru valorilei cuprinse ntren + 1

im avem dac

l j0 < 0, atunci se efectueaz urmtoa-

rele actualizriSn =Sn + l j0; d v j0 = 0;v j0 = i;d i = j0.

Observaien acest caz, la afiarea vectorului dedecizii ([3]), se poate parcurge irulpe coloane: (v1, 1), ..., (vn, n), sau seselecteaz acele linii, cresctor dupi, pentru cared i > 0.

Algoritmul urmrete la fiecarepask optimizarea funciei obiectivi de aceea putem spune c se nca-

dreaz n strategia generalGreedy.Urmrind etapele prezentate, sepoate demonstra, folosind cunotinede nivelul clasei a XI-a teorema careurmeaz.

TeoremAlgoritmul prezentat determin uncuplaj maxim cu valoare minim.

ExempluLa o secie au fost angajai ase lu-crtori pentru a lucra pe ase maini.

n urma unor probe de lucru s-audeterminat numereleaij care repre-zint riscul pe care i-l asum patro-nul angajnd lucrtoruli pentru alucra pe maina j.

Rezultatele au fost nregistrate nmatricea urmtoare:

Ne propunem s determinmrepartizarea optim a angajailor pecele ase maini astfel nct riscul to-tal s fie minim.

Pentru aceasta vom aplica algo-ritmul prezentat, artnd valorile ob-inute la fiecare pas.

.

501344184425 604036384115

64731861458701612629018132390692429523914274317

=k A

;min ,,10 jv jini j jaal =

{ ;min ,,10 id i jinii aal =

( ) niivv = 1

( ) niid d = 1

.|\|

1,11,1

1,1

1

=+++

++

kkk

kk

k

aa

a A A

.

21

22221

11211

=

kkkk

k

k

k

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

L

L

( ) ( ) ( )nndef

n aaaS ,2,21,1 L=

( ) ( ) m1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),1 ,2,21,1

=nS

nnm

def

aaa A

L

( ) n jiija A = ,1


3/3

G I n f o n r .

1 5 / 3 - m a r t

i e 2 0 0 5

40

f o c u s

Pasul #1

S1 = 17; d 1 = 1; v1 = 1.

Pasul #2

S2 =S1 +a22= 41; d 2 = 2; v2 = 2.

Pasul #3

S3 =S2 +a13+a31- a11= 69; d 1 = 3; v1 = 3; v3 = 1; d 3 = 1.

Pasul #4

S4 =S3 +a14+a43- a13= 62; d 1 = 4; v4 = 1; d 4 = 3; v3 = 4.

Pasul #5

S5 =S4 +a14+a43- a13= 75; d 3 = 5; v5 = 3; d 5 = 1; v1 = 5.

Pasul #6

S6 =S5 +a26+a63- a22- a43+a42= 90;

d 2 = 6; v6 = 2; d 4 = 2; v2 = 4; d 6 = 3; v3 = 6.

Rezultatuln final vom obine:

Aadar, ordinea lucrtorilor pemaini va fi: (1, 4), (2, 6), (3, 5), (4,2), (5, 1),(6, 3).

AplicaieAcest algoritm poate fi utilizat pen-tru a rezolva problemaCulori , pro-pus spre rezolvare la runda #04 aediiei 2004/2005 a concursului deprogramareBursele Agora.

Bibliografie:1.E. Tignescu, D. Mitru, Bazele

cercetrii operaionale, EdituraAcademiei de Studii Economice,Bucureti, 1999;

2.T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R.R. Rivest, Introducere n algo-ritmi, Editura Computer LibrisAgora, Cluj-Napoca, 2000;

3.I. Vieru, Rolul deciziei n progra-marea dinamic , GInfo 10/3, Edi-tura Agora Media, Trgu Mure,2000;

4.I. Tomescu, Combinatoric iteoria grafurilor , Editura Universi-tii Bucureti, 1978.

.

5013444425606470

52

40363841791861458

126290182390692939274317

18

13

15

1624

14

= A

;

5013441844256064701352

4036384179181458

126290182390692939274317

156

1624

14

6

= A

;

403638411579181458

161262902390692939274317

6

2414

185

= A

;

1861458126290906929144317

1824

27

4

= A

;62901869292743

2417

3

= A

;242943172 = A

( );171 = A xemplu d e i mplementare

voi d cal cul ( ) {d[1] = 1;v[1] = 1;s = a[1] [ 1] ;

f or ( k = 2; k = a[k ] [k ] ) {s += a[k][ k] ;d[k ] = k;v[k ] = k;

}el se {

s += l i 0;i f ( c0 == j 0) {

d[ i 0] = k;d[k] = c0;v[c0] = k;v[ k] = i 0;

}el se {

d[ i 0] = k;v[ k] = i 0;d[u0] = j 0;v[ j 0] = u0;d[k ] = c0;

v[c0] = k;}}

}

pr i nt f (" S= %d\ n" , s ) ;f or ( i = 1; i

cuplaj maxim de valoare minima intr-un graf bipartit

Documents