curso nivelatorio matematicas blog de la nacho universidad distrital

Una de las áreas evaluadas en el examen de admisión que aplica la Universidad Nacional de Colombia para ingreso a programas académicos de pregrado es la de matemáticas.

Esta área se evalúa a través de los siguientes cuatro componentes:

• Pensamiento numérico • Pensamiento espacial y métrico • Pensamiento aleatorio • Pensamiento variacional

El propósito de este curso de nivelación de matemáticas es contextualizar conceptualmente al aspirante en las principales temáticas del área de matemáticas que se evalúan transversalmente en los componentes antes enunciados, aunque está diseñado para nivelar en el área de matemáticas a cualquier estudiante que inicia sus estudios universitarios a nivel tecnológico y profesional.

Este material fue desarrollado por los siguientes docentes de Ciencias Básicas vinculados a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, a quienes les pertenece la propiedad intelectual del siguiente documento:

• Jorge Adelmo Hernández Pardo • Juan N. Zambrano Caviedes • Rodrigo Rincón Zarta • Pablo Andrés Acosta Solarte • Iván Darío Zuluaga • Carmen Leonor Pulido Segura

Este material tiene propósitos exclusivamente académicos y por ningún motivo puede ser utilizado con fines comerciales.

Blog de la Nacho http://www.pasaralaunacional.com

Compilado por Felipe Calvo Cepeda [2012]

Indice general

Introduccion VII

1. Conjuntos Numericos 11.1. Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Numeros Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Radicales y Logaritmos 152.1. Potenciacion y Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Logaritmos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Factorizacion 273.1. Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1. Multiplicacion de monomios . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.2. Multiplicacion de un monomio por un binomio . . . . . 28

3.2. Nocion de Factor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4. Casos de Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1. Factor comun en los terminos de un polinomio . . . . . 313.4.2. Factor comun por agrupacion de terminos . . . . . . . 333.4.3. Trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.4. Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.5. Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion . 363.4.6. Trinomio de la forma x2 − bx + c . . . . . . . . . . . . 37

iii

iv INDICE GENERAL

3.4.7. Trinomio de la forma ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . 393.4.8. Diferencia de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.9. Suma de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Fracciones algebraicas 434.1. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Suma de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. Ecuaciones 475.1. Algunos tipos de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1. Ecuacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.2. Ecuacion lineal con una incognita . . . . . . . . . . . . 475.1.3. Ecuacion Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.4. ¿Que es la solucion de una ecuacion? . . . . . . . . . . 485.1.5. ¿Como resolver una ecuacion con una incognita? . . . . 495.1.6. Sistemas de ecuaciones 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.7. Solucion de un sistema de ecuaciones 2×2 . . . . . . 51

5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3. Ecuaciones de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. Solucion de problemas 596.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2. Estrategia para resolver problemas . . . . . . . . . . . . . . . 606.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7. Matematica Recreativa 69

Bibliografıa 71

Capıtulo 1

Conjuntos Numericos

1.1. Numeros Naturales

El conjunto de numeros naturales N es aquel que nos sirve para contar.

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}Propiedades de los numeros naturales.

1. Todo numero natural n tiene un siguiente n + 1

2. El numero natural cero 0 no es siguiente de ningun otro.

El conjunto de los numeros naturales tiene dos subconjuntos propios

1. Los numeros pares P son aquellos numeros naturales que tienen laforma 2n,

P = {2n|n ∈ N} = {0, 2, 4, 6, ....}2. Los numeros impares I son aquellos numeros naturales que tienen la

forma 2n + 1,o, 2n − 1,

I = {2n + 1 : n ∈ N} = {1, 3, 5, 7, ...}I = {2n − 1 : n ∈ N − {0}} = {1, 3, 5, 7, ...}

Ejercicio 1.1. Pruebe cada una de las siguientes observaciones.

1. La suma de dos numeros pares es un numero par

1

2 CAPITULO 1. CONJUNTOS NUMERICOS

2. La suma de dos numeros impares es un numero par

3. La suma de un numero par con un numero impar es un numero impar

4. El producto de dos numeros pares es un numero par

5. El producto de dos numeros impares es un numero impar

6. El producto de un numero par con un numero impar es un numero par

7. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera

a) Si a2 es par, entonces a es par

b) Si b2 es impar, entonces b es impar

c) n(n + 1) es par

d) n(n + 1)(n + 2) es par

DivisibilidadSi a y b son dos numeros naturales y a no es cero (a �= 0), afirmamos

que a divide a b o que b es divisible por a y se escribe a | b, si existe unnumero natural c de tal forma que b = a×c. Si a divide a b se puede afirmartambien que b es un multiplo de a o que a es un factor de b

Ejemplo 1.1. 2 divide a 6, (2 | 6), puesto que 6 = 2×35 divide a 30, (5 | 30),puesto que 30 = 5 × 6

Ejercicio 1.2. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa overdadera.

1. n(n + 1)(n + 2) es divisible por 3

2. n(n + 1)(n + 2)es multiplo de 6

3. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) es multiplo de 4

4. Si n es divisible por 6 entonces n es divisible por 2.

5. Si m es divisible por 2 entonces, m es divisible por 4.

6. Usando vasijas de 4 litros y de 5 litros, explique como podrıa llenar unavasija de 32 litros, una de 52 litros y una de 74 litros.

1.1. NUMEROS NATURALES 3

7. Demuestre que 4 es un factor de n4 − n2 + 4

8. Demuestre que 2 es un factor de n2 + n + 6

9. Demuestre que 6 es un factor de 7n − 1

Definicion 1.1. Numeros primos

Un numero natural p mayor que el numero 1 es un numero primo si susunicos divisores son 1 y el mismo numero p. Los primeros 20 numeros primosson:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, y 71

Ejercicio 1.3. Use un metodo apropiado para calcular los siguientes 10numeros primos

Teorema 1.1. Teorema fundamental de la aritmeticaTodo numero natural n es primo o se puede descomponer como producto

de factores primos

Ejercicio 1.4. Descomponer en factores primos cada uno de los siguientesnumeros naturales:

34, 246, 215, 425, 625, 1248 y 2310

Definicion 1.2. Maximo Comun DivisorEl maximo comun Divisor delos numeros naturales a y b que se escribe M.C.D(a, b) es, como su nombre loindica, el divisor comun de a y b mas grande, es decir, que si diva representalos divisores de a y divb representa los divisores de b entonces

M.C.D(a, b) = max(diva ∩ divb)

Ejemplo 1.2. Calcular M.C.D (20, 28)

div20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ,

div28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} y

div20 ∩ div28 = {1, 2, 4} , por tanto,

max {1, 2, 4} = 4

Otra forma de calcular el MCD de dos o mas numeros es descomponer enfactores primos cada uno de los numeros dados y a continuacion seleccionarlos factores comunes (repetidos) con su menor exponente.


Ejemplo 1.3. Calcular el MCD(16, 24, 56)

16 = 24

24 = 233

56 = 237

luego MCD(16, 24, 56) = 23 = 8

Ejercicio 1.5. Calcule el MCD de cada lista de numeros naturales

1. 24, 56 y 30

2. 12, 24 y 36

3. 15, 17, 24 y 45

4. 23, 18, 35, 12 y 52

5. 24, 48, 72, 96 y 120

Otra forma de calcular el MCD de dos numeros es por divisiones sucesivas(por el algoritmo de Euclides o algoritmo de la division) que dice:

Si n y m son numeros naturales con m < n (m menor que n)(para este ca-so n sera dividendo y m sera divisor), existen numeros naturales k (cociente)y r (residuo) tales que:

n = km + r, 0 ≤ r < m

El algoritmo de calculo es el siguiente:

Se divide el numero mayor entre el numero menor para obtener uncociente k y un residuo r

Si el residuo r es igual a cero entonces el MCD de los dos numeroses el menor

Si el residuo r no es cero se divide el divisor entre el residuo para obtenerun cociente k1 y un residuo r1

Si el residuo r1 es igual a cero el MCD de los dos numeros es elcociente k.

Si el residuo r1 no es cero se divide el cociente k1 entre el residuo r1

para obtener un cociente k2 y un residuo r2

1.1. NUMEROS NATURALES 5

Si el residuo r2 es cero entonces el MCDes el cociente k1

si el residuo r2 no es cero se continua este proceso hasta obtener unresiduo rn igual a cero esto siempre sera posible ( justifıquelo) y en estecaso el MCD es el penultimo residuo es decir rn−1

Ejemplo 1.4. Use divisiones sucesivas para calcular MCD (56, 35)

56 = 35 × 1 + 1135 = 11 × 3 + 211 = 2 × 5 + 12 = 1 × 2 + 0luego MCD (56, 35) = 1

Ejercicio 1.6. Encuentre por divisiones sucesivas el MCD de cada par denumeros en cada caso.

1. 36 y 48

2. 24 y 36

3. 56 y 72

4. 50 y 108

5. 64 y 128

Definicion 1.3. Mınimo Comun MultiploEl mınimo comun Multiplo(mcm )de dos o mas numeros es, como su nombre lo indica, el multiplocomun mas pequeno.

Ejemplo 1.5. El mcm(12, 16) = mın(mul12 ∩ mul16)

mul12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ...}mul16 = {16, 32, 48, 64, 80, 96, ...}mul12 ∩ mul16 = {48, 96, ....}min {48, 96, ....} = 48Otra forma de calcular el mcm de dos o mas numeros es descomponer en

factores primos cada uno de los numeros dados y a continuacion seleccionarlos factores comunes (repetidos) y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplo 1.6. Calcular el mcm(16, 24, 56)

16 = 2424 = 23356 = 237 luego mcm(16, 24, 56) = 24 × 3 × 7 = 336Existe una relacion muy estrecha entre el mcm y el MCD y es la sigu-

iente:

(a, b) =ab

MCD(a, b)


1.2. Numeros enteros

La ecuacion n + 8 = 6 no tiene solucion en los numeros naturales, esdecir, no existe un numero natural n que sumado con 8 nos de como resultadoel numero 6, para solucionar ecuaciones de este tipo debemos extender elconjunto de numeros naturales.

Los numeros enteros, Z, estan definidos como los numeros naturales juntocon sus opuestos, es decir

Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

El opuesto de un numero entero n es el numero entero −n, el opuesto delopuesto de un numero entero es el numero entero inicial es decir −(−n) = n.

Ejemplo 1.7. El opuesto de −2 es −(−2) = 2, el opuesto de 8 es −8, elopuesto de −12 es 12.

Ejercicio 1.7. Si a=-2, b=3, c= -5 d=4. Calcular el valor numericode cada expresion.

1. 3a − 2b + d

2. (a + b)(c − d)

3. (a + b)2

4. a2 + 2ab + b2

5. (a − d)(a + d)

6. a2 − d2

7. a3 + c3

8. (a+c)(a2−ac+c2)

9. (a − b)(d + c)

10. (a + b + c + d)2

11. a2 + b2 + c2 + d2 +2ab + 2ac + 2ad +2bc + 2bd + 2cd.

1.3. Numeros Racionales.

Consideremos las siguientes situaciones:

La ecuacion 5q = −18 no tiene solucion en los numeros enteros esdecir no existe un numero entero q de tal forma que multiplicado por5 nos de como resultado el numero entero -18.

Tres de cada siete estudiantes nuevos de la Facultad Tecnologica noconocıan las instalaciones de nuestra facultad. Si para el semestre 2009-III entraron 700 nuevos estudiantes ¿Cuantos de nuestros nuevos com-paneros conocıan las instalaciones de nuestra facultad?.

1.3. NUMEROS RACIONALES. 7

El 32 % de los profesores que trabajan en nuestra facultad son profesoresde planta. Si en la actualidad hay 128 profesores de planta. ¿ Cuantosprofesores hay en la actualidad ?

En una granja agrıcola tres de cada 5 hectareas estan cultivadas enfresa, de la parte restante, dos de cada tres hectareas estan cultivadasen tomate de arbol. ¿Cuantas hectareas estan cultivadas en tomate dearbol si la granja tiene una extension total de 20 hectareas?.

Cada una de estas situaciones nos obligan a considerar un conjunto numeri-co mucho mas amplio que el de los numeros enteros. El conjunto numericoque nos permitira modelar y solucionar estas situaciones es el conjunto denumeros racionales, que denotamos con Q, cuya definicion es la siguiente.

Q =

{p

q| p, q ∈ Z; q �= 0, MCD(a, b) = 1

}Oservemos que cada uno de los siguientes numeros es racional:

3

4,−2

5,

3

−7,−3

−5=

3

5,

5

1= 5,

de la ultima igualdad podemos afirmar que todo numero entero es racionalpues cualquier numero entero n se puede escribir como fracn1 (n = n

1).

Propiedades de los numeros racionales

1. Entre dos numeros racionales, hay al menos un numero racional (bastaconsiderar el promedio).

2. Entre dos numeros racionales hay infinitos numeros racionales.

3. Dado cualquier numero racional, no existe el numero racional que este acontinuacion

Numeros decimales

Los numeros decimales son aquellos racionales cuyo denominador es unapotencia de diez es decir de la forma 10n, n ∈ N.

Ejemplo 1.8. Los siguientes son numeros decimales:

2

10= 0,2,

325

100000= 0,00325


Todo numero racional se puede aproximar por medio de un numero deci-mal.

Ejercicio 1.8. Encuentre una aproximacion decimal de cada uno de los si-guientes numeros racionales y ordene de menor a mayor

3

2,7

8,13

18,−23

56,5

2,7

3,−20

17,52

35,−45

12y

−7

9.

Proposicion 1.2. Todo numero racional tiene escritura decimal finita o in-finita periodica.

Para encontrar la escritura decimal de un numero racional basta con hacerla division, es decir, dividir el numerador entre el denominador.

Ejercicio 1.9. Encuentre la escritura decimal finita o infinita periodica decada numero racional:

2

3,5

6,−3

4,18

13,−12

5,4

7,−3

2,

5

12,7

8,−12

7

Escritura racional de un numero decimal

Para encontrar el numero racional equivalente a un numero decimal in-finito perıodico se procede de la siguiente forma:

Si el periodo del numero decimal inicia inmediatamente despues dela coma, se multiplica el numero decimal por una potencia de diezcuyo exponente sea igual al numero de dıgitos que tenga el periodo delnumero original, luego se hace la resta, y se despeja la variable.

Ejemplo 1.9. Convertir a racional el numero x = 0, 125125125125...

En este caso el periodo del numero decimal infinito tiene tres dıgitos,luego multiplicamos el numero x por 103

103x = 125, 125125125...

restando se obtiene:103x − x = 125

1.3. NUMEROS RACIONALES. 9

es decir que 999x = 125 luego:

x =125

999

Si el periodo del numero decimal no inicia inmediatamente despues dela coma. Primero se multiplica el numero dado x por una potencia de10 con exponente igual al numero de dıgitos que haya hasta iniciar elperıodo. Luego se e multiplica el numero dado x por una potencia de10 con exponente igual al numero de dıgitos que haya antes de empezarel periodo mas el numero de dıgitos que tenga el periodo. Finalmentese hace la resta y se despeja la variable.

Ejemplo 1.10. Convertir a racional el numero x = 0, 32405405405405...

102x = 32, 405405405405

105x = 32405, 405405405

restando se tiene que,

105x − 102x = 32405, 405405405− 32, 405405405405 = 32373

luego:

99900x = 32373

es decir,

x =32373

99900

Ejercicio 1.10. Encuentre la forma racional de cada decimal infinito periodi-co:


1. x = 0, 121212121212121.

2. x = 0, 245245245245245...

3. x = 2, 3451231231213123123..

4. x = 0, 312121212121212..

5. x = 4, 123433333333333...

1.4. Numeros Reales

La ecuacion x2 − 2 = 0 no tiene solucion en los numeros racionales, esteinconveniente lo podemos sortear considerando el conjunto de los numerosreales, que denotamos con R. Este conjunto esta compuesto de los numerosracionales junto con los irracionales. Los numeros irracionales se identifi-can como aquellos que tienen expresion decimal no periodica. Ejemplos denumeros irracionales son todas las raıces cuadradas de numeros que no seancuadrados perfectos es decir de numeros r de tal forma que r �= k2 paratodo k entero,

√2,√

3,√

5,√

7, ....Tambien son numeros reales los numerosπ, e, π2.

Ejercicio 1.11. Sean a =√

2, b = -2√

6. Hallar el valor numerico de cadauna de las siguientes expresiones:

a2, 2a3, b2, −3b, ab, (a + b)2

1.5. Ejercicios

1. Encuentre dos numeros naturales uno par y uno impar cuya suma sea543 y cuya diferencia sea 5.

2. Encuentre dos numeros naturales impares cuya suma sea 1026 y cuyadiferencia sea 8.

3. Encuentre dos numeros pares cuya suma sea 1026 y cuya diferencia sea8.

4. Encuentre dos numeros impares cuya suma sea 215 y cuyo productosea 3015.

5. Encuentre las dimensiones enteras (largo y ancho en numeros enteros)de los rectangulos cuya area sea 144m2

1.5. EJERCICIOS 11

a) ¿Cual es el rectangulo de menor perımetro?

b) ¿Cual es el rectangulo de mayor perımetro?

6. Encuentre el lado y la altura de un triangulo equilatero cuya area sea64 m2 (el lado y la altura deben ser enteros positivos)

a) ¿Cual es el triangulo de menor perımetro?

b) ¿Cual es el triangulo de mayor perımetro?

Enteros modulo 3.Cuando se tiene un entero positivo cualquiera yeste se divide entre 3, se obtiene una de las siguientes tres clases denumeros: aquellos cuyo residuo es cero, esos numeros son de la forma3n; aquellos cuyo residuo es 1, esos numeros son de la forma 3m + 1 yaquellos cuyo residuo es 2, estos son de la forma 3k + 2.

7. Encuentre 2 numeros enteros modulo 3 cuya suma sea 524 y cuya difer-encia sea 21.




11. ¿Cual es la menor distancia que se puede medir exactamente con doscuerdas: una que tiene 40 cm. de largo y la otra 50 cm.?

12. ¿Cual es la mayor longitud que debe tener una cuerda para que sepuedan medir longitudes de 320 cm y 280 cm.?

13. En un paıs donde no hay segunda reeleccion para presidente, el periodopresidencial es de 6 anos y el periodo de los parlamentarios es de 4 anos,si hubo elecciones simultaneas en el 2006, ¿cuando volvera a haberelecciones simultaneas para presidente y congreso?


14. En un velodromo dos ciclistas parten simultaneamente, pero mientrasuno de ellos da una vuelta el otro da 7/8 de vuelta. ¿Cada cuantasvueltas pasaran iguales por el punto de partida?. Si la carrera es a 250vueltas, ¿cuantas veces se encontratran en el punto de partida?

15. Encuentre numeros racionales a, b y c tales que :

a = 1 − d−1

b = 5a − 3c

c = b−1 + d

si d = 34. Ademas calcule:

a) 1a

+ 2b

b) (a − b) (a + b)

c)a + b

b − c

d) (a + b)−1 (c − d)

e)a − c

b − d

f ) 3a − 2b

16. Un estudiante universitario de la jornada diurna invierte mensualmente13

de salario mensual en la cuota para el pago de la matrıcula, 15

de susalario para el pago de su arriendo, 1

6en comida, si aun le quedan

$200000 para el pago del transporte y sus gastos personales. ¿Cual esel salario mensual de dicho estudiante?

17. Encuentre 5 numeros racionales entre 15

y 14.

18. El estudiante Pedro Palo tomo el primer semestre de 2009 las siguientesmaterias: Calculo diferencial (4 creditos), elementos de algebra lineal (3creditos), logica computacional (3 creditos) y algoritmos (4 creditos).Si sus calificaciones fueron 35, 40,30 y 35 respectivamente. ¿Cual fue elpromedio de Pedro? ¿Cual fue el promedio ponderado del senor Palo?

19. El profesor Moncada buscando el intercambio humanitario se propu-so caminar de Bogota a Pasto (760 Km. Aprox.). Para cumplir dichoproposito, recorrio inicialmente 1/38 de la distancia, al dıa siguienterecorrio 1/37, al tercer dıa 1/36 de la distancia que le faltaba y ası suce-sivamente, si nunca recorrio menos de 15 Km. diarios, ¿en cuantos dıascumplio su proposito?

1.5. EJERCICIOS 13

20. El presupuesto de Colombia para el ano 2010 es de 1,44 × 1014. Si losgastos en defensa ascienden a 1

10del presupuesto nacional, el servicio

de la deuda y el pago de obligaciones (cuotas vencidas) ascienden a13

del presupuesto total. ¿Cual es el monto que se invierte en los otrosgastos de la nacion?

21. Encuentre el numero decimal equivalente a :

a) 57

b) 2859

c) 3739

d) 34

e) −79

22. Encuentre la fraccion equivalente a cada decimal

a) 0,34

b) 0,3666...

c) 0,45121121121...

d) −0,1520202020...

e) −0,312312...

23. Usando algunas propiedades de los enteros modulo 3 pruebe que√

3no es racional.

24. Encuentre enteros a y b de tal forma que(2 −√

5)3

= a + b√

5.

25. Un caracol inicialmente esta en el fondo de un estanque que tiene 3metros de profundidad, asciende 30 cm. en la noche, pero en el dıa porefecto del sol desciende 20 cm. ¿Cuantos dıas gastara dicho moluscopara salirse del estanque?

26. La deuda externa colombiana es de aproximadamente US$4, 0 × 1010.Si consideramos que el dolar esta a $2500 ¿Cuantos salones de 6 m.de largo, 7 m. de ancho y 3 mt. de alto seran necesarios para depositardicho dinero? Considere que todos los billetes son de $20,000 y quecada billete mide 14 cm. de largo, 7 cm. de ancho y 0,1 mm. deespesor.

27. El gobierno norteamericano inyecto inicialmente US$7, 0 × 1011 a labanca norteamericana para atenuar un poco la crisis financiera del anopasado. ¿Cuantos salones de las dimensiones del ejercicio 26 serannecesarios para guardar dicha suma de dolares si se quiere hacer elcambio a moneda colombiana en billetes de $50,000?

Capıtulo 2

Radicales y Logaritmos

2.1. Potenciacion y Radicacion

Cuando realizamos operaciones con numeros naturales, por ejemplo unasuma, en donde el numero que se suma es el mismo varias veces, ej.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2︸︷︷︸6 veces el 2

,

para no escribir de manera extensa, simplemente escribimos

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2︸︷︷︸6 veces el 2

= 2 × 6,

es decir, el 2, aquel que estamos sumando y 6, el numero de veces quesumamos 2. Si ahora en lugar de sumar buscamos multiplicar:

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2︸︷︷︸6 veces el 2

,

entonces, al buscar una forma compacta de escribir esa expresion, lo hacemoscomo:

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2︸︷︷︸6 veces el 2

= 26.

Ahora, dado que en esta unidad se quiere centrar la atencion en estas expre-siones, a continuacion detallaremos algunos terminos usados con ellas:

15

16 CAPITULO 2. RADICALES Y LOGARITMOS

26 Exponente

Base

Esta expresion se lee 2 elevado a la 6. El resultado de la operacion, es decir,el resultado de multiplicar 6 veces 2 se llama potencia, y la operacion comotal se llama potenciacion; en este caso la potencia es 64.

26Exponente

Base

= 64

Potencia2 elevado a la 6 es igual a 64. Se debe tener en cuenta que el numero deveces que se multiplica es el exponente y lo que estamos multiplicando es labase. A continuacion otros ejemplos:

3 × 3 × 3 × 3︸︷︷︸4 veces el 3

= 34 = 81

4 × 4 × 4︸︷︷︸3 veces el 4

= 43 = 64

(−5) × (−5) × (−5) = (−5)3 = −125

10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 107 = 10000000

(−7) × (−7) × (−7) × (−7) × (−7) × (−7) = (−7)6 = 117649(2

3

)×(

2

3

)×(

2

3

)×(

2

3

)=

(2

3

)4

=16

81

114 = 11 × 11 × 11 × 11 = 14641

83 = 8 × 8 × 8 = 512 .

En los ejemplos anteriores puede notarse que no es lo mismo escribir, porejemplo, 34 que 43.

Propiedades de las Potencias: en las propiedades que escribimos acontinuacion se usan letras para indicar que se cumplen siempre que ellastengan sentido. Para eso a, y b representan numeros reales y m y n represen-tan numeros naturales. Estas propiedades se usan principalmente con el finde simplificar expresiones en las que estan presentes:

2.1. POTENCIACION Y RADICACION 17

1. a0 = 1, cuando a �= 0. Es decir, todo numero diferente de cero elevadoal exponente 0 es igual a 1.

Ejemplo 2.1. 30 = 1, (−12)0 = 1,

(5

3

)0

= 1,(−√

3)0

= 1.

2. a−n =

(1

a

)n

, cuando a �= 0.

Ejemplo 2.2.

3−4 =

(1

3

)4

=1

81,

(−12)2 =

(1

−12

)2

=1

144,

(5

3

)−3

=

(153

)3

=

(3

5

)3

=27

125.

3. an · am = an+m.

Ejemplo 2.3.

3−4 · 35 = 3−4+5 = 32 = 9,

23 · 22 = 23+2 = 25,(2

3

)3

·(

2

3

)3

=

(2

3

)3+3

=

(2

3

)6

.

4. (an)m = an·m.

Ejemplo 2.4.

(3−2)3 = 3−2·3 = 3−6,

(23)4 = 23·4 = 212,⎡⎣(7

8

)2⎤⎦4

=

(2

3

)2·4

=

(2

3

)8

.


5. (a · b)n = an · bn.

Ejemplo 2.5.

(3 · (−2))2 = 32 · (−2)2 = 9 · 4 = 36,

(4 · 7)4 = 44 · 74,(7

8· 3)2

=

(7

8

)2

· 32.

6.

(a

b

)n

=an

bn.

Ejemplo 2.6. (− 2

5

)3

=(−2)3

53=

− 8

125,

(3

2

)2

=32

22,

(√2

3

)5

=(√

2)5

35.

7.an

am= an−m.

Ejemplo 2.7.

54

52= 54−2 = 52 = 25,

73

75= 73−5 = 7−2 =

1

49,(

65

)7(65

)6 =

(6

5

)7−6

=6

5.

8. an/m = m√

an = m√

an.

2.2. EJERCICIOS 19

Ejemplo 2.8.

91/2 =√

91 = 3,

82/3 =3√

82

= 22 = 4,(7

6

)3/5

=5

√7

6

3

.

La ultima propiedad dice ademas que toda raız de un numero real se puedever como una potencia, por tanto las propiedades anteriores de 1 a 7 sepueden aplicar tambien con raıces, es decir, en radicales.

Ejemplo 2.9.

25−1/2 =1

251/2=

1√25

=1

5(propiedad 2),

3√

32 2√

35 = 32/3 · 35/2 = 3(2/3)+(5/2) = 319/6 =6√

319 (propiedad 3),

3

√5√

72

=(71/5

)2/3= 7(1/5)·(2/3) = 72/15 =

15√

72 (propiedad 4),

5√

(5 · 4)2 = 5√

(5)2 · (4)2 =5√

52 · 5√

42 (propiedad 5),

4√

(8/4)3 = 4√

83/43 =4√

83/4√

43 (propiedad 6),3√

85

4√

83=

85/3

83/4= 8(5/3)−(3/4) = 811/12 =

12√

811 (propiedad 7),

2.2. Ejercicios

1. Use las propiedades de los exponentes para escribir cada una de las

siguientes expresiones en la formaa

b, con a y b numeros enteros, o en

de manera simplificada.

a)

(−2

3

)4

b)2−3

3−2

c) (−2)5

d)2−1 + 1

3−1 − 1

e) 16−3/2


f)

(3

2

)4

− 2−4

g) (23 · 34)−2(1/(23 · 33))−3

h)

(4 · 52 · 653 · 62

)(5 · 52 · 62 · 64

)

i) (4 · 83/2)(2 · 81/2)

j) (−6 · 77/5)(2 · 78/5)

k)

(− 8 · 103

9−6

)2/3

l)√

9 · 5−4 · 76

m)3

√2 · 124 · 134

9 · 12

n)√

5 · 3 · 57√

10 · 33 · 53

2. Complete los enunciados con = o con �= para que la expresion sea cor-recta.

a) (ar)2 ar2

b) axby (ab)xy

c) n

√1c

1n√c

d)√

a2 + b2 a + b

e) (a + b)2 a2 + b2

f) (a + b)2 (a − b)2

g) a1/n 1an

h)√

a + b√

a +√

b

i)√

an√

a2

j) (−4)10 (4)10

3. Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes igualdades:

a)1√2

=

√2

2

b) 3√

648 = 6 3√

3

c)3√

16√2

=16√

2

d)6√

3846√

6= 2

e)3√

x2y2

xy=

3

√1

xy

f) 3√

24 = 2 6√

9

g)4√

3212√

8= 2

h)2 3√

33√

24= 1

i)5√

a3a2 = 3√

a3

j)√−4 =

√4

k) 3√−8 = 3

√8

l) 3x2 = (3x2)

4. Simplifique las siguientes expresiones

a) (12x4)(16x5)

b) (16a5)(−3a2)(4a7)

c) (3u7v3)(4u4v−5)

2.3. LOGARITMOS: 21

d)

(3x5y4

x0y−3

)2

e)(2x2)3

4x4

f)(3y3)(2y2)2

(y4)3y0

g)

(4a2b

a3b2

)(5a2b

2b4

)

h) (4a3/2)(2a1/2)

i) (3x5/6)(8x2/3)

j) (27a6)−2/3

k) (8x−2/3)x1/6

l)(x6y3)−1/3

(x4y2)−1/2

m)√

5xy7√

10x3y3

n)5

√8x3

y4

5

√4x4

y2

o)5

√3x11y3

9x2

2.3. Logaritmos:

Cuando estamos calculando una potencia nos preguntamos por su resul-tado, es decir, el resultado de la multiplicacion; pero en muchas ocasionesnecesitaremos preguntarnos por cual debe ser el exponente para que el re-sultado sea un valor dado, por ejemplo, ya hemos visto que 34 es igual a 81,en algun momento nos preguntaremos cual debe ser el exponente para que3? = 81?, o tambien:

cual es el exponente en 2? = 8? Respuesta 3, porque 23 = 8.cual es el exponente en 4? = 16? Respuesta 2, porque 42 = 16.

cual es el exponente en 5? =1

25? Respuesta −2, porque 5−2 =

1

25.

cual es el exponente en 9? = 1? Respuesta 0, porque 90 = 1.

En la seccion anterior calculamos potencias, ahora encontraremos exponentes.Esta operacion (la de encontrar exponentes) se llama Logaritmo, es decir,las 4 preguntas anteriores pueden formularse como:

cual es el logaritmo base 2 de 8? Respuesta 3, porque 23 = 8.cual es el logaritmo base 4 de 16? Respuesta 2, porque 42 = 16.

cual es el logaritmo base 5 de1

25? Respuesta −2, porque 5−2 =

1

25.

cual es el logaritmo base 9 de 1? Respuesta 0, porque 90 = 1.


Como en la potenciacion, usaremos una notacion para representar los logar-itmos, la cual tiene mucha relacion con la usada en la potenciacion y que esla siguiente:

log2 64 = 6 ⇐⇒ 26 = 64

Base

Exponente

Cuando escribimos log2 64 = 6, leemos el logaritmo en base 2 de 64 esigual a 6, y quiere decir que el exponente necesario para que la potencia sea64, cuando la base es 2, es 6. Con esta notacion, de las 4 preguntas anteriorespodemos escribir

log2 8 = 3, porque 23 = 8.log4 16 = 2, porque 42 = 16.

log5

1

25= −2, porque 5−2 =

1

25.

log9 1 = 0, porque 90 = 1.

Siguiendo los anteriores ejemplos el lector puede verificar los siguienteslogaritmos:

log3 27 = 3

log1/2 16 = −4

log7149

= −2

log5 125 = 3

log8 8 = 1

log100 1 = 0

log4 2 = 1/2

log27 3 = 1/3

log9 27 = 3/2

Nota 1: es claro que, por ejemplo, (−2)3 = −8, luego podrıamos pen-sar que log−2 −8 = 3, lo cual es cierto de manera como se ha presentadoanteriormente, pero debemos tener en cuenta que los logaritmos se definenunicamente para bases positivas lo cual lleva a concluir que no podemos cal-cular logaritmos de numeros negativos. Es decir, cuando tengamos algo comologa b con a positivo y b negativo diremos (como es claro) que no existe.

Nota 2: cuando calculemos logaritmos en base 10 escribimos simplementelog en lugar de log10. Por ejemplo, log 100 = 2 porque 102 = 100, o tambienlog 1000 = 3, log 1

100= −2.

Al igual que con las potencias, con los logaritmos tenemos propiedadesque nos permiten manipularlos de una mejor manera; estas son las siguientes:

2.3. LOGARITMOS: 23

Propiedades de los logaritmos: supondremos que a, b y c son numerosreales positivos y r un numero real cualquiera.

1. loga a = 1 : es decir, el logaritmo (en cualquier base) de la misma basees igual a 1, por ejemplo, log2 2 = 1, log27 27 = 1, log15 15 = 1, etc.

2. loga 1 = 0 : por ejemplo, log2 1 = 0, log27 1 = 0, log15 1 = 0, etc., estopues a0 = 1 para todo a �= 0.

3. loga ar = r : por ejemplo, log2 24 = 4, log27 27−10 = −10, log6 165/7 =5

7, logπ π6 = 6, etc. Esta propiedad nos dice que independientemente

de cual sea el exponente (siempre y cuando tenga sentido), el logaritmoy la potencia se cancelan (si sus bases son iguales).

4. aloga b = b : esta propiedad y la anterior nos dicen que los logaritmos yla potenciacion son inversas, algo ası como la raız cuadrada y el expo-nente 2, es decir, se cancelan, por ejemplo, 2log2 45 = 45, (15)log15 67 =

67,(

54

)log5/4 8= 8, (98)log98(6/11) = 6

11, o tambien 3log3(x2+xy3) = x2+xy3.

5. loga bc = loga b + loga c : el logaritmo de una multiplicacion se con-vierte en la suma de logaritmos, por ejemplo, log4(16×64) = log4(16)+log4(64) = 2 + 3 = 5, si lo hicieramos de la manera larga, es decir, sinusar la propiedad tendrıamos que calcular log4(16×64) = log4(1024), esdecir, debemos buscar un exponente para 4 cuyo resultado sea 1024, esopodrıa no ser tan facil, mucho menos si se hace a mano; en conclusionla propiedad nos simplifica algunos calculos.

6. loga

b

c= loga b − loga c : el logaritmo de una division se convierte en

la resta de logaritmos, por ejemplo, log5

(12525

)= log5(125)− log5(25) =

3 − 2 = 1. En este caso es mejor ver la propiedad de la resta a lamultiplicacion, es decir, usar el lado izquierdo de la propiedad puesla division simplifica la expresion, por ejemplo, si tenemos la restalog9(59049)− log9(6561), no es facil calcular esos logaritmos, pero si us-amos la propiedad tendrıamos log9(59049)−log9(6561) = log9

(590496561

)=

log9(9) = 1, lo cual claramente es mas manejable.

7. loga br = r loga b : esta propiedad es un caso particular de la propiedad(5), solo que se multiplica el mismo termino r veces, por ejemplo,log3 94 = 4 log3 9 = 4 × 2 = 8, log(1000)3 = 3 log(1000) = 3 × 3 = 9.


8. loga b = logc b

logc a: esta es la propiedad de cambio de base de los logarit-

mos, es decir, si tenemos un logaritmo en una base que no nos interesa,podemos cambiar a otra base; por ejemplo, para encontrar logaritmos(cuyo valor no es exacto principalmente) debemos usar una calculadora,pero en la mayorıa de calculadoras aparecen los logaritmos en base 10(y otros que por ahora no los estudiaremos), por tanto debemos pasara base 10, por ejemplo, log2 7 no es un valor exacto, pues 22 = 4 y23 = 8, es decir, el exponente deseado debe estar entre 2 y 3, entoncespara encontrar su valor podemos hacer:

log2 7 =log 7

log 2≈ 0,8451

0,30102≈ 2,80735

los valores de 0,8451 y 0,30102 se encontraron usando una calculadora.Pero el cambio de base no solo se hace a base 10, se puede hacer acualquier base, por ejemplo,

log9 3 =log3 3

log3 9=

1

2, etc.

2.4. Ejercicios:

1. Para cada una de las siguientes potencias escriba una igualdad que seaequivalente pero en terminos de logaritmos

a) 43 = 64

b) 4−3 = 1/64

c) 3x = 4 − t

d) 35 = 243

e) tr = s

f ) (0,9)t = 1/2

g) (3/4)3 = 27/64

h) 491/2 = 7

2. Para cada una de los siguientes logaritmos escriba una igualdad quesea equivalente pero en terminos de potencias

a) log2 32 = 5

b) logt r = p

c) logb 512 = 3/2

d) log41

256= −4

e) log3 81 = 4

f ) loga 343 = 3/4

g) logv w = q

h) log4 p = 5 − x

3. Encuentre el valor, si existe, de

2.4. EJERCICIOS: 25

a) log5 1

b) log6 67

c) log4116

d) log 105

e) log 0,0001

f ) log 10−6

g) log3 243

h) (10)log 7

i) 3log3 8

4. En las siguientes igualdades encuentre el valor de la incognita.

a) 2 × 5t/3 = 10

b) 6 = 2t + 2

c) log4 x = log4(8 − x)

d) log3(x + 4) = log3(1 − x)

e) log x2 = log(3x + 7)

f ) log9 x = 3/2

g) log5 x2 = log5(12 − x)

h) 4x−3 − 4−x+5 = 0

i) 7x2−3 = (49)−x+5

j ) 22x−3 = 5x−2

k) log6(2x − 3) = log6(12) −log6 3

l) 2 log3 x = 3 log3 5

m) log(x + 2) − log x = 2 log 4

n) log2(x + 7) + log2 x = 3

n) log3(x + 3) + log3(x + 5) = 1

o) log(57x) = 2 + log(x − 2)

p) log2(x+3) = −2 log2(x+3)+log3 27 + 4log4 3

q) log x2 = (log x)2

r) log(log x) = 2

s) x√

log x = 108

t) log√

x =√

log x

u) log√

x3 − 9 = 2

5. En las siguientes igualdades escriba x en terminos de y.

a) y =10x + 10−x

2

b) y =10x − 10−x

2

c) y =10x − 10−x

10x + 10−x

d) y =10x + 10−x

10x − 10−x

Capıtulo 3

Factorizacion

3.1. Expresiones Algebraicas

Escogemos para trabajar como conjunto universal el conjunto de losnumeros reales y en algunos casos el conjunto de los numeros complejos.Escogemos tambien, un conjunto de numeros y un conjunto de variablespertenecientes al conjunto universal. Procedemos a combinar dichos elemen-tos mediante operaciones de suma, resta, producto, division y extraccion deraıces, para obtener lo que se llama una expresion algebraica. Los siguientesson ejemplos de expresiones algebraicas:

3x + 5y − 7z,√

5a + 9b3,7a −√

a2 + 5a

12a − 5b

A las variables se les llama parte literal. Es de anotar que expresiones comopor ejemplo −x2yz es equivalente a −1x2yz. Si nos limitamos solamente aoperaciones de suma, resta y multiplicacion, el resultado obtenido se llamapolinomio (los exponentes de las letras son enteros positivos). Una expresionalgebraica que conste unicamente de signo, ( positivo o negativo ) un numero(llamado coeficiente) y parte literal (con exponentes ), se llama termino. Elsiguiente polinomio 3x2y−5xy +9xy2 consta de tres terminos. Un polinomioque conste de un solo termino se llama monomio, si consta de dos termi-nos se llama binomio y si consta de tres terminos se llama trinomio. Losterminos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes, se llamanterminos semejantes y estos terminos son los que se pueden reducir, es decirsumar o restar. por ejemplo los terminos 5x2y3, 7x2y3 y −4x2y3, son terminossemejantes, por lo tanto se pueden reducir. Para reducirlos, se suman o se

27

28 CAPITULO 3. FACTORIZACION

restan los coeficientes y la parte literal queda la misma. La reduccion de losterminos semejantes del ejemplo anterior es: 5x2y3 + 7x2y3 − 4x2y3 = 8x2y3

Ejercicio 3.1. Reducir los siguientes terminos:

1. 5x2y − 7x2y − 8x2y + 16x2y =

2. −8x3y2z5 + 19x3y2z5 − 24x3y2z5 − 35x3y2z5 + 12x3y2z5 =

3. 9a3b3c3 − 17 − 14 + 18 + 34a3b3c3 + 12a3b3c3 − 6a3b3c3 =

4. −16a5b4c3d3 + 14a5b4c3d3 + 28a5b4c3d3 + 15a5b4c3d3 − 7a5b4c3d3 =

5. x5y3z2 − 10x5y3z2 + 8x5y3z2 + 9x5y3z2 − 37x5y3z2 − 6x5y3z2 =

3.1.1. Multiplicacion de monomios

Para multiplicar dos monomios, se multiplica primero el signo, luego loscoeficientes y por ultimo la parte literal, teniendo en cuenta las leyes de loscoeficientes

Ejemplo 3.1. (−5a4b3c5)(6a5b4cd2) = −30a9b7c6d2

Ejercicio 3.2. Multiplicar los siguientes monomios

1. (5x2y)(6x3y3)

2. (8x4y3)(6x3y3)

3. (−7a2b3c4)(−6a4b3d2)

4. (−12a2b3c4d3)(8a4b3c3d2)

3.1.2. Multiplicacion de un monomio por un binomio

Se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica el monomio porcada uno de los terminos del binomio, como por ejemplo:

−5x2y2(4x3y2 − 5x2y) = −20x5y4 + 25x4y3

Ejercicio 3.3. Aplicar la propiedad distributiva

1. 5x2y2(4x3y2 − 5x2y) =

2. 9x3y2z2(4x3y3 − 5x2y3) =

3. −13x3y2z3(4x4y3 + 8x4y3z4) =

4. −7x4y5z2(4x5y3z3 − 5x2y2) =

5. 9a5b4c3(4a4b3c2 − 5a3b3c5) =

6. 12a7b5c3(4a3b4c − 5a3b3c2d) =

3.2. NOCION DE FACTOR. 29

En general, para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se mul-tiplica cada termino del primer polinomio por cada termino del segundopolinomio:

Ejemplo 3.2.

(4x2y3 − 2xy2)(2x2y4 − 5x4y2 + 7x5y) =

8x4y7 − 20x6y5 + 28x7y4 − 4x3y6 + 10x5y4 − 14x6y3

Ejercicio 3.4. Multiplicar los siguientes polinomios:

1. (5x4y2 − 2x3y3)(6x3y3 − 5x5y4 − 7x6y3) =

2. (−9x5y2 + 3x4y3)(7x4y3 − 7x6y3 − 9x4y4) =

3. (6x5y2 + 3x4y3 − 2xy3)(8x4y3 − 7x6y3 + 4x4y4) =

4. (6x5y2 + 3x4y3)(7x4y3 − 7x6y3 − 9x4y4 − 3x2y3z2) =

5. (2x5y2 + 3x5y3 − 4x4y5z2)(7x4y3 − 7x6y3 − 9x4y4 + x3y2z3) =

3.2. Nocion de Factor.

El elemento matematico llamado factor aparece en su expresion mas ele-mental, cuando se realiza la operacion de multiplicacion de un numero naturalm, por otro natural n. Veamos la definicion intuitiva de dicha operacion endos pasos:

Al multiplicar un numero natural m, por otro n natural, se busca unnumero tambien natural x, igual a: n, sı para el caso, m = 1.

m ∗ n = x

x = n

si m = 1

En el caso que m es mayor que la unidad; m > 1; dicha operacion, seasimila igual a la suma de m numeros; cada uno de los cuales es iguala n.

m ∗ n = (n + n + n + ... + n)

m > 1 m − sumandos


En razon de esta definicion, al numero x se le llama producto de losnumeros naturales m y n

m ∗ n = x

Es a partir de esta ultima afirmacion, que a los numeros m y n, se lesllama “factores”. Sinembargo esta nocion de factor, se aplica en la operacionde multiplicacion de elementos de cualesquiera conjuntos numericos, en laforma simple arriba descrita, o en forma mixta con otras operaciones.

En la forma mixta, los factores pueden ser singulares (monomios), o com-puestos en expresiones algebraicas especıficas; en cuyo caso aparecen en es-cena los signos de agrupacion1 para facilitar las operaciones.

Ejemplo 3.3.

1. mnpqxyz, en esta expresion los elementos m,n,p,q,x,y,z son factoressingulares, por tanto esta expresion pretende ser simple si cada factores numerico y singular.

2. m [(n + p) − q (x + yz)], en esta expresion mixta hay factores singularesy los hay compuestos como (n + p), (x + yz).

Ejercicio 3.5.

1. (m + n) (p − q) (x + y + z) =?

2. a{(

m + np

) [q +

(xy

)z]+ R

}=?

Preguntas para el ejemplo-2 anterior:

a) mn, mp, mqx,mqyz, ¿Son factores?

b) ¿Que son entonces?; ¿productos o sumandos?

c) ¿Que tipo de factor es [(n + p) − q (x + yz)]?.

d) ¿Es m [(n + p) − q (x + yz)] un producto o una adicion?

1El parentesis (...), el corchete [...] y las llaves {...}.

3.3. FACTORIZACION 31

3.3. Factorizacion

La factorizacion corresponde al proceso logico mediante el cual se expresaun objeto o numero a como el producto de otros objetos o numeros massimples (llamados factores). Aplicada esta nocion a los numeros, nos permiteentender que la factorizacion es la parte esencial del teorema fundamental dela aritmetica; el cual nos garantiza que todo numero entero positivo n ∈ Z�

se puede representar de forma unica como el producto de sus factores primos,salvo por el orden de los mismos.

Ejemplo 3.4.

1. 108 = 2233

2. 648 = 2334

3. 1125 = 3253

4. 16875 = 3354

y aquı, cada numero base, en el miembro derecho de cada igualdad, es“un factor” multiples veces.

Veamos algunos casos de factorizacion, con ejemplos ilustrativos de losmismos.

3.4. Casos de Factorizacion

En una expresion algebraica de tipo binomio, trinomio y/o polinomio,podemos identificar y extraer un elemento, llamado “el factor comun”; porser el multiplo con el menor exponente y el divisor comun de los coeficientesde la expresion.

3.4.1. Factor comun en los terminos de un polinomio

Factor comun monomio

Si en una expresion algebraica encontramos un factor comun, y esteesta constituido por un termino, entonces decimos que en la expresion hayun factor comun que es monomio.

Ejemplo 3.5.

1. 2a3 − 3a = a (2a2 − 3)


2. 3a2 − 6a = 3a (a − 2)

3. 2a − 4ab + 6abc = 2a (1 − 2b + 3bc)

Este es el caso del factor de cada parentesis.

Ejercicio 3.6.

1. am + fm

2. 2x + 3x2

3. 2a2b2 + 3a3b3c

4. −a2 + 2ax3

5. 5m2 + 10m

6. xy2 − 2x2y

7. 3x2y3 − 6y2z6

8. ax − bx2 + cx3 − dx4

9. 3a2b + 6ab2 − 5a3b + 8a2bx

10. 25x3 − 10x5 + 15x7

Factor comun polinomio

Sı en una expresion algebraica encontramos como factor comun, una sumade elementos; entonces decimos que en la expresion hay un factor comun quees polinomio.

1. 2 (a + 3) x3 − 3b (a + 3) = (a + 3) (2 − 3b)

2. 3x (a2 − 2) − 5b (a2 − 1) = (a2 − 1) (3x − 5b)

3. 2a (1 − x + y)−3b (1 − x + y)+5xc (1 − x + y) = (1 − x + y) (2a − 3b + 5xc)

Ejercicio 3.7. En las siguientes expresiones, identıfique cuales de ellas tienencomo factor comun un polinomio y luego factorize.

1. an (a − b) + fm (a − b)

2. 2x (a + b + c) + 3x2 (a + b + c)

3. 2a2 (x + y + z) + 3a3b3 (x + y + z)

4. −a2 (a + b) + (2ax3 − 1) (a + b)

5. 5m2 (a + bx + cy) + (a + bx + cy) (10m + n)

3.4. CASOS DE FACTORIZACION 33

6. xy2 (a + b) − x2y (a + b)

7. 3x2y3 (ax + bz) − 6y2z6 (ax + bz)

8. ax (a + b) − bx2 (a + b) + cx3 (a + b) − dx4 (a + b)

9. 3a2b (a + b − c) + 6ab2 (a + b − c)− 5a3b (a + b − c) + 8a2bx (a + b − c)

10. 25 (x − 1) − 10x5 (x − 1) + 15x7 (x − 1)

3.4.2. Factor comun por agrupacion de terminos

Para factorizar un polinomio por agrupacion de terminos, se debe teneren cuenta que son dos o mas caracterısticas las que se repiten. para ello, seidentifica el numero de terminos comunes, y para resolverlo, se agrupa cadauna de las caracterısticas.

Ejemplo 3.6.

1.

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) + (bd + dc)

a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)

2.

2a2 − 3ab − 4a + 6b =(2a2 − 3ab

)− (4a − 6b)

a (2a − 3b) − 2 (2a − 3b) = (2a − 3b) (a − 2)

3.

3ax − 3x + 4y − 4ay + ax2 − x2 = (3ax − 3x) + (4y − 4ay) +(ax2 − x2

)3x (a − 1) + 4y (1 − a) + x2 (a − 1) =

(3x + x2

)(a − 1) − 4y (a − 1)

= (a − 1)(x2 + 3x − 4y

)Ejercicio 3.8. En las siguientes expresiones, identifique terminos comunesy luego agrupe.


1. 2x2 + xy + ax + ay

2. a2 − x2 + a − x2a

3. 4a3 − 1 − a2 + 4a

4. am − bm2 + an − bmn

5. 1 + a + 3ab + 3b

6. 6ax + 3a + 1 + 2x

7. 3abx2 − 2y2 − 2x2 + 3aby2

8. 3x3 − 9ax2 − x + 3a

9. 2a2x − 5a2y + 15by − 6bx

10. 6m − 9n + 21nx − 14mx

3.4.3. Trinomio cuadrado perfecto

Sabemos que cuando una cantidad es el producto de dos factores iguales,entonces la misma es un cuadrado perfecto. Ahora bien, cuando el productoes de dos binomios iguales, entonces se obtiene un trinomio que se caracterizacomo ��trinomio cuadrado perfecto��.

(x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2 (3.1)

Cuando vemos un trinomio, podemos analizarlo para certificar si es ono cuadrado perfecto. Basta con verificar que dos terminos sean cuadradosperfectos y el tercero es el doble producto de las raices cuadradas de dichosterminos.

Ejemplo 3.7.

1. 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y) (2x + 3y)

2. 9a2 − 6ab + b2 = (3a − b) (3a − b)

Ejercicio 3.9. Verifique cuales de las siguientes expresiones, tienen la formade trinomios cuadrados perfectos.

1. a2 + 2ab + b2

2. a2 + 2a + 1

3. 4 + 4b + b2

4. x2 + 6x + 92

5. 36x2 − 12xy + y2

6. 9a2 + 18ab + 9b2

7. 1 − 2y3 + y6

8. a2

9+ 2

3ab + b2

9. 225a4 + 30a2b + b2

10. (a + b)2 − 2 (a + b) (x − a) +(x − a)2


3.4.4. Diferencia de cuadrados

Como su nombre lo expresa, se trata de la diferencia o resta de dos ele-mentos; cada uno de los cuales esta elevado al cuadrado.

x2 − y2 (3.2)

En el metodo de resolucion o expansion de esta diferencia (factorizacion);nos apoyamos en el uso de dos binomios: uno conjugado aritmetico del otro.ellos estan conformados por las raıces de los elementos cuadrados, y se mul-tiplican entre si. Dicha operacion, queda de la forma:

x2 − y2 = (x − y) (x + y) (3.3)

Ejemplo 3.8.

1.

1 − a2 =(∣∣∣√1

∣∣∣− ∣∣∣√a2

∣∣∣) (∣∣∣√1∣∣∣+

∣∣∣√a2

∣∣∣)= (1 − a) (1 + a)

2.

a2 − x2 =(∣∣∣√a2

∣∣∣− ∣∣∣√x2

∣∣∣) (∣∣∣√a2

∣∣∣+∣∣∣√x2

∣∣∣)= (a − x) (a + x)

3.

9x2 − 16y2 =(∣∣∣√9x2

∣∣∣− ∣∣∣√16y2

∣∣∣) (∣∣∣√9x2

∣∣∣+∣∣∣√16y2

∣∣∣)= (3x − 4y) (3x + 4y)

x2m − y2n =(∣∣∣√x2m

∣∣∣− ∣∣∣√y2n

∣∣∣) (∣∣∣√x2m

∣∣∣+∣∣∣√y2n

∣∣∣)= (xm − yn) (xm + yn)

Ejercicio 3.10. Factorizar las siguientes expresiones:


1. a2 − b2

2. 4x2 − 9y2

3. 25a2 − 36b2

4. a2m − b2n, si m = 2 n = 4

5. 25a2m − 36b2n

6.(

1a

)2 − (1b

)2=

7. 4a2 − 9

b2=

8. 1x2 − 1

y2 =

9. 25a2b4c6 − x2 =

10. (x + y)2 − a2

11. 9y2n − 1b2

3.4.5. Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sus-traccion

Ya hemos visto como se factoriza un trinomio cuadrado perfecto, cuandoeete esta completo. Sin embargo en un caso general podemos tenerlo incom-pleto; en cuyo caso bastara con revisarlo y completarlo para luego organizarloy factorizarlo, veamos:

Ejemplo 3.9.

1. x4 − x2 + 1, como esta incompleto, es necesario revisar que hace faltapara tener un trinomio cuadrado perfecto, y luego proceder a la comple-mentacion de lo que se tiene. hace falta un factor dos “2” en el segundosumando, para tener el doble producto de las raıces de los otros dosterminos. En este caso basta agregar un sumando “x2” y luego restarlo;(

x4 − x2 + 1)

+ x2 − x2 =(x4 − 2x2 + 1

)+ x2 (3.4)

Ası tendremos como resultado final, un trinomio cuadrado perfecto,mas un temino adicional:(

x4 − 2a2 + 1)

+ x2 =(x2 − 1

)2+ x2 (3.5)

2.

4x4 + 8x2y2 + 9y4 =(4x4 + 8x2y2 + 9y4

)+ 4x2y2 − 4x2y2(

4x4 + 12x2y2 + 9y4)− 6x2y2 =

(2x2 + 3y2

)2 − 4x2y2

[(2x + 3y) − 2xy] [(2x + 3y) + 2xy] = (2x − 2xy + 3y) (2x + 2xy + 3y)


3.

m4 + m2n2 + n4 =(m4 + m2n2 + n4

)+ m2n2 − m2n2(

m4 + 2m2n2 + n4)− m2n2 =

(m2 + n2

)2 − m2n2[(m2 + n2

)− mn] [(

m2 + n2)

+ mn]

=(m2 − mn + n2

) (m2 + mn + n2

)

m4 + m2n2 + n4 =(m4 + m2n2 + n4

)+ m2n2 − m2n2(

m4 + 2m2n2 + n4)− m2n2 =

(m2 + n2

)2 − m2n2[(m2 + n2

)− mn] [(

m2 + n2)

+ mn]

=(m2 − mn + n2

) (m2 + mn + n2

)Ejercicio 3.11. Verifique las expresiones siguientes y donde sea necesariocomplete el trinomio cuadrado y luego factorice.

1. x4 + 2x2 + 9

2. 4a4 − 3a2b2 + 9b4

3. a8 − 4a4b4 + 16b8

4. 16m4 − 25m2n2 + 9n4

5. 36a4 − 109a2b2 + 49b4

6. c4 − 45c2 + 100

7. 49 + 76b2 + 64b4

8. 4 − 108x2 + 121x4

9. a8 + 16 − 9c4

10. 4a4y4 + 43a2y2 + 121

3.4.6. Trinomio de la forma x2 − bx + c

Para factorizar un trinomio de dicha forma; procedemos de la siguientemanera:

a) Se descompone el mismo en el producto de dos binomios; en cada uno delos cuales el primer termino es la raız cuadrada del primer termino deltrinomio arriba descrito, “x”.

b) En el primer factor binomio, el signo del segundo termino a definir, esel mismo signo del segundo termino del trinomio. En el segundo factorbinomio, el signo del segundo termino a definir, corresponde al productode los signos del segundo y tercer terminos del trinomio.


c) Segundos terminos de los dos binomios. Sı son iguales los signos de lossegundos terminos de los dos binomios, se buscan dos numeros cuyasuma sea igual al valor absoluto del segundo termino del trinomio, ycuyo producto sea igual al valor absoluto del tercer termino del tri-nomio.

d) Para el caso anterior, si los signos son opuestos; la diferencia de los dosnumeros buscados debera dar el valor absoluto del segundo terminodel trinomio y su producto sera el valor absoluto del tercer temino. Ental caso, el numero mayor sera el segundo termino del primer binomiofactor.

Ejemplo 3.10.

1.

x2 − 3x − 10 = (x − ...) (x + ...)

x2 − 3x − 10 = (x − 5) (x + 2)

2.

x2 − 7x + 12 = (x − ...) (x − ...)

= (x − 4) (x − 3)

3.

x2 − 13x + 40 = (x − ...) (x − ...)

x2 − 13x + 40 = (x − 8) (x − 5)

Ejercicio 3.12. Factorice las siguientes expresiones

1. a2 − 3a + 2

2. x2 − 7x + 6

3. x2 + 7x + 6

4. x2 − 4x + 3

5. a2 − 8a + 12

6. x2 − 6x − 16

7. y2 − y + 30

8. x2 + 28 − 11x

9. x2 − 13x − 30

10. m2 − 20m + 300


3.4.7. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Para factorizar un trinomio de dicha forma; procedemos de la siguientemanera:

a) Se multiplican los tres terminos del trinomio por el coeficiente de suprimer termino, quedando ası un nuevo trinomio diferente al primero;(Al final habra que rectificar esto).

a2x2 + abx + ac (3.6)

b) Se descompone el nuevo trinomio en el producto de dos binomios; encada uno de los cuales el primer termino es la raız cuadrada del primertermino de este trinomio, “ax”. y se procede como se hizo en el casoanterior.

(ax + ...) (ax + ...) (3.7)

c) Al final y para recuperar el trinomio original, se debe dividir el resultadopor el coeficiente del primer termino del trinomio inicial.

Ejemplo 3.11.

1.

4x2 − 3x − 10 =

42x2 − 3(4x) − 4(10) = (4x − 8) (4x + 5)

16x2 − 12x − 40 = (4x − 8) (4x + 5)

16x2 − 12x − 40

4=

(4x − 8) (4x + 5)

44x2 − 3x − 10 = (x − 2) (4x + 5)

2.

6a4 + 5a2 − 6 =(6a2

)2+ 5

(6a2

)− 36 =(6a2 + 9

) (6a2 − 4

)(6a)2 + 5 (6a2) + 36

6=

(6a2 + 9) (6a2 − 4)

2 × 3

6a4 + 5a2 − 6 =(2a2 + 3

) (3a2 − 2

)


3.

9x2 − 3x − 20 = (x − ...) (x + ...)

(9x)2 − 3 (9x) − 180 = (9x − 15) (9x + 12)

(9x)2 − 3 (9x) − 180

9=

(9x − 15) (9x + 12)

3 × 3

9x2 − 3x − 20 = (3x − 5) (3x + 4)

Ejercicio 3.13.

1. 18x2 − 13x − 5

2. 6a2 − 7a − 3

3. 6a4 + 5a2 − 6

4. 15x2 − ax + 2a2

5. 14a2 − 45a − 14

6. 7x6 − 33x3 − 10

7. 6x2y2 + 5xy − 21

8. 10a2 + 7a − 12

9. 5 + 7x4 − 6x8

10. 6m2 − 13mx − 15x2

3.4.8. Diferencia de cubos

Como su nombre lo expresa, se trata de la diferencia o resta de dos termi-nos; cada uno de los cuales esta elevado al cubo; es decir, un binomio condos cubos perfectos.

x3 − y3 (3.8)

En el metodo de resolucion o expansion de esta diferencia; (factorizacion),procedemos de la siguiente manera: generamos dos grandes factores, ası:

a) Un binomio como primer factor; compuesto por la diferencia de las raıcescubicas del binomio inicial.

b) Un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raız sumado alcuadrado de la segunda raız y al producto de las dos raıces.

x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2

)(3.9)


1.

a3 − x3 = (a − x)(a2 + ax + x2

)2.

8x3 − 27y3 = (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2

)3.

x3m − y3n =(

3√

x3m − 3√

y3n) (

x2m + xmyn + y2n)

= (xm − yn)(x2m + xmyn + y2n

)Ejercicio 3.14. Factorizar las siguientes expresiones:

4. a3 − b3

5. 27x3 − 8y3

6. 64a3 − 125b3

7. a3n − b3n

8. 10a3m − 20b3n

9.(

1a

)3 − (1b

)3

10. 8a3 − 64

b3

11. 1x3 − 1

y3

3.4.9. Suma de cubos

Como su nombre lo expresa, se trata de la suma o adicion de dos terminos;cada uno de los cuales esta elevado al cubo; es decir, un binomio con dos cubosperfectos.

x3 + y3 (3.10)

En el metodo de resolucion o factorizacion de esta diferencia; procedemosde la siguiente manera: generamos dos grandes factores, ası:

a) Un binomio como primer factor; compuesto por la suma de las raicescubicas del binomio inicial.

b) Un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raız sumandole elcuadrado de la segunda raız y restando el producto de las dos raicesdel binomio inicial:


x3 + y3 =(x2 + y2

)(x − xy + y) (3.11)

Ejemplo 3.12.

1.

a3 + x3 = (a + x)(a2 − ax + x2

)2.

8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2

)3.

x3m + y3n =(

3√

x3m + 3√

y3n) (

x2m − xmyn + y2n)

= (xm + yn)(x2m − xmyn + y2n

)Ejercicio 3.15. Factorizar las siguientes expresiones:

4. a3 + b3

5. 27x3 + 8y3

6. 64a3 + 125b3

7. a3n + b3n

8. 10a3m + 20b3n

9.(

1a

)3+(

1b

)3=

10. 8a3 + 64

b3=

11. 1x3 + 1

y3 =

Capıtulo 4

Fracciones algebraicas

4.1. Fracciones algebraicas

En esta parte se va a trabajar con fracciones cuyos numeradores y de-nominadores son polinomios. En un sentido mas amplio, las fracciones alge-braicas, son fracciones cuyos numeradores y denominadores son expresionesalgebraicas. Simplificar una fraccion algebraica, consiste en expresar tanto elnumerador como el denominador de la fraccion como producto, de tal maneraque si hay factores comunes diferentes de cero, se divide tanto el numeradorcomo el denominador por dichos factores y se escribe lo que queda:

Ejemplo 4.1.

(x − 5)(x + 4)

x − 5=

(x − 5)(x + 4)

x − 5x − 5

x − 5

=x + 4

1= x + 4, x �= 5

Lo anterior, generalmente se hace, ası:

(x − 5)(x + 4)

x − 5= x + 4, x �= 5

Ejemplo 4.2.

(x − 3)(x + 5)(x − 9)(x + 7)

(x − 3)(x + 7)(x + 8)(x − 12)=

(x + 5)(x − 9)

(x + 8)(x − 12), x �= 3,−7,−8, 12

43

44 CAPITULO 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo 4.3.

x2 + 9x + 20

x2 − 3x − 28=

(x + 4)(x + 5)

(x + 4)(x − 7)=

x + 5

x − 7, x �= −4, 7

Ejercicio 4.1. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1.x2 + 9x + 20

x2 − 3x − 28=

2.x2 − 15x + 56

x2 + 2x − 80=

3.x2 + 17x + 66

x2 + 18x + 72=

4.x2 − 14x + 45

x2 − 21x + 108=

5.6x2 − x − 2

6x2 − 3x − 3=

6.15x2 + 14x − 8

20x2 + 17x − 10=

7.15x3 + 59x2 + 34x − 24

20x3 + 77x2 + 41x − 30=

8.2x3 + 3x2 − 23x − 12

2x3 − 3x2 − 50x − 24=

4.2. Suma de fracciones algebraicas

El resultado de sumar varias fracciones algebraicas, es una fraccion al-gebraica, cuyo denominador es el mınimo comun multiplo (tambien llamadomınimo comun divisor) de los denominadores de las fracciones que se van asumar y cuyo numerador es el resultado de reducir los terminos que se ob-tienen, al dividir el mınimo comun divisor en cada uno de los denominadoresde los terminos que se estan sumando y ese resultado multiplicarlo por elnumerador respectivo.

Ejemplo 4.4. Sumar las siguientes fracciones:

1

x+

5

x2− x + 1

x − 5+

x

(x − 5)2=

Los denominadores son: x, x2, x−5, y (x−5)2. El mınimo comun multi-plo de dichos denominadores, es la menor expresion que divide exactamente acada uno de esos denominadores, en este caso x2 (x−5)2. Al dividir el mınimocomun divisor en cada uno de los denominadores de las fracciones que se estansumando, se obtiene respectivamente: x (x − 5)2, (x − 5)2, x2 (x − 5), x2,estos resultados los multiplicamos respectivamente por los numeradores, esdecir, por 1, 5, (x + 1), y x, se obtiene lo siguiente:

4.2. SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 45

1

x+

5

x2− x + 1

x − 5− x

(x − 5)2=

x (x − 5)2 + 5 (x − 5)2 − x2(x + 1)(x − 5) − x3

x2 (x − 5)2

=(x + 5)(x2 − 10x + 25) − x2(x2 − 4x − 5) − x3

x2 (x − 5)2

=−x4 + 4x3 − 25x + 125

x2 (x − 5)2

Ejercicio 4.2. Sumar las siguientes fracciones polinomicas

1.x

x + 1+

x

x − 2− x − 1

(x − 2)2+

3

(x − 2)3=

2.4

x − 6+

x − 1

x − 3− x − 1

x − 2+

x + 1

(x − 6)2=

3.x

x2 − 1+

x

x − 1− x − 1

(x + 1)2+

3

x − 2=

4.x

x2 − 4+

x

x − 2− x + 4

x + 2+

x

x − 4=

5.x

x2 + 2x − 3+

5x

x2 + 3x − 4− 3x

x2 + 7x + 4=

6.x

x2 + x − 20+

x − 4

x2 + 8x + 15− x

x2 − 3x − 18=

7.x

4x2 − 1+

x + 1

6x2 − x − 2− 5x

6x2 − 7x + 2=

8.2

(x − 3)2+

2x + 1

x2 − 6x + 9+

7

x2 − 8x + 15=

9.x

(2x − 3)2− 3x + 1

2x2 + 5x − 12− 7

2x2 + 3x − 20=

10.x

x3 − 2x2 − 11x + 12− 3x + 1

x3 + 4x2 + x − 6− 7

x3 + 6x2 + 5x − 12=

Capıtulo 5

Ecuaciones

5.1. Algunos tipos de ecuaciones

Definicion 5.1. Una Ecuacion es una igualdad entre dos expresiones quecontienen variables o incognitas(letras que representan numeros).

Ejemplo 5.1. Algunas ecuaciones son:

3w + 5 = 8x2 − 25 = (x + 5)(x − 5)y + 5x = 4

5.1.1. Ecuacion Lineal

Es una ecuacion que contiene incognitas elevadas a la primera potencia.

3x − 12z − 7w = 9

Las incognitas son x, z y w.

5.1.2. Ecuacion lineal con una incognita

Es una ecuacion con una sola incognita donde aparece elevada a la primerapotencia.

−2(y + 5) = y − 32

47

48 CAPITULO 5. ECUACIONES

5.1.3. Ecuacion Cuadratica

Una ecuacion cuadratica en una variable x con coeficientes reales es unaecuacion de la forma

ax2 + bx + c = 0

con a, b, c ∈ R y a �= 0.

5.1.4. ¿Que es la solucion de una ecuacion?

Es el conjunto de valores que toma la incognita para los cuales la ecuaciones verdadera.A las soluciones de una ecuacion se les llama ceros o raices dela ecuacion.

Ejemplo 5.2. Encuentre la solucion de las ecuaciones:

1. 3w + 5 = 8

Solucion:3w + 5 = 83w = 8 − 5

3w = 3w = 1

La solucion de la ecuacion es 1

2. x52 − x

12 = 0

Solucion:

x52 − x

12 = 0

x12 (x2 − 1) = 0

x12 (x − 1)(x + 1) = 0

x12 = 0 o x − 1 = 0 o x + 1 = 0

Las soluciones de la ecuacion son 0 o −1 o 1.

5.1. ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES 49

5.1.5. ¿Como resolver una ecuacion con una incognita?

1. Si la ecuacion es lineal con una incognita se despeja la incognita apli-cando las propiedades de la suma y multiplicacion de numeros reales.

Ejemplo 5.3. Resolver la ecuacion −52

w + 1 = −7 − 3w

Solucion

w + 3w = −52− 7 − 1

12w = −8

w = −16

Ası, la solucion de la ecuacion es −16.

2. Si la ecuacion es de potencia diferente de uno se iguala a cero, se fac-toriza como producto de ecuaciones lineales y se aplica la propiedaddel producto igual a cero(Si un producto es igual a cero al menos unode sus factores debe ser cero).

Ejemplo 5.4. Resolver la ecuacion x−32 + x

12 = −2x

−12

Solucionx

−32 + x

12 = −2x

−12

x−32 − 2x

−12 + x

12 = 0

x−32 (1 − 2x + x2) = 0

x−32 (x − 1)2 = 0

x−32 (x − 1)(x − 1) = 0

x−32 = 0 o (x − 1) = 0

Luego para x−32 = 0 no existen valores de x, y x − 1 = 0, cuando

x = 1.

Ası, las soluciones de la ecuacion son 1 de multiplicidad dos.

3. Para resolver una ecuacion cuadratica se pueden utilizar los casos defactorizacion o la formula cuadratica.

Ejemplo 5.5. Encontrar las soluciones de la ecuacion 2x2−3x+1 = 0


Solucion: Factorizando se tiene

(2x−2)(2x−1)2

= 02(x−1)(2x−1)

2= 0

(x − 1)(2x − 1) = 0(x − 1) = 0 o (2x − 1) = 0

x = 1 o x = 12

Ası, las soluciones de la ecuacion son 1 o 12.

Formula cuadratica

Si la ecuacion es de la forma ay2 + by + c = 0 entonces

y = −b±√b2−4ac

2a

Ası, las soluciones de la ecuacion son y = −b+√

b2−4ac2a

o y = −b−√b2−4ac

2a

Ejemplo 5.6. Resolver la ecuacion y2 + 3y + 2 = 0

Solucion:

y =−3 ±√

32 − 4x1x2

2x1

=−3 ±√

9 − 8

2

=−3 ± 1

2

Es decir y = −3+12

= −22

= −1 o y = −3−12

= −42

= −2Luego las soluciones de la ecuacion son −1 o −2.

5.1.6. Sistemas de ecuaciones 2×2

Es un conjunto de dos ecuaciones con dos incognitas.

Ejemplo 5.7. {12x + 3y = 6

−x − 8y = 18


5.1.7. Solucion de un sistema de ecuaciones 2×2

La solucion de un sistema de ecuaciones 2×2, es el conjunto de valores quetoman las incognitas para las cuales las ecuaciones son verdaderas. Existendiferentes formas de resolver un sistema de ecuaciones 2×2, veamos algunas:

Metodo de Igualacion

Se despeja en cada una de las ecuaciones una cualquiera de las incognitas,luego se igualan los dos valores obteniendose una ecuacion con una incognita.Se encuentra el valor de esta incognita y luego se sustituye en en cualquierade las ecuaciones iniciales y se encuentra el valor de la incognita faltante.

Ejemplo 5.8. Resolver el sistema

{2z + 3w = 1 (1)−z − 3w = 2 (2)

}

Despejamos z en las dos ecuaciones

De la primera ecuacion se tiene z = 1−3w2

De la segunda ecuacion se tiene z = 2 + 3w

Ahora igualando los dos valores de z obtenemos

1 − 3w

2= 2 + 3w

resolviendo esta ecuacion

1 − 3w = 2(2 + 3w)−3w − 6w = 4 − 1

−9w = 3w = −1

3

Luego reemplazando w = −13

en la ecuacion (1)

2z + 3(−1

3

)= 1

2z = 1 + 1z = 1

Entonces la solucion del sistema de ecuaciones es z = 1 , w = −13.


Metodo de Sustitucion

Se despeja en una de las ecuaciones una de las incognitas y luego sereemplaza en la otra ecuacion, obteniendose una ecuacion con una incognita.Se encuentra el valor de esta incognita y luego se sustituye en en cualquierade las ecuaciones iniciales y se encuentra el valor de la incognita faltante.


{x + 3y = 6 (1)

−x − 8y = 8 (2)

}Despejamos x de la primera ecuacion

x = 6 − 3y

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuacion −(6 − 3y) − 8y = 8Resolvemos esta ecuacion

3y − 8y = 8 + 6−2y = 14y = −7

Luego reemplazamos y = −7 en la ecuacion (2)

x + 3(−7) = 6x = 6 + 21

x = 27

Por lo tanto la solucion del sistema de ecuaciones es [x = 27, y = −7].

Metodo de Reduccion

Se hacen iguales los coeficientes de una de las incognitas pero con signosdistintos, luego se suman estas ecuaciones eliminandome la incognita a lacual le igualamos los coeficientes, quedando una ecuacion con una incognita.Se encuentra el valor de esta incognita y luego se sustituye en encualquierade las ecuaciones iniciales y se encuentra el valor de la incognita faltante.


{3x2 − 3y2 = 2 (1)

x2 − 2y2 = 13

(2)

}Vamos a igualar los coeficientes de la incognita y en ambas ecuaciones

pero con signos distintos, para esto multipliquemos la ecuacion (1) por −2 yla ecuacion (2) por 3,obteniendose


−6x2 + 6y2 = −43x2 − 6y2 = 1

Sumando estas ecuaciones miembro a miembro se tiene

−3x2 = −33 − 3x2 = 01 − x2 = 0

(1 − x)(1 + x) = 01 − x = 0 o 1 + x = 0

x = 1 o x = −1

Luego sustituyendo x = 1 en la ecuacion (2)

12 − 2y2 = 13−2y2 = 1

3− 1

−2y2 = −23

y2 = 13

y2 − 13

= 0

(y −√

33

)(y +√

33

) = 0

y =√

33

o y = −√

33

Obtenemos los valores de y =√

33

o y = −√

33

Ahora sustituyendo x = −1 en la ecuacion (1)

3(−1)2 − 3y2 = 23 − 3y2 = 2−3y2 = −1

3y2 = 13y2 − 1 = 0

(√

3y − 1)(√

3y + 1) = 0

y =√

33

o y = −√

33

Tenemos los valores de y =√

33

o y = −√

33

.Por lo tanto las soluciones del sistema de ecuaciones son:[

x = 1 , y =

√3

3

],

[x = 1 , y = −

√3

3

],[

x = −1 , y =

√3

3

]o

[x = −1 ,∧ = −

√3

3

]


5.2. Ejercicios

1. Resuelva las ecuaciones

a) 3x − 2 = 10

b) −2w + 1 = 9

c) 3(z − 2) = 15

d) 52t − 8 = t + 3

e) 43x − 7 = 1

3x + 8

f ) 35(y − 5) = y + 1

g) 72v + 5 + 1

2v = 5

2v − 6

h) 43(z + 8) = 3

4(2z + 12)

i) 1 − 12u = 7(1 − 2u)

j ) x + 2(16x + 2) = 6

5x + 16

k)√

2z + 8 =√

6z

l) 2x− 5 = 6

x+ 4

m) 5(1 − y)2 − 5(y2 − 3y − 7) = y(y − 3) − 2y(y + 5) − 2

n) 6x − (2x + 1)) = −{−5x + [−(−2x − 1)]}n) 14w − (3w − 2) − [5w + 2 − (w − 1)] = 0

2. Resuelva la ecuacion para la incognita indicada

a) c = 2aba+b

, para b

b) V = 13πh2(3R − h), para R

c) ax+bcx+d

= 2, para x

d) F = GmMr2 ; para r

e) S = n(n+1)2

; para n

f ) A = 2lw + 2wh + 2lh; para h

g) a2 + b2 = c2; para b

3. Plantee la ecuacion correspondiente con una incognita y resuelva

a) Determine un numero tal que dos tercios de el incrementados enuno sean igual a 13.

b) Determine las dimensiones de un rectangulo cuyo perımetro es de56 pulgadas, si la longitud es 4 pulgadas mayor que el ancho.

c) Cada uno de los dos lados iguales de un triangulo isosceles tiene 3pulgadas mas que la base. El perımetro tiene 21 pulgadas. Calculela longitud de cada lado.

d) Roberto da una caminata a un paso de 3 millas por hora.Dos horasdespu es, Rogelio trata de alcanzarlo trotando a 7 millas por hora.¿Cuanto tiempo tardara en llegar donde esta Roberto?

5.2. EJERCICIOS 55

e) La suma de tres numeros es 238. El primero excede al duplo delsegundo en 8 y al tercero en 18. hallar los numeros.

4. Resolver la siguientes ecuaciones

a) x2 − 5x + 6 = 0

b) x2 − 10x = 0

c) 2x2 = x

d) 4x2 − 15x = −9

e) (y + 1)(y + 2)= 30

f ) 2z(z + 6) = 22z

g) x2 − 2x − 15 = 0

h) 2w2 − 2w = 15

i) −y2 + 6y − 14 = 0

j ) 2 − 4x − x2 = 0

k) 3z + 1 = 2z2

l) 2t2 − t + 1 = 0

m) 4x2 + x = 3

n) 2y + 3 = −4y2

n) 4x−1

+ 2x+1

= 35x2−1

o) 1z− 1

2z− 1

5z= 10

z+1

p) y2 −√5y + 1 = 0

q) x2

x+100= 50

r) 1 + 2x(x+3)(x+4)

= 2x+3

+ 4x+4

s) 1w−1

− 2w2 = 0

t)√

2x + 1 + 1 = x

u) 2y +√

y + 1 = 8

v)√√

x − 5 + x = 5

w) 4(z + 1)12 − 5(z + 1)

32 + (z +

1)52 = 0

x ) x12 + 3x

−12 = 10x

−32

y) 1z3 + 4

z2 + 4z

= 0

5. Plantee la ecuacion correspondiente con una incognita y resuelva

a) La suma de un numero y su cuadrado es 56. calcule el numero.

b) La longitud de un rectangulo es 3 cm mayor que su ancho. El areaes de 70 cm2.Determine las dimensiones del rectangulo.

c) Se debe fabricar una caja con base cuadrada y sin tapa a partir deun trozo cuadrado de carton, cortando cuadrados de 4 pulgadasen cada una de las esquinas y doblando los costados. La cajadebe tener 100 pulgadas cubicas¿Cual es el tamano de la pieza decarton necesaria?

d) Durante su carrera en las ligas mayores, fabio conecto 31 cuadran-gulares mas que Juan. Juntos batearon 1459¿Cuantos conecto Juan?

6. Determine las soluciones del sistema de ecuaciones


a)

{2u − 6v = −165u − 3v = 8

b)

{12x + 3y = 6

−x − 8y = 18

c)

{3s + t − 3 = 02s − 3t − 2 = 0

d)

{14w + 1

3y = 5

1212w + y = 1

e)

{2(x − y − 1) = 1 − 2x

6(x − y) = 4 − 3(3y − x)

f )

{x−2

5+ y+1

10= 1

x+23

− y+32

= 4

g)

{4x = 7y − 6

9y = −12x + 12

h)

{x2 + y2 = 25

y = 34x

i)

{w2 + t2 = 8w + t = 0

j )

{v2 + w = 9

v − w + 3 = 0

k)

{2x2 + 4y = 13x2 − y2 = 7

2

l)

{3x2 + 4y = 172x2 + 5y = 2

7. Use un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incognitas para resolverlos siguientes problemas

a) El perımetro de un rectangulo es de 72 pulgadas. Su longitud estres y media veces el ancho. Calcule las dimensiones.

b) El triple del mayor de dos numeros es 10 mas que el doble delmenor. Cinco veces el menor es cuatro veces el mayor menos11.¿Cuales son los numeros?

5.3. Ecuaciones de Orden Superior

1. Resolver las ecuaciones

a) x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0

b) z3 − 4z2 + z + 6 = 0

c) x3 − 2x2 − 2x − 3 = 0

d) x4 − 2x3 − 3x2 + 8x − 4 = 0

e) w4 − w3 − 23w2 − 3w + 90 = 0

f ) x5 − 4x4 − 3x3 + 22x2 − 4x − 24 = 0

g) 3t5 − 14t4 − 14t3 + 36t2 + 43t + 10 = 0

5.3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR 57

h) x6 − 729 = 0

i) y3 − 2y2 + 2y − 1 = 0

j ) 2x6 + 5x5 + x4 + 10x3 − 4x2 + 5x − 3 = 0

Capıtulo 6

Solucion de problemas

6.1. Introduccion

La solucion de problemas practicos en Ingenierıa, Economıa, Fısica ymuchas otras areas de la ciencia aplicada, casi siempre llevan a resolver sis-temas de ecuaciones. Muchos de estos sistemas se podran resolver utilizandolos procedimientos estudiados hasta ahora. Veamos la sıguete aplicacion:

Ejemplo 6.1. Un problema de Circuitos:La red de resistencia electrica de la figura 2.1 contiene resistencias de R1

a R8 y dos fuentes de tension o voltaje V1 y V2. Las corrientes en los cuatrocircuitos cerrados de la red son i1 a i4, que se dibujan en sentido contrario alas manecillas del reloj(se hubieran podido dibujar de otra manera)

R3 R8

R5

R2 R7

R4

R1 R6

�

i3

i2i1

i4V1

V2�

�

�

� �

•

•

• • •

••

• •

59

60 CAPITULO 6. SOLUCION DE PROBLEMAS

Las Ecuaciones para las corrientes en terminos de las resistencias y ten-siones conocidas se obtienen de la ley de Ohm y de la ley de Kirchhoff parael voltaje. Estas leyes son:

Ley de Ohm: La caıda de voltaje a traves de una resistencia R es(iR) en la direccion de la corriente i .

Ley de Kirchhoff para el voltaje: La caıda de voltaje neta en uncircuito cerrado es cero.

Ley de Kirchhoff para la corriente: La corriente neta que sale deun nodo de un circuito es cero

Las ecuaciones obtenidas son:

Circuito 1 i1R1 + (i1 − i4)R4 + (i1 − i1) R2 + V1 = 0Circuito 2 (i2 − i1) R2 + (i2 − i3)R5 + i2R3 − V2 = 0Circuito 3 (i3 − i4) R7 + i3R8 + (i3 − i2) R5 = 0Circuito 4 i4R6 + (i4 − i3)R7 + (i4 − i1) R4 = 0

Obviamente este es un S.E.L. cuya solucion, a lo mejor, requiere de unproceso bastante engorroso para ser hallada, pero que obviamente se puedeencontrar.

Nota: Asigne valores a las resistencias y a la fuentes y resuelva el sis-tema de ecuaciones obtenido en el ejemplo 6.1 utilizando algun programa decomputador.

6.2. Estrategia para resolver problemas

En la solucion de problemas de aplicacion siempre es bueno tener unaestrategia metodologica para abordarlos, aquı sugerimos algunos pasos quepueden ser aplicados indistintamente a diferentes tipos de situaciones, endiferentes areas del conocimiento:

Definicion de variables:

Lea cuidadosamente el problema y determine las variables necesariasa ser definidas para el posterior planteamiento del mismo. Aquı esnecesario hacer diferencias entre los terminos desconocidos o incognitasy los conocidos o constantes.

6.2. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 61

Planteamiento del problema:

Aquı se pretende que el estudiante transforme la informacion conteni-da en el problema, en ecuaciones; dicha informacion la mayorıa de lasveces esta redactada en forma verbal y se requiere de una buena do-sis de practica, para desarrollar la habilidad de hacer esta especie de“traduccion” del lenguaje verbal al lenguaje matematico.

Solucion de las ecuaciones:

Esta es quizas la parte mas sencilla en la solucion de un problema deaplicacion, dado que aquı, se trata de aplicar los metodos estudia-dos previamente para resolver ecuaciones, tambien es necesario que elestudiante conozca las operaciones y propiedades estudiadas, para losnumeros involucrados en el problema.

Interpretacion de resultados:

Es necesario que la persona que resuelve un problema de aplicacion,sea consciente de las unidades de cada variable, al igual que de su valornumerico, para que pueda al final del proceso, verificar que estas tienensentido y ademas poder expresar su respuesta en terminos de unidadesy cantidades reales y no las definidas en la primera parte del proceso.

Veamos un par de ejemplos en los que se pretende mostrar cada uno delos pasos del anterior proceso:

Ejemplo 6.2. El Problema:´´En un corral hay 70 animales entre conejosy gallinas. Si entre todos los animales suman 190 patas. ¿Cuantos conejos ycuantas gallinas hay en el corral?”

Definicion de variables:´

Si leemos detenidamente el problema, deducimos que el objetivo escalcular la cantidad de conejos y la cantidad de gallinas que hay enel corral, por lo tanto alrededor de este objetivo, definiremos nuestrasincognitas.

x1 : = Cantidad de conejos

x2 : = Cantidad de gallinas


Estas tres variables se hubieran podido nombrar de cualquier formacom0 α, β, γ , a, b, c o x, y, z sin que ello afecte la solucion del problema.


Para plantear el problema, se desglosara el texto inicial teniendo encuenta los signos de puntuacion y las oraciones completas que lo con-forman. Ası, la expresion:

“En un corral hay 70 animales entre conejos y gallinas.”

Se puede escribir como:

x1 + x2 = 70 (6.1)

Ahora, la frase:

“Si entre todos los animales suman 190 patas”


4x1 + 2x2 = 190

Ası las cosas, escribiendo los resultados anteriores, el problema se puederesumir en: {

x1 + x2 = 704x1 − 2x2 = 190

(6.2)

el cual, como se observa es un sistema de ecuaciones lineales de 2 × 2que se puede resolver utilizando los metodos estudiados en el capıtulo5.


Utilizaremos un procedimiento intuitivo para resolver el sistema.

Imagine que en el corral estan los 70 animales y usted de alguna maneralogra que los conejos se paren en sus patas traseras, esto significa quetodos los animales (gallinas y conejos) quedarıan parados en dos patasy por lo tanto habrıa 140 patas en el piso, como en total hay 190 patas,esto significa que hay 50 patas de conejo levantadas, dos por cada conejoy por ende hay 25 conejos. Como el resto de los 70 animales son gallinas,quiere decir que hay 45 gallinas en el corral.

6.2. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 63


De acuerdo a las variables definidas y los resultados obtenidos medianteel proceso anterior, podemos concluir que:

“En el corral hay 25 conejos y 45 gallinas”

Ejemplo 6.3. El problema: “Tres especies de ardillas han sido llevadasa una isla con una poblacion inicial total de 2000. Despues de 10 anos laespecie I ha duplicado su poblacion, la especie II se ha incrementado en un50% y la especie III se ha extinguido. Si el incremento de la poblacion de laespecie I es igual al de la especie II y si la poblacion total se ha incrementadoen 500, determine la poblacion inicial de cada una de las tres especies”

Definicion de variables:

Si leemos detenidamente el problema, deducimos que el objetivo escalcular la cantidad inicial de ardillas en cada una de las especies, porlo tanto alrededor de este objetivo, definiremos nuestra incognitas.

x1 : = Cantidad inicial de ardillas de la especie I

x2 : = Cantidad inicial de ardillas de la especie II

x3 : = Cantidad inicial de ardillas de la especie III

Estas tres variables se hubieran podido nombrar de cualquier formacomo x, y, z o a, b, c sin que ello afecte la solucion del problema.


Para plantear el problema, se desglosara el texto inicial teniendo encuenta los signos de puntuacion y las oraciones completas que lo con-forman. Ası, la expresion:

“Tres especies de ardillas han sido llevadas a una isla con una poblacioninicial total de 2000.”


x1 + x2 + x3 = 2000 (6.3)

Dado que las variables utilizadas fueron definidas previamente. Esimportante aclarar que tanto las variables como la frase, se refieren ala cantidad inicial de ardillas y no a la cantidad despues de 10 anos.


Ahora, la frase:

“Despues de 10 anos la especie I ha duplicado su poblacion, la especieII se ha incrementado en un 50 % y la especie III se ha extinguido”


2x1 = Cantidad final de ardillas de la especie I

x2 + 50 %x2 = Cantidad final de ardillas de la especie II

Las cuales representan la poblacion de ardillas, 10 anos despues.

Igualmente: “Si el incremento de la poblacion de la especie I es igual alde la especie II” podemos expresar la palabra incremento como el valorfinal de algo, menos el valor inicial y por tanto

2x1 − x1 =Incremento en la cantidad de ardillas de la especie I

x2 + 50 %x2 − x2 =Incremento en la cantidad de ardillas de la especieII

Es decir

2x1 − x1 = x2 + 50 %x2 − x2 (6.4)

Y por ultimo

“si la poblacion total se ha incrementado en 500”

entendida como poblacion total final menos poblacion total inicial,serıa:

2x1 + (x2 + 50 %x2) − 2000 = 500 (6.5)

Ası las cosas, escribiendo los resultados (6.3), (6.4) y (6.5) el problemase puede resumir en :⎧⎨

⎩x1 + x2 + x3 = 2000

2x1 − x1 = x2 + 50 %x2 − x2

2x1 + (x2 + 50 %x2) − 2000 = 500(6.6)

el cual, como se observa es un sistema de ecuaciones lineales de 3 × 3

6.3. EJERCICIOS 65

El anterior sistema se puede simplificar y sus variables se pueden or-denar para presentarlo como:⎧⎨

⎩x1 + x2 + x3 = 2000

x1 − 12x2 = 0

2x1 + 32x2 = 2500

(6.7)


Utilizando cualquiera de los metodos estudiados se puede resolver el

sistema (6.7), obteniendose:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = 500

x2 = 1000

x3 = 500


De acuerdo a las variables definidas y los resultados obtenidos medianteel proceso de reduccion, podemos concluir que:

“La poblacion inicial de la isla estaba conformada por 500 ardillas dela especie I, 1000 ardillas de la especie II y 500 ardillas de la especieIII”

6.3. Ejercicios

Defina adecuadamente las variables necesarias y plantee las ecuacionescorrespondientes en los siguientes problemas:

1. Un editor publica un posible exito de librerıa en tres presentacionesdistintas: Libro de bolsillo, club de lectores y edicion de lujo. Cadalibro de bolsillo necesita un minuto para el cosido y 2 para el pegado.Cada libro para el club de lectores necesita 2 minutos para el cosidoy 4 para el pegado. Cada libro en edicion de lujo necesita 3 minutospara el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido esta disponible6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas, ¿Cuantos libros decada presentacion se pueden hacer por dıa de modo que las plantas seaprovechen a toda capacidad?


2. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de al-imento a un lago que mantiene a tres especies de peces. Cada pez dela especie 1 consume cada semana, un promedio de dos unidades delalimento A, tres unidades del alimento B y dos unidades del alimentoC. Cada pez de la especie 2, consume cada semana un promedio deseis unidades del alimento A, doce unidades del alimento B, y cincounidades del alimento C. Para un pez de la especie 3, el consumo se-manal promedio es cuatro unidades del alimento A, tres unidades delalimento B y cinco unidades del alimento C. Cada semana se propor-ciona al lago 3000 unidades del alimento A, 3000 del B y 3500 del C.Si se supone que todo el alimento es ingerido, ¿cuantos peces de cadaespecie pueden coexistir en el lago?. ¿Existe una unica solucion?.

3. Una companıa cuenta con tres tipos de maquinas I, II y III que pro-ducen dulces de tres clases: A, B y C, de tal forma que el numero dedulces que producen diariamente es: 760 de clase A, 380 de clase B y660 de clase C. Si la maquina tipo I produce diariamente 20 dulces deltipo A, 10 dulces del tipo B y ningun dulce del tipo C; La maquinatipo II produce diariamente 24 dulces del tipo A, 18 dulces del tipo By 30 dulces del tipo C; y la maquina tipo III produce 30 dulces del tipoA, 10 dulces del tipo B y 30 dulces del tipo C, ¿Cuantas maquinas decada tipo posee la companıa?

4. La Companıa Alkos fabrica tres tipos de computadora: Ciclon, Cıclopey Cicloide. Para armar una Ciclon se necesitan 10 horas, otras 2 horaspara probar sus componentes y 2 horas mas para instalar sus progra-mas. El tiempo requerido para la Cıclope es 12 horas en su ensamblado,2.5 para probarla y 2 horas para instalar los programas. La Cicloide,la mas sencilla de la lınea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas deprueba y 1.5 horas de instalacion de programas. Si la fabrica de estaempresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340horas para probar y 320 horas para instalar, ¿Cuantas computadorasde cada tipo puede producir en un mes?

5. Calcule la longitud de cada lado de un paralelogramo con 100 centımet-ros de perımetro y en el que dos lados consecutivos difieren 10 centımet-ros en su longitud

6. Tres compuestos se mezclan para formar tres tipos de fertilizantes. Una

6.3. EJERCICIOS 67

unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg. del compuesto A, 30del B y 60 del C; una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 del By 50 del C; Una unidad del tipo III requiere 50 kg. de A, y 50 del C.Si hay disponibles 1600 kg. del compuesto A, 1200 kg. del B y 3200 delC, ¿Cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producirsi se usa todo el material quımico disponible?

7. Un empleado de cierta empresa extranjera debe visitar Bogota, Medellıny Cali para realizar un trabajo y en cada ciudad debe permanecer mıni-mo 2 dıas. Suponga que en cada una de las tres ciudades gasta 10dolares diarios en transporte. Los gastos diarios en alimentacion son:en Bogota 20 dolares, en Medellın 30 dolares y en Cali 30 dolares.Por concepto del hotel el gasto diario es , en Bogota 40 dolares, enMedellın 20 dolares y en Cali 20 dolares. Suponiendo que los viaticostotales por los tres conceptos estan distribuidos como sigue: 140 dolarespara transporte, 320 dolares destinados a la alimentacion y 480 parael hotel.

a) Determine el numero de dıas que el empleado puede permaneceren cada una de las tres ciudades.

b) Encuentre el gasto total en Bogota.

c) ¿Como cambiarıa la solucion si no se tuviera la condicion de per-manecer mınimo 2 dıas en cada ciudad?

8. Para cierto tipo de cultivo, se recomendo que cada pie cuadrado deterreno sea tratado con 10 unidades de fosforo, 9 unidades de potasio y19 unidades de nitrogeno. Suponga que hay tres marcas de fertilizantesen el supermercado, digamos marca X , marca Y y marca Z. Una librade la marca X contiene 2 unidades de fosforo, 3 unidades de potasio y5 unidades de nitrogeno. Una libra de la marca Y contiene una unidadde fosforo, 3 unidades de potasio y 4 unidades de nitrogeno. Una librade la marca Z contiene solo una unidad de fosforo y una de nitrogeno.

a) Tenga en cuenta el hecho obvio de que un numero negativo delibras de cualquier marca no puede ser aplicado y que solo se puedeaplicar un numero entero de libras de cada marca. Bajo estasrestricciones, determine todas las posibles combinaciones de las


tres marcas que pueden ser aplicados para satisfacer exactamentelas cantidades recomendadas.

b) Suponga que la marca X cuesta $1000 por libra, la marca Y cues-ta $6000 por libra y la marca Z, $3000 por libra. Determine lacombinacion mas economica que satisfaga exactamente las canti-dades recomendadas y las restricciones de la parte a.

Capıtulo 7

Matematica Recreativa

Adicionemos algunos problemas sencillos y asequibles al estudiante, parahacer mas ameno el desarrollo de estos modulos introductorios a las matematicassuperiores. LLamemolos, rompecabezas o si se prefiere devana sesos.

Tambien podrıamos denominar a estos ejercicios, los ��Escapes a la ruti-na��; siempre y cuando se planteen de tal forma que facilite el abordaje delos mismos, en grupos de tres personas y de cada uno de estos, un delegadointeractue luego con el delegado de cada uno de los demas grupos, en unaespecie de reuni on plenaria para debatir el analisis de cada ejercicio.

Veamos algunos problemas ilustrativos:

1. ¿Cuantos anos tiene?A un aficionado le preguntaron cuantos anos tenıa. -Su respuesta noslleva a un analisis y plantear un modelo sencillo, para describir este tipode respuestas- veamos, dijo: Tomen tres veces los anos que tendre alcabo de los proximos tres anos, al resultado resten tres veces los anosque tenıa hace tres anos y obtendran la respuesta esperada.

2. Preparacion de una solucion.¿Recuerdan quımica?, ¡Ah, que se puede esperar! En una probeta grad-uada se tiene un poco de acido clorhı drico, -(¡no lo vaya a tocar!)- enotra, se tiene la misma cantidad, pero de agua. Para preparar una solu-cion, al comienzo se transfirio de la primera probeta a la segunda veintegramos del acido. A continuacion, dos tercios de la solucion obtenida sevacıan a la primera. Luego de esto, en la primera probeta resulto haberun cuarto mas de lıquido que en la segunda. ¿Cuanto de cada lıquidose tomo inicialmente?

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70 CAPITULO 7. MATEMATICA RECREATIVA

3. ¡Que no se derritan las neuronas!Sale el adolescente a un partido clasico de Millonarios vs Santafe.Ademas de su boleto, llevaba unos quince mil pesos en billetes de mily monedas de doscientos pesos. Al regresar alegre y satisfecho con elempate, traıa tantos billetes como monedas tenıa al principio, y tantasmonedas como billetes tenıa a la ida. Le quedo un tercio del montoinicial de dinero. ¿Cuanto gasto entonces?

4. Cien mil por cinco mil pesos.Un cuentero invitado por Bienestar Universitario a la plazoleta cen-tral de la Facultad Tecnologica, hace la siguiente propuesta al publicoestudiantil: Declaro que pagare cien mil pesos al que me de cinco milen veinte monedas; debera haber entre estas, tres clases de monedas:de quinientos, de doscientos y de cincuenta pesos. Seguidamente dice:¡puede ser que no tengan uds. menuda! no se preocupen; dejen porescrito, cuantas monedas de cada clase se comprometen a traer.

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