curs i - math.uaic.rooanacon/ge/fisiere/cursuri/rezumat01.pdf · curs i spatii a ne euclidiene....

Functia distanta pe un spatiu a�n euclidianSubspatii a�ne euclidiene perpendiculare

Curs I

Spatii a�ne euclidiene. Functia distanta. Subspatii normale.

Oana Constantinescu

Universitatea �Al. I. Cuza� Iasi

Oana Constantinescu Curs I


Table of Contents

1 Functia distanta pe un spatiu a�n euclidian

2 Subspatii a�ne euclidiene perpendiculare


Pe parcursul acestui curs vom lucra cu un spatiu a�n real, de aceea

consideram utila reamintirea de�nitiei acestuia.

De�nition

Un spatiu a�n real este un triplet A =(X ,−→X ,Φ

)format din:

- o multime nevida X, ale carei elemente le numim puncte,

- un spatiu liniar real−→X , numit spatiul liniar director al spatiului

a�n A,- o functie Φ : X × X →

−→X , numita structura a�na, cu

proprietatile:

(1) ∃O ∈ X astfel incat functia ΦO : X →−→X ,

ΦO(A) = Φ(O,A), ∀A ∈ X , este o bijectie;

(2) Φ(A,B) + Φ(B,C ) = Φ(A,C ), ∀A,B,C ∈ X .

Reamintim notatia Φ(A,B) =−→AB. Se poate demonstra ca

proprietatea (1) are loc pentru orice punct O din X .

Datorita proprietatii (1) a de�nitiei anterioare, structura de spatiu

liniar a lui−→X se poate transfera asupra lui X , odata ce am �xat un

punct O ∈ X . Astfel, se de�nesc operatiile de adunare a punctelor

si de inmultire a punctelor cu scalari reali, iar X inzestrat cu aceste

operatii poarta numele de spatiul liniar tangent la X in O (notat

TOX ). Pentru ca operatiile precedente sa nu depinda de alegerea

lui O, se lucreaza cu combinatii a�ne de puncte:

λ1A1 +λ2A2 + · · ·+λpAp,

p∑i=1

λiAi = 1., λi ∈ R, Ai ∈ X , i ∈ 1, p.

De�nitia spatiului a�n euclidian

De�nition

Spatiul a�n real A = (X ,−→X ,Φ) se numeste euclidian daca spatiul

sau liniar director este spatiu liniar euclidian, adica este inzestrat cu

produs scalar,

<,>:−→X ×

−→X → R,

o forma biliniara, simetrica, cu forma patratica asociata pozitiv

de�nita.

< u, w >=< w , u >, ∀u, w ∈−→X ,

< αu + γv , w >= α < u, w > +γ < v , w >, ∀u, v , w ∈−→X , ∀α, γ ∈ R,

< w , αu + γv >= α < w , u > +γ < w , v >, ∀u, v , w ∈−→X , ∀α, γ ∈ R,

< u, u >≥ 0, ∀u ∈−→X , < u, u >= 0⇔ u = 0

.

Exemple de spatii a�ne euclidiene

Example

(a) Spatiul a�n geometric (S,V,Φ), cu S multimea punctelor

spatiului geometric (punctele sunt notiuni primare si geometria lui

S se construieste axiomatic), V spatiul liniar al vectorilor liberi si

<,>: V × V → R produsul scalar a doi vectori liberi, de�nit prin

< u, v >=

{0,

(u = 0

)∨(v = 0

),

| u || v | cos(u, v),(u 6= 0

)∧ (v 6= 0).

(b) (Rn,Rn,Φ), Φ(u, v) = v − u, ∀u, v ∈ Rn,

< u, v >=∑n

i=1uiv i , u = (u1, u2, · · · , un), v = (v1, v2, · · · , vn)

este un spatiu a�n euclidian.

Un alt exemplu important e cel ce permite de�nirea subspatiului

a�n euclidian:

Example

Fie E =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu a�n euclidian si E ′ ⊂ E un subspatiu

a�n al sau. Atunci restrictia aplicatiei <,> la−→E ′ este un produs

scalar pe−→E ′, <,>|

−→E ′×−→E ′ :−→E ′ ×

−→E ′ → R si deci

E ′ = (E ′,−→E ′,Φ|E ′×E ′) devine spatiu a�n euclidian. Spunem ca E ′

este subspatiu a�n euclidian al lui E si notam E ′ ⊂s.a.eE sau mai

simplu E ′ ⊂s.a.e

E .

Example

Fie E1 =(E1,−→E1,Φ1

)si E2 =

(E2,−→E2,Φ2

)doua spatii a�ne

euclidiene, cu <,>1:−→E1 ×

−→E1 → R si <,>2:

−→E2 ×

−→E2 → R

produsele scalare respective. Consideram spatiul a�n produs

E1 × E2 =(E1 × E2,

−→E1 ×

−→E2,Φ1 × Φ2

), cu

(Φ1 × Φ2) ((A1,A2), (B1,B2)) = (Φ1(A1,B1),Φ2(A2,B2)) si

de�nim aplicatia

<,>:(−→E1 ×

−→E2

)×(−→E1 ×

−→E2

)→ R,

< (u1, u2), (v1, v2) >=< u1, v1 >1 + < u2, v2 >2 .

Demonstrati ca <,> este un produs scalar pe−→E1 ×

−→E2 , deci

E1 × E2 devine spatiu a�n euclidian.

Proprietatile normei

Amintim ca produsul scalar pe−→E induce o norma, de�nita prin

‖ · ‖:−→E → R, ‖ u ‖=

√< u, u >, ∀u ∈

−→E

si aceasta are urmatoarele proprietati:

(1) ‖ u ‖≥ 0, ∀u ∈−→E , ‖ u ‖= 0⇔ u = 0;

(2) ‖ λu ‖=| λ |‖ u ‖, ∀λ ∈ R, ∀u ∈−→E ;

(3) (Cauchy) |< u, v >|≤‖ u ‖‖ v ‖, ∀u, v ∈−→E ;

Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii u, v sunt coliniari

(liniar dependenti);

(4)(Minkowski) ‖ u + v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖, ∀u, v ∈−→E .

Egalitatea are loc daca si numai daca u, v sunt coliniari si de

acelasi sens (∃λ ≥ 0 astfel incat u = λv sau v = λu ).

Functia distanta pe E

De�nition


)un spatiu a�n euclidian. De�nim aplicatia

d : E × E → R, d(A,B) =‖−→AB ‖, ∀A,B ∈ E

si o numim functia distanta pe E .

Putem demonstra ca d este intr-adevar o functie distanta:

Proposition

(E , d) este un spatiu metric, adica

(1) d(A,B) ≥ 0∀A,B ∈ E ; d(A,B) = 0⇔ A = B ;

(2) d(A,B) = d(B,A);(3) d(A,B) ≤ d(A,C ) + d(C ,B), ∀A,B,C ∈ E ; egalitatea are loc

daca si numai daca ∃α ∈ [0, 1] astfel incat C = αA + (1− α)B .

Teorema lui Pitagora

De�nition Daca C = αA + (1− α)B cu α ∈ (0, 1), ⇔d(A,B) = d(A,C ) + d(C ,B) si C 6= A, C 6= B , spunem ca

punctul C este situat intre A si B si notam A− C − B .

De�nim segmentul deschis (AB) = {C ∈ E | A− C − B}.Introducem acum o generalizare a binecunoscutei teoreme a lui

Pitagora:

Theorem


)un spatiu a�n euclidian si A,B,C ∈ E . Atunci

<−→AB,−→AC >= 0 daca si numai daca

d(A,B)2 + d(A,C )2 = d(B,C )2.

De�nition

Un reper cartezian R = {O; e1, · · · , en} in spatiul a�n euclidian

En =(E ,−→E ,Φ

)de dimensiune n este un reper ortonormat daca

baza reperului este ortonormata in(−→E , <,>

). Un reper a�n

R′ = {A0,A1, · · · ,An} este ortonormat daca reperul cartezian

asociat acestuia{A0;−−−→A0A1, · · · ,

−−−→A0An

}este ortonormat.

Consideram cunoscute coordonatele a doua puncte in raport cu un

reper cartezian ortonormat �xat in En =(E ,−→E ,Φ

): A(x1, · · · , xn)

si B(y1, · · · , yn). Atunci

d(A,B) =

√√√√ n∑i=1

(yi − xi )2.

Proposition

Daca R1 = {O1; e1, · · · , en} si R2 ={O2; f1, · · · , fn

}sunt doua

repere ortonormate in En, atunci formula schimbarii de repere

R1 → R2 se scrie matricial

X = SX ′ + S0, S ∈ O(n)

unde X e matricea coloana a coordonatelor unui punct arbitrar

P ∈ E in raport cu R1, X′ e matricea coloana a coordonatelor

aceluiasi punct P in raport cu R2, S ∈ O(n) este matricea de

trecere de la baza primului reper la baza celui de-al doilea reper si

S0 este matricea coloana a coordonatelor lui O2 in raport cu R1.

Reamintim ca O(n) este grupul ortogonal real de ordin n si

A ∈ O(n)⇔ AAt = AtA = In.

Subspatii a�ne euclidiene perpendiculare

De�nition

Fie En =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu a�n euclidian de dimensiune �nita si

doua subspatii a�ne euclidiene ale sale E1,E2 ⊂s.a.e.

E . Spunem ca

E1 este perpendicular pe E2 daca−→E1 ⊥

−→E2, adica ∀u ∈

−→E1 si

∀v ∈−→E2 are loc < u, v >= 0.

Daca−→E1 =

(−→E2

)⊥⇔−→E2 =

(−→E1

)⊥, cele doua subspatii se numesc

normale. Am notat cu(−→E2

)⊥suplementul ortogonal al lui

−→E2 in

−→E . In acest caz spunem ca E1 are directia normala

−→E2 si E2 are

directia normala−→E1.

Observatii:

(0) In ambele situatii de mai sus notam E1 ⊥ E2.(1) Relatia de perpendicularitate pe multimea subspatiilor a�ne euclidieneale unui spatiu a�n euclidian �nit dimensional este simetrica.

Exemple in E3

(2) Evident subspatiile E1,E2 sunt perpendiculare daca si numai

daca−→E1 ⊆

(−→E2)⊥

sau(−→E1)⊥⊆−→E2.

Subliniem ca incluziunile anterioare pot � stricte.

De exemplu, daca d1 si d2 sunt doua drepte a�ne intr-un spatiu

a�n euclidian de dimensiune 3, atunci

d1 ⊥ d2 ⇔−→d2 (

(−→d1)⊥⇔−→d1 (

(−→d2)⊥

. Mai mult, d1 = A1 + [a1]

si d2 = A2 + [a2] sunt perpendiculare ⇔ a1 ⊥ a2 ⇔< a1, a2 >= 0.

Analog, daca π1, π2 sunt doua plane a�ne intr-un spatiu euclidian

a�n 3 - dimensional, atunci π1 ⊥ π2 ⇔(−→π1)⊥ ( −→π2 ⇔ (−→π2)

⊥ ( −→π1 .

Daca (−→π1)⊥

= [−→N1], (−→π2)

⊥= [−→N2], atunci π1 ⊥ π2 ⇔

−→N1 ⊥

−→N2.


(3) Doua subspatii a�ne E1 si E2 sunt normale ⇔−→E1 =

(−→E2

)⊥⇔−→E2 =

(−→E1

)⊥⇔ dim E1 + dimE2 = n.

De exemplu o dreapta a�na d este normala unui plan a�n πintr-un spatiu a�n euclidian 3 - dimensional daca si numai daca−→d = (−→π )

⊥ ⇔ −→π =(−→d)⊥

.

Daca d = A +−→d ,−→d = [a] si π = B +−→π , cu (−→π )

⊥= [−→N ], atunci

d este normala lui π ⇔ −→a = λ−→N , λ ∈ R∗.

Evident orice subspatii normale sunt perpendiculare.


Proposition

Fie En =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu a�n euclidian, punctul A ∈ E si

E1 ⊆s.a.e.

E . Atunci exista un unic subspatiu a�n euclidian E2 ⊆s.a.e.

E

ce trece prin A si e normal la E1.

Evident E2 = A +(−→E1

)⊥.

De�nition

Acest subspatiu a�n euclidian unic determinat se numeste

subspatiul a�n normal prin A la E1.

Daca E1 este un hiperplan al lui E , atunci E2 este o dreapta a�na,

numita normala prin A la E1.

De exemplu, intr-un spatiu a�n euclidian 3 dimensional, dat un plan a�nπ si un punct A, exista o singura dreapta ce trece prin A si e normalaplanului π. Analog, data o dreapta a�na d si un punct A, exista un singurplan a�n ce trece prin A si e normal dreptei d.

Dat punctul A ∈ E si E1 ⊆s.a.e.

E , exista

cel putin un E2 ⊆s.a.e.

E ce trece prin A si este perpendicular pe E1. Orice

s.a.e. de tipul A + W , cu W ⊂(−→E1)⊥

indeplineste conditia ceruta.

Intr-un spatiu a�n euclidian 3 dimensional, data o dreapta a�na d si un punct

A al sau, exista o in�nitate de drepte ce trec prin A si sunt perpendiculare pe d

si reuniunea lor formeaza planul a�n prin A, normal dreptei d.

Proposition

Intersectia a doua subspatii a�ne euclidiene normale este formata

dintr-un singur punct.

De�nition

Daca E1 si E2 sunt subspatii a�ne euclidiene normale, numim

{P} = E1 ∩ E2 piciorul subspatiului normal E2 la E1 sau invers.

Theorem

(generalizarea T. celor trei perpendiculare) Fie En un spatiu a�n

euclidian n dimensional, 3 ≤ n <∞, E1 ⊂s.a.e

E , de dimensiune cel

putin 2, A ∈ E\E1, E2 (s.a.e

E1, B piciorul subspatiului normal prin

A la E1 si C piciorul subspatiului normal prin B la E2. Atunci

dreapta a�na < A,C > este perpendiculara pe E2.

In cazul spatiului a�n euclidian geometric 3 dimensional, cand E2

este o dreapta in planul E1, recunoastem teorema clasica a celor

trei perpendiculare.

Perpendiculara comuna a doua drepte in E3

Un alt exemplu al teoriei prezentate pana acum este existenta si

unicitatea perpendicularei comune a doua drepte necoplanare.

Theorem

Fie d1 si d2 doua drepte a�ne necoplanare dintr-un spatiu a�n

euclidian E3 de dimensiune 3. Atunci exista o unica dreapta ce se

sprijina pe cele doua drepte si este perpendiculara pe ambele

drepte. Aceasta dreapta se numeste perpendiculara comuna a

dreptelor d1 si d2.

Pentru a ne folosi de intuitia geometrica, vom prezenta o

demonstratie sintetica. Deoarece doua spatii a�ne de aceeasi

dimensiune �nita sunt izomorfe, puteti considera ca spatiul a�n in

care lucram e (S,V,Φ). Demonstratiile urmatoare sunt facultative.

(1)ExistentaConstruim planul α ce contine dreapta d1 si e paralel cu dreapta d2.Putem face acest lucru ducand printr-un punct oarecare al dreptei d1paralela d ′

2la d2 si α = (d1, d

′2). Fie β planul ce contine dreapta d2 si e

perpendicular pe α si d ′′2

= α ∩ β. Fie {P1} = d1 ∩ d ′′2.

Deoarece d ′2‖ d2 si d ′

2⊂ α rezulta ca d2 ‖ α ⇒ d ′′

2‖ d2.

Fie p perpendiculara dusa pe planul α prin P1 ⇒ p ⊥ d1 si p ⊥ d ′′2, deci

p ⊥ d2. Deoarece p si d2 sunt incluse in β, ele sunt coplanare. Deci∃{P2} = p ∩ d2. Evident p este perpendiculara pe ambele drepte.

(2) Unicitatea

Presupunem prin reducere la absurd ca exista doua perpendiculare

p, p′ comune dreptelor d1 si d2. Fie d1 ∩ p = {P1}, d1 ∩ p′ = {P ′1},

d2 ∩ p = {P2}, d2 ∩ p′ = {P ′2}. Fie d ′

1paralela prin P2 la d1 si

planul π determinat de d2 si d ′1(concurente). Deoarece

p ⊥ d1, p′ ⊥ d1 ⇒ p ⊥ d ′

1, p′ ⊥ d ′

1. Dar p ⊥ d2, p

′ ⊥ d2, deci p si

p′ sunt perpendiculare pe π. Rezulta p ‖ p′. Fie π′ planuldeterminat de p, p′ ⇒ P1,P

′1,P2,P

′2∈ π′, deci d1, d2 ⊂ π′,

contradictie cu ipoteza ca dreptele d1, d2 sunt necoplanare.

Reamintim ca am construit planul α ce contine dreapta d1 si e

paralel cu dreapta d2 si planul β ce contine dreapta d2 si e

perpendicular pe α. De asemenea, am considerat planul π ce

contine dreapta d2 si e paralel cu dreapta d1. Fie planul δdeterminat de perpendiculara comuna p si de dreapta d1. Evidentacest plan e perpendicular pe π. Deci δ e planul ce contine dreapta

d1 si e perpendicular pe planul π.Perpendiculara comuna p este intersectia planelor β si δ. Vomfolosi aceasta observatie pentru a scrie cat mai simplu ecuatiile lui

p dupa ce vom introduce ecuatiile unui subspatiu a�n cand se

cunosc un punct al sau si o directie normala.

Evident, in cazul in care dreptele sunt coplanare dar distincte,

putem avea urmatoarele situatii:

Daca cele doua drepte sunt concurente, exista o singura

perpendiculara comuna lor, si anume dreapta ce trece prin punctul

lor de intersectie si e perpendiculara pe planul celor doua drepte.

Daca cele doua drepte sunt paralele, atunci orice dreapta inclusa in

planul celor doua drepte, perpendiculara pe una dintre ele va �

perpendiculara si pe a doua si evident le va intersecta pe

amandoua. Deci in acest caz avem o in�nitate de perpendiculare

comune, toate paralele intre ele.

curs i - math.uaic.rooanacon/ge/fisiere/cursuri/rezumat01.pdf · curs i spatii a ne euclidiene....

Documents