Curvas cónicas. Elementos característicos y ecuaciones reducidas

( y−k ) = 2 p(x−h)2

( y−k )2= 2 p(x−h)

( x−h)2

a2 +( y−k )2

b2 = 1

( x−h)2

b2 +( y−k )2

a2 = 1

( x−h)2

a2 −( y−k )2

b2 = 1

( y−k )2

b2 −( x−h)2

a2 = 1

Introducción

En estas diapositivas repasaremos las ecuaciones reducidas de las cónicas curvas cónicas elipse, hipérbola y parábola y veremos un ejemplo gráfico de cada una.

Al ser una diapositiva pensada para el repaso de solo los temas citados antes, el lector deberá saber los conceptos relativos a definición, posición de los focos y elementos característicos de una curva cónica para entenderla en su totalidad.

Elipse

Recordemos que la elipse es el lugar geométricos de todos los puntos que distan lo mismo a dos puntos denominados focos. Esta distancia es una constante igual al valor del eje mayor.

Los elementos característicos de la elipse son el centro, los focos, el semieje menor, el semieje mayor, la semidistancia focal y la excentricidad.

Elementos característicos de la elipse

● Focos ( se suelen representar por F y F')● Centro (se suele representar (h,k); si es

(0,0) decimos que la elipse está centrada en el origen de coordenadas).

● Semieje mayor (a)● Semieje menor (b)● Semidistancia focal (c)● Excentricidad (exc)

Ecuación reducida de la elipse con focos en el eje OX

(x−h)2

a2 +( y−k )2

b2 = 1

Recordemos que a2=b2+c2 y la exc=c/a. Estas expresiones será muy útil cuando nos falte el valor de algún característico que defina la curva cónica en nuestra ecuación reducida.

Elipse con focos en el eje OX

Ecuación reducida de la elipse con focos en el eje OY

(x−h)2

b2 +( y−k )2

a2 = 1

Aquí también se cumple que a2=b2+c2 pero se define la excentricidad como exc=a/c. Este cambio provoca el intercambio de los término a y b con respecto la expresión anterior.

Elipse con focos en el eje OY

Hipérbola

Recordemos que la hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos tal que su distancia a uno de los focos menos la distancia del punto al otro foco es una constante igual al valor del eje mayor.

Los elementos característicos de la hipérbola son el centro, los focos, el semieje menor, el semieje mayor, la semidistancia focal y la excentricidad.

Elementos característicos de la hipérbola

● Focos ( se suelen representar por F y F')● Centro (se suele representar (h,k); si es

(0,0) decimos que la hipérbola está centrada en el origen de coordenadas).

● Semieje mayor (a)● Semieje menor (b)● Semidistancia focal (c)● Excentricidad (exc)

Ecuación reducida de la hipérbola con focos en el eje OX

(x−h)2

a2 −( y−k )2

b2 = 1

Recordemos que c2=a2+b2. Además exc=c/a, siendo un valor mayor que 1.

Ojo con el signo del segundo término de la suma del miembro izquierdo de la expresión; en una hipérbola siempre tendremos una resta y en una elipse una suma.

Hipérbola con focos en el eje OX

Ecuación reducida de la hipérbola con focos en el eje OY

( y−k )2

b2 −(x−h)2

a2 = 1

Aquí se sigue cumpliendo la relación c2=a2+b2 y lo que comentamos sobre el signo menos del miembro izquierdo de la expresión y la expresión. Ojo con el signo de esta expresión, es lo que le diferencia de la ecuación reducida de la elipse.

Hipérbola con focos en el eje OY

Parábola

Definimos la parábola como el lugar geométrico de todos los puntos tales que distan lo mismo de un punto denominado foco que a una recta, la cual llamamos recta directriz.

Los elementos característicos de una parábola son el foco, la recta directriz, la distancia entre el foco y la directriz y el vértice de la parábola.

Elementos de la parábola

● Foco (se suelen representar por F )● Centro (se suele representar (h,k); si es

(0,0) decimos que la parábola está centrada en el origen de coordenadas).

● Vértice (V)● distancia foco-directriz (2p)● Excentricidad (exc)

Ecuación reducida de la parábola con foco en el eje OX

( y−k )2 = 2 p(x−h)

En algunos textos se llama p a la distancia que existe entre el foco de una parábola y su recta directriz. Nosotros nos hemos decantado por la distancia del foco al vértice (y por lo tanto, la distancia del vértice a la directriz), que suele ser la más usual.

Parábola con foco en el eje OX

Ecuación reducida de la parábola con foco en el eje OY

( y−k ) = 2 p(x−h)2

En algunos textos se llama p a la distancia que existe entre el foco de una parábola y su recta directriz. Nosotros nos hemos decantado por la distancia del foco al vértice (y por lo tanto, la distancia del vértice a la directriz), que suele ser la más usual.

Parábola con el foco en el eje OY