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Curso de Extensão
(Curso de 20 horas realizado na ENS – UEA entre Julho e Agosto de 2017)
Professor: Alessandro Monteiro
Resumo, Exercícios e Soluções
Professor Alessandro Monteiro www.matematicamonteiro.com
MÉDIAS E DESIGUALDADES
Média
Quadrática 2 2
, , ,2
a bMQ a b a b reais positivos
Média
Aritmética ,
2
a bMA a b
Média
Geométrica ,MG a b a b
Média
Harmônica
2
,1 1
MH a b
a b
Média
Contra -
Harmônica
2 2
,a b
MN a ba b
Média
Centroidal
2 22
, ,03
a ab bMC a b a b
a b
Média
Logarítmica
, , 0ln ln
b aML a b a b
b a
Idendric
Mean
1
1, , 0
b b a
a
bMI a b a b
e a
Média
de Seiffert
, ,0
2
b aMS a b a b
b aarcsen
b a
Média
de Bencze
, ,0
2
b aMB a b a b
b aarctg
b a
Desigualdade
das Médias max , min ,a b MN MQ MC MB MA MI MS ML MG MH a b
Desigualdade
Triangular
, ,a b a b a b
Desigualdade
Exponencial 1 ,xe x x
Desigualdade
Logarítmica ln 1, 0x x x
Desigualdade
de
Bernoulli
1 1 , 1 \ 0,1
1 1 , 1 0,1
n
n
x nx x e n
x nx x e n
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Desigualdade
Binomial
0, 0a c a c
para a b c db d b d
Um
Lema
Poderoso
22 2
, ,a ba b
x y positivosx y x y
Desigualdade
de
Cauchy -
Schwarz
22 2 2 2 , , , ,
, , , .
a b c d ac bd a b c d reais
a bcom igualdade se e somente se
c d
Desigualdade
de
Young
1 1 1 1, , 0, 1,
, , .
p q
p q
ab a b p qp q p q
com igualdade se e somente a b
Desigualdade
de
Hölder
1 1
1 1 1
1
1
1 1, , , , 1, 1,
, , ... .
n n np qp q
i i i i i i
i i i
pp
n
q q
n
a b a b a b positivos p qp q
aacom igualdade se e somente
b b
Desigualdade
de
Minkowski
1 1 1
1 1 1
1
1
, , , 1,
, , ... .
n n np p pp p p
i i i i i i
i i i
n
n
a b a b a b positivos p
aacom igualdade se e somente
b b
Desigualdade
do
Rearranjo
As igualdades ocorrerão se, e somente se,
Desigualdade
de
Tchebishev
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Desigualdade
de
Jensen
Desigualdade
de
Schür
Desigualdade
de
Abel
Desigualdade
de
Hadamard
2 2
11
detn n
ij
ji
A A
Desigualdade
de
Heinz
1 1
, , 0, 0,12 2
x y x y x yxy x y
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01. Quatro cidades rurais, A, B, C e D, estão situadas geograficamente formando um
quadrilátero convexo. Deseja-se construir uma central de distribuição de energia para as
quatro cidades de modo que a soma total das distâncias da central a cada uma das quatro
cidades seja a mínima possível. Onde deverá ser construída a central?
Resposta: No encontro da diagonais.
02. Duas torres de alturas h1 e h2, respectivamente, estão separadas a uma distância d.
As torres são amarradas por uma corda APB que vai do topo A da primeira torre para
um ponto P no chão, entre as torres, e então até o topo B da segunda torre, como na
Figura abaixo. Qual a posição do ponto P que nos dá o comprimento mínimo da corda a
ser utilizada?
Resposta: Tomando-se C o simétrico de B em relação ao chão, P deve ser o vértice do
triângulo PBC .
03. Um carro percorre metade de uma certa distância a uma velocidade de 50 /km h e a
outra metade da distância a 70 /km h . Calcule a velocidade média do percurso.
Resposta: Média harmônica das velocidades. Aproximadamente, 58,33 km/.
04. Um carro percorre uma estrada por um tempo t a uma velocidade de 50 /km h e
depois durante o mesmo tempo t a uma velocidade de 70 /km h . Calcule a velocidade
média do percurso.
Resposta: Média Aritmética das velocidades, o que resulta em 60 km/h.
05. (CMM – 2004) Um tanque tem uma torneira capaz de enchê-lo em 15 horas e outra
capaz de enchê-lo em 10 horas. O ralo é capaz de esvazia-lo em 24 horas. Com os três
abertos simultaneamente, e o tanque estando vazio, no fim de quanto tempo o tanque
ficará cheio?
Resposta: Terça parte da Média Harmônica pondo o ralo como uma torneira inversa. O
que resulta em 8 h.
06. (CMM – 2010) Uma torneira pode encher o tanque em 9 horas e outra pode encher o
mesmo em 12 horas. Se juntamente com estas duas torneiras fosse ligada uma terceira,
o tanque ficaria cheio em 4 horas. Então, qual o tempo que a terceira torneira levaria
para encher sozinha o tanque?
Resposta: Basta igualar a 4 a terça parte da Média Harmônica, tomando-se x horas o
tempo da terceira torneira, e resolver a equação simples. A solução é x = 18 h.
07. (CMRJ – 2000) Uma torneira tem capacidade de encher um tanque em 5 horas.
Outra torneira enche o mesmo tanque em 3 horas. Sabe-se que neste tanque existe um
ralo que o esvazia em 2 horas. Estando o tanque vazio, abrimos as duas torneiras ao
mesmo tempo. Após meia hora, abrimos também o ralo, qual o tempo que este tanque
levará para transbordar? Resposta: As duas torneiras juntas, em meia hora, enchem 4/15
do tanque. Logo, basta tomar 11/15 da terça parte da Média Harmônica das torneiras e o
ralo, este como uma torneira inversa. Após meia hora, o tanque levará 22 h para
transbordar.
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08. (OMMR – 2015) Se a, b e c são números reais positivos, então qual o valor mínimo
de 1 1 1
a b ca b c
?
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Usando a desigualdade de Cauchy- Schwarz obtemos
Logo, o valor mínimo que a expressão pode assumir é 9.
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Usando a desigualdade das medias, MA MG, temos:
(a + b + c) 3
(
+
+
) 3
Multiplicando ambas as desigualdades temos:
(a + b + c) (
+
+
) 9
(a + b + c) (
+
+
) 9
Logo o valor mínimo para (a + b + c) (
+
+
) é 9.
09. Prove que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é sempre menor ou
igual que a metade da hipotenusa. Além disso, a igualdade só ocorre quando o triângulo
retângulo é isósceles (ou seja, seus catetos são iguais).
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Seja o triangulo ABC retângulo em A e h a altura relativa à hipotenusa:
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Sabemos que (b – c)2 0, então:
b2 – 2bc + c
2 0
b2 + c
2 2bc
Como a2 = b
2 + c
2 e ah = bc, então
a2 2ah
Portanto h
.
E a igualdade ocorre quando b = c, ou seja, quando o triângulo é retângulo e isósceles.
10. Prove que se x, y e z são números reais positivos então
2 2 2 .x y z xy yz xz
Duas soluções: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Demonstração 1:
Usando que MA MG temos:
xy
yz
xz
Somando as três desigualdades obtemos:
xy + yz + xz.
Ou seja
xy + yz + xz x2
+ y2 + z
2 xy + yz + xz.
Demonstração 2: Usando a desigualdade de Cauchy – Schwarz, temos:
( xy + yz + xz)2 (x
2 + y
2 + z
2)( x
2 + y
2 + z
2)
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( xy + yz + xz)2 (x
2 + y
2 + z
2)
2
Logo, x2 + y
2 + z
2 xy + yz + xz.
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Tomando-se por base que então
.
Isto é, 2. .
Logo, .
11. (Desigualdade Isoperimétrica para Triângulos). O perímetro de um triângulo de
lados a, b e c é a soma p = a + b + c. Mostre que entre todos os triângulos com
perímetro fixado p o de maior área é o triângulo equilátero.
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
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12. Mostre que se x, y e z são números reais positivos então
2
3 .x y z xy yz xz
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Somando-se 2(xy + yz + xz) em ambos os lados da desigualdade x2 + y
2 + z
2 xy + yz
+ xz, provada na décima questão, temos:
x2 + y
2 + z
2 + 2(xy + yz + xz) xy + yz + xz + 2(xy + yz + xz).
Como ( x + y + z)2 = x
2 + y
2 + z
2 + 2(xy + yz + xz), então
( x + y + z)2 3(xy + yz + xz).
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Como então
Usando que resultado demonstrado na questão 9,
temos
Logo, podemos concluir que
13. (Desigualdade Isoperimétrica para Paralelepípedos). Mostre que entre todos os
paralelepípedos com área total fixada A o de maior volume é o cubo (ou seja, o
paralelepípedo com todos seus lados iguais).
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Sejam a, b e c as dimensões deste paralelepípedo. Temos que 2A ab ac bc e
V abc . Pela desigualdade das médias aritmética e geométrica podemos escrever que
3
2 3 232 2 2
8 23 3 6
ab bc ac A Aabc V V
.
Deste modo,
3
max6
AV
, e este valor é atingido quando 2 2 2ab ac bc . Isto é,
quando as dimensões são iguais.
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14. Sejam a, b e c números reais positivos. Prove que
1 1 18.a b c
b c a
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Note que
. Pois usando que MA≥MG, vem que
≥
. (*)
Desenvolvendo o produto, temos que
=
Como por (*) temos que cada um dos parênteses é maior ou igual que 2. Então,
.
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Usando que MA MG temos as seguintes desigualdades:
(
) 2
(
) 2
(
) 2
Multiplicando ambas as desigualdades temos:
(
)(
)(
) 8
Logo, (a +
)(b +
)(c +
) 8.
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15. Entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem
maior soma dos catetos s = a + b é o triângulo isósceles.
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Pelo teorema de Pitágoras, temos que 2 2 2a b c . Assim, usando a desigualdade entre
as médias quadrática e aritmética, temos:
2 2
22 2
a b a ba b c
.
Logo, a maior soma s = a + b dos catetos é 2c e este valor é atingido quando a = b, ou
seja, quando o triângulo for isósceles.
16. Sejam a, b,c e d números inteiros positivos. Mostre que
1 1 1 1
16.a b c da b c d
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Usando a desigualdade de Cauchy - Shwarz, temos que
Logo,
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Usando que MA MG temos:
i)
a + b + c + d 4
ii)
+
+
+
4
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Multiplicando ambas as desigualdades obtemos:
(a + b + c + d)(
+
+
+
) 16
,
Portando (a + b + c + d)(
+
+
+
) 16.
17. Prove a desigualdade de Bernoulli: 1 1n
x nx , para qualquer x positivo e n
inteiro positivo.
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos termos
1,
1,1,1,...,1,1
n termos
nx
, temos:
1,
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1n termos nn
nx
nx nxn
Mas disso temos também que 1 1nx nx .
Logo, elevando-se a enésima potência, obtemos
1 1n
x nx .
18. Prove que 0a , 0b e 0c , então
.ab bc ac a bc b ac c ab
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Como MA ≥ MG, então
(i)
(ii)
( iii)
Somando (i) (ii) e ( iii) , temos
.
Logo, .
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19. Mostre que se a, b e c são reais positivos, então
8a b b c a c abc .
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Usando que MA ≥ MG, temos
Multiplicando-se (i) por (ii) e (iii) temos
.
20. Se x, y e z são reais positivos, mostre que
6xy x y yz y z xz x z xyz .
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Dividindo-se essa inequação por xyz obtemos
6xy x y yz y z xz x z xyz =
Mas,
Logo, segue o resultado desejado.
21. Prove que para quaisquer números reais positivos a1, a2, . . . an ,
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Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Usando que MA ≥ MH, temos
Logo,
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Usando a desigualdade das medias, MA MG, temos:
(a1 + a2 + ...+ an) n
(
+
+ ... +
) n
Multiplicando ambas as desigualdades temos:
(a1 + a2 + ...+ an)(
+
+ ... +
) n
2
Logo,
(a1 + a2 + ...+ an)(
+
+ ... +
) n
2.
22. Sejam a, b e c números reais positivos tais que 1abc . Prove a desigualdade
3
.1 1 1 1 1 1 4
a b c
a b b c c a
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Expandindo-se esta desigualdade, obtemos:
3 1 3 2 6ab ac bc a b c abc .
E esta pode ser facilmente obtida, pois
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1 1 1
1 1 1
1 1 12 2 2 ,
6.
ab ac bc a b c a b cc b a
a b ca b c
a b c pois MA MGa b c
23. Sejam a, b, c e d números reais positivos tais que 2 2 2 2 4a b c d . Prove a
desigualdade
.a b c d ab bc cd da
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Note que
1 11.
a b c d ab bc cd da a b c d a c b d
a c b d
Por ser MQ MA , temos
2 2 2 2 41
4 4
a b c d a b c d
a b c d
(I)
Por ser MA MH , temos
1 1 4
a c b d a b c d
(II)
E pelas desigualdades I e II temos que .a b c d ab bc cd da
24. Sejam a, b e c números reais positivos tal que 1ab bc ac . Prove que
2 2 21 1 1
16.a b cb c a
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Sabemos que para todo x,y e z maiores ou igual a zero.
Assim,
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.
Como ab + bc + ac = 1, então vem que
.
Note que,
, pois por MA ,
.
E também que
.
Logo,
.
25. Prove que se 0x , então 3 23 6 4 0x x .
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Usando que MA MG temos:
2
2x2.
Assim, 3x3 + 4 6x
2.
Portanto
3x3 – 6x
2 + 4 0.
26. Prove que se 0x , então 8
2 43
x x .
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Usando o lema
22 2
, ,a ba b
x y positivosx y x y
, temos:
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2 2
2 28 2 4 42
1 33 2 2
2 2
42
2
x x x xx
xx
Mas, usando a desigualdade MA MG , temos também que
44 2
2
xx x
Logo,
82 4
3x x .
Obs.: Essa questão foi tirada do Livro Iniciação à Matemática da SBM. Nele aparece
3/8 no lugar de 8/3, mas isso torna a desigualdade falsa. Basta notar que ela fura para x
= 1, x = 2, e x = 3. Ajustamos para 8/3 e agora temos uma desigualdade válida para todo
x maior ou igual a zero!
27. Prove que 4 4 4a b c abc a b c .
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Sabemos que é verdade. Então,
=
abc( a + b + c)
Logo,
.
28. Demonstrar que, se 1 2, ,..., na a a são números positivos tais que 1 2 ... 1na a a então
1 21 1 ... 1 2n
na a a .
Uma solução: (Alunos: Leonardo Pessoa Bentes e Ernandes Santos – Finalista 2017 )
Usando que MA ≥ MG, temos
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...
Assim, multiplicando-se esses resultados obtemos
.
Portanto, .
29. (PROFMAT - 2011) Uma caixa retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z
(veja figura, onde as linhas tracejadas indicam segmentos de arestas obstruídos por
alguma face).
a) Exprima a área e o volume da caixa em função de x, y e z.
b) Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é 32, então
sua área é maior ou igual a 48.
c) Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.
Uma solução: (Aluno: Ernandes Santos – Finalista 2017)
a) V = xyz e A = 2xz + 2yz + xy onde V é o volume da caixa e A é a área.
b) Usando MA MG na seguinte expressão, obtemos:
Logo A 48.
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c) A área atinge o valor mínimo de 48 quando 2xz = 2yz = xy. Assim, temos x = y e z =
x/2. Como xyz = 32, então x3 = 64, o que implica em x = 4 e consequentemente y = 4 e
z = 2.
30. (PROFMAT - 2012) A média aritmética de 10 números positivos é igual a 1. Os
números são agrupados aos pares e os números de cada par somados, resultando daí um
conjunto de 5 números positivos.
a) O que se pode dizer sobre a média aritmética desses 5 números?
b) Mostre que o produto desses 5 números é menor ou igual a 32.
Uma solução: (Aluno: Filipe Fortes – Finalista 2018)
31. (PROFMAT - 2013) Sejam R o raio e h a altura de um cilindro circular reto. Use a
desigualdade das médias para calcular qual a menor área total possível para um cilindro
circular reto com um volume V dado. Que relação deve existir entre o raio da base e a
altura desse cilindro para que ele tenha essa menor área possível?
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Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Seja 22 2A Rh R a área total e 2V R h o volume desse cilindro. Pela
desigualdade MA-MG, temos que
23 2 4 2 3 22
2 23 3
A Rh Rh RR h V
Logo, a menor área total possível é 3 23 2A V e ela ocorre quando 22Rh R . Ou
seja, quando 2h R .
32. (PROFMAT - 2014) Dados a e b dois números reais positivos, use a desigualdade
das médias para encontrar o valor mínimo e o ponto em que esse valor mínimo ocorre,
para cada uma das funções abaixo:
a) 2
2: 0, ,
bf R f x ax
x .
b) 2: 0, ,b
f R f x axx
.
Encontre também o valor máximo, e o ponto que esse valor ocorre, na função abaixo:
c) 2: 0, ,
5
xf R f x
x
.
Uma solução: (Aluno: Ernandes Santos – Finalista 2017)
a) Usando que MA MG obtemos:
=
= , ou seja, f(x) 2 .
Então o valor mínimo de f(x) é 2 . E ele ocorre quando =
, ou seja, para
4b
xa
.
b) Temos que
2f(x) =
.
Usando que MA MG obtemos:
=
f(x)
.
Então o valor mínimo de f(x) será
. E ocorre quando
.
Isto é, para 3
2
bx
a .
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Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
c) Temos:
2
1 1
5 5 5 5 5
3 3 3
x
x x x x xx x x x
x x x x
E, pela desigualdade das médias aritmética e geométrica temos também
4 4
5 5 55 5 5 1253 3 3
4 3 3 3 27
x x xx x
x x xx x x x xx x x
Assim,
41 1 27
4 1255 5 5
3 3 3
x x xx x
x x x
.
Logo o valor máximo de f é 41 27
4 125 e ocorre quando
5
3
xx x
x . Ou seja, quando
15
3x .
33. (PROFMAT - 2015) Sejam x, y e z números positivos.
a) Prove que 2 2 2 .x y z xy yz xz
b) Prove que 3 .3 3
x y z xy yz xzxyz
c) Use o item (b) para mostrar que se a equação 3 2 0t at bt c , em que a, b e c são
números positivos, possui três raízes reais, então 6 3 227 729a b c .
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
a) Tome por base que, , temos:
Isto é,
2.
Dividindo-se a inequação por 2, concluímos que
.
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b) Parte 1: Vamos resolver a primeira desigualdade,
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos
O que implica em
Ou seja,
(*)
Sabemos que (*) é verdade. Portanto,
Parte 2: Provar a segunda desigualdade
Vamos usar a desigualdade MA ≥ MG, temos
O que equivale a
Tirando-se a raiz quadrada dos dois lados da inequação, temos
Como queríamos demonstrar.
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c)
Uma solução: (Aluno: Filipe Fortes – Finalista 2018)
34. (UECE – 2017) Se x e y são números reais tais que 5 2 10y x , então, qual o
menor valor que 2 2x y pode assumir?
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Pela desigualdade de Cauchy- Schwarz temos que
2 2 2 2 25 2 5 2y x y x .
Ou seja, 2 2 100
29x y . Logo, o valor mínimo da expressão é
100
29.
35. Mostre que 2018 2018 20182015 2016 2017 .
Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)
Note que,
.
Vamos provar que . Vejamos:
Usando a desigualdade de Bernoulli, temos
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Logo,
.
36. Se a, b e c são números reais tais que 2 2 2 1a b c , então qual o valor máximo de
ab bc ac ?
Duas soluções: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Solução 1:
Basta encontrarmos um número real K tal que ab + bc + ac K. Usando a desigualdade
MA MG temos:
ab
.
Assim, usando de maneira análoga a mesma desigualdade para os números b e c, e
também a e c, podemos afirmar que
ab + bc + ac
=
.
Fazendo-se = ab + bc + ac, temos
.
Logo 1.
Portanto o valor máximo de ab + bc + ac é 1 e esse valor é atingido quando a=b=c. Isto
é, quando 3
3a b c .
Solução 2:
Usando a desigualdade de Cauchy – Schwarz, temos:
(ab + bc + ac)2 ( .
Como = 1, então temos que:
ab + bc + ac 1.
Logo o valor máximo de ab + bc + ac é 1.
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37. (África do Sul – 1995) Sejam a, b, c e d números reais positivos, prove que
1 1 4 16 64
a b c d a b c d
.
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Basta usar o lema, pois
+
+
+
=
+
+
+
=
=
.
38. Se a e b são números reais positivos, prove que
44 48 a b a b .
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Pela desigualdade de Cauchy- Schwarz temos que
2 24 4 2 2 2 2
22 2
8 2 2
2 2 .
a b a b
a b
Pela desigualdade MQ MA temos também que
22 2 2 2
22 2
2 42 2
2 2 2 4
2 2
2 2 .
a ba b a b a b
a b a b
a b a b
Logo, 44 48 a b a b .
39. (República Tcheca – 99) Para a, b e c números reais positivos, prove a desigualdade
12 2 2
a b c
b c c a a b
.
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Note que
+
+
=
+
+
.
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Assim temos
+
+
Como foi provado na questão 12 que ( x + y + z)2 3(xy + yz + xz) para todo x, y e z
reais positivos. Então
1.
Portanto,
+
+
1.
40. (IMO – 1995) Sejam a, b e c números reais positivos tais que abc = 1. Prove que
3 3 3
1 1 1 3
2a b c b a c c a b
.
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Observe que
+
+
=
+
+
Observe também que
. E como sabemos que abc = 1, então
. Usando o mesmo artifício nas outras expressões temos:
+
+
=
.+
+
=
.+
+
.
Aplicando a seguinte desigualdade
.+
+
, obtemos
.+
+
.
Por ser MA MG podemos dizer que
.
Logo,
+
+
.
41. Sejam se a, b, c > 0. Prove que
3 3 3
.a b c
a b cbc ca ab
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Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Temos que é valida a seguinte desigualdade:
a4 + b
4 + c
4 abc(a + b + c). (exercício 27)
Dividindo ambos os lados desta desigualdade por abc obtemos:
(a + b + c)
Isto é,
+
+
(a + b + c). Portanto
+
+
(a + b + c).
42. Demonstre que 2 2 2 2 2 2 2 2 .
Uma solução: (Aluno Dirley Souza – Finalista 2017)
Iremos resolver pela desigualdade de Cauchy-Schwarz:
.
Vejamos:
Fazendo-se , , , temos:
Assim,
.
Isto é,
Logo
Para a igualdade ocorrer deve ser válida a igualdade
=
. Mas, .
Portanto, concluímos que
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43. Resolva a equação 100200 20016 1 1 16x y xy .
Uma solução: (Aluno: Filipe Fortes – Finalista 2018)
Utilizando a relação entre as médias aritmética e geométrica, temos:
44. Resolva a equação 2
8 2 2 2
8 2
1 1cos 2 4cos
cos 2 4sen x x x
sen x x
.
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Usando a desigualdade entre as médias MA- MG, temos
8 28 2
8 2
8 2
1 1cos 2 1 1cos 2. cos 2 1
2 2 cos 2
sen x xsen x x sen x x
sen x x
.
Logo, 8 2
8 2
1 1cos 2 4
cos 2sen x x
sen x x
. Com isso deve ocorre que
22 24cos 4
4x
e 8 2cos 2sen x x . Então
2 2 22 2 2 2cos 1 cos 1 ,
4 4 4x x x k k
.
Ou seja, 2
2 2 2
4x k
. Como
22 2
4k
para todo inteiro 0k então podemos
afirmar que k deve ser nulo e portanto 2
x
.
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45. (Série Harmônica) Prove que 1 1
lnn
n n
para todo natural não nulo. Use esta
desigualdade para mostrar que a série
1 1 1 11 ... ...
2 3 4 n
é divergente.
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Fazendo-se x =
na desigualdade 1 + x, obtemos:
1 +
.
Como a igualdade só ocorre para x = 0, então
.
Continuação: (Professor Alessandro Monteiro)
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46. Prove que a Desigualdade de Bernoulli implica na desigualdade
2
a bab
.
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Fazendo-se 1A
xa
, onde 2
a bA
, e n=2 na desigualdade de Bernoulli
1 1n
x nx , temos
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2
1 1 1 2 1 2 1
21 0
4
2 4 4 4 0
2 4
2
.2
A A A A
a a a a
a ab a a b
a a
a ab b a ab a
a ab b ab
a bab
a bab
47. Resolva a equação
4 42 21 1 1 1 2x x .
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
Pela desigualdade de Bernoulli, temos que
1 1
4 44 42 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 11 1 1 1
4 4
2
x x x x
x x
Mas, a igualdade ocorre quando 21 0x .
Logo, 1.x
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48. Demonstre que
9a b ch h h r ,
onde ah , ,b ch h são as alturas de um triângulo arbitrário e r é o raio da circunferência
inscrita no mesmo.
Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)
49. Encontre o valor mínimo da função definida por
6 3
3
5 5
1
x xf x
x
.
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Olhando somente para o numerador da função temos que:
= ( + 1)2 + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + 1
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Aplicando que MA MG obtemos:
= .
Assim,
f(x) 5.
Logo o valor mínimo de f(x) é 5 e ocorre quando , ou seja,
para x = 0.
50. Seja 0,2
. Encontre o valor mínimo de
cottg g .
Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)
Usando a desigualdade MA MG obtemos:
.
Portando 2 e a igualdade ocorre quando , ou seja, para
, uma vez que 0,2
.