O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

A HEURÍSTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: contribuindo para o ensino da

matemática.

Raquel Dutra Faleiros Lemes1

João Henrique Lorin2

RESUMO

Aspira-se nesse artigo apresentar os resultados obtidos no Projeto de Intervenção

Pedagógica e da aplicação do Material Didático produzidos durante o Programa de

Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação (SEED)

do Paraná, aplicado no Colégio Estadual Olavo Bilac – Ensino Fundamental e

Médio, de Sarandi – Pr.. Em função do baixo desempenho dos alunos nos testes de

matemática aplicados pelo Saeb, nos sentimos motivados a desenvolver este projeto

de intervenção pedagógica, fazendo uso de uma das tendências metodológicas da

educação matemática, a resolução de problemas, com o intuito de contribuir para a

qualidade do ensino da matemática em nossas escolas, ofertando estratégias que

venham desafiar e estimular o interesse do aluno pela matemática, bem como

também, oferecer aos educadores um suporte teórico metodológico que os auxilie

em sua prática pedagógica. Este projeto foi desenvolvido na 8ª série (ou 9° ano) do

ensino fundamental.

Palavras-chave: resolução de problemas; heurística; matemática.

1 Professora PDE 2009 Especialista em Ensino de Matemática. 2 Professor Orientador - Bacharel e Licenciado em Matemática (UEM), Mestre em Educação para a Ciência e a Matemática (PCM-UEM), Professor Assistente (DMA-UEM).

INTRODUÇÃO

É preocupação de qualquer educador, a busca pela melhora da qualidade de ensino.

Hoje, existem várias iniciativas para que haja mudanças nas práticas educativas,

seja via governamental, por meio de leis, parâmetros e referenciais, sejam por

iniciativa dos próprios educadores e de comunidades externas ao ambiente escolar,

preocupados com a qualidade da educação brasileira. Esta mudança se faz

necessária em virtude do descompasso entre a velocidade das transformações da

sociedade atual - influenciada, também, pelo desenvolvimento tecnológico - e da

escola, que desde sua estrutura ao modo de ensino do professor é arcaica.

No sentido de melhorar a qualidade do ensino no Brasil, o Ministério da Educação e

do Desporto (MEC), tem desenvolvido um trabalho para o estabelecimento de

parâmetros curriculares nacionais que possam nortear a mudança da prática

pedagógica – em seus aspectos teóricos e metodológicos – de forma a garantir um

desempenho satisfatório para o professor e um rendimento positivo para o aluno.

O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb) é uma das primeiras

ações brasileiras para conhecer os resultados de aprendizagem dos alunos. A

avaliação da educação básica vem sendo realizada desde 1990, através da Prova

Brasil que é aplicada nas últimas séries de cada ciclo, ou seja, na 4ª e 8ª séries do

Ensino Fundamental e no 3º ano do Ensino Médio, mantendo-se com periodicidade

bianual, tendo sido o seu último ciclo aplicado em novembro de 2009.

Os resultados obtidos pelo Saeb, é que os alunos não atingem o mínimo necessário

para a formação de leitores competentes e estudantes que utilizem o instrumental

matemático na resolução de problemas. A conclusão com o resultado destes testes,

é que boa parcela dos alunos brasileiros da educação básica não está aprendendo o

mínimo prometido nos currículos estaduais e nos parâmetros curriculares do MEC.

Com base nos descritores das Matrizes de Referência do Saeb:

[...] é possível afirmar que um aluno desenvolveu uma certa

habilidade, quando ele é capaz de resolver um problema a partir da

utilização/aplicação de um conceito por ele já construído. Por isso o

teste busca apresentar, prioritariamente, situações em que a

resolução de problemas seja significativa para o aluno e mobilize

seus recursos cognitivos (BRASIL, 2009, p.106).

O ensino de matemática, na grande maioria das escolas brasileiras, é caracterizado

pela memorização de técnicas e no emprego de modelos facilitados. De acordo com

Marincek (2001) durante muito tempo o ensino da matemática esteve associado ao

ensino de técnicas operatórias, tomando como indicadores avaliativos o domínio

pelos alunos dos algoritmos das diferentes operações. A repetição deste quadro

desestimulante e carente de desafios gera, além de tudo, um sentimento

generalizado de tédio e aborrecimento para o aluno.

Apesar da importância da matemática, quer pelo desenvolvimento de raciocínio que

proporciona ao aluno, quer por suas aplicações nos problemas da vida diária, em

geral os alunos, logo nos primeiros contatos com essa ciência, começam a detestá-

la ou tornam-se indiferentes a ela. Isso é atribuído ao exagero no treino de

algoritmos e regras desvinculadas de situações reais, além do pouco envolvimento

do aluno com aplicações da matemática que exijam o raciocínio e o modo de pensar

matemático para resolvê-las.

Para que o processo de ensino aprendizagem se desenvolva de maneira

satisfatória, escolhemos a tendência da resolução de problemas, a fim de promover

uma forma significativa de aprender Matemática.

Durante a implementação do projeto, foi utilizado como material de apoio a

Produção Didático Pedagógico que contempla os cinco conteúdos estruturantes das

Diretrizes Curriculares do Ensino Fundamental para a 8ª série ou 9º ano.

Desenvolvimento da Intervenção Pedagógica

A utilização deste material pressupõe o uso da heurística da resolução de

problemas. Diz-se heurística, para o processo pedagógico de encaminhar o aluno a

descobrir por si mesmo a verdade, nesse caso, descobrir a solução do problema

proposto.

Um dos principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o aluno

pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe

situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a

querer resolvê-las. Esta é uma das razões pela qual a resolução de

problemas tem sido reconhecida no mundo todo como uma das

metas fundamentais da Matemática no ensino fundamental. (DANTE,

2005, p.11)

Ao trabalharmos a resolução de problemas, devemos tomar o cuidado de não

trabalhar de forma isolada das aulas regulares, devemos integrá-lo ao plano de aula

de modo contínuo, mas não de forma repetitiva (mesmos problemas com outros

números). O interessante é resolver diferentes problemas com uma mesma

estratégia. De acordo com Schoenfeld o professor deve:

...fazer uso das práticas metodológicas para a resolução de

problemas, como exposição oral e resolução de exercícios. Isto torna

as aulas mais dinâmicas e não restringe o ensino da Matemática a

modelos clássicos. A resolução de problemas possibilita compreender

os argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento

possível de ser apeendido pelos sujeitos do processo de ensino e

aprendizagem. (SCHOENFELD, apud, PARANÁ, 2003, p.63)

Para se obter bons resultados, devemos escolher cuidadosamente esses problemas.

O problema deve ser real, desafiador, interessante, ter um nível adequado de

dificuldade, de acordo com a série/ano do aluno e de acordo com o nível de

aprendizagem de cada turma. Começar com problemas fáceis, de tal modo que

todos o resolvam, para desenvolver atitudes positivas em relação a eles.

Os problemas podem ser trabalhados individualmente, em pequenos grupos ou com

a turma toda. Dê poucos problemas de cada vez (dois ou três), mas com freqüência,

listas longas desestimulam o interesse do aluno. Ao procurarmos a solução de um

problema, podemos proceder de diversas maneiras e aperfeiçoá-las ao longo da

questão.

Segundo George Polya a heurística para se resolver um problema, apresentada em

seu livro “A Arte de Resolver Problemas”, divide-se em quatro fases:

Compreender o problema;

Elaborar um plano;

Executar o plano;

Fazer o retrospecto ou verificação.

É claro que essas etapas não são infalíveis e que nunca devem ser mudadas, pois,

cada problema é único, mas de modo geral elas ajudam o aluno a se orientar

durante o processo de resolução de um problema.

A seguir serão feitos relatos de alguns problemas propostos aos alunos da 8ª

série/9ºano do Colégio Estadual Olavo Bilac – Sarandi-Pr., seguindo as quatro fases

de Polya, nas quais fundamentamos este trabalho.

IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO

No primeiro momento os alunos foram informados pela professora que eles estariam

participando deste projeto de implementação sobre resolução de problemas,

também foram informados que esse projeto fazia parte do PDE, curso oferecido pela

SEED ao qual a professora estava inserida. De início houve rejeição por parte dos

alunos, pela experiência que já tinham sobre “Resolução de Problemas”, dos anos

escolares anteriores, a professora explicou detalhadamente sobre os passos

seguido pelo matemático Polya o que deixou alguns alunos mais tranqüilos.

Na aula seguinte a professora levou já impresso e distribui aos alunos o seguinte

problema:

De quantas formas podemos repartir 14 bolas entre 3 crianças de modo que

cada criança receba no mínimo 3 bolas?

Este é um problema heurístico ou problema-processo, cuja solução envolve

operações que não estão contidas no enunciado. Tem o objetivo de despertar a

curiosidade do aluno, desenvolver sua criatividade e capacidade de criar estratégias

para resolver problemas. Ao lerem o problema, primeiro no coletivo e depois

individualmente, alguns acharam que era fácil de resolver, outros acharam que era

muito difícil. Após a leitura e seguindo os passos de Polya a professora deixou os

alunos tentarem se organizar sozinhos sugeriu que conversassem com o colega ao

lado para tentarem resolver juntos. Alguns iniciaram com a divisão de 14 por 3;

Outros começaram a resolver fazendo desenhos; alguns resolveram organizando

em forma de tabelas e outros foram mudando de estratégia durante a resolução do

problema.

Veja alguns exemplos:

Aluno 1: este aluno não se atentou à condicionante do problema, que dizia que cada

criança deveria receber no mínimo 3 bolas.

Aluno 2: este aluno queria dividir as 14 bolas de forma que todas as crianças

recebessem o mesmo número de bolas, depois de várias tentativas desistiu, veja o

que ele relatou ao final das tentativas.

Aluno3: esta aluna foi mudando de estratégia.

Temos, portanto 21 maneiras diferentes para fazer a distribuição das bolas entre as

3 crianças.

Após os alunos terminarem de resolver o problema, a professora sugeriu que

verificassem com seus colegas de sala se as respostas estavam iguais. Logo em

seguida pediu para refletirem, qual ou quais das respostas obtidas satisfaz ou

satisfazem a pergunta e a condicionante do problema.

Nesta fase, fazer o retrospecto revisando passo a passo, é muito importante para o

aluno relembrar todo o caminho percorrido até a solução do problema, tanto para

corrigir eventuais enganos, quanto para fixar as estratégias utilizadas nesse

processo. Nesse exemplo, fazemos o retrospecto juntamente com os alunos,

investigando a forma que cada um pensou e verificando a validade das diferentes

formas desenvolvidas pelos mesmos.

Na aula seguinte foi distribuído aos alunos o problema a seguir.

(OBMEP 2008) O retângulo da figura está dividido em 8 quadrados. O menor

tem 1 cm de lado e o maior 14 cm de lado. Qual é o perímetro do retângulo?

Este é um problema padrão. O objetivo desse tipo de problema é recordar ou fixar

conteúdos básicos já aprendidos. Para solucioná-lo basta identificar os dados

contidos no enunciado e passar para linguagem matemática adequada. Mesmo

nesse tipo de problema podemos seguir as fases de Polya.

Este problema foi bastante difícil de ser resolvido pelos alunos, pois eles não

conseguiam identificar corretamente as dimensões do retângulo dado.

Vejamos como os alunos pensaram inicialmente:

Aluno 1: Os alunos identificaram erroneamente a altura do retângulo.

Ao perceber que a maioria dos alunos estavam pensando de forma incorreta, a

professora pediu para que os alunos enumerassem os oito quadrados que

pertencem à figura da seguinte forma:

Em seguida fez as seguintes perguntas:

Qual a medida dos lados dos quadrados 2 e 3?

Se somarmos os lados dos quadrados 2, 3 e 4 dará 14, que é a medida do

lado do quadrado 1?

Depois de muito pensarem e discutirem os alunos chegaram à conclusão de que

algo estava errado, mas não conseguiam descobrir onde estava o erro, até que o

aluno 2 (exemplo a seguir) resolveu quadricular o quadrado de número 4, e

percebeu que a medida onde tinha considerado que seriam 4 cm na verdade eram 5

cm, portanto a altura do retângulo eram 19 cm e não 18 cm como haviam pensado

anteriormente, veja a figura a seguir.

Aluno 2: Ao quadricular ele percebeu que a medida do retângulo quadriculado era 4

por 5 e não como havia pensado anteriormente, 4 por 4.

Após os alunos corrigirem o erro encontrado anteriormente, a professora sugeriu aos

alunos que verificassem com seus colegas de sala se as respostas estavam iguais.

Logo em seguida pediu para que refletissem, se as respostas obtidas satisfaziam a

pergunta e a condicionante do problema.

Para a resolução deste problema levou mais tempo do que estava previsto, pela

dificuldade que os alunos encontraram tanto por falta de conhecimentos específicos,

como cálculo de perímetro, quanto para diferenciar as medidas dos lados dos

quadrados.

Com o intuito de contemplar a álgebra um dos conteúdos estruturantes das diretrizes

curriculares, sugerimos o seguinte problema aos alunos.

Beatriz quer enfeitar um salão de festas retangular que tem 140m² de área. Ela

precisa saber a medida dos lados desse salão para encomendar os enfeites,

mas o dono do salão só se lembra que o comprimento é 4m maior que a

largura. Vamos ajudar Beatriz a encontrar as medidas dos lados desse salão?

Este é um problema de aplicação ou de acordo com Dante pode também ser

chamado de situação-problema, que retrata uma situação real do dia-a-dia e que

necessita do uso da Matemática para resolvê-lo. O objetivo desse problema é

desenvolver no aluno a relação de técnicas e procedimentos matemáticos, usados

para resolver problemas do seu dia-a-dia.

Alguns alunos resolveram por tentativas (aluno 1) e outros recorreram à resolução

algébrica ( Aluno 2). Vejamos os dois exemplos desenvolvidos pelos alunos a seguir:

Aluno 1

Aluno 2: desenvolveu algebricamente.

Pontos positivos, os alunos se lembraram do problema dos quadrados não havendo

necessidade de retomar o cálculo do perímetro de um retângulo e demonstraram

maior facilidade em resolvê-lo. A maioria dos alunos optou por resolver este

problema por meio de tentativas. Poucos alunos se sentiram a vontade em resolvê-

lo algebricamente.

O problema a seguir é um problema padrão. O objetivo desse tipo de problema é

recordar ou fixar conteúdos básicos já aprendidos. Para solucioná-lo basta identificar

os dados contidos no enunciado e passar para linguagem matemática adequada.

Letícia passa todos os dias na casa de Bianca para irem juntas à escola, como

mostra a figura a seguir. Quantos metros a menos Letícia andaria se fosse

direto de sua casa para a escola?

Casa Letícia

600m

Casa Bianca 800m Escola

Neste problema, vários alunos responderam as perguntas e com habilidade,

rapidamente resolveram o problema proposto, pois envolvia um conteúdo que

recentemente haviam estudado o “Teorema de Pitágoras”.

Veja um exemplo a seguir:

O problema a seguir também é um problema padrão, que envolve função

(ACAFE – SC) Suponha que uma companhia de água, cobre o consumo

residencial pela seguinte tabela:

Faixa de consumo por m³ Valor em reais por m³

0 – 10 1,20

11 – 25 2,00

Mais de 25 2,50

Quanto o proprietário de uma residência, que num determinado mês consumiu

27m³ pagará?

No início os alunos não conseguiram responder corretamente, então a professora

pediu para que os mesmos lessem novamente o problema com maior atenção e

tentassem responder seguindo a heurística de Polya. Neste dia os alunos estavam

muito agitados, com dificuldade de concentração e demonstrando pouco interesse

em resolver o problema.

Num determinado momento um aluno respondeu que bastava multiplicar 2,50 por 27

e pronto estava resolvido. Como neste dia os alunos não estavam predispostos a

refletir sobre o problema, todos copiaram a resposta do colega.

Veja um exemplo a seguir:

Os problemas aqui relatados não foram os únicos trabalhados com os alunos, mas

são um exemplo de cada unidade do material didático produzido, pela professora

PDE.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Quando me inscrevi para participar do PDE (Programa de Desenvolvimento

Educacional) oferecido aos professores da rede estadual de ensino do Estado do

Paraná, foi com o intuito de buscar novos conhecimentos e metodologias, que

contribuíssem para o processo de ensinar e aprender Matemática. Sempre que

analisava os resultados da Prova Brasil, obtidos pelos alunos do Estado do Paraná,

mais especificamente do Município de Sarandi-Pr., me sentia muito angustiada e

preocupada com o baixo rendimento, que os alunos apresentavam, nesses testes e

até mesmo nas avaliações feitas pela própria escola na disciplina de Matemática.

Observando que as matrizes de referência e os descritores da Prova Brasil, estavam

fundamentados na resolução de problemas, tomei a decisão de fundamentar este

Projeto de Intervenção nesta metodologia que até então eu pouco conhecia. Apesar

do número restrito de publicações, oferecido pelas editoras, sobre a metodologia da

resolução de problemas, consegui me apropriar desta metodologia e fundamentar

este trabalho que desenvolvi durante os anos 2010/2011 com o apoio orientador.

As dificuldades encontradas por mim durante este percurso foram muitas, entre elas

gostaria de citar a dificuldade de passar para linguagem formal escrita o que

pretendia escrever, a seleção dos problemas a serem desenvolvidos durante a

implementação do projeto de intervenção, o tempo para implementação, tendo em

vista que o 2º semestre de 2010, foi um semestre com muitos feriados, tendo assim

pouco tempo para trabalhar os conteúdos do bimestre juntamente com a

implementação deste projeto. O objetivo era verificar se seria viável se trabalhar com

a metodologia de resolução de problemas dentro do plano de aula docente, não de

forma separada, ou até mesmo ao final de cada capítulo do livro didático, que é o

molde mais conhecido entre nós professores, mais sim para introdução ou até

mesmo como forma de memorização dos conteúdos trabalhados na série em que o

aluno se encontra.

Durante a implementação as dificuldades encontradas muitas vezes se mostraram

semelhantes às encontradas no dia a dia da sala de aula, como: falta de interesse

dos alunos, falta de concentração, indisciplina, falta de tempo (carga horária

insuficiente) para se trabalhar todos os conteúdos básicos necessários à série/ano.

Pude perceber que em determinados problemas, os alunos se sentiram mais

motivados e interessados em resolvê-los, mas como saber o tipo de problema que

mais interessa à determinada turma, só mesmo com o tempo, trabalhando vários

tipos de problemas, observando o rendimento e o desempenho durante o processo

de ensino e aprendizagem.

Posso afirmar que toda a experiência e conhecimentos adquiridos durante todo este

processo de construção e implementação deste projeto, enriqueceram meus

conhecimentos sobre a metodologia da resolução de problemas, mas não pude

concluir com exatidão, se esta metodologia contribui para a melhoria da qualidade

de ensino ou até mesmo auxilia no processo ensino e aprendizagem, devido o

pouco tempo de implementação. Agora cabe a cada professor que se sentir

motivado dar continuidade a este processo, podendo assim futuramente avaliar com

maior rigor esta metodologia ainda pouco desenvolvida por nós professores.

REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação; Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas

Educacionais Anísio Teixeira. Prova Brasil – Ensino Fundamental. Matrizes de

Referência, Temas, Tópicos e Descritores. Brasília: 2009.

BRASIL, Banco de Questões: 4ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas

Públicas. OBMEP, 2008.

BRASIL. Secretaria de Estado de Educação do Paraná; Diretrizes Curriculares da

Educação Básica Matemática. Paraná, 2008.

DANTE, R. L. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo:

Ática, 1999.

KRULIK, S. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. Tradução:

Domingues, h.h. e Corbo o. Editora Atual, 2005.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação; Eureka: Física-Matemática, 2003.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Editora Interciência, 2006.

www.eb23-lavra.rcts.pt/matematica/FormacaoMatematica2006/QuisPitagoras01

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www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php - (acessado em 27/07/2010)