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Déconvolution d’images satellitaires par paquets d’ondelettes complexes
André Jalobeanu, Laure Blanc-Féraud, Josiane Zerubia
Projet ARIANAINRIA Sophia Antipolis, France
CNRS / INRIA / UNSA
www.inria.fr/ariana
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 2
• Position du problème• Représentations efficaces et choix de la base• Transformée en ondelettes complexes• Transformée en paquets d’ondelettes complexes• Seuillage de la transformée
– Différentes méthodes– Estimation des paramètres– Deux algorithmes : COWPATH 1 et 2– Résultats
• Conclusion et perspectives
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 3
Les images observées sont dégradées :
Y = h * X0 + N Bruit :Blanc et gaussien(variance connue)
Équation d’observation
Noyau de convolution(RI connue)
Image originaleImage observée
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 4
Position du problème
Problème inverse mal posé [Hadamard 23]
• existence,• unicité,• stabilité de la solution ?
Inversion à amplification du bruit
Petites erreurs sur Y à grandes erreurs sur X
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 5
Introduction
• Méthodes monoéchelle [Geman & McClure 85, Charbonnier 97, …]
Régularisation + préservation des contours
Trouver X qui minimise U(X) :
U(X) = ||Y-h*X||2 / 2σ2 + Φ(X)
Attache aux données Terme de régularisationnon quadratique
• Méthodes multiéchelle [Mallat 89, Bijaoui 94, …]Analyse multirésolution à ondelettes• Régularisation de méthodes itératives classiques (statistiques)
(seuillage d’une transformée invariante par translation)
• Modèles variationnels multirésolution
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 6
Introduction
• Filtrage après inversion [Donoho, Mallat, Kalifa 99]
• Inversion non régularisée (domaine de Fourier)• Transformée (changement de base)• Seuillage des coefficients• Transformée inverse (retour à l’espace image)
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 7
Représentationspour un filtrage efficace
Séparation efficace du signal et du bruit déconvolué :- représentation compacte du signal- compression du bruit dans les hautes fréquences
Image déconvoluéesans régularisation
Transformée
signal
bruit
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 8
Filtrage du bruit déconvolué
• Annuler les coefficients correspondant au bruit seul• Seuillage des coefficients contaminés par le bruit
Dans la nouvelle base, les coefficients de la transformée du bruitdoivent être independantsà permet un seuillage séparé
è covariance du bruit « presque diagonalisée » [Kalifa 99]
Le bruit déconvolué est coloré !!
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 9
Choix de la base
• Représentation compacte • Covariance du bruit « presque diagonale »
L’estimateur de seuillage est optimal [Donoho, Johnstone 94]
T-T
x
θT(x) Fonction de seuillage
Coefficientdans la nouvelle base
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 10
Construction de l’algorithme
Choix de la base :• compacité
• diagonalisation• reconstruction
• propriétés d’invariance
Choix de la fonctionde seuillage
Valeur optimaledu seuil ?
Déconvolutionbrutale
Transforméedirecte
seuillage Transforméeinverse
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 11
Ondelettes complexes
¶ Invariance par translation¶ Sélectivité directionnelle¶ Reconstruction parfaite¶ Algorithme rapide O(N)
• quad-arbre (4 arbres d’ondelettes parallèles) [Kingsbury 98]
• filtres décalés d’½ et ¼ de pixel entre les arbres• combinaison des arbres à coefficients complexes
• Implantation par banc de filtres• Ondelettes biorthogonales
Propriétés :
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 12
Quad-arbre : 1er niveau
a0(image)
a1A
d21A
d11A
d31A
a1B
d21B
d11B
d31B
a1C
d21C
d11C
d31C
a1D
d21D
d11D
d31D
a1
d21
d11
d31
Transformée non decimée Arbres parallèles ABCD
AB
CD
AB
CD
AB
CD
AB
CD
AA A
A
AA A
A
AA A
A
AA A
ABB B
B BB B
B
BB B
B BB B
BCC C
CCC C
C
CC C
CCC C
CDD D
D
DD D
D
DD D
D
DD D
D
Reconstructionparfaite :moyenne
(A+B+C+D)/4
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 13
â2e
â2e
he
ge
aj,A
he
ge
â2e
â2e
he
ge
â2e
â2e
aj+1,A
d1j+1,A
d2j+1,A
d3j+1,A
Quad-arbre : niveau j
Filtres de longueur différente : ho, go, he, ge à décalage < pixel
â2e
â2e
he
ge
aj,B
ho
go
â2o
â2o
ho
go
â2o
â2o
aj+1,B
d1j+1,B
d2j+1,B
d3j+1,B
â2o
â2o
ho
go
aj,C
he
ge
â2e
â2e
he
ge
â2e
â2e
aj+1,C
d1j+1,C
d2j+1,C
d3j+1,C
â2o
â2o
ho
go
aj,A
ho
go
â2o
â2o
ho
go
â2o
â2o
aj+1,D
d1j+1,D
d2j+1,D
d3j+1,D
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 14
Coefficients complexes
M
dkj,A
dkj,B
dkj,C
dkj,D
4 sous-bandes réelles
Zkj+
Zkj-
2 sous-bandescomplexes symétriques
Z + = (A - D) + i (B + C)Z - = (A + D) + i (B - C)
!L’ondelette continue n’est pas une fonction complexe.Ce ne sont pas exactement des ondelettes complexes !
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 15
Necessité des paquets d’ondelettes
Représentation compacte
Mauvaise représentation du bruit déconvolué
Ondelettescomplexes :
TransforméeImage déconvoluéesans régularisation Hautes fréquences
non récupérables
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 16
Paquets d’ondelettes
j=0
j=1
j=2
è décomposer aussiles espaces de détails[Coifman et al. 92]
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 17
Puissance spectrale du bruit déconvolué
0 1/2Fréquencenormalisée
énergie
Choix de l’arbre
• Absence d’unicité de l’arbre de décomposition
• dépend de l’application
• déconvolution : l’arbre doit s’adapter au bruit déconvolué
ondelettes paquets Limiter lacroissance
du bruit
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 18
Paquets d’ondelettes complexes (CWP)
image
φ2φ2φ2φ2
è décomposer les espaces de détailsde la transformée en ondelettes complexes
pour chaque arbre A,B,C,D
TransforméeImage originale
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 19
Paquets d’ondelettes complexes (CWP)
Représentation compactePaquetsd’ondelettescomplexes :
TransforméeImage déconvoluéesans régularisation
hautes fréquencesrécupérables
Bonne représentation du bruit déconvolué
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 20
Partition du plan fréquentiel
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 21
Sélectivité directionnelleréponses impulsionnelles – partie réelle
Ondelettes complexes
Paquets d’ondelettes complexes
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 22
Sélectivité directionnelleréponses impulsionnelles – partie imaginaire
Paquets d’ondelettes complexes
Ondelettes complexes
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 23
Comparaison avec lespaquets d’ondelettes réels
Pas d’invariance par translationè artefacts (moyenne sur translations)
Pas d’invariance par rotationDirections privilégiées : horizontale / verticaleè mauvaise représentation des textures
orientées (diagonales)Réponses
impulsionnelles
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 24
Exemple
Image test, 512x512
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 25
Exemple
Transformée en paquets d’ondelettes complexes, niveau 6
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 26
Seuillage de la transformée
Filtrer uniquement le moduleè invariance par translation
rappel - les images observées sont dégradées :Y = h * X0 + N
Chaque coefficient de la sous-bande kde la transformée en ondelettes complexes est dégradé :
x = ξ + n
Bruit déconvoluéécart-type σk
Coefficient originalinconnu
(transformée del’image originale)
Coefficient observé(transformée CWP del’image déconvoluée)
( ) ( )xaxxx̂ TT =θ=
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 27
Fonctions de seuillage
Données : image déconvoluée sans régularisation
Fixer une fonctionde seuillage θT
Calcul du seuil optimal :minimiser un risque
• Risque minimax [Donoho 94]• modélisation des sous-bandes
Méthodes bayésiennes :
Estimation des coefficients parMAPè fonction θT
Modèle pour les sous-bandes :• Gaussien généralisé homogène• Gaussien adaptatif
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 28
Variance du bruit déconvolué
σk
min
max
Estimation de σk :• simulation (transformée d’un bruit blanc)• calcul direct, avec h et σ connus
[ ][ ]
2
j,i ij
ijk
22k hFFT
RFFT∑σ=σ Réponse impulsionnelle
pour la sous-bande k
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 29
Risque optimal• Imposer une fonction de seuillage θT
• Minimiser le risque de l’estimateur de seuillage
−=
200 XX̂E)X,X̂(r ( )
ξ−θ= ∑
m
2T xE
• Résultats théoriques [Donoho, Johnstone 94]non applicables en pratiques (seuil trop grand) [Kalifa 99]
• Modélisation des sous-bandes (Gaussienne Généralisée [Mallat 89])à estimation des paramètres du modèle
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 30
Modélisation des sous-bandes
Gaussienne Généralisée : ( ) p/
p,eZ
1P αξ−
α=ξ
Étude expérimentale :
ReIm
ReIm
Histogrammes :Sous-bandes de la
transformée de l’image originale
α,p paramètresdu modèle
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 31
Méthodes bayésiennes
• Modélisation des sous-bandesà estimation des paramètres
• On n’impose pas la fonction de seuillage
• estimer x par Maximum A Posteriori (MAP)( ) ( ) ( )ξξ=ξ PxPMaxxPMax
( ) p/eP αξ−∝ξ
( ) 22 2/xexP
σξ−−∝ξ
p22 /2/xMinx̂ αξ+σξ−= ξ
( )xx̂ θ=
Estmation des paramètres α,p : maximum de vraisemblance, etc.
pk=1 pk=0,2
Fonctions de seuillageclassiques pourcertaines valeurs de pk
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 32
COWPATH 1.0« COmplex Wavelet Packets Automatic Thresholding »
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 33
Modèle gaussien inhomogèneInsuffisance des modèles homogènes
(zones constantes / contours / textures)
( ) 2ij
2ij s2/2ij
ij es21P ξ−
π=ξ
Paramètre sij : dépend de la position du coefficient ξij
!Problèmes d’estimation des paramètres sij(données insuffisantes / nombre de paramètres inconnus !)
Méthode hybride : estimation des paramètresà partir d’une « bonne » approximation de l’image originale
Maximum de vraisemblance en données complètes
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 34
Déconvolutionbrutale
YDéconvolutionavec préservation
des contours
COWPATH 2.0
CWP
CWPEstimation
des paramètres(MV)
Seuillage(MAP)
Calcul desvariancesdes bruits
X̂CWP-1
Temps de calcul3,5s sur un PII 400
(ϕ quadratique)
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 35Nîmes, image originale 512 x 512 © CNES
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 36Nîmes, image floue et bruitée (σ~1.4)
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 37Nîmes déconvoluée par COWPATH 1
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 38Nîmes déconvoluée par COWPATH 2
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 39Nîmes déconvoluée par COWPATH 2 - zoom
zoneshomogènesexemptesde bruit
texturesnettes
contoursdiagonaux
nets et réguliers
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 40Nîmes, déconvolution par paquets d’ondelettes réels [Kalifa, Mallat 99]
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 41Nîmes, déconvolution par RHEA (fonction ϕ non quadratique [Jalobeanu 98])
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 42Nîmes, déconvolution avec régularisation quadratique (~Wiener)
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 43Comparaison des résultats
X0 Y ϕ fonc
COWPATH 1 COWPATH 2 WienerPaquets réels
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 44
Résultats en Astronomie (RI Hubble)
Déconvolutionavec
régularisationquadratique(~Wiener)
Déconvolution COWPATH 2
X0
Y
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 45
Y
X0
Wiener
COWPATH 2
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Déconvolution d’images satellitaires / CWP 46
Conclusions et perspectives
Amélioration des résultats :
ð Adapter la structure de l’arbre au problèmeà prise en compte des images et des réponses impulsionnelles
ðMeilleure modélisation des sous-bandesà Modèle gaussien généralisé adaptatif ?
ð Terme d’attache aux données plus précisà les coefficients du bruit ne sont pas indépendants
ð Prendre en compte l’interaction entre les échellesà Arbres de Markov cachés [Nowak et al. 98]
Méthode hybride : DEPA [Jalobeanu et al. 00]
Résultat de COWPATH à estimation des paramètresd’un modèle de régularisation adaptatif