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SEÑALES Y SISTEMAS
Alejandro García Juárez.
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Introducción
Componentes de frecuencia Espectro de potencia
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IntroducciónIntroducciónUna función puede ser representada aproximadamente sobre un intervalo dado por una combinación lineal de un conjunto de funciones ortogonales gn(t).
nnn tgctx )()(
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Aplicaciones
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Telecomunicaciones (Telefonía celular, satélites …)
Electrónica ( Filtros, potencia, modulación…)
Óptica (Optoelectrónica, Procesamiento de imágenes…)
Entretenimiento ( música, audio, multimedia…)
Investigación (Rayos X, análisis químico …)
Análisis de señales y sistemas
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Una señal es una variable que describe una variedad de
fenómenos físicos que contienen algún tipo información.
SEÑAL
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Algunos tipos de señales pueden ser: voltaje, sonido, imagen, voz,
temperatura etc...
SEÑAL
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Nos interesan especialmente las señales que varían en el tiempo.
SEÑAL
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Las señales variables en el tiempo pueden representarse mediante
una función del tiempo x(t).
SEÑAL
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t
x(t)
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Las señales periódicas se pueden definir como una función para la
cual,
x(t + T) = x(t)
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t
x(t)
tT 2T 3T
t + T
x(t) x(t + T)
x(t + nT) = x(t), n= 0, ±1, ±2,…
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Encontrar el periodo de la función
4cos
3cos)( tttx
En general, si la función
tttx 21 coscos)(
es periódica con periodo T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
nTmT
22
2
1
Es decir, la relación ω1 / ω2 debe ser un número racional
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Un parámetro importante de las señales es su energía.
En muchos casos la energía se representa apropiadamente
mediante la potencia.
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Si la señal es un voltaje, corriente,
pulso luminoso, desplazamiento, velocidad, etc., la potencia resulta ser proporcional al cuadrado de la
señal:
P(t) = K x2(t)
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t
x(t)
T 2T 3T
P(t) = K x2(t)
Tt
2T 3T
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Por lo tanto la energía total de una señal vendrá definida por la ecuación .
Además podemos definir la potencia media o potencia promedio de esa señal mediante la ecuación.
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Se dice que una señal es de energía si y solo si satisface la condición dada por la ecuación
Se dice que una señal es de potencia si y solo si satisface la condición dada por la ecuación
Las señales de potencia y energía son por lo tanto mutuamente exclusivas. En particular una señal de energía tiene potencia media cero y una señal de potencia tiene energía infinita.
En general tanto las señales periódicas como las aleatorias van a ser señales de potencia, mientras que las señales determinísticas y no periódicas suelen ser de energía.
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La potencia de una señal que es variable en el tiempo. Una buena idea es
promediarla:
T
0 — 1
TPmed = Kx2(t) dt
T
0 — 1
TPmed = K x2(t) dt
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El valor
T
0 — x2(t) dt 1 T
es el valor cuadrático medio de la señal. Su raíz cuadrada es el valor eficaz:
Xef = — x2(t) dt T
0
1 T
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El valor eficaz corresponde al valor de una señal
hipotéticamente constante con igual energía en un tiempo T.
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t
x(t)
T 2T 3T
P(t) = K x2(t)
Tt
2T 3T
Pmed
Xef
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Sistemas
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Un sistema es un conjunto interconectado de elementos que
procesan señales.
Se caracteriza por tener una o más entradas y una o más
salidas.
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x1(t)
x2(t)
xn(t)
y1(t)
y2(t)
ym(t)
. . .
. . .Sistema
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x ySistema
Un caso particular es el que tiene una sola entrada, x, y una sola
salida, y.
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En un sistema lineal la respuesta ante una suma de señales es igual a la suma de las
respuestas individuales.
Asimismo, si se multiplica la entrada por una constante, la respuesta queda
multiplicada por la misma constante.
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Si y1 es la salida correspondiente a x1
e y2 es la correspondiente a x2, entonces si x1 + x2 son las señales de entrada, entonces, la salida resulta
ser y1 + y2.
x1 + x2 y1 + y2Sistema
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Si y es la salida correspondiente a la entrada x, entonces ante una entrada
Kx la salida será Ky.
K x K ySistema
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R2
R1
+
–
v1
+
–
v2
EJEMPLO
R2
R1 + R2v2 = ———— v1
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v2 = Av1
En el caso de este sencillo divisor de tensión resistivo, la salida es
directamente proporcional a la entrada:
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Una propiedad fundamental de un sistema lineal invariable en el
tiempo es que la entrada y la salida están relacionadas
matemáticamente por ecuaciones diferenciales, con coeficiente
constantes.
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C
R+
–
v1
+
–
v2
i
Recordar este sencillo sistema
v1 = RC v2´ + v2
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Serie de Fourier
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Enlaces satelitales Redes inalámbricas
R e d d e d is tr ib u c ió n
P u n to d e A cceso
Redes de telefonía celular Sistema radio – fibra óptica
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WiMaxWorldwide Interoperability for Microwave Access
Diseñado para ser utilizado en el área metropolitana o MAN proporcionando accesos concurrentes en áreas de hasta 48 kilómetros de radio y a velocidades
de hasta 70 Mbps, utilizando tecnología portátil LMDS.
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WiFiberWiFiber, es una tencología que permite transmitir y recibir datos hasta
2,7 Gbps. Actualmente está disponible en Estados Unidos
Esta tecnología permite bajar un vídeo de unos noventa minutos en tan sólo seis segundos, algo que tardaría hasta noventa minutos con una
conexión ADSL.
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Power Line Communication de Banda Ancha
Broad-band Power Line Communication (BPLC) es una tecnología que permite el acceso a Internet, TV por cable, telefonía y aplicaciones con
fibra óptica. Principalmente se utiliza en municipios y áreas rurales.
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A una señal periódica puede asignársele una frecuencia igual
a la cantidad de ciclos por segundo.
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La señal periódica más simple es la onda senoidal.
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x(t) = X sen ot
o = 2 fo
t
xx(t) = X sen ot
T 2T
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Serie de Fourier
Cualquier función periódica de frecuencia fo puede considerarse
como la superposición de una serie de ondas senoidales y cosenoidales de frecuencias fo, 2fo, 3fo, 4fo, etc.
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Representación Trigonométrica de la serie de Fourier
x(t) = ½ Ao + (An cos(2nfot) + Bn sen (2nfot))
Armónicos
Coeficientes de Fourier n = 1
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x(t) = Co + Cn cos(2nfot - n) n = 1
Armónicos
Serie de FourierTrigonométrica Compacta
Frecuencia Fase
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Serie de Fourier
Los valores Cn se llaman coeficientes de Fourier, y se calculan de la
siguiente manera...
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Funciones Ortogonales
Un conjunto de funciones k(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos funciones cualesquiera m(t) y n(t) pertenecientes al conjunto k(t), se cumple:
b
a nnm dttt
nm para nm para 0
)()(
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Funciones OrtogonalesConsidérese, por ejemplo,un conjunto de funciones senoidales; mediante el
cálculo elemental se puede demostrar que:
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
ny m de valor todopara 0)cos()(
0nm para T/2,nm para ,0
)()(
0nm para T/2,nm para ,0
)cos()cos(
m de valor todopara 0)(
0m para 0)cos(
T
Too
T
Too
T
Too
T
To
T
To
dttntmsen
dttnsentmsen
dttntm
dttmsen
dttm
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Coeficientes de Fourier
An = — x(t) cos not dt T
0
2 T
Bn = — x(t) sen not dt T
0
2 T
Cn = An2 + Bn
2
Ao = — x(t) dt T
0
2 T
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x
t
t
x
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La representación gráfica del espectro provee una información sumamente
útil.
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Espectro
440 1320 2200
x
f [Hz]
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Las frecuencias de las ondas senoidales puras que forman
una señal periódica son múltiplos de una frecuencia
dada. Estas senoides se denominan armónicos.
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Encontrar la serie de Fourier para la función definida por:
20,1
02
,1
Tt
tT
tx
y x(t + T) = x(t)
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La representación gráfica para x(t) en –T/2< t < T/2 es:
1x(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
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Coeficiente a0:
2
2
20
/T
/TT dt)t(fa
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
0
2/
2/
02
T
TT tt 0
2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
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Coeficientes an:
2/
2/0
2 )cos()(T
TTn dttntfa
2/
00
0
2/0
2 )cos(1)cos(1T
TTn dttndttna
0)(1)(1
0
2/
002/
0
00
2
T
TT tnsen
ntnsen
n
0para n
2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
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Coeficientes bn:
2/
2/0
2 )()(T
TTn dttnsentfb
2/
00
0
2/0
2 )()(T
TTn dttnsendttnsenb
0
2/
002/
0
00
2 )cos(1)cos(1 T
TT tn
ntn
n
)1)(cos())cos(1(1
nn
n
0para))1(12 n
nn
2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
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Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para 0 = 0= 2, es decir, T = 2:
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4)(
n
tnsenn
tf
tsentsentsentf
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-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Com
pone
ntes
Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico
...)5()3()(4)( 051
031
0 tsentsentsentf
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)3cos(1)()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)())3cos(1(3)()(2
1 si ,01 si ,1
)cos())3cos(1(3)cos()(2
2))3cos(1(3)(2
01
01
32
000
32
000
32
00
ttnsenbtnatf
ndttnsentdttnsentfT
b
nn
dttntdttntfT
a
dttdttfT
a
nn
nn
Tn
Tn
T
32 periodo de )3cos(1)(
Tttf
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
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Encontrar la serie de Fourier para la función definida por:
![Page 62: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/62.jpg)
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)
f(t)
t
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En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: f(t) = -f(-t)
f(t)
t
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Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).
Solución:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.
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• Si f (x) es par:
a
dxxf0
)(2
a
a
dxxf )(
a
dxxf0
)(
a-a
a
a
dxxf )(
![Page 66: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/66.jpg)
• Si f (x) es impar:
0
a
a
dxxf )(
a-a
a
a
dxxf )(
![Page 67: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/67.jpg)
Como la función sen(n0t) es una función impar para todo n y la función cos(n0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.
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Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)5()3()(4)( 051
031
0 tsentsentsentf
![Page 69: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/69.jpg)
Simetría de media onda
Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:
)()( 21 tfTtf
f(t)
t
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Si x(t) es una función periódica par con periodo T, su representación en serie de Fourier queda expresada como:
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
dttntxT
A
tnAAtx
Ton
nono
20
1
cos)(4
)cos(21
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Si x(t) es una función periódica impar con periodo T, su representación en serie de Fourier queda expresada como:
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
dttnsentxT
B
tnsenBtx
Ton
non
20
1
)(4
)(
![Page 72: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/72.jpg)
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría CoeficientesFunciones en la serie
Ningunasenos y cosenos
Par bn= 0únicamente
cosenos
Impar an= 0únicamente
senos
Media onda
Senos y cosenos impares
2/
00
4 )cos()(T
Tn dttntfa
2/
00
4 )()(T
Tn dttnsentfb
imparndttntf
parna T
Tn
2/
00
4 )cos()(
0
imparndttnsentf
parnb T
Tn
2/
00
4 )()(
0
2/
2/0
2 )cos()(T
TTn dttntfa
2/
2/0
2 )()(T
TTn dttnsentfb
![Page 73: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/73.jpg)
Encontrar la serie de Fourier para la función definida por:
20,
02
,0
TttAsen
tT
txo
![Page 74: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/74.jpg)
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
La serie de Fourier de cualquier función periódica x(t) que tiene simetría de cuarto de onda par, consta solamente de armónicos impares de términos del coseno, es decir,
4012
112
12cos)(8
)12(cos
Ton
non
dttntxT
A
tnAtx
![Page 75: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/75.jpg)
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
La serie de Fourier de cualquier función periódica x(t) que tiene simetría de cuarto de onda impar, consta solamente de armónicos impares de términos del seno solamente, es decir,
4012
112
12)(8
)12(
Ton
non
dttnsentxT
B
tnsenBtx
![Page 76: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/76.jpg)
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas series en términos de las exponenciales complejas. tjn oe
1cos
21)(
nonono tnsenBtnAAtx
Si se considera
n
tjnn
oectx )(
Entonces la serie compleja de Fourier, se puede expresar como:
![Page 77: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/77.jpg)
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
2
2
2
2
)(1
)(1
21,
2121
T
T
tjnn
T
T
tjnn
nnnnnn
oo
dtetxT
c
dtetxT
c
jBAcjBAc
Ac
o
o
Si x(t) es real, entonces
*nn cc
![Page 78: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/78.jpg)
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
Puesto que: tjn oetx )(
Es una función periódica con, periodo T, se tiene que cn, se puede hallar a partir de:
n
nnnnn
jnnn
jnn
Ttjn
n
ABBAc
ecccecc
dtetxT
c
nn
o
122
*
0
tan,21
,
)(1
![Page 79: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/79.jpg)
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
Encontrar la serie compleja de Fourier, para la función diente de sierra que se muestra en la figura, y reducir el resultado a la forma trigonométrica de la serie de Fourier.
![Page 80: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/80.jpg)
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
La gráfica de la magnitud de los coeficientes de complejos cn en función de la frecuencia ω, se denomina espectro de la función periódica x(t).
La gráfica del ángulo de fase n en función de ω, se denomina espectro de fase de x(t)
Puesto que el índice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase no son curvas contínuas sino que aparecen en la variable discreta nωo; se les denomina como espectros de frecuencia discreta o espectros de línea.
![Page 81: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/81.jpg)
p(t) = cn e n = –
jn st
cn = — p(t) e dt -T/2
1 T
T/2 -jn st
t
p(t)
T 2T-T-2T /2-/2
A
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
![Page 82: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/82.jpg)
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
p(t) = cn e n = –
jn ot
cn = — e dt = — ————— A T- /2
/2 -jn ot sen no/2 no/2
AT
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
![Page 83: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/83.jpg)
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
ω
cn
2T/
A/T
-2T/ 4T/-4T/ 1 2-1-2
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
![Page 84: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/84.jpg)
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
ω
cn
2T/
A/T
-2T/ 4T/-4T/ 1 2-1-2
Si se reduce el ancho de los pulsos de muestreo, el espectro
se aplana.
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
![Page 85: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/85.jpg)
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
ω
cn
A/T
2T/-2T/ 1 2-1-2
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
![Page 86: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/86.jpg)
El contenido de potencia de una función periódica x(t) en el periodo T está definido como el valor cuádratico medio
2
2
2)(1 T
Tdttx
T
El teorema de Parseval establece que si x(t) es una función real y periódica, con periodo T, entonces
n
n
T
Tcdttx
T2
2
2
2)(1
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
![Page 87: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/87.jpg)
n
n
T
Tcdttx
T2
2
2
2)(1
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
2
2
2
2
2
2
2 )(1)()(1)(1 T
T n
tjnn
T
T
T
T
dtectxT
dttxtxT
dttxT
o
n
tjnn
oectx )(
2
2
2
2
2 )(1)(1 T
T
tjn
nn
T
T
dtetxT
cdttxT
o
n
nnn
n
T
T
cccdttxT
2*2
2
2)(1
![Page 88: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/88.jpg)
Teniendo en cuenta el teorema de Parseval, mostrar que
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
1
22
1
2222
2
2
2
21
41)(1
n
no
nnno
T
T
CC
BAAdttxT
![Page 89: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/89.jpg)
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
1
2220
2/
2/0
2/
2/10
2/
2/1
0
2/
2/ 10002
112/
2/
1
21
4
)()()cos()()(12
])()cos([)()()(
nnn
T
T
T
Tn
nT
Tn
n
T
T nnnT
T
TT
baa
dttnsentfTbdttntf
Tadttf
Ta
dttnsenbtnaatfdttftf
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
![Page 90: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/90.jpg)
Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado:
El valor cuadrático medio de una función periódica x(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir:
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.
1
220
2/
2/
21
2)]([
n
nT
TT
CCdttx
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
![Page 91: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/91.jpg)
Transformada de Fourier
![Page 92: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/92.jpg)
La mayoría de las señales no son periódicas, sino que varían en
forma aleatoria.
![Page 93: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/93.jpg)
Este carácter aleatorio es en realidad lo que permite conferir mayor cantidad de información.
![Page 94: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/94.jpg)
Es posible extender el concepto de serie de Fourier al caso de
señalesno periódicas.
![Page 95: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/95.jpg)
Para ello consideremos una onda no periódica x(t), de la cual
seleccionamos una porción de duración T
![Page 96: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/96.jpg)
t
x (t)
![Page 97: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/97.jpg)
t
x(t)
![Page 98: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/98.jpg)
t
xPT(t)
![Page 99: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/99.jpg)
Ahora procederemos a extender esa porción en forma periódica
con período T
t
xPT(t)
![Page 100: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/100.jpg)
tT2
- —
xT(t)
T2—
![Page 101: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/101.jpg)
T2
- —
t
xT(t)
T2—Dado que esta nueva onda es
periódica, puede obtenerse su espectro...
![Page 102: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/102.jpg)
T2
- —
t
xT(t)
T2—
f
cn
1/T
![Page 103: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/103.jpg)
El espectro obtenido representa solamente a la
pequeña porción de señal que hemos seleccionado.
![Page 104: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/104.jpg)
Podemos intentar representar una porción más larga, es decir de duración T´ > T.
![Page 105: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/105.jpg)
t
x(t)
![Page 106: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/106.jpg)
t
x(t)
![Page 107: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/107.jpg)
xPT’(t)
t
![Page 108: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/108.jpg)
xT’(t)
tT´2
- — T´2—
![Page 109: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/109.jpg)
xT’(t)
tT´2
- — T´2—
f
cnT
T´
1/T´
![Page 110: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/110.jpg)
1. El espectro se volvió más detallado
Se observan tres cosas:
2. La frecuencia fundamental se redujo (f ´ < f ).
3. La amplitud de las líneas espectrales en general se redujo
![Page 111: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/111.jpg)
Si se desea que el espectro represente a toda la señal, se
podría hacer tender T a infinito, es decir:
)(lim)( txtx TT
![Page 112: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/112.jpg)
... pero nos encontraremos con el inconveniente de que tanto la frecuencia fundamental como
los coeficientes de Fourier tienden a 0.
![Page 113: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/113.jpg)
Es decir, a medida que T se acerca al infinito, los
“armónicos” se encuentran infinitamente cercanos y son de
amplitud infinitamente pequeños.
![Page 114: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/114.jpg)
Esto quiere decir entonces, que el espectro discreto se vuelve un
espectro continuo.
![Page 115: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/115.jpg)
x(t)
f
![Page 116: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/116.jpg)
x(t)
f
Espectro continuo
![Page 117: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/117.jpg)
Antes de introducir la transformada de Fourier,
reescribamos la serie de Fourier en versión compleja.
![Page 118: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/118.jpg)
Donde los coeficientes vienen dados por:
n
tjnn
oectx )(
2
2)(1 T
T
tjnn dtetx
Tc o
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
![Page 119: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/119.jpg)
Al sustituir los coeficientes dentro de la serie de Fourier, se tiene:
n
tjnT
T
ujn oo edueuxT
tx 2
2)(1)(
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
![Page 120: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/120.jpg)
Puesto que :
n
tjno
T
T
ujn oo edueuxtx
2
2)(
21)(
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
2
1 oT
Se tiene lo siguiente:
![Page 121: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/121.jpg)
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
Ahora si se T tiende a infinito, entonces o se anula.
oSin embargo, si
Entonces la frecuencia de cualquier armónico no, debe corresponder a la variable general de frecuencia que describe el espectro continuo. Es decir,
nn o
![Page 122: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/122.jpg)
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
n
tjnT
T
ujn edueuxtx
2
2)(
21)(
En el límite, dT ,
dedueuxtx tjuj
)(
21)(
![Page 123: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/123.jpg)
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
Si se define
deXtx tj
)(
21)(
dtetxX tj )()(
Entonces
Estas dos expresiones, son la representación de Fourier de la función no periódica
![Page 124: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/124.jpg)
TRANSFORMADA DE FOURIER
dtetxX tj )()(
La función
Se conoce como la integral de Fourier o transformada de Fourier de x(t) y la operación de integración se simboliza frecuentemente por ;
esto es,
dtetxtxX tj )()()(
)(ˆ)()( xtxX
![Page 125: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/125.jpg)
TRANSFORMADA DE FOURIER
De manera análoga -1 es el símbolo que se utiliza para indicar la operación inversa, es decir, obtener x(t) cuando se conoce X(ω); esto es,
deXXtx tj
)(21)()( 1
x(t) se denomina transformada inversa de Fourier de X(ω).
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TRANSFORMADA DE FOURIER
La condición para que exista X(ω) generalmente está dada por:
dttx )(
En otros términos, la integral del valor absoluto de x(t) debe ser finita.
![Page 127: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/127.jpg)
TRANSFORMADA DE FOURIER
Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular f(t) que se ilustra en la figura.
f(t)
-/2 /2 t
1
![Page 128: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/128.jpg)
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
t
t
t
tf
2
22
2
0
1
0
)(
TRANSFORMADA DE FOURIER
![Page 129: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/129.jpg)
Integrando:
Usando la fórmula de Euler:
2/
2/
)()(
dtedtetfF titi
2/
2/1
tii e )( 2/2/1
ii
i ee
ieesen
ii
2)2/(
2/2/
)2/(sinc2/
)2/()( senF
TRANSFORMADA DE FOURIER
![Page 130: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/130.jpg)
Sinc(x/2) es la transformada de
Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de
Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difración de una
ranura.
La función sinc(x)
![Page 131: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/131.jpg)
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0t
tt
t
(t)
,
1 if 0 if m n
m nm n
![Page 132: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/132.jpg)
Propiedades de la función
( ) 1t dt
t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
![Page 133: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/133.jpg)
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf ti
t
(t)
1
()
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1 es:
t
)(21ˆ
dtef ti
21
Recordemos
![Page 134: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/134.jpg)
f t
0 , t T2
1 , T2t
T2
0 , T2 t
T2
T2
T
2T
2T
2
2)(ˆT
TsenTf
![Page 135: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/135.jpg)
2
, 022
, 1
2
, 0
tT
TtT
Tt
tf
2
2)(ˆT
TsenTf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
![Page 136: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/136.jpg)
Transformada de Fourier de la función coseno
0{cos( )}tFcos(0t) t
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
dteedteee tititititi
)()( 0000
21
2
)()(2
2)(ˆ00 f
)()()(ˆ00 f
![Page 137: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/137.jpg)
Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
iee ti
titi
2
00 dteei
titi
)()( 00
21
)()()(ˆ00 if
sen(0t) t
t)}sen({ 0F
![Page 138: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/138.jpg)
La transformada de Fourier de la onda plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
![Page 139: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/139.jpg)
Sum
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
TF
TF
![Page 140: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/140.jpg)
TRANSFORMADA DE FOURIER
Encontrar la transformada de Fourier de x(t) definida por
0,00,)(
ttetx
t
Donde > 0
![Page 141: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/141.jpg)
Solución de la transformada de Fourier de la función:
00,00 ,
attetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(1
ai
aa
iaia
ia
iaia
iaedte
tiatia
![Page 142: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/142.jpg)
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es ella misma.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t0
2exp( )at
0
2exp( / 4 )a
TF
![Page 143: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/143.jpg)
La transformada inversa de FourierDada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(21)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
21)(
)(21)(
21
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
![Page 144: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/144.jpg)
TRANSFORMADA DE FOURIER
La función X(ω) = [x(t)] es en general, compleja y, se tiene que
)()()()()( jeXjIRX
Donde | X(ω) | se denomina espectro de magnitud de x(t) , y (ω), espectro de fase.
![Page 145: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/145.jpg)
TRANSFORMADA DE FOURIER
Si x(t) es real, las partes real e imaginaria de X(ω) quedan representados por:
tdtsentxI
tdttxR
)()(
cos)()(
![Page 146: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/146.jpg)
TRANSFORMADA DE FOURIER
Por otra parte, es posible mostrar que R(ω) e I(ω) son funciones par e impar de
ω, respectivamente; es decir,
)()(
)()()()(
*
XX
IIRR
![Page 147: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/147.jpg)
TRANSFORMADA COSENO DE FOURIER
Si x(t) está definida sólo para 0 < t < , x(t) se puede representar por
0
cos)(2)(
tdXtx c
Donde Xc(ω) está dado por
0
cos)()( tdtxX c
![Page 148: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/148.jpg)
TRANSFORMADA COSENO DE FOURIER
Xc(ω) se denomina transformada coseno de Fourier de x(t), la cual se representará por
0
1 cos)(2)()(
tdXXtx ccc
0
cos)()()( tdtxXtx cc
Y la transformada coseno de Fourier inversa de Xc(ω), se representará por
![Page 149: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/149.jpg)
TRANSFORMADA SENO DE FOURIER
Si x(t) está definida sólo para 0 < t < , x(t) se puede representar por
0
)(2)(
tdsenXtx s
Donde Xs(ω) está dado por
0
)()( tdsentxX s
![Page 150: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/150.jpg)
TRANSFORMADA SENO DE FOURIER
Xs(ω) se denomina transformada seno de Fourier de x(t), la cual se representará por
0
1 cos)(2)()(
tdXXtx sss
0
cos)()()( tdtxXtx ss
Y la transformada seno de Fourier inversa de Xs(ω), se representará por
![Page 151: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/151.jpg)
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) g(t) F .T . ˆ f ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a ib) f (t) F .T . (a ib) ˆ f
![Page 152: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/152.jpg)
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)F() + G()
)}({)}({)}()({
tgbFtfaFtbgtafF
![Page 153: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/153.jpg)
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0 ;
2
, 2
22 , 1
2 , 0
)(
ba
bt
atb
at
tf
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
2 , 1
2 , 0
)( ;
2 , 1
2 , 0
)(
)()()(
bt
btthat
attgdonde
thtgtf
![Page 154: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/154.jpg)
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () ˆ h ()
ˆ f ( ) a2
sen(a2
)
a2
b2
sen(b2
)
b2
![Page 155: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/155.jpg)
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
![Page 156: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/156.jpg)
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
at
atb
btb
bta
at
tf
,0
,1
,0
,1
,0
; h(t) 0 , t b1 , t b
g(t)0 , t a1 , t a
f t g(t) h(t)
![Page 157: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/157.jpg)
aasenagTF
)(
22)(ˆ ..
bt
btth
, 1
, 0)(
at
attg
, 1
, 0)(
bbsenbhTF
)(
22)(ˆ ..
bbsenb
aasenahgf
)(
22)(
22)(ˆ)(ˆ)(ˆ
![Page 158: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/158.jpg)
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF ˆ1
![Page 159: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/159.jpg)
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F()
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientra más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
t
t
t
![Page 160: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/160.jpg)
3. Traslación en el dominio del tiempo
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a)g(t)
![Page 161: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/161.jpg)
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ210
![Page 162: Curso Fourier.ppt](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062811/5695d1971a28ab9b0297261c/html5/thumbnails/162.jpg)
6. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee titi '')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd ti
')'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g(t) f (t) 2 dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular: