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2011

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

E . S . I . M . E .

UNIDAD AZCAPOTZALCO

A P U N T E S

M A T E M A T I C A S

CURSO DE REGULARIZACION


ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA – UNIDAD AZCAPOTZALCO | 2

B I EN V E N I D A

La Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica,

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Índice

CAPITULO I

Aritmética.

Sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, números irracionales, raíz cuadrada, potencias y exponentes.

Identificación de una ecuación y operaciones básicas.

CAPITULO II

Trigonometría

Ángulos y triángulos (Teorema de Pitágoras, ley de senos y cosenos)

Trigonometría circular (identidades Trigonométricas)

Vectores y sus aplicaciones Básicas.

CAPITULO III

Algebra

Polinomios, operaciones Básicas de polinomios (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones)

Métodos de simplificación (Métodos Radicales, método de división simétrica).

CAPITULO IV

Derivadas e Integrales

Método de los cuatro pasos, aplicación de las formulas de la derivada, métodos, aplicaciones básicas.

Método de los cuatro pasos, aplicación de las formulas de la derivada, métodos, aplicaciones básicas.



C A P I T U L O I

Sumas, restas, multiplicaciones,

divisiones, números irracionales,

raíz cuadrada, potencias y

exponentes.

Identificación de una ecuación y

operaciones básicas.



Introducción

Las Matemáticas, son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las matemáticas en la antigüedad Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad, en geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado 8/9 del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3.14). El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de raíz cuadrada de 2.



Las matemáticas en Grecia Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este ultimo enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras. En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos. A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas. Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes. El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII. Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.



Las matemáticas aplicadas en Grecia En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C. — los arcos crecían con un incremento de 7°, de 0° a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de ° que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal. Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler. Este es solo una simple semblanza del vasto universo que representa el estudio matemático, ya sea como fuente descriptiva de la naturaleza o como herramienta innovadora de la ciencia.



Aritmética La aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmHtikH, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technH, que se refiere a un arte o habilidad. Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 al número anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo largo de la historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el usado en las culturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le denomina sistema en base 10 o decimal. En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cuales representa potencias de 10. Tomemos el número 1.534 como ejemplo. Cada cifra de este número tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10 crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de la segunda es 10 (aquí 3 × 10, o 30); el valor del tercer lugar es 10 × 10, o 100 (aquí 5 × 100, o 500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, o 1.000 (aquí 1 × 1.000, o 1.000). Definiciones fundamentales La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división. Aquí la palabra número se refiere también a los números negativos, irracionales, algebraicos y fracciones. Las propiedades aritméticas de la suma y la multiplicación y la propiedad distributiva son las mismas que las del álgebra. Adición La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación. Sustracción La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando al revés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hasta encontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos ofrecen un método más sencillo para encontrar la solución. Números negativos El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo. Sin embargo, si el sustraendo es mayor que el minuendo, la única manera de encontrar un resultado para la resta es la introducción del concepto de números negativos. La idea de los números negativos se comprende más fácilmente si primero se toman los números más familiares de la aritmética, los enteros positivos, y se colocan en una línea recta en orden creciente hacia el sentido positivo. Los números negativos se representan de la misma manera empezando desde 0 y creciendo en sentido contrario. La recta numérica que se muestra a continuación representa los números positivos y negativos: Para poder trabajar adecuadamente con operaciones aritméticas que contengan números negativos, primero se ha de introducir el concepto del valor absoluto. Dado un número cualquiera, positivo o negativo, el valor absoluto de dicho número es su valor sin el signo. Así, el valor absoluto de +5 es 5, y el valor absoluto de -5 es también 5. En notación simbólica, el valor absoluto de un número cualquiera a se representa |a| y queda definido así: el valor absoluto de a es a si a es positivo, y el valor absoluto de a es -a si a es negativo. Multiplicación La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo, 3 × 4, 3 · 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4. La multiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces. En ambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias cifras estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tiene procedimientos para simplificar estas operaciones.



División La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación. Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo de dividir (12:4), una línea horizontal (0) o una raya inclinada (12/4). La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido entre 4 es 3, o 0 es 3. La mayor parte de las divisiones se pueden calcular a simple vista, pero en muchos casos es más complicado y se necesita un procedimiento conocido como división larga. Teoría de los divisores Antes de pasar a las fracciones, se deben mencionar algunos detalles sobre otras clases de números. Un número par es aquél que es divisible por 2. Un número impar es aquél que no es divisible por 2. Un número primo es cualquier entero positivo mayor que 1 y que sólo es divisible por sí mismo y por 1. Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… El único número primo par es el 2. Los enteros que no son primos se denominan compuestos, y todos se pueden expresar como producto de números primos. Teorema fundamental de la aritmética "Todo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo un conjunto de números primos". Este teorema fue demostrado por primera vez por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Dado un cierto número, por ejemplo 14, el teorema dice que se puede escribir de manera única como el producto de sus factores primos, en este caso 14 = 2 · 7. De la misma manera, 50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 52. El menor múltiplo y el mayor divisor común a varios números se pueden calcular utilizando sus descomposiciones en factores primos. Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que puede ser dividido exactamente por todos y cada uno de ellos. El m.c.m. contiene el mayor número de todos los factores primos que aparecen en cada uno de los números dados. Por ejemplo, para encontrar el m.c.m. de tres números 27, 63 y 75, primero se descomponen en factores: 27 = 33, 63 = 32 · 7, y 75 = 3 · 52. El m.c.m. debe contener al menos los factores 33, 7 y 52; por tanto, 33 · 7 · 52 = 4.725 es el menor número que se puede dividir exactamente entre 27, 63 y 75. Máximo común divisor El mayor factor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (m.c.d.). Por ejemplo, dados 9, 15 y 27, el m.c.d. es 3, que se encuentra fácilmente examinando la descomposición en factores de cada uno de los números: 9 = 32, 15 = 3 · 5, 27 = 33; el único factor que aparece en los tres números es 3. Fracciones Los números que representan partes de un todo se denominan números racionales, fracciones o quebrados. En general, las fracciones se pueden expresar como el cociente de dos números enteros a y b: Una fracción está en su forma reducida o canónica si el numerador y el denominador no tienen un factor común. Por ejemplo, 6/8 (no está en su forma reducida pues ambos, 6 y 8, son divisibles por 2: 6/8(2· 3)/ (2· 4); sin embargo3/4 es una fracción en su forma canónica. Existen dos tipos de fracciones, propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador; 2/3, – 7/8 y 16/19 son todas ellas fracciones propias. Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador; 3/2, -8/4, y 7/3, son fracciones impropias. Las fracciones impropias se pueden convertir en números mixtos o en enteros (por ejemplo, 3/2 = 1 ½ – 8/4 = -2, y 7/3 = 2 1/3) si se divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fracción del denominador. Decimales El concepto de valores posicionales se puede extender para incluir a las fracciones. En vez de escribir 2/10, o dos décimos, se puede utilizar una coma decimal (.) de manera que 0.2 representa también a la fracción. Del mismo modo que las cifras a la izquierda de la coma representan las unidades, decenas, centenas…, aquéllas a la derecha de la coma representan los lugares de las décimas (1/10), centésimas (1/100), milésimas (1/1000) y así sucesivamente. Estos valores posicionales siguen siendo potencias de 10, que se escriben como 10-1, 10-2, 10-3… En general, un número como 5428.632 se denomina quebrado o fracción decimal, y 0.632 representa este número y se lee como: "cinco mil cuatrocientos veintiocho punto seiscientos treinta y dos".



Resumiendo podemos mencionar que las Las operaciones aritméticas son siete:

Suma o adición, resta o substracción, multiplicación y división, potenciación, radiación y logaritmación.

Suma o Adición

1) 2)

3) 4)

Resta

La resta es la operación inversa de la suma.

Los elementos de una resta son el minuendo(+) sustraendo(-) y la diferencia.

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

NOTA: cuando se realiza la operación de resta de 2 números enteros la deferencia se lleva el signo del

entero de mayor valor absoluto.

3184

215

+ 730

9319

6134

19582

1234

5659

+ 7356

92133

172588

24432

12006

+ 3555

24116

5521

69630

316

5622

+ 930

1431

744

9043

a

- b

c



Multiplicación.

La multiplicación es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces. La

multiplicación se representa con los símbolos “x” “.” Ó ().

Leyes de signos.

1) el producto de dos números con signos iguales da como resultado un número positivo. (+)

2) El producto de dos números con signos diferentes da como resultado un número negativo (-)

División

La división está conformada por cuatro términos que son:

Dividendo: Es lo que se desea dividir Divisor: Es en cuantas partes se quiere dividir Cociente: Es en cuantas veces queda dividido Resto: Es lo que sobra de la división.

De acuerdo con la anterior definición, podemos decir que dividir un número (dividendo) entre otro (divisor) es hallar un número (cociente) que multiplicado por el divisor dé el dividendo.

Así, dividir 20 entre 4 es hallar el número que multiplicado por 4 dé 20. Este número es 5, luego 20 ÷ 4 = 5; ya que el dividendo es el producto del divisor por el cociente, es evidente que el dividendo dividido entre el cociente tiene que dar el divisor.

Así:

14 ÷ 2 = 7 y 14 ÷ 7 = 2

18 ÷ 6 = 3 y 18 ÷ 3 = 6



Potenciación

Es la operación aritmética que tiene por objeto hallar el producto de factores iguales.

El factor repetido se llama base.

El exponente es el número que indica cuántas veces se toma la base como factor.

Donde: P = potencia = an

a = base

n = exponente

Ejemplos:

1) 22 = 2 x 2 = 4 6) 4

3 = 4 x 4 x 4 = 64

2) 32 = 3 x 3 = 9 7) 5

3 = 5 x 5 x 5 = 125

3) 42 = 4 x 4 = 16 8) 2

4 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

4) 52 = 5 x 5 = 25 9) 2

5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

5) 23 = 2 x 2 x 2 = 8 10) 10

6 = 10 x 10 x 10 10 x 10 x 10 = 1000000

Potencia de Base 10

Cualquier potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de la cantidad de CEROS que indique el exponente.

Ejemplos:

102 = 10 x 10 = 100 seguido de dos ceros

103 = 10 x 10 x 10 = 1000 seguido de tres ceros

104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000 seguido de cuatro ceros

105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000 seguido de cinco ceros

106 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1000000 seguido de seis ceros



Radicación La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a. Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14. El número que está dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz. Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a

1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a

1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a

es a1/n

. La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación. Raíz cuadrada 1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en grupos de dos cifras, empezando por la derecha Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64 2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz. 3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo. En nuestro ejemplo 2

2 = 4 y

restándolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1 4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo. En nuestro ejemplo nos quedaría 156. 5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de la raíz. En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4 6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos buscando se acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese número será el siguiente número de la raíz. En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se aproxima mas a 156 y la raíz seria 23... 7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que queríamos obtener realmente. En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27 8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo. En nuestro ejemplo: 2701 9- A continuación repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46



10- después repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raíz seria 235... 11- después repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376 12- A continuación repetimos el paso 8 En nuestro ejemplo: 37664 13 A continuación repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470 14- A continuación repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358 15- A continuación repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero. Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas Este método se debe a Newton Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula: ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1) Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2, entonces: a1 = 2 a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250 a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236 Raíz cúbica 1- Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16'387'064 2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer número es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz. 3- después se eleva al cubo esta cifra y se resta del número del primer grupo En nuestro ejemplo 2

3 = 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 - 8 = 8

4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo. En nuestro ejemplo nos quedaría 8387 5- después tenemos que calcular un número a que haciendo las operaciones siguientes: 3 * (raíz obtenida hasta el momento)

2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a

2 * 10 + a

3 se aproxime lo más

posible al número obtenido en el punto 4. El número a, es el siguiente dígito de la raíz. En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 2

2 * 5 * 100 + 3 * 2 * 5

2 *10 + 5

3 = 7625

http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Historia/Biografias/Newton.htm



6- A continuación restamos este número al número obtenido en el paso 4. En nuestro ejemplo: 8387 - 7625 = 762. 7- Repetimos el paso 4 En nuestro ejemplo: 762064 8- Repetimos el paso 5 y el número obtenido sería el siguiente numero de la raíz. En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 25

2 * 4 * 100 + 3 * 25 * 4

2 * 10 + 4

3 = 762064

9 Repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo 762064 - 762064 = 0 Radicación de números complejos

La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente. La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n.

Logaritmación

Logaritmación es el proceso de hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un número.

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número, llamado base, para obtener el número dado.

Los Elementos de los logaritmos:

Como la logaritmación es la operación que permite hallar el exponente al cual fue elevada la base, en el ejemplo anterior se ve que 2 fue elevado a la 3, por tanto 2

3 = 8.

Propiedades de la logaritmación:

Log a x .y = Log a x +Log a y

Ejemplo:Log2 8.4= Log2 8 + Log2 4 = 3+2 =5



Log a (x÷y) = Log a x - Log a y Ejemplo:Log2 8÷4= Log2 8 - Log2 4 = 3-2 =1 Relación entre potenciación y la logaritmación

Logaritmación Que se busca? Potenciación Logaritmación

Log2 8 A que exponente se elevo 2 para obtener 8? 23 = 8 Log2 8 = 3

Log3 81 A que exponente se elevo 3 para obtener 81? 34 = 81 Log3 81 = 4

Loga an A que exponente se elevo a para obtener a

n? a

n = b Loga b=n

Números Racionales

Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales.

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Q= { m/n , m Z, n Z, n =0 }

Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:



COMPARACIÓN

Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.

SUMA y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

La suma de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: el cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: el opuesto de un número racional a, es otro número racional -a, a + (-a) = 0 Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior.

PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES

El producto de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades: Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) Conmutativa: a · b = b · a Elemento neutro: el 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto, a · 1 = a Elemento inverso: el inverso de un número racional a " 0 es otro número racional que multiplicado por a da 1:

Distributiva respecto a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c



COCIENTE

El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.

Ejemplo:

-2/5: 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10

SIMPLIFICACIÓN

Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

Las expresiones

Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:

En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo

por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.

En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a - b) = a2 - b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.



EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NUMEROS RACIONALES

Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.

Ejemplo:

7/2 = 3.5

Números Irracionales A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas se les llama números irracionales. A su conjunto lo representaremos con la letra a. Son números irracionales:

Los números irracionales aparecen en la historia de la matemática vinculados a la geómetra. Se supone que

las magnitudes inconmensurables fueron descubiertas por la Escuela Pitagórica en el siglo VI A.C., al tratar

de resolver problemas tales como la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. La

matemática pitagórica estaba basada en los enteros positivos y en todo lo que es expresable en términos de operaciones entre ellos, por lo tanto a lo más se llegaron a considerar fracciones positivas y se encontraron

con que estas cantidades no eran números enteros ni fracciones.

Esto se debía a que ellos concebían las figuras constituidas por una cantidad finita de puntos. El

descubrimiento de magnitudes inconmensurables, puso en evidencia que tal suposición era falsa y que

muchas demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. Eudoxo (408 - 355 A.C.),

estudiante de la Academia de Platón, definió la igualdad de proporciones aplicable para los casos racional e

irracional y permitió avanzar a la geometría que estuvo paralizada por un tiempo.

A estos números, que no eran ni enteros ni fracciones, los llamaron alogos o irracionales. En la época de

Platón (428 - 347 A.C.) ya se conocía la irracionalidad de los números:



C A P I T U L O I I

Ángulos y triángulos

(Teorema de Pitágoras, ley de senos y

cosenos)

Trigonometría circular

(Identidades Trigonométricas)

Vectores y sus aplicaciones Básicas.



Antecedentes históricos de la trigonometría Entre los egipcios y los chinos, más de un milenio antes de Jesucristo, pueden hallarse los primeros albores de la trigonometría; sin embargo esta ciencia, propiamente, sólo hace su aparición con Hiparco, cerca de 150 años antes de nuestra era. Este sabio, justamente considerado como la autoridad máxima entre los astrónomos griegos, y el astrónomo más grande de la antigüedad, creó está ciencia en vista de la necesidad que de ella tenía en la astronomía, de la cual fue mirada, por largos siglos, como uno de sus capítulos.

La trigonometría egipcia

El documento más antiguo con procedimientos matemáticos de que se tenga noticia, es el papiro del Rhind. En el se encuentran los rudimentos de la rama de las matemáticas que más tarde se llamaría trigonometría. En la construcción de las pirámides un problema fundamental era mantener una pendiente (inclinación) uniforme en cada cara y la misma en las cuatro caras. Este problema llevó a los egipcios a introducir un concepto equivalente al de cotangente de un ángulo. La trigonometría babilónica Se ha creído que toda la matemática que se desarrolló antes de la civilización griega tenía un carácter netamente utilitarista. Sin embargo, en tablillas de escritura cuneiforme de los babilonios se encontró una proto trigonometría donde se presentan listas con ternas de números pitagóricos. La trigonometría griega La trigonometría al igual que cualquier otra rama de las matemáticas no es el fruto de la inteligencia de un solo hombre, ni aún de una sola civilización. Con los griegos se presenta por primera vez el estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos centrales de una circunferencia y de la longitud de las cuerdas que subtienden. En los “elementos de Euclides” no aparece la trigonometría, en el sentido estricto del término. Pero se presentan teoremas relativos a la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y problemas concretos como el teorema del coseno para un triángulo obtusángulo. La astronomía exigió a los científicos de la época la medición de arcos y ángulos cada vez con mayor exactitud. De esta forma todo el progreso de la trigonometría durante la civilización griega se produjo al lado del desarrollo de la astronomía. Se puede afirmar que la trigonometría fue nodriza de la astronomía.

Aristarco de Samos, Según cuentan Arquímedes y Plutarco, propuso un sistema astronómico heliocéntrico anticipándose a Copérnico en más de mil quinientos años. Aristarco midió el ángulo entre la visual dirigida al centro del sol y la visual dirigida al centro de la luna cuando se encuentra media llena y descubrió que este ángulo es menor en 1/30 de cuadrante. Esto significa que la razón entre la distancia de la tierra a la luna y de la tierra al sol es aproximadamente igual a sen 3°. Otro astrónomo importante que contribuyó al desarrollo de la trigonometría, fue Eratóstenes de Cirene quien midió la distancia real de la tierra al sol y de la tierra a la luna a partir del radio terrestre.



El almagesto de Ptolomeo Claudio Ptolomeo vivió y trabajó en Alejandría alrededor del 150 d. C. En su principal obra, llamada “almagesto” que el árabe significa el más grande, Ptolomeo desarrolló, no solo los modelos astronómicos egocéntricos, que perduraron hasta Copérnico, sino también las herramientas matemáticas que además de la geometría elemental incluyen la trigonometría. El almagesto es una obra maestra, en ella jamás presentó Ptolomeo una tabla trigonométrica sin explicar previamente la forma de obtenerla y como calcularla.



Ángulos.

DEFINICIÓN FIGURA OBSERVACIONES

Ángulo. Es la abertura formada por dos semirrectas unidas en un solo punto llamado vértice.

Donde:

= Ángulo O = Vértice

OA = Lado inicial OB = Lado terminal

Un ángulo es positivo si su sentido de giro es contrario a las manecillas del reloj.

Observe que se mide en sentido que indica la flecha.

Un ángulo es negativo si su sentido de giro es a favor de las manecillas del reloj.

Observe que su medida en sentido que indica la flecha.



Clasificación de ángulos a) Por su magnitud los ángulos se clasifican en:

Nombre y definición Figura Característica

Ángulo agudo. Es aquel cuya magnitud es menor de 90º .

AOB 90º

Ángulo recto: es aquel que mide exactamente 90º . Y se marca con un pequeño rectángulo en el vértice.

AOB = 90º

Ángulo obtuso. Es aquel cuya magnitud es mayor de 90º y menos a 180º .

90º AOB 180º

Ángulo colineal o llano. Es aquel cuya magnitud es igual a 180º .

AOB = 180º

Ángulo entrante. Es aquel cuya magnitud es mayor de 180º y menor de 360º .

180º AOB 360º

Ángulo perígono. Es aquel cuya magnitud es igual a 360º .

AOB = 360º



b) Por su posición los ángulos se clasifican en:

Nombre y definición figura Observaciones

Ángulos adyacentes. Son los que están formados de manera que un lado es común y los otros lados pertenecen a la misma recta.

Son ángulos adyacentes:

a,b ; b,c ; c,d ; d,a

Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos que se encuentran uno enfrente de otro al cruzarse dos rectas en un punto llamado vértice.

Ángulos opuestos

por el vértice:

AOB = COD AOD = BOC

Ángulos Complementarios. Son dos ó mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a

90.

AOB + BOC = 90

33 + 57 = 90

Ángulos suplementarios. Son dos ó mas ángulos

que al sumarlos su resultado es igual a 180

AOB+BOC+COD = 180°

48° + 80.5° + 51.5°

= 180°

Ángulos conjugados. Son dos ó mas ángulos que

al sumarlos su resultado es igual a 360

AOB + BOA = 360°



Ángulos consecutivos.

Son ángulos uno interno y otro externo, que están situados uno detrás de otro.

Son consecutivos: a y e; b y f; c y g; d y h. Por lo tanto se concluye que los ángulos consecutivos son iguales entre sí, es decir; a = e , b = f , c = g y d = h. Ángulos alternos internos. Son dos ángulos internos situados a uno y otro lado de la secante y en distinta paralela.

Son alternos internos los pares de ángulos: c y f; d y e. Si dos paralelas son cortadas por una secante, los ángulos alternos internos son iguales, es decir; c = f y d = e.



Ángulos alternos externos. Son dos ángulos externos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela.

Son alternos externos los pares de ángulos: a y h; b y g. Si dos paralelas son cortadas por una secante, los ángulos alternos externos son iguales, es decir; a = h y b = g. Ángulos colaterales. Son dos ángulos internos o dos ángulos externos, situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela. Cuando los dos ángulos son internos, se les llama colaterales internos; si son externos, se les llama colaterales externos.

Son colaterales internos los pares de ángulos: c y e; d y f.

Son colaterales externos los pares de ángulos: a y g; b y h.



Sistemas de unidades empleados para medir ángulos. Sistema sexagesimal. En este sistema la circunferencia se considera dividida en 360 partes llamadas grados, el grado en 60 partes llamados minutos, el minuto en 60 partes llamados segundos.

Sistema centesimal. En este sistema la circunferencia se considera dividida en 400 partes llamados grados, cada grado se considera dividido en 100 partes llamados minutos y cada minuto en 100 partes llamados segundos. A éstos grados se les llama centesimales o alemanes, porque fue en Alemania donde se empezaron a emplear. Se abrevia: Grado centesimal (g.c); minuto centesimal (m.c.) y segundo centesimal (s.c).



Sistema cíclico o circular. Este sistema se define de la manera siguiente: En una circunferencia cualquiera se señala un arco de longitud igual al radio de la circunferencia y se trazan los radios correspondientes a cada extremo del arco; el ángulo central que forman esos dos radios se llama radián; el radián se define decimalmente, es decir en decimos, centésimos, milésimos, etc.

Relación entre radianes y grados sexagesimales

Conocemos que la longitud de una circunferencia es 2 veces el radio, por lo cual aceptamos que subtiende

un ángulo central de 2 radianes; además, como la circunferencia también subtiende un ángulo central de 360°, tenemos:

2 radianes = 360°

radianes = 2

360

radianes = 180° (1) Si dividimos cada miembro de la igualdad entre 180°, tenemos;

180

radianes = 180°/180° = 1, de donde

1° = 180

radianes

Si dividimos cada miembro de la igualdad entre , tenemos:

radianes =

180 de donde

1 radián =

180 grados

1 Radián =

180 = 57°17’44.81’’ OA = AB = radio

El radián es el ángulo comprendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo.



Considerando que el ángulo de 1° = 180

radianes, para reducir a radianes un ángulo, expresado en grados

sexagesimales es suficiente con multiplicar el número de grados por la constante 180

.

Un ángulo esta en posición normal con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares cuando su

vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo de la “x”.

Ángulos coterminales.

Los ángulos que se encuentran en la posición normal y que coinciden sus lados finales se les denomina

ángulos coterminales.

Triángulos.

Es un polígono el cual está limitado por tres lados los cuales forman entre sí tres ángulos, también se puede

definir como el plano limitado por tres rectas las cuales se cortan dos a dos.

El punto en el cual se unen los puntos o se cruzan las rectas se llaman vértices y los segmentos de recta son

conocidos como lados, las partes interiores se llaman ángulos esto lo podemos observar en las siguientes

figuras:



Un triángulo se denota colocando tres letras mayúsculas en sus vértices y en los lados opuestos se colocan las letras minúsculas que correspondan en conclusión podemos decir que un triángulo esta compuesto por tres elementos que son: 3 ángulos, 3 lados y tres vértices, lo cual lo podemos observar en las siguientes figuras:

El perímetro de un triangulo lo podemos obtener sumando el valor de sus tres lados.

Los triángulos se pueden clasificar:

1. Por la magnitud de sus lados. 2. Por la magnitud de sus ángulos.

1. Por la magnitud de sus lados tenemos:

Equilátero.- En este tipo de triangulo se observa que sus tres lados tienen la misma magnitud como se

observa en la figura.

Características:

a = b = c Tres lados iguales

α = β = γ Tres ángulos interiores iguales



Isósceles.- En este caso dos de sus lados son iguales mientras que el tercer lado es diferente y esto lo

podemos observar en la figura siguiente:

Escaleno.- En este último triángulo la magnitud de sus lados es diferente completamente, esto lo

observamos en la figura siguiente:

Características:

a b = c Dos lados iguales y uno diferente.

α β = γ Dos ángulos interiores iguales y uno diferente.

Características:

a b c Tres lados diferentes

α β γ Tres ángulos interiores diferentes.



2. Por la magnitud de sus ángulos: Obtusángulo.- Es aquel que tiene un ángulo obtuso como el observado en la siguiente figura:

Acutángulo.- es el que tiene sus tres ángulos agudos

Rectángulo.- Este tipo de triángulo tiene un ángulo recto (90°), mientras que sus otros dos lados tienen

nombres especiales.

Características:


α β γ < 90° Tres ángulos diferentes

Características:

a , b = se llaman catetos, son los lados que Forman el ángulo recto.

c = es la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

Características:


α > 90° un ángulo mayor de 90°



Rectas y puntos notables en un triangulo.

Cualquier triángulo tiene 3 alturas, 3 medianas, 3 mediatrices y 3 bisectrices, que se les llaman rectas

notables y al punto donde se unen cada una de las 3 reciben nombres diferentes.

Altura.- segmento de recta perpendicular al lado y que pasa por el vértice opuesto.

Ortocentro.-Es el punto en el cual las alturas se intersecan o cruzan.

Medianas.-Es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto y se le llama

mediana correspondiente a ese lado.

Baricentro.- Es el punto en el cual las medianas se cruzan o intersecan.

Mediatriz.- Segmento de recta que es perpendicular a cada lado del triángulo y que pasa exactamente por el punto medio. Circuncentro.- Es el punto en donde las mediatrices se cruzan o intersecan y este es el centro de la circunferencia circunscrita.

Propiedades generales de los triángulos.

Estas se mencionan en base a teoremas como son:

Teorema 1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.

Teorema 2. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él.

Teorema 3. En todo triángulo, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.



Triángulos congruentes o iguales.

Un triángulo es congruente con otro, o igual a otro si tienen todos sus lados y ángulos respectivamente

iguales a los lados y ángulos de otros. Para demostrar que dos triángulos son iguales, no es necesario

demostrar que sus tres lados y sus tres ángulos sean iguales uno a no, sino que es suficiente con que se

cumpla la igualdad de algunos de ellos para que, como consecuencia, los demás resulten también iguales.

En los siguientes triángulos congruentes, los elementos homólogos o correspondientes están señalados con

el mismo trazo.

El conjunto de elementos que deben ser iguales da origen, en cada caso a un criterio de igualdad de

triángulos, los criterios son:

Primer criterio. Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente igual, son

iguales.

Segundo criterio. Dos triángulos que tienen un lado y dos ángulos igualmente dispuestos respectivamente iguales, son iguales.

Tercer criterio. Dos triángulos que tienen los tres lados respectivamente iguales, son iguales.



Triángulos semejantes.

Se dice primeramente que dos figuras u objetos son semejantes cuando tienen la misma forma así como

ciertas característica, por lo cual al decir que dos triángulos son semejantes es porque tienen sus ángulos

respectivamente iguales así como sus lados correspondientes, proporcionales.

Para considerar que dos triángulos son semejantes es suficiente que se cumplan algunas condiciones.

Primer caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.

Segundo caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los dos lados que

lo forman.

Tercer caso.- Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.

Cuarto caso.- Si desde el vértice del ángulo recto de un triangulo se traza una perpendicular hasta la

hipotenusa, los triángulos que se forman son semejantes al triangulo dado y semejantes entre sí.

El concepto de semejanza tiene grandes aplicaciones en la vida cotidiana; si alguien busca comprar casa, se

dirige a una agencia de bienes raíces en donde le muestra una maqueta con las mismas formas que tiene o

tendrá la casa en venta. La dimensión de esta maqueta es proporcional a la original. Los mapas son otro

ejemplo de aplicación del concepto de semejanza.

TEOREMA DE PITAGORAS

DEFINICIÓN DE ÁREA.

Podemos considerar como una definición de área, a aquella cantidad de superficie que se encuentra

encerrada dentro de una figura geométrica (tomando que esta figura sea cerrada).

PROPIEDADES BÁSICAS DEL ÁREA DE UNA FIGURA.

El área de una figura geométrica no varía, cuando sobre la figura realizamos acciones tales como cortar

y pegar. Gracias a esta propiedad del área se calculan infinidad de áreas de figuras, como por ejemplo el

área del paralelogramo.

Si a una figura le quitamos una porción de área conocida, entonces el área de la figura resultante será el

área de la figura inicial menos el área de la porción quitada. Así conociendo el área de un triángulo y la

de un rectángulo, podemos calcular el área de un trapecio.

La propiedad anterior también se verifica, si envés de quitar una porción se la añades. Así si a una figura

de área conocida, le añades una porción de área también conocida, el área de la figura resultante será

la suma de las áreas.



Áreas de algunas figuras geométricas.

Área del rectángulo.

h

b

Usando la definición de área dada anteriormente, el área del rectángulo como cantidad de superficie

encerrada en muy fácil de calculas, ya que es obvio que la cantidad de superficie es el producto de la

anchura por la altura. Así pues podemos decir con toda seguridad que A=b.h .

Área del paralelogramo.

h

b Fig. 1

h

b Fig. 2

Para calcular el área del paralelogramo (que es aquel cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos)

usamos la primera propiedad de las áreas. Así lo que hacemos es: partiendo de un rectángulo, cortamos un

triángulo de la parte izquierda y se lo añadimos en la parte derecha del rectángulo, quedándome el

paralelogramo que buscábamos. Así pues el área del paralelogramo es A=b.h .

Área del triángulo.

h

b Fig. 1

h

b Fig. 2

Es fácil observar que con dos triángulos iguales, podemos colocarlos de manera inteligente de forma que

conseguiríamos un paralelogramo (Fig. 2). Como sabemos el área del paralelogramo, y tenemos que el área

de dos triángulos iguales es el área de ese paralelogramo, concluimos que el área del triángulo es A =2

.hb.



Área del trapecio.

h

b

B Fig. 1

h

b

bB

B

Fig. 2

Al igual que hemos hecho para conseguir el área del triángulo, con el trapecio nos ocurre igual, es decir,

podemos colocar dos trapecios iguales de manera inteligente de forma que conseguimos un paralelogramo,

en este caso de base B+b y de altera h . Así pues el área del trapecio es A= hbB

.2

.

Teorema de Pitágoras. Enunciado y Demostraciones.

TEOREMA DE PITÁGORAS.

Dado un triángulo recto (es decir, un triángulo donde alguno de sus ángulos es de 90º), donde a y b son las

medidas de los catetos (lados contiguos al vértice de 90º), y h es la medida de la hipotenusa (lado opuesto al

vértice de 90º). Entonces se verifica que h2=a2+ b2 .

h

b

a

DEMOSTRACIÓN 1

Aquí expongo una de las demostraciones más sencillas y fáciles de entender que existen sobre este

teorema. Los conceptos y propiedades que se usan para esta demostración son tan coloquiales que hacen

de esta demostración la preferida por cualquier alumno. Además es una demostración fácilmente realizable

recortando y colocando las figuras de los dos cuadrados adecuadamente, y así hacer que los alumnos

observen la veracidad de esta propiedad.



a

b

b a

b

a

ba

h

h

h

h

h2

a

b

b

a

a

b

2

2

Como podemos observar los dos cuadrados expuestos en la figura tienen las mismas dimensiones

(a+b)(a+b) así que también tienen la misma área (a+b)2 . Si a estos dos cuadrados les quitamos la

misma porción de área, las figuras resultantes también tendrán la misma área. Así en el primer cuadrado

hemos sombreado la parte que le vamos a quitar, que son cuatro triángulos iguales, y se ve claramente que

el área resultante es h2 , ya que la figura que nos ha quedado es un cuadrado de lado h . Para el segundo

cuadrado también hemos quitado los cuatro triángulos iguales, no obstante ahora los hemos quitado en una

distribución distinta, y nos ha quedado dos cuadrados uno de lado a y otro de lado b , así que el área de la

figura resultante es a2+b2 . Ahora haciendo uso de la segunda propiedad de las áreas, tenemos que

h2=a2+b2 .



DEMOSTRACIÓN 2

Ahora vamos a realizar una demostración del teorema de Pitágoras haciendo uso de un puzzle de seis

piezas. Así las piezas que vamos a usar son, el triángulo rectángulo, los cuadrados de lado a , b y h , un

paralelogramo de lados el cateto menor a y la hipotenusa h , y por último otro paralelogramo de lados el

cateto mayor b y la hipotenusa. Así las piezas son:

Es fácilmente comprobable que el área de los paralelogramos son a2 para el menor y b2 para el mayor.

Para probar este resultado veamos las dos figuras siguientes:

Se ve claramente como la altura del paralelogramo menor es a , y que la altura del paralelogramo mayor es

b , así pues como el área de un paralelogramo es base por altura, tenemos que estos paralelogramos tienen

áreas a2 y b2 respectivamente.



Ahora vamos a ver con la siguiente figura como el área del cuadrado de lado h coincide con la suma de las

áreas de los paralelogramos.

Como podemos observar es esta figura la colocación estratégica de los dos paralelogramos, hacen visible

que la suma de sus áreas coincide con el área del cuadrado de lado h . Así pues tenemos el resultado del

teorema de Pitágoras, es decir, h2=a2+b2 .

DEMOSTRACIÓN 3

Me gustaría incluir una demostración del teorema de Pitágoras haciendo uso exclusivo de mecanismos

algebraicos. Para ello expondré el teorema del cateto, aunque no lo demostraré.

A

B CH

Teorema del cateto: Sea ABC un triángulo rectángulo sobre su vértice A . Sea H la proyección (ortogonal) del

vértice A sobre el lado BC . Entonces se verifica que:

a) AB2=BH.BC

b) AC2=CH.BC



A partir de este resultado, la demostración del teorema de Pitágoras no es más que un simple cálculo.

AB2+AC2=BC. (BH+CH)= BC.BC=BC 2 .

Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en las Matemáticas.

Como ya comenté en la introducción, las aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en las Matemáticas

son innumerables, sobretodo en el campo de la geometría. Mediante este teorema se pueden calcular áreas

tanto de figuras “regulares” como son los polígonos regulares, hasta áreas de figuras irregulares (siempre

que no sean curvas). Sería imposible la resolución de triángulos rectángulos sin el conocimiento de esta

propiedad. En este apartado me gustaría exponer dos aplicaciones del teorema de Pitágoras en la

geometría, como es la definición de las funciones trigonométricas y el cálculo de áreas de polígonos

regulares.

Ley de Senos

Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver

triángulos generales.

Este es un triángulo ABC el ángulo α se escribe en el vértice de A,

el ángulo β se escribe en el vértice de B y el ángulo γ se escribe

en el vértice de C.

Los lados que están opuestos al los vértices ABC y los escribimos

con una letra minúscula abc.

Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley de cosenos.

La fórmula para la ley de senos es:

cba

sinsinsin no hay diferencia si la tomas así:

sinsinsin

cba pero no las puedes

mezclar.

El primer caso es de dos ángulos y un lado.

A

C B

α

β γ b

c

a



Determina las partes restantes del triángulo si 20 , 130 y b = 6.

Procedimiento: ordena los datos del problema como se te indica a continuación.

1) La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo = 180°

3020130180 Escribe la respuesta en nuestro cuadro.

2) Observamos que tenemos los valores de y b por lo que las colocamos en nuestra fórmula y buscamos

el lado a.

6

20sin130sin

a Despejamos a

a

20sin

6130sin

a 44.13 Colocamos nuestra respuesta en el cuadro

3) Tomamos de nuevo los datos que tenemos seguros del problema que son y b, porque pude haberme

equivocado en la respuesta anterior y tener esta mala también.

6

20sin30sin

c

c

20sin

630sin c 77.8

130° a = 13.44

20° b = 6

30° c = 8.77

B C

A c b = 6

a

130°

20°



Segundo caso: dos lados y un ángulo opuesto alguno de los lados.

En este caso pueden derivarse cuatro casos diferentes:

Supongamos que los lados c, b y el ángulo β se nos especifican, dibujamos el

ángulo β y el lado c para localizar los vértices A y B, luego tomamos la medida de b

con un compás lo cual corresponde al radio y lo trazamos desde el vértice A

formando un arco. Aquí pueden surgir cuatro posibilidades:

NO EXISTE TRIANGULO

SE FORMAN 2 TRIANGULOS

SE FORMA UN SOLO TRIANGULO

SE FORMA UN TRIANGULO RECTANGULO

A

B

c b

β

A

B

c b

β

b

C2 C1

C

A

B

c b

β C

A

B

c

β

b

C



Ley de Cosenos

La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces

los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos

de problemas de triángulos.

La ley del Coseno dice así:

Y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C,

entonces dice así:

Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y , y (minúsculas)

son los ángulos del triángulo:

Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en

el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre

debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.

Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que

buscas, o sea estos:

Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo

que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos.

Resolución de triángulos por la ley del Coseno

Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que

generalmente son tres datos).

*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A

veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver.

En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.

Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos.

A B

C

A B

C



Identidades Trigonométricas

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras más importantes es la definición de las funciones

trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo. Aunque estas también pueden ser definidas a partir

de la circunferencia unidad, es mediante el teorema de Pitágoras cuando estas cogen más sentido y utilidad.

Al verificarse que h2=a2+b2 tenemos que (a ,b) son las coordenadas cartesianas de un punto

perteneciente a una circunferencia centrada en ( 0,0) y de radio h .

a

b

h

Así si tenemos un triángulo rectángulo como el dibujado arriba, se cumple que:

sen()=h

a cos()=h

b tan()=b

a

sen()=h

b cos()=h

a tan()=a

b

No es coincidencia la relación que existen entre las razones trigonométricas del ángulo y del ángulo , ya

que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es 90º, así que y son ángulos

complementarios.

La resolución de triángulos rectángulos se hace muy fácil haciendo uso del teorema de Pitágoras

acompañado de las razones trigonométricas de los ángulos.

ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES

Consideremos un polígono regular de n lados, donde la medida de cada lado es l . Para calcular el área del

polígono podemos hacer uso del siguiente procedimiento:

1. Unimos el centro del polígono con sus distintos vértices, de manera que conseguimos n triángulos

iguales. Estos triángulos son isósceles, ya que la distancia del centro a los vértices son iguales (por

ser el polígono regular).



2. La bisectriz del centro del polígono nos dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos e iguales,

donde uno de los catetos mide 2

l , y la medida de un ángulo que es n

ya que es la mitad del

ángulo que forma el centro.

3. Haciendo uso de la propiedad de Pitágoras y sabiendo que la hipotenusa mide )sen(.2

n

l

,

podemos calcular la medida del lado que nos falta, que denominaremos d .

4. El área del polígono será entonces 2

.. ldn, que realizando todos los cálculos es

2

.2 nl. cotg(

n ) .

Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en otros campos.

Aunque las aplicaciones que voy a exponer a continuación tienen una forma matemática, quisiera

especificar que son aplicaciones prácticas muy útiles en campos tan dispares como la astronomía, la

topografía, etc. El uso del teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo

hacen posible el cálculo aproximado de distancias de objetos en el espacio, la altura de una montaña, etc.

DISTANCIA DE OBJETOS EN EL ESPACIO

Como podemos observar en esta figura podemos calcular la distancia de un

objeto en el espacio, haciendo uso de las propiedades sobre triángulos. Aunque

no se ve muy obvio el uso del teorema de Pitágoras en este problema, hay que

decir que prácticamente en cualquier problema de triángulos que queramos

resolver aparece la propiedad pitagórica.

El cálculo de la distancia se hace a partir de los datos: ángulo que forman los

observatorios con el otro observatorio y con el objeto, y la distancia que hay

entre los dos observatorios. A partir de estos datos, el problema es resoluble

usando las propiedades de triángulos.



ALTURA DE UNA MONTAÑA O CUALQUIER OBJETO

Es muy fácil el cálculo de la altura de una montaña o cualquier objeto a partir de triángulos rectángulos,

aunque desconozcamos la distancia que hay hasta la base de la montaña. Los datos que necesitamos son

dos ángulos que forme el pico de la montaña con el suelo a distintas distancias de la montaña, también

necesitamos la distancia que se ha recorrido entre las dos mediciones de los ángulos.

A partir de los ángulos y y conociendo la distancia d podemos calcular la altura a la que está el objeto.

Recíproco del teorema de Pitágoras.

Al igual que el teorema de Pitágoras es importante, el recíproco de este teorema también es razón de

estudio de muchos matemáticos. Esencialmente el recíproco del teorema de Pitágoras dice que si tenemos

tres segmentos de forma que sus medidas cumplen a2+b2=h2 , entonces el triángulo formado a partir de

esos segmentos es un triángulo rectángulo.

Ha sido muy estudiado por distintas civilizaciones (egipcia, babilónica, hindú, ...) la búsqueda de ternas

pitagóricas, que son ternas de números que verifican la propiedad pitagórica. Así los egipcios conocían la

terna 3, 4, 5, y a partir de ella podían construir triángulos rectángulos de cualquier medida (aunque la razón

entre sus catetos es fija). Tomando por la unidad la medida que veamos oportuna podemos construir un

triángulo rectángulo de lados 3, 4, 5 veces la unidad. Esto también es un problema experimental que se le

puede asignar a alumnos de los primeros cursos de secundaria y así observar el resultado.

También podemos comentar de este recíproco de la propiedad pitagórica, que si construimos una

semicircunferencia y unimos los dos puntos de la semicircunferencia que tocan al diámetro con otro punto

cualquiera de la semicircunferencia, tenemos por resultado un triángulo rectángulo. Este resultado es

fácilmente comprobable a partir de la ecuación a2+b2=h2 que nos indica que (a ,b) es un punto de la

circunferencia de centro (0 ,0) y radio h .

d



Cuadrados mágicos pitagóricos.

Para la construcción de un cuadrado mágico pitagórico, basta con dibujar un triángulo rectángulo junto con

los cuadrados correspondientes a sus catetos e hipotenusa, cuadriculando estos cuadrados en casillas

iguales a la unidad. Dentro de estas cuadriculas colocamos números que se relacionen verificando una cierta

propiedad preestablecida.

Aplicación a las raíces cuadradas.

Una aplicación más de la propiedad pitagórica es al querer trasladar raíces cuadradas sobre la recta real. Si

construimos un cuadrado de lado la unidad, la diagonal medirá 2 que podemos trasladar a la recta real

sin más que usar el compás. Usando otra vez la propiedad pero ahora sobre el rectángulo de ancho 2 y

de altura la unidad, su diagonal medirá 3 . Reiterando el proceso indefinidamente podemos colocar sobre

la recta real cualquier raíz cuadrada. Véase la siguiente figura para mayor comprensión:

2 3 524

Razones trigonométricas. En geometría Euclidiana encontramos que existen, respecto al estudio de los triángulos, tres relaciones significativas.

1. Relación entre los ángulos interiores de un triángulo.

2. Relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

a) La primera, aplicable a cualquier triángulo, expresa: “Para todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es siempre igual a dos ángulos rectos o 180° “.



b) La segunda relación es aplicable sólo a “Triángulos rectángulos”, y se conoce como el Teorema de Pitágoras.

3. Relación entre un ángulo y lados de un triángulo rectángulo.

Esta tercera relación también es aplicable al triángulo rectángulo. Se conoce con el nombre de Razón Trigonométrica.

Dicha relación, que se da entre los ángulos interiores de un triángulo rectángulo y los lados del mismo, es la que permite construir razones trigonométricas.

En la lección correspondiente a semejanza vimos que una razón es el cociente entre dos cantidades.

Si se considera el triángulo rectángulo ABC, las razones que se pueden formar con las longitudes de los

lados del triángulo son las siguientes:

b

a,

c

a,

c

b,

a

b,

a

c,

b

c



Estas razones reciben el nombre de Razones Trigonométricas. Para distinguir cada una de ellas se ha convenido en asignarles un nombre en especial, en donde se toma como referencia a uno de los ángulos agudos. Así se tiene que:

Si se considera el ángulo A

B Razón Razón Trigonométrica Nombre

c

a

hipotenusa

opuestocateto Seno A

C A c

b

hipotenusa

adyacentecateto Coseno A

b

a

adyacentecateto

opuestocateto

Tangente A

a

b

stocatetoopue

adyacentecateto Cotangente A

b

c

adyacentecateto

hipotenusa

Secante A

a

c

opuestocateto

hipotenusa

Cosecante A



A cada una de las razones se le ha designado una abreviatura:

seno A : sen A cotangente A : cot A

coseno A : cos A secante A : sec A

tangente A: tan A cosecante A: csc A

Otros ejemplos:

Sen X = r

x Sen Y =

r

y

X

Cos X = r

y Cos y =

r

x

y r

Tan X = y

x Tan Y =

x

y

R x Y Cot X = x

y Cot Y =

y

x

Sec X = y

r Sec Y =

x

r

Csc X = x

r Csc Y =

y

r



Razones trigonométricas en un ángulo en posición normal.

Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las

“x” y el radio vector que va del punto P al origen del sistema de referencia.

El vértice del ángulo es el punto llamado origen, la hipotenusa del triángulo es la distancia virtual entre el

punto P y el origen del sistema, la cual se llama “Radio vector”. Los catetos del triángulo son las distancias

del punto P a los ejes coordenados, llamadas abscisa (x) y ordenada (y) de P.

Donde:

x

P (x,y) r = Distancia del punto “P” al

origen o Radio Vector de P.

r y = Cateto opuesto al ángulo A

A y u ordenada del punto P.

x = Cateto adyacente al ángulo A

o abscisa del punto P.



Signos de las Razones Trigonométricas.

Determinación de las razones trigonométricas, a partir de un punto en el plano.

Primer cuadrante

En este cuadrante x, y, r son números positivos, entonces las razones trigonométricas del ángulo α son

positivas.

Segundo cuadrante

Si el punto “P” del lado terminal del ángulo “β” y pertenece al segundo cuadrante, entonces:

X es negativa

Y es positiva

r es positiva

Tercer cuadrante

Si el punto P del lado terminal de ángulo Φ y pertenece al tercer cuadrante entonces:

X es negativa

Y es negativa

r es positiva



Funciones Circulares

La circunferencia y el círculo Definición.

Circunferencia: Conjunto de todos los puntos del plano que tiene la misma distancia a otra llenado centro

Círculo: Conjunto de todos los puntos interiores del plano una circunferencia, incluida ésta.

Rectas notables del círculo: Toda circunferencia tiene los siguientes elementos:

Radio: Es cualquier segmento que une a un punto de la circunferencia con su centro.

Cuerda: Es un segmento limitado por dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Un diámetro es igual a la longitud de dos

radios.

Tangente: Es la recta externa a la circunferencia cuya característica es que hace contacto en un y sólo un

punto de la circunferencia.

Secante: Es cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Circulo Circunferencia

D I A M E T R O

RADIO

SECANTE

TANGENTE

CUERDA



Angulo central: ángulo formado

por dos radios.

Semicircunferencia: arco igual

a la mitad de la circunferencia.

Arco: es una porción de la

circunferencia.

Semicírculo: porción del plano comprendida

entre un diámetro y la semicircunferencia

correspondiente.

Trapecio circular: parte del círculo

limitada por dos radios y el arco

correspondiente.

Segmento circular: parte del círculo

limitada entre una cuerda y su arco.



Sector circular: porción del plano limitada por

dos circunferencias concéntricas y dos radios.

Corona circular: porción del plano

limitada por dos circunferencias

concéntricas.

Ángulo interior: esta formado por dos secantes

con vértice en el interior de la circunferencia, así

que:

X = ½ (AB + CD)

X = ½ ( 55°+70°)

X = 62.5°

Angulo central: es que esta formado por

dos radios como se ve en la figura.



Ángulo inscrito: esta formado por dos cuerdas con

vértice en circunferencia, así que:

X = ½ AB

X = ½ ( 48° )

X = 24°

Ángulo semi-incrito-: esta formado por dos

secantes con vértice en el interior de la

circunferencia, así que:

X = ½ (AB )

X = ½ ( 137°)

X = 68.5°

Ángulo externo : esta formado por dos

secantes y su vértice esta fuera de la

circunferencia, así que:

X = ½ ( AB – CD )

X = ½ ( 54° - 20 ° )

X = ½ ( 34° )

X = 17°



Circulo unitario

Se llama círculo unitario o trigonométrico al que tiene su radio igual a la unidad y se utiliza para obtener el

valor en decimales de los ángulos de las funciones trigonométricas por ejemplo:

sen 10° = 0.173648

Este valor se obtiene con la calculadora pero gráficamente también se puede calcular con el siguiente procedimiento.

Los valores seno se obtienen trazando un circulo unitario, después se dibujan rectas perpendiculares al eje

“y “que pesen por el ángulo del cual se desea saber su valor. En la figura de la siguiente página se

obtuvieron los valores:

sen 0° = 0 sen 10° = 0.17 sen 20° = 0.34

sen 30° = 0.5 sen 40° = 0.64 sen 50° = 0.76

sen 60° = 0.86 sen 70° = 0.73 sen 80° = 0.98

sen 90° = 1

Los ángulos se marcaron cada 10°, pero se puede realizar cada 1°. Si analizas los valores anteriores el

resultado esta dado con una exactitud de uno u dos decimales.

Para obtener los valores de coseno se trazan perpendiculares al eje “x”, que pasen por el ángulo del cual se

desea saber su valor.

Para obtener los valores de tangente se trazan paralelas al eje “Y “que crucen el eje “x “en 1 y –1. Después

se trazan proyecciones que parten del origen y pasan por el ángulo del cual se desea saber su valor, asta

cruzar con el eje paralelo a “y “.

De esta manera también se pueden obtener los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes, así como

comprender que los valores se repiten en diferentes ángulos, lo único que cambia es el signo. También por

que los valores de seno y coseno nunca pasan de la unidad y por que la tangente de 90° es ∞.

Para que comprendas mejor calcula el valor de los ángulos de sen 100°, sen 110°..... Sen 360°.



Identidades Trigonométricas Concepto de identidad. Una identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que son válidas para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. También se conoce como identidad a aquella igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo que aparece en la igualdad.

Identidades fundamentales que se abordan en esta unidad son:

Identidades Reciprocas.

Identidades de Cociente.

Identidades Pitagóricas.

Identidades de argumento compuesto: suma y resta de ángulos, ángulo doble y ángulo mitad. Identidades recíprocas Dos números son recíprocos cuando la multiplicación de ellos nos da por resultado la unidad, por ejemplo:

128

28

4

7

7

4

1

30

30

5

6

6

5

De manera general: 1

ab

ab

a

b

b

a

Recordemos que las funciones seno

h

oc. y cosecante

oc

h

.son recíprocas, esto quiere decir que el

producto de ambas es la unidad.



I. 1csc sen , consideremos que 5

3sen y la

3

5csc , sustituyendo en (I),

115

15

35

53

3

5

5

3

De tal forma que las identidades recíprocas son:

I. 1csc sen II. 1seccos III. 1cottan

csc

1sen

sec

1cos

cot

1tan

sen

1csc

cos

1sec

tan

1cot

Identidades de cociente.

Estas identidades de cociente se obtienen al dividir las funciones trigonométricas seno

h

oc. y coseno

h

ac., de la siguiente manera:

tan

.

.

.

..

.

.

cos

ac

oc

ach

hoc

h

ac

h

oc

sen

De manera análoga, al dividir coseno entre seno, el resultado que se obtiene es la cotangente.

cot

.

.

.

..

.

cos

oc

ac

och

hac

h

och

ca

sen



IV.

costan

sen V.

sen

coscot

costansen sencotcos

tancos

sen

cot

cossen

Identidades pitagóricas.

Las identidades pitagóricas son llamadas así debido a que se construyen a partir del teorema de Pitágoras, como se muestra en la siguiente figura: A b c = 1 C B a Observe que en este triángulo la hipotenusa tiene un valor de 1, para construir las identidades pitagóricas se

necesita obtener el senA y el Acos .

senAa

aa

h

ocsenA

1

.

Ab

bb

h

acA

cos

1

.cos



Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene la primera identidad pitagórica fundamental, considerando

que senAa , Ab cos y 1c .

222 cba

Sustituyendo

2221cos AsenA

Se obtiene identidad VI 1cos22 AAsen …………….…VI

AsenA

AsenA

AsenA

AAsen

2

22

2

22

1cos

1cos

cos1

cos1

Para obtener la identidad VII se divide la identidad VI entre Asen2

AsenAsen

A

Asen

Asen22

2

2

2 1cos

Efectuando los cocientes AA 22 csccot1 ……………….VII

Despejando

AA

AA

AA

AA

22

2

22

2

cotcsc1

1csccot

1csccot

cot1csc

Para obtener la identidad VIII se divide la identidad VI entre A2cos

AA

A

A

Asen22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

Efectuando los cocientes AA 22 sec1tan ………………….VIII



Despejando

AA

AA

AA

AA

22

2

22

2

tansec1

1sectan

1sectan

1tansec

Las identidades trigonométricas vistas hasta ahora, normalmente se emplean junto con procedimientos algebraicos para demostrar que dos expresiones son iguales. El método más adecuado para verificar que una igualdad es una identidad, consiste en transformar un miembro de la igualdad en la forma que tiene el otro. No existe un método general para realizar estas transformaciones, pero las siguientes recomendaciones podrán ser útiles para la demostración de identidades.

Generalmente, es preferible elegir el miembro de apariencia más complicado.

Sustituir, de ser necesario, algunas identidades fundamentales.

Si no es posible aplicar las indicaciones anteriores, el miembro más complicado se transforma a senos y cosenos y se simplifica hasta obtener la demostración correspondiente.

Se recomienda, no perder de vista al efectuar las operaciones, los términos a los que se quiere llegar en la demostración.



Vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado. Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado. Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado. Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma: Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: Masa Temperatura Presión Densidad



Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: • Un origen o punto de aplicación: A. • Un extremo: B. • Una dirección: la de la recta que lo contiene. • Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. • Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección. Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k Propiedades Conmutativa: a+b=b+a Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Elemento Neutro: a+0=a Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0 Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad. Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k. También puede representarse de la siguiente forma: Suma y resta de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.



Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante. Suma de Vectores La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente. Procedimiento Gráfico Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo: Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera: Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

Suma de Vectores. Método Analítico

Suma de Componentes

La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.



Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre el eje y la componente vectorial Vy.

Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelógramo.

Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Notar también que Vy = Vsen y Vx = Vcos

Suma de Vectores Unitarios

Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Ahora V puede escribirse

V = Ax i + Ay j



Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector

B = Bx i + By j escribimos

R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By

P a ra s u m a r d os v e c t ore s l ib re s y s e e s c og e n c om o re p re s e n t a n t e s d os v e c t ore s t a le s q u e e l e x t re m o d e u n o c o in c id a c on e l or ig e n d e l o t r o v e c t or .

R e g la d e l p a ra le log ra m o S e t om a n c om o re p re s e n t a n t e s d os v e c t ore s c on e l o r ig e n e n c om ú n , s e t ra z a n re c t a s p a ra le la s a l os v e c t ore s ob t e n ié n d os e u n p a ra le log ra m o c u y a d ia g on a l c o in c id e c on la s u m a d e los v e c t ore s . P a ra s u m a r d os v e c t ore s s e s u m a n s u s re s p e c t iv a s c om p on e n t e s



Propiedades de la suma de vectores

Asociativa

+ ( + ) = ( + ) +

Conmutativa

+ = +

Elemento neutro

+ =

Elemento opuesto

+ (− ) =

R e s t a d e v e c t ore s

P a ra re s t a r d os v e c t or e s l i b re s y s e s u m a c on e l op u e s t o d e . L a s c om p on e n t e s d e l v e c t or re s t a s e ob t ie n e n re s t a n d o la s c om p o n e n t e s d e los v e c t ore s .



C A P I T U L O III

Polinomios, operaciones Básicas de polinomios

(sumas, restas, multiplicaciones y divisiones)

Métodos de simplificación (Métodos Radicales,

método de división simétrica).



Introducción

El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los anticuados babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de suficiente más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra. En el siglo IX, el matemático al-Jwrizm; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar la x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwrizm fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Abel Niels y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.



Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo.

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna también llamada álgebra abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

Polinomios

Un polinomio puede interpretarse como una función numérica: para cada valor de la variable el polinomio es igual a un número. Esta función recibe el nombre de función polinómica.

La representación gráfica de una función polinómica de una variable es una línea en el plano, más o menos

sinuosa según el grado del polinomio: primer grado = recta; segundo grado = parábola; etc...

Una expresión del tipo 3ax en la que todos sus elementos están enlazados por productos se llama monomio.

Varios monomios enlazados con los signos + o – constituyen un polinomio. Estos monomios reciben el

nombre de términos del polinomio. Los polinomios con un solo término son, obviamente, monomios; si

tienen dos se llaman binomios; si sus términos son tres, trinomios. A partir de cuatro, los polinomios se

designan por su número de miembros:

Expresiones polinómicas del tipo a+a+a ó bx2+bx2 pueden simplificarse y escribirse a+a+a=3a, bx2 +bx2 =2bx2

Se llama coeficiente al factor constante de un término. Por ejemplo, en 4m el coeficiente es 4; en a es ,

en pr2, el coeficiente es p.



Una expresión como a equivale a 1 · a y su coeficiente es, por tanto, 1.

Un producto a · a · a · a puede simplificarse a · a · a · a = a4, en la que 4 es el exponente, a es la base y todo el término es la potencia. Como x = x1, el exponente de x es 1.

Un monomio es una expresión algebraica en que figuran sólo operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Se llama grado del monomio a la suma de los exponentes de las diversas variables: a es de primer grado; 0.3 ab de segundo grado; 6 abx2 de cuarto grado. Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios.

El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado Un polinomio se denomina homogéneo en una o varias variables si todos sus términos son del mismo grado en dichas variables

Por ejemplo, 3xy+ 2x2 5y2 es un polinomio homogéneo de segundo grado en x e y.

Se llama grado de un término al exponente de la variable. En el caso de que un término tenga varias variables, tendrá un grado respecto a cada variable y su grado será igual a la suma de grados respecto a las variables. Así 5a3b2 es de tercer grado respecto a la variable a, de segundo respecto a b y es un monomio de quinto grado. El grado de un polinomio es igual al de su término de mayor grado.

Valor de un polinomio es el valor numérico que toma el polinomio al sustituir su variable (o sus variables si son varias) por un número dado.

SUMA

La suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando o restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en vertical y en horizontal o en fila. Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios: P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15 y Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x

En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes:

P(x) = –5x4 + 0x

3 + 7x

2 + 3x – 15

Q(x) = 5x3 + 9x2 – 6x – 7

________________________________

–5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22



En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes:

P(x) + Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) + (5x3 + 9x2 – 6x – 7) =

= –5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22

P(x) – Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) – (5x3 + 9x2 – 6x – 7) =

= –5x4 – 5x3 – 2x2 + 8x – 8

RESTA

Dados los polinomios y , efectuar la sustracción (resta o diferencia) entre y

equivale a sumar a el opuesto de .

Por ejemplo: Si y

Entonces:

por lo tanto:

PRODUCTO

Al multiplicar dos monomios, el resultado es otro monomio.

Por ejemplo: si y , entonces

Si y , entonces

El coeficiente del producto es el producto de los coeficientes de los factores. El grado del monomio producto es la suma de los grados de los factores, si estos no son nulos. Si alguno de los factores es el polinomio nulo, el producto es el polinomio nulo.



Para calcular el producto de dos polinomios, multiplicamos cada término (monomio) de uno de ellos por cada uno de los términos (monomio) del otro.

Si y

, entonces:

=

Por ejemplo, si y entonces resulta



Si queremos utilizar la disposición práctica:

Para deducir el grado del polinomio producto resolvemos los siguientes ejemplos. Consideramos:

y calculamos:

............................................................................. ..............

............................................................................. ...............

.............................................................................. ………..

En estos ejemplos observamos que:

El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

También podemos sacar conclusiones sobre el coeficiente principal del polinomio producto, que es el producto de los coeficientes principales de los polinomios factores.

¿Y el término independiente del polinomio producto? Es igual al producto de los términos independientes de los polinomios factores.

La multiplicación de polinomios verifica la ley de cierre (el producto de dos polinomios es otro polinomio).



DIVISION

Si deseamos determinar los números enteros c y r que satisfacen la ecuación 9 = 4 c + r, podemos efectuar la división entera mediante el correspondiente algoritmo:

9 4

1 2

donde 9 es el dividendo, 4 el divisor, 2 es el cociente y 1 es el resto. Entonces, c = 2 y r = 1 son los únicos números enteros que verifican la igualdad 9 = 4 . 2 + 1, teniendo en cuenta que 0 ≤ r < divisor. Además recordamos que el divisor nunca es cero. Esto que sucede en el conjunto de los números enteros es muy similar a lo que ocurre con los polinomios.

Para hallar los polinomios y que satisfacen la ecuación

podemos realizar la división entera

de polinomios. El polinomio se llama polinomio cociente y el se llama polinomio resto. El

divisor no puede ser el polinomio nulo y el grado del resto debe ser menor que el grado del divisor, o

Veremos el algoritmo de la división para determinar los polinomios y , mostrando además como

ejemplo en cada paso la división de por

1º: Se ordenan según las potencias decrecientes de la indeterminada x, el dividendo y el divisor; completando además el dividendo.

En el ejemplo, ambos polinomios están ordenados, pero hay que completar el dividendo:

2º: Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente.

En el ejemplo:

3º: Multiplicamos el primer término del cociente por todo el divisor.

En el ejemplo:



4º: Se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.

En el ejemplo:

5º: Reiteramos el procedimiento 2º, 3º y 4º hasta obtener el polinomio resto, de grado menor que el divisor.

En el ejemplo:

Y como y , quedan entonces determinados el

polinomio cociente y el polinomio resto que verifican:

Planteamos otro ejemplo. Queremos efectuar siendo y

.



En el ejemplo anterior, restábamos el producto de cada monomio por el divisor. En este ejemplo procederemos de otra manera, sumando el opuesto del polinomio obtenido en cada paso.

2

Luego:

POTENCIAS

Potencia de un número real es el producto de tantos factores iguales como indica el número llamado exponente

Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes:

ax · ay = ax+y

Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes:

(ax)y = ax·y

Para elevar un producto a una potencia se eleva a dicha potencia cada uno de los factores:

(abcd)m = am· bm · cm · dm

Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes:

• si m> n, se obtiene un exponente positivo.

• si m=n, el exponente es cero y el cociente 1, luego a0=1.



Ejemplo:

• si m<n, se obtiene un exponente negativo.

Ejemplo:

Mientras que el producto de dos polinomios es otro polinomio, no ocurre lo propio con el cociente. Hablar de la división de un polinomio por otro sólo tiene sentido cuando ambos están ordenados respecto a la misma letra.

Los términos de un polinomio que son exactamente iguales o que sólo difieren en el coeficiente se llaman términos semejantes. Para sumarlos o restarlos basta sumar o restar los coeficientes:

3a2 +2a2= (3+2) a2 =5a2

Para multiplicar monomios, se hace el producto de los coeficientes por una parte y el producto de las variables por otro:

(8a3 b2 ) x (5ab4 ) = 40 (a3 · a) (b2 b4) = 40 a4b6

Para sumar polinomios se forma otro polinomio con todos los términos de los polinomios sumandos y se reducen los términos semejantes:

(5a2 – 3b+ 8) + (3a2 –2b) = 5a2 – 3b + 8 + + 3a2 – 2b = (5+ 3)a2 + ( – 3 – 2)b+ 8 = = 8a2 – 5b+ 8

Obsérvese que cuando los polinomios sumandos contengan términos semejantes pueden colocarse en columna para facilitar la reducción de esos términos semejantes operando únicamente con los coeficientes.



Explicación:

Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. El polinomio opuesto del sustraendo tiene los mismos términos que éste pero con los signos invertidos:

(5a2 – 3b + 8) – (3a2 – 2b) = (5a2 – 3b + 8) + (– 3a2 + 2b) = 2a2 – b + 8

(2x3 + 3x2y – 3y) – (5x3 – 2x2y – 2y) = (2x3 + 3x2y – 3y) + (– 5x3 + 2x2y+2y)

2x3 + 3x2y – 3y –5x3 + 2x2y + 2y –3x3 + 5x2y – y

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio y se suman:

(8m2 –7mn+3n

2) (–10mn

2 ) = (8m

2) (–10mn

2 )+(– 7mn) (– 10mn

2)+(3n

2) (– 10mn

2 ) = –80m

3n

2 + 70m

2n

3 – 30mn4

Para multiplicar polinomios se multiplica cada uno de los términos de uno de ellos por todos los del otro polinomio y posteriormente se reducen los términos semejantes:

(x+ 5) (x – 3) = (x+ 5)x+ (x + 5) (– 3) = x2 + 5x – 3x – 15 = x2 + 2x – 15

Métodos para factorizar un polinomio

Antes de comenzar debes tener en claro que la factorización lo que se busca es expresar una o varias

cantidades como el producto de dos o más factores, dando la posibilidad de factorizar de diferentes formas

expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorización.

1.- Factor Común

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en

común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

)2(2 2223 xyxxyxyxxyx



Factor Común por agrupación de términos

Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que

tengan un factor común. Ejemplo:

Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar

utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión

debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de

términos. Ejemplo:

Resolviéndolo nos queda:

2.- Casos para Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes

características:

El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.

El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. Y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así:



Trinomio cuadrado de la forma

Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.

Existen dos números que : NxMxcbxx nnnn 2

Trinomio cuadrado de la forma

Debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.

Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

De la siguiente forma:

Luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de

no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:



Y se opera, dando como resultado:

Y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.

Diferencia de cuadrados:

Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los

términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se

factoriza así:

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: (Completar cuadrados)

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda

aplicar trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo:

Resolviéndolo nos queda:

Aplicamos diferencia de cuadrados:



Cubo perfecto de Binomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

Y

Es decir que debe cumplir con las siguientes características:

Debe tener cuatro términos.

Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos

Que el segundo término sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

Que el tercer término sea más que el triple de la raíz cúbica del último.

Raíz cúbica de un monomio: Esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el

exponente de cada letra entre 3. Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio:

Suma o Diferencia de Cubos perfectos

Para esto debemos recordar que:

Y

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.



C A P I T U L O IV

Método de los cuatro pasos, aplicación

de las formulas de la derivada, métodos,

aplicaciones básicas.

Método de los cuatro pasos, aplicación

de las formulas de la derivada, métodos,

aplicaciones básicas.



Introducción Si tuviésemos que definir a la derivada de una función en pocas palabras, diríamos que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una función nos dice, de alguna manera, cuanto cambia la función (variable dependiente) a medida que cambia la variable independiente. La derivada de una función nos dirá si una función crece o decrece rápidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una función, mejor comenzaremos describiendo el significado geométrico que tiene, para luego definirla más correctamente.

D E R I V A D A S

Consideremos una función lineal como f(x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la recta descrita por esta función es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de esta función es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta función es constante para todo x y vale m. Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la función cuadrática f(x) = x2. Cuál es la tasa de crecimiento de esta función. Al graficar esta función(una parábola) nos damos cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta función crece y crece cada vez más rápido. ¿Cómo poder medir más cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los siguientes dos puntos de la parábola:

P1(1; f(1)) = P1(1; 1)

P2(2; f(2)) = P2(2; 4)

Se tiene una función F(X) representada por la curva que aparece en la fig.1 La recta l interseca a la grafica de

la función y=f(x) en los puntos P y Q, de la figura se observa tan α= …… (V.1)

Q

p

A b



Pero ∆y=f (b)-f(a) y ∆x=b-a; entonces tan α= ………………. (V.2)

Ahora para determinar la pendiente de la tangente a la grafica de f en P:

Se considera la familia de rectas secantes al hacer que Q tienda a P, es decir, haciendo que “b” tienda a “a”

y

Q

p

a b X

Y la recta tangente a la grafica en el punto (a, f(a)) es el límite de las secantes o de la recta que pasa por (a,

f(a))=P y que tiene por pendiente:

Y esto lo podemos detonar como:

La pendiente de la tangente a la grafica de F en P

f´(a)=m= ………….. (.3)

Si este límite existe en (3) la función f es derivable en el punto a y se le conoce como: la derivada de f en el

punto a

Nota: si en la fig.1 b≠a entonces existe un real h≠0 tal que b≠a+h por tanto el cociente (0) se puede escribir:

Tanα= ………….. (Cociente de newton)

Y entonces (3) será equivalente a:

…………. (3)



Que es la pendiente de la recta tangente:

Geométricamente se ve así:

y

Q

p

a a+h x

2. Definición de la derivada

La derivada de f(x), respecto a x, denotada por f´(x) está dada por

f´(x)=

Si no existe el limite se dice que no es derivable en x donde x un punto de dominio

Una función es derivable en un intervalo ( a , b ) si existe la derivada en todos sus puntos del intervalo

La notaciones mas comunes de la derivada

También hay quienes usan la notación

También tenemos la siguiente formula equivalente si ∆x=h

f´(x)=

3.- Calculo de derivadas utilizado la definición

Ejemplo1

Hallar la derivada de la función f(x)=



Solución.

f´(x)=

f´(x)=

Formulas Derivadas

La operación de encontrar la derivada de una función es llamada diferenciación.

Derivada de una Función Constante

Teorema: si “c” es una constante y si para todos los valores de X, entonces

Ejemplo

Si tambien se puede escribir: si y=2 entonces y´=0 ó

Derivada de una función potencia

Teorema: si n es un numero positivo y si , entonces también se puede denotar Dx ( )=

n , o ( )´= . Elija la notación que le acomode.

Ejemplo

1. Si ,

2. Si ,

3. Si , =10 = 10. O si y = 10x,

Entonces = 10 = 10

Derivada del producto de una constante por una función.

Teorema: Si es una función, c una constante y g una función definida por g(x)=c (x), entonces si =(x) existe:

g´(x)= c (x)

Ejemplo

1. Si , entonces

2. Si y y´=

3. Si y , y´=2



Suma o Resta de Derivadas

Teorema: Si y g son funciones derivables o diferenciales y F(x)= Si - g(x),

Entonces su dominio común de diferenciabilidad tenemos:

F´(x) Si (x) ± g´(x)

Ejemplo

Si h(x)= + 2x+ 2, calcular h´(x).

Solución h´(x) + + + 2x+2

Derivada de un producto

Teorema si y son funcione y F(x) es:

Entonces

O sea que la derivada de un producto de funciones derivables, es la primera función por la derivada de la segunda más la

segunda función por la derivada de la primera.

Ejemplo

Si obtener

Solución

Derivada de un cociente

Teorema si y son funciones derivables y g(x) , entonces:



De donde la derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la

derivada del denominador sobre el denominador al cuadrado

Ejemplo

Derivar

Solución

Teorema si donde n es el numero entero positivo, entonces para x 0 eso

quiera decir que la derivada potencia es válida tanto para enteros positivos como negativos

Ejemplo

Si

Solución

Regla de la cadena para funciones compuestas

Teorema si n es un entero y es una función diferenciable, entonces:

Ejemplo

Si , obtener

Solución

en donde



Función compuesta. Regla de la cadena

Si es función de y es función de , entonces es función de una función o función composición.

La función de con respecto de es el producto de la derivada de con respecto de por la derivada de

con respecto a .

Teorema: regla de la cadena. Si es función derivable y función derivable de ,

entonces es función derivable de .

Teorema: por la regla de la cadena si es función derivable y funcion derivable de ,

entonces es función variable de .

O que es el mismo.

Ejemplo

Encontrar

Solución

Donde y

Por regla de la cadena

Ya que y

Y

Entonces.



Derivada de una función con potencia, r número racional

Ahora si

Donde r es el reciproco de los enteros positivos y negativos.

En forma general, aplicando la regla de la cadena y considerando a r cualquier número racional:

Ejemplo

Si encontrar

Solución

Derivada de la función logaritmo

Si y=ln x entonces

Sea una función diferencial con respecto a entonces por regla de la cadena.

Ejemplo 31

Obtener su derivada

Solución.

Aplicando la regla de la cadena ya que:

y



Nota: observe

Derivación o diferenciación logarítmica

Si a=b y considerando a>0, b>0, entonces podemos hacer ln a=ln b y utilizar este echo en derivada de

expresiones largas.

Ejemplo

Si obtener y´

Solución

Tomando logaritmos a ambos lados y usando las propiedades de los logaritmos del cociente y producto

tenemos:

Derivando ambos lados:

Nota: también se puede obtener la derivada en forma directa sin utilizar derivación logarítmica

Derivada de una función cuya potencia es otra función

La derivación logarítmica es una herramienta para encontrar la derivada de:



Ejemplo

Derivar

Solución

Tomando logaritmos a ambos lados

Ln(y)=ln

Ln(y)=xlnx, derivando

Derivada de

Teorema. La función es derivable y

Ahora si es derivable, por la regla de la cadena, se tiene:

Derivada

Definición. Si a es un numero positivo y es cualquier número real entonces …………(1)

De (1) se puede mostrar que la función satisface las siguientes propiedades para el caso en que



La derivada de ax se obtiene de (1), aplicando la Regla de la Cadena

En forma general, si es derivable

Ejemplo

obtener

Solución



Integrales

ANTIDIFERENCIACION

Como se ha visto anteriormente, a partir de una función es posible obtener la derivada de esta función. En

esta sección se tratara de problema inverso: a partir de la derivada se buscara obtener la función que le dio

origen. Al proceso inverso de la diferenciación se le conoce como antidiferenciacion.

A continuación se define este concepto:

Definición. Se dice que una función es una antiderivada o primitiva de una función si se cumple

que para todos los valore de definidos en un intervalo cerrado .

Por otro lado, es posible demostrar, en términos generales, que la antiderivada o primitiva de una función es

única. Esto es, si es una antiderivada o primitiva de en un intervalo , y si es una

función definida por:

Donde es una constante arbitraria, se tiene que:

Por lo tanto, se concluye que también es una antiderivada o primitiva de para los valores de

definidos en

A partir de lo anterior, se tiene la siguiente:

Definición. Si es una auntoderivada o primitiva de esto es, si se puede escribir

esta igualdad como:

A la operación de la antiderivada de una función se le denota por el símbolo “ .

Con base a lo anterior, se obtiene la siguiente:

Definición. A la antiderivada de una función se representa como:

Donde



A esta presentación se le llama Integral Definida de , donde es una constante arbitraria. A

se le llama integrando y es la variable de integración.

A partir de las formulas de diferenciación, se obtienen las llamadas formulas de antiderivacion. Estas

formulas son mas conocidas como Integrales Indefinidas inmediatas

INTEGRACION INMEDIATA

Formulas elementales de la integración

I.

II.

III.

IV.

Existen dos formas de resolver esta integral:

a) Una es desarrollando el binomio al cuadrado:

b) La otra es aplicando la formula:

V. , n

Haciendo:



12.

Haciendo:

Completando la integral, tenemos:

13.

Haciendo:

Complementando la integral, tenemos:

14.

Haciendo:



15.

Haciendo:

Completando la integral, tenemos:

Haciendo:

)= - +c

= -

Haciendo:

u=x du=dx

I=ln

Haciendo:

u=2x-3

du=2dx



Complementando la integral, tenemos:

I=

Haciendo:

u=4-4

du=-8xdx

Complementando la integral, tenemos

I= -

En la segunda integral:

u=4x-5

du=4dx

I=x-ln

VII. donde

21.- =I

a=5 u=4x

du=4dx

I=

VII: +c

Si u=x

du=dx



I= +c

Si u=-3x

du=-dx

24.-

Si u=-3x

du=-3dx

I =

Haciendo:

u=

du=- dx=-

I=

Haciendo:

u= +3

du=

I=

27.

Multiplicando y dividiendo por :

I=



Haciendo:

u=1+

du=-

=-

IX.-

x.-

XI.-

XII.-

XIII.-

XIV.-

XV.-

XVI.-

XVII.-

XVIII.-

Haciendo:

U=5x

du= 5dx



Haciendo: U=8x

du=8dx

Haciendo:

U =senx du=cosx dx

Haciendo:

U=

du=6xdx

Haciendo:

U= du=

I=

Haciendo:

U=

du=



.

Haciendo:

Haciendo



Sacando un denominador común

Haciendo

Haciendo:

Haciendo:



Haciendo:

XX.

XXI.

XXII.

XXIII.

XXIV.

XXV.

XXVI.

XXVII.

XXVIII.

Haciendo:



Haciendo:

.a2=9 u

2=x

2

.a2 u=2

.du=dx

I=

= I

Haciendo:

.u2= x2 a2= 16

.u = x a= x

.du=dx

Haciendo:

.u2 = x4 a2=9

.u= x2 a=3

.du= dx

Completando la intregal:

46.



Haciendo:

.u2=(x4)2 a2= 16

.u= x4 a = 2

.du = 4x3 dx

Completando la integral:

I=

Haciendo:

.u2=(x8)2 a2=16

.u=x8 a= 4

.du= 8x7 dx

Completando la integral:

=

= +c

48.

Haciendo



Como la integral:

Aplicando la fórmula , tenemos:

Aplicando la fórmula , tenemos:



TABLA DE DERIVADAS

FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADA

FUNCIÓN FUNCIÓN DERIVADA

Y = k Y' = 0 Y = x Y' = 1

Y = u + v + w Y' = u' + v' + w' Y = u·v Y' = u·v' + u'·v

u Y = ——

v

v·u' – v'·u Y' = ——————

v2

Y = Logb u

u' Y' = ——· Logb e (*)

u

Y = un Y' = u'·n·un–1 Y = Ln u

u' Y' = ——

u

Y = ku Y' = u'·ku·Ln k (*) Y = eu Y' = u'·eu

Y = sen u Y' = u'·cos u Y = cosec u Y' = –u'·cosec u·cotg u

Y = cos u Y' = –u'·sen u Y = sec u Y' = u'·sec u·tg u

Y = tg u Y' = u'·(1 + tg2 u)

(**) Y= cotg u Y' = –u'·cosec

2 u

Y = arsen u

u' Y' = ——————

————

√ 1 – u2

Y = arcosec u

–u' Y' = ————————

————

|u|·√ u2 – 1

Y = arcos u

– u' Y' = ——————

————

√ 1 – u2

Y = arsec u

u' Y' = ————————

————

|u|·√ u2 – 1

Y = artg u

u' Y' = ————

1 + u2

Y = arcotg u

–u' Y' = ————

1 + u2

Y = uv Y' = v'·uv·Ln u+v·uv–1·u'

Y = f(x) => LnY = Ln f(x) => (Y'/Y) = (Ln f(x))' => Y' = Y·(Ln f(x))'

(*) Ln k = 1/(Logk e) ;

(**) = u'/(cos

2 u) = u'·sec

2 u

u,v,w son funciones de x ; u' es la derivada de u respecto de x ; k es una cte ; Ln es Log base e ; n y b son números racionales ; |u| es valor absoluto de u.



TABLA DE INTEGRALES

FUNCIÓN FUNCIÓN INTEGRAL

FUNCIÓN FUNCIÓN INTEGRAL

∫ k du = k ò du k · u ∫ k u(x) dx k ∫ u(x) dx

∫ (u ± v ± w) du ∫ u dx ± ∫ v dx ± ∫ w dx ∫ un du

un+1

———

n+1

∫ u dv u · v – ∫ v · du (intg por partes)

∫ f (kx) dx

1

—· ∫ f(u) du

k

du

∫ ——

u

Ln |u| ∫ eu du e

u

∫ ku du

ku

——— ; k > 0 ; k ¹ 1

Ln k

—

∫ √ u du

u3/2

2·u3/2

——— = ———

3/2 3

∫ sen u du –cos u ∫ cos u du sen u du

∫ tg u du Ln sec u = – Ln cos u ∫ cotg u du Ln sen u

∫ sec2 u du tg u ∫ cosec

2 u du – cotg u

∫ sec u · tg u du sec u ∫ cosec u · cotg u du –cosec u

∫ sec u du Ln (sec u+tg u)=Ln tg (u/2) ∫ cosec u du Ln tg (u/2)

∫ sen2 u du (½) u – (¼) sen (2u) ∫ cos

2 u du (½) u + (¼) sen (2u)

∫ tg2 u du –u + tg u ∫ sec

2 u du tg u

sen u

∫ ————· du

cos2 u

sec u

cos u

∫ ————· du

sen2 u

–cosec u

du

∫ ——————

√ 1 – u2

arsen u = –arcos u

du

∫ ————

1 + u2

artg u = –arcotg u



du

∫ —————

u2 + k

2

1

—· artg u

k

du

∫ ————

u2 – k

2

1 u – k

——· Ln ————

2k u + k

du

∫ —————

k2 – u

2

1 k + u

——· Ln ————

2k k – u

du

∫ —————

————

√ k2 + u

2

—————

Ln (u + √ k2 + u

2 )

du

∫ ——————

—————

√ k2 – u

2

u

arsen —

k

du

∫ ——————

————

u √ u2 – k

2

1 u

– —· arcosec ——

k k

∫ ∫

∫ ∫

(***) En todas las integrales hay que sumar la cte de integración ; k є R ; n є Q ; u, v, w funciones de x

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