dai cerchi sacri al cerchio limite
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DAI CERCHI SACRI …
AL CERCHIO LIMITE
Liceo Scientifico Statale “L. Siciliani” Catanzaro
Convegno “Esperienze a confronto” Matematica & Realtà
6-8 Maggio 2013 - Perugia
Tutor:Prof.ssa Anna Alfieri
Studenti:Fabiola BoccutoGiuseppe LazzaroLucrezia MenganiMariagiulia Orlando
INDICEIntroduzione:
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE:
simmetrie e omotetie
Frattali e loro proprietà
I cerchi sacri:
rosoni romanici e gotici
la Radionica
Il cerchio limite: Escher
Le nostre costruzioni e i nostri paper works
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHEUna trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
A(x;y)→ A’(x’;y’)
4
b in b (in una posizione diversa)
TRASLAZIONE
b b
byy
axx
'
'
b
a
y
x
y
x
10
01
'
'
5
b in q
bq
ROTAZIONI
cossin'
sincos'
yxy
yxx
y
x
y
x
cossin
sincos
'
'
6
GLISSO RIFLESSIONI
bp p
yy
axx
yy
xx
'
'
'
'
010
01
'
' a
y
x
y
x
7
Le trasformazioni si possono combinare
DUE RIFLESSIONI =
ROTAZIONE
d bp
OMOTETIEDati un numero reale k diverso da zero e un punto P del piano,
l’omotetia di rapporto k e centro O è quella
trasformazione geometrica che associa a P il punto P’ tale che:
OP’=k(OP)b b→
y
x
k
k
y
x
0
0
'
'
Dalla fine del XIX sec. la scienza si è orientata verso lo studio dei sistemi complessi. Queste problematiche hanno dato l’avvio allo studio del “caos deterministico”, ossia di situazioni di disordine ottenute però da processi
matematico-fisici deterministici.
Nell’universo reale sono presenti infiniti elementi “perturbatori”.
Tale complessità può essere semplificata dai…
Figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva.
Più semplicemente:
Una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta.
Merletto di Koch
UN FRATTALE DEVE POSSEDERE ALCUNE CARATTERISTICHE FONDAMENTALI:
• Autosomiglianza:
Se alcuni dettagli vengono osservati a scale differenti, si nota sempre una certa somiglianza approssimativa con il frattale originale.
• Risoluzione indefinita:
Non è possibile definire in modo netto e assoluto i confini dell’insieme (i bordi dell’immagine).
Tutti i frattali hanno una dimensione non intera, ma non le normali figure geometriche . Le quali hanno una dimensione geometrica
Un segmento ad esempio ha dimensione 1 A B
Un quadrato ha dimensione 2
A B
C D
Un cubo ha dimensione 3
B C A D
F H E
G
• Dimensione frazionaria:
Preso un oggetto che ha dimensione euclidea D e riducendola di un fattore 1/r, la sua misura (perimetro , area, volume) aumenta di:
N=r D
Dove N indica il ricoprimento mentre D indica la dimensione. Per calcolare D dobbiamo ricorrere all’utilizzo dei logaritmi, mentre r indica la riduzione
Deriva dal latino fractus, rotto, spezzato infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
Il fondatore della geometria frattale fu: Benoit MandelbrotUn matematico contemporaneo che, all’inizio degli anni ’80, ha pubblicato i risultati delle sue ricerche nel volume “The fractal geometry of nature” fondando quella che viene chiamata geometria dei frattali.
Le Origini dei frattali
DAI CERCHI SACRI…
… AL CERCHIO LIMITE
Le forme della geometria piana, così simmetriche e regolari sono
state utilizzate nella Geometria sacra, da cui è derivata anche la
Radionica.Sono forme armonizzanti e
riequilibranti.Tuttavia , sebbene armoniche
come forme, dopo un po’ diventano
costrittive e di chiusura con il divenire dell’esistenza.
LA RADIONICALe forme della geometria piana, così simmetriche e regolari, come già
detto, sono state poi utilizzate nella Geometria sacra, da cui è derivata anche la Radionica.
Il rosone è un elemento decorativo applicato alle facciate delle chiese di stile romanico e gotico.
IL ROSONE
ROSONI
ROMANICI GOTICI
SIGNIFICATONella forma del rosone è possibile riconoscere
1. Il mandala 2. Il Fiore d’Oro
3. La rosa
ROSONE DI SAN NICOLA
Animazione del rosone costituito da 12 triangoli simmetrici
Il rosone di san Nicola presenta la struttura dell’ IPOCICLOIDE.
L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ovvero delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.
ROSONE DI SANTA CHIARA (ASSISI)
Animazione del rosone costituito da 15 triangoli simmetrici
Maurits Cornelis Escher M. C. Escher nacque in Olanda il 17 Giugno del 1898. Frequentò la scuola di Architettura e Arti Decorative di Harlem in Olanda e nel 1923 venne in Italia. Le sue opere si basavano sul sottile gioco tra lo sfondo e la figura, che si completano. Morì il 27 Marzo del 1971.
Nel 1954 Escher incontrò Coxeter, un famoso geometra, in un meeting internazionale di matematica. In seguito, nel 1957, Coxeter inviò a Escher un’illustrazione del piano di Poincarè e guardando la tassellatura di questo cerchio, riuscì a capire le regole del gioco.
Cerchio di Coxeter Piano di Poincarè Cerchio limite di Escher
I CERCHI LIMITE
Prima di poter parlare di cerchio limite dobbiamo introdurre il concetto di punto limite. Questo si ottiene con delle traslazioni composte a delle riduzioni .
L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L
Ecco qui i cerchi limite riprodotti da Escher :
Cerchio limite I
Cerchio limite II
Cerchio limite III Cerchio limite IV
Dal punto di vista architettonico le sue opere sono caratterizzate da una forte componente matematica. I punti principali su cui si concentrano i suoi lavori sono :
L’infinito
Spazi differenti che si incastrano scambievolmente
Fredda logica delle scienze esatte e mondi naturali differenti
Possiamo distinguere i vari cerchi limite in due categorie:
• Nella prima il limite delle figure disegnate tende verso l’interno del cerchio
• Nella seconda il limite delle figure disegnate tende verso l’interno del cerchio
•Farfalle (1959) xilografia
• Circle Limit III
Il nostro punto di partenza è un foglio origami
Abbiamo dunque piegato il foglio lungo la sua diagonale per poi piegarlo a metà
1
2
3
A questo punto pieghiamo 1/3 del triangolo ottenuto e poi l’altra parte in modo da ottenere una «coda di rondine»
Tagliamo dunque la parte in eccesso in modo da ottenere un triangolo grande un terzo rispetto a quello iniziale
4 5
6
7 8
9
Partendo dal nostro triangolo iniziamo a ritagliare la sagoma di mezza farfalla per poter poi, aprendo il foglio, ottenere una farfalla intera.
10 11
12
Ritagliamo dunque su entrambi i lati la sagoma delle farfalle
13
14
15
Dopo aver ritagliato le sagome tagliamo la punta del triangolo
Infine apriamo il foglio ed otteniamo un disegno riportato nella figura 15
Riconsideriamo le prime 6 fasi precedentemente illustrate per poter costruire la << coda di rondine>>
1 Disegnamo dunque il motivo caratterizzante del rosone sul foglio origami
2
3 Con un taglierino ritagliamo il contorno della sagoma
4
5 Tagliamo dunque la punta del triangolo
Come ultimo passaggio non ci resta che aprire il foglio per ottenere un rosone simile a quello precedentemente analizzato
6
1
2
Partendo sempre dal sesto punto della prima costruzione e dopo aver studiato la costruzione geometrica effettuata con Geogebra riportiamo le figure goemetriche che caratterizzano questo rosone
Ritagliamo con un taglierino le figure precedentemente disegnate
3
4
Tagliamo la punta del triangolo
Quando apriamo il foglio otteniamo una copia del rosone della chiesa di Santa Chiara ad Assisi
Bibliografia :
• http://www.mcescher.com/• Trasformazioni geometriche e strutture algebriche di Massimo
Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi • I frattali a fumetti di N. Lesmoir-Gordon , W.Rood, R.Edney