cyclones dans un écoulement stratifié tournant

21ème Congrès Français de Mécanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013

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Cyclones dans un écoulement stratifié tournant

O. AUBERTa, P. HASSANZADEHb, P. Marcusb, M. LE BARSa and P. LE GALa

a. Institut de Recherche sur les Phénomènes Hors Equilibre, UMR 7342, CNRS - Aix Marseille Université, 49 rue F. Joliot Curie, 13384 Marseille, Cédex 13, (France)

b. Department of Mechanical Engineering, University of California, Berkeley, CA 94720 (USA)

Résumé : Les écoulements de fluides stratifiés tournants sont bien décrits par l'équation du vent thermique à partir de laquelle Hassanzadeh et al. (2012) et Aubert et al (2012) ont obtenu une nouvelle loi d'échelle décrivant la forme des tourbillons 3D. Cette nouvelle loi a été confirmée expérimentalement et numériquement, et également en utilisant des données de mesure des Meddies de l'Océan Atlantique et des tourbillons de Jupiter. Une des conséquences de cette loi est que l'intérieur des cyclones (anticyclones) doit être plus (moins) stratifié que le fluide ambiant. Cela signifie que pour générer un cyclone dans la nature, un processus doit produire à la fois un tourbillon cyclonique et localement une superstratification. Nous avons réalisé des expériences en laboratoire et des simulations numériques 3D pour étudier les cyclones produits par une aspiration localisée, et nous montrons que ce processus produit en effet des régions à la fois super-stratifiées et en rotation cyclonique. La physique de ces cyclones superstratifiés et en déclin à cause des effets visqueux, est donc étudiée expérimentalement et numériquement. Notre étude apporte une nouvelle compréhension de l'asymétrie entre cyclones et anticyclones observée dans la nature, car il semble plus facile de mélanger localement un peu de fluide pour créer une région avec une stratification plus faible comme dans les anticyclones, plutôt que de localement super-stratifier le fluide comme à l'intérieur des cyclones.

Abstract : Rotating and stratified flow motions are well-described by the gradient-wind equation, from which Hassanzadeh et al. (2012) and Aubert et al (2012) derived a new scaling law for the shape of the 3D vortices. The new equation was confirmed experimentally and numerically, and using the measurement data of the Atlantic Meddies and Jovian vortices. One consequence of this equation is that the interior of cyclones (anticyclones) must be more (less) stratified than the background flow. This means that to generate a cyclone (anticyclone) in nature, a process must produce both cyclonic (anticyclonic) vorticity and local-superstratification (a locally mixed patch of density). We have used laboratory experiments and 3D numerical simulations to study cyclones produced by localized suction, and we show that this process indeed produces both cyclonic vorticity and super-stratification. The physics of super-stratification and decaying cyclones in rotating stratified flows is studied. This brings a new understanding of the asymmetry between cyclones and anticyclones in nature, as it appears to be easier to locally mix some fluid to create a patch with a weaker stratification than the background as inside anticyclones, rather than to locally super-stratify it as inside cyclones.

Mots clefs : écoulements stratifiés tournants, cyclones, anticyclones, meddies

1 Introduction Les écoulements géophysiques et astrophysiques sont le siège de nombreux tourbillons baroclines tri-dimensionnels dont la dynamique est fortement influencée par la rotation et la stratification en densité du fluide environnant. Les tourbillons qui tournent dans le même sens que la rotation du milieu ambiant sont appelés des cyclones, inversement aux anticyclones dont la rotation est en sens contraire. Cyclones et anticyclones existent dans les océans [1], mais il semble que les tourbillons qui survivent les plus longtemps soient principalement les anticyclones, voir par exemple [2,3,4]. Les cyclones et les anticyclones existent


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également dans l'atmosphère de Jupiter [5] et de Saturne [6], mais les tourbillons qui possèdent des temps de vie les plus grands sont pour la plupart des anticyclones [7,8] comme par exemple, la Grande Tache Rouge de Jupiter, les ovales [9,10] et la Grande Tâche Sombre de Neptune [11]. L'asymétrie cyclone - anticyclone est également observée dans les études expérimentales et numériques et a reçu une attention considérable ces dernières années. Alors que les cyclones prédominent dans la plupart des études de fluides tournants homogènes (voir [12] et les références citées), l'asymétrie cyclone - anticyclone dans les écoulements stratifiés tournants est encore un sujet de recherche actuel. Des simulations numériques des équations en eau peu profonde ou des équations primitives [13, 14, 15] tout comme des expériences de laboratoire [4,16] ont cependant montré la prédominance de la cohérence des anticyclones. Notons que les équations quasi - géostrophiques sont dégénérées par rapport à cette asymétrie, voir par exemple [17]. La prédominance des anticyclones peut être due au fait que les mécanismes de génération des tourbillons favorisent les anticyclones [2,4], et / ou que les anticyclones soient plus stables [18, 19]. Cependant, certaines expériences de laboratoire [20] et des simulations numériques [21, 22] ont rapporté une prédominance des cyclones. Les cyclones ont une faible pression en leur coeur et le gradient de pression orienté vers l'intérieur équilibre donc la force de Coriolis et les forces centrifuges (tounées vers l'extérieur) [23]. Par conséquent, les cyclones baroclines doivent avoir un intérieur plus stratifié que le fluide environnant [24, 25]; cette condition, appelée super - stratification ci-après, est nécessaire pour produire une force de flottabilité verticale pour compenser le gradient de pression vertical. Par conséquent, pour générer des cyclones, un processus doit produire en même temps un tourbillon cyclonique et une super - stratification, ou l'un des d'eux, dans l'attente que l'autre soit créé grâce à des mécanismes d'ajustement. Cette démonstration, ici qualitative, s'appuie en fait sur une démonstration rigoueuse [24, 25] basée sur l'analyse de l'équation du vent thermique provenant de l'équilibre hydro-cyclo-géo-strophique. Dans ces conditions et contrairement aux prédictions du modèle quasigéostrophique, le carré du rapport α des échelles de longueurs verticale et horizontale d'un tourbillon tri-dimensionnel vaut α2 = f

2 Ro (1+Ro) / (Nc2-N2), où Ro est le nombre de Rossby du tourbillon, f le

paramètre de coriolis et N et Nc les fréquences de Brunt - Väisäla à l'extérieur et à l'intérieur du vortex. Il a ainsi été suggéré par [24, 25] que la nécessité d'une super - stratification dans les cyclones (cf. les signes de de Ro et (Nc

2-N2)) pourrait être un facteur clé dans la rareté des cyclones, car le mélange, qui est omniprésent dans la nature, tend à déstratifier le fluide et ainsi à produire des régions de moins grande stratification, et donc à favoriser la création d'anticyclones [2, 26]. Dans cet article, nous discutons donc de la génération dans une couche de fluide stratifiée continûment et en rotation, de cyclones tridimensionels baroclines par aspiration localisée. L'aspiration localisée est une des méthodes standards pour produire des cyclones barotropes dans des écoulements homogènes [27]. Toutefois, à notre connaissance, cette technique n'a jamais été utilisée comme un moyen de créer des régions superstratifiées, et à l'exception de [16, 28], n'a pas été utilisée pour générer des cyclones dans des fluides tournants stratifiés. Le but de cet article est d'obtenir une meilleure compréhension de la façon dont l'aspiration produit un tourbillon cyclonique superstratifié. La compréhension de ces mécanismes physiques est un élément clé dans les études portant sur les cyclones et sur l'asymétrie des cyclones et des anticyclones.

2 L'installation expérimentale Une cuve tournante remplie d'eau partiellement stratifiée linéairement en sel est utilisée dans les expériences de laboratoire. La figure 1 présente une photographie de ce dispostif expérimental qui a été décrit et utilisé dans [25] pour produire des anticyclones par injection locale de fluide. Ce réservoir est de section carrée et mesure 50 cm x 50 cm x 70 cm. La méthode d'Oster utilisant deux containers est utilisée pour créer une couche de fluide linéairement stratifiée sur une profondeur de 30 cm avec un profil de densité donné par ρ(z)= ρ (1-N z/g) où N est la fréquence de Brunt0

2 - Väisäla comprise entre 0,6 et 2,2 rad/s, g l'accélération de la pesanteur, ρ0 la densité moyenne de l'eau salée, et z la coordonnée verticale mesurée à partir du milieu de la cuve. Le paramètre de Coriolis des expériences f = 2 Ω, où Ω est la vitesse de rotation de la cuve, peut aller jusqu'à 7 rad/s. Comme le montre la figure 1, un dispositif de pompage est monté sur la partie supérieure du réservoir et est relié à un tube en inox qui descend au milieu du fluide stratifié le long de


l'axe de rotation de la cuve. Ce tube a un diamètre de 2.5 mm et peut être déplacé verticalement par un moteur.

FIG. 1 – Vue de l'installation expérimentale: le container de section carrée posé sur la plateforme tournante, et équipé de lasers, caméras, pompe et injecteur.

L'ensemble du fluide stratifié est ensemencé par des particules de 30 microns. Les champs de vitesse dans le référentiel tournant sont mesurés par vélocimétrie par images de particules (PIV) dans des plans horizontaux. De plus, une micro-sonde de conductivité pilotée par un moteur monté au sommet de la cuve, peut être déplacée verticalement dans le fluide stratifié. La sonde de conductivité est utilisée pour quantifier l'évolution de la densité en un endroit donné, et la technique de synthétique Schlieren [29] est utilisée pour visualiser des gradients de densité dans des plans verticaux. Même si la largeur de la cuve est grande par rapport aux cyclones produits et les écoulements tridimensionnels, un bon accord entre les gradients de densité mesurés par la technique de Schlieren et ceux obtenus avec la sonde de conductivité nous permet d'exploiter les mesures de la méthode Schlieren lorsque la sonde n'a pas été utilisé. Une fois la stratification linéaire de la densité établie dans la cuve, le fluide est mis en rotation jusqu'à atteindre la rotation solide. A ce moment, repéré comme l'instant initial t=0, le tube est déplacé verticalement vers le bas au centre de la cuve au plan médian du fluide stratifié (soit à z = 0) et le fluide est aspiré hors du réservoir à un débit Qo et pendant ts secondes. Après l'arrêt de l'aspiration, le tuyau est déplacé lentement vers le haut, hors du fluide stratifié. Les mesures sont effectuées à la fois pendant et après la période d'aspiration. Comme espéré, l'aspiration du fluide, rapproche les lignes isopicnales dans la région proche de l'extrémité du tube - ce qui a pour effet de super-stratifier le fluide- et met le fluide en rotation cyclonique par l'action de la force de Coriolis.

3 Le calcul Numérique

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Une méthode pseudo - spectrale est utilisée pour résoudre des équations du mouvement et la contrainte d'incompressibilité, en coordonnées cartésiennes dans un domaine triplement périodique. Un terme puits est ajouté à ces deux équations pour rendre compte de la succion. Ce terme sera explicité plus bas. Les détails de la méthode numérique sont les mêmes que dans [24]. Des méthodes du second ordre de type Adams - Bashforth et Crank - Nicholson sont utilisées pour l'intégration en temps. Pour les cas non visqueux ou à haut nombres de Reynolds, une hyperviscosité est appliquée pour éliminer l'énergie à hauts nombres d'ondes. Parce que les écoulements stratifiés tournants sont le siège d'ondes d'inertie-gravité, une couche de friction de Rayleigh (couche éponge) d'épaisseur adaptée est ajoutée sur les bords du domaine pour amortir les réflexions d'ondes. Le centre du domaine de calcul est à x = 0. Dans tous les cas, la stratification en densité est linéaire comme dans l'expérience. Le débit d'aspiration q(x,t) (div(V)= q(x,t)) est défini comme étant égal à q (x) pour t < t , puis égal à q (x) exp[-500(t/t - 1)] pour t/t0 s 0 s s > 1.05 où q (x) est non0 nul (négatif en


fait) et uniforme à l'intérieur d'une zone sphérique de rayon R centrée en x = 0 et disparaît rapidement à l'extérieur de la sphère. L'intégrale de q (x) sur la région0 sphérique est égal à Qo qui est un paramètre donné et similaire à celui choisi dans les expériences. Pour toutes les simulations numériques, 256 modes de Fourier

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sont utilisés et R = π /2 cm et D = 20 R. Les pas de temps Δt sont choisis de sorte que Δt = 0,05 ou moins.

4 Les résultats

La figure 2-a présente un exemple de mesure par PIV d'un champ de vitesse gééré par l'aspiration. A partir de ces champs bidimensionnels, la moyenne de la vitesse azimutale est calculée et présentée en figure 2-b.

a) b)FIG. 2 – Champ de vitesse mesuré par PIV mettant en évidence la création d'un cyclone (a);

profil moyen de vitesse azimutale (+) et meilleur fit de type Gaussien (b) .

A partir de ces mesures de vitesse, le nombre de Rossby du tourbillon est aisément calculé par la mesure de la pente du profil au coeur du vortex divisée par le paramète de Coriolis f. D'une manière similaire aux expériences, les calculs numériques montrent la création d'un cyclone qui est amorti par viscosité. La figure 3 présente l'évolution temporelle de ce nombre de Rossby dans une des expériences et dans les simulations numériques. Comme dans le cas des anticyclones [24, 25], il est possible de montrer que le ralentissement (cependant plus important ici que pour les anticyclones créés par injection) du tourbillon est partiellement compensé par l'anomalie de densité qui est créée par l'aspiration, source de longévité de ces cyclones.

a) b)t/T

FIG.3– Evolution du nombre de Rossby pour des cyclones créés par aspiration dans des couches de fluide stratifiées tournantes. a) Simulations numériques (bleu: forte rotation avec stratification et forte aspiration, rouge: faible rotation avec stratification et forte aspiration, noir: forte rotation avec stratification et faible

aspiration,, b) Expériences: f= 2.4 rad/s, N =1.2 rad/s, Q0= 12 cm3/s pendant 10s.

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Cette anomalie de densité est observable dans les expériences, soit à partir de la sonde de conductivité, soit à partir de mesure par Schlieren synthétique. Cette technique s'appuie sur la déviation des rayons lumineux par les gradients d'indice optique créés par les modifications spatiales de la densité du fluide. La figure 4 illustre par le calcul du gradient vertical de densité, la superstratification qui est créée par l'aspiration et qui permet le développement du cyclone.

FIG. 4 – Images chronologiques par Schlieren synthétique du gradient vertical de densité montrant la superstratification associée à la formation du cyclone, (f= 1.75 rad/s, N =1.7 rad/s, Q0= 6 cm3/s pendant 20s)

5 Conclusions

Nous avons réussi à créer par aspiration des tourbillons cycloniques dans une couche de fluide stratifiée en rotation. Ces tourbillons tridimensionnels ont été étudiés dans des expériences de laboratoire et dans des simulations numériques directes. Comme prévues par les équations des fluides, ces formes de cyclones sont associées à des superstatifications du fluide en leurs coeurs. Celles-ci sont à l'origine de la longévité de ces cyclones dont l'énergie cinétique est entretenue par l'énergie potentielle emmagasinée par l'anomalie densité. Par contre, les durées de vie de ces cylones sont plus faibles que celles observées pour les anticyclones. La raison principale de ceci provient certainement de la difficulté à créer cette surperstratification qui est en amplitude d'un ordre de grandeur plus faible que la déstratification occasionnée par l'injection associée aux anticyclones. D'ailleurs, nous pensons que cette dissymétrie est également à l'origine de l'asymétrie entre cyclones et anticyclones dans les milieux naturels comme les océans, car il est bien plus facile de mélanger du fluide pour le déstratifier localement qu'inversement augmenter sa stratification.

Références

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