dao ĐỘng vÀ chẨn ĐoÁn vẾt n t trong dẦm...
TRANSCRIPT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Vũ Thị An Ninh
DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG
DẦM BẬC
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Trần Thanh Hải
Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Văn Khang
Phản biện 2: GS.TS. Nguyễn Mạnh Yên
Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Đăng Tộ
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng
… năm 201….
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của luận án
Vết nứt là một dạng hư hỏng (damage) thường gặp trong
kết cấu công trình, có thể phát triển gây nên những tai nạn nếu
không phát hiện kịp thời (khi còn nhỏ). Tuy nhiên, vết nứt là
một dạng khuyết tật nói chung rất khó phát hiện, đặc biệt là khi
chúng xuất hiện ở những vị trí khuất không thể tiếp cận được.
Do đó, vết nứt thường được phát hiện gián tiếp thông qua các
đặc trưng tổng thể của kết cấu như các tần số và dạng dao động
riêng. Để chẩn đoán vị trí cũng như độ sâu vết nứt thông qua
các đặc trưng động lực học, việc phân tích sự thay đổi của các
đặc trưng này khi xuất hiện vết nứt là vô cùng quan trọng. Nó
không chỉ cung cấp cho chúng ta các dấu hiệu về sự xuất hiện
các vết nứt mà còn tạo ra các công cụ toán học để xác định vị
trí, kích thước và thậm chí là mức độ nguy hiểm đến công trình.
Trong thực tế kỹ thuật, dạng kết cấu công trình thường gặp hơn
cả là kết cấu dạng khung, giàn với các phần tử cơ bản là thanh,
dầm. Ngoài ra, các phần tử thanh dầm này còn được sử dụng
nhiều trong ngành chế tạo máy như các trục quay hay tay máy,
… Chính vì vậy, bài toán dao động của kết cấu dạng thanh, dầm
được nghiên cứu rất nhiều. Tuy nhiên, dao động của dầm với
tiết diện thay đổi và có vết nứt vẫn là một bài toán khó. Dạng
kết cấu thanh, dầm có tiết diện thay đổi đơn giản nhất là dầm có
tiết diện ngang không đổi từng đoạn, được gọi là dầm bậc
(stepped beam). Hơn nữa, dầm bậc còn là một xấp xỉ gần đúng
của dầm có tiết diện thay đổi bất kỳ. Chính vì vậy, việc nghiên
2
cứu dao động của dầm bậc, đặc biệt là dầm bậc có vết nứt là
một vấn đề thời sự.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Mục tiêu của luận án này là phân tích sự thay đổi tần số
riêng của dầm bậc do vết nứt và xây dựng một thuật toán để
chẩn đoán vết nứt trong dầm bậc bằng cách đo đạc các tần số
riêng.
3. Các nội dung nghiên cứu chính của luận án
(1) Phát triển tiếp phương pháp ma trận truyền (TMM) để
phân tích dao động của dầm bậc Euler – Bernoulli, Timosheko
và FGM có số lượng vết nứt bất kỳ.
(2) Mở rộng công thức Rayleigh để tính toán tần số riêng
của dầm bậc có nhiều vết nứt.
(3) Sử dụng công thức Rayleigh mở rộng này để thiết lập
một hệ phương trình chẩn đoán vết nứt từ tần số riêng.
(4) Nghiên cứu đo đạc thực nghiệm trên mô hình dầm đa
bậc chứa nhiều vết nứt trong Phòng thí nghiệm.
Luận án gồm Mở đầu, 4 Chương và Kết luận, trong đó
Chương 1 trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu đã biết;
Chương 2 phát triển phương pháp ma trận truyền; Chương 3 –
phương pháp Rayleigh và Chương 4 nghiên cứu thực nghiệm.
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ CÁC MÔ HÌNH,
PHƢƠNG PHÁP VÀ CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
ĐÃ CÔNG BỐ
1.1. Mô hình dầm đàn hồi có vết nứt
1.1.1. Về mô hình dầm
3
Xét một dầm phẳng đồng chất, trường chuyển vị của điểm
trong mặt cắt tại x là chuyển vị dọc trục x: ( , , )u x z t và chuyển
vị ngang do uốn (độ võng) ( , , )w x z t . Dựa trên các giả thiết
khác nhau về trạng thái ứng suất biến dạng, người ta có thể đưa
ra các mối quan hệ sau đây:
0 0 0( , , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ); ( , , ) ( , ),u x z t u x t zw x t z x t w x z t w x t
trong đó u0(x, t), w0(x, t) là chuyển vị dọc và ngang của điểm
thuộc mặt trung hoà, (x,t) là góc trượt do uốn, z là chiều cao
của điểm đang xét so với mặt trung hoà. Hàm số (z), mô tả
phân bố biến dạng trượt do uốn theo chiều cao, được chọn như
sau:
(a) ( ) 0z - dầm Euler-Bernoulli thông thường (Lý thuyết
dầm cổ điển).
(b) ( )z z - dầm Timoshenko hay lý thuyết dầm biến dạng
trượt bậc nhất.
(c) 2 2( ) 1 4 / 3z z z h - dầm biến dạng trượt dạng parabol
(bậc 2).
(d) 2{ 2( / ) }( ) e z hz z - lý thuyết dầm biến dạng trượt dạng e-mũ.
Một trong các loại composite hiện đại là vật liệu cơ tính
biến thiên liên tục được viết tắt là FGM (Functionally Graded
Material). Đặc trưng cơ bản của vật liệu FGM là các tham số
vật liệu như mô đun đàn hồi (E), mô đun trượt (G) hay mật độ
khối lượng () không phải là hằng số mà phụ thuộc vào tọa độ
trong vật liệu. Ví dụ dầm FGM có các đặc trưng vật liệu biến
đổi liên tục theo chiều dầy hoặc chiều dài của dầm. Cụ thể, nếu
các đặc trưng được ký hiệu thông qua ( )z (phụ thuộc vào tọa
độ z) thì mô hình vật liệu FGM được mô tả bằng phương trình
4
( ) ( ) ( )b t bz g z
trong đó ,b t là các đặc trưng vật liệu (E, , G) tại mặt đáy và
mặt trên cùng của dầm và hàm g(z) có thể là các hàm dạng:
a) P-FGM: ( ) ( 2) /n
g z z h h - quy luật hàm số lũy thừa.
b) E-FGM: (1 2 / )( ) , 0.5ln( / )z h
t t bE z E e E E - quy luật hàm
số mũ.
c) S-FGM: 1( ) 1 0.5 1 2 /n
g z z h , 0 / 2z h .
d) 2 ( ) 1 2 / / 2n
g z z h , / 2 0h z - quy luật hàm Sigmoid.
Trong luận án sẽ sử dụng mô hình dầm biến dạng trượt bậc
nhất và FGM.
1.1.2. Mô hình vết nứt trong dầm đồng chất
Hình 1.2. Mô hình vết nứt cạnh.
Xét một dầm đồng chất có vết nứt ngang tại mặt cắt e và độ
sâu a được mô tả trong hình vẽ 1.2. Chondros, Dimagrogonas
và Yao đã chứng minh được rằng vết nứt cạnh luôn mở như trên
có thể mô tả bằng một lò xo xoắn tương đương có độ cứng được
tính bằng
trong đó EI là độ cứng chống uốn, h là chiều cao của dầm và
hàm
M a
e
' M e -
' e
2.
6 (1 ) ( / )c
c
EI
hI a hK
2 2 3 4
5 6 7 8
( ) (0.6272 0.17248 5.92134 10.7054 31.5685
67.47 139.123 146.682 92.3552 ),
cI z z z z z z
z z z z
5
Khi đó, điều kiện tương thích tại mặt cắt chứa vết nứt đối
với chuyển vị sẽ có dạng
Đối với dầm Timoshenko, thì điều kiện tương thích tại vết
nứt là
( 0, ) ( 0, );w e t w e t ( 0, ) ( 0, ) ( , );x x xe t e t e t
( 0, ) ( 0, ) ( )c xe t e t e ; w ( 0, ) w ( 0, ) ( , )x x c xe t e t e t .
1.1.3. Mô hình vết nứt trong dầm FGM
Đối với dầm FGM, vết nứt cũng có thể được mô tả bằng
một lò xo xoắn tương tương đương với độ cứng được tính bằng
các công thức phức tạp sau đây
1.2. Mô hình dao động của dầm có vết nứt
1.2.1. Dầm đồng chất
Xét một dầm Euler-Bernoulli có n vết nứt tại các vị trí
1 20 ... ne e e L có độ sâu tương ứng , 1,2,..., .ja j n
2 2/
20
72 (1 ) ( )1/ ; ,
( )
a h FK C C d
h E h
2 3 4
5 6 7
2 1
( ) 1.910 2.752 4.782 146.776 770.75
1947.83 2409.17 1177.98 , / 0.2;
F
E E
2 3 4
5 6 7
2 1
( ) 1.150 1.662 21.667 192.451 909.375
2124.31 2395.83 1031.75 , / 1.0;
F
E E
2 3 4
5 6 7
2 1
( ) 0.650 0.859 12.511 72.627 267.91
535.236 545.139 211.706 , / 5.0.
F
E E
2
20 0
2 2 3 3
2 2 3 3
w( , ) w( , ) ( ) w( , )
w( 0, ) w( 0, ),
w( 0, ) w( 0, ) w( 0, ) w( 0, ), .
c
x e x e c
x t x t M e x t
x x K x
e t e t
e t e t e t e t
x x x x
6
Dao động riêng của dầm nêu trên được mô tả bằng phương
trình
4 4 4 4 2( ) / ( ) 0, / ,d x dx x F EI
dễ dàng nhận thấy nghiệm của phương trình trên trong đoạn
dầm giữa hai vết nứt cạnh nhau 1( , )j je e
có dạng
1( ) cosh sinh cos sin , ( , ),j j j j j j jx A x B x C x D x x e e
sử dụng điều kiện tương thích tại các vết nứt
1 1 1( ) ( ), ( ) ( , ( ) ( ),j j j j j j j j j j j je e e e e e
1( ) ( ) ( ), 1,2,..., ,j j j j j j je e e j n
ta sẽ nhận được hệ 4n phương trình đối với 4(n+1) ẩn số là các
hằng số 1 1 1 1 1 1 1 1{ , , , ,..., , , , }T
n n n nA B C D A B C D C . Do đó, cùng
với 4 điều kiện biên ta sẽ có hệ phương trình khép kín
1 1[ ( , ,..., , ,..., )]. 0n ne e D C
để tìm tần số riêng, trước hết ta giải phương trình
1 1det[ ( , ,..., , ,..., )] 0,n ne e D
cho nghiệm , 1,2,3,...k k và do đó tần số riêng được tính bằng
2 / , 1,2,3,....k k EI F k
Đối với dầm Timoshenko, phương trình dao dộng riêng có
dạng
2 W( ) (W ) 0x G ; 2 ( ) ( ) (W ) 0I x EI x GA
cùng với các điều kiện tại vết nứt
W( 0) W( 0) W( )j j je e e ; ( 0) ( 0) ( );j j je e e
( 0) ( 0) ( )j j j je e e ; ( 0) ( 0) ( )j j jW e W e e
nghiệm tổng quát của phương trình trên trong đoạn 1( , )j je e là
1 1 2 2W ( ) cosh sinh cos sin ;j j j j jx A k x B k x C k x D k x
1 1 1 1 2 2 2 2( ) sinh cosh sin cos ,j j j j jx r A k x r B k x r C k x r D k x
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2( ) / ; ( ) / ;r Gk Gk r Gk Gk
7
2 2
1 2( 4 ) / 2, ( 4 ) / 2k b c b k b c b
2(1 ); ( ); / ; / ; /b c E E G F I .
Tương tự như dầm Euler-Bernoulli, ta cũng nhận được
phương trình tần số ở dạng 1 1det ( , ,..., , ,..., ) 0.n ne e
D Giải
phương trình cuối ta được tần số riêng , 1,2,3,...k k
1.2.2. Dầm FGM
Sử dụng mô hình dầm Timoshenko FGM có các tính chất
cơ học biến đổi theo hàm lũy thừa và tính đến vị trí thực của
mặt trung hòa, chúng ta có thể nhận được phương trình dao
động của dầm FGM ở dạng
11 11 12 0I u A u I ;11 33( ) 0I w A w ;
12 22 22 33( ) 0;I u I A A w
với các hệ số 11 22 33 11 12 22, , , , ,A A A I I I tính được từ các tham số vật
liệu bao gồm , , , , , ,...b t b tE E n Ngoài ra, từ điều kiện ứng suất
trên mặt trung hòa bằng không ta tính được vị trí thực của mặt
trung hòa ở độ cao
0 [ ] / / .( 1) [2( 2)( )],e e e t bh n r h n n r r E E
Tìm nghiệm phương trình dao động của dầm FGM ở dạng
( , ) ( ) ; ( ,t)=W( ) ; ( ,t)= ( )i t i t i tu x t U x e w x x e x x e ,
ta được hệ phương trình vi phân thường
2 2
11 11 12( ) 0I U A U I ; 2
11 33( ) 0I W A W ;
2 2
22 22 12 33( ) ( ) 0,I A I U A W
cho nghiệm tổng quát 0 0( , ) ( , )x x z G C , trong đó
0,( , ) { ( , ), ( , ), ( , )}Tx U x x W x z 1 6,...,C{C }TC =
và
3 31 2 1 2
3 31 2 1 2
3 31 2 1 2
1 2 3 1 2 3
0
1 2 3 1 2 3
( , ) ;
k x k xk x k x k x k x
k x k xk x k x k x k x
k x k xk x k x k x k x
e e e e e e
x e e e e e e
e e e e e e
G
8
2 2 2 2 2
12 11 11 33 11 33/ ( ); / ( ), 1,2,3.j j j j jI I k A k A I k A j
Nếu dầm có một vết nứt tại vị trí e ta có thể tìm được
nghiệm tổng quát bài toán dao động riêng của dầm FGM ở dạng
( ) ( ). ,c cx xz Φ C 0 0( ) ( , ) ( ) ( , )c x x x e e Φ G K G .
1.2.3. Phương pháp ma trận truyền cổ điển
Xét một dầm đàn hồi Euler-Bernoulli đồng chất được tạo
thành từ các phần tử dầm có các tham số vật liệu và hình học
như sau: { , , , , }, 1,2,...,j j j j jE A I L j n , trong đó lần lượt là mô
đun đàn hồi, khối lượng riêng, diện tích tiết diện ngang, mô
men quán tính tiết diện và chiều dài của một phần tử dầm. Tất
cả các tham số này giả thiết là hằng số, khi đó nghiệm tổng quát
của bài toán dao động riêng có dạng
( ) cosh sinh cos sin , (0, ),j j j j j j j j j jx A x B x C x D x x L
với 2 1/4( ) ( / )j j j j j jA E I . Đưa vào véc tơ trạng thái
{ ( ), ( ),M ( ),Q ( )}j j j j jx x x x V , ( ) ( ); ( ) ( )j j j j j j j jM x E I x Q x E I x
ta có thể nhận được ( ) ( )j j jx xV H C với { , , , }T
j j j j jA B C DC và ( )j xH
là ma trận hàm dạng. Từ điều kiện liên tục tại các mối nối của
các phần tử dầm khác nhau 1( ) (0)j j jL V V ta sẽ có
1
1 , 1( 1) (0). ( ). ( ) . ( )j j j j jj L j j
V H H V T V
hay, 1 1, 1 21( ) . ... (1) . (1)n n n nn V T T T .V T V , trong đó T gọi là ma trận
truyền cho cả dầm. Áp điều kiện biên tại hai đầu dầm được biểu
diễn bằng các toán tử 0 1 1{ (0)} 0; { (1)} 0n B V B V , ta sẽ nhận được
phương trình ( ). (1)=0.B V Từ đó phương trình tần số sẽ có dạng
det ( ) =0. B Phương pháp ma trận truyền này rất thích hợp
cho bài toán dao động riêng của dầm bậc. Nó đã được Attar
( ) : 0; ( ) : 0;( ) ( )
0 : 0; 0 : 0;
c cx x x xx x
x x
G GK K
9
phát triển để nghiên cứu dao động riêng của dầm bậc chứa
nhiều vết nứt. Tuy nhiên phương trình tần số còn ở dạng định
thức rất phức tạp.
1.2.4. Phương pháp Rayleigh
Xét dao động uốn của một dầm đàn hồi được mô tả bằng
độ võng ( , ) ( )sinv x t x t . Khi đó thế năng đàn hồi và động
năng được tính bằng
2 2
0
(1/ 2)(sin ) ( ) ;L
xxt EI x dx 2 2 2
0
(1/ 2)(cos ) ( ) .L
T t A x dx .
Dễ dàng nhận thấy khi thế năng đạt cực đại thì động năng
đạt cực tiểu và bằng 0 và ngược lại, khi động năng đạt cực đại
thì thế năng bằng 0. Vì hệ là bảo toàn nên ta có thế năng cực đại
bằng động năng cực đại, hay 2 2 2
0 0
( ) ( )L L
xxEI x dx A x dx , từ đó
suy ra 2 2 2
0 0
( ) / ( )L L
xxEI x dx A x dx . Đây chính là công thức
Rayleigh cổ điển, nó biểu diễn mối liên hệ giữa tần số riêng và
dạng dao động riêng của dầm đàn hồi Euler-Bernoulli. Tuy
nhiên, công thức Rayleigh nêu trên không có ý nghĩa ứng dụng
để tính toán tần số riêng của dầm đàn hồi từ dạng dao động
riêng bởi vì muốn tìm được dạng dao động riêng cần phải biết
tần số riêng. Do đó Rayleigh đề xuất một phương pháp gần
đúng để tính tần số riêng của dầm đàn hồi dựa trên việc chọn
hàm dạng ( )x thỏa mãn điều kiện biên, mà hiện nay được gọi
là phương pháp Rayleigh. Việc chọn hàm dạng này càng gần
với dạng dao động riêng thì ta tính được tần số riêng càng chính
xác và người ta đã chứng minh được rằng cho dù hàm dạng
được chọn chính xác đến đâu thì tần số riêng tính được bằng
công thức Rayleigh luôn lớn hơn tần số riêng cơ bản (Nguyên
lý Rayleigh). Công thức Rayleigh đã được N.T. Khiem và T.T.
10
Hai mở rộng cho trường hợp dầm đồng chất có tiết diện không
đổi chứa nhiều vết nứt và đã ứng dụng để tính toán tần số riêng
của dầm có vết nứt và chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số
riêng.
1.3. Bài toán Chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi
Nội dung cơ bản của bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm
đàn hồi là xác định vị trí và độ sâu của các vết nứt bằng cách đo
đạc các đặc trưng dao động (có thể là dao động riêng hay dao
động cưỡng bức) của dầm. Có hai cách tiếp cận để giải bài toán
chẩn đoán vết nứt trong kết cấu: Cách thứ nhất chỉ dựa trên số
liệu đo đạc đáp ứng của kết cấu. Cách thứ hai là dựa trên mô
hình kết cấu chứa vết nứt và số liệu đo về các đặc trưng động
lực học của kết cấu. Nội dung chính của việc chẩn đoán vết nứt
dựa trên mô hình là xây dựng một mô hình kết cấu với các vết
nứt giả định sao cho các tham số đo được gần với các tham số
tính toán. Ưu điểm nổi trội của cách tiếp cận này là cho phép ta
áp dụng những kết quả hiện đại của lý thuyết nhận dạng hệ
thống cùng với các công cụ giải bài toán ngược hiện đại. Trong
luận án này, tác giả áp dụng cách tiếp cận thứ hai.
1.4. Tổng quan về dao động riêng của dầm bậc
1.4.1. Dầm đa bậc không có vết nứt
Bài toán dao động riêng của dầm bậc không có vết nứt đã
có nhiều tác giả nghiên cứu như Jang và Bert; Jaworski và
Dowell hay Cunha và cộng sự; Kukla và cộng sự; Yang, ... Kết
quả chính của các nghiên cứu này đã chỉ ra rằng tần số riêng
của kết cấu không chỉ phụ thuộc vào sự thay đổi mặt cắt ngang
mà còn phụ thuộc vào các điều kiện biên của dầm. Sato đã
11
nghiên cứu một bài toán thú vị, trong dó Ông đã tính tần số
riêng của dầm có một rãnh phụ thuộc vào kích cỡ của rãnh đó.
Áp dụng mô hình dầm bậc và phương pháp ma trận truyền kết
hợp với phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả thấy rằng: (a) tần
số cơ bản của kết cấu tăng khi tăng độ dày và giảm chiều dài
của đoạn giữa; (b) đoạn giữa có thể được mô hình hóa bằng
phần tử dầm, do đó, TMM có thể áp dụng tin cậy cho dầm bậc
nếu tỷ số độ dài và độ dày của dầm (r = L2/h) bằng hoặc lớn hơn
4.0. So sánh với các kết quả thực nghiệm cho thấy sai số của
TMM có thể lên đến 20% nếu tỷ số nhỏ hơn 0.2.
1.4.2. Dầm đa bậc có vết nứt
Kukla đã nghiên cứu bài toán cột bậc chịu tác dụng của lực
dọc trục có vết nứt tại vị trí tiếp xúc giữa các bậc trong cột.
Zheng và cộng sự đã giải bài toán dao động tự do của dầm bậc
Euler-Bernoulli có nứt bằng phương pháp Rayleigh cải tiến để
tính tần số cơ bản. Li đã giải bài toán dao động của dầm bậc có
số vết nứt và khối lượng tập trung tùy ý. Từ đó, Ông đã xây
dựng được mối quan hệ đệ quy giữa các dạng dao động của các
bậc liền kề ở dạng tường minh. Bài toán chẩn đoán vết nứt
trong dầm đa bậc đã được Tsai and Wang nghiên cứu, trong đó
vị trí và độ sâu của một vết nứt trong dầm ba bậc đã được xác
định bằng đồ thị. Nandwana và Maiti đã thiết lập phương trình
tần số của dầm Euler – Bernoulli n – bậc có một vết nứt dưới
dạng định thức cấp 4(n + 1), sau đó định thức được áp dụng để
chẩn đoán một vết nứt trong dầm ba bậc chỉ dựa vào các tần số
riêng băng phương pháp đường đồng mức (contour). Zhang và
cộng sự đã mở rộng bài toán trên cho trường hợp có số lượng
12
vết nứt bất kỳ bằng cách kết hợp giữa phân tích wavelet và
TMM. Ngoài ra, bằng phương pháp năng lượng, Maghsoodi và
cộng sự đã nhận được biểu thức hiển của tần số riêng theo vị trí
và độ sâu vết nứt cho dầm Euler – Bernoulli đa bậc, từ đây đưa
đến hệ phương trình đại số tuyến tính để chẩn đoán vết nứt từ
tần số riêng. TMM đã được phát triển trọn vẹn trong Attar để
giải bài toán thuận và bài toán ngược cho dầm đa bậc Euler –
Bernoulli có số vết nứt bất kỳ.
1.5. Đặt vấn đề nghiên cứu
Vấn đề đặt ra trong luận án này như sau: (1) Phát triển tiếp
TMM cho phân tích dao động của dầm bậc Euler – Bernoulli;
Timoshenko và FGM; (2) Mở rộng công thức Rayleigh để tính
toán tần số riêng của dầm bậc có nhiều vết nứt; (3) Sử dụng
công thức Rayleigh mở rộng này để thiết lập một hệ phương
trình chẩn đoán vết nứt từ tần số riêng; (4) Ngoài ra, vừa để
kiểm chứng các mô hình, phương pháp lý thuyết và để có số
liệu phục vụ chẩn đoán vết nứt theo phương pháp đã được đề
nghị nêu trên, đã tiến hành nghiên cứu đo đạc thực nghiệm trên
mô hình dầm đa bậc chứa nhiều vết nứt trong Phòng thí
nghiệm.
CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN
TRUYỀN CHO DẦM ĐA BẬC CÓ VẾT NỨT
2.1. Dầm Euler-Bernoulli có nhiều vết nứt
2.1.1. Lời giải tổng quát cho phần tử dầm Euler-Bernoulli đa
vết nứti đồng chất, tiết diện không đổi có dạng
1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )x C L x C L x C L x C L x ,
trong đó
13
01
( ) ( ) ( ), 1,2,3,4n
k k kj jj
L x L x K x e k
;
01 02( ) (cos os ) / 2; ( ) (sin sin ) / 2;L x h x c x L x h x x
03 04( ) (cos os ) / 2; ( ) (sin sin ) / 2;L x h x c x L x h x x 1
01
( ) ( ) , 1,2,3,4j
kj j k j ki j ii
L e S e e k
.
2.1.2. Phương pháp ma trận truyền
Sử dụng các hàm dạng nêu trên, ma trận truyền cho dầm
bậc chứa nhiều vết nứt được xác định bằng
, 1 1, 1 21( ) . ...n n n n T T T T ; 1(j) = ( ). (0)j j jL T H H ;
2.1.3. Kết quả số
Xét hai dầm hai bậc như trong hình 2.1, trong đó một dầm
(B1S) có phần tử giữa mỏng hơn hai phần tử còn lại và dầm thứ
hai thì ngược lại (B2S).
Hình 2.1. Hai mô hình dầm bậc trong phân tích số.
Nhận xét: Quan sát trên hình 2.2 cho thấy: (1) Giống như dầm
có tiết diện không đổi, có một số vị trí trên dầm bậc khi vết nứt
xuất hiện không ảnh hưởng đến tần số riêng; (2) vết nứt tại vị trí
bậc làm cho độ nhạy của tần số riêng với vết nứt có bước nhảy
(không phải là bước nhảy của tần số); (3) Các tần số riêng giảm
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
j j j j
j j j j
j
j j j j j j j j j j j j
j j j j j j j j j j j j
L x L x L x L x
L x L x L x L xx
E I L x E I L x E I L x E I L x
E I L x E I L x E I L x E I L x
H
L1 L2
L3
L
14
khi độ sâu vết nứt tăng, tuy nhiên vết nứt ở các đoạn khác nhau
ảnh hưởng khác nhau đến tần số riêng.
Hình 2.2. Ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt lên ba tần số
riêng đầu tiên của dầm B1S (phải) và B2S (trái) ngàm hai đầu.
2.2. Dầm bậc Timoshenko có vết nứt
2.2.1. Lời giải tổng quát
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
Vi tri vet n�t
Ty s
o ta
n s
o th
u n
hat
L1=L2=L3=1m, b1=b2=b3=0.1 h1=h3=0.15;h2=0.1
a /h = 10%
a /h = 20%
a /h = 30%
a /h = 40%
10%
20%
30%
40% 40%
30%
20%
10%
Bac thu nhat B�c thu hai
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.955
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
L1=L2=L3=1m,b1=b2=b3=0.1m;h1=h3=0.1m,h2=0.15m
Ty s
o ta
n s
o th
u n
hat
Vi tri vet n�t
a /h = 30%
20%20%
40% 40%
a /h = 40%
30%30%
a /h = 10%
a /h = 20%
Bac thu nhat B�c thu hai
10%10%
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.95
0.955
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
L1=L2=L3=1m, b1=b2=b3=0.1 h1=h3=0.15;h2=0.1
Ty s
o ta
n s
o th
u h
ai
Vi tri vet n�t
10%
a /h = 40%
a /h = 30%
20%
30%
40%40%a /h = 40%
a /h = 30%
40%
10%
20%
30%
40%
20% 20%
Bac thu nhat B�c thu hai
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.955
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
Ty s
o ta
n s
o th
u b
a
Vi tri vet n�t
10%
20%
30%
a /h = 40%
10%
20%
a /h = 30%
40%
a /h = 40%
40%
30%
20%
10%
Bac thu nhat B�c thu hai
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.955
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
L1=L2=L3=1m, b1=b2=b3=0.1 h1=h3=0.15;h2=0.1
Ty s
o ta
n s
o th
u b
a
Vi tri vet n�t
a /h = 40%a /h = 40%
30%
20%
10%
40%
40%
10%
20%
30%30%
20%
10%
Bac thu nhat B�c thu hai
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.955
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
Ty s
o ta
n s
o th
u b
a
Vi tri vet n�t
10%
20%
30%
a /h = 40%
10%
20%
a /h = 30%
40%
a /h = 40%
40%
30%
20%
10%
Bac thu nhat B�c thu hai
0
0
0
wW ( ) ( )W ( )( ) ( )
( ) ( )( )
c c
c c
c c
x K x xxx x
x K x xx
G C
15
0 1 1 2 1 3 2 4 2W ( , ) cosh sinh cos sinx C k x C k x C k x C k x ;
0 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2( , ) sinh cosh sin cosx rC k x rC k x r C k x r C k x
0( ) ( , ) ( )c c cx x x x G G K
2.2.2. Ma trận truyền
T = T(m)T(m-1) …T(1),
1( ) ( ). (0)j j jj L T H H , j = 1, …, m
0
0( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
j
j
j cj cc
j
j cj cc j
x x xxx
x x xx
HG KG
PG PKPG
2.2.3. Kết quả số
Xét dầm công xôn với các thông số của dầm
L=0.5m;E=210Gpa;37860 /kg m ;b=12mm; h1=20mm;
h2=16 mm. Ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt lên tần số
riêng của dầm được nghiên cứu chi tiết. Kết quả cho thấy: Các
tần số riêng của dầm công xôn có bước nhảy tại vị trí bậc trong
dầm; Vết nứt càng gần đầu ngàm thì ảnh hưởng của nó lên tần
số càng lớn; Độ sâu vết nứt càng lớn thì tần số riêng càng giảm.
Hình 2.6. Tỷ số tần số thứ nhất phụ thuộc vào vị trí vết nứt.
w 1 1 2 2
1 1 2 2
( ) 0( )
0 ( )c
K x a b a bx
K x a b a b
K
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
xc/L
1/
01
Twostepped cantilever beam
ah = 0.1
ah = 0.3
ah = 0.5
16
Hình 2.7. Tỷ số tần số thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt.
2.3. Dao động của dầm bậc FGM có vết nứt
Lời giải tổng quát
( ) ( ). ,cx xz Φ C { , , }TU W z ;
0 0( ) ( , ) ( ) ( , )c x x x e e Φ G K G ;
2.3.1. Phương pháp ma trận truyền
T = T(m)T(m-1) …T(1), 1( ) ( ). (0)j j jj L T H H ;
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
xc/L
2/
02
Twostepped cantilever beam
ah = 0.1
ah = 0.3
ah = 0.5
( ) : 0; ( ) : 0;( ) ( )
0 : 0; 0 : 0;
c cx x x xx x
x x
G GK K
( )( )
( )
c
j
x c j
xx
x
ΦH
Φ
11
22
33 33
0 0
0 0
0
x
x x
x
A
A
A A
17
2.3.2. Kết quả số
Hình 2.9. Tần số chuẩn hóa của dầm bậc FGM ngàm hai đầu
phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt (a/h).
Kết luận Chƣơng 2.
Trong chương này đã thu được các kết quả sau đây:
Đã phát triển phương pháp ma trận truyền để phân tích dao
động của dầm bậc đa vết nứt
Áp dụng phương pháp ma trận truyền đã phát triển để
nghiên cứu ảnh hưởng của sự thay đổi tiết diện đến độ nhạy
của tần số riêng của dầm bậc có vết nứt.
Phương pháp ma trận truyền với cách phát triển tương tự
như trên còn được áp dụng vào phân tích dao động của dầm
bậc Timoshenko và dầm bậc FGM đa vết nứt.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=5,10,20,30,40%
Vi tri vet nut
Ty
so
tan
so
th
u n
hat
S0: h1=h2=h3=0.1
S1 S1
S2S2
S0
S2
S1
S2
S0
S0
S0
S2S2
S1 S1
S1 S1
S1S1
S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=5,10,20,30,40%
Vi tri vet nut
Ty so
tan s
o thu
ba
S0
S2
S0
S1
S2
S1
S0
S1
S1
S2
S0
S0
S2
S2
S0
S1
S0
S2
S1
S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
S0: h1=h2=h3=0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=5,10,20,30,40%
Vi tri vet nut
Ty
so
tan
so
th
u h
ai
S0: h1=h2=h3=0.1
S0
S2
S2
S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
S1
S2
S0
S1
S0
S1
S0
S1
S1
S2
S0
S0
S1
S2
S2
18
CHƢƠNG 3. PHƢƠNG PHÁP RAYLEIGH TRONG
PHÂN TÍCH VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM
ĐA BẬC
3.1. Công thức Rayleigh
3.2. Tính toán tần số riêng
Hình 3.3. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt lên tần số riêng của dầm
gối tựa hai đầu.
3.3. Chẩn đoán vết nứt
Phương trình chẩn đoán
[ ( )] , A B γ γ b
0 2 0 2 2[ ( ) ; 1,..., ; 1,..., ]; { ( ), 1,..., };kj kj j j k ks ka e S k n j m b k n A b
0 0( ) [ ( , ) ( ) ( ); 1,..., ; 1,..., ].m
kj i j i ki i kj ji
b R e e e e k n j m B γ
Thuật toán lặp ( )[ ( )] ,ii A γ b trong đó
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1Dam goi tua hai dau
e
1/
10
a1/h1=0.1
a2/h2=0.2
a3/h3=0.3
a4/h4=0.4
a5/h5=0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1Dam goi tua hai dau
e
2/
20
a1/h1=0.1
a2/h2=0.2
a3/h3=0.3
a4/h4=0.4
a5/h5=0.5
1
1
2 2
12
2
1
{ ( ) ( )}
.
( )
j
j
j
j
xm
j kj j kj jj x
k xm
j kjj x
S x dx e
m x dx
1
1
0 2 0 2
1 12
0 2 2 0 2
01 1 1
[ ( )] [ ( )]
.
[ ( )] 2 [ ( )] ( , )
j
j
j
j
xm m
j kj j j kj jj jx
k xm m m
j kj j j k kj j j jj j jx
S x dx S e
m x dx S e m e
19
( 1) (0)( ) ( ); 1,2,3,...; .ii i A A B γ γ 0
Điều chỉnh Tikhonov: ( )[ ( ) ( ) ] { } ,T ii i A A I γ b
Kết quả số được thể hiện trong bảng 3.5.
Bảng 3. 5. Kết quả chẩn đoán vết nứt trong dầm công xôn
Các trường hợp Vị trí vết nứt Độ sâu vết nứt
Một vết
nứt
Thực tế 0.06 0.2
Chẩn đoán 0.06 0.2041
Hai vết
nứt
Thực tế 0.06 0.15 - 0.2 0.2 -
Chẩn đoán 0.06 0.15 (0.26) 0.1944 0.1985 (0.1081)
Ba vết nứt
Thực tế 0.06 0.15 0.24 0.2 0.2 0.2
Chẩn đoán 0.06 0.15 0.24 0.1901 0.1980 0.1917
Thực tế 0.06 0.15 0.24 0.4 0.4 0.4
Chẩn đoán 0.06 0.15 0.24 0.3906 0.4009 0.3964
Thực tế 0.06 0.15 0.24 0.6 0.6 0.6
Chẩn đoán 0.06 0.15 0.24 0.6045 0.6038 0.6060
Kết luận Chƣơng 3
Trong chương này đã đạt được các kết quả sau:
Đã thiết lập được tỷ số Rayleigh để tính tần số riêng cho kết
cấu dầm nói chung, từ đó mở rộng tỷ số trên cho dầm bậc có
vết nứt.
Kết quả tần số riêng của dầm công xôn đa bậc với số vết nứt
bất kỳ tính bằng tỷ số Rayleigh là phù hợp khi so sánh với tần
số riêng đo được bằng thực nghiệm và tần số riêng tính bằng
phương pháp ma trận truyền.
Lời giải của bài toán chẩn đoán vết nứt được khẳng định bằng
cả thực nghiệm và ví dụ số, kết quả chỉ ra rằng phương pháp
dựa trên tỷ số Rayleigh thực sự hiệu quả cho chẩn đoán đa vết
20
CHƢƠNG 4. THỰC NGHIỆM TRÊN DẦM ĐA BẬC CÓ
VẾT NỨT
Kết quả đo
Kết quả đo cho trong hình 4.12 và các bảng 4.1 và 4.2
z
y
x
Đầu đo gia tốc
Búa lực
Hình 4.4. Mô hình đo đạc thực nghiệm với dầm bậc ngàm hai đầu.
Đầu đo gia tốc
21
Hình 4.12. So sánh sự thay đổi tần số theo độ sâu vết nứt giữa
thực nghiệm và lý thuyết của dầm bậc ngàm hai đầu có một vết
nứt tại vị trí e = 0.45m. (Lý thuyết – đường liền; Thực nghiệm –
đường rời)
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0% 10% 20% 30% 40% 50%
-1
0
1
2
3
4
0% 10% 20% 30% 40% 50%
-5
0
5
10
15
20
25
30
0% 10% 20% 30% 40% 50%
22
Bảng 4. 1. Tần số riêng đo được của dầm bậc ngàm hai đầu có
hai vết nứt, e1=0.2m với độ sâu thay đổi từ 0%-40%; e2=0.45m
với độ sâu 40%.
a1/h1 (%) Tần số riêng (Hz)
1f 2f 3f 4f
0 73.25 142.9 295.8 517.56
10 73.17 142.9 295.3 516.75
20 72.87 142.9 294.4 514.56
30 72.61 142.9 293.5 511.31
40 72.46 142.9 291.6 506.3
Bảng 4. 2. Tần số riêng đo được của dầm bậc công có một vết
nứt tại vị trí 0.6m từ đầu ngàm với độ sâu thay đổi từ 0%-50%.
a/h (%) Tần số riêng (Hz)
1f 2f 3f 4f
0 13.56 54.69 139.4 290.94
12.5 13.56 54.69 139.4 290.88
30 13.51 54.31 139.3 289.44
50 13.44 53.13 138.6 285.69
Kết luận Chƣơng 4
Những kết quả chính đạt được trong chương này:
Hai mẫu dầm bậc đã được chế tạo để nghiên cứu thực nghiệm
dầm bậc đàn hồi có vết nứt trong hai trường hợp dầm ngàm
hai đầu và dầm công xôn.
Đã tiến hành đo đạc thực nghiệm trên hai mô hình trên trong
cả hai trường hợp dầm không và có vết nứt bằng hệ thống đo
dao động PULSE.
Các kết quả đo đạc cho thấy: khi dầm bậc xuất hiện vết nứt sẽ
dẫn đến tần số riêng của dầm bậc giảm, sự suy giảm càng
tăng khi số lượng vết nứt hoặc độ sâu vết nứt tăng.
23
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Đã phát triển phương pháp ma trận truyền cổ điển để phân
tích dao động riêng của dầm đa bậc có nhiều vết nứt sử
dụng ba mô hình dầm: Dầm Euler – Bernoulli; dầm
Timoshenko và dầm FGM. Sử dụng phương pháp này, đã
phân tích ảnh hưởng của sự thay đổi tiết diện ngang, vết nứt
và các tính chất vật liệu đến tần riêng của dầm.
2. Đã thiết lập công thức Rayleigh cho dầm Euler – Bernoulli
đa bậc chứa nhiều vết nứt để tính toán tần số riêng của dầm.
Đây là một công thức hiển của tần số phụ thuộc vào các
tham số vết nứt và điều kiện biên rất đơn giản và thuận tiện
cho việc tính toán tần số riêng của dầm bậc có nhiều vết
nứt. Kết quả tính toán số tần số riêng của dầm bậc có nhiều
vết nứt sử dụng công thức Rayleigh được so sánh với kết
quả tính bằng phương pháp ma trận truyền cho thấy công
thức Rayleigh hoàn toàn có thể sử dụng được để tính toán
tần số riêng khi độ sâu vết nứt trong phạm vi 40% chiều dầy
dầm.
3. Đã xây dựng và thử nghiệm một thuật toán chẩn đoán đa
vết nứt trong dầm bậc dựa trên công thức Rayleigh và
phương pháp quét vết nứt. Cụ thể đã kiểm nghiệm thuật
toán trên các mô hình thực nghiệm.
4. Đã tiến hành nghiên cứu thực nghiệm đo đạc tần số riêng
của dầm ba bậc có vết nứt với hai điều kiện biên cơ bản:
ngàm hai đầu và dầm công-xôn. Kết quả thí nghiệm nhận
được phù hợp với các tính toán lý thuyết và làm số liệu đầu
vào cho bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm bậc bằng tần
số riêng.
24
NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
1. Phương pháp ma trận truyền lần đầu tiên đã được mở rộng
để phân tích dao động riêng của dầm Timoshenko và dầm
FGM có nhiều vết nứt. So với trường hợp phương pháp ma
trận truyền đã được mở rộng cho dầm bậc Euler – Bernoulli
có nhiều vết nứt, ma trận truyền được xây dựng trong luận
án này đơn giản hơn nhiều. Chính vì vậy, thời gian tính
toán giảm đi đáng kể và độ chính xác của kết quả tính toán
vẫn được đảm bảo;
2. Lần đầu tiên, công thức Rayleigh được thiết lập cho dầm đa
bậc chứa nhiều vết nứt, đưa đến một công cụ đơn giản cho
việc tính tính toán tần số riêng của dầm đa bậc không cần
phải giải phương trình tần số phức tạp. Đây là một biểu
thức hiển của tần số riêng đối với các tham số vết nứt, rất
thuận tiện cho việc chẩn đoán vết nứt trong dầm bậc;
3. Đã phát triển một thuật toán chẩn đoán đa vết nứt trong
dầm đa bậc bằng tần số riêng sử dụng công thức Rayleigh.
Đây là một đóng góp quan trọng của luận án. Ở đây,
phương trình để chẩn đoán có dạng chuẩn tắc để có thể áp
dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov cho việc giải quyết
những vấn đề thiếu hụt số liệu đo và sai số của cả mô hình
lẫn số liệu đo.
4. Việc nghiên cứu thực nghiệm đo đạc tần số riêng của dầm
đa bậc có nhiều vết nứt một cách bài bản cũng là một đóng
góp mới của luận án. Những kết quả thí nghiệm này, không
chỉ để kiểm nghiệm các lý thuyết mà còn làm đầu vào cho
bài toán chẩn đoán vết nứt đã được phát triển trong luận án.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
1. Nguyen Tien Khiem, Duong The Hung, Vu Thi An Ninh,
Multiple crack identification in stepped beam by
measurements of natural frequencies, Vietnam Journal of
Mechanics, 2014, 36(2), 119-132.
2. Nguyen Tien Khiem, Vu Thi An Ninh, An application of
Rayleigh quotient for multiple crack identification in beam,
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc
Kỷ niệm 35 năm Viện Cơ học 10/4/2014, Tập 1, 99-105.
3. Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai, Vu Thi An Ninh,
Free vibration of cracked multistep Timoshenko beam,
Proceedings of the 2nd
National Conference on Mechanical
Engineering and Automation, Oct. 7-8, 2016, Hanoi
University of Science and Technology, 2016, 392-396.
4. Nguyen Tien Khiem, Lê Khanh Toan, Ha Thanh Ngoc, Vu
Thi An Ninh, Experimental study of cracked multistep
beam, Proceedings of the 2nd
National Conference on
Mechanical Engineering and Automation, Oct. 7-8, 2016,
Hanoi University of Science and Technology, 2016, 397-
400.
5. Vu Thi An Ninh, Luu Quynh Huong, Tran Thanh Hai,
Nguyen Tien Khiem, The transfer matrix method for modal
analysis of cracked multistep beam, Journal of Science and
Technology, 2017, 55(5), 598-611.
6. N.T. Khiem, T.V. Lien, V.T.A. Ninh (2017), Natural
frequencies of stepped functionally graded beam with
multiple cracks, Iranian Journal of Science and Technology
– The Transactions in Mechanical Engineering (Accepted
3/2017).
7. N.T. Khiem, T. H. Tran, V.T.A. Ninh (2017), A closed-form
solution to the problem of crack identification for multistep
cantilever beam based on Rayleight quotient, International
Journal of Solids and Structures (Submitted July 2017).