dalla chiara s. logica

8/19/2019 Dalla Chiara s. Logica

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Logica

EDITORIAL LABOR, S. A.BARCELONA

1976

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Traducci6n de:

J ose M ." V al d er as Gall ard o

Primcra cdici6n: abril, 1976

Titulo de la cdici6n original:

LA LOGICA

< 0 Istituto Editctialc Internazionale (ISED!) , Milan, 1974

C o de los derech os en lengua castellana y d e la traduccion:

EDITORIAL LABOR, S. A., Calabria, 235-239. Barcelona-IS (1976)

Dcp6sito legal: B. 17940-1976

LS.B.N.: 84-335-1101-7

Printed in Spain - lmpreso e n Es pana

Talleres Graficos Ibero-Americanos, S . A.

Calle H. s I n (csq. Gran Capitan) - Sant Joan Despf (Barcelona)-1976

INTRODUCCION

EI vocablo / 6g i c a se emplea en sentidos muy distintos.

Pero hay uno que predomina en nuestro contexto contem-

poraneo, a saber: la logica representa una ciencia especial, con pare jo cometido al que desempefian los terminos mate-

mat ica, flsica, quimica, etc. Mas, aSI como nadie se preguntaria

hoy sobre la existencia 0 el posible sentido de una fisica,

matematica 0 quimica «no cientificas», tales dudas si se dan

a proposito de la 16gica. Y clio hasta el punto de llegar a

matizar la distincion entre una l!l_gicaformal (maiematica)

y una / 6g i c a a secas. Depende de una opci6n ideol6gica per-

sonal asignar, en el caso de la logica, un mayor f undamento

a esa distinci6n que a Ia que habria entre una «ff sica formal»,

por e jemplo, y una «fisicas (sin caracter cicntifico). Opci6n

que, evidentemente, depende a su vez del grado en que unoeste dispuesto a admitir la validez y el interes de una met a-

fisica sin relacion con Jas ciencias.

Aqui nos ocuparemos exclusivamenle de la logica cientifica.

Ahora bien, sea cual sea la resoluci6n del problema teor ico

acerca de la legitimidad de «otras 16gicas» hipoteticas en la

actualidad, una cuesti6n que inevitablemente debe abordarse

se refiere a las implicaciones hist6ricas entre la ciencia mo-derna de la 16gica y la evoluci6n d e las distintas nociones de

I6 g i ca en el decurso de la historia de la filosofia.

7



En una prirnera aproximacion, el tipo de implicacion mas

sencillo se nos ofrece con Ia historia de la Iogica en sentido

estricto. Aun tratandose de u n saber que, como cualquier

otro, tUYO su construccion en la historia, no siempre resulta

facil abstraer los hallazgos de la logica cientifica del contextofilosofico general en cuyo seno nacieron. Y asi ocurre que se

halle en tela de juicio- la validez de una historia de Ia logica

autonoma, reconstruida «can el prisma» de Ia 16gica mate-

matica moderna; se pone en duda, por ejemplo, que sea co-

rrecto desde el punto de vista de la historiografia la traduccion

de los sistemas logicos de la antiguedad al formalismo moderno.

Hay otros tipos de conexiones hist6ricas que son todavia

mas problematicas. Verbigracia, en distintas situaciones pue-

den ref erirse interesantes «reinterpretaciones logicas» de textos

o problemas clasicos en filosofia. Citemos la posibilidad de

una «lectura desde una teoria de conjuntos» de algunos frag-mentos del Parmenides, la Republica y otros dialogos de Pla-

ton; 0 tarnbien el analisis de argumentos teologicos (tal la

prueba ontokigica de la existencia de Dios) a la luz de las

teorias mas recientes sobre la cuantificaci6n y el predicado

de «existencia»; e incluso el caso de mayor estridencia his-

torica representado por el viejo «problema de los universales»,

de gran influjo en toda la cuestion moderna de la fundamen-tacion de la matematica.

Se ha Ilegado a considerar a veces objeto de estudio, por

parte de los logicos, las posiciones e ideas filosoflcas tradicio-

nalmente antagonicas a la cultura Iogicomatematica, Comoe jemplo claro valga la polemica suscitada a proposito delogica ydialectica; para muchos militantes de la iogica mate-

matica la denominada «logica dialecticas constituyo, durante

largo tiempo, un tipico modelo negativo de «insegsatezfuo-

sofica», En el bando contrario, casi toda la tradicion dia-

lectica iaealist a y el materialismo dialectico de la epoca stali-

nlsta sometieron a dura critica la Iogica f ormal, acusada de

impotente para construir una «kigica del devenir real». En

niuchos contextos (en el ambito de la filosoffa marxista, por

8

e jemplo) la reconciliacion dialectica-logica llegaria tras una

delimitacion de campos: as), se tomaria par caracter especlfico

de la logica, en su relaci6n con la dialectica, el f undarse esen-

cialmente en una abstraccion del tiempo. No obstante, los

ultimos desarrollos de las l6gicas temporales han demostradoque semejante tipo de contraposici6n es f alaz. Resultandoasimismo posible en el seno de esa c1ase de logicas, el analisis

formal riguroso d e algunos esquemas conceptuales que carac-

rerizaban a la «logica dialectica». Diriase que la 16gica ha

usurpado determinados aspectos a la dialectical, al menos en

cierta medida.N~bserva un desarrollo sistematico y lineal en la

«apropiacion», por parte de la 16gica, de tales ejemplos de

problemas y conceptos filos6ficos clasicos. No se trata tanto

"de problemas que ab origine pertenecen a la h istoria de la

16gica, cuanto de lejanas sugerencias filosoficas en el quehacerde los 16gicos contemporaneos.

Por 10 que se refiere a la historia de la 16gica en sentido

estricto, aun tratandose de una «ciencia antigua» (como es

sabido se considera a Arist6teles el «padre de la 16gica»),

solo una parte menguada de dicho saber se forme antes de 1800.

Los temas 16gicos f undamentales que fueron objeto de estudio,desdeIa"antigiiedad hasta la edad moderna, pueden agruparse

esquematicamente como sigue:

I) problemas rclacionados con el estudlo. de las inf erencias va ltdas y

el analisis de los conceptos de d emostradon y d e finici on;n)problemas que hoy llamariamos «;emanticos», ligadcs sobrc todo

al analisis - de los conceptos de significado y verdad:1 1 1 ) analisis de las parado jas logicas que aparecen en situaciones teo-

ricas dc')listinta indole;IV) estudio de algunos conceptos «crlticos» que importan sobre todo

(aunque no en exclusividad) a las cieucias maternaticas: por ejemplo, los

conceptos de «cantidad», «numero», «Inflnito», etc.

~ vease el aparrado Logicas t em poral es y I Ogi cas e pistemicas, en el ca-

piHlio 3.

9



En l os proximos apartados nos ocuparemos de aspectos

fundamentales del desarroll o de t oda e sa probl emat ic a. Ad-

vier ta desde un principio el lector que esta Introduccion nunca

se propuso sec una «historia de la 16gica i n nuce», ni, mucho

men os, u n perfil historico exhaust iv o d e l as distintas concep-

ciones de la ciencia Iogica al correr de los siglos. Aqui solo

nos preocupa indicar de f orma sumaria y esquematica deter-

minados puntas de referencia, que revisten particular interes

en «la perspectiva» del Iogico contemporaneo. Asi delimitado

nuestro objetivo, y, a f in de dar c ierta agi li da d a l a descrip-

cion, recurriremos a simplificaciones expositivas que, si bien

no responden exhaustivamente a la real articulacion h istorica

de los problemas, no suponen en absolute ninguna distor-

sion de los mismos.

1. La 16gica griega

Las cuatro clases de problemas mencionados anteriormente

se hallan presentes en el pensa mi ento de los griegos,

En 10 referente a la probl emat ic a de la inf erencia, los

resultados mas notables elaborados por los griegos so n l a

celeberrima t eoria del silogismo, obra de Aristoteles, y deter-

minada forma de Iogica que, echando mano a la terminologia

al usa en nuestro tiempo, Ilamaremos p ro posi ci on al , eIaborada

por Iogicos megaricos y estoicos.

La teoria del silogism o q ue do p ro gramaticamente pro-

puesta por Aristoteles como una t eoria general d e la in ferencia.

En efecto, al comienzo de los Primeros analit icos se define el

silo gismo como «un argumento en el cual, establecidas ciertascasas, re sulta necesariamente de elIas, por ser 10 que son,

ot ra cosa dist inta de las antes establecidaso''.

Mas no nos hallamos en la teo ri a del silogismo a nte una

teoria general, por cuanto se limita a codificar una clase de

2 Analfti cos Primer os, I, 24b, 18.

10

inf erencias que tienen estructura completamente particular.

Resulta asl una forma de logi ca que represen ta p ar te d e l a

que los modernos denomi na n «logica d e p redicados mona-

dicosx".

Se plantea una primera dificultad si adver ti mo s q ue l alogica de pre dicados monadicos comprende como subteoria

una logi ca m as elemental const it ui da p or l a t eorla de las

conectivas (0 logica pro posicionalv, en t an to q ue I a teoria

aristotelica del silogismo p resc in de casi absolutamente de la

misma. El desarrollo cronologico de l a Icgica griega ocurrio

en orden inverso al que pudiera considerarse el orden siste-

matico natural; en efecto: primero se construyo una teoria

particular (la propia teoria del silogismo) y sol o mas tarde

ida fundandose (a traves de megaricos y estoicos) la teoria

mas general de las conectivas. La dificultad teorica se com-

plico, en el marco de l a c ul tura gri ega, por las pol "micas y

rivalidades mantenidas entre las dos escuelas: el Liceo y la

Stoa; y posteriormente, a 10 la rgo de l a historia de la logica

premoderna, al enunciarse como opinion pre-judici al q ue

la silogf stica d ebia representar la f orma mas perfecta de

Iogica.

Antes de proseguir, adelantemos el esq uem a mu do d e la

teori a a ristotelica del silogismo". Como premisa de l a t eori a,

la clasificacion de Jas proposiciones que entran en el discurso

cientifico y que, para Aristoteles, podian tener las siguientes

formas:

3 A saber, una logica en qu e s e analiza la estructura su jeto-prcdicado de

las propostcioncs con la hipotesis de que cada predicado p ucda aplicarsc solo

a u n suieto.

, Com o v eremos en el capitulo 1, Ia teori a de los conectores es la teorla

de los operadores logicos fundamentales q ue permiten construir nuevas pro-

posicio ne s a p artir de proposiciones dadas (por e jemplo, no, y , 0, si... ent onces,

si y s610 si).5 Como habiamos anunciado en cste caso (yen otros parecidos) a fin de

facilitar nuestra descripcion, rccurriremos al uso de deterrninadas s irnplifica-

ciones expositivas, sugeridas p or l a t radici6n logica posterior a Arist6tclcs

(medieval e incluso moderna).

\ Il



I) Todos los A son B

(proposicion universal afirmativa);2) Ningiin A es B

(universal negativa);

3) Algunos A son B (particular afirmativa);

4) Algunos A no son B

(particular negativa).

Proposiciones singulares como «Socrates es blanco: 0 in-

definidas como «el hombre es bIanco» no Ie parecen a Aris-

toteles que pertenezcan al discurso c ie ntifico.

Para simplificar, diremos que una proposicion es aristot elica

cuando cumpla cualquiera de las formas 1-4 anteriores. Con-

vencionalmente, la proposicion cuyo sujeto sea A y el predi-

cado B se indicara A " B.

A partir de 10 eual, un silo gismo sera. un esquema de in fe-rencia vdlido del tipo:

Si a y fI entonces y.

En dande se satisf acen las siguientes condiciones:

1) a, p , y son proposiciones aristotelicas ;

2) a contiene los terminos B , C; P los terminos A, B;

)' los terminos A, C.

Valga de e jemplo el tipo celeberrimo de silogismo que los

logicos medievale s d enominaron «silogismo en Barbara»:

Si todos los B son C y todos los A son B, entonces todos

los A son C.

(si todos los hombres son mortales y todos los grie go s son

hombres, entonces todos los griegos son mortales).

12

EI predicado y el sujeto de la conclusion y de un silogismo

reciben, respectivamente, los nombres de «termino mayor» y

«termino menor»: por «termino medio » entendian el termino

restante contenido en las premisas a y p . Si convenimos en

indicar siempre con Aye el terrnino menor y mayor, res-

pectivamente, y con B el terrnino medio, solo cabe la combi-

natoria que nos vie ne dada por l as cuatro configuraciones

siguientes de los tres terrninos en las dos premisas:

II

C*B

A*B

Tales configuraciones posible s se conoce n c om o figuras

silogisticas. En v erdad, Aristoteles no estudio m as que l as

tres primeras, ocupandose por vez primera de la cuarta su

discipuIo Teofrasto. Cada figura da lugar a 64 distintos casosposibles de silogismo, e n r azo n d e la di fe re nt e forma que

asuman las tr es proposiciones a, p , ' Y (universal afirmativa,

o universal negativa, etc.) . Tales ca so s s e d enominan modos

posibles de la figura dada.

La teoria del silogismo estudia cudles sean los distintos

modos posibles aquellos que representen inferencias validas,

Aristoteles solo reconocia como «silogismos perfectos» los

construidos e n los modos val idos de la primera figura. De-

mostrar un silogismo significaria entonces transformar dicho

silogismo e n otro de la primera figura.

La tecnica de la «transformacio n» b asa se en un analisis

bastant e co mplicado de las r elaciones que pueden subsistir

entre las proposiciones. Por comodidad represent emo s, al uso

medieval, las cuatro formas posibles d e proposiciones aristo-

telicas a traves del denominado «cuadrado aristotelico», donde

A re presenta una proposicion universal afinnativa, E u na

proposicion universal negativa, I una particular afirmativa

y 0 una particula r n eg ativa (t oda s c on los mismos sujetos y

predicados) :

\ 13



A . . _ _ - - - - - ' c ~ o ~ " " t ' ~ o C ' ; " o O s - - - - - -. . .E

. 0

.0

o >' cc cr

i! : " , ' "-, -a Q~ ."< ) "I I

~ 3, o ~• ~

I '"0

subcontrarias

AyE Ilarnanse cont rarias: no pueden ser entrambas verda-

deras pero si pueden ser falsas ambas. I y 0 llamanse subcon-

trarias: entrambas pueden ser verdaderas, perc no falsas a

un tiempo. A y 0, y r espectivamente lyE, Ilamanse opuestas(0 tambien contradict orias y por cuanto un a d e las dos sera

verdadera si y s610 si la otra es f alsa, I diccse subalterna de A,

y 0 subalt erna de E. En la logica aristotelica vige el principio

de la «reductio ad subalternatam»; es decir, de la verdad de

una proposici6n (de forma A 0 E) siguese siempre la verdadde su subalterna:

Todos los A son B ;

Algunos A son B

Ningun A es B

Algunos A no son B

Ello es asi porque, en Aristoteles, los terminos de las

proposiciones nunca son vacios: si se emplea el termino A

debe existir cuando menos un individuo que sea A. Por contra,

la Iogica moderna ha abandonado dicha hipotesis (considerada

tecnicamente incomoda e inadecuada), por 10que la «reductio

ad subalternatam» ya no representa un principio de inferencia

valido (si A es vacio, la proposicion «todos los A son B» es

irrelevantemente verdadera, en tanto que «Algunos A son B»resulta falsa).

14

Otra relacion importante que puede subsistir entre las

proposiciones es la estudiada en la teoria d e la conversion;

dicese que ~ se obtiene por conversion simple de a cuando ~

se obtuvo de a intercambiando sujeto y predicado (es decir,

a tiene la forma A * B , en tanto que la de ( J sera B * A );

estamos ante una conversion «per accidens» cuando no solo se

cambia el sujeto por el predicado sino tambien la cantidad(verbigracia : de «todos los A son B », se ha pasado a «Algunos

B son A») . La conversion simple da lugar a un principio de

iuferencia valido unicamente en cases de proposiciones de la

form a I 0 E; en el ambito de la Iogica aristotelica (no asi enla 16gica modern a), la conversion per accidens es legitima

en proposiciones pertenecientes a la forma A.

A traves de la teoria de la oposici6n, de la reduccion a

la subalterna y de la conversion, empleando asimismo la tee-

nica del «razonamiento ad absurdum»', se puede probar que

todo silogismo es sujeto de expresion en la primera figura. . /'En este sentido, como observara ya por vez primera Luka- irsiewicz, la teorf a aristotelica del silogismo representa un «sis- \

tema formal en miniatura», donde los silogismos pertenecientes

a la primera figura desarrollarian el papel de axiomas y, el

de reglas, los principios de inferencia, a los que mas arriba

nos hemos referido.

Segun quedo tambien establecido anteriormente, la logica de

Aristoteles carece de una teoria sistematica d e la s conectivas,

por mas que en distintas ocasiones el Estagirita echara mana de

determinadas leyes logicas proposicionales, manifestando en

tal postura que era consciente de que dichas leyes no depen-dian de la teoria del silogismo. EI desarrollo de una teoria

de las conectivas debese a Teofrasto, discipulo de Atist6teles

y, de modo particular, a los 16gicos megaricos y estoi-

8 La argumentacion ad absurdum se i ntrodujo por vez primera per Zenon

de Elea en Ia presentacion de sus famosas paradojaa: para demostrar Ia ver-dad de una aflrmacion se demuestr a q ue I a hipotesis de su falsedad conduce

a contradicclon.

\. 15I~A-Q

• >....OTECA



modaJidades que propuso Diodoro es de tipo temporal: «a es

posible» significa para Diodoro «a se realiza en el presente 0

se realizara en el futuro»; «a es necesaria» representaria,

tambien para Diodoro, «a vaJe ahora y valdra siempre en el

futuro». Los operadores modales de Diodoro han sido ob jetode reciente investigacion dentro de las logicas temporales;

habiendo resultado que en el marco de esta teoria especial

de las modalidades la implicacio n d e D iodoro es esencial-

.mente mas debil que la implicacion e stricta,

t

, Como es sabido, uno de los grandes hallazgos griegos

i relacionados con la pr oblematic a d e la inIerencia 10 constituye

[Ia creacion d<:!...metoda axiomatico. La estructura logica de los

\ Elementos de Euclid es e s e jemplo manifiesto d e c om o un

discurso racional riguroso pueda descornponerse en los si-

guientes elementos esenciales:

'---V I) conceptos primit ivos (que no se definen);

2) proposiciones primitivas (que no se demuestran);

3) definiciones de los nuevos conceptos, a partir de los

conceptos primitivos;

4) demost raciones de las nuevas proposiciones, a partir de

las proposiciones primitivas.

En realidad, en los Elementos de Euclides no se ve nada

claro que sea un concepto primitive ni que entiend a p or pro-

posicion primitiva; los mismos conceptos primitivos ( punt o,

recta, etc.) se procuran definir a traves de los denominados

Terminos ("OpO\). Dichos Terminos tienen en Ja obra de Euclides

una funcion harto ambigua, por cuanto representan, 0 bien

ilustracioncs intuitivas para los conceptos primitives, 0 bienautenticas definiciones verdaderas (en sentido moderno), JJe-

gando a desempefiar en determinados casos la funcion de

postulados, que no de autenticas definiciones. Por l o que se

refiere a las proposiciones primitivas, Euclides distinguia entre

nociones comunes (representadas par principios comunes a todas

Jas ciencias, verbigracia: «la parte es menor que el todo») y

18

postulados (especificos de l a g eometria). Se trata de una dis- :tincion que hoy carece de significacion y que el metodo axio- Iimatico moderno ha ido abandonando, .

Todos sabemos que la estructura 16gica de los E lementos

supuso, durante _siglos,..el..modelo absoluto , de_discurso rigu-rosa, hasta el punta de....que la expresion «more geometrico»

era sinonima de «metodo riguroso». Modelo que permanecera

intacto en la practica hasta la revolucion a xiomat ica de Hilber t,

que, en el umbral de nuestro siglo, se presentara como la

conclusion natural en q ue se resolvian los avances de distintos

sectores de la matematica ochocentista (particularmente de

la geometria).

En cuanto al segundo grupo de problemas de nuestra

clasificacion (problemas de «tipo semantico») el pr imer resul-

tado que se c osecha es una rigurosa definicion del concepto

de verdad. Definicion que suele atribuir se al propio Aristo-

teles ; en la Metaflsica, efectivamente, se lee:

«Decir de 1 0 que es que no es, 0 de 10 que no es que es , es 1 0 f also; decir

de 10 que es que es, y de 10 que no es que no es, es 1 0 verdadero»w.

De otra manera, se dice que una proposicion es verdaderacuando afirma que las cosas se hallan de un modo determinado,

y las cosas se hallan realmente de ese modo; en caso contrario,

tendriamos u na proposicion f alsa, Si bien es cierto que el

concepto de verdad como «correspondencia c on los hechos»

se encuentra ya en Platen. En el C ratilo y en e l S of ist a, Platen

sostiene que una proposicion verdadera «afirma que los he-

chos son tal como son» ; e n tanto que una proposicion falsa

«afirma que los hecho s s on distintamente de como son en

realidade'".

La definicion platonicoaristotelica de verdad quedara asu-

mida por la logica moderna. En el capitulo 2 tendremos

ocasion de ver como constituye el concepto clave de toda la

10 ARIST6TEL ES , Meta/isi ca, T 7 , 101 1 t>, 2 6-27.

11 PLAT6N, Cr ati/o, 3 8 5 b y EI SO/ i sla, 263 , a, b.

19.1

1"--



1

teoria moderna del s ignificado, tras l a rigurosa version materna-

tica que Ie diera en nuestro siglo el logico polaco Alf red Tarski.

Establecida una definicion Iogica adecuada para el con-

cepto de verda d, en el marco de Ia argumentacion cientlfica,

los filosofos griegos sometieron a un analisis muy fino deter-rninadas caracteristicas de tal nocion. Por ejemplo, plantearon

10 que los rnodernos denominarian «problema de la validez»:

l.cuantos son los posibles estados de verdad de una proposi-

cio n? D e otra forma, l.una proposicion es siempre definida-

mente verdadera 0 definidamente falsa, 0 caben tal vez otros

posibles casos alternativos? La cuestion se e studiab a en el

De Interpretatione de Aristoteles. EI e jemplo, discutido por elEstagirit a, c onsidera el problema de los Ilamados «futuros

contingentes». l,Tiene sentido, se pregunta Aristoteles, afirmar

que una proposicion del tipo «manana aqui se librara una

batalla naval» es verdadera 0 falsa?

Este pasaje del De Interpretatione origino una celebre po-lcmica historicgrafica, incoada en los alios veinte por el logicopolaco Jan Lukasiewicz. En opinion de Lukasiewicz, Aristo-

teles es e l padre de las modernas lcgicas polivalentes, por

cuanto pare ce sugerir l a p osibilid ad d e un tercer valo r d e

verdad junto a verdadero y a falso. Algunos comentaristas de

Aristoteles juzgaron que la interpretacion de L ukasiewicz

«violentaba» la posicion del filosof o griego en nombre de la

logica moderna. A otros, ese e jemplo l es sirvio de punto de

apoyo para poner en tela de juicio la legitimidad del uso d e ins-

trumentos logicos formales en el estudio de cuestiones de

caracter filologico, Actualmente la polemica ha perdido hierro,

reconociendose que Aristoteles por 1 0 menos pla nt eo el pro-

blema de la polivalencia. Dentr o de c iertos limites, puedesostenerse incluso que el texto aristotelico sugiere una «situa-

cion logics» bastante interesante, objeto de estudio unica-

mente en nuestros dias en el am bi to de la s denominadas

logicas non standar d. A saber, una situacion en la que, mien-

tras por u n lado vige el principio del tercio excluso (a 0 no-a),

al mismo tiempo se admite la po sibilidad de que determinadas

20

proposiciones no sean ni definidamente v erdaderas ni defini-

damente f alsas. Desde un punto de vista filologico resultaria

InUY aventurado atribuir al propio Arist6teles Ia consciencia

de una propuesta semejante; incluso si fue ra solo por que,

segun es sabido, Aristotelcs no tenia una teorf a de las conec-tivas y por ende no podia distinguir netamente el principio

del tercio excluso (a 0 no-a) de la afirmacion metateoric a del

principio de la bivalencia (a es verdadera 0 bien a es f alsa).

Otra importante contribucion semantica por parte de los

griegos fue la propuesta, avanzada por la escuela estoica, de

una teoria del significado en el que quedan claramente dis-

tinguidos los dos aspectos del mismo que los modernos deno-

minarian extension e intension. Como se desprende del testi-

monio del propio Sexto Ernpirico=:

«los estoicos sostienen que s o n tres las cosas que van conexas: 10 que

cs significado, Io que significa y, por ultimo, el ob jeto. Lo que significa

cs un discurso, por ejemplo, «Dion»; 10 que e s significado es aquelloque viene expresado y q ue nosotros comprendemos con nuestro pensa-

miento, pero no los barbaros, por mas que cyen la misma paiabra. Por

ultimo, el ob jeto es aqueUo que existe externamente, en este caso el mi smo

Di6n. De estos tres elementos, hay dos que son corporeos: el discurso

y el objeto, en tanto que la cosa significada, es decir, ct ·AE:x't'6v·... es

i ncorporea».

Obviamente, el objeto corresponde a l o que hoy llamamose xtension en el sentido de r eferenda concreta de un complejo

de signos; en tanto que el « A E X " t'O V » corresponde a la in ten-

sion, es decir, al concepto que el discurso expresa.

Por 10 que se refiere a nuestra tercera clase de problemas,

es bien sabido que los griegos descubrieron numerosas para-

dojas Iogicas. La mas significativa de las cuales, por las pro-f undas e imprevisibles c onsecuencias que tUYOen el desarrollo

de la historia de la Iogica, la denominada «paradoja del men-tiroso»: Ia persona que afirma «miento» provoca una con-

tradiccion al mentir si y solo si dice la verdad. Atribuida a

11 SEXTO EMPIRICO, Adversus Mat hematicos, viii. 11. 12.

21



Eubulides de Mileto (perteneciente a Ja escuela megarica), la

paradoja en cuesti6n tuvo una historia harto curiosa; durante

sigJos fue objeto de analisis y discusiones de todo genero. Sin

embargo, al parecer, una solucion definitiva s610 se propon-

dria en nuestro siglo a traves de la formalizacion de los len-gua jes: mediante una rigurosa distincion entre los diversos

niveles li nguisticos (el lenguaje-ob jeto y el met alenguaj e y parece

posible en primer a i nstancia refutar por «mal construidas»

I (y p or tanto como «inexistentesi en el ambito de los l engua jes

\

f ormales) las expresiones que impliquen ciertas form as de

aut orr e f er enci a; estas f ormas son caracteristicas de la parado ja

del mentiroso y otras analogas, No obstante, como s e vera

en l os capitulos segundo y tercero, la evolucion de lalogica demostrara de un modo imprevisible como, a deter-

minado nivel muy fino de f orrnalizacion, se reproducen inevi-

tablemente formas fuertes de autorreferencia sumamente pare-

cidas a la situacion logica manifestada por la antinomia del

mentiroso. A diferencia del caso intuitivo, observaremos aqui

que ya no se obtendran contraindicaciones p ur as y simples,

sino informaciones positivas que poseeran la forma de teore-

mas limitativos.

F"_En 10 que concierne ala cuarta clase de problemas, limi-

temonos a recordar el caso tal vez mas significative, represen-

tado por el concepto de «infinite». Los griegos plantearon con

meridiana claridad una contraposicion entre dos concepciones

opuestas de infinito, destin ada a desempefiar un papel-cJave

en la problematica moderna en torno a los fundamentos de

Ja matematica: se trata de la concepcion pot encial y act ual

de infinito. Con sus f amosas paradojas Zenon de Elea puso

en evidencia las profundas dificultades de una concepcionactual de infinito, que entiende 10 infinito como un tod o cons-

tituido por una multiplicidad de elementos ultimos distintos.

Los argumentos de Zenon contra la pluralidad impugnanla posibilidad de que un ente geometrico, tal un segmento,

se halle constituido por infinitos elementos ultimos. En efecto,

supuesto que los elementos ultimos carecen de magnitud, el

22

scgmento en su integridad deberia resultar nulo; por contra,

si los elementos tuvieran una magnitud no nula, el segmento

en su integridad deberia resultar infinitamente grande.

Los argnmentos contra el movimiento (por ejemplo, la

«c1icotomia»y «Aquiles y la tortuga») originan una situacionl6gica que, con la perspectiva de la modern a filosofia de la

matematica, pudiera interpretarse asl:

si el infinito es actual, entone es el movimiento es imposible.

En efecto (nos hallamos en el argumento de l a dicotomia):

supongamos que queremos recorrer cierto segmento; antes de

haberlo recorrido todo, deberemos haber recorrido su mitad,

y, por consiguiente, la mitad de la mitad, y as! en adelante.

Para llegar al final necesitariamo s u n tiempo infinitamente

largo. La propuesta de una concepcion potencial del infinito,

avanzada por Aristoteles como resolutiva f rente a las para-

do jas de Zenon, puede entenderse como obtenida par contra-

pos icio n en el enunciado de arriba: el movimiento es posible,

luego el infinito no es actual.La concepcion aristotelica de infinito, en el sentido de

«indefinida posibilidad de dividir» constituira el fundamento

del calculo infinitesimal moderno destinado, entre otras cosas,

a representar el instrumento matematico de la cinematica

clasica. En tal contexto teorico se hara posible no ya demos-

trar que Aquiles pued e veneer a la tortuga, sino, tambien,

calcular el instante exacto en que la supera, conocidas las

velocidades respectivas de los dos concurrentes.

Las dificultades sacadas a la luz por Zenon volveran a

cscena cu ando (segun veremos en el capitulo 4) en la segnndarnitad del siglo XIX replantee Georg Cantor una concepcion

actual del infinito matematico: se propondra entonces el pro-

blema de si las paradojas de Zenon se recomponen 0 no

dentro de la teoria de conjuntos cantoriana. No habra mayor

dificultad en reconoeer que, en el nuevo contexto, los argu-

mentos contra el movimiento no originan contradicciones. En

23



efecto, un principio caracteri st ico d e la teoria de conjuntos

explici ta que un conjunto infinito (a diferenci a de 10 que

ocurre can los conjun tos finitos) puede ponerse siempre en

correspondencia biunivoca con cualquie ra de sus parte s pro-

pias, En consecuencia, un intervalo de tiempo dado, entendidoc omo infinidad actual de insta nt es, pue de ponerse en corres-

pondencia biunivoc a 10 mismo con un segmento del recorrido,

entendido como infinidad actual de puntos, como can una

parte propia suya. De a hi que sea posible, inclusive en el

mismo ambito de una concepcion actual del infinite, que e n

el intervalo de tiempo que dura por e je mplo un minuto,

Aquiles re corra 10 met ros, e n t anto que en el mismo lapso

Ia tortuga solo a lc ance medio metro.

Mas critico aparece, por cont ra, el caso de los argumentos

«de tipo metrico», contra la plurali dad . S e trat a de justificar

Ia compatibilid ad en tr e l as condiciones siguientes:

I) un segmento esta constituid o po r una infinidad (actual)

de puntos ;

2) t odo intervalo degenerado (constituido por un solo

punto) del segmento tiene longitud nula ;

3) la reunion (tal c omo se enti ende e n t eori a gene ra l de

con junt os) de todos los interval os degenerados del seg-

menta coincide can el segmento;

4) el segmento cs un intervalo de longitud no nula.

Si acordamos que una operacion de suma aritmetica se

defina e n e l conjunto (infinit e) d e las longitudes (todas nulas)

de los intervalos degenerados, obtendremos una contradiccion:

efectivamente, nuestro segmento habria de tener a un tiempolongitud nula y no n ul a. U na p o sible via de solucion viene

representada por la hipotesis de que las sumas infinit as de

este tipo sean simplemente indefinid as. Tratase, sin embargo,

de u na cuestion harte delicada que involucra a la moderna

teoria maternatica de la medida y q ue, incluso en nuestros

d ia s, n o puede decirse que se halle definitivamente resuelta.

24

En cierto sentido result a v er da d que las paradojas de Zenon

constituyen todavia fuente de problemas".

2. L a I 6 g i cam e die val

Caracteristica peculiar de l a logica medieval es s u pro-

lunda dependenci a de una e st ruc tura l ingiiistica particular, la

de la lengua latina, a me n de la metaf f s ica y l a t eologia. Por

cuya razon se Ia ha a proximado a una sinta xis y sernantica

de un lenguaje natural determinado, el latin, mas que a u na

logi ca al u so en nuestros dias. En el ambito de est e plantea-

rnien to f undamental, los medievales elaboraron, no obstante,

Iinfsimos analisis logicos, cuyo interes escuetamente cientifico

ha sido par largo tiempo inf ravalo rad o, y s olo recientemente

ha s a li do a l uz gracias a la historiografia abierta a la cultura

logicomatematica-s.

P or 1 0 q ue s e refiere a l a p roble rnat ic a de l a i nferencia,los medievales consiguieron armonizar las d os t radiciones

aristotelica y megarico-estoic a, rec onst ruye ndo l a logica pro-

posi ci onal que se presupone e n la t eoria del silogi smo. El

result ado global es una f orma de logica que comprende una

parte substancial de la moderna logica sentencial y la logica

de los predicados monadicos".

J un to a un analisis veritativo-funcional d e l as conectivas

(que vim os se encontraba ya en la kigica megarico-estoica),

13 Para una dls cusion de las paradojas de Zenon a la Iuz de la ciencia

modema vease A. GRUENBAUM, Modern Science and Zeno's Paradoxes, Mid-

dletown, Connecticut. 1967.

II De los filosofos medievales que S0 significaro n d cs de u n pu nt a d e vista

16gico hay que recordar: Pedro Abela rd o ( 1079-1142); Guillermo de Shyres-

wood (1200/1210-1266/1271); Ramon Llull (1235-1315 ); Juan Duns Scoto

(1266-1308); c\ an6nim o a ut or d e I n Universam Logicam Quaestiones, quien,

habiendo sido confundido en un principia con Duns Scoto, se Ie llam6 pes-

lcriormente «Pseudo Scoto»: Guillermo de Ockham (1295-1349).

1~ Algunas leyes logico-proposi cionales serlan mAs tarde redescubiertas

ell eI siglc XIX, asociandos elas hoy a autores modernos: tal es el e jemplo de

las famosas leyes denominadas «de M or ga n» , c onocidas ya por el Ps eudo

Scoto'fyTOckham.

25



los medievales plantearon tambien una teorla elaborada de la

cuantiflcacion. Esta teorfa se presenta, en perf ecta coherencia

con el planteamiento m edieval, como un estudio del compor-

tamiento logico de determinados pronombres latinos (omnis,

quidam, nemo, etc.). En el marco de ese l engua je se d escribenalgunas leyes fundamentales relativas a los cuant ificadores:

por e jemplo, las relaciones de interdefinibilidad entre el cuan-

tifica dor exi stencial y el cuantifica dor univer sal (< <al gu nos» )

equivale a « no todos no» y, dualmente, «todos» equivale

a «no algunos no»); asl como las leyes sobre el cambio de

cuantificadores (mientras que de la proposicion «a / guien esta

en una relaci6n dada con todos» se puede inferir «t od os estan

en aqueIla relaci6n con alguien», Ia relacion inversa en ge-

neral no vale)l6

Un argumento que ha sido objeto de estudio particularmente

profundo es la teorla de la implicaci6n (cconsequentia s s egun

la terminologia medieval), que se debe sobre todo al Pseudo

Scot o y a Ockham. Reasumiendo el debate, que vimos co-

menzara en la escuela megarico-estoica, sobre la naturaleza

de las proposiciones condicionales, los medievales elaboraron

muy finas clasificaciones de los distintos tipos de implicaci6n,sacando a luz incluso los que hoy denominamos «parado jas

de la implicacion». Verbigracia, Ockham cita como parad6-

jicas las consequentiae que resultan validas solo por necesidad

del consecuente 0 por imposibilid ad del antecedente, sin esta-

blecer por 10 demas una relacion de conexi6n entre antecedente

y consecuente (es el caso, dice Ockham, de los condicionales

«si un hombre corre entonees Dios existe», 0 bien, «si un

hombre es un mono entonees Dies no existe»), Las conse-

quent iae de este tipo se JJamaron materiales en contraposici6na las consequentiae formales, que son aqueJJas que establecen

una conexi6n de significado entre antecedente y consecuente."

18 En el slmbollsmo moderuo: 3Y 't xa - )-'v' x 3 ya (p er o no el inverso

't:;f X 3 ya .... 3 Y \f xa ) es una ley 16gica.

17 Segun otros autores la contraposici6n conseonemt ae mat eriales y f or-

males tiene un significado dlstinro.

26

Adviertase que la idea medieval de cons equent ia mater ia-

1 1 . 1 ' 110corresponde en general con la idea moderna de impli-

~11"i611material (ni por tanto co n la implicaci6n de Filon):

pura los modern as, un condicional con consecuente siempre

vcrdadero ( necesario ) 0 b ien c on antecedente si empre f also

[lmposible } determina tam bien una implicaci6n estricta.

En el ambito de la teoria de las consequentiae, se codifi-

cnron numerosos e importantes principios relativos al concepto

de i mplicacion. Entre eUos el p rincipia , e n primera instancia de

curacter antiintuitivo y en conexion can las parado jas de las

ronscquent iae mater ial es, segun el cual «ex absurdo sequitur

quodlibet». Propuesto por vez primera por el Pseudo Scoto,

cliche principio pasara a la historia c omo «ley de Duns

Scoto»: como veremos en e l capitulo 1, en la version «una

contradiccion implica cualquier proposicion» (si a y no-a en-

ronce s {J) ese llegara a ser, en la logica moderna, una ley

discriminante destinada a separar importantes clases de logicasdistintas,

Se ha observado que una caracteristica de la logica me-

dieval es su planteamiento netamente metalingiiist ico, Lo que

nosotros llamamo s h oy «leyes logicas» se presentan casi siem-

pre en forma de esquemas de inf erencia (de l a p remisa a

sequitur la conclusion /3 ) precisadas con frecuencia mediante

"I empleo de las categorias modales. Halla mo s aqui, por

tunto, 1 0 que podriamos denominar una «rnetateorla sintactica

cxpresada en un lenguaje modal». Entre otras cosas, a los

logicos medievales debemos un desarrollo sistematico de la

tcoria de las modalidades, que representaba el grueso de la

novedad de la 16gica neoaristotelica (Ja teoria de los silo-

gismos modales, desarrollada en los Analitici Primi, conteniaclcctivamcnte algunos errores notorios de caract er tecnico).

/I este proposito resulta significativo que hayan sido objeto

de es tudio no solo los operadores modales tradicionales «me-

ccsario», «posible», «contingente», etc.), sino tambien opera-

dores de tipo temporal (esiempre», «toda vez») 0 e pist emico

(<<essabido», «creese», etc.) que, como veremos en el capi-

27

1"-



tulo 3, s610 en tiempos muy proximos a nosotros entraran

sistematicarnente en la problematica logico-rnatematica. Los

medievales fueron conscientes tambien de lo que l os modernos

Ilamaran «paradojas de las modalidades (0 de los contextos

intensionales)», debidas a la aplicacion del principio d e «subs-titucion de los identicos: en el ambito de las proposiciones

modales. Segun u n e jemplo significativo de Buridan: supon-

gamos que tu desconoces cuantas monedas tengo en mi bol-

siUo, y que valga «el numero de monedas de mi bolsillo es 2».

Puesto que vale «2 es pa r», y «tu sabes que 2 es par», debiera

entonces valer: «tt l sabes que el mimero de monedas que

tengo en mi bolsillo es par». La cual es, evidentemente, absurdo.

Por 10 que se refiere a problemas de tipo semantico, se

elaboro una muy fina teoria del s ignificado. EI establecimiento

de la distincion fundamental entre suppositio y significatio de

los terminos es, dentro de ciertos lfmites, muy afin a la dis-

tincion estoica entre objeto y A S X .-r O V (y por ende, en cierta

medida, anticipa Ia distincion moderna entre extension e in -

t ension). No obstante, y a pesar de poseer muchos caracteres

de 10 que hoy llamariamos una semdntica extensional, Ia teoria

de la suppositio se presenta en concreto como mucho mas

c o m pJeja y articulada, al incluir argumentos de distinta indole

de caracter 16gico y metafisico.

Desde el punto de vista moderno, resulta particularmente

significativa Ia distincion entre suppositio formalis y supposltio

mat erialis. La primera involucra la idea moderna de uso, Ia

segunda, la de mencion de un comple jo de signos. Dos casos

significativos, citados por Guillermo de Shyreswood como

ejemplos respectivos de suppositio formalis y suppositio mate-

rialis, son los siguientes: «homo currit», «homo est disylla-bus». E n el primer caso, el termino «homo» tiene una refe-

rencia concreta (cabalmente una suppositio) distinta del mismo

termin o ( que por tanto viene usado para expresar otro); en

el segundo caso «homo» se r efiere a sf mismo en cuanto

termino (de a hi q ue entonces venga mencionado). Por vez

primera en la historia de la l6gica se alcanza de este modo

28

una conciencia clara de la necesidad de distinguir entre dife-

rcntes niveles linguisticos, Resulta interesante que Ockham

usumiera como propia esa distincion linguistica y pueda cons-

tituir el instrumento de solucion para la famosa paradoja del

mcntiroso. Mas surgia una seria dificultad por c uanto notodas las formulaciones conocidas de la antinomia parecian

l!1I primera linea solubles a traves de esta via. La disputa en

t orno al caso del mentir os o n o s e c onsideraba por tanto

conclusa.

A diferencia de la griega, la logica medieval no posee

much as conexi ones con Ia matematica, a pesar de haber des-

urrollado un analisis logico-filosofico para algunos conceptos

Iundamentales que afectan a esta ciencia. En lo referente al

concept o c ri tico de «infinite» sue1e predominar Ia concepcion

uristotelica de infinite potencial. Particularmcnte significativa

uparece, sin embargo, en este clima cultural, Ia posicion de

Ockham, quien propuso aceptar ciertas caracteristicas, de

Indole supuestamente paradojica, del concepto de infinito,

vcrbigracia : el principio que sostiene que la «parte puede ser

igual al todo»l8. Se trata de una anticipacion genial de la

t coria del infinito actual que, como es s abido , n o se vera

conf irrnada hasta la segunda mitad del siglo pasado por losmatematicos estudiosos de Ia te or ia de c onjuntos.

1. Lei b n i z y I a 16 g i c am a t e m a t ic a moderna

EI e nfasis logico-matematico que descubrimos en el Me-

dievo continua y se incrementa durante el Renacimiento. En

III cpoca que asiste al nacimiento de la ciencia modema, eI

destine de Ja logica aboca, por contra, a una creciente asimi-

lucien d e la misma por parte de la ret6rica. Lo cual produce

unturalmente una situacion de anquilosamiento esterilizante

de las investigaciones logicas: la silogistica aparece como un

cuerpo acabado y clauso (que nada tiene que ver con su per-

I . Cf. Centllaquium Tlzeofogicum, 17 C; Quodlibeta Septem, I, q. 9.

29



feccion, desde el punto de vista de una sistematizacion rigu-

- -) rosa), de interes languidecente. La logica y la matematica

siguen caminos dispares. Causa, y a l propio tiempo efecto,

de tal disparidad 0 divergencia es la restriccion Iinguf st ic a de

Ja l 6gica tradicional, limitada, como se ha visto, al analisisde la estructura sujeto-predicado de las proposiciones, en

tant o q ue el lengua je de las nuevas ciencias es esencialmente

-.....) relacional. En ese clima cultural resulta significativo que

algunos creadores de las nuevas teorias matematicas, t al Des-

cartes (inventor de la geometria analitica), sostengan una idea

de l a l ogi ca m uy alejada de la logica formal: las reglas de

Descartes representa .n v agos principios de caracter intuitivo,

co n m uy pocas conexiones con la ciencia de l a Iogica'",

EI divorcio logica-ciencia se interrumpira unicamente con

Leibniz (1646-1716). Pero el «Leibniz logi co» pasara desaper-

cibido hasta f in ales del siglo diecinueve-"; la «fortuna: filo-

sofica de Leibniz i ra pare ja con su metaff si ca , e n ta nt o que

su e xi to matematico corre ra i ndisolubl e a l a c reac ion del

calculo infinitesimal.

En nuestra epoca se h a definido a Leibniz como «fundador

de la logica matematica». Sin embargo, como ha sido justa-

mente observa do , n o se t ra ta tanto del «primer logico mate-

matico moderno» cuanto, con mayor razon, de un genial

anticipador del espfritu de la moderna cien ci a d e l a l ogica.

La idea central de la Iogica leibniziana es la de un calculo

logico, mas general que los mismos calculos matematicos,

que aparecen ligados al concepto de «cantidad». Dicho calculo,

y el lo es sumamente importante, puede ser susceptible de

int erpret aciones diversas. Con esta idea, Leibniz no solo anti-

19 Por supuest o que tarnb ie n se dan excepciones en el marc o d e la misma

tradici6n cartesiana. Y asl, por e jemplo, se debe a Pascal la propuesta de una

idea de axiomatizacion de las teorf as matematicas muy pr6ximas al plantea-miento moderno.

20 EI redescubrimicnto de las obras logicas de Leibniz se debe a Couturat

y a Russell. Vease L. COUTURAT, O puscuie s e t fragments ined it s d e Leibniz,

Paris 1903; B. RUSSELL, A Crit ical Exposition of t he Philosophy of Leibniz, Lon-

dres 1900.

30

\ \ lplL paladinamente l a n oc ion moderna de calculo logico, sino

1 J 1 l~ . udcmas, en el preciso momento en q ue f un da l a m as

lmpnrta nt e teoria matematica «de tipo concreto» (el calculo

[ntlnitcsimal), entrevc la posibilidad de un planteamiento ma-

Il'lIlillico alternativo, que solo Ilegara a imponerse en la se-~Illl(la mitad del siglo XIX: a saber, una matematica «de tipo

lillsl ructo», no ligada necesariamente a la cantidad, e n l a que

turn tcoria puede describir, en general, una multiplicidad de

cst ruct uras diversas, incluso muy heterogeneas entre S 1 .

EI c oncepto de calculo, para Leibniz, se encuentra honda-

men te relacionado con otras dos ideas fundamentales:

I) Ia constitucion de un lenguaje universal (characteristica

universa/is) ;

2) la posibilidad de mecanizacion de todo tipo de razona-

miento (a traves del ars combinatorial.

La primera idea, dentro de ciertos limites, a nn ci pa l os

modernos lenguajes artificiales. No d eb e p as ar p or al to e l

q IIC, en este contexto, Leibniz concibiera asimismo Ia posibi-

Iidad de 10 que hoy llamamos aritmetizacion de los lenguajes

quc , segun tendremos ocasi on de ver e n l os c a pi tulos 1 y 2,

III logica moderna empleara para la demostracion de algunos

teoremas fundamentales. Leibniz se da c uenta de que, una

vez analizados l os discursos en ideas simples e ideas com-

puestas, siempre se puede representa r, de modo significante,

todo discurso con un numero, para 10 cual basta con asociar

1 1 umeros naturales a las ideas simples y, por consiguiente,

rcpresentar toda idea c ompuesta (mediante ciertas ideas sim-ples) como un producto de ruimeros primos cuyos exponentes

scan los mimeros asociados a las ideas simples que integran

la idea compuesta.

Parejamente, la se gunda i de a l ei bniz ia na (por l a que e l

Iilosofo aleman se declara deudor de Lullo y Hobbes) desem-

peiiara un pa pe l funda menta l e n la Iogic a mode rna: e l idea l

31



del calculemus+ y la esperanza de hallar un algoritmo capaz

de resolver de modo mecanico cualquier problema materna-

tico, 0 incluso cualquier problema racional, volvera en n uestro

siglo. Como tendremos ocasion de ver, la logica moderna

demostrara los limitcs d entro de los cuales tal programa puederealizarse ; individuando clases de problemas que (en relacion

con ciertos contextos teoricos) son solubles de modo mecanico,

y otros que, par contra, resultan insolubles.

EI calculo Iogico que elaborara Leibniz se presenta como

un «calculo de conceptos», muy proximo f ormalmente al mo-derno «caiculo d e clases»; incluye asimismo como fundamen-

tal una teoria muy rigurosa sobre la relacion de identidad.

Semejante calculo leibniziano, sin embargo, no puede asimi-

large sin mas a un calculo de clases, ya que L eibniz se preocupa

pa r d ade al propio tiempo una interpretacion extensional e

intensional; es mas, desde un punta de vista filosofico, para

61 prevalece Ia interpretacion intensional. La presencia de esta

doble interpretacion crea algunos problemas. Por e jemplo,

una proposicion universal afirmativa como «todos los hom-

bres son rnortaJes», si la interpretamos extensionalmente sig-

nifica «la clase de los hombres estit incluida en la clase de

los mortales»; dentro de una interpretacion intensional viene

a decir «la propiedad "mortal" se halla incluida (contenida)

en la propiedad "hombre"». Y esta inversion de la relacion

de inclusion en el caso extensional e intensional origina ciertas

dificultades tecnicas. Par otra parte , Leibniz, a pesar de su

adscripcion «intensionalista» por motivos filosoficos, se en-

cuentra atraido, desde una perspectiva matematica, par la

sencillez de la interpretacion extensional asf como par SD

comcda representabilidad geometrlcav.

21 «Cuando s ur jan controversias no habra necesidad de dis putaa, al Igual

que no las hay entre dos contadores. Bastara con tomar 1a p lume, sentarse

ante el abaco y decirsc rccfprocamentc: [calculcmosl».

22 Las clases pueden representarse como figuras en el plano, de forma

que 1a rclacion de inclus ion entre clases pueda vlsualizarse sobre esa base.

La tecnlca de 1a representacion geometrica de la «logica de clases» se estu-

diana de forma sistematica por Euler.

32

La contraposicion extension-intension es un problema pal-

pitante en la logica de Leibniz (a quien se debe ademas la

acufiacion de la misma terminologia «extension-intension»).

Resulta significativo que hubiera planteado el problema demanera muy afin a como, dos siglos mas tarde, 10 planteara

Frege, a saber, en estrecha conexion con la cuestion del sig-

nificado de la identidad. La idea es que cuando se afirma« A = B » se hallan en juego tres pIanos distintos: el plano

de los signos, el de los conceptos expresados (intensiones) y

el de la s ref erencias concretas (extensiones). La identidad que

se pretende sostener cuando se asevera «A = B» subsiste en-tre las ext ensiones (no asi entre las int ensiones, ni mucho

menos entre los signos); de otra f orma, cualquier afirrnacion

de identidad se reduciria a la f orma trivial «A = A» .

En el cuadra de ese 'planteamiento, no obstante, brota

una grave dificultad que, con ciertas limitaciones (segun se

vio) habia sido atisbada ya por los logicos medievales, y queconstituira el punto de arranque de la teoria del significado

de Frege. La dificultad considera la sustit uibilid ad de los id en-

ficas en cualquier contexto.En ef ecto, la definicion leibniziana de identidad se halla

representada por el celebre principio «de identidad de los

indisccrniblcs» :

«4 = B significat A et B esse id em, seu ubique sibi posse

substituie'".

No obstante, Leibniz advierte que la substitucion de los iden-

ticos no siempre es correcta. De ahi que afi ada a continuacion :

23 L. COUTURAT, op, c it ., p. 261. Mediante el si mbollsmo modern o p odemos

tmducir de f orma adecuada esta definicion en el ambito de una «Iogica de

segundo ordcn»:

x =Y ='fj P(Px~pY)df

(por definicion, dos individuos son identlcos cuando ticnen las mismas pro-

nicdades , es decir, el primer individuo goza de una propiedad generica si y

11610si goza de e lla el segundo).

33

:l. Dal!a Chiara.



«Nisi prohibeatur, quod fit in iis, ubi terminus aliquis certo respectu

considcrari declaratur, ver. g. Iicet trilaterum et triangulum sunt idem,

tamen si dicas triangulum, quatenus tale, habet 1 80 gradus, non potest

substitui trilaterum. Est in eo aliquid materiale».

He aqui meridianamente la conciencia de una distincion

entre 10 que los modernos daran en Hamar context os exten-

si onales y cont e xt os intensionales: en tanto que en el primer

caso el principio de substitucion sie mpre es Iicito, en el se-

gundo caso puede conducir a falacias. La proposi ci 6n «Todo

trilatero es un triangulo, y todo triangulo es un trilatero» es

un e jempl o de contexto extensional; mientras que la propo-

sicion «Un t riangulo, en cuanto tal , tiene 1 80 grados» es un

e jemplo de context o i nt ensional. Leibniz parece aproximarse

aqui a la idea (que luego apoyaria a sabiendas Frege) segun

la cual e n e l caso de una proposic ion i nt ensi onal c omo «Un

triangulo, ell cuanto tal, tiene 180 grades», Ia extension del

termino «triangulo» no es la usual. Efectivamente, Leibnizcompara e sta s ituacion 16gica can un caso de supposit i o mate-

rialis (est in eo aliquid mat eriale), en la que ocurre justamente

que un termino signi fi que a lgo distinto respe ct o a lo que

significa habitualmente.

Un pro blema muy importante, y para ciertos puntos

abierto todavia (no obstante haber sido objeto de analisis

por varios estudiosos), refierese a l a prese nc ia e n l a 16gic a

ieibniziana de una teoria de las relaciones.

Durante mucho tiempo, la tendencia dominante entre lo s

historiadores fue la de ne gar a la logica de Leibn iz u na d i-

mension relacional, considerada incompatible con su plan-

teamiento meta fi sico, segun el cual la condicion necesaria

y suficiente para q ue u na proposicion sea verdadera estriba

e n que «praedicatum inest subjectr» •. Por consiguiente, la

estructura sujeto-predicado de las proposiciones debiera serabsoluta me nt e f undamental, y cualqui er o tro tipo de e struc-

tura, en ultimo analisis, reductible a esta. Tal interpretacion

viene avalada por la autoridad de Russell, para quien Leibniz,

aun reconociendo la existencia de proposiciones relacionales,

34

1I1i1hltlrlu no obstante a las r elaciones un valor «puramente

1 1 1 1 , " 1 > • • una suerte de «acciden te d el espiritu q ue contempla

III Ielncior» •. Sin embargo, recientemente, l a tesis russelliana

111 1 .11 Io subvertida poniendose en e vi de ncia que en Leibniz

1It1.1 1 1 0 se encuentra una logica de relacione s, sino que e ste

II~ NIIIIconsiderarla mas fundamental que la 16gica de estructura

IIIIUlo"predicado; por cuanto se identific a c on la misma logica

JI~ I)ius". De cualquier forma, el proble ma t ecnico y filol6gico

1 1 1 . 1 tina reconstrucci6n de la 16gica d e relaciones, conocida

t,rl'clivamente por Leibniz, se h al la t od av ia en gran parte

nblerto.

1\ pesar de alguna excepcion significativa, el desarrollo de

III logica matematica realiza, tras la muerte de Leibniz, un

HIlIIOde mas de un si gl o. EI afio 1847, con la publicaci6n

Hllllllllitnea de la obra Formal Logic, de Augustus De Morgan,

y 'I1,e M athematical Anal ysis of Logic, de George Boole, sella

1 ,1 u cta de nacimiento oficial de l a 16gica moderna.Apenas si nos detendremos, en esta «I ntroduccion», en los

contenidos de las investigaciones logicas del siglo XIX, que,

l'lI muchos casas, constituiran parte integrante de los argu-

1I1CIltOS tratados en los capitulos subsiguientes.

A titulo de mera orientacion historica nos limitaremos

nqui a esbozar esquematicarnente las principales corrientes

que sal en a la escena de la 16gica decimon6nica.

I) Corriente algebrico-logica (fi/one algebrico-logico )25, na-

cida en Inglaterra y desarrolla da p osteriormente e n Ale ma ni a

y Estados Unidos, cuya fundamental perspectiva es la elabo-

racion de cdlculos abstractos, que sea n susceptibles de inter-

pretac ione s diversas, tanto logicas como matematicas, Desde

140 A este respecto veasc, por e jemplo, M. MUGNAI, «Bertrand Russell c

il problema d elle rclazioni in Leibniz. Nota critica alla 'Bsposizicne criticadella Filosofia di Leibnlz'», en c urso de publlcacion en Rtvista d i Ftloso fta.

u Los principa1esexponentes de esta orientaci6n son los ing leses AugustusDo Morgan (1806-1871) y George Boole (1815-1864); el americana CharlesSanders Peirce (1839-1914) y e1 aleman Ernst Schroder (1841-1902).

35



tado de construcciones ment ales humanas. Por tanto , e l prin-

cipal problema estriba en just ificar el cuerpo de las teorias

matematicas como fruto de un tal comple jo de construcciones

mentales. Se topa con la objecion que representa el hecho

de que no toda la matematica, hist6ricamente elaborada,

parece poder justificarse sobre esta base. EI propio analisis

infinitesimal (por no hablar d e la teoria cantoria na de c on-

juntos) apela esencialmente a hipotesis de caracter metafisico,

como si los entes matematicos existieran independientemente

de n080tr08 en un mundo supraceleste, y no fueran, por c on-

tra, resultado de las c onstrucciones de nuestro pensamiento.

Se trata consiguientemente de acotar cudl sea la matematica

que admite una justificacion filosofic a d e tipo constructivo.

Sobre este problema no existe una respuesta unfvoca por

parte de todas las direcciones constructivistas. Por ejemplo,

segiin el fil6sofo y matematic o f rances Henri Poincare, el

principal «pecado metaf isico» de los matematicos clasicos f ue

usaf, en ciert as circunstancias, definiciones impredicat ivas, asaber, definiciones en las que un e ute matematico se define

mediante una referencia esencial a la totali da d a la que el

mismo pertenece. Ahora bien, seme jante actividad definitoria

sera no circular unicament e en la hipotesis metafisica de que

los entes matematicos existan independientemente de nuestro

pensamiento. Esta idea de Poincare (que, por 10 demas, el

fil6sofo f rances no llegaria a desarrollar en todas sus conse-

cuencias) constituye el fundamento de la direcci6n denominada predicativlstica.

Segiin Jan Luitzen Egbertus B rouwer (1881-1966), funda-

d or d e l a d irecci6n intuicionista, la responsabilid ad d e la s

hip6tesis metafisicas en matematicas se debe y a al propio

uso de la logica. Por ejemplo, el principio logico del tercioexcluso (que dice que todo ente matematico goza 0 no goza

de determinada propiedad) implica que las propiedades de los

entes matematicos se halla n e stablecidas una vez por todas,

independientemente de nuestras construcciones mentales. La

l6gica intuicionista creada por Brouwer y, como tendremos

3 8

ocasion de ver, desarrollada en nuestro siglo tambien por

otros autores, exime justamente de la funci6n de constituir

fa logica adecuada en el marco de una concepcion construe-

tiva de la matematica,

Tengase presente que las distintas orientaciones construe-

tivistas dan origen a cuerpos de teorias matematicas diferentes.

Nos enf rentamos as! con la curiosa situaci6n e n que asumir

una determinada hip6tesis filosofica parece ser determinante

del tipo de matematica que se produce.

IV) La corriente axionuuico-formallstica (filone assiomatico-

formalistico) s610 manifiesta rasgos ernbrionarios en el siglo XIX .

Y llegara a imponerse en nuestro siglo gracias a las obras delmatematico aleman David Hilbert (1862-1943) y de 'su escuela.

Un mayor perfeccionamiento y sutilizacion del metodo

axiomatico se considera instrumento fundamental de esta

orientaci6n: se consigue p recisar de forma rigurosa la idea

de teorla axiomatica que describiremos minuciosamente en elcapitulo I. Caracterfstica del nuevo planteamiento (respecto

a la axiomatica tradicional) es el abandono del criterio de la

evid encia, tornado como garantia de verdad, por los postula-

dos de una teoria matematica, A tal conclusi6n habia condu-

cido naturalmente la existencia de distintas teorias materna-

tieas alternativas, todas eorrectas en apariencia ; en particular,

la existencia de geometrias diferentes.Brota asi la idea general de que justificar una teoria ma-

tematica puede significar simplemente demostrar su correc-cion formal, es decir, demostrar que la teoria no origina

contradicciones. En tal perspectiva (de manera muy dispar a

10 que ocurre en la perspectiva logicistica 0 constructivistai,

fundamentar la matematica significa, por tanto, reconstruir el tsistema de teorias matematicas historicamente conocidas en .

versi6n de teorias axiomaticas formales y demostrar que se

trata de teorias no eontradictorias. ,

Espontaneamente aflora la siguiente cuesti 6n: l cuales s on

los instrumentos conceptuales con que resulta posible demos-

39



trar la no contradicto ri ed ad d e las teoria s mat ematicas ? En

otros terminos, i ,cual es la t eori a (rnatematica) ca paz de jus-

tificar tales instrumentos? Segun veremos, nos hallamos ante

un problema central del dominio de las investigaciones Iogicas

de nuestro siglo; probl ema que dad lug ar a algunos resul-

tados imprevisibles que pondra n en grave aprieto a las pers-

pectivas de l a direcci6n formalistica.

4. L a I 6 g i c a, hoy

l,Cabe aportar una caracterizacion suficientemente precisa

y sintetica de la Iogica matematica de nuestros dias? Suele

ser de general conocimiento la dificultad de responder con una

definicion a la pregunta «l,en que consiste una determinada

ciencia X?», dificultad que obliga en muchas circunstancias a

adoptar lIanamente la definicion formalment e c ir cula r (que e s

en realidad mas honda de lo que a p ri mera vista pudieraparecer) «La ciencia X es el sujet o d e qu e s e ocupan los in-

vestigadores de X» .

En el caso de la logica, resulta menos dificil que en otras

ciencias poder aportar una caracterizacion general, si bien no

todo 10 precisa que se debiera, de los problemas de que se

ocupa la logica de nuestros dia s. Existe un acuerdo general

por 10 que respecta a un a d efinicion minimal (minimale): la

[logica es el estud io d e la estructura deductiva de las teorias

\ cientificas 0 en cualquier caso de los discursos racionales

t suficientemente rigurosos. A pesar de ser correcta, esa defini-

cion resulta excesivamente restrictiva, al incluir s610 la parte

de la Iogica que hemos dado e n llamar «teoria de la deduccion

( 0 d e l a i nf erencia)». Segun se vio, a 10 largo de la historia

la logica ha i do desernpefiando otros cometidos, que pueden

describirse en sintesis como investigacion de una constitucion

de teorfas rigurosas para determinados conceptos clave, que se

usarian sistematicamente en el ambito de o tras ciencias. En

primer lugar, construccion de teoria s c apace s de suministrar

40

una respuesta satisf actoria al problema de los fundamentos de

la matematica. No se trata tanto de evitar, aplicado a la ma-

tematica, el esquema de definicion circular citado mas arriba,

cuanto, sobre t odo, de partir de la hipote si s de que l a mate-

matica sea el comple jo de teorlas historicamentc elaboradas

p or q uienes se lIamaban matematicos y sobre esa base cons-

tituir una teoria general en la que t odas e sa s t e oria s (0 la

mayoria de elias) admitan una j ustificacion 0 al me nos un

encuadramiento.

EI problema de l os f undame nt os de l a ma te ma tica, si Ibien se ha lIevado historicamente «la parte del leon» en la

problematica logica modern a, no ha sido el unico. Son muy

importantes las investigaciones ordenadas a la clarificacion

de algunos c once ptos que no tienen interes exclusivamente

matematico, verbigracia, el concepto de «procedimiento me-

canico» (al qu e s e ha entregado un s ector de l a logica que

toma el nombre d e «t eo ri a d e la computacion»), En nuestros

dias se hallan en vias de desarrollo aplicaciones de las tecnicaslogicas a ciertos problemas caracteristicos de las ciencias

empiricas.

En lo que hace ref erencia a la logic a e n sentido estricto,

es decir, a la teoria de la deduccion, la his tori a de la misma

ha oscilado entre dos interpretaciones opuestas: una subjeti-

vista, que describe la Iogica c omo «estudio de l as l eyes del

pensamiento», y una interpretacion objetivista, que entiende

por logica « el analisis de la estructura d e las teorias ob jeti-

vamente dadas». Entre lo s s ub jetivistas de may or r elieve

podemos recordar en el siglo XVII a los logicos de Port Royal

y, en el XIX, al gran Iogico-algebrista Boole. La interpretacion

ob jetivista se impuso definitivamente, en la segunda mitad

del siglo pasado, c on la obra de Frege, quien mantuvo una

polemica s istematica frente a toda fo rma de psicolo gi smo en

logic a. En nue st ros dia s, el equilibrio subsistente entre logica

y psicologia es de] siguiente tenor: en tanto que la psicologia

recurre, en determinadas circunstancias, a ciertas tecnicas logi-

cas (tipieo es, por ejemplo, el caso de la psicologia genetical,

41



la Iogica prescinde absolutamente del problema de los pro-

cesos mentales que constituyen el origen de las estructuras

deductivas ob jetivamente dadas. Las mismas posiciones que,

en el ambito de la problematica de los fundamentos de la

maternatica (tal la posicion intuicionista), hacen referencia auna «actividad de la mente», se refieren siempre a un tipo

de «mente» completamente idealizada y abstracta, que tiene

muy p oc o e n comun con la «mente concreta», su je to de e s-

tudio de los psicologos, No obstante, no se excluye que la

posibilidad de afrontar con tecnicas formales rigurosas el

estudio de los procesos geneticos (posibilidad que hoy se

encuentra en mantillas) tenga tales desarrollos en el futuro

que permita a una nueva forma de psicologismo (distinta

por supuesto de la tradicional) integrarse de nuevo en la lrigica.

La teoria de fa inferencia por antonomasia, institucionali-

zada bajo el nombre de logica cldsica, se organize sistemati-

camente, en sus linea s f undamentales, e n un are a de tiempo

que se puede encontrar entre 1879 y 1936. 1879 significa lafecha de publicacion de la Ideografla de Frege y, 1936, el

afio de l a demostracion del teorema de Church sobre la inde-

cidibilidad de la logica de predicados. Un poco simplemente

pudiera decirse que los resultados obtenidos a partir de esa

fecha no supondrian innovaciones substanciale s e n el ambito

de la teoria clasica de la inferencia. Mas en el instante preciso

en que parece haber dado con una teoria trabada de una

manera casi definitiva, surge el gran problema de las logicas

alternativas respecto a la logica clasica: la Iogica clasica lre-

presenta la verdadera teoria de la deducci6n 0, por contra,

pueden existir otras Iogicas tanto 0 mas correctas que lamisma 16gica clasica?

Durante mucho tiempo, la unicidad de la Iogica aparecia

como condici6n necesaria p ara la c omunicaci6n: dos indivi-

duos que pensaran con 16gicas distintas, deciase, podrian en-

tenderse como maximo en determinados puntos aislados, pero

no globaImente. Tales individuos, por otra parte, no podrian

ni siquiera llegar a un acuerdo en una suerte de metateoria

42

comun, por cuanto tambien en esa metateoria c ada uno con-

tinuari a sirviendose de su propia 16gica. A este respecto, un

argumento que e n l a historia de la 16gica y de la filosofiase ha empleado con cierta freeueneia, era del siguiente tenor:

incluso en el momento en que un posible objetor me pro-

pusiera una logica aiternativa, en ese instante estaria realmente

usando mi propia logica, y en razon de 10 cual su propuestase me haria inteligible (asi, por ejemplo, de este tipo fue en

multiples circunstancias Ia argumentacio n d el «no dialectic»

en sus eonfrontaciones can el «dialectico» respeeto a Ia utili-

zacion del principio de no contradiccion),

A lo largo de la historia, la tesis de la unicidad ha ido

casi siempre acompafiada de la tesis del caracter a priori dela logica. Piensese en la posicion de Leibniz y Kant, en los

principios-base del programa logicistico avanzado par Frege

o en la descripcion de la Iogica como comple jo de verdades

analiticas, que propugnara en las decadas de los veinte y l os

treinta Ia Eseuela de Viena. Desde un punto de vista teorico,las dos tesis son en realidad independientes. La logica podia

ser a priori en el sentido, verbigracia , del puro eonvenciona-

Iismo; y e n t al caso habra tantas Iogicas cuantos lenguajes

poseamos. A la inversa, Ia I6giea podria ser (mi ca sin ser a

priori; por e jemplo, en la hipotesis de que sea la experiencia

la que imponga la unica 16gica « justa»,

De hecho, la 16gica matematica fue unica 0 c asi unica

por un largo periodo. Durante b uen a p arte de la primera

mitad del siglo, la Iogica cIasica conocio substancialmente

tres «rivales» de importancia: la 16giea intuieionista que pro-

pusiera en los albores de la centuria el holandes Brouwer,

sistematizada axiomaticamente por otro holandes, Arend Hey-

ting, en los afios treinta: Jas l ogicas mod ales, de rancia tra-

dicion, replanteadas en forma moderna por el ingles Clarence

Irving Lewis a partir de 1912; y, por ultimo, las logicas poli-

valentes, estudiadas sistematicamente por vez primera par eI

polaco Jan Lukasiewicz desde 192D.Esa pluralidad de Icgicas

no clasicas no tuvieron por efeeto inmediato Ia refutacion de

43



la tesis de la unicidad de la Iogica. Las logicas modales, encuanto ampliaci6n de Ia logica clasica, no sup on ian autenticas

propuestas alternativas. La logica intuicionista, en su presen-

tacion originaria (de modo particular en su vertiente brouwe-

riana), se ofrecia como elemento constitutivo de un enfrenta-

miento entre dos concepciones opuestas de la matematica;

dicha situacion no alteraba en el fondo la tesis de l a unicidad,

sino que, por el contrario, ponia sobre el tapete el problema

de la eleccion de la Iogica justa. Las Iogicas polivalentes, si

se abstrae del comportamiento de Lukasiewicz y otros pocos,

se verian acogidas por los circulos 16gicos como meres arti-

ficios matematicos 0 poco mas.

En nuestro, dias, la situacion se ha complicado mucho

mas. Se ha producido una suerte de explosion demografica

de logicas distintas, hasta el extrema de que resulta harto

dificil dar una clasificacion satisfactoria de la silva de logicas

hoy conocidas. Cabe una clasificacion muy general (portadora

por tanto de una informacion escasa) si destacamos, porejernplo, dos criterios de distinci6n. El primero de los cuales,

el de la valencia, permite dividir la clase de las logicas en dos

grandes subclases, que contienen respectivamente las logicas

bivalentes (para las que toda proposicion admite solo dos

estados posibles de verdad, a saber, el verdadero y el falso)

y las Iogicas polivalentes (para las que existen valores de verdad

intermedios entre el verdadero y el fa lso). EI segundo criterio

distingue las teorias d e los operadores Iogicos ext ensionales

de las teorias de los operadores logicos intensionales. Carac-teristica de los primeros es poder ser descritos como funciones

de valores de verdad 0 de conjuntos de valores de verdad con

referencia siempre a un unico est ado de cosas; peculiar de los

segundos es adrnitir una descripcion veritativo-funcional con

referencia exclusi va a un sistema multiple de estados de casas.

Verbigracia, la operacion 16gica de negacion admite un tra-

tamiento como operador extensional, al pode rse asumir que

el valor de verdad de una proposicion negada no-a en relacion

a cierto estado de cosas depende exclusivamente del valor de

44

tI

I

:

verdad de l a proposicion a en relacion al mismo estado de co-

sas (la proposicion «no hace calor» es verdadera respecto al

estado de cosas representado por la ciudad de Montevideo el

dia 10 de julio de 1973 si y solo si la proposicion «haec calor»es falsa respecto al estado de cosas en cuestion). La operacion

logica «en el futuro» no goza, por contra, de esta propiedad

caracteristica. Asi, por ejemplo, el valor de verdad de la pro-

posicion «en el f uturo hace calor» (es decir, «hara calor») en

el estado de cosas representado por Montevideo el 10 de julio

de 1973, depende del valor de verdad de la proposicion «hace

calor», pero no en el mismo estado de casas, s ino en o tros

estados de cosas, que representan a Montevideo en tiempos

venideros.

Dentro de esta doble particion (Iogicas bivalentes-poliva-

lentes; logicas extensionales-intensionales) conviene separar

ademas las teorias de los operadores fundamentales (las tra-

dicionales conectivas y cuantificadore s, y sus generalizaciones), que admiten descripciones extensionales e intensionales, de las

teorias de los operadores especiales que, por regla general, no

admiten (al menos en el ambito de la bivalencia) tratamientos

extensionales intuitivamente razonables (como ejemplos de

operadores especiales pueden citarse los operadores tempora-

les, as! el operador «en el f uturo» considerado mas arriba,

los operadores modales tradicionale s, etc.).

De f orma esquematica podriamos representar nuestra cla-

sificacion como sigue:

Polivalenles

Extcnsionales {FUndamentales {_ Fundamentales

{ Esp eciales {.

Bivalentes

Intensionales

Tengase presente que un calculo Iogico, en general, nodetermina univocamente la propia ubicacion en el esquema

45



que acabamos de dibu jar (esquema que halla su f undamento

obviamente en conceptos de naturaleza sernantica). Cabe el

que un mismo calculo pueda describirse indiferentemente como

una logica bivalente intensional 0 como una logica polivalente

extensional. Sucede asi, p or e jemplo, con la 16gica intuicio-

nista y con muchas logicas modales.

iQue significado general puede tener esa especie de «torre

de Babel» amasada por las diferentes Iogicas ? iComo puede

responderse en ese cuadro a la ob jecion tradicional que dice

que la unicidad de la 16gica es condicion necesaria para la

cornunicacion ?

De hecho, j unto al problema fundamental de la comunica-

cion, se abren otros interrogantes de pare ja reI evan cia. Ima-

ginemos ados individuo s qu e piensan con logicas distintas:

I) ies posible que nuestros dos persona jes se den cuenta de

que emplean logicas dif erentes?2) /,podria tener cada uno la capacidad de describir la logica

de su interlocutor?

3) l.puede admitir se que un m ismo ser inteligente se sirva

de l ogicas diferentes en situaciones distintas, conservando

un comportamiento racional coherente?

4) en caso positivo, itiene sentido postular que sea la ex-

periencia quien determine la eleccion de la Iogica ?

5) sea cual f uere la respuesta que se otorgue a los interro-

gantes anteriores, l,existe necesariamente una Iogica pri -

vilegiada, que constit uy a el fundamento de todas las

demas ?

A todas esas preguntas intentaremos dar cumplida res-puesta en el ultimo capitulo, una vez que tengamos en n uestro

poder los instrumentos tecnicos necesarios para concretar

nuestra argumentacion,

46

I. TEORIA DE LA DEMOSTRACION

1.1. Preliminares

La teoria de la deduccion puede estudiarse segun dos

puntos de vista d iferentes. EI primero de ellos prescinde porcompleto del problema de los significados de los lengua jes

de que se ocupa; la segunda perspectiva se plantea el pro-

blema del analisis de dichos significados.

Pongamos un ejemplo. Una nocion que es, por obvios

motivos, uno de los conceptos-clave de la teoria de la deduc-

cion, es la relacion « ... siguese logicamente de...» (analizar

rigurosamente esta relacion representa c1aramente e / problema

de la teoria de la deduccion), Ahora bien, resulta que la rela-

cion en cuestion admite un riguroso analisis en el marco del

primero y del segundo puntos de vista. Del siguiente modo:

a) caracteri zacion segun el punto de vista I :

«la proposicion j J siguese logicamente de la proposicion a

cuando: si asumimos a y aplicamos las reglas de deduccion,

e n u n numero finito de pasos obtenemos j J » ; b) caracterizacion segun el punta de vista II:

« j J siguese Iogicamente de a cuando: cualquiera que sea la

interpretacion de a y de j J , si a es verdadera tambien j J resultaverdadera».

47



Obviamente, las dos caracterizaciones expresan conceptos

distintos, por mas que en los r azonamientos intuitivos y en

los mismos razonamientos cientificos tengamos tendencia a

intercambiar continuamen te entre si ambos sentidos. La se-

gunda caracterizacion hace referencia a los significados: no

solo es necesario comprender 10 que expresan a y { J sino

tambien referirse a todas las posibles interpretacione s d e a y { J .L a primera caracte ri za ci on exige s610 la aplicacion mecanica

de unas reglas determinadas; par tanto, puede «ensefiarse»

incluso a un ordenador (un ordenador que deduce de manera

completamente par ec ida al proceso que sigue un ordenador

para las operaciones aritmeticas),

La distincion clara entre los dos enfoques que represen-

tan, respectivamente, el pun to de vista I y el punto de vista II,

se impuso como f undamental en la 16gica moderna, sobre

todo a p ar tir de Frege. A este respecto se habla de la dis-

tinci6n e ntre Sin t axis y Semant ica 0 tam b ien entre T eor f a dela demost racion y Teoria del significado. Dedicaremos el ca-

pitulo 1 a la t eoria de l a demostracion y, a la teoria del s igni-

ficado, los capitulos 2 y 3.

1.2. Las logicas [undamentales

ILa primera mision que debe cumplir toda teoria de la

deduccion es el analisis de las operaciones logicas mas im-

portantes comprometidas en nuestros razonamientos. Vimos

en la «Introduccioro la utilidad de distinguir las teorias de

los operadores logicos fund amentales de las teorias de los ope-

radores 16gicos especiales. Peculiarid ad d e los primeros es

admitir por 10 menos una c aracterizaci6n extensional intuiti-

vamente razonable (en el ambito de la bivalencia). Por supuesto

que esta es una descripcion de caracter semantico; cupiendo

asimismo un tratamiento puramente sintactico de los opera-

dores f undamentales. Dichos operadores resultan ser simple-

mente las operaciones logicas-base que inciden en todo dis-

48

curso racional. Muchas teorias cientificas (en particular, casi

todas las teorias matematicas y fisicas) pueden expresarse con

todo rigor sirviendose solo de tales operaciones Iogicas. Y son:

las conjugaciones «no», «y», «0», «si ... entonces», «si y 5610

si», que llamamos conect ivas 0 conectores; las locuciones«todos», «algunos», que denominamos cuant ificadores, y Ia

relacion de identidad.

Ante todo veamos c6mo puede construirse un lengua je

formal que emplee solo esas operaciones Iogicas ; donde por

lenguaje formal entendemos un lengua je descrito rigurosamente.

Es sabido, en ef ecto, que el lengua je ordinario es un lengua je

de contornos dif usos; por ejemplo, hoy cabe la discusion

sobre si la palabra «week-end» pertenece 0 no a la lengua

castellana. Los mismos lenguajes de las teorias cientificas son

a vcces difusos; verbigracia, en tanto que cs indudable que el

predicado «pan> pertenece al lengua je de la aritmetica, y no

tiene nada que ver con e!la el predicado «rubio», puede dis-

cutirse si la expresion «desmesuradamente grande» pertenezca

o no a dicho lenguaje.

Resulta uti! en multiples ocasiones f ormalizar el lengua je,

es dccir, dcfinir con precisi6n esos contornos indeterminados.

Empei'io que puede llevarse a cabo precisando cuatro clases

de ingredientes lingiHsticos de que se hace uso:

I) los nombres individuales y l os predicados, que denomi-

namos tambien constant es d escriptivas;

2) las operaciones logicas, que tambien !lamamos constan-

tes logicas;

3) las variables (cuyo uso conviene porque a menudo en

una teoria cientifica debe poderse bablar de entes ge-nericos) ;

4) los simbolos auxiliares, como los parentesis,

Los denominados lengua jes f ormales element ales constitu-

yen una categoria de lenguajes bastante sencillos, y suficiente-

mente ricos des d e el punto de vista expresivo al propio tiempo,

4. Dalla Chiara.

49



pudiendo expresar c ualquier teo ria interesante, Un lenguaje

elemental contiene:

I) Como c onstantes descriptivas, cierto numero (que puede

ser desde 0 hasta el maximo infinito numerable) de nombresindividuales y predicados. Para los nombres individuale s ( qu e

llamaremos tam bien constant es individuales ) emplearemos los

signos aI ' a 2, . , . , a " ' . .. Para los pre dica dos los signos

P i, P i, . .. , p i . P~,.. ,' P~,P~ ,... , donde el exponente (o In-

dice superior) representa el numero de argumentos (0 su jetos)

a los que se puede aplicar el predicado, e n tanto que el sub-

indice (0 indice inferior) t ie ne por finalidad distinguir en tr e

SI predicados diferen tes qu e p osean el mismo numero de

argumentos. Por ejemplo, P~ figura un predicado que se aplica

a un solo su jeto (como «bueno»), P i se establece para un

predicado de dos argumentos (como «padre de»), P r para un pre-

dicado de tres argumentos (como «se encuentra entre»), etc.

2) Las constantes Iogicas son: las conectivas, para los cua-

les usamos los sign os --; (no), /\ (y), V (0), -+(si... entonces),

<-> (si y solo si); los cuantificadores, para los cuales usamos

los sign os V (todos), 3 (algunos), y el predicado de identidad

que indicamos c on el signo =.

3) Como variables tenemos: una i nfinit ud numerable de

variables individuales, para las cuales usamos los simbolos

x, y, Z, Xl' X 2 , .. ,' X H .. ,.

4 ) C omo simbolos a uxiliares: los parentesis,

L os elementos de estas cuatro clases de signos constituyen

1 0 que se lla ma el alfabeto dellengua je elemental considerado.Toda sucesion finita de elementos del alfabeto se denornina

\

palabra. Las constan tes individuales y las variables son los

\

terminos individ uales del lengua je ( es d ecir, la s palabras des-

tinadas a designar individuos). Una formula bien formada ( 0

simplemente una f6rmula) es una palabra que tenga una de

las siguientes form as:

50

1) t , = t 1 (que se lee I I . es igual a (1 ) , 0 bien P;:" t! ' , . 1 1 1

(que se lee f I' .'., I n poseen P ;; ) , donde P ~ es un predicado

de n argumentos y t I , ... , t l., t j , ••• , t n son terminos individua-

le s del lengua je . Las formulas que tienen esta estruc tura se

lIaman atomicas;2) (...,a) (que se lee n o a), (a /\ (J) (que se l ee a y J] ), (a V (J)

(a 0(J), ( a -> (J) (si a entonces (J), (a <- > (J) (a si y solo si (J),

donde a y (J son formulas del lengua je;

3) v x ,a (para todos los x , vale a), 3x ,a (para algunos x ,

vale a), donde a es una f ormula y x, es una variable d ellengua je.

Una pro posicion es una formula en la que t oda posible

variable X i cae sicmpre en todas sus ocurrencias en el campo

de accion de un cuantificador aplicado a X i (es decir, ocurre

siempre en una subexpresion de la f orma vx ,(J 0 3X ,(J ). Intui-i

tivamente, las proposiciones no hacen afirmaciones en rela-

cion a individuos genericos, sino solo en relacion a individuos

particulares (denotadas con su nombre) 0 bien en relacion a

todos 0 algunos individuos. Por e jemplo: 3 x ,P ; x, y P ia , son

proposiciones, en tanto q ue P i x es una formula, per o no una

proposicion (SI Pi representa el predicado «pasear» Y al el

nombre Ale jandro, 3 xI Pi y Pi al son, respectivamente, las

versiones formales para las dos proposicione s «algunos pasean»

y «Ale jandro pasea», mientra s que Pix designa la expresion

«un individuo generico X pasea»).

Una variable X i ' que se d e en una formula a, llamase

/igada en a cuando, en todas sus ocurrencias, cae en el campo

de accion de un cuantificador a plicado a X , ; en caso contrario

decimo s que esa variable esta fib r e en a, Verbigracia, X i esta

ligada en 3 xI Pi xlx2' y se halla libre en 3 XI P rX I X 2 ---+ Pix !. Delas definiciones dadas resulta, consiguientemente, que una pro-

posicion es una formula que no contiene variables libres. Para

"indicar que Xl' ' .. , x; se encuentran libres en a escribiremos

a(x" ... , x n )' Con a(x ,/ t) indicaremos el resultado de la subs-

titucion en a de la variable X i e n todas sus ocurrencias par

el terrnino t . Entenderemos que tal substitucion sea siempre

51



correcta, en el sentido de que no de lugar a conf usiones entre

variables libres y ligadas: es decir, en el caso en que t sea

una variable, por ejemplo, la variable x., al quedar por subs-

titucion convertida en x, no debe caer, en a, en el campo

de accion de un cuantificador aplica do a Xj ' Tomamos estaprecaucion Iinguistica a fin de evitar posibles incorrecciones

en la deduccion. Demos un e jemplo: esta claro que toda

teoria de la inf erencia racional incluye entre sus principios el

principio del d ict um de omni (supuest o q ue todos gozan de

una propiedad determinada siguese que, tomando un caso al

azar, tambien ese caso goza de ella). EI principio del dictum

d e omni puede formalizarse del siguiente modo: si vale 'Q'xa(x)

entonces debe valer a( x/ t) para todo termino t . Lo cual solo

es valido intuitivamente por convenio de que Ia substitucion

indicada con a( x/ t) sea correcta. De lo contrario podriamosllegar a absurdos como el que sigue:

vale: 'Q'xa x,P j' xl x, (por e jemplo: todo hombre tiene un padre).

De donde, por u n dictum d e omni incorrecto, substituyendo

Xl por el termino X 2 se obtiene:

3 x,Pr x,x, (algunos hombres son padres de sf mismos).

En este c aso, la substituci 6n es incorrecta por que el ter-

mino substituyente X2' en Ia substitucion dada, cae en el campo

de accion de un cuantificador aplicado a x,.

En el contexto lingiiistic o d e los lenguajes elementales,

construir una Iogica f undamental significa determinar un sis-

tema de reglas de deduccion que configuren el comportamiento

de las conectivas, de los cuantificadores y de la identidad.A lo largo de la historia se han registrado por lo menos tres

logicas fundamentales de particular interes: la cld sica, la intui-

cionista y la minimal (minimale ), Las tres tienen un baga je

de reglas comunes, reglas minimales, y se hallan «separadas»

entre sf por la asuncion de dos reglas criticas, la regla del «ter-

cio excluso» (para toda formula a pued o siempre demostrar

52

I

II

,,,

a V ....,a) y la r egIa denominada de Duns Scoto (si he demos-

trado una contradiccion puedo demostrar cualquier formula').

En tanto que la logica clasica asumia ambas reglas, la logica

intuicionista solo asume Ia se gunda y, ni Ia primera ni Ia

segunda, la logica minimal.Desde un punto de vista intuitivo puede decirse que la

logica clasica representa una postura d etermini sta 0 d escrip-

tiva: cuando afirmo una proposicion a quier o i ndicar que a

vale ob jetivamente. La Iogica intuicionista y la logica minimal,

por contra, refle jan un planteamiento epistemologico: si

afirmo a quiero indicar que «yo conozco a» (sobre esta base

viene rechazado el principio del tercio excluso, que, en el

ambito de un planteamiento epistemologico, equivaldria a una

hipotesis de omnisciencia). Mas asi como para e l intuicionista

toda contradiccion es fatal, por cuanto conduce necesaria-

mente a la degeneracion de todo el discurso, el minimalista

admite la posibilidad de contradicciones locales'.

Durante mucho tiempo se creyo que el planteamiento des-

criptivo del logico era el mas consonante con el comporta-

miento logico concreto del matematico, y que, par contra, el

planteamiento epistemologico originaba inevitablemente una

matematica de tipo «patologico». Pero los grandes avances

de la rnatematica intuicionista demostraron (como veremos enel capitulo dedicado a los problemas de los f undamentos de

la matematica) que la cuestion no puede liquidarse tan ale-

gremente. Por otra parte, el hacer racional del matematicoresulta ademas en muchas ocasiones de tipo minimal (si no

mas debil), Piensese, por ejemplo, eo el comportamiento ha-

bitual del matematico no axiomatico frente al problema de

las antinomias de la teoria intuitiva de conjuntos: el sabemuy bien que la teoria intuitiva de conjuntos, de la que se

1veasc, en la Introducci6n, e l ap artado 2.

e En realidad tambien el 16gico minimalista lIega a admitir la posibilidad

de contradicciones local es s6lo en medida limitada. No logra evitar, en ef ecto,el principia de inferencia codif icado por la lIamada «regia debit de Duns

Scoto», que dice que «si he demostrad o u na c ontradicci6n puede demostrarcualquler formula de f orma negative».

53



sirve cuando e scribe, p or e jemplo, un tratado de Analisis, es,

como demostrara Russell en 1902, contradictoria. A pesar de

10 cual, continua echando mano de ella. loy ello? Porque es

consciente de que las antinomias de los conjuntos surgen s610

en determinadas situaciones-Ilmite de la teorIa; y por ende, si «se esta atento» a no caer en tales situaciones-1imite no se

corre peligro de desastre. Pero eso significa exactamente ad-

mitir la posibilidad de contradicciones locales, es decir, admitir

el principio segun el cual una contradicci6n particula r n o se

refieja necesariamente en toda la teoria hasta el punto de

cuartearla en un conjunto caotico de afirmacione s. Y no s610

el matematico, tambien el ffsico se comporta en multiples

circunstancia s co mo u n 16 gico minimalista. Tal, las c ontra-

dicciones que pueden aparecer en el ambito de l a teoria de la

medida en mecanica cuantica, no obligan, por supuesto, al

fisic o a que aplique lisa y llanamente el principio de Duns

Scoto, con el abandono consiguiente de tada la mccanica

cuantica como si de una teoria insensata se tratase. El mismo

fisico, en el caso en cuesti6n, admite la posibilidad de con-

tradicciones locales.

Analicemos ahora con mayor detenci6n la estructura de

nuestras 16gicas f undamentales. "Que es una inferencia? Desde

una perspectiva intuitiva, una inferencia representa un «tran-

sito» de unas premisas dadas a una conclusion. L a e ual puede

simbolizarse asi: aI' ... , an donde aI' ... , an son las premisasa

y, a, la conclusion .

• I Una regla de inferencia establece las condicione s e n que

\ I es licito pasar de determinadas premis as a determinadas con-

i '\ clusiones. En otros terrninos, las reglas establecen las estruc-I turas de las inferencias que s e consideran correctas. Puesto

, que, al razonar, no hacemos otra c osa que manipular opera-

lciones logicas, que alternativamente v amo s introduciendo y

- 1 l - eliminando, las reglas de inferencia podran describirse en ge-

;V neral como normas que regulan Ja introducci6n y eliminaci6n

de l as constantes 16gicas.

54

Verbigracia, las reglas siguientes establecen normas 0pres-

cripciones intuitivamente del todo naturales que regulan la

eliminaci 6n e introduccion, respectivamente, del conector:

a l\{J al\{J ~ ~ --a {J

(de la premisa a 1\ {J puedo inferir tanto la conclusion a

como la conclusion (J ).

a ,{J

a l\ {J

(de l as dos premisas a y ( J puedo inferir la conclusi6n a 1\ (J ).

Puede ocurrir que una premisa depend a a su v ez d e otra

premisa, la cual queda «descargada» en la conclusion. Por

e jemplo: si bajo la hip6tesis a vale {J , entonces yo puedo

concluir a -e- {J , descargando la premisa a (de la premisa «es-toy contento» bajo la hip6tesis de que «nieva», puedo inferir:«si nieva estoy contento»), En casos como este simbolizamos

convencionalmente entre parentesis la premisa que queda des-

cargada. El ejemplo anterior (que e jemplifica la regia denomi-

nada de cand icianalizaci6n) se indicara simb6licamente del

siguiente m odo:

ra j

{ J

a __,,_{ J .

La tabla l* contiene la descripci6n detallada de las reglas

minim ales, intuicionistas y clasicas, EI lector que prefiera no

sobrecargar en exceso su cuenta de c onocimientos tecnicos,

puede pasar adelante sin temor a no comprender 10 que se

expone a continuacion.

Supongamos que disponemos adernas de un sistema de

reglas (clasicas, intuicionistas 0minirnales) y queremos definir

.. Las tablas se hallan situadas al final del capitulo 6.

55



sobre esta base los conceptos de d emost racion, d emostrabilidad

a partir de un conjunto d e hipot esis y ley logica. Intuitivamente,

\ d emostrar significa partir de premisas e «ir razonando» me-

Idiante la aplicacion de reglas de deduccion hasta conseguir

una conclusi6n. EI concepto f ormal de demostracion quiereser la explicaci6n rigurosa de est a i dea intuitiva. Una demos-

'tracion formal es una configuracion finita de r eglas que satis-

raga los requisitos siguientes:

I) en la configuraci6n ocurren dos reglas yuxtapuestas en

la f orma

P I ' . .. , P m

y

cuando a, es una conclusio n d e / 3 1 ' . . . , P m segun la primera

regIa, en tanto que y es una conclusio n de aI' .. " a n segun la

regia segunda;

2) la configuracion termina con una unica regia (Ia regIa

final).

Una demostraci6n tiene par tanto una forma caracterIstica

' l de «arbol», donde la conclusion de la regIa final es el t eorema

, d e la demostracion, en tanto que las premisas de las reglas

, ocurrentes en la configuracion, que n o t ienen ninguna otra

sabre sf mismas (es decir, que no se obtienen a su vez deotras premisas), son las premisas d e fa d emostracion. Toda

conclusion de una regIa ocurrente en una demostraci6n d e pende

d e todas las premisas que ocurran por encima de ella (ver-

bigracia, en la dernostracion

a l\{J y 1\ < l

y a

a l\y

a 1\ y depende de a , y, a 1\ (J , y 1\ J, en tant o que a depende

solo de a 1\ f3 y y s610 de y 1\ J).

56

Puede suceder que en el curso de la dernostracion quede

d escargada mediante la aplicaci6n de una de las reglas que

admiten la descarga de premisas, por e jemplo, a traves de la

regia de condicionalizaci6n, como en el caso siguiente:

a l\ f3

f3

a l\ f3 -+ {J

Las hi pot esis d e u na demost racion son todas las premisas

de la demostraci6n que no han sido descargadas.

Y asi queda definido rigurosamente el concepto de demos-

tracion. Naturalmente, hablaremos de demostraciones clasicas,

intuicionistas y minimales segun que el sistema de reglas em-

pleado sea clasico, intuicionista 0 minimal. Diremos que una

f ormula a es d emostrable a partir d el conjunt o de hi pot esis K

cuando exista una demostracion cuyas hipotesis se hallen con-tenidas en K y cuyo teorema sea a. Segun que la demostracion

sea clasica, intuicionista 0 minimal, hablaremos de demostra-

bilidad clasica, intuicionista 0 minimal y escribiremos abre-

viadamente en los tres casos:

K I-a (a es clasicamente demostrable a partir de K); c

K I-a (a es intuicionisticamente demostrable a partir de K); I

K I-a (a es minimalmente demostrable a partir de K).M

Se da u n caso particularmente interesa nt e cuando K no

contiene f ormulas, es decir, cuando a es demostrable a partir

de ninguna hipotesis. Ello significa que en el curso de la de-

mostracion se han descargado todas las premisas de la demos-

tracion (a traves de la aplicacion de las reglas ad hoc). En

cuyo caso diremos que a es una ley logi£ a (clasica, intuicio-

nista 0 minimal, segun los casos) y escribiremos, res pectiva-

mente: I-a, I-a, I-a. Una ley logica es, pues, una formula I I ·elM

57



r

que es dernostrable sin recurrir a ninguna hipotesis particular

y echando mano unicamente de las reglas logicas.

Esta situacion parece en primera linea dar razon a una

tesis filosofica que domino largamente, la cual sostenia que

l a l ogica es a priori, carece de conte ni do y nad a t iene queve r con la experiencia. La definic ion forma l de ley logica

dada mas arriba admite la siguiente reinterpretacion intuitiva:

las leyes logicas son aqueUas afirmaciones cuya validez depende

exclusivamente de las reglas del raciocinio. Tendremos ocasion

de ver como tal interpretacion, por mas que a primera vista

parece totalmente natural 0 razonable, en realidad no puede

llevarse hasta las ultirnas consecuencias. Salta a l a v ist a una

dificultad obvia: si Ia logica es a priori y sin contenido, l.c6mo

pueden llegar a sostenerse por 10 menos tres logicas funda-

mentales distintas? ~De que depende la no uni ci da d de las

«reglas del pen s ami en to» ?

1.3. T eor i a de l os sist emas [ormales

A estas alturas de la exposicion, disponemos de un a defi-

nic ion forma l para l a relacion de «dernostrabilidad a partir

de ...». Nuestra definicion constituye c1aramente una caracte-

rizacion rigurosa segun el enfoque sintactico para el concepto

intuitivo de c . . . siguese 16gicamente de ... ».

La nocion abstract a d e demostrabili dad i nteresa s obre todo

por sus aplicaciones, es decir, par como entra en los discursos

racionales e n que suele recurrir a la demostracion, en otras

palabras, par como entra en las teorias. De una manera muy

natural, la Iogica, en cuanto teoria de Ia deduccion, Ilega aser asi l;-teorfa g~n';;;l de las teorfas. ~Que teorf as? Todas

l as teori as que posean una estructura suficientemente ri-

gurosa.

Si n violentar en demasfa la realidad, cabe afirmar sin

mas que tcda teoria posee una estructura axiomatica al menos

,Y ~mbrlonari~. En efeeto, ninguna teorfa es un eon junto caotico

58

de afirmaciones, muy al contrario, es un sistema de proposi-

ciones de entre las cuales pueden definirse las proposiciones

que son fundamentales, privilegiadas, respecto a las demas,

que proceden de aquellas por v ia de raciocinio. Las propos i-

ciones fundamentales pueden ser definiciones, que introducenconceptos especificos de Ia teoria, 0 incluso tambien afirma-

ciones particularmente irnportantes relativas a los conceptos-

base de la teoria. Las teorias cientificas, y las teorias filoso-

ficas que son suficientemente sistematicas, gozan efectivamente

de una estructura de esc tipo.

Podemos distinguir !_!'esniveles de «perfeccion axiom~tica».

I) Semiaxiomati zacion. Una teorfa se dice semia xiomati-

zada cuando l a distincion entre sus proposiciones fundamen-

tales y s us proposiciones derivadas no es totalmente precisa.

II) Axiomatizacion no formal. Una teoria se dice axioma-

tizada de un modo no formal cuando el con ju nt o d e sus pro-

posiciones f undamentales se hall a rigurosamente precisado; no

obstante, su lengua je no es un lenguaje formal sino un len-

guaje de «contornos difusos».

Ill) Axiomatizacion formal. Una t eorfa se dic e a xiomati-

zada de modo formal c uando se encuen tr a precisada riguro-

samente desde el punto de vista lingiiistic o y desde e l punto de

vista deductiv o. Lo c ual significa que su lengua je es un len-I

guaje formal, quedando asimismo precisados rigurosamente el

sistema de sus proposiciones f undamentales y el sistema de las

reglas de inferencia de las que se sirve.

Muehas de las teorias mas importantes en el dominic ma-

tematico y ffsico se eneuentran cuando me no s en el segundo

nivel de axiomatizaci6n. Por contra, las teorias escasamente

matematizadas suelen refugiarse en el primero. En muchas

ocasiones, el transite del segun do al tercer nivel es pura cues:

tion de r out i ne formal que, en determinados c asos, ni siquiera

59



vale Ia pen a dar, a no ser por puro ejereicio didactico, Sin

embargo, oeurre a veces que una obra de formalizaci6n per -

mit e la clarificacion de algunas dificultades graves de orden

conceptual de las teorias comprometidas. Verbi grac ia , e n ge-

neral resulta de utilidad formalizar cuando se sospeche unasituaci6n de incoherencia logica,

Las teorias que son obj eto d e estudio especifico de la

16gica se encuentran casi siempre en el tercer nivel de perfec-

ci6n axiornat ic a. L o cual tarnbien se da porque, cuando se

est udia n l as propiedades generales de las teorias, conviene

const it ui r un «modele abstracto» de teoria, que pueda domi-

narse rigurosa me nt e e n t odos los detalles. i ,S e tr at a d e u na

violencia operada frente a teorias concretas que se han dado

a lo largo de la historia? Realmente, son muchas las razones

que inducen a pensar que l as propiedades generales, indivi-

duadas al estudiar estas teorias-limite en el modelo abstracto,

sean propiedades interesantes que, prescindiendo de ciertos

para metros secundarios, se pueden transf erir juiciosamente in-

cluso a teorias concretas, al estilo d e co mo se a pl ica l a

geometria euclidiana a la realidad ernpirica que, como es

obvio, no se halla constituida por «autenticos» puntos, rectas,

planos, etc. Sobre este particular se sostuvieron en el pasado

posiciones m uy d iscutibles. Asi, algunos estudiosos c ontra-

pusieron teorlas formales a teorias concretas, concluyendo que

determinadas propie da de s de l as teorias formales (verbigracia,

las propiedades sacadas a luz po r los as! llamados teoremas

limitativos de los que nos ocuparemos en el apartado 1.5) no

val en para las teorias concretas. Mas adelante tendremos la

oportunidad de ver c6mo dicha tesis se hace insostenible. En

cierto aspecto seri a c omo dec ir que el teorema de Pitagorasno pue de a pl ic arse a l a e xpe rie nc ia porque l a re al idad no

sea un modelo geometrico abstracto.

Pasemos a hora a una descripci6n precisa del c once pt o de

teoria axiomatica formal. Cuando se estudia una teoria formal

exclusivamente desde el punto de vista sintactico, prescindiendo

en abso lu to d el p ro bl em a d e sus p osibles significados, se

habla tam bien de sisfEl1a formal. Un sistema formal T queda ' I

completamente determinado por tres componentes: su len- 1 \ \

guaje, el sistema de sus ' proposiciones fundamentales 0 a xio- . V

mas y, por ultimo, el sistem a de sus r eglas de inferencia. ,

Simbolicameute podemos escribir T =<L, A, R), donde L es II

un lengua je f or mal ( por ejemplo, un lengua je elemental), A

es un eonjunto particular de proposiciones de L, R es un sis-

tema de regla s de i nf erencia (por ejemplo, el sistema clasico).

Los teoremas de T son todas las formulas de L demostrables I

c on e l sistema de reglas R a p ar ti r d el con junto de hipote- r-

sis A. Para indicar que a es un teorema de T escribiremos

abreviadamente l-a.T

La teoria en que se estudian las propiedades de las teorias

formales se denomina J!1etat eorf a de las teorias estudiadas,

que se conocen por e l nombre de teorias-objeto. Por ejemplo,

l a met at eori a e n que se ha n descrito las regIas de deducci6n

era una teoria expresad a en un lengua je no formal (un frag-

mento de literatura castellana) y que emple ab a a ti tu lo d e

abreviacion eiertos simbolos particulares. Convie ne q ue e l

lector se perciba atentamente de la distincio n n et a e nt re l os

signos de la teoria-objeto y los sign os de la metateoria: las

constantes descriptivas y logicas, las variables y los simbolos

auxiliares son signos de la teoria; el simbolo f-y las letras ,

t l , t 2, ... , t n, ... ; a, {3 , y , aI' ... , am ... son sign os de la meta- I

teoria, Estas ultimas son variables metateoricas que «se hall an

en lugar» de terminos genericos y de formulas genericas de T

(por ejemplo, cuando en la metateoria escribimos a en-

tendemos: cualquier formula bien form ada de La teoria-

ob jeto).EI problema que se plante a a e st e respec to e s el siguiente:

i,resulta factible e interesante t ra nsformar la propia metateoria

e n un sistema f ormal? La respuesta al interrogante es posi-

tiva, pero abre la puerta a nuevos problemas que contemplan

la iterabil idad del proceso de formalizacion de la metateoria.

Ene l p lan o-abstracto caben dos situaciones distintas:

6 0 61

~-.-



I) Una situaci6n de regre so al infi ni to por parte de las

metateorias: T (teoria-ob jeto), MT (metateoria), MMT (me-

tateoria de la metateoria), MMMT, ...

----i) 2) Posibilidad de interrumpir la cadena infinita de las me-

tateorias en el sentido de que, en un momenta determinado,

un elemento de la cadena llegue a contener l a pr opia meta-

teoria 0 incluso la metateoria de una teoria siguiente, Por

ejemplo:

1.4. Pro pied a des im portantes

de los sist emas f ormales

T, MT, MMT, MMMT.

Con surna frecuencia, el tipo de analisis que se desarrolla

en la teorfa de l a de mostraci6n tiene la siguiente forma: sedefinen algunas propiedades generales de que pueden gozar

los sistemas formales y se estudian las condiciones necesarias

y suficientes, con el objet o d e q ue u n s istema f ormal dado las

posea. En el c aso particu lar de ciertos sistemas formales q ue

corresponden a teorias matematicas concretas de interes (ver-

bigracia, la aritmetica, el analisis, la teoria de conjuntos, la

geometria euclidiana, etc.) se procura individuar cudles sean

las propiedades sintacticas validas para tales sistemas.

Las propiedades que son obj et o de estudio de la sintaxis

suelen corresponder a ciertos requisitos epistemo16gicos inte-

resantes. Avancemos un breve ele nc o de l as principales pro-

piedades sintacticas. Por mo r de simpli ci da d (y por l imit es

de espacio), nos referiremos, de ordinaria, unicamente a sis-

temas clasicos (es decir, a sistemas c on r eglas de inferencia

clasicas). Por lo demas, aunque, como ya se ha visto, muchas

razones induzcan a pensar que la 16gica empleada en concreto

por el cientifico sea en diversas circunstancias mas debil que

la 16gica clasica, a lo l ar go d e la historia las teorias (mate-

maticas y no matematicas) form ales se estudiaron preferente-

mente en su version clasica.

o bien:

T, MT, MMT, MMMT.~-...------'

Y entramos asi en el terreno de uno de los problemas

cruciales de la 16gica: el problema de l a posibilidad de una

aut o fundament acion de las teorias, al que daremos respuesta

en los pr6ximos apartados.

En la tabla 5 se expone mientras tanto un ejemplo

de sistema formal de gran importancia hist6rica: se trata del

sistema de la aritmetica elemental, cuya axiomatizaci6n se

debe al16gico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y al aleman

Richard Dedekind (l831-1916). Para e xpre sa r el sistema de la

aritrnetica conviene emplear un l engua je formal mas rico,

desde el p unto de vista expresivo, resp ect o a l os lenguajes

form ales estudiados hasta aho ra. Se tr at a d e u n tipo de le n-

guaje que contiene simbolos para las funciones, amen de los

correspondientes a nombres individuales y predicados. Nosremitimos a l a tabla 4 para ver c om o es posible obtener, en

general, tal enriquecimie nt o e xpresi vo. Tengase presente que

dicho enriquecimiento es solo comedo, no esencial en linea

de principia, par cuanto las f unciones pueden tratarse

siempre como predicados particulares.

Un sistema T es no contrad ictorio (0 coherent e ) cuando no

Iexiste una proposicion a de T tal que tanto a como ..., a sean I

teoremas de T. De o currir otra cosa, T es contradictorio (0

incoherente).

En e l c aso de sistemas clasicos 0 i ntuicionistas, en virtud

de la regia de Duns Scoto, la coherencia de un sistema equi-

vale a l a e xistencia de una proposici6n dellenguaje del sistema

No contradictoriedad 0 coherencia

62 63



no demost ra bl e e n e1 si st ema (en t anto que un si st ema es

incoherente si y solo si t oda proposi ci on d el sistema es un

teorema). Para los sistemas minimales, sin embargo, h a y que

distinguir dos propiedades sintacticas diferentes: la coherencia

(incapacidad de demostrar contradicciones) y la consistencia (in-capacidad de demostrar todas las proposiciones). Un sistema

minimal puede ser consistente sin ser coherente. Como se ha

vista, esta distinci6n corresponde a una profunda e xigencia

intuitiva, f a exigencia de poder admitir contradiccione s l oc ales,

sin qu e estas tornen i pso facto «inconsistentcs» (en el sentido

tecnico e intuitivo) a toda la teorfa.

Completud s in t a c t ic a

Un sistema T es sintacticamente completo cuando para

tad a proposicion a, T es capaz de demostrar a 0 bie n -. a.

La complet ud c orresponde a un r equisito epistemologicomuy importante; un sistema completo se halla, en efecto, con

capacidad para d ecidir (en el sentido de demostrar 0 refutar)

cualqui er problema que pueda expresar se en su lengua je.

Riqueza (Ricchezza)

Un siste ma T e s ric o c ua ndo c on t ad a proposicion exis-

teneial 3 x,a( x,) q ue se a un teorema de T, T c ontiene una

constante individual C a tal que a( x, j co) sea tambien un teo-

rema de T.

Con otras palabras, todas las veees que T ha ga una a fi r-

macion, posee entonces tam bien un nombre para ejemplificardicha afirrnacion. Contrariament e al caso a nteri or , l a riqueza

no corresponde a un requisito epistemologico particularmente

compromet edor. Se trata unic amente de garantizar que la

teoria sea «bastante ric a» desde el punta de vista expresivo,

a saber, que contenga todos los nombres individua le s que Ie

pueden se rvir para e jemplif icar sus afirmaciones.

64

Decidibilidad

T es decidible cuando el conjunto de sus teoremas es un le onjunt o decidible, es decir, si empre es posible para toda (

proposi ci on d e T decidir en un numero finito de. pa sos si se

trata 0 no de un t e orema de T.

Intuitivamente, la decidibilidad de un sistema equivale a

la posibilidad de mecanizar la solucion de cualquier problema

que se exprese en el lenguaje del sistema. Si T es decidible,

al menos en linea de principia, siempre resulta posible cons-

truir un calculador que, e n un numero finit o de pasos, aporte

la soluci on p ar a t od o p roblema capaz de expresarse en T.

Axiomatizabilidad

Un sistema T es axiomatizable cuando existe un sistema T' l 'con los mismos teoremas de T, y el eonjunto de los axiomas

de T' es deeidible. La axiomatizabilidad garanti za l a posibili-

Idad de «conocer» e fe ct ivamente el siste ma c on e l que se las

tiene que haber. Resul ta obvio que si no estamos capaeitados

para responde r e n un numero finit o de pasos a la pregunta

«una proposicio n d ad a l. es 0 no un axiorna del sistema ?», no

podemos decir en verdad que eonoeemos el sistema.

Los c once pt os de riqueza y de completud sintactica se

hallan involucrados en dos teoremas importantes de la teoria

de la dernostracion, el teore ma de Henkin y Hasenjaeger sobre

las extensi on es ricas y el t e orema de Lindenbaum sobre las

extensiones completas. Antes de enunciarlos, rec orde mos que I ipor extension d e u n sistema T se c ntic nd e u n sistema T'

que contenga entre sus teorem as t od os l os t e or ema s de T.

Teorema de Henkin y Hasenjaeger

sabre las extensiones f icas

Todo sistema formal coherente admit e una e xt ension rica

eoherente. En otros terrninos, si empre e s posi bl e «enrique- 1 /cer» un sistema sin perder la coherencia. ' .

65

5. Dalla Chiara.



Teorema de Lindenbaum

sabre las extensiones completas

\ l Todo sistema formal coherente admite una extension cohe-

rente completa.Tengase presente que el teorema de Lindenbaum no ga-

rantiza la posibilidad de conservar una propiedad eventual de

axiomatizabilidad del sistema de partida. Resulta, por tanto,

verdadero, que siempre se puede completar de forma cohe-

rente un sistema coherente (es decir, hacer al sistema capaz

de resolver cualquier problema que pueda expresarse en el

1 mismo). Pero ella suele darse en general con mengua de lacognoscibilidad del sistema en cuesti6n.

Hasta el momenta nos hemos interesado siempre por las

propiedades de los sistemas formales que involucran la com-

I

Iponente deductiva. Otra componente fundamental de todo dis-

lcurso racional riguroso es la d e finitoria. Finalidad de la acti-

, vidad definitoria es la introducci6n de nuevos complejoslinguisticos (0 expresiones) que tienen por (mica mision sim-

plificar las posibilidades expresivas y que, en linea de prin-

t cipio, pueden siempre eliminarse al no permitir la demostra-

\ cion de teoremas «substancialmente» nuevas.

Los caracteres fundamentales de las definiciones son con-

siguientemente los dos siguientes:

- - - - ?> I) Eliminabilidad de las definiciones.

Toda expresion definida puede ser substituida en cualquier

sitio por la correspondiente expresi6n d e finiente.

--ry. 2) No creatividad de las definiciones.Los teoremas que no contienen expresiones definidas son

siempre demostrables sin el uso de definicioues. Con otraspalabras, las definiciones no permiten demostrar proposiciones

nuevas expresadas en ellenguaje anterior; es decir, no deter-

minan novedades deductivas, sino unicamente novedades expresi vas.

66

La d efinicion _geu_npredicado P ' ; tiene en general la forma:

,.' j

donde la formula a (tambien llamada definiens) no contieneel predicado p ~ (llamado tambien definiendum). Esta ultima

condici6n, intuitivamente, garantiza la no circularidad de Ia

definicion.

La definicion de una constante individual a, puede tener

la forma:

(i '0 )

(en cuyo caso se habla de definicion explicita). 0 bien, asi-

mismo, Ia forma:

a(x / a,)

a condicion de que a( x) no contenga a, y ademas sea demos-

trable la existencia de un unico individuo que goce de la

propiedad descrita por a( x) ( e s d eci r, se a u n te orema

3y [ a(y) /\ 'v'z(a(z) -+ z =y)]). Definiciones de este tipo sedenominan tambien implicitas. La oportunidad de recurrir a

definiciones implicitas se verifica en todas las circunstancias en

que la teoria de partida no tiene suficientes nombres indivi-

duales. Cuando consigue entonces demostrar Ia existencia de

un {mica individuo que goza de una determinada propiedad,

puede introducir par d e finicion un nombre para este individuo.

Una extension d e finitoria de un sistema formal T es un1sistema formal T' cuyos axiomas son todos los axiomas de T

y, ademas, un cierto sistema ordenado de definiciones, e n e lque todo def iniens contiene solo expresiones definidas ante-

riormente 0 bien expresiones de T.

Un predicado (0 una constante individual) s e dice d e finible

en un sistema T cuando existe un teorema de T que tenga la

forma de una definicion para dicho predicado (0 para dicha

constante).

67



A veces, las definiciones tienen una forma condicional: se

introduce una cierta expresion por definicion si y solo si se ve-

rifica una determinada condicion. Ejemplo de de finicion con-

dicional, en aritmetica, es la definicion de la operacion de

division:

Ilego a concebir de una f orma harto precisa la posibilidad

de una «aritmetizacion de los lengua jes».

Sea entonces T un s istema suficientemente potente. Re- '

sulta que T, ademas de hablar de numeros naturales, de sus I

propiedades y relaciones, esta capacitado para hablar tam bien Ide sus propios signos, de sus propiedades y relaciones. Y ella

en virtud d e que siempre es posible asociar a los signos de T

numeros (en caso limite, puede usar los propios mimeros

como signos) de forma tal que las relaciones entre signos

estudiada s por la sin taxis se transformen asi en relaciones

entre numeros estudiadas por la a ritmetica. En p articular

ocurre que para todo termino t y para toda f ormula a perte-

necientes al sistema T, T contiene un nombre de ell os que

indicamos, respectivamente, con los sign os f y a . Mas: la

mayoria de los conceptos sintacticos, verbigracia, los concep-

tos de formula, axioma, demostracion de, teorema, y cohe-

rencia, se hacen definibles mediante formulas de T (formulas

que indicamos, respectivamente, con FormT(x), AxiT ( x),

Dem-t», y), TeorT ( x), COheI'T)'

Esta situacion de autorreferencia se r ealiza de una manera

muy f uert~, sancionada por el teorema de fa diagonali zacion: II

para cualquier propiedad que exprese T, T contiene siempre

una proposicion que afirma q ue el sistema goza de dicha

propiedad.

y o f 0-> [ x/y = z .... z·y = x)

En el caso en que y sea igual a 0, se dice que la operacion

de division es «indefinida».

Se puede construir una teoria rigurosa para las definiciones

condicionales (que son muy frecuentes en las teorias cientfficas)modificando ligeramente las condiciones generales sobre defi-

niciones, estudiadas parrafos mas arriba.

1. 5. Los teoremas limitativos

Consideremos ahora una clase particul ar de sistemas for-

males, muy importante s por c uanto incJuye las versiones

formales de la mayoria de las teorias cientfficas matematiza-

das. Se trata de s istemas f ormales llamados suficientemente

\ potentes. Se dice que un si Stemaes'suJicienteme7zte pote7lt e

cuando tiene capacidad para expresar y demostrar por 10

Imenos cuanto expresa y demuestra la aritmetica elemental.

Resulta obvio que muchas teorfas matcmaticas y practica-I mente todas las teorias fisicas satisfacen este requisito, rigu-

rosamente definible con criterios formales.

Los sistemas suficientemente potentes gozan de Ulla carac-

teristica singular: p or 10 menos dentro de ciertos limites,

estan capacitados para hablar de si mismos, realizando portanto una suerte de autorreferencia. A este descubrimiento

-llegar on, de un modo e xplic ito y sistematico, aunque indepen-

dientemente, alla por 1930, el logico austriaco Kurt Godel

y el polaco Alf red Tarski. Pero la idea hunde sus origenes -e-;

epocas mas rernotas: segu~ se via en la «I ntroduccion», estaba

plenamente conscicnte de ella Leibniz, por ejemplo, quien

Teorema de la diagonalizaci6n

Para toda f ormula a(x) d e T s e puede construir efectiva-

mente una proposicion y de T tal que

f-y .... a(x/YlT

[Cuidado: no hay que conf undir y con y ! y es un nombre

individual, y es una proposicion cuyo nombre en el sistema

T es y .

6 8 69



Por e jemplo, si a ( x ) expresa la propiedad de «ser un mi-

me ro p am, e l teorema de la diagonalizacion garantiza la

existencia de una proposicion que afirma «yo soy un numero

pam. EI mecanismo que se emplea para demostrar el teorema

es una tecnica caracteristica que «f unciona» en las situaciones

de autorref erencia. Cantor la ideo para otros fines (exclusi-

vamente matematicos), por 1 0 que recibe tarnbien el nombre

de «metodo de la diagonal de Cantor»,

El teorema de la diagonalizaci6n comport~ C . 9 . l J10 conse-

cuencia inmediata la af ir maci on d e algunos limites de los_

-sistemas formales: resulta que l a c apac idad para «hablar de

sf mismos» es, en el ambito de la coherencia, incompatible

con otr05 t ipos de capacidad.~ -

ciones de T s e c omportaria exactamente c omo nuestra p ,obedeciendo a la condiciou: para toda proposicion a de T,

ii es verdad er a si y s olo si a. Ya sabemos que esta es una

vie ja definicion que p ro ced e d e Platen y Aristoteles ; c omo

veremos en el capitulo proximo, e sta tradicional concepcionfilosofica de la verdad se puede transformar en una definicion

formal rigurosa.

Ahara bien, segun se dijo, los griegos eran conscientes

de que el concepto de verdad puede producir «malos t rances»

logicos, descubriendo la farnosa antinomia del mentiroso que, len version rigurosa, puede derivarse construyendo, por e jem-

pIo, Ia siguiente proposicion :

«La proposicion impresa en la pagin a 7 1, lineas 13 y 14

del libra La Logica (Labor 1976) no es v erdadera».Limites expresivos de los siste mas

suf icientemente potentesSe deduce facilment e que l a proposicion en cuestion, que

a fi rma l a prapia falsedad, es verdadera si y solo si no esverdadera. La misma posibilidad de expresarla da lugar a

una contradiccion. Pero nuestra proposicion tiene exactamente

la estructura f ormal de la y construida recientemente, que

afirm ab a a un tiempo gozar y no gozar de la propie da d des-

crit a por P(x). Volveremos a replantear no s este problema mas

adelante, cuando estudiemos semantica. Aqui, desde un punto

de vista sintactico, nos ceiiimos a poner de relieve un inevi-

table l imite expresivo de los sistemas formales suficientemente

potentes y coherent es : t ales siste ma s no se ha ll an capacitados

para definir un predicado que se com porte como se compor-

taria un razonable predicado de verdad para el sistema.

Un sistema suficienteme nt e p otente y coherente T no puedecontener una formula P(x) tal que para toda proposicion a

de T, la equivalenc ia a +-> (J ( x /a) sea un teorema de T.

E n otros terminos, T n o p uede expresar una propiedad

tal que: dicha p ro piedad valdra p ar a una proposicion gene-

rica de T si y solo si vale dicha proposicio n. En e fecto, su-

ponga mos que T e xprese una formula P ( x) d e e ste genero

(en v irtud de l a cual se tenga: f- a+-> (J ( x/fi), para toda a).T

Entonces T expresa tambien _, P(x ) y, por ta nt o, e n virtud

del teorema de la diagonalizacion, debe existir una y que

afirme no g oz ar de p. Entonces vale simultancamente:

f- y +->P (x /y ) y f- Y +-> _, P ( x /J !), es decir, y afirma aI mismoT T

tiempo gozar y no gozar de la propiedad descrita por P ( x).De donde f-P (x /y ) < - - + _ , P (x /y ) que es una contradiccion.

T

l,Q ue interes puede tener ese genera de combinatori a e x-

presiv a? U n g ra n interes intuitivo. Aunque estemos en un

amb it o d e pura sin taxis , p ode mos desde ahora poner de re-

lieve que una definicion eventual de verdad por las proposi-

Limi tes d ed uct iv os

Se demuestra que todo sistema T, suficientemente potente

y axiomatizable, se encuentra siempre capacitado para definir

el predicado TeoI'T ( x) y po r 1 0 tanto [expresando tarnbien

70 71



..., TeorT ( x)], por el teorema de la diagonalizacion, expresa

siempre una proposici6n y que afirma la propia indemostra-

bilidad [(f- y +-> ..., TeorT( x / Y )]' Razonando sobre las carac-T

teristicas de esta f 6rmula y, se demuestra que si y fuera un

teorem a d el sistema T e ntonces T seria incoherente. Por 10dernas, intuitivamente incluso, ella resulta justificable: y afirma

la propia indemostrabilidad; si acaso fuera demostrable se

originaria con toda una contradicci6n.

Resulta que no s610 y sino tambien su negacion ...,y es

indemostrable. Por consiguiente, y es sintacticamente indeci-

ble en T y el sistema T es, por ende, incompleto.

En realidad, para demostrar que _, y no es un teorema

de T , e s necesario emplear una hipotesis mas fuerte que la

mera coherencia de T . Se trata de una hip6tesis de _ w -co l1 ! . c _

rencia: T es w-coherente cuando es incapaz de demostrar que:

-on, 3, . .. gozan de una propiedad determinada y que al

\ propio tiempo existe un numero natural que goza de la nega-

ci6n de dicha propiedad. A la hip6tesis de w-coherencia se

puede renunciar (como demostr6 Rosser en 1936) con per-

dida, sin embargo, de algunos requisitos importantes que,

desde un punto de vista intuitivo, contemplan la «naturalidad»

de la traduccion de la metateoria en la teoria-objeto. Adop-

tan do una teoria «innaturab (0 como tambien se dice «no

can6nica») puede construirse una proposicion que afirma de

modo «no natural» la propia indemostrabilidad y que resulta

indecidible ba jo la mera hip6tesis de la coherencia de T.

Dado el caso que se adopte una traducci6n «natural», la

proposici6n y resulta particularmente interesante por su con-

tenido, por cuanto afirma no s610 la pro pia indemostrabi-

lidad, sino tambien la coherencia del sistema. Con otras pa-labras, la equivalencia entre y y Coher- es un teorema de T

(f- Y +-> C oherT)' En ef ecto, la implicaci6n y -> C oher.; es unaT

ejemplificacion, expresada en T, del principio de Duns Scoto

(si una proposici6n es indemostrable, el sistema es entonces

coherente). La implicaci6n inversa Coher.; -+ y, por contra,

72

representa la version en T de l a afirrnacion «si T es cohe-

rente, entonees y es indemostrable», afirmaci6n que, como se

vio, es d emostrable, de la metateoria de T. Y si la metateoria

ha sido «traducidas de modo natural en la teoria, tal demos-

traci6n metate6rica resulta reproducible en l a m isma teoria.En conclusi6n, los resultados que hemos descrito pueden

resumirse en los enunciados de los tres teoremas siguientes,

que reciben en la Iiteratura 16gica las denominaciones res-

pectivas de teorema d e Tarski, p rimer t eorema de Giidel y

segund o t eorema d e God el.

Teorema de Tarski

Un sistema suficientemente potente y coherente no puede

expresar una f6rmula fl ex ) para la que valga: ' T a <- + fl(x fO -)

para toda proposici6n.

Primer teorema de Godel

Todo sistema suficientemente potente, axiomatizable y Icoherente es sintacticamente incompleto.

Segundo teorema de Godel

"

Todo sistema suficientemente potente, axiomatizable y \

coherente es incapaz de demostrar una proposi ci 6n que ex-

prese, de f orma canonica, Ja coherencia del sistema.

. Desde un punto de vista intuitivQ.,___£]..§ignifisado mas

prof undo delosteo-remas Iimitativos es haber sacado a Iuz

una si!uaci6n de_incompatibilidad entre algunos importantesrequisitos epistem~16gicos, cabalmente los siguientes:

~

a) coherencia;

b) maxima capacidad y seguridad deductiva (representadas

por condiciones f ormales de completud y a xiomatizabi-

Jidad);

73



I c) m~xi~a riqueza expresiva, con capacidad de «autodes-

cnpcion»,

Esta situaci6n de incompatibilidad icontempla s610 los

sistemas formales 0

tambien las teorias concretas (no for-. males)? Durante muc ho t iempo, determinadas interpretaciones

filosoficas hicieron usa de los teoremas limitativos como

prueba de la existencia de una contraposici6n entre forma-

lismos e intuici6n. Se hablo del «a jedrez de la f orrnalizacior»

y de la d emost racion de una superioridad de la intuici6n hu-

mana respecto a las inteligencias mecanicas, que son asimi-

lables a los sistemas formales. En realidad, tales interpreta-

ciones se manif estaron un tanto superficiales. No se acierta

a comprender, ef ectivamente, como las teorias intuitivas (no

forrnalizadas) puedan ser declara da s i nmunes de la situacion

de incompatibilidad puesta en evidenci a po r los teoremas

limitativos. Y no se debe al azar el qu e l as antinomias por

autorref erencia, tal la antinomia del mentiroso, surgen ya a

lunnivel intuitivo. Mas que revelar un limite del pensamiento

f ormal, l os teoremas limitativos dilucidaron la presencia de

eiertas dificultades serias del conocimiento en general. La for-

i J I malizaci6n perrnitio descubrir donde yacian exactamente tales

dificultades y transformar asi, en informaciones positivas,

meras parado jas del pensamie nt o i ntuitivo.

1.6. Demost raciones de coherencia

I I

EI segundo teorema de Giidel puso en c la ro l a i mposibi-

lidad de una auto justifica ci on sintactica de teorias coherentes;

en otros terrninos, la imposibilidad de interrumpir el regreso

al infinito de las metateorias descritas aI final del apartado 3.

El lo n os plantea un problema: icuales son las hip6tesis

extraordinarias que es menest er realizar con el fin de demos-

trar la coherencia de un sistema formal correspondiente a una

teo ria rnatematica «importante», verbigracia, el sistema P de

74

Ia aritmetica ? Es decir, l,cuanto se debe r e Jorzar P para de-

mostrar que P es coherente?

Pudiera suceder que una demostracion de Ia coherencia

de P no exija necesariamente todos los instrumentos concep-

tuales legitimados por P, y, no obstante, exija al propio tiempocualquier principio que no se halle justificado por el propio P.

Una situacion de tal Indole puede ilustrarse graficamente del

siguiente modo:

p

\metateoria de P C .iP;:Z

de oemoctrer que Pes c oherente

No cabe duda que un problema del maximo interes estriba

en Ia minimalizaci6n de los medios teoricos empleados para

demostrar Ia coherencia: l,cmiles son los instrumentos «mas

de biles» que permitan demostrar la no contradictoriedad de

Ia aritmetica ?

A este proposito, el primer resultado de interes se obtuvo

e n 1936 por e l 16gico aleman Gerhard Gentzen, quien demos-

tro la coherencia de P sirviendose de un principio aritmetico

que, a pesar de no hallarse justificado en P, es, no obstante,

«muy ann» a l os principios que P Iogra justificar. A partir

de 1936 se han ideado otras muchas demostraciones de cohe-rencia de Ia aritmetica, en ocasiones un tanto dispares entre

sf y caracterizadas por el usa de instrumentos teoricos de

naturaleza harto diferente. Curiosamente, todas estas demos-

traciones, par mas que a primera vista pueda no aparecer

evidente, involucran de alguna forma el principio aritmetico

empleado por Gentzen.

~ . ,

c '

75



Queremos ilustrar ahora de f orma sencilia e intuitiva esteprincipio. Es sabido que el conjunto de los mimeros natu-

\ rales, como por 10 demas cualquier otro conjunto infinito,

puede ponerse en correspondencia biuniv oca c on una p arte

J

propia: existe ya una parte del con junto de los numeros na-J turales que esta constituida por tantos elementos cuantos son

los numeros naturale s ( po r e jemplo, los numeros pare s son

tantos cuantos numeros naturales hay, a pesar de constituir

un subcon junto propio del conjunt o d e lo s naturales). Lo

cual significa que siempre resulta posible «volver a bara jar»

los numeros confiando solo a una parte de los mismos el

«papel» de mimeros naturales y reservando eventualmente

otros papeles a los restantes. Un e jemplo de «barajamiento»

muy sencillo es el siguiente: un orden en el que preceda antes

el cero que todos los mimeros pares, y luego todos los nu-

meros impares:

0,2,4,6,8, ... , 1,3,5,7,9, ...

En el e jemplo de marras, los mimeros pares bastan para

representar todos los mirneros naturales, en tanto que los

numeros impares pudieran representar otr os e ntes materna-

ticos, verbigraci a, el con junto de los mimeros transfinitos;

tendriamos asi que el 1 representari a el primer numero trans-

finito (que suele indicarse habitualmente con la letra w)3.

Entre los numeros transfinitos hay algunos que gozan de

una particularidad caracteristica : cuando se ele van a c o dan

lugar a sf mismos ( X W ~ x). Los mimeros de este tipo se han

reconocido tambien por s-numeros, y el s-mimero mas pe-

quefio viene indicado po r eo . Volviendo a barajar los numeros

naturale s d e una forma mucho mas complicada de 10 que se

hizo ma s a rriba, resulta que tambien eo puede representarse

como un numero natural. EI principia aritmetic o e mpleado

fVr.a teorIa de los numeros transfinitos fue elaborada en la segunda mit ad

del siglo XIX por Georg C antor.

76

por Gentzen no es otro que el principio comun de inducci6n

matematica extendido hasta el eo. A saber, el principia si-

guiente: supongamos que una propiedad [descrita por una

formula a(x) ] cuando valga para todos los numeros menores

que un numero cualquiera y, menor que eo, valga tambienpara y. En tal caso, dicha propiedad vale para todos los nu-

meros men ares que eo.

( \1Y [Y <60 -+ \1z( z <Y -+(a(z) -+a(y »)]-+ \1Y[Y <60 -+a(y)]).

La induccion matematica, hasta llegar a eo. l,representa el

instrume nt o minimal necesario p ar a la demostracion de la

coherencia de la aritmetica ? Esta conclusion no puede soste-

nerse sin ma s, aunque hay por 10 men os d os circunstancias

que pareceria n c onfirmarla: la presencia de una eo-induccion

en todas las demostraciones interesantes de c oherencia de la

aritrnetica ; y Ia demostrabilidad en la aritmetica de la indue-

cion hasta llegar a todo numero menor que so . No obstante,

Solomon Feferman demostro en 1962 que la 60-induccion es,en cierto sentido, mas f uerte que la simple hipotesis de la no

contradictorie da d d e la aritmetica ; por 10 tant o, s e trata de

un instrumento, en rigor no indispensable. La presencia de este

extraiio numero transfinito en las demostraciones de no con-

tradictoriedad de P representa pues, hoy por hoy, una cir-

cunstancia de caracter cas! empirico, para la que no se canoce

todavia una explicacion teorica completamente satisfactaria. 1\

Cuando pasamos de la aritmetica a teorias matematicas

mas comprometidas, cual el analisis, puede obtenerse una

dernostracion de coherencia a traves del uso de un principia

de induccion mas fuerte, a saber , una induccion hasta unnumero transfinito mayor que E O (igualmente representable,

sin embargo, como un numero natural).

Desde un punto de vista intuitivo, estos numeros estan /

midiendo la f uerza de los instrumentos canceptuales neccsarios

para la justificaci6n sintactica de una teoria determinada. Es

como si estuvie se atribuyen do u n «precio» a las distintas

77



teorias matematicas, decidiendo poco a poco cuanta «fianza

matematicai debe invertirse para aceptar la aritrnetica, el

analisis 0 la geometria.

Perc, una situacion de este tipo l,na tiene todos los carac-

teres de la circularidad? A tal fin surge inmediatamente laimagen de un grupo de escaladores que, en la cord ada, se

apoyan unos en otros sin estar nadie «a resguardo». Curio-

\

samente, el metoda axiomatico, que en sus orIgenes se ideo

, tambien para impedir toda forma de circularidad en el con-

I unto de las teorias maternaticas, demostr6 contrariamente

Ic6mo una forma de circularidad resulta ineliminable en el

pensamiento matematico. En tanto que cada sistema formal

aislado representa un punto de vista intuitivo un proceso

lineal (en el que no se admiten las circularidades), el complejo

de las teorias matematicas (y mucho menos el complejo de las

teorias cientificas) no admite que se Ie represente como un

sistema formal unico,

Las razones generales por las que ciertas relaciones de

circularidad e ntre sf SOll, en muchos casas, utiles y fecund as

permanecen bastante obscuras. En tanto que disponemos de

condiciones formales satisfactorias que nos permiten describir

las relaciones internas en una teoria singular, no podemos

I decir que lo mismo valga en el caso d e l a totalidad de las

I teorias . L as leyes que gobiernan la «dialectica- entre las dis-

tintas teorias yacen en el f ondo, hoy por hoy, desconocidasen su mayor parte.

78

2. TEORIA EXTENSIONAL DEL SIGNIFICADO

2.1. Fundamentacion: par Frege

d e la teoria del signif icado

Suele atribuirseJe caracter de acta de nacimiento de la

moder na teoria 16gica del significado a l opusculo de Frege

Sentido y re f erencia, que se public6 en 1892. En este articulo,

Freguntrodujo una di~tinci6n f undamental entre dos clases

de significados de las configuraciones linguisticas: los signi-

ftcados como extensi o&! .s qu e representan la referenda con-)

creta de las configuraciones linguisticas y los significados como

intensiones, que representan el contenido conceptual. En reali~ \

dad, segun es sabido, la distinci6n entre extensi on e intension

es muy antigua: ya se descubre claramente en la 16gica de los

estoicos. Sin embargo, unicamente despues de F rege se de-

sarrolla una semantica rigurosa y sistematica fundada sobre tal

distinci6n.

lEn que consisten las referencias concretas y lo s contenidosconceptuales de las configuraciones lingiiisticas? Consideremos

(res clases de palabras particularmente importantes de unlenguaje, cuyos elementos denominaremos por mor de bre-

vedad expresiones:r,

J) los nombres individuales; III) los predicados;

III) las proposiciones.

79



En e l c aso de l os nombres individuales y los predicados,

resu lt a b ast ante nat ural dec idir e n que estriban, respectiva-

mente, las extensiones y las intensiones. Se p uede asumir

razonablemente que Ia extensi6n d e u n n omb re consista en

el indivi duo c oncreto designado por tal nombre (verbigracia,la extension de «Juan Perez» es el individuo que neva el

nombre de «Juan Perez»), Igualmente, que l a extensi on d e u n

predicado de u n argumento se a e l co nj un to d e tcd os l os

individuos que gozan de tal predicado (verbigracia, la exten-

si6 n del predic ado «hermosos sea el conjunto de todos los

individuos hermosos); y, asimismo, q ue la extension de un

predicado d e dos argumentos sea el conjunto de todos los

pares ordenados de individuos que gozan de dicho predicado,

es decir, una relacion c on dos argumentos (por e jemplo, la

extensi 6n del pre di ca do «padre de» sea el conjunto de todos

los pares ordenados de individuos cuyo primer elemento sea

padre del segundo elemento). Y, en general, que la extensi6n

de un predicado de n argumentos estribe en un conjunto de

zz-plas ordenadas de individuos (es decir, una relaci6n de n

argumentos). Las intensiones de un nombre y de un predicado

son, por contra, los conceptos que las dos expresiones rnani-

fiestan.

En el caso de l as proposiciones, en tanto que es natural

establecer que la intensi 6n c onsist a e n el c onte ni do conceptual

expresa do p or I a pr op osi ci 6n (el «pe nsamiento», que decia

Frege; 0 el «Azx:r61J», como escribian los estoicos); mas

dificil resulta determinar en que estriba la referencia con creta

de una proposi ci 6n. La propuesta av anza da por Fre ge, que

despert6 en un principia eierta pcrplejidad, pero que mas

tarde se impuso decididamente, debido especialmente a susventa jas tecnicas, fue la siguiente: Ia extension de una pro-

I i posi ci 6n es su valor (0 est ado) de verdad, es decir, la circuns-

tan cia de que la proposici6n e n c ue st i6n sea verdad era 0 fa/ sa.

EI origen de la perplejidad debese a l hec ho de que , de e st e

modo, llegan a coincidir en el significado extensional dos

proposiciones, verbigracia «2 + 2 .. 4 » y «estamos en el

80

II

afio 1267» (en cuanto que ambas son falsas). Y ella parece,

en primera linea, contrario a la intuicion y al uso comun.

Este tipo de solucion, no natural en apariencia, viene

sugerido par un criteria general que guia toda la construe-

cion de la semantica fregeana y que llamaremos «criteria deFrege». Se trat a del principio siguiente:

Criterio de Frege

La extensi 6n (0 l a i nte nsi6n, segun) de una expresion no I idebe cambiar cuando en la expresi6n se substituya una SUb.-

expresion par otra que pose a l a misma extension (0 Ia misma

intension, segun),

Evidentemente, si adoptasernos Ia solucion segun la cual

la referencia concreta de una proposici6n es el pensamiento

expresado par la proposicion, el criterio de Frege resultaria,

en paridad con todas las otras condiciones, f acilmente violen-tado. Por ejemplo, las dos proposiciones «Manuel de Falla es

Man uel d e Falla» y «el autor de La vid a breve es Manuel

de Falla» resultarian tener distintas extensiones, aun habien-

dose obtenido una de otra por substitucion de una subexpre-

sian can expresi6n equiextensional,

La dificultad est ri ba e n que e l crit erio de Frege lIe ga a

violarse, en determinadas circunstancias, incluso cuando se

adopt a por convenci6n que la extensio n d e una proposicion

se a un valor de v erdad. Par ejernplo, las dos proposiciones:

«Antonio sabe qu e M an ue l de Falla es Manuel de Falla»

y «Antonio sabe que Manuel de Falla es el autor de La vida

br eve», pueden tener distintas extensiones, a pesar d e haberseobtenido una de otra mediante una substituci6n que respeta

el criteria de Frege. Violaciones de este tipo, como conocian

ya los medievales, se verifican facilmente siempre que se las

tiene uno que haber con proposiciones indirectas.

lDebese concluir, pues, que en ciertos casas el criteria de

Frege p uede falsearse ? Dad o q ue Fr ege pretende salvar la

81

6. Dalla Chiara.



validez universal de su criteria, hab ra que concluir que las

If extensiones y las intensio nes d e las expresiones no estan u 1 1 1 -

~vocamente determinadas, sino que dependen del contexto. Por

ejemplo, asi como e n el caso de la proposicion «Manuel de

Falla es el autor de La vida breve», la extension de la propo-sicion es su valor de verdad; en el caso de la proposicionindirecta «Antonio sa be q u e M anuel de Falla e s el a ut or de

La vida breve», la extension de la subexpresi6n «Ma nuel de

Falla es el autor de La vida breve» no e s su extension ordinaria,

es decir, su v alor de ve rdad, sino el pensamiento que la pro-

posicion expresa, a saber, 10 que en un c onte xt e directo cons-

tituiria su intension.

De esta forma se obtiene un sistema multiple de exten-

siones e intensiones: cada expresi6n tiene una extension y

una intension ordinarias. Pero, en ciertos contextos, Ia exten-

sion de una expresion puede ser, antes que su extension o rdi-

naria, su intension ordinaria; por 10 tant o, s urge Ia necesidad

de constituir una nue va intension. Y el proceso puede iterarse.Obte ne mos a SI una situacion cuya diagramacion esquernatica

puede ser la siguiente:

Intenslcn; = extensrcn, intensiorq = extension,

.xt.nS;6n~

__ __ _- ---- - _ -

expresidn

Esta extrafia multiplicacion de entidades semanti ca s reprc-

senta una de las grandes dificult ades de la teoria fregeana del

signific ad o, p er o n o la mas gra ve. La dificultad de mayor

notabilid ad es triba en la vaguedad de la definicion de inten-

sion. ~Que son los c once pt os? ~Como se le s pue de dar un

tratamiento riguroso ? Despues de Frege, mientras Ia teoria

82

de los significados como extensiones ha sid o am pliamente

desarroll ada en forma matemittica , l a t eori a de las intensiones

perrnanecio durante la rgo tiem po e n el mismo punto exacto

en que la dej ara el propi o Frege. En los proximos apartados

describiremos los desarrollos mas importantes de la semanticaextensional; en el capitulo 3 analizaremos las teorias recientes

sabre Ia intension ..

2.2. La semontica tarskiana

Entre Sentido y referencia y la fundamentacion rigurosa

de la semantica extensional pasaron unos cuarenta afios. No

obstante, en e sc periodo, aunq ue n o existia todavia una teoria

rigurosa del significado, se usaban muy a menudo c on eeptos

sernanticos, de modo informal, en Ia demostracion de algunos

metateoremas import ante s de la logica. EI gran sistematizador

de Ia semantic a ex tension al s er ia A lf red Tarski, qui en, enuna serie de memorias escritas entre 1930 y 1936, publicadas

primero en polaeo y luego en aleman, constituy e Ia teoria

maternatica de los significados como e xt ensiones.

Asumamos entonc es el punto de vista extensional, es de-

cir, c onvengamos en iden!ific.ru:..jQ_s_signif_icado-.S-de l~pr_e-

§iQDes con _8_U_Sextensiones en el sentido de Frege. Tarski se

propone responder a los siguientes problemas: ~que significa

asociar un significado a una t eori a, e s decir, interpreter una

teoria? i,Que significa que una proposicion sea verdadera res-

pec to a una interpretacion dada y que una interpretacion

verifique los axiomas de una teoria ? i,Que es exactamente una \

verdad logica'l Las respuestas de Tars ki s on sumamente natu-

rales . S e trata de e xpresar en «buena caligrafia formal» los :..........:

principios que el pensamiento comun y el pensamiento cien- I ' , f

tifico aplican continuamente, incluso de un modo no ex-,

plicito.

Comencemos por el primer problema: l,que quiere decir

interpretar una teoria 0 s implemente un Ienguaje? Es inme-

83



\

diato responder que interpretar un lengua je significa deter-

_ m inar dos componentes:

I

' - - - I> 11el universo de las cosas de que se intenta hablar 0,

como tarnbien se dice, el uni ver so d el d iscurso;

~)_Ios significados que asumen en este universo las d is-

tintas constantes descriptivas del Jenguaje.

Por mor de simplicidad supongamos que nos enfrentamos

con un lengua je elemental L. En t al caso, l a operac ion de

interpretacion de L puede describirse abstractamente a tra-

ves de un par ordenado <U, v) donde U es un c onjunt o no

vacio que rcpresenta el universo, e n tanto que v es la opera-

cion que asigna los significados en el universo U a las cons-

tantes descriptivas de L. Siguiendo la definicion fre ge ana de

extension es natural establecer que:

I) e l significado que v asoci a a una constan te i nd ividual

es un individuo del universo; en otros terminos, v( ai ) per-

tenece a U [eu f orma: v(a ,) E U J.

2) el significado que v asocia a un predicado de un argu-

menta p ~ es un conjunto de individuos deJ universe V ; con

otras palabras: v(Pt} es un subconjunto de U (en forma:

i v(P j) ~ U). E I significado que v a soci a a un predic ado de dos

argumentos p( 2 es un conjunto de pares ordenados de indivi-

duos de U. Con otras palabras: v(Pi) es un subconjunt o de

todos los pares ordenados de elementos de U (en forma:

v(Pi~ U2 , donde U2 representa el conjunto de todos los paresordenados de elementos de U ). En general, el significado que

v asocia a un predicado de n argumentos P : es un conjunto

de n-pla ordenados de individuos de U. Con otras palabras:

v(P.") es un subconjunto del c on junto de todos los n-pla de

elementos de U (en forma: v(P:l ~ U ., donde U . representa

el conjunto de todos los n-pla de elementos de U).

84

La terminologia tecnica prefiere hablar de realizacion del

lenguaje Lode estructura asociad a a L antes que de interpre-

tacion de un lengua je L.

Hemos lIegado al punto en que podemos definir el con-

cepto de ver da d d e una proposicion d, un l engua je L res-pecto a una realizacion dada < U, v) del lenguaje L. Para

mayor claridad, com encernos por examinar el caso de una

proposicion de forma muy sencilla; par e jemplo, la siguiente:

Pia, (que puede representar la afirrnacion «Julio es prudente»).

~Quecondiciones s e exigen para que Ptal sea verdadera en la

interpretacion < U, v )? Intuitivamente n os s entimos inclinados

a responder; la proposicion Pi al es verdadera en la interpreta-

cion fijada cuando el indivi du o q ue es el significado del nom-

bre a, goce efectivamente de la propiedad que es el significado

del predicado Pi (en nuestro ejemplo: la proposicion «Julio

es prudente» es verdadera cuando rea lme nt e Jul io es pru-

dente). Siguien do estas indicaciones y puesto que hemos con-

venido en indicar el significad o d e alYP I en Ia interpretacion<U , v> respectivamente' con v(a,) y v(Pj) podemos escribir

entonces:

Pia, es verdadera en l a i nterpretacion < U , v ) si y solo si v(a,)

pertenece a v(PD.

EI lector habra advertido como no h emos hecho otra

cos a que aplicar la definicion aristotelica de verdad. EI gran Imerito de Tarski fue el de transformar en una definicion

maternatica rigurosa una idea intuitiva de verdad, profunda-

mente enraizada en el pensamiento comun y del que se sirven

continuamente nuestros razonarnientos, si bien con frecuencia

de modo inconsciente,

Hasta ahora s610 hemos determinado 10 que significa

«verdad» solo e n e l c aso de proposiciones de f orma particu-

larmente sencilla. En proposiciones mas comple jas, que se

construyan mediante aplicaciones de operadores logicos a

partir de proposiciones atornicas, podernos, si n e mbargo,

85



«razonar» de modo natural aprovechando el significado in-

tuitivo de los operadores logicos. 0sea, aplicamos un tipico

procedimiento definitorio por ind uccion sobre el numero de

los operadores logicos que ocurren en las proposiciones para

las que queremos definir el c oncepto de verdad. En pri merlugar, definamos la verdad para proposiciones atomicas, con

cero constantes 16gicas; en un segundo tiempo, demos par

supuesto el conocimiento del significado de «verdad» para

las proposiciones mas simples y, sobre esta base, determine-

mas las condiciones de verdad para las proposiciones mas

comple jas.

Convengamos en abreviar Ia expresion «la proposici6n a

es verdadera respecto a la interpretacion R =< U , v > con 1= a

y analicemos los casos siguientes. R

F = ( 3 V y si y solo si 1= (3 0 bien 1 = y R n R

( (3 v y es verdadera cuando (3 es verdadera 0 lo es y );

1= (3 --+ y si y solo si 0 n o 1 = ( 3 0 bien f= y R R R

( (3 -0y) es verdadera cuando (3 no es v erdadera 0 bi en es

verdadera la proposicion y );

1= (3 < - > y si y .solo si ( 1= (3 y 1= y) 0 bien (no 1= (3 ni tam- R R R R

poco r = y)n

( (3 Hy) es verdadera c ua ndo (3 y y son 0 simultaneamente

verdaderas 0 simultaneamente falsas).

3) sea a una proposicion compuesta m ediante cuantifica-

dores a partir d e proposiciones mas simples, En tal caso a

tiene una de las siguientes formas: 't;f xd3, 3 xd3; sup6ngase,

ademas, que se conocen las condiciones de verdad para p ,Aqui la intuicion llevaria a establecer las siguientes condicio-

nes naturales:1) sea a una proposicion atornica. En tal caso a tiene una

de l as f ormas siguientes: a, = a j ; P ~a i l' " a i n . Definamos

entonces:

1= a , =a , si y s610 si el individuo v(a , ) es identico al indi- R

viduo v(a , );

1= P ;:' a ll ... a ,,, si y solo si la n-pla de individuos < yea ,,), . . . , R

v (a ,,,» pertenece a v(P ;;' ).

't;f xd 3 es verdadera cuando cualquiera que sea el ejemplo ex-

traido del universo U , ( 3 es verdadera para tal e jemplo;

3x d 3 es verdadera cuando para un e jemplo, por 10 men os ex-

traido de dicho universo U , ( 3 es verdadera para dicho ejemplo.

N o o bstante, pa ra poder exigir cuerdamente tales condi-

ciones, es necesario disponer en el lengua je de nombres para

todos los individuos del universo; cosa que en genera l no

suele garantizarse. Establezcamos entonces ampliar el l en -

gua je L d e f or ma que dispongamos siempre de todos esos

nombres (si u es un individuo del universe U convengamos

en indicar con u su nombre)'. Pode mos escribir entonces:

2) sea a una proposicion compuesta mediante conectivas

a partir de otras proposiciones. En tal caso, a tiene una de

las formas siguientes:

+t ( 3 , ( 3 II y, (3 V r, (3 -+,)" (3 < -> y; y supongamos que se

conocen las condiciones de v erdad para (3 y y. Pongamos

entonces:

=-,(3 si y solo si no 1= (3R .R

( . . . . , (3 es verdadera cuando (3 no es verdadera);

1= ( 3 II y si y solo si 1= (3 y 1= y R R R

( (3 II y es verdadera cuando (3 y y son verdaderas a la vez);

1= vx,f J si y solo si para t odo i ndividuo u de U , 1 = (3 (x./ u);R R

1= 3x ,(3 si y solo si para un i ndi vi duo, por 10 menos, u del R

universo U , 1= (3( x./ u). R

I Est a hipotesis comporta en general una ampllacion infinita del lenguaje L,

en cuanto el universe U pudiera ser mas que numerable.

86 87



De este modo hemos construido una definicion formal

rigurosa para el concepto de verdad de las proposiciones de L

respecto a una realizacion R . En este momento disponemos

ya de t odos los instrumentos que nos permiten definir de

manera natural los mismos conceptos de modelo de un sistema formal, verdad l6gica y consecuencia 16gica.

Modelo de un sistema formal

Un modelo de un sistema f ormal es una realizacion del'

lenguaje del sistema que hace verdaderos a todos los axiomas

del sistema.

Verdad 16gica

Una proposi ci on e s una ve rdad logica cuando sea verda-dera en toda realizacio n p osible del lengua je a que pertenece.

Consecuencia 16gica

Una proposicion a es una consecuencia logica de un con-

junto de proposiciones K cuand o t od a r ealizacion (del len-

gua je de K y de a) que ha ga verdaderos todos los elementos

de K hace verdadera tam bien a la proposicion a.

Llamaremos teoria deduct iva a un sistema formal interpre-

tado, es decir, a un sistema fo rmal c on una realizacion aso-

ciada. Y eonvendre mos en reservar el terrnino generico de

«teoria» para los sistemas formales asi como para las teorias

deductivas.

__-- j? Una teorla se dice realizable cuando admite por 10 m enos

l un modelo. Por ultimo, diremos que una prcposicion a es

\ ~ . verdadera en una teoria T cuando a es una consecuencia logica

de los axiomas de T.

88

2. 3. L a teoria de modelos

La semaI]!i£e_ tarskian_asonstituye el f undamento de un

sector muy importante de Ia logica modern a, e l cual a partir

de los afios 30 conocio un gran desarrollo y se institucionalizoba jo e l no mbre de t eoria de modelos.

Aludire mos sol o a a lguno s p roblema s-cl ave que constitu-

yen las premisas de Ia teorla de modelos, sin adentrarnos en

los desarrollos de la teoria, que exigen instrumentos ccrnpli-

cados d e algebra abstracta.

Un problema muy importante contempla las relaciones sub- \

sistentes entre ciertos conceptos sintacticos f undamentales que, la nivel intuitive, se usan de f orma intercambiable,

Del cual problema constituyen ejemplo caracteristico los

dos siguientes pares de conceptos:

a) el concep to sintactico de coherencia y el concepto se- .I:

mant ic o de realizabilidad, - .b) el concepto sintactico de demostrabilidad ell u~a~ori!!.

y el concepto semantico d~_ verdad en ut;; teorla,

El maternatico no formal usa continuamente los elementos

de estos pare s de conceptos de forma intercambiable. Por e jem-

plo, si quiere demostrar la coherencia de cierta teoria (0 de

cierta hipotesis)respecto a una teoria dadar~'Construye un mo-

delo que verifique todos los axiomas de la teoria (0 los axio-

ma s de la teoria con la inclusion de Ia hipotesis considerada).

De e ste modo, por ejemplo, Eugenio Beltrami d emo st ro en

1866 la coherencia de la geornetria no e uclid ea ( hiperbolica)

construyendo un modelo para tal t eori a e n el ambito de la

geometria euclidea. Por contra, el matematico no formal esta

siempre convencido de que una t eoria coherente «hable de

cualquier cosa» y tenga consiguientemente un modelo. Los

progresos de la logica pusieron en evidencia la ilicitud de la

confusion entre las nociones de coherencia y realizabilidad: '

en ambos casos intervienen conceptos cuyas definicione s e xigen

89



insttumentos conceptuales total mente distintos. En este cua-

dro, conseguir demostrar cudles sean las situaciones 16gicas en

que los dos conceptos en cuestion resultan equivalentes (en el

sentido d e ser legitimamente intercambiables) y cuales las

situaciones en que tal equivalencia no se de, significa aportar

un resultado de notable informacion.

En el caso de la 16gica clasi ca elemental puede demos-

trarse la equivalencia entre los elementos de los dos pares

de conceptos: coherencia-reali zabilid ad ; d em ostrabilidad ell-

verd ad e n . Esta equivale nc ia no persist e, en general, cuando

se pasa a 16gicas de tipo superior; es decir, a 16gicas con

lengua jes no elementales, en que se admita la cuantificacion

sobre los predicados amen de los individuos (don de se pueden

expresar efectivamente afirmaciones del tipo: «todas las pro-

piedades ... » , «alguna s propiedades .. .» , «todas las propiedades

de propiedades ... », etc.).

Teorema fundamental

de la l o g ic a c l a s ic a elemental

J) Una teo ria es coherente si y s610 si es realizable.

II) Las proposiciones verdadera s en una teoria son tad as

y s610 todas las proposiciones demostrables en la teo ria.

Las dos partes J) Y II) del teorema f undamental, si bien en

primera instancia pareeen expresar afirmaciones cornpleta-

mente distintas, tienen en realidad «el mismo contenido

logier» en el sentido de que se puede demostrar c6mo J)valdra si Y s610 si vale II).

La parte mayormente informativa del teorema f undamen-

tal viene representada por las dos implicaciones que van de

izquierda a derecha (T es coherente => T es realizable; a es

verdadera en T => a es demostrable en T). Las dos implica-

ciones inversas (T es realizable => T es coherente; a es demos-

trable en T => a es verdadera en T) son, por contra, probables

en f or ma b astante trivial. La i mplicaci6n de izquierda a de-

90

,.,

I {~ \

recha (de l ode II) se denomina tambien teorema de ad ecuacion

(ad eguatezza) 0 de complet ud semantica de la 16gjca elemental,_ - --por cuanto afirma justamente la adecuaci6n del sistema de

reglas de deduccion clasic as , que son capaces de demostrar

t odas las verdades en cualquier teoria. Este teorema f u e de-mostrado por vez primera p or G od el en 1930. La implicaci6n

inversa se llama tam bien teorema de correccion 0 de vali dez de la 16gica e lemental, por c uanto afirma justamente la cor r ec-

cio n de las reglas de deduccion, que permiten demostrar s6 10verda des en una teo ria. \ :

La f ormulaci6n J ) del teorema de adecuaci6n puede demos-

trarse construyendo p ar a una teoria cualquiera coherente T u n

modelo suyo de particular interes que recibe tambien el nom-

bre de mod elo canonico de T. A tal fin se aprovechan los dos

teoremas sintacticos sobre extensiones ricas y completas, que

hemos enunciado en el capitulo anterior. Si T es coherente,

utilizando los teoremas de Henkin-Hasenjaeger y de Linden-

baum se puede demostrar que existe un a extension T' de Tque es coherente, rica y compieta. Resu1ta pues que las corn-

ponentes puramente sintacticas de T' son suficientes para

determinar de modo natural un modelo. En efecto T' goza

de dos c aracteristicas importantes:

J

1) por la riqueza contiene nombres en correspondencia con

toda su afirmaci6n existencial ;

2) por la completud su concepto de demostrabilidad goza

del principio del tercio excluso, y, como tal, puede

«representar» a tad o s los efectos un concepto de v erdad.

Construyamos entonces la realizaci6n canonica C de T'

usando los mismos ingredientes linguisticos que T'.

a ) como universo de C tomemos el conjunto de las cons-

tantes individuales de T';

b) los significados que as ociamos en C a las constantes

individuales son las mismas constantes individuales: v( a, ) = a,

91



(en otros terrninos, toda constante llega a desernpe fi ar el doble

papel de nombre del lenguaj e y objeto del universo). Los sig-

nifi.cados que asignamos en C a los predicados, son relaciones

que se comportan exactamen te co mo p ostula la parte deduc-

tiva de T' . A saber: v(P~,)subsiste entre los objetos an, ... , a..si y solo si Ia proposicion P; / an ... Gi n es un teorema d e T'.

Sacandole partido a l as propiedade s d e coherencia, riqueza

y completud de T' se demuest ra f acilmente que la realizacion

canonica C es un modelo de T' . Y, por tanto, a f ortiori, al

ser T' una extension de T, es un modele tarnbien de T.

EI teorema de adecuacion, l, es caracteristic o de Ia logica

(elemental) clasica 0 b ien pued e extenderse tarnbien al caso

de las logicas fundamentales mas debiles (intuicionista y mi-

nimal)? En el proximo capitulo veremos como resulta f actibJe

elaborar una descripcion sernantica adecuada para las lcgicas

intuicionista y minimal, respecto a las cualcs el teorema f un-

damental resulta extensible. No obstante, sera caracteristica

de esta descripcion semantica el realizarse en el ambito de la

logi ca clasica, es decir, para el logico que procure «pensar»

intuicionf sticamente (0 minimalmente) no solo en la teoria-

objeto, sino tam bien en la metateoria, tales demostraciones,

en consecuencia, careceran de significado.

EI teorema f undamental de la logica clasica tiene conse-

cuencias muy importantes. La primera que hemos de recordar,1 aqui viene representada por el llamado teorema de compacidad

I (0 finitud sernantic a) s eg un el cual una t eoria es realizable si

y solo si toda su subteoria can sistem a de axiomas finito es

realizable (0 de forma equivalente: una proposicion es conse-

. cuencia logica de cierto conjunto de hipotesis si y solo si es1 consecuencia logic a de un subconjunto fin ito suyo). En efecto,

por definicion, los conceptos sintacticos poseen determinadas

propiedades de finitu d: u na teoria incoherente debe c onte ner

una subteoria con numero finite de axiomas que es ya incohe-

rente, por cuanto la demostracion de una contradiccion puede

comprometer s610 un numero finito de axiomas; por igual

92

razon, una proposici6n es demostrable a partir de un con-

junto dado de hi pote sis, solo cua nd o y a es demostrable a

partir de un subcon junto suyo finito. Ahora bien, el haber \

reducido, mediante el teorema f undamental, l os c once ptos

semanticos a los conceptos sintacticos correspondientes, per-mit e t ransferir esta propiedad de finitud al p ropio e jemplo

semantico (en donde nunca pareciera de suyo natural poseer

tales propiedades).

La demostraci6n del teorema de adecuacion, escuetamente

descrito mas arriba, nos posibilita tambien una inf ormacion

ulterior muy importante, referente a la cardinalidad (es decir,

al mimero de los elementos) del modelo canonico. Puest o q ue

toda teorla contiene siempre un numero finito de teoremas

existenciales y, por ende, toda teoria rica contiene un numero

infinito d e co nstantes individualcs, nuestro modelo canonico

debe con tener, por construccion, un numero infinito nume-

rable de elementos. Pudiera suceder, sin embargo, que d os

constantes individuales at y a, sean linguisticamente distintasy que, no obstant e, l a teoria T' d emuestre su igualdad (situa-

ciones de este tipo se verifican tam bien en los lengua jes no

formales cuando se disponga de dos nombres para un mismo

objeto y se hagan, por ejempio, afirrnaciones como la siguiente:

«la estrclla de la manana es igual a la estrella de la tarde»),

En cuyo caso tendriamos:

1) I-a, ~ a, y pOI' tanto 1= a, ~ a,;T' c

pero:

2) y (a , ) ,;, ,' (a , ), es decir, a , ,;, a ,.

Contrariamente a la primcra impresion que puede someter

a prueba at no experto, no se trata de una parado ja: la rela-

cion que es el significado del predica do d e identidad no es

aqui Ia «vcrdadera identidad», sino sola mente una relacion

«suficienternente semejante», que satisfaga las dos reglas logi-

93



cas sobre la identidad. C on o tr as palabras, aunque no del

to d o i denticas, at Y a, son empero mutuamente substituibles

salva veritate, y ella basta para ponernos a salvo de situaciones

parado jicas,

No obstante, se demuestra que siempre e s posible con t raer(contrarre) el modele c anonico, de forma que se eviten las

repeticiones inutiles: los elementos para los que resulta verdad

que son igua le s, se hac en a si realmente identicos. Por su-

puesto, esta contracci6n puede tener, en determinados casas,

el efecto de reba jar la cardinalidad de la realizacion canonica

y transformarla en una realizaci6n fin ita.

Los razonamientos esgrimidos, uni dos a l t eorema de co-

rreccion (que afirma que toda teoria realizable es coherente)

justif ica n en este momento el siguiente teorema:

Teorema de Lbwenheim-Skolem

I I Una teoria realizable admite siempre un modele que es

finito 0 infinito numerable.

En o tros termino s, s us e lementos no son «mas» que l os

numeros naturales.

Historicamente, el teorema de Li:iwenheim-Skolem se de-

mostro algunos afi os ant es del teorema de a de cuacion, me-

diante el empleo de nociones semanticas inf ormales. E1 primer

nucleo del teorema serf a demostrado por Lowenheim en 1915,

generalizandolo ma s t arde el norue go Skolem. Sobre e st a base

se habla hoy de un teo rem a de Li:iwenheim-Skolem «hacia

arriba» (una teoria realizable por 10 me nos en una cardina-

lidad t ransfinita es realizable en toda cardinalidad transfinita.

mayor); y de un teorema de Li:iwenheim-Skolem «baci a a ba joi

(una teoria realizable por 10 me nos en una cardinalidad trans-

finita es r ealizable en toda cardinalidad transfinita menor)",

2 Los teoremas de Lowenheirn-Skolem admiten asimisma intercsantes ge-

ncralizaciones del caso de lenguajes con alfabetos infinitos mas que numerables.

94

\ ,.'

Desde un pun to de vista intuitivo, los teoremas d e Lo wen- \

heim-Skolem demuestran como Jas te oria s elementales , q ue

adrniten por 10 menos un modele infinito, no consiguen ca-

racterizar la cardinali da d de su uni ve rso, e s de ei r, el numero

de cosas de que .hablan, Naturalmente, es to es particularmentegrave en el easo de teorias que hablan de nurneros, por ejem-

plo, en el caso de muchas teorias maternatic as, Resulta pues

una eonseeuencia de los teoremas de Lowenheim-Skolem Ia

inevitable no categoricidad de t oda teoria realizable en el

transfinito . La n o c at eg or ic id ad r epresenta para una t eo ria

un «fracaso descriptivo», En efecto, una teorla es categorica

cuand o d es cribe solo m od el a s i somorfos e nt re si, es decir,

identi cos desde e l punto de vista e structural (modelos iso-

morfos pueden diferenc iar se al maximo por los individuos

contenidos en sus respecti vo s u niversos, perc Ia estructura de

las realizacione s deben ser iguales). En la tabla 6 se da la I

definicion rigurosa de isomorfismo.

Ah or a bien, las teorias matematicas tienen en muchos)!casos un modelo i nt uit ivo privilegiad o, q ue r epresenta el uni- j

verso de la s c osas que el maternatico intenta real mente des-I

cribi r, cuando acomete la axiomatizacion de Ia t eoria. Por

e jemplo , en el c aso de la aritmeti ca f ormal P, el modelo

intuitivo contendra los numeros 0, 1,2,3,4, . ,. (que con-

cebimos intuitivamente) y ninguno atro. Los resulta do s d e n o

categoricidad, a que hemos hec ho ref erencia recientemente,

vienen ahora a confirmar la inevitable existencia de model os

de P, los c uales co ntienen tambien «otras co sas » q ue d e

ningun modo "podemos representa rnos c omo «verdadcros nu-

meros». Modelos de este tipo son los llamados patologicos 0

tarnbien model os no estdndar de la aritmetica (en tant o q ue

el modelo intuitivo se reconoce por estandari'.

En primera instancia, la existencia d e mo delos patolcgicos

representa una ruina para la formalizacion : los sistemas for-

3 Puede demostrarse que Ia aritmetica formal es no categories ya en la

cardinalidad numerable. Con otras paiabras, P admite modelos numerubles

que no son isomorfos can el modelo i ntuitive.

95



males «no aciertan» a describir fielmente 10 que intuitivarnente

quisierarnos que hicieran. Sin embargo, este tipo de fracaso

aparent e s e v e t ransformado pronto e n un analisis posit ive

que ha conducido a inf ormaciones muy interesantes. En la

decada de los sesenta, Abraham Robinson elaboro una ideaque se revelo de suma fecundidad: la de aprovechar positiva-

mente ciertos model o s patol6gicos de la teo ria de los mimeros

reales, tratando como numeros «infinitesimos» los elementos

no estandar de los modelos en cuestion, Como e s sa bido, la

nocion intuitiva de «cantidad infinitesima» conocio un gran

desarrollo decisivo en la obra de los f undadores del calculo

infinitesimal, particularmente en los traba jos de Leibniz . Pero

mas tarde habria de ser desechad a d e la sisternatiza ci on rigu-

rosa de la misma teo ria (ocurrida en el siglo XIX): los infini-

tesimos no tuvieron una existencia maternatica parecida a la

de los numeros verdaderos; era solo una «rayon de parler»

imprecisa.

La leo ria constituida por Robinson y lIamada, por obviosmotivos, analisis no estdndar devolvi6 1a legitirnidad 16gica a

esa a ntigua idea de los f undadores del analisis, idea que se

halla profundamente enraizada en el pensamiento matematico

intuitivo. Tengase presente que el anal isis no est dnd ar no

representa una teo ria alternativa respe cto al analisis clasico,

pues no permite demostrar teoremas nuevos que no resuitan

ya demostrables en el analisis clasico, Sus ventajas son, sobre

todo, de tres tipos:

a) notable simplificacion en la demostracion de teoremas ya

demostrados can medios clasicos ;

b) posibilidad de demostrar, en una situacion conceptualintuitivamente mas simple, teo r em as que en ellengua je

clasico resultarIan diffcilmente concebibles;

c) mayor adecuaci6n respecto al usa que el cientffico em-

pi rico ba ce de los conceptos analf ti co s, en la s a pli-

caciones.

96

Desde un punto de vista filosofico, puede sorprender la

circunstancia por la que solo un desarrollo log ico y f ormal

extremadamente refinado ba ya c onsentido la recuperacion de

una dimension intuitiva prof undamente enraiz ada e n el pen-

samiento matematico y en el uso que, de la maternatica, haceel cientific o e mpirico,

2.4. E l problema de la autoiundamentacion

de las teorias

En el capitulo 1 se via como las teorias suficientemente

potentes y coberentes no pueden expresar un razonable pre-

dicado de verdad y, por tanto, no pueden expresa r de forma

completa s u met at eo ri a. En este capitulo bemos desarrollado

la sema nt ic a para cualquier tipo de teoria elemental. iCon

que instrumentos conceptuales? Resulta f acilment e c ompren-

sible que los instrumentos empleados pertenecen todos a una

teoria matematica particular: 1a teoria de conjuntos.

iQue es la teoria de con juntos? Se trata de una teoria que, Ia pesar de su relativa sencillez y naturali dad , d esde un punto

de vista intuitive, es, al mismo tiempo, y segun se vera en el Icapitulo 4, extremadament e p ot en te d esde un punto de vista "

matematico. Con cierta simplificacion podriamos decir que, )

intuitivamente, la teorfa de conjuntos representa 1a «teoria : C

extensional de los conceptos». Normalmente, una teoria comun 1

no pretende trat ar sus universale s c omo ob jetos propios: por

ejemplo, la aritmetica no prete nde t ratar el concepto de «nu-

mero primo» como un ob jeto propio, es decir, como un numero

natura l particula r. Caracteristica de la teoria de con juntos es,

por contra, la aspiracion a transformar posiblemente todo suuniversal en un objeto propio-, Esta aspiraci6n se encuentra i

sintetizada en dos principios que son el fundamento de la

teoria creada p or G eo rg C ant or a pa rtir de 1872: el principio

de comprension y el principio de extensionalidad .

~ Pa ra u n desarrollo de esta idea, vca sc CASARI, 1969.

97

7. Dalla Chiara.



J) Princi pia d e com prension

Todo concepto puede representarse como un objeto que

este en relacion con todos y solo con todos los objetos que

disfruten de tal concepto.

La relacion subsistente entre un objeto que representa unconcepto y l os objetos que gozan de tal concepto es la copula,

que indicamos por@

II) Princi pio d e extensionalidad

Los conceptos-objeto estan completamente determinados

por los objetos que gozan de ellos.

Mientras el principio J) represe nt a la afirmacion de la

posibilidad de « objetivar» siempre los conceptos, el princi-

pia II) afirma e l caracter e xt ensional de l os conceptos, es

decir, el hecho de que un concepto esta determinado por

los individuos que gozan de ella.

Podemos expresar en un lengua je elemental los dos princi-pios de comprension y de extensionalidad de la forma siguiente:

J) 3YVy[ xE y <-t a( x )];

II) vz[z E X <-+ Z E Y] -+ X = y

Si convenimos en Hamar conjuntos a los objetos-conceptos

de que nos ocupamos y traducimos la copula E como r elacion de

pertenencia entre conjuntos, los principios J) y II) se Ieeran

del siguiente modo:

J) como quiera que fuese dado un concepto que sea des-

cribible a traves de una formula a(x) del lenguaje, existe

siempre un conjunto al que pertenecen todos _ y solo

todos los objetos que gocen de tal concepto;II) si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonees

son iguales.

«Esta teoria extensional de los conceptos que, a primera

vista, parece extremadamente natural y razonable, ha resul-

1 / tado incoherente. En 1902, Bertrand Russell demostro que la

98

,hipotesis, segun la eual todo concepto es representable como l \ un objeto, conduce a contradicci6n. Consideremos efectiva-

mente el concepto descri to por l a formula «no pertenecer a

sf mismo»; y supongamos que, segun quiere el principia I),

exista un objeto Y al que pertenecen todos y solo todos losob jetos x que goza n d e ta l concept o, es decir, que no per-

tenezcan a si mismos. Vale entonces: todo objeto pertenece

a Y si y solo si no pertenece a si mismo (v x [ x EY +-7 X $ x ]).

De donde se obtiene por dictum d e omni: Y pertenece a Y si

y solo si Y no pertenece a Y (y EY <- + Y ¢ y). Lo cual es unacontradiccion,

Despues del descubrimf ento de la incoherencia de la teoria

cantoriana, la actividad de los «conjuntistas» se orienta hacia

la constitucion de teorias fundadas sobre el debilitamiento del

principio I), pero con el mantenimiento del principio II) (que

no resulta peligroso). Estas teorias (conocidas por teorias axio- I

maticos de conjuntos, y contrapuestas asi mi sm o a l a teo ria

cantoriana, Hamada tarnbien teoria intuit iva 0 ingenuai debianmaximalizar (massimaliz zare ) la capacidad de representacion \

de los universales, sin caer no obstante en los desastres a que

abocaba el principio de comprension,

La tabla 7 describe una de las mas famosas teorias axio-

maticas de conjuntos: la de Zermelo-Fraenkel (propuesta por

Ernst Zermelo en 1908 y posteriormente perfeccionada por

Abraham Fraenkel).

Ahora bien, puede demostrarse que las teorias axiomaticasde cop juntos al uso estan todas capacitadas para el<presar la.- - _. -- ,

-s~mantic~~ cualquier teoria elemental: de este modo, los

teoremas de la teoria de model os, examinados en el apartado

anterior se transforman en teoremas formales de la teoria de

,conjuntos. Pero una teoria axiomatica de conjuntos, por

ejemplo, la de Zermelo- Fraenkel (que abreviaremos por ZF)es un particular sistema formal elemental, que resulta as!

capaz de expresar la semantica de todas las teorias elementales

y, por tanto, tambien la propia semantica. ;,No contradice todo

esto el teorema de Tarski descrito en el capitulo precedente?

99



Mas; 6no demuestra, sob re La base d el mismo teorema de

Tarski, la ineoherencia inevitable de la te oria axiomat ica d e

conjuntos, que no pod r i a «por menos de» constituir en su

interior l a antinomia del mentiroso? Tales conclusiones dras-

ticas n o s on necesarias. En efecto, como se recordari, eI

teorema de Tarski recha za s610 que un sistema formal sufi-

cientemente potente y coherente T pueda e ontener una defini-

cion de verdad Ver(x) para la que valga: f- Ver(a) <-+ a, paraT

toda a. P ero no prohibe el caso que, fijada Ver(x) para toda a

no sea una f 3 para la eual f- Ver(ii) <-+ f 3 , a condici6n de queT

no J- a ~ f J . En otros terminos, un sistema f ormal coherenteT

pue de c onten er u na definicion de verdad por la que la verdad

de una proposicion no equivalga a l a misma proposicion; esta

ultima restriccion efectivamente, en general, basta para evitar

la formacion de la antinomia del mentiroso.

La teo ria de conjuntos, si es coherente, se encuentra pues

en esta ex trafia situaci6n: de un l ado, logra describir suspropias realizaciones (y por tanto, definir un concept o d e ver-

dad por sl misma); de otro, «n o a ciert a a » describir como

realizacion propia su u niverso c ompleto (eonstituido por la

clase de todos los conjuntos). Es como si la teoria consiguiese

autodescribirse solo «a trozos», pero no en su integridad.

Podemos ilustrar la situacion con el siguiente diagrama:

v

100

V =universo completo de ZF (que contiene todos los con-

juntos posibles);

Vo =parte del universo que ZF logra describir c omo realiza-

cion propia.

Si ZF es coherente valdran las relaciones siguientes:

I) f- RealzF(Vo)ZF

(es un teorema de ZF: Vo es una realizaci6n de ZF);

2) f- Verv(ii)Hav, para todo aZF' 0

(es un teorcma de ZF: la verdad en Vo de una proposi-

cion equivale a la proposicion «relativizada» en el un i-

verso V ol;

3) no f- a < -+ auZF ~.

(la equivalencia entre a y la «relativizada» de a en el

universo Vo no es un teorema de ZF);

4) no f- Mod z.(Vo)ZF

(en ZF no es demostrable que la realizacion V o es un

modelo de ZF).

La afirmacion 3) es consecuencia del teore ma de Tarski:

si valiese efectivamente J- a -Hav, por la afirrnacion 2) ten-ZF •

driamos t,Verv.(ii) <-+ a, y por tanto ZF lograria definir un

predicado de verdad por el que l a verdad de una proposici6n

equivalga a l a misma proposici6n. La afirmaei6n 4) es una

consecuencia del segundo teorema de Gode l: e n efecto, si

valiera f- Mod( V ol, po r el teor ema f undamental de la logica,ZF

ZF e staria c apacit ad o p ara demostrar la propia cohereneia, y

ello va contra el segundo teorema de Godel,

En este momento, el lector ha podido darse cuenta de que /

(contrariamente a un prejuicio p ro fusamente extendido) la ,I

autorreferencia no es d e suyo fuente de contradiccion, Par

contra, una f orma fuerte de autorref erencia resulta adernas,

para alguna s d e las mas importantes teorias cientlficas, ine-

101



vitable. Sin embargo, cuando se superan clertos limites, los

limites establec idos j usta me nt e por l os teoremas limitativos

de la logica, el «hab la r de si mismos» conduce a desastres.

En cierto sentido, la leccion prac ti ca de los teoremas limita-

tivos consiste en haber enseiiado c omo resulta factible correrpor el borde del precipicio sin caer en su abismo.

2. 5. L 6gic(J8 polivalentes, probabilisticas

e i nducti vas

Hasta aqui hemos i do desarrol la ndo una semantica bajo

la hip6tesis general de que l os estados d e verdad sean dos.

Es decir nos hemo s estado moviendo en el primer cuadro de

la clasificaci6n que se hizo a su tiempo en la «Introduccior»

(el marco de las logicas bivalen-"s). La hipotesis de la biva-

lencia nos perrnitio una notable simplificacion en toda nuestra

construcci6n. No obstante, las dudas sobre la oportunidad de

semejante hip6tesis simplificadora vi enen de muy le jos: mu-

chos ejemplos parecian pro bar la convenien cia de asumir, por

10 men os, un estado intermedio de verdad entre 10 verdad ero

y 10 f also. Consideremos, por ejemplo, el caso de dos propo-

siciones como las siguientes:

«El numero nama la musica»;

«EI proximo presidente del gobierno espafiol mide un metro

ochenta».

6Que senti do pue de t ener a tribui r a estas proposiciones

va lor de verdad 0 falsedad? 6No resulta, por el contrario,

mas razonable, declararlas indefinidts respect o al e st ad o de

verdad?

Como es sabido, el problema fue planteado ya por Aris-

t6teles ·en el f amoso e je mplo de l a proposicion «Manana se

librara aquf una bat al la naval», Y se recordo, en la «Intro-

duccion»,que este pasaje del t exto a ri st ot el ic o dio l ugar a

una celebre polemica historiografica, abierta por Lukasiewicz.

102

Desde un punta de vista teorico, una vez aceptado el

prin~ipio de la polivalencia, es po sible constru~r u~a g ran

varied ad _ de logicas polivalentes distintas, haciendo variar

tantocl mimero de valores de-verdadcomo las condiciones

sernanticas impuestas a los operadores 16gicos fundamentales.

Y es al mismo Idtkasiewicz (seguido por otros estudiosos) a

quien se debe la elaboracion de una serie de l ogicas poliva-

lentes de gran interes. Estas logicas resul ta n t odas subteorias

~especto ala log ica clilsica, e n e l senti do de que todaS-las

reyes polivalentes s o n tam bien leyes clasicas, pe ro no ocurre

generalrnente el c aso inverso, Por contra, son, en muchos casos~

inconf rontables respecto a las Iogicas intuicionista y minimal.

Las logicas polivalentes suelen ser, como la Iogica biva- ,

lente_ clasica, veritat ivo_- juncionales. ConOtras palabras, .el _~.~ o val or de ve rdad de una proposicion depende exclusivamente 1 1 / "de los valores de verd'!_d de sus partes atomlc~ (0 de opor-

tunas transf ormaciones de sus partes atornicas). Un .tiRo b as-

tante interesante de logica polivalente no relativo-funcionalpuede obtenerse transfirie ndo a la semantica logica los con-

ceptos de la ~oria de la probabilidad : a tal fi n basta concebir

una atribuci6n de valoresaeverdad como una asignacion de

valores de probabil idad a l as proposiciones del lenguaje, asig-

naci on que, naturalmente, debe obedecer a los axiomas del

cal cu lo de probabilidades. En cuyo caso resul ta que el

;;alar de probab il id ad d e un a p roposic ion compuesta no es

general f unc ion de l os valores de sus proposiciones compo-

nentes. L6gicas de este tipo recibieron el nombre, par motivos

evidentes, de logicas probabi/{st iE_qs. Tales logicas constituyen

la base de un sector de investigaciones hoy en expansion, que

recibe el nombre de 16 gica in4!!E!!!!. EI problema central de

la logica inductiva puede sintetizarse de l a forma siguiente:

6Co mo p ueden codificarse los principios que nos guian en

nuestras asignaciones de probabilidad? En otros terminos, si

tenemos cierto sistema de datos, la traves de que r eglas raciona-

les asignamos valores de probabilidad a las hip6tesis generales?

Los problemas de la logica inductiva se encuentran todavia

103



hoy en vias de elaboracion. Y no estan del todo claras las.

relaciones que existen entre este tipo de teorizacion 16gica y

las situaciones teoricas concretas .....en las que se hace usa del

concepto de probabilidad 0 de.f ormas , de induccion (como,

por ejemplo en la estadlstica 0 en la, ffsica),

En afios recientes los enfoques logicos de tipo polivalente

han tenido, en sus distintas formas, una gran difusi6n. En su

origen, se juzgo a la 16gica polivalente, sobre todo en los

circulos logicos, como un habil artiiiCW--matematico.En lineas

generales, no se ponia en d ud a el que la Iogica fundamental

fuese esencialmente bivalente. Todavia en 1952, Rosser y Tur-

quette, presentando el primer manual de logicas polivalentes,

describian en forma un tanto cuestionable la importancia y el

significado de este tipo de logica para las teorias cientificas

(en particular para las teorias fnatemiticas). Los factores que

hicieron cambiar muy rapidamente [a situacion a este respecto

f ueron, sabre todo, los siguientes:

I) el uso afortunado de jnstrumentos polivalentes y pro-

babilisticos en la solucion de .prcblcmas clasicos relativos a

los fundamentos de la matematica. De tal introduccion de un

«conocimiento de tipo aproximado» en Ia teoria clasica de

conjuntos, hablaremos en el capitulo 4;

2) el fenomcno de proliferacion de l as I ogicas y la ut ilidad

de describir su sernantica de forma intercambiable, en e lmarco de un enfoque bivalente 0 polivalente;

3) los progresos de la Iogica inductiva, a la que hemos

aludido antes;

4) el desarrollo d e analisis logicos aplicados a la preble-

matica de las ciencias empiricas.j donde es determinanteel

usa del concepto de probabilida<!:_En esta situacion, Ia postura intuitiva tradicional tiende a

hacer un giro de ciento ochenta grados: lalQgica bivalente se.

enjuicia c om o de maxima idealizacion (el verdadero art ificio

matematico), en tanto que se mantiene que logica «concreta»

eventual seria esencialmente p?li~~Iente.

104

3. TEORIAS DE LA INTENSION Y LOGICAS

ESPECIALES

3.1. La semdntica de Kri pke

Historicamente, el termino semantica extensional s e h a

empleado con dos sentidos distintos, por 10 menos:

I) en el sentido de semantica desarrollada en el ambito de

la teoria extensional de los conceptos (es decir, de la teoriade con juntos);

2) en el sentido de semantic a s egun el cual el valor de

verdad de una proposicion respecto a un estado determinado

de cosas (tecnicamente respecto a una realizacion) dependesolo de dicho estado de cosas.

La semantica que estudiamos en el capitulo anterior es

extensional e n ambos sentidos. No obstante, se vio como este

tipo de sernantica implica solo un aspecto de la teoria del

significado de Frege: escapa a esta teoria, por e jernplo, laposibilidad de construir un analisis adecuado de los contextos

indirectos. Para superar estos limites, se impuso recientemente

un punto de vista que podriamos llamar «semiextensional»,

que se caracteriza por el mantenimiento de la componente 1)

con abandono, al propio tiempo, de la componente 2).

10 5



El expedien te t ecnico f un dam en tal d e este programa fue

una realizaci6n de la semantica tarskiana, ideada por Saul

Kripke hacia finales de la decada de los cincuenta. A poste-

riori, la idea-base de Kripke parece casi e l «huevo de CoI6n»

respecto a la teo ri a clasi ca de modelos, y no dej a de ser cu-

riosa q ue, entre la fundamentaci6n tarskian a d e la semantica

y una generalizacion tan natural de la misma, hayan tenido

que transcurrir treinta alios largos.

Merit o de Kripke fue haber rot o una dic ot omia caracte-

ristica de la semantica tars kiana, que consiste en considerar

siempre, en 10 ref erente a las relaciones entre las proposiciones

y los estados d e cosas (tecnicamente, las realizaciones) a que

las proposiciones se refieren, exc1usivamente dos casas-limite:

el representado por un est ado de cosas unico y e l representado

por todos los estados de casa s p osibles. Como se recordara,

en el primer contexto qu eda definido el concepto de verdad,

en tan to q ue en el segundo quedan definidos los conceptos de

verdad logica y consecuencia Iogica, La idea de Kripke es,por contra, en general, q ue la verdad de u na proposicion

puede depender no s olo de un unico est ad o d e c osas y ni

siquiera de todos los estados posibles, ante s bie n de un opor-

tuna «sistema de estados de casas» particularmente relevante

I [ segun el discurso que se construye. En rigor, una realizacion

en el sentido d e Kripk e (correspondiente a la idea intuitiva de

«sistema de estados de cosas» ) puede definirse sencillamente

c om o una familia de realizaciones en el sentido de Tarski,

familia a la que puede imponerse cierta estructura relacional,

que varia de un caso a otro.

En los apartados que continuaran consideraremos algunas

aplicaciones del enfoque kripkiano a la constitucion de una

semanti ca p ar a l as logic as especiales y las Iogicas fund amen-

tales no clasicas; asi como al problema de una caracteriza-

ci6n «semiextensional» del vago concepto f regeano de in-

tension.

106

3.2. Las logicas modales

Las Iogicas modal es c onstituye n el ej emp lo mas antiguo

de «Iogicas especiales», en el senti do de logicas que no admi-

ten (por 10 menos en el ambito de la bivalencia) una descrip- I Ici6n semantica extensional intuitivamente plausible. Como es ~

sabido, remonta sus origenes hist6ricos a Arist6teles; en tanto

que el terrnino «modalidad» viene de la tradici6n logica me-

dieval que distinguia los modos c on que l as proposiciones

podian ser verdaderas: «necesariamente verdaderas», «contin-

gentemente verdaderas», etc.

El fundador de las logicas mod ales modernas fue el ingles

C. -1. Lewis, quien, a partir de 1912, ela boro una- serie de

calculos orden ad os a regular el comportamiento Iogic o de l as

locuciones «es necesario que ... » y «es posible que ...». Durante I

mucho tiempo, no se consiguio dar una interpretacion seman-

tica intuitivamente satisfactoria para todos estos calculos idea-

dos p or Lew is ( y p osteriormente por otros estudiosos). Entodo caso, la pluralidad de las logicas modales conocidas que

aparecieron, en cier ta medida, todas razonables, demostraba

como el uso intuitive de los conceptos de «nccesidad» y «po-

sibilidad» no era completamente univoco.

Si indicamos respectivamente con L y con M los opera-

dores «es necesario» y «es posible» (y escribimos La para

«a es necesario» y Ma para «a es posible»), nos podernos

preguntar si valen las siguientes relaciones:

I)La ..... ...,M...,a

M a( --)o ...., L~ a;

2) La ->a

a -e- M a;

3) L ( a -> fJ) -+ (La -> L f3)

(Ma -> M fJ ) -e- M(a -+ fJ );

4) La -+ LLa

MM a-+ Ma;

5) a =v LMa

M La-+a;

6 ) MLa_ La

Ma-+ LMa.

Se advierte e n segui da que, mientras l a s relaciones 1)-3)

representan unas caracteristicas f undamentales y, aparente-

107



mente, irrenunciables de los conceptos intuitivos de necesidad

y posibilidad, los principios 4)-6) resultan mucho m as o pi-

nables. En realidad, a nivel intuitivo, las preguntas «si algo

es necesario, ies necesario que sea necesario ?» (4)); «si alga

es actual, i,es n ecesario que sea posible ?» (5)); «si algo esposiblemente necesario, I.es necesario ?» (6)) admiten como

igualmente razonables tanto una r espuesta afirmativa como

negativa. De ahf el origen de la pluralidad de los calculosmodales. Los principios 1)-3) dan lug ar al calculo modal

minimal que ha sido llamado sistema n. T + 4) da lugar al

llamado sistema S .; T + 5) al sistema B, mientr as S + 6)

determina el sistema S •. Puesto que S. y B no son uno sub-

sistema del otro, resultando no obstante ambos subsistemas

de S5, sus relaciones son representables por el diagra ma si-

guiente:

EI instrument o d e l a semantica k ripkiana ha conseguido

aportar una interpretaci6n intuitivamente plausible para todos

esto s calculos diferentes, que, en el tratamiento de Lewis

habian quedado, en con junto, bastante misteriosos. En reali-

dad, hacia tiempo que se tenia concicncia de que el analisis

logico de los operadores modales comporta, de f orma extre-

madamente natural, la antigua idea leibniziana del «mundo

I En realidad, para obtener T es precise enriquecer el sistema de reglas

de deduccion con una nueva regIa (caracrenetica de las logicas modales); la

I regIa siguiente: :a (si he demostrado a puedo demostrar: a es necesaria).

I08

posible»: la verdad de una necesidad significaria «verdad en

to do mundo posible»; en tanto que la «verdad de una posi-

bilidad» significaria «verdad por lo menos en un mundo po-

sible». Sin embargo, la dicotomia caracteristica de la semantica

tarskiana (que, como se ha visto, consideraba solo dos casos- I

limite: 0 todos los mundos posibles 0 s610 un mundo posible)

no conseguia dar una justificacion, sobre esta base, para la Ipluralidad de las distintas logicas mod ales. Con la semantica

kripkiana se hace natural imaginar que una realizacion en el '\

sentido de Kripke represente intuitivamente un «sistema de imundos» estructurado de cierta manera particular: los mundos

correlacionados entre sf en esta estructura, son justamente los

mundos que son posibles uno f rente a otro 0, como tambien

se dice tecnicamente, l os mundos accesibles entre S 1. Las dis- I t

tintas condicio nes que se pueden i mponer a esta relacion de

accesibilidad son justamente las que dan lugar a tantas 16gicas

modales distintas. Resulta que una relaci6n de accesibilidad

(solo) refiexiva determina el sistema T; en tanto que unarelacion reflexiva y simetrica determina B; una relacion retle-

xiva y tr ansitiva, S 4 .; y, por ultimo, una relaci6n de equiva-

lencia) es d ecir, dotada de las propiedades reflexiva, s imetrica

y transitiva) deterrnina S 5 ' El termino «determina» tiene un

significado tecnico preciso, a saber: las proposiciones verda-

deras en todo mundo de una realizacion de Kripke cualquiera,

cuya relacion de accesibilidad sea una relaci6 n de equiva-

lencia, son todas y solo todas las proposiciones demostrables

en S 5' Y analogamente en los demas casos.

Las distintas condiciones de accesibilidad I,representan algo

que tenga significad o e n una perspectiva intuitiva? En muchos

casos resulta posible afirmarlo. Por ejemplo, una relacion de

accesibilidad reflexiva y transitiva, pero no simetrica, puede

conectarse facilmente con la idea intuitiv a de « accesible» en

el sentido de «posible en el f uturo». Sin embargo, las logicas \ modales constituidas a 10 largo de la hf storia son mas que

los cuatro sistemas que hemos considerado, y n o s e puede

aportar una interpretacion intuitivamente significante para

109



todas ellas. En este sentido, la evoluci6n de las logicas mo-

dales representa un ejemplo muy caracteristico del proceder

del analisis 16gico.En muchos casos, se trata de ind agar sobre

determina da s estructuras racionales, de l as que el razona-

miento cientifico

y comun se sirven continuamente, perc con

frecuencia de forma muy imprecisa, conf usa y a veces contra-

dictoria. Las teorias propuestas por los 16gicos son, al propio

tiempo que expli caci ones para estas estructuras intuitivas,

cr eaci ones de nuevas estructuras.

3 .3 . L6gicas temporales y 16gicas

epistemicas

Pararemos la atencion e n este apartado sobre dos~eml'los

particulares de 16gicas especiales (las logicas temporales y las -

logicas epistemicasi, ya que se trata de dos casos que, de modo

bastante singular, r epresentan respectivamente, un gran exito

y un gran golpe para la sernantica kripkiana. Como se vera,esta situaci6n tiene consecuencias tam bi en sabre el problema

de la constitucion de una teoria general de la intension.

. Las logicas temporales significaron el ingreso en la Iogica

\ matematica de una dimension, la del tiempo, que una larga

! tradici6n mantuv o r adicalmente alejada de la logica. Segun

opinion cultivada dur ante mucho tiempo, caracteristica fun-

damental de la 16gica seria la abstraccion del t iem po, Esta

abstraccion af ectaba a la ciencia de la logica en su conjunto,

como si se tratase de un limite te6rico especifico suyo: pien-

sese, por e jemplo, en muchas objeciones de tipo dialectico

segun las cuales, por el mero hecho de h allarse f undamentada

esencialmente sobre la abstraccion del tiempo, la logica formal

seria incapaz, de suyo, de asumir el deveni r de 10 r eal .

Hoy podemos decir que «el tiempo ha entrado con deci-

. J sion en la logica». Aunque el fenomeno no sea exclusivamente

recientes, solo despues de 1950 se ha asistido a una verdadera," 2 Como es sabido, Jos 16gicos medievales, los 16gicos arabes y antes los

f megdricos y estolcos esbozar on f ormas de 16gica temporal.

110

explosio n de investigaciones en este campo, ligadas sabre todo

a los nombres de Arthur Prior y Nino Cocchiarella.

La semantica kripkiana tiene, en el caso de las logicas

temporales, una aplicacion extremadamente natural. Puede

imaginarse ef ectivamente que una «situacion de cambio» sea

describible f ormalmente mediante una realizacion kripkiana

{M'};'l donde toda M, representa el estado de cierto mundo

en el instante i , mientras I cs el intervalo temporal co nside-

rado. Por motivos obvios, una realizaci6n kripkiana del ge-nero recibe t am bien e l n ombre de historia. Los problemas mas

comunes de que se ocupan los 16gicos del tiempo tienen esta

forma: se trata de definir mediante razonable s condicionessemanticas de los operadores temporales (como por e jemplo,

«en f uturo», «en pasado», «siempre», «cualquier vez», «sucede \

en cierto tiempo t », etc .) y elaborar por tanto calculos, ca-

paces de regular, d esde un punto de vista sintactico, el uso

de estos operadore s, e s decir, el usa de inferencias de tipo

temporal. Al iguaI que las Iogicas fundamentales, regulan elusa de las conectivas y los cuantificadores (y por ende el uso

de inferencias de tipo fundamental).

El lector no se maravillara ciertamente reconociendo que,

tambien aqui, no resulta posible escapar a situaciones de no

univocidad. No existe una 16gica temporal unica, capaz de

regular el uso correcto de las inferencias temporales. Carac- {,

teristica de estas inf erencias es, entre otras cosas, la inevitable (

dependencia de la hip6tesis sobre estructura del tiempo, lEI I

tiempo es finito 0 infinito? lLinealmente orden ad o 0 n o?

~Con orden discreto, dense ° continuo? etc., etc. Todas estas

diferentes hipotesis sobre la estructura del tiempo dan lugar

a otros tantos calculos temporales distintos. En la tabla 8 '

damos el ejemplo mas sencillo de calculo temporal, elllamado

«calculo temporal minimal» (ideado por Lemmon) cuyo len-

guaje contiene s610 dos operadores temporale s « en el futuro»

y «en el pasado», y cuyos axiomas no albergan ninguna hipo-

tesis sobre la estructura del orden temporal.El concepto de «instante: constituye un problema impor-

III



tante en las Iogicas temporales. EI concepto de instante que se

I usa habitualmente en las logicas temporales ha sido tornado

: prestado de la descripcion fisico'matematica clasi ca de losfen6menos su jetos a cambio, fundandose en la hip6tesis de

at omos de tiempo ( justamente los instantes) en que no pueden

ocurrir cambios (a este respecto vale todavia el parangon con

la flecha de Zenon). La aplicacion kripkiana de este punto de

vista se realiza en la hip6tesis de que todo cambio pueda

describirse a traves de un conjunto de transformaciones ins-

tantaneas caracterizadas por cambios de valor de verdad de las

! proposicione s d el lengua je en los distintos estados del mundo

,M " donde toda M ,; en cuanto realizacion tarskiana (biva-l Iente), goza tanto del principio de no contradicci6n (una pro-,

posicion y su negaci6n no valen ambas en M,) cuanto del

principia del tercio excluso (una proposicion 0 su negaci6n

vale en M , ).

~Se puede abandonar una hip6tesis de tanto exito historico

como la de los atomos del tiempo? ~Tiene sentido asumircomo concepto-base, antes que el instante, un concepto de

t em pusculo, entendido como intervalo de tiempo Llt «suficien-

temente breve», y describir una situaci6n de mutaci6n en el

interior de un tempusculo zl t sin volver a caer en la subdivi-

sion de L1t en atomos de tiempo? T enemos una posibilidad

en la hip6tesis de que el cambio caracterizado por el paso

de a a ~ a en el tempusculo L1t defina una «zona» (cinfini-

tesimas respecto al orden d e tamafio de los umbrales tern-

porales considerados) en que valga a la vez a y -rt a y tal zona

no sea ulteriormente subdivisible en dos zonas. en que valga

definidamente a 0 " " " 1 a. Con otras palabras, una mutaci6n

puede implicar una contradiccion, la cual debe ser no obstante

«suficientemente breve» y no durar a lo largo de todo el

tempusculo considerado.EI primer enf oque formal de importancia hacia una Iogica

temporal sin atomos de tiempo y «con contradicciones» fue

propuesto en 1968 por el 16gico finlandes G. H. von Wright.Este tipo de logica admite una descripcion semantica natural

112

«a la Kripke», donde los elementos de las realizaciones krip-

kianas representan, aqui, los estados del mundo en un tem-

pusculo L1t dado, mas que en un instante i dado. Tecnica-

mente, todo M At puede describirse como una realizaci6n

(tarskiana) polivalente con con junto infinito continuo de va-lores de verdad. Puesto que relativamente a los mundos M " ,ya no son validos los principio s d e no contradiccion y del

tercio excluso, se hace posible, sabre esta base, describir for-

malmente una situacion que corresponda a l a i dea intuitiva

segun la cual «puede darse una contradicci6n e n el in terior

de un tempusculo», De este modo, un tipo particular de16gica especial polivalente c on sigue traducir algunas ideas

que, desde un punto de vista intuitivo, parecen sugeridas

por una logica de tipo dialectico,

Con estas breves alusiones a las logicas temporales hemos

hallado forma de medir la p otencia del instrumento kripkiano,

el eual eonsigue, ademas, subsumir sugerencias que parecen

venir de tradiciones fi1os6ficas alternativas respecto a la cul-tura logico-maternatica ". El caso de las J6gicas epistemicas

representa, por c ontra, dentr o d e c iertos limites, un golpe

ba jo para la sernantica «a Ja Kripke».

EI problema fundamental de las logicas epistemicas es la Iconstitucion d e u n calculo y una semantica intuitivamente Iadecuados, para los operadores l6gicos «X sabe que ...»,

« X piensa que ... », «X cree que ...», etc., operadores que lla-

mamos justamente e pist emicos. Puesto que, en general, un

indivi duo n o es omnisciente, no tiene ningun sentido r epre-

sentar el conjunto de sus conocimientos como un conjunto

constitui do por todas las proposiciones verdaderas e n una

realizacion tars kiana determinada (resultaria ef ectivamente que

para toda proposicion a, X conoce a 0 bi en --. a). Parece,

no obstante, que un conjunto tal de conocimientos pueda

a Com o se observe en la «Introduccion», casos como estes parecen COD-

firmar la posibilidad de una «englobacion» en la 16gica de ciertos aspectos

de Ia dialectica.

113

8. DaUa Chiara.



venir razonablemente representado como una interseccion

oportun a en tr e tantos con juntos cuy os elementos son pro po-

siciones compatibles con los conocimientos de X . Se trata de

u na i dea q ue ad mit e u na d es cripcion natura l semantica a

traves del instrumento kripkiano. Podemos imaginar e n efectoque los elementos de una realizacion kripkiana R representen

los «mundos compatibles con los conocimientos de X», y asi

definir la verdad en R de la proposicion «x couoce a» como

verd ad d e a en todo elemento de R.Sin embargo, surge una dificultad bastante g ra ve: segun

este tipo de t rat ami ento resulta que, si es verdadero «X co-

noce a» y si la implicacion a --;.-f J es una ley logica, entonces

tambi en e s verdadero «X conoce f J » . En efecto, si a --7- f J es una

ley Iogica por el teorema de correccion, es v erdad en todo mundo

Mx compatible c an l os conocimientos de X; por tanto si a es ver-

dade ra e n todo Mx tambien f J debe ser verdadera en todo Mx;

, y por tanto es verdadero que «X conoce f J » . [Cualquiera que

conozca los axiomas de u n sistema formal dado ( por e jemplo,de la geometria euclidea) conoce inevitablemente entonces

tam bi en todos los teoremas de tal sistema! Este e s un resultado

que contrasta can la i ntuicion y el usa com tin. Par tanto no cs

1 posible aplicar el instrumento kripkiano de f orma tan sen-

I cilIa y directa en el caso de las Iogicas epistemicas,

EI proble ma de c arac ter general, c omprometido en este

tipo de di fi cult ad , puede sintetizarse asi: i ,hasta que punto la

mente humana se encuentra cerrada respe cto a un sistema de

regla s de de duccio n ? Co n o tr as p ala bras, i ,hasta que punto

la mente humana se aseme ja a un sistema formal? Si ec hamos

una ojeada a la t abla 4, donde se describe n l as r eglas de

deduccion, nos daremos facilmente cuenta de la «naturali-

dad» de t ale s reglas. Todo ser racionaI situa do frente a las

premisas de una regla determinada puede sacar la conclusion.

Pero en cuanto comienza a iterarse el proceso de aplicacion,

empiezan a surgir las dificultades. i,Se puede 0 de que modo

tiene sentido establecer una suerte de «umbra » de deduci-

bilidad?

114

Tales son los problemas abie rt os t odavia por las logicas

epistemicas, a lo s q ue s e intent a d ar hoy una solucion, recu-

rriendo tambien a instrumentos sacados de la teoria de la

probabilidad y de la teoria de la informacion".

3.4. Teorias de la intension

Otro campo en que el instrumento de la semantica krip-

kiana se ha aplicado con exito, solo relativo, contempla el

problema de la constitucion de una teoria general de la inten-

sion. Como se ha visto, la dificultad p rincipal del concepto

fregeano de intension venia representada por su vaguedad

que, contrapuesta a la cabal delimitacion del concepto de

extension, dura nt e mucho tiempo llego a obstaculiz ar el

desarrollo de una teoria de las intensiones que tuviera una

dignidad matemat ic a parangonable a la de la semantica ex-

tensional. De hecho, la teoria de los significados como inten- \ siones perrnanecio, durante casi media siglo, en el punta

exacto en que la de jara Frege.

En 1947, con la obra Meaning and N .§_~ (Sign ificad o

y Necesidad), Rudolf Carna p propuso una explicacion rigurosa

p ar a el vaporoso concepto f regeano de intension. EI f unda-

m ento de su propuesta consiste en distinguir en la equiva-

lencia 1 6gica una condicion necesaria y suficiente para que

d os proposiciones tengan intension igual . En e st e punto, la

tentacion abstracta llevaria espontaneamente a id entificar,

asimismo, la intension de una proposicion can la clase de las

proposiciones Iogicament e equivalentes a ella (es decir , c on lo

qu e los algebristas de la logica denominan «elemento del

algebra de Lindenbaum asociado a la proposicion»), Pero

I ICarnap rechaza ese paso que juzga antiintuitivo : La intension (

de una proposicion es, para el, una entidad extralinguistica

, Estes problem as f ueron estndiados de m odo particu la r p o r J. HINTIKKA,

1962 Y 1970.

, _ "0~

,\ D

..l....01~O"

115



/ 1

' a la q ue se impone como (mica condicion el ser comun a

todas las proposiciones logicamente equivalentes.

Pero, i,resulta realmente adecuado, respec to a la intuicion

y al uso comun, asumir que dos proposiciones sean equiin-

tensionales, si y s610 si son 16gicamente equivalentes? Consi-

deremos, por e jemplo, los dos pares s iguientes de proposiciones:

a ) .Los estudiantes solteros se alojan en la primera planta

de l a r esidencia universitaria.

a') Los estudiantes no casados se alojan en la primera

planta de la residencia universitaria.

b ) Jorge sabe que: « 0 ll uev e 0 n o Ilueve»,

b') Jorge sabe que: «si la hipotesis de que la lluvia com-

porte un descenso de temperatura implica que llueva, entonees

llueve».

La intuicion comun, partiendo de la indicaci6n de Frege,

se vera obligada a concluir naturalmente que a) y a') tienen

l a m ism a intension, por cuanto expresan «el mismo pensa-miento», e n ta nto qu e b ) y b ') tienen distintas intensiones

(b podria ser verdadera, inclusive aunque b ' f uera falsa).

Por contra, segun la definicion de Carnap, deberia verificarse

exactamente la situacion invers a. En efeeto, a) y a' ) no son

logicamente equivalentes, puesto que la proposicion «x es

soltero si y solo si x no esta casado» no es una verdad logica.

Por el contra rio, b) y b') resultan logicamente equivalentes,

dado que las dos proposiciones subordinadas en b) y en b')

representan dos e jemplos de verdades logicas (clasicas), y las

verdades logicas son todas Iogicamente equivalentes entre sf.

No obstante, mientras que la subordinada de b) representa

un ejemplo de verdad logica particularmente simple e intui-

tivo, el principio del tercio excluso, la subordinada de b')e jemplifica una verdad logica clasica mas compleja y de ningun

modo intuitiva, la Hamada ley de Peirce (]« -> (3 ) -+ a]-+ a).

lEI caso de las proposiciones a ) y a' ) parece demostrar por

'tanto la 'noportunidad de asumir la equivalencia logica como

una condicion necesaria para que dos proposiciones sean

11 6

equiintensionales, en tanto que el caso del par b) y b') de-

muestra que la equivalencia 16gica no es racionalmente ni

siquiera una condicion suficiente para la equiintensionalidad.

_(:;i!.r:!!.ap j'ue__£Qnscientede las dificultades que planteaba su

_definicion de intension. En 10 concerniente a la oportunidad Ide imponer la equivaiencia logica como condicion suficiente I

para la equiintensionalidad, el reconocio que, con tal condi-!

cion, se obtiene un concepto de intensi6n mas debil que el de ,

Frege, concepto que, en general, no se aplica con exito all

analisis de contextos de tipo epistemico, En el caso de con- .

textos epistemicos., la relacion de equiintensionalidad debe

substituirse p ar u na relacion m as f uerte, de isomorfismo 0 < '(

int ensional: esta Ultima nocion no encontro nunca, sin em-

bargo, un nivel de precision totalmente satisfactorio para

Carnap ni para otros autores.

En cuanto a la oportunidad de la condicion de necesidad

de Ja equivalencia Iogica, Carnap se ve forzado siempre a

concebir la «verdad 16gica» en un sentido bastante lato, asaber, como sinonimo de «verdad analitica», e inc1uir asi,

entre las verdades logicas, proposiciones cuya verdad depende

exclusivamente del usa Iinguistico, eual es el easo ejemplar de

«x es soltero si y solo si no esta casado».

Pero los distintos ensayos de Carnap por establecer una

definicion formal rigurosa de «verdad analitica» nunca se

vieron coronados por el exito. Tras las huellas de la critica

acerba de analiticidad que llevara a cabo Willard Van Orman

Quine, la tendencia general de los e studiosos hoy es reconocer/)la imposibilidad de una distincion de principio, realizada con

criterios puramente formales, entre verdades analitieas y ver-

dades sinteticas.

EI instrumento de la semantica kripkiana permiti6 trans-

format de modo natural la definici6n de Carnap de intensi6n:

as! como resulto relativamente facil renunciar a Ia necesidad

de la condicion de equivalencia logica para la equiintensiona-

lidad, aparece mucho mas problematica por contra la posi-

bilidad de abandonar la suficiencia de la condici6n.

117



i . A Richard Montague, sobre todo, se debe la sistematiza-

\

' cion maternatica de una nueva teoria de la intension, caracte-

, rizada por el uso del instrumento kripkiano en el ambito de

\ un enfoque «semiextensional». En la sistematizaci6n de Mon-

tague, las extensiones y las intensiones de las expresiones deun lenguaje resultan siempre definidas relativamente a una

realizaci6n kripkiana R_= {M,},.,,__donde los subindices ide

los mundos M ( representan puntas de referencia genericos

que varian en razon de los contextos (de vez en cuando po-

drian ser instantes temporales, 0 bien contrasignos de mundos

posibles, etc.). Mientras la extension de una expresi6n siempre

"

queda definida respecto a un mundo particular M " la inten-

sion se define respecto a toda R. EI concepto de extension no

sufre modificaciones respecto a la sernantica tarskiana:

a) la extension en M, de una constante individual es un

elemento del universe de M (;

b) la extension en M , de un predicado de un argumentoes un subconjunto del universe de M ( ; la extension de un

predicado de n argumentos es un conjunto de n-plas orde-

nadas de elementos del universo;

c) la extension en M , de una proposici6n es un valor deverdad: el valor verdadero cuando la proposicion es verdadera

en M t ; el valor falso, en cualquier otro caso.

l [La intension de una expresion en la realizacionR queda

identificada simplemente can el sistema de sus extensiones en

los diferentes elementos M , de R (en abstracto, un sistema

tal de extensiones puede describirse tarnbien como una fun-

cion que a todo subindice i asocia la extension en M ~ de la

expresion considerada). Verbigracia: si R representa el sis-

tema solar en cierto intervalo temporal I , la intension de la

constante individual «Tierra» es el conjunto de todos los

objetos concretos que corresponden a la Tierra en los dife-

rentes instantes que pertenecen al intervalo I ; en tanto que

la intension de la proposicion «la Tierra esta en el perihelia»

118

es el conjunto de valores de verdad de la proposicion en

cuestion en los distintos instantes de I.

Puede suceder que el lenguaje contenga operadores logi-

cos 0 que satisfagan la condici6n siguiente: la verdad en M ,

de una proposicion a que contiene 0 depende de la verdad I Ide subproposiciones de a en otros mundos de R (operadores Ide este genero son, por ejemplo, los operadores modales y

los temporales). En casos como estos resulta entonces que la Iextension de a (es decir, su valor de verdad en M,) viene a I 'depender de la intension de ciertas subexpresiones de a. ,

Cuando esto sucede decimos que a es un contexto intensional; I ,en cualquier otro caso, decimos de la proposicion a que es "

un contexto extensional.

Los contextos extensionales respetan el criterio de Frege

(descrito en el apartado 2.1): siempre es licito substituir, en Iun contexto extensional, una subexpresi6n por otra expresi6n

equiextensional sin alterar Ia extension de la expresion origi- i .

nat. Los contextos intensionales, par contra, violentan elcriterio de Frege, como demuestran ejemplos famosos que

han sido objeto de largas discusiones logicas y filosoficas,

entre los cuales valga el ejemplo siguiente:

es verdadero: «es necesario que la estrella de la manana

sea igual a la estrella de la manana»; y es falso: «es nece-

sario que la estrella-'de la manana sea igual a la estrella de

la noche».

Como se recordara, Frege, a fin de preservar la validez

universal de su criteria, habra ideado el artificio de la multi-

plicacion de las entidades semanticas que, en el caso de la

teoria de Montague (por lo demas tambien en la de Carnap),

se habia eludido.Las ventajas obvias de esta teoria semiextensional de la

intension vienen representadas par su rigor y su precision

formal. Quedan todavia en cuesti6n algunas dificultades serias

de tipo general, entre las cuales destacan las siguientes:

119



V I) La equivalencia logica permanece como condicion sufi-

ciente (aunque no necesaria) para l a equiintensionalidad. En

ef ecto, dos proposiciones logicamente equivalentes tienen el

mismo valor de verdad en tod a realizacion tars kiana ; por

consiguiente, a f ortiori , poseen la misma intension.

'v 2) En los contextos episternicos no es posible, en general,

substituir una expresion por otra expresi6n equiintensional sin

alterar la extension e intension de la expresion original . Lo

que contrasta c on u na exigencia profundamente enraizada

segun la cual en un contexto del tipo « x conoce a» se entiende

q ue 10 qu e X conoce e s justamente la intension de a (y, por

tanto, la substitucion de a por una f J equiintensional deberia

ser siempre lieita).

3) Resulta sumamente dudoso que esta definicion formal

de intension represente una explicacion rigurosa para el con-

cepto intuitivo de intension propuesto por Frege. Piensese porejemplo en el caso de la proposicion citada mas arriba «la

Tierra esta en el perihelio». i,Cabe sostener en realidad que

el «pensamientr» expresado p or la proposicion en c uestion

sea identificable con un sistema de val ores de verdad? Piensese

lu eg o en el caso de un predicado, verbigracia, el predicado

«hombre», Desde un punta de vista intuitivo, el conocimiento

de la intension de «hombre» no presupone de ningun modo

el conocimiento de sus dif erentes extensiones en los diferentes

momentos historicos: intuitivamente, la intension de «hom-

bre» se ac erca m as a una suerte de «idea platonica de hombre»

mas q ue a u n co nj un to de individuos.

Todos estos argumentos inducen a pensar que la a ctual

teoria semiextensional de las intensiones, no obstante poseer

un gran interes logico, represente no tanto una teoria ade-

cuada de la intension cu an to , me jor, una etapa intermedia

entre la teorf a extensi onal y la teori a intensional del signi-

ficado.

120

3.5. S emdntica kri pkiana para las

l6 gicas [undament ales

En los apartados anteriores hemos visto algunos exitos y

otros tantos fracas os del enfoque kripkiano. Tomemos ahora ~

en consideracion un nuevo caso de aplicacion conseguida: el

caso del analisis semantico para las 16gicas fundamentales no

clasicas,

EI lector recordara que l as 16gicas fundamentales n o c la-

sicas (en particular la intuieionista y la minimal) correspond en

intuitivamente a un punto de vista «epistemologico»: cuando

afirmo a entien do decir que «yo conozco a», y no que «a vale

objetivamente». Esta perspectiva ad mi te u na descripcion se-

mantica rigurosa mediante una transformacion del enfoque

kripkiano, considerado en los apartados anteriores. La modi-

ficacion a adoptar es simplemente la siguiente: en vez de

asumi r una familia {M , } ,o de mundos posibles, asumamos

una familia { K i }i ¤[ de «sistemas de conocimientos parciales»(y coherentes) de mundos posibles. Estos sistemas de conoci-

mientos K , e stan ordenados por la relacion s; de inclusion:

si un sistema K , se encuentra incluido en K , (K , s; K , ) quiere

decir que K , represen ta una posible «ampliacion de conoci-

miento» respecto a K i .

La relaci6n que corresponde naturalmente al concepto de

verdad de una proposici6n a en un mundo M " es, en la nueva

situacion, la siguiente: el sistema de conocimientos K , a/irma a

(0 como tambien se dice, con striiie a ( constrin ge ) a a ser ver-

dad era, 0 simplemente constrihe a a). Escribiremos abrevia-

damente: K , II-a. La diferencia fundamental en tr e el concepto

de verd ad y e l d e afirmacion viene representada por e l hec ho de.que, mientras l a ve rdad goza (al men o s e n el ambito de la ' \ ' \

bivalen ei a) d el principio d el t er ei o ex ci uso, la r elac io n de

afirrnacion, en general, no g oza d e ella . Con otras palabras,

mientras vale: 1= a , 0 bien p-.a; no vale: K , 11- a, 0 bienM i M j.

121



Como se hizo a su tiem po para el concepto de verdad,

determinaremos ahora el comportamiento de la relacion ... 1 1- ...

respecto a l a forma de las proposiciones:

1 ) K, 11- P~tl ... t; s i y s610 si Prt; . , . t n pertenece a K , ;

2) K , 11-- .., f 3 si y s olo si toda ampliacion K, de K " no K , 11- f 3 ; 3) K , 11- f 3 / \ y si Y solo si K , 11- f 3 y K , 11- y;

4) K , 11- f 3 V 'Y si y solo si K , 11- f 3 0 bien K , 11- ' Y :

5) K , 11- f 3 -+ 'Y si y solo si para toda ampliaci6n K, de K " si

x, 11- f 3 entonces K j 11- ' Y ;

6) K , 11- f 3 +- > 'Y si y s610 si K , 11- f 3 -+ y y K , 11- ' Y -> f 3 ; 7) K , 11- v x , f 3 si y s610 si para toda ampliaci6n K , de K"

K , 11- f 3 ( x . / t ) para todo e jemplo t ;8) K , 11- 3 x, /i si y s610 si para un caso por 10 menos t,

K , 11- f 3 ( x . / t ) .

Como demostraria en 1965 Kripke, las l eyes 1 6gicas intui-

cionistas resultan ser todas y s610 todas las proposiciones

afirmadas por toda K , en un sistema cualquiera de conoci-

mientos parciales {K,l,er que obedczca a las condiciones

descritas mas arriba. Y modificando !igeramente estas con-

diciones s e pu ede obtener un resultado analogo para la misma

16gica minimal.

\

Intuitivamente, podemo s suponer que un sistema {K , }i E !represente una «mente ideal» en evolucion: todo K , es un

\ estadio de este desarroIlo, del que los K , siguientes representan

\ posibles ampliaciones. En bas e a nuestras condiciones seman-

I tic as pue de demostrarse que en nuestra mente abstracta im-

pusimos una triple idealizacion (respecto a las mentes humanas

concretas) :

- - - - - ; 7 1) memoria absoluta: en todo estadio, la mente recuerdatodo aquello que ha conocido previamente (si K ,~K, YK , 11- a,

entonces K, II-a);

__~ _) 2) coherencia: si en determinado estadio conoce a, en los

estadios siguientes nunca conocera ...,a (si K , 11 - a, entonces,

para todo K , 2 K " no K , 1 1- .., a);

122

- -')- 3) omnisciencia en potenci a: si nunca llegara a conocer

..., a, e n un punto determinado conocera a (si para todo K , '2 K,

no K, 11- ..., a, entonces, para determinado K j ;2 K " K, 11- a).

Justamente esta f uerte idealizaci6n es la que no permiteuna aplicaci6n natural de la semantica kripkiana de tipo

«episternologico: a los problemas todavia planteados por las

16gicas epistemicas, de las que nos ocupabamos en el apartado

anterior.

Un caso limite de la semantica kripkiana de tipo episte-

mologico permite la descripci6 n d e la 16gica clasica: es el

representado por f amilias que contienen un sistema unico de

conocimientos y que, por 10 tanto, c orresponden a una mente

«omniscient e, p ri vada de evolucion». Las leyes logicas cla-

sicas resultan ser todas y solo todas las proposiciones que se

afirman en todo sistema de conocimientos que pertene zc a a

una f amilia-unidad de este tipo.

La descripci6n sernantica kripkiana parece, pues, sugerirnaturalmente una metafora que interpreta la 16gica clasica

como un especie de «logica de Dios», al tiempo que concibe

la 16gica intuicionista como la «logica de una mente ideal en

evolucion».

123



4. EL PROBLEMA DE LOS FUNDAMENTOS

DE LA MATEMATICA

4.1. Mat ematica y logica

Los afios sesenta seiialaron en el campo de la critica de

los fundamentos d e la matematica, un cambio de rumbo tan

rot un da q ue todavia no hemos podi do cal ibra r e n t odo su

significado. Por su importancia, tal giro parece digno de pa-

rangonarse a otros dos grandes momentos de la historia de

la 16gica del siglo xx: 1 90 2 (descubrimiento de la antimonia [ Ide Russell) y 1931 (demostraci 6n del t eore ma de Gode l). En

el f ondo (si dejamos de momen to a l m argen el fen6meno del

constructivismo mate matico que durante mucho tiempo tuvo

su p ro pi a h istoria independiente), y simplificando un tanto

las cosas, diriamos que la hist oria de las modernas investiga-

ciones sabre los fundamentos de la matematica se puede

subdividir en tres grandes periodos, de tres afios eada uno,

separados e nt re si por un result ado e xplosivo, cuya caracte-

ristica seria poner en crisis el program a general del perfodo

precedente, los giros que seiializa ro n r espectivamente el final Idel pri me r periodo (1902) y el segundo period o (l931) pueden ,describirse ambos c omo « un a mala pasada» jugada por el iesquema de la parado ja 16gica que toma el nombre de paradoja

POt autorref erencia. C om o es sabido, _una situaci6n 16gica de

autorreferencia (que se verifiea cuando un termino 0 un con-

cepto aplicase a 5 1 mismo) en muc hos casas, aunque no siempre,

125



puede resolverse en contradicci6n. EI e jemplo mas antiguo

conocido de contradiccion por autorreferencia esta represen-

tado por l a c el ebre a ntinomia del mentir os o d escubierta por

l os gri egos (de la cual n os h em os ocupado en el capi-

tulo 2 ).

La antimonia de Russell, med iante lin easo part icular de

autorreferencia (el principia cantoriano de cornprension ejem-

I plificado en el easo de un concepto que se refiera a S1mismo),

I I ha bi a demostrado la incoherencia de la «logica general» a la

que los grandes /ogicistas del siglo XIX, Cantor y Frege espe-

cialmente, habian reduc ido l os conceptos fundamentales de la

I matematica. La teoria cantoriana de los concept os, fundada

sob re l os principios de cornprension y de extensionalidad,

gozaba de dos caracteristicas muy significativas:

. . v I) era una teoria sumamente potente desde un punto de

vista matematico, ya que conseguia definir en su interior los

conceptos primitives

y demostrar, tam bien

en su interior,

los teoremas de todas las teorias matematicas conocidas mas

importantes. La aritmetica, el analisis, la geometria, etc., se

I ( can:ertfan, par ende, en ramas particulares de la teoria de

Iconjuntos.

~ 1 1 ) era una teo ria extraordinariamente simple y n atural por

su contenido: sus dos postulados aparecian c omo p rincipios

universal mente validos e indiscutibles.

A primera vista, pues, se tenia n e n mano todas las condi-

ciones para poder hablar de una «logica general» sumamente

potente: reducir a la teoria de con juntos todas las principales

.!eorias mat em.t ic as signifieaba resolver el problema de ia

f undamentaci6n logica de la matematica. Todo 10 cual com--portaba, naturalmente, algunas consecuencias filosoficas harto

significativas. Par ejemplo, sobre esta base, era correcto con-

cluir: la rnatematica es logica, y, como tal, no verifica hipo-

tesis sabre eI mundo, carece de contenido. El cientffico em-

piric o e mple a e xa ctamente la matematica del mismo modo

126

como recurre a la logica, y todo ser pensante can nuestra

propia Iogica, tendria, en potencia par 10 menos, nuestra

misma matematica,

EI descubri mi ento de la incoherencia d e es ta « Io gica ge-i

neral» ponia evidentemente en crisis las mismas bases de tall

programa de f undamentacion de la matematic a, fat igosamente

realizado en la s egun da mi tad d el siglo pasado. Como es

f acil advertirse de ello, se puede debilitar tal logica a fin de

evitar las dificultades q ue pusi er a so br e el tapete Russell,

garantizando al mismo tiempo una fundamentacion satisfac-

toria para la maternatica. Las teorias axiomaticas de con-

juntos (verbigracia, la teoria de Zermelo-Fraenkel descrita en

la tabla 7) absuelv en j ustam en te d e e se d e ber . D e ese modo,

en efecto, se obtiene un tipo de teori a que no se asemeja en

absoluto, c om o e n el easo anterior, a una «verdadera logica»

f undamentada sobre principios simples que pue de n manifes-

tarse universalmcnte validos. Se trata sobre todo de comple jas

teorias matematicas, cuyos postulados poseen, en la mayoriade los casas, forma de especiales hipotesis existenciales y,

como tales, no pueden eonsiderarse verdades lcgicas. Cay6,

por ultimo, la segunda componente de la teoria cantoriana de

conjuntos, que garantizaba la realizacion del programa logi-

cistico de fundamentacion logica de la matematica,

I,Cual puede ser el significado filosofi co de una reducci6n,

en que la teoria fundamentante aparezca en muehos aspectos

mas proble rnat ic a que las mismas t eorias que se pretendia

fundamentar? La historia ensefia que se respondi6 a esta

grave dificultad con la «escapatoria- filosofica del j .QlJ1J a./ismo,

el cual propane una reduccion 16gica mas sutil respecto a la I~anteri or . En tanto que el logicismo pretendio una reduccion

d irecta d e lo mas comple jo (ma te ma ti ca ) a 10 mas simple

(Iogica), y habiendo fallado segun se ha visto en este terreno,

el formalismo se contenta, por su parte, con una reduccion

indirecta. Una vez aceptada la reducibilidad d e t od a la mate- I

matica a una teoria axiomatica de eon juntos, se trata d edemostrar la correccion (es decir, la coherencia) de esta ultima

127



a traves de razonamientos sinta cticos que sean justificables en

cl interior de Ia misma teoria, p -

Esta posibilidad de auto justificacion sintactica n o es una

pretension irracional a primera vista, puesto que la cohe-

rencia de una teoria es una propie dad de un sistema de «cosas

concretas», los signos de la teoria; y 1a teoria de conjuntos

se ideo con el fin de poder describir las propiedades de todos

los conjuntos posibles. Obviamente, una situaci6n 16gica de

tal indole tiene todos los caracteres de un caso de autorrefe-

. rencia. Hasta 1931, sin embargo, la escuela de David Hilbert

I(padre, como es sabido, del programa formalistico) estaba

i convencida de poder eludir par ese camino el «fantasma del

I mentiroso»: can paciencia s e fu eron elaborando demostra-

ciones parciale s de coherencia can las miras puestas en a1can-

za r, en ultima instancia, una fundamentaci6n sintactica de

toda la matematica (reducci6n de los mas comple jo =mate-

matica=- a 10 m as simple -sintaxis-). Pero, segun se via,

en 1931 «el mentiroso seguia inquietando»: Godel demostr6que la teoria de conjuntos, si es coherente, n o esta capacitada

para demostrar la propia coherencia. La cadena reductora de

las teorias matematicas no tiene un elemento ultimo, capaz

de autojustificarse. Es, pues, inevitable el regreso de las teorias

al infinito.

4.2. Cambios recientes de perspectiva

en fa problematica fundacional

De forma distinta a 10 que ocurrier a co n lo s do s

casos precedentes, el giro de la decada de los sesent a n o

\\ se caracterizo por un sol o r esul tado e xplosivo: 10 hizopor una revolucion de metod os en conexion con viejos pro-

blemas.

En_196J,_el maternatico norteamericano Paul Cohen ob-

tuvo una solucion relativa para un gran problema irresolute

<i.eCantor: el problema de la cardinalidad delcontinuo, Cohen

128

demostr6 la imposibilidad de resolver en las teorias elemen-

tales de conjuntos al uso el problema de «l,cuimtos son los

numeros reales ? » . Y ello con la creacion de un metodo nuevo,

el denominado metcdo del forcing (constriccion) que en un

principio a pareci6 como un tanto esoterico al mundo de los

16gicos.

En cierto sentido, el resultado de Cohen se realiz6 en un

clima inverso respecto al de 1902 y 1931. Los resultados de

Godel se habian logrado sin ninguna esperanza previa, al

tiempo que su demostracion se establecio con metod os ciertos

e indiscutibles (en el caso de Russell se trataba adernas, segun

ha quedado visto, de contados y simples pasajes logicos).

Por contra, el resultado de Cohen se estaba esperando, pero

producia extrafieza su tipo de solucion, Las rcacciones natu-

rales que siguieron a los hallazgos de Russell y Godel f ueronde estados criticos, de necesidad de un replanteamiento gene-

ral. La que sigui6 a los trabajos de Cohen seria una prolife-

racion de resultados nuevos, de desarrollos del misterioso forcing.

A estas alturas quiza sea oportun o r esumir escuetamente

el problema del contin uo . En el marco de su teoria general

de con juntos, Cantor creo una nueva «aritmetica del transfi-

nito», que constituia una generalizacion al caso infinito de la .....

aritmetica usual de los numeros naturales (finitos). En este/. )cuadro te6rico habia demostrado que el numero (transfinito)

que pertenece al conjunto de los numeros reales (0 equivalen- '>temente al con junto de los puntos de la recta) es mayor que

el mimero (transfinito) que pertenece al conjunto de los nu-

meros naturales; contravenia de e ste m odo una idea intuitiva

profundamente arraigada segun la cual el infinito represen-

taria una suerte de limite para nuestras rnedidas y c areceria

de sentido «ir mas alia del infinito». Cantor estaba convencido

de la no existencia de numeros transfinitos mas pequeiios que

el numero de los reales (numero que recibe tam bien el nombre

de «cardinalidad del con_tinuo» y se indica con la letra he-

brea ) . : I ) y mayores que el mimero de los naturales (llamado

129

9. Dalla Chiara.

a



!_ambien cardinalidad del numerable e indicado con letra

hebrea subindicada ~o). C on otras palabras: ~ seria el si-

guiente inmediato transfinito de ~o. Este es el contenido de

la celebre «hipotesis del continuo» .9.ue Cantor intento en

vano dernostrar.

En 1938, Godel demostro la coherencia relativa de lahipotesis cantoriana del continuo respe cto a las teorias axio-

maticas usuales de los eonjuntos (por ejemplo, la teoria de

Zermelo-Fraenkel): si ZF, con la suma de la hipotesis del

conti nuo fuera incoherente, entonees seria incoherente la

misma ZF. Por supuesto, ello 110 significa h aber demostrado

la hipotesis del continuo. Nuestra hipotesis se hace demos-

trable, sin embarg o, cuando se afiada a ZF un nuevo axioma

(llamado por Godel axioma de const ruct ibilidad y, que afirma

I

que todo eonjunto es construible, es decir, definible linguisti-

camente mediante una definicion en la que se haga referencia

solo a eonjuntos eonstituidos anterionnente en la jerarquia de

, los tipos ideada por Russell, Intuitivamente, podemos ilustrarla situacion de la f orma siguiente. Segun una idea avanzada

por primera vez por Russell, el universo natural de la teoria

de conjuntos es una jerarquia estratifieada en tipos (0 inveles),

que podemos visualizar como un cono invertido y sin base:

,,,,,

I I

I

' I EI v ertice del eono representa el conjunto vacio. Los dis-; tintos planos representan los distintos niveles de jerarquia: el

I

130

primer nivel contiene todos los posibles subconjuntos del

conjunto vacio, el segundo todos los subconjuntos del primer

nivel, y asi tantas veces cuantos sean los rnimeros naturales.

Una vez agotados todos los numeros naturales, se constituye Iun nuevo nivel CU Y DS elementos son todos los conjuntos cons-I

. tituidos anteriormente, y por tanto se vuelve a empezar por

el principio constituyendo en el nivel siguiente todos los sub-conjuntos del nivel precedente. i,Cuimtas veces hay que iterar,

ese proceso? Tantas cuantos se an l os mimeros naturales \

(finitos y transfinitos) cuya existencia se demuestra en la teorfa

de conjuntos. Ahora, ~l axioma de constructibilidad afirma .....

que todo conjunto de esta jerarquia puede describirse me-

diante-una definicion en la que se haga referencia unic amente

a niveles de la jerarquia constituidos anteriormente (jnunca a

niveles siguientes, ni mucho m enos a toda l a jerarquia COID-

pleta!).

La idea godeliana de constructibilidad representa un de-

sarrollo conjuntista-abstracto de los principios filosoficos que

orientaron un importante sector del constructivismo materna-

tico moderno: el sector predicativista, avanzado por vez pri-

mera por Henri Poincare. Como se recordo en la «Introduc-

cion», para los predicativistas solo tienen existencia matematica

aquellos entes abstractos que sean definibles mediante una

definicion pr edicati va; a saber, una definicion en la que no se

haga referencia a la totalidad de los entes a que el ente sujetode definicion perteneee (ejemplo de definicion no predicativa

es el siguiente «el numero real menor cuyo cuadrado sea

mayor 0 igual a 2» , que hace referencia a la totalidad de los

numeros reales, totalidad a la que pertenece el ente que quiere

definirse (es decir, el numero V2, pertenece).En realidad, reconocer existencia maternatica, a todo el

cono de los conjuntos construibles, es mucho mas de lo que

los predicativistas tradicionales estarian dispuestos a conceder.

Nada asegura efectivamente que aquellos mimeros transfinitos

que se han usado esencialmente en la construccion de nuestro

131



cono s ea n, a su vez, definibles predicativamente. Supongamos,

no obstante, que se quiere «liberalizar» un f amoso juicio del

matematico constructiv is ta L eo po ld Kr onecker, que decia:

«Dios cre6 los mimeros naturales y 10 d er nas l o h icieron

los hombres», e imaginemos un Padre eterno qu e n os haya

dado no s610 los numeros finitos, sino tambie n t od os los

numeros transfinitos. En tal caso, todo el cono de los con-

juntos construibles serian «obra del hombre» y, como tal,

aceptable tambien por un mat ematico constructivist a. Desde

un punto de vista filosofico se trataria de una f orma de «cons-

tructivismo debil », que pasa ri a a depender de una hip6tesis

extraordinaria (y no justificable segun los principios del cons-

tructivismo tradicional) de existencia de los nu meros transfinitos.

Mientras Godel demost ra ri a que di cha forma de construe-

tivismo debil permitiria resolver el problema c antoriano del

c onti nuo (sin tener que afirmar la validez ), Cohe n demos-

traria c omo fue ra posible falsificar no s610 esta forma de

constructivismo (de sc ri ta por el axioma de constructibilidad)sino tambien la misma hip6tesis cantoriana del continuo. De

: consuno, los dos resultados de Godel y Cohe n vendria n c on-

siguientemente a afirmar la indecidibilidad de la hip6tesis del

continuo en las teorias elementales de con juntos; es decir, la

I incapacidad de e st as teorias de resolv er el proble ma « icuantos

' I son los numeros reales ?». EI resultado de Cohe n p ued e obte-

nerse a traves de la construcci6n de un modelo p ar a Z F, muy

parecido al cono de los construibles, en el que no obstante

se insertan en un m omento determinado con juntos de tipo

especial, los llamados conjuntos genericos. La inmisi6n de

estos conjuntos en el cono de los construibles tiene un efecto

un tanto perturbad or: no se lle ga a poder contar el continuo

como se hacia ante s (10 que permite f alsificar la hip6tesis del

continuo); al mismo tiempo, 103 con juntos genericos no re-

sultan definibles mediante una definicion predicativa (10 que

permite f alsificar el axioma de constructibilidad). Intuitiva-

mente, la s caracteristicas de un conjunto generico pueden

describirse del siguiente modo: se trat a d e un conjunto infi-

132

nito, tal que la verdad 0 falsedad de toda proposici6n que lo

contemple depende siempre s610 d e u n conocimiento finito

de su composici6n. Por e jemplo, el con junto de todos los

mimeros naturales (l1ama do t ambien w) no es un conjunto

generico : hay que conocer toda la composici6n de w para

poder deci dir la verdad de muchas proposiciones sobre os ,En el caso de u n con junto generico, por contra, para toda

proposicion a existe una informacion finita que constriiie a a

o ...,a a ser v erdadera. Justamente por no ser nunca relevante

el conocimiento completo de su composici6n para decidir

cuales sean las propie da de s de que disfrutan, los conjuntos

genericos resulta n posee r s6 lo la propiedad de que gozan

casi todos los conjuntos. Lo que explica el origen de su

nombre.

La id ea que subyace en el concept o de con junt o g en erico

e s de origen intuicionista. A los matematicos intuicionistas se

debe, ef ectivamente, el desarrollo sistematico de una teoria de

las «totalidades ill f ieri»,

contrapuesta a la s t eorias d e l as

«totalidades en acto», que constituia el f undamento del en- .

foque cantoriano. La contraposicion nacia de la espinosa

cuesti6n relativa al caracter act ual 0 potencial del infinito

matematico: asi como par a Cantor y para los 16gicos el COD-

cepto de infinito actual es una idea necesaria, que no solo

legitima, para f undamentar 16gicamen te el cuerpo de la ma-

tematica clasica ; para los intuicionistas se trata s610 de una

incorrecta extrapolaci6n del mundo del finito, carente de un

sentido maternatico preciso. Usando l a i dea d e «totalidad in !

fie ri» (frente a «totalidad en acto») y al mismo tiempo la

16gica intuicionista (ante s q ue la 16gica clasica), l o s intuicio- . 1nist as crearon una teoria de los numeros reales alternativa i.

respecto a la clasica: el analisi s clasico y el analisis intuicio-nista resultan no com parabl es d esd e el pu nt o d e vista de la ! \ c

inclusi6n teoretica, en el s entido de que ninguna de los dos

es subsistema del otro.

EI concepto fundamental del analisis intuicionista es de la

sucesi6n de mimeros naturales tal que toda propiedad de

133



la sucesion depend a exclusivamente de un segmento i nicial

finit o de la sucesi6n (sucesiones de este tipo reciben e l no m-

bre de «Selecciones libres»). Salta inmediatamente a la vista

que existe una clara conexi6n e nt re esta idea intuicionista de

«sucesion de selecciones libre s» y el concep to d e Cohen de con-

junto generico. La c one xi 6n se ha ce mas honda cuando serefle ja sobre la siguiente circunstancia: el metoda del forcing

que entra en la definicion de «conjunto genericoi implica la

misma relaci6n de af irmaci6n (0 cons /ricci6n) de la que se hizo

uso cuando se describi6 la semantica kripkiana para la 16gica

intuicionista. Las razones profundas por las que se verifican

conexiones como las mencionadas permanecen todavia en la

obscuridad. Desde un punto d e vista historico, se tiene la

impresi6n de haber asistido a una significativa «vendetta» de

Brouwer f rente al sistema de Cantor. Toda vi a e n 1925, el

logicista Ramsey hablaba de los intuicionistas como de una

«amenaza bolchevique». A post eriori, hoy se tendria que a fir-

mar que, en el fondo, Ramsey tenia razon:

aunque, por su-

puesto, nunca se hubiera imagi na do e l que j ustamen te desde

el intuicionismo llegarla un instrumento tan «revolucionario»

como el forci ng, capaz de of recer, en el terreno clasico, una

solucion relativa a un gran problema irresoluto de Cantor.

Sobre el empleo d e semanticas polivalentes se fundamenta

un metoda alternativo al forcing, e l cual permite construir

modelo s p ar a la teoria de conjuntos, modelos capaces de

falsear el axioma de constructibilidad y la hip6tesis del con-

tinu o. De este tipo fueron los propuestos por vez primera por

l ei norteamericano Dana Scott y recibieron el nombre usual de

«modelos de Boole de la teoria de conjuntos».

E lf orcing y l a aplicaci6n de metodos polivalentes represen-

taron el ingreso en la teoria clasica de conjuntos de una suertede «conocimiento aproximado», que le era esencialmente ex-

trafio. Y resulta significa ti vo que e st e t i po de a proximaci6n

pueda ser indif erentemente interpretado como expresi6n de un

punto de vista intuicionista (con el fo rcing) 0 probabilistico

(con l os modelos de Boole). Intuitivamente, en ambos casos

134

se trata de una situac ion kigica en que es necesario transformar

un tipo de conocirniento incierto en un tipo de conocimiento

cierto. Como se ha visto, en el caso del f orcing se las ha de

haber con determinados conjuntos (los conjuntos genericos)

en relacion a los cuales se tiene siempre una inf ormacion

finita y limitada (si bien extensible indefinidamente). En virtudde esa situacion, no obstante, toda proposicion sobre estos

conjuntos esta co nst reiiida a ser verdadera 0 falsa por una

de estas inf ormaciones. Es como si, sin conocerlo todo, [pre-

tendieramos decidirlo todo! En el caso de los model os boo-

Ieanos, par contra, sucede que, en un momenta dado de la

construccion, se llega a contraer en un unico valor de verdad

ciert o todo un sistema de valo res d e probabilidad. [Cual si

pretendieramos conocer con certeza 10 qu e en realidad co no-

cernos solo aproximativamente!

Esta aplica ci 6n a gran escala de metodos no clasicos sobre

el terreno clasico i,tiene un significado desde un punto de

vista fundacional? 1.0 bien se trata s610 de una mera cuesti6n

de selecci6n de medios tecnicos ? E n el f ondo, la teoria de con-

juntos se encuentra en una situaci6n extrafia: desde el exterior,

sigue representando (segun el espfritu de la 6ptica cantoriana)

la t eori a de l a totalidad en acto (0, si se quiere, la teoria de

los conceptos objetivos), caracterizada por dos componentes:

I) obj et ividad de los conceptos, en el sentido de indepen-

dencia de n uestro conocimiento (en vi rt ud del p ri ncipio de

extensionalidad, las totalidades estan determinadas por sus

elementos);

2) det erminismo, que procede del recurso a la 16gica cla-

sica: no se admiten situaciones de pertenencia incierta 0difusa.

Aparentemente, todo contexto de tipo indeterminista, in-

tensional 0 conceptualista, deberi a resultar incompati bl e c on

los principios-base de la teoria de conjuntos. Sucede justamente~

lo contrario: no s6lo la teoria de con juntos hace uso de prin-

cipios antagonist as para la const rucc i6n de sus propios mo-

135



delos, sino que, adernas, se revela con capacidad de f unda-

// men tar en su interior esos mismos principios antagonicos.

Piensese, por ejemplo, en la teoria «semiextensional» de la

intension, 0 en Ia de scripcion kripkiana de la logica intuicio-

nista, 0 en la fundamentacion con juntista de las logicas poli-

valentes 0 de la misma t eoria de las probabilidades.i,Signific a t odo ella unicamente maxima generalidad y gran-

disimo poder f undacional de la teo ria de conjuntos? Es una

conclusion po sible. No obstante, sabemos que los «juegos no

se han hecho» para la teo ria de conjuntos; por incapacidad

\ de la teoria para resolver algunos de sus problemas funda-

Imentales (por e jemplo, el del continuo) hoy los c onjuntistas

manifiestan no saber todavia con exactitud «en que consiste

un conjunto». Con tod a probabilidad este revoltillo de con-

ce pt os y metod os, antipodas en apariencia, depende tambien

de la situacion de incertidumbre general que respira la teoria.

Sin duda, el status de las investigaciones fundacionales de

estos ultimos quince afios da la impresi6n de un a especie de

f ecunda confusi 6n. E sta situacion recuerda, en ciertos aspec-

tos, la del Analisis en 1700: g ran l ibertad en la aplicacion de

metodos aun cuando no se hayan apoderado totalmente estes

ni se conozcan exhaustivamente. El trueque increible de me-

todos e instrumentos conceptuales entre enf oques f undacio-

nales distintos, a los que e stamo s a sistiendo hoy, significa

obviamente el final de toda forma de «ideologismo», Si no

algo mas: la imposibilidad de describir las distintas vias f un-

dacionales como el desarrollo coherente y sistematico de un

unico punto de vista general. En otros terrninos, una com pIe-

jidad mayor de las tcorias respecto a los puntos de partida

filosoficos.

En el fondo, la filosofia de la matematica de comienzos' \ del siglo xx se debatio prevalentemente en torno a un unico

-} gran te ma: l a version moderna del vie jo problema de los

\ universales. Se encontraban en liza, fundamentalmente, tres

t concepciones antagonistas: una concepcion d escriptiva de Ia

rnatematica (a la que se adscribian los logicistas y la ma-

136

yoria de los co n juntistas) segun la cualla actividad matematica

describe u n t ipo de realidad que, des de un pun to de vista

puramente logico, no es muy distinto de la realidad de la que "

se ocupan las ciencias empiricas. Una concepcion const itutiva

de la matematica (elaboradas por las distintas form as de cons-

tructivismo: intuicionista, predicativista, etc.) segun Ia cual laactividad matematica crea los entes y las estructuras de que (

trata. Y, por ultimo, una conce pci6 n Jor mali st a, segun Ia cual !la actividad matemaii;;-~ puede identificarse co n la elaboracion I Ide un conjunto de sistemas f ormales. Esta tripartici on f il o-

so fica rigida parece hoy, segun vimos, superada e n muchos

casas por investigaciones concretas sobre los fundamentos de

la matematica, T od o ello no significa necesariamente dec a-

dencia 0 regreso de la filosofia de la matematica a una con-

dici6n de mera «prehistoria» respecto a l os resultados tecnicos.

Como sucede tambien con otras ciencias, se tiene hoy Ia im-

presion de cierta discrepancia entre las categorias filosoficas

de que se hace usa y las cuestiones concretas que surgen en

el interior de las investigaciones fundacionales. Con t od a

probabilidad, el problema estriba en encontrar nuevas y mas

adecuadas categorlas generales en que poder encuadrar los

nuevos resut't:ados.

137

,..--.



5. LOGICA Y CIENCIAS EMPIRICAS

5.1. S emdnt ica de las teorias empiricas

EI analisis logico (sintactico y semantico) que se estudio

en los capitulos 1-3 no se apliea necesariamente a una clase

privilegiada de teorias; segun se via en repetidas ocasiones

tal analisis interesa, por 10 menos en linea de principia, a

todo discurso racional con la condicion de que s e a suficiente-

mente sistematico y riguroso. Sin embargo, y en muchas

circunstanc ias, se apunto la sospecha de que este tipo de

tratamientd tuviera el maximo significado en el caso de teo-

rias abstractas, matematicas sabre todo; mientras, inexorable

y paulatinament e v a perdiendo interes, aunque no correccion,

a medida que se ale ja del caso de las ciencias abstractas.

Para las mismas teorias ffsicas, cuya estructura formal es

muy proxima a la de las teorias maternaticas, se ha plan-

teado varias veces el valor y la utilidad del mismo metodo

axiomatico, Par a algunos antares, axiomatizar una teorf a

fisica es una actividad cuando menos imitil (un puro e jercicio

f ormal); para otros, se trata, adem as, de una peligrosa def or-maci6n de los caracteres peculiares de las teorias en juego.

Algunos sectores, por contra, so stuvier on la u ni cidad deltipo de analisis lcgico en el estudio de las teorias cientificas

(aunque no neeesariamente la unicidad de fa logics): y en

particular, la oportunidad de aplicar los metodos de la t eoria

13 9



de modelos incluso extramuros del estrecho marco de l as

teorias matematicas, En especial, es a Pa trick Suppes, a Jo seph

Sneed y a Marian Przelecki a quienes debemos un desarrollo

sistematico de una sernantica de las teorias f lsicas, en el cua dro

conceptual de Ia teoria abstracta de modelos. Discutiremos

brevemente este tipo de perspectiva.Como sabemos ya, e n el ambi to de la teoria de modelos

(en virtud del teorema fundamental de l a l ogica) una teoria

esta determinada por la familia de las realizaciones (0 estruc-

turas) que son sus modelo s. A xiomatizar una t e oria equivale,

pues, a determinar una clase particular de estructuras. Mas

tam bien una teoria fisica pueda describirse oportunamente de

este modo, mediante una f amilia particular de estructuras.

Pero l,que es una estructura fisica? l,En que difiere de una

estructu ra matematica ? La propuesta avanzada estriba en COTI-

cebir un a e structura f isica como un particular enriquecimiento

estructural de una estructura maternatica estandar. En general

ella tendra entonces la siguiente f orma: <R

a , D, gl' .. 0 , gk);

donde:

1) R o es una estructura maternatica estandar (por ejemplo,

el modelo estandar del analisis);

2) D es un conjunto particular (fi ni to) de obj et os ff sicos;

3) gl' 0 0 0' gk son mag nitud es fisicas , describibles abstracta-

ment e como funciones que asocian a los ob jetos de D

mimeros reales (0 n-pla de nurneros reales) en R o o

Por ejemplo, en el caso de la mecanica clasica de las par-

ticulas, puede considerarse que la teoria este determin ad a p or

una f amilia de estructuras del tipo (Ro, D, t, e, m, f> donde:

Ro es el modelo e st andar del analisis; D representa un conjunto (finito) de particulas; t , e, m. f son l as f unciones que co-

rresponden a las magnitudes tiem po, espacio, masa y J uer za.

Las condiciones que se imponen a los elementos de esta

familia de estrueturas correspond en a los axiomas de la me-

canica clasica,

140

En rea li da d una descripcion asi de las teorias fisicas corn-

porta una idealizacion muy fuerte frente a las teorias concretas.

No se debe al azar, pues, que algunos autores como Sneed,

por ejemplo, prefieran hablar a este proposito de teorias

fisico-mat ematicas antes que de teorias ff sicas, verda deras

propias. La idealizacion llev ad a a cabo afec ta, sobre todo, al

concepto de «magnitud ffsica». Venimos prescindiendo, cfec-

tivamente, de dos componentes muy importantes ambas:

1) las magnitudes fisicas «concretas» no asumen nunea

como valores numeros reales singulares, sino siempre y al

maximo intervalos de numeros reales (el resultado de una

medida no puede ser nunea un numero unico, si no un numero

«mas 0 menos algo», es decir, un cierto conjunto de numeros),

2) pa ra t ener un significado fisico, las magnitudes deben

definirse operativ ament e: en otros terminos, no basta decir que

para una situacion fisiea dada e xist e el val or de una magnitud

determinada; es necesario indicar el c am in o para hallar esevalor; a saber, est able ce r un complej o de operaciones que

permitan efectivamente a ca da situacion que nos interesa el

valor adquirido por la magnitud considerada.

~Tiene todo e st o un significado «practice» unicamente, del

q ue es inevitable prescindir cuando se haga un tratamiento

puramente teorico ? En realidad, result a que tam bien estas

componentes esenciales de la actividad fisica son susceptibles

de un analisis logi co riguroso. Un analisis tal permite deter-

minar un nuevo c once pt o de es t ructura flsica, estrechamente

ligado con las estructuras estudiadas por la teoria abstracta

de model os, pero al pr op io t iemp o ma s cerca no a l que se

hace en la «fisica real».! Se trata sencillamente de modificar

el concepto anterior de estruct ur a f isiea en el se ntido siguiente:

esta vez el eonjunto D representa, mas en general, cierto con-

1 Este tipo de analisis sJ encuentra desarrollado en DALLA CHIARA SCABIA-

TORALDO DI FRANCIA, 197'3.

141

I.. _

I



junto de situaciones fisicas, en tanto que las magnitudes g t

no son puras funeiones matematicas que van de objetos a

numeros, antes al eontrario, quedan determinadas por sus

definiciones operativas (susceptibles de una descripci6n formal

rigurosa). Estas definiciones operativas tienen por caracte-

ristiea haber asociado siempre un marco de precisi6n (la pre-

cisi6n de la medida): el valor que una magnitud g, asocia a

una determinada situaei6n fisica es un intervalo r eal c uya

amplitud viene determinada por la precision de g,. Las pre-

cisiones de las magnitudes se reflejan tambien sobre la defi-

nici6n de verdad de las proposiciones de un lengua je en una

estructura fisica dada (una definicion tal de verdad puede

formularse readaptando, de forma natural, al nuevo caso, la

definicion de Tarski). La nueva situacion se caracteriza, ade-

mas, porque la verdad de una proposic i6n e n la que ocurren

nombres para determinadas magnitudes g, queda definida a

excepcion de cierto valor 6 que depende de las precisiones de

las g,. De aqui se sigue que una proposici6n y su negacionpueden ser ambas verdaderas, en euanto ambas son compa-

tibles con la 6 en juego.

~

Un analisis de este tipo demuestra, a un tiempo, la vasta

aplicabilidad de las ideas generales de la teoria de modelos

y, sin embargo, la necesidad de ir adaptando poco a poco

sus instrumentos a las earacteristicas peculiares de las dis-

tintas situaciones te6ricas consideradas. Historicamente, los

I te6ricos de los modelos fueron siempre matematicos, obvia-

mente preocupados, de modo especial, por las aplicaciones de

tipo matematico, Con toda probabilidad la tendencia contem-

poranea a abrir la teoria tam bien hacia las problematicas de

las ciencias ernpiricas, despertara nuevas interrogantes de in-

teres para la misma teoria pura de modelos.

142

5.2 . EI p ro blem a d e fa «logica

d e f a mecdnica cudntica»

i,Puede admitirse que una teoria fisica influya en l a logica,

e i ncluso sea capaz de cambiarla? 0, por el contrario, i,es la

16gica, por definicion, independiente de la experiencia? Laposibilidad de una dependencia de la 16gica respecto a la

experiencia, se sostuvo recientemente en relaci6n con una cir-

cunstancia que, por 10 menos inicialmente, suscito cierta

perplejidad. Parecio que la mecanica cuantica debiera sugerir \

naturalmente una 16gica de tipo fundamental, distinta de la

16gica clasica, de la intuicionista y la minimal. Tenia p or

caracteristie a e sta logica, Hamada 16gica cuantica, ~l ser una

sublogica de la 16gica clasica, en q;;e la principal ley que §~

viola es el principio de propiedad distributiva de l a conjuncion

respecto a la disyunci6n [a 1\ (fi V y) <-+ (a 1\ (3 ) V (a 1\ y )]

y su forma dual, leyes minimales ambas. Por contra, la 16gica

cuantica no admite una conf rontacion (respecto a la relacionde inclusion teoretica) c an las Iogicas intuicionista y minimal,

al eliminar el principio del tercio excluso.

i,En que sentido la mecanica cuantica conduce natural-If m ente a una nueva logica (0 si se prefiere, viola una ley de

la 1 6gica)? EI problema s e planteo en forma fuerte y en forma

debil. Segun la afirmacion f uerte, la mecanic a c uantica cons-

trine a la adopci6n de u na 16gica distinta. LJeg6 a mantenerse

adernas que un famoso experimento de microf isica, el expe-

rimento del interferometro de agujeros permite una explicacion

de l a Iogica clasica, Nos encontramos en sum a ante una suerte

de experimentum crucis capaz de separar la logica de 1a mi-

crofisica de la logica de la macrofisica. Desde un punto de

vista filosofico e intuitivo apareceria enormemente sugestivosi las cosas se manif estaran e n tales terminos, No obstante,

se trata de una vision simplista: ~l fenomeno del interf ero-

metro admite una ~Plicaci6n cohe rente incluso en el ambito

de la logica clasica; a condici6n e que se acepte el principio

(extral6gico y no 16g' 0 seg" el cual el concepto de «ob jeto

143



f f sicc» en el ambito microscopico no goza de todas las pro-

piedades de que disf ruta el mismo concepto en el ambito

macroscopico.

No parece, pues, que pueda sostenerse la afirmacion

f uerte. En la afirrnacion debil, la mecanica cuantica se limita

a «sugerir» una logica diferente. ~En que sentido? La estruc-

tura matematica f undamental de que se sirve la mecanica

cuantica abarca una estructura algebraica cuyas operaciones

pueden i nterpretarse, de modo harto natural, com o opera-

ciones logicas. Resulta cabalmente que las dos operaciones

que representan respectivament e los conectores «y» y «0» no

gozan del principio de distributividad. Yaq ui i nc ide una

polernica entre lo s e studiosos: la estructura en cuestion ;_,es

s6 10 una estructura matematica 0, por contra, se hace legitimo

e int eresante interpretarla t ambien como una logica ? Disputas

de este genero pueden prolongarse indefinidamente sin mayor

provecho, incluso si solo fuera porque no se acoto prelimi-

narmente que significa «una verdadera logica». Resulta masfecundo, po r contra, desplazar el angu lo de mira del pro-

blema: demos por supuesto que se trate de una estructura

logica. ~En que razones se fundamenta la afioracion de tal

estructura? ;_, Queinterpretacion intuitiva cabe dade? En este

orden de ideas resulta entonces que, en general, en una situa-

cion indeterminada en que se haga usa esencial de la teoria

de probabilidades (con logica-base clasica) se pueden definir

razonablemente nuevas conectivos logicos, que se comporten

como conectivos cuanticos,

(

En conclusion: la logica cuantica no parece sea necesaria

a la mecanica cuantica (perfectamente encuadrable en el marco

de la 16gica clasica), A pesar de todo la logica cuantica puede

definirse de modo natural en la estructura matematica de lamecanica cuantica, como, par 10 demas, en otras situaciones

teoricas de tipo i ndeterminista. As! las casas, resulta escasa-

\

. mente probable que la logica cuantica permita resolver (como

: sostuvieron algunos) determinadas dificultades conceptuales de

Ila mecanica cuantica (aunque pueden contribuir a expresarlas,

144

en lengua je mas claro). Por el contrario, el estudi o de l os

problemas tecnicos de esta particular logica fundamental, pro-

blemas que en la actualidad siguen estando en gran parte

planteados, se convierte en un problema tipicamente logico.

~Puede influir, pues, la fisica en la logica ? Se ha visto que,

cuando menos, existe la posibilidad de sugerirlo. En el capitulosiguiente se contemplaran como estos interrogantes lIegan a

incidir en el problema general d e la unicidad y Ja a utouomia

de la logica.

145

10. uaua Chiara.



6. 1.UNICIDAD 0 PLURALIDAD DE LOGICAS?

Ya podemos pasar a responder a los problemas planteados

a su tiempo en Ia «introduccion» en torno a Ia cuesti6n:

1.<<unicida d 0 pluralidad de logicas»?

A estas alturas, el lector dispone de todos los elementos

que Ie permiten reconocer por que la 16gica, a lo largo detoda su historia, no puede considerarse como unica. Quien,

por razones filos6ficas, f uese partidari o c on vencido de la

tesis de la unicidad, tendria en esta panoramica, una sola

via de salida posible: sostener que la mayoria de las Iogicas

conocidas en la actualidad, representan meras estructuras ma-

tematicas, en tanto que s610 una serfa la verd ad era logica.

Mas l.como realizar una eleccion que no resulte arbitraria ?

Segun se vi o, en el campo restringido de las tres logicas f un-

damentales (clasica, intuicionista y minimal), resulta muy

diffcil determinar cual sea la logica adecuada respecto al

pensamiento intuitivo: con toda probabilidad, nuestros razo-)I

namientos concretos se suceden segun cierta «mixtura» de. I \ I

las tres. I i Admitido H dato historic, de una situaci6n pluralista,

intentamos responder a lo~ terrogantes abiertos en la «In-

troduccion: re~p~o--a--l1( posibilidad de comunicaci6n que

tendrian seres pensantes con 16gicas diferentes. A tal fin,

147



imaginernos, por e jemplo, una circunstancia del siguiente

tenor: supongamos que los habitantes inteligentes de la tierra

emplearan siempre la logica clasica, y que consiguen inter-

cambiar mensajes con los seres extraterrestres los cuales se

sirven siempre de l a I ogica intuicionista. l.Que posibilidad

tienen estos seres de advertir que estan manejando logicasdistintas, de describirse y comunicarse (suponiendo que uno

haya comprendido la estructura sintactica del mensaje del

otro)? Es muy probable que el ser extraterrestre, maravillado

por ciertas inferencias que encuentra sistematicamente opera-

das en el mensaje del terrestre, en un momenta determinado

consiga descubrir ~rpretacion segun Godel-GlivenkQ_de

la [ogica, clasica en la Iogica intuicionista. La idea sobre la

- - q ; ; ; ; - se funda tal interpretacion es la siguiente: desde el punto

de vista intuicionista, el logico clasico confunde indebidamente

los dos tipos de disyunciones inclusivas y los dos tipos de

cuantificadores existenciales, que son considerados, p ar c on -

tra, rigurosamente distintos; y, adernas, confunde las propo-

siciones con su propia negacion. Para el logico clasico, efec-

tivamente, los e lementos de los tres pares a V p Y~ ( ~ a II ~ P );

3 xa y _, vx ..., a; a y _, ..., a expresan Ia misma cosa; para

el intuicionista, se trata de ideas completamente diferentes.

Sobre esta base, el intuicionist a co nsigue descubrir y justificar

las leyes Iogicas clasicas, interpretando toda disyuncion a V Pafirmada por el clasico como _, ( _, a II ~ P ) , toda afirma-

cion existencial 3xa c om o _, VX ..., a, y, por ultimo, toda

proposicion como su doble negacion. Al adoptar este punto

de vista, nuestro extraterrestre se vera naturalmente obligado

a concluir: el terrestre es un limitado desde el punto de vista

logico, y a q ue c ae demasiadas veces en confusiones ilicitas,

En el banda opuesto, el terrestre podra asumir actitudesdiferentes ante el discurso del extraterrestre: en un principio

se sentira atraido a juzgarlo como un ser limitado, por adver-

tirlo incapaz de realizar ciertas inf erencias. Podra luego hallar

una explicacion para esta debilidad deductiva de su interlo-

cutor, ideando una de las multiples posibles descripciones

148

clasicas de la Iogica intuicionista (por ejemplo, la semantica

segun Kripke, de la que nos ocupabamos en el capitulo 3, 0

bien una de las interpretaciones de la logica intuicionista en

la Iogica modal S4' etc.).

En todo caso resulta que, en la situacion de hipotesis,

terrestres y extraterrestres estan perfectamente capacitadospara darse cuenta de estar empleando logicas distintas, des-

cribirse reciprocamente desde el punto de vista logico y co-

municar, sin po seer una metateoria comun. El unico requisito

que deben cumplimentar en comun es la capacidad de des-

cribir la sintaxis; y esta capacidad, como es sabido, equivale al

conocimiento de una parte de la aritmetica que, dentro de cier-

tos limites, es independiente en gran parte de la logica utilizada.

Si antes que intuicionista fuera nuestro extraterrestre un

polivalente (verbigracia, segun la 16gica de tres valorcs de

Lukasiewicz) nos hallariamos nuevamente ante una situaci6n

analoga a l a anterior. Al principio, el terrestre se veria impul-

sado a juzgar al extraterrestre como un ser Iimitado desde elpunto de vista deductivo (en cuanto restringido a una sub-

logica de la del terrestre); mas tarde construiria la descripci6n

semantica clasica para las logicas polivalentes. Por el con-

trario, el extraterrestre, en una primera aproximaci6n, juz-

garia con toda probabilidad al terrestre como un ilogico e

incluso como un loco. Poco a poco, sin embargo, ida cap-

tando que la semantica del terrestre es un caso limite de la

propia (caso en que a las proposiciones se asignen s610 los

dos valores de verdad extremos) y pasaria sin mas a juzgar

aI terrestre como un ser limitado.

Entre otras cosas, el ultimo ejemplo permite poner de

manifiesto la falta de fundamento de un prejuicio filos6fico,/

muy extendido/ incluso el individuo que rechaza el principiode no contradfcion, en realicfud de verdad se sirve necesa-

riamente del mr,mo. Nuestro ferrestre no tiene entre sus leyes

logica -rt (a II _,~tcha mana de ellas); pero puede

comprender y justificar la 16gica de quien exige el principio

de no contradiccion. Y viceversa,

149



nadas situaciones conceptualrnente cornple jas: p or ejemplo, el

uso de la t eori a de la probabilidad formalizada en la logica

clasica representa una manera comoda de superar el obstaculo

de la poIivaiencia. (Pero una teoria cientific a que c ontenga

como subteoria Ia teoria de Ia probabilidad, puede entenderse

como una teo ri a int rlnsecamente polivalente).No se excluye que el «derrocamiento» teori co de la logica

clasica al que estamos asistiendo en nuestros dias tenga en el

f uturo consecuencias aplicativas. Pero, obviamente, carece de g I TABLAS

sentido formular, en este c aso, p revisiones de futuro.

152

TABLA 1. REGLAS DE DEDUCCl6N

Reglas minimales

Reglas de introducci6n Reglas de eliminaci6n

Coujunciona /\(J a /\ (J

_--{ 3

a( J ---

a /\{3 a

Disyuncion

{ 3

[a ] [ ( J ]

a V ( J y y

y

a

a V {J a V {J

Implicacion

la]

.r: a -+ {J

a a --7- { 3

{J

Doble implicacion

a H {3

a -+ {J

a < -> ( J

153



Reglas de introducci6n

Negacion

[ a ] [ a ]

{J -, (J

-,a

Reglas de eliminacion

Cuantificador universal

a(x / y )

\txa( x )

a condici6n de q ue y no

ocurra en Jas premisas delas que dependa a

\t x a( x )

a(x / t)

Cuantificador existencial

a ( x / t)3 x a(x)

Identidad

t = t

Regia intuicionist a

a -, a

II

Regia cld sica

aV -, a

154

[ a (x / t)]

3 x a( x ) {J (J

a condicion de que t no

ocurra en 3x a(x ), ni en f J

ni en ot ra s p remisas (dis-

tintas de a (x I t) de l as que f J

depende.

a( x /t , ) .... a(x/t , )

TABLA 2. EJEMPLO DE DEMOSTRACl6N

Empleando el sistema de reglas minimales demostraremos

la propiedad transitiva de que goza la implicaci6n. A saber:

1- (a -+ (J ) _ _ ,. ( ( f J _ _ , . y) __,.(a __,. y »Entre parentesis, junto a cada raya, iremos indicando las

reglas de que nos servimos conforme avanzamos.

a a --+ {J (eliminaci6n de -+)

{J (eliminaci6n de -+)

y(introducci6n de --+ con descarga d e a)

a -+ y

( {J --+ y) -+ (a ->y ) (introducci6n de -e- con descarga de (J -+ y )

(a --+ (J ) -+ ( ( f J -+ y) -+ (a -+ » (intrcduccion de -+ con des-y carga de a -e- ( J )

TABLA 3. ALGUNAS LEYES L6GICAS DE IMPORTANCIA

Le yes minimales

I) a -e- ( jJ _ _ ,.a) (principio del a f ortiori)

2) [ a -e- ( {J -+y) ] --+ [ (a -+(J ) -+ (a -> y ) ] (ley de Frege)

3) [ a -+ (f J -+y ) ] -+ [{ J -+(a -e- y ) ] (ley de cambio del ante-

cedente)

4) [a -+ (f J -+ y ) ] .... [ a II {J -+y ] (ley de importacion-expor-

taci6n de la implicacion ]

r - 155



EI lenguaje de este sistema formal que indicaremos con P \ (inicial de Peano) contiene las siguientes constantes descriptivas:

'Iuna constante individual a 1 que llamamos «cero». Un simbolo

/

, funcional de un argumento Ii que llamamos «suceson 0 «si-

'-...____ , guiente». Dos simbolos funcionales de dos argumentos f i y f~ ~ que llamamos, respectivamente, «suma» y «producto», Por

I

5) a ->..., ...,a (doble negacion debil)

6) ..., ..., ..., a -> ...,a (ley de Brouwer)

7) ( a -+ (3 ) -+ ( ...,(3 -+ ...,a) (le y de contraposicion debil 0

del «tollendo tollens»)

8) a 1\ (3 -+ ...,( ...,a V -r-t (3 ) (primer a l ey deb il de De Mor-gan)

9) a V (3 -+ ...,( ...,a 1\ ..., ( 3 ) (segunda ley debil de De Mor-

gan)

10) a -+ ( -rt a -e- ..., ( 3 ) (principio debil de Duns Scoto)

II) v xa -e- 3 xa

12) v xa-+..., 3x ..., a

13) 3 xa -+ ...,'Ix ...,a

14) 3yv xa( X, Y) -+ V X 3 ya(x, y)

Le yes intuicionistas

15) a _,_ ( -t-t a -> (3 ) (ley f uerte de Duns Scoto)

16) ..., a V f3 -+ (a -+ f3 ) (ley debil de Fi lo n d e Megara)

Le yes clasicas

17) a V . . . , a (ley del tercio excluso)

18) a +--> . .. , . .. , a (ley de la doble negacion fuerte)

19) (a H f3 ) < --> .. . , a V f3 (ley fuerte de Filon de Megara)

20) (..., a -e- f 3 ) --+ ( _ , f3 _ _ ,. a) (ley de contraposicion fuerte 0

del «tollendo ponens»)

21) a 1\ f3 H...,(...,a V ..., (3 ) (primera ley fuerte de De Mor-

gan)

22) a V (3 e -e- . . ., ( . . . , a 1\ ..., ( 3 ) (segunda ley fuerte de D e Mor-

gan)

23) [(a ___,_(3 ) --+ a 1 -+ a (ley de Peirce)

24) vxa < - - > . . . , 3x"" a

25) 3xa < --> .. . , 3x ..., a

156

TABLA 4. LENGUAJES ELEMENTALES CON S[MBOLOS FUNCIONALES

Una funcion de n argumentos es una operacion que a

todo n-pla ordenado de individuos, pertenecientes a un c on-

junto dado (el dominio sobre el que se halla definida la fun-

cion), asocia como valor un o y s610 un individuo. Son ejemplos

de funcion de un argumento: «padre natural de», «raiz cua-

drada positiva de». Son ejemplos de funcion de dos argumen-

tos: «distancia entre ... y ... », «sum a de ... y . .. », etc.

Un lenguaje elemental con simbolos para funciones con-

tiene un determinado numero de letras:

f Lf~,...,fi ,f~,...,f~,f ~ ,...

donde el Indice superior 0 exponente indica el numero de

argumentos de la funci6n, en tanto que el subfndice 0 Indice

inferior permiten distinguir simbolos funcionales distintos y

que posean el mismo numero de argumentos.

Un t ermino de un lenguaje (con simbolos funcionales) es

una pal abra que posee una de las formas siguientes:

1) es una variable 0 una constante individual;

2) t iene l a forma f i( t" . .. , t n) donde f ; es un

funcional de n argumentos y 11, ... , t n son terrninos.

simbolo

TABLA 5. SISTEMA FORMAL (ELEMENTAL) DE LA ARTTMETlCA

157



I) VXV y [vz(z E x e-e- Z E y) -e- x ~ y ]

(axioma de extensionalidad);

2) VZ3YV x [ x E Y <-+ X E Z II a(x) ] , c on t al que la variable Y

no se ha ll e en estancia libre e n a .

(axioma de aislamiento);

3) VZ 3 YVx [ x E Y +-t vu(u E X -+ U E z) ]

(axioma d el con junto potencia);

4 ) VZ3YV x [ x E Y +-t 3 u(u E Z II x E u) ]

(axioma d el conjunto reunion);

5) 3 Y [Vx(v z (..., Z E X) -+ x E y) II v x (x E Y --+

-> v z (vu(u E Z <-+ U ~ x) -+ Z E y)) ]

(axioma del infinito);

I) Existe una correspondenci a b iy ectiva cp entre U y U' , 6) vx{vz(z E X --+ 3u(u E z ) ) II vuv ( u E X II V E X II u #

es decir, una representacion que a t od o elemento de U asocia -e- ..., 3 W(W E U II WE V )) -> 3Y[Vz(z E x --+

uno y sol o un e lemento de U' y es tal que, ala inversa, a t o d o --+3 u(u E Y II U E Z II vv(v E Y II V E Z -e- V ~ u)))l}

elemento de U' se le asocia uno y solo uno de U. , I (axioma de eleccion):

I~ ~ /

comodidad, a fin de seguir el simbolismo at usa, convendremos

en esc ri bi r 0 por a,; I' por fi(t), t , + I, por /i(t" I , ), y , por

ultimo, t ,' I , por n(t " I,).

Los axiomas de P son las siguientes proposiciones:

I) vx[..., x ' ~ 0];

2) v x V y [ x ' ~ y' -e- X ~ y] ;

3) v x (x + 0 ~ x ) II vxVy[ x + y' ~ (x + y)' ] ;

4) v x ( x,O ~ 0) II v x Vy[ x ·y' ~ ( x ·y) + x];

5) a (O) II vx(a( x ) --+ a( x ')) --+ vxa(x).

1) afirma que 0 no es sucesor 0siguiente de n ingun numero.

2) establece que dos mimeros con sucesores iguales son iguales

entre sf. 3) y 4) definen las operaciones de suma y producto.

Por ultimo, 5) es el principio de induccion matematic a segun

la cual: c ua ndo una propiedad (descrita por una formula del

lenguaje a( x )) esta dotada del cero y «se transmite», ademas,

por c ad a nurnero a su siguiente 0 sucesor, entonces tal pro-

pied ad vale para todos los numeros,

TABLA 6. ISOMORFISMO ENTRE REALIZACIONES

Dos realizaciones R ~ <U , v > y R' ~ < U', v' ) de un len-

guaje L son isomorfas cuando satisfacen las dos condiciones

siguientes:

158

2) La representaci6n c p «conserva Ia estructura». Es decir,

para cada constante individual a ., cp( v( a,)) ~ v'(a,). Asimismo,

para cada predicado P ; ', la relacion v ( P ; ) subsiste entre los

elementos UiI ' ... , u .; de U si y solo si la relacion V'(P ;I )

subsiste e nt re los elementos cp(u,,), ... , cp ( u<n) de U' .

TABLA 7. SISTEMA FORMAL (ELEMENTAL) DE ZERMELO-

FRAENKEL (ZF)

EI lengua je de ZF conti ene una sola constan te d escriptiva,

el predicado de dos argumentos Pi que lIamamos «predicado

de pertenencia». Siguiendo can el simbolismo al uso escribi-

remos t , E t l en vez de P'f_t t f j '

Los axiomas especificos de ZF son las proposiciones SI-

guientes:

v -+

159



7) \tx 3 Y [ u ( x, y) 1\ \tz(a(x , z) -e- z ~ y) ] __,_

-> \t u3 v\tY [ Y E v H 3X(X E U 1\ a(x, y )]

(con tal que las variables u y v no se hallen libre s e n c)

(axioma del remplazamiento 0 s ubstituci6n);

8) \tx [ 3Y(Y E x ) _,. 3Y(Y E X 1\ -. 3 Z ( Z E Y 1\ Z EX))](axioma de fundamentaci6n).

I) e s el principio cantoriano de extensionalidad. 2) es el

debilitamiento propuesto por Zermelo del principio de com-prensi6n: toda propiedad descrita por una f 6rmula del len-

gua je aisla, en un conjun to y a dado, un subconjunto c onsti-

tuido por los e lementos del conjunto de p artida que disf rutan

de dicha propiedad. EI axioma del con junto poiencia afirma

1a existencia de un conjunto que contiene todos los subcon-

juntos posibles de un con junto dado; en tanto que el axioma

del conjunto reunion establece la existencia de un conjunto

que contiene todos los elemento s d e un c on junto dado. El

axioma del infinito so stiene la existencia de un conjunto que

contiene el conjunto vaclo (carente de elementos) y que con

cada elemento suyo contiene el con junto unidad de dicho ele-

mento (es decir, el con junto que contiene solo tal elemento).

El axio ma d e eleccion afirma que, para todo c on junto que

encierre s610 conjuntos no vacios y disyuntos e ntre sl, existe

un conjunto «selective» que se obtiene eligiendo exactamente

un elemento p or c ad a elemento del conjunt o d e partida. EI

axioma de remplazamiento es una generalizacion (propuesta

por Fraenkel) del axioma de aislamiento: si los argumentos

de una funcion descrita por una formula del Iengua je cons-

tituyen un conjunto, entonces tambien dichos val ores consti-

tuyen un con junto. Por ultimo , el axioma de fundamentaci6nasevera que los con junto s s e fundan con respecto a la relacion

de pertenencia: cada con junto no vacio contiene por 10 menos

un subconjunto cuyos elementos no pertenecen al conjunto de

partida.

160

TABLA 8. CALCULO TEMPORAL MINIMAL

Los operadores temporales del calculo minimal son: F

(cen el futuro»), P (cen el pasado») . L a aplicacion de F 0

de P a una formula dellengua je da lugar a una nueva formula

(es decir: Fa y Pc son formulas si a es una formula).Los axiomas del calculo minimal son las proposiciones

siguientes:

I) _, F -, (a _,. (1)_,. (Fa -+ F(1)

(si siempre en el f uturo a -+ / 3 , entonc es: en el f uturo a implica

en el futuro (1);2) _, P _, (a - e- (1)-+(Pc -+P(1)

(si siempre en el pasado a __,_(1, entonces: en el pasado a

implica en el pasado (1);3) a --7- _, P _, Fa

(si a entonces siempre en el pasado a habra sido f utura);

4) a -+ _, F -. Pc

(si a entonces siempre en el futuro a sera pasada).

Las reglas temporales del calculo minimal son las dos

siguientes:

_u__ (si se ha demostrado a s e puede demostrar: siempre

-,F-.a en el f uturo a)

_a__ (si se ha demostrado a se puede demostrar: siempre

-sP _,u en el pasado a).

161

II. Da ll a O biara



(~ . .

BIBLIOGRAFIA COMENTADA

Dos son los criterios que n os h an guiado en la compilaci6n de esta

breve resena bibliografica: citar exclusivamente obras de caracter general

que puedan tener interes para el lector no especialista y reducir a limites

excepcionales las referencias a las memorias origina1es.

Seguimos el orden de relaci6n tematica que dio c uerpo a los capltulos.

Anteceden algunas obras de historia de la 16gica y ciertos manualcs.

NOTAS OR I ENTADORAS

Historia de f a logica

Muy comple ta e s la Storia della !oglca de C. MANGIONE,contenida

en la obra general de GEYMONAT S toria del pensiero filosofico e scient i fico

(Garzanti, Milan 1972). En su haber positive, entre otros valores, des-

taca la detenida atencion que presta a la 16gica contemporanea: la parte

dedicada at siglo x x constituye , a un tiempo , un a historia y un diaf ano

tratado te6rico que cubre los sectores f undamentales de l as investigaciones

Iogicas en nuestros dias.

Un criterio inverso sirvi6 d e pauta a KNEALE (1962), muy recomendable

para la historia de la J6gica antigua y medieval. EI BOCHENSKI (1956),

en la pa rt e que dedica a la logica matematica moderna, se distribuye

por argument os (verbigracia, La loglca de praposicianes, La /6gica d e

terminos, etc.). El SCHOLZ(1931), a pesar de su cortedad, es un clasico

de Ia historia de la logic a q ue c onstituye incluso en nuestros dias un

punto obligado d e referencia. El NIDDlTCH (1962) es un uti! resumen

esquematico. En el BARONE (1957) el lector puede hal1ar un minucioso

analisis hist6rico, teoretico, de las relacio ne s entre 1 6gica y filoscf fa

durante los siglos XVIII y XIX. Recibe a mplia desctipcion el desarrollo

del sector logico-algebraico.

163

+'1. Dalla Chiara.

,



Manuales

Conviene distingui r p or 10 m enos dos tipos de manuales de l6gica:

los «faciles», de caracter eminentemente divulgador, y los que procuran

of recer una exposicion relativamente completa y t ecnicamente rigurosa de

algunos capitulos fundamentales de Ja 16gica (sintaxis y semantica de las

teorfas formales; y a veces teoria de la recursi6n, tcoria de numeros yteorla de con juntos). Los manuales pcrtenecientes al segund o g ru po 0

tipo se enfocan como textos universitarios de logica (del primero 0 se-

gundo ciclos).

De los manuales faciles 0 elementales h ay q ue mencionar: el BLANCHE

(1968), de Jectura Ilana por su caracter «discursive»; entre otros factores

positivos, este reline el de tratar, j un to a l a 16gica clasica, l6gicas no

clasicas como la intuicionista y las polivalentes y modales. EI MAN~

GIONE(1965) constituye una 6ptima combinaci 6n d e d istintas exigencias,

como la claridad, el rigor tecnico y la brevedad. EI QUINE (1965) es un

instrumento muy util para quien se disponga a «Iormalizar» (es decir,

a traducir en lengua jes f ormales expresiones del lenguaje comun). EI

TARSKI(1941) represcnta, entre los manuales, un claslco: amen de otras

cosas, contiene una exposicion sintetica de la «teorla de las relaciones»,

que acostumbra f altar en textos analogos. Tambien AGAZZI (964)tiene ei valor de ser de lectura facil y recoger n umerosas informaciones

de tipo hist6rico.

Entre los manuales del segundo tipo citemos por orden de difieultad

ereciente:

SUPPES(1957) con una exposicion sintetica de la teoria d e la deduc-

cion natural est como una parte dedicada a la teoria de la definicion

(suprimida normalmente en los manuaies); reserva un capitulo m uy

interesante at problema de la axiomatizacion de las ciencias emplricasque eon stituye un punto de referencia obligado para los estudiosos del tema,

ROBBIN(1969) destaca por reunir las cualidades de sintesis, claridad

y abundancia de inf ormacion. Estudia asimismo la 16gica intuicionista

y reserva un notable espac io a I a l6giea de segundo orden.

ROGERS (1971), a pesar de su estilo «discursive » y un tanto vacio,

desde e l pun to de vista formal, aporta valiosa inf ormaci6n.

MENDELSON(1963) pose e u na e xp osici6n tecnica det al la da d e los

teoremas limitativos, concediendo to do u n capitul o a Ja demostraci6n

de cohereneia de la aritmetica can los metodos de Gentzen.

LYNDON(1966) es a un tiempo muy cscueto y muy riguroso. Resulta

util sobre todo para quien desee comprender el enfoque algebrista de

CASAR!(1959) constituye un tratado muy riguroso y desarrollado en

tod os l os detalles tecnicos de Ia Hamada «logica pura» (cuyo Ienguaie

contiene s610 constantes 16gicas y variables, careciendo de constantes

descriptivas).

SHOENFIELD(196 7) representa indudablemente el manual ho y dispo~

nible mas rico en inf ormaciones; c ub re l os sectores fundamentales de l a

logica clasica: desd e l a teoria de la demostraci6n hasta la teoria d e 01 0~

delos, desde la tcorta de la recursi6n hasta la teorf a de conjuntos.

STEEN (1972) acomete principalmente el cstudio de los problemas

l6gicos de la aritmetica formal.

(Como manuales «f aciles», contamos en castellano con los de FERRA~

TER Y LEBLANC,Y DEANO, asi como con las traducciones de Mitchell,

y de Kupperman y MeGrade, entre otros. Como manuales de nivel su-

perior, hay que citar los de SACRISTAN,MOSTERiNY GARRIDO,asi como

las traducciones de Quine y de Hilb ert y Ackerman, entre otros muchos.

Un libr a especialmente intcresa nte y de cardcter intermedio, entre los

dos grupos anteriores , e s e l de HASENJAEGER.v ce s e el apcndice de bibJio~

grana en castellano. N , del T.)

1. Teoria de la demostracion

Los elementos institucionales de la teorfa de la demostraci6n (sobre

todo clasica) se contienen en todos los manuales. Una exposicion siste~

matica, y de facil Iectura al propio tiempo, de la tcorla de la deduccion

natural se hal1a en PRAWITZ (1965). Los problemas de la formalizacion

de la sintaxis y de la «autofundamentacion» de las teorias se anaJizan

en DALLA CmARA SCABIA.AGAZZI (1961) es una clara introduccion a

los problemas dcl metodo axiomatico. Una presentaci6n critica de los

problemas mas recientes de la teoria de Ja demostraci6n se encuentra en

CELLUCCI(en curso d e p ubJicaci6n).

Por la complejidad de los temas y la dificult ad tecnica de los textos,

pasaremos pe r a lto la cita de algunas contribuciones f undamentales a

la teorf a de la demostraci6n (por e jemplo, las de George Kreisel), que

carecen de significado para el lector no especialista.

2. Teorla extensional del significado

Los elementos institucionales de la semantica extensional se eneuentran

en cualquier manual. La fundamcntaci6n f regeana de la teoria del sig~

nificado sc halla en el clasico FREGE (1892). Para Ia f undamentaci6n

165

la logica (

is ~



tarskiana de la semantica extensional, cl lect or no e specialista puedc

leer con provecho TARSKI(1944), que es una exposicion de caracter di-

vulgador, con analisis filos6fico de los p roblemas suscitados por la defini-

ci6n 16gica de verdad. La memoria originaria de TARSKI(1935) resulta,

no obstante, de dificil Icctura no aconse jando se e sta al principiante.

Obras generales sobre Ia teorfa de modelos son, par e jempJo, ROBIN-

SON(1963) y BELL-SLOMSON(1969). A pesar d e se r «self contained), estos

textos exlgen el desarrollo de elaboradas tecnic as de npo algebraico y

unicamente pueden leerse con faeilidad euando el l ector dispone de eierta

prcparaci6n (0 a l men os d e «cierta f orma mental») matematica.

£1 problema general de la teorla de ccnjuntos como «teorla de l os

conceptcs» f ue discutido y desarrollado tecnicamente por CASARI(1969).

Una exposici6n del a nalisis no-estandar se eneuentra en ROBINSON(1966).

Se consider a un tratado exhaust iv e y de f acil lectura a un tiempo el

REsHER(1968), q ue eontiene tambien una profusa bibliografia puesta al

dia hasta el ano 1965. Otro manual, mas antigu o, dedicado al mismo tema

os el ROSSER-TURQUEITE(1952). CosTANTINI(1970) examina los problemas

de la 16gica inductiva, conteniendo al propio tiempc distintos enfoques

a la cuesti6n de los fundamentos del calculo de probabilidades.

3. Teorlas d e la intension y 16gicas especlales

Una exposici6n general de la semantlca «a 10 Kr ipke » s e encuentra

(ademas de en la memoria original de KRIPKE [1963]) en HUGHES-

CRESSWEU(1968) que representa uno de los manuales de 16gi ea modal

mas completos de que disponemos en la actualidad.

Para las 16gieas temporales: PRiOR (1967) contiene Ia deseripci6 n de

varios calculos temporales y al propio tiempo algunas discusiones filoso-

ficas que se originan a partir de los problemas planteados por este tipo

de 16gicas. COCCHIARELLA(1965) desarrolla sistematicamente, en todos

los detalles tecnicos, una semantica «a 10 Kripke» para las J6gicas tem-

porales.

Los proble ma s d e las 16gicas epistemic as se encuentran examinados

sobre todo en HINTlKKA(1962) y (1970). POI' su parte, la scmantica krip-

kiana de la 16gica intuieionista y minimal qucda desarrollada en FIT-

TING (1969).

Para Jas teorias de Ia intension, CARNAP(1947) representa un puntode ref erenda clasico ; en tanto que MONTAGUE(1968) y ( 1970) hilvanan

el punto de vista que hemos Ilamado «semiextensional» en la f undarnen-

taci6n de una teoria abstracta de la intensi6n.

166

4. EI problema d e los fundamentos de la mat emd tica

Existe actualmente una copiosa bibliograff a en torno al problema de

los fundamentos de la matematica que no viene al caso reeoger aqui.

EI lector no especialista leera con provecho obras de caracter general

sobre el tema, que contengan una d eseripei6n sintetica y un analisis

critico de l os distintos tipos de enfoque funcional. Asi, los textos siguien-tes: CASARI(1973) que representa una exposicion sumaria de caracter

divulgador; CASARI(1964); HATCHER(1968); MOSTOWSKI(1966); CELLUCCI

(1967); GEYMONAT(1972) y (1947). Para los problemas de la teor ia de

con juntos con particular ref erencia al problema del continuo, COHEN(1966).

5. Logica y ciencias emplricas

Contrariamen te a l c aso anterior, el tema «logica d e las ciencias ern-

piricass tiene una literatura recentisima. Se trata, efectivamente, de una

problematic a e n ge staci6n. Limitemonos a recordar, para la semantica

de las teorf as empiricas: SNEED(1971); PRZELECKI(1969); DALLACHIARA

SCABIA~ToRALDODI FRANCIA(1973). Para los problemas de Ia 16gica

cuantica: PUTNAM(1969); JAUCH(1971); MACKEY(1963); VAN FRAASSEN

(de inminente aparici6n).

167



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'_'

,



L

INDICE

Tntroducci6n . 7

1 . La 16 gica griega 102. La t ogica med ieval 25

3, Leibniz y fa 16gica mnt enuulca mod erna 29

4. La logica, hoy 40

l . Tcoria de la demostraci6n . 47

1.1. Preliminares , . 47

1 .2 . Las logicas [undomentoles 48

1.3. T eor!a de los sist emas f ormales 58

1.4. Propied ad es im port antes d e los sistemas [ ormales 6 3

1.5. Los leoremas t imitat ivos . 68

1.6 . Demostraciones d e coherencla . 74

2. Teoria extensional del significado . 79

2.1. F t mdament aci611 por Frege d e fa t eoria d el s i g n i f i ca d o 79

2.2. La senuintlca tarsk iana . - . 83

2.3. La t cor!a d e mod et os . 89

2.4. El problema d e la autoiundomeruocion d e las t eori as , 97

2.5. Logicas polivalentes, probabilist icas e induct ivas 102

3. Teorlas de la intensi6n y 16gicas especiales 105

3.1. La semaruica de K ripk e .-. 105

3.2. Las 16gicas modcles . 10 7

3.3. Logicas t em porales y logicas e pistemicas 110

3.4. T cori as de t a intension I t5

3.5. S emont ica k ri pk lan a pa ra las 16 gicas iundament oles - 12t

177



4 . El p ro bJema de Jos fundamentos de la matematica 125

4.1. Mutemotica y l6gica J 25

4.2. Cambios recientes de perspectiva en la problematica

fundacional . 128

5. L6gica y ciencias empiricas 139

5.1. Semantica de las teorias emptncas -r: 139

5.2. EI problema de ta «16gica de fa meconica ct uuuico» 143

6. (,Unicidad 0 pluralidad de Iogicas? 1 4 7

Tablas .

I.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Reg/as de dcduccion

Ejemplo de demostracion

Algunas leyes logicas de importancia

Lenguaies elementaies COil simbol os tunctonotes

Sistema formal (elemental) de fa arltmetica .

lsomoriismo entre realizaciones

Sistema formal (elemental) de Zerrnelo-F raenkel (ZF) .

Calculo temporal minimal

153

153

155

155

15 7

15 7

158

159

1 6 1

Bibliograffa comentada

Bibliografta general .

Apendice bibliografico de obra s e n c a st ellano

1 63

169

17 5

o

II

I l

,,,

,

dalla chiara s. logica

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