www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

1

Electricitate şi magnetism (MIT 8.02, Walter Lewin)

Cursul 12 – Recapitulare şi titirezul secret (transcrierea subtitrării)

Pentru urmărirea cursului în format video, accesaţi link-ul

http://www.circuiteelectrice.ro/mit802/12

Aveţi aici subiectele, veţi primi trei probleme la examen, dar nu toate subiectele se vor regăsi, desigur, la examen. Şi nici nu le voi putea parcurge pe toate în 50 de minute. Voi prezenta câteva idei de bază, din punct de vedere matematic problemele sunt triviale, iar dacă devin complicate, atunci veţi ştii că ceva nu aţi făcut bine. Dacă vă împotmoliţi cumva la o problemă, sfatul meu este să treceţi mai departe, lăsaţi problema deoparte şi treceţi la următoarele. Legea lui Gauss nu este trecută cu roşu incidental, ci legea lui Gauss este, desigur, extrem de importantă în prima parte a cursului. Integrală de suprafaţă închisă din E ori dA, este egală cu suma sarcinilor din interior împărţit la ε0. Această ecuaţie este atât de importantă, încât veţi primi cu siguranţă o problemă ce implică aplicarea legii lui Gauss. Când avem o problemă ce implică utilizarea legii lui Gauss, avem trei posibilităţi. Trebuie să existe simetrie, trebuie să existe o distribuţie specială de sarcini, pentru că în caz contrar legea lui Gauss nu ne foloseşte la nimic. Prin urmare, poate exista simetrie sferică, simetrie cilindrică, sau simetrie plană, acestea sunt toate posibilităţile. Veţi primi la examen una din cele trei. Voi rezolva una acum, puteţi alege. Vom vota. Una din variante este simetria sferică, o alta este simetria cilindrică, sau, cealaltă, simetrie plană. Cine vrea simetria sferică ? Mâini. Cine vrea simetria cilindrică ? Şi mai multe mâini. Cine vrea plană ? Se pare că vom avea simetria cilindrică. Dar, dacă sunteţi isteţi, puteţi rămâne la următorul curs, şi să încercaţi să votaţi pentru celelalte două. Trebuie să ne şi distrăm puţin astăzi. Prin urmare, vă voi prezenta ceva special, ceva la care eu ţin foarte mult, este un titirez secret. Îl vedeţi acolo. Voi învârti acest titirez secret, şi, dacă aveţi încredere în mecanica clasică, încredere ce ar trebui să o aveţi deja, veţi prezice că acest titirez nu se va roti pentru mult timp. Există frecare cu aerul, frecare cu suprafaţa de contact, şi prin urmare, se va răsturna destul de curând. Ne vom întoarce mai încolo la el. Să începem prima problemă, cea cu simetrie cilindrică. Avem un cilindru, aici este cilindrul, un cilindru foarte lung cu raza R şi o distribuţie uniformă de sarcină pe întreg cilindrul. Densitatea sarcinii este ρ coulombi pe metru cub. Distribuită uniform pe întreg cilindrul. Vreau să aflu care este câmpul electric în interiorul şi în exteriorul cilindrului. Să ne concentrăm iniţial pe exteriorul cilindrului. Suprafaţa gaussiană, va fi şi ea, evident, un cilindru, aceasta este, lungimea ei, l, este irelevantă, nu va afecta în niciun fel răspunsul. Capetele sunt suprafeţe plane, perpendiculare pe axa de simetrie, partea din faţă este plană, iar aceasta curbată. Raza cilindrului o notăm cu r, şi ştim că în orice punct de pe suprafaţa exterioară a cilindrului, câmpul electric trebuie să fie egal, pentru că distanţa este egală, acesta este argumentul de simetrie. Câmpul electric nu poate fi mai intens aici decât în punctul acela, dacă rămânem pe suprafaţă. Argumentul de simetrie numărul unu. Al doilea argument de simetrie, având în vedere că suprafaţa este cilindrică, câmpul electric este în oricare punct perpendicular pe această axă, ieşind îi spunem radial, dar, desigur, nu ne referim radial, precum o sferă iese radial din această suprafaţă, perpendicular tot timpul pe această axă de

www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

2

simetrie. Forţele naturii nu s-au putut decide altfel. Acesta este al doilea argument de simetrie. Odată ce am văzut acest argument, fluxul electric prin această suprafaţă plană şi prin acea suprafaţă plană trebuie să fie egal cu 0. Pentru că în acest caz, câmpul electric şi vectorul dA local, ce este perpendicular pe suprafaţă, fac un unghi egal cu 90 de grade, pentru că E-ul este aşa aici, dar dA-ul se află în direcţia axei de simetrie. Prin urmare, nu există flux electric nici pe aici şi nici pe aici, ci doar prin această suprafaţă curbă. Dar pe această suprafaţă curbă, dacă avem o sarcină pozitivă, vectorii E şi dA au aceeaşi direcţie, iar dacă sarcina este negativă, direcţiile lor sunt opuse. Putem schimba semnul lui ρ oricând dorim, dar pentru moment, îl considerăm pozitiv. Dacă aplicăm acum legea lui Gauss, va trebui să luăm în considerare doar această suprafaţă, iar cele două capete le putem ignora. Trebuie să aflăm, aşadar, cu cât este egală această suprafaţă, pentru că E şi dA au peste tot aceeaşi direcţie, astfel încât cosinusul unghiului dintre ei este plus unu. Prin urmare, care este aria suprafeţei ? Este egală cu l2πr, iar vectorul câmpului electric este peste tot acelaşi, conform argumentului de simetrie. În partea dreaptă vom avea sarcina din interiorul cilindrului împărţită la ε0. Dar, desigur, sarcina din interiorul cilindrului reprezintă doar porţiunea ce se află în interiorul acestui cilindru mic, lungimea acestuia este de asemenea egală cu l. Secţiunea transversală este egală cu πR^2, acesta fiind volumul sarcinii din interiorul suprafeţei gaussiene. Dacă înmulţesc totul cu ρ, voi obţine expresia unei sarcini, şi împart apoi totul cu ε0. Desigur, l-ul se simplifică, la fel şi π -ul, şi găsim că valoarea câmpului electric este egală cu R^2 ori ρ împărţit la 2ε0r. Pentru o reprezentare vectorială, putem pune un r căciuliţă aici, r căciuliţă, prin urmare, va fi un vector perpendicular pe axa de simetrie, şi îndreptat spre exterior. Acesta este câmpului electric în exteriorul cilindrului. R^2 ori ρ, ε0 ori r. Descreşte aşadar cu 1/r. Vrem acum să aflăm câmpul electric în interiorul cilindrului. Acum r-ul este mai mic sau egal cu R. Este evident că şi de data aceasta voi avea o suprafaţă gaussiană sub forma unui cilindru de lungime l, cu două suprafeţe plane pe cele două capete. Fluxul electric prin cele două capete va fi zero. Primul termen din legea lui Gauss va fi identic, l2πr, pentru că raza cercului din interior este tot r, l2πr ori câmpul electric, argumentele sunt identice, dar acum, sarcina din interiorul suprafeţei gaussiene este mai mică decât înainte. Volumul este acum egal cu l2πr^2, înmulţit totul cu ρ pentru a obţine o sarcină la numărător, totul împărţit la ε0. l-ul se simplifică, nimic spectaculos, π-ul se simplifică, şi obţinem că E este egal cu, avem un r aici, şi un r^2 aici, va rămâne aşadar doar un singur r, împărţit la 2ε0. Dacă preferaţi notaţia vectorială, putem proceda astfel. Desigur, dacă ρ este negativ, atunci automat, dacă punem o densitate de sarcină negativă aici, atunci câmpul E se inversează, lucru luat în considerare automat atât aici cât şi acolo. Să vedem, da, sunt mulţumit de rezultat. Dacă înlocuim r-ul cu R, înseamnă că suntem exact pe suprafaţa cilindrului şi obţinem acelaşi rezultat în ambele cazuri. Punem R aici în loc de r, atunci intensitatea câmpului E, nu ne interesează direcţia acum, este egală cu ρR împărţit la 2ε0. Şi dacă înlocuim în ecuaţia de sus r-ul cu R, obţinem exact acelaşi răspuns. Putem trasa graficul câmpului electric în funcţie de distanţa r, aici fiind distanţa R iar aici intensitatea câmpului electric. Este un grafic liniar, 0 aici, creşte până la un anumit nivel maxim, iar apoi descreşte cu 1/r. Valoarea de aici este valoarea aceasta, adică atunci când r este egal cu R. Este evident şi îmbucurător faptul că intensitatea câmpului electric chiar pe axă, unde r este egal cu 0, intensitatea câmpului electric este 0. Am fi putut prezice acest lucru fără a efectua niciun calcul, pentru că există simetrie peste tot în juru axei, există sarcină în partea stângă, există sarcină în partea dreaptă, sarcină la nord şi la sud, iar câmpurile electrice în centru, desigur, se anulează reciproc astfel încât câmpul electric total este zero în centru. Dacă sarcina, dintr-un oarecare motiv, s-ar regăsi pe suprafaţa exterioară acest lucru este valabil în cazul unui conductor solid, atunci câmpul electric ar fi egal cu 0 în interior, această porţiune rămânând neschimbată, presupunând, desigur, că avem aceeaşi cantitate de sarcină electrică pe suprafaţa exterioară precum avem acum în interior. Aceasta este simetria cilindrică. Sunt

www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

3

foarte curios să văd ce face titirezul. Spre surprinderea mea, acest titirez se mai roteşte încă. Va trebui până la urmă să concluzionez că mecanica clasică nu se aplică în acest caz. Trebuie să existe ceva mai profund decât mecanica clasică. Avem frecare şi, totuşi, acest titirez nu se opreşte. Responsabilitatea s-ar putea să o poarte electromagnetismul. Gândiţi-vă la asta, s-ar putea să aveţi nopţi nedormite. Vom reveni mai încolo asupra lui, pentru că, poate, se va opri până la urmă. Foarte bine. Să facem acum ceva cu totul diferit. Am două plăci conductoare ce formează un condensator planar, cu o anumită grosime, materialul este conductor, are o anumită grosime, cu o suprafaţă foarte mare. Lungimea plăcii este mult mai mare decât distanţa dintre plăci. Notăm distanţa dintre plăci cu d, şi spunem că sarcina de pe placa superioară este pozitivă, cu o densitate superficială de sarcină +σ, şi aici -σ, aria ambelor plăci este A. Ştiu că în interiorul conductorului, întrucât nu avem curent, câmpul electric trebuie să fie egal cu zero. Există un câmp electric între cele două plăci, ce poate fi determinat cu legea lui Gauss, dar am făcut deja acest lucru, şi este egal cu σ împărţit la ε0. Câmpul electric în exteriorul acestor două plăci este aproximativ egal cu 0 aici, şi aproximativ egal cu 0 aici. Aplicând acum principiul superpoziţiei, pentru că această placă, încărcată negativ, va contribui la câmpul electric îndreptat în jos, şi după cum probabil va amintiţi, nu depinde de distanţă. Adică, atâta timp cât nu suntem foarte departe de plăci, câmpul electric nu depinde de distanţă. Dacă dimensiunea plăci este de 10 pe 10 metri, atunci, dacă suntem la o distanţă de câţiva metri, câmpul electric este constant. Dar dacă suntem la 100 de metri de ea, această „lege” nu mai este valabilă. Presupunem aşadar că nu ne îndepărtăm foarte tare de placă, şi atunci, câmpul electric datorită acestei plăci este în jos, iar datorită acesteia este în sus, intensitatea lor este egală, nu depinde de distanţă, prin urmare se anulează reciproc aici, şi se anulează reciproc aici, principiul superpoziţiei. Fie punctul P în interiorul conductorului, şi punctul S aici, primul lucru ce vreau să-l aflu este, de exemplu, cât este VP minus VS ? Diferenţa de potenţial a acestui condensator, dacă vrem să-i spunem condensator. Diferenţa este egală cu integrală de la P la S din E ori dl. Nu am înţeles niciodată motivul, dar în carte acestea două sunt inversate, şi aici este un minus, rezultatul fiind, desigur, identic. Putem acum calcula diferenţa de potenţial. Dacă suntem aici şi vrem să ajungem aici, să presupunem că ne deplasăm pe o linie dreaptă, astfel că direcţia lui dl este aceeaşi cu direcţia lui E, atunci se poate vedea imediat că integrala este egală cu E ori distanţa d, pentru că E şi dl sunt în aceeaşi direcţie. Prin urmare, cosinusul unghiului dintre ele este +1. Prin urmare, integrala este egală cu E, adică σ împărţit la ε0, ori distanţa d. Dacă aş fi ales un alt drum, aş fi găsit acelaşi răspuns, pentru că avem de-a face cu un câmp conservativ, prin urmare, drumul urmat este irelevant. Aşadar, atâta timp cât parcurgem distanţa dintre cele două plăci, integrala va fi tot timpul egală cu E ori d. Care este diferenţa de potenţial dintre punctul P şi punctul T ? VP minus VT, este evident egală cu zero, pentru că intensitatea câmpului electric este zero aici, şi este zero şi aici, prin urmare, integrala este evident zero. Care este capacitatea acestei plăci ? Capacitatea este egală cu sarcina uneia dintre plăci, împărţită la diferenţa de potenţial, pentru care voi folosi simbolul V, şi înseamnă VP minus VS. Care este sarcina unei singure plăci ? Indiferent care placă o considerăm, sarcina este egală cu σ ori A. Acesta este definiţia lui σ, nu ? Sarcina pe unitate de arie. Aceasta este sarcina plăcii, iar diferenţa de potenţial tocmai am calculat-o, σ ori d, împărţit la ε0, astfel că ε0 trece la numărător, şi obţinem A ori ε0, împărţit la d. Observaţi că nu depinde de σ, desigur. Capacitatea depinde de geometrie, nu are nicio legătură cu cantitatea de sarcină de pe condensator. Pot acum afla care este energia potenţială electrostatică. Energia potenţială electrostatică reprezintă lucrul mecanic necesar asamblării sarcinilor pozitive aici şi a celor negative acolo. De asemenea, o putem considera ca fiind energia necesară pentru crearea acestui câmp electric. Aceeaşi întrebare. Lucrul mecanic ce trebuie efectuat pentru asamblarea sarcinilor este egal cu sarcina unei singure plăci ori diferenţa de potenţial ori 1/2, sau, echivalent, 1/2 ori CV^2. Cu cât este egal 1/2 QV ? Să considerăm prima dată această relaţie,

www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

4

avem 1/2, Q este egal cu σ ori A, diferenţa de potenţial V, am calculat-o aici, σ ori d împărţit la ε0, acesta fiind rezultatul obţinut din prima relaţie. Rezultatul obţinut din a doua relaţie trebuie să fie, evident, identic. Să verificăm acest lucru. Aceste este C-ul, A ori ε0 împărţit la d, totul înmulţit cu diferenţa de potenţial la pătrat, şi obţin σ^2, d^2, şi ε0^2, cele două relaţii ar trebui să fie identice. Am σ de două ori aici, sigma la pătrat aici, d^2 împărţit la d, rămâne doar un singur d, un ε0^2 aici, şi un ε0 aici, rămâne doar 1 împărţit la ε0, cele două relaţii sunt, într-adevăr, identice. Aş putea acum întreba unde se află această sarcină ? Să considerăm prima dată placa de sus, unde este localizată sarcina pe placa superioară ? Unii aţi putea spune, „Păi, probabil că sarcina se află în placă, undeva aici. Acest lucru este imposibil. Trasez o suprafaţă gaussiană în jurul sarcinii. Legea lui Gauss îmi va spune atunci că integrală de suprafaţă închisă din E ori dA nu este zero, pentru că avem sarcină în interior, şi dacă avem sarcină în interior, integrala de suprafaţă închisă nu este zero, dar ştim deja că intensitatea câmpului electric trebuie să fie zero în interiorul conductorului, prin urmare, integrala menţionată trebuie să fie zero. Prin urmare, nu poate exista sarcină în acea locaţie. Un simplu argument. Unii aţi putea spune, „Poate că o parte din sarcină se regăseşte aici, la suprafaţă.” Nici acest lucru nu este permis sub această configuraţie. Dacă iau o astfel de suprafaţă gaussiană, capetele sunt plane. Câmpul electric este zero aici, este zero aici, prin urmare, integrala de suprafaţă închisă trebuie să fie zero pentru că peste tot câmpul electric este zero. Dar am presupus existenţa sarcinii în interiorul suprafeţei, iar legea lui Gauss spune că acest câmp electric nu poate fi zero. Din moment ce este zero, nu avem sarcină în interior. Există, aşadar, doar o singură soluţie, şi anume, întreaga sarcină pozitivă se regăseşte în partea de jos a plăcii, iar sarcina negativă aici. Aceasta este singura soluţie în cazul de faţă. Sarcina nu poate exista altundeva. Nu pot să cred. Titirezul încă se roteşte. Uitaţi-vă. Observaţi că titirezul se roteşte încă. Fie este o violare a legii conservării energiei, fie este magie neagră, sau poate, are de-a face cu fizica. Indiferent despre ce fizică ar putea fi vorba, mi-ar plăcea să vă gândiţi la acest lucru. Foarte bine. Următorul subiect. Vom luat din nou două plăci, pentru că vreau să considerăm acum şi dielectrici, şi vreau să vorbim în continuare despre capacitate. Avem aici un condensator planar. Aici avem o sarcină pozitivă, +σ, şi spunem că este σ_liber, încă nu există niciun dielectric, dar îl vom introduce mai încolo. Aşadar, σ_liber, şi aici -σ_liber, distanţa este d, aria suprafeţei este A. Va fi destul de plictisitor la început, direcţia câmpului electric este aceasta şi câmpul electric este egal cu σ_liber împărţit la ε0. Încarc condensatorul cu ajutorul unei surse de tensiune, şi apoi, iar asta e foarte important, deconectez sursa de tensiune. Îndepărtez cablul de alimentare. Deconectez aşadar sursa de tensiune. Asta înseamnă că această sarcină nu poate părăsi condensatorul, nu se poate modifica, indiferent de ceea ce facem. Odată sursa de tensiune deconectată, σ_liber nu poate părăsi condensatorul. Voi face câteva lucruri acum. Voi modifica distanţa dintre plăci, iar apoi, independent, voi introduce un dielectric între plăci. Ecuaţiile în care pot avea încredere şi pe care le vom folosi, sunt următoarele. Sarcina liberă disponibilă, Q_liber, este egală cu σ_liber ori aria, A. Aceasta este definiţia densităţii superficiale de sarcină. Am încredere în această ecuaţie. Câmpul electric dintre plăci este egal cu σ_liber împărţit la ε0 ori κ (kappa), dacă avem un dielectric. Diferenţa de potenţial dintre plăci este egală cu E ori d. Dacă ştim E-ul, adică acest E, V-ul este tot timpul E ori d. Tocmai am văzut acest lucru în problema precedentă. Capacitatea, C, este egală cu sarcina liberă pe una din plăci, împărţită la diferenţa de potenţial dintre plăci, V este diferenţa de potenţial, adică acest V, iar energia potenţială electrostatică este egală cu 1/2 ori Q_liber ori V, sau, echivalent, 1/2CV^2. Vom folosi aceste ecuaţii în ceea ce urmează. Să le vedem, prima este corectă, a doua este corectă, a treia este corectă, aceea este corectă, şi aceea îmi place. Sau am putea scrie pentru capacitate, dacă am dori, putem folosi A ori ε0 împărţit la d ori κ. Cu sursa de tensiune deconectată, voi mări distanţa d dintre plăci. Voi dubla distanţa. Prin urmare, d-ul creşte de două ori Dar κ rămâne 1. Doar aer. Nu avem încă dielectric. Ce se întâmplă cu câmpul electric, E ? E nu poate

www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

5

varia, pentru că nici σ_liber nu poate varia, κ este egal cu 1 practic, nu avem κ şi dacă acesta nu poate varia, nici acesta nu poate varia. Prin urmare, pe măsură ce măresc distanţa dintre plăci, câmpul electric rămâne constant. Chiar dacă nu este intuitiv, câmpul electric rămâne constant. Ce se întâmplă însă cu diferenţa de potenţial dintre plăci ? Diferenţa de potenţial trebuie să crească de două ori, pentru că, în cazul în care d-ul se dublează, şi E-ul nu face nimic, atunci şi V-ul trebuie să crească de două ori. V-ul, aşadar, creşte de două ori. Am făcut şi o demonstraţie la unul din cursuri, în care am modificat d-ul de la 1 mm la 10 mm, iar diferenţa de potenţial a crescut de la 1.000 de volţi la 10.000 de volţi. V-am arătat asta deja, dacă aţi fost aici. Aşa că, într-adevăr, la creşterea distanţei dintre plăci, cu sursa de tensiune deconectată, diferenţa de potenţial creşte. Ce se întâmplă cu capacitatea ? Capacitatea este egală cu Q_liber împărţit la V. Lipseşte un r aici. Aceasta nu se modifică. Aceasta creşte de două ori, prin urmare, C-ul descreşte de două ori. Ce se întâmplă cu energia potenţială electrostatică ? Este egală cu 1/2 ori Q_liber ori V, dar Q_liber nu poate varia, V-ul a crescut de două ori, prin urmare U trebuie să crească de două ori. Ţineţi minte că atunci când am mărit distanţa dintre plăci şi am crescut diferenţa de potenţial, v-am spus că efectuez lucru mecanic. U-ul creşte. Măresc distanţa dintre plăci, trebuie să efectuez lucru mecanic. Foarte bine. Acesta este primul caz, în care modificăm distanţa. Revenim acum la d-ul iniţial, îl lăsăm aşa cum era, dar îl modificăm pe κ. Introducem aşadar un dielectric. d-ul este acum cel iniţial, dar κ devine 3. Introduc aşadar un dielectric între cele două plăci. σ_liber este fix, dar, ce se întâmplă cu E ? Păi, σ_liber este fix. Dacă κ devine brusc 3, câmpul E scade. Vă surprinde acest lucru ? Nu, nu ar trebui, pentru că după introducerea dielectricului, această densitate superficială de sarcină nu se modifică, dar, asupra dielectricului se va induce sarcină negativă aici şi sarcină pozitivă aici, datorită acelui câmp electric extern, ceea ce conduce la apariţia unui câmp electric indus în această direcţie, şi, prin urmare, câmpul electric total scade. Prin urmare, în acest caz, câmpul electric scade de 3 ori. Ce se întâmplă cu diferenţa de potenţial dintre plăci ? d-ul nu se modifică, nu ? Menţinem d-ul constant acum. Dacă E-ul scade de 3 ori, V-ul trebuie să scadă de 3 ori. Ce se întâmplă cu capacitatea, C ? Capacitatea este egală cu sarcina liberă împărţită la diferenţa de potenţial. Sarcina liberă nu se modifică, este fixă. Diferenţa de potenţial scade de 3 ori, capacitatea creşte de 3 ori. Ce se întâmplă însă cu energia potenţială electrostatică ? Aceasta este egală cu 1/2 Q V. Dar Q_liber nu se modifică. V descreşte de 3 ori, prin urmare, U descreşte de 3 ori. Scăderea energiei potenţiale electrostatice înseamnă că, pe măsură ce introduc acest dielectric, efectuez lucru mecanic negativ. Dacă ar fi trebui să-l forţez înăuntru, U ar creşte. Într-un fel, pe măsură ce introduc dielectricul, acesta este tras înăuntru. Există o forţă ce-l trage înăuntru. Un lucru foarte interesant. Aş vrea ca şi voi, acasă, să vă puneţi exact aceleaşi întrebări, literal, cu o singură diferenţă. Şi anume, păstraţi sursa de tensiune conectată. Răspunsurile vor fi foarte diferite. Pentru început, dacă sursa de tensiune e conectată, şi modificăm d-ul, aşadar, sursa de tensiune e conectată şi d-ul creşte de două ori sursa de tensiune fiind conectată, există un singur lucru ce nu poate varia niciodată, şi anume, V-ul. Diferenţa de potenţial nu poate varia, întrucât sursa de tensiune este conectată. Acum, dacă V-ul nu poate varia, şi dublăm d-ul, atunci E-ul trebuie să scadă de două ori. Acest rezultat este foarte diferit de ceea ce s-a întâmplat înainte, când E-ul rămânea constant. Fizica este foarte diferită de data aceasta. Adică, fizica este aceeaşi, dar rezultatele sunt foarte diferite. Aş vrea să faceţi acest lucru, aveţi tot ceea ce vă trebuie, puteţi folosi cu încredere acele ecuaţii, ar trebui să funcţioneze. Să revenim la legea lui Ohm şi poate cea a lui Kirchhoff prefer să rămân pe tabla din centru, convenabil pentru voi, şi convenabil, de asemenea, şi pentru mine. O reţea foarte simplă, ţineţi minte asta, la examen, toate problemele sunt foarte uşoare şi fundamentale. Nimic complicat. Nu veţi avea timp pentru aşa ceva. Vom face acum o problemă în care vom avea valori, dar la examen nu veţi vedea valori, adică, nu veţi primi rezistenţe, ohmi, şi aşa mai departe, pentru că nu veţi avea nevoie de calculator. Dar aici, veţi vedea câteva valori. Aceasta este o

www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

6

baterie şi această baterie are o tensiune electromotoare egală cu 10 volţi. Acest lucru se dă. Plus, minus. Aici, curentul se va ramifica în trei ramuri. Pe o ramură avem R1, egală cu 1 Ω, R2, egală cu 2 Ω, şi R3 să o pun puţin mai jos R3 este egală cu 3 Ω, se unesc aici. Iar aici conectăm un rezistor R4, egal cu 4 Ω, cu asta bucla se închide şi ajungem înapoi la baterie. Ca să fie şi mai interesant, voi introduce în această baterie o rezistenţă internă foarte mică, egală cu 0,1 Ω. Nu o putem îndepărta, face parte din această baterie. Prima întrebare în acest caz este, care este curentul total prin circuit ? Avem un curent I aici. Aici avem curentul I1, pe aici I2, pe aici I3, I iese pe aici, vine pe aici, prin R4, şi se întoarce la baterie. Dar care este valoarea lui I ? Într-o astfel de problemă, există multe căi spre succes. Nu doar una singură. O puteţi alege pe cea care vă place. Dacă notez acest punct cu A şi acest punct cu D, atunci, îmi pot pune întrebarea, acesta este punctul A, iar acesta D, ce rezistor în carte îi spune rezistor echivalent, sau rezistenţă echivalentă ce rezistor aş putea insera aici, în locul celor trei, astfel încât curentul I să fie exact acelaşi cu cel de acum ? Voi înlocui cei trei rezistori cu unul singur, adică acest rezistor imaginar. După cum aţi observat în carte, sunt sigur că aţi citit-o, 1 împărţit la R echivalent este egal cu 1/R1 plus 1/R2 plus 1/R3. Cunoaştem toate valorile de aici, şi găsim că R echivalent este egal cu 0,55 Ω. Verificaţi asta acasă, sper că nu am greşit rezultatul. Observaţi că acest rezistor, această rezistenţă echivalentă este mai mică decât cea mai mică dintre cele trei, adică 1 Ω. Acest lucru este evident. Trebuie să fie aşa. Gândiţi-vă la aceste ramuri ca la nişte tuburi de apă. Avem curgere de apă prin asta, prin asta, şi prin asta. Dacă le îndepărtăm pe acestea două, apa va curge doar prin aceasta. Dacă adăugăm aceste două tuburi, cantitatea de apă care va curge va fi mai mare, prin urmare, rezistenţa echivalentă descreşte. Acelaşi lucru şi în cazul electricităţii. Rezistenţa echivalentă a rezistorilor paraleli, aşadar, este tot timpul mai mică decât cea mai mică dintre ele. Curentul I este foarte uşor acum de calculat. Aplicăm legea lui Ohm. Legea lui Ohm spune că diferenţa de potenţial disponibilă la bornele bateriei, adică E (10 volţi), este egală cu valoarea curentului, curentul total ori valoarea tuturor rezistenţelor conectate la borne. Parcurg bucla o dată, am aici R echivalent, apoi R4, pentru că şi R4 este parcurs de curentul total, şi apoi avem această rezistenţă internă. Nu influenţează foarte mult rezultatul, dar este acolo. Putem acum afla I-ul, pentru că ştim deja toate celelalte valori, şi găsim că I-ul, asta vroiam să aflăm, este egal cu 2,15 amperi. 2,15 amperi. Ştim acum I-ul. E asta singura variantă ? Nu. Dar este o variantă, una foarte eficientă. Vrem acum să aflăm I1, I2 şi I3. Dacă ştim diferenţa de potenţial între A şi D, VA minus VD, aceasta trebuie să fie egală, conform legii lui Ohm, cu I1 ori R1. Dacă urmez acest traseu. Dar, din moment ce avem de-a face cu forţe conservative, pot urma şi acest traseu, traseul nu contează, trebuie să obţin aceeaşi diferenţă de potenţial. Aşadar, este egală şi cu I2 ori R2, şi trebuie să fie egală şi cu I3 ori R3. Dacă aş putea afla I2, atunci, desigur, aş afla şi diferenţa de potenţial, iar de acolo I1 şi I3. Putem aplica legea lui Kirchhoff pentru tensiuni pentru aflarea lui I2. Aş putea determina curentul I1, dar am ales I2. Legea lui Kirchhoff pentru tensiuni spune că integrală liniară închisă din E ori dl, aceasta este o buclă închisă, este egală cu zero. În viitor veţi vedea cazuri în care nu este zero. Aici însă, e zero. Nu ştiu de ce Kirchhoff a primit credit pentru această relaţie, era cunoscută cu mult timp înaintea lui, dar, cu toate acestea, este cunoscută sub numele de legea lui Kirchhoff pentru tensiuni. Trebuie să aleg o buclă închisă, şi vom alege această buclă închisă. Integrala acestei bucle închise din E ori dl trebuie să fie zero. Pentru oricare altă buclă ar fi tot zero. Am ales bucla prin R2, pentru că vreau să aflu curentul I2. Odată aflat I2, putem afla I1 şi I3 direct din această relaţie. Am decis pur aleator ca atunci când trecem de la un potenţial mai mare, la un potenţial mai mic, expresia va fi cu minus, iar dacă potenţialul creşte, expresia va fi cu plus. Putem inversa această convenţie. Nu are nicio importanţă, pentru că suma lor va fi zero oricum. Rămânem la această convenţie deocamdată, şi anume, dacă potenţialul scade, va primi un semn negativ, iar în cazul în care potenţialul creşte, un semn pozitiv. Parcurg prima dată drumul de la A la D prin R2. Curentul este I2. Rezistenţa este

www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

7

R2. Iar potenţialul scade. Aşadar, primul termen este minus I2 ori R2. Ne aflăm acum în D. Am plecat din A, am ajuns în D. Am trecut prin R2. Ajung aici şi trec prin R4. Potenţialul scade. Curentul prin R4 este I. Obţin aşadar minus I ori R4. Continui în sus, şi dau de această baterie, prin urmare, potenţialul creşte. Cu cât creşte potenţialul ? Cu tensiunea electromotoare a bateriei. Dar acea rezistenţă internă minusculă scade puţin din potenţial. Aşadar, avem un alt minus I ori r intern. Toată această sumă este egală cu zero. Iar această ecuaţie este o ecuaţie cu doar o singură necunoscută, şi anume, I2, pentru că I-ul îl cunoaştem deja. I-ul este egal cu 2,15 amperi. Dacă rezolvăm ecuaţia, I2 va fi egal cu 0,6 amperi. Vom afla, aşadar, că VA minus VD, diferenţa de potenţial, egală cu I2 ori R2, va fi egală cu 1,2 volţi. Pentru că I2 este 0,6 amperi, iar R2 este egală cu 2 Ω. 1,2 volţi, prin urmare. Dar I1 ori R1 este de asemenea egal cu 1,2 volţi, şi la fel I3 ori R3. Putem afla, aşadar, I1 şi I3. Care este puterea generată de această baterie ? Este tensiunea electromotoare ori curentul total, I. Ştim tensiunea electromotoare, 10 volţi. Iar curentul total este egal cu 2,15 amperi. Puterea este aşadar egală cu 21,5 waţi. Cum este consumată această energie ? Este consumată sub formă de căldură. Căldură pe R4, căldură pe R1, R2 şi R3, şi o cantitate extrem de mică de căldură disipată în interiorul bateriei, datorită acelei rezistenţe interne de 0,1 Ω. Câtă putere consumă rezistorul R2 ? Puterea este egală cu diferenţa de potenţial la bornele lui R2, egală cu VA minus VD, ori curentul prin R2. Aceasta este puterea, puterea este egală cu diferenţa de potenţial ori curentul. Aceasta este puterea totală generată de baterie, şi anume, diferenţa de potenţial totală ori curentul total. Dar, desigur, R2-ul vede o diferenţă de potenţial de doar 1,2 volţi, iar curentul I2 este de doar 0,6 amperi, ceea ce înseamnă doar 0,72 waţi. Acesta este numărul de jouli pe secundă, sub formă de căldură generată de rezistorul R2. Titirezul nostru încă se roteşte. Vă dau un indiciu, şi anume, răspunsul are legătură cu acest curs de electricitate şi magnetism. Gândiţi-vă puţin la el, e un titirez foarte drăguţ. Să vorbim puţin despre creşterea energiei cinetice datorită sarcinilor ce se deplasează peste o diferenţă de potenţial. Am doi conductori, cu o formă foarte ciudată, dar sunt suprafeţe echipotenţiale, nu există curent în interiorul conductorilor. Conductorul A se află la potenţialul VA, acesta este conductorul A, potenţial egal cu VA, iar aici conductorul B, cu potenţialul VB, şi să presupunem că VA este mai mare decât VB. Dacă vrem să schimbăm asta mai încolo, nu e nicio problemă. Amplasăm totul în vid, pentru că voi da drumul unei sarcini aici, +Q, iar sarcina se va deplasa spre B. Câmpul electric are o configuraţie complicată. Nici nu vreau să mă gândesc măcar la asta. Mai repede sau mai târziu, dacă acesta este vid, atunci această sarcină va ajunge pe conductorul B. Să presupunem că urmează acest traseu. Ajunge într-un final pe B. Întrebarea acum este, care este viteza cu care ajunge pe B dacă îi dau drumul aici cu viteză iniţială zero ? Câmpul electric va efectua lucru mecanic asupra acestei sarcini, iar lucrul mecanic efectuat pentru parcurgerea distanţei A - B, este egal cu integrală de la A la B din forţa ori dl. Aceasta este forţa electrică asupra sarcinii. Din moment ce este un câmp conservativ, nu contează drumul pe care-l urmăm, răspunsul final va fi tot timpul acelaşi. Această forţa electrică este egală cu sarcina ori câmpul electric, în oricare punct din lungul liniei. Vedeţi, aşadar, că obţinem aici un Q ori E ori dl. Dar integrală din E ori dl este egală cu diferenţa de potenţial dintre cei doi conductori. Obţine prin urmare că lucrul mecanic efectuat de câmpurile electrice, atunci când sarcina ajunge aici, este egal cu sarcina Q ori diferenţa de potenţial VA minus VB, indiferent de drumul urmat. Să luăm un caz practic. Avem un proton cu o masă egală cu 1,7 ori 10^ kilograme. Sarcina protonului este egală cu cea a electronului, dar este pozitivă, 1,6 ori 10^ coulombi. Şi să presupunem că diferenţa de potenţial dintre A şi B, aceasta reprezintă acum diferenţa de potenţial, este de un milion de volţi. Pun un delta aici, pentru că nu vreau V-uri în ambele părţi. Dar aceasta reprezintă diferenţa VA minus VB. Care este energia cinetică a protonului când ajunge pe conductorul B ? Energia cinetică trebuie să fie egală cu Q ori diferenţa de potenţial, adică 1,6 ori 10^ ori 10^6, adică 1,6 ori 10^ jouli. Dar niciun fizician nu va spune 1,6 ori 10^ jouli, ci, ar spune că energia

www.circuiteelectrice.ro 12 – Recapitulare şi titirezul secret

8

cinetică a acelui proton este de 1 MeV, 1 milion de electron-volţi. Motivul este că un electron-volt reprezintă energia câştigată de un electron pe măsură ce se deplasează peste o diferenţă de potenţial de 1 volt. Aceasta este definiţia unui electron-volt. Şi, datorită faptului că sarcina unui proton este egală cu cea a unui electron, şi se deplasează pe o distanţă de 1 milion de volţi, energia acestuia este de un milion de electron-volţi. Aceasta nu este o unitate SI, fiţi atenţi. Dacă lucraţi cu unităţi SI, trebuie să folosiţi acest număr. Dar spunem că energia cinetică a acestui proton este de 1 MeV, 1 milion de electron- -volţi. Care este viteza finală, atunci ? 1/2mV^2 este egal cu acest număr, aceasta este masa protonului, aceasta este viteza cu care protonul ajunge în punctul B. După înlocuirea valorilor, găsim că viteza acestui proton este de aproximativ 1,4 ori 10^7 metri pe secundă, adică aproximativ 5% din viteza luminii. Cu alte cuvinte, nu trebuie să facem ajustări relativiste. Acest rezultat este plauzibil. Câţiva studenţi mi-aţi trimis e-mail, şi mi-aţi cerut modele de examen. Şi eu sunt surprins, ca şi voi, că profesorii anteriori ai cursului de electricitate şi magnetism nu le-au afişat pe internet, pe site-ul lor, n-au afişat examenele. Nu au făcut acest lucru. Speram să o fi făcut, dar nu au făcut-o. Profesorul Belcher, totuşi, mi-a atras atenţia asupra unui anumit model de examen, iar dacă intraţi pe site-ul cursului, veţi găsi acest model de examen, dar nu şi soluţiile la întrebări. Puteţi discuta acest model cu instructorii voştri la seminar, Sunt şi eu disponibil dacă vreţi să discutaţi cu mine, nu am nicio problemă cu asta. E cam greu pentru mine să ajut 600 de studenţi, dar pot ajuta câţiva. Sfatul meu este să consultaţi îndrumătorul de curs dacă vreţi să exersaţi materialul, şi să rezolvaţi o parte din problemele pentru care există şi soluţii. Vă doresc mult succes, şi ne vedem vinerea viitoare. subtitrarea în limba română pentru www.circuiteelectrice.ro