Dasar Logika Matematika

Week 4-5. Truth Values, Set and Venn Diagrams

Oleh: Team Dosen Dasar Logika Matematika

Wayan Suparta, PhD https://wayansuparta.wordpress.com

Pertemuan 4 - 5: CPS 105 (3 SKS)

If… Then Statements

• Statement if P then Q disebut conditional proposition (implication), dimana P adalah proposition dan Q adalah proposition.

P: hypothesis (atau antecedent: logically precedes another)

Q: Conclusion (atau consequent: a thing that follows another)

• Math symbol:

P Q (= if P then Q)

Artinya P implikasi Q (= jika P berarti Q)

Contoh if…then

• Kamu akan mendapat grade A, Jika total nilai kamu lebih besar dari 85.

If total nilai Kamu lebih besar dari 85, then Kamu akan mendapat grade A.

• x = 2 dan y=2 implikasi x + y + 1 = 5. If x = 2 dan y = 2, then x + y + 1 = 5

• If burung bisa terbang then gajah memiliki belalai A: burung bisa terbang : true

B: gajah memiliki belalai : true

Maka: if A then B : true

If… Then Statements

• if P then Q hanya akan bernilai False jika P=True dan Q=False

P Q if P, then Q

F F T

F T T

T F F

T T T

Contoh truth values pada if…then

• If 3 - 2 = 1 then 3 - 1 = 2 u: 3 - 2 = 1 : true

v: 3 – 1 = 2 : true

Maka: if u then v : true

• If 3 - 2 = 1 then 7 - 3 = 2 u: 3 - 2 = 1 : true

v: 7 – 3 = 2 : false

Maka: if u then v : false

• If burung bisa terbang then gajah bisa terbang A: burung bisa terbang : true

B: gajah bisa terbang: false

Maka: if A then B : false

Alternative Phrasings of Conditional

• Dalam bahasa sehari-hari sering kita temui statement yang sebenarnya merupakan if…then statement, perhatikan contoh berikut:

▫ Saya tidak akan kembali kalau saya pergi

Dalam if…then statement:

If Saya pergi then Saya tidak akan kembali

▫ Turun hujan lagi akan terjadi banjir

Dalam if…then statement:

If Turun hujan lagi then akan terjadi banjir

Alternative Phrasings of Conditional

• Berikut adalah Alternative Phrasing/ Ungkapan Alternatif dari if P then Q : P is sufficient for Q (=P “mencukupi untuk” /

“dapat dikatakan” / “Artinya” Q) Q is necessary for P (=Q “diperlukan untuk” P) P will lead to Q (=P “akan menyebabkan” Q) Q if P (=Q “jika” P) P implies Q (=P “berarti” Q atau P “implikasi” Q) Q whenever P (=Q “kapan saja” / “sewaktu-waktu”

/ “setiap kali” P)

Contoh Alternative Phrasing untuk

if…then

• P is sufficient for Q (=P “mencukupi untuk” / “dapat dikatakan” / “Artinya” Q)

1. Eating is a sufficient condition for being alive

If you are eating then you are alive. Jelaskan logikanya!

2. Tinggal di bogor dapat dikatakan tinggal di jawa barat

If Kamu tinggal di bogor then Kamu tinggal di jawa barat. Jelaskan logikanya!

Contoh Alternative Phrasing untuk

if…then

• Q is necessary for P (=Q “diperlukan untuk” P)

1. Eating is necessary for being alive

If you are alive then you are eating

Jelaskan logikanya!

2. Bernafas diperlukan untuk hidup

If Kamu hidup then Kamu bernafas

Jelaskan logikanya!

Converse, Inverse, & Contrapositive

• Urutan/posisi proposition dalam suatu conditional (if…then) sangat berpengaruh.

• Converse merupakan suatu conditional dimana posisi tiap proposition ditukar.

Conditional : if P then Q

Converse-nya : if Q then P

Converse, Inverse, & Contrapositive

• Inverse merupakan suatu conditional dimana tiap proposition adalah negation.

Conditional : if P then Q

Inverse-nya : if ~P then ~Q

• Contrapositive merupakan inverse dari converse.

Conditional : if P then Q

Converse-nya : if Q then P

Contrapositive-ya : if ~Q then ~P

Contoh & Truth Table

• If you are sleeping then you are breathing Converse : If you are breathing then you are sleeping

Inverse : If you are not sleeping then you are not breathing

Contrapositive : If you are not breathing then you are not sleeping

Truth Table

P Q ~P ~Q If P then Q If Q then P (Converse)

If ~P then ~Q (Inverse)

If ~Q then ~P (Contrapositive)

F F T T T T T T

F T T F T F F T

T F F T F T T F

T T F F T T T T

Logically equivalent

Logically equivalent

LATIHAN 4A

1. Conditional: “if Bintaro berada di tangerang selatan then Kamu tinggal di bintaro”. a) Converse : ______________________ b) Inverse : ______________________ c) Contrapositive : ______________________ d) Tempat tinggal kamu di bintaro: Ya / Tidak Berdasarkan jawaban d, maka; e) Truth value untuk conditional: True / False f) Truth value untuk converse: True / False g) Truth value untuk inverse: True / False h) Truth value untuk contrapositive: True / False

2. Buat contoh bahasa sehari-hari untuk (alternative phrasing): Q if P (=Q “jika” P)

P implies Q (=P “berarti” Q atau P “implikasi” Q)

Q whenever P (=Q “kapan saja” / “sewaktu-waktu” / “setiap kali” P)

Buat if…then statementnya, dan berikan penjelasan untuk masing2 contoh yang anda buat. Contoh jawaban dan penjelasan: Bahasa sehari-hari:

_____________________________________________

If…then statement:

If __________________ then _____________________

Penjelasan:

if…then statement di atas pasti true, jika ; ___________________

If…then statement di atas mungkin bernilai false ? Ya / Tidak

Karena : __________________________________________

Objective

• Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set)

• Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan diagram venn

Himpunan dan Diagram Venn

16

Definisi

• Himpunan (set) adalah kumpulan objek

• Objek di dalam himpunan

disebut elemen, unsur, atau anggota.

• HIMA adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

Georg Cantor (1845-1918) seorang matematikawan asal Jerman. Ia adalah orang pertama yang menemukan teori himpunan

17

• Satu set huruf (besar dan kecil)

18

Cara Penyajian Himpunan

1. Penulisan anggota Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a},b} } - K = { {} } himpunan K mempunyai anggota himp kosong

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

19

Keanggotaan Anggota himpunan ditulis dengan Simbol

(elemen) x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. • Contoh • Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b,

c}, {a, c} } • K = {{}} • maka 3 A {a, b, c} R {} K

20

2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat integer= { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan

dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah

himpunan bagian (subset) dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

21

Contoh Himpunan

• Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota

himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau. • Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota

himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7. Contoh bukan himpunan: • Kumpulan baju-baju bagus. • Kumpulan makanan enak. Himpunan bagian (subset): A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B A B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂ A

22

3. Notasi Pembentuk Himpunan

• Penulisan Anggota himpunan dibatasi oleh oleh kurung kurawal braces { }, setiap anggota dipisahkan dengan koma • Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5 Jawab : A = { 1, 2, 3, 4} Atau penulisan dengan notasi : A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau bisa juga ditulis dengan bentuk seperti ini : A = { x | x P, x < 5 }

23

4. Diagram Venn

Contoh

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 2

53 6

8

4

7A B

John Venn (4 Ags 1834 -4 Apr 1923) seorang matematikawan, ahli logika dan filsuf asal Inggris yang menemukan diagram Venn. Dengan menggunakan diagram Venn ini, relasi antar himpunan menjadi lebih mudah dipahami. Ia yang memperkenalkan diagram Venn, yang dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti: teori set, probabilitas, logika, statistik, dan ilmu komputer.

Relasi Himpunan (set relationships)

• Subset

• Disjoint

• Overlapping

25

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan

B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan

elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn: U

AB

26

Disjoint(Himpunan Saling Lepas)

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya

tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn: U

A B

Contoh

Jika A = { 1,2,3,5 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Misalkan C={a,b,c , 3,5} dan D= {f,g,h} , maka C // D.

27

Overlapping

Dua himpunan A dan B dikatakan overlapping jika keduanya memiliki elemen yang sama. Pada bagian elemen yang sama disebut dengan intersection/irisan Notasi irisan: A B = { x x A dan x B }

1. Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakan diagram venn: - Menteri dan DPR - Pemenang Oscar dan pemenang Golden

Globe - Bilangan asli (natural number), bilangan

cacah (whole number), integer, rasional, dan bilangan real. Dimanakah letak bilangan irasional dalam diagram ini.

- Atlet dan Mahasiswa

Contoh SOAL

• Menteri dan DPR :

Seseorang pejabat hanya boleh memangku satu jabatan antara menteri atau DPR sehingga hubungan relasi antara keduanya adalah disjoint.

Menteri DPR

• Pemenang Oscar dan Golden Globe

Beberapa orang telah memenangkan kedua piala oscar dan golden globe, maka hubungan relasi antara keduanya adalah overlapping set

Pemenang Oscar

Pemenang Golden Globe

Real

Rational

Integer

Whole number

- Bilangan asli (natural number), bilangan cacah (whole number), integer, rasional, dan bilangan real. Dimana letak bilangan irasional dalam diagram ini

- Bilangan asli (natural number) adalah bilangan cacah yang tidak nol sehingga dapat dikatakan bilangan asli subset dari bilangan cacah (whole number). Semua bilangan cacah adalah anggota bilangan bulat (integer ) sehingga bilangan cacah subset dari bilangan integer, bilangan integer adalah subset dari bilangan rasional. Bilangan rasional adalah anggota dari bilangan real.

- Bilangan irasional adalah bilangan real yang bukan bilangan rasional, maka letak bilangan irasional berada pada bilangan real

Natural number

irational

32

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A

Contoh

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8

(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5

33

Himpunan kosong (null set)

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {} Contoh 7. (i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

34

Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan

elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan

elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B

adalah himpunan bagian dari A.

Notasi : A = B A B dan B A

35

Contoh (i) Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C

36

Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B

jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan

tersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka

A ~ B sebab A = B = 4

37

Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh 14.

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A //

B

(iii) A={amir, budi, ani} dan B={budi, ali, toni} maka A B = {budi}

38

2. Gabungan (union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh 15.

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B =

{ 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

39

3. Komplemen (complement)

Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A

= {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A

= { 1, 3, 5, 7, 9 }

40

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi sbb :

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor

dari luar negeri”

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990

yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”

41

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor

dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990

yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual

lebih dari Rp 100 juta” BDC

Contoh Soal:

Gambarkan dalam diagram venn dari table berikut:

BIOLOGI BISNIS

WANITA 32 110

PRIA 21 87

Wanita 110

Biologi 21

32

87

1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa, diantaranya 18 siswa suka IPA, 23 suka IPS, 8 siswa suka keduanya dan sejumlah siswa tidak suka keduanya,tentukan: a. jumlah siswa yang tidak suka keduanya b. Gambarkan diagram venn

2. Suatu klompok belajar berjumlah 21 siswa, diantaranya 10 siswa belajar bahasa inggris, 15 siswa belajar matematika tentukan: a. jumlah siswa yang belajar keduanya, b. Gambarkan diagram venn

3. Tuliskan himpunan kelas dasar logika (10 anggota saja) dan kelompokan dalam beberapa himpunan berdasarkan prodi.

LATIHAN 4B

3. Survey dari beberapa pembaca surat kabar di Jakarta :

Surat Kabar

Pembaca Surat Kabar

Pembaca

Hanya Kompas

24 Hanya Kompas dan Poskota

14

Hanya PosKota

27 Hanya Kompas dan Sindo

16

Hanya Sindo 26 Hanya Poskota dan Sindo

13

Tidak baca 15 Semua surat kabar itu

8

a. Gambarkan Diagram Venn dari tabel tersebut

b. Berapa banyak orang yang membaca kompas dan poskota

c. Berapa banyak orang yang Membaca kompas atau Sindo?

d. Berapa banyak orang yang Membaca kompas atau sindo atau poskota?

e. Berapa banyak orang yang membaca kompas tapi bukan poskota

4. Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, diperoleh data 67 orang sarapan dengan Berger, 40 orang sarapan dengan roti cane, dan 18 orang sarapan berger dan roti cane, sedangkan 33 orang sarapannya tidak dengan berger ataupun roti cane. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!

5. Hasil survey terhadap 50 orang penduduk di suatu Kota Kejepit, diperoleh hasil sebagai berikut: 28 orang menyukai Bir, 27 orang menyukai Anggur, 12 orang menyukai susu, 22 orang menyukai minum Bir dan Susu, 8 orang menyukai Berger dan Susu, 9 orang menyukai Anggur dan Susu, 5 orang menyukai ketiga-tiganya. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan tentukan banyaknya warga menyukai Susu, menyukai Berger, menyukai Anggur, dan tidak menyukai ketiga-tiganya.

6. Jumlah mahasiswa manajemen C adalah 42. Ada 14 orang yang tidak berminat dengan Matematika dan IPA. Hitunglah nilai x dari diagram Venn berikut:

Terima Kasih