dao ĐỘng phi tuyẾn yẾu cỦa hỆ cẤp ba cÓ ĐẠo hÀm cẤp phÂn...
TRANSCRIPT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
BÙI THỊ THUÝ
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA
CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC
HÀ NỘI – 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………
BÙI THỊ THUÝ
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA
CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TSKH Nguyễn Văn Khang
2. TS Trần Đình Sơn
Hà Nội – 2017
i
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
n, N số nguyên dương
, , , ,p q r ,Q số bất kỳ
nf t đạo hàm cấp n của hàm f
p
aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f
G p
aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald - Letnikov
R p
aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville
C p
aD f t đạo hàm cấp phân số theo Caputo
W pD f t tích phân cấp phân số theo Weyl
_
0
D E pD f t đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex
. hàm Gamma
. hàm Beta
. hàm Mittag – Leffler một tham số
, .E hàm Mittag – Leffler hai tham số
. Trung bình theo thời gian
x Đạo hàm theo thời gian của x
MPS Mô phỏng số
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và chưa được
công bố trong bất cứ công trình nào khác. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là
trung thực.
Tác giả luận án
Bùi Thị Thuý
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn
Văn Khang và TS Trần Đình Sơn đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt
thời gian thực hiện luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy và đào
tạo trong quá trình học nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn Viện Cơ học, Học viện
Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo
điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án.
Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới đơn vị công tác là Bộ môn Cơ lý thuyết, Khoa
Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh.
Xin cảm ơn ThS Dương Văn Lạc và Kỹ sư Trương Quốc Chiến, cảm ơn
gia đình và bạn bè đã khích lệ, động viên và giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn
thành tốt luận án này.
iii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
n, N số nguyên dương
, , , ,p q r ,Q số bất kỳ
nf t đạo hàm cấp n của hàm f
p
aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f
G p
aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –
Letnikov
R p
aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –
Liouville
C p
aD f t đạo hàm cấp phân số theo Caputo
W pD f t tích phân cấp phân số theo Weyl
_
0
D E pD f t đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex
. hàm Gamma
. hàm Bêta
. hàm Mittag – Leffler một tham số
, .E hàm Mittag – Leffler hai tham số
. Trung bình theo thời gian
x Đạo hàm theo thời gian của x
MPS Mô phỏng số
1
MỤC LỤC
Lời cam đoan ………………………………………….……………………………i
Lời cảm ơn..…………………………………………………………….................. . ii
Danh mục các từ viết tắt ......................................................................................... iii
Mục lục ....................................................................................................................... 1
Danh mục hình .......................................................................................................... 3
Mở đầu ....................................................................................................................... 6
Chương 1. Mô hình đàn nhớt cấp phân số ........................................................... 11
1.1. Một số kiến thức bổ trợ ………………………………………………………. 11
1.1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên ... 11
1.1.2. Hàm Gamma ......................................................................................... 12
1.1.3. Hàm Mittag – Leffler ............................................................................ 16
1.1.4. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên ................. 18
1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số ……………………………..... 21
1.2.1. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –
Liouville ............................................................................................................. 21
1.2.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –
Letnikov ............................................................................................................. 22
1.2.3. Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo ..................................... 24
1.2.4. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức ..... 25
1.2.5. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác ................. 28
1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính …………………………………… 29
1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α) ..................... 30
1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α) ............................... 31
1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k1, k2, α) ..... 32
1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........... 33
1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến ……………………………………. 35
1.5. Kết luận chương 1 …………………………………………………………… 38
Chương 2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
bằng phương pháp số .............................................................................................. 39
2
2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba………… 39
2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark ................................................... 39
2.1.2. Tính toán dao động tuyến tính hệ cấp ba .............................................. 41
2.1.3. Tính toán dao động phi tuyến hệ cấp ba ............................................... 41
2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........ 42
2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực cấp một….. 51
2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta ............................................ 51
2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........ 52
2.3. Kết luận chương 2……………………………………………………………. 62
Chương 3. Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận .............................................. 64
3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số …………………………………………………… 64
3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo
hàm cấp phân số ................................................................................................. 64
3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số .......................................................................................... 73
3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số ……………………………………………………………………….. 82
3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật
đạo hàm cấp phân số .......................................................................................... 82
3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật đạo
hàm cấp phân số ................................................................................................. 95
3.3. Kết luận chương 3 …………………………………………………………... 108
Kết luận chung và những đóng góp mới của luận án ........................................ 109
Danh mục các công trình đã công bố .................................................................. 111
Tài liệu tham khảo ................................................................................................ 112
3
DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Chu tuyến L .............................................................................................. 26
Hình 1.2. Chu tuyến tích phân gồm L1, L2 và γ ....................................................... 27
Hình 1.3. Mô hình đàn hồi tuyến tính 0.E D ................................................ 30
Hình 1.4. Mô hình nhớt tuyến tính cấp nguyên 1.D .................................. 30
Hình 1.5. Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số . tc D ................................. 30
Hình 1.6. Mô hình Kelvin – Voigh .......................................................................... 30
Hình 1.7. Phân tích lực ............................................................................................. 30
Hình 1.8. Mô hình Maxwell ..................................................................................... 31
Hình 1.9. Phân tích lực ............................................................................................. 31
Hình 1.10. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn ................................................................ 32
Hình 1.11. Phân tích lực ........................................................................................... 32
Hình 1.12. Mô hình ô tô ........................................................................................... 33
Hình 1.13. Phân tích lực ........................................................................................... 33
Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô .............................................................................. 34
Hình 1.15. Phân tích lực ........................................................................................... 34
Hình 1.16. Mô hình cổ điển ...................................................................................... 35
Hình 1.17. Mô hình mới ........................................................................................... 35
Hình 1.18. Hệ dao động chịu kích động va đập ....................................................... 36
Hình 1.19. So sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h = 30mm ............... 37
Hình 1.20. So sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h = 60mm .............. 38
Hình 2.1. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f ....................................................... 45
Hình 2.2. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3
p a b c f t
....................................... 46
Hình 2.3. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 10, 1, 10p a b c ......................................................................... 46
4
Hình 2.4. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f .................................................................... 49
Hình 2.5. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3
p a b c f t
.................................................... 50
Hình 2.6. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c ......................................................................... 51
Hình 2.7. Xấp xỉ tích phân bởi công thức hình thang .............................................. 54
Hình 2.8. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f ....................................................... 56
Hình 2.9. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3
p a b c f t
....................................... 57
Hình 2.10. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f ............................................................. 61
Hình 2.11. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3
p a b c f t
.............................................. 61
Hình 2.12. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c .................................................................. 62
Hình 3.1. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ............................................. 70
Hình 3.2. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.25p p ..................................... 71
Hình 3.3. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p ........................................... 71
Hình 3.4. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25p p ...................................... 71
Hình 3.5. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p ........................................ 72
Hình 3.6. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi ............................................... 72
Hình 3.7. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 0.5; 0.5p p ............ 73
Hình 3.8. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ............................................. 79
Hình 3.9. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi .............................................. 79
5
Hình 3.10. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.5p p ...................................... 80
Hình 3.11. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25p p .................................... 80
Hình 3.12. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.5p p ...................................... 81
Hình 3.13. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.75p p .................................... 81
Hình 3.14. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi ............................................. 82
Hình 3.15. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 1; 0.5p p ................ 82
Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ........................................... 92
Hình 3.17. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ............................................ 93
Hình 3.18. Đường cong biên độ tần số khi 0
h thay đổi ............................................ 93
Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi 0.01; 0.5p p ................................. 94
Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS 0.01; 0.5p p ........................ 94
Hình 3.21. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.5p p ...................................... 94
Hình 3.22. Đường cong biên độ tần số MPS khi 0; 0.5p p ............................. 95
Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi ......................................... 104
Hình 3.24. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi .......................................... 105
Hình 3.25. Đường cong biên độ tần số khi 2
h thay đổi .......................................... 105
Hình 3.26. Đường cong biên độ tần số khi 20; 0.5; 0.01p p h .................... 106
Hình 3.27. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.01p p h ............... 107
Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.1p p h ................. 107
Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số MPS khi 20.01; 0.5; 0.005p p h .... 108
6
MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo dựa trên các
mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell và mô
hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học công nghệ nói
chung và cơ học nói riêng, càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su
tổng hợp, silicone…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên
không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó xuất hiện các mô hình đàn
nhớt cấp phân số.
Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với phần tử đạo
hàm cấp phân số. Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng đối với những biến dạng
lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện. Quy luật dao động của cơ hệ không còn
đơn thuần là quy luật tuyến tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến. Do đó các nhà
khoa học cần phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ có
đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối ưu phục vụ nhu cầu
cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân mô tả đặc tính dao động
phi tuyến của cơ hệ là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại.
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các hệ dao động cơ học được
biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân
số. Cụ thể, tìm nghiệm của các phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số
hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu của đề tài
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu diễn bởi các
phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Các hệ cơ học được mô
tả về mặt toán học bằng các phương trình vi phân cấp ba được gọi là các hệ động
lực cấp ba. Thuật ngữ này do GS.Nguyễn Văn Đạo sử dụng đầu tiên ở nước ta.
Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark, phương pháp số
Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm phương trình vi phân dao động
phi tuyến của một số cơ hệ đàn nhớt cấp ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất
dao động mới của cơ hệ.
7
4. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Lý thuyết về đạo hàm cấp không nguyên được đề cấp đến trong ghi chú của
Leibniz gửi tới L’Hospital [44] vào ngày 30 tháng 09 năm 1695, trong đó ý nghĩa
về đạo hàm cấp ½ đã được thảo luận.
Khi trả lời câu hỏi của L’Hospital, biểu thức đạo hàm n
n
d
dx có ý nghĩa như
thế nào khi 1
2n , Leibniz đã trả lời “sẽ dẫn đến một mâu thuẫn”.Ông cũng viết
thêm “Từ mâu thuẫn này đến một ngày nào đó sẽ có những kết luận hữu ích”.
Ghi chú của Leibniz dẫn tới sự xuất hiện của lý thuyết đạo hàm và tích phân
cấp phân số vào cuối thế kỷ XIX và được đưa ra bởi Liouville, Grünwald, Letnikov
và Riemann. Cái nhìn tổng quát về lịch sử của lý thuyết đạo hàm cấp phân số có thể
được tìm thấy trong các tài liệu [46], [53], [57].
Năm 1819, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp n với n là số tùy ý được đề
cập đến. Trong cuốn sách về phép tính vi phân và tích phân dày hơn 700 trang của
Lacroix, ông đã để gần hai trang bàn về đề tài này. Ông đã trình bày cách tính đạo
hàm ny x x và viết
!
!
mn m
m
d ny x x
n mdx
(với ,n m là số nguyên và với 1
2m )
Khoảng giữa các năm 1832 đến 1835, Liouville đã công bố một vài bài báo
về vấn đề này. Năm 1847, Riemann đã đưa ra định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa
theo các công trình của Liouville. Năm 1967, Caputo đưa ra một phương án mới về
định nghĩa đạo hàm cấp phân số.
Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ
yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các nhà
toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm
và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu
thực khác nhau, chẳng hạn như polymer. Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp
phân số mới thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó.
Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm
cấp không nguyên là hợp lý và phù hợp [15].
8
Đạo hàm cấp phân số cung cấp một công cụ mới để mô tả bộ nhớ và tính
chất di truyền của những vật liệu và quá trình khác nhau. Đây là ưu điểm chính của
đạo hàm cấp phân số so với những mô hình đạo hàm cấp nguyên cổ điển, trong đó
những ảnh hưởng như vậy trong thực tế bị bỏ qua.
Việc mô hình toán học và mô phỏng các cơ hệ và các quá trình, dựa trên sự
mô tả những tính chất của chúng thông qua đạo hàm cấp phân số, tất nhiên sẽ dẫn
tới những phương trình vi phân cấp phân số và dẫn tới sự cần thiết phải giải những
phương trình như vậy. Tuy nhiên, không thể tìm được những phương pháp tổng
quát để giải.
Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong lĩnh vực
cơ học đã được quan tâm nghiên cứu. Ví dụ những bài báo cổ điển của Bagley và
Torvik [71], Caputo [13], Caputo và Mainardi ([15], [16]) (bốn bài báo này đề cập
đến việc thiết lập mô hình của tính chất cơ học các vật liệu), Chern [17], Diethelm
và Freed ([22], [23]), Freed và Luchko [24] (mô hình trạng thái của những vật liệu
đàn nhớt và nhớt dẻo dưới ảnh hưởng của ngoại lực), Gaul, Klein, và Kempfle [31]
(mô tả sự tắt dần của những hệ cơ học) và Shaw, Warby, Whiteman [62] (mô hình
của những vật liệu đàn nhớt)…
Những ý tưởng về việc chèn đạo hàm cấp phân số vào việc thiết lập những
phương trình kết cấu của vật liệu đã được thử nhiều lần trong suốt nhiều thập kỷ
qua. Nutting ([49], [50], [51], [52]) là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên
nghĩ rằng hiện tượng chùng (relaxation) ứng suất có thể được mô hình thông qua
thời gian bậc phân số. Gemant ([33], [34]) nhận thấy rằng độ cứng tắt dần của vật
liệu đàn nhớt đã xuất hiện tỷ lệ với bậc phân số của tần số. Sau đó, ông ấy cũng đề
xuất những vi phân cấp phân số theo thời gian có thể mô hình hoá trạng thái cơ học
của vật liệu. Scott Blair và Caffyn [61] nghiên cứu chi tiết hơn việc sử dụng đạo
hàm cấp phân số để mô hình mối quan hệ ứng suất – biến dạng. Caputo ([12], [13],
[14]), Caputo và Mainardi [16] chỉ ra mối quan hệ quy luật kết cấu sử dụng phép
tính phân số có thể mô tả tính chất đàn nhớt và tính chất cơ học của tầng địa chất và
một số kim loại, thuỷ tinh. Sau những năm 1970, sự nghiên cứu một cách cẩn thận
và toàn diện các mô hình vật liệu đàn nhớt bằng phép tính phân số được thấy rõ
hơn. Bagley và Torvik [8] đã xem xét lại các bài báo liên quan đến ứng dụng của
9
phép tính phân số đối với tính đàn nhớt. Họ đã chỉ ra rằng những mô hình tính toán
đạo hàm cấp phân số của vật liệu đàn nhớt là phù hợp với lý thuyết mô tả trạng thái
của những vật liệu đàn nhớt. Việc hiểu biết những hàm chùng và rão (relaxation and
creep), va chạm tắt dần, đáp ứng dao động của vật liệu cấp phân số là một lĩnh vực
quan trọng cho các kỹ sư ứng dụng. Chẳng hạn Koeller [41] đã nghiên cứu những
hàm chùng và rão cho những phần tử phân số thông qua những phương trình tích
phân Volterra với nhân Abelian.
Caputo [14], Bagley và Torrik [9], Sakakibara [60], Zhang và Shimizu [76]
đã nghiên cứu những tính chất va chạm, dao động và tắt dần của các bộ dao động
với các toán tử phân số. Những tính chất đặc biệt của chúng được nêu bật. Những
ứng dụng kỹ thuật của vật liệu đàn nhớt để khử va chạm và dao động được nghiên
cứu bởi Gaul và Chen [32] và Tsai [72], Li và Tsai [45].
Những nghiên cứu của Sakakibara [60] trên bộ dao động phân số với đạo
hàm cấp ½ nhấn mạnh tầm quan trọng của toán tử phân số trên những tính chất
động lực học của cơ hệ. Zhang và Shimizu [76] nghiên cứu một vài khía cạnh quan
trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt mô hình bởi quy luật kết cấu
Kelvin – Voigt. Baker [10] nghiên cứu một phương trình đạo hàm riêng của mô
hình thanh đàn nhớt với quy luật Kelvin – Voigt.
Tính chất phi tuyến trong trạng thái của vật liệu tồn tại khá nhiều. Đối với vật
liệu polymer có một sự phức tạp rất lớn là sự tương tác phụ thuộc thời gian sẵn có
và nguồn gốc của tính phi tuyến. Sugimoto ([67], [68], [69], [70]) nghiên cứu bài
toán giá trị đầu của phương trình Burgers liên quan đến đạo hàm cấp phân số ½.
Nghiên cứu chỉ ra rằng đạo hàm cấp phân số cho thấy sự nổi bật của tính không liên
tục nhưng không cho phép kiểm tra độ dốc phi tuyến. Nhiều vật liệu giảm chấn
được phát triển và sử dụng những điều kiện chuyển tiếp ở mức độ cao của biến dạng
trong đó đáp ứng của chúng là phi tuyến một cách rõ ràng. Sackman và Kelly [59],
Papoulia và Kelly [54] xây dựng quan hệ kết cấu phi tuyến của vật liệu trong miền
thời gian để tính toán trạng thái phi đàn hồi và sự hư hại của vật liệu đàn nhớt sử
dụng bộ giảm chấn. Họ giải thích thành công những kết quả của thực nghiệm.
Rossikhin và Shitakova [58] nghiên cứu chi tiết động lực học phi tuyến liên quan
đến tính đàn nhớt. N. Gil – Negrete [35] nghiên cứu mô hình vật liệu cao su phi
tuyến kết hợp với tính đàn nhớt cấp phân số.
10
Hiện nay ở trong nước, một số tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học có đăng
một số công trình nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số nhưng còn ít và chủ yếu
nghiên cứu về mặt toán học. Trên tạp chí Toán học có các nghiên cứu về quy luật
luỹ thừa cho sự khuếch tán phân số, phương pháp Possion [36] và đó là các công
trình của các tác giả nước ngoài.
Trong luận án, tác giả đã áp dụng các phương pháp số Newmark, phương
pháp Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận để tính toán dao động phi tuyến của
hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số.
5. Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận
chung và những đóng góp mới của luận án.
Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số”. Trong chương này giới thiệu
một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số, mô
hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng
quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số.
Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
bằng phương pháp số”. Trong chương này áp dụng hai phương pháp số Newmark
và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo
hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết quả giữa hai phương pháp số.
Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”. Trong chương này áp dụng
phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ được mô tả
bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số (hệ Duffing và hệ
van der Pol), tính toán dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số (hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động). Với mỗi
cơ hệ, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều kiện ổn định của nghiệm dừng
dựa trên lý thuyết Lyapunov được khảo sát. Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu
ảnh hưởng của các tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ
tần số, điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và đạo
hàm cấp phân số.
11
CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ
Chương 1 trình bày một số định nghĩa về đạo hàm và tích phân cấp phân số
của các tác giả khác nhau. Đó là các định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số
theo Riemann – Liouville, theo Grünwald – Letnikov, theo Caputo, theo hàm biến
phức, theo Weyl, theo Miller – Ross. Sử dụng định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp
phân số theo Riemann – Liouville, luận án đã trình bày mối quan hệ giữa định nghĩa
này với các định nghĩa khác về đạo hàm và tích phân cấp phân số. Phần tiếp theo
của chương trình bày một số mô hình đàn nhớt cấp phân số trong các hệ dao động.
1.1. Một số kiến thức bổ trợ
1.1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên
Chúng ta sử dụng n và N là những số nguyên dương, , , , ,p q r và Q là
những số bất kỳ. Cho một hàm số f t . Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2,..., cấp
n ,…của hàm f t như sau
2
2, ,..., ,...
n
n
df t d f t d f t
dt dt dt (1.1)
Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu đạo hàm tương tự
2
2, ,..., ,...
n
n
df t d f t d f t
dt dt dt
Đạo hàm của hàm f t theo t a bằng đạo hàm theo t của nó
2 2
2 2, ,..., ,...
n n
n n
df t d f t d f t d f t d f tdf
d t a dt dt dtd t a d t a
(1.2)
Do tích phân là phép tính ngược của đạo hàm nên ta viết
1
0 01
0
td f tf t dt
dt
(1.3)
Các tích phân nhiều lớp được ký hiệu
12
1 0 02
0 0
ttd f tdt f t dt
dt
(1.4)
1 2 1
1 2 1 0 0
0 0 0 0
.nt t tn t
n nn
d f tdt dt dt f t dt
dt
(1.5)
12
Khi giới hạn dưới khác 0, các tích phân sẽ được viết
1
0 01
t
a
d f tf t dt
d t a
(1.6)
1 2 1
1 2 1 0 0.nt t tn t
n nn
a a a a
d f xdt dt dt f t dt
d t a
(1.7)
Lưu ý phương trình sau đúng với đạo hàm nhưng không đúng với tích phân
n n
n n
d f t d f t
dtd t a
(1.8)
Tức là
.
n n
n n
d f t d f t
dtd t a
(1.9)
Đạo hàm cấp n thường được viết n
f t (1.10)
Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân
1 2 1
1 2 1 0 0.nt t tt
n
n n
a a a a
f t dt dt dt f t dt
(1.11)
Với p là số bất kỳ
.p p p
p
p p p
d f t d f t d f tf t
dtdtd t a
.
p p
p p
x b
d f t d fb
d t a d t a
Trong luận án này sử dụng ký hiệu
.
p
p
ap
d f tD f t
d t a
1.1.2. Hàm Gamma
1.1.2.1. Định nghĩa hàm Gamma hay tích phân Euler loại 2
Với s > 0 ta có định nghĩa hàm Gamma (tích phân Euler loại 2)
1
0
,
x ss e x dx (1.12)
13
Định nghĩa trên có được bằng phép đổi biến u log t trong định nghĩa
ban đầu của Euler
1
1
0
log .
s
s x dx
1.1.2.2. Công thức cơ bản thứ nhất của hàm Gamma
1 , 0s s s s (1.13)
Chứng minh
Từ (1.12) tích phân từng phần
1
0 0
1 0 .0
x s x s x ss e x dx e x s e x dx s s s
Do đó ta sẽ có
1 2 ,s s s s k s k k s (1.14)
Cho s n ta có
0
1 2 2.1. 1 ,
1 1,0
x x
n n n n
e dx e
1 1.2... !n n n (1.15)
Biểu thức thứ 2 của hàm Gamma
Đặt
2
2 11
2
ss
dx tdtx t
x t
Từ (1.12) ta được 2 2 1
0
2 ,
t ss e t dt
Hay 2 2 1
0
2 , 0 ,
x ss e x dx s (1.16)
Với 1
2s có
2
0
12 2 ,
2 2
xe dx
Mặt khác theo công thức (1.14) ta có
1.3.5... 2 11 1 3 1 1
.2 2 2 2 2 2n
nn n n
(1.17)
14
1.1.2.3. Công thức cơ bản thứ 2 của hàm Gamma và hàm Beta
Hàm Beta (tích phân Euler loại 1) có dạng
1
11
0
, 1 , 0, 0 .
qpp q x x dx p q (1.18)
Bằng phép đổi biến 2osx c ta có hàm Beta ở dạng tích phân suy rộng
2
2 1 2 1
0
, 2 os .sin , 0, 0 .
p qp q c dx p q (1.19)
Đặt 2sinx ta cũng biến đổi được hàm 1
11
0
, 1pqq p x x dx với
0, 0p q về dạng (1.19)
, , .p q q p
Như vậy hàm Beta đối xứng và có thể được tính toán thông qua hàm nhờ
tính chất quan trọng sau
Định lý
, , .
p qp q q p
p q
(1.20)
Chứng minh
Từ (1.16) ta có
2 2
2 22 1 2 1 2 1 2 1
0 0 0 0
4 4 .x yx p y q p qp q e x dx e y dy e x y dxdy
Sử dụng tọa độ cực os , sinx rc y r có
2
2
22 1 2 1 2 1
0 0
22 1 2 1 2 1
0 0
4 os sin
2 .2 os sin
, .
p qr p q
p qr p q
p q e r c drd
e r dr c d
p q p q dfcm
Sử dụng tính chất vừa chứng minh ta có
1
1
0
1 1 ,1 ,1 1 .sss s s s s s t t dt
Thay 1
xt
x
suy ra
1
0
1 , 0 1 .1 sin
sxs s dx s
x s
(1.21)
15
1.1.2.4. Hàm Gamma có thể xem như giới hạn của một tích
Ta đã biết giới hạn
lim 1 ,
n
x
n
xe
n (1.22)
1 1
0 0
lim 1 .
n
x s s
n
xs e x dx x dx
n
(1.23)
Ký hiệu 1
0
1 , 0 , 0 .
kns
k
xs x dx k n s
n (1.24)
Tích phân từng phần (1.24) tính được
1
1
0
1 1 1 ,0
k knss
k k
nx x k x ks x dx s
n s ns n ns (1.25)
Mặt khác chú ý rằng
1
0
0
.0
n s ss
nx ns x dx
s s
(1.26)
Thông qua (1.25) và (1.26) ta tính n s
1 0
1 2 11
1 2 1
1.2 1.2.
11 1
n n
s ns
n
n n n ns s s n
ns ns n s n s n s n
n n nn
s n s s s nn s s s n
Do đó hàm Gamma có thể được biểu diễn qua giới hạn của một tích
1.2( ) lim , ( 0).
1
s
n
ns n s
s s s n (1.27)
Biểu thức (1.27) có thể dùng làm định nghĩa hàm Gamma. Khi đó, ta vẫn có
công thức truy toán cơ bản 1s s s .
Thật vậy
1.21 lim
1 1
1.2.lim .lim .
1 1
s
n
s
n n
n ns s n
s s s n s n
n ns n s s
s s s n s n
Hàm Gamma được định nghĩa qua giới hạn của một tích như trên có các cực
điểm đơn là 0, -1, -2, …, - n ,…
16
1.1.2.5. Hàm Gamma và hệ số của nhị thức Newton
Định nghĩa
1 2 1 !, .
! ! !
n n n n n k nk n
k k n k k
(1.28)
Các hệ quả
1, 0 khi ,0
n n nk n
n k
(1.29)
1
, , .1 1 1 1
n n n n n n nn
n k n k k k k
(1.30)
Quan hệ giữa hàm Gamma và hệ số của nhị thức: 1 !n n
1!
! ! 1 1
n nn
k n k k k n k (1.31)
1.1.3. Hàm Mittag – Leffler
Đối với những tính toán cấp nguyên, hàm mũ ze đóng một vai trò quan
trọng. Tương tự trong tính toán cấp phân số, hàm Mittag-Leffler cũng đóng một vai
trò như vậy.
1.1.3.1. Các định nghĩa
a. Hàm Mittag – Leffler một tham số
Như đã biết khai triển Taylor của hàm xe có dạng
2 3
0
1! 1! 2! 3!
k
x
k
x x x xe
k
Thay k! ở mẫu số bằng hàm 1 , 0k ta được hàm Mittag – Leffler.
Hàm Mittag – Leffler một tham số được định nghĩa
0
, 0.1
k
k
zz
k
(1.32)
Dạng khai triển là dãy vô hạn
2 3
1 ,1 2 1 3 1
z z zE z
(1.33)
Hàm này đã được giới thiệu bởi Mittag-Leffler năm 1903.
Với một số giá trị của ta có các hàm Mittag – Leffler
17
33
0
1
2
323
1 2
1,
1
,
cosh ,
1 32 cos ,
3 2
1 erf , 0.
x
xx
x
xx
x e
x x
x e e x
x e x x
(1.34)
b. Hàm Mittag-Leffler hai tham số
Hàm Mittag-Leffler hai tham số đóng vai trò rất quan trọng trong phép tính
không nguyên. Kiểu hàm này được đưa ra bởi R.P.Agarwal và Erdelyi vào năm
1953-1954.
Hàm hai tham số được định nghĩa
,
0
0, 0 .k
k
zE z
k
(1.35)
,1
0 1
k
k
zE z E z
k
là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Những đồng nhất thức sau được suy ra từ định nghĩa
1,1
0 0
1
1,2
0 0 0
2
1,3 2 20 0 0
,1 !
1 1,
2 1 ! 1 !
1 1.
3 2 ! 2 !
k kz
k k
k k k z
k k k
k k k z
k k k
z zE z e
k k
z z z eE z
k k z k z
z z z e zE z
k k z k z
(1.36)
Phương trình trên có dạng tổng quát
2
1, 10
1.
!
kmz
m mk
zE z e
z k (1.37)
Những hàm lượng giác và hyperbolic cũng là những hàm Mittag-Leffler hai
tham số
2 22
2,1
0 0
2 2 12
2,2
0 0
cosh ,2 1 2 !
sinh1,
2 2 2 1 !
k k
k k
k k
k k
z zE z z
k k
zz zE z
k z k z
(1.38)
18
c. Hàm sai số
Hàm sai số được định nghĩa
2
0
2,
z
terf z e dt
(1.39)
và được biểu diễn bởi dãy
2 1 3 5 7 9
0
12 2.
2 1 ! 3 10 42 216
n n
n
z z z z zerf z z
n n
(1.40)
d. Hàm bù sai số
2 2
0
2 21 1 .
z
t t
z
erfc z erf z e dt e dt
(1.41)
Khai triển dãy của hàm bù sai số
2 2
22
1 1
1.3.5... 2 1 2 !1 1 1 1 .
! 22
z z
n n
n nn n
n ne eerfc z
z z n zz (1.42)
1.1.3.2. Phép biến đổi Laplace của hàm Mittag - Leffler
Ta có Lf t f s
1
, ,kkf t t E at
1
!.L k
s kf s
s a
(1.43)
Trong đó , ,
kk
k
dE t E t
dt . (1.44)
Với 0k toán tử là vi phân của hàm Mittag-Leffler và với 0k toán tử là
tích phân của hàm Mittag-Leffler.
1
,1
1
,1
Khi 1, 0 ,
.
sk E at
s a
sE at
s a
(1.45)
1.1.4. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên
1.1.4.1. Đạo hàm cấp n của hàm f t
Trước khi giới thiệu đạo hàm cấp phân số, ta sẽ rút ra biểu thức hợp nhất cho
đạo hàm và tích phân cấp nguyên.
19
Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm f t
11
10 0
lim lim .t t
d f t df t f t f t tt f t f t t
dt tdt
(1.46)
Đạo hàm cấp 2 của hàm f t
22
20 0
lim lim 2 2t t
d f t f t f t tt f t f t t f t t
tdt
(1.47)
Tương tự ta có đạo hàm cấp 3
33
30
lim 3 3 2 3 .t
d f tt f t f t t f t t f t t
dt
(1.48)
Bởi các hệ số trong những phương trình trên gần giống với hệ số nhị thức
Newton, ta có thể viết đạo hàm cấp n
0
0
lim 1 .
n nn j
nt
j
nd f tt f t j t
jdt
(1.49)
Giả thiết rằng tất cả các đạo hàm đều tồn tại và t tiến tới 0 liên tục, nghĩa
là tất cả những giá trị của nó đều tiến tới 0. Đối với sự biểu diễn hợp nhất với tích
phân, ta sẽ cần có một giới hạn chặt. Để làm được điều này, chia khoảng t a
thành N đoạn bằng nhau
, 1,2,3...Nt t a N N (1.50)
Thay vào phương trình (1.49)
00
lim 1 .N
n nn j
N Nnt
j
nd f tt f t j t
jdt
(1.51)
Chú ý rằng hệ số nhị thức n
j
= 0 nếu j n , (1.51) được viết lại như sau
1
00
lim 1 .N
n Nn j
N Nnt
j
nd f tt f t j t
jdt
(1.52)
Từ (1.50) và (1.52) suy ra
1
0
lim 1 .
nn Nj
nN
j
nd f t t a t af t j
jN Ndt
(1.53)
20
1.1.4.2. Tích phân nhiều lớp của một hàm số
Bây giờ chú ý vào biểu thức tích phân n lớp của f t . Vì một tích phân cấp
nguyên được định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann
1
1 1
0 01
0
1
00
lim 2
lim .
N
N
t
a a
a
N N N Nt
N
N Nt
j
d f tI f t D f t f t dt
d t a
t f t f t t f t t f a t
t f t j t
(1.54)
Tích phân 2 lớp
12
2 2
1 0 02
12
00
lim 1 .N
tt
a a
a a
N
N Nt
j
d f tI f t D f t dt f t dt
d t a
t j f t j t
(1.55)
Đối với tích phân 3 lớp
2 13
3 3
2 1 0 03
13
00
1 2lim .
2N
t tt
a a
a a a
N
N Nt
j
d f tI f t D f t dt dt f t dt
d t a
j jt f t j t
(1.56)
Tương tự với tích phân n lớp viết như sau
1 1
1 2 0 0
1
00
1lim .
n
N
t tn tn n
a a n nn
a a a
Nn
N Nt
j
d f tI f t D f t dt dt f t dt
d t a
j nt f t j t
j
1
0
1lim .
nn N
nN
j
j nd f t t a t af t j
jN Nd t a
(1.57)
1.1.4.3. Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp
Bây giờ thay n n với n nhận giá trị âm thì phương trình (1.57) có dạng
1
0
1lim .
nn N
nN
j
j nd f t t a t af t j
jN Nd t a
(1.58)
21
So sánh phương trình (1.53) và (1.57) ta thấy
1j n
j
=
1j n
j
(1.59)
Thật vậy ta sẽ chứng minh công thức (1.59)
Theo định nghĩa
1 2 1 1 21 1
! !
11 !
! 1 !
j jn n n n n j j n j n n
j j j
j nj n
jj n
Với 1 !, 1n n n n n
1 2 1 1!
! ! ! 1 1
m m m m m k mm
k k k m k k m k
Thay 1
m j n
k j ta có
1 ,
1 1 ,
1 .
m j n
k j
m k n
(1.60)
Mặt khác
11
1
j n j n j n
j j n j (1.61)
Do đó có thể viết biểu thức (1.53) và (1.57) dưới một dạng chung
1
0
lim .1
nn Nn
a nN
j
d f t j nt a t aD f t f t j
N n j Nd t a
(1.62)
Trong đó n nhận cả giá trị nguyên âm và dương.
1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số
1.2.1. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville
Công thức tích phân Cauchy có dạng
11
, 0 .
tnn
a
a
D f t t f d nn
(1.63)
22
Mở rộng khái niệm tích phân với giá trị không nguyên của n, thay thế số
nguyên n bằng số thực 0p trong công thức tích phân Cauchy (1.63) [55]
11
, 0 .
tpR p
a
a
D f t t f d pp
(1.64)
Biểu thức (1.64) được gọi là tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville.
Với 0p ([55])
11
, 0, 1 .( )
tnn pR p
a n
a
dD f t t f d p n p n
n p dt
(1.65)
Định nghĩa theo Riemann – Liouville có ứng dụng rất phổ biến. Tích phân
trong phương trình (1.64) chỉ hội tụ với 0p . Tuy nhiên, với 0p bài toán được
biến đổi bằng việc áp đặt điều kiện n p trong phương trình (1.65). Biểu thức
(1.65) được gọi là đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville.
1.2.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov
Công thức (1.62) đúng với mọi n tùy ý, từ đó suy ra định nghĩa về đạo hàm
và tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov với p là số thực tùy ý
1
0
lim .1
pp NG p
a pN
j
d f t j pt a t aD f t f t j
N p j Nd t a
(1.66)
Cách định nghĩa theo Grünwald - Letnikov như trên có ưu điểm là đạo hàm,
tích phân cấp phân số được tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính
tích phân và đạo hàm của nó. Mặt khác người ta đã chứng minh được rằng hàm
0 p p có thể không hữu hạn nhưng tỉ số
j p
p hữu hạn [42], [53].
1
1
1
j
j p j pA
j j p được gọi là hệ số Grünwald. (1.67)
1.2.2.1. Tính chất
a. Các tính chất của hệ số Grünwald
1
1 1 1.
1
j j
j p j p j p j pA A
j p j j p j (1.68)
Công thức trên cho ta phép lặp để tính các hệ số Grünwald
1
1
2
0 1, 1.
1 ,j j
j A j pA A
j A p j
(1.69)
23
Khi 11, . j jp j p A A
b. Tính chất hợp thành
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng đối với số nguyên dương n và p tùy ý có
,
p n pn
n p n p
d f t d f td
dt d t a d t a
(1.70)
Thật vậy, ta chứng minh (1.70) bằng phương pháp quy nạp.
Từ công thức (1.66), sử dụng Nt t a N
1
0
lim .1
pp NN
NpN
j
td f t j pf t j t
p jd t a
(1.71)
Chọn ' , Nt a t t . Chia đoạn , Na t t thành 1N đoạn bằng nhau
1
1
1lim .
pt a
p NN
N NpN
j
j pd ft t f t j t
p jd t a
(1.72)
Lấy đạo hàm phương trình (1.71) và sử dụng (1.72)
1
11
1
lim
1lim
1
p p p
N Np p pN
pN
N
NN
j
d f td d f d ft t t t
dt d t a d t a d t a
t j p j pp f t f t j t
p j j
(1.73)
Ngoài ra ta có liên hệ giữa các hàm Gamma
1 1,
1 1 1
j p j p p j p
j j p j (1.74)
11
0
1
1
1lim
1 1
.
pp NN
NpN
j
p
p
td f t j pdf t j t
dt p jd t a
d f
d t a
(1.75)
Giả thiết công thức đúng với 1n , sau đó tương tự như trên sẽ chứng minh
được nó đúng với n.
p n pn
n p n p
d f t d f td
dx d t a d t a
24
1.2.2.2. Sự tương đương giữa các định nghĩa đạo hàm theo Riemann –
Liouville và Grünwald – Letnikov
Ta có định nghĩa tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville
11
,
tpR p
a
a
D f t t f dp
(1.76)
Đặt
1
0
1.
t a
R p
a p
f t uu t D f t du
p u
(1.77)
Tổng Riemann của tích phân (1.77) có dạng
11
100
1 1lim
pt a N
p Nj
f t u t a t a t adu j f t j
p u p N N N
(1.78)
Mặt khác ta có định nghĩa theo Grünwald – Letnikov
1
0
lim .1
p NG p
aN
j
j pt a t aD f t f t j
N p j N
(1.79)
Từ (1.78) và (1.79) ta có
11 1
0
1lim .
1
0 khi .
G p R p
a a
p Np p
Nj
D f t D f t
t a j p t aN j f t j
p N j N
N
(1.80)
1.2.3. Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo
1.2.3.1. Định nghĩa
Ta có
11
, 1
tnn pR p
a n
a
dD f t t f d n p n
n p dt
(1.81)
Với các giá trị đầu
1
1
2
2
lim ,
lim ,
lim .
p
at a
p
at a
p n
a nt a
D f t b
D f t b
D f t b
(1.82)
Bài toán giá trị đầu trên về mặt toán học hoàn toàn hợp lý nhưng về mặt ứng
dụng, ý nghĩa vật lý của những điều kiện đầu rất khó lý giải. Để giải quyết vấn đề
này, Caputo đưa ra một định nghĩa khác của đạo hàm và tích phân cấp phân số
25
11
, 0 1 .
tn p nC p
a
a
D f t t f d n p nn p
(1.83)
1lim .
tn n nC p
ap n
a
D f t f a f d f t
(1.84)
1.2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm dạng Riemann – Liouville và Caputo
Giả sử f t khả vi liên tục 1n lần và n
f t khả tích trong khoảng
,a T với a t T [55]
1
11
0
1
1
1
tnn pR p
a n
a
jt nn p j pn
ja
dD f t t f d
n p dt
f at f d t a
n p j p
(1.85)
Từ (1.83) và (1.85) ta có quan hệ giữa đạo hàm dạng Riemann – Liouville và Caputo
1
0
.1
jnj pR p C p
a a
j
f aD f t D f t t a
j p
(1.86)
Điểm khác nhau giữa định nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann – Liouville
và Caputo là đạo hàm Caputo của một hằng số bằng 0. Trong khi đó với giá trị xác
định của cận dưới a, đạo hàm Riemann – Liouville của một hằng số C khác 0
1
p
R p
a
C t aD C
p
Nếu 0 0, , 1
jf a j n ta có hai định nghĩa trùng nhau.
1.2.4. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức
Nếu f z là hàm đơn trị và giải tích trong miền mở A của mặt phẳng phức,
và nếu A là miền mở bên trong A bị chặn bởi đường cong đóng trơn C, khi đó với
điểm z bất kỳ trong A tích phân Cauchy có dạng
1
2C
ff z d
i z
(1.87)
Từ (1.87) ta có
1
!
2
n
n
C
fnD f z d
i z
(1.88)
Bây giờ, chứng minh từ biểu thức (1.88) có thể dẫn đến biểu thức (1.64).
26
Nếu n là số bất kỳ (ký hiệu là p), điểm z là điểm phân nhánh và không phải là
cực của hàm tích phân trong biểu thức (1.88). Đường cong đóng C không còn là
một tuyến phù hợp. Do đó, dựng một nhát cắt dọc trục thực từ điểm z tới .
Trong hình (1.1), giả sử z là một số thực dương, ký hiệu là x. Định nghĩa p
aD f z
dưới dạng tích phân đường x a
1 11 1
2 2
x p pp
aa
p pD f z x f d x f d
i i
L (1.89)
Hình (1.1) có thể được vẽ lại thành hình (1.2) để việc tính toán thuận tiện
hơn. Chu tuyến L là hợp của 2 1, ,L L , trong đó là đường tròn bán kính r tâm x
và 1 2,L L là đoạn thẳng ,a x r . Những đoạn này đồng nhất thành một đoạn của
trục thực trong mặt phẳng nhưng khác nhau trong diện Riemann đối
với 1p
x
. Ta vẽ hai đoạn tách riêng cho rõ ràng.
Hình 1.1. Chu tuyến L
Nếu x là một số dương, ta xác định ln x là một số thực. Khi đó
trên đường tròn γ
11 1 lnlnpp p x ix ix e e e
Vì trên 1L
1 1 ln 1 lnp p x i p x ix e e
(1.90)
Vì trên 2L
1 1 lnp p x ix e
(1.91)
27
Hình 1.2. Chu tuyến tích phân gồm L1, L2 và γ
Từ (1.89), nếu Re 0p ta có
2 1
1
1 11
11,
xp
a L L
x rp pi p
a
api p
x r
x f d
e x f d x f d
e x f d
(1.92)
trong đó Re , tuy nhiên
1 11 ,
,
p i ppi
i
x r ex re
d ire d
1 11p i pp i i
p ip i
x f d r e f x re ire d
ir e f x re d
(1.93)
và 1 Rep p ix f d r f x re d
(1.94)
Do đó, khi 0r ta có 1
0p
x f d
1 11 1
12 sin 1
x xp pi p i p
a a
xp
a
x f d e e x f d
i p x f d
(1.95)
28
1
1
1
2
1 sin 1
xpp
a
a
xp
a
pD f z x f d
i
p px f d
(1.96)
Mặt khác theo phương trình (1.21)
1 sin 1 1p p
p
(1.97)
Do đó
11
, Re 0
xpp
a
a
D f z x f d pp
(1.98)
Biểu thức (1.98) cũng chính là định nghĩa tích phân cấp phân số theo
Riemann – Liouville (1.64).
1.2.5. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác
1.2.5.1. Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross)
Định nghĩa
: 0 1 ;
: ,
p
np p p p
n
dD p
dt
D f t D D D f t
(1.99)
Phương trình trên được gọi là đạo hàm cấp phân số dạng dãy. Trong đó pD
được định nghĩa dạng Riemann – Liouville (hoặc dạng Grünwald - Letnikov). Ta có
định nghĩa đạo hàm cấp phân số dạng dãy
1 2
1 2,
, 1 .
npp pp
n
n pp
a a
n
D f t D D D f t p p p p
d d dD f t D f t n p n
dt dt dt
(1.100)
Nếu sử dụng dạng Caputo
, 1 .n pC p C
a a
n
d d dD f t D f t n p n
dt dt dt
(1.101)
1.2.5.2. Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl)
Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, cho a ta có định nghĩa
dạng Weyl [55]
29
11
, 0
tpW pD f t t f d p
p
(1.102)
Theo tài liệu tham khảo [46] ta có
sin sin2
cos cos2
W p p
W p p
pD t t
pD t t
Đối với các hệ dao động bắt đầu từ 0t nếu 0x t khi 0t thì tích phân
cấp phân số dạng Weyl W pD f t trùng với tích phân cấp phân số dạng Riemann –
Liouville 0
R pD f t
1
0
0
1, 0
tpR pD f t t f d p
p
Do đó nếu nếu 0x t khi 0t ta có công thức
0
0
sin sin2
.
cos cos2
R p p
R p p
pD t t
pD t t
1.2.5.3 Định nghĩa Davison – Essex
1_
0 1
0
,1
ktn kD E p
n k k
t d fdD f t d
dt dt
(1.103)
Với , 0 1, 0 1, p n k n n là số nguyên.
Khi 0k định nghĩa Davison – Essex trở về định nghĩa Riemann –
Liouville với 0, a p n
1
( )_
0 1
0
1.
1
tnp nD E p
n
dD f t t f d
n pdt
(1.104)
1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính
Ta thường sử dụng các mô hình lưu biến như một sự hỗ trợ trong việc công
thức hoá cách đối xử đàn nhớt tuyến tính đơn trục. Lợi ích của phương pháp này là
dẫn đến việc công thức hoá định luật đối xử mà nó thoả mãn một cách tự động các
nguyên lý của nhiệt động học. Ở đây chỉ đưa ra một vài chỉ dẫn về những mô hình
30
đàn nhớt liên quan đến việc áp dụng cho tính toán kết cấu trong kỹ thuật. Đàn nhớt
tuyến tính là sự hợp thành từ các mô hình: đàn hồi tuyến tính (hình 1.3), nhớt tuyến
tính cấp nguyên (hình 1.4) và nhớt tuyến tính cấp phân số (hình 1.5). Với σ là ứng
suất, là biến dạng, E là môđun đàn hồi khi kéo hoặc nén (đặc trưng cho độ cứng
của vật liệu), η và c là hệ số cản nhớt.
Hình 1.3. Mô hình đàn hồi tuyến tính
0.E D
Hình 1.4. Mô hình nhớt tuyến tính
cấp nguyên 1.D
Hình 1.5. Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số . tc D
1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α)
Hình 1.6. Mô hình Kelvin – Voigh
Hình 1.7. Phân tích lực
Ta có định luật 2 Newton
,mx t F t R t (1.105)
Trong đó m là khối lượng của vật, x t là độ dịch chuyển, F t là ngoại lực tác
dụng, R t là nội lực sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt
,tR t kx t cD x t (1.106)
Với k, c lần lượt là hệ số đàn hồi và cản nhớt.
F t
R t
R t
k
x t
c,α
x t
F t
k c,α
η
σ
σ
σ
E
σ
c, α
σ
σ
31
Từ phương trình (1.105), (1.106) ta có phương trình vi phân chuyển động
.tmx t cD x t kx t F t (1.107)
1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α)
Hình 1.8. Mô hình Maxwell
Hình 1.9. Phân tích lực
Lực tác động lên 2 phần tử đàn hồi và phần tử nhớt là như nhau, độ dịch
chuyển toàn phần bằng tổng các dịch chuyển thành phần. Do đó ta có
1 2x x x (1.108)
1 2R R R (1.109)
Đạo hàm biểu thức (1.108) 1 2x x x (1.110)
Ta có
1 1
2 2 1
2 1
,
,
,
t t
t t t
R t kx t R t
R t cD x t cD x t x t
R tR t R t cD x t x t cD x t cD
k
.t t
cR t cD x t D R t
k
(1.111)
Theo phương trình (1.105) ta rút ra lực R t
R t F t mx t (1.112)
Thay phương trình (1.112) vào phương trình (1.111) ta nhận được phương
trình chuyển động theo mô hình Maxwell
2 .
t t
t t t t
cF t m x t cD x t D F t m x t
k
cm cD x t m D x t cD x t F t D F t
k k
(1.113)
x t
F t
k
c,α
1x
2x
F t
x t
k
c,α
1
2
R t R
R
R t
1x
2x
32
1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k1, k2, α)
Hình 1.10. Mô hình tuyến tính
tiêu chuẩn
Hình 1.11. Phân tích lực
Ta có 1 2x x x (1.114)
Giá trị lực R t bằng giá trị lực 1R tác dụng lên lò xo 1k và bằng tổng của
giá trị lực tác dụng lên lò xo 2k và giảm chấn c
1 1 1 2
2 2 22 2
,
, ,tk c
R t k x t R R
R k x t R cD x t
(1.115)
Trong đó
1 1 1 2 2 22 2, , ,tk c
R k x t R k x t R cD x t (1.116)
2 2 2 22 2.tk c
R t R R k x t cD x t (1.117)
Từ (1.114) và (1.117) ta được
2 2 1 1 ,tR t R t k x t x t cD x t x t
2 2
1 1
,t t
R t cR t k x t k cD x t D R t
k k
(1.118)
Theo định luật 2 Newton R t F t m x t , cùng với biểu thức trên ta có
2 2
1 1
2
1 2 1 1 2 1 2
,
.
t t
t t t t
F t mx t cF t mx t k x t k cD x t D F t mx t
k k
c m D x t k k mD x t k c D x t k k x t c D F t k k F t
(1.119)
x t
c,α
F t
1x
2x
2
k
1k
F t
R t
1R t R
c,α
x t
1x
2x
1k
2
k
1R
2R
33
1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
Ví dụ 1. Thiết lập phương trình vi phân dao động của ô tô (hình 1.12)
Hình 1.12. Mô hình ô tô
Hình 1.13. Phân tích lực
Gọi x và u là dịch chuyển của vật và bánh xe. Giả thiết độ cứng của lót trục
có thể được biểu diễn bằng một lò xo tương đương với độ cứng k với độ dịch
chuyển được ký hiệu là z.
Ta có định luật 2 Newton
,mx t R t (1.120)
Trong đó m là khối lượng của vật, x t là độ dịch chuyển, R t là nội lực
sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt.
Giá trị lực R t bằng tổng giá trị lực 1R tác dụng lên giảm chấn 1c và lực R2
tác dụng lên lò xo k hay giảm chấn c2
1 2 ,R t R R (1.121)
22 2 2,
k cR R R (1.122)
Trong đó
21 1 22 2
, , ,t k cR c D x u R k x z R c z u (1.123)
1 2 1 2
1 ,
k
t
R t R R R R
c D x u k x z
(1.124)
Từ phương trình (1.122) và (1.123) ta có 2k x z c z u (1.125)
Thay (1.124) vào (1.120) ta có phương trình chuyển động
1 ,tmx c D x u k x z (1.126)
R1
c2
R t
R t
m
k
R2(k)
R2(c2) c1,α
x
z
u
c1,α
x
k
m
z
u
c2
34
Rút z từ phương trình trên
1 1 1 ,t t t
mx c D x u mx c D x k x c D uz x
k k
(1.127)
Từ phương trình (1.127) và (1.125) ta được phương trình vi phân
2
1 2 2
1 1
1 11 1 2 2
,
,
,
t
t tt t
k x z c z u
mx c D x u c z c u
mx c D x k x c D umx c D x c D u c c u
k
1 11 1 1 1
2 2 2
.t t t t
k c k kc c k kcx x D x x D x D u u D u
c m m mc m m mc
(1.128)
Ví dụ 2. Thiết lập phương trình vi phân dao động của giá treo ô tô (hình 1.14)
Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô
Hình 1.15. Phân tích lực
Gọi x1, x2 và u là dịch chuyển của các vật và bánh xe.
Ta có định luật 2 Newton
1 1 1
2 2 1 2
,
,
m x R
m x R R
(1.129)
Trong đó 1 2,R R là nội lực sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt.
Giá trị lực 2
R bằng tổng giá trị lực tác dụng lên giảm chấn 2c và lực tác dụng
lên lò xo k
1 1 1 2 ,R c x x (1.130)
22 2 2,
k cR R R (1.131)
Trong đó
22 2 22 2, ,tk c
R k x u R c D x u (1.132)
x1
u
c1
k c2,α
m2
x2
m1
R2
x1
u
c1
k c2,α
m2
x2
m1
R1
R1
35
2 2 2 2 ,tR c D x u k x u (1.133)
Từ phương trình (1.129), (1.130) và (1.133) ta có phương trình vi phân
chuyển động của cơ hệ
1 1 1 1 2m x c x x (1.134)
2 2 1 1 2 2 2 2 ,tm x c x x c D x u k x u (1.135)
Rút 1x từ phương trình (1.135)
2 2 21 2 2 2 2
1 1 1 1 1
,t t
m c k c kx x x D x x D u u
c c c c c
(1.136)
Đạo hàm phương trình (1.136) ta được
1 12 2 21 2 2 2 2
1 1 1 1 1
,t t
m c k c kx x x D x x D u u
c c c c c
(1.137)
Thay phương trình (1.136) và (1.137) vào (1.134) ta được phương trình vi
phân cấp ba sau
1 12 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
11 2 1 2 12 1 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
11 2 12
1 1
,
,
t t t
t t
t t
m c k c km x x D x x D u u m x c D x u k x u
c c c c c
m m m c m kx m m x D x x c D x kx
c c c
m c m kD u u c D u ku
c c
11 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 2
12 1 2 1
2 2 1 2 1 2
.
t t
t t
c c c k c c kcx x D x x D x x
m m m m m m m m
c k c c kcD u u D u u
m m m m m m
(1.138)
1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến
Hình 1.16. Mô hình cổ điển
Hình 1.17. Mô hình mới
vF nF
x x
36
Lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng
n
F kx cx (1.139)
Với các vật liệu mới, lực đáp ứng có chứa đạo hàm cấp phân số
vF kx c x D xb x (1.140)
Trong đó:
- Các hệ số: , ,k c là các hệ số của vật liệu.
- Các hàm điều chỉnh ,c x b x là hàm của x với 0 0 1c b . Hàm b x để
giải thích tác động của lực cản nhớt trong trường hợp biến dạng lớn.
Từ các kết quả thực nghiệm, tài liệu [29] đã đưa ra 5 mô hình c x và b x
như sau:
- Mô hình 1: 41 3 , 1c x x b x (1.141)
- Mô hình 2: 2
1 21 , 1c x c x c x b x (1.142)
- Mô hình 3: 2
1 2
2
1, 1
1c x c x b x
c x
(1.143)
- Mô hình 4:
1
1, 1
1c x b x
c x
(1.144)
- Mô hình 5: 1
11,
1c x b x
c x
(1.145)
Ngoài ra có thể viết (1.140) dưới dạng ứng suất của vật liệu đàn nhớt
v x n
F kx f kx A (1.146)
Với A là diện tích mặt cắt ngang của vật mẫu, trong trường hợp này vật mẫu được
xem như là một vật trụ.
Hình 1.18. Hệ dao động chịu kích động va đập
(a) Trước va chạm; (b) Bắt đầu va chạm; (c) Sau va chạm.
37
Từ các kết quả thực nghiệm theo tài liệu [29] người ta đưa ra 4 mô hình lý
thuyết n
có dạng như sau:
- Mô hình IIa và IVa: 2
1n ax D
(1.147)
- Mô hình IIIb: 2 2
11 1n a ax D D
(1.148)
- Mô hình IIIc: 3
3 2
2 1 11 1
3 3n a ax D D
(1.149)
- Mô hình IVc: 3/2 1/2 2
2
2 1 1 1
3 3n a ax D D
(1.150)
Trong đó: 11 /c x H
Với H là chiều cao của vật mẫu và 1c là hệ số điều chỉnh mô hình.
Trong luận văn của Thạc sĩ Dương Văn Lạc [5] đã tính toán và so sánh các
kết quả lý thuyết và thực nghiệm của các mô hình trên. Số liệu mô phỏng tính toán
để so sánh giữa các mô hình lý thuyết và thực nghiệm [29]:
2
0.277( ); 0.020( ); 4620( / );
0.005( ); 5020( );
(0) 0; (0) 2
q
m kg m k N m
H m Ns m
x x gh
Kết quả thu được trên hình 1.19 và hình 1.20 (ký hiệu 2D x ). Trong đó, đường
nét liền biểu diễn kết quả tính toán theo các mô hình lý thuyết, đường chấm biểu
diễn các kết quả thực nghiệm. Từ đó có thể thấy các kết quả tính toán theo các mô
hình lý thuyết là hoàn toàn phù hợp với các kết quả thực nghiệm.
- Mô hình IIa và IVa với kết quả thực nghiệm
Hình 1.19. So sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h = 30mm
38
- Mô hình IIIc với kết quả thực nghiệm
Hình 1.20. So sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h = 60mm
1.5. Kết luận chương 1
Trong chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo
hàm và tích phân cấp phân số. Đồng thời cũng trình bày các mô hình đàn nhớt cấp
phân số tuyến tính và các mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến. Từ đó cho ta một
cái nhìn tổng quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số.
39
CHƯƠNG 2. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CẤP BA CÓ
CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
Trong tài liệu tham khảo [74], Shimizu và Zhang đã mở rộng phương pháp
Newmark tính toán dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp hai
có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong tài liệu tham khảo [4], Dương Văn Lạc đã mở
rộng phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ được mô tả bằng
phương trình vi phân cấp hai có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong chương 2 này,
luận án phát triển ý tưởng trong các tài liệu [74] và [4] trình bày thuật toán tính toán
dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số.
2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba
2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark
Ta sẽ xây dựng phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp ba dựa trên
phương pháp Newmark đã có giải hệ phương trình vi phân cấp hai. Trong đó véc tơ
trạng thái của hệ ở thời điểm 1n nt t h được suy ra từ véc tơ trạng thái đã biết ở
thời điểm nt qua các khai triển Taylor của dịch chuyển, vận tốc và gia tốc.
Sử dụng khai triển Taylor đối với độ dịch chuyển, vận tốc và gia tốc tại thời
điểm 1nt ta có các công thức
1
1
n
n
t
n n
t
d
q q q (2.1)
1
1 1 ,n
n
t
n n n n
t
h t d
q q q q (2.2)
12
2
1 1
1.
2 2
n
n
t
n n n n n
t
hh t d
q q q q q (2.3)
Ta biểu diễn q trong khoảng thời gian 1,n nt t là hàm của nq , 1nq
2
4 5
2
4 5 1
1 1
2
2
n
n n
n
n n
tt
tt
q q q q
q q q q
(2.4)
40
Nhân phương trình đầu của (2.4) với 1 , phương trình thứ 2 với , sau
khi cộng 2 phương trình ta được
4 52
11 .n n nh t h q q q q q (2.5)
Tương tự nhân phương trình với 1 2 ,2 và nhân với 1 6 ,6 ta có
4 52
11 2 2 2 .n n nh t h q q q q q (2.6)
4 52
11 6 6 6 .n n nh t h q q q q q (2.7)
Thay các phương trình (2.5), (2.6) và (2.7) vào các tích phân trong các
phương trình (2.1), (2.2), (2.3) ta được các công thức cầu phương
1
11 ,n
n
t
n n n
t
d h h
q q q r (2.8)
1
2 2
1 1
1,
2
n
n
t
n n n n
t
t d h h
q q q r (2.9)
1
2 3 3
1 1
1 1,
2 6
n
n
t
n n n n
t
t d h h
q q q r (2.10)
Các sai số tương ứng tính được
4 52 3
4 53 4
1
4 54 5
1,
2
1,
6
1
24
n
n n n
n
h h
h h t t
h h
r q q
r q q
r q q
(2.11)
Chọn các giá trị 1 1 1
, ,2 6 24
ta có xấp xỉ tuyến tính của q
1n nn nt
h
q q
q q (2.12)
Nếu lấy 1 1 1
, ,2 4 12
ta được giá trị trung bình của q trong
khoảng thời gian 1,n nt t
1
2
n n
q qq (2.13)
41
Thế các tích phân (2.8), (2.9), (2.10) vào phương trình (2.1), (2.2), (2.3) ta
suy ra các công thức độ dịch chuyển, vận tốc và gia tốc của hệ tại thời điểm 1nt
1 11n n n nh h q q q q (2.14)
2 2
1 1
1
2n n n n nh h h
q q q q q (2.15)
2
3 3
1 1
1
2 6n n n n n n
hh h h
q q q q q q (2.16)
Vậy ta đã xây dựng được các công thức xấp xỉ theo Newmark (2.14), (2.15)
và (2.16) để tiến tới giải hệ phương trình vi phân cấp ba.
2.1.2. Tính toán dao động tuyến tính hệ cấp ba
Giả sử phương trình dao động tuyến tính của hệ cấp ba có dạng
t Mq Bq Cq Kq f (2.17)
Trong đó , , ,M B C K là các ma trận hằng số. Áp dụng các công thức (2.14),
(2.15) và (2.16) vào những phương trình trên tại thời điểm 1nt ta tính được 1nq
2 3
1 1
2
23
1
1
2
1
2 6
n n n n
n n n
n n n n
h h h h
h h
hh h
M B C K q f B q q
C q q q
K q q q q
(2.18)
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.18) ta được 1nq . Sử dụng các công
thức Newmark (2.14), (2.15) và (2.16) ta nhận được giá trị của gia tốc, vận tốc và
độ dịch chuyển 1 1,n n q q và 1nq .
Ta xác định điều kiện ban đầu của 0tq từ 0tq , 0tq và 0tq đã cho
1
0 0 0 0 0t t t t t q M f Bq C q K q (2.19)
2.1.3. Tính toán dao động phi tuyến hệ cấp ba
Giả sử phương trình chuyển động của hệ phi tuyến có dạng
,t t M q q k , q, q, q f q, q, q (2.20)
Từ phương trình (2.16) ta có 1nq
1 13 2
1 1 1 11
2 6n n n n n n
hh h
q q q q q q (2.21)
42
Thế (2.21) vào các phương trình (2.14) và (2.15) ta được
2
1 1
11 1 ,
2 2 6n n n n n nh h
h
q q q q q q (2.22)
1 121 1
2 6n n n n n nh
hh
q q q q q q (2.23)
Ta thấy rằng 1 1 1, ,n n n q q q được biểu diễn qua 1nq và các giá trị đã biết của
, ,n n nq q q và nq . Thay vào (2.20) ta được hệ phương trình đại số phi tuyến với ẩn là
1nq . Ta tìm được các giá trị của 1nq thông qua phương pháp lặp Newton. Sau đó
với các phương trình (2.21), (2.22), (2.23) xác định các giá trị của 1 1,n n q q và 1nq
với điều kiện đầu của 0tq được tìm từ phương trình chuyển động (2.20)
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,t t q M q f q , q , q k , q , q , q (2.24)
2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
2.1.4.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 0 p 1
Ta có phương trình vi phân dao động cấp phân số
0 0 1R px t ax t b D x t cx t f t p (2.25)
trong đó , ,a b c là các hằng số.
Sử dụng phương pháp Newmark đối với phương trình vi phân cấp ba đã xây
dựng ở phần trên, ta tiến hành việc giải phương trình (2.25).
Định nghĩa Riemann – Liouville đối với đạo hàm cấp phân số
0 0 0 1
0
1, 1
t
R p R R u
u
xdD x t D D x t d u p
u dt t (2.26)
Áp dụng quy tắc hợp thành [2] đối với 0
R pD x t ta được
1
0 0 0 0
0,R p R R u u R ux
D x t D D x t t D x tu
(2.27)
Tính đạo hàm cấp phân số 0
R pD x t tại thời điểm nt t
1
1
1
0 0
0
0
0 0 1
1 1 1
01 1,
1 1
n
n n
n
t
R p p R p p
n n n n p
n
t t
p p p
n tn n
x x xD x t t D x t t d
p p p t
x x xd d
p pt t t
(2.28)
43
Ký hiệu
0
0p
n
xI
t (2.29)
1
1
0
nt
n p
n
xI d
t
(2.30)
Và
1
n
n
t
n p
t n
xI d
t
(2.31)
Khi đó phương trình 0
R p
nD x t sẽ trở thành phương trình có dạng
0 0 1
1
1
R p
n n nD x t I I Ip
(2.32)
Giả thiết tại thời điểm nt phương trình chuyển động của hệ như sau
0
R p
n n n n nx t ax t b D x t cx t f t (2.33)
với và n nx t x t lần lượt là độ dịch chuyển và gia tốc tại thời điểm nt .
Ta xấp xỉ tích phân xác định 1nI bằng công thức hình thang
20 1
1 1
1
2 , , 2.2
nn
n n np p pin n
x ihx xhI h t t n
t h t ih
(2.34)
Tiếp theo chú ý đến tích phân nI của phương trình (2.31). Muốn tính được
tích phân ta phải xác định được x trong hàm dưới dấu tích phân. Với
1n nt t , sử dụng khai triển Taylor và ta có thể bỏ qua số hạng bậc cao do
1nt giả thiết rằng rất nhỏ
1 1 1
1
1 1 ,
n n n
n
n n n
x x t x
tx x x
h
(2.35)
Thay phương trình (2.35) vào (2.31) ta được
1 1
1 1 1
1 1
1 1 .1 1 2
n n
n n
t t
n n n nn p p
t tn n
p p
n n n
x x x tI d d
ht t
h hx x x
p p p
(2.36)
Mặt khác ta có xấp xỉ Newmark của nx
2
1 1 1 1
11 1 ,
2 2 6n n n n n nx x x x h x h x
h
(2.37)
44
Từ phương trình (2.37) và (2.36) suy ra
1
1 1
2
1 1
21 2
11
2 2 6
p
n n n n
n n
hI x x p x
p p h
h x h x
(2.38)
Ngoài ra, ta cũng có các công thức xấp xỉ Newmark đối với ,n nx x như sau
1 1 1 13 2
1 1 1 11
2 6n n n n n nx x x x x x
hh h
(2.39)
1 1 1 121 1
2 6n n n n n nx x x x x h x
hh
(2.40)
Thay phương trình (2.32) vào phương trình vi phân dao động (2.33)
0 1
1 1
1 1n n n n n nx ax b I cx f t b I I
p p
(2.41)
Từ (2.38), (2.39) và (2.40) tính toán vế trái của (2.41) ta được
1 1 12.41 3 2 3 2
1 1 1 1 12
1
1 1
1 1 1 1
3 2
11 1 1
6 2 6
2 13 2
p
n n n n
n n n n n
p
n n
hVT a b c x x x x
p hh h h h
x a x x x h xhh
hb x p x
p h
2
1 1
1 (
6 22.42)
n nh x h x
Thế (2.42) vào (2.41) ta có
3 2
0 1 1 1 1 13 2
1 1 1 12
1
1
1
3
1 1 1 1 11
1 2 6
1 12 6
23
p
n
n n n n n n
n n n n
p
n n
ha b c x
ph h
f t b I I x x x xp hh h
a x x x h xhh
hb x p x
p h
2
1 1 1
11
2 6 2n nh x h x
(2.43)
Như vậy ta đã tìm được nghiệm số nx của phương trình vi phân dao động
(2.25) theo các giá trị của 1 1 1 1, , ,n n n nx x x x với , vàn n nx x x được tính như sau
45
1 1 1 13 2
1 1
2 2
1 1 1
1 1 1 11
2 6
1
1
2
n n n n n n
n n n n
n n n n n
x x x x x xhh h
x x h x h x
x x h x h x h x
(2.44)
Giả thiết rằng điều kiện ban đầu của các công thức trên 0 , 0x x và 0x
đã cho.
Ví dụ số
Ví dụ 1. Lấy các số liệu 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f với 0.01h .
Ta có phương trình vi phân dao động: 1/2
01.3 0.5 0.25 0Rx x D x t x (2.45)
với các điều kiện đầu 0 0, 0 1, 0 0x x x , ta có đồ thị dao động tắt dần (hình
2.1).
Hình 2.1. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f
Ví dụ 2. Lấy các số liệu 0.5, 1.3, 0.5, 0.25p a b c với 0.01h . Trong
trường hợp sin3
f t
, với 0 0, 0 1, 0 0 x x x , đồ thị dao động được
biểu diễn trên hình 2.2. Ta thấy dao động của hệ sẽ có dạng dao động tuần hoàn.
46
Hình 2.2. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3
p a b c f t
Ví dụ 3
Lấy các số liệu 0.5, 10, 1, 10, 5sin , 0.01 p a b c f t h .
Ta có phương trình vi phân dao động: 1/2
010 10 5sin Rx x D x t x t (2.46)
với các điều kiện đầu 0 0, 0 1, 0 0 0 0x x x x và các giá trị của ,
ta có đồ thị dao động (hình 2.3). Ta cũng nhận thấy trong trường hợp này, biên độ
dao động của hệ tăng khi tần số lực kích động giảm.
Hình 2.3. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 10, 1, 10p a b c
47
2.1.4.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 1 p 2
Ta có phương trình vi phân dao động cấp phân số
0 1 2R px t a D x t bx t cx t f t p (2.47)
trong đó , ,a b c là các hằng số.
Định nghĩa Riemann – Liouville đối với đạo hàm cấp không nguyên
22
0 0 0 2 1
0
1,
2 , 0 1.
tR p R R u
u
xdD x t D D x t d
u dt t
u p u
(2.48)
Áp dụng quy tắc hợp thành [2] đối với 0
R pD x t ta được
2 2 1
0 0 0 0
0 0,
1
R p R R u u u R ux xD x t D D x t t t D x t
u u
(2.49)
Đạo hàm cấp phân số 0
R pD x t tại thời điểm nt t trong phương trình (2.49)
1
1
1 2
0
1
1
0
1 1 1
0
0 0
1 2
0 0 1
1 2 2
0 011 ,
2
n
n n
n
R p p p p
n n n n
t
p p
n n p
n
t t
p p p p
n n tn n
x xD x t t t D x t
p p
x x xt t d
p p p t
x x x xp d d
p t t t t
(2.50)
Ký hiệu
0 1
0 01
p p
n n
x xI p
t t (2.51)
1
1 1
0
nt
n p
n
xI d
t
(2.52)
Và
1
1
n
n
t
n p
t n
xI d
t
(2.53)
Khi đó phương trình 0
R p
nD x t sẽ trở thành phương trình có dạng
0 0 1
1
2
R p
n n nD x t I I Ip
(2.54)
Tại thời điểm nt ta có phương trình chuyển động của hệ
0
R p
n n n n nx t a D x t bx t cx t f t (2.55)
48
Tích phân xác định 1nI được xấp xỉ bằng công thức hình thang như sau
20 1
1 1 1 11
2 , 2.2
nn
n p p pin n
x ihx xhI n
t h t ih
(2.56)
Ta có khai triển Taylor của x như sau với 1n nt t
1
1 1 1 1 1 ,n
n n n n n n
tx x t x x x x
h
(2.57)
Thay phương trình (2.57) vào (2.53) ta được
2 2
1 1 .2 2 3
p p
n n n n
h hI x x x
p p p
(2.58)
Từ phương trình (2.53) và (2.58) suy ra
2
1 1 1 123 1
2 3 2 6
p
n n n n n n
hI x x x p x h x
p p hh
(2.59)
Thế phương trình (2.54) vào (2.55) ta có
0 1
1 1
2 2n n n n n nx a I bx cx f t a I I
p p
(2.60)
Từ biểu thức (2.37) của nx , (2.39) của nx cùng với biểu thức của nI đã tính
được ở trên ta thay vào vế trái của (2.60)
1 1 1 12.60 3 2
2
1 1 1 12
1 1 1
1 1 1 11
2 6
13 1
2 2 3 2 6
11 1
2 2 6
n n n n n
p
n n n n n
n n n n
VT x x x x xhh h
ha x x x p x h x
p p p hh
b x x x h xh
2
1
1 1 1 13 3 2
2
1 1 1 12
1
1 1 1 1 11
4 2 6
3 14 2 6
1
n n
p
n n n n n
p
n n n n
n
h x cx
ha b c x x x x x
p h hh h h
ha x x p x h x
p hh
b xh
2
1 1 1
11 .
2 6 2
n n nx h x h x
(2.61)
49
Ta tìm được nghiệm số nx của phương trình vi phân dao động (2.47)
3
0 1 1 1 1 13 2
2
1 1 1 12
1
1
4
1 1 1 1 11
2 2 6
3 14 2 6
1
p
n
n n n n n n
p
n n n n
n n
ha b c x
p hh
f t a I I x x x xp hh h
ha x x p x h x
p hh
b x xh
2
1 1 1
11 2.
662) (
2 2
n nh x h x
Với các công thức Newmark của , vàn n nx x x
1 1 1 13 2
1 1
2 2
1 1 1
1 1 1 11
2 6
1
1
2
n n n n n n
n n n n
n n n n n
x x x x x xhh h
x x h x h x
x x h x h x h x
(2.63)
Giả thiết rằng điều kiện ban đầu 0 , 0x x và 0x đã cho.
Ví dụ số
Ví dụ 4. Lấy các số liệu 3 2, 1, 1, 1, 0, 0.01 p a b c f h .
Ta có phương trình vi phân dao động: 3/2
0 0Rx D x t x x (2.64)
Các điều kiện ban đầu 0 0, 0 0, 0 1. x x x Đồ thị dao động được biểu diễn
trên hình 2.4. Dao động của hệ trong trường hợp này là dao động tắt dần.
Hình 2.4. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f
50
Ví dụ 5. Chọn các số liệu 3 2, 1, 1, 1, sin , 0.013
p a b c f t h .
Ta có phương trình vi phân dao động:
3/2
0 sin3
Rx D x t x x t (2.65)
Với 3
0 0, 0 0, 0 1 02
x x x x , đồ thị dao động được biểu diễn trên
hình 2.5 có dạng dao động tuần hoàn theo thời gian.
Hình 2.5. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3
p a b c f t
Ví dụ 6. Lấy các số liệu 3 2, 10, 1, 10, 5sin , 0.01p a b c f t h ,
Ta có phương trình vi phân dao động:
3/2
010 10 5sinRx D x t x x t (2.66)
với các điều kiện đầu 0 0, 0 0, 0 1 0 0x x x x và các giá trị khác
nhau của , ta có đồ thị dao động (hình 2.6).
Từ hình 2.6 ta nhận thấy khi tần số lực kích động tăng thì biên độ dao động giảm.
51
Hình 2.6. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c
2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực
cấp một
2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta
Xét phương trình vi phân dao động cấp một
0
0 0
y f , y
y y
t t t T
t
(2.67)
Muốn tính nghiệm gần đúng y t ta chia đoạn [t0, T] thành n đoạn con bằng
nhau bởi các điểm ti: ti = t0 + ih; tn = T; 0T t
hn
. Tập hợp các điểm ti tạo thành
“lưới sai phân”, mỗi điểm ti gọi là một nút của lưới, h gọi là bước của lưới. Ta tính
gần đúng giá trị y it bởi yi . Khi đó giá trị 1yi bằng tổng của yi và trung bình có
trọng số của bốn gia số k1, k2, k3, k4 với mỗi gia số là tích của bước lưới h và một độ
dốc được ước lượng thông qua hàm f.
1 1 2 3 4
1y y k 2k 2k k ,
6i i (2.68)
1
2 1
3 2
4 3
k f , y ;
1k f , y k ;
2 2
1k f , y k ;
2 2
k f , y k .
i i
i i
i i
i i
h t
hh t
hh t
h t h
(2.69)
52
Trong đó
• k1 là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại điểm đầu của bước lưới.
• k2 là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại trung điểm của bước lưới.
• k3 cũng là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại trung điểm của bước lưới.
• k4 là gia số được xác định dựa trên độ dốc tại điểm cuối của bước lưới.
Tiếp theo xét hệ phương trình vi phân dao động cấp một
0
0 0
t t t T
t
y f ,y
y y (2.70)
Trong đó
1 2
1 2
1 2
,
,
.
y , , ,
y , , ,
f , , ,
T
n
T
n
T
n
y y y
y y y
f f f
(2.71)
Tính gần đúng giá trị 1it
y bởi 1i
y thông qua giá trị của i
y đã biết
1 1 2 3 4
12 2 ,
6i i y y k k k k (2.72)
Với
1
2 1
3 2
4 3
;
1;
2 2
1;
2 2
.
i i
i i
i i
i i
h t
hh t
hh t
h t h
k f ,y
k f ,y k
k f ,y k
k f ,y k
(2.73)
2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
2.2.2.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 0 p 1
Xét dao động của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số
0 0 1R px t ax t b D x t cx t F t p (2.74)
Trong đó , ,a b c là những hằng số. 0
R pD x t là đạo hàm cấp phân số p 0 1p
của x t .
Đặt
y t x t
z t x t
s t x t
(2.75)
53
Phương trình vi phân cấp ba (2.74) được đưa về hệ phương trình vi phân cấp
một sau
0
R p
y t z t
z t s t
s t as t b D y t cy t F t
(2.76)
Định nghĩa tích phân cấp phân số Riemann – Liouville
0 1
0
1, 0 1.
tR u
u
yD y t d u
u t
(2.77)
Đạo hàm cấp phân số Riemann – Liouville được định nghĩa
0 0 0 1
0
1,
tR p R R u
u
ydD y t D D y t d
u dt t
(2.78)
Trong đó 1 , 0 1u p u , u là hàm Gamma.
Sử dụng công thức Riemann – Liouville để suy ra kỹ thuật số và để biểu
diễn bài toán được đề cập tới ở trên. Ta có quy tắc hợp thành [2]
1
0
.1
k q n kn q nq n
q n q nk
t a f ad f t d f td
k q nd t a d t a d t a
(2.79)
Áp dụng quy tắc hợp thành với , 1, 0,q u n a f t y t ta có
1 1
0 0 0 0 0
0
0
0 1,
1 1
R p R u R R u u R u
tp
p
yD y t D y t D D y t t D y t
u
y yt d
p p t
(2.80)
Tích phân từng phần số hạng thứ hai của phương trình (2.80)
11
0 0
10 .
1
t tpp
p
yd y t y t d
pt
(2.81)
Sau khi tích phân từng phần,
0
t
p
yd
t
đưa được về tích phân xác định
1
0 0
( )
t tp
tI t y t d g d
(2.82)
Thế phương trình (2.81) và (2.82) vào phương trình (2.80), ta có
1
0
010
1 1
p
R p p y t I tD y t y t
p p
(2.83)
54
Sau đó, thay phương trình (2.83) vào phương trình (2.76) ta được
1010
1 1
p
p z t I ts t as t b y t cy t F t
p p
(2.84)
Xấp xỉ tích phân 1
0 0
( )i i
i
t tp
i i tI t y t d g d
đối với mỗi thời
điểm it bởi công thức hình thang như sau
0 1 1 0 00 ... , , , , 0in i i i j t it t t T h t t t t ih t jh g t (2.85)
1 2
1 1 1
0 0
, 12 2 2i i i i i
i i
i t j t j t j t j t i
j j
h h hI t g g g g g t i
(2.86)
1
/2 /2 1 /2
0
, 02 2 4i i i
i
i t h j t h j t h i
j
h hhI t g g g t i
(2.87)
Hình 2.7. Xấp xỉ tích phân bởi công thức hình thang
Như vậy ta thấy tích phân I t không phụ thuộc vào iy t tại thời điểm it .
Khi đó, hệ phương trình (2.76) trở thành
q f ,qt (2.88)
Trong đó
1 2 3
,q , ,
f , , ,
T
T
y z s
f f f
(2.89)
1
2
1
3
,
,
010
1 1
p
p
f z t
f s t
z t I tf as t b y t cy t F t
p p
(2.90)
it
g
0 0 1 2 1... ...j i i i
it jg
1( )2 it i
hg t
iI t
2ihI t
2i
htg
0
0 1 1... ...2j i i i
h
2i
h jtg
2
( )4 i
h it
hg t
55
Thuật toán Runge – Kutta đối với hệ phương trình (2.89)
1 1 2 3 4
12 2 ,
6i i q q k k k k (2.91)
Với
1
2 1
3 2
4 3
;
1;
2 2
1;
2 2
.
i i
i i
i i
i i
h t
hh t
hh t
h t h
k f ,q
k f ,q k
k f ,q k
k f ,q k
(2.92)
Thuật toán Runge – Kutta cụ thể với 1 4T
j j j jk l m j k , , , như sau
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
12 2 ,
6
12 2 ,
6
12 2 ,
6
i i
i i
i i
y y k k k k
z z l l l l
s s m m m m
(2.93)
Trong đó
1
1
1
1
2 1
2 1
1
2 1
,
,
010
1 1
1,
2
1,
2
01 1 2 2
02 1 2 1
i
i
p
i ip
i i i i
i
i
p
p i i
i i
k hz
l hs
z t I tm h as b y t cy F t
p p
k h z l
l h s m
h hz t I t
hm h a s m b y t
p p
1
3 2
3 2
1;
2 2
1,
2
1,
2
i i
i
i
hc y k F t
k h z l
l h s m
56
1
3 2
2
4 3
4 3
1
4 3
01 1 2 2
02 1 2 1
1;
2 2
,
,
010
1 1
p
p i i
i i
i i
i
i
p
p i i
i i
h hz t I t
hm h a s m b y t
p p
hc y k F t
k h z l
l h s m
z t h I t hm h a s m b y t h
p p
3 .i ic y k F t h
(2.94)
Như vậy ta đã đạt được nghiệm số ix của phương trình vi phân chuyển động
(2.74) với các điều kiện đầu 0 , 0x x và 0x đã cho.
Ví dụ số
Ví dụ 7. Lấy các số liệu như ví dụ 1 (trang 45) với 0.5, 1.3, 0.5, 0.25,p a b c
0, 0.01f h . Ta có phương trình vi phân dao động:
1/2
01.3 0.5 0.25 0Rx x D x t x (2.95)
Các điều kiện đầu 0 0, 0 1, 0 0x x x , ta có đồ thị dao động (hình 2.8).
Hình 2.8. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0p a b c f
57
So sánh ví dụ 1 và ví dụ 7 ta thấy: hình 2.1 (áp dụng phương pháp Newmark) và
hình 2.8 (áp dụng phương pháp Runge – Kutta) có sự phù hợp giữa các kết quả
được tính toán.
Ví dụ 8. Lấy các số liệu như ví dụ 2 (trang 45): 0.5, 1.3, 0.5, 0.25p a b c
với 0.01h . Trong trường hợp sin3
f t
, với 0 0, 0 1, 0 0 x x x , đồ
thị dao động được biểu diễn trên hình 2.9.
Hình 2.9. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin3
p a b c f t
So sánh ví dụ 2 và ví dụ 8 ta thấy: hình 2.2 (áp dụng phương pháp Newmark) và
hình 2.9 (áp dụng phương pháp Runge – Kutta) có sự phù hợp giữa các kết quả
được tính toán.
2.2.2.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 1 p 2
Xét dao động của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số
0 1 2R px t a D x t bx t cx t F t p (2.96)
Trong đó , ,a b c là những hằng số.
Đặt
y t x t
z t x t
s t x t
(2.97)
58
Phương trình vi phân cấp ba (2.96) được đưa về hệ phương trình vi phân cấp
một sau
0
R p
y t z t
z t s t
s t a D y t bz t cy t F t
(2.98)
Định nghĩa Riemann – Liouville đối với đạo hàm cấp không nguyên
22
0 0 0 2 1
0
1,
2 , 0 1.
tR p R R u
u
ydD y t D D y t d
u dt t
u p u
(2.99)
Áp dụng quy tắc hợp thành [2] đối với 0
R pD y t ta được
2 1
0 0
1
1
0
0 0
1
0 0 1,
1 2 2
R p u u R u
tp p
p
y yD y t t t D y t
u u
y y yt t d
p p p t
(2.100)
Tích phân từng phần số hạng thứ hai của phương trình (2.100)
22
1
0 0
10 ,
2
t tpp
p
yd y t y t d
pt
(2.101)
Sau khi tích phân từng phần,
1
0
t
p
yd
t
đưa được về tích phân xác định
2
0 0
( )
t tp
tI t y t d g d
(2.102)
Thế phương trình (2.101) và (2.102) vào phương trình (2.100), ta có
2
1
0
011 0 0
2 2
p
R p p p y t I tD y t p y t y t
p p
(2.103)
Sau đó, thay phương trình (2.103) vào phương trình (2.98) ta được
2
1 011 0 0
2 2
,
p
p p s t I ts t a p y t z t
p p
bz t cy t F t
(2.104)
Xấp xỉ tích phân 2
0 0
( )i i
i
t tp
i i tI t y t d g d
đối với mỗi thời
điểm it bởi công thức hình thang như sau
59
0 1 1 0 00 ... , , , , 0in i i i j t it t t T h t t t t ih t jh g t (2.105)
1 2
1 1 1
0 0
, 12 2 2i i i i i
i i
i t j t j t j t j t i
j j
h h hI t g g g g g t i
(2.106)
1
/2 /2 1 /2
0
, 02 2 4i i i
i
i t h j t h j t h i
j
h hhI t g g g t i
(2.107)
Ta thấy tích phân I t không phụ thuộc vào iy t tại thời điểm it . Khi đó,
hệ phương trình (2.98) trở thành
q f ,qt (2.108)
Trong đó
1 2 3
,q , ,
f , , ,
T
T
y z s
f f f
(2.109)
1
2
2
1
3
,
,
011 0 0 ,
2 2
p
p p
f z t
f s t
s t I tf a p y t z t bz t cy t F t
p p
(2.110)
Áp dụng phương pháp Runge – Kutta đối với hệ (2.108), ta có
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
12 2 ,
6
12 2 ,
6
12 2 ,
6
i i
i i
i i
y y k k k k
z z l l l l
s s m m m m
(2.111)
Trong đó
1
1
2
1
1
2 1
2 1
,
,
011 0 0 ;
2 2
1,
2
1,
2
i
i
p
i ip p
i i i i i
i
i
k hz
l hs
s t I tm h a p y t z t bz cy F t
p p
k h z l
l h s m
60
1
2
2
1 1
3 2
3 2
3
11 0 0
2 2 2
01 12 2
;2 2 2 2
1,
2
1,
2
11 0
2
p p
i i
p
i i
i i i
i
i
i
h hm h a p y t z t
p
h hs t I t
hb z l c y k F t
p
k h z l
l h s m
m h a p y tp
1
2
2 2
4 3
4 3
1
4
2
02 2
01 12 2
;2 2 2 2
,
,
11 0 0
2
0
p p
i
p
i i
i i i
i
i
p p
i i
p
i i
h hz t
h hs t I t
hb z l c y k F t
p
k h z l
l h s m
m h a p y t h z t hp
s t h I t
3 3 .
2i i i
hb z l c y k F t h
p
(2.112)
Như vậy ta đã đạt được nghiệm số ix của phương trình vi phân chuyển động
(2.96) với các điều kiện đầu 0 , 0x x và 0x đã cho.
Ví dụ số
Ví dụ 9. Lấy các số liệu như ví dụ 4 (trang 49) với 3 2, 1,p a 1, 1,b c
0, 0.01f h . Ta có phương trình vi phân dao động:
3/2
0 0Rx D x t x x (2.113)
Đồ thị dao động được biểu diễn trong hình 2.10.
61
Hình 2.10. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, 0p a b c f
So sánh ví dụ 4 và ví dụ 9 ta thấy: hình 2.4 (áp dụng phương pháp Newmark) và
hình 2.10 (áp dụng phương pháp Runge – Kutta) có sự phù hợp giữa các kết quả
được tính toán.
Ví dụ 10. Chọn các số liệu như ví dụ 5 (trang 50), ta có phương trình vi phân dao
động : 3/2
0 sin3
Rx D x t x x t
. (2.114)
Đồ thị dao động được biểu diễn trong hình 2.11.
Hình 2.11. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, sin3
p a b c f t
62
So sánh ví dụ 5 và ví dụ 10 ta thấy: hình 2.5 (áp dụng phương pháp Newmark) và
hình 2.11 (áp dụng phương pháp Runge – Kutta) có sự phù hợp giữa các kết quả
được tính toán.
Ví dụ 11. Lấy các số liệu như ví dụ 6 (trang 50) ta có phương trình vi phân dao
động: 3/2
010 10 5sinRx D x t x x t (2.115)
Với các giá trị khác nhau của , ta có đồ thị dao động (hình 2.12).
Hình 2.12. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 10, 1, 10p a b c
So sánh ví dụ 6 và ví dụ 11 ta thấy: hình 2.6 (áp dụng phương pháp Newmark) và
hình 2.12 (áp dụng phương pháp Runge – Kutta) có sự phù hợp giữa các kết quả
được tính toán.
2.3. Kết luận chương 2
Nhóm nghiên cứu của GS.Nguyễn Văn Khang (Trường Đại học Bách Khoa
Hà Nội) đã phát triển các phương pháp số Newmark và Runge – Kutta xây dựng các
thuật toán số giải hệ phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số. Một số kết
quả đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5] và [6].
Trong chương này, dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và
định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Riemann – Liouville, một thuật toán số được
phát triển để tính toán đáp ứng động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân
số. Dựa trên ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta, xây dựng một thuật toán giải
63
phương trình vi phân cấp ba của hệ có chứa đạo hàm cấp phân số. Đối với phương
pháp Runge – Kutta, ta biến đổi phương trình vi phân dao động cấp ba có đạo hàm
cấp phân số về hệ ba phương trình vi phân cấp một. Do đó, phương pháp Runge –
Kutta được tính toán và lập trình trên phần mềm Matlab thuận tiện hơn so với
phương pháp Newmark. Qua các thí dụ tính toán trong nhóm nghiên cứu của tác giả
nhận thấy hai phương pháp này cho kết quả chính xác tương đương nhau.
64
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỘNG HƯỞNG CỦA HỆ
PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN
Dao động cộng hưởng của các hệ phi tuyến cấp ba, cấp bốn và cấp n không
chứa đạo hàm cấp phân số đã được GS.Nguyễn Văn Đạo nghiên cứu kỹ trong các
tài liệu tham khảo [18], [47]. Trong chương này, luận án áp dụng phương pháp tiệm
cận nghiên cứu dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số. Các kết quả tính toán bằng phương pháp tiệm cận trong một số trường hợp
được so sánh với các kết quả tính toán bằng phương pháp số.
3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân
cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số
3.1.1.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận
Xét dao động của hệ Duffing được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số sau
2 2 3 sin ,p
px t x t x t x t x t D x t E t (3.1)
Trong đó , , , , ,p E là những hằng số. pD x t là đạo hàm cấp phân số p của
x t .
Trong chương này, ta sử dụng định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Cauchy
[53], [73]
1
1,
2
p
p
C
p f uD f z du
i u z
(3.2)
Giả thiết hệ có cộng hưởng 2 2 (3.3)
Áp dụng phương pháp tiệm cận tìm nghiệm tuần hoàn cho phương trình
(3.1). Nghiệm riêng với chu kỳ 2
của phương trình (3.1) được tìm dưới dạng
2
1 2cos , , , ,x a t u a t u a t (3.4)
Trong đó , ,iu a t là những hàm chu kỳ 2 đối với và t .
65
a và được xác định từ những phương trình sau
2
1 2
2
1 2
, ,
, ,
daA a A a
dt
dB a B a
dt
(3.5)
Để xác định các hàm , ,s s su A B ta tính
2 21 2 1 2
21 2
211 1
cos sin
sin
sin cos sin ,
dx u u da u u dt a t
dt a a dt dt
u ua t
t t
ua t A t aB t
t
(3.6)
2 2 22 21 2 1 2
2 2 2
22 2 2 22 21 2 1 2
2 2
2 221 2
2 2
cos sin
2sin 2 2
cos
d x u u d a u u dt a t
dt a a dt dt
u u da d u u dat
a a dt dt a a dt
u u da t
dt
2 2
1
2 2 22 22 1 2
2 22 21 2
2 2
22 21
1 1 2
2 sin 2
2 2 cos 2 2
cos
cos 2 sin 2 cos
ut
a t
u da u u da t
a t dt t t dt
u ua t
t t
ua t A t a B t
t
(3.7)
33 2 2
3
2 2
2
23 2 2 3
1 1
2 2 2 3
2 2
2 2
sin 3 sin 3 cos
6 cos 3 sin 3 sin
3 3 cos
3 sin 3sin
d x d daa t a t t
dt dt dt
da d d dt a t a t
dt dt dt dt
u da d u d a da d at
a dt dt a dt dt dt
d a d a dt t
dt dt d
22 321 1
3
33 2 2 21
1 1 3
3
sin 3 sin 3 cos
u d u
t t dt t
ua t a B t A t
t
(3.8)
66
Thế phương trình (3.6), (3.7) và (3.8) vào phương trình (3.1) ta có
33 2 2 1
1 1 3
22 1
1 1 2
2 11 1
2 2
1
sin 3 sin 3 cos
cos 2 sin 2 cos
sin cos sin
cos
sin
ua t a B t A t
t
ua t A t a B t
t
ua t A t aB t
t
a t u
E
3 3cos cosp
pt a t D a t
(3.9)
Từ phương trình (3.3) ta tính toán vế trái của phương trình (3.9)
33 2 2 1
1 1 3
22 1
1 1 2
2 11 1
2 2
1
sin 3 sin 3 cos
cos 2 sin 2 cos
sin cos sin
cos
ua t a B t A t
t
ua t A t a B t
t
ua t A t aB t
t
a t u
3 3sin cos cosp
pE t a t D a t
3 22 2 1 1
1 1 13 2
2 2 211 1
3 3
2 sin 2 cos 2 sin
2 cos sin cos
sin cos cosp
p
u ua B t A t A t
t t
ua B t a t a t u
t
E t a t D a t
(3.10)
3 22 1 1
1 1 1 1 1 3 2
2 21
3 3 2
2
2 sin 2 cos
sin cos cos sin cos
sin ,
p
p
u uaB A A aB u
t t
u
t
E t a D a a a
E t R
(3.11)
Trong đó
3 3cos cos sin cos ,p
pR a D a a a t (3.12)
67
Theo tài liệu tham khảo [73], đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác
cos cos2
sin sin2
p p
p p
pD t t
pD t t
(3.13)
Biến đổi vế phải của phương trình (3.12) với chú ý phương trình (3.13)
3
3
3
13cos cos3 cos cos sin sin sin
4
cos
13cos cos3 cos cos sin sin
4 2 2
sin cos
3cos cos sin s
2 4 2
p
p
p p
p p
p p
p p
R a a D t t a
a
p pa a t a t
a a
p pa a a a a
31in cos3
4a
(3.14)
Khai triển Fourier hàm R ta có
1 2
0
cos sinn n
n
R r n r n
(3.15)
Hàm 1u cũng được tìm dưới dạng chuỗi
1 1 1cos sinm m
m
u u m v m (3.16)
Từ phương trình (3.14) và (3.15) ta tìm được 11r và 21r
3
11
21
3cos
2 4
sin2
p
p
p
p
pr a a a
pr a a
(3.17)
Thay thế phương trình (3.15) và (3.16) vào phương trình (3.11) và so sánh
các hệ số ta có
1 1 11
1 1 21
2 sin
2 cos
A aB E r
aB A E r
(3.18)
và
2 2
1 1 1
2 2
1 1 2
11
1
m m m
m m m
m u m v rm
m v m u r
(3.19)
68
Suy ra
11 21
1 2 2
11 21
1 2 2
sin cos
2
sin cos
2
E r rA
E r rB
a
(3.20)
1 21 2 2 2 2 2
1 21 2 2 2 2 2
1
1
m mm
m mm
r m ru
m m
m r rv
m m
(3.21)
Do đó, trong xấp xỉ thứ nhất ta có
cosx a t (3.22)
11 21
2 2
sin cos
2
E r rda
dt
(3.23)
11 21
2 2
sin cos
2
E r rd
dt a
(3.24)
Biên độ và pha của dao động dừng được xác định từ hệ phương trình sau
11 21
11 21
sin cos
sin cos
E r r
E r r
(3.25)
Triệt tiêu pha ở hệ phương trình trên dẫn tới
2 2 2
11 21E r r (3.26)
3.1.1.2. Đường cong biên độ tần số
Phương trình đường cong biên độ tần số
2 2 2
11 21 0W r r E (3.27)
Thay phương trình (3.17) vào phương trình (3.27) ta được
2 2
3 23cos sin 0
2 4 2
p p
p p
p pa a a a a E
(3.28)
2 6 4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
9 3 3cos
16 2 2 2
2 cos sin 02 2
p
p
p p
p p
pa a a a
p pa a E
(3.29)
69
3.1.1.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng
Cho ,a là những nhiễu nhỏ và đặt 0 0,a a a , trong đó
0 0,a là những giá trị dừng của ,a được xác định từ phương trình (3.25). Đặt
những biểu thức trên vào phương trình (3.23) và (3.24), đồng thời sử dụng phương
trình (3.25) ta được phương trình biến phân sau
11 21 11 212 22
d ar r a r r
dt
(3.30)
11 21 11 212 2
02
dr r a r r
dt a
(3.31)
Trong đó 11 21,r r được đạo hàm đối với 0a .
Phương trình đặc trưng của hệ phương trình (3.30), (3.31)
2 0q s (3.32)
Với
0 11 212 200
,2
dq a r r
daa
(3.33)
2
2 2 200
,8
ds W
daa
(3.34)
2 2 2
11 21 .W r r E (3.35)
Điều kiện ổn định theo tiêu chuẩn Routh – Hurwitz
0 11 21
0
0d
a r rda
(3.36)
0
0d
Wda
(3.37)
Từ các phương trình (3.36), (3.37), (3.17) ta có điều kiện ổn định của hệ
1 2
0 02 cos 2 sin 3 02 2
p p
p p
p pa a
(3.38)
2 2 2
0 0
2 2 2 2 2 4 1
0
116 32 cos 48 cos
8 2 2
16 48 27 32 sin 02
p p p
p p p
p
p
p pa a
pa a
(3.39)
70
3.1.1.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số
Để thấy được ảnh hưởng của giảm chấn cấp phân số đối với dao động điều
hoà của hệ Duffing cấp ba, ta chọn bộ tham số như sau
3
2 3 2 3 2 2
1 1 , 10 1 , 0.1, 1 , 0.5,
10 126.25 , 404 / 3 1 , ,
p
ps s s p
E m s m s
Khi đó, phương trình vi phân dao động của hệ có dạng
3 1 2 340.410 10 0.1 10 126.25 sin
3x x x x x D x t (3.40)
Dựa trên phương trình đường cong biên độ tần số (3.29), ta có được các
đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.1 – 3.7. Trong đó, đường
nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, đường nét đứt biểu diễn các nghiệm không
ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình
(3.38) và (3.39) không thoả mãn.
Với mỗi một giá trị của , ta có một phương trình vi phân dao động tương
ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó,
xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương
ứng với từng giá trị của . Trên hình 3.7, những chấm tròn là những nghiệm tìm
được thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp giữa các kết quả
giải tích và kết quả số.
Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với
đường cong biên độ tần số để tối ưu hệ thông qua việc lựa chọn các tham số đạo
hàm cấp phân số phù hợp.
Hình 3.1. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
71
Hình 3.2. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.25p p
Hình 3.3. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p
Hình 3.4. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25p p
72
Khi hệ số p thay đổi, cấp phân số 0.5p , các đường cong biên độ tần số
được biểu diễn trên hình 3.1.Nếu hệ số 1p và thay đổi cấp phân số p, ta được các
đường cong biên độ tần số trên hình 3.5. Ta cũng có được các đường cong biên độ
tần số trên hình 3.6 với 0.5, 0.5p p và biên độ lực kích động E thay đổi. Từ
các đồ thị trên, ta nhận thấy khi hệ số p và cấp phân số p càng tăng thì biên độ dao
động càng giảm; biên độ lực kích động E tăng thì biên độ dao động tăng.
Hình 3.5. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0p p
Hình 3.6. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi
73
Hình 3.7. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 0.5; 0.5p p
3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số
3.1.2.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận
Trong phần này ta xét dao động cưỡng bức của hệ phi tuyến cấp ba van der
Pol cưỡng bức được mô tả bởi phương trình vi phân
2 2 2 1 sin ,p
px t x t x t x t x t x t D x t E t (3.41)
Trong đó , , , ,p E là những hằng số. pD x t là đạo hàm cấp phân số p của
x t .
Giả thiết hệ có cộng hưởng 2 2 (3.42)
Áp dụng phương pháp tiệm cận tìm nghiệm tuần hoàn cho phương trình
(3.41). Nghiệm riêng với chu kỳ 2
được tìm dưới dạng
2
1 2cos , , , ,x a t u a t u a t (3.43)
Trong đó , ,iu a t là những hàm chu kỳ 2 đối với và t .
a và được xác định từ những phương trình sau
2
1 2
2
1 2
, ,
, ,
daA a A a
dt
dB a B a
dt
(3.44)
74
Để xác định các hàm , ,s s su A B ta tính
2 21 2 1 2
21 2
211 1
cos sin
sin
sin cos sin ,
dx u u da u u dt a t
dt a a dt dt
u ua t
t t
ua t A t aB t
t
(3.45)
2 2 22 21 2 1 2
2 2 2
22 2 2 22 21 2 1 2
2 2
2 221 2
2 2
cos sin
2sin 2 2
cos
d x u u d a u u dt a t
dt a a dt dt
u u da d u u dat
a a dt dt a a dt
u u da t
dt
2 2
1
2 2 22 22 1 2
2 22 21 2
2 2
22 21
1 1 2
2 sin 2
2 2 cos 2 2
cos
cos 2 sin 2 cos
ut
a t
u da u u da t
a t dt t t dt
u ua t
t t
ua t A t a B t
t
(3.46)
33 2 2
3
2 2
2
23 2 2 3 2
1 1
2 2 2 3 2
2
2
sin 3 sin 3 cos
6 cos 3 sin 3 sin
3 3 cos 3 sin
3sin
d x d daa t a t t
dt dt dt
da d d dt a t a t
dt dt dt dt
u da d u d a da d a d at t
a dt dt a dt dt dt dt
d a dt
dt d
22 321 1
3
33 2 2 21
1 1 3
3
sin 3 sin 3 cos
u d u
t t dt t
ua t a B t A t
t
(3.47)
75
Thế phương trình (3.45), (3.46) và (3.47) vào phương trình (3.41) ta có
3 22 2 1 1
1 1 13 2
2 2 211 1
2 2
2 sin 2 cos 2 sin
2 cos sin cos
sin cos 1 sin cosp
p
u ua B t A t A t
t t
ua B t a t a t u
t
E t a t a t D a t
3 22 1 1
1 1 1 1 1 3 2
2 21
2 2
2
2
2 sin 2 cos
sin cos 1 sin cos sin
cos
sin ,
p
p
u uaB A A aB u
t t
u
t
E t a a D a a
a
E t R
(3.48)
Trong đó
2 2cos 1 sin cos sin cos ,p
pR a a D a a a (3.49)
Với t
Theo tài liệu tham khảo [73] đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác
cos cos2
sin sin2
p p
p p
pD t t
pD t t
(3.50)
Biến đổi vế phải của phương trình (3.49) ta được
2
3 3
3
1 1cos 2 1 sin cos cos sin sin
2 2 2 2
sin cos
sin cos 2 sin sin cos cos2 2 2
sin sin sin cos2
sin 3 cos cos4 2
p p
p p
p
p
p
p
p
p
p pR a a a a
a a
a a pa a
pa a a
a pa a
a
3
sin sin2 4
p
p
p aa a
(3.51)
76
Khai triển Fourier hàm R ta có
1 2
0
cos sinn n
n
R r n r n
(3.52)
Hàm 1u cũng được tìm dưới dạng chuỗi
1 1 1cos sinm m
m
u u m v m (3.53)
Từ phương trình (3.51) và (3.52) ta tìm được 11r và 21r
11
2
21
cos2
sin 12 4
p
p
p
p
pr a a
p ar a a
(3.54)
Thế phương trình (3.52) và (3.53) vào (3.48) và so sánh các hệ số ta có
1 1 11
1 1 21
2 sin
2 cos
A aB E r
aB A E r
(3.55)
2 2
1 1 1
2 2
1 1 2
11
1
m m m
m m m
m u m v rm
m v m u r
(3.56)
Suy ra
11 21
1 2 2
11 21
1 2 2
sin cos
2
sin cos
2
E r rA
E r rB
a
(3.57)
1 21 2 2 2 2 2
1 21 2 2 2 2 2
1
1
m mm
m mm
r m ru
m m
m r rv
m m
(3.58)
Do đó, trong xấp xỉ thứ nhất ta có
cosx a t (3.59)
11 21
2 2
sin cos
2
E r rda
dt
(3.60)
11 21
2 2
sin cos
2
E r rd
dt a
(3.61)
77
Biên độ và pha của dao động dừng được xác định từ hệ phương trình sau
11 21
11 21
sin cos
sin cos
E r r
E r r
(3.62)
Triệt tiêu pha ở hệ phương trình trên dẫn tới
2 2 2
11 21E r r (3.63)
3.1.2.2. Đường cong biên độ tần số
Từ phương trình (3.54) ta được phương trình đường cong biên độ tần số
2 2 2
11 21 0W r r E (3.64)
22 22cos sin 1 0
2 2 4
p p
p p
p p aa a a a E
(3.65)
26 4 2 2 1
2 2 2 2 2 2
sin 2 sin16 2 2 2
2 cos sin 1 2 02 2
p p p
p p p
p
p
p pa a
p pa E
(3.66)
3.1.2.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng
Cho ,a là những nhiễu nhỏ và đặt 0 0,a a a , trong đó
0 0,a là những giá trị dừng của ,a được xác định từ phương trình (3.62). Đặt
những biểu thức trên vào phương trình (3.60) và (3.61), đồng thời sử dụng phương
trình (3.62) ta được phương trình biến phân sau
11 21 11 212 22
d ar r a r r
dt
(3.67)
11 21 11 212 2
02
dr r a r r
dt a
(3.68)
Trong đó 11 21,r r được đạo hàm đối với 0a .
Phương trình đặc trưng của hệ phương trình (3.67), (3.68)
2 0q s (3.69)
Với
0 11 212 200
,2
dq a r r
daa
(3.70)
78
2
2 2 200
,8
ds W
daa
(3.71)
2 2 2
11 21 .W r r E (3.72)
Điều kiện ổn định theo tiêu chuẩn Routh – Hurwitz
0 11 21
0
0d
a r rda
(3.73)
0
0d
Wda
(3.74)
Từ phương trình (3.73), (3.74) và (3.54) ta có điều kiện ổn định của hệ
1 2
0 02 cos 2 sin 2 02 2
p p
p p
p pa a
(3.75)
2 2 2 1 2 2 2
0 0
2 2 2 2 2 4 1
0 0
116 32 cos 16 sin 16
8 2 2
32 16 1 16 3 32 1 sin 02
p p p
p p p
p
p
p pa a
pa a
(3.76)
3.1.2.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số
Ta chọn bộ tham số sau
3 3 2 241 1 , 1 1 , 0.1, 1 , 0.5, ,
3 3
p
ps s s p E m s
Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng
2 1 2 0.40.1 1 0.1 sin ,
3 3x t x t x t x t x t x t D x t t (3.77)
Sử dụng phương trình đường cong biên độ tần số (3.66), ta có được các
đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.8 – 3.15 (ký hiệu
).
Trong đó, đường nét liền là các nghiệm ổn định, đường nét đứt là các nghiệm không
ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình
(3.75) và (3.76) không thoả mãn.
Với mỗi một giá trị của , ta có một phương trình vi phân dao động tương
ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó,
xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương
ứng với từng giá trị của . Trên hình 3.15, những chấm tròn là những nghiệm tìm
79
được thông qua phương pháp số. Sự phù hợp giữa các kết quả giải tích và kết quả số
có thể rõ ràng nhận thấy được.
Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với
đường cong biên độ tần số.
Hình 3.8. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
Hình 3.9. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
80
Khi hệ số p thay đổi, cấp phân số 0.5p , các đường cong biên độ tần số
được biểu diễn trên hình 3.8. Khi hệ số 1p và thay đổi cấp phân số p, ta được
các đường cong biên độ tần số trên hình 3.9. Ta nhận thấy khi cấp phân số p tăng thì
biên độ dao động giảm, khi hệ số của đạo hàm cấp phân số p tăng thì biên độ dao
động không giảm nhưng pha dao động thay đổi.
Hình 3.10. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.5p p
Hình 3.11. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25p p
81
Hình 3.12. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.5p p
Hình 3.13. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.75p p
Hình 3.14 chỉ ra các đường cong biên độ tần số với các giá trị khác nhau của
biên độ lực kích động E và 1, 0.5p p . Từ đồ thị trên, cũng có thể thấy được
ảnh hưởng quan trọng của biên độ lực kích động đối với đường cong biên độ tần số.
Khi biên độ lực kích động E tăng thì biên độ dao động tăng.
82
Hình 3.14. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi
Hình 3.15. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 1; 0.5p p
3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo
hàm cấp phân số
3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật
đạo hàm cấp phân số
3.2.1.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận
Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba
2 2 3 3
0 sign cos 0p
px x x x k x hx h x D x cx t (3.78)
Trong đó 0, , , , , , ,pk h h c là những hằng số.
83
Giả thiết hệ có cộng hưởng 2 21 ,2
(3.79)
Khi đó phương trình (3.78) có thể được viết lại như sau
2 2
, , , cos 04 4
px x x x f x x x D x cx t
(3.80)
Trong đó 3 3
0, , , signp p
pf x x x D x x x k x hx h x D x (3.81)
Nghiệm riêng hai tham số của phương trình (3.80) được tìm dưới dạng
2
1 2cos , , , ,2 2 2
x a t u a t u a t
(3.82)
Trong đó , ,su a là những hàm chu kỳ 2 đối với và ; a và được xác
định từ những phương trình sau
2
1 2
2
1 2
, ,
, ,
daA a A a
dt
dB a B a
dt
(3.83)
Để xác định các hàm , ,s s su A B ta tính
21 2 1
2 22 1 2
211 1
cos sin2 2
sin2 2
sin cos sin2
dx u u da ut a t
dt a a dt
u d u ua t
dt t t
ua A aB
t
(3.84)
2 2 22 21 2 1 2
2 2 2
22 2 2 22 21 2 1 2
2 2
cos sin2 2
2sin 2 22
cos2
d x u u d a u u dt a t
dt a a dt dt
u u da d u u dat
a a dt dt a a dt
a t
22 2 221 2 1
2 2
2 2 22 22 1 2
2 2 221 2
2 2
2
1
sin 22
2 cos 2 22
cos4 2
cos sin4
u u d ut
dt a t
u da u u da t
a t dt t t dt
u ua t
t t
a A
221
1 2 cos (3. )85
uaB
t
84
3 3 2 2
3
2 2
2
23 2 2
1 1
2 2 2
sin 3 sin 3 cos8 2 4 2 4 2
3 cos 3 sin 3 sin2 2 2 2 2
3 3
d x d daa t a t t
dt dt dt
da d d dt a t a t
dt dt dt dt
u da d u d a da
a dt dt a dt dt
3
3
22 2 2 321 1
2 2 3
3 32 2 21
1 1 3
cos2
3 sin 3sin 32 2 2
3 3sin cos sin
8 4 4
d at
dt
d a d a d u d ut t
dt dt dt t dt t
ua A aB
t
(3.86)
Trong đó 2
t
(3.87)
Thế phương trình (3.82), (3.84), (3.85) và (3.86) vào phương trình (3.80)
3 3 22 2 1
1 1 3
2 2
1 11 1 1 12
22
1
2
3 3sin cos sin cos
8 4 4 4
sin cos sin cos sin4 2
cos4
cos , sin , cos2 4
ua A aB a
t
u uA aB a A aB
t t
a u
f a a a
, cos cos cospD a ac t
(3.88)
So sánh các hệ số của ε ta được
3 2 2 2 2
1 1 11 1 13 2
2
1 1 0
cos4 4 2
sin cos cos ,2
u u uu A aB
t t t
aB A f ac t
(3.89)
2
0
33 3 3 3
0
cos , sin , cos , cos2 4
sin cos cos sin2 8
sign sin cos2
p
p
p
f f a a a D a
a a ka h a
h a D a
(3.90)
85
Theo tài liệu tham khảo [73] đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác
cos cos2
sin sin2
p p
p p
pD t t
pD t t
(3.91)
Biến đổi vế phải của phương trình (3.90) ta được
33 3 3 3
0
0
33 3 3 3
0
33 3 3 3
0
sin cos cos sin2 8
sign sin cos2
sin cos cos sin2 8
sign sin cos2 2
sin cos cos sin2 8
p
p
p
p
f a a ka h a
h a D a
a a ka h a
h a D a t
a a ka h a h
33 3 3 3
0
sign sin2
cos cos sin sin2 2 2 2 2
sin cos cos sin2 8
sign sin cos cos sin sin2 2 2 2
p
p
p
p
a
p pa t t
a a ka h a
p ph a a
(3.92)
Khai triển Fourier hàm 0f ta có
0
0
cos sinm m
m
f r a m s a m
(3.93)
Với là toán tử trung bình
2
0 0 0
0
2
0 0
0
2
0 0
0
1,
2
1cos 2 cos ,
1sin 2 sin ,
m
m
r f d f
r f m d f m
s f m d f m
(3.94)
86
Hàm 1u thoả mãn phương trình (3.89) cũng được tìm dưới dạng chuỗi
1 , cos , sinn n
n
u G a n H a n (3.95)
Với điều kiện 1u không chứa các số hạng cộng hưởng. Điều kiện này sẽ tương
đương với điều kiện là hàm 1u không chứa cos ,sin .
Thay thế phương trình (3.93) và (3.95) vào phương trình (3.89) ta có
22
2 2
1 1 1 1
0
1 sin cos4 2 2
cos sin2 2
cos cos cos sin ,
n n n n
n
m m
m
n nn G H n H G n
A aB aB A
ac t r m s m
(3.96)
Mặt khác ta có
cos cos cos cos 2 2
1cos2 cos sin 2 sin cos2 cos3 sin 2 sin3
2
t
(3.97)
22
2 2
1 1 1 1
0
1 sin cos4 2 2
cos sin2 2
cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos3 sin 2 sin 32
cos sin ,
n n n n
n
m m
m
n nn G H n H G n
A aB aB A
ac
r m s m
(3.98)
So sánh các hàm điều hoà cos ,sin và các hàm điều hoà khác ta có
2
1 1 1
2
1 1 1
cos22 2
sin22 2
acA aB r
acA aB s
(3.99)
22
3
22
3
1 cos 24 2 2
1 sin 24 2 2
n n n n
n n n n
n acn H G r
n acn G H s
(3.100)
87
Trong đó 1n và
3
0 3
1 3n
n
n
(3.101)
Giải phương trình (3.99) và (3.100) ta có
3
2 22 2 2
3
2 22 2 2
sin 2 cos22 4 2
14 4
cos2 sin 22 4 2
14 4
n n n
n
n n n
n
r ns nac ac
G
n n
nr s nac ac
H
n n
(3.102)
0 0
1 2 2
0 0
1 2 2
1sin cos cos2 sin 2
4 4
1cos sin sin 2 cos2
4 4
f f ac acA
f f ac acB
a
(3.103)
Với
1 ( 0)
sign 1 ( 0)
0 ( 0)
x
x x
x
(3.104)
Đặt
0 0 sign sin cos cos sin sin2 2 2 2
p
p
p pR h a a
(3.105)
Từ phương trình (3.92) tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinf f
33 3
0
2 3 4
0
3
0
32 3 4
0
3 3
0
3 3
0
cos sin cos sin cos2 8
cos cos cos
1 3cos ,
2 8
sin sin sin2 8
cos sin cos sin sin
1 3sin ,
4 64
f a h a
a ka R
a ka R
f a h a
a ka R
a h a R
(3.106)
88
Thay phương trình (3.106) vào phương trình (3.103) và sau khi tính toán ta
tìm được các phương trình của xấp xỉ thứ nhất
2 3
12 2
2 2 4 3
22 2
3 1cos2 sin 2
8 4 2
1 3sin 2 cos2
4 4 22
da ack h a ac R
dt
d ac aca k h a R
dt a
(3.107)
Trong đó
1 0 0
2 0 0
2cos sin
2cos sin
R R R
R R R
(3.108)
Từ phương trình (3.105) tính toán các giá trị trung bình của 0 cosR và
0 sinR
0 0
2
cos sign sin cos2
cos cos sin sin cos2 2 2
1cos ,
2 2 2
p
p
p
p
R h a
p pa
pa
(3.109)
0 0
2
0
sin sign sin sin2
cos cos sin sin sin2 2 2
2 1sin ,
2 2 2
p
p
p
p
R h a
p pa
ph a
(3.110)
Thế phương trình (3.109) và (3.110) vào phương trình (3.108)
1 0
0
1
0
1 2 2 1cos sin
2 2 2 2 2 2
1 2cos sin
2 2 2 2
1 2cos sin ,
2 2 2
p p
p p
pp p
p
p
p
p pR a h a
p pa h a
p pa h
(3.111)
89
2 0
0
1
0
2 1 2 1cos sin
2 2 2 2 2 2
2 1cos sin
2 2 2 2
1 2cos sin ,
2 2 2
p p
p p
p p
p p
p
p
p pR a h a
p pa h a
p pa h
(3.112)
Phương trình (3.107) có dạng
2 3
2 2
1
0
2 2 4 3
2 2
1
0
3 1cos2 sin 2
8 4 2
1 2cos sin
2 2 2
1 3sin 2
4 42
1 2cos 2 cos sin
2 2 2 2
p
p
p
p
da ack h a ac
dt
p pa h
d aca k h a
dt a
ac p pa h
(3.113)
Do đó trong xấp xỉ thứ nhất nghiệm riêng của phương trình (3.78) có dạng
cos2
x a t
(3.114)
Với ,a là nghiệm của các phương trình (3.113).
3.2.1.2. Đường cong biên độ tần số
Nghiệm dừng của hệ (3.107) được xác định từ những phương trình sau
2 3
0 0 0 0 0 1
2 2 4 3
0 0 0 0 0 0 2
3sin 2 cos2
2 4 8
1 3cos2 sin 2
2 4 4
c ca a k h a R
c ca a a k h a R
(3.115)
Triệt tiêu pha 0 ở (3.115), ta được phương trình của biên độ 0a
0W , 0a (3.116)
Trong đó
22
2
0 0 1 22 2
0
22
2 2 2
0 2 12 2
0
3 2 2W ,
4
3 12 0
4 4
a ka R Ra
cha R R
a
(3.117)
90
Thay 1 2,R R từ phương trình (3.111) và (3.112) vào phương trình (3.117)
21 1
0 02 2
0
2
2 2 2 2 1
0 0 02 2
0
1
0
2 1 1cos sin cos sin
2 2 2 2 2 2
3 3 1 12 cos sin
4 4 2 2 2
1 42 cos sin
2 2 2
p p
p p
p
p
p
p
p p p pa a
a
p pka ha a
a
p pa
22
0
0
04
ch
a
22 2
2 2 2 2 1
0 0 0
0
3 3 4cos sin 0
4 2 4 2 4
p p
p p
p p cka ha h
a
(3.118)
2 2 6 2 6 2 4 3 4
0 0
3 3 2 2 2 2 2 1
0 0
2 2 2 2 2
0 0 0
9 24 cos sin2 2
96 4 4 8 cos 4 8 sin2 2
4 128 sin 256 02
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p pk h a k k h h a
p ph h a
pc a h a h
(3.119)
3.2.1.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng
Xét tính ổn định của nghiệm dừng 0 0a của hệ phương trình (3.107). Thay
0 0,a a a vào hệ phương trình (3.107) với 0 0,a là nghiệm của hệ
phương trình (3.115), ta có các phương trình biến phân sau
2 2 10 02 2
0
2 2 4 3
0 0 2
3
4
2 32
2
d a Rk h a a a
dt a
a k h a R
(3.120)
4 202 2
0
2 2
0 1
0
3
22
3 2
4
d Rk h a a
dt a
k h a Ra
(3.121)
Phương trình đặc trưng của hệ
2 0Z S (3.122)
91
Trong đó
2 2
0 0 12 2
0
3 1,
2Z k h a a R
a
(3.123)
2
0
2 2 20
W,
4
aS
a
(3.124)
Với W có dạng phương trình (3.116).
Do đó, điều kiện ổn định của nghiệm dừng là
2 3
0 0 13 2 0,k h a a R (3.125)
0
W0
a
(3.126)
Từ các phương trình (3.111), (3.112), (3.125) và (3.126) ta có điều kiện ổn
định của hệ
2 3 1 00 0
43 2 cos sin 0
2 2
p
p
hp pk h a a
(3.127)
2
0 0
2 2 2 1 2
0 0 0 02
0 0
33 cos
4 2
3 4 3 42 sin 0
4 2 2
p
p
p
p
pka ka
pha h ha h
a a
(3.128)
3.2.1.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số
Chọn bộ tham số 1, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1, 0.05,p p k h
0 0.0025, 0.05,2
h c
.
Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng
3 3 1 21 0.1 0.05 0.0025sign 0.01 0.05 cos 0x x x x x x x D x x t
(3.129)
Dựa trên phương trình đường cong biên độ tần số (3.119), ta có các đường
cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.16 – 3.22. Trong đó, đường nét
liền biểu diễn các nghiệm ổn định, nét đứt biểu diễn các nghiệm không ổn định và
miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình (3.127) và
(3.128) không thoả mãn.
92
Với mỗi một giá trị của , ta có một phương trình vi phân dao động tương
ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó,
xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương
ứng với từng giá trị của . Trên hình 3.20 và hình 3.22 (hai đường cong biên độ
tần số tương ứng với hai giá trị khác nhau của p ), những chấm tròn là những
nghiệm tìm được thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp tốt
giữa các kết quả giải tích và kết quả số.
Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với
đường cong biên độ tần số. Nếu cấp phân số 0.5p và cho hệ số p thay đổi, các
đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên hình 3.16. Nếu hệ số 0.01p và
cấp phân số p thay đổi, ta được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.17. Ta
cũng có được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.18 với hệ số ma sát 0h
thay đổi. Từ các đồ thị trên, ta nhận thấy rằng khi cấp phân số p và hệ số ma sát 0h
tăng thì biên độ dao động giảm; hệ số p tăng thì biên độ dao động không tăng
nhưng pha dao động thay đổi.
Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
93
Hình 3.17. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
Hình 3.18. Đường cong biên độ tần số khi 0
h thay đổi
94
Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi 0.01; 0.5p p
Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS 0.01; 0.5p p
Hình 3.21. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.5p p
95
Hình 3.22. Đường cong biên độ tần số MPS khi 0; 0.5p p
3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật
đạo hàm cấp phân số
3.2.2.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận
Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có
dạng sau
2 2 3 3 2
2 sign cos 0p
px x x x k x hx h x x D x cx t (3.130)
Trong đó , , , , , ,pk h c là những hằng số, 2h là một hằng số dương. pD x là
đạo hàm cấp phân số của x t .
Giả thiết hệ có cộng hưởng
2 21 ,2
(3.131)
Khi đó phương trình (3.64) có thể được viết lại như sau
2 2
, , , cos 04 4
px x x x f x x x D x cx t
(3.132)
Trong đó 3 3 2
2, , , signp p
pf x x x D x x x k x hx h x x D x (3.133)
Nghiệm riêng hai tham số của phương trình (3.132) được tìm dưới dạng
2
1 2cos , , , ,2 2 2
x a t u a t u a t
(3.134)
Trong đó , ,su a là những hàm chu kỳ 2 đối với và .
96
a và được xác định từ những phương trình sau
2
1 2
2
1 2
, ,
, ,
daA a A a
dt
dB a B a
dt
(3.135)
Để xác định các hàm , ,s s su A B ta tính
21 2 1
2 22 1 2
211 1
cos sin2 2
sin2 2
sin cos sin2
dx u u da ut a t
dt a a dt
u d u ua t
dt t t
ua A aB
t
(3.136)
2 2 22 21 2 1 2
2 2 2
22 2 2 22 21 2 1 2
2 2
cos sin2 2
2sin 2 22
cos2
d x u u d a u u dt a t
dt a a dt dt
u u da d u u dat
a a dt dt a a dt
a t
22 2 221 2 1
2 2
2 2 22 22 1 2
2 2 221 2
2 2
2
1
sin 22
2 cos 2 22
cos4 2
cos sin4
u u d ut
dt a t
u da u u da t
a t dt t t dt
u ua t
t t
a A
221
1 2cos (3.137)
uaB
t
3 3 2 2
3
22 3
1
2 2
2 2 3
1
2 2 3
sin 3 sin 3 cos8 2 4 2 4 2
3 cos 3 sin 32 2 2
3 cos 3 sin2 2 2
d x d daa t a t t
dt dt dt
da d d u da dt a t
dt dt dt a dt dt
u d a da d at t
a dt dt dt
2 321
2 3
3 32 2 21
1 1 3
3 3sin cos sin
8 4
4
d a u
dt t
ua A aB
t
(3.138)
Trong đó 2
t
(3.139)
97
Thế phương trình (3.134), (3.136), (3.137), (3.138) vào (3.132)
3 3 22 2 1
1 1 3
2 2
1 11 1 1 12
22
1
2
3 3sin cos sin cos
8 4 4 4
sin cos sin cos sin4 2
cos4
cos , sin , cos2 4
ua A aB a
t
u uA aB a A aB
t t
a u
f a a a
, cos cos cospD a ac t
(3.140)
So sánh các hệ số của ε ta được
3 2 2 2 221 1 1
1 1 1 1 13 2
0
cos sin4 4 2 2
cos cos ,
u u u au A aB B A
t t t
f ac t
(3.141)
2
0
33 3 3 3
2
2
cos , sin , cos , cos2 4
sin cos cos sin2 8
sin sign sin cos2 2
p
p
p
f f a a a D a
a a ka h a
h a a D a
(3.142)
Đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác [73]
cos cos2
sin sin2
p p
p p
pD t t
pD t t
(3.143)
Biến đổi vế phải của phương trình (3.133) ta được
33 3 3 3
0
22 2
2
33 3 3 3
22 2
2
sin cos cos sin2 8
sin sign sin cos4 2 2
sin cos cos sin2 8
sin sign sin cos cos sin si4 2 2 2 2
p
p
p
p
f a a ka h a
h a a D a t
a a ka h a
p ph a a a
n
(3.144)
98
Khai triển Fourier hàm 0f ta có
0
0
cos sinm m
m
f r a m s a m
(3.145)
Với là toán tử trung bình
2
0 0 0
0
2
0 0
0
2
0 0
0
1,
2
1cos 2 cos ,
1sin 2 sin ,
m
m
r f d f
r f m d f m
s f m d f m
(3.146)
Hàm 1u thoả mãn phương trình (3.141) cũng được tìm dưới dạng chuỗi
1 , cos , sinn n
n
u G a n H a n (3.147)
Với điều kiện 1u không chứa các số hạng cộng hưởng. Điều kiện này sẽ tương
đương với điều kiện là hàm 1u không chứa cos ,sin .
Thế phương trình (3.145) và (3.147) vào phương trình (3.141) ta có
22
2 2
1 1 1 1
0
1 sin cos4 2 2
cos sin2 2
cos cos cos sin ,
n n n n
n
m m
m
n nn G H n H G n
A aB aB A
ac t r m s m
(3.148)
Mặt khác ta có
1
cos cos cos2 cos sin 2 sin cos2 cos3 sin 2 sin32
t (3.149)
22
2 2
1 1 1 1
0
1 sin cos4 2 2
cos sin2 2
cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos3 sin 2 sin 32
cos sin ,
n n n n
n
m m
m
n nn G H n H G n
A aB aB A
ac
r m s m
(3.150)
99
So sánh các hàm điều hoà cos ,sin dẫn đến
2
1 1 1
2
1 1 1
cos22 2
sin22 2
acA aB r
acA aB s
(3.151)
So sánh các hàm điều hoà khác ta có
22
3
22
3
1 cos 24 2 2
1 sin 24 2 2
n n n n
n n n n
n acn H G r
n acn G H s
(3.152)
Trong đó 1n và
3
0 3
1 3n
n
n
(3.153)
Giải phương trình (3.160) và (3.152) ta có
3
2 22 2 2
3
2 22 2 2
sin 2 cos22 4 2
14 4
cos2 sin 22 4 2
14 4
n n n
n
n n n
n
r ns nac ac
G
n n
nr s nac ac
H
n n
(3.154)
0 0
1 2 2
0 0
1 2 2
1sin cos cos2 sin 2
4 4
1cos sin sin 2 cos2
4 4
f f ac acA
f f ac acB
a
(3.155)
Với
1 ( 0)
sign 1 ( 0)
0 ( 0)
x
x x
x
(3.156)
Đặt
2
2 2
0 2 sin sign sin cos cos sin sin4 2 2 2 2
p
p
p pR h a a a
(3.157)
100
Từ phương trình (3.143) tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinf f
2 3 4
0
33 3
0
3
0
2 3 3
0
33 4
0
3 3
0
cos sin cos cos cos2
sin cos cos8
1 3cos ,
2 8
sin sin cos sin cos sin2
sin sin8
1 3sin ,
4 64
f a a ka
h a R
a ka R
f a a ka
h a R
a h a R
(3.158)
Thay phương trình (3.158) vào phương trình (3.155) và sau khi tính toán ta
tìm được các phương trình của xấp xỉ thứ nhất
2 3
12 2
2 2 4 3
22 2
3 1cos2 sin 2
8 4 2
1 3sin 2 cos2
4 4 22
da ack h a ac R
dt
d ac aca k h a R
dt a
(3.159)
Trong đó
1 0 0
2 0 0
2cos sin
2cos sin
R R R
R R R
(3.160)
Từ phương trình (3.157) ta tính toán các giá trị trung bình 0 cosR và
0 sinR
22 2
0 2
2
cos sign sin sin cos4 2
cos cos sin sin cos2 2 2
1cos ,
2 2 2
p
p
p
p
R h a a
p pa
pa
(3.161)
101
22 3
0 2
2
2 2
2
sin sign sin sin4 2
cos cos sin sin sin2 2 2
1 1sin ,
3 2 2 2
p
p
p
p
R h a a
p pa
ph a a
(3.162)
Thế phương trình (3.161) và (3.162) vào phương trình (3.160)
2 2
1 2
2
2
1 2
2
1 2 1 1cos sin
2 2 2 3 2 2 2
1 4cos sin
2 2 3 2 2
1 4cos sin ,
2 2 2 3
p p
p p
pp p
p
p
p
p pR a h a a
p pa h a a
p pa h a
(3.163)
2 2
2 2
2 2
2
1 2 2
2
2 1 1 1cos sin
2 2 2 3 2 2 2
4 1cos sin
2 2 3 2 2
1 4cos sin ,
2 2 2 3
p p
p p
p p
p p
p
p
p pR a h a a
p pa h a a
p pa h a
(3.164)
Khi đó phương trình (3.159) có dạng
2 3
2 2
1 2
2
2 2 4 3
2 2
1 2 2
2
3 1cos2 sin 2
8 4 2
1 4cos sin
2 2 2 3
1 3sin 2
4 42
1 4cos2 cos sin
2 2 2 2 3
p
p
p
p
da ack h a ac
dt
p pa h a
d aca k h a
dt a
ac p pa h a
(3.165)
Như vậy trong xấp xỉ thứ nhất ta có nghiệm riêng của phương trình (3.130)
dưới dạng
cos2
x a t
(3.166)
Với ,a là nghiệm của các phương trình (3.165).
102
3.2.2.2. Đường cong biên độ tần số
Nghiệm dừng của hệ (3.159) được xác định từ những phương trình sau
2 3
0 0 0 0 0 1
2 2 4 3
0 0 0 0 0 0 2
3sin 2 cos2
2 4 8
1 3cos2 sin 2
2 4 4
c ca a k h a R
c ca a a k h a R
(3.167)
Triệt tiêu pha 0 ở hệ (3.167) trên ta được phương trình của biên độ 0a
0W , 0a (3.168)
Trong đó
22
2
0 0 1 22 2
0
22
2 2 2
0 2 12 2
0
3 2 2W ,
4
3 12 0
4 4
a ka R Ra
cha R R
a
(3.169)
Thay 1 2,R R từ phương trình (3.163) và (3.164) vào phương trình (3.169)
21 1
0 02 2
0
2
2 2 2 2 1
0 0 02 2
0
1
0
2 1 1cos sin cos sin
2 2 2 2 2 2
3 3 1 12 cos sin
4 4 2 2 2
12 cos sin
2 2 2
p p
p p
p
p
p
p
p p p pa a
a
p pka ha a
a
p pa
22
2 0
80
3 4
ch a
2 2 2
2 2 2 2 1
0 0 2 0
3 3 8cos sin 0
4 2 4 2 3 4
p p
p p
p p cka ha h a
(3.170)
2 2 6 2 4 5 3 2 2
0 2 0
2 4 2 3 4 2 2
2 0
3 1 2 2 2 2 2 2 2
2 0
2 2 2
81 576 216 216 cos2
216 216 sin 10242
768 sin 144 1442
288 cos sin 36 02 2
p
p
p
p
p p
p p
p
p
pk h a h h a k k
ph h h a
ph a
p pc
(3.171)
103
3.2.2.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng
Xét tính ổn định của nghiệm dừng 0 0a của hệ phương trình (3.159). Thay
0 0,a a a vào hệ phương trình (3.159) với 0 0,a là nghiệm của hệ
phương trình (3.167), ta có các phương trình biến phân sau
2 2 10 02 2
0
2 2 4 3
0 0 2
3
4
2 32
2
d a Rk h a a a
dt a
a k h a R
(3.172)
4 202 2
0
2 2
0 1
0
3
22
3 2
4
d Rk h a a
dt a
k h a Ra
(3.173)
Phương trình đặc trưng của hệ
2 0Z S (3.174)
Trong đó
2 2
0 0 12 2
0
3 1,
2Z k h a a R
a
(3.175)
2
0
2 2 20
W,
4
aS
a
(3.176)
Với W có dạng phương trình (3.168).
Do đó, điều kiện ổn định của nghiệm dừng là
2 3
0 0 13 2 0,k h a a R (3.177)
0
W0
a
(3.178)
Từ các phương trình (3.163), (3.164), (3.177) và (3.178) ta có điều kiện ổn
định của hệ
2 3 1 2
0 0 2
83 2 cos sin 0
2 2
p
p
p pk h a a h a
(3.179)
104
2
0 0
2 2 2 1 2
0 2 0 0 2
33 cos
4 2
3 8 3 82 sin 0
4 2 3 2 3
p
p
p
p
pka ka
pha h a ha h
(3.180)
3.2.2.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số
Ta chọn bộ tham số sau để nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm
cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số
21, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001, 0.05,2
p p k h h c
Khi đó, phương trình vi phân dao động của hệ có dạng
3 3 2 1/21 0.1 0.01 0.001 sign 0.01 0.05 cos 0x x x x x x x x D x x t
(3.181)
Sử dụng phương trình đường cong biên độ tần số (3.171), ta có được các
đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.23 – 3.29. Trong đó,
đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, đường nét đứt biểu diễn các nghiệm
không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương
trình (3.179) và (3.180) không thoả mãn.
Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
105
Hình 3.24. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
Hình 3.25. Đường cong biên độ tần số khi 2
h thay đổi
Khi hệ số p thay đổi, cấp phân số 0.5p , các đường cong biên độ tần số
được biểu diễn trên hình 3.23. Nếu hệ số 0.01p và thay đổi cấp phân số p, ta đạt
được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.24. Ta nhận thấy khi cấp phân số p
tăng thì biên độ dao động giảm, khi hệ số của đạo hàm cấp phân số p tăng thì biên
độ dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi.
106
Hình 3.25 chỉ ra các đường cong biên độ tần số với các giá trị khác nhau của
hệ số ma sát h2 và 0.01, 0.5p p . Từ đồ thị trên, cũng có thể thấy được ảnh
hưởng quan trọng của hệ số ma sát đối với đường cong biên độ tần số. Khi hệ số ma
sát h2 tăng thì biên độ dao động giảm.
Khi p = 0; p = 0.5; h2 = 0.01, từ phương trình (3.170) và (3.131) cùng với
bộ tham số đã chọn ở trên, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng
2 2 22 2 2 2
0 0 0
0.3 0.03 0.08 0.051 1 0
4 4 3 4a a a
(3.182)
Khi p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.01, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng
2 2 22 2 2 2
0 0 0
0.3 0.03 0.08 0.051 0.005 2 1 0.005 2 0
4 4 3 4a a a
(3.183)
Đặt 2 2
1 0.005 2 , phương trình (3.183) có dạng phương trình (3.182). Do đó,
nếu tịnh tiến đường cong biên độ tần số khi p = 0 sang phải một đoạn bằng
0.005 2 ta sẽ được đồ thị đường cong biên độ tần số khi p = 0.01. Ta có thể nhận
thấy trên hình 3.26 và hình 3.27.
Hình 3.26. Đường cong biên độ tần số khi 20; 0.5; 0.01p p h
107
Hình 3.27. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.01p p h
Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.1p p h
Với mỗi một giá trị của , ta có một phương trình vi phân dao động tương
ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó,
xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương
ứng với từng giá trị của . Trên hình 3.29, những chấm tròn là những nghiệm tìm
được thông qua phương pháp số. Sự phù hợp tốt giữa các kết quả giải tích và kết
quả số có thể rõ ràng nhận thấy được.
108
Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số MPS khi 20.01; 0.5; 0.005p p h
3.3. Kết luận chương 3
Nhiều hệ động lực được mô tả bởi các phương trình vi phân gồm những số
hạng tuyến tính với hệ số hằng và những số hạng phi tuyến tương đối nhỏ so với số
hạng tuyến tính. Chương 3 áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng
hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số được mô tả bởi các
phương trình vi phân có dạng như trên. Ưu điểm của phương pháp là tính đơn giản,
đặc biệt trong việc tính toán các xấp xỉ bậc cao và khả năng ứng dụng vào một lớp
lớn các bài toán phi tuyến yếu.
Sử dụng các phương trình biên độ tần số, các đường cong biên độ tần số
được vẽ thông qua phần mềm Matlab, trong đó những đường nét liền là nghiệm ổn
định, đường nét đứt là nghiệm không ổn định và miền gạch là những miền không ổn
định. Những chấm tròn ký hiệu nghiệm được mô phỏng số. Ta có thể thấy rằng có
sự phù hợp giữa nghiệm số và nghiệm giải tích. Đường cong biên độ tần số chỉ ra
những ảnh hưởng quan trọng của đạo hàm cấp phân số đối với các hệ động lực được
xem xét.
Ảnh hưởng của các hệ số và cấp của đạo hàm cấp phân số đối với nghiệm
cũng được minh hoạ thông qua các đường cong biên độ tần số. Do đó, hệ có thể
được tối ưu hoá thông qua việc chọn các tham số cấp phân số phù hợp.
109
KẾT LUẬN CHUNG
VÀ NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
1. Kết luận chung
Tích phân và đạo hàm cấp phân số là một lĩnh vực của toán học đang được
quan tâm nghiên cứu. Về phương diện cơ học, một số mô hình vật liệu mới mà quan
hệ ứng suất biến dạng được mô tả bằng đạo hàm cấp phân số và một số quy luật
cản, bằng thực nghiệm, thấy cần phải mô tả bằng tích phân và đạo hàm cấp phân số.
Do đó việc nghiên cứu dao động của các cơ hệ có đạo hàm cấp phân số là cần thiết
và có ý nghĩa thực tế. Trong luận án này áp dụng khái niệm đạo hàm và tích phân
cấp phân số nghiên cứu dao động của một số cơ hệ cấp ba có phần tử cấp phân số.
Các phương pháp sử dụng trong luận án là phương pháp số và phương pháp tiệm
cận.
2. Những đóng góp mới của luận án
Một số kết quả mới đã đạt được như sau:
1. Dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và định nghĩa đạo
hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville, một thuật toán số tính toán
đáp ứng động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số đã được
phát triển.
2. Áp dụng phương pháp Runge – Kutta và định nghĩa đạo hàm cấp phân số
theo Riemann – Liouville đã xây dựng một thuật toán tìm đáp ứng của hệ
động lực cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Phương pháp này có ưu
điểm trong việc tính toán và lập trình trên phần mềm Matlab.
3. Áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng của một
số hệ phi tuyến yếu cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số: hệ Duffing, hệ
van der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động. Nội dung mỗi
phần: thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận, đường cong
biên độ - tần số, khảo sát ổn định của dao động dừng, đồ thị đường cong
biên độ - tần số.
110
4. Những kết quả số mô phỏng số dao động hệ phi tuyến yếu cấp ba đã cho
biết ảnh hưởng của những tham số trong đạo hàm cấp phân số đối với
tính ổn định, đường cong biên độ tần số của hệ. Một vài thí dụ:
• Đạo hàm cấp phân số p tăng: biên độ dao động giảm.
• Hệ số p của đạo hàm cấp phân số tăng: biên độ dao động giảm trong
trường hợp hệ Duffing; trong trường hợp hệ van der Pol, hệ có ma sát
Coulomb và hệ có ma sát động, biên độ dao động không giảm nhưng
pha dao động thay đổi.
• Qua sự phân tích ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối
với tính ổn định, có thể thấy rằng: khi tần số lực kích động càng lớn
và các tham số đạo hàm cấp phân số càng nhỏ thì tính ổn định của
nghiệm dừng càng tốt. Kết quả này đóng một vai trò quan trọng trong
việc điều khiển và tối ưu hoá các hệ động lực.
3. Một số vấn đề có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu
- Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận tính toán
dao động của các hệ kỹ thuật có sử dụng các vật liệu mới như silicon, cao su tổng
hợp.
- Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận nghiên cứu
dao động đàn hồi có cản cấp phân số.
111
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
1. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Resonance
oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order
derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,
Vol.11, Issue 4, pp. 0410301-0410305.
2. Nguyen Van Khang, Tran Dinh Son, Bui Thi Thuy (2012), “Numerical
calculating linear vibrations of third order systems involving fractional
operators”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 34, No. 2, pp. 91 –
99.
3. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Calculating
resonance oscillation of third order Duffing system with fractional order
derivative using the asymptotic method”, Journal of Science & Technology,
No.112 (2016), pp. 65 – 69.
4. Bui Thi Thuy, Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Nonlinear
oscillations in third order autonomous Duffing system involving fractional
order derivatives”, Proceedings of the 4th International Conference on
Engineering Mechanics and Automation – ICEMA4, Hanoi 25-26/08/2016,
pp. 165 -171.
5. Bùi Thị Thuý (2015), “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp
ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”, Tuyển tập Hội
nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 03-05/08/2015, tr. 247 – 254.
112
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
1. Trương Quốc Chiến (2015), Dao động phi tuyến của hệ Duffing có chứa đạo
hàm cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội.
2. Nguyễn Văn Khang (2009), “Bài giảng Động lực học hệ có đạo hàm cấp
phân số”, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.
3. Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật”, NXB Khoa học kỹ thuật,
Hà Nội.
4. Dương Văn Lạc (2014), Tính toán dao động của móng máy trên nền đàn
nhớt cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội.
5. Dương Văn Lạc (2016), Phát triển phương pháp Runge – Kutta – Nystrӧm
tính toán dao động của cơ hệ có phần tử đàn nhớt cấp phân số, Luận văn
thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
6. Bùi Thị Thuý (2010), Góp phần nghiên cứu dao động phi tuyến của cơ hệ có
đạo hàm cấp phân số, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học
tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tài liệu tiếng Anh
7. Atanackovic, T. M., Spasis, D. T. (2004), “On Viscoelastic Compliant
Contact-Impact Models”, ASME J. Appl. Mech., Vol.71, pp. 134-138.
8. Bagley, R.L and Torvik, P.J. (1983a), “A theoretical Basis for the application
of fractional calculus to viscoelasticity”, J. of Rheology, Vol. 27, pp. 201-
210.
9. Bagley, R.L and Torvik, P.J (1983b), “Fractional Calculus – A different
approach to the analysis of viscoelastically damped structures”, AIAA J., Vol.
21, No. 5, pp. 741 – 748.
10. Baker, W.P., Eldred, L.B, and Palazotto, A.N. (1996), “Viscoelastic material
response with a fractional derivative constitutive model”, AIAA J., Vol. 34,
No. 3, pp. 596 – 600.
113
11. Baleanu, D., et al.(eds) (2012), Fractional Dynamics and Control, Springer,
New York.
12. Caputo, M. (1966), “Linear models of dissipation whose Q is almost
frequency independent”, Annali Geofis., Vol. 19, pp. 383 – 393.
13. Caputo, M. (2008), “Linear models of dissipation whose Q is almost
frequency independent – II”, Geophys. J. Roy. Astron. Soc., Vol. 13, pp.
529–539 (1967); reprinted in Fract. Calc. Appl. Anal., Vol. 11, pp. 4–14.
14. Caputo, M. (1976), “Vibrations of an infinite plate with a frequency
independent Q”, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 60, No. 3, pp. 634 – 639.
15. Caputo, M.Mainardi, F. (2007), “A new dissipation model based on memory
mechanism”, Pure Appl. Geophys., 91, pp. 134–147 (1971); reprinted in
Fract. Calc. Appl. Anal. , Vol. 10, pp. 310–323 (2007).
16. Caputo, M., Mainardi, F. (1971), “Linear models of dissipation in anelastic
solids”, Rivista del Nuovo Cimento, Vol. 1, pp. 161–198.
17. Chern, J.-T. (1993), Finite element modeling of viscoelastic materials on the
theory of fractional calculus, Ph.D. thesis, Pennsylvania State University.
18. Nguyen Van Dao (1979), Nonlinear oscillations of higher order systems,
NCSR Vietnam, Hanoi.
19. Nguyen Van Dao (1998), Stability of dynamic systems with examples and
solved problems, VNU Publishing House, Hanoi.
20. Diethelm, K. (1997), “An Algorithm for the Numerical Solution of
Differential Equations of Fractional Order”, IMA J. Numer. Anal., Vol.5, pp.
1-6.
21. Diethelm, K. (2003), Fractional Differential Equations, Vorlesungsskript
der TU Braunschweig.
22. Diethelm, K., Freed, A.D. (1999), “On the solution of nonlinear fractional
differential equations used in the modeling of viscoplasticity”, In: Keil, F.,
Mackens, W., Voß, H., Werther, J. (eds.) Scientific Computing in Chemical
Engineering II: Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering, and
Molecular Properties, pp. 217–224. Springer, Heidelberg.
23. Diethelm, K., Freed, A.D. (1999), “The FracPECE subroutine for the
numerical solution of differential equations of fractional order”, In: Heinzel,
114
S., Plesser, T. (eds.) Forschung und wissenschaftliches Rechnen: Beitrӓge
zum Heinz-Billing-Preis 1998, pp. 57–71. Gesellschaftfür wissenschaftliche
Datenverarbeitung, Gӧttingen.
24. Freed, A.D., Diethelm, K., Luchko, Y. (2002), Fractional-order
viscoelasticity (FOV): constitutive development using the fractional calculus
(first annual report). Technical Memorandum 2002-211914, NASA Glenn
Research Center, Cleveland.
25. Diethelm, K., Ford, N. J. (2003), “Numerical solution of Bagley Torvik
equation, Departments of Mathematics”, Manchester Centre for
Computational Mathematics, Numerical Analysis Reports, No. 378.
26. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2003), “Initial Condition Problems of
Fractional Viscoelastic Equations”, Proceedings of the 2003 ASME Design
Engineering Technical Conferences, September 2-6, 2003, Chicago Illinois,
VSA.
27. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2004), “Role of Prehistories in the Initial Value
Problems of Fractional Viscoelastic Equations”, International Journal of
Nonlinear Dynamics, Vol.38, No.1-2, pp. 207-220.
28. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2009), “Analysis of Impulse Response of Gel
by Nonlinear Fractional Derivative Models”, Proceedings of the ASME 2009
International Design Engineering Technical Conferences, September 2,
2009, San Diego, California USA.
29. Fukunaga, M., Shimizu, N., Nasuno, H. (2009), “A nonlinear fractional
derivative model of impulse motion for viscoelastic materials”, Physica
Scripta T136 (2009) 014010 (6pp).
30. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2011), “Nonlinear fractional derivative models
of viscoelastic impact dynamics based on Entropy elasticity and generalized
Maxwell Law”, Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 6,
021005 (6pp).
31. Gaul, L., Klein, P., Kempfle, S. (1991), “Damping description involving
fractional operators”, Mech. Syst. Signal Process., Vol. 5, pp.81–88.
115
32. Gaul, L. and Chen, C.M. (1993), “Modeling of viscoelastic elastomer mounts
in multibody systems”, Advanced multibody system dynamics, pp. 257 –
276.
33. Gemant, A. (1936), “A method of analyzing experimental results obtained
from elasto-viscous bodies”, Physics (New York), Vol. 7, pp. 311 – 317.
34. Gemant, A. (1938), “On fractional differentials”, The London Edinburgh and
Dublin Philosophical Magazine, Ser. 25, pp. 540 – 549.
35. Gil-Negrete N., Vinolas J., Kari L. (2009), “A Nonlinear Rubber Material
Model Combing Fractional Order Viscoelasticity and Amplitude Dependent
Effects”, ASME J. Appl. Mech, Vol.76, pp. 110091-110099.
36. Gorenflo, R. and Abdel-Rehim E. (2004), “From power laws to fractional
diffusion: the direct way”, Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 32, SI pp.
65-75.
37. Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. (1980), Tables of Integrals, Series and
Products, Academic Press, New York.
38. Ingman, D., Suzdalnitsky, J. (2008), “Response of viscoelastic plate to
impact”, Journal of Vibration and Acoustics, 130: 011010,
39. Ingman, D., Suzdalnitsky, J., Zeifman, M. (2000), “Constitutive dynamic-
order model for nonlinear contact phenomena”, ASME J. Applied Mechanics,
Vol. 67, pp. 383-390.
40. Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Subharmonic resonance of
Duffing oscillator with fractional-order derivative”, ASME Journal of
Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 11, pp. 051018.
41. Koeller, R.C. (1984), “Applications of fractional calculus and theory of
viscoelasticity”, Transactions of the ASME, J. of Applied Mechanics, Vol.
51, pp. 299 – 307.
42. Lavoie, J. L., Osler, T. J. and Tremblay, R. (1976), Fractional derivatives and
special functions, SIAM Rev., Vol. 18, 240-268.
43. Lee, E.H., Rodgers, T.G. (1963), “Solution of viscoelastic stress analysis
problems using measured crepp or relaxation functions”, ASME J. Applied
Mechanics, Vol. 30, pp. 127-133.
116
44. Leibniz, G. W. (1962), Mathematische Schiften, Georg Ohns Verlagsbuch-
handlung, Hildesheim.
45. Li, W.Q. and Tsai, C.S. (1994), “Seismic mitigation of structures by using
viscoelastic dampers”, Nuclear engineering and design, Vol. 147, pp. 263 –
274.
46. Miller, K.S. and Ross, B. (1993), An introducation to the Fractional
Calculus and Fractional Diffenential Equations, John Wiley & Sons Inc.,
New York.
47. Mitropolskii, Yu.A and Nguyen Van Dao (1997), Applied Asymptotic
Methods in Nonlinear Oscillations, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht.
48. Nasuno, H., Shimizu, N. and Fukunaga, M. (2007), “Fractional derivative
consideration on nonlinear viscoelastic body”. In J. Sabatier, O. P. Agrawal
and J. A. T. Machado, editors, Advances in Fractional Calculus, Theoretical
Development and Applications in Physics and Engineering, pp. 363-376.
Springer, Dordrecht.
49. Nutting P. G. (1921a), “A New General Law of Deformation”, J. of the
Frankin Inst, Vol. 191, pp. 679-685.
50. Nutting P. G. (1921b), “A Study of Elastic Viscous Deformation
Proceedings American Soc. for a Testing Materials”, J. of the Frankin Inst,
Vol. 21, pp. 1162-1171.
51. Nutting P. G. (1943), “A General Stress-Strain-Time Formula”, J. of the
Frankin Inst, Vol. 235, pp. 513-524.
52. Nutting P. G. (1946), “Deformation in Relation to Time, Pressure and
Temperature”, J. of the Frankin Inst, pp. 449-458.
53. Oldham, K.B., Spanier, J. (1974), The Fractional Calculus, Academic, New
York.
54. Papoulia, K. D. and Kelly, J.M. (1997), “Visco-Hyperelastic Model for
Filled Rubbers Used in Vibration Isolation”, Transactions of the ASME, J. of
Applied Mechanics, Vol. 119, pp. 292 – 297.
55. Podlubny, I. (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press, San
Diego.
117
56. Podlubny, I. (2002), “Geometric and physical interpretation of fractional
integration and fractional differentiation”, Fract. Calc. Appl. Anal, Vol. 5,
pp. 367–386.
57. Ross B. (1975), A brief history and exposition of the fundamental theory of
the fractional calculus, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 457, Springer-
Verlag, New York, pp. 1-36.
58. Rossikhin Yu. A. and Shitikova M. V. (1997a), “Applications of fractional
calculus to dynamic problems of linear and nolinear hereditary mechanics of
solids”, Appl. Mech. Rev., Vol. 50, No. 1, January 1997, pp. 15-67.
59. Sackman, J.L. and Kelly, J.M. (1991), Constitutive Modeling of Nonlinear
Damping Materials, Proc. of Damping ’91, Vol. 1, pp. 13 -15, San Diego
Ca., pp. EBC-1-EBC-28.
60. Sakakibara S. (1997), “Properties of Vibration with Fractional Derivative
Damping of Order 1/2”, International Journal of JSME, Series C, Vol. 40,
pp. 393-399.
61. Scott Blair, G.W. and Caffyn, J.E. (1949), “An application of the Theory of
Quasi-Properties to the Treatment of Anomalous Stress-Strain Relations”,
Philos, May, Ser. 40, pp. 80-94.
62. Shaw, S., Warby, M.K., Whiteman, J.R. (1997): A comparison of hereditary
integral and internal variable approaches to numerical linear solid
elasticity, In: Proceedings of the XIII Polish Conference on Computer
Methods in Mechanics, Poznan.
63. Shimizu, N., Zhang, W. (1999), “Fractional Calculus Approach to Dynamic
Problems of Viscoelastic Materials”, International Journal of JSME, Series
C, Vol. 42, No. 4, pp. 825-837.
64. Shimizu, N., Nasuno, H. (2007), “Modeling and Analysis of Nonlinear
Viscoelastic Systems by means of Fractional Calculus – Numerical
Integration Algorithms”, International Conference on Material Theory and
Nonlinear Dynamics, Hanoi.
65. Suarez, L. E., Shokooh, A. (1995), “Response of Systems with Damping
Materials Modeled using Fractional Calculus”, ASME J. Appl. Mech, Vol.
48, No. 11, pp. 1-9.
118
66. Suarez, L. E., Shokooh, A. (1997), “An Eigenvector Expansion Method for
the Solution of Motion Containing Fractional Derivatives”, ASME J. Appl.
Mech, Vol. 64, pp. 629-635.
67. Sugimoto, N., Yamane, Y. and Kakutani, T. (1984a), “Torsional Shock
Waves in a Viscoelastic Rod”, Trans. Of the ASME, Ser. E., J. of Applied
Mechanics, Vol. 51, pp. 595 – 601.
68. Sugimoto, N., Yamane, Y. and Kakutani, T. (1984b), “Oscillatory Structured
Shock Waves in a Nonlinear Elastic Rod with Weak Viscoelasticity”, Trans.
Of the ASME, Ser. E., J. of Applied Mechanics, Vol. 51, pp. 766 – 772.
69. Sugimoto, N. and Kakutani, T. (1985), “Generalized Burgers’ Equation for
Nonlinear Viscoelastic Waves”, Wave Motion, Vol. 7, pp. 447 – 458.
70. Sugimoto, N. (1991), “Burgers Equation with a Fractional Derivative:
Hereditary Effects on Nonlinear Acoustic Waves”, J. of Fluid Mechanics,
Vol. 225, No. 4, pp. 631 – 653.
71. Torvik, P.J., Bagley, R.L. (1984), “On the appearance of the fractional
derivative in the behavior of real materials”, J. Appl. Mech., Vol. 51, pp.
294–298.
72. Tsai, C.S. and Lee, H.H. (1993), “Applications of Viscoelastic Dampers to
High-Rise Buildings”, Journal of Structural Engineering, Vol. 119, No. 4,
pp. 1222-1233.
73. Tseng C-C, Pei S-C, Hsia S-C (2000), “Computation of fractional derivatives
using Fourier transform and digital FIR differentiator”, Signal Processing,
80:151-159.
74. Zhang W., Shimizu N. (1998a), “Numerical Algorithm for Dynamic
Problems Involving Fractional Operator”, International Journal of JSME,
Series C, Vol. 41, No. 3, pp.364-370.
75. Zhang W., Shimizu N. (1998b), “Damping of the Viscoelastic Materials
Based on Silicone Gel”, Proceedings of D & D ’98 in Hokkaido, Japan, Vol.
A, pp.52-55.
76. Zhang W., Shimizu N. (1999a), “Damping Properties of the Viscoelastic
Materials Described by Fractional Kelvin – Voigt Model”, International
Journal of JSME, Series C, Vol. 42, No. 1, pp.1-9.