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Strukturerhaltende Zeitintegratoren Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen (Tobias Hofmann)
Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen
1
Mittwoch, 26. Januar 2011
Strukturerhaltende Zeitintegratoren Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen (Tobias Hofmann) 2
Gliederung:
1. Wiederholung
2. Das SHAKE-Verfahren
3.Spezialisierung/Vorbereitung
4. Berechnung der Lagrange-Multiplikatoren
5. Potentialtheorie/Programmbeispiele
Mittwoch, 26. Januar 2011
Strukturerhaltende Zeitintegratoren Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen (Tobias Hofmann) 3
Wiederholung des RATTLE-Algorithmus
pn+ 1 4 = pn − ∆t
2 ·GT(qn) · λn
(pn+ 3 4 , qn+1) = Ψ∆t(p
n+ 14 , qn)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+ 3 4 − ∆t
2 ·GT(qn+1) · λn+1
Mittwoch, 26. Januar 2011
Strukturerhaltende Zeitintegratoren Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
für Zwangsbedingungen (Tobias Hofmann) 4
Das SHAKE-Mehrschrittverfahren
qn+1 − 2qn + qn−1 = −∆t2 ·M−1 · (GT(qn)λn +Uq(qn)) 0 = g(qn+1)
Mittwoch, 26. Januar 2011
Strukturerhaltende Zeitintegratoren Das SHAKE/RATTLE Zeitintegrationsverfahren
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Eine Beschränkung
gij : � Rd
�N→ R (q1, q2, . . . , qN) �→ �qi − qj�2 − d2ij
gij(q) = 0
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Versteckte Bedingung
ġij = 2· < qi − qj, q̇i − q̇j >= 0
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Die Beschränkungen
g : � Rd
�N→ RM
(q1, q2, . . . , qN) �→
�qi1 − qj1�2 − d2i1j1 �qi1 − qj1�2 − d2i1j1
. . . �qiM − qjM�2 − d2iMjM
g(q) = 0
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Spezieller RATTLE-Algorithmus (gewohnte Hamilton, Störmer-Verlet, spezielle Beschränkungen)
pn+ 1 4 = pn − ∆t
2 ·GT(qn) · λn
pn+ 1 2 = pn+
1 4 − ∆t
2 ·Uq(qn)
qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12
pn+ 3 4 = pn+
1 2 − ∆t
2 ·Uq(qn+1)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+ 3 4 − ∆t
2 ·GT(qn+1) · λn+1
0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Die erste nichtlineare Gleichung
0 = g(qn +∆t ·M−1 · (pn − ∆t 2
·GT(qn) · λn − ∆t 2
·Uq(qn)))
0 = g(q̃n+1 − ∆t 2
2 ·M−1 ·GT(qn) · λn)
q̃n+1 = qn +∆t ·M−1 · (pn − ∆t 2 Uq(q
n))
p̃n+ 3 4 = pn − ∆t
2 Uq(q
n)− ∆t 2 Uq(q
n+1)
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Hilfsrechnung: (GT(qn) · λn)k =
=
(∇qgi1j1 . . .∇qgiMjM) ·
λni1j1 ...
λniMjM
k
=
∂q1(gi1j1) · · · ∂q1(giMjM) ∂qk(gi1j1) · · · ∂qk(giMjM) ∂qN(gi1j1) · · · ∂qN(giMjM)
·
λni1j1 ...
λniMjM
k
= �
(i,j)∈I,i
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Die Gleichung, betrachtet in einer Komponenten:
�q̃n+1i − q̃ n+1 j −∆t
2 · ( 1 mi
+ 1
mj )(qni − qnj )λij�2 ≈ d2ij
Genäherte Komponente:
�q̃n+1i − q̃ n+1 j −∆t
2 · ( 1 mi
�
l:(i,l)∈I∪I∗ (qni − qnl )λil −
1
mj
�
l:(l,j)∈I∪I∗ (qnj − qnl )λlj)�2 = d2ij
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Die Näherungslösung für den Lagrange-Multiplikator
λij ≈ d2ij − �q̃
n+1 i − q̃
n+1 j �2
−2∆t2 · ( 1mi + 1 mj
)�qni − qnj , q̃ n+1 i − q̃
n+1 j �
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Spezieller RATTLE-Algorithmus
pn+ 1 4 = pn − ∆t
2 ·GT(qn) · λn
pn+ 1 2 = pn+
1 4 − ∆t
2 ·Uq(qn)
qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12
pn+ 3 4 = pn+
1 2 − ∆t
2 ·Uq(qn+1)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+ 3 4 − ∆t
2 ·GT(qn+1) · λn+1
0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Die resultierenden Aktualisierungen
q̃n+1i = q̃ n+1 i +
∆t2
2mi · (qni − qnj )λij
q̃n+1j = q̃ n+1 j −
∆t2
2mj · (qni − qnj )λij
p̃ n+ 34 i = p̃
n+ 34 i +
∆t
2 · (qni − qnj )λij
p̃ n+ 34 j = p̃
n+ 34 j −
∆t
2 · (qni − qnj )λij
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Die zweite nichtlineare Gleichung
G(qn+1) ·M−1 · (p̃n+1 − ∆t 2
·GT(qn+1)λn+1)) = 0
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Lösung der zweiten nichtlinearen Gleichung
�qn+1i − q n+1 j ,
1
mi p̃n+1i −
1
mj p̃n+1j −
∆t
2 ( 1
mi
�
l:(i,l)∈I∪I∗ (qn+1i − q
n+1 l )λ
il − 1 mj
�
l:(l,j)∈I∪I∗ (qn+1l − q
n+1 j )λ
lj)� = 0
�qn+1i − q n+1 j ,
1
mi p̃n+1i −
1
mj p̃n+1j −
∆t
2 ( 1
mi +
1
mj )(qn+1i − q
n+1 j )λ
ij� ≈ 0
λij ≈ 2 ∆t
· �qn+1i − q
n+1 j ,
1 mi
p̃n+1i − 1mj p̃ n+1 j �
( 1mi + 1 mj
) · d2ij
Mittwoch, 26. Januar 2011
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Spezieller RATTLE-Algorithmus
pn+ 1 4 = pn − ∆t
2 ·GT(qn) · λn
pn+ 1 2 = pn+
1 4 − ∆t
2 ·Uq(qn)
qn+1 = qn +∆t ·M−1 · pn+ 12
pn+ 3 4 = pn+
1 2 − ∆t
2 ·Uq(qn+1)
0 = g(qn+1)
pn+1 = pn+ 3 4 − ∆t
2 ·GT(qn+1) · λn+1
0 = G(qn+1) ·M−1 · pn+1
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Die resultierenden Aktualisierungen Abschließende Anmerkungen
p̃n+1i = p̃ n+1 i +
∆t
2 · (qn+1i − q
n+1 j )λ
ij
p̃n+1j = p̃ n+1 j −
∆t
2 · (qn+1i − q
n+1 j )λ
ij
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Das Lennard-Jones-Potential im Vergleich zum Gravitationspotential
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