curso física estado sólido
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FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOEN POWER POINT
2015
ARTURO TALLEDO
FACULTAD DE CIENCIAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CRISTALOGRAFÍA
Primer capítulo de cursoFÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FC UNI
Agosto 2013_2Lima, Perú
ARTURO TALLEDODoctor en Física
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Introducción• Sólidos cristalinos (ordenados) y sólidos
amorfos (desordenados)• Lo que actualmente se conoce como FES es
básicamente la física de los cristales o sólidoscristalinos. La Física de sólidos amorfos seexplica en base a los conceptos de la Física de
cristales.• Los cristales son una disposición periódica de
átomos en el espacio real tridimensional(longitudes).
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CRISTAL = RED + BASE
Un sólido cristalino se puede describirdefiniendo un conjunto ordenado de
puntos y asignando a cada punto un
conjunto de (1,2, 3...n) átomos en posiciones bien definidas
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Definición de red cristalina
ntesindependieelinealment vectores sondonde 321 ,, aaa
1 1 2 2 3 3 1 2 3/ ; , , ED P P n n n n n n a a a
Conjunto de puntos descrito por tres vectores linealmenteindependientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3
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Vectores Primitivos y celdas primitivas
• Se dice que una terna de vectores L.I es una
terna de vectores primitivos si junto con elconjunto Z define dicha red cristalina.
• El paralepípedo definido por la terna primitiva se llama celda primitiva
• La terna primitiva no es única• Todas las celdas primitivas tienen el mismovolumen
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Red cristalina y vectores primitivos
a2a1
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La terna (dupla) primitiva no es única
a2a1
b1 b2 c1
c2
d1
d2
u1
u2
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Diferentes celdas primitivas de una red. Todastienen igual área (volumen)
a2a1
b1b2
c1
c2
d1
d2
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CLASIFICACIÓN DE LAS REDESCRISTALINAS
• Se clasifican por sus propiedades desimetría
• Hay 5 tipos de redes bidimensionales
• Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)
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CELDA UNITARIA
• Cada tipo de red cristalina se identifica con
una celda convencional o celda unitaria, nonecesariamente celda primitiva.
• Los tres vectores l.i. que definen la celda
unitaria se llaman ejes cristalinos ovectores convencionales.
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Redes Bidimensionales
• Oblicua
• Rectangular
• Rectangular centrada
• Cuadrada
• Hexagonal
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Redes de Bravais 3D (1)
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Redes de Bravais 3D (2)
Cúbico
Hexagonal
Trigonal
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Redes de Bravais 3D (3)
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Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red sc
a
b
c
Ejes cristalinos
a = a ib = a jc = a k
Vectores Primitivos
a1 = a
a2 = b
a3 = c
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Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red bcc
• Ejes cristalinos• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1 = 1/2 a (i + j - k )• a2 = 1/2 a (- i + j + k )• a3 = 1/2 a (i - j + k )
ab
c
a1
a2
a3
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Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red bcc
• Ejes cristalinos• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1
= a’ = 1/2 a (i + j - k )• a2 = b’ = 1/2 a (- i + j + k )• a3 = c’ = 1/2 a (i - j + k )
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Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red fcc
• Ejes cristalinos • a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos • a1 = 1/2 a (i + j)• a2 = 1/2 a ( j + k )• a3 = 1/2 a ( k + i)
b
c
aa1
a3
a2
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Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red fcc
• Ejes cristalinos • a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos • a1 = a’ = 1/2 a (i + j)• a2 = b’ = 1/2 a ( j + k )• a3 = c’ = 1/2 a ( k + i)
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Ejercicio
• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red bcc es la mitad delvolumen de la correspondiente celdaunitaria
• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red fcc es un cuarto delvolumen de la correspondiente celdaunitaria
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El volumen de una celda primitiva es la cuarta parte de una celda unitaria fcc
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El volumen de una celda primitiva es la mitadde una celda unitaria bcc
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PLANOS CRISTALINOSUn plano cristalino puede ser definido por:
• Tres puntos no colineales de una redcristalina
• los vectores que van de uno de los puntos alos otros dos.
• la normal al plano• En FES se usa una convención especial paradesignar a los planos: Los índices de Miller
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Índices de Miller
• Desde cualquier punto de lared no contenido en el planose trazan los ejes cristalinos.
• Se observan lasintersecciones del plano conlos ejes cristalinos.
• Se invierten los coeficientes• Se multiplican por el entero
que los convierte en la ternade enteros más pequeña, (hkl) , en esa proporción
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Índices de Miller
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El entero por el que hay que multiplicar a los interceptosinvertidos para obtener los índices de Miller es 1 si se
toma origen en el plano paralelo vecino inmediato
X
y
x
y
a
2 bO
O'
(1/2) a
b
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Algunos planos cristalinos de redescúbicas
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Familias de planos paralelos
• Dado un plano cristalino (hkl) por cualquier puntode la red se puede trazar un plano paralelo.• Un cristal puede considerarse como la
superposición de una familia de planos paralelos(cualquier punto de un cristal está contenido en
una familia de planos)• Planos equivalentes por operaciones de simetría
{hkl}
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Algunos planos en redes cúbicas
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ALGUNOS ÍNDICES DE MILLERVÁLIDOS
• Cúbico simple • (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130)• BCC • (110), (200), (121),• (h+k+l) = entero par• FCC• (111), (200), (220)• (hkl) todos pares o todos impares
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Distancia interplanar en redesortorrómbicas
xa
d
cos
x
y
z
d
plano (hkl)
a
d h cos
yb
d cos
zc
d cos
2221
c
l
b
k
a
hd
cúbicasredes para,222 l k h
ad
b
d k cos
c
d l cos
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Estructuras cristalinas(sc monoatómica)
• Cristal = Red + base
• Red: cúbico simple• base: un átomo
• en origen (cualquier punto de red)• Polonio
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Estructuras cristalinas(bcc monoatómica)
• Cristal = Red + base• Red: bcc• base: un átomo• en origen (cualquier
punto de red)• Li, Na, K, Rb, Cs, Ba,
Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu
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Estructuras cristalinas(fcc monoatómica)
• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: un átomo• en origen (cualquier
punto de red)
• Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag,Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar,Kr, Xe, Pb
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Estructuras cristalinas (CsCl)
• Cristal = Red + base• Red: cúbico simple• base: dos átomos• Cs en origen (cualquier
punto de red)
• Cl en (1/2, 1/2, 1/2)a• TlBr, TlI, CuPd,
CuZn (bronce beta),AgMg, LiHg, AlNi, BeCu
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Estructuras cristalinas (CsCl)
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Perovskita
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Estructuras Cristalinas (NaCl)
• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Cl en origen (cualquier
punto de red)
• Na en (1/2, 0, 0)a• LiH, NaCl, KCl, PbS,
AgBr, MgO, MnO, KBr.
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Estructuras Cristalinas (NaCl)
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Estructuras Cristalinas (NaCl)
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• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• C en origen (cualquier
punto de red)
• C en (1/4, 1/4, 1/4)a• C, Si, Ge, estaño gris.
Estructuras cristalinas (diamante)
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Estructuras cristalinas (diamante)
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Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)
• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Zn en origen (cualquier
punto de red)
• S en (1/4, 1/4, 1/4)a• ZnS, ZnSe, CuF, CuCl,
AgI.
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Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)
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Estructuras cristalinas (hexagonalcompacta)
• Cristal = Red + base• Red: Hexagonal
simple• base: dos átomos• Uno en origen (cualquier
punto de red)• otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) c
• He, Be, Mg, Tl, Zn, Cd,Co,Y.
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DISTANCIA ENTRE VECINOS MÁS CERCANOS
SC 6 a
BCC 8 2/3 a
FCC 12 2/2 a
HCP 12 ¿?
DIAMANTE 4 4/3 a
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Factor de empaquetamiento de unaestructura fcc monoatómica
aR
Ra 42
3
3
)3
4(4
a
R
6
2
74,0
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Encontrar la relación c/a en unaestructura hcp ideal
ac38
h
a
c/2
a
43
222 ca
a
2
3
3
2ah
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CELDA WIGNER SEITZ
Desde cualquier punto de la
redSe trazan segmentos a los puntos vecinos máscercanos, segundos máscercanos, y así...Se bisecan dichos
segmentos con planos perpendiculares.La celda WS es el sólidomás pequeño formado porlas intersecciones de los planos.
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Construcción de una celda WS
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Una red cristalina como unasuperposición de celdas WS
(Hay una celda WS por punto de red)
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Celda Wigner Seitz
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Celda Wigner-Seitz de una red cuadrada
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Celda Wigner-Seitz de una red cúbicacuerpo centrado (octaedro truncado)
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Celda Wigner-Seitz de una red cúbicacara centrada (dodecaedro regular)
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Imperfecciones de un cristal
• Efectos de superficie• Impurezas• Vacancias• fracturas
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OPERACIONES DE SIMETRÍA DEREDES CRISTALINAS
• Operaciones de simetría de un objeto son aquellas que lodejan invariante.• Cualquier rotación respecto a un eje que pasa por su centro
es una operación de simetría de una esfera.• Una operación de simetría de una red cristalina es
cualquier traslación de una red cristalina por un vector:
• Otras operaciones de simetría son la inversión, reflexionesy rotaciones ; n = 1, 2, 3, 4, 6.
332211 aaaT nnn
n/2
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TEORÍA DE GRUPOS
• Grupo es un conjunto con una operación( producto) que :
• es cerrado• es asociativo
• hay un elemento identidad• hay un elemento inverso para cada elemento• conmutativo = abeliano
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Operaciones de simetría de untriángulo equilátero
• E, identidad• A, B, C, rotaciones de 180respecto a los ejes A, B y C,respectivamente
• D, rotación de 120 en sentidohorario respecto a eje perpendicular por el centro del
triángulo• F, rotación de 120 en sentidoantihorario respecto a eje perpendicular por el cenro deltriángulo A
BC
1
2 3
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Tabla de multiplicación del triánguloequilátero
E A B C D F
E E A B C D F
A A E F D C B
B B D E F A C
C C F D E B A
D D B C A F E
F F C A B E D
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Operaciones de simetría de un tetraedroregular ( T )
• Identidad
• C2x, C2y, C2z
• 8 rotaciones de 120(C3) alrededor de lasdiagonales de un cubo.
a
b
c
d
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Algunos grupos de simetría
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REDES CRISTALINAS Y GRUPOS DE SIMETRÍA
Sistema Celda unitaria Grupos Número deoperaciones de
simetríaTriclínico
cba C1 ,S2 (Ci)
12
Monoclínico
2/
cba C1h
C2
C2h
224
Ortorrómbico
2/
cba C2v
D2 (V)D2h ( Vh)
4
48Tetragonal
2
cba C4
S4
C4h
D2d
C4v
D4
D4h
44888816
Romboedral
23
2
cba C3
S6
C3v
D3
D3d
3666
12Hexagonal
3
2,
2
cba C3h
C6
C6h
D3h
C6v
D6
D6h
661212121224
Cúbico
2
cba TTh
Td
OOh
1224242448
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Redes imposibles(Simetría de orden5 )
Un eje de simetría de orden 5 es incompatible con el concepto
e red. Considere que T es el vector detraslación de longitud más pequeño
T
T´
T´´
Nótese que T`+ T`` es demenor longitud que T
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Redes imposibles(Simetría de orden 7 o mayor)
Un eje de simetría de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, esncompatible con el concepto de red.
T
T´
Supongamos que T es el vector de traslaciónMás pequeño.
7nsi,T/n)(SenT 2` TT
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Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
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Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
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Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
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Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
altura c/2
altura c y 0
12 atomos por celda unitaria o celda primitiva
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esfera negra altura c/2esfera roja altura 0 y c 4 átomos por celda unitaria
A1 : (0,0,0)
A2: 1/3 a +1/3 bA3: 2/3 a +2/3 b +1/2 cA4: (0,0,c/2)
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RED RECÍPROCA
Segundo capítulo de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FC UNI
SETIEMBRE 2013
Lima PerúARTURO TALLEDO
Doctor en Física
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RED RECÍPROCA
DEFINICIÓN
La red recíproca de la red cristalina definida por a1, a2, a3 es el conjunto de puntos en
el espacio recíproco (L-1 L-1 L-1)
Zh,h,h ;hhh/RR 321332211 AAAgg
donde a su vez los vectores A1, A2 y A3 se definen como:
3a2a1a3a2a
2 1 .
A
3a2a1a 1a3a 2 2 . A
3a2a1a2a1a
2 3 .
A
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RED RECÍPROCA
PROPIEDAD 1
El volumen ( ) de una celda primitiva de una redrecíproca está dado por
V
38
donde V es el volumen de la celda primitiva de la reddirecta.
Efectivamente:
)21()13()32(3V
3π8Λ aaaaaa
3)21(11)21(3)32(3
V
3π8Λ aaaaaaaaaa
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RED RECÍPROCA
PROPIEDAD 2
El producto escalar de un vector R de la red directa
por un vector g de la red recíproca es un múltiplo
entero de 2 .
Efectivamente:
)h h (h n n n 332211332211 AAAaaagR
)nh n h n(h 2 332211 gR
Observar que :
ijπ2 ji aA
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RED RECÍPROCA DE UNA RED
CÚBICO SIMPLE
iaa a1
jba a2
ik j
A a
2
3a
aa 2 1
j
ik
A a
2
3a
aa
2 2
k ji
A a
2
3a
aa 2 3
k ca a3
j
k
a
a
a
i
j
k
a
2
a
2
a
2
iA a 2
jB
a 2
k Ca 2
La red recíprocade una directa sc
es una sc
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RED RECÍPROCA DE UNA RED FCC
baa 21 1
cba 21
2
aca 21
3
i
k
a1
a2a3
a
a4
iA
a
2
jB
a
2
k C
a
2
k jiA -a 2
1
CBAA - 1
4
a
2
a )(
2
a
2 31
ik k j
A
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RED REC PROCA DE UNA RED FCC
baa
2
1 1
cba 2
1 2
aca 2
1 3
CBAA - 1
CBAA 2
CBAA 3
i
j
k
a1
a2a3
A1
A2
A3
a
a
4
a4
iA a 2
jB a 2
k C
a 2
La red recíprocade una directa fcces una bcc
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RED REC PROCA DE UNA RED BCC
cbaa
2
1 1
cbaa 2
1 2
c b-2
1 3 aa
a1
a2
a3
a4
iA a 2
jB a 2
k Ca 2
BAA 1
2
a
2
a
2
a
2 31
k jik jiA
a
2 1 jiA
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RED REC PROCA DE UNA RED BCC
cbaa 2
1 1
cbaa 21 2
c b-2
1 3 aa
1 BAA
CBA 2
A 3 CA
i
a1
a2
a3
a 4
iA a 2
jB
a 2
k Ca 2
a 4
La red recíprocade una directa bcc
es una fcc
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ALGUNOS VECTORES EN REDRECÍPROCA DE UNA RED DIRECTA
BCC
(1,0,1) 1 CAg
(2,0,0) 2 2 Ag
(0,2,2) 2 2 3 CBg
(2,2,2) 2 22 4 CBAg
(1,3,0) 3 5 BAg
(2,4,2) 2 4 2 6
CBAg
i
k
g2
g3
g1
g4
g5
g6
a 4
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ALGUNOS VECTORES EN REDRECÍPROCA DE UNA RED DIRECTA
FCC
a
π4
(1,1,1) 1 CBAg
(2,0,0) 2 2 Ag
(2,2,0) 2 2 3 BAg
(2,2,2) 2 22 4 CBAg
(2,4,2) 24 2 5 CBAg
(2,4,0) 4 2 6 BAg
g1
g2
g3
g4
g5
g6i
j
k
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RED RECÍPROCA DE UNA REDRECTANGULAR
iaa a1
jba b2
k ca c3
ik j
Aa
2
c ba
c b 2 1
jik A b
2
c ba
ac 2 2
iAa
2
jB b
2
a
b
ia
π2
b
π2
A =
B =
a2
ia
π2
j b
π2
A =
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Red recíproca de una red rectangular centrada
iaa a1
jia b2
1 a2
1 2
k ca c3
ji
k ji
Ab
2
a
2
2
abc
c 2
b
2
a
2 1
jik
A b
4
2
abc
ac 2 2
a1 = a
b
a2
2
b
B j
2
a
A i
2
4
b
A j
1 A
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PROPIEDAD 3 (parte 1)
• La familia de planos paralelos {hkl} en la
red directa es perpendicular al vector de lared recíproca CBAg l k h
3121111 pn m aaaR
3222122 pn m aaaR
3323133 pn m aaaR
1312 R R R R N
cte)hh (h 332211 AAAN
121313121 p pnn p pnnh
…
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PROPIEDAD 3 (parte 2)• La ecuación del plano perpendicular a g
0 )-( 1 gR R
g es vector más pequeño en esa dirección, o sea, vector primitivo dered recíproca
constante 2 N gR
Interceptos con ejes cristalinos: cba r ,q , p
g en términos de ejes cristalinos recíprocos CBAg l kh
, , N N N
h k l p q r
ph N 22 . p ga
Los índices de Miller del plano R . g = 2 N son (hkl)
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CONCLUSIÓN: Los índices de Miller (hkl) definen unafamilia de planos paralelos entre sí y perpendiculares todosellos al vector de la red recíproca:
CBAg k h l
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DISTANCIAS INTERPLANARES (1)
• Plano perpendicular a g que
pasa por el origen (Π0 ):
• Plano paralelo más cercano (Π1):
2a
0 gR
2 gR
porque dos vectores primitivos del plano Π0 y un vector R = a1 que va de origen a Π1 forman una terna primitiva
1Ag )2 ( aA 11
1aR 3a
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DISTANCIA ENTRE PLANOSPARALELOS EN LA RED DIRECTA (2)
d gR g
2 d
g
d
g
R1
Π0 Π1
(Observe que R es vector primitivo de red directay g es vector primitivo de red recíproca)
Ver animación 3D
1 aR
1 g A
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RED RECÍPROCA Y SERIES DEFOURIER (1)
• Propiedades físicas de un cristaltales como densidad de cargaelectrónica o potencialelectrostático debido a los ionesen los puntos de la red sonfunciones periódicas, con periodicidad de la red, es decir,son representadas por funcionesque satisfacen
)(f )(f rR r
r R
r + R
donde R es un vector de la red cristalina
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CASO UNIDIMENSIONAL
• Si f (x + na) = f (x) ,entonces:a
x
x + n a
xe n)a
2π
(i
nncf(x)
dxe(x)f a1
c2/a
2/a-
n x)a
2π(i-
n
xa
nSenb xa
nCos x n
22a)f(
nn
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SERIES DE FOURIERTRIDIMENSIONAL
rggr i
n
C)f( e
donde V es el volumen de la celda primitiva
Si f (r + R ) = f ( r), entonces:
dVe)(f V1 C
V
i-
rgg r
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EJEMPLO EN CRISTALESUNIDIMENSIONALES
a
a/2
-V0
V
dxeVa1 c
4/a
4/a-
n x)a
2π(i-
0n
0
V , si x -a/4, a/4V(x)
0, para otros x en la celda unitaria
)en1
-en1
(π
V V(x)
n xa
2 i
..,..73, n
n xa
2 i
5,..1, n
0
x
en)
a
2π(i
nncV(x)
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EJEMPLO EN CRISTALESBIDIMENSIONALES
área
i- d(área)e)(f área
1 C rg
g r
a/2
a/2
a
π2V
C C 0 0110
0
V , si x -a/4, a/4 , y -a/4, a/4V(x, y)
0, para otros (x,y) en la celda unitaria
20
11
V C
dydxeV
a
1 c
4/a
4/a-
)yx()a2π
(-
0
a/4
a/4-210
jiii
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ZONAS DE BRILLOUIN
• De un punto de la red recíproca se trazan segmentossucesivamente a los vecinos más cercanos, segundosvecinos más cercanos, terceros vecinos y así
sucesivamente.• Se bisecan los segmentos con planos perpendiculares• El sólido más pequeño encerrado por los planos bisectantes
es la Primera Zona de Brillouin (celda WS en el espaciorecíproco)
• El segundo sólido más pequeño es la segunda zona deBrillouin, y así sucesivamente.
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PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED CUADRADA
a
2
1
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SEGUNDA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED CUADRADA
1
2
a
2
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TERCERA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED CUADRADA
1
23
a
2
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PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED HEXAGONAL
BIDIMENSIONAL
red directa
a
b
a
A
B
red recíproca
Primera zona de Brillouin de unared hexagonal bidimensional
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Primera zona de Brillouin de una redFCC
a
4
a 4
La primera zona de Brillouin de una red FCC es la celda WSde una red BCC
a 4
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Primera zona de Brillouin de una redBCC
a 4
a 4
La primera zona de Brillouin de una red BCC es la celda WSde una red FCC
a 4
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Zonas de Brillouin de una red cristalinaunidimensional
PZB SZBSZBTZB TZB
a
2
a
a
-
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DIFRACCIÓN DE RAYOS X
Tercer capítulo de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FC UNI
Lima Perúsetiembre 2013
ARTURO TALLEDO Doctor en Física
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DIFRACCIÓN DE RAYOS X
cristalhaz de rayos X
placa fotográfica
Un haz monocromático de rayos X al incidir sobre unsólido cristalino es re-emitido en ciertas direccionesespecíficas que dependen de la estructura del cristal
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LEY DE BRAGG(una explicación sencilla de la DRX)
d
d sen d sen
nsend2
send send
El haz es desviado un ángulo 2θ si encuentra en sucamino una familia de planos cristalinos que satisface:
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LEY DE BRAGG
1
2
12 1
22
H a z i n c i d e n t e
(100)
(100)
( 2 1 0 )
( 2 1 0
)
( 2 1 0 )
x
D e t e c t o r
Cada familia de planos cristalinos produce un hazdesviado con respecto a la dirección incidente 2
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Rayo incidente
electrón
r a y o
d e s v i a d
o
Campos del rayo incidente:
Campos del rayo desviado: eDA
fE t)-D(Kie
d w desv
+
22cos1
cme
f2
42
42e
Rayos X desviados por un electrón
eAE t) - x(K i i w inc
2
(factor de polarización)
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P1
P2
M
N
Kd
Ki
Kd
Ki
2 2
ee DA
f E DK iDK iedesv
dd +
+
)-( 12rK K id
senK2 K- id K K
Rayos X desviados por dos electrones
12r
1 1 K - K
d i P M P N
Scattering
coherente
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Rayos X desviados por n electrones
Para dos electrones:
e1)(e
D
A f E )- (iDK i
edesv
12d rrK +
ee)(eDA
f E iiDK iedesv
21d rK rK +
Se puede generalizar para n electrones que desvían un haz en K
in
1m
DK iedesv
md e)(eDA
f E rK
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Rayos X desviados por un átomo
in
1m
DK iedesv
md e)(eDA
f E rK
donde n es el número de electrones en un átomo, pero para ser más precisosenemos que considerar que la carga de los electrones se distribuye como una nube
dVeeρ
)(eDA
f E i
V
DK iedesv
drK
)(eDA f f E DK i
aedesvd
Factor atómico dVe
eρ
f i
V
arK
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P1
P2
M
N
Kd
Ki
Kd
Ki 2 2
ee DA f f E DK iDK i
aedesvdd +
+
12 ( - )
d i K K r
senK2 K- id K K
Rayos X desviados por dos átomos iguales
12r
1 2di ii K D
desv e a
AE f f (e ) e e
D +
K r K r
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Rayos X desviados por los átomosde una celda primitiva
in
1 j aj
DK i
edesv
jP
d ef )(eD
A f E rK
)(eDA
F f E DK iBedesv
d
donde i
ja
n
1 jB
jP
ef F rK
, factor de base
dondePn , es el número de átomos por celda primitiva,
ajf es el factor atómico de cada uno de loselementos en una celda primitiva
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Rayos X desviados por todos losátomos de un cristal
i1
DK iBedesv e)(eD
A Ff E d l
l
R K
N
)(eDA
FFf E DK iR Bedesv
donde i
1R e F
l
l
R K
N
, es el factor de red
R
, si , vector de red recíprocaF
0, si
N
K g
K g
N es el número de celdas primitivas en el cristal
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Condición de Difracción
La intensidad de la radiación re-emitida por un cristal esnula en todas direcciones excepto en aquellas donde elcambio del vector de onda coincide con un vector de lared recíproca
gK
gK K + incdesv
cristalhaz de rayos X
Kinc
g1
g2
Kdesv1
Kdesv2
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Condiciones de Laue
gK
La condición de difracción:
1 1 2 h K a
2 2 2 h K a
3 3 2 h K a
Fue enunciada originalmente por von Laue en la forma:
Y se llaman condiciones de Laue para la difracción
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Equivalencia Laue-Bragg
gK gK
nsenK2 0g
d 2
nsen2
2
nsend2
donde es el vector de la red recíproca más pequeño en
esa dirección y n es un entero
0g
Kd
Ki
2
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Descripción convencional
)(eDA
FFf E DK iBR edesv
)(eDA SFf E DK iedesv
, si h k ; con h,k, enterosF
0, si h k
N + +
+ +
K A B C
K A B C
)kh(i ja
n
1 j
jc.u
ef S rCBA ++
l
lhk
S se llama factor de estructura y la suma es sobre todoslos átomos de una celda unitaria.
Al factor F podemos llamarle factor de red primitiva.
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Cálculo de F
2
Sen
2 N
Sen F
2
12
21 aK
aK
)e()e()e( F pi
0
ni
0
mi
0
321cK bK aK
N
p
N
n
N
m
2
Sen
2 N
Sen
e1
e1 eF
1
i
i mi
01
11
aK
aK
aK
aK aK
N N
m
23
22
21
2 FFFF
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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2 h K a
2 k K b
2 l K c
Condiciones de Difracción
0hkl
S
h k l + +K Α B C
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Factor de estructura de unaestructura bcc monoatómica
)e(1f S ) (1/2))ki(ha
cb(aCΑ ++++
+ llhk
)kh(i ja
n
1 j
jc.u
ef S rCBA ++
l
lhk
++
++
impar esk hsi0,
par esk h,f 2 S a
l
ll
sihk
)e(1f S )k (hia ll++
+
hk
(0,0,0) 1 r
(1,1,1)2a 2 r
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Factor de estructura de unaestructura fcc monoatómica
(0,0,0) 1 r
(1,0,1)2
a
2 r
(1,1,0)2a
3 r
(0,1,1)2a
4 r
)kh(i ja
n
1 j
jc.u
ef SrCBA ++
l
lhk
)eee(1f S )(1/2))ki(h)(1/2))ki(h)(1/2))ki(ha
a(cCΑcb(CΑb(aCΑ +++++++++
+++ llllhk
)e e e(1f S h)(i)(k ik)(hia
+++
+++ lll
hk
contrariocason0,
paridadmismalatienenk,h,f 4 S a
e
y sihk
ll
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Factor de estructura de una estructurade diamante
(1,1,1)4a
5 r
(3,1,3)4a
6 r
(0,0,0) 1 r
(1,0,1)2a
2 r
(1,1,0)2a
3 r
(0,1,1)2a
4 r
(3,3,1)4a
7 r
(1,3,3)4a
8 r
++++ ++
+++)k (h
2ih)(i)(k ik)(hi
a e1)e e e(1f Sl
lll
hk
a
a
8 f , h, k son pares y h k es 2(par)
4f (1 ),si h,k y son todos imparesS
0, h,k son pares y h k es 2(impar)
0, o todos de la misma paridad
hk
si y
i
si y
n
+ +
+ +
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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ESFERA DE EWALD
haz incidente
CKi O
Kd
g1
g2
g3
Ki
Es una esfera en el espacio recíproco cuyo radio es igual al módulo delvector de onda incidente (o desviado).La condición de Laue se interpreta geométricamente como la intersección dea superficie esférica de Ewald con la red recíproca.
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TÉCNICAS EXPERIMENTALES
• Laue, haz policromático
• Cristal rotatorio
• Debye Scherrer o método del polvo
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Método de Laue
haz incidente
CKm O
Kd
g1
g2
g3
KM
e usa un haz polcromático con vectores de onda con módulosomprendidas entre Km y KM. Esto permite que ahora ya no tengamos unasfera de Ewald, sino un continuum de esferas y por lo tanto la intersección coned recíproca es un conjunto mayor de puntos. Da información sobre la simetría
monocristal.
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Técnica del cristal rotatorio
haz incidente
CKiO
Kd
g1
g2
g3
Ki
Al rotar el cristal con respecto a un eje, rota también cada vector de la redrecíproca e intercepta a la superficie esférica de ewald en dos puntos.
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Técnica del polvo o Debye Sherrer
Al moler el cristal se tienen partículas de algunos micrones, todavía cristales,orientados en todas las direcciones posibles. Es como si cada vector g rotaraalrededor de todos los ejes posibles, describe una esfera. La intersección de laesfera generada por cada g con la esfera de Ewald es una circunferencia. Paracada g se tiene entonces un cono de haces difractados que hace un ángulocon la dirección incidente.
Ki
g
haz incidente 2
2
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Cámara Debye Sherrer
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Método Debye Sherrer
Una cinta de película fotográfica sirve como detector de los ángulos en losque se producen ángulos difractados.
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Difractómetro de polvos
na fuente de rayos X monocromáticos emite en una dirección fija y un detectorde gas recorre una circunferencia intersectando a los conos de haces difractadutomáticamente con ayuda de un software se almacenan los datos 2 vs
I
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Difractómetro X´pert UNI
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DIFRACTÓMETRO DE LA FC UNI
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Verificación de estructuras
senK2 g
gK
El valor más pequeño de corresponde al vector de red recíprocade menor módulo
Si podemos construir una sucesión de los g más pequeños entonces
podemos determinar una sucesión de los más pequeños para los cualesse producen haces difractados.
jemplo: Discutir como hallar los 5 valores de más pequeños para los quexiste rayo difractado en el caso de una ortorrómbica F de parametros a = 4,= 6, c = 10
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Estructura cristalina del grafito
La estructura del grafito es hexagonal a = 2,46 Å; c = 6,7 Å con base de 4átomos: A1 (0,0,0); A2 (1/3 a + 2/3 b); A2 (2/3 a + 1/3 b + ½ c); A4 (1/2 c);
Dé las dimensiones de los vectores convencionales de la red recíproca (A y C)Dé una expresión para el factor de estructura Shkl Identifique los 4 módulos más pequeños de los vectores de la red recíprocaIndique cuáles serían los 4 valores de 2 theta para los cuáles se obtendría rayosdifractados con radiación incidente de longitud de onda 1,54 angstron
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esfera negra altura c/2esfera roja altura 0 y c 4 átomos por celda unitaria
A1 : (0,0,0)
A2: 2/3 a +1/3 bA3: 1/3 a +2/3 b +1/2 cA4: (0,0,c/2)
ab
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red directa
a
b
a
AB
red recíproca
Primera zona de Brillouin de una
red hexagonal bidimensional
c
C
2,46
6,7
a Å
c Å
1
1
2,95
0,93
A Å
C Å
4
3
2
Aa
C c
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1 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 2 21. . .i h k l i h k l i h k l
hkl e e e
+ + + + + + + + +
+ + +A B C a b A B C a b c A B C c
(110) 4 5,10
(hkl) Shkl ghkl (Å-1
) (2 (theta)
(001) 0 0,93
(002) 4 1,87 26,5
(100); (010),(1-10) algo 2,95 42,4
(101): (1-11) algo 3,09 44,5
(102) algo 3,49 50,6
(004) 4 3,74
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INDEXACIÓN DE REDES CÚBICAS
senK2 g
gK
El valor más pequeño de corresponde al vector de red recíprocade menor módulo y los siguientes valores de cumplirán con la relación:
ara cada una de las estructuras cúbicas (sc, bcc, fcc, diamante)odemos hallar la sucesión de números gi/g1. Esta nos da la relación entre losenos de los ángulos .
k h
a
2
k ha
2
sen
sen
21
2 1
21
22 i
2i
1
i
1
++
++
ii
g
g
1/ SenSen i
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INDEXACION DE REDES CÚBICAS(h,k, )
++222 l k h
1sen
sen
sc1sen
sen
bcc1sen
sen
fcc1sen
sen
Diaman(100) 1 1 - - -
(110) 2 2 1 - -
(111) 3 3 - 1 1
(200) 4 2 2 2/ 3 -
(210) 5 5 - - -
(211) 6 6 3 - -
(220) 8 22 2 2 3/2 2 3/2
(221) 9 3 - - -
(300) 9 3 - - -
(310) 10 10 5 - -
(311) 11 11 - 3/11 3/11
(222) 12 32 6 2 -
(320) 13 13 - - -
(321) 14 14 - - -
(400) 16 4 22 3/4 3/4
(322) 17 17 - - -
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(h,k,l)
++222 l k h
1sen
sen
sc1sen
sen
bcc1sen
sen
fcc1sen
sen
Diamante(100) 1 1 - - -
(110) 2 2 1 - -
(111) 3 3 - 1 1
(200) 4 2 1,41 1.15 -
(210) 5 5 - - -
(211) 6 6 1,73 - -
(220) 8 22 2 1.63 1.63
(221) 9 3 - - -
(300) 9 3 - - -
(310) 10 10 5 - -
(311) 11 11 - 1.91 1.91
(222) 12 32 6 2 -
(320) 13 13 - - -
(321) 14 14 - - -
(400) 16 4 22 2,309 2,309
(322) 17 17 - - -
INDEXACION DE REDES CUBICAS
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EJERCICIO
Prob1 Cap.6 Ashcroft and Mermin: Se han obtenido difractogramasde tres materiales A, B y C por el método Debye-Scherrer y se hanobservado los valores de los cuatro primeros ángulos de desviación(2 ) para cada material:
i se sabe que uno de ellos tiene estructura bcc monoatómico, otro fccotro tiene estructutura de diamante; identifique cada material con su
espectiva estructura.
A B C
42,2 28,8 42,8
49,2 41,0 73,2
72,0 50,8 89,0
87,3 59,6 115,0
θ
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SOLUCIÓN A EJERCICIO De los datos para cada material se obtienen los correspondientessen
Comparando con tabla de indexación a redes cúbicas se llega a unaonclusión clara.
1θSen iθSenθSenA B C
0,3599 0,2486 0,3648
0,4163 0,3502 0,5962
0,5877 0,4289 0,70090,6902 0,4817 0,8433
A B C
1 1 1
1,16 1,41 1,63
1,63 1,73 1,92
1,92 1,94 2,31
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Generación de rayos x
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Espectros de rayos x generadospor un target de molibdeno
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Difracción de electrones
De Broglie:
p
h
m2
p Ve
2
V150
A)(
entonces,,8000VV A0,134
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DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL(tratamiento cuántico)
Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través delcristal, la interacción del potencial periódico con los electrones originatransiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, enteoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad detiempo entre el estado inicial y el estado final es proporcional alcuadrado del elemento de matriz:
k ψ k´ψ
d U k k )(ψ)r (ψ k k´´ rr
planasondas ψ .rk k
ie
rg
ggr .)U( ieV
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DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
d eeV e ii
g
i
k k
rk rg
g
rk ..´.´
+ d eV i
g k k
rk gk
g
.´´
+
contrariocasoen,0
0´- si ,´
k gk g
k k
V
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Difracción de neutrones
p
h
K Bave 23
aven E m2
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ENLACE CRISTALINO
Capítulo 4 de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI, Setiembre 2013
ARTURO TALLEDODoctor en Física
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¿Qué fuerzas mantienen unidos alos átomos de un cristal ?
• La interacción electrostática atractiva entre las
cargas negativas de los electrones y las cargaspositivas de los núcleos es enteramenteresponsable de la cohesión de los sólidos.
• Iones positivos separados entre sí, electronesde valencia también separados entre sí,
electrones de valencia cerca a iones positivospara minimizar la energía potencial y electronesno localizados para disminuir su energíacinética.
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Algunas variantes de cómo actúanlas fuerzas electrostáticas
• Enlace Van der Waals o dipolar inducido
• Enlace iónico• Enlace covalente• Enlace metálico• Enlace de hidrógeno
• Analizaremos en este capítulo sólo los dosprimeros.
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Cristales de gases inertes
• Interacción dipolar inducida o Van der
Waals• Potencial Lennard Jones
• Constantes de equilibrio
• Energía de cohesión
• Módulo de compresión y compresibilidad
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Interacción van der Waals-London
31
51
0 R 3
- R
)(3
41
)(pR R p
R E
3R 1
)( R E
32
R
1 te)( Ep c
Ep 2 U
r
constante- U 6
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Modelo cuántico de interacción van der
Waals
321
222
222
1
21
10
x2
2
1
2m
p
2
1
2m
p HHH
R
xe x x
22
2221
210 2
12m p
21
2m p H x x
)(2
121 x x s
amiltoniano de dos osciladores independientes
amiltoniano de interacción de dos osciladores que experimentan interacción dipolar:
Cambios de variable:
)(2
121 x xa )(
2
121 p p s )(
2
121 p pa
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Modelo cuántico de interacción van der
Waals
23
22
a23
22
s10 )2
(21
2m
p)
2(2
12m
p HHH a s x R
e x R
e
...
2
8
1 -
2
2
11 /
2
2
3
2
3
2
0
1/2
3
2
R
e
R
em
R
e
2
3
2
0
2
8
1
2
1 U
R
ea s
6R
C -U
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Modelo de Sólido de gases nobles
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Potencial Lennard-Jones
12rep r B
U
El potencial repulsivo puede explicarse como una consecuencia deltraslape de nubes electrónicas de átomos vecinos así como al efectocuántico de aumento de energía cinética de los electrones porconfinamiento en un volumen muy pequeño. Se propone como fórmulaempírica para este potencial:
612 r C
r B
U
4 (R)U612
ij
r r
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Gráfico del potencial Lennard Jones
4 (r)U
612
ij
ijij r r
es el valor de r para el cual U es cero
es el valor de la energía potencial mínima.
r r
)(4 U
6
ij
12
iji
jii j
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Energía de interacción de un átomocon todos los demás
R pR p )(4 (R)U
6
ij
12
iji
ji ji
13,12 p j
-12ij
45,14 p j
-6ij
i R pi1
R pi2
R pi5
R pi3
R pi4
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Constantes de la red en equilibrio
12 6
cristal NU (R) (4 ) 12,13 14,452 R R
0 )45,14)(6()13,12)(12( 2N-dR
dU7
6
13
12cristal
R R
1,09R 0
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Energía de cohesión
1,09R 0
R
45,14R
12,13 N2 )(R U6
0
12
00cristal
) N(4(2,15)- (R)Ucohesión
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Propiedades de los cristales de
gases inertes
Elemento Distanciaentre
vecinos(Angstrons )
Energía decohesió
n(Kj/mol )
Punto de fusió
n (K)
Potencial deionización
del átomolibre (en
eV)
εen 10-23
J
σ en Å
He 24,58 14 2,56
Ne 3,13 1,88 24 21,56 50 2,74
Ar 3,76 7,74 84 15,76 167 3,40
Kr 4,01 11,2 117 14,0 225 3,65
Xe 4,35 16,0 161 12,13 320 3,98
•Tabla 2 capítulo 3 de C. Kittel
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Módulos de elasticidad
Módulo de Young l
F
A
L
Ll
A
F
Módulo de rígidez =
Módulo de compresión= P P
V V V
V
F
ATg
A
F
G1
)(
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Módulo de compresión y compresibilidad
Definición de módulo de compresión o bulk modulus:
dVdp
VB
2
2
dVUd
VB
dV pdU
A 0K la entropía es constante así que la primera ley de la termodinámica es:
Y por lo tanto:
El módulo de compresión es una medida de la dureza del cristal o de laenergía necesaria para producir una deformación dada. A mayor valor de Bmás duro es el cristal
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Módulo de compresión y compresibilidad
26
412
cristal
V
b
V
bU
2
NR V
3
12512 )N1/2)(12,13( b
l volumen de un cristal fcc monoatómico en términos de R (la distancia entreecinos más cercanos) es:
or lo tanto, la expresión para la energía del cristal en términos de V es:
onde: 636 N1/2)14,45)( b y
0V b2
V b4
dVdU
36
512cristal En equilibrio a presión cero:
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Módulo de compresión y compresibilidad
2/3
12
2/56
3
0
63
0
122
cristal2
2
V
b6
V
b20
dV
UdVB
b
b
3
2/12/1
6
120 Nσ
14,4512,13
b b2 V
or consiguiente el volumen de equilibrio está dado por:
l módulo de compresión es entonces:
3
75
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ENLACE IONICO
Li F
F -Li+
3+ 9+
9+3+
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Definiciones Básicas
Afinidad electrónica
Energía de ionización
Energía de cohesión
Na
Na+
e + Cl Cl- + 3,6 eV
+ 5,1 eV +Na+ e
Cl- Na+ + +Cl- 7,9 eV
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Energía electrostática o de Madelung
R q
41
)exp(-R/ (R)U2
0ij
otros , R p
q4
1
cercanosmás vecinos,R q
41
)exp(-R/
(R)U
ij
2
0
2
0
ij
i j
iji UU
icristal NUU
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Energía electrostática o de Madelung
)R q
41
)exp(-R/z( N (R)U2
0cristal
Madelungdeconstante
pij
i j
icristal
NUU
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Constante de red y energía decohesión
0R
q
4
N
)exp(-R/ρ
λz
N- dR
dU
N 2
2
0
i
)R
q
4
1
)exp(-R/z( N (R)U
2
0cristal
)R ρ
1(R q
4 N
U00
2
0cohesión
2
0 20 0
1 ρ α q z λ exp(-R / )
4 R
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Cálculo de la constante de Madelungpara cristal unidimensional
R
i j ijr R α
...
4R 1
3R 1
2R 1
R 1
2R α
...
41
31
21
12
... 4x
3x
2x
-xx)(1log432
2log 2α
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Cálculo de la constante de Madelungpara NaCl (convergencia lenta)
i j ijr R α
...
2
6
3
8
2
12
1
6 α 2/12/1
...3R 82R 12R 6R α
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 187/610
Método de Evjen para constante de
Madelung
2/11 3)8/1(8
2
)4/1(121
)2/1(6 α 2/1
,461α1
La suma es sobre el primer cubo neutro
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Método de Evjen para constante de
Madelung
2/11 3)8/1(8
2
)4/1(121
)2/1(6 α 2/1
,461α1
La suma es sobre el primer cubo neutro
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Método de Evjen para constante de
Madelung
,751α2
,751α2
32
)8/1(8
3
)4/1(24
8
)4/1(12
6
)2/1(24
5
)2/1(24
2
)2/1(6
3
8
2
12
1
6 α
2/12 2/1
,7475651α
La suma es sobre el segundo cubo neutro
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Módulo de compresión y compresibilidad
en cristales ionicos
Definición de módulo de compresión o bulk modulus:
dV
dp
VB 2
2
dVUd VB Y por lo tanto:
2
22
2
2
2
2
dV
R d
dR
dU
dV
dR
dR
Ud
dV
Ud
;dVdR
dR dU
dVdU
26NR 1
dV/dR 1
dVdR
A la distancia de equilibrio, cuando R = R0 y dU/dR = 0, se tendrá:
2
2
0
2
22
2
dR Ud
18NR 1
6NR 1
dR Ud
VB
;R N2V 3;4a N
V3
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Módulo de compresión en cristalesionicos
2ρ
R R 4
q NR 4q2Nα
eρ
λz NdR
Ud 0300
2
300
2/ρR
2
R
2
20
0
2
2
0
2
22
2
dR Ud18NR 16NR 1dR UdVB
2
ρR
18R επ4qα
B 0400
2
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Parámetros y medibles en cristalesiónicos
2
ρR
18R επ4qα
B 0400
2
)R ρ
1(R q
4 N
U00
2
0cohesión
λzqαρ
4
1 )/exp(-R R
2
00
20
)R q
41
exp(-R/z( N (R)U2
0cristal
De las medidas experimentales de B y R0 podemos hallar yLuego calcular la energía de cohesión y verificar con el experimento
ρ λ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Energías de Madelung y repulsivaspara el KCl.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ley de repulsión de potencia inversa
m
2
0 R C
R q
4πα N
- (R)U
Conociendo R0 y B se determinan C y m. Luego se verifican estosresultados comparando la energía de cohesión experimental con lateórica:
2
400
2
2
0
2
22
2
qR B)18(4
1m dR
UdR N18
1
6NR 1
dR Ud
VB
m4R q N C 0
dR dU
0
1-m02
m1m
R q
4 N
U0
2
0
teóricacohesión
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Propiedades cristales alcalinos con
estructura NaCl
lemento Distanciaentre
vecinos(Angstrons )
Energía decohesión
respecto aioneslibres
(Kcal/mol )
Punto de fusión
(K)
Potencial deionizació
n delátomo
libre (eneV)
zλen 10-23
J
ρen Å
iF 2,014 -242,3 24,58 0,296
iCl 2,570 -198,9 24 21,56 50 2,74 iBr 2,751 -189,8 84 15,76 167 3,40
aCl 2,820 -182,6 117 14,0 225 3,65
aBr 2,989 -173,6 161 12,13 320 3,98
•Tabla 5 capítulo 3 de C. Kittel 4ed ingles, 2da español.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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FONONES
ARTURO TALLEDODoctor en Física
Capítulo V de cursoFÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FC UNILima, abril 2008
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Introducción
os átomos están sometidos a potenciales que se pueden aproximar al de unscilador armónico simple. Constituyen un sistema de osciladores acoplados.
a descripción del movimiento se puede hacer clásica (Newton) o cuánticamentSchrodinger). A un modo de vibración de frecuencia , según Planck,se le puede considerar como una partícula de energía . A esta partículae le llama fonón.
ωω
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Ondas elásticas en una barra contínua
eYS
A F
S
A'S(x)dx)S(xtudx)A'(ρ 2
2
x x+ dx
dxdu
e Esfuerzo Deformación unitaria
Ley de Hooke: ; Y es el módulo de Young
A’
F (x +dx)F (x)
02
2
2
2
t
u
Y x
u A'dxtu
dx)A'(ρ 2
2
x
S
uduu
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ondas elásticas en una barra contínua
qvω s
0
t
u
Y
ρ
x
u2
2
2
2
ω
q
uqxu 22
2
t)ωxi(qeAt)(x,u
uωtu 22
2
elación de dispersión: qv ω s
ρY
s
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Densidad de modos de vibración en 1D
1eiqL
Condiciones de frontera periódicas:
dq π2L
dq(q)g
u (x) u (x L)
x x+ dx
F (x +dx)F (x)
dωdq
g(q)2)g(ω :dωωyω
Lx 0x
0L2π
L2π
nq
úmero de modos entre q y q + dq :
Número de modos entresv
1πL
)g(ω
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ecuación de onda en un mediocontinuo 3D
p)L2π
n,L2π
m,L2π
(q,q,q 321
1eee L)i(qL)i(qL)i(q 321
t)ωi(et),( rqAru
or condiciones de frontera periódicas:
22
2
ρ uu 0
Y t
sω v q
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Densidad de modos de vibración en 3D
p)L2π
n,L2π
m,L2π
(q,q,q 321
3
33
3
q3
4π
2π
Vq
34π
2πL
Número de modos de vibración convector de onda entre 0 y q :
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
q
2q
1q
L 2
L 2 Número de modos de vibración con vector
de onda entre q y q + dq :
dqq4π
2
V qdg(q) 2
3
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Densidad de modos de vibración en 3D
Número de modos de vibración con vector de onda entre q y q + dq :
Número de modos de vibración con vectorde onda entre
3s
2
2 vω
2(3)V
)(ωg
s
2
s3 v
dω
vω
4π 2
V dω)(ωg
)(ωg
ω
dωωyω
dqq4π 2
V qdg(q)
2
3
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Vibraciones de un cristalunidimensional monoatómico
1-nn1nn2
2
uuuu-dt
udM n
1-n1nn2
2
uu-u2-dt
udM n
un un+1 un-1
n nCondiciones de frontera periódicas: u (x) = u (x+L)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Vibraciones de un cristalunidimensional monoatómico
( 1) ( 1)2M 2
iq n a iq n aiqna iqnae e e e
t)ωani(qt)i(qXn AeeAu n
Sen(qa/2)M4α
ω
iqaiqa
ee
2M 2
aqCos12αωM 2
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Relación de dispersión para vibraciones
en un cristal unidimensional
Sen(qa/2)ωω m
M4α(q)ω
q
aπ
(q)ω
M4α
M4α
ωm
• Obsérvese la periodicidad:
a
π
)a
2 ω(qω(q)
ω(q)ω(-q)
• Hay N modos de vibración en la PZB
a N2πy
L2π
nq Por CFP :
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Comparación con relación dedispersión lineal
2qa M4α
Sen(qa/2)M4α
• Para longitudes de onda grande,
es decir, q próximo a cero, la ecuación:
Comparable con la ecuación: qv ω s
Se reduce a :
Mα
avs La medida de la velocidad del sonidonos permite determinar las fuerzas
interatómicas
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Velocidad de grupo y velocidad de fase
qω
vf qω
vg
sgf vv Para longitudes de onda grandes
Para valores de q cerca a la frontera de zona de Brillouin: 0g
Las ondas elásticas cerca de la frontera de zona experimentandifracción de Bragg
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Densidad de modos de vibración en un
cristal monoatómico
dqdω1
πL
)g(ω
1
m
)2aq
(Cos aπL2
)g(ω
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Cristal unidimensional diatómico
1M2M
a12n n212n
12n12n2n22n
2
2 uu2uαtdud
M
22n2n12n212n
2
1 uu2uα
dt
udM
n n
Condiciones de frontera periódicas: u (x) = u (x+L)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Cristal unidimensional diatómico
tiω
iq(2n)a2
1)a(2niq1
2n
12n eeA
eA
u
u
0 A
A
ωM2α (qa)Cos2-
(qa)Cos2- ωM2α
2
1
22
21
0 ωM2α (qa)Cos2-
(qa)Cos2- ωM2α2
2
21
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Relación de dispersión para vibraciones encristal unidimensional diatómico
a2
π a2
π q
ω
2
1
M
M
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 214/610
Relación de dispersión para vibraciones encristal unidimensional diatómico
a2
π
a2
πq
2/1
21O M
1M1
2ω
ω
2A M
2αω
1O
2ω
M
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 215/610
Modos ópticos y modos acústicos
0 A
A
ωM2α (qa)Cos2-
(qa)Cos2- ωM2α
2
1
2
2
21
21 AA 0 ω
0AMAM M1
M1
2ω 2211
2/1
21O
Átomos vecinos vibran en fase
Desfasaje de 1800
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Vibraciones en cristalestridimensionales monoatómicas
...1-lmn1lmn-lmn6
-2dt
2d
M
uuu
u
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xxlmn
t)r i(n
ne qAu
3 ramas acústicas
1,2,3 j ,M
)q( ω s
j
AαA )(- ωM 2 q
Diagonalizando
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Vibraciones en cristales tridimensionalesdiatómicas
....1-lmn1lmn-lmn6
-2dt
1mn2d
1M
uuu
u
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
1- pqr - pqr6
-2dt
2d2M 1 uuu
u
pqr
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx pqr
3 ramas acústicas y 3 ramas ópticas
ω
q
TA1
TA2L
LO TO2
TO1
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Determinación Experimental deRelaciones de Dispersión
• Dispersión de neutrones• Dispersión inelástica de rayos X• Espectroscopía Raman
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dispersión de Neutrones por un Cristal
Un haz de neutrones de energía E y momentum p inciden sobre un cristal.
Los neutrones pueden ganar o perder energía y momentum.
Los neutrones interactúan fuertemente con los núcleos y muy débilmentecon los electrones
Las leyes de conservación de energía y de momentum cristalino permitenobtener información sobre los modos de vibración del cristal
n
n
n
2
2M p´E'
n
2
2M p
E
p
p´
cristal
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conservación de energía y momentumcristalino
j j,
j n)(ωEE' qq
q h
gΔnq p- p' jq jq,
hh
En el proceso de dispersión de un neutrón por el cristal pueden involucraseferente número de fonones.
El momentum cristalino de un fonón definido como no esecesariamente la suma algebraica de las cantidades de movimiento de los
ones del cristal. Es simplemente un nombre. Juega un papel similar.
q
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dispersión de neutrones sinparticipación de fonones
El estado vibracional final del cristal es igual al inicial
La energía del neutrón no cambia
La cantidad de movimiento del neutrón cambia en
(condición de Von Laue para difracción)
La información que se obtiene es la misma que en difracción de rayos X
(ZERO PHONON SCATTERING)
gpp -'
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dispersión de neutrones con laparticipación de un fonón
• Los eventos en que un neutrón absorbe o emite sólo un fonón son losque proporcionan mayor información sobre las relaciones de dispersión.
• Las leyes de conservación:
)(ωEE' j qh
(ONE PHONON SCATTERING)
gqpp hh -'
Podemos escoger una dirección en la cual medir E’, y obtener así un puntode la relación de dispersión.La constante aditiva g puede ser ignorada porque podemos restringirnos ala PZB
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dispersión de neutrones conparticipación de dos fonones
(TWO PHONON SCATTERING)
gqqpp hhh '-'
)'(ω)(ωEE' j' j qq
)'(ω)(ωEE' j' j qppq hhh
i observamos la energía de los neutrones en una dirección dada es posiblebtener suma de energías de cualesquiera dos modos de vibración con q en laZB. Si hubiera sólo procesos con absorción de dos fonones el espectro de’-E vs número de cuentas sería un continuum
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Determinación Experimental de la relación de dispersión
En la figura, p´1 y p´2 son momenta de neutrones que se han dispersado sin
rear ni absorber fonones.
l colocar el detector en la posición D ya se sabe cuál es el q del fonon absorbido
e determina ω midiendo la energía de los neutrones que allí llegan.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Resultados Típicos
Número relativo de neutrones dispersados en una dirección dada en funciónde la energía ganada por los neutrones. La curva continua es el ruido defondo debido a los procesos multifonónicos. Los picos se deben a losprocesos que involucran un solo fonón.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Espectrómetro de neutrones
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 229/610
Densidad de modos de vibración en 3D
gq v
dω dS
ω
dω dSqddS
g
ω
3
v
dS
2π
L g(ω(
dωqdω q
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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resumen. Haga un esquema de las relaciones de dispersión w vs kpara los siguientes tipos de sólidos:a) un sólido continuob) un cristal unidimensional monoatómico de parámetro de red ac) un cristal unidimensional diatómico de parámetro de red ad) un cristal tridimensional monoatómico de parámetro de red ae) un cristal tridimensional diatómico de parámetro de red a
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
22
22 x
C
m
ph
0 m
p x
C Q
0
2202
Q P h
1,1
,0
p xm
C P Q
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
12 22 Q P
P iQ P iQ 2,2
21
2 0220
hQ P h
12 22 Q P
1222 Q
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
,22
22
xC
m
ph
21
,2 0
220 N hQ P h
1
N N
n
1 n
1-n propiovalorel para Nde propiafunción
0
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
N
n
1
1 nn cte
11 nn n
0!
1
n
nn
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TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
0 m
p x
C Q
0
P iQ P iQ 2,2
20 mC
pm
i xm
pm
i xm
0
0
0
0
2
1
2,
2
1
2
22
22 x
C
m
ph
´)(´)()(21
)(21
´,
2 Ru R R D Ru R P
M R R R
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
´)(´)()(21
)(21
´,
2 Ru R R D Ru R P
M R R R
R
R .k k R Pu
k k e )(
2
1)(
2
)( )(
N
1 s
k mi R
me
s
si
s
R
R .k
R Puk
k ek )(2
1)(2
)( )( N
1 s k mi R
me
s
si
s
s
s s s
, 21
k k k k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
0´),(´),(
´),( ´
R P R P Ru Ru
i R P Ru RR
crecíprocaredladevectores ,
recíprocaredladevectoresno,0.
k
k
R
R k
N ei
0,,
,
´´´´,
´´´´,
,
s s s
sskk s s
s
i
k k k
k k
k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
R k k k
k
k e
k
u .,
, )(2
1 i
s s s
s s
e
m N
R
R k k k
k
k eR P .,
, 2i
s s s
s
s ek m
N
i
3
1 s
s s k ek e
0,0. Rei
k
R k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
s s s
s
s
R s
R P M
k k k k
k k
,
2 )(41
)(21
s s s s
s
sU k k k k
k
k ,
)(41
s
s s s
, 21
k k k k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través delcristal, la interacción del potencial periódico con los electrones originatransiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, en
teoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad detiempo entre el estado inicial y el estado final es proporcional al
cuadrado del elemento de matriz:k ψ k´ψ
d U k k )(ψ)r (ψ k k´´ rr
planasondas ψ .rk k
ie
rg
ggr .)U( ieV
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DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
d eeV e ii
g
i
k k
rk rg
g
rk ..´.´
d eV i
g k k
rk gk
g
.´´
contrariocasoen,0
0´- si ,´
k gk g
k k
V
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 1
)()U(
R rr aV
d eV e i
a
i
k k
rk rk R r ..´
d V e a
i
k k R rrk k .´
´
d V ee a
ii
k k R rR rk k R k k ).(´.´´
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 2
R K K .
´
1)( i
ak k e N
V
k k K ´
d eV V
V i
a
c
a rK rK .)(1)(
3
33
2
22
1
11
1
1
1
1
1
1.
iK
LiK
iK
LiK
iK
LiK i
e
e
e
e
e
ee
R K
gk k g ´,´ )( ak k V
gK R K
,.
N e i
Si la red está fija, es decir, si no hay vibraciones:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 3
)(´ ..
q
q
q AAR uR R ii
q eeq
q
i
q
i
q
i
red eei N
e N
R qR qR K AAR K ..´. exp11
R qq
R qq
q
R K R K AAK ...´. exp11 iiii eeie
N e
N
...1exp .... R q
qR q
qR q
qR q
q AAK AAK iiii eeieei
quí mostramos los pasos para calcular el factor de red en un experimentode difracción cuando sí consideramos las vibraciones de la red
q
R qR K AK
.. exp11 i
q
i
red eie N
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DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 4
k k Ak k g gk k ´´)( ´,´ aqak k V iV
R K q
q
R K AK .. exp11 i
q
i
red ei N
e N
R K q
q
R K AK .. exp11 i
q
i
red ei N
e N
Si hablamos de la difracción de electrones por las vibraciones de la red,Tenemos que considerar sólo:
k k Ak k ´´´ aqk k V iq
q
q
q
q Nm
n
Nm
E
21
2
2A
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TEORÍA DE BANDAS
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC-UNI
octubre 2013
ARTURO TALLEDODOCTOR EN FÍSICA
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ESTADOS ELECTRÓNICOS EN UNCRISTAL (TEORÍA DE BANDAS)
• MODELO DE DRUDE (Ashcroft)• GAS DE FERMI DE ELECTRONES LIBRES (Kittel)• TEOREMA DE BLOCH (Aschcroft)• MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES (Ashcroft)• MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE
LIGADOS (Omar)• MODELO KRONIG PENNEY (Mckelvey)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Modelo de DrudeLos electrones de valencia de un metal se mueven por todo elvolumen del metal no ocupado por los iones. Esto significaaproximadamente el 80% del volumen de una muestra metálica.
El comportamiento de estos electrones es como el de un gasmonoatómico ideal U = 3/2 N K B T. Obedecen la estadística deBoltzman.
Existe la probabilidad dt/ τ de que un electrón experimente unchoque en el intervalo de tiempo (t, t+dt). τ se llama tiempo de
relajación, tiempo de vida media del electrón, o tiempo de colisión.Los choques son con los iones fijos.
Entre dos choques cada electrón obedece las leyes de Newton, esdecir, se mueve en línea recta con MRU si ningún campo es aplicadoa la muestra o con movimiento acelerado si algún campo eléctrico o
ma nético es a licado.
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ELECTRONES LIBRES EN 1D
cuación de Schrodinger:
E dx
d
m 2
2
2
2
Soluciones:
2mk E 22
Condiciones de frontera periódicas,
....2,1,n n, Na
2π n
L
2πk 1kLie
..a
2π-
E
k..L2π ..a
2π ..a
4π ..a4π -
ikxeA)( x
( ) ( ) x x L
EZE
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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ELECTRONES LIBRES EN 1D
E
ka
π
a
π
Periodicidad en el espacio recíproco: E(k+g) = E(k). k+g es equivalente a k.El vector k es indeterminado en un vector g de la red recíproca
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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E
a
π
a
πk
ELECTRONES LIBRES EN 1D
Esquema de Zona Reducida
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ELECTRONES LIBRES
E
Primera banda
Segunda banda
Tercera banda
a
π
a
π
Esquema de Zona Periódica.
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ELECTRONES LIBRES EN3D
Ecuación de Schrodinger:
E m
22
2
Soluciones:
2mk E22
rk r ieA)(
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Condiciones de frontera periódicas
3
33
3
k 3
4π
2π
Vk
34π
2πL
Número de estados convector de onda entre 0 y k :
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
q
2k
1k
L 2
L 2
k
1eeeL)i(k L)i(k L)i(k 321
p)L2π
n,L2π
m,L2π
(k ,k ,k 321
( , , ) = ( + L, y + L, z + L) x y z x
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ENERGÍA DE FERMI
3F3 k
34π
2π
V(2) N
3/12F )(3k n
3/222
F )(3m2
E n
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
kF
EF
L 2
L 2
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Densidad de Estados
Número de estados con vector de onda entre k y k + dk :
Número de estados con vectore onda entre E y E + dE
2/12/3
22
22V
)(Eg E m
dk k 4π 2
(2)V dE)(Eg
2
3
1/21/2
2 E2m
k
dE2m
dk 2k 2
dk k 4π 2V dk g(k) 23
FF 2E
3N)g(E
E
g(E)
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7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Teorema de Bloch
Reemplazando (2) y (3) en (1) tendremos entonces la ecuación dechrodinger en la forma:
Obsérvese que el término )()V( rr en la ecuación (1) será:
q
r.qq
g
r.ggrr ii eceV)()V(
i( ) i ' i' ' '
' '
V( ) ( ) V c e V c e V c e g q g
g q
g q . r q . r q. r
g q g q ggq g q
r r
0cV cEq2
e'
''22 i
ggqgq
q
r.q
m
uesto que las funciones son linealmente independientes,endremos para cada q una ecuación así:
r.q ie2
2' '
'
q E c V c 02m
q g q g
g
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Teorema de Bloch
Cualquier q siempre puede ser escrito como k - g donde k está en la PZBg es cualquier vector de la red recíproca. Luego:
0cV cE)(2 '
''2
2
gggk ggk gk
m
0cV cE)(2 '
''2
2
ggk gggk gk
m
Cambiando el nombre de los índices: g’ = g’ - g
Enfatizamos que ésta es simplemente la ecuación de Schrodinger en elspacio recíproco. Cada valor de energía esta asociado con
y todos los coeficientes donde g es cualquier vector de la redecíproca. Luego:
k c
gk c
Lqqd.)(cc)( )( rr k k.rrg
ggk
k.rrgk
ggk k ueeee iiii
Ecuación A
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
0cE)(2
22
gk gk
m
0cV cE)(2 '
''2
2
ggk gggk gk
m
Ecuación A
Potencial periódico nulo, Vg = 0
'si ,0c
si,1c
'
g-k q
g-k q
g-k
g-k
22
22
)0( q
2
E ,)(
2
E ,EE
mm
g-k g-k
q.rq r i Ae )(
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
g
gk gggk g-k cVcEE 111
(0)
1
11
'
(0)
''
(0)
-
EE
cV
EE
cV c
gg g-k
gk gg
g-k
g-k gggk
Ecuación A1
Caso no degenerado:
1 si ,0cy,1c1
ggg-k g-k
1
(0) (0)1 E - E V, k-g k-g g g
1
11'
''-(0) cVcV cEE
gggk ggg-k gggk g-k
uesto que V es pequeño, esperamos:
)0(V
EE
cV c 2
(0)
- 11
g-k
g-k gggk
Ecuación B
Ecuación A2
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
Caso no degenerado:1
(0) (0)1 E - E V, k-g k-g g g
)V(0cEE
VV cEE 3
(0)(0)
1
11
11
g
gk g-k
gggg
gk g-k
)V(0 EEVV EE 3
(0)(0) 11
1
g g-k
gggg
g-k
Reemplazo ecuación B en ecuación A:
Los niveles no degenerados no cambian apreciablemente
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
m
m
j jgggg
gggggk gggk gggk g-k ,..., ,cVcVcEE 21
,..,'''
m
1 j
(0)
21
)0(VcV
EE1
c 2
1-(0) 11
m
j
g-k ggg-k
gk
Ecuación A1
Ecuación C
Caso Casi Degenerado:
i j
i
(0) (0)
(0) (0)1 2 m
E - E V, si i, j 1, m. E - E V, si , ,...
k-g k-g
k-g k-g g g g g
m...2,1,i, cVcVcEE,..,
m
1 j
(0)
21
ii
m
i ji j
gggggk gggk gggk g-k
Ecuación A2
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
m...2,1,i, cVcVcEE
,..,
m
1 j
(0)
21ii
m
i ji jgggg gk gggk gggk g-k
)0(VcV
EE1
c 2
1-(0) 11
m
j
g-k ggg-k
gk
Ecuación A1
Ecuación C
Caso Casi Degenerado:
m...2,1,i,)0(V)cEE
VV(cVcEE 3
,..,(0)
m
1 j
m
1 j
(0)
21
j
ii
m
j
i
ji j
gggggk
g-k
gggg
gk gggk g-k
Reemplazo la ecuación C en A1:
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
m...2,1,i ,cVcEEm
1 j
(0)
ii
ji j gk gggk g-k
Caso Casi Degenerado:En una aproximación de primer orden los desplazamientos respecto al potencial
cero se calculan a partir de:
Matricialmente, por ejemplo, para m = 4:
0
c
cc
c
EE V- V- V-
V- EE V- V-V- V- EE V-
V- V- V- EE
4
3
2
1
4434241
3433231
2423221
1413121
-
-
-
-
(0)
(0)
(0)
(0)
gk
gk
gk
gk
g-k gggggg
ggg-k gggg
ggggg-k gg
ggggggg-k
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
Caso Casi Degenerado:
0 -c
c
(0)EE V-
V- (0)EE
gk k
g-k ggk
a
π
a
πk
E
Eg
gV(0)EE k
2
V4
2
EEE
2200(0)(0)gk gk gk k
E E
)a
2(
V(0)EE k
)
a
2(
g V2E
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MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES
Caso Casi Degenerado:
0 c
c
(0)EE 2V-
2V- (0)EE
gk
gk
gk g
ggk
a
π
a
π
2g
(0) VEE gk
)a
4(
(0) VEE gk
E
Gap 2
k
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MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES
k
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Interpretación de Bragg
Cerca de la frontera de zona de Brillouin: 2aλ
n 2dsenθ
xa
CosB)(
x
xa
BSen)(
x
La superposición de ondas incidentes y reflejadas produce ondasestacionarias seno y coseno con diferentes valores de energía
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
2121
212
1
a molécula :2H
Niveles de energía+ +
-
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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N núcleos y un solo electrón
+-
+ +++++ ++
N funciones de onda paraun solo nivel de energía
N funciones de onda para Nniveles de energía
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
Cuando hay N iones y un solo electrón cada nivel atómico dalugar a N niveles de energía, los cuales constituyen una bandade energía.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
a) Potencial periódico b) Funciones de onda atómicasc) Funciones de onda atómicas multiplicadas por onda plana
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
)X(x)X(xe (x) j ν j νkXi
k j
N
1 j j ν)X-xk(i-
1/2k )X(xe N1 (x) j ikxe
N
1 j j ν
kXi
1/2k )X(xe N
1 (x) j
Satisface el teorema de Bloch
Cerca del j-ésimo ion se comporta como un orbital atómico:
scojamos una función de onda que satisfaga el teorema de Bloch y quee reduzca a una función de onda atómica para valores de x cerca de cada ion
Ec (1)
Ec (1a)
Ec (1b)
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
k k ΨHΨE(k)
)X(x)X(xe
1
(k) ', j ν j' ν
)k(Xi ' j
j j
X
H N
j
Cálculo de la energía
dxΨHΨ E(k)k
*
k
Ec (2)
)X(x(x)e(k)2
1
2
j ν νXki j
N j
N j
H Ec (3)
Reemplazando Ec (1) en Ec (2):
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
)X(xH(x)e(x)H(x)(k) j
j ν νXk i
ν ν j
'
V(x)
dx
d
m2
- 2
2
0
2
)X-(xvV(x) j
j
Cálculo de la energía
)X(x(x)e(k)
2
1
2
j ν ν
Xki j
N j
N j
H Ec (3)
Ec (4)
(x)V'v(x)(x)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
(x))('V(x)-β ν* x
(x))('V(x)(x))(v2
(x) (x)H(x) ν ν ν2
2
0
2
ν νν x xdx
d
m
rimer término de la ecuación (4)
E (x)H(x) ν νEc (4a)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
a)-(x)('V(x)- ν* a x
(x))('V(x)a)-(x)(v2
(x) a)-(xH(x) ν ν ν2
2
0
2
ν νν a xa xdx
d
m
egundo término de la ecuación (4), considerando sólo vecinos más cercanos
Ec (5)
a)(xH(x)ea)(xH(x)e )X(xH(x)e ν νika- ν νika j ν νXk i j'
Integral de traslape
k Cosk 2E )(
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
2E 0
)2
(sen4E )( 20
kak
220k k aγEE
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS
)(2
a
)(2a
)(2a
y)k ,k ,(k k 0zyx
k i
jk
ji
R
cercanosmásvecinos j,
i
ss
0je γ-E (k)E R k
2ak
Cos2ak
Cos2ak
Cos2
ak Cos
2
ak Cos
2ak
Cos4E)(E xzzyyxss k
Caso 3 dimensional: banda s de un sólido con estructura fcc monoatómica
22ss ak γ12E)(E k
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MODELO KRONIG PENNEY
a)nV(xV(x)
a b, xsi,0V-
b0, xsi ,0
V(x)
v
x
c
b
a
0-V
E V(x)2dx
2d
m2
2-
b0,xsi , 02 2dx
2d
a b, xsi, 02
2dx
2d
1/2
2Em2
α
1/2
2
)0V(Em2β
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO KRONIG PENNEY
a b, xsi, 02 2dx
2d
b0,xsi , 02
2dx
2
b0,xsi , 0u)2α2(k dx
duk i22dx
u2d1
11
a b,xsi , 0u)2β2(k dx
duk i2
2
dx
u2d
222
(x)2k uikxe(x)k Ψ ikx
k 1k Ψ (x) e u (x)
(x)k uikxe(x)k Ψ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO KRONIG PENNEY
b0,xsi , 0u)2α2(k dx
duk i2
2dx
u2d
111
Caso 1: Si E>0
a b,xsi , 0u)2β2(k dx
duk i2
2dx
u2d
222
i(β-k)x -i(β k)x2u (x) C e D e , si x b,a
b0,xsi ,k)x-i(α
eBk)x-i(α
eA(x)1u
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO KRONIG PENNEY
Usando como condiciones de frontera la continuidad de la función ysu derivada en x = 0 y en x = b
0 DCBA
0k)ci(βDe k)c--i(βeC k)b-i(αeBk)b-i(αeA
0k)ci(βDek βi k)c--i(βeCk -βi k)b-i(αeBk αik)b-i(αeAk -α
0 Dk βi Ck -βi Bk αiA k -αi
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MODELO KRONIG PENNEY
os coeficientes A,B, C y D se encuentran resolviendo estas ecuacionesimultáneas y la solución existe sólo si el determinante de susoeficientes es nulo, lo cual implica:
1)(Sol. c)(bkCos cCos bCoscβSen bαSenβ2α
2β2α
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MODELO KRONIG PENNEY
Caso 2: -V0 < E < 0
l procedimiento es igual pero es imaginario y podemos escribirlo así:α
Y teniendo en cuenta que:
Puede deducirse que habrá solución no trivial para A,B,C y D sólo si:
2)(Sol..... akCos cβCos bCosh γcβSen b Senh γβ2γ
2β2γ
iγ α
Senh xi x)(iSenyh xCos x)(iCos
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MODELO KRONIG PENNEY
Ambas, Solución 1 y Solución 2 son de la forma:
sto significa que dado un valor de k podemos hallar el correspondiente E
Para ver cualitativamente la existencia de bandas prohibidas y permitidaseescribimos ambas soluciones en las formas:
akCos (E)f
akCos )δ-cβ(Cos bαSenβ4α )β(α1 1
1/2
222
22
akCos )2δ-cβ(Cos
1/2
bγ2Senh2 γ24β
)2γ2(β1
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MODELO KRONIG PENNEY
Donde:
0EV- si , bTanh γβγ2
βγ - δTan 0
22
2
0Esi , bαTanβα2
βα - δTan
22
1
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MODELO KRONIG PENNEYakCos )1δ-cβ(Cos
1/2
bα2Sen2β24α
)2β2(α1
E
f(E) f(E) =
= - V0 E = 0
0Esi, akCos )δ-cβ(Cos bγSenh γ4β
)γ(β1 2
1/2
222
22
0EV- si 0
aπ
k aπ
k
a π2
k a π2
k
a π3
k
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MODELO KRONIG PENNEY
ara resolver exactamente E vs k puede procederse del siguiente modo:
) Asegurarse de tener los datos V0 (en eV), a y c (en angstron) . ) Tomar 2000 valores de energía E en el intervalo (- V0 , V0) y para cada
no de ellos escribir los valores de y ( ó ) .
) Reemplazar y ( ó ), así como a, b y c en la solución (1) o
olución (2). De este modo se obtiene f (E).
) Para los valores de f(E) en el intervalo (-1,1) tome arco cos f ( E ) ysí podrá obtener k. Con lo cual habrá obtenido un punto de la relación d
Dispersión E vs k).
β α γ
β α γ
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MODELO KRONIG PENNEY
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Otros métodos de cálculo de bandas
El método celularEl método de ondas planas aumentadas
El método del seudo potencial
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EL MÉTODO CELULAR
Resuelve la ecuación de schrodinger en una zona de Brillouin conCondiciones de frontera:
-ik.Rˆ ˆ( ) (r) -e ( ) (r R)n r n r R
En la publicación original para calcular el estado de más baja energía de la banda 3s del sodio se aproximó la celdaWS a una esfera y se resolvió el problema como si fuera un
problema atómico pero con condiciones de frontera :
R)(r e (r) -ik.R
0)(r 0,0
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SUPERFICIES DE FERMIa superficie de Fermi es definida como la superficie en el espacio k dentro de laual todos los estados están ocupados por electrones de valencia a 0K. Todos losstados fuera de la esfera de Fermi están vacíos.
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SUPERFICIES DE FERMI
Método de Harrison: Una técnica para construir superficies de Fermi de metales.En primera aproximación consideramos que los electrones son libres. Las superficiesDe Fermi son esferas. Si salen de la PZB usamos dos o mas bandas.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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SUPERFICIES DE FERMI
1ZB2ZB
3ZB
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SUPERFICIES DE FERMI
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SUPERFICIES DE FERMI
Cómo puede pasarse de las superficies de Fermi para electrones libres aas de electrones casi libres?
c) La interacción del electrón con el potencial periódico del cristalrigina la aparición de bandas prohibidas en los límites de la zona.
b) La mayor parte de las superficies de Fermi cortan perpendicularmentelos límites de la zona.
d) El volumen total encerrado por la superficie de Fermi dependesolamente de la concentración electrónica y es independiente de losdetalles de la interacción con la red.
) El potencial del cristal redondea las esquinas afiladas de lasuperficies de Fermi.
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CONDICIÓN DE LAUE
k
gg/2
f rontera de zona
de Brillouin
A diferencia de los experimentos deDRX con un haz monocromático,
odos los electrones están expuestos axperimentar una reflexión de Bragg,ero sólo la experimentarán aquellosue satisfacen la condición de Laue.stos son los que están en lasonteras de las ZB. La difracción deragg, a su vez, origina la aparición deandas prohibidas
2 2 2k´ k g 2 . k g22 . gk g
1.
2
gk g
g
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SUPERFICIES DE FERMI Problema 5.14 de Omar:
3/12F )(3k n
Recordando que para un gas de electrones libres:
a) Cuando la concentración de electrones aumenta, la esfera de Fermi se expande.Demostrar que esta esfera empieza a tocar las caras de la PZB en una red fcc cuandoLa relación entre concentración de electrones y de átomos es n/na = 1,36
b) Suponga que algunos de los átomos en un cristal de cobre que tiene estructurafcc monoatómica son gradualmente reemplazados por átomos de zinc.Considerando que el zinc es divalente y el cobre monovalente, calcular la
razón deátomos de cobre a átomos de zinc en una aleación CuZn (bronce) a la cual laesfera de Fermi toca las caras de la zona. ( El bronce experimenta un cambioestructural a esta razón de concentraciones)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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SUPERFICIES DE FERMI
3a
n 3
3/12F )(3k n
Problema 5.14 de Omar: Recordando que para un gas de electrones libres:
a) Cuando la concentración de electrones aumenta, la esfera de Fermi se expande.Demostrar que esta esfera empieza a tocar las caras de la PZB en una red fcc cuandoLa relación entre concentración de electrones y de átomos es n/na = 1,36
b) Suponga que algunos de los átomos en un cristal de cobre que tiene estructurafcc monoatómica son gradualmente reemplazados por átomos de zinc.Considerando que el zinc es divalente y el cobre monovalente, calcular larazón de
átomos de cobre a átomos de zinc en una aleación CuZn (bronce) a la cual laesfera de Fermi toca las caras de la zona. ( El bronce experimenta un cambioestructural a esta razón de concentraciones)
Solución: La esfera comienza a tocar a la PZB cuando
Reemplazando este valor en la fórmula del enunciado se obtiene:
3a
k F
Mientras que na = 4/a3
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SUPERFICIES DE FERMI DE ALGUNOSMETALES
Ver tabla de superficies de Fermi en archivo de internet
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FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
• En el estado fundamental, es decir a OK los N electrones en un cristal ocupan los Nestados de energía más baja, pero ¿qué pasaa una temperatura T ?
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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La Distribución Maxwell Boltzmann(*) • Dado un sistema de N partículas como las moléculas de un gas en un
recipiente, el número de partículas en un nivel de energía Ei, condegeneración gi es:
T/K E-i BiegA N i
donde A es una constante de normalización y K B es la constante de BoltzmannSi la densidad de estados es g(E), entonces:
dEg(E)eA N T-E/K B
dEg(E)eEA E T-E/K Btotal
Número total de partículas
nergía total del sistema de partículas
s válida para N partículas distinguibles que no obedecen principio de exclusión deauli
(*) Ver: Solid -State and Semiconductor Physics por J.P. McKelvey
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Estadística Fermi Dirac• La probabilidad de que un estado de energía E sea ocupado por un
electrón a una temperatura T es:
1e1
(E)f Tμ)/K -(E B
donde es el potencial químico (depende de cada material) y K B la constanteuniversal de Boltzmann.
μ
Si la densidad de estados es g(E), entonces:
dEg(E)f(E) NNúmero total de partículas nergía total del sistema de partículas
Es válida para N partículas indistinguibles que obedecen principio de exclusión dePauli
dEg(E)f(E)E Etotal
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Estadística Fermi Dirac
f (E)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FERMI
0
0
0
dE
E
f H(E)f(E)H(E)dEh(E)f(E)
E
B
E
hT K
6)(
)H(dEh(E)f(E)22
0
E
B
E
H T K 2
222
0 6)(
)H()dEEf
(-H(E)
E
0
h(E)dE )( E
)´´()(21
)H´()-(E)H( )( 2 H E E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dinámica Semiclásica de los electronesen un cristal
¿Cómo se comportan los electrones de un sólidocristalino en presencia de campos externos?
1. Permanecen en su banda, n es constante
E1
k v
2. Un electrón con vector de onda k y energía En(k) tendrá
2. Obedecen la segunda ley de Newton en la forma:d
dt
k F
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Límite de validez del modelo semiclásico
c
e B
m
2
gap
F
E (k) a <<
Ee
Los electrones obedecen la dinámica semiclásica con la condiciónde que los campos E y B no sean muy intensos. En la práctica estosignifica:
2
gap
c
F
E (k) <<
E
a es el parámetro de red
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dinámica Semiclásica de los electronesen un cristal
v m
)(v-)(-v k k
dk dE1
v
v se puede interpretar como la velocidad de grupo de un paquete defunciones de onda con k en el intervalo k k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dinámica Semiclásica de los electronesen un cristal
v m
)(v-)(-v k k
E1
k v
v también se puede interpretarcomo el valor esperado deloperador para una función de
Bloch
i
m
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dinámica Semiclásica de los electronesen un cristal
vε
k
edt
)dE(
dtd)E(
dt)dE( k k k k
)(1
edt
)dE(k ε
k k E
Segunda ley de Newton y momentum cristalino
εk
edtd
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dinámica Semiclásica de los electronesen un cristal
2
2 2
1 d E
dk F a
dtdv
a
dtdk
dk dv
a
Masa efectiva de un electrón en uncristal
2
2
2
dk
Ed
m
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dinámica Semiclásica de los electronesen un cristal
F 2
2
dk Ed1
a
dtdva
dtdk
dk dv
a
Masa efectiva de un electrón en uncristal
2
2
2
dk Ed
m
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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TENSOR MASA EFECTIVA
2z
2
yz
2
zx
2
yz
2
2y
2
yx
2
zx
2
yx
2
2X
2
11
k E
k k
E
k k E
k k E
k E
k k
E
dk k E
k k
E
k E
2
m
E k
1gvv
dt
dk
k dt
dk
k dt
dk
k z
z
y
y
x
x
xxxx vvv
dtdv
x x x
x x
y y y y y
z zz z z
v v vdv dk dt dt
dv v v v dk
dt dtdv dkv v v
dt dt
x y z
x y z
x y z
k k k
k k k
k k k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONCEPTO DE HUECO
s una seudopartícula cuyas propiedades físicas son equivalentes a las deodos los electrones de una banda con todos los estados ocupadosxcepto uno.
La velocidad del hueco es:
La energía del hueco es:
La masa efectiva del hueco es:
La carga eléctrica del hueco es: qh = e
h h e e
(k ) (k )v v
)k (E)k (E eehh
* *h e em (k ) m (k )h
eh k k El vector de onda del hueco es :
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONCEPTO DE HUECO
Ee Eh
Ke Kh
Eh (kh)
Ee(ke)
ke
kh
eh k )k (E)k (E eehh h h e e(k ) (k )v v e
*
eh
* k m)k (m h
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONCEPTO DE HUECO
dtd
dtd
εk k
eeh
ε
Ee Eh
ke
kh
La carga eléctrica del hueco es positiva
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductores, semicondutores y aislantes
BV
Conductores semicondutores aislantes
gapgap
BV
BC
BC
BV
E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductores semicondutores y aislantes
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductores semicondutores y aislantes
(a) aislantes, (b) metal o semimetal, (c) metal
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
*h
22
v 2m
k )k (E
*e
22
gc 2mk
E)k (E
2/1g
3/2
2e
2e EE2m
2π
1 (E)g
2/13/2
2h
2h E2m
2π
1 (E)g
E(electrones)
E(huecos)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
C2
C1
E
E
dEg(E)(E)f n 2
1
dE(E)g(E)f p hh
V
V
E
E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
1/21/ 2
0 2 x x e dx
dEeEEe2m
2π
1n
g
BBF
E
TE/K 2/1
g
T/K E3/2
2
e
2
T/K ET/K E3/2
2Be BgBF ee
π2Tk m
2n
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
0
hh dE(E)g(E)f p
TE/K -T/K E
TE)/K (ET/K E-E-hBBF
BFBFee
1e
1
1e
1 -1 (-E)f 1f
2/1
3/2
2h
2h E2m
2π
1 (E)g
T/K E-3/2
2Be BFe
π2Tk m
2 p
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
pn
e
hBgF m
mLnTK
43
E21
E
T/2K E3/4he
3/2
2B
iBgemm
π2Tk
2 n
1/T
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Estados de Impurezas
r εε4πeV(r)
0r
2
2
0
40
0
e2r
d )ε2(4πem-
mm
ε1
E
0,01eVEd
2,0mm
, 01ε0
er
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Estados de Impurezas
Ordenes de magnitud:
2
0
40
0
h2r
a )ε2(4πem-
mm
ε1
E
eV0,01Ea
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores extrínsecos
2in pn
T/K E3/2he
3
2B Bgemm
π2
Tk 4 pn
d
2i
d N
n
p Nn
emiconductores extrínsecos tipo n
emiconductores extrínsecos tipo p
2i
aa
n p N n
N
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores extrínsecos
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONDUCTIVIDADELÉCTRICA DC
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI
Octubre 2013
ARTURO TALLEDODoctor en Física
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE DRUDE
i no hay campo eléctrico los electrones se mueven con velocidades delrden de hasta 106 pero en direcciones al azar de modo que en promedio v = 0
dv ε
En presencia de un campo eléctrico constante los electrones adquierenuna velocidad constante, conocida como velocidad de arrastre, .dv
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE DRUDE
εq td
dvm
En t = los electrones chocan con “iones” y regresan a v = 0
τ
ntonces, en promedio los electrones viajan con velocidad :
τy t0tentret,εm
q
τεm2
q d drift velocity o
velocidad de arrastre
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE DRUDE
τ
mv-εq
td
dvm
τ
v-ε
m
q
td
dv
ε
m
τqv
τ
1-
td
dv
tdτ
1-
εm
τqv
dv
τt-
εm
τq
ε
m
τqv
n
Si t >> τ
)t/τ-e-1(εm
τq v
constanted velocida, m
τq εv
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE DRUDE
σ εJ
εJ τm
q nq
t = 0
t =
vd
vd
vd
Δt Δtd
Δt
dnq vJ
t
qtAnI d
v τ
m
2enσ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE SOMMERFELDe basa en la descripción cuántica del movimiento de electrones libresgas de Fermi)
i no hay campo eléctrico externo, los electrones con k < kF se distribuyeimétricamente dentro de la esfera de Fermi. En presencia de un campoléctrico, la esfera de Fermi se desplaza.
k δ
d vk
m δ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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MODELO DE SOMMERFELDólo contribuyen a la conductividad eléctrica los electrones llevados fuerae la esfera de Fermi por el campo eléctrico.
3Fk
3
4π
δk 2Fk 4π
3
1nef n
Fvdv
nef n
Fqef n vJ
dnq vJ τ
m
2enσ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 338/610
Conductividad vs temperatura en metales
Si el cristal fuera perfecto no habrían choques de los electronescon la red. Los choques se producen por las impurezas y por
losfonones.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductividad vs temperatura en metales
τm
2enσ τ
m
2enσ
τ1
en
m ρ 2 τ
m
2enσ )
τ1
τ1
(en
m ρ
foni2 foni ρρ ρ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductividad eléctrica ensemiconductores
τmen
σ h
2
h
m τe μ
εvμ
e
ee
ee
m τe
μ εv
h
hh
hh
τ
m
enσ e
2
e
μenσ ee
μenσ hh
)e pμe(nσ he
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductividad vs temperatura ensemiconductores intrínsecos
) μ(enσ hei
μ he y
TK 2/-Eg Be(T)f σ
depende de la temperatura exponencialmente
depende de la temperatura polinomialmente
revalece el comportamiento exponencial
) μ he
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductividad vs temperatura ensemiconductores extrínsecos
vm
e μ -
r e
ee
μenσ ee
TK 23
vm21
B
2
r
-
e
μenσ ee
n un amplio rango de temperatura n = Nd semantiene constante. Los cambios de σ con la
mperatura se deben a la movilidad.
me
μ e
-
ee
( )
TK 3m
e μ 1/2
B1/2e
ee
-1e T
-3/2
e T μ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO HALL
Hε Hε
Si sobre una muestra por la que circula corriente eléctrica se aplica un campomagnético perpendicular a la corriente, entonces, aparecerá una diferencia de potencial en la dirección perpendicular a ambos. Sirve para determinar el tipo de portadores en semiconductores.
Hε Hε
0)B(vq Hd ε
Bvε dH
en
J- v x
d
BJen
1-ε xH
Bvε dH
xd
J v
p e
H x
1 ε J B
p e
en
1-R H
e p1
R H
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO HALL
BveB)(ve-F eeLe
0)B(vq Hd ε
enBJ
ε eLe
Bvε eLe
e pBJ-
ε hLh 2
he
2e
2h
) pμe(nμnμ pμ
R
( ) HheLhhLeey εμe pμenεμe pεμenJ
he
e
x
e
pn
n
JJ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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RESONANCIA CICLOTRÓNICA
GHz2,8B π2cω
c υ
Bve- r2mω
B*m
ecω
La resonancia ciclotrónica es comúnmenteusada para medir la masa efectiva del electrónen metales y semiconductores
B en kilogauss
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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RESONANCIA CICLOTRÓNICA
)(v
δ
Beπ2 cω
k
k
Bk vk
)(e- td
d
)(v
δk
Be δtT
k
tδ )(e - δ Bk vk
La trayectoria no es necesariamenteuna circunferencia:
v( k) es la velocidad normal a la órbita
B*m
ecω
Para electrones libres regresamos a:
:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO HALL YMAGNETORESISTENCIA
( )BvEv
e
τ
1
dt
d m
( )yxx vB Eevτ1
dtd
m
( )xyy vB Eevτ1
dtd
m
zz Eevτ1
dtd
m
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO HALL YMAGNETORESISTENCIA
ycxx vτωE m τe
-v xcyy vτωE m τe
-v zz E
m τe
-v
z
y
x
c
c
z
y
x
v
v
v
1 0 0
0 1 τω-
0 τω 1
E
E
E
m τe
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO HALL YMAGNETORESISTENCIA
z
y
x
-1
c
c2
z
y
x
E
EE
1 0 0
0 1 τω- 0 τω 1
m
τne
J
JJ
z
y
x
z
y
x
v
v
v
en
J
J
J
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EFECTO HALL YMAGNETORESISTENCIA
La resistividad es independiente del campo magnético
z
y
x
2c
c
c
2c
0
z
y
x
E
E
E
)τω(1 0 0
0 1 τω
0 τω- 1
)τω(1
σ
J
J
J
0
x x x x 0 x2c
σ0 E -E ; J (E ) J σ E
1 ( ω τ )c y c y
E
BJ en
1 -
m/τenJ
τω- Eτω- E x2x
cxcy
0(B) ρ
ne
1R H
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MAGNETORESISTENCIA
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PROPIEDADES TÉRMICASDE SÓLIDOS
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC – UNI JUNIO 2014
ARTURO TALLEDODoctor en Física
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Calor Específico de sólidos(definición)
Q T
El calor específico molar es definido como:
onde es el calor requerido para elevar en la temperatura de unamol del sólido.
y puesto que en sólidos el proceso se realiza aproximadamentea volumen constante, tendremos:
ΔTΔQC
VT
EC
Recordando la primera ley de la termodinámica: VP EQ
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Calor Específico de sólidos(Evidencia experimental)
El calor específico molar depende de la temperatura en la formamostrada en la figura:
A altas temperaturas el valor CV de cualquier sólido es aproximadamenteR donde R es la constante universal de los gases (R 2 cal/K) (Ley de
Dulong y Petit). Al disminuir T, el calor específico también decrece hastaacerse cero a 0K.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Modelo clásico
• Cada átomo es un oscilador tridimensional
• En un sólido con N átomos tenemos 3Nosciladores unidimensionales.• Los osciladores son independientes• Pueden tener valores continuos de energía
• Obedecen la estadística de Boltzmann.
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Calor Específico de la red(modelo clásico)
Cada átomo está fijo a un punto de red oscilando
como un oscilador armónico simpleRecordamos de Física elemental que la energía promedio para unoscilador unidimensional es
Entonces la energía por átomo, considerado como un oscilador 3D es3 y la energía por mol es:
TBk prom
TBk
TBk Av N3
R 3 Bk Av N3 V C l calor específico molar a V constantes entonces:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Modelo de Einstein
• Cada átomo es un oscilador tridimensional• En un sólido con N átomos tenemos 3N
osciladores unidimensionales.• Los osciladores son independientes• Sólo Pueden tener valores discretos de
energía• Obedecen la estadística de Boltzmann.
ωnnE
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Calor Específico de la red(modelo de Einstein)
0n
/E-e
0
/E-
e nE
n
n
T K
n
T K
prom
B
B
ωnnE
1
Tω/K
e
ω promE
B
os átomos son tratados comosciladores independientes pero
os valores de la energía estánados por la MECÁNICA CUÁNTICA
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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0n
/ωn-
0
/ωn-
0n
/E-
0
/E-n
e
e ωn
e
e E
n
n
T K
n
T K
T K
n
T K
prom
B
B
B
B
1
Tω/K
e
ω promE
B
T K B/ω-e
0n
0
nnω
n
n prom
x
x
x xn
11
0n 2n
1n
x
x x
dx
d x x
n
n
n
1-x
ω
x-1
xω E 1- prom
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Calor Específico de la red(modelo de Einstein)
1T/K ωe
Eω Av N3
BE
21T/K ωe
T/K ωe
2
TBK Eω
R 3 VBE
BE
21/Tθe
/Tθe 2TEθR 3 V
E
E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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2/Tθ
/Tθ2
E
V 1e
e
T
θR 3 C
E
E
A altas temperaturas, T >> , la expresión para CV se reduce a:
Eθ
0 e )(e T
θR 3 C /Tθ-/Tθ-
2
EV
EE
T B
Calor Específico de la red(modelo de Einstein)
Eθ
A bajas temperaturas, T << , la expresión para CV se reduce a:
R 3
1T
θ 1
1
T
θR 3 C 2
E
2
EV
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Modelo de Debye
• En un sólido con N átomos tenemos 3Nosciladores unidimensionales.
• Pero cada átomo no es un oscilador, sino cadamodo de vibración colectivo, cada fonón es unoscilador.
• Cada oscilador sólo tener valores discretos deenergía
• Obedecen la estadística de Boltzmann.• Cada oscilador tiene frecuencia diferente.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Calor Específico de la red(Modelo de Debye)
Cada modo de vibración de la red es considerado como
un oscilador cuántico con valores de energía ωn h
qsvω
ωd)(ωgω)(-EE
1Tω/K e
ω E
B
3sv
2ω
2 π2
3V ) (ωg
Se usa aproximación de vibracionesen sólido continuo
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Calor Específico de la red(modelo de Debye)
ωd
ω
0 1Tω/K e
ω
2ω3
sv2 π2
3V E
D
B
3/12sDAv
ω
0
n6vω N3 ωd)(ωgD
a integral es de 0 a un valor tal que:Dω
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Calor Específico de la red(modelo de Debye)
ωd
ω
02
1Tω/K e
e4ω
2TBK
2
3sv2 π2
3V VC
D
B
TBω/K
xd
/θ
02
1e
xe4x
3
Dθ
T 9R VC
D
T
x
ωd
ω
0 1Tω/K e
ω
2
ω3sv2 π2
3V
E
D
B
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Calor Específico de la red(modelo de Debye)
ara bajas temperaturas, T << :
3
Dθ
T R
5
4 π12 VC
Dθ
15
4 π4 xd
02
1xe
xe4x
ara altas temperaturas, T >> :Dθ
Dω2 4
V 22 3 2s B 0
B
3V ωC d ω 3R
2 π v K T 1 1
K T
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Calor Específico de la red(Teoría exacta)
ωd)g( )E( E
-
V
V T
E C
g
ω3
vdS
2πL )g(
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Calor Específico de los electrones
Considerando la contribución electrónica como la de un gas ideal:
C CC redeV
Kcal/mol3R 2
3 eC
Se esperaría entonces que la capacidad calorífica de los metales sea:
K cal/mol9R 4,5R 2
3 R 3VC
Sin embargo, el experimento contradice este razonamiento.Experimentalmente se observa que la contribución de los electronesal calor específico es sólo 0,01(3/2) R.
En metales:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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a or specí co e os e ectrones
No todos los electrones del metal contribuyen al calor específico:
FE
TBK Av Nef n
FE
2TBK Av NE
FE
TBK
2C Re
0 0
E E f(E) g(E) dE - E g(E) dE F E
Más exactamente:
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Calor Específico de los electrones
F F
0
E E f(E) g(E) dE N
F F
0
0 E = E g(E) dE N f
T T
2B
eF
K TπC
2 E
B NK
0
E f = E g(E) dE
T T
el C
0 0
E E f(E) g(E) dE - E g(E) dE F E
1e
1 (E)f Tμ)/K -(E B
F B
F B
(E - E )/K TF
(E - E )/K T2 2B
E - E e
K (e 1)
f
T T
F
B
E - E x =
K T
F
0
E f = (E - E ) g(E) dE
T T
el C
x2 2
F B 2x-
e g(E ) (K T) x dx
e 1
el C
N = n ó N = NA
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FERMI
0
0
0
dE
E
f H(E)f(E)H(E)dEh(E)f(E)
E
B
E
hT K
6
)( )H(dEh(E)f(E)
22
0
E
B
E
H T K 2
222
0 6
)( )H()dE
E
f (-H(E)
E
0
h(E)dE )( E
)´´()(21
)H´()-(E)H( )( 2 H E E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Cálculo de Cel
)()(6
)( dEg(E)EdEg(E)E f(E)
22
00
g g T K B
total
)(E-dEh(E)dEh(E) F
00
F
E
E H F
E
B
E
hT K
6
)( )H(dEh(E)f(E)
22
0
)(6 )( dEg(E)dEg(E) f(E)
22
00
g T K n B
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 373/610
Cálculo de Cel
)(6
)()(
6
)(EdEg(E)E
2222
F
0
F B
F B
F F
E
otal E g T K
E g T K
E g E F
)(6
)( dEg(E)
22
0
F B
F F
E
E g T K
E g E n F
)(6 )(0
22
F B
F F E g T K E g E
)(
)(
6
)( -E
22
F F
F B
E g
E g T K
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 374/610
Cálculo de Cel
2
F )2
(3
1 -1E
F
B
E
T K
)(2
E 22
0total F Btotal E g T K
)(3
22
F B
total
V E g T K T
E
C
B
F
BV nK
E
T K C
2
2
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 375/610
Conductividad térmica de los electrones
τvdx
dT
dx
dTΔT x
dxdT
K ΔA
QΔt1
H
FFF
2B
2
e vE2
TK nπ 3
1 K
2Fvm
2
1 E
fononesK eK K
*F
2B
2
m3
τTK nπK
v, velocidad de los electrones,
, trayectoria libre media
dx
dTcτvn
3
1
dx
dTcτvnH 22
x
dx
dT vC
3
1H Ve
v)T(cnH
v)nJcomo(asi q
vC3
1K Vee
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 376/610
Conductividad térmica vs conductividadeléctrica de metales
τm
2enσ
KL T
*
F2B
2
m3
τTK nπK
22-8 2 π
L = 2,45 10 watt-ohm/grad3
B K
e
Número de Lorentz
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 377/610
Valores experimentales del numero de Lorentz
L x 108 watt-ohm/grad2
Metal 00C 1000C
Ag 2,31 2,37Au 2,35 2,40
Cd 2,42 2,43
Cu 2,23 2,33
Ir 2,49 2,49
Mo 2,61 2,79
Pb 2,47 2,56
Pt 2,51 2,60
Sn 2,52 2,49
W 3,04 3,20
Zn 2,31 2,33
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 378/610
Conductividad térmica de la red
dx
dTK H
vT
NK 234 3
1 K s
3
DBfonones
fononesK K
vC3
1K Vfononese
A bajas temperaturas:
A altas temperaturas:
fonones sK v R
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 379/610
Resistividad eléctrica vs temperatura en metales
)τ
1
τ
1(
en
m ρ
foni2
i 2i
m 1 ρ = cte ,n e τ
(Ley de Mathiensen)
2
x
B2 Bω/K T1 ω k x K T2 e 1
f 2f
m 1 ρ Tn e τ
Ff 2
f
vmρ T
n e B
f F2
2 N K m ρ v T
n e k
1n A
2n1
x
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Resistividad eléctrica vs temperatura en metales
τm
2enσ τ
m
2enσ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 381/610
Movilidad vs temperatura en semiconductores
vm
e μ -
r e
ee
μenσ ee
TK 2
3 vm
2
1 B
2
r
-
e
μenσ ee
n un amplio rango de temperatura n = Nd semantiene constante. Los cambios de σ con la
mperatura se deben a la movilidad.
m
e μ
e
-
ee
TK 3m
e μ 1/2
B1/2e
ee
-1e T
-3/2
e T μ
Los electrones en el fondo de la BCobedecen la estadística clásica.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 382/610
EXPANSIÓN TÉRMICA
432
xf -xg-x )( c xU
)(
)(
xU
xU
edx
e xdx
x
T k c
g x B24
3
onsideremos la anarmonicidad del potencial y supongamos:
alculamos el desplazamiento medio utilizando la distribución de Boltzmannue da los valores posibles de x según su probabilidad termodinámica.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Fenómenos termoeléctricos
Efecto Seebeck
Efecto Peltier
Efecto Thompson
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO SEEBECK
n un circuito formado por dos metales distintos homogéneos, A y B,on dos uniones a diferente temperatura, T y T+ , aparece una corrienteléctrica J, o bien, si se abre el circuito una fuerza termoelectromotrizf.t.e.m.) VAB que depende de los metales utilizados en la unión y de la
iferencia de temperatura entre las dos uniones.
T Q ε
T QV
T A A QV
T B B QV
TQ - - A B A B QV V
TQ -A
B
QV
T
material B
material A
TT
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Cálculo de la termopotenciaelocidad de arrastre de los electrones debido al gradiente de temperatura
dx
dv
v-vxvv-xv2
1Q
2
vv
2
Qdx
d
2
Q
vv
2
d dT
dT dx
T
T d
d
2
Q
v
6v
m
e
d
v
ne
c
T d
d
eV
32
vm
3
1Q
2
e
k B2
Q
F
B B
E
T k
e
k
6Q
2
Drude Sommerfeld
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 386/610
EFECTO PELTIEREl efecto Peltier consiste en el enfriamiento o calentamientode una unión entre dos conductores distintos al pasar una corrienteeléctrica por ella y que depende exclusivamente de la composicióny temperatura de la unión.La potencia calorífica intercambiada en la
unión entre A y B es [Biel J. G., 1997]:
J B B
QT , J A A
J )( B A
Sale calorLlega calor
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO THOMPSONEl efecto Thomson consiste en la absorción o liberación de calor
por parte de un conductor eléctrico homogéneo, con una distribuciónde temperaturas no homogénea, por el que circula una corriente
Coeficiente de Thomson T
QT
T J
H
Q= termopotencia
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EFECTO TERMOIONICO
l efecto termoiónico consiste en la emisión de electrones de un filamentometálico por efecto de calentamiento.
1T
12 T T
Alto voltaje
Fuente para calentarfilamento
filamento
Altovacio
amperímetro
)( 1T S
)( 2T S
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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ste efecto se explica calculando la corriente debido a los electrones quesan a través de la barrera de potencial
trabajo función
EF
Nivel devacío
3
0)(v
22)(v)(v
L
d k
V
ek
V
e
k
E E
x
k
x x
x
F
z y x dk dk dk d
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Considerando la probabilidad de ocupación según Fermi Dirac.
T k E f dk k dk dk
m
e
xk x x z y x ,
2
2
min3
2 2 2 2
2 2
2
/2 /2
3
/2
2
4
y B z B
x B F
k mK T k mK T
x y z
k mK T
E x xm
edk e dk e
m
k dk e
K
B s BeT K
h
me /2
3
4
Formula de Richardson-Dushman para la corriente de saturación
BoltzmannT K B
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Corrección por factor de transmitancia cuántica en un potencial escalón.
0
3
4
e
F B
T K
B s E T K eT K h
me B /
4 /2
3
Corrección a la función trabajo por efecto de un campo eléctrico.
1/2 1/2
21/2 1/2
4 ( )
( )
E E U T
E E U
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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TEORÍA SEMICLÁSICA DECONDUCCIÓN
CAPÍTULO 9
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FACULTAD DE CIENCIAS UNI
Noviembre 2013ARTURO TALLEDO
Dr. EN FÍSICA
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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n
n
f d e k J n3 v4
nn
n
f E d k H n3 v4
FLUJOS DE CARGA ELÉCTRICA Y DE CALOR
Se llama función de distribución de no equilibrion
ujo de carga ( Densidad de corriente eléctrica):
lujo de calor:
Ec. (2)
Ec. (1)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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RELAJACIÓN
))((),(),,( 00 k k rk r nnn E f f t
En equilibrio:
Fuera de equilibrio :
),(),(
),,( 0 k rk r
k r f dt
t f d n
n
11
))(( /0
T K E n Be
E
k
Ec. (3)
/dt es la fracción de electrones que sufren una colisión ytambién la fracción de electrones que emergen hacia r, k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Cálculo de la función dedistribución de no equilibrio
34),,(
d dV t k r f dN
n
t
nnn
nnnn
t k t r
t t k r P t k t r f dt d dV dN
´)(´),(´);,,(´)(´),(´
4
0
3
´),(´)(´)(´ 0 t t P t f
t
dt t
n
P(t,t´) es la fracción de electrones que emerge en t´y sobrevive hasta t
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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La fracción P(t,t´)
´)(
´1´)´,(´),(
t
dt dt t t P t t
´´),(
´´),(
t
t t P
t
t t P
1),(
t t
t
t t
t d t t
´
exp´),(
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Cálculo de la función de distribución deno equilibrio
´),(´
´)(´)( 0 t t P t
t f dt t t
´)(´
´),(´)( 00 t f dt
d t t P dt t f t
t
T T
E μ-eE-
E
f t t P dt f t
t v
00 ´),(´)(
´´´´
´)( 0000
t
f
t
T
T
f
t
E
E
f
dt
t f d nnnn
n
r
r
r
r
k
k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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SIMPLIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN DE NOEQUILIBRIO PARA CASOS ESPECIALES
1) Campos eléctricos y gradientes de temperatura débiles
2) Campos electromagnéticos y gradientes de temperaturaespacialmente uniformes
3) Tiempo de relajación dependiente de la energía
t E t t t
E
f edt f t ´´),(
0/´0 k vk k
T
T
E μ--e
ε
Ec. (4)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DC
E
f E e f
00 )(()()( k k vk k ε
d e k vJ
34
n
n)(
k
k vk vk n E E
nnnn
n
E
f E
d e
3
2)(
4
εk k vk vJ
E
f E
d e
32
4
Ec. (5)
Si B = 0, T= constante, μ = constante, la ec. 4 se reduce a :
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DC
k
k vk vk n E E E
f E
d e
3
2
4
))((1 k k
k vk
E f E
f
n E E
k k
k k vk
n E E
E f E
d e
))((14 3
2
)(())((
4)( 3
2 k vk
k E f d
E e F
uvvu dV dV Teorema apéndice I
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EQUIVALENCA DE ELECTRONES YHUECOS
)(())((4)( 3
2 k vk k E f d E e F
)(4
)( 13
2 k M
ocupadosestados
F
d E e
))((4
)( 13
2 k M
sdesocupadoestados
F
d E e
Ec. (6)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Regreso al modelo de electrones libres
n
m
e
2
pm
e
2
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONDUCTIVIDAD TÉRMICA
t
E t t t E
f edt f t ´´),(
0/´0 k vk k
T
T
E μ--e
ε Ec. (4)
E
f E T
T
E f
00 ))(()()( k k vk k
B = 0, ε = 0, μ = constante, la ec. 4 se reduce a:
E
f E
T
E d
)))((()(v
4
02
3 k k vk H
E
d k H v
4 3
Ec. (7)
Ec. (2)
eemplazamos ec. (4) y ec. (7) en ec (2)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONDUCTIVIDAD TÉRMICA
)))((()(v4
02
3 E
f E
T
E d
k k vk K
2
22
3 e
T k BK
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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COEFICIENTES GENERALES DE TRANSPORTE
t
E t t t E
f edt f t ´´),(
0/´0 k vk k
T
T
E μ--e
ε Ec. (4
Si existen al mismo tiempo un campo eléctrico y un gradiente de temperatura
E d
k H v4 3
d
e k vJ
34 Ec. (1)
Ec. (2)
Ec. (7)
E
f E T
T
E e f
00 ))(()()( k k vk k ε
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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COEFICIENTES GENERALES DETRANSPORTE
Reemplazando ec. (7) en ec. (1) y ec.(2)
T L L 1211εJ
T L L 2221εH
Q potencia termoeléctrica, es el coeficiente de Peltier
)))((()(v4
1 0
312
E
f E
T
E d
e
k k vk
)))((()(v4
1 0
321 E
f E E
d
e
k k vk
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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COEFICIENTES GENERALES DETRANSPORTE
11 22 1112 LQ 1112 L
J )( B A
Sale calorga calor
Q es la potencia termoeléctrica y es el coeficiente de Peltier
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Otras Formas de Integrar
εk k vk vJ
E
f E
d e
32
4
)))((()(v
4
02
3 E
f E
T
E d
k k vk K
εk k vk vJ
E
f E dE
dS e
k
2
v
εk k vk vJ E
f
E dE E g e )(
2
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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PROPIEDADES DIELÉCTRICASY ÓPTICAS DE SÓLIDOS
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI
Noviembre 2013
ARTURO TALLEDODoctor en Física
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Permitividad Eléctrica
0E E
0 0σ E
D σ
0 r D E
0 r / E E
D σ
0 D E P
0( + ) D E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Permeabilidad Magnética
B
0B B
MB IL
N 0
0 Hr B
IL
N 00 B
H00 B Hr 0 B
0 B H H
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ecuaciones de Maxwell
aBE d dt
d- d
)I(Iμd d B
0da B
Q dε aE
t-
BE
tμεJμB
E
0 B
ρ Eε
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ecuaciones de Maxwell en el vacío
2 2
0 02 20
x t
E E
22
0 0 20
t
EE
0 B
0 E 0 t
-
BE
AAA 2 -)( )(
tμε 00
E
B
Identidad vectorial:
Aplicada a la tercera ecuación
Onda plana que se propaga a lo largo del eje XCon velocidad:
0 0
1c
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ecuaciones de Maxwell en mediosdieléctricos
2 2
0 02 2 0r r
x t
E E
22
2 0
t
EE
r r 0 0 r r r
1 c cv
nμ μ μ
c
0 B
0 E t-
BE
μt
EB
Identidad vectorial aplicada a la tercera ecuación
Onda plana que se propaga a lo largo del eje Xcon velocidad:
2r n
Nota: En general, depende de la frecuencia y puede ser real positivo, realnegativo o complejo, por lo tanto, en general n es número complejo n + ik
r
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Índice de refracción complejo ycoeficiente de absorción
ω ωkωi (n ik) x ω t i n x ω t-
c cc0 0E E e E e e
ω q (n ik)
cñ
c
x x
0
ckω
2
02 eIeIIE
t)ωx(qi0 eE E n
c
q
ωv
ωq nc
Si el índice de refracción es complejo, entonces:
c
kω2α
t )vx(qi0 eE E
α es el coeficiente de absorción. Laonda no sólo disminuye suvelocidad, sino que también se amortigua.
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Reflectancia normal
x
y
z
E1i
B1i
E1r
B1r
E1t
B1t
t)ωx(qi1i01i
1eE E
1q
t )vx(qi1r01r
1eB B
t)vx(qit02
2eE E
t)ωx(qi1i01i1eB B
t )vx(qi1r01r
1eE E
2 22 2
2
ñ
c q
qB E
2q
2
E
2B
t )vx(qit02
2eB B
1 11 1
1
ñ
c q
qB E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 417/610
Reflectancia normal
2 11r 1i
2 1
ñ ñE E
ñ ñ
21r 1i EEE
Condiciones de frontera:
x
y
z
E1i
B1i
E1r
B1r
E1t
B1t
1q2q
2E
2B
21r 1i BBB
1 1i 1r 2 2ñ ( E E ) ñ E
11t 1i
2 1
2 ñE E
ñ ñ
2
2 1
2 1
ñ ñR
ñ ñ
1ñ 1, vacío
2ñ n i k 22
22
k 1)(n
k 1)(nR
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Permitividad eléctrica y polarizabilidaden gases y líquidos
r 0 0
N χ (1 ) 1
Ep
0 D E P
0 0 r N α D E E E
pP N
0 D E P
onde N es el número de átomos (moléculas) por unidad de volumen yes el momento dipolar eléctrico de un átomo
χ N
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Permitividad eléctrica y polarizabilidaden sólidos
local Ep
3210 EEEEE
pP N
0 D E P
onde N es el número de átomos (moléculas) por unidad de volumen y p es el momentoipolar eléctrico de un átomo
0 es el campo externo
1 es el campo debido a las cargas deolarización en la superficie externae la muestra
2 es el campo debido a las cargas deolarización en la superficie de la esfera
E3 es el campo debido a las cargas
entro de la esfera.
3m EEEEE local
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Permitividad eléctrica y polarizabilidaden sólidos
local N EP local0
3
P
E E
0r
0
21 N α
3 Nα
13
E es el campo de Maxwell
Ecuación Clausius Mosotti
0 0 r
0
N+ =
13 N
D E E E
0
N
13 N
P E
r
r 0
1 Nα
2 3
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 421/610
Fuentes de polarizabilidad
olarizabilidad electrónica
Polarizabilidad iónica
Polarizabilidad dipolar
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dispersión de la polarizabilidad(experimental)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dispersión de la polarizabilidadelectrónica
22
0
2
ω-ω/me
ωα
ω
/meωα
20
2
loc220
2
00
)ωm(ω
eex Ep
t i
loceeE xmt d
xd m 2
02
2
tiω0exx
loc020
2 eEx)ωm(-ω
22
r 20 0
N (1 ) n constante
m
e
ω0 usualmente en el ultravioleta
en el visible
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 424/610
5. 1016 1. 1017 1.5 1017
10 17
10 17
10 17
10 17
10 17
10 17
3.91 1016
; ancho de linea
7.5731 1016
; frecuencia fundamental
lot b b2 x2 , x, 0.11 1010, 16.5731 1016
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Dispersión de la polarizabilidadelectrónica considerando relajación
tωi0
202
2
eE
m
e -
dt
dx xω
dt
xd tiω
02
2
eeEdt
dx bkx
dt
xdm
ti-022
0
eEiγωω
1
m
e ω)x(
iγωω
1
m
e ω)(α
220
2
iγωω
1me N ω)(
220
2
iγωω
1 ω)(
220
2 p
2 2 2 p 0
2 2 2 2 20
(ω ω )´( ω)
(ω ω ) + γ
2
p
2 2 2 2 20
( )´´( ω)
(ω ω ) + γ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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LORENTZIANAS
2 2 2 p 0
2 2 2 2 20
(ω ω )´( ω)(ω ω ) + γ
5. 1016 1. 1017 1.5 1017
0 34
0 34
0 34
0 34
0 34
0
34
5. 1016 1. 1017 1.5 1017
0 34
0 34
0 34
0 34
0 34
0 34
2 p
2 2 2 2 20
( )´´( ω)
(ω ω ) + γ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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LORENTZIANAS
5. 1016 1. 1017 1.5 1017
0 34
0 34
0 34
0 34
0 34
0
34
5. 1016 1. 1017 1.5 1017
0 34
0 34
0 34
0 34
0 34
0 34
Plot a x x2
b2
x2
b2
a2
x2
, x, 0.11 1010
, 16.5731 1016
Plot 1 b2
x2
x2
b2
x2
b2
a2
x2
, x, 0.0011 1010
, 16.5731 1016
a 3.91 1016
; ancho de linea
b 7.5731 1016
; frecuencia fundamental
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Propiedades ópticas de sólidos iónicos
02201
*
0 )(u E
M
e
022
02
*
0 )(u E
M
e
)( 00*
uuenm
Eeuu2uαtd
udM *
12n12n2n22n
2
2
Eeuu2uαdtudM *
22n2n12n212n2
1
)(0
t xqie E
*2
220 0 0 2
0
1( ) 1
1
e mr
P n e
E
21
21
M M
M M
21
20
112
M M
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Propiedades ópticas de sólidos iónicos
2
20
(0) ( )( ) ( )
1
r r r r
1 0 Observar que entre ω0 y ω1 la permitividad relativa es negativay por lo tanto la parte real delÍndice de refracción es cero
1/ 2
1 0
(0)
( )r
r
Frecuencia de modos longitudinales
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Propiedades ópticas de sólidos iónicos
1 0
1/ 2
1 0
(0)
( )r
r
Frecuencia de modos longitudinales
0 r E 0
rk 0EE .ie
0 r 0 k E
Las ondas planas tienen que sertransversales, pero si εr = 0,pueden existir modoslongitudinales
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Propiedades ópticas de sólidos iónicos
1
Reflectancia
22
22
)1()1(
k n
k n
Permitividad
0
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 432/610
Propiedades ópticas de sólidos iónicos
ca
2)(
Coeficiente de absorción
Resultados experimentales para el cloruro de sodio (b) y (c)
t
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Polarizabilidad dipolar en campoconstante
τ p- (t) p dtdp 0
/0)( t e pt
)1()( /
0
t e pt
l momento dipolar de una molécula es cero en ausencia de campo y puede alcanzar elalor p0 en presencia de éste. La forma cómo evoluciona el momento dipolar está dadoor:
donde se llama tiempo de relajación. τ
i en el instante t = 0 el momento dipolar es p = 0:
i en el instante t = 0 el momento dipolar es p = p0 y seimina el campo eléctrico, entonces:
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Dispersión de la polarizabilidad dipolar
τωi1
α(0)α(ω)
p(t)α(0)Eτ
1
dt
dp
tωieAE(t)
t-ieAα(0) E(t) α(0) p(t)
Se alcanzará una situación de “equilibrio dinámico” en la cual:
Supongamos que sobre nuestra muestra actúa un campo
La evolución hacia este “equilibrio estacionario” está dado por:
tωiα(ω)e p(t) Asumimos soluciones de la forma:
La polarizabidad no está en fase con el campo
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Dispersión de la permitividad en sólidosdipolares
ωττω1
n(0)ω
22
2r ''
r
Debido a su pequeña masa los electrones siguen al campo instantáneamente
Por simplicidad ignoramos las corrección del campo local y consideramos que lacontribución iónica es muy pequeña.
)()()( ''r
'r ir
22
2r 2'
r ω1
n(0)nω
τωi-1
n(0)nω
2r 2
r
Los campos E y D no están en fase
00
1)(
ed
r
0
2)(
d
r n
i
N nr
11
)(0
02
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Dispersión de la permitividad
τ
1ω ω'
r
Nótese que:
Si , entonces es una
constante igual a ω'
r
1
0r
Si , entonces disminuye ySe aproxima a n2
ω''r alcanza un máximo cuando
1
y la curva decrece a la mitad cuando 4/)1( 22
Para materiales dipolares τ es aprox 10-11 s (microondas)
ωττω1n(0)
ω 22
2r ''
r
22
2r 2'
r ω1
n(0)nω
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Absorción Óptica y Permitividad Compleja
a situación es que en los tres casos la permitividad es una funciónompleja de la permitividad. Mostramos en las dos diapositivasiguientes que la parte imaginaria de la permitividad eléctrica estáirectamente relacionada con el calor disipado por efecto Joule de la
orriente de desplazamiento.
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Absorción Óptica y Permitividad Compleja
dt
d d
D J
Re Re
d
dW
dt J E
0 r r (t) ( ´ (ω ) i ´́ (ω ) ) (t)d - i ω J E
Calor disipado por efecto Joule por unidad de volumen:
0 r r (t) ( ´ (ω ) i ´́ (ω ) ) i t se
D E
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Absorción Óptica y Permitividad Compleja
´́ ´r r e (t)d R I I R E Cos t E Sen t E Cos t E Sen t J
Re R I E Cos t E Sen t E
R(t) = (E i ) Cos t - i Sen ti t
s I e E E E
Promediando en un período la potencia disipada:
Re Red
dW
dt J E
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Absorción Óptica y Permitividad Compleja
Conclusión: la rapidez de absorción de energía por el medio esproporcional a la parte imaginaria de la permitividad eléctrica :
)(ω ''r
NOTA: La perdida de energía por unidad de volumen y por unidad detiempo es igual a la variación del vector de Poynting por unidadde espesor.
dW S (x+ x)-S(x)
dt
d S x
dx
2''0 r
dW 1 ( ) E
dt 2
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Propiedades ópticas de metales
220
1''
i
1)( 0
0E E i t
y e
E iω1
1
meτ
v *e
y
220
1'
Análogamente a modelo de Drude, expresión para conductividad ac :
τmv
-Eq td
dvm
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Propiedades ópticas de metales
JE
H
t 0
ωσ(ω)
i)(ω 0
)1()1(1 22
0
022
0
0'''
ii r r r
EE
H 0
t
i- EE
t t
EH i 0
Permitividad eléctrica compleja en metales:
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Propiedades ópticas de metales
n
k
ca
2)(
2222
)1()1(
k nk n
Reflectancia
Coeficiente de absorción
Îndice de refracción
Coeficiente de extinción
inñ r 2/1)(
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Propiedades ópticas de metales
'')( r r i
2/1
0
20
2
c
0 x I e
2/1
0
0
2/1''
22
r k n
1
1
Región de bajas frecuencias
Skin depth, profundidad de penetración
)1()1(1
220
022
0
0'''
ii r r r
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Propiedades ópticas de metales
p
2
2( ) (1 ) p
r
: 1 Región de altas frecuencias
onde q es la carga del electrón y N es la concentración de electrones
Li Na K Rb Ag
1,22 x 1016 Hz 0,89 0,593 0,55
p 155 nm 210 315 340
)1()1(1
220
022
0
0'''
ii r r r
Algunos valores de frecuencia de plasma:
*0
22
e
pm
Nq
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Propiedades ópticas de metales
2
2( ) (1 ) p
r
Si ω < ωp entonces n(ω) = i k
1 )1()1( 22
22
k nk n
Si ω > ωp entonces n(ω) = n real,Entonces el metal transmite comoun dieléctrico “normal”.
TRANSPARENCIA EN EL ULTRAVIOLETA
inñ r 2/1
)(
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Propiedades ópticas de metales
Si ω = ωp entonces = 0, la ecuación de maxwell:)(ωr
0 E
erá satisfecha para cualquier E, sin necesidad de que éste seaerpendicular al vector K , es decir, tenemos la posibilidad de modosongitudinales. A estos modos de oscilaciones longitudinales de los
lectrones se les llama plasmones
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PLASMONES
Al valor de frecuencia ω = ωp se tiene que εr = 0 y por lo tanto laey de Gauss permite la propagación de ondas
lectromagnéticas longitudinales.
0 E
++++++++++++++++++++++
--------------------------------------u
A
u en
A
uAenσ
2 2 2
20
d u N e N m = - N e E = u
dt
22
p2
d u + u = 0
dt
*0
22
e
pm
Nq
N e A u = N e u
A
Frecuencia de plasmón volúmico en unsólido ideal (infinito)
E(t)
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PLASMONES
Espectro de pérdida de energía para electronesque pasan a través de una película delgada demagmesio.
Espectrómetro con analizadorelectrostático para el estudio de
plasmones
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- k z( , ) A Cos k x eiU x z
- k z( , ) kA Cos k x e zi x z - k z( , ) kA Sen k x e xi x z
lasmones superficiales: Considere un plasma semiinfinito en el ladoositivo del plano z = 0. Una solución a la ecuación de Laplace en ellasma es:
) Demostrar quek z( , ) A Cos k x e , 0eU x z para z
atisface la condición de frontera para la componente tangencial de E..
ncontrar E0x.
) Demostrar que la condición de frontera par D requiere que εr = -1,or lo tanto
2 21
2 s p Prob 1 cap 10 Kittel 5ta edición
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Modo de plasmón de una esfera: La frecuencia del modo de plasmónniforme está determinado por el campo despolarizante de una esfera, donde= - n e r, y r es el desplazamiento promedio de los electrones de concentración n.emostrar usando la segunda ley de Newton que la frecuencia de resonancia delas de electrones es:
2
2*
03 p
e
Nqm
ebido a que todos los electrones participan en la oscilación, tal excitación es llamadana excitación colectiva o un modo colectivo del gas de electrones.
Prob 5 cap 10 Kittel 5ta edición
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SPR en un experimento de reflexióninterna total
i
i
Sen
n un experimento de reflexión interna total la intensidad reflejada es igual a lantensidad incidente. Sin embargo hay un campo evanescente que se propagalo largo de la interface. Si la onda evanescente tiene la frecuencia del plasmón
uperficial, entonces, la onda reflejada tendrá un mínimo.
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Modelo SPREETA Texas Instruments
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Texas Instruments (35 dolares)
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Transiciones interbandas en sólidos
t i
loceeE xmt d
xd m 2
02
2
220
2
ω-ω/meωα
Modelo cuántico, teoría de perturbaciones dependientes del tiempo:
0 j
220 j
j02
e ωω
f
me
ωα
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Transiciones interbandas en sólidos
2
0 V
vvc22
2
cv )tr,,()tr,,(dr´m
e ,t,ω,
t
cdt w k pAk k k
..exp 0 cct i rk eAA
),(u)(iexpt)(Ei-exp )tr,,( vvvvv-1
vv rk rk k k
pAr
m
e t),(H1
t
AE
)(Ve p2m
1H 2 rA
)(V p
2m
1H 2
0 r
A es el potencial vectorial magnético y se relaciona con E así:
De la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Transiciones interbandas en sólidos
2
0
vc1
22
20
2
cv vcω)t´EE(iexp´m
Ee ,t,ω,
t
dt w Mek k
2
vcvc
vc22
20
2
cv Me/EE
1/EEexp
m
Ee ,t,ω,
i
t iw k k
vv*cvvc u)(iexp u )(iexpr rk erk k Me
V
d
)-E-(E2Mem
Ee
td d
vc
2
vc22
20
2
w
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Transiciones interbandas en sólidos d)-E-(EMe
m2
Ee
dt
dWvc
2
vc222
20
2VC
d)-E-(EMe
m
e )( vc
2
vc222
0
22´´
r
vc E E
r )E-(E
MedS
me
)(vc
2
vc222
0
22´´
2/10
2
vc
3/2
2
*
220
22´´ E-Me
m2
me8
)(
r
Problema 24 capítulo 8 Omar
)-E-(E
E-EMe
me
)( vcvc
2
vc2220
22´´
k
r
dE dS
2)()(
22
v
k E k E k g
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Relaciones Kramers-Kronig
020
20
0 xx
dxu(x) P
π
x2)v(x
0
20
20 xx dxv(x)x Pπ2)u(x
│f(z)│ → 0 uniformemente cuando │z│ → ∞
f (z) = u(x,y) + i v(x,y) tiene singularidades sólo debajo del eje real
u(x) es par y v(x) es impar .
Entonces:
TEOREMA 1:
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Relaciones Kramers-Kronig
C zω
dω )(ωf
i2π
1f(z)
z
d)f( PP
iπ
1)(xf 0
0
0
xx
dx(x)v P
1)(u
x
0
0 xx
dx(x)uP
1)(v
x
0zω
dω )(ωf
C1
(z)f iπzω
dω )(ωf
PPzω
dω )(ωf
C1
Fórmula integral de Cauchy:
A través de contorno superior: ,0)(xz 0
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Relaciones Kramers-Kronig
0
0 xx
dx(x)v P
1)(u
x
0
00 00 x p
dp(p)v
xx
dx(x)v P
1)(u
x
0 0
0
0
0
0 xx
dx(x)v
xx
dx(x)v-
)x(x-
(-dx)(-x)v x- p
020
20 xx
dx(x)x v P
2)(u
x
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Relaciones Kramers-Kronig
0
0 xx
dx(x)uPP
1)(v
x
0
00 00 x p
dp(p)u
xx
dx(x)uPP
π
1)v(x
0 0
0
0 xx
dx(x)u
)x(x-
(-dx)(-x)ux- p
020
20
0 xx
dx(x)uPP
π
2x)v(x
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Relaciones Kramers-Kronig
0
22
s
ds(s)''s P
2)('
ωs(s)χ
PPiπ
1χ(ω)
)(ω'χ'i)(ωχ' )(ωχ
Demostraremos ahora que la susceptibilidad eléctrica
022 ωs
ds(s)χ' P
π2ω
)('χ'
Satisface las condiciones del teorema 1 y por lo tanto:
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Relaciones Kramers-Kronig Obsérvese que si extendemos la susceptibilidad como una funcióncompleja de variable compleja, entonces χ (ω) :
4 donde
2
i- ω
220
2001,2
iγωω
1 ω)( 220
2 p
satisface las condiciones del teorema 1.
Efectivamente:
Los polos están en la parte inferior del plano complejo y son:
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Relaciones Kramers-Kronig
de E E(t) ti-0
Consideremos ahora la transformada de Fourier de la susceptibilidad:
0 tsi , e
υ
t υSen ω
0tsi 0,
G(t) t/2-
0
02
2 p
que la interpretamos como la respuesta del material a un pulso decampo eléctrico:
Hay varias maneras de evaluar la integral A, pero sólo una conduce aResultados físicamente compatibles con principio de causalidad:
,
ωiγωω
dωe ω G(t)
220
t-i2
p
… A
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Relaciones Kramers-Kronig
)(ωE)(ωχ )P(ω (t)Eχ(t) (t)P
de)ωP( P(t) tωi-
Consideremos ahora la relación entre los campos E y P y susrespectivas transformadas de Fourier:
P(t) G (t') E (t-t') d ' , donde....t
Por teorema de convolución
de)tP( )P(ω tωi
de)ω( G(t) ti-
χ
dωe)(ωE)ωχ( )P(t tωi-
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Relaciones Kramers-Kronig
dωe G(t) )(ωχ 0
tωi-
En general, las relaciones Kramers Kronig se cumplenindependientemente del modelo, para cualquier
impar ´
par deG(t) )(ωχ ti-
Efectivamente, puede verse que esta función considerada como unafunción definida en el plano complejo satisface las condiciones para elteorema 1. (La única condición que debe cumplir G(t) es que:
tcuando 0 G(t)
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Relaciones Kramers-Kronig para la permitividad
En general, las relaciones Kramers Kronig se cumplen
independientemente del modelo, para cualquier
022s
ds(s)''s P
2)('
022 ωs
ds(s)' P
π
2ω )(''
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Bibliografía sobre relaciones Kramers-Kronig
• Mathematics for Physicists P. Dennerysección 23.
• Introduction to Solid State Physics 5taedición, capítulo 11
• Classical Electrodynamics second editionJ.D.Jackson
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Polarizabilidad dipolar vs temperatura en gases
d)f(
d)f( p p
x
x
T T BB K /Cos pE-V/K e e f
θCosE p- V . Ep
nergía potencial de un dipolo en un campo eléctrico:
romedio de la polarización en presencia de un campo E a lo largo delje X:
/
0x
/
0
Cos 2
p
2
B
B
pECos K T
pECos K T
p e sen d
e Sen d
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Polarizabilidad dipolar vs temperatura en gases
x p p L u
1L u = Coth(u) - u
B
p Eu =
K T
Si u << 1 ( campo pequeño) entonces:
2
xB
p p E
3K T
2r
r 0
1 1
1 3 3e i
B
p
K T
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Polarizabilidad dipolar vs temperatura en sólidos
B-2 p E / K w e
1-w
B
B
-2 p E / K
-2 p E / K ew 1 e
T
T
B-2 p E / K 1w e
2T
x p = p (1- w) - p w = p ( 1- 2w)
B-2 p E / K x p = p 1 - e T
2
dB
2 p
K T
Dos orientacionesosibles para p
i pE mucho menor que KBT
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CRISTALES FERROELÉCTRICOS
on aquellos cristales en que puede existir una polarización aún enusencia de campo externo.
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CRISTALES FERROELÉCTRICOSa ferroelectricidad ocurre sólo en algunos pocos materiales y porebajo de una cierta temperatura TC llamada temperatura de Curie.
Típicamente:
CC
T T , TT
CB )(r ε
r r B 5, 1000C
C
T T
Divergencia deCatastrofe de la polarización
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CRISTALES FERROELÉCTRICOSAlgunos materiales ferroeléctricos:
Material TC (K) Ps en esu cm-2 a T (K)
KH2PO4 123 16000 (96)KD2PO4 213 13500 -
RbH2AsO4 147 16800 (90)
KH2AsO4 96 15000 (80)
BaTiO3 393 78000 (296)
SrTiO3 32 9000 (4)
WO3 223 -KNbO3 712 90000 (523)
PbTiO3 763 150000 (300)
Sulfato de triglicina 322 8400 (293)
Seleniato de triglicina 295 9600 (273)
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CRISTALES FERROELÉCTRICOS
r C
T C
T T
r
21
3 1
1
3
3
p
2
T K B
Asumiendo polarizabilidad dipolar:
El modelo parece conducir naturalmente al fenómeno de ferroelectricidad, pero noestá de acuerdo con los rultados experimentales: Para el agua:
2
0 B
2Np
C 9 K
2
0 B
N p
T 9 K C
debye0,62 py103
1 329 m K 1100 T C
Sin embargo el aguano es ferroeléctrica
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CRISTALES FERROELÉCTRICOS
2r 2 2
t
A( ω) n
ω ω
0u2 d 2
2
t d u
2
ω2t
2r 2
t
A( 0) n
ω
El fenómeno de ferroelectricidad se asocia con polarizabilidad iónica
El fenómeno de ferroelectricidad se asocia con polarizabilidad iónica,¿Por qué decrece ωt?
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CRISTALES FERROELÉCTRICOS *
0 0
P N eE
3 3
u
2 *2*
20
d 2Ne 2 - u 2
3u
e E d t
E et d u *2
2
2u2 d
*
*2t0
2 2Neω - 3
**2 2t
0
2Neω -
3t
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CRISTALES FERROELÉCTRICOS
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Cristales ferroelectricos
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CRISTALES FERROELÉCTRICOS
0Pg)PT-(Tγ 3s4s0
)T-(Tγg 02
TTgγ
P 04
2s
66
44
220 2
1Pg
21
Pg21
gPE F P g
56
342 PgPgE-0 P
F P g
2/10
2/1
4s TT
gγ
P
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PROPIEDADES MAGNÉTICASDE SÓLIDOS
Física del estado sólidoFC-UNI
Noviembre 2013
ARTURO TALLEDODoctor en Física
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Revisión de fórmulas básicas
Lμ 2m
e- m
Bμ -V m
Sme- m
μ
2m r
2
e AI
Bμτ m
B
2r ωmL Momento angularorbital
Momentomagnético
Razón giromagnética orbital: -e/2m
mμRazón giromagnética de spin: -e/m
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Revisión de fórmulas básicas
Bμμ 2m
e- dt d
LmB2m e
E
τL
dt
d
BL 2m
e E z
Segunda ley de Newtonrotacional
Frecuencia de
Larmor2m
eB ωL
Magnetón deBohr
0B 0B
0l m
1-l m
1l m
2m e
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Susceptibilidad Magnética
B
0B B
MB IL
N 0
1 0
IL
N 00 B
H00 B
1r
MB H 00
H00
B
M
Permeabilidad magnética del
material
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as cac n e os ma er a esmagnéticos
Paramagnéticos : 0
Diamagnéticos : 0
Ferromagnéticos : 510
Al, Mn, W
Cu, Au, Hg, agua, H
Fe, Ni, Co
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Diamagnetismo de Langevin
r ω2
e AI 2
0el
r ωm F 200
m2
Be -ω 0
r ωm rωBe -F 20
Momento magnético delelectrón:
r Bωe- rωm -rωm 20
2
Aproximación válidapara campospequeños v
0FLF
B
Paul Langevin
(1872–1946)
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v
B
μ
L
0FLF
v
B
μ
L
0F
LF
Electrón girando en sentido horario
Electrón girando en sentidontihorario
n cualquier caso el momento magnético orbital se hace mas negativoespecto al campo B
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Diamagnetismo de Langevin
B4m
r e -
22
2 prom
20 r Z N
6me
-
B6m
r e -
22
-5-202 prom
329 1010r 10, Z,10 m
Si la órbita fueraplana
Para una nube electrónicaesférica
B
Mμ
Η
M χ 0
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Diamagnetismo de Langevina susceptibilidad diamagnética es más claramente observadan aquellos sólidos en que las capas atómicas estánompletamente llenas
Elemento Susceptibilidad (X 10-6)
He - 1,9
Ne - 7,6
Ar - 19,0
F - - 44,0
Cl - - 24,2
Br - - 34,5
Na+ - 6,1
K+ -14,6
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Paramagnetismo: modelo clásico
B B-V/K B Cos / K f e eT T
nergía potencial de un dipolo en un campo magnético:
Promedio de la polarización en presencia de un campo B a lo largo deleje Z:
/
0z
/
0
Cos 2
2
B
B
BCos K T
BCos K T
e sen d
e Sen d
CosB- V Bμ
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Paramagnetismo: modelo clásico
2
B
N μM = N = B
3K T z
z L v
1
L v = Coth(v) -v
B
m Bv =
K T
Si v << 1 ( campo pequeño) entonces:2
zB
B3K T
20
B
μ μχ =
3K TSusceptibilidad paramagnética deLangevin o ley de Curie
María Sklodowska1867-1934
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Paramagnetismo: modelo cuántico
Jμ 2m
e-g
2
1 m j
Bμ g ΔE B
T K E T K E
T K E
B B
B
ee
e//
/
1 21
1
T K E T K E
T K E
B B
B
ee
e//
/
2 21
2
z j B
eE - - μ B g m B g
2m jm B
μ B
B g
2
1 -E B1
B g
2
1 E B2
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Paramagnetismo: modelo cuántico
T K BT K B
T K B
B B B B
B B
ee
e//
/
1
T K BT K B
T K B
B B B B
B B
ee
e//
/
2
21B N NμgM
Tanh xμ Ng ee
ee μ NgM Bx-x
-xx
B
T K
B g
B
B
T K
g N
B
B
20
T K
N
B
efect
3
20
Fig. 9.9
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Paramagnetismo
El origen atómico del magnetismo
Figura 9.10
i
iLL
SLJ
i
iSS
Jm2e-gθCosμμ prom
1 j2j
1-1ss1 j j 1g
ll
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Paramagnetismo
Reglas de Hund
) El número de spin s toma su máximo valor permitido según
Pauli ) El número l toma su máximo valor permitido segúnPauli consistente con 1.
) Si la capa es menos llena que la mitad, j = | l – s |, yi la capa es mas llena que la mitad, j = | l + s |,
EJEMPLOS:
3Pr
Un electrón f
Dos
electrones f
3Ce 2
5 S-L ,3 ,
2
1 s l
l ls 1, 3, m 2, L = 5, J = L - S 4m
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Paramagnetismo en Metales
T K B
B
20 N
Densidad de estados de electroneslibres (a) en ausencia y (b) enpresencia de un campo B
Bμ)(Eg 2
1 N BFef
2ef B F B B B F
1M N 2 μ g (E ) μ B 2μ μ g(E )B2
)g(Eμμ χ F2B0 p
F
p T
T
2
3 χ
En los metales, la susceptibilidad no
depende de la temperatura y susvalores son menores
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Ferromagnetismo
f T-T
C
Figura 9.15Figura 9.14
Magnetización espontánea debajo de una cierta temperatura,amada temperatura de transición o temperatura de Curie.
Por encima de dicha temperatura la susceptibilidad magnéticabedece la ley de Curie - Weiss.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ferromagnetismo de la redLa teoría del campo molecular
MλΗW
TK
MλμgμTanhμg NMB
B0B
..(A)xμgμTK
MB0
B
(B)...Tanh xμg NM B
2B0
f B
μg N
Tk
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Ferromagnetismo de la redLa teoría del campo molecular explica también ley de Curie
totΗ W H H
0 B0
B
μ g μM M (H+λM)K T
f
f
T 1 M H
T- T
f T C
f
C
T- T
Tanh xμ Ng M B
T K
B g
B
B
2B0
f B
μg N
Tk
H T
T T M
f
1T1 f
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Ferromagnetismo de la redEl origen físico del campo molecular
W0B2 μ μsg sJ'z
μg Nμ J'
2B0
z
2B
12 0 3
μV μ tres órdenes de magnitud menos que experimento
r
21exch . j'-V ss
r επ4
e V
0
2
exch Criterio de Slater: cuando r/2r a >1,5(r distancia interatómica y r a radio atómico) j´se hacepositivo. Es la misma fuerza entre spines que explicaprincipio de Pauli pero favorece spines paralelos.
Vexch
y j´ energía y consante de intercambio,j´ positivo
¿interacción dipolar?
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Antiferromagnetismo
Fluoruro demanganeso
1nTT
C
Orden ferromagnético Orden antiferromagnético
Susceptibilidad paralela y perpendicular alcampo para el MnF2.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Antiferromagnetismo
¿Cómo se diferencia un antiferromagnético de un paramagnétco?
1. Por el comportamiento de la susceptibilidadad magnética
2. Por experimentos con difracción de neutrones
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Antiferromagnetismo
Datos de materiales antiferromagnéticos
Substancia TN (K) TN1(K)
MnO 116 610FeO 198 570
CoO 291 330NiO 525 2000
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Ferromagnetismo en metales
El modelo de electrones itinerantes: La figura muestra densidade estados para banda 3d. Si no hubiera campo B, la
magnetización sería cero. La interacción de intercambio produceB = HW tiende a alinear los momentos en la dirección paralela.
Bandas 3d
e acuerdo a la teoría anterior, el momento magnético de un átomo deberíaer s donde s es entero o semientero, sin embargo toma valores 2.22,.72 y 0.54 respectivamente para Fe, Co y Ni respectivamente.
Bμ
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Ferromagnetismo en metales
El modelo de electrones itinerantes
2B0
20W μ2μ
2
1Mμ
2
1MΗμ
2
1 MB
2
1
F
2B0 Eg
2 μλμ2
nergía que pierde un electrón cuando su momento magnético rota 1800
Energía cinética que un electrón gana por encima del nivel de Fermi?
FEg
2 E respuesta
E n FEg
2
1
Condición para que los electrones de la BC produzcan ferromagnetismo:
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Ferromagnetismo en metales
Densidad de estados en las bandas 3d y 4s del níquel
(EF) produce ferromagnetismo porque cuando g(EF) esrande acomoda más electrones en un rango pequeño
e energía
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Dominios FerromagnéticosEn su estado natural los materiales ferromagnéticosestán usualmente desmagnetizados
Weiss postuló que el cristal está subdividido en un granúmero de dominios y cada dominio sí está magnetizado
os dominios se pueden ver en un microscopio, puliendoien la muestra y colocando un polvo fino ferromagnéticoobre la superficie
os dominios se forman para minimizar la energía totalonstituida por cuatro contribuciones:
nergía magnetostática, energía de intercambio en las paredes de Bloch,nergía magnética anisotrópica y energía de magnetostricción.
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Dominios Ferromagnéticos
Los cuatro tipos de energía
a energía magnetostática disminuye cuandon dominio grande se divide en 2 porque hay unctor de desmagnetización pequeño paraeometrías alargadas.
La interacción de intercambio hace quecuando un spin rote 1800 para formaruna pared se consuma energía. Estolimita el número de dominios.
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Dominios Ferromagnéticos
Los cuatro tipos de energía
El efecto de la energía de anisotropía es
reducir el espesor de la pared porque cuandomás gruesa es la pared, más spines apuntan
en la dirección díficil
Pequeños dominios en
los bordes relacionados A la energía deMagnetostriccion.
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Dominios Ferromagnéticos
Figura 9.24: Observación de los dominios ferromagnéticos conayuda de un microscopio óptico
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Dominios Ferromagnéticos
El Proceso demagnetización
En cada ciclo se pierde energía igualal área de la curva de histéresis:
Figura 9.29
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Dominios Ferromagnéticos
Disposición experimental para observar la curva dehistéresis
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SUPERCONDUCTIVIDAD
CAPÍTULO 12FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
FC UNIDiciembre 2013
ARTURO TALLEDODoctor en Física
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RESISTENCIA ELÉCTRICA CERO
eike Kamerlingh Onnes
aboratorio Leiden, HolandaEstudió en Alemania, susrofesores: Bunsen yirchhoff]
En un material superconductor la resistencia eléctrica es nula.Esto generalmente ocurre por debajo de una temperaturacrítica Tc . Por encima de esta temperatura el material es un
metal normal.
Se han observado corrientes que persisten varios años. R = 0 , R = 10-25 ohm.
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RESISTENCIA ELÉCTRICA CEROEn los metales existe una resistividad eléctrica residual atribuida alos choques de los electrones con las impurezas
Los gráficos muestran la comparación del comportamiento de laResistividad eléctrica en un metal y en un superconductor.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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a forma como se produce la transición de metal a superconductorepende de la concentración de impurezas. En un metal puro laransición es abrupta.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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OCURRENCIA DE LA SUPERCONDUCTIVIDAD
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DIAMAGNETISMO PERFECTO OEFECTO MEISSNER
Observación hecha en Berlín en 1933 por dos físicos alemanes
Walther Meissner y Robert Ochsenfeld.
n una serie de experimentos con cilindros superconductores,emostraron que por debajo de Tc , el flujo magnético es súbita yompletamente expulsado.
MHB 0
HB 10
HM
1
l campo B dentro de un cuerpo en estado superconductor es cero.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIAMAGNETISMO PERFECTO OEFECTO MEISSNER
l efecto Meissner-Ochsenfeld podría ser la base de un tren de levitación magnética.
Diamagnetismo perfecto significa también que el superconductor repele
cualquier imán.
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CAMPO MAGNETICO EN UNAESFERA PARAMAGNÉTICA
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Blindaje magnético
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EFECTO ISOTÓPICO
Ha sido observado que la temperatura crítica de los superconductoresaría con la masa isotópica. Las primeras observaciones fueron hechas
por Maxwell y Reynolds (1950-51). En mercurio Tc varía de 4,185 a,146 K cuando la masa atómica media varía de 199,5 a 203,4.
constantecT
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EFECTO ISOTÓPICO
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CAMPO CRÌTICOoco después que Onnes descubrió la superconductividad, se descubrió
ambién que la superconductividad puede ser destruida por el efecto de unampo magnético. Si un campo magnético suficientemente fuerte,
amado campo crítico es aplicado a una muestra superconductora, ellauelve a ser normal y recobra su resistividad, aun a T menor que Tc.
2
1)0()(c
ccT
T T HH
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CAMPO CRÌTICO
Tabla
Algunos valores de campo crítico para algunos superconductores
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Superconductores tipo I y tipo II
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TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓNSUPERCONDUCTORA
n esta sección tratamos de unificar las observaciones anteriores.El pico de CV en T = Tc indica un apreciable incremento de la entropía(desorden) cuando T aumenta hacia Tc y la transición hacia el estadonormal es inminente. El estado superconductor tiene un orden mayor queel estado normal. cT T be /
V aC El comportamiento exponencial implica la presencia de un gap de energía en el espectrode los electrones. Este gap que está justo en el Nivel de Fermi previene a los electrones de serRápidamente excitados.
eT c4
B 10k
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TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓNSUPERCONDUCTORA
a densidad de estados g(E) vs E para un superconductor, ilustrando el gauperconductor en el nivel de Fermi. Está magnificado.
e E F 0001,0/
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TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓNSUPERCONDUCTORA
A N EEΔE
cc H H
dH H BdM 0
0
0
)(ΔE
2
02
1
ΔE c H
)0(21
ΔE 20 c H A 0K:
33 /10ΔE m J Si Hc(0) = 500 gauss,
energía de condensación, equivalente a calor latente de cambiode estadoΔE
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TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓNSUPERCONDUCTORA
y,,HRe C E T entrelación C
F
c B
E
T k n2
ΔE
)0(21
ΔE 20 c H
c
F
Bc T
E nk
2/1
0
2
2)0(
H
F
c B
E
T k nef n
GaussT c 10001,0)0( H
,10,5,5 3290 mneV E K T F c
)0(21
ΔE 20 c H
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EL MODELO DE DOS FLUIDOS
Los electrones de conducción en una sustancia superconductora son dedos clases: superelectrones y electrones normales. Los superelectronestienen algunas propiedades especiales: no chocan, tienen entropía cero,
(orden perfecto) y una gran longitud de coherencia (104 Å). El númerode electrones depende de la temperatura. En 1934, Gorter y Casimirencontraron que la concentración de los superelectrones debe estardada por:
4
s 1cT
T nn
A 0K todos los electronesson superelectrones perocuando T aumenta, lossuperelectrones decrecen ennúmero y a T= Tc, todos son
electrones normales.
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EL MODELO DE DOS FLUIDOSl modelo de dos fluidos explica la resistencia cero del superconductor.ara T menor que Tc, algunos superelectrones están presentes y puestoue tienen resistencia cero, cortocircuitan a los electrones normales.
El modelo puede relacionarse al concepto de gap. Todos loselectrones debajo del gap están congelados en su estado demovimiento. Aquellos encima del gap son electrones normales. Elgap decrece cuando la temperatura aumenta y desaparece a T = Tc.Cuando T tiende a Tc y el gap desaparece, todos los electrones sehacen normales.
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ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES
εed
m dtvs ss ven s J εJ
m
en
dt
d s s
2
0ε
n el estado estacionario, el campo eléctrico dentro de un superconductoresaparece. La caída de voltaje a través de un superconductor es cero.ntonces, de acuerdo con la ley de Faraday:
00 dt
d Bε
En estado estacionario el campo magnético dentro del superconductores constante, en contradicción con el efecto Meissner. Este formalismorequiere una modificación:
s J e
sn
ma
dt s
dJ
e sn
m
dt
d e
22BB
εJ
m
en
dt
d s s
2
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 538/610
ELECTRODINÁMICA DESUPERCONDUCTORES
s
J
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m
2
B Ecuación de London
sJB0
BBm
en s
202
Ley de Ampere
F y H London
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 539/610
ELECTRODINÁMICA DESUPERCONDUCTORES
BBm
en s
202
y s y
m
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xB
B 20
2
2
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BB
2/1
20
en
m
s
Profundidad de penetración de London
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 540/610
ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES
Cálculos a mano alzada muestran que lo cual seerifica experimentalmente
A500
Otra confirmación impresionante es la variación de con la temperatura.
4
s 1cT
T nn
2/1
20
en
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s y
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4
4
10
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20
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mcon
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 541/610
ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES
/0
2/1
0
2
xe s xm
e
s
n
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JBJ
Una tercera conclusión de la teoría de London es la existencia de unaorriente eléctrica fluyendo cerca de la superficie.
/0 xe y y
BB s J e
sn
m 2By Entonces:
El efecto Meissner está acompañado de una corriente superficial.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 542/610
LA TEORÍA BCSDos electrones dentro de la esfera de Fermi se repelen entre sí por lanteracción coulombiana. Esta fuerza de Coulomb es reducidaustancialmente por el apantallamiento debido al resto de electrones en
a esfera de Fermi. Es más, es posible una fuerza atractiva entre doslectrones, lo cual permite que dos electrones se atraigan entre sí yormen una especie de molécula: el par de Cooper . La energía de enlacees más fuerte cuando los electrones tienen k opuestos y spines opuestos
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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LA TEORÍA BCS
uponer que dos electrones 1 y 2 pasan uno cerca del otro como semuestra en la figura. Debido a su carga negativa el electrón 1 atrae ionesositivos de modo que el electrón 2 ve un electrón apantallado por losones. El apantallamiento reduce la carga efectiva del electrón. Si estoucede el electrón 2 será atraído hacia el 1.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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LA TEORÍA BCS
e dice que el electrón 1 es rodeado por una nube de fonones y quentre los dos electrones hay una interacción atractiva por intercambio de
onones. El electrón 1 emite un fonón que es rápidamente absorbido porl electrón 2.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 545/610
LA TEORÍA BCS
2/ ´4
0
F
D
g E V e
a teoría muestra que el gap de energía a temperatura cero está dado por:
Donde es la frecuencia de Debye, g(EF) es la densidad de estados paral metal normal en el nivel de Fermi, y V´es la intensidad de lanteracción electrón-fonón.
D
Los estados en el rango de energía
Son ahora prohibidos y la funcióndensidad de estados experimentadeformaciones como se muestra en lafigura.
0 01 1,2 2 F F E E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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LA TEORÍA BCSa teoría BCS muestra que la temperatura crítica está dada por:
0 3,52 B ck T a tabla muestra algunos resultados experimentales:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 547/610
TUNELAJE NORMAL
Al cero absoluto no puede fluir corriente hasta que se aplique un voltaje
ee
g E
V 20
2
l gap es la energía necesaria para que un par de Cooper se disocie endos electrones, o un electrón y un hueco en el estado normal.
0
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 548/610
superconductor superconductor
EFECTO JOSEPHSON DC
21
T
t
i 1
2
T
t
i
212211 y ii enen
)( 1200 Sen J Sen J
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 549/610
superconductor superconductor
EFECTO JOSEPHSON AC
121
eV T t
i 212
eV T
t i
./2)0()( eVt t
/200 eVt Sen J
eV 2
Cuando un voltaje dc es aplicado a través de la unión, se obtendrá unaorriente alterna.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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SQUID: Superconducting quantum interference device
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 551/610
) La producción de grandes campos magnéticos. Al decir grandes noseferimos tanto a una gran intensidad del campo magnético como alspacio en el cual se crea el campo.) La fabricación de cables de transmisión de energía. Aunque éstos yae manufacturan a partir de los superconductores convencionales (no de
os nuevos superconductores cerámicos), actualmente no sonompetitivos comercialmente con respecto a los cables aéreos normales,menos de que cubran una gran distancia (de cientos de kilómetros). En
os casos en que las líneas de transmisión deben ser subterráneas, habríaierta ventaja económica con la utilización de los cablesuperconductores.
) La fabricación de componentes circuitos electrónicos. Estosispositivos electrónicos fueron ideados originalmente con la intencióne utilizar la transición de estado normal a estado superconductor comon interruptor, mas resultaron decepcionantes con respecto a los logroslcanzados por los transistores de películas delgadas y se ha abandonadou uso en este aspecto
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 552/610
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR
,,,,
,,,2112
21
)()(Hk k K k K k
K k k
k k
k
aaaa K U aak
enemos N electrones, cuya energía es principalmente cinética, en estadosndicados por el vector de onda k y el spin σ, y que interaccionan a travésel potencial U(K )
l primer término representa la energía cinética de los electrones medidaartir del nivel de Fermi.l segundo término representa la interacción entre electrones a través deos fonones.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR
,,,,
,,,2112
21
)()(Hk k K k K k
K k k
k k
k
aaaa K U aak
v ,v
v ,v
k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k
aaubaaub
aaubaaub
k k k k SenCosu v,0v22
k k u
k k K k K k
K k
k k k k
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K k K k k k
K k
k
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uu K U k
v)(vv2
vv)(v)(2H
,
22
,
2
ransformaciones de Bogoliubov: tienen en cuenta propiedades de
mparejamiento
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 554/610
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR
k k K k K k
K k
k k k k
k
K k K k k k
K k
k
k
bbu K U uuk
uu K U k
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vv)(v)(2
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,
2
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K
k k k k u K U uuk
0v22 k k u
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w
k K k uU v0
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 555/610
EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR
k
k
k
k u
k
k
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2
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k U
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7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 556/610
EL ESTADO FUNDAMENTALSUPERCONDUCTOR
.)(21
22/122
020
00
k
k k
El estado fundamental es un auto estado de H con una energía más bajaque la de una esfera de Fermi llena de electrones.
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 557/610
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
22
22 x
C
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p x
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0
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1,1
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C P Q
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 558/610
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
12 22 Q P
P iQ P iQ 2,2
21
2 0220
hQ P h
12 22 Q P
1222 Q
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 559/610
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
,22
22
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21
,2 0
220 N hQ P h
1
N N
n
1 n
1-n propiovalorel para Nde propiafunción
0
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 560/610
EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
N
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1
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nn
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 561/610
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
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C
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2 Ru R R D Ru R P
M R R R
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 562/610
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
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, 21
k k k k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 563/610
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
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R P R P Ru Ru
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crecíprocaredladevectores ,
recíprocaredladevectoresno,0.
k
k
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´´´´,
´´´´,
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s
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k k k
k k
k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
R k k k
k
k e
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, )(2
1 i
s s s
s s
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k eR P .,
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N
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3
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0,0. Rei
k
R k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 565/610
TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO
s s s
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R P M
k k k k
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2 )(41
)(21
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s
sU k k k k
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)(41
s
s s s
, 21
k k k k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través delcristal, la interacción del potencial periódico con los electrones originatransiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, enteoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad detiempo entre el estado inicial y el estado final es proporcional alcuadrado del elemento de matriz:
k ψ k´ψ
d U k k )(ψ)r (ψ k k´´ rr
planasondas ψ .rk k
ie
rg
ggr .)U( ieV
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL
d eeV e ii
g
i
k k
rk rg
g
rk ..´.´
d eV i
g k k
rk gk
g
.´´
contrariocasoen,0
0´- si ,´
k gk g
k k
V
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 1
)()U(
R rr aV
d eV e i
a
i
k k
rk rk R r ..´
d V e a
i
k k R rrk k .´
´
d V ee a
ii
k k R rR rk k R k k ).(´.´´
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 569/610
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 2
R K K .
´
1)( i
ak k e N
V
k k K ´
d eV V
V i
a
c
a rK rK .)(1)(
3
33
2
22
1
11
1
1
1
1
1
1.
iK
LiK
iK
LiK
iK
LiK i
e
e
e
e
e
ee
R K
gk k g ´,´ )( ak k V
gK R K
,.
N e i
Si la red está fija, es decir, si no hay vibraciones:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 570/610
DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 3
)(´ ..
q
q
q AAR uR R ii
q eeq
q
i
q
i
q
i
red eei N
e N
R qR qR K AAR K ..´. exp11
R qq
R qq
q
R K R K AAK ...´. exp11 iiii eeie
N e
N
...1exp .... R q
qR q
qR q
qR q
q AAK AAK iiii eeieei
Aquí mostramos los pasos para calcular el factor de red en un experimentde difracción cuando sí consideramos las vibraciones de la red
q
R qR K AK
.. exp11 i
q
i
red eie N
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 4
k k Ak k g gk k ´´)( ´,´ aqak k V iV
R K q
q
R K AK .. exp11 i
q
i
red ei N
e N
R K q
q
R K AK .. exp11 i
q
i
red ei N
e N
Si hablamos de la difracción de electrones por las vibraciones de la red,Tenemos que considerar sólo:
k k Ak k ´´´ aqk k V iq
q
q
q
q Nm
n
Nm
E
21
2
2A
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Interacción electrón – electrón via un fonón
q
K k k K k k
K k k K k K k
k )k (´,´, ´´,,
E E
M M U
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2
,
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2
q
K k k
K K
E E
M U
q
k
k -K k ́+K
k ́k
k -K k ́+K
k ́
q-q
ara el primer proceso
ara ambos procesos:
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Interacción electrón – electrón via un fonón
22
2
,
k )k (
2
q
K k k
K K
E E
M U
q
q E E )()( :intervaloel Para K k k
q
K k k K
2
,2 M
U
k k Ak k ´´´ aqk k V i
q
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K V V M
2
22222
,
K AK K qK k k
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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FÍSICA DE SEMICONDUCTORES
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC-UNI
Diciembre 2013
ARTURO TALLEDODOCTOR EN FÍSICA
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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La Distribución Maxwell Boltzmann(*) • Dado un sistema de N partículas como las moléculas de un gas en un
recipiente, el número de partículas en un nivel de energía Ei, condegeneración gi es:
T/K E-i BiegA N i
donde A es una constante de normalización y K B es la constante de BoltzmannSi la densidad de estados es g(E), entonces:
dEg(E)eA N T-E/K B
dEg(E)eEA E T-E/K Btotal
Número total de partículas
nergía total del sistema de partículas
s válida para N partículas distinguibles que no obedecen principio de exclusión deauli
(*) Ver: Solid -State and Semiconductor Physics por J.P. McKelvey
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Estadística Fermi Dirac• La probabilidad de que un estado de energía E sea ocupado por un
electrón a una temperatura T es:
1e1
(E)f Tμ)/K -(E B
donde es el potencial químico (depende de cada material) y K B la constanteuniversal de Boltzmann.
μ
Si la densidad de estados es g(E), entonces:
dEg(E)f(E) NNúmero total de partículas nergía total del sistema de partículas
Es válida para N partículas indistinguibles que obedecen principio de exclusión dePauli
dEg(E)f(E)E Etotal
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Estadística Fermi Dirac
f (E)
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONCEPTO DE HUECO
Ee Eh
Ke Kh
Eh (kh)
Ee(ke)
ke
kh
eh k )k (E)k (E eehh h h e e(k ) (k )v v e
*
eh
* k m)k (m h
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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CONCEPTO DE HUECO
dtd
dtd
εk k
eeh
ε
Ee Eh
ke
kh
La carga eléctrica del hueco es positiva
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductores, semicondutores y aislantes
BV
Conductores semicondutores aislantes
gapgap
BV
BC
BC
BV
E
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Conductores semicondutores y aislantes
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 582/610
Conductores semicondutores y aislantes
(a) aislantes, (b) metal o semimetal, (c) metal
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
*h
22
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)k (E
*e
22
gc 2mk
E)k (E
2/1g
3/2
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2π
1 (E)g
2/13/2
2e
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2π1
(E)g
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
C2
C1
E
E
dEg(E)(E)f n
0
-
hh dE(E)g(E)f p
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
1/21/ 2
0 2 x x e dx
dEeEEe2m
2π
1n
g
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E
TE/K 2/1
g
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2
e
2
T/K ET/K E3/2
2Be BgBF ee
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2n
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
0
-
hh dE(E)g(E)f p
TE/K T/K E
TE)/K (ET/K E-EhBBF
BFBFee
1e1
1e1
-1 (E)f 1f
2/1
3/2
2e
2h E2m
2π1
(E)g
T/K E-3/2
2Be BFe
π2Tk m
2 p
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos
pn
e
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43
E21
E
T/2K E3/4he
3/2
2B
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π2Tk
2 n
1/T
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Estados de Impurezas
r εε4πeV(r)
0r
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2
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0
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mm
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0,01eVEd
2,0mm
, 01ε0
er
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 589/610
Estados de Impurezas
Ordenes de magnitud:
2
0
40
0
h2r
a )ε2(4πem-
mm
ε1
E
eV0,01Ea
7/25/2019 Curso Física Estado Sólido
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Concentración de portadores ensemiconductores extrínsecos
2in pn
T/K E3/2he
3
2B Bgemm
π2
Tk 4 pn
d
2i
d N
n
p Nn
emiconductores extrínsecos tipo n
emiconductores extrínsecos tipo p
2i
aa
n p N n
N
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Concentración de portadores ensemiconductores extrínsecos
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DIFUSIÓN DE PORTADORES EN SEMICONDUCTORES
Difusión bajo diferentes circunstancias: (a) un pulso de concentraciónvs x en t = 0. Las flechas indican corrientes de partículas. (b) Elnsanchamiento del pulso debido a la difusión en tres instantes sucesivos.
c) Un pulso de electrones difundiéndose y trasladándose en un campoléctrico. (d) La desaparición del pulso debido a la recombinación.
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DIFUSIÓN DE PORTADORES EN SEMICONDUCTORES
Ley de Fick : Para una concentración no uniforme , la corriente deartículas J´(número de partículas por unidad de área y por unidad deempo) está dado por:
x
n D
´
onde D es llamada la constante de difusión. Esta ley establece que laorriente es proporcional al gradiente de concentración.
n el caso de semiconductores el flujo por difusión de electrones y huecosmplica corrientes eléctricas:
x
neDee
x
peDhh
Usando mecánica estadística se puede demostrar que:e
T k B
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La ecuación de difusión para un tipo de portador.
E e p
x
p De
Por ecuación de continuidad:
E p x x
p D
x
J
et
p
flujo
2
21
´0
p p
t
p
iónrecombinac
No todos los portadores fluyen, algunos se recombinan:
iónrecombinac flujo t
p
t
p
t
p
´0
2
2
p p E p
x x
p D
t
p
Esta es la ecuación de difusión.
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Solución en dos casos
1) Solución estacionaria para campo igual acero.
0´0
2
2
p p
x
p
2/1/01 ´, p- p p D L Ae D
L x D
2) Solución estacionaria para campo diferente de cero.
0211
21
2
D L
p
x
p
D
E
x
p
D
EL s s s Ae D L x D
2,1, p- p 2/
01
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Grafico de las dos soluciones
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pr0nr0 J J pr0nr0 J J
ng0nr0 J J pg0 pr0 J J
p n p n
C C
a
d
UNION p-n: Propiedad de rectificación
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Unión p-n
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UNION p-n: Propiedad de rectificación
)/0
0()( T K eV
ng ng nr n BeeJ J J e I
)1()( /0
0 T K eV
pg pg pr p BeeJ J J e
K eV Be /nr0nr0
0J J
ng0ng J J )1()( /
000 T K eV
pg ng pnn Be J J e I I
)1()( /
0
0 T K eV
ng ng nr n
BeeJ J J e
)1(I I /0
0 T K eV Be
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)-(1I I /0
0 T K eV Be
UNION p-n: Propiedad de rectificación
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)-(1I I /0
0 T K eV Be )1(I I /0
0 T K eV Be
)-(1I I /0
0 T K eV Be
)1(I I /0
0 T K eV Be)-(1I I /0
0 T K eV Be
UNION p-n: Propiedad de rectificación
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Unión p-n: Cálculo de I0: corriente de saturación
pg0ng00 JJI e
0, p p-(x) p(x) p /
0n1n0nn1
xe p L x
x
- El campo eléctrico está concentradoen la unión misma.
- Discutimos primero la polarización positiva.La barrera de potencial es reducida por eV0.Huecos son inyectados desde región p dondeson mayoritarios a región n donde sonminoritarios.
- El exceso de concentración de huecos enla región está dado por:
es el valor de la concentración en equilibrio. pn0
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Unión p-n: Cálculo de I0
a corriente es debida a la inyección y subsecuente difusión de portadores minoritarios
k eV n xn
Be p p /00
0
La barrera de potencial es reducida por eV0:
1/001
0
T k eV
n xn Be p p
0,1 //01 0
xee p x p B L xT k eV nn
x
p D
x
p D
n
pn
pn p
1
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Unión p-n: Cálculo de I0
p
n p
n
pn
L
p D
L
n Dee
00 pg0ng00 JJI
p B L xT k eV
p
n p xn p ee
L p De I //0
0 10
p B L xT k eV
n
pn
p
n p
xn p ee L
n De
L
p Dee I
//00
010
00
20 )(I
n p
p
pn
ni
n L
D
p L
DT ne
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Unión p-n: Cálculo del potencial de contacto
T/K ET/K E3/2
2Be BgBF ee
π2Tk m
2n
T/K EE
n0BFcn
e n
cU
T/K EE p0
BFcpe n cU
TK /
p0
n0 B0e nn e
EF
2
i
0n0B0 n
nLn
Tk p p
e
2
i
B0 n
NLn
Tk ad N
e
3,00 Para germanio con Nd = Na = 1016 cm-3
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EL ANCHO DE LA UNIÓN Y EL CAMPO ELÉCTRICO
x N xn x N x pe x ad
)(
2
2
x
dx
d
n2
2
wx0 ,
d n eN
dx
d
0xw- , p2
2
a p eN
dx
d
(1) El campo es cero fuera de la unión(2) El campo es continuo en el punto x = 0 (el centro de la unión)(3) El potencial es continuo en x = 0 y lo escogemos igual a cero.(4) La deiferencia de potencial entre los bordes de la unión es 0
Aproximación: No hay portadores
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EL ANCHO DE LA UNIÓN Y EL CAMPO ELÉCTRICO
2/10 /2 e N N N N w ad d an
a pd n N w N w
w02
)0(
2/10 /2 e N N N N w ad ad p
2/1
0 112
d a
pn N N e
www
El campo en x = 0
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El transistor
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FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Primera edición digital
Noviembre, 2015
Lima - Perú
© Arturo Talledo
PROYECTO LIBRO DIGITAL
PLD 2918
Editor: Víctor López Guzmán
http://www.guzlop-editoras.com/[email protected]/guzlop
twitter.com/guzlopster731 2457 - 959 552 765Lima - Perú