de la pequeñez del átomo y del fantástico número de avogadro. alberto rojas hernández y ricardo...

De la pequeñez del átomo y del fantástico número de Avogadro.

Alberto Rojas Hernández y Ricardo Ramírez MartínezTrimestre 05PMayo de 2005

Un modelo sencillo para problemas de composición

química.

(Adaptado de una serie de problemas de la UEA Química (214010)Propuesto por José Luis Córdova en el año 2000)

Una moneda de 12g contiene 10g de plata (Ag) y 2g de cobre (Cu). Las masas molares de los elementos son 107.9g/mol y 63.5g/mol, respectivamente.

a) ¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu?b) Si todos esos átomos de Ag se acomodaran en

línea recta, uno detrás de otro ¿qué distancia cubrirían? La densidad de la plata es 10.6 g/cm3. Considere que cada átomo de plata es un pequeño cubo.

c) ¿Cuál será el tamaño de un átomo de plata?

ProblemaProblema

Consideraciones inicialesConsideraciones iniciales

Leyendo cuidadosamente el problema se puede trabajar con un modelo sencillo para poder responder las preguntas que se han planetado.

De esta forma, se está suponiendo que las monedas están formadas, a nivel microscópico, por átomos de plata (Ag) y átomos de cobre (Cu).

Como la plata y el cobre son elementos diferentes uno de estos átomos contiene más materia que el otro y también es muy posible que tengan tamaños diferentes.

Finalmente, para poder resolver los incisos (b) y (c), se dice que debe suponerse que los átomos son pequeños cubos.

Para poder saber cuántos átomos de cada tipo hay en una moneda de 12g se dan varios datos.

Cada moneda tiene 10g de Ag y 2g de Cu, en tanto que la masa molar de la plata es 107.9g/mol y la del cobre es 63.5g/mol.

Es conveniente escribir esta información en forma algebraica:

Con respecto a las masa (m) del sistema y de cada elemento:

Solución al inciso (a) Solución al inciso (a) ¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu?¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu?

g2myg10m

mmg12m

CuAg

CuAgmoneda

Con respecto a las masa molar (MM) de Ag y Cu:

Cu

CuCu

Ag

AgAg

nm

mol/g5.63MM

n

mmol/g9.107MM

nAg y nCu son las cantidades de sustancia de la plata y el cobre asociadas a las masas mAg y mCu, respectivamente.

En el Sistema Internacional de unidades (SI) la unidad fundamental de cantidad de sustancia es la (o el) mol. En el mismo SI, 1 mol de una sustancia contiene un número de Avogadro A de partículas o entidades elementales constituyentes. En la actualidad se acepta que A = 6.0221023 partículas/mol.



Procedimiento algebraico para resolver el problema:

Se despejan las cantidades de sustancia, nAg y nCu, de las ecuaciones de definición de las masas molares de los elementos, de manere que:

Cu

CuCu

Ag

AgAg MM

mny

MM

mn

Ahora bien, la cantidad de átomos (N) de cada elemento se obtiene multiplicando su cantidad de sustancia por el número de Avogadro, porque para un elemento sus partículas constituyentes son átomos.

Por lo tanto:

ACu

CuACuCuA

Ag

AgAAgAg MM

mnNy

MM

mnN


Sustituyendo los valores en las expresiones anteriores se tiene que, para la moneda de 12g:

Cu23

CuA

Cu

CuCu

Ag23

AgA

Ag

AgAg

mol/Cudeátomos10022.6mol/g5.63g2

MMm

N

mol/Agdeátomos10022.6mol/g9.107g10

MM

mN

Finalmente, realizando las operaciones indicadas, se tiene la

Cudeátomos10897.1Cudeátomos101897.0Cudeátomos

5.6310022.62

N

Agdeátomos10581.5Agdeátomos105581.0Agdeátomos9.10710022.610

N

222323

Cu

222323

Ag

RespuestaRespuesta

Solución al inciso (b) Solución al inciso (b) Si se acomodaran los átomos de plata uno tras otro, Si se acomodaran los átomos de plata uno tras otro, ¿qué distancia cubrirían?¿qué distancia cubrirían?

Modelo: Recuerde que se pide que se considere que cada átomo de plata es un pequeño cubo.

Por lo tanto, es posible imaginar que la cantidad de 10g de plata podría abarcar un cubo, formado a su vez por pequeños cubos, que son los átomos de plata.

1 átomo de plata

1000 átomos de plata


Ahora bien, para poder contestar esta pregunta se proporciona otro dato. Se recuerda que la densidad de la plata es 10.6g/cm3.

La densidad () de un sistema, se define como el cociente de la cantidad de materia (masa) del sistema con respecto al volumen (v) que ocupa el mismo.

Así, en el caso de la plata

Es posible conocer el volumen de un cubo de 10g de plata, despejando el volumen de la expresión anterior.

Ag

AgAg v

m

33

Ag

AgAg cm9434.0

cm/g6.10g10m

v


De acuerdo a cualquier modelo atómico, puede decirse que el volumen de 1 átomo de plata (vAg) sería el volumen de 10g de plata (0.9434cm3) dividido entre el número de átomos contenido en ese volumen (NAg = 5.581 1022 átomos de plata).

átomo/cm10690.1Agdeátomos10581.5

cm9434.0N

v 32322

3

Ag

Ag

Agv

Por otra parte, como se está considerando que cada átomo es un cubo y el volumen del cubo es la longitud de su arista (lAg) elevada al cubo, dicha longitud sería entonces:

átomo/cm10566.2átomo/cm10690.1 83 3233Ag

Agv


Finalmente, si todos los átomos que habría en 10g de plata, de acuerdo a este modelo (5. 5811022 ), se colocaran alineados uno tras otro, la distancia (d) que cubrirían sería la longitud de cada cubo multiplicada por el número de átomos. Entonces se obtiene la:

km10432.1m10432.1751.66cm6658133174321

Agdeátomos10581.5átomo/cm10566.2Nd

1013

228AgAg

RespuestaRespuesta

Si se toma en cuenta que la unidad astronómica representa la distancia del Sol a la Tierra y que equivale aproximadamente a 150 millones de kilómetros (1.50108km), ¡los 5.5811022 átomos contenidos en 10 g de plata (supuestos cúbicos) estarían cubriendo aproximadamente 100 veces esa distancia!

Solución al inciso (c) Solución al inciso (c) ¿Cuál será el tamaño de un átomo de plata?¿Cuál será el tamaño de un átomo de plata?La longitud de la arista del átomo cúbico de plata (lAg = 2.56610-8cm, ¡magnitud casi 1000 veces menor a la longitud de una célula!) debería ser una medida aproximada del diámetro atómico.

Se esperaría que este valor no fuera muy diferente al reportado en la literatura científica si los supuestos del modelo utilizado fueran también más o menos razonables. La longitud calculada en el inciso anterior se puede expresar en forma más adecuada en la unidad práctica angstrom (que se simboliza como Å y una equivalencia tal que 1Å 110-8cm). Por lo tanto, la longitud calculada para los átomos supuestos cúbicos es lAg = 2.566Å.

Por otra parte, en la literatura científica, el radio covalente del átomo de plata se reporta como 1.53Å, en tanto que el radio de Van der Waals se establece como 1.44Å. ¡Esto muestra que el modelo no es tan malo para lo que se quería conceptualizar! Pero, ¿por qué?

Para pensar un poco másPara pensar un poco más

Repetir los incisos (b) y (c) del problema, pero

para los átomos contenidos en 2g de

cobre. La densidad del cobre es 9.0g/cm3.

Comprativamente, la representación gráfica Comprativamente, la representación gráfica debería serdebería ser

1 átomo de cobre

1000 átomos de cobre

1 átomo de plata

1000 átomos de plata

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