curricolo matematica con compito unitario e allegati · 1 introduzione nelle indicazioni nazionali...

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Introduzione Nelle Indicazioni Nazionali per il curricolo è presente l’analisi socio-culturale della realtà in cui gli alunni e le alunne sono immersi/e:

• Molteplicità di stimoli culturali • Globalizzazione • Vecchie forme di analfabetismo • Emarginazione culturale. I rapidi cambiamenti possono determinare incertezza culturale e insicurezza economica: diventa quindi indispensabile attivare l’apprendimento dei saperi e dei linguaggi di base, fornire strumenti di analisi e sintesi, per la costruzione del pensiero autonomo.

L’insegnamento e l'apprendimento della matematica presentano spesso situazioni di difficoltà, che possono portare alla demotivazione e alla sconfitta. I costi sociali di questo fenomeno sono evidenti: la matematica non è percepita come elemento culturale essenziale alla crescita del cittadino, cioè come conoscenza che permetta di sviluppare senso critico, capacità di giudizio e di analisi. Le cause sono diverse e si riferiscono soprattutto a un impianto assiomatico-deduttivo, che svincola le teorie dai contesti problematici, nei quali esse affondano le radici. Inoltre, è invalsa la tradizione di considerare la matematica come insieme di trattamenti sintattici, che, privilegiando una presunta "buona forma" e un fragile "rigore", svincolano lo studente da ogni possibilità di interpretazione, controllo, previsione sull'attività che sta svolgendo. Questa concezione della disciplina è accompagnata da una segmentazione delle conoscenze lungo tutto l'arco del percorso didattico, che talvolta comporta la riproposizione degli stessi oggetti in momenti diversi.

Idea chiave : insegnare matematica per la formazione culturale del cittadino, ma anche per favorire la partecipazione alla vita sociale. Quest’ultima può manifestarsi attraverso la capacità di esprimere informazioni, giudizi, intuire e risolvere problemi, codificare e decodificare informazioni, progettare modelli, scegliere in base a criteri di valutazione. Un efficace curriculum scolastico deve considerare sia la funzione strumentale (mezzo per comprendere), che la funzione culturale (insieme di concetti), della matematica. (Prof. Fabrizio Monari)

Il presente curricolo è stato realizzato rielaboran do “Matematica 2001”, prodotto dall’UMI (Unione Matematici Italiani)

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OBIETTIVO FORMATIVO TRANSDISCIPLINARE: Sviluppare la capacità di comunicare, discutere, ar gomentare in modo corretto e di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.

OBIETTIVI FORMATIVI DISCIPLINARI

OBIETTIVI DISCIPLINARI DI

APPRENDIMENTO

Comunicare significati con linguaggi formalizzati

• Esprimere adeguatamente informazioni • Intuire e immaginare, risolvere e porsi problemi

Rappresentare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi

• Scegliere simboli per rendere evidenti relazioni esistenti tra fatti, dati, termini

• Utilizzare forme diverse di rappresentazione,

acquisendo la capacità di passaggio dall’una all’altra

Descrivere la realtà attraverso il linguaggio matematico

• Organizzare il proprio pensiero in modo logico e consequenziale

• Esplicitare il proprio pensiero attraverso

esemplificazioni, argomentazioni, dimostrazioni

Affrontare problemi utili nella vita quotidiana

• Intuire gli sviluppi di processi analizzati e di azioni intraprese

• Generalizzare • Individuare regolarità e proprietà in contesti diversi:

astrarre caratteristiche generali e trasferirle in contesti nuovi

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Competenze trasversali Collocare nel tempo e nello spazio Avere consapevolezza della dimensione storica e della collocazione spaziale di eventi considerati. Comunicare Individuare forme e strumenti di espressione orale, scritta, grafica o iconica per trasmettere un messaggio. Cogliere i significati di un messaggio ricevuto. Costruire ragionamenti Organizzare il proprio pensiero in modo logico e consequenziale. Esplicitare il proprio pensiero attraverso esemplificazioni, argomentazioni e dimostrazioni. Formulare ipotesi e congetture Intuire gli sviluppi di processi analizzati e di azioni intraprese. Generalizzare Individuare regolarità e proprietà in contesti diversi. Astrarre caratteristiche generali e trasferirle in contesti nuovi. Inventare Costruire ‘oggetti’ anche simbolici rispondenti a determinate proprietà. Porre in relazione Stabilire legami tra fatti, dati, termini. Porre problemi e progettare possibili soluzioni Riconoscere situazioni problematiche. Stabilire le strategie e le risorse necessarie per la loro soluzione. Rappresentare Scegliere forme di presentazione simbolica per rendere evidenti relazioni esistenti tra fatti,dati, termini. Utilizzare forme diverse di rappresentazione, acquisendo capacità di passaggio dall'una all'altra.

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METODOLOGIA / ATTIVITÀ

Porsi e risolvere problemi

In diversi contesti sperimentali, linguistici e matematici, in situazioni varie, relative a contesti scolastici ed extrascolastici porsi e risolvere problemi vuol significare: · riconoscere situazioni problematiche e rappresentarle; · avviare, discutere e comunicare strategie risolutive; · risolvere problemi posti da altri; · porsi e risolvere (nuovi) problemi. Possiamo, da qui, subito asserire che porsi e risolvere problemi vuol dire non solo imparare le cose della Matematica ma collocarsi già essenzialmente fra coloro che avranno assimilato l’abitudine di pensare (con metodo) anche al di fuori dell’ambiente scolastico. Porsi e risolvere un problema offrirà la possibilità di individuare il significato di una proposizione, di riconoscere approcci e percorsi risolutivi diversi, di attivare autonomamente processi di verifica del percorso seguito, di scegliere, eventualmente ottimizzando, fra soluzioni diverse. Porsi e risolvere problemi si colloca in modo naturale trasversalmente rispetto alle tematiche matematiche fondanti ed anche rispetto agli altri ambiti disciplinari. Nella quotidianità si proporranno attività diverse: • Partendo da situazioni concrete note all’allievo o proposte dall’insegnante, individuare gli elementi

essenziali di un problema. • Selezionare le informazioni utili e prospettare una soluzione del problema. • Riflettere sul procedimento risolutivo seguito e confrontarsi con altre possibili soluzioni. • Individuare le informazioni necessarie per raggiungere un obiettivo in una situazione problematica

(selezionando i dati forniti dal testo e quelli ricavabili dal contesto). • Individuare in un problema eventuali dati mancanti o sovrabbondanti o contraddittori. • Essere consapevole dell’obiettivo da raggiungere in una situazione problematica e del processo

risolutivo seguito, con attenzione al controllo delle soluzioni prodotte. • Formalizzare il procedimento risolutivo seguito. • Stabilire la possibilità di applicare i procedimenti utilizzati in altre situazioni. Porsi un problema vorrà dire comprendere la situazione descritta, esplorare le cause e la sorgente degli eventi interessati, assimilare i dati e le conoscenze ad essi associate, chiedersi quali siano le “conseguenze” della situazione, così come è descritta ed in caso di modifiche, sia aggiuntive sia solo interpretative, individuare gli elementi significativi. Per risolvere un problema si dovrà: • dar fondo alle proprie risorse • cimentarsi in campo aperto, esplorando fra le conoscenze possedute alla ricerca di quelle utili allo scopo

del momento • sviluppare nuove conoscenze • variare i modi di utilizzare le conoscenze • compenetrare le conoscenze, arricchite, nel problema • discernere fra dati significativi (alla strategia risolutiva) e dati ridondanti • individuare eventuali dati mancanti e necessari al lavoro • controllare il processo risolutivo in riferimento all’obiettivo da raggiungere ed alla validità del prodotto

ottenibile. Il concetto stesso di errore cessa di avere la valenza usualmente negativa, acquisendo la sostanza di strumento concettuale atto al miglioramento, strategico e di calcolo, delle capacità risolutive dell’alunno. Porsi e risolvere problemi implica imparare a produrre congetture, prima semplici e magari non funzionanti, poi semplici ed adatte allo scopo ed infine congetture con sfaccettature sempre più elaborate e complesse, che possono dare inizio a capire la ricchezza, pratica e concettuale, degli avvicinamenti graduali e successivi alla soluzione.

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Un tale percorso “teorico e di lavoro” permette di accettare o rifiutare le ipotesi (sia tattiche sia strategiche), che possono via via presentarsi e permette di affinare le congetture prodotte, sempre in vista di un accostamento graduale al prodotto finale. Se da un problema nascono, come deve essere, nuovi problemi strettamente collegati al problema iniziale, sarà necessario, da parte dell’insegnante, creare il contesto adatto perché il bambino o la bambina, il ragazzo o la ragazza, non solo non si senta disorientato/a se posto/a di fronte ad un nuovo momento di crescita, ma riesca a cogliere in pieno l’arricchimento conoscitivo che risolvere il problema, con aspetti non consueti e con necessità di “scorribande” trasversali fra i vari ambiti disciplinari, può inaspettatamente offrire. Da un punto di vista meramente disciplinare (o di ambito disciplinare) è altresì importante il “serbatoio” di conoscenze e strategie che si riesce ad avere a disposizione al momento di iniziare l’approccio al problema. In tale serbatoio dovranno essere presenti capacità grafiche e figurative, scelta di simboli e di notazioni, uso di diagrammi e di grafici, ragionamenti di tipo feedback (ovvero di tipo interattivo e retroattivo), capacità di riformulare il problema, pratica di schemi usuali di lavoro, conoscenza di comuni procedure algoritmiche, azioni metacognitive.

La discussione matematica in classe

“Una discussione matematica è una polifonia di voci articolate su un oggetto matematico (concetto, problema, procedura, ecc.), che costituisce un motivo dell’attività di insegnamento-apprendimento” (Bartolini Bussi, 1995). La metafora usata per descrivere la discussione matematica ha lo scopo di sottolineare alcuni aspetti importanti di questa attività:

� Esiste un tema che ne definisce l’obiettivo � Esiste l’interazione tra voci (polifonia) � Esiste un riferimento esplicito all’attività di insegnamento/apprendimento (processo di lungo termine) � Si richiede la presenza di voci diverse tra cui, essenziale, quella dell’insegnante � Si valorizza la presenza di voci imitanti (diversi tipi di imitazione nel contrappunto) � Si prescinde dall’esistenza fisica di una comunità di parlanti (discussione con un interlocutore non

fisicamente presente, ma rappresentato da un testo scritto). La discussione matematica dell’intera classe orchestrata dall’insegnante garantisce, con la presenza di quest’ultima, la possibilità dell’articolazione di voci diverse da quelle degli allievi. L’insegnante ha un ruolo di guida nel senso che:

o Inserisce una particolare discussione nel flusso dell’attività della classe o Influenza la discussione in modo determinante, inserendosi con interventi mirati nel suo sviluppo.

Si possono individuare per la scuola primaria e secondaria di I grado grandi tipologie di discussione (con sottotipi): A. Discussione di un problema, vista come parte dell’a ttività complessiva di problem solving, nei due aspetti di: 1. Discussione di soluzione, intesa come quel processo di tutta la classe che risolve un problema dato a parole con l’eventuale supporto di immagini o oggetti. 2. Discussione di bilancio, intesa come il processo di informazione, analisi e valutazione delle soluzioni individuali proposte ad un problema dato a parole, con l’eventuale supporto di oggetti o immagini, o nel corso di una discussione orchestrata dall’insegnante. B. Discussione di concettualizzazione, intesa come il processo di costruzione attraverso il linguaggio e collegamenti tra esperienze già vissut e e termini particolari della matematica. Essa può essere introdotta da domande dirette (che cosa è un numero, che cos’è un grafico) o indirette (perché molti di voi hanno descritto questo problema come un problema di disegno geometrico?). C. Meta-discussione, intesa come momento della defi nizione dei valori e degli atteggiamenti nei confronti del sapere matematico. Essa può essere introdotta da domande del tipo: “come nascono le figure?”, “perché è importante generalizzare in matematica?”.

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Argomentare e formulare congetture Le attività argomentative in cui si producono ipotesi o si generano condizionalità sono riconducibili a due modalità principali, che opportunamente coltivate appaiono fondamentali per permettere la transizione nel lungo periodo al pensiero teorico proprio della matematica. Esse sono caratterizzate dal diverso modo con cui il soggetto si rapporta al mondo esterno rispetto al suo mondo interno. La prima modalità è caratterizzata dalla produzione di congetture interpretative di ciò che si vede (percepisce), ad es. al fine di organizzarlo. La seconda è caratterizzata dalla produzione di congetture previsionali (ad es. ipotesi su una situazione futura). Si può intendere in generale l’attività argomentativa come un discorso: - che permette al soggetto di tornare su ciò che si è fatto, visto (ecc.), producendo interpretazioni, spiegazioni, risposte a domande del tipo “perché è così?” - che permette al soggetto di anticipare fatti, situazioni, ecc., producendo previsioni, discorsi ipotetici su mondi possibili, risposte a domande “come sarà?”, “come potrebbe essere?” Dietro alle due modalità del prevedere e interpretare ci sono anche le due modalità: dall’interno all’esterno e viceversa.

LA METODOLOGIA DEL “PENSARE AD ALTA VOCE” Anna Salerni – Stefania Pozio�

La metodologia del “pensare ad alta voce” consiste nel fare esprimere nel modo più spontaneo possibile ogni singolo studente preso in esame evitando in ogni modo di direzionarlo verso una data risposta e di inibire o di censurare ciò che passa per la sua mente. Infiniti sono i ragionamenti che è possibile seguire per arrivare a una soluzione, a volte, sono addirittura ragionamenti impensabili per una persona “esperta”. Gli interventi indiretti sono stati definiti dalla studiosa Lucia Lumbelli “un modo di domandare senza domandare”. Tali atti hanno, infatti, la forma di una constatazione e l’effetto di un’interrogazione. Nella situazione specifica, con questi interventi si ripropone il contenuto delle affermazioni fatte dagli studenti formulando ipotesi di comprensione tramite glosse del tipo “tu pensi dunque che…”, ripetendo le frasi pronunciate dagli studenti, riformulando o sintetizzando quanto da loro detto e facendo sempre in modo che il tono della voce non esprima alcun tipo di commento e di giudizio. Questo tipo di intervento sostituisce espressioni come “prova a ripetere”, “esprimiti in forma più chiara”, “ricomincia daccapo”, il cui probabile esito è segnalare allo studente la possibilità di aver commesso un qualche errore, provocando sullo studente un possibile effetto psicologico/emotivo negativo. Lo studente attraverso atti comunicativi di questo tipo percepisce l’attenzione dell’insegnante nei suoi confronti ed è maggiormente incoraggiato a parlare, cioè a chiarire meglio quanto pensa e quindi a fornire informazioni utili a conoscere i suoi ragionamenti e a poter meglio recuperare le sue lacune.

IL LABORATORIO

Nella parte introduttiva dell’area matematico – scientifico - tecnologica delle Indicazioni, il laboratorio viene riconosciuto come elemento fondamentale. Oltre che spazio fisico, viene connotato come metodo sperimentale, finalizzato alla costruzione delle conoscenze, attraverso la partecipazione attiva dell’alunno che ricerca, progetta, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, risolve problemi, sperimenta in un contesto aperto alla collaborazione, al confronto con gli altri alunni, dove il fare e l’agire si coniugano con il riflettere e l’argomentare. In questo modo si favorisce lo sviluppo di competenze più ampie e trasversali, che rappresentano una condizione essenziale per la piena realizzazione personale e per la partecipazione attiva alla vita sociale. Nel paragrafo “L’ambiente di apprendimento” si legge che il laboratorio è una modalità di lavoro, che può essere attivata sia all’interno sia all’esterno della scuola, valorizzando il territorio come risorsa per l’apprendimento.

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Il laboratorio coinvolge persone (insegnanti e alunni), richiede l’organizzazione degli spazi, la scansione dei tempi, l’uso di strumenti, sia tradizionali (carta, forbici, riga, compasso cannucce…) che tecnologici (calcolatrice tascabile, uso di software…) “Una buona metafora per il laboratorio di matematica quella della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti.”(S. Cotoneschi, F. Natali, A. Sodi).

Dall’apprendistato tradizionale all’apprendistato c ognitivo (Cinzia Mion)

Nell’apprendistato cognitivo la classe è una comunità che apprende. Tutti, insegnanti ed allievi assicurano una responsabilità congiunta di “apprendere e insegnare “ reciprocamente. La facilitazione permette le seguenti funzioni:

- Consapevolezza - Responsabilità - Autogestione - Autonomia

L’apprendistato cognitivo mutua da quello tradizionale le quattro fasi fondamentali:

1. L’apprendista osserva la competenza esperta al lavoro e poi lo imita (modeling) 2. Il maestro assiste il principiante, ne agevola il lavoro, interviene secondo le necessità, dirige

l’attenzione su un aspetto, fornisce feedback (coaching) 3. Il maestro fornisce un sostegno in termini di stimoli e di risorse, reimposta il lavoro (scaffolding) 4. Il maestro diminuisce progressivamente il supporto fornito per lasciare via via maggiore autonomia e

un crescente spazio di responsabilità a chi apprende. Nell’apprendistato cognitivo a queste strategie di base se ne affiancano altre che danno maggior rilievo ai processi cognitivi e alle strategie metacognitive:

- Si incoraggiano gli studenti a verbalizzare (pensare a voce alta) mentre realizzano l’esperienza

- Li si induce a confrontare i propri problemi con quelli di un esperto, facendo così emergere le conoscenze tacite. Si tratta della facilitazione procedurale.

- Li si spinge a esplorare, porre e risolvere i problemi in forma nuova

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VERIFICHE E VALUTAZIONE “La valutazione precede, accompagna e segue i proce ssi di formazione” (Indicazioni Nazionali). “La valutazione attribuisce valore alla prestazione, indica la qualità in funzione degli scopi che si vogliono perseguire. Si valutano i prodotti, non le persone e i termini oggi in uso per esprimere il livello di acquisizione possono indurre a tale equivoco.” (Prof. Gaetano Domenici, commissione di lavoro sulle Indicazioni). Nell'impostare un programma di accertamento delle competenze raggiunte dagli allievi e di conoscenza delle loro difficoltà e delle loro risorse occorre vigilare su alcuni rischi insiti nei processi valutativi: - distorsioni del percorso formativo che possono derivare dalle scelte su "cosa valutare" effettuate nella predisposizione delle prove valutative. Spesso le competenze più facili da accertare in campo matematico non sono le più importanti, d'altra parte spesso succede che le competenze che sono oggetto di accertamento diventino le più importanti per insegnanti e allievi; - sopravvalutazione del valore predittivo delle prove valutative, soprattutto quando non accompagnate da un’analisi attenta del percorso formativo degli allievi. Sia nel caso di successo che (e ancora di più) nel caso di insuccesso la qualità della prestazione degli allievi in matematica può dipendere da fattori difficilmente controllabili (attese deviate rispetto all'obiettivo che l'insegnante si prefigge, evocazione di situazioni solo superficialmente simili, condizioni di ansia, ecc.). ( da Matematica 2001) Sono tre i diversi momenti della valutazione, da cui non si può prescindere e che vedono coinvolti alunni e insegnanti.

• Descrizione: fase iniziale del processo durante la quale viene fatto il punto della situazione, vengono descritti i parametri di riferimento, le modalità, i talenti personali dell’alunno, lo stile di apprendimento, il coinvolgimento verso la scuola.

• Comparazione: si considerano i dati relativi al confronto tra l’azione didattica e i risultati ottenuti, si

mettono in relazione i contesti ambientali e i modelli formativi.

• Misurazione: sono i risultati oggettivi delle prove di verifica. Questo è l’aspetto più complesso, in quanto è necessario oggettivare la prova, stabilendo l’unità di misura riguardo a tempo da destinare alla prova, livelli di comprensione , numero di errori ammessi, tipo di errori ammessi, grado di difficoltà. Le prove di verifica devono rispondere a caratteristiche di neutralità e distacco (prove diverse per alunni in difficoltà? o diversi gradi di difficoltà all’interno della stessa prova?). La Misurazione deve tener conto della dose di “inquinamento” della prova (emozioni, contesto ambientale, contesto sociale) (Prof. Fiorino Tessaro)

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NUMERO

Non esistono documenti che ci possano testimoniare dove e quando sia nata l’idea di numero naturale e come si sia sviluppato il modo di nominare e rappresentare i numeri; è tuttavia ragionevole supporre che la creazione del concetto di numero sia stata una delle prime manifestazioni dell’intelligenza dell’uomo, provocata, ovunque ci fosse un insediamento sociale per quanto primitivo, dall’esigenza di memorizzare ed esprimere l’intuizione della quantità. Ai nostri giorni ogni popolo dispone di un qualche, se pur rudimentale, strumento di numerazione. I numeri sono presenti nelle diverse culture, legati ai problemi della vita quotidiana. Una notevole importanza va riconosciuta all’uso del concetto di numero nei suoi molteplici aspetti, dai conteggi, agli ordinamenti, alla misura, alla ricorsività, ecc., per lo sviluppo di conoscenze, per la crescita del sapere sociale, per l’evoluzione della cultura nelle diverse civiltà.. Nella nostra civiltà i numeri sono una componente essenziale della vita contemporanea: i numeri che appaiono sui giornali e nei telegiornali sono ancora strettamente collegati al contesto di riferimento ( ad esempio nei titoli si citano numeri che evocano emozioni – la tristezza per sconfitta della propria squadra sportiva, la fluttuazione dell’euro, gli incidenti del sabato sera…). Tuttavia i numeri esistono di per sé, al di fuori del contesto in cui vengono usati, e gradualmente essi stessi diventeranno un contesto significativo per l’apprendimento.

ATTIVITÀ

Anche se l’approccio è inizialmente quello di fare esperienze reali, legate ai problemi quotidiani dei bambini, ben presto gli oggetti introdotti (numeri e operazioni) potranno diventare essi stessi oggetto di riflessione e di studio; ad esempio si possono ricercare regolarità, si possono ricercare numeri che soddisfino a condizioni date, si può riflettere su metodi di scrittura e di rappresentazione, anche ricercando le diverse tappe di sviluppo nella storia dell’umanità.

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NUMERO

CLASSE PRIMA

Obiettivi di apprendimento

• Contare sia in senso progressivo che regressivo. • Contare oggetti e confrontare raggruppamenti di

oggetti. • Confrontare e ordinare numeri, sviluppando il senso

della grandezza; collocare i numeri sulla retta. • Leggere e scrivere numeri in base dieci. • Individuare situazioni problematiche inerenti alla

realtà e al vissuto. • Esplorare e risolvere situazioni problematiche che

richiedono addizioni e sottrazioni, individuando le operazioni adatte a risolvere il problema.

• Eseguire semplici calcoli mentali e scritti con addizioni e sottrazioni.

• Individuare gli elementi essenziali di un problema. • Selezionare le informazioni utili e prospettare una

soluzione del problema. • Individuare l'obiettivo da raggiungere sia nel caso di

problemi proposti dall'insegnante, sia nel vivo di una situazione problematica in cui occorre porsi con chiarezza il problema da risolvere.

Contenuti • Numeri naturali • Rappresentazione dei numeri naturali in base dieci • Addizione e sottrazione tra numeri naturali

Numeri: Il significato dello zero. La retta dei numeri. Spazio e figure: Spazio e sua organizzazione e rappresentazione. Le relazioni misure, dati e previsioni: Classificazione. Rappresentazione dei dati.

Punti di attenzione • Passaggio dal numero codice o etichetta al cardinale.

Raggruppamenti . • Il passaggio al numero come cardinalità e il successivo

ordinamento di numeri. • Registrazione con grafico a colonne e il conseguente

ordinamento in base all’altezza delle colonne. • Lo zero con il significato di insieme vuoto. • Il confronto maggiore-minore. • La relazione precede – segue. • Operazioni unarie e binarie: gli operatori. Il passaggio

alle prime operazioni aritmetiche. • L’uso di registrazioni e rappresentazioni.

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CLASSE SECONDA

Obiettivi di apprendimento • Contare sia in senso progressivo che regressivo. • Confrontare e ordinare numeri, sviluppando il senso della

loro grandezza relativa. • Collocare numeri sulla retta. • Leggere e scrivere numeri in base dieci. • Esplorare e risolvere situazioni problematiche che

richiedono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, individuando le operazioni adatte a risolvere il problema. Comprendere il significato delle operazioni.

• Verbalizzare le strategie risolutive e usare i simboli dell'aritmetica per rappresentarle.

• Calcolare il risultato di addizioni, sottrazioni moltiplicazioni, divisioni usando metodi e strumenti diversi in situazioni concrete.

• Eseguire semplici calcoli mentali con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni.

• In situazioni concrete, ordinare elementi in base ad un criterio assegnato e riconoscere ordinamenti dati.

• Osservare oggetti e fenomeni individuando in essi alcune grandezze misurabili.

• Compiere confronti diretti e indiretti in relazione alle grandezze individuate.

• Ordinare grandezze. • Effettuare misure per conteggio di grandezze discrete (ad

es: conteggio di elementi di classificazioni prodotte, valori • monetari, …).

Contenuti • Numeri naturali • Rappresentazione dei numeri naturali in base dieci e/o in

base diversa da dieci. • Addizione, sottrazione, moltiplicazione tra numeri

naturali

Numeri: Il significato dello zero. La retta dei numeri. Spazio e figure: Spazio e sua organizzazione e rappresentazione. Le relazioni misure, dati e previsioni: Classificazione. Rappresentazione dei dati.

Punti di attenzione • La comprensione della funzione del simbolo e suo

utilizzo consapevole. • La differenza tra numero e sua rappresentazione. • La differenza tra numero e cifra. • Il confronto maggiore-minore-uguale in riferimento alle

quantità. • Lo zero e il suo significato. • Il valore posizionale delle cifre.

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CLASSE TERZA


• Contare oggetti o eventi, con la voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre.

• Leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale, con la consapevolezza del valore che le cifre hanno a seconda della loro posizione; confrontarli e ordinarli, anche rappresentandoli sulla retta.

• Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo.

• Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a dieci. Eseguire le operazioni con i numeri naturali con gli algoritmi scritti usuali.

• Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali, rappresentarli sulla retta ed eseguire semplici addizioni e sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di semplici misure.

• Esplorare e risolvere situazioni problematiche che richiedono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, individuando le operazioni adatte a risolvere il problema.

• Prestare attenzione al processo risolutivo, con riferimento alla situazione problematica, all’obiettivo da raggiungere, alla compatibilità delle soluzioni trovate.

• Esporre con chiarezza il procedimento risolutivo seguito e confrontarlo con altri eventuali procedimenti.

Contenuti • Numeri naturali. • Rappresentazione dei numeri naturali in base dieci. • Numeri decimali, frazioni. • Addizione, sottrazione, moltiplicazione tra numeri

naturali, numeri decimali, frazioni. • Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali. • Operazioni tra numeri decimali.

Numeri: La rappresentazione dei simboli numerici. Spazio e figure: Spazio e sua organizzazione e rappresentazione. Le relazioni misure, dati e previsioni: Classificazione. Rappresentazione dei dati. Rielaboazone

Punti di attenzione

• Il valore posizionale delle cifre. • La comprensione dei significati delle frazioni (parti di un

tutto unità, parti di una collezione, operatori tra grandezze).

• Il riconoscimento delle scritture diverse (frazione decimale, numero decimale) dello stesso numero, dando particolare rilievo alla notazione con la virgola.

• Il significato e l’uso dello zero e della virgola.

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CLASSE QUARTA


• Esplorare situazioni problematiche che richiedono

moltiplicazioni e divisioni tra numeri naturali. • Verbalizzare le strategie risolutive scelte per la soluzione dei

problemi e usare i simboli dell’aritmetica per rappresentarle. • Calcolare il risultato di semplici moltiplicazioni e divisioni. • Eseguire semplici calcoli mentali con moltiplicazioni e divisioni,

utilizzando le tabelline e la proprietà distributiva. • Individuare le risorse necessarie per raggiungere l’obiettivo,

selezionando i dati forniti dal testo, le informazioni ricavabili dal contesto e gli strumenti che possono risultare utili alla risoluzione del problema.

• Esporre con chiarezza il procedimento risolutivo seguito e confrontarlo con altri eventuali procedimenti.

Contenuti

• Moltiplicazione e divisione tra numeri naturali. • Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali.

Numeri: La scrittura posizionale. La retta dei numeri. Spazio e figure: Spazio e sua organizzazione e rappresentazione. Le relazioni misure, dati e previsioni: Classificazione. Rappresentazione dei dati. Rielaborazione

Punti di attenzione

• I numeri interi. • I numeri decimali. • L’ addizione e la sottrazione tra numeri interi e decimali. • La moltiplicazione e la divisione tra numeri interi. • Le proprietà delle operazioni. • I problemi.

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CLASSE QUINTA


• Conoscere la divisione con resto fra numeri naturali;

individuare multipli e divisori di un numero. • Leggere, scrivere , confrontare numeri decimali ed eseguire

le quattro operazioni con sicurezza, valutando l’opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle situazioni.

• Dare stime per il risultato di un’operazione. • Conoscere il concetto di frazione e di frazioni equivalenti. • Utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per

descrivere situazioni quotidiane. • Interpretare i numeri negativi in contesti concreti. • Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta e utilizzare

scale graduate in contesti significativi per le scienze e per la tecnica.

• Conoscere sistemi di notazioni dei numeri che sono o sono stati in uso i luoghi, tempi e culture diverse dalla nostra.

Contenuti • Moltiplicazione e divisione tra numeri naturali. • Numeri decimali, frazioni. • Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali. • Proprietà dei numeri. • Numeri decimali. • Proprietà delle operazioni. • Problemi.

Numeri: Le proprietà dei numeri. La retta dei numeri. Spazio e figure: Spazio e sua organizzazione e rappresentazione. Le relazioni misure, dati e previsioni: Classificazione. Rappresentazione dei dati. Rielaborazione.

Punti di attenzione

• Il numero e le sue funzioni. • I significati delle operazioni e le loro proprietà. • Il significato di “operatore” della frazione. • La rappresentazione percentuale dei numeri razionali,

collegata al significato di operatore della frazione. • Il passaggio dalla frazione alla percentuale. • Il passaggio dalla percentuale alla frazione. • La composizione di operazioni e significato delle

parentesi. • La storia dei numeri.

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SPAZIO E FIGURE

Per la geometria è utile abituare gli alunni ad una visione dinamica e non statica degli oggetti geometrici: pertanto sarà essenziale l’esplorazione in contesti vari, supportata eventualmente da opportuni software di geometria dinamica. Dal punto di vista metodologico sono particolarmente adatte le attività di laboratorio, che permetteranno agli allievi non solo di eseguire ma anche di progettare, costruire e manipolare con materiali diversi, discutere, argomentare, fare ipotesi, sperimentare e controllare la validità delle ipotesi fatte. Le definizioni, ma anche le idee e i concetti geometrici vengono “dopo l’uso”. È determinante un equilibrio tra fasi operative e graduali sistemazioni teoriche, favorendo il passaggio da evidenze visive ad argomentazioni via via più rigorose. È fondamentale arricchire i rapporti tra geometria e ambiente, interpretando la prima come momento di comprensione - rappresentazione del secondo. Nell’ambiente gli elementi si muovono e si relazionano tra loro. Non si tratta quindi solo di osservare l’ambiente e i suoi elementi, ma anche le loro relazioni ed i loro movimenti La geometria è uno dei settori della matematica dove la storia si affaccia anche in modo esplicito. In definitiva si propone una geometria fatta di situazioni ricche e motivanti, in cui l’alunno si possa formare basi intuitive attraverso le quali gli sia facile giungere in seguito a qualsiasi sistemazione assiomatica. Si ritengono importanti attività che favoriscano un arricchimento del patrimonio di immagini mentali e la visualizzazione delle figure, poiché la comprensione delle proprietà geometriche si fonda sulla capacità di astrarle, metterle in relazione, correlarle. Si vuole costruire una geometria che sia efficace strumento di modellizzazione della realtà, che offra frequenti occasioni di richiesta di argomentazioni, che dia ampio spazio all’intuizione senza peraltro lasciarsi guidare da essa a troppo facili conclusioni.

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CLASSE PRIMA


• Riconoscere e descrivere alcune delle principali

relazioni spaziali. • Eseguire semplici percorsi descritti verbalmente o da

disegni. • Descrivere e rappresentare graficamente percorsi. • Individuare e descrivere regolarità in semplici

contesti concreti. • Individuare grandezze misurabili in oggetti e

fenomeni osservabili. • Riconoscere le forme geometriche del piano e dello

spazio, nell’ambiente circostante.

Contenuti • Collocazione di oggetti in un ambiente. • Mappe, piantine, orientamento. • Percorsi. • Le prime figure del piano e dello spazio.

Numeri: Il numero come misura. Spazio e figure: Spazio e sua organizzazione e rappresentazione. Relazioni, misure, dati e previsioni: Classificazione. Rappresentazione dei dati.

Punti di attenzione • L’uso delle relazioni/indicatori spaziali: sopra, sotto,

davanti, dietro, dentro, fuori… • La costruzione dei percorsi e la relativa descrizione. • La rappresentazione grafica dei percorsi. • La relazione schema corporeo-organizzazione dello

spazio. • La descrizione degli oggetti da diversi punti di vista. • L’individuazione dei vari punti di riferimento. • La localizzazione degli oggetti.

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CLASSE SECONDA


• Effettuare percorsi individuandone partenza e arrivo,

cambiamenti di direzione e verso. • Rappresentare percorsi utilizzando un’adeguata

simbologia. • Ricostruire mappe mentali di percorsi effettuati. • Rappresentare mappe. • Confrontare rappresentazioni diverse di mappe. • Individuare grandezze misurabili. • Misurare con strumenti non convenzionali e con il

metro. • Classificare a livello topologico figure nello spazio e

sul piano, secondo gli invarianti topologici (chiusura/apertura, interno/esterno, separazione, confine…).

• Riconoscere e disegnare alcune forme geometriche. • Acquisire il concetto di confine; individuare regioni. • Acquisire il concetto di perimetro. • Riconoscere simmetrie nell’ambiente .

Contenuti • Verbalizzazione di percorsi realizzati o osservati. • Lettura e costruzione di percorsi. Individuazione di

incroci, allineamenti, intersezioni, rotazioni, direzioni, verso…nei percorsi effettuati.

• Uso di alcune parti del proprio corpo come strumenti di misura. Uso del metro.

• Ingrandimenti e riduzioni sul reticolo.


Punti di attenzione • La percezione dello spazio in relazione al movimento. • La proporzionalità nelle rappresentazioni grafiche. • La rappresentazione degli oggetti tridimensionali. • Lo sviluppo sul piano di forme tridimensionali. • Il passaggio da descrizioni qualitative a descrizioni

quantitative e rappresentazione. • La collocazione di oggetti in un ambiente. • Mappe, piantine e orientamento. • Le prime figure del piano e dello spazio (triangolo,

quadrato, cubo…)

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CLASSE TERZA


• Comunicare la posizione di oggetti nello spazio fisico, sia

rispetto al soggetto, sia rispetto ad altre persone o oggetti, usando termini adeguati (davanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, dentro/fuori).

• Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo e dare le istruzioni a qualcuno perché compia un percorso desiderato.

• Confrontare rappresentazioni diverse di mappe e carte. • Leggere carte topografiche. • Individuare grandezze misurabili. • Misurare. • Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. • Disegnare figure geometriche e costruire modelli materiali

anche nello spazio, utilizzando strumenti appropriati.

Contenuti • Individuazione dei rapporti tra geometria e ambiente. • Lettura e costruzione di percorsi. • Costruzione con strumenti vari delle principali figure

geometriche del piano e dello spazio.


Punti di attenzione • La geometria come rappresentazione dell’ambiente. • La rappresentazione degli oggetti tridimensionali. • Lo sviluppo sul piano di forme tridimensionali. • Gli elementi significativi di una figura. • La visione dinamica degli oggetti geometrici. • L’esplorazione dinamica delle situazioni problematiche. • La costruzione di mappe o modelli a partire dalla

descrizione.

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CLASSE QUARTA


• Costruire e disegnare con strumenti vari le principali figure

geometriche. • Individuare gli elementi significativi di una figura. • Effettuare traslazioni e rotazioni (movimenti rigidi) di oggetti e

figure. • Conoscere le principali proprietà delle figure geometriche. • Attribuire denominazioni a oggetti matematici e stabilire

definizioni

Contenuti • Riconoscimento delle principali figure del piano e dello

spazio. • Individuazione dei principali enti geometrici. • Visualizzazione mentale e identificazione delle proprietà

delle figure geometriche. • Costruzione con strumenti vari delle forme geometriche.


Punti di attenzione • Le simmetrie, le traslazioni, le rotazioni (nello spazio

3D). • L’uguaglianza e la similitudine tra figure. • La scomposizione di figure spaziali. • La rappresentazione sul piano delle figure solide. • I concetti geometrici come strumenti di riferimento per la

rappresentazione.

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CLASSE QUINTA


• Descrivere e classificare figure geometriche, identificando

elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri.

• Riprodurre una figura in base ad una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria).

• Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti. • Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano

come supporto ad una prima capacità di visualizzazione. • Riconoscere figure ruotate, traslate, riflesse. • Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando ad

esempio la carta a quadretti). • Determinare il perimetro di una figura. • Determinare l’area di rettangoli e triangoli e di altre figure per

scomposizione.

Contenuti • Classificazione di oggetti e figure in base a due o più

proprietà. • Attribuzione di denominazioni a oggetti matematici. • Attribuzione di definizioni. • Rappresentazione di trasformazioni isometriche. • Individuazione degli elementi significativi di una figura. • Misurazione di perimetro e area.


Punti di attenzione • Le figure geometriche come oggetti matematici. • La ricerca di caratteristiche comuni e non comuni degli

oggetti geometrici. • Gli aspetti figurali (rappresentazione) e quelli concettuali

(definizione). • Le principali proprietà delle figure.

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RELAZIONI MISURE DATI E PREVISIONI La matematica concorre alla formazione delle competenze del cittadino. Il nucleo tematico Le relazioni contribuisce in modo specifico alla costruzione delle seguenti competenze trasversali:

1. generalizzare - individuare regolarità e proprietà in contesti diversi; - astrarre caratteristiche generali e trasferirle in contesti nuovi;

2. inventare - costruire “oggetti” anche simbolici rispondenti a determinate proprietà;

3. porre in relazione - stabilire legami tra fatti, dati, termini;

4. rappresentare - scegliere forme di presentazione simbolica per rendere evidenti relazioni esistenti tra fatti, dati, termini; - operare in situazioni rappresentate. La misura ha profonde connessioni con importanti aree della matematica quali la geometria, i numeri, la statistica e con aree esterne alla matematica quali la fisica, le scienze, le scienze sociali, l’arte, la lingua. In queste aree la misura offre conoscenze, strumenti e metodi per affrontare e risolvere problemi e contribuisce alla costruzione di concetti che sono specifici di tali aree (si pensi per esempio all’importanza della misura nella costruzione del numero decimale o nella costruzione di concetti della fisica, della geografia, delle scienze sociali). Le competenze coinvolte nell'affrontare il nucleo grandezze e misura hanno pertanto una valenza trasversale; esse possono essere proficuamente mobilitate nello sviluppo di attività sia disciplinari che interdisciplinari, dove possono arricchirsi di significati che sono specifici dei diversi contesti i in cui vengono applicate e usate. La società moderna offre informazioni quantitative in grande abbondanza, differenti per contenuto, tipo di presentazione, qualità e fonte dell’informazione, trasparenza sulla definizione del fenomeno indagato e sul modo in cui i dati sono raccolti, elaborati ed interpretati. Il nucleo "I dati e le previsioni" persegue la costruzione delle seguenti competenze: in situazioni varie, relative alla vita di tutti i giorni e ad altri ambiti disciplinari - organizzare una ricerca - interpretare dati usando i metodi statistici - effettuare valutazioni di probabilità di eventi - risolvere semplici situazioni problematiche che riguardano eventi diversi - sviluppare e valutare inferenze, previsioni ed argomentazioni basate su dati”

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CLASSE PRIMA

RELAZIONI

MISURE

DATI E PREVISIONI

Obiettivi di apprendimento • Classificare oggetti, figure, numeri in base ad

una proprietà; indicare una proprietà che spieghi una classificazione data.

• Ordinare elementi in base ad un criterio assegnato; riconoscere ordinamenti.

• Scoprire semplici relazioni tra numeri, figure, oggetti.

• Rappresentare relazioni.


• Osservare oggetti e fenomeni individuando in

essi alcune grandezze misurabili. • Compiere confronti in relazione alle grandezze

individuate. • Ordinare grandezze. • Effettuare misure per conteggio di grandezze

discrete. • Effettuare misure di grandezze continue con

oggetti e strumenti. • Esprimere le misure effettuate.


• Raccogliere dati su se stessi e sul mondo

circostante e organizzarli in base alle loro caratteristiche.

• Classificare dati e oggetti. • Rappresentare i dati raccolti.

Contenuti

• Individuazione di relazioni in contesti di

esperienza diretta di osservazione. • Riconoscimento di rappresentazioni di

relazioni.

Contenuti

• Conteggio di elementi di classificazioni

prodotte, valori monetari, … • Uso di strumenti e oggetti per misurare (ad es:

una tazza, un bastoncino, il metro, la bilancia, l’orologio,…)

• Utilizzo delle unità di misura scelte e relativa rappresentazione.

Contenuti

• Rappresentazioni grafiche. • Osservazione, lettura e produzione di grafici.

Punti di attenzione

• Il passaggio da un’esperienza alla relativa

rappresentazione. • L’uso della rappresentazione come generatrice

di un nuovo problema, all’interno di una situazione problematica più generale.

• La ricerca di un metodo sistematico nell’esplorazione dei problemi.

Punti di attenzione

• La premisura e la misura. • La rappresentazione delle varie esperienze di

misurazione

Punti di attenzione

• La tabulazione di dati. • Il rapporto tra la realtà e la sua

rappresentazione. • Le varie modalità di rappresentazione.

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CLASSE SECONDA

RELAZIONI

MISURE

DATI E PREVISIONI


• Classificare numeri, oggetti, figure in base ad

una proprietà. • Utilizzare rappresentazioni per esprimere

relazioni. • Individuare relazioni. • Riconoscere ordinamenti. • Riconoscere le proprietà di classificazioni date.


• Individuare in oggetti e fenomeni grandezze

misurabili. • Compiere confronti diretti e indiretti tra

grandezze e ordinarle. • Esprimere le misure effettuate, utilizzando le

unità di misura scelte e rappresentarle adeguatamente .


• Fare osservazioni su un insieme di dati. • Identificare la modalità più frequente

Contenuti

• Classificazioni di oggetti, figure, numeri in base

a una proprietà. • Riconoscimento di criteri di classificazione. • Riconoscimento di criteri di ordinamento.

Contenuti

• Confronto diretto e indiretto di grandezze. • Scomposizione e ricomposizione di misure

convenzionali e non.

Contenuti

• Uso di tabelle e grafici.

Punti di attenzione

• La formulazione coerente di criteri di

classificazione. • La formulazione coerente di criteri di

ordinamento

Punti di attenzione

• La rappresentazione grafica di misure

effettuate.

Punti di attenzione

• La rappresentazione del problema attraverso

schemi, diagrammi, tabelle…

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CLASSE TERZA

RELAZIONI

MISURE

DATI E PREVISIONI

Obiettivi di apprendimento • Classificare numeri, figure, oggetti in base ad

una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini.

• Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati.


• Misurare segmenti utilizzando sia il metro, sia unità arbitrarie e collegando le pratiche di misura alle conoscenze sui numeri e sulle operazioni.


• Raccogliere dati. • Rappresentare relazioni e dati con diagrammi,

schemi e tabelle. • Leggere e interpretare diagrammi, schemi e

tabelle. • In situazioni concrete, riconoscere eventi certi,

possibili, impossibili…

Contenuti

• Ricerca di relazioni e relativa rappresentazione. • Ordinamenti in base a un criterio.

Contenuti

• Misurazione: il Sistema Metrico Decimale. • Le varie unità di misura.

Contenuti

• Raccolta di dati mediante osservazioni e questionari.

• Classificazione di dati. • Rappresentazione di dati con tabelle e grafici.

Punti di attenzione

• L’individuazione e la descrizione di relazioni. • L’osservazione empirica ed esperenziale.

Punti di attenzione

• La stima di misure in semplici situazioni

problematiche. • Gli ordinamenti. • L’equivalenza tra misure.

Punti di attenzione

• L’Osservare e il descrivere un grafico usando moda, mediana e media aritmetica.

• Il riconoscere eventi certi, possibili, impossibili, equiprobabili, più probabili, meno probabili.

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CLASSE QUARTA

RELAZIONI

MISURE

DATI E PREVISIONI

Obiettivi di apprendimento • Rappresentare relazioni. • Passare da una rappresentazione di relazioni

ad un’altra.


• Risolvere problemi di calcolo con le misure. • Usare in contesti diversi il concetto di angolo.


• Usare i connettivi logici. • Valutare le probabilità di semplici eventi.

Contenuti

• Costruzione di grafici, tabelle, piano cartesiano. • Lettura di schemi, grafici, tabelle… • Individuazione di relazioni tra elementi.

Contenuti

• Scelta delle grandezze da misurare. • Calcolo della misura del perimetro e dell’area. • Rappresentazione di movimenti di rotazione.

Contenuti

• Riflessione linguistica sulla probabilità, sulla

raccolta di dati.

Punti di attenzione

• I criteri di relazione discussi e condivisi. • La riflessione sui ragionamenti prodotti.

Punti di attenzione

• Il rapporto tra grandezze. • La risoluzione di problemi di calcolo con le

misure. • L’ampiezza dell’angolo, la lunghezza delle

semirette che lo determinano.

Punti di attenzione

• La necessità di definire in maniera precisa e in

termini quantitativi la probabilità, la raccolta di dati.

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CLASSE QUINTA

RELAZIONI

MISURE

DATI E PREVISIONI

Obiettivi di apprendimento • Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni

significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni.

• Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura.

• Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.


• Conoscere le principali unità di misura per

lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, massi/pesi e usarle per effettuare misure e stime.

• Passare da un’unità di misura a un’altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario.


• In situazioni concrete, di una coppia di eventi

intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili.

• Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.

Contenuti

• Problematizzazione delle situazioni.

Contenuti

• La risoluzione di problemi di calcolo con le

misure.

Contenuti • Confronto tra modi diversi di rappresentare

diversi dati

Punti di attenzione

• La manipolazione e la rappresentazione

simbolica. • L’argomentazione delle strategie scelte.

Punti di attenzione

• La rapporto tra misure di due grandezze.

Punti di attenzione

• La rilevazione di informazioni da Istituti

riconosciuti ( ISTAT, EUROSTAT )

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ALLEGATO 1

Descrizione dei livelli di competenza in matematica , PISA 2003 Livello 6

Concettualizzazione, generalizzazione e uso di informazioni basate su situazioni e problemi complessi. Collegamento fra diverse fonti di informazioni e forme di rappresentazione differenti, in seguito a combinazione di diversi elementi. Sviluppo di nuove soluzioni e strategie di gestione di situazioni non familiari.

Livello 5

Sviluppo e utilizzazione di modelli per situazioni complesse. Scelta, confronto e valutazione di strategie di risoluzione dei problemi, opportune per affrontare problemi complessi. Utilizzazione strategica di forme di rappresentazione adatte e applicazione di conoscenze riferite alle situazioni.

Livello 4

Utilizzazione corretta di modelli espliciti per situazioni complesse. Scelta e integrazione di varie forme di rappresentazione e loro collegamento con aspetti di situazioni reali, argomentazione flessibile.

Livello 3

Svolgimento di procedure descritte chiaramente, comprese quelle che presuppongono decisioni sequenziali. Utilizzazione e interpretazione di rappresentazioni basate su varie fonti di informazioni e capacità di trarne delle conclusioni dirette.

Livello 2

Estrazione di informazioni pertinenti da un'unica fonte e comprensione di un'unica forma di rappresentazione. Applicazione di algoritmi, formule, procedure o convenzioni fondamentali.

Livello 1

Risposte a domande formulate in un contesto familiare, contenenti tutte le informazioni pertinenti e definite chiaramente. Svolgimento di procedimenti di routine secondo istruzioni dirette.

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ALLEGATO 2 Daniela Maccario “Progettare per competenze” Rielaborazione di appunti A scuola è assunta la competenza come criterio formativo e cioè progettare e valutare per la costruzione di percorsi di apprendimento. Competenza come criterio formativo La competenza consente: • di avere apprendimenti disponibili al di là dell’insegnamento • autonomia concettuale • autonomia operativa

L’approccio per competenze prevede: • una didattica diversa da quella per obiettivi • una qualità diversa dell’apprendimento che deve essere certo, stabile nel tempo, a prescindere dai

contesti e spendibile • la mobilizzazione, no la replica e più del transfer, l’uso dei concetti in modo diverso

La competenza • attiva qualità che denotano “non superficialità” • non tollera scomposizioni analitiche in abilità “discrete” • manifesta il saper essere • non è afferibile alla psicologia è un insieme di risorse (interne –soggettive, esterne – oggettive) •

RISORSE NELLA COMPETENZA

Risorse interne

Risorse esterne Cognitive • conoscenza non è sapere Conative • motivazione • valori • etica Fisico- corporeo

Contestuali • spaziali • organizzative • tecnico-materiali • umane

Definizioni: Capacità: potenzialità di elaborazione di risposta Abilità: espressione nel fare, consapevolezza. Si riferisce sempre a compiti specifici. Schemi di riferimento. Competenza: elaborazione in situazione. Fondamentale l’ambiente di lavoro. Metodologia: costruttivismo cooperativo. La Competenza come alchimia che ciascun soggetto realizza con le risorse che può e sa attivare in base alla interpretazione della situazione. Programmare per competenze consentirà di far mobilizzare, integrare, combinare conoscenze e abilità. L’insegnante deve: • Rendere disponibili le risorse che servono allo sviluppo della competenza • Creare situazioni motivanti che favoriscano la sintesi delle risorse Valutazione: valutare le potenzialità di impiego degli apprendimenti. Descrittori. Standard. Descrizione della prestazione. I° livello: stabilizzazione degli apprendimenti di base. Risposte semplici e stereotipate. II°livello: grado di trasferimento degli apprendimenti di base. Scelta degli apprendimenti in base alla interpretazione del compito III° livello: grado di integrazione degli apprendimenti di base. Integrazione di apprendimenti in base all’interpretazione del compito in forma di situazione problema. Vari tipi di curricolo: paralleli, globalizzanti (molto dispersivi), gerarchici, a spirale.

passione, uso del sapere

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ALLEGATO 3 Elena Vay - Il compito unitario in situazione - Le caratteristiche

• non è assimilabile ad una prova di verifica • non è un esercizio individuale

• è un compito reale e complesso

• per essere portato a termine necessita di conoscenze e abilità disciplinari

• è il momento in cui osservare, rilevare e descrivere una specifica competenza personale

• rappresenta uno spazio di autonomia e responsabilizzazione degli allievi nel quale ciascuno di essi

può affrontare e portare a termine il compito affidatogli, mostrando di possedere o meno, e a quale grado, le competenze utili a realizzarlo

• per essere portato a termine con successo necessita dell’utilizzo di conoscenze e abilità disciplinari:

non può esserci competenza se non ci sono le conoscenze e le abilità ad essa sottese

• è definito in un tempo preciso: – non deve confondersi col processo, che rappresenta tutto il percorso realizzato – né col prodotto, che rappresenta “l’oggetto”, se esiste, in cui si concretizza il lavoro

In una “pedagogia del compito” la scuola non si limita a riproporre oggetti culturali già elaborati, a dichiarare obiettivi, a sperimentare per problemi (nell'ipotesi più avanzata) al contrario, recepisce la complessità del reale ed elabora “sapere progettuale”

Esempio di realizzazione del compito in situazione Introduco l’argomento “regole” e realizzo una situazione/evento stimolo:

• In piccolo gruppo fai un giro nella scuola e scrivi quali sono secondo te le regole su cui si basa la vita scolastica

• Prepara poi una sintesi che dovrai presentare ai compagni, spiegando le motivazione delle scelte • Presentala e discutila con i tuoi compagni in modo da individuare le idee comuni per realizzare la

sintesi di classe

Realizzare un incontro con i compagni della classe inferiore per spiegare come realizzare una presentazione del proprio percorso scolastico da co nsegnare all’avvio della scuola successiva Esempio di criteri per la valutazione complessiva d el compito in situazione 1- La significatività dei risultati ottenuti (il valore delle deduzioni alla luce dell’approfondimento dei temi) 2- L’uso funzionale degli strumenti tecnico-scientifici utilizzati 3-Completezza dell’informazione (il lavoro è esauriente, approfondito, documentato e orientato all’utente: aderenza al tema) 4- Aspetto estetico/capacità comunicativa del lavoro (accattivante, originalità, fantasia, …) (capacità di far passare il messaggio in modo semplice, spontaneo e comprensibile a chiunque) 5 -Livello di soddisfazione personale 6- Significatività che l’esperienza ha avuto per lo studente

• prendere decisioni nell’ambito dell’organizzazione del lavoro e nella definizione delle fasi della ricerca

• sviluppare un'efficace autogestione dei percorsi di apprendimento nel sistema dei ruoli all’interno della classe

• conoscere i punti di forza e le debolezze della propria preparazione • documentarsi, di fronte ad un problema complesso, selezionando fonti diverse di informazione,

utilizzando strumenti diversi • argomentare le proprie idee, suffragandole con argomenti adeguati.

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• Esempio di elementi per la valutazione complessiva dell’apporto personale

SFERA PERSONALE

• Assume responsabilmente i propri impegni • Utilizza in modo efficace le risorse personali nella realizzazione del compito • Riflette criticamente sul proprio percorso di apprendimento:

– analizza le proprie strategie di successo – esplicita i nodi problematici – individua modalità per superare le difficoltà

SFERA RELAZIONALE

• Valorizza le potenzialità del gruppo di lavoro assumendo un ruolo positivo all’interno del gruppo • Valorizza le diversità esistenti nel gruppo.

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Allegato 4

Dalla RACCOMANDAZIONE DEL PARLAMENTO EUROPEO E DEL CONSIG LIO - del 18 dicembre 2006 relativa a competenze chiave p er l’apprendimento permanente

(2006/962/CE)

Competenza matematica e competenze di base in campo scientifico e tecnologico Definizione: A - La competenza matematica è l’abilità di sviluppare e applicare il pensiero matematico per risolvere una serie di problemi in situazioni quotidiane. Partendo da una solida padronanza delle competenze aritmetico-matematiche, l’accento è posto sugli aspetti del processo e dell’attività oltre che su quelli della conoscenza. La competenza matematica comporta, in misura variabile, la capacità e la disponibilità a usare modelli matematici di pensiero (pensiero logico e spaziale) e di presentazione (formule, modelli, costrutti, grafici, carte). B - La competenza in campo scientifico si riferisce alla capacità e alla disponibilità a usare l’insieme delle conoscenze e delle metodologie possedute per spiegare il mondo che ci circonda sapendo identificare le problematiche e traendo le conclusioni che siano basate su fatti comprovati. La competenza in campo tecnologico è considerata l’applicazione di tale conoscenza e metodologia per dare risposta ai desideri o bisogni avvertiti dagli esseri umani. La competenza in campo scientifico e tecnologico comporta la comprensione dei cambiamenti determinati dall’attività umana e la consapevolezza della responsabilità di ciascun cittadino. Conoscenze, abilità e attitudini essenziali legate a tale competenza: A - La conoscenza necessaria nel campo della matematica comprende una solida conoscenza del calcolo, delle misure e delle strutture, delle operazioni di base e delle presentazioni matematiche di base, una comprensione dei termini e dei concetti matematici e una consapevolezza dei quesiti cui la matematica può fornire una risposta. Una persona dovrebbe disporre delle abilità per applicare i principi e processi matematici di base nel contesto quotidiano nella sfera domestica e sul lavoro nonché per seguire e vagliare concatenazioni di argomenti. Una persona dovrebbe essere in grado di svolgere un ragionamento matematico, di cogliere le prove matematiche e di comunicare in linguaggio matematico oltre a saper usare i sussidi appropriati. Un’attitudine positiva in relazione alla matematica si basa sul rispetto della verità e sulla disponibilità a cercare motivazioni e a determinarne la validità. B - Per quanto concerne la scienza e tecnologia, la conoscenza essenziale comprende i principi di base del mondo naturale, i concetti, principi e metodi scientifici fondamentali, la tecnologia e i prodotti e processi tecnologici, nonché la comprensione dell’impatto della scienza e della tecnologia sull’ambiente naturale. Queste competenze dovrebbero consentire alle persone di comprendere meglio i progressi, i limiti e i rischi delle teorie e delle applicazioni scientifiche e della tecnologia nella società in senso lato (in relazione alla presa di decisioni, ai valori, alle questioni morali, alla cultura, ecc.). Le abilità comprendono la capacità di utilizzare e maneggiare strumenti e macchinari tecnologici nonché dati scientifici per raggiungere un obiettivo o per formulare una decisione o conclusione sulla base di dati probanti. Le persone dovrebbero essere anche in grado di riconoscere gli aspetti essenziali dell’indagine scientifica ed essere capaci di comunicare le conclusioni e i ragionamenti afferenti. Questa competenza comprende un’attitudine di valutazione critica e curiosità, un interesse per questioni etiche e il rispetto sia per la sicurezza sia per la sostenibilità, in particolare per quanto concerne il progresso scientifico e tecnologico in relazione all’individuo, alla famiglia, alla comunità e alle questioni di dimensione globale.

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ALLEGATO 5 Rielaborazione di documenti vari. Stili Cognitivi Borkowsky (1988) e Cornoldi (1995) offrono una casistica di Stili cognitivi. Lo stile cognitivo è inteso come "modalità di elaborazione dell'informazione che il soggetto adotta in modo prevalente, che permane nel tempo e che si generalizza a compiti diversi. Lo stile di un soggetto viene anche inteso come una sua caratteristica fondamentale che influenza, oltre alle modalità cognitive... anche aspetti di personalità come le interazioni sociali, gli atteggiamenti e le reazioni emotive." CORNOLDI C. () Stili cognitivi, in (a cura di) Cornoldi C. “I disturbi dell'apprendimento” Il Mulino, Bologna, 1991, pp .107-110 Stile sistematico-intuitivo Riguarda la maniera di classificare e formulare ipotesi di un individuo. E' uno "stile classico" per l'analisi psicologica che mette in evidenza l'interazione tra processi cognitivi e processi emotivi e di personalità. La persona intuitiva segue le sue ispirazioni con prontezza, ama cimentarsi con il nuovo e le situazioni complesse, salta facilmente alle conclusioni, fa fatica a programmare e a seguire un lungo procedimento logico; la persona sistematica ama programmare le sue attività, seguirle e portarle a conclusione. Sottile analizzatrice, ama lavorare per migliorare il funzionamento delle cose. Stile globale-analitico Concerne la percezione, la preferenza per la considerazione dell'insieme o del dettaglio. Concerne un altro tipo di processo psicologico poichè uno stile intuitivo non è certamente analitico ma non è necessariamente nemmeno globale dato che potrebbe prendere spunto da un unico elemento significativo. La persona globalista osserva, legge, scrive, studia soffermandosi sugli aspetti d'insieme; la persona analitica si sofferma sui particolari. Stile impulsivo-riflessivo Riguarda i processi decisionali, un certo modo di decidere, pianificare la risposta, scegliere la maniera di affrontare un compito. Questo stile interagisce con altri stili per quanto riguarda la qualità della decisione. La persona riflessiva pensa molto prima di dare una risposta o eseguire un compito perciò ha bisogno di più tempo per procedere e commette meno errori ma può perdere qualche occasione; la persona impulsiva riflette poco prima di dare una risposta o compiere un'azione, prende in fretta le decisioni e spesso commette errori. Stile verbale - visuale Trasversale a vari compiti cognitivi concerne la percezione, le preferenze di risposta, la memoria che è il riferimento centrale dello stile, dato che si presume che le conoscenze siano immagazzinate per quantità e tipo di organizzazione funzionale allo stile preferito. Gli effetti di questo stile si evidenziano nella maniera in cui una persona ricorda le informazioni apprese. Un verbalizzatore ricorda meglio parole e incontra difficoltà in compiti di tipo visivo; un visualizzatore ricorda meglio gli oggetti e le immagini. Stile convergente-divergente Si riferisce ai rispettivi due tipi di pensiero. Il convergente tende a svilupparsi verso mete logiche e consequenziali su cui convergono altre catene di pensiero; il divergente sviluppa percorsi autonomi che possono produrre soluzioni originali e "creative". Stili cognitivi e strategie di apprendimento Corsi, materiali didattici in rete. Università di Torino

• stile globale/analitico : chi adotta uno stile globale preferisce avere prima una visione di insieme del materiale da imparare per poi muovere verso il particolare, chi adotta uno stile analitico preferisce partire dai dettagli per ricostruire man mano il quadro generale.

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• Prima di iniziare a studiare cerco di costruire un quadro d’insieme degli argomenti. • Quando studio, imparo dapprima i singoli concetti e solo dopo li collego in un quadro

generale

• stile dipendente/indipendente dal campo : chi adotta uno stile indipendente dal campo tende ad isolare i singoli argomenti dal resto, chi adotta uno stile dipendente dal campo tende ad esaltare i collegamenti tra il contesto in cui l’argomento è inserito e l’argomento stesso; lo stile dipendente dal campo pone l’accento sulle relazioni tra i singoli concetti.

• Quando studio identifico in un testo i concetti fondamentali e li imparo senza preoccuparmi di collegarli.

• stile verbale/visuale : chi adotta uno stile verbale predilige l’uso del codice linguistico, ossia testi, registrazioni sonore ed impara per lettura e ripetizione, chi adotta uno stile visuale predilige l’uso di codice visuo-spaziale, ossia immagini, statiche e in movimento, schemi riassuntivi, diagrammi, tabelle.

• Gli schemi, i grafici o le tabelle riassuntive mi aiutano a capire meglio quanto spiegato nel testo.

• Studio ripetendo ad alta voce il testo

• stile convergente/divergente : chi adotta uno stile convergente parte dalle informazioni disponibili per convergere verso una soluzione unica al problema; chi adotta uno stile divergente parte dall’informazione a disposizione per procedere in modo creativo generando una varietà di risposte o soluzioni originali e flessibili;

• Quando studio cerco di imparare solo ciò che è indispensabile. • Quando studio cerco di approfondire gli argomenti per arricchire la mia cultura personale.

• stile risolutore/assimilatore : chi adotta uno stile risolutore tende a privilegiare l’azione e la concretezza nell’affrontare un problema cercando di ottenere soluzioni soddisfacenti con il minimo dispendio di tempo e risorse, cercando nell’informazione a disposizione ciò che serve a risolvere la necessità ; contingente, chi adotta uno stile assimilatore privilegia la ricerca di soluzioni esaustive e articolate, non necessariamente di utilità pratica e non limitate alla necessità contingente.

• Quando studio cerco di trovare un testo il più possibile chiaro e sintetico per imparare i concetti necessari

• Quando studio cerco sempre di confrontare le posizioni di più autori rispetto ad un determinato problema

• stile impulsivo/riflessivo : chi adotta uno stile impulsivo ha bassi tempi decisionali e generalmente maggiore tendenza a soluzioni precipitose e non ottimali, chi adotta uno stile riflessivo risponde in modo più lento e accurato.

• Prima di iniziare a studiare pianifico accuratamente tutte le fasi • Studio quando capita.

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• stile sistematico/intuitivo : chi adotta uno stile sistematico cerca soluzioni prendendo in considerazione una variabile per volta e cercandone tutte le possibili connessioni col sistema di conoscenze già in proprio possesso; chi adotta uno stile intuitivo procede per singole ipotesi che cerca di confermare o confutare.

• Quando studio vorrei sempre avere a disposizione dei testi che mi spieghino per filo e per segno tutto ciò che è necessario sapere nelle varie situazioni.

• Quando studio mi piace fare ipotesi personali, cercando di intuire il seguito del brano e vedere se va proprio a finire così.

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ALLEGATO 6 Ipotesi alla base di un curricolo di matematica Curricolo, Sapere e saperi

Martha Isabel Fandiño Pinella NRD Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica

del Dipartimento di Matematica dell’Università di Bologna

Il presente testo è tratto da: Fandiño Pinella M. I. (2002). Curricolo e valutazione in matematica. Bologna: Pitagora.

Le angolazioni secondo le quali si può sviluppare un curricolo di matematica sono principalmente quattro: · quella psicologica : è l’angolazione che tende soprattutto ad evidenziare aspetti aventi a che fare con l’individualità del comportamento da parte dell’allievo · quella antropologica : che mette al centro dell’azione didattica gli esseri umani che ne sono protagonisti, l’insegnante ed ogni singolo allievo; il concetto che la fa oggigiorno da padrone in studi di questo genere è quello di “rapporto al sapere” (Chevallard, 1991) con la conseguente necessaria “istituzionalizzazione del sapere”. · quella didattica , che sembra avere attualmente maggior peso e maggior fortuna; è complessa e comprende nel suo seno gli aspetti specifici e più generali. · quella epistemologica : molti docenti e molti studiosi sorvolano su di essa, senza darle il ruolo centrale che, invece, merita. Quel che segue è uno sguardo sommario alla concezione epistemologica del curricolo:

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Logicismo

Formalismo Intuizionismo Costruttivismo

Cos’è la matematica?

Struttura logica Gioco simbolico Successione di atti puri di intuizione

Costruzione di concetti personali basata sull’assimilazione e l’accomodamento

Che cosa significa insegnare?

Evidenziare le strutture della matematica

Evidenziare gli aspetti sintattici di combinazione dei segni formali

Proporre catene significative di atti di intuizione

Proporre immagini e modelli sempre più adeguati di esperienze tratte dal reale

Come si apprende la matematica?

Assimilandone in qualche modo le strutture logiche

Imparando a “giocare” con i simboli e le loro combinazioni sintattiche, ma finendo con il vederne modelli (semantica)

Concatenando in maniera personale atti intuitivi puri

Assimilando e accomodando successioni di immagini e modelli

Che cosa si valuta?

La capacità di riconoscere strutture analoghe o identiche in situazioni diverse

La capacità di dominare la sintassi; la capacità di interpretare modelli

La capacità di organizzare successioni di atti puri concatenandoli

La capacità di assimilare; la capacità di accomodare; la capacità di adattamento

Come si considera l’errore?

Fatto negativo che costringe a rivedere l’organizzazione logica delle strutture

Fatto negativo che costringe a rivedere la sintassi

Fatto negativo che denuncia un “salto” scorretto nella successione concettuale

Fatto emblematico che denuncia un malessere cognitivo che dipende da una mancata assimilazione o da uno scorretto accomodamento

Qual è il compito dell’allievo?

Adeguare la propria struttura mentale a quella logica proposta; imparare a ragionare secondo visioni strutturali

Imparare a riconoscere se certe combinazioni sintattiche sono permesse o no; se è possibile, riconoscere modelli (semantica)

Migliorare e raffinare la propria sensibilità nella creazione di atti puri di intuizione

Costruirsi personalmente concetti, nella speranza che siano, prima o poi, adeguati a quelli attesi o condivisi

Qual è il compito del docente?

Proporre ed illustrare situazioni strutturali

Insistere sulla sintassi del “linguaggio” simbolico

Predisporre esempi di sequenze di atti di intuizione che spingano all’autonomia

Creare una successione di immagini e modelli di concetti che costringano lo studente a costruirsi conoscenza

Quale metodologia usa il docente?

Esempi anche pre- disegnati da “esperti”

Esercizi anche ripetitivi; “problemi” che si risolvono applicando regole

Attività logiche Creare successioni opportune, ciascuna delle quali porti a conflitti cognitivi

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Tendenze auspicabili nel curricolo

Fare meno

Fare più

Nell’insegnamento

• lezioni frontali • lavoro affidato individualmente • lavoro senza contesto • lavoro astratto • temi tradizionali • ricorso a situazioni didattiche

• guida alla motivazione • lavoro di gruppo • applicazioni quotidiane • motivazione • modellizzazione delle connessioni con il reale • temi attuali • ricorso a situazioni a-didattiche

Nell’apprendimento

• memorizzazione temporanea • informazioni “chiuse” o finite • attività chiuse • esercizi di routine • simbolismo matematico • trattamento formale • ritmo uniforme

• comprensione duratura • scoperta e ricerca • attività aperte • problemi complessi • uso di linguaggi diversi • visualizzazione • ritmo personalizzato …

Nella valutazione

• valutazione di algoritmi • valutazione quantitativa • valutazione di ignoranze o di mancati apprendimenti

• valutazione di ragionamento • valutazione qualitativa • valutazione formativa …

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Allegato 7 VALUTAZIONE

“ La valutazione precede , accompagna e segue i percorsi curricolari. Attiva le azioni da intraprendere, regola quelle avviate, promuove il bilancio critico su quelle condotte a termine. Assume una preminente funzione formativa , di accompagnamento dei processi di apprendimento e di stimolo al miglioramento continuo. “( Indicazioni per il curricolo 2007) La valutazione si connota come un processo complesso e articolato, secondo un approccio sistemico, che richiede un riadattamento continuo delle parti, cioè degli obiettivi e delle strategie, tramite la retroazione. È verifica globale della funzionalità dell’attività progettata, rispetto al raggiungimento degli obiettivi specifici dell’intervento formativo secondo lo schema del processo adhocratico (Lipari), in cui progettazione, azione e valutazione sono strettamente interrelate. In tale processo si delineano i soggetti (gli operatori della formazione: progettisti, docenti, tutor…), gli oggetti (valutazione di prodotto, valutazione di processo), gli scopi , (perché si valuta?), i tempi ( quando valutare?). Rispetto ai tempi la valutazione è iniziale (diagnostica ), in itinere (formativa- regolativa) , finale (sommativa ). La valutazione diagnostica è interessata a conoscere l’alunno al momento del suo ingresso a scuola, rilevandone bisogni, modalità relazionali, partecipative, di apprendimento. E’ un momento estremamente importante, che impone la necessità di scelte culturali, didattiche, metodologiche idonee a garantire il suo successo formativo. La valutazione formativa indaga gli esiti del processo di apprendimento, rispetto agli obiettivi didattici programmati, allo scopo di adeguare gli interventi successivi sulle risposte e capacità degli alunni. La valutazione sommativa permette di rilevare il possesso di determinate conoscenze e abilità da parte dell’alunno e, quindi, di rendere conto dell’incidenza formativa dell’intervento didattico. Problemi aperti sulla valutazione:

o Che cosa significa misurare. o Qual è l’oggetto della misurazione. Quali gli strumenti. o Che cosa e come valutare. o Come rispettare gli stili cognitivi e riconoscere le varie intelligenze. o Come programmare per competenze. o L’autovalutazione. Portfolio dell’alunno. Portfolio dell’insegnante. o Sistema Nazionale di Valutazione o Valutazione espressa in decimi

QUALE VALUTAZIONE? Le opposte polarità: approccio quantitativo e approccio qualitativo Indirizzo: oggettivistico soggettivistico CHE COSA SI VALUTA Valutazione degli esiti o del prodotto Valutazione del processo Valutazione del curricolo Valutazione del sistema scuola

MISURAZIONE E VALUTAZIONE Possono essere considerate due aspetti di uno stesso “procedimento sistemico, che mira a determinare in quale misura gli obiettivi sono stati determinati dagli allievi” (Giovannini). La valutazione è, infatti, “la risultante di due operazioni, delle quali la prima è rappresentata dalla misurazione e l’altra dalla valutazione propriamente detta. La misurazione consiste nell’acquisizione di una informazione organizzata relativa a determinati fenomeni, la valutazione nello stabilire la rispondenza delle misurazioni effettuate a determinate ipotesi che sono alla base dell’attività formativa” (Vertecchi).

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Dominici sostiene che non è possibile valutare ciò che non si è misurato. Non è possibile concludere il controllo, cioè affermare se gli obiettivi siano stati raggiunti o no, senza avere informazioni oggettive, senza cioè aver misurato. In entrambe le operazioni è fondamentale esplicitare i criteri che si utilizzano e gli standard di riferimento. Mager distingue tra valutazione in base a regole e valutazione in base a principi: la prima si basa sul confronto di prestazioni dei diversi alunni della classe, l’altra confronta una misurazione con uno standard stabilito a priori. Soltanto questo secondo tipo di valutazione, secondo Mager, ci permette di accertare se un obiettivo è stato raggiunto o meno.

VERIFICA E VALUTAZIONE Se la Valutazione si configura come un processo di sintesi che mira a comprendere la varietà e la diversità qualitativa dei processi formativi, con le prove di verifica non si può verificare un processo, ma soltanto singole performance. Verificare è controllare se un’ipotesi è vera o meno, comparando l’ipotesi, cioè gli obiettivi prefissati e le condizioni per raggiungerli, con i risultati ottenuti dall’accertamento. (Tessaro). “Il concetto di valutazione si collega all’uso degli strumenti, ma pone anche differenze di fondo sui fini e sul concetto stesso di educazione” (Guasti).

TIPOLOGIA DEGLI STRUMENTI: I DUE POLI Varia è la tipologia degli strumenti che vengono utilizzati nel processo di verifica degli apprendimenti. La domanda che si pone è la seguente: possono essere utilizzati in modo indifferenziato, per verificare le diverse conoscenze e abilità possedute dagli alunni? O, come ritiene Dominici, sono “gli obiettivi specifici della verifica che, per così dire, suggeriscono il tipo d prova da utilizzare? Si avranno così prove orali, scritte, grafiche, pratiche o combinazioni di queste, a seconda di quanto si intenda rilevare al momento di somministrazione di una prova. Altri criteri di classificazione riguardano il tempo , per cui avremo prove iniziali, intermedie, finali, e il contesto , in cui una prova viene somministrata. Per ricavare informazioni affidabili sul tipo di abilità e conoscenze possedute dagli alunni è tuttavia necessario, classificare le prove in base alle caratteristiche degli stimoli offerti e delle risposte richieste. Si passa così dalle prove tradizional i, a stimoli e risposte aperte, alle prove semi-strutturate , fino a quelle strutturate .

CLASSIFICAZIONE DELLE PROVE Prove tradizionali: a stimolo aperto e risposta ape rta. - temi, interrogazioni Sono prove non strutturate, che hanno modalità di lettura non predeterminate. Questo “comporta l’accentuazione della dimensione soggettiva nella interpretazione delle prestazioni e nella espressione dei giudizi valutativi.” Prove semi-strutturate: a stimolo chiuso e risposta aperta. - Si chiamano prove semi-strutturate perché hanno metà struttura ben definita (l’insieme dei quesiti, a stimolo chiuso) e l’altra metà a struttura aperta, che deve essere elaborata autonomamente dall’alunno, rispettando però vincoli prescrittivi che rendono possibile il confronto delle risposte con criteri prefissati. In questo modo è possibile attribuire una serie di punteggi da assegnare a ciascuna domanda o sottodomanda. (Dominici) Rientrano in questa tipologia di prove-domande strutturate

- saggi brevi - riassunti - relazioni di ricerca - colloqui strutturati

Sono particolarmente adatte a verificare i processi intellettuali superiori. Prove strutturate di conoscenza o prove oggettive: a stimolo e risposta chiusa Sono prove che hanno un alto grado di strutturazione delle domande, con univocità delle risposte. La strutturazione degli stimoli e delle risposte consente la predeterminazione dei punteggi da assegnare alle risposte esatte, a quelle sbagliate e a quelle omesse, relative a ciascun quesito che compone la prova. La soggettività permane solo nella scelta dei quesiti da porre, ma viene comunque esplicitata. La correzione della prova viene compiuta rilevando e registrando con semplici procedure l’esattezza o meno delle risposte, alle quali viene assegnato il punteggio stabilito, fino a ottenere un punteggio complessivo. Le informazioni cui si perverrà permetteranno un’analisi corretta degli apprendimenti conseguiti dai singoli alunni e

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dall’intero gruppo; l’interpretazione e il giudizio sono indipendenti dalle caratteristiche soggettive di chiunque corregga la prova, a favore di una valutazione tendenzialmente oggettiva. LA QUESTIONE DEL PUNTEGGIO E DEL VOTO Punteggio e voto sono assimilabili o attengono a due momenti diversi? Non è una domanda retorica, perché in realtà tra gli stessi insegnanti non c’è molta chiarezza in merito. Gattullo distingue tra punteggio , come risultato delle operazioni di misurazione , e voto , come risultato, invece, delle operazioni di valutazione . Il voto è, infatti, espressione di un giudizio di valore. VALUTAZIONE E CERTIFICAZIONE La legge 53/2003 e le successive circolari applicative (c.m.85/2004 e c.m. 84/2005) hanno introdotto il problema della rilevazione e certificazione delle competenze., che dovrebbe informarci se le conoscenze e le abilità, oltre a essere apprese e rielaborate, sono utilizzate in contesti concreti, anche extrascolastici. Nelle linee guida per la certificazione di competenze a conclusione del primo ciclo, si sottolinea la necessità di distinguere tra certificazione di competenze e valutazione dei risultati. La valutazione è espressione di un giudizio e rappresenta l’esito di un itinerario complesso proposto dal docente e dei risultati raggiunti dagli allievi. La certificazione di una competenza invece è la rappresentazione di un saper fare intenzionale efficace raggiunto dall’allievo che viene descritto in relazione al contesto di uso in cui è espressa. La competenza certificata costituisce elemento aggiuntivo al conseguimento della valutazione scolastica presente negli attestati finale dei diversi gradi di scolarità. Si dichiara infatti che il detentore della certificazione esibisce quella competenza in specifici contesti d’uso. La priorità di attenzione a livello di certificazione va riservata a quelle discipline che sono state individuate come il core curriculum a livello europeo. Si configura anche la necessità di utilizzare come format (contenitore) quello assunto negli Assi Culturali – All. 1 del Regolamento sull’obbligo dell’istruzione - Decreto 22 agosto 2007. Lo scopo è quello di trovare un equilibrio tra conoscenze e competenze, per ”evitare il passaggio da una pratica didattica poco produttivamente orientata alla riproduzione delle conoscenze ad una rischiosamente generica indicazione di competenze non sostanziata in modo attendibile dai loro necessari presupposti: conoscenze ed abilità.” Si fa riferimento anche alle Competenze Chiave di Cittadinanza, riportate nell’Allegato 2 del Regolamento citato, da acquisire al termine dell’istruzione obbligatoria, in funzione del “pieno sviluppo della persona nella costruzione del sé, di corrette e significative relazioni con gli altri e di una positiva interazione con la realtà naturale e sociale”: imparare ad imparare, progettare, comunicare, collaborare partecipare, agire in modo autonomo e responsabile, risolvere problemi, individuare collegamenti e relazioni,acquisire ed interpretare l’informazione. LE COMPETENZE CHIAVE EUROPEE Il 18 dicembre 2006, il Parlamento europeo e il Consiglio hanno approvato una raccomandazione ”relativa a competenze chiave per l’apprendimento permanente”. Nel Consiglio Europeo di Barcellona sono stati individuati tredici obiettivi da raggiungere entro il 2010 da tutti gli Stati membri. I tredici obiettivi fanno riferimento a tre finalità: “rafforzare l’efficacia e la qualità dei sistemi; rendere i sistemi più accessibili; aprire i sistemi al mondo”. Lo sviluppo di competenze chiave è uno dei cinque obiettivi individuati per rafforzare l’efficacia e la qualità dei sistemi. “Le competenze sono definite in questa sede alla stregua di una combinazione di conoscenze, abilità e attitudini appropriate al contesto.” Dalla Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio sopra citata: “Le competenze chiave sono quelle di cui tutti hanno bisogno per la realizzazione e lo sviluppo personali, la cittadinanza attiva, l’inclusione sociale e l’occupazione. Il quadro di riferimento delinea otto competenze chiave: 1) comunicazione nella madrelingua; 2) comunicazione nelle lingue straniere; 3) competenza matematica e competenze di base in scienza e tecnologia; 4) competenza digitale; 5) imparare a imparare; 6) competenze sociali e civiche; 7) spirito di iniziativa e imprenditorialità; 8) consapevolezza ed espressione culturale. Le competenze chiave sono considerate ugualmente importanti, poiché ciascuna di esse può contribuire a una vita positiva nella società della conoscenza…

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Allegato 8

LA DIMENSIONE INTERCULTURALE DELLA MATEMATICA La matematica viene percepita dalla stragrande maggioranza di persone come un corpus chiuso di

conoscenze altamente formalizzato, lontano dalla realtà e dal vissuto quotidiano, una specie di

Iperuranio, l’accesso al quale è consentito solamente a pochi fortunati eletti. Sembrerebbe così un compito assai arduo, se non impossibile, pensare a una dimensione interculturale della matematica, a un incontro tra matematica e culture” altre”. In realtà è l’idea stessa che abbiamo della matematica, come un coacervo di formule, a precluderci l’accesso alla scienza che Pitagora aveva definito “ciò che si impara.” (A.M. Cappelletti in Didattica interculturale della matematica). “Invece l’educazione matematica, sia nei suoi aspetti più logici sia in quelli più euristici, è una componente essenziale della formazione della personalità,(…) La matematica (…) è un modo di pensare, è il pensiero e il linguaggio che si sviluppano in forme più precise per affrontare questioni che a livello usuale non sarebbe possibile risolvere. Il procedimento di astrazione non è affatto una fuga dalla realtà, (…) ma uno strumento essenziale del pensiero, senza il quale non ci sarebbe possibile conoscere il mondo e agire su di esso.” (F. Speranza Introduzione a”Educazione matematica e sviluppo mentale” di B D’Amore). Secondo E. Castelnuovo, per suscitare un interesse vivo per una nozione che può sembrare astratta, è necessario parlare della vicenda storica e far capire che sono stati i problemi della vita di ogni giorno a favorire lo sviluppo di quel concetto: ad esempio, “considerando l’evoluzione del concetto di numero attraverso i secoli, illuminando cioè il numero alla luce della storia; una storia non cronologica, ma sociale…(Didattica della matematica). L’introduzione della dimensione storica consente di recuperare il significato sociale della matematica, “ quale insieme di saperi che gli uomini di ogni parte del mondo e di ogni tempo hanno inventato e progressivamente arricchito per rispondere a esigenze cognitive e pratiche. Da una scienza da apprendere dogmaticamente e passivamente a una pluralità di scienze, a molte matematiche per riconoscere, anche in questo ambito, la centralità della persona che conosce, codifica, trasmette e si avvale della cultura.” In questo contesto si aprono nuovi “orizzonti cognitivi su misura di ciascuno, in cui libertà e motivazione possono divenire linee guida, accanto al rigore logico”, in un “percorso così significativo di apprendimento, come quello matematico.” (Didattica interculturale della matematica).

curricolo matematica con compito unitario e allegati · 1 introduzione nelle indicazioni nazionali...

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