curvas con herramientas cad
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CURVAS CON HERRAMIENTAS CAD . Representación y Visualización. Ing. Guillermo Verger Sistemas de Representación. Objetivo. Presentar las curvas y superficies curvas más conocidas, obtener su representación gráfica para apreciar la forma del elemento geométrico, comprenderlo y trabajar con él. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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CURVAS CON HERRAMIENTAS CAD Representación y Visualización
Ing. Guillermo VergerSistemas de Representación
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Objetivo
Presentar las curvas y superficies curvas más conocidas, obtener su representación gráfica para apreciar la forma del elemento geométrico, comprenderlo y trabajar con él.
La discución de una ecuación y su representación gráfica constituyen, en conjunto, un problema de tan gran importancia en todas las ramas de la matemática y sus aplicaciones, que se le ha dado el nombre especia de 'Construcción de Curvas'
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Introducción• Una capacidad interesante de la herramienta CAD que
utilizamos es el manejo que tiene de todos los elementos geométricos; puntos, rectas, curvas, superficies planas y curvas, sólidos. A esto se agrega a la obvia aplicación de modelar y representar objetos en diferentes sistemas.
• Se tiene entonces una herramienta que puede considerarse de propósito general.
• En la cátedra nos hemos propuestos diferentes desafíos en relación con el aprovechamiento de la herramienta. Así es como se han desarrollado nuevos métodos para la resolución de problemas típicos de la geometría descriptiva. La experimentación también colaboró en el mejoramiento progresivo de las soluciones encontradas.
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CLASIFICACIÓN
• Pre-definidas por Autocad. Se trazan por comandos y asignación de parámetros.– Circunferencias y elipses. Sería ideal tener un comando
similar al de estas curvas para todas las curvas que se quisieran trazar.
– Espirales y hélices. No es posible utilizar puntos de las mismas que surjan por intersección.
• No pre-definidas por Autocad. Se deben determinar los puntos de paso – por cálculo: Se determinan las coordenadas de una
cantidad adecuada de puntos. – por método de trazado; similar al trazado con
instrumentos tradicionales.
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Ejemplos de Curvas Planas
• Cónicas. Parábola e Hipérbola• Cíclicas• Funciones Circulares• …
En lo que sigue se presentan ejemplos de trazado de diferentes tipos de curvas.
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ElipseDefiniciónCurva plana, cerrada, simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí que se intersecan en el punto medio de ambos y que resulta ser el centro de la elipse. Sobre el mayor de los ejes se ubican dos puntos fijos llamados focos. Los puntos de la elipse cumplen la condición que la suma de sus distancia a los focos es constante e igual a la longitud del eje mayor.
Se puede trazar una elipse especificando sus ejes.
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ParábolaDefiniciónCurva plana, abierta, de una sola rama, simétrica respecto de un eje, sobre el que se ubica un punto fijo llamado foco. Los puntos de la parábola cumplen la condición de equidistar del foco y de una recta normal al eje llamada directriz.Métodos de trazado
• Construcción geométrica• A partir de una ecuación• Puntos de apoyo linea SPLINE• Se puede trazar una parábola especificando su eje, el vértice y un
punto de paso.• Se determinan el simétrico del punto dado (respecto del eje de la
parábola y el vértice de control de la línea spline (a una distancia del eje igual a la del punto dado). Línea spline por vértices de control.
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Parábola• Definición
– Curva plana, abierta, de una sola rama, simétrica respecto de un eje, sobre el que se ubica un punto fijo llamado foco. Los puntos de la parábola cumplen la condición de equidistar del foco y de una recta normal al eje llamada directriz.
• Métodos de trazado– Construcción geométrica– A partir de una ecuación– Puntos de apoyo linea SPLINE
• Se puede trazar una parábola especificando su eje, el vértice y un punto de paso.
• Se determinan el simétrico del punto dado (respecto del eje de la parábola y el vértice de control de la línea spline (a una distancia del eje igual a la del punto dado). Línea spline por vértices de control.
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Parábola JUSTIFICACIÓN DE SU CONSTRUCCIÓN
Se genera la misma parábola anterior como sección plana de una superficie cónica.Ver SeccPlanaCono-Parabola-6.dwg
Despues de construir una parábola especificada por un punto de paso y su vértice como resultante de una sección plana, llegamos a la conclusión que se puede construir perfectamente como spline por vértices de control.
Grado: 3Propiedades: Plana, Racional, No periódicaRango de parámetros: Inicio 13.7771Fin 185.2414Número de puntos de apoyo: 3Puntos de apoyo: X = 1280.0000, Y = 50.0000 , Z = 0.0000Peso 1.0000X = 1400.0000, Y = 100.0000 , Z = 0.0000Peso 1.0000X = 1280.0000, Y = 150.0000 , Z = 0.0000Peso 1.0000
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PARABOLA CÚBICAX**3 en el intervalo 0-2
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HiperbolaEn splines cuadráticas de tres vértices, cuando el peso de los vértices extremos es 1, el peso del vértice intermedio determina el tipo de cónica resultante (arco elíptico, parábola o hipérbola)EDITSPLINE
000-CONICA-SPLINE.DWG
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Funciones Trigonométricas o Circulares: Sinusoide
– Circunferencia de radio adecuado.– Dividir la circunferencia en partes iguales.
Comando DIVIDE. 16 partes.– Trazar línea de eje alineada con centro de la
circunferencia– Dividir el eje en igual cantidad de partes como
la circunferencia. Comando divide(16)– Trazar líneas auxiliares para determinar los
puntos de paso de la curva.– 000-sinusoide.dwg
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Espiral de Arquímedes.
• Definición: Curva que se aleja del centro proporcionalmente al ángulo girado alrededor del mismo.
• Datos: Paso 12 mm, 3 vueltas• Método 1: por puntos según cálculo.• Método 2: por construcción geométrica
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Espiral de Arquímedes.
• Método 2: comando HELICE y altura cero.» La espiral generada de esta forma no admite su utilización
para determinar puntos de intersección.
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Espiral logarítmicaUna espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones:
También se puede escribir como
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Espiral Aurea
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TROCOIDES (CÍCLICAS - 1)Trocoide: del griego 'trocos' = ‘círculo, rueda’ y el sufijo 'oide' = ‘parecido a’Dicen que la rueda es el invento más impactante del mundo. Es lógico entonces que existan varias curvas vinculadas a la rueda.
Trocoide es la curva descripta por un punto ubicado a una distancia 'c' del centro de una circunferencia generatriz (ruleta) de radio 'r' que rueda, sin resbalamiento, sobre una línea directriz (curva o recta).
Para pensar:Como es la forma de la curva que describe el extremo del pedal de una bicicleta?...
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TROCOIDES (CÍCLICAS - 2)…Trocoide acortada
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TROCOIDES (CÍCLICAS - 3)… o un punto en la parte externa de la llanta de una rueda de tren?
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Cicloide• Cicloide es una trocoide en la que la distancia del punto generador al centro de
la circunferencia generatriz es igual a su radio y la linea directriz es una recta.• Ecuación paramétrica de la cicloide: (t-sen t, 1-cos t)
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Epicicloide
Epicicloide es una trocoide en la que la distancia del punto generador al centro de la circunferencia generatriz es igual al radio de ésta última que gira en el exterior de una circunferencia directriz.
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Hipocicloide (1)Hipocicloide es una trocoide en la que la distancia del punto generador al centro de la circunferencia generatriz es igual al radio de ésta última que gira en el interior de una circunferencia directriz.
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Hipocicloide (2)
Ejercicios de trazado
Hipocicloide de tres puntas o deltoide (figura).a = 60b = 20c = 20
Hipocicloide de cuatro puntas o astroidea = 80b = 20c = 20
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Hipotrocoide
Hipotrocoide de tres puntasa = 60b = 20c = 40
Hipotrocoide de cinco puntasa = 100b = 20c = 10
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Hipotrocoide
Hipotrocoide de cinco puntasa = 100b = 20c = 10
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Peritrocoide (epitrocoide)• Curva generada por el punto extremo 'P', de un brazo
rígido fijado en el centro del círculo giratorio 'B' de radio 'q', cuando este rueda sin deslizar, a lo largo de la periferia externa del círculo base 'A' de radio 'p‘.
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Peritrocoide• La ecuación de la peritrocoide puede ser expresada por
las coordenadas de punto P(x, y) en coordenadas rectangulares referenciadas al centro del círculo de base A, como punto inicial, así:
Donde:• e - Distancia central entre el circulo base A y el circulo
giratorio B• R - Longitud del brazo fijo en el circulo giratorio B• a - Angulo de rotación del giratorio B alrededor del circulo
base A• ß - Angulo de rotación del circulo giratorio B sobre su eje
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Peritrocoide
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Evolvente de círculo¿Cuál sería el resultado de aumentar el radio de la ruleta hasta que la circunferencia se transforme en una recta?
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CatenariaEs la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme.
Ecuación cartesiana:
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TractrizCurva que describe un objeto (situado en P) que es arrastrado por otro (situado en A), que se mantiene a distancia constante d y que se desplaza en línea recta.
Es la curva evolvente de la catenaria.
Ecuación cartesiana:
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Caracoles
• Ecuación polar de la forma– r = a + b cos(theta)
• Ejemplo:
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Caracoles
• Ejercicios de trazado
1. Caracol con lazo interior
2. Caracol concavo:
3. Caracol concavo:
4. Caracol convexo
5. ?
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Cardioide
• Curva plana que se genera cuando un punto P de una circunferencia rueda sin deslizarse sobre el exterior de una segunda circunferencia fija del mismo radio.– Ejemplo en coordenadas polares
– Trazar
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Lemniscata• Conjuntos de puntos que cumplen
que el producto de las distancias a dos puntos dados, denominados focos, es constante.
• Ecuación polar del tipo
• Ecuación cartesiana
• El parámetro a determina la forma de la curva. Los focos están a distancia 2a y ese producto de distancias constante es exactamente a^2.
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Lemniscata- Construcción geométrica• Trazar dos rectas perpendiculares r y s.• Trazar una circunferencia tangente a las dos rectas.• Por O trazar rectas secantes a la circunferencia. Interceptan la circunferencia en puntos como M 1 y M 2.• Tomar la longitud de cada cuerda y situar en la recta a partir de O obteniendo puntos exactos de la curva
como OM al tomar la cuerda M1-M 2, ON= N1 N2, OP= P1 P 2…• Al unir los diferentes puntos M, N, P… queda determinada la curva.
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Lemniscata
• Construcción geométrica
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Nefroide
• Coordenadas Polares
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Nefroide de Freeth
• Coordenadas Polares
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Cisoide de Diocles
• Coordenadas Polares
• Ecuación implícita
OA = OC - OB
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Cisoide de Diocles – Duplicación del cuboGiven a segment[C,B], we can construct a segment[C,M] such that distance[C,M]^3==2*distance[C,B]^3, with the help of cissoid of Diocles. This solves the famous doubling the cube problem. Step-by-step description:1. Given two points C and B.2. Construct a circle c1, centered on C and passing B.3. Construct points O and A on the circle such that
line[O,A] is perpendicular to line[C,B]4. Construct a cissoid of Diocles using circle c1, tangent
at A, and pole at O.5. Construct point D such that B is the midpoint of
segment[C,D].6. Construct line[A,D]. Let the intersection of cissoid and
line[A,D] be Q. (the intersection cannot be found with Greek Ruler and Compass. We assume it is a given.)
7. Let the intersection of line[C,D] and line[O,Q] be M.8. length[C,M]^3==2*distance[C,D]^3.
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• Evoluta de una curva dada es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva.
• (Envolvente de las normales del plano a la curva)• La curva original es la involuta de su evoluta.
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Rosas
• De 4 hojas: r = sen(2 t)• De 3 hojas: r = sen (3 t)
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Preguntas
• Construir una parábola por seccionamiento de una superficie cónica cuando se han especificado sus datos; vertice y punto de paso o bien eje y foco (simil lemniscata).
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Curvas no planas: hélice.
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Trazado de tangentes a curvas.
• Desde un punto externo a la curva (resuelve Autocad)
• Desde un punto perteneciente a la curva.
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Desde punto externo a la curva
• Resuelve Autocad
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Desde punto perteneciente a la propia curva.
• Tangente a sinusoide
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Tangentes coplanares a dos curvas no coplanares.
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Aplicaciones al Cálculo Gráfico
• Tangentes y Pendientes• Derivación Gráfica• Longitudes de líneas curvas
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Longitud de líneas curvas.
• Elipses, • sinusoides • y otras
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Determinación de áreas encerradas entre curvas
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Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vaca-silo (Stewart)
• Linea de longitud igual semi-circunferencia, horizontal, donde comienza a despegarse cuerda del silo.
• Dividir línea en parte iguales (12)• Matriz para replicar cuerda con marcas
división en media circunferencia. Angulo a rellenar y angulo entre elementos.
• Recortar segmentos acorde a longitud cuerda
• Trazar evolvente con SPLINE• Comando SIMETRIA para duplicar• ARCO de circunferencia para completar
línea que puede alcanzar la vaca• Crear región con el área encerrada por
la curva (donde come la vaca)• Ventana de propiedades da el área.
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Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vaca-silo (Stewart)
![Page 56: CURVAS CON HERRAMIENTAS CAD](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050703/568166ef550346895ddb4c9c/html5/thumbnails/56.jpg)
Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vaca-silo (Stewart)
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Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vaca-silo (Stewart)
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Referencias
• Geometría Analítica, Charles H. Lehmann