8/9/2019 Curso Mec Genral

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Curso de doctorado: El Métodode los Elementos de Contorno

Objetivos del curso:

Fundamentos del método

Aplicación del Método a Problemas:Estacionarios:

PotencialEc, de Poissón y LaplaceEc de Navier

in!micos: PotencialEc" de #elm$olt%

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Curso de doctorado: El Métodode los Elementos de Contorno

M.E.C.El grupo de Profesores compuesto por:

Francisco Chirino GodoyOrlando Maeso Fortuny Traba an en:

!uan !. "#n$re# Gon#$le#

!osé M. Emperador "l#ola%a&id Greiner '$nche#

Mec$nica de los Medios

Continuos

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Curso de doctorado: El Métodode los Elementos de Contorno

M.E.C.( )ué es Mec$nica del MedioContinuo*

Mec$nica: Parte de la ciencia +ue estudia elmo&imiento de los cuerpos

Medio Continuo: Es un cuerpo en +ue la&ariable fundamental es continua en unentorno de un punto cual+uiera del cuerpo

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Curso de doctorado: Técnicas

,uméricas en -ngenier a

/as materias +ue engloba la Mec$nica delMedio Continuo son:Mec$nica de Fluidos Termodin$micaElasticidadElectromagnetismo

Tales condiciones no est$n restringidas as0lidos sino +ue un Medio Continuotambién puede ser: un l +uido o un gas

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Curso de doctorado: Técnicas

,uméricas en -ngenier a

1n cuerpo se dice +ue es el$stico cuando

recupera su forma inicial una &e# handesaparecido las cargas +ue lo handeformado

/a Elasticidad se basa en:El Modelo matem$tico de ,a&ier2Cauchy/a ley de 3oo4e

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Curso de doctorado: Técnicas

,uméricas en -ngenier a

/os Profesores anteriormente citados han

traba ado en Elasticidad y Elastodin$mica ypor e5tensi0n en fen0menos de propagaci0nde ondas

6 dentro de la elasticidad en los siguientescampos:

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Curso de doctorado: Técnicas

,uméricas en -ngenier a

"plicando un Método

,umérico

Propagaci0n deOndas 'onoras

Medios Poroel$sticos

Mec$nica de laFractura

Método de los Elementos de

Contorno

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• En general los Métodos Numéricos de Cálculose dividen en dos grupos:

Métodos de%ominio

Métodos deContorno

M. E.F.

M. %.F.

M. E.C.

Las variables secalculan en todo el

dominio

Las variables secalculan en el

contorno

'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

enta as e-ncon&enientes

Métodos dedominio

Métodos deContorno

-mplementaci0n es sencilla/a discreti#aci0n escomplicada

'on m$s generali#ables/as geometr as in;nitastienen dif cil tratamiento

-mplementaci0n m$scomplicada%iscreti#aci0n muy sencilla'on menos generali#ables/as geometr as in;nitastienen f$cil tratamientoComportamiento ;able antefuertes gradientes de las

&ariables

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

'oluciones apro5imadas

&&'

=∇ u Ωenuu =&

qnuq o =∂∂=&

en

en

(Γ

'Γ

φ α in

iu ⋅= ∑

(

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

'oluciones apro5imadas

&'

≠∇ u Ωen&≠− uu

&≠− qq

en

en

(Γ

'Γ E5iste un error al ser u una 'oluci0napro5imada

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

'oluciones apro5imadas

&'

≠∇= uε Ωen&( ≠−= uuε

&' ≠−= qqε

en

en

(Γ

'Γ '( Γ +Γ =Γ

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Técnica de los residuosponderados

∑ ⋅= m iiw(

ψ β

&'( == ε ε )e satis*acen las condiciones de contorno

)e distribuye el error de acuerdo con una *unción de ponderación +

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Técnica de los residuosponderados

( ) &' =Ω⋅∇=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ wd uwd ε Multiplicando las *unciones de ponderación por el error e inte rando

-omo los coe*icientes β son arbitrarios también se puede escribir

(

( ) &' =Ω⋅∇∫ Ω d u iψ mi """"(=∀

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Técnica de los residuosponderados

-uando la *unción de ponderación es :

)iendo la *unción δ la elta de irac

././

..//i

i

i

N

x x x x

x x N sinlim −=−

−∞→

δ π

∑ ⋅= m iiww(

δ

La e0presión ( puede representar a las di*erencias *initas

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Técnica de los residuosponderados

(././ =−=− ∫ ∫ +−∞

∞−dx x xdx x x

a x

a x ii

i

i

δ δ

Las propiedades de elta de irac son:

1 para cual2uier *unción */0. continua en 0i

./././././ x f dx x x x f dx x x x f a x

a x ii

i

i

=−⋅=−⋅ ∫ ∫ +

−

∞

∞−δ δ

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Técnica de los residuosponderados

Las *unción de apro0imación se puede poner como:

)ubstituyendo en (

&==Ω⋅∫ Ω iid ε δ ε

Φ∑ ⋅= in

iuu(

Φi polinomios de ' rado estamos en di*erencias *initas centradas

Φi coordenadas curvil3neas estamos en métodos de celdas de colocación

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Técnica de los residuosponderados

( ) &' =Ω⋅∇=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ wd uwd ε Esta ecuación da ori en a muc$os otros métodos

Método de los momentos: tomar momentos de ε con respecto a

(

⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= '4'( ( x xw β β β """,,,( ' x x

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Técnica de los residuosponderados

( ) &' =Ω⋅∇=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ wd uwd ε Esta ecuación da ori en a muc$os otros métodos

Método de 5aler6in:tomando las mismas *unciones para u y +

(

⋅⋅⋅+Φ⋅+Φ⋅+Φ⋅= 44''(( α α α u⋅⋅⋅+Φ⋅+Φ⋅+Φ⋅= 44''(( β β β w

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Técnica de los residuosponderados

&=ΩΦ⋅=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ d wd iε ε La e0presión ( 2ueda:

Método de 5aler6in:se suele adoptar +7 ∆u

⋅⋅⋅+Φ⋅∆+Φ⋅∆+Φ⋅∆= 44''(( α α α w

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Formulaci0n %ébil

Γ ⋅−=Ω⋅∇ ∫ ∫ Γ Ω wd qqwd u ' ./')i asumimos 2ue ε(7& y ε' lo apro0imamos la e0presión ( 2ueda:

8nte rando por partes el primer término:

Γ ⋅=Ω⋅ ∫ ∫ Γ Ω wd wd '

'ε ε

Γ ⋅=Ω∇⋅∇ ∫ ∫ Γ Ω wd qwd u ' ./

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Formulaci0n %ébil: Elementos;nitos

)i tomamos u y +7 ∆u

2ueda:

⋅⋅⋅+Φ⋅+Φ⋅+Φ⋅= 44''(( uuuu

Γ ⋅=Ω∆∇⋅∇ ∫ ∫ Γ Ω wd qd uu ' ././

⋅⋅⋅+Φ⋅∆+Φ⋅∆+Φ⋅∆= 44''(( uuuw

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Problema -n&erso

Γ ∂∂⋅−−Γ ⋅−=Ω⋅∇ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Ω d nwuuwd qqwd u '' ././'

)i asumimos 2ue ε(y ε' los apro0imamos la e0presión ( 2ueda:

Γ ∂∂⋅−Γ ⋅=Ω⋅ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Ω d nwwd wd ( ('' ε ε ε

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Problema -n&erso

8nte rando por partes el primer término:

Γ ∂∂⋅+Γ ∂∂⋅−

Γ ⋅+Γ ⋅=Ω∇⋅∇

∫ ∫

∫ ∫ ∫ Γ Γ

Γ Γ Ω

d nwud nwu

wd qwd qwd u

((

''

E0presión t3pica de los métodos de dominio: E"F"

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

Problema -n&erso

8nte rando de nuevo por partes :

Γ ∂∂⋅+Γ ∂∂⋅+

Γ ⋅−Γ ⋅−=Ω∇⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫ Γ Γ

Γ Γ Ω

d nwud nwu

wd qwd qwd u

((

''

'

E0presión inversa de la ori inal y es v!lida para el M"E"-"

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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'

8esumen técnicas deapro5imaci0n

9esiduo Ori "

wu ≠wu =

Form" ebil

5aler6in Or"

F E" M" Fr" ebil 5en

Prob 8nversore*t%" -ontorno

i*" Finitas

Momentos

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M9TO%O' de CO,TO8,O

Formulaci0ndirecta

Partiendo de la e0presión del problema inverso

para una + 2ue cumpla la E" "Γ ∂

∂⋅+Γ ∂∂⋅=Γ ⋅+Γ ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Γ Γ d nwud nwuwd qwd q ((''

;sando *unciones de apro0imación i uales en u y +

Γ ∂∆∂

⋅+Γ ∂∆∂

⋅=Γ ∆⋅+Γ ∆⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Γ Γ d nuud nuuud qud q ././ ((''En este caso también u veri*ica la E" " e obierno

y podemos partir desde la e0presión ori inal

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M9TO%O' de CO,TO8,O

Formulaci0ndirecta

Partiendo de la e0presión ori inal

Partiendo del teorema de 59EEN( ) Γ ∂

∆∂⋅−=Γ ∆⋅− ∫ ∫ Γ Γ d n

uuuud qq

././ ('

( ) Γ ⋅∂

∂−∂

∂=Ω⋅∇−∇

∫ ∫ Γ Ωd

nwu

nuwd uwwu ./ ''

Γ ∂∆∂

⋅=Γ ∆⋅ ∫ ∫ Γ Γ d nuuud q ./