Math. Naehr. ad, 41-57 (1979)

Darstellnng von stationaren stochastischen Prozessen mit Werten in einem BmAcH-Raum durch einseitige gleitende Mittel

Von FRANZ SCHMIDT in Dresden uiid ALEKSANDER WERON in Wrochw

(Eingegangen am 18. 10. 1976)

Eiiileitung

I n der Theorie der stationiiren stochastischen Prozesse, insbesondere in der Spektral- uiid in der Extrapolationstheorie, spielen die WoLDsche Zerlegung eines Prozesses in seine regulilre und seine singulare Komponente und die Dar- stellung der regularen Komponente durch einseitige glejtende Mittel eine be- deutende Rolle.

Grundlegende Resultate wurden auf diesem Gebiet von WOLD (1938). KOL- MOGOROV (1 94 1 ), WIENER (1 949), KARHUNEN ( 1950) und HANNER ( 1 9.50) erhalten. Einige dieser Resultate gestatten Verallgemeinerungen in verschiedenen Rich- tungen; z. B. kann man an Stelle der Gruppe der ganzen oder der der reellen Zahlen allgemeinere Parainetermengen und an Stelle der Menge der reellen oder der der komplexen Zahlen allgemeinere Bildriiume zulassen. Diesbezugliche Untersuchungen wurden von JANG ZE-PEI (1957, 1963/64), WIENER & MASANI (1957/58), GLADYSHEV (1958), HELSON & LOWDENSLAGER (1958/61), ROZANOV (1958/1963/1972), MASANI & ROBERTSON (1962), GANGOLLI (19G3), POP-STO- JANOVIC (1963), PAYEN (1964/67), KALLIANPUR & MANDREKAR (1966/1971), EAVES (1969), ROSENBERG (1969), MANDREKAR & SALEHI (1970), MASLJUKOVA (1970), NADKARNI (1970), SCHMIDT (1970/75), VAKHANIA & CHOBANIAN (1970), BRUCKNER (1971), CHOBANYAN (1971), HACKENBROCH (1971), BLUM 8: EISENBERG (1973), WERON (1974) und CHOBANYAN & WERON (1975) angestellt.

Insbesondere wurden in [4], [5] ,.verallgemeinerte" stationare stochastische Prozesse auf dem Produkt G=G+XG- zweier ABELsCher Gruppen G+ und G- mit Werten in einem BANACH-Raum untersucht. Es wird u. a. gezeigt, daB im Falle einer linear geordneten Gruppe G+ jeder ProzeB eine Zerlegung in eine regulare nnd eine singulare Komponente zula13t ([4], Satz 3.3.) und daB im Falle einer ARCHIMEDEssCh geordneten lokalbi kompakten HAUsDoRFFsChen Gruppe G+ jeder durch einseitige gleitende Mittel dttrstellbare ProzeB regular ist ([5], Satz 3.2.1.). In [6], Satz 3.3.1. bzw. 171, Satz 4.3.1. wurde bewiesen, daB im Falle G + = Z (Gruppe der ganzen Zahlen) bzw. G + = R (Gruppe der reellen Zahlen) jeder regulare ProzeB durch einseitige gleitende Mittel dargestellt werden kann. Fur den Fall Gc = Z , G- = (0) wurden die gleichen Ergebnisse in [l], Theorem 10.1. sowie in 1191, Theorem 6.1. erhalten.

42 Schmidt/Weron, Stationlire stoachastische Prozesse

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir ebenfalls verallgemeinerte stationhre stochastische Prozesse auf dem Produkt G=G+XG- mit Werten in einem BANACH-Raum. Angeregt durch eine Arbeit von HELSON & LOWDENSLAGER [3] definieren wir verschiedene Typen von Prozessen (8. Abschnitt 1.2.) und zeigen im Satz 1.3., daB jeder ProzeS in Komponenten ,,reinen Typs" zerlegbar ist. Diese Zerlegung stellt eine Verfeinerung der in [4], Satz 3.3. angegebenen Zer- legung dar. Ferner werden die Prozesse der ersten drei Typen als Prozesse, die eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel gestatten, charakterisiert (a. Satz 2.3.1., Satz 2.3.2., Satz 2.3.3. und Satz 2.3.4.).

1. Stationtlre stochastische Prozesse vom Typ i (i = 1, . . . , 6 )

1.1. Es bezeichne Lz(Q, 2, P) den HILBERT-Raum aller (P-Aquivalenzklassen von) auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Q, 8, P) definierten komplexwertigen Zufallsgrofien mi t endlichem absolutem Moment zweiter Ordnung. Ferner seien G eine ABELsche Gruppe und 3 ein (komplexer) BANACE-Raum.

Definition. Ein verallgemeinerter stationdrer stochastischer Prozep auf G uber 3 ist eine Abbildung

x : Q 3 5 -X(5) E [@, L W , a, P)] mit der Eigenschaft

(1.1.1) x(q)* X(E)=X(O)* X (E-q) (5 , qEG) .

uber 3 werde mit G(G, 8) bezeichnet. Die durch

px(t): =X(O)* X ( 5 ) (5EG) definierte Funktion rx heiBt Kovurianzfunktion des Prozesses X E G(G, 8). Fur den ProzeB XE G(G, 8) sei

Die Klasse aller verallgemeinerten stationliren stochastischen Prozesse auf Q

xx: =v {X(rl) 9 I qEG9 9 € 3 > U , bezeichne die unitere Darstellung von B uber 'se, mit der Eigenschaft

(a. [4], Satz 1.3.1.).

BANAcH-R&ume) heiBen station& verbunden, falls

(1.1.2) X(E)= U X ( 5 ) X ( 0 ) (5EG)

Definition. Die Prozesse X'E B(G, 3') und X"E B(Q, 8") (W, 3": (komplexe)

(1.1.3) X'(q)* X"(5) =X'(O)* X" (6 -h) (5, qEQ) gilt.

station& verbunden, wenn Hilfssatz 1.1. Die Prozesse X'E B(G, 3') und X"E G(G, 3") sind genau dann

(1.1.4) u,,(i) 1 'de,.ncde,,,= uX,,(t) I xX,nxx,, ( ~ E Q ) gilt.

Schmidt/Weron, Stationare stochastische Prozesse 43

Beweis. Es gelte (1.1.4). Dann gibt es (genau) eine unitare Darstellung U von G uber 'dc: =V(Ytdy., X,.,) mit

(1*1'5a) 'r(t)='(E) I',' (EeG) . (1.1.5b) U , , , ( E ) = u ( ~ ) I ' d c p I Aus (1.1.2), (1.1.5a) und (1.1.5b) erhiilt man

X'(q)* X"(E) =X'(O)* U(q)* U ( t ) X"(0) =X'(O)* U ( 5 -7) X"(O)=X'(O)* X" (4 -7) (6, 7CG) ,

d. h., X' und X" sind stationar verbunden. - Umgekehrt folgt aus der stationaren Verbundenheit von X' und X", daB durchl)

X ( E ) ( / 'Of ' ' ) : = X ' ( [ ) f'+X''(E) f" ( [€a , f'Eb', f"E8") ein ProzeB X c G(G, 3) definiert wird. Die zugehorige unitiire Darstellung Ux genugt offensichtlich den Beziehungen

} (Em) * U,(E) I ' d c r = ux* ( E l U,(E) I 'de,?, = u,m

Daraus ergibt sich die Gultigkeit von (1.1.4). 1.2. Wir setzen im folgenden voraus, daI3 G das direkte Produkt einer linear

gmrdneten (ABELschen) Gruppe G+ und einer beliebigen (ABELschen) Gruppe G- ist. Wir setzen

} ( t C G + ) . X + ( t ) : = X ( t , 0) u';(t) : = U,(Z, 0)

Dann gilt (s. [4], (1.9)) (1.2.1) U,+( t+)=Ui ( t+) I 'dear+ (E+EG+) . Fur den ProzeS XC G(G, 8) sei 2)

X X ( O ) : =v { X ( q ) g I qCG,f_ XG-, gC8}

-

~ , ( t - 1: = u ~ ~ ( a ) J U <I

Dann gilt (1.2.2a) 'dc,(a)&'dc,(z - ) & ' d c x ( t ) (o-cz)

(1.2.2 b) 'dce,(t)s'dcx(t+ )&'dcx(o) (a>t) . Definition. ([lo], Kap. VII, S 1). Die linear geordnete (ABELsChe) Gruppe Q+

heiBt diskret geordnet, falls ein (und damit jedes) Element von G+ einen unmittel- baren Vorganger (und damit auch einen unmittelbaren Nachfolger) besitzt.

l) 3 ={ye 1" I f'Eg', f"Eg"} bezeichne die direkte Summe der BANacH-Rlume 8' und 3". 2, GI:={TEG+ I T = - O } , C ~ : = { T E G + ~ ~ ~ 0 } , G o f ~ : = G ~ U { 0 } .

44 Schmidt/Weron, Stationiire stochastische Prozesse

Anderenfalls (d. h., wenn zu beliebigen t+. q+EG+, t+-=q+, ein ~ + E G + mit f + < e+ -=q+ existiert), hei5t G+ dicht geordnet.

Hillssatz 1.2.1. Die Gruppe a+ ist genau dann diskret gwrdnet, wenn Q+ eine Untergruppe Q' mit den folgenden beiden Eigenschuften enthiilt:

1. Es existiert ein ordnungstreuer (order-preserving) Isomorphismus von Q' auf die Gruppe Z der ganzen Zahlen.

2. Ftir zwei beliebige Restklassen y l , y2EG+/G' mit y1 + y2 gilt entweder ti -= -=z2 (z1Ey1, t2EyJ oder q > t 2 ( t i E y l , t 2 E y 2 ) , d. la., in G+IG' ,%fit sich eine Ord- nungsrelation einftihren, so dafi der nattirliche Homomorphismus mn G+ auf G+IG' ordnungstreu ist.

Beweis. Die Hinliinglichkeit der Bedingungen 1. und 2. ist evident; wir be- weisen ihre Notwendigkeit. Dazu definieren wir rekursiv eine Untergruppe GI= (d') I n E Z } s G + durch

p) :

dn) : unmittelbarer Nachfolger von dn-') ( n = l , 2, . . .) . I -n) . . unmittelbarer Vorganger von T(-"+')

Offenbar ist Z 3 n -t'"'EO' eine bijektive und ordnungstreue Abbildung. Aus z ( k ) +z (0 ) - -T (k) ( kEZ) folgt t(lh)+t(fi),t(kki) (kEZ) und damit durch vollstandige Induktion dk)+z( ' )=dk+') ( k , ZEZ), d. h., Z 3 n +dn)EQ' ist ein Isomorphismus. Seien nun yI, y2EG+IG, zi, ri 'Eyi (i= 1, 2) und ti-=t2, t, >tS . Dann gilt T I : =

=zl -t2-=O<z, -tp = : t mit t', t"Ey, -y2, also t" d@', d. h. z" --t' =dk) mit kEZ, k>O. W'egen OE{tEG+ I z r ~ t ~ t " } = { z ' + d l ) , . . . , + p - u } gilt O = t ' + d i ) mitjEZ, 1 ~ j ~ k - 1 und somit ~ ' = t ( - ~ ) E a l , also y I = y 2 .

Benierkung 1.2.1st G+ eine diskret geordnete Gruppe, so gilt offensichtlich

, , I, I ,

I 1 , I ,, ,,

(1.2.3) x ~ ( ~ + )=ae,(t'), ~ ~ ~ ( ~ 1

(z': Nachfolger von z, t €a+) und somit (1.2.4) X , ~ ( T + ) SXx(t)=ac.y(z') @'dex(~' -) ( t € G + ) . 1st G+ dagegen eine dicht geordnete Gruppe, so gilt (1.2.5) %,(z+) @X,r(t) I ' d e , ( ~ ) @ X s e , ( ~ 7 ) (a, tEG+) (fur o=z und - wegen (1.2.2a) - auch fur u<z ist die Gultigkeit von (1.2.5) evident, fur o >z ergibt sie sich aus der Existenz eines Elementes Q mit t -= e -= O,

es ist dann ntimlich (9. (1.2.2a) und (1.2.2b)) 'de,(t+) @3e,(z)&Xx(p) Xx(o) 0

Hilfssatz 1.2.2. Es seien X'E G(G, 3') und X" E E(G, 8") zwei stationdir ver- O'aMJ -1).

bundene Prozesse mit der Eigenschaft

( 1.2.6) gtLy( 0) 5 cbQx*,( 0) . Dann gilt (1.2.7) 3tAYr(O f ) & atAy,.(O f ) .

Schiiiidt/Weron. Stationare stochastische Prozesse 45

Beweis. Auf Grund von Hilfssatz 1.1. folgt aus (1.2.6)

xx,(c)grx,t(c) ( ~ c G + ) . Daraus ergibt sich die Richtigkeit von (1.2.7).

Hilfssatz 1.2.3. Es sei G+ diskret geordnet und es seien X'c G(G, 8') und X" E G(G, 8") zwei stotionar verbudene Prozesse. Donn sind die Bexiehungen (1.2.6) und (1.2.7) aquivulent.

Beweis. Es hezeichne t den unmittelbaren Nachfolger von 0 , so da8 also -t der unmittelhare Vorgiinger von 0 ist. Wegen (1.2.3) lafit sich (1.2.7) in der Form 3rar,( * t) &Xx,,( k t) schreiben. Auf Grund von Hilfssatz 1 .1 . ist diese Beziehung iiquivalent zu (1.2.6).

Hilfssatz 1.2.4. Es sei G+ diskret geordnet und es seien X'E G(G, b') und X" G(G, b") zwei stotioMr verbundene Proxesse. Die Bexiehungen (1.2.8) X-y,(O)c3f-r,,(O -)

bzw . (1.2.9) arAr.(o)cxAr,,(o +

(1.2.10) ar,.(o + )grAr, , (o)

( 1.2.1 1 ) 'ic,,(o - ) 5 3rar,,(o)

bestehen genau dunn, wenn

bzw.

gilt. Beweis. Es bezeichne t den unmittelbaren Nachfolger von 0 , so da8 also --t

der unmittelbare Vorganger von 0 ist. Dann kann man (1.2.8) bzw. (1.2.9) in der iiquivalenten Form

ardyt(o) 5 arx3,( -z)

'dE,-t(o)gfartr(t)

Xx.( t ) 5 ae,u(O)

'ic-J -t)&x,M(o) ,

bzw.

schreiben (vgl. (1.2.3)). Auf Grund von Hilfssatz 1.1. ist dies gleichbedeutend mit

bzw.

was wegen (1.2.3) eine iiquivalente Form von (1.2.10) bzw. (1.2.11) ist.

1.3. Wir setzen nun fur diskret geordnetes G+ (vgl. (1.2.4))

xy : = 0 ( X x ( t + ) @ex( t ) ) = 0 (%&) @&(t -))

xy : = {o} %$' : = (0)

rEC+ r€Q+

46 Schmidt/Weron, Stationire stochastische Prozesse

und fur dicht geordnetes G+ 3 g ' : = {o}

3tp: = 0 (%&+) @ex(z))

%$': = 0 (Xx(z) @tT(t -)) Tea+

und erhalten aus (1.2.5) die Beziehung (1.3.1) %!;' 1 %ly"). SchlieBlich setzen wir

Aus der Tatsache, daS in G+ kein kleinstes Element existiert, folgt leicht (1.3.2) %$' J- %$) (i= 1, 2, 3) . Letztlich sei

xy: = Xx 0 (%$' @ X y @ %p @ 5%:') .

% 'y - -%?' x @ %y @ %y @ 2ep 0 Xy. Es gilt dann nach Konstruktion (1.3.3)

Bemerkung 1.3. I m Fall G+=Z3) konnen in der Zerlegung (1.3.3) nur die Teilraume 2'6:) und %$) auftreten (8. z. B. [2], Lemma 4, [6], S. 353, [8], Theorem 1.1.) . Im Fall G+ = P) konnen in der Zerlegung (1.3.3) - unter der Voraussetzung der Stetigkeit des Prozesses X+ - nur die Teilraume %$) und %:' auftreten; entsprechendes gilt fur eine beliebige nicht-diskretec;) topologische Gruppe G+ (8. Satz 2.3.5. der vorliegenden Arbeit).

erneuernd") oder vom Typ 1, falls X $ ) = X X ( + )-erneuernd7) oder vom Typ 2, falls %g'=cde, ( -)-erneuerndc) oder vom Typ 3, falls %$'=%=

, singulars) oder vom Typ 4, falls %$'=%AT

verschmfiindendi ) oder vom Typ 5, falls %g)=.de, .

Definition. Der ProzeB XE G(G, 3) heiBt

Satz 1.3. Jeder Prozep X E G(G, 3) lapt sich auf genau e k e Weise in der Form (1.3.4) X(E)=X,(~)+X,(F)+X3(~)+X4(~)+X5(~) ( E C Q )

8 ) 2: Gruppe der ganzen Zahlen. 4) R : Gruppe der reellen Zahlen. 5 ) Es sei hier bemerkt, daO eine diekret geordnete Gruppe nur mittels der diekreten Topologie

zu eiiier topologischen Gruppe gemacht werden kann; daraus ergibt sich schon per definitionem die Gultigkeit von X!$ = {o} fur jede nicht-diskrete topologische Gruppe.

6 ) in IS]: ,,innovation". 7) In [S] werden sowohl Prozesse vom Typ 2 als auch Prozesse vom Typ 6 unserer Termino-

") vgl. auch die Definition des Begriffes ,,singuliirer ProzeO" in [4], in [3]: ,,deterministic". logie als ,,evanescent" bezeichiiet.

Schmidt/Weron, Stationiire stocliastische Prozesse 47

darstellen, wobei X , E G(G, 3) ein Prozep vorn T y p i ist (i= 1, . . . , 5) und die folgenden Beziehungen bestehen:

( i = l , . . . , 5 ) . 1 (1.3.5) '3edrL = xy (1.3.6) xXz(o) =.aeg)nxae,(o) (1.3.7) x r l ( o f ) =.de!;)nxx(o*) ( 1 . 3 4 U.r((t) = UX(5) I cderz E E Q )

Beweis. Es wirdg)

X J t ) : = P y x ( t ) (tEG, i = l , . . . , 5 ) gesetzt. Aus (1.3.3) ergibt sich sofort die Richtigkeit von (1.3.4). Aus

x , r , = v {Xh) g I qEG, sE8)=V{P!'X(rl) 9 IqEG, S E 3 1 - ~ _ _ _ ~

= P ~ ) V { X ( r ) g I q E G , g E b } = ~ ~ ~ S ( i = 1 , . . . , 5 ) folgt die Richtigkeit von (1.3.5). Analog erhalt man

(1.3.9) Ytx,(0)=P($Xx(O) (i= 1, . . . , 5) . Wegen

_ _ ~

9 (%&+) O'de,(~))S'de,(O)

0 (W. + ) e%W) I : w o ) 0 ( ' d e X ( 4 C32Mt -1) 5'3MO)

0 (ae,(.) Oae.Y(t -)) I xX(0)

zx = .do)

r-=O

7 S O

I s o

I > O

bZW.

gilt nun

(4)C.X

(1.3.10) P$)P , (O)=P(X.~ , xyn.ae,(o)) ( k i , . . . , 4 ) .

Auf Grund von (1.3.3) und X x ( 0 ) ~ 3 t x ergibt sich &us (1.3.10)

P!;"P~~(O)=P,(O) - ( P (.ae,, ael:-'nx-r(o))+. . . + P (&, x:;)n'de,(o))) = P (x#,, xg)nxdr(o)) ,

folglich gilt (1.3.10) auch fur i = 5 . Aus (1.3.9) und (1.3.10) folgt nun die Richtig- keit von (1.3.6). Weiter gilt offensichtlich

(1.3.11) U,(l) 'X!;)=X!l;' (EEG; i = 1 , . . . , 5 )

und somit

U x ( t ) P$)=P$)Ux(t) (EEG; i = l , . . . , 5 ) ,

9) Fur den abgeschlossenenlinearen Teilraurn xo des HILBERT-Raumes 'de bezeichne P(%, %,) den Operator der orthogonalen Projektion von 'X auf Xo;

q: = P(%& a e y ) P,(O * : = P(XX, X , ( O *)) .

( i = i, . . . , 5) , PX(0) : = P(X,, X , ( O ) ) ,

48 Schmidt/\l'cron, Stationare stochastischt Prozesse

r c o

Damit ist (1.3.7) bewiesen. Aus (1.3.6) und (1.3.7) folgt

( i = l , . . . , 5 ) . 1 se,p + 0xxi(o) =xpn (xdr(o +) 0xx(o ) ) se,i(o) ~ x ~ i ( o -) =x$)'n ('de,.(o) @xx(o -))

Unter Beachtung von (1.3.8) ergibt sich daraus (1.3.13) ( i = 1 , . . . , 5, j = l , 2, 3 ) .

Wegen (1.3.12) gilt (1.3.13) auch fi ir j=4. Aus (1.3.5) und (1.3.13) folgt, daB die Prosesse Xi vom Typ i sind ( i= l , . . . , 4). SchlieBlich hat man wegen (1.3.13)

%$i.=Xg)n%$)

(1.3.14) %:$)S={O) ( j = l , . . . , 4 ) ,

der ProzeB X 5 ist also vom Typ 5. - Es sei nun

(1.3.15) X(E) =%(t) + &(t) + X , ( t ) + X 4 ( t ) + X , ( t ) (5€G)

irgendeine Zerlegung von X, wobei die Prozesse Xi€ G(G, 5) die folgenden Eigen- schaften besitzen 10) :

(1.3.16) I %xi ( i+j)} ( i , j = l , . . . , 5 ) (1.3.17) xg;. ='6eXinxxi

( 1.3.18) x,,(O) ' d e , ( O ) ( i= l , . . . , 5 ) .

1") Aus (1.3.16) und (1.3.17) folgt, da8 der ProzeS Xi vom Typ i ist (i = 1, . . . , 5 ) .

SchmidtIWeron, Stationare stochastische Prozesse 49

Dann gilt wegen (1.3.15) und (1.3.16)

d. h., X und Xi sind stationar verbunden ( i = l , . . . , 5). Auf Grund von Hilfs- satz 1.1. gilt also

Xi(q)* X ( E ) = X i ( q ) * X,(E) ( E , 7 EG, i = 1 , . . . , 5) ,

ujKi(t) ix,,n.de,= ux(t)i xXin'de,. ( E E G , i = 1, . . . , 5 ) . Daraus und aus (1.3.18) erhiilt man

X x i ( t ) s X x ( t ) (tea+, i = 1 , . . . , 5)

und somit

) ( t € G + ) (1.3.19) Xx(t) = X , , ( Z ) 0. . . @ % ~ K ~ ( z ) (1.3.20) Xx(t*)=X, , ( th)@. . . @'sexj(t+) (1.3.21) '64, =Cdex, 0. . . @a%& .

~ l t ; ! = ~ $ l ~ . . . o%'&=x,, Aus (1.3.16), (1.3.17), (1.3.19) und (1.3.20) folgt

(j=1, 2, 3 ) .

Weiter ist wegen (1.3.16), (1.3.17) und (1.3.19)

xp= n xx( t ) = n ('3e,~~) 0. . . 0 xe,5(t)) r E G + 7EC+

= n x , ~ ( ~ ) 0 . . . 0 n X,J~) =x!;; 0 . . . 0 x ; ; = x , ~ , rEG+ 7CG+

also (s. (1.3.3) und (1.3.21)) auch 3tg'=X,5. Somit gilt X i ( 5 ) = PpXi(E) = Py ( X * ( t ) + . . . + I&))

=P:$)X(E)=X,(E) ([EG, i = l , . . . , 5 ) .

Damit ist der Satz vollstiindig bewiesen.

Prozep XC G ( G , 3) auf genau eine Weise in cler Form (1.3.22) X ( t ) = X , ( E ) +X4(5) +X,(E) (5EG)

Folgerung 1.3.1. Die Gruppe G + sei diskret geordnet. D a n n ipt s., er

darstellen, wobei X,cG(G, 3) ein Prozep vom T y p i ist ( i= l , 4, 5) u n d die Be- ziehungen (1.3.5), (1.3.6), (1.3.7) u n d (1.3.8) bestehen.

X C G(G, 3) auf genau eine Weise in der Form

(1.3.23) X ( E ) = X , ( E ) + X , ( E ) +X,(E)+x. ; (E) ( E E Q ) darstellen, wobei X,C G ( G , 3) ein Prozep vom T y p i ist ( i=2 , 3, 4, 5) u n d die Beziehungen (1.3.5), (1.3.6), (1.3.7) und (1.3.8) bestehen.

1.4. Der ProzeB S E G(G, 3) heil3t bekanntlich regular, falls 'If$'= {o} gilt (s. z. B. [4], Shschnitt 3.2.).

Satz 1.4. Uer Prozep XE G(G, 3) ist genau dann regular, zcenn er in der Form

Folgerung 1.3.2. Die Gruppe G+ sei dicht geordnet. D a m lapt sich jeder ProzeP

(1.4.1) X ( t ) = S i ( t ) +X,(E) +X,(E) +x,(t) (EEG) 4 Nsth. Kiuclir. Bd. 88

50 Schniidt/Weron, Statioiiiire stochastische Prozesse

darstellbar ist, wobei Xi€ G(G, 8) ein Prozep vom T y p i ist (i= 1, 2, 3, 5) und die Beziehungen (1.4.2) I (i=kj; i , j= 1, 2, 3, 5)

bestehen. Beweis. 1st X reguliir, also %$)={o}, BO ergibt sich (1.41) unmittelbar aus

(1.3.4) (X,(C)=Pg)X(E)=O (EEQ)). (1.4.2) folgt aus (1.3.3) und (1.3.5). - Um- gekehrt folgt aus (1.4.1) und (1.4.2)

Wegen %$!=%xi ( i = 1 , 2, 3, 5) gilt nun %$;={o} ( i= l , 2, 3, 5) und somit %$)={o}, d. h., .X ist regular.

Folgerung 1.4.1. Der Prozep X E G(G, 8) (G+ : diskret geordnet) ist genau dann regular, wenn er in der Form (1.4.3) X(E)=X1(E)+X,(E) ( E E Q ) darstellbar ist, wobei Xi€ G(Q, 8) ein Prozep vom T y p i ist (i= 1, 5 ) una? die Be- ziehung (1.4.4) xdy, I 3tdyj besteht.

regular, wenn er in der Form (1.4.5) X(E)=X,(E)+X,(C) +X,(C) ( E € @ darstellbar ist, wobei Xi€ G(G, 8) ein Prozep vom T y p i ist ( i=2 , 3, 5) und die Beziehungen

bestehen.

3gs %!;; @ %g @ %$3 @ xg .

Folgerung 1.4.2. Der ProzeP XE G(Q! 3) (Q+ : dicht geordnet) ist gennu dann

J- %x3 1 1 3LY2

2. Darstellungen von stationilren stochastischen Prozessen durch gleitende Mittel

2.1. Es sei Q zuniichst das direkte Produkt zweier beliebiger (abelscher) Gruppen G+ und Q- und X ein (komplexer) HILBERT-Raum. Mit G’(Q, X) bezeichnen wir die Klasse aller Prozesse YE G(G, X), deren Kovarianzfunktion l‘, die Form

besitzt, wobei die Kovarianzfunktion F,- des Prozesses 11) Y - c G(G-, iK) der Beziehung

geniigt. Ferner bezeichne li+(B, X) den Raum aller Familien A = {A, I T E G + } von Operatoren A,E[B, XI (zcG+) mit der Eigenschaft

W J ) ry(t)=43E+G4E-) (C= ( E + , C-)@)

(2.1.2) Py-(0)=Ix

Schmidt/Werou, Stationiire stochastische Prozesse 51

ein ProzeB XE G(G, 9) definiert; dabei konvergiert die Reihe auf der rechten Seite von (2.1.3) im Sinne der starken Operatorentopologie, und es gilt (8. [ 5 ] , (2.48) und (2.49))

(2.1.4) 2tLr s%, (2.1.5) U s ( t ) = U y ( E ) I xx (EEG) . Aus Hilfssatz 1.1. und (2.1.5) oder durch direkte Berechnung von

(2.1.6) Y(q)* X ( E ) = r y - (E--q- ) At+-,,+ ( 5 , q E Q )

(8 . (2.1.1)) folgt, daB die Prozesse X und Y stationar verbunden sind.

man als Darstellung durch (diskrete) gleitende Mittel 12).

Prozep mit den folgenden Eigenschaften:

Eine Darstellung des Prozesses XE G(G, 9) in der Form (2.1.3) bezeichnet

Satz 2.1. Es sei G+ eine nicht-diskrete topologische Qruppe und XE G(G, 3) ein

1. X besitzt eine Darstellung der Form (2.1.3). 2. Der Prozep X + C G(G+, 9) ist stetig.

Dann gilt X(E)=O (EEG), aZso A7=0 ( tCG+) . Beweis. Der ProzeB X hesitze eine Darstellung der Form (2.1.3). Fur jedes

vEXI. mit v + o und jede reelle Zahl E mit O - = E - = ~ - ~ ( E ]p12)’ existieren dann

q l , . . . , qsEG und yl , . . . , yAv€X mit E Ip - Y(qJ yi 1 2 ~ ~ ” . Sei E: ein be-

liebiges Element aus G + . Da G+ nicht-diskret ist, gibt es in jeder Umgebung von Eo+ ein Element t+ mit (2.1.7) [+=i=E:+(q+-qT) ( i , j = l , . . . , N ) .

Nun ist wegen (2.1.1), (2.1.7) und der Unitaritiit von U$

1

9

i = l

1

( E lU$(E+) !?-G(E,3 vl”i

Somit ist G + 3 5 + - U $ ( t + ) vex, fur kein yE‘XI7, v*o, (stark) stetig. D e wegen (1.2.1) und (2.1.5)

Ux+(t+)= U $ ( t + ) I ‘ae,+ ( E + EG+)

12) 8. hierzu [5], Satz 2.6. und die anschlieaende Bemerkung. In [5] wird dabei vorau8- gesetzt, daD die Gruppe B+ diskret ist. Der folgende Satz 2.1. zeigt jedoch, daB weitere Unter- suchungen zu (2.1.3) nur fur diesen Fall sinnvoll sind. 4’

52 Schmidt/Weron, Stationiire stochastische Prozess e

gilt, ist auch G+3[+ -Ux+(5+) vE'XX+ fur kein rpE'Xx+, q + o (stark) stetig. Der ProzeB X+ kann also wegen [a], Satz 1.5.1. nur dann ststig sein, wenn XX+= {0} und damit (a. [4], (1.10)) 'de,={o}, also X ( 5 ) = 0 ([€a) gilt. Wegen (2.1.2) und (2.1.6) folgt daraus A,= Y (5+ -t, 5-)* X ( t ) = O ( t€G+) .

2.2. Es sei nun - wie in den Abschnitten 1.2., 1.3. und 1.4. - G das direkte Produkt einer linear geordneten ( ABELschen) Gruppe G + und einer beliebigen (ABELSChen) Gruppe 0-.

Hilfssatz 2.2.1. Fur jeden ProzeP YE G'(G, X ) besteht die Beziehung

Beweis . Aus (2.1.1) folgt sofort Y(t, 5 - ) y I Y(u, 7-) x ((T, ~ E G + , ( T - C T ,

(2.2.1) %y(t) @'dCy(z-)=V {Y(t, 5 - ) I 5-EG-, VEX} ( tEG+) .

5- , ~ - E G - , v, EX), also Cdel'(t)=V {P((T, y-) x I ( T Z T , 7- EG-, x € X }

=v {Y((T, y-) x I u-=t, q-EG-, x € X } 0 V { Y ( t , 5-1 y I t-EG-, yEX}

= s e y ( T - ) @ V {Y( t , 5 - ) y I t-EG-, VEX} (tEG+) . Damit ist die Richtigkeit von (2.2.1) bewiesen. Aus (2.2.1) folgt (2.2.2) @ (Xy(t) @Cdey(~ -))=V { Y ( z , 5 - ) I/J I t € G + , t-EG-, vE3f )=Xy .

rEG+

Folgerung 2.2.1. Ist die Gruppe G+ diskret geordnet, so ist jeder Proxep

Beweis . Aus (2.2.2) folgt XY,)='bf?,- und damit die Richtigkeit der Rehauptung. Folgerung 2.2.2. Ist d i e Gruppe G+ dicht geordnet, so ist jeder ProzeP Y E Gf(G, X)

YEGf(G, X) vom Typ 1.

vom T y p 3, insbesondere gilt also (2.2.3) Xe,(t)=Xae,.(t+) ( tEG+) .

Beweis . Aus (2.2.2) folgt 'df$?=Xe,, d. h., Y ist vom Typ 3. Folglich ist

Eine Darstellung des Prozesses XE G(G, 8) in der Form (2.1.3) mit A,= 0 (t S O )

'MI"'- I. - { o } , d. h., es gilt (2.2.3).

bzw. A,=O (t<O), d. h. in der Form (vgl. [5], (3.19)) (2.2.4a) X ( O = Y ( t , 5-1 AE+-s (5EG)

bzw. r < g +

wird als Darstellung durch einseitige gleitende Mittel bezeichnet.

Hilfssatz 2.2.2. Besitzt der ProzeP XE G(G, 8) cine Darstellung der Form (2.2.4a) bzw. (2.2.4b), so gilt (2.2.5a) Xx(0)&%f?,.(O -) bzw. (2.2.5b) Xx(0)~2el.(O) .

SchmidtJWeron, Stationare stochastische Prozesse 53

Beweis. Aus (2.2.4a) bzw. (2.2.4b) folgt zuniichst

X ( q ) gE v {Y(.7 q - ) X I = q + l

X ( r ) 9EV {W, 7-1 X I z s q + l

S%y(q+ - ) sxy(O-) (qEGij+-XQ-, gE8) bzw.

S Y ( r l + )= Cede Y (0) (qEG,f_XQ-, g E 8 ) und daraus die Richtigkeit von (2.2.5a) bzw. (2.2.5b).

Folgerung 2.2.3. Besitzt der Prozep X E G(G, 8) eine Darstellung der Form (2.2.4a), 50 gilt (2.2.6a) Cde,(O+)gx,(O) .

Beweis. Falls G + diskret geordnet ist, schlieBt man aus (2.2.5a) und Hilfe- satz 1.2.4. sofort auf die Richtigkeit von (2.2.6a). Falls G+ dicht geordnet ist, folgt aus (1.2.2a), (2.2.5a) und Hilfssatz 1.2.2. zunachst

?do+)= =x Y ( O f ) 9

also wegen (2.2.3) die Richtigkeit von (2.2.6a).

(2.2.4b), so gilt13) (2.2.6 b)

Folgerung 2.2.4. Besitzt der Prozep X E G(G, 8) eine Darstellung der Form

xY(O k)S'd&(O z!z ) . Beweis. (2.2.6b) ergibt sich unmittelbar aus (2.2.5b) und Hilfssatz 1.2.2. In [5], Satz 3.2.1. wurde gezeigt, daI3 jeder durch einseitige gleitende Mittel

darstellhare ProzeB aus G(G, 8) r e g u h ist, falls Gf als ARCHIMEDEssCh geordnet vorausgesetzt wird. Ferner wurde in [6], Satz 3.3.1. gezeigt, dafi jeder regulsre ProzeB aus 6 (ZxG-, &%) durch einseitige gleitende Mittel darstellbar ist. Die in den folgenden Ahschnitten enthaltenen Aussagen sind als Verfeinerungen dieser Ergebnisse anzusehen.

2.3. Es sei G+ diskret geordnet. Satz 2.3.1. Der ProzeP X E G(G, 8) ist genau dann vom T y p 1, wenn er eine

Darstellung durch einseitige gleitende Mittel (2.2.4 a) gestattet, wobei die Beziehungen (2.3.1 ) x, = '3tLr (2.3.2a) 'Xe,.(O - )=' l t , (O) (2.3.3a) ' 3 t , (O)= '~c , (O+)

bestehen 16).

Beweis. Der ProzeB X sei vom Typ 1. Dann gilt nach Definition

rde,=gr!;)= o (x,.(.+) ~ x ~ ~ c . ) ) , r€G+ - ~~

13) Falle G+ dicht geordnet iat, liiI3t sich Xx(O +) &%,(O +) auf Grund von (2.2.3) zu atx(O +)

1 4 ) Aus Hilfssatz 1.2.4. folgt leicht, daI3 die Beziehungen (2.3.2~1) und (2.3.3a) im Falle einer 5 'X y(0) verschiirfen.

diskret geordneten Gruppe iiquivalent sind.

54 Schmidt/Weron, Stationiire stochastische Prozesse

also 15)

(2.3.4a) Ixx= c QX(t+) . Daraus folgt

rEQ+

' X d O ) = 0 ('X&+ 1 ocdeK(z)) f T < O

also

(2.3.5a) p,(O)= c Q X ( t + ) .

X bezeichne nun einen HILBEET-Raum mit der Eigenschaft 7 co

dim X=dim Q x ( O + ) XX+ ; Y(0) sei ein isometrischer Operator aus [g, 'de,] mit

(2.3.6) Y ( 0 ) x=Qx(O+) %x+. Durch (2.3.7) Y ( t , 5 - ) : = U x ( t , [-) Y ( 0 ) (zEQ+, E-EG-) wird dann gemiiB [4], Satz 1.3.2. ein ProzeB YE G(G, X) definiert. Offensichtlich gilt Y(O)* Y(O)=I , , d. h. (2.1.2), und aus (2.3.8) Y ( t , l - ) XS'de , ( t+ ) @'Xx(t) (zEG+, E - E Q - ) folgt, daB fur jedes z EG+ mit z =k 0 und jedes 5- EQ- die Raume Y(z, t-) X und Y ( 0 ) X zueinander orthogonal sind, d. h., daB T,.(t, 5 - ) = Y(O)* Y ( t , 5 - ) = 0 und somit (2.1.1) gilt. Folglich ist Y E G'(G, X ) , Nach Konstruktion von Y hestehen die Beziehungen (2.3.9) 'X,-g%,x (2.3.10a) ' d c , ( O -)C,'Xx(0)

und (2.3.11a) ' X , ( 0 ) ~ X x ( O + ) .

Ferner gilt (2.3.12) Q x ( O + ) X + ( z ) bgQx(O+) gs'Xx(O+) @'Xx(0) ( t € G + ) .

Wegen Y(0) Y(0)*=P('Xx,&,(O+) 'de,,) erhillt man aus (2.3.12)

(2.3.13) Q x ( O + ) X + ( T ) = Y(0) Y(O)* x+(t) ( t€Q+) .

Wir setzen nun

Dann gilt

~

~~

A,: = Y(O)* X + ( t ) (t€Q+) .

(2.3.14) Q x ( t + ) X(E)= Y ( t , 5 - ) (tEQ+, E E Q ) Aus (2.3.14) folgt speziell (2.3.15) QX(t+) X ( O ) = Y + ( z ) A _ , ( t € G + ) .

Schmidt,/Weron, Stationare stochastische Prozesse 55

Aus (2.1.1), (2.1.2) und (2.3.15) ergibt sich

(2.3.16) IIA-,fl12=E I&.y(t+) X ( 0 ) f I 2 ( tEQ+, f € $ ) 9

speziell also (2.3.17a) A-,=O ( t € G : + ) .

Auf Grund von (2.3.5a), (2.3.16) und (2.3.17a) ist

Aus (2.3.4a), (2.3.14) und (2.3.17a) erhiilt man

der Prozerj X 1iiBt sich also in der Form (2.2.4a) darstellen; folglich bestehen die Beziehungen (2.1.4), (2.2.5a) und (2.2.6a). Daraus sowie aus (2.3.9), (2.3.108) und (2 .3 . l l a ) folgt die Richtigkeit von (2.3.1), (2.3.2a) und (2.3.3a). - Es sei nun umgekehrt XEG(G, 3) in der Form (2.2.4a) darstellbar, und es gelte dabei (2.3.1), (2.3.2a) und (2.3.3a). Auf Grund von Hilfssatz 1.1. hat man dann

3 [ X ( t + ) exLy(t)=xy(t) @xy(t-) (z€G+) 9

also (a. (2.2.2) und (2.3.1))

Folglich ist X vom Typ 1.

Satz 2.3.2. Der Prozep X € G(G, 3) ist genau dann vom T y p 1 , wenn er eine Darstellung (lurch einseitige gleitende Mittel (2.2.4 b) gestattet, wobei die Beziehungen (2.3.1),

(2.3.213) XJO) =zX(O) (2.3.3 b) batehen I(;) , 17).

'de,.(O f ) =Cd[,(O k )

Beweis. Der Prozel3 X sei vom Typ 1. Dann gilt nach Definition arX=3t!;.)= 0 -)) ,

T E Q +

also 18)

'Ii) Es ist leicht zu sehen, daB (2.3.2 b) nur erfiillt sein kann, wenn in der Darstellung (2.2.4b)

'7) Bus Hilfssatz 1.2.3. folgt leicht, daB die Beziehungen (2.3.2b) und (2.3.3b) im Falle einer A,+O gilt.

diskret geordneten Gruppe iiquivalent sind. 18) Q . ~ ( T - ) = P (xx, se,(t) e.x,(T-))=ugT) ( P , ( O ) - P ~ ( O - ) ) u g - t ) (M+).

56 SchmidtlWeron, Stationiire stochestische Proeesse

Damus folgt

‘ d e , ( O ) = 0 (%XW OCdeBb 4 9

I S O

also

(2.3.5b) Px(0) = 2’ Q X ( t -) . T S O

Wie im Beweis von Satz 2.3.1. (man hat lediglich X d r ( t + ) @ X x ( t ) durch X x ( t ) 0 @%,(z -) und dementsprechend QX(t + ) durch QX(t -) zu ersetzen) konstruiert

man einen ProzeB Y E G’(Q, X ) mit den Eigenschaften (2.3.9), (2.3.10 b) und (2.3.11b) X , . ( O r t ) ~ X x ( O f ) , so dal3 fur A,= Y(O)* X + ( t ) ( t C G + ) die Beziehung

(2.3.17b) A-,=O ( t € G : ) besteht. Auf Grund von (2.3.5b), (2.3.16) und (2.3.17b) ist

%,( 0) & XX( 0)

c II&fII’= c l l L f 1 1 2 = ~ E IQx(t -1 X ( 0 ) f 1 2 T € G + + ? S O

1 EGO -

= E lP,(O) X ( 0 ) f12=E IX(0) f12-=- ( f € 3 ) .

X(E) = c && -1 X(E) = c Y b , E - ) A,+-, Aus (2.3.4b), (2.3.14) und (2.3.17b) erhiilt man

Z E G f TEG+

= c Y(t , E - ) Ae+-, ( E E Q ) ; tbC+

der ProzeB X liil3t sich also in der Yorm (2.2.4b) darstellen; folglich bestehen die Beziehungen (2.1.4), (2.2.5b) und (2.2.6b). Daraus sowie aus (2.3.9), (2.3.10b) und (2.3.11b) folgt die Richtigkeit von (2,3.1), (2.3.213) und (2.3.3b). - Es sei nun umgekehrt XE G(G, $) in der Form (2.2.413) darstellbar, und es gelte dabei (2.3.1), (2.3.2b) und (2.3.313). Auf Grund von Hilfssatz 1.1. hat man dann

also (8. (2.2.2) und (2.3.1))

xx(t) - ) = x ~ , ( ~ ) oxae,(t -1 ( t ~ ~ + ) ,

xi’= @ (3 tY ( t ) 0 X e , ( T - ) )= @ ( 2 f Y ( t ) @ae,(t - ) ) = X y = X x . ?€a+ : EG+

Folglich ist X vom Typ 1. Es sei Q+ dicht geordnet.

Srttz 2.3.3. Der Prozep X C G(Q, 3) ist genau dann vom T y p 2, wenn er eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel (2.2.4 a) gestattet, wobei die Beziehungen (2.3.1), (2.3.2a) und (2.3.3a) bestehen19).

‘9) Mit. Hilfe von Hilfssatz 1.1., Hilfssatz 1.2.2., (1.2.2~3) und (2.2.3) kann man zeigen, da13 im Falle einer dicht geordneten Gruppe G + aus der Giiltigkeit, von (2.3.2a) das Bestehen von (2.3.3a) folgt.

SchmidtIWeron, Stationiire stochastische Prozesse 57

Der Beweis kann nahezu wortlich von Satz 2.3.1. ubernommen werden. Satz 2.3.4. Der Prozep X € G ( G , 5) ist genau dann vom Typ 3, wenn er eine

Darstellung durch einseitige gleitende Mittel (2.2.4 b) gestattet, wobei die Beziehungen (2.3.1), (2.3.2b) und (2.3.3b) bestehen20), 2 1 ) , 22).

Der Beweis kann nahezu wortlich von Satz 2.3.2. iibernommen werden. Es sei nun G+ wieder eine beliebige linear geordnete (ABELsChe) Gruppe. Satz 2.3.5. Es sei G+ eine nicht-diskrete topologische Gruppe und XE G(G, S)

ein Prozep, fiir den X+( € G(G+, 3)) stetig ist. Dann treten in der Zerlegung (1.3.3) bxw. (1.3.4) nur die Teilraume ‘It!;) und ‘It!;’ bzw. nur die Prozesse X, und X; auf 23).

Beweis. Die Prozesse X i (i= 1, 2, 3) sind auf Grund der voranstehenden Satze durch einseitige gleite Mittel (2.2.4a) bzw. (2.2.4b) darstellbar. Da aber wegen (1.2.1), (1.3.8) und [4], Satz 1.5.1. mit X+ auch Xi. stetig ist, gilt auf Grund von Satz 2.1. X, ( t )=O ( tEG), also 3’tx,={o) ( i= l , 2, 3).

-~ _ _ ‘0) Dabei IMt sich X , ( O + ) = X , ( O + ) auf Grund von (2.2.3) durch X y ( 0 ) =Xx(O+) ersetzen. 21) 8. FuDnote16). ?a) Auf Grund von Hilfssatz 1.2.2. folgt a m (2.3.2b) die Giiltigkeit von ( 2 . 3 3 ) . 23) 8. Bemerkung 1.3.

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Politechnika Wrochud-a Instytut Matematyki

Wybrzeie Wyqhriskiego 27 PL-50-370 WROCAAIV