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Documentación Académica revisada 1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA PRIVADA

DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES.

GUÍA

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

ENERO - 2015


GUIA DE ESTUDIO - MAAP

I. IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA

Sigla : MIN-320

Nombre de la Asignatura : Estadística Inferencial.

Horas Académicas : 80 Horas

Prerrequisitos : Estadística Descriptiva

Carreras : Ingeniería Comercial, Ingeniería en Marketing y Publicidad,

Administración General, Administración de Turismo,

Auditoría, Auditoría Financiera, Administración Financiera.

II. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

El estudiante calcula, interpreta y toma decisiones utilizando probabilidades en

problemas pertinentes a su carrera.

El estudiante generaliza las características de la muestra la población utilizando la

teoría de los intervalos de confianza.

El estudiante determina el tamaño de la muestra siguiendo los procedimientos de

muestro probabilísticos.

III. PLAN TEMÁTICO

Para lograr los objetivos de la materia, el contenido está estructurado en temas, que son

los siguientes:

TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas

Teóricas

Horas

Prácticas

# de

Clases

Introducción a la

Estadística

Inferencial

Definición de Estadística Inferencial

Importancia

Aplicaciones

Introducción a las

Probabilidades.

Concepto de Probabilidad.

Modelos de Probabilidad.

Reglas de Probabilidad.

Aplicaciones de Probabilidad.

Teoría del Teorema

de Bayes.

Concepto del Teorema de Bayes.

Aplicaciones del Teorema de Bayes.

Distribuciones de

Probabilidad.

Distribución Binomial de Probabilidades.

Distribución de Poisson.

Distribución Normal de Probabilidades.

Intervalos de

Confianza.

Concepto de Intervalo de Confianza.

Intervalo de Confianza para calcular un


promedio poblacional.

Intervalo de Confianza para calcular un

promedio poblacional.

Intervalo de Confianza para calcular una

proporción poblacional.

Teoría del

Muestreo.

Tipos de Muestreo.

Muestreo Aleatorio Simple.

Muestreo Sistemático.

Muestreo Estratificado.

Muestreo por Conglomerados.

IV. ORIENTACIONES PARA LA ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO DE

APRENDIZAJE DURANTE EL DESARROLLO DE LA MATERIA

La Estadística es una herramienta indispensable para todo profesional de ciencias

empresariales que quiera tomar decisiones estratégicas en una organización, la teoría de

probabilidades asume es tipo de riesgo que tienen las mismas, el estudio de esta materia no es

de carácter horizontal dentro de la formación de un profesional, es vertical, las estadísticas el

manejo de la información son la médula espinal de toda empresa que pueda llamarse exitosa.

a) El proceso de aprendizaje durante toda la materia es “integral”.-

La misión de la UTEPSA es “lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia académica

de calidad, excelencia, con valores, responsabilidad social, innovación, competitividad, y

habilidades emprendedoras”. Por esto no te sorprendas si además de ser evaluado en

contenidos propios de la materia, el docente evalúa también aspectos como puntualidad, pro

actividad, ortografía, etc. Nunca pierdas de vista que lo se te exige es por tu propio beneficio.

b) Asistencia y puntualidad.-

Asistir a clases y hacerlo de manera puntual, es una manera de demostrar que somos

responsables:

Tu asistencia es importante en TODAS las clases. Por si surgiera un caso de fuerza mayor,

en el reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por módulo (Art. 13 Inc. B y C

del Reglamento Estudiantil UPTESA). Si sobrepasas esta cantidad de faltas PERDERAS

EL DERECHO A TOMAR LA EVALUACIÓN FINAL de la materia. Se considera “asistencia”

estar al inicio, durante y al final de la clase.

Esfuérzate por estar en la clase a la hora de inicio. Se dará un margen de 10 minutos de

tolerancia. después de estos, podrás entrar tan pronto como el docente considere que tu

ingreso no será una distracción para la clase o después de la hora de descanso, de esta

manera no perjudicaremos el avance de la clase distrayendo a los compañeros.

Si te retiras de la clase antes de que esta termine, tampoco registraras asistencia completa.


Ten especial cuidado con la asistencia y la puntualidad los días de evaluación.

Normalmente la fecha de pruebas, es comunicada con varios días de antelación, esto te

permite programarlos como ocasiones a las que tienes que darles una espacial atención.

Si confirmas la materia el 2do o 3er día de clases, ya tienes acumuladas automáticamente

las faltas de los días que no has asistido. Favor tómalo en cuenta.

c) Comportamiento en clases.-

Los estudiantes y los docentes, evitamos beber y comer en el aula. De ninguna

manera podemos fumar dentro de esta.

A fin de evitar interrupciones, los celulares se apagarán al entrar al aula o se pondrán en

modo silencioso para atender llamadas o mensajes SOLO en caso de emergencia.

Cualquier falta de respeto a los compañeros, al docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será severamente sancionada de acuerdo al reglamento de la Universidad.

En todo caso confiamos en que todos respetaremos las normas de conducta adecuadas.

V. OBJETIVOS Y ACTIVIDADES DE CADA TEMA

UNIDAD 1:

A.Objetivos

Realizar un diagnostico del conocimiento previo de los conceptos básicos de

Estadística Inferencial.

B. Actividades de Aprendizaje

Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (Teórica)

Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (practica)

B.1 Para resolver en clases

Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (Teórica)

Ejercicio 1.

Calcular el promedio, mediana, moda, Desviación Media, Desviación

Estándar y coeficiente de variación.

En una clase de Marketing se toman los pesos en kilogramos de 8 estudiantes:

78, 67, 81, 70, 69, 60, 85, 73


B.2 PORTAFOLIO UNIDAD 1

Investigar:

a) Tres definiciones de Estadística Inferencial

b) Orígenes de la Estadística Inferencial

c) Aplicaciones de la estadística Inferencial

d) En un ejemplo real explique la aplicación de la Estadística Inferencial

e) ¿A que se denomina inferencia estadística?

f) ¿A que se denomina inducción estadística?

g) Muestre y explique a través de un ejemplo real la aplicación de la

Estadística Descriptiva

h) Definición de población en termino de estadística

i) Definición de muestra en termino de estadística

UNIDAD 2:

A. Objetivos.

El estudiante analiza información estadística utilizando la teoría de probabilidades.

B. Actividades de aprendizaje

Cuestionarios, casos, orientaciones para investigación, ejercicios propuestos y

resueltos, etc.

B.1 Para resolver en clases

Casos, Probabilidades


Caso de Estudio # 1

Objetivo: Realizar un diagnóstico del cálculo de porcentajes en los estudiantes

que recién ingresan a la materia.

Nombre del Caso: WWW.FACEBOOK.COM.1

Desde sus inicios el facebook ha sido una herramienta de usos incalculables,

no solo ha unido a personas que no tenían vínculos desde hace mucho tiempo sino

que ha cambiado por completo el sistema de comunicación mundial, todos

tenemos una cuenta en facebook, las empresas hacen su publicidad mediantes esta

vía y cada vez el encontrar algo ó alguien se hace más fácil en este mundo tan

interconectado.

El mes pasado en la Universidad UTEPSA se aplicó una encuesta para

conocer a profundidad. ¿Cuántas personas utilizaban facebook y con qué objetivo

lo hacían?, los resultados fueron escalofriantes. De los 380 encuestados, 370 tenían

una cuenta, 300 admitieron que lo usan todos los días, y 230 admiten estar

conectados más de 2 horas diarias, 103 alumnos ingresan por el mero hecho de

solo estar informado de la vida de otros y 68 comentan que lo utilizan con fines

académicos. De todos los que ingresan solo para socializar el 40% es de sexo

masculino y de los que están más de 2 horas diarias el 74% son mujeres.

También se realizó una encuesta en la UDABOL. En dicha institución se

entrevistaron a 360 estudiantes y 302 de ellos admitió tener una cuenta en el

facebook, lo curioso es que el 90% de los que tienen cuenta admiten entrar todos

los días y de estos el 80% más de 2 horas.

Teniendo en cuenta esta información conteste las siguientes preguntas.

1. Del total de los encuestados. ¿Qué porcentaje utiliza facebook.com?

2. Del total de usuarios del facebook. ¿Qué porcentaje lo utiliza todos los días?

3. Del total de usuarios diarios de UTEPSA. ¿Qué porcentaje permanece

conectado más de 2 horas?

4. Del total de usuarios del facebook de UTEPSA. ¿Qué porcentaje ingresan con

fines académicos?

5. ¿Qué cantidad de hombres representan el 40% de los usuarios que ingresan

al facebook solo para socializar en la UTEPSA?

1 Caso del Libro “Aprendiendo Estadística” del Lic. Evelio Hernández.

http://www.facebook.com/


6. ¿Qué cantidad de mujeres representa el 74% de las personas que se

conectan más de 2 horas por día en UTEPSA?

7. ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que utilizan el

facebook?

8. ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que ingresan al

facebook todos los días?

9. De todos los encuestados en ambas universidades. ¿Qué cantidad de

estudiantes representa el porcentaje de estudiantes que están conectados

más de 2 horas por día?

Caso de Estudio # 2

Objetivo: Comprobar la adquisición de habilidades en el cálculo de

probabilidades, porcentajes y cantidades.

Nombre del Caso: Pollos Chuy2

Pollos Chuy es una de las empresas más exitosas del mercado cruceño de venta de

pollos. Sus ventas exceden la tonelada diaria. En la empresa existe un total de 1400

empleados y a 350 de ellos se les tomó una encuesta con la intención de conocer

el grado de satisfacción que tienen los empleados con la empresa. De todos los

encuestados 108 son hombres. Del total de mujeres encuestadas 79 están

disconformes con el trato que reciben de sus superiores, mientras que solo están

disconformes 60 de los hombres. Dentro del grupo de disconformes de la

empresa el 20% vive fuera del 4to anillo de circunvalación. De todos los

encuestados 240 trabajan en el turno de la tarde y el restante en el turno de la

noche, de todos los trabajadores nocturnos el 40% son hombres. Otro dato que se

obtuvo de la empresa es que el 38% de los encuestados están disconformes con su

pago y solo el 24% está feliz con la empresa.



Preguntas.

1. ¿Qué porcentaje del total de la población representa la muestra

seleccionada?

2. ¿Cuál es la probabilidad que tome una encuesta y haya sido contestada por

una dama?

3. Si ya sé que la encuesta que tengo es de una dama. ¿Cuál es la probabilidad

que está disconforme con el trato de los superiores?

4. Obtengo otra encuesta y resulto ser una persona disconforme con el trato.

¿Cuál es la probabilidad que esta persona viva dentro del cuarto anillo?

5. ¿Cuántas personas representan el 40% de los trabajadores nocturnos que

son hombres?

6. ¿Qué cantidad de los encuestados estuvo disconforme con su pago?

Ejercicio 1. PROBABILIDADES

Si se saca una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuáles de las siguientes parejas de

eventos son mutuamente excluyentes o no?

A=Que sea una carta roja

B=Que sea una carta de corazón

C=Que sea un numero par

D=Que sea un 3 de espadas

AyB…………….. ByC……………….

AyC……………. ByD………………..

AyD…………….. CyD……………….

Ejercicio 2.

Si se lanzan dos dados a la vez y se quiere analizar la suma de los dos resultados.

Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.

A=La suma de los dos resultados sea un numero par

B=La suma es un numero cinco


C=Un cinco en uno de los dados

D=La suma sea mayor a 7

AyB…………………………. ByC…………….

AyC………………………… ByD…………….

AyD…………………………. CyD……………..

Ejercicio 3.p

Si se lanza una moneda tres veces y se quiere analizar el numero de caras que se

pueden obtener. Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.

A=Que salgan 3 caras

B=Que no salga ninguna cara

C=Que salgan tres sellos

D=Que salgan dos o más caras

AyB………….. ByC………….

AyC…………. ByD…………..

AyD…………. CyD………….

Ejercicio 4.

La Universidad Tecnológica Privada de Santa Cruz (UTEPSA) cuenta con una

población de 10.000 estudiantes, cada uno con sueños y metas diferentes pero con

una misma misión, aprender a formar un negocio propio. Usted como analista de

información de la Universidad necesita conocer las proporciones por sexo de las

Facultades y el departamento de Sistemas le muestra el siguiente cuadro. Teniendo

en cuenta la información que en este se encuentra y que usted se encontró un

estudiante en la calle. Responda las siguientes preguntas.

Facultades. Hombres Mujeres Total

Facultad. Ciencias Empresariales. 1500 2500 4000

Facultad. Ciencias Tecnológicas. 2500 1000 3500

Facultad. Ciencias Jurídicas. 500 1000 1500

Facultad. Relaciones

Internacionales. 500 500 1000

Total. 5000 5000 10000


Preguntas:

A. ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea mujer?

B. ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea de la Facultad de Ciencias

Tecnológicas?

C. ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre y de la Facultad de Relaciones

Internacionales?

D. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer y estudie en la Facultad de

Tecnología?

E. Bajo el supuesto que el estudiante fue hombre. ¿Cuál es la probabilidad que

estudie en la facultad de Ciencias Empresariales?

F. Bajo el supuesto que el estudiante pertenece a la Facultad de Tecnología.

¿Cuál es la probabilidad que sea Mujer?

G. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer ó de la Facultad de Relaciones

Internacionales?

H. ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó de la Facultad de Tecnología?

I. ¿Cuál es la probabilidad que sea de la Facultad de Ciencias Empresariales ó

Tecnológicas?

J. ¿Cuál es la probabilidad que sea de cualquier Facultad menos la de Ciencias

Jurídicas?

Ejercicio 5.

Usted es el gerente comercial de la empresa distribuidora de Bebidas “Bodegas

Hernández”, uno de los tantos productos con que cuenta la empresa es la Soda

Conti que se importa de Brasil. Para penetrar el mercado usted debe hacer

degustación en diversos puntos de la Ciudad y recoger opiniones. Los siguientes

datos muestran las opiniones del sabor de los encuestados.

Opinión Regular Buena Excelente total

Zona

Norte 20 30 10 60

Zona Sur 15 45 30 90

Zona Este 20 25 50 95

Zona 10 15 30 55


Oeste

65 115 120 300

a) Si usted debe comenzar por la zona que más aceptación tuvo el producto.

¿Por qué zona comenzaría la distribución?

b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Sur y la soda le parece

Buena?

c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Este ó la soda le pareció

Excelente?

d) ¿Qué porcentaje de los encuestados el producto le pareció por le menos

buena?

e) ¿Cuál es la probabilidad que un encuestado sea de la zona oeste dado que

tiene una opinión Regular?

Ejercicio 6.

La materia de Investigación de Mercados la dictan 4 profesores, Ana, Evelio, Carlos

y Juan, de los 15 grupos que se van a abrir Ana tiene asignado 2, Evelio 3, Carlos 4

y Juan 6 , los comentarios la han llegado que con Ana el 80% aprueba, con Evelio

un 75%, con Carlos un 60% y con Juan un 90%.

Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante haya cursado con Evelio

sabiendo que reprobó?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se

sabe que reprobó?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se

sabe que aprobó?

Ejercicio 7.

Usted es propietario de la imprenta “Sirena”, por carnavales la producción de

volantes ha aumentado muchísimo, las dos máquinas que tiene son muy buenas

pero cada 1000 impresiones la primera saca 40 con fallas y la segunda de cada

2000 impresiones la pasa lo mismo. Un cliente vino ayer a quejarse que sus

volantes estaban mal hechos, ¿Cuál es la probabilidad que lo haya impreso la

segunda máquina?


Ejercicio 8.

La empresa de telecomunicaciones TIGO tiene en sus listas de empleados 150

economistas, 150 ingenieros y 300 técnicos, 40 de los economistas son directivos,

45 ingenieros y 20 técnicos. Se toma un empleado al azar. ¿Cuál es la probabilidad

de que sea técnico si se sabe que no es directivo?

Ejercicio 9.

La farmacia Telchi, la Santa María y la Gutiérrez respectivamente han creado una

vacuna contra el resfrío. La primera tiene un 25% de efectividad, la segunda un 35%

y la tercera un 40%, usted estaba resfriado y ayer estaba en el centro de la ciudad,

suponiendo que tuvo la misma probabilidad de ir a cada farmacia y sabiendo que

se curó.

a) ¿Cuál es la probabilidad que haya comprado en la farmacia Telchi?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya ido a la farmacia Gutiérrez?

B2. PORTAFOLIO UNIDAD 2

Caso de Estudio # 3

Objetivo: Comprobar la adquisición de habilidades en el cálculo de

probabilidades, mediante el Teorema de Bayes.

Nombre del Caso: Che Gaucho.3

En Che Guacho hay 4 Chefs, el primero es Facundo, es un experto haciendo

Churrasco, tanto que de cada 20 que prepara solo le devuelven 1 para cocerlo

mejor ó alguna queja, Facundo también hace Pollo Deshuesado, es un genio en

esto, de cada 25 pollos recién le devuelven 1, el último plato que cocina es Surubí



al Ajillo, este plato recién lo está aprendiendo y de cada 10 le devuelven 1. Facundo

prepara 10 churrascos por día, 8 pollos y 3 surubíes. El segundo Chef es

Bernardino, el es un experto en la cocina, de cada 40 churrascos que hace le viran

2, de cada 100 Surubíes le viran 1, el tema es que Bernardino es alérgico al pollo y

no cocina pollo, no obstante es un experto en pastas y de cada 50 platos que saca

le devuelven solo 1. Al día Bernardino cocina 10 churrascos, 30 Surubíes y 20

platos de pastas. El tercer Chef es Aurelio, desde que llegó de Perú se ha hecho

famoso por su excelente calidad en el arte culinario. Este chef cocina las mejores

pastas del restaurant, de cada 100 platos recién le viran 1, en cuanto a los surubíes

de cada 50 le viran uno y en los pollos (como buen peruano) es un genio, no le

viran ninguno. Al día cocina 20 Surubíes, 30 pastas y 25 pollos. El último Chef es el

Maestro Juan, genio entre los genios, de cada 80 churrascos que cocina le viran 2,

de cada 40 pastas 1, de cada 50 pollos 1 y de cada 40 Surubíes 2. Juan cocina un

promedio de 20 churrascos, 20 surubíes, 40 pollos y 30 pastas por día. El mes de

marzo fue un éxito en Ché Guacho, se vendió muchísimo. Facundo vino 25 días,

Juan los 30, Bernardino 22 y Aurelio 28.

Preguntas:

A. Un cliente vino a felicitar al Chef que le cocinó el Surubí que comió el mes

pasado pero no se acuerda que día vino. ¿Cuál es la probabilidad que se lo

haya cocinado Juan?

B. Otro cliente vino a felicitar por el excelente servicio que le dio el restaurante

y por el excelente plato de pasta que se comió. ¿Cuál es la probabilidad que

el plato lo haya cocinado Bernardino?

C. El mismísimo Rubén Costas vino al restaurante y se quedó contentísimo con

el churrasco que pidió. ¿Cuál es la probabilidad que lo haya cocinado

Facundo?

D. Pero Raquel (señora especial) se molestó mucho con el pollo que le

sirvieron el mes pasado por que estaba crudo. ¿Cuál es la probabilidad que

lo haya cocinado Aurelio?

Ejercicio 1.

Usted es el Gerente Comercial del Café 24, local de distracción del centro de la

Ciudad, el mismo es frecuentado por cruceños, pero está enfocado en ser el lugar

de pasada por excelencia de los extranjeros y visitantes de otros departamentos.

Usted está preocupado por la atención que reciben los clientes y decide hacer una


encuesta a las diversas personas que asisten al boliche preguntándole. ¿Qué le ha

parecido la atención? Los resultados se muestran a continuación.

Cruceños Turistas

Nacionales

Turistas

Extranjeros.

Pésima 20 3 23

Regular 12 13 0

Buena 8 24 14

Muy

buena 15 12 12

Excelente 15 13 16

A. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Cruceños?

B. ¿Qué porcentaje del total de encuestados son Extranjeros y la atención les

pareció Buena?

C. ¿Qué porcentaje de los Cruceños la atención le pareció excelente?

D. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas (Tanto nacionales como

extranjeros)

E. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales ó la atención le

pareció Muy Buena?

F. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales dado que la

atención les pareció Regular?

G. ¿A qué porcentaje de los encuestados el trato le pareció por lo menos

Bueno?

Ejercicio 2.

Usted es el nuevo gerente Comercial del taller mecánico “Páez”, al mismo asisten

muchos clientes con autos de tres clases. Nissan, Toyota y Ford. A cada uno de los

clientes que vino el mes pasado se le hizo una encuesta preguntándole por la

calidad del servicio del taller. Los resultados se muestran a continuación en una

tabla de contingencia.

Toyota Nissan Ford


Pésima 15 35 20

Regular 30 10 20

Buena 35 25 20

Excelente 20 10 60

A. ¿Qué porcentaje de los clientes vino con un auto Ford?

B. ¿Qué porcentaje de los clientes opina que la atención es Regular y vino en

Nissan.

C. ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Nissan ó Toyota?

D. ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Ford ó el servicio le pareció

excelente?

E. ¿A qué porcentaje de los clientes que vinieron en Toyota la atención les

pareció excelente?

F. ¿A qué porcentaje de los clientes la atención le pareció por lo menos

Regular?

G. Teniendo el criterio de Excelente. ¿Cuál es la marca de auto que más

satisfecha salió del taller?

H. ¿Qué porcentaje de los clientes vinieron con Ford dado que la atención les

pareció pésima?

I. Si por cada reparación se ganó Bs. 100 y el costo fijo del taller es de 10.000

Bs. ¿Cuál fue la utilidad del taller?

Ejercicio 3.

La fábrica de vasos del oriente boliviano tiene 5 máquinas, la primera produce 100

unidades por día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble

que la primera y 10 de ellos tienen algún tipo de desperfecto, la tercera máquina

produce 400 unidades por día y el 15% de los mismos salen rotos, la cuarta

produce la mitad que la tercera y ninguno tiene desperfectos, la quinta produce

apenas el 25% que la tercera y la misma proporción de desperfectos que la

segunda. Se toma un vaso al azar y está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad

que haya sido producido por la segunda máquina?

Ejercicio 4.

La probabilidad de que llueva en Santa Cruz de la Sierra mañana es de 45%, si

llueve existe un 52% de probabilidad que se alquile un toldo, mientras si no llueva


la probabilidad de alquiler baja a 30%. Usted es el dueño de la fábrica de toldos y

estaba de viaje, cuando llegó se enteró que se alquiló un toldo. ¿Cuál es la

probabilidad que no haya llovido?

Ejercicio 5.

A una tienda del centro ingresaron el mes pasado 200 personas de las cuales 50

fueron mujeres, solo 10 de estas compraron algún producto y el 10% de los

hombres. Un cliente viene a reclamar por un producto en mal estado que le

vendieron el mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

Ejercicio 6.

En una taller de fabricación de calzado manual hay 8 obreros, el primero (Juan)

produce 10 pares diarios y una cuarta parte tiene que deshilacharse por su falta de

calidad, el segundo (Pedro) produce un promedio de 15 pares y el 10% están

siempre en mal estado, el tercero (Raúl) produce 25 pares pero como es un

maestro zapatero solo un par le queda en mal estado, el cuarto (Emilio) produce el

doble que el primero y la misma proporción de defectuosos que le segundo

mientras que el quinto (Don Miguel) es el dueño del taller y de los 22 que produce

ninguno sale mal. El primero trabajo 5 de los 7 días de la semana, el segundo solo

vino 4 días, el tercero vino la mitad de los días que el cuarto que casualmente vino

la misma cantidad de días que el segundo y obviamente el 5to vino los 7 días. Si se

toma uno de los pares de zapato que se produjeron toda la semana y está en buen

estado, ¿Cuál es la probabilidad que haya sido fabricado por Don Raúl?

Ejercicio 7.

La fábrica de RELAX está en la Carretera a Cotoca, el producto lo fabrica 4

máquinas, la primera fabrica 100 botellitas por hora pero dos de los mismos le

salen en mal estado, la segundo fabrica 250 por hora y el 1% de los mismos salen

en mal estado, la tercera fabrica 200 por hora pero ninguno le sale en mal estado,

mientras que la cuarta produce 150 por hora y el 2% sale en mal estado. La

producción total de Relax se hizo toda la semana pasada. La máquina uno trabajó

de lunes a viernes 15 horas por día, la máquina dos trabajó de lunes a sábado 14

horas por día, la máquina 3 trabajó de lunes a jueves 20 horas diarias mientras que

la 4 trabajó de lunes a domingo pero solo 16 horas por día. Se llevó a la


distribuidora la producción total de la semana y parte de la misma se vendió, un

cliente vino a felicitar a la empresa por la calidad de su trabajo.

a) ¿Cuál es la probabilidad que el producto que probó el señor haya sido

producido por la tercera máquina?

b) Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la tercera ó la cuarta

máquina?

c) Otra persona vino pero esta vez a quejarse de un producto que estaba en

mal estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la

máquina 3?

Ejercicio 8.

Usted es el gerente del Taller “Páez”, bajo su mando tiene 3 mecánicos, el primero

(Juan) arregla 15 autos Toyota por mes, 10 Nissan y 10 Ford, todos los Toyota le

quedan excelente, 2 de los Nissan tienen algún desperfectos después del arreglo y

1 de los Ford. El segundo mecánico (Pedro) arregla 40 al mes la mitad son Toyota,

un cuarto Ford y el restante NISSAN, de los Toyota el 5% sale en mal estado, el 2%

de los Ford y el 1% de los Nissan. El tercero (Alfredo), arregla a la quincena 10

Toyota, 15 Nissan; pero no le hace a los Ford, el 8% de los Toyota que arregla sale

en mal estado y el 3% de los Nissan. El cuarto es Edith, este es el dueño del taller y

por ende el que más trabaja, Edith arregla 20 Toyota al mes, 25 Nissan y 18 Ford, el

2% de los Toyota salen con defectos, el 3% de los Nissan y solo el 85% de los Ford

salen en buen estado. Juan trabajó 10 meses en el año, Pedro tan solo 7, Alfredo 11

y Edith por ser el dueño los 12.

a) Un cliente vino a protestar por un arreglo que le hicieron hace unos meses,

sabiendo que su auto era Nissan. ¿Cuál es la Probabilidad que haya sido

arreglado por los dos primeros mecánicos?

b) Otro cliente vino a protestar por cómo le habían arreglado el auto (Toyota).

¿Cuál es la probabilidad que lo haya reparado Arturo?

c) Un último cliente vino a felicitar a Edith porque su auto y el de la esposa

habían quedado geniales. ¿Cuál es la probabilidad que los haya arreglado el

mismo Edith sabiendo que el auto del señor es Nissan y el de la esposa

Ford?


Ejercicio 9. Usted es analista de Información de la empresa investigadora de mercados

(Mercader ADS), en estos momentos debe responder varias preguntas que su cliente

necesita con rapidez, el estudio que este le pidió fue acerca del uso del facebook en la

universidades, su equipo de investigadores le entregó varia de la documentación que

requiere el cliente y entre ella un cuadro donde aparecen la cantidad de personas por sexo

que utilizan el facebook en cada uno de las universidades.

Sexo UAGRM UTEPSA UDABOL UPSA Domingo Total

Hombre Utiliza 44.000 3.800 2.500 1.700 2.300 54.300

No Utiliza 1.000 200 500 300 200 2200

Mujer Utiliza 27.000 4.800 4.000 2.800 2400 41.000

No Utiliza 2.000 200 0 200 100 2500

Total 74.000 9.000 7.000 5.000 5.000 100.000

Preguntas

A. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar un estudiante al azar y sea mujer?

B. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar un estudiante y sea de una

Universidad Privada?

C. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar a un estudiante que utilice el facebook

y sea de la UAGRM?

D. Si se sabe que el encuestado es hombre. ¿Cuál es la probabilidad que no

utilice le facebook?

E. ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó Utilice el facebook?

UNIDAD 3:

A. Objetivos.

El estudiante analiza las distribuciones de probabilidad y utiliza sus propiedades

para el proceso de la toma eficiente de decisiones.



resueltos, etc.

B1. Para resolver en clases

Ejercicios de aplicación de la Probabilidad de Poisson.


Ejercicio 1.

A la tienda de don Pedro entran 15 personas por hora. ¿Cuál es la probabilidad que

en la próxima hora entren a la tienda 5 personas?

Ejercicio 2.

Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que exactamente 5

clientes lleguen durante la siguiente hora ( ó en cualquier hora del dia) laboral. La

observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han

entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10 por hora.

Ejercicio 3

Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato con la alcaldía para

hacer mantenimiento a las vías de un centro urbano. Las vías recientemente

pavimentadas por esta empresa demostraron un defecto de 2 defectos por milla,

después de haber pavimentado durante un año. Si la alcaldía contrata a esta

compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten 3 defectos en cualquier

milla de vía después de haber tenido tráfico durante un año?

Ejercicio 4.

Se sabe que por hora ingresan al Banco del Centro de la Ciudad un promedio de

26 personas, ¿Cuál es la probabilidad que en la próxima media hora de ingresen

exactamente 15 personas?

Ejercicio 5.

La empresa distribuidora de leche PIL ha descubierto que vende 4000 litros

promedio por día, ¿Cuál es la probabilidad que mañana venda 3800 litros?

Ejercicio 6.

Un promedio de 6 personas por hora hacen uso de una caja bancaria automatica

durante el horario pico de compras en una tienda departamental. ¿Cuál es la

probabilidad de que:

a) Exactamente 6 personas usen la caja duranta una hora aleatoriamente

seleccionada

b) Menos de 5 personas usen la caja en una hora aleatoriamente seleccionada

c) Ninguna persona la use durante un intervalo de 10 minutos?

d) Ninguna persona la use durante un intervalo de 5 minutos?

e) Mas de 3 personas la usen en un intervalo de 15 minutos?

Ejercicio 7.


En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se

identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las

probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos

imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Ejercicios de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

Ejercicio 1.

Usted es el Gerente Comercial en Santa Cruz de la Sierra de Laboratorios Inti, la

empresa cuenta con una tradición de excelencia en cuanto a la distribución y

comercialización de fármacos, sin duda alguna el producto estrella es el

MENTISAN, utilizado para casi todo lo que pueda sucederle a una persona. Un

estudio previo a su gestión mostró que el consumo promedio de los habitantes del

departamento era de Bs. 120 anual con una varianza de 121 Bs. Teniendo en cuenta

estos datos, responda las siguientes preguntas.

a) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran de 80 a 120

Bs?

b) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran Más de 100

Bs?

c) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran menos de

95 Bs?

d) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran entre 95 y

138 Bs?

e) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran entre 84 y

91 puntos?

Ejercicio 2.

Los siguientes datos muestran las edades de los pacientes del oncológico en los

últimos 4 meses. Los datos están distribuidos normalmente con un promedio de

56.16 años y una desviación estándar de 16.6 años.

a) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 60 años?

b) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga de 56.16 a 63 años?

c) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 50 y 61 años?

d) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 59 y 70 años?

e) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 44 y 48 años?


f) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 38 y 63 años?

g) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga menos de 50 años?

h) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 52 años?

i) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 45 años?

j) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga menos de 64 años?

k) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 61 y 63 años?


Ejercicio 1.

7.- Se sabe que en promedio el ganado de la finca “Armando” pesa en promedio

850 Kg con una varianza de 62.500 Kg. En este momento hay 15.000 ganados en la

finca y hay que trasladar a parte de ellos a la FEXPO, en el primer grupo de

camiones hay que poner a los animales que pesan menos de 450 Kg, en el segundo

grupo de camiones a las que pesan entre 750 y 930 Kg, mientras que en el tercer

grupo va lo mejor de la quinta que son los animales que pesan más de 1.000 Kg.

A. Cuantos animales debe montar Don Armando en cada grupo de camiones.

Ejercicio 2.

Cotas presta servicios de comunicación a los negocios del área metropolitana de

Santa Cruz. Los funcionarios de la compañía, han aprendido que la transmisión

satélite promedio es de 150 segundos, con una desviación estándar de 55

segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente. Para estimar de

manera apropiada la demanda del cliente por sus servicios y establecer una

estructura de tarifas que maximice las utilidades corporativas. Cotas debe

determinar que tan probable es que algunas llamadas se presenten, El director de

servicios desea que usted proporcione estimados de la probabilidad de que una

llamada dure:

a) Entre 125 y 150 segundos.

b) Menos de 125 segundos.

c) Entre 145 y 155 segundos.

d) Entre 160 y 165 segundos.

Ejercicio 3.


La granja Avícola Sofía tiene una producción promedio de 46000 pollos por mes,

teniendo en cuenta que la compañía tiene una distribución estándar de 19.000

pollos por mes.

a) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan entre 44000 y 55000 pollos por

mes?

b) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan más de 60.000 pollos por mes?

c) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan entre 35000 y 45.000 pollos por

mes?

d) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan menos de 40.000 pollos?

e) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan más de 70.000 pollos?

Ejercicio 4. Poisson

Supongamos que un manuscrito de un libro de texto tiene un total de 50 errores

en las 500 paginas del materialy que estos se distribuyen aleatoriamente a lo

largodel texto. ¿Cuál es la probabilidad de:

a) Un capitulo de 30 paginas tenga 2 o mas errores?

b) Un capitulo de 50 paginas tenga 3 o mas errores?

c) Una pagina aleatoriamente seleccionada no tenga ningun error?

Ejercicio 5. Poisson

Tras un ensamble una planta manufacturera se encuentra que solo una

computadora por millar es defectuosa y que las PC defectuosas se distribuyen

aleatoriamente en la corrida de produccion.

a)?Cual es la probabilidad de que un embarque de 500 pc NO INCLUYA ninguna

computadora defectuosa?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un embarque de 100 pc incluya al menos una

computadora defectuosa?

UNIDAD 4:

A. Objetivos.


El estudiante infiere características de una muestra (estadígrafos) a la población

(parámetros poblacionales)



resueltos, etc.

B1. Para resolver en clases

Práctico de Intervalos de Confianza.

Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es conocida.

Ejercicio 1.

Cien latas de de 16 onzas de la salsa de tomates Jakes Mom tienen un promedio

de 15.2 onzas. La desviación estándar poblacional en peso es de 0.96 onzas. ¿A un

nivel de confianza del 95% las latas están llenas con un promedio de 16 onzas?

Ejercicio 2.

Una muestra de 500 personas muestran un promedio de consumo de 80 Bs en

refrescos (Soda) mensual. Teniendo en cuenta que se conoce por datos anteriores

que la desviación estándar poblacional es de 135 bolivianos. Determine el intervalo

de confianza para el 95% y el 90% que muestre donde estaría la media poblacional.

Ejercicio 3.

Un investigador que se dedica a la creación de un nuevo producto alimenticio tiene

preocupación acerca de la continuidad de sus actividades debido a que las reglas

para financiamiento de su investigación predican que si tiene una tasa de 78

errores en promedio por mes dejarían de enviarle fondos. Una muestra de 235 de

sus productos muestra un error promedio de 70. Se sabe que la desviación

Varianza poblacional es de 196 errores. Según un intervalo de confianza que

consejo profesional usted le puede dar al investigador.

Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es desconocida.


(Cuando σ es desconocida se utiliza la desviación estándar de la muestra que se

debe tomar de una prueba piloto ó dividiendo el Rango entre seis)

Ejercicio 4.

Un teatro del cine local desea desarrollar un intervalo para estimar las cajas

promedio de pipocas que se venden por sala de cine. Si los registros llevados por

70 salas revelan un promedio de 54.98 cajas y una desviación estándar de 12.7.

Calcule e interprete el intervalo de confianza para del 92% de la media poblacional.

Intervalos de Confianza para hallar “u” (Con muestras pequeñas)

En este caso estudiamos la “t” de student.

Ejercicio 6.

Otro de los mercados del consumo de Coca Cola que a usted como gerente le

interesa penetrar es el infantil, para estudiar el mismo hizo un grupo focal con 23

chicos que consumían el producto y una de sus preguntas fue cuántas botellitas de

AQUARIUS se toman al mes y el promedio fue 20 con una varianza de 16. Infiera a

toda la población infantil con un 95% de confianza

Ejercicio 7

Usted es analista de mercado de la empresa TIGO, un grupo focal de 12 personas

de Concepción mostró un gasto promedio de Bs. 150 con una varianza de 350 Bs.

Infiera a toda la población de Concepción con un 90% de confianza.

Intervalos de Confianza para la proporción poblacional.

(¶) Es la proporción Poblacional.

Cuando se va a estimar proporciones poblacionales siempre se trabaja con (Z).

Ejercicio 8.

Cierto candidato a las próximas elecciones municipales quiere elaborar un plan de

gobierno que beneficie a los integrantes de la tercera edad. Es obvio que le

interesa obtener mucha aprobación de esta parte de la población. Sus asesores de

campaña le aconsejan que si más de menos del 30% de los votantes de esta edad

no simpatizan de él no vale la pena enfocarse en este segmento de la población. Se

realizó una encuesta de opinión a 300 personas que mostró que el 28.75% de los

votantes entre 65 y 75 años simpatizan con el candidato. Con un 95% de confianza

que le pudiera decir usted a este equipo de campaña.



Ejercicio 1 El Banco Ganadero otorgará un crédito de 105.000 dólares a la

universidad que presente estudiantes con una nota promedio superior a 83.5

puntos paras mejorar la infraestructura. Por cuestiones ajenas a nuestra voluntad el

señor que traía los datos fue atracado y solo se pudieron tener algunas

calificaciones de cada universidad que se presentan a continuación.

UPSA UTEPSA UDABOL Franz Tamayo Domingo Sabio

Promedio

(muestral)

82.5 87 85 78 82

Desviación

Estándar (S)

12.36 15.12 16.35 20.23 26.25

Tamaño de la

Muestra

105 100 125 85 67

Estime con un 95% de confianza ¿Cuales son las universidades que recibirán el

crédito de Banco Ganadero?

Ejercicios del Libro de Allen Webster.


UNIDAD 5:

A. Objetivos.

El estudiante aplica los elementos del Muestreo a casos de la Vida Laboral..



resueltos, etc.

B1. Ejercicios para resolver en clases

Ejercicio 1.

El Departamento de Investigación de Mercado de la Universidad requiere conocer

el gasto promedio por mes en bebidas alcohólicas de los estudiantes. Una muestra

piloto mostró una desviación estándar de 10 Bs. El último registro de inscripciones

muestra una población de 8.000 alumnos. ¿Con un error de 2 Bs, cuál sería el

tamaño de la muestra necesario para realizar el muestreo aleatorio simple en esta

investigación?

Ejercicio 2

El Banco Santa Cruz tiene 1.000.000 de cuentas abiertas, usted ha sido contratado

como auditor para determinar qué proporción de las cuentas tienen mora, para

esta tarea solo tiene un día por lo que tiene que tomar una muestra que

necesariamente implicaría un muestreo sistemático. Los datos anteriormente

tomados muestran que el 25% de las cuentas están en mora. Determine el tamaño

de la muestra con un error del 5%.

Ejercicio 3.

La empresa de telecomunicaciones VIVA va a tomar la decisión de lanzar una

campaña agresiva de marketing que requiere que el consumo de todos sus

consumidores sea superior a los 60 Bs. El estudio tiene como objetivo tres nichos

grandes de mercado. El Plan 3000, El Barrio Urbari y el centro de la Ciudad. Los

siguientes datos muestran la cantidad de clientes por Barrio, sus gastos en

consumo de llamadas y sus desviaciones estándares.

Barrio Cantidad Gasto Desviación

Estándar


Plan

3.000

1500 60 15

Urbarí 800 75 15

Centro 1000 65 13

a) Utilizando el muestreo estratificado determine el tamaño de la muestra

general que debe tener la investigación para estimar el parámetro y cuantas

personas se deben encuestar en cada barrio.

B2 PORTAFOLIO UNIDAD 5

Ejercicio 1

Un colegio tiene 120 estudiantes de Bachillerato. Se quiere extraer una muestra de

30 alumnos. Explica cómo se obtiene una muestra mediante

a) Muestreo aleatorio simple

b) Muestreo sistemático

Ejercicio 2

Una ganadería tiene 3 000 vacas. Se quiere extraer una muestra de 120. Explica

cómo se obtiene la muestra:

a) Mediante muestreo aleatorio simple.

b) Mediante muestreo aleatorio sistemático

Ejercicio 3

Supongamos que realizamos un estudio sobre la población de estudiantes de una

Universidad, en el que a través de una muestra de 10 de ellos queremos obtener

información sobre el uso de barras de labios.

En primera aproximación lo que procede es hacer un muestreo aleatorio simple,

pero en su lugar podemos reflexionar sobre el hecho de que el comportamiento de

la población con respecto a este carácter no es homogéneo, y atendiendo a él,

podemos dividir a la población en dos estratos:


- Estudiantes masculinos (60% del total);

- Estudiantes femeninos (40% restante).

Ejercicio 4

En un Ingenio, desea hacer una estimación del promedio de grados Brix con que

llega la caña a la fabrica.

Para el efecto desea realizar un muestreo aleatorio estratificado, puesto que la caña

puede provenir de tres tipos de proveedores.

proveedor tipo A (estrato 1) la caña proviene de lotes de la misma finca.

proveedor tipo B (estrato 2) la caña proviene de fincas de particulares en donde el

ingenio ha prestado servicios.

proveedor tipo C (estrato 3) la caña proviene de fincas de particulares en donde el

ingenio no ha tenido ningún servicio.

De estudios anteriores, se conoce el tamaño y desviación estándar de cada estrato

y además se desea tener una precisión de un grado brix en el estudio. De que

tamaño debe de ser la muestra total y de cada estrato?.

DATOS:

ESTRATO Ni Si

1 558 3.5

2 190 5.4

3 250 6.2

VI. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA

El sistema de evaluación se describe a continuación:

NUM. TIPO DE

EVALUACIÓN

OBJETIVOS A EVALUAR PUNTOS CLASE

1 Examen Parcial Unidad 1 y 2 25 8

2 Examen Parcial. Unidades 3, y 4 25 14


3 Examen Final. Todas las Unidades. 50 20

VII. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

BÁSICA

Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía”.

Rufino Moya Calderón “Probabilidad e Inferencia Estadística”

Murray R. Spiegel. “Estadística”

Luis Alberto Pérez Legoas. “Estadística Básica”

Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía”

Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y Estadística”

Ciro Martínez Bencardino. “Estadística y Muestreo”

“Estadística Aplicada a los negocios y la economía” Decimotercera Edición, Lind,

Marchal, Wathen

VIII. MATERIAL /VIRTUAL WEB

El material de apoyo debe estar ordenado por unidad y puede contener:

Ejercicios propuestos, conceptos y contenidos relacionados con una unidad, casos,

material de lectura, artículos, guías de laboratorio, etc. Cuidado que no sea muy ampuloso

y que esté en condiciones legibles en caso de ser artículos escaneados o tablas de

consulta.

Unidad 2.

Video de Explicación del teorema de Bayes.

Video de Aplicación del teorema de Bayes.

Unidad 3.

Video de Explicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

Unidad 4.

Video de Explicación del cálculo de intervalos que confianza para encontrar una media

poblacional con muestras grandes.

Video de Explicación del cálculo de intervalos que confianza para encontrar una media

poblacional con muestras pequeñas.

Video de Explicación del cálculo de intervalos de confianza para encontrar una proporción

poblacional.


MATERIAL COMPLEMENTARIO O DE APOYO

- El siguiente material de apoyo es el resultado de una compilación de textos de los principales autores sobre el tema publicados en libros o en fuentes confiables de internet. En muchos casos, algunas porciones del texto, han sido adaptadas al contexto local con el único fin de que resulten más beneficiosas para el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

El único objetivo de este compilado, es entregar a los estudiantes un documento

con información seleccionada.

UNIDAD 1

Introducción a la Estadística Inferencial

Objetivos

El estudiante conoce los principales conceptos básicos de la Estadística

Inferencial

Evaluar a los estudiantes a través de una prueba diagnóstica con referencia a los

conocimientos de Estadística Descriptiva

ESTADISTIC

A

DIVISION


ESTADISTICA

DESCRIPTIVA

Es un método para

organizar, resumir y presentar datos de manera informativa

Trabaja con hechos

del pasado

Llega a conclusiones y presenta datos a través de cuadros estadísticos, gráficos.

Es parte de la ciencia estadística que ocupa la mayor parte de ella.

Guía su método a través de variables cualitativas y cuantitativas

ESTADISTICA

INFERENCIAL

La estadística

inferencial o inductiva plantea y resuelve el problema de establecer provisiones y conclusiones generales sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra.

Trabaja con las conclusiones obtenidas de un estudio de estadística descriptiva y se apoya fuertemente en el cálculo de las probabilidades.

Es el arte de obtener con confianza conclusiones y dar validez a un estudio descriptivo.

ESTADISTIC

A

INFERENCIA

APLICACIONES

Proyecciones

futuras

Generalizacion de datos

Toma de decisiones

ASPECTOS

IMPORTANTES

Toma de

muestra

Probabilidades

Estimacion de parametros

Diseno experimental

Inferencia bayesiana

Contraste de ipotesi


UNIDAD 2

Introducción a las probabilidades Competencia General del Capítulo

“El estudiante conoce los conceptos más importantes de Probabilidades, realiza clasificaciones,

reconoce reglas y realiza cálculos para solucionar problemas de aplicación estadística pertinentes a

su carrera”

Competencias a desarrollar en el Capítulo.

“El Estudiante conoce la importancia de las probabilidades de manera general y

específicamente en el desarrollo de su profesión”

“El estudiante comprende conceptos de probabilidad dentro de su formación”

“El estudiante soluciona problemas que requieren el uso de probabilidades pertinentes al

ámbito empresarial”

El estudiante resuelve ejercicios complejos utilizando el Teorema de Bayes en

situaciones que así lo requieran”

Contenido.

Importancia de las probabilidades en las Ciencias Empresariales.

Conceptos básicos de Probabilidad



Cálculo de probabilidades.

Teorema de Bayes.

Bibliografía del tema:

Evelio Hernández “Aprendiendo Estadísticas” Capítulo 9.

Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía”. Capítulo 4.

Rufino Moya Calderón “Probabilidad e Inferencia Estadística” Capítulo 1.

Murray R. Spiegel. “Estadística”, capítulo 6

Luis Alberto Pérez Legoas. “Estadística Básica”. Unidad 5

Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía”, capítulo 5

Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y

Estadística”, capítulo 1

Ciro Martínez Bencardino. “Estadística y Muestreo”, capítulo 5

2.1 Introducción a la Teoría de Probabilidades.

Una probabilidad es una posibilidad numérica que se desplaza del cero al cien por

ciento, esto quiere decir que a diferencia de los porcentajes que trabajamos en

estadística descriptiva las probabilidades no pueden ser negativas ó mayores a

100%. Conocer el grado de probabilidad que ocurra algún fenómeno empresarial

es muy importante para poder tomar decisiones correctas. El grado de

probabilidad de poder vender cierta cantidad de productos, la probabilidad de

aumentar la producción en una fábrica, la probabilidad de invertir en un negocio y

fructificar el capital ó que las acciones de una determinada empresa suban son

apenas algunas aplicaciones de este tema de en si solo es una materia por el

altísimo grado de importancia que tiene.

El uso de probabilidades en las redes sociales es importantísimo, las fans page y los

canales de www.youtube.com tienen incorporadas módulos de estadísticas y

http://www.youtube.com/


específicamente aplicaciones de probabilidad para la mejor búsqueda comercial de

contacto de los socios.

El siguiente enlace es un video de cómo aplicar la estadística en las fans page

y www.youtube.com.

Enlace:

Existen tres formas de trabajar cuando de probabilidad se trata. (Fracciones,

proporciones y porcentajes) cada una se utiliza para una parte diferente del

análisis, entendamos que una probabilidad siempre se va a calcular dividiendo una

parte sobre un total y por eso el principio de las probabilidades es la fracción,

cuando calculamos esta fracción se convierte en proporción y una vez queremos

responder a una interrogante multiplicamos por 100% y se vuelve porcentaje.

Veremos un ejemplo.

Si tenemos 4 personas: María, Juan, Pablo y Pedro. ¿Cuál es la probabilidad de

seleccionar una persona al azar y que sea hombre?

Respuesta: Como vemos solo hay un hombre, por lo tanto la probabilidad de

seleccionar un hombre es uno sobre cuatro, que a su vez es 0,25 (proporción) y

multiplicado por el 100% es 25%. Por lo tanto la probabilidad de seleccionar un

hombre es 25%. Veámoslo mejor en una figura que se muestra a continuación.



En el mundo laboral de Ciencias empresariales el cálculo de probabilidades casi

siempre se hace mediante tablas, EXCEL brinda sistemas de agrupamiento de datos

excelentes mediante los filtros. El cálculo de probabilidades cuando tenemos tablas

ó cuadros se hace mucho más sencillo, para entenderlo mejor veamos un ejemplo.

Practiquemos juntos:

Ejemplo 1: En una empresa hay 10 empleados hombres y 20 mujeres. ¿Cuál es la

probabilidad de seleccionar un empleado al azar y sea mujer?

Cómo vemos en total la empresa cuanta con 30 empleados de los cuales 20 son

mujeres.

Por lo tanto:

P (Mujer) Esto quiere decir (Probabilidad se seleccionar una mujer)

( )

Respuesta: Tenemos un 66,66% de probabilidades que el empleado seleccionado

sea mujer.

Ejemplo 2: En un almacén hay 200 sacos, 50 de arroz, 100 de sal y 50 de azúcar.

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un saco al azar y que sea de sal?

Respuesta: Como podemos ver de los 200 sacos 100 son de sal.

Por lo tanto.

( )

Respuesta: Tenemos un 50% de probabilidades que el saco seleccionado sea de sal.

Ejemplo 3. En un aula de la Universidad hay 13 estudiantes de Administración, 18

de Ingeniería Comercial y 10 de Marketing. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar

un estudiante al azar y sea de la carrera de Marketing?

Como vemos el aula cuenta con 41 estudiantes.


( )

Respuesta: Tenemos un 24,39% de probabilidades que el estudiante seleccionado

sea de la Carrera de Marketing.

Después de tres ejemplos creemos que ya lo tiene claro.

2.2Conceptos de Probabilidad.

Cuando se habla de probabilidades existen un conjunto de conceptos que no se

pueden obviar.

Evento (Ei): Un evento es un resultado, en los ejemplos anteriores los eventos

fueron:

En el ejercicio 1: (hombre; mujer)

En el ejercicio 2. (Saco de azúcar, Saco de Sal, Saco de Arroz)

En el ejemplo 3 (Administración, Comercial, Marketing)

Cuando un evento tiene 100% de probabilidades de suceder se llamará evento

cierto y cuando no tiene ningún tipo de probabilidad evento imposible.

Experimento: Llámese experimento al proceso que da como resultado un evento.

Ejemplos de Experimentos

Lanzar un dado.

Seleccionar una baraja.

Invertir en la Bosa de valores.

Jugar un partido de futbol.

Pescar.

Seleccionar de un grupo de 5 personas un delegado.

Espacio Muestral (S). Es el conjunto de todos los posibles resultados (eventos) de

un experimento.

Veamos cada ejemplo:

Lanzar un dado. S ={1; 2; 3; 4; 5; 6}

Invertir en la Bosa de valores. S = {ganar, perder, recuperar}

Jugar un partido de futbol. S ={ganar, perder, empatar}

Pescar. S= {pescar, no pescar}

Seleccionar de un grupo de 5 personas un delegado. S = {Juan, Pedro, Martí,

José, Claudio}

Nota Importante:

Los espacios muéstrales siempre se encierran en llaves. {Espacio Muestral}


2.3 Leyes de Probabilidad.

Las probabilidades siguen un conjunto de leyes que como toda ley debe cumplirse

para comprobar si un ejercicio está correcto.

Primera ley de Probabilidades.

“La sumatoria de las probabilidades de cada evento en un experimento siempre va a

ser 100%”

Nota: Esta igualdad debe cumplirse SIMPRE.

Veamos un ejemplo que demuestra esta ley.

Si en un aula tenemos 3 estudiantes hombres y 7 mujeres, la probabilidad de

seleccionar un hombre sería

o sea 30%, y de seleccionar una mujer sería

que sería 70%. Si sumamos 30% más 70% encontramos el 100% y queda

demostrada la ley.

Segunda Ley de Probabilidades.

( ) ( )

“La sumatoria de la probabilidad de un evento cualquiera más su anti probabilidad

es siempre 100%”

Veamos un ejemplo que demuestra esta ley.

En una fábrica de refrescos la producción del día de ayer fue: 20 cajas de frutilla,

35 cajas de naranja y 45 de limón.

( )

( )

( )

La probabilidad que una caja seleccionada al azar sea de limón es 35% y que no

sea de limón (Frutilla ó Naranja) es 20% + 35% = 55% y 45%+55% es igual al 100%

y de esta manera queda demostrada la segunda ley de probabilidades.

2.4 Modelos de Probabilidad.


Existen tres modelos de probabilidad, llamemos modelos probabilidad a la forma

de cómo se va a calcular la probabilidad.

Modelo de Frecuencia Relativa: Este modelo es utilizado cuando utilizamos los

datos pasados para predecir ó pronosticar eventos presentes ó futuros. Existe un

criterio universal que dice que las cosas tienden a volver a suceder, por lo tanto el

comportamiento histórico de un evento puede darnos pautas de lo que va a pasar

y es por esto que en las empresas se pide aparte del currículum cartas de

recomendación.

Ejercicios Resueltos de aplicación del Modelo de Probabilidad de Frecuencia

Relativa.

Ejercicio 1.El grupo de Estadística Inferencial del mes pasado tuvo 35 estudiantes

de los cuales 5 reprobaron, según el modelo de frecuencia relativa. ¿Cuál es la

probabilidad de que este mes usted apruebe?

Como vemos los aprobados serían 30, ya que 5 reprobaron, por lo tanto:

( )

Teniendo en cuenta los datos anteriores usted tiene un 85,71% de probabilidades

de aprobar la materia.

Ejercicio 2. En las anteriores presentaciones de venta usted vendió 3 veces de cada

30 visitas. ¿Cuál es la probabilidad de que venda si hace una visita mañana?

Como se explica en el ejercicio usted vendió una de cada diez veces por lo tanto:

( )

Teniendo en cuenta sus presentaciones anteriores usted tiene un 10% de

probabilidades de vender en su próxima presentación de ventas.

Modelo Subjetivo: Este modelo de probabilidad se utiliza cuando un evento no ha

sucedido pero puede ocurrir. Es el modelo de probabilidad más usado en las

investigaciones de Mercado para determinar si un producto va a ingresar o no a un

mercado, debido a que este producto nunca a estado pero tiene cierta

probabilidad de poder ingresar.


Para calcular un caso del modelo subjetivo requerimos elementos de probabilidad

mucho más avanzado que usted aprenderá en el desarrollo de la materia y en su

carrera en general.

Modelo Clásico: Es el modelo que antes de efectuar el experimento sabemos la

probabilidad exacta de que suceda algún evento, es el modelo que se utiliza para

los juegos de azar, desde antes de lanzar un dado ya sabemos que tenemos un

16,66% de probabilidades de sacar el número 3.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Como podemos notar cada evento tiene un 16,66% de probabilidad de suceder y

antes de lanzar el dado ya sabemos la probabilidad.

Ejercicios Resueltos de aplicación del Modelo de Probabilidad Clásica.

Ejercicio 1. Según el enfoque de la probabilidad clásica calcular la probabilidad de

obtener una cara cuando se lanza una moneda.

( )

usted tiene un 50% de probabilidades de sacar cara

cuando lance la moneda.

Ejercicio 2. Según el enfoque de probabilidad clásica cuál es la probabilidad de

que usted gane un sorteo que tiene 100 números y compró 3 cupones.

( )

Usted tiene un 3%de probabilidades de

ganar el sorteo.


2.5 Operaciones entre conjuntos.

En la materia de Matemática Básica usted aprendió los principios básicos de la

teoría de Conjuntos y específicamente las operaciones entre los mismos, en el caso

de probabilidades utilizamos generalmente dos (la unión y la intersección)

Ejemplo.

El círculo oscuro representa los estudiantes que estudian la materia de Estadística

Inferencial y el Claro los de cont

Los estudiantes que pertenecen a los dos grupos se muestran a continuación.

1.5 Reglas de Probabilidad.

Existen dos Reglas Básicas de Probabilidad (La Regla de la Multiplicación y la Regla

de la Adición)

(Estudiantes de Estadística Inferencial)

(Estudiantes de Contabilidad Intermedia)


(A U B) = {Carlos, Alberto, Rosa, Raquel, Marcelo, Pedro, Evelio, Juan, Daniela,

Reinier, Elián, Anabel} Ya que son todos los eventos que están en A y todos los que

están en B.

(A B) = {Pedro; Evelio} Ya que son todos los eventos que están en A y en B.

2.6 Relación entre eventos.

Cuando hablamos de Estadísticas y específicamente de probabilidades existen un

conjunto de relaciones entre eventos que usted debe dominar para entender la

materia. Las mismas se muestran a continuación.

• Eventos Mutuamente Excluyentes.

“Cuando la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia de otro”

• Eventos Colectivamente Exhaustivos.

“Posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio Muestral”

• Eventos Independientes.

“La ocurrencia de un no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro”

• Eventos Complementarios.

“Son los eventos en los que si un evento no ocurre el otro debe ocurrir”


2.7 Probabilidad Condicional

Esta es una de las probabilidades más utilizada, la probabilidad condicional se

refiere a la probabilidad de un evento sabiendo que otro ya ocurrió antes. Se la

denomina P (A/B) que quiere decir Probabilidad de A dado que ya conocemos B.

P (A/B) ( )

( )

Para entenderlo mejor veamos un ejemplo:

Ejemplo del Cálculo de una probabilidad Condicional.

Se tiene un grupo de 10 estudiantes, 4 son hombres y 6 damas, de los 4 hombres

1 estudia economía y de las mujeres 3. Si se toma una persona al azar y es

economista.

a) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

P (A/B) ( )

( ) En nuestro caso sería

P (mujer/economista) ( )

( ) =

= 0,75 ---- 75%

2.8 Reglas de Probabilidad.

Existen dos reglas básicas de probabilidad, la regla de la multiplicación y la regla de

la adición. En este apartado vamos a explicar cada una y cuáles son las aplicaciones

de las mismas.

Regla de la Multiplicación

El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad del

evento conjunto P (A∩B). Es decir, que para encontrar la probabilidad de “A y B”,

simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades.

Para EVENTOS INDEPENDIENTES la probabilidad de los dos eventos se vuelve.


Veamos un Ejemplo de aplicación.

Ejemplo 1: La cafetería de la Universidad tiene un 20% de probabilidad de vender

pizza y un 30% de probabilidad de vender refresco de piña. ¿Cuál es la

probabilidad que un cliente venga y pida un pollo y un refresco de piña?

Como notamos no tienen relación el pollo y la piña, bien la persona puede pedir

una hamburguesa y una soda. Este ejercicio se resuelve muy fácil.

(A B) = (0,2 x 0,3) = 0,06 ------ 6%

Se tiene un 6% de probabilidad que la persona compre una pizza y un refresco de

piña.

El Evento A es la compra de la Pizza.

El Evento B es la compra del Refresco de Piña.

Como uno no tiene nada que ver con el otro pero pueden suceder juntos

simplemente multiplicamos las probabilidades y misión cumplida.

Para EVENTOS DEPENDIENTES la probabilidad de los dos eventos se vuelve.

Veamos un ejemplo de Aplicación.

El gerente de crédito de Dollar – Wise recolecta datos de 100 de sus clientes. De los

60 hombres, 40 tienen tarjetas. De las 40 mujeres, 30 tienen tarjetas. Diez de los

hombres tiene saldos vencidos, mi entras que 15 de las mujeres tienen saldos

vencidos. El gerente quiere determinar la probabilidad que un cliente seleccionado

al azar sea4:

4 Ejercicio tomado del libro “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía” del Dr. Allem Webster.

La probabilidad de dos eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A)

* P(B)

Probabilidad de eventos dependientes P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A)


a) Una mujer con tarjeta.

Respuesta: P (A B) = P(A) x P (B/A) en nuestro caso.

P (Mujer Tarjeta) = P (Mujer) x P (Tarjeta dado que es

mujer)

P (Tarjeta dado que es mujer) = ( )

( )

P (Mujer Tarjeta) = 0,4 x 0,75 = 0,3------30%

Tenemos un 30% de probabilidades de seleccionar una persona al azar y sea

una mujer con tarjeta.

b) Una mujer con saldo.


P (Mujer Saldo) = P (Mujer) x P (Saldo dado que es mujer)

P (Saldo dado que es mujer) = ( )

( )

P (Mujer Saldo) = 0,4 x 0,375 = 0,15------15%

Tenemos un 15% de probabilidades de seleccionar un encuestado al azar y

sea una Mujer con saldo.

c) Un hombre sin saldo.


P (Hombre Sin Saldo) = P (Hombre) x P (No tenga Saldo dado que es hombre)

P (No tenga Saldo dado que es hombre) = ( )

( )

P (Hombre Sin Saldo) = 0,6 x 0,1666 = 0,1------10%


sea un hombre sin saldo.

d) Un hombre con saldo.

P (Hombre Saldo) = P (Hombre) x P (Saldo dado que es hombre)

P (Saldo dado que es hombre) = ( )

( )

P (Hombre Saldo) = 0,6 x 0,8333 = 0,5------50%


sea un hombre con saldo.

Regla de la Adición.

Se utiliza para determinar la probabilidad de A ó B, P(A U B)

La probabilidad del evento A ó B (Cuando dos eventos no son mutuamente

excluyentes) se calcula de la siguiente manera:


Veamos un ejemplo:

Los siguientes datos muestran la cantidad de estudiantes por sexo y Facultad de la

Universidad X.

Facultad Hombre Mujer Total

Facultad de Tecnología 2000 500 2500

Facultad Empresarial 1500 1000 2500

Facultad de

Humanidades 500 2500 3000

Total 4000 4000 8000

a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar sea hombre

ó estudie en la Facultad de Humanidades?

P (A U B) = P(A) + P(B)- P(A B)

P (Homb U Huma) = P (Homb) + P (Huma) – P (Homb Huma)

P (Homb U Huma) =

----81,25%

Tenemos un 81,25% de probabilidades que el estudiante sea hombre ó estudie en

la Facultad de Humanidades.

b) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar sea mujer ó

estudie en la Facultad Empresarial?

P (Mujer U Emp) = P (Mujer) + P (Emp) – P (Mujer Emp)

P (Mujer U Emp) =

----68,75%

Tenemos un 68,75% de Probabilidades que el estudiante sea mujer ó estudie en la

Facultad Empresarial.

Regla de la Adición para Eventos Mutuamente Excluyentes.

La probabilidad del evento A ó B (Cuando dos eventos son mutuamente

excluyentes) se calcula de la siguiente manera:

P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A∩B)


Siguiendo el ejemplo anterior:

c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante al azar y sea de la

Facultad Empresarial ó Tecnológica?

P (AUB) = P(A) + P(B) =

--------62,5%.

Tenemos un 62,5% de probabilidad de seleccionar un estudiante y que sea de la

facultad Empresarial ó de la Tecnológica.

Ejercicios resueltos de Probabilidad.

Como la mejor manera de aprender es haciendo le vamos a regalar una seria de

ejercicios resueltos de probabilidades que le ayudarán a practicar lo antes

estudiado.

Los ejercicios están en cuadros estadísticos que él la manera más común de

manejar el uso de probabilidades en el mercado laboral.

Ejercicio 1. VIVA.

Usted es el gerente Comercial de la empresa de Investigación de Mercados

“Mercadeando”, su último cliente “VIVA” tiene algunas preguntas acerca del

estudio que se hizo de su marca.

Insatisfecho Indiferente Satisfecho

Norte 50 120 200

Sur 150 85 60

este 60 115 70

Oeste 40 30 20

Preguntas)

Insatisfecho

Indiferente

Satisfecho

Total

Norte 50 120 200 370

P (AUB) = P(A) + P(B)


Sur 150 85 60 295

Este 60 115 70 245

Oeste 40 30 20 90

300 350 350 1000

A. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Sur de la Ciudad?

P(sur)=

29,5%

El 29.5% de los encuestados son de la zona sur de la ciudad

B. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del este ó el oeste?

( ) ( ) ( )

33,5%

El 33,5% de los encuestados son de la zona este u oeste.

C. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte y están

insatisfechos?

( )

5%

El 5% de los encuestados son de la zona norte y están insatisfechos.

D. ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos ó son del sur?

( ) () ( ) ( )

44,5%

E. ¿Qué porcentaje de los encuestados creen tiene una opinión por lo

menos indiferente?

( ) () ()

70%

El 70% de los encuestados tiene una opinión por lo menos indiferente

F. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte dado que están

satisfechos?

(

)

( )

()

57,14%

El 57,14% de los clientes satisfechos son del norte

G. ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos y son del este?

( )

6%

El 6% de los encuestados son del este y están insatisfechos

Ejercicio 2. Guaraná Conti.


Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en cuenta

que el producto no ha entrado al mercado local usted realizó una degustación

masiva en ciertos sectores estratégicos de la Ciudad preguntando ¿Qué le parecía

el sabor de esta nueva soda? Los resultados se muestran en la siguiente tabla de

contingencia.

Sector Regular Buena Excelente Total

Centro 20 40 100 160

Urubó 30 60 120 210

Urbarí 25 80 80 185

Equipetrol 0 20 50 70

Plan 3000 15 20 40 75

Polanco 15 30 100 145

Banzer 30 45 80 155

Total 135 295 570 1000

Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?

A. ¿Qué opine que el sabor es Excelente?

( )

→ 57%

El 57% opinan que el sabor es excelente

B. ¿Qué sea de Equipetrol?

( )

→ 7%

El 7% de los degustadores son de equipetrol

C. ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?

( )

→8%

El 8% de los degustadores son de Urbari y creen que el sabor de la soda es bueno.

D. ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?

( )

→ 3%

El 3% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es regular.

E. ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?

( ) ( ) ( )

→23,5%

El 23,5% de los degustadores son del centro o del plan 3000.

F. ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?

( ) ( ) ( )

→35,5%


El 35,5% de los degustadores son de polanco o del urubo.

G. ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?

( ) ( ) ( ) ( )

( )

→40,5%

El 40,5% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es bueno.

H. ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?

( ) ( ) ( ) ( )

( )

→ 59%

El 59% de los degustadores tienen una opinión excelente o son de Equipetrol.

I. ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?

(

)

( )

( )

→14,84%

El 14,81% son del centro dado que dicen que el sabor es regular.

J. ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la Ciudad?

(

)

( )

( )

→12,5%

El 12,5% de los degustadores dicen que el sabor es regular dado que son del

centro de la ciudad.

2.9 Teorema de Bayes.

Uno de los temas de Estadísticas que más utilidad tiene en el campo laboral es el

teorema de Bayes. El mismo ayuda a calcular la probabilidad anti condicional, para

entenderlo mejor veamos una pequeña explicación y luego ejemplos.

Teorema de Bayes. Es la probabilidad que se utiliza cuando tenemos dos eventos

dependientes, o sea la ocurrencia de uno depende de la ocurrencia de otro. Y

queremos saber la probabilidad de ocurra el primer evento dado que se sabe el

segundo.

Este evento se conoce y se quiere

determinar “A”.


Ejemplo:

Se sabe que la probabilidad de que llueva en Santa Cruz un dia de marzo es 25%.

cuando llueve la probabilidad de que la empresa “Toldito” alquile un Toldo es 80%,

mientras si no llueve la probabilidad de alquiler es 25% ¿Cuál es la probabilidad

de que haya llovido si se sabe que se alquiló un toldo?

Como se nota en el dibujo anterior llamado de hecho árbol de probabilidades se

conoce el evento B pero no el A. En estos casos aplicamos la fórmula del teorema

de Bayes.

Existen muchas maneras de resolver el teorema de bayes pero con nuestra

experiencia creemos que la más sencilla es esta.

Paso #1 Deje en el árbol de probabilidades solo el evento de B que le dicen que

ocurrió.


Como sabemos que se alquiló un toldo sacamos de la figura los toldos que no se

alquilaron ó la probabilidad de no alquiler.

Paso # 2 Pongo en el numerado de la fórmula la multiplicación de el valor que me

dan por el que me piden. Y en el denominador todos los demás valores.

(0,8) (0,25)

(0,8)(0,25) + (0,25)(0,75)

Al aplicar el cálculo obtenemos 51,67% de probabilidad que haya llovido.


Como sabemos que el tema es un poquito difícil de entender a la primera te

ayudamos un link donde se explica el tema en www.youtube.com

Link (Explicación del teorema de Bayes) https://www.youtube.com/watch?v=MrX1pS0wiU0

Ejemplos de Aplicación del Teorema de Bayes.

Ejemplo 1) Guaraná Conti.

Los datos de producción de la Guaraná Conti la empresa se los mandó de Brasil,

en sí son cinco las máquinas que producen dicha soda. La primera produce 1000

cajas por día y 50 salen en mal estado, la segunda produce el doble que la

primera y la misma proporción de desperfectos que la cuarta. La tercera produce la

mitad que la quinta y el 2% sale en mal estado, la cuarta produce el triple que la

primera y la misma proporción de desperfectos que la tercera, mientras que la

quinta produce el cuádruple que la primera y ninguna en mal estado. El lote que la

fábrica envió a Bolivia fue la producción total del mes pasado. La máquina uno

trabajó los 30 días, la dos y la tres 25 días, la cuatro 20 días y la cinco 22 días.

Preguntas:

A. De cuantas cajas contó el lote de sodas.

Prod. √ x hrs/dia Producción

Total Propor.

Maquina

1 1000 0,95 0,05 30 30000 0,1079

Maquina

2 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799

Maquina

3 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799

Maquina

4 3000 0,98 0,02 20 60000 0,2158

Maquina

5 4000 1 0 22 88000 0,3165

Ʃ278000 Ʃ1


https://www.youtube.com/watch?v=MrX1pS0wiU0


Tuvo una producción de todo el mes de 278000 cajas.

B. Si un cliente se quejó porque una caja estaba en mal estado ¿Cuál es la

probabilidad que haya sido producida por la cuarta máquina?

0,95 √

0,1079 maq

1

0,05 x

0,98 √

0,1799 maq

2

0,02 x

0,98 √

0,1799

maq

3

0,02 x

0,98 √

0,2158

maq

4

0,02 x

1 √

0,3165 maq

5

0 x ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

→24,53%

La caja tuvo un 25,43% de que haya sido producida por la cuarta maquina.


C. Si una caja está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido

producida por la tercera máquina?

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

→17,93%

Un 17,93% de que haya sido producida por la tercera maquina.

Este video muestra el ejercicio resuelto en www.youtube.com

Link: https://www.youtube.com/watch?v=ds9y3UtPcbA

Ejemplo 2. Cerveza Real.

La planta de cerveza Real está en Warnes, cuenta con 5 máquinas para producirla,

la primera produce 1000 latas por hora y solo 50 salen con desperfectos, la

segunda produce 1500 latas solo el 2% salen en muy mal estado, la tercera

produce el doble que la primera y 200 salen en condiciones no muy buenas,

mientras que la cuarta produce lo mismo que la segunda y el mismo porcentaje

defectuoso que la primera. La quinta es una maquina nueva y de tecnología de

punta, esta produce 1000 latas por hora y todas salen en buen estado. La primera

trabaja 5 horas al día, la segunda 3, la tercera 10, y la cuarta y la quinta 8. Ayer

llego un cliente protestando porque tomo una lata con desperfectos.

Producción √ x Hrs.*día Producción

Total Proporción

Maquina 1 1000 0,95 0,05 5 5000 0,1010

Maquina 2 1500 0,98 0,02 3 4500 0,0909

Maquina 3 2000 0,90 0,10 10 20000 0,4040

Maquina 4 1500 0,95 0,05 8 12000 0,2424

Maquina 5 1000 1 0 8 8000 0,1616

Ʃ49500 Ʃ1

0,1010 maq 1

0,95 √


https://www.youtube.com/watch?v=ds9y3UtPcbA


0,05 x

0,0909 maq 2

0,98 √

0,02 x

0,4040 maq 3

0,90 √

0,10 x

0,2424 maq 4

0,95 √

0,05 x

0,1616 maq 5

1 √

0 x

a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la segunda maquina? ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

→3,06%

Existe un 3,06% de probabilidad que la lata defectuosa la haya producido la

maquina 2.

b) Pedro tiene en la mano una lata en buen estado ¿Cuál es la probabilidad

que haya sido producida por la tercera o la quinta maquina?

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

→ 38,65%

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

→17,18%

Se tiene un 55,83% de probabilidad que la lata en buen estado haya sido

producida por la tercera o la quinta máquina


UNIDAD 3

“Distribuciones de Probabilidad” Competencia General del Capítulo

“El estudiante reconoce las distribuciones de probabilidad en problemas de su

profesión”

Competencias a desarrollar en el Capítulo.

“El Estudiante explica y diferencia distribuciones de probabilidades de

manera general y específicamente en el desarrollo de su profesión”

“El estudiante identifica variables aleatoria discretas y continuas”

“El estudiante soluciona problemas de aplicación de distribuciones de

probabilidad”

Contenido.

Importancia de las probabilidades en las Ciencias Empresariales.

Conceptos básicos de Probabilidad


Cálculo de probabilidades.

Teorema de Bayes.

Bibliografía del tema:


Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía”.

Capítulo 5.

Murray R. Spiegel. “Estadística”, capítulo 7

Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía”, capítulo 6

Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y

Estadística”, capítulo 4

Distribuciones de Probabilidad.

3.1 Introducción al Capítulo:

Antes de adentrarnos en el tema de las distribuciones de probabilidad existen un

conjunto de conceptos que debemos tener muy claro.

Variable Aleatoria: Con frecuencia es útil resumir con un número el resultado de

un experimento aleatorio. La variable que asocia un número con el resultado de un

experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

Otra forma de definir variable aleatoria es decir que:

“Es aquella que toma diferentes valores como resultado de un experimento

aleatorio”

“Matemáticamente, una variable aleatoria es una función que asigna un

número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento

aleatorio”


Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula, tal como X, y con una

letra minúscula, como x, el valor posible de X.

Ejemplos de Variables Aleatorias.

En cada uno de los ejemplos, determine la variable aleatoria y cuáles son posibles

valores que toma.

Se analiza una muestra de 5 celulares, se quiere observar cuántos poseen una

avería interna en las pilas.

Una empresa posee un sistema de comunicación por voz de 30 líneas, se

estudia el número de líneas ocupadas en cualquier momento.

Hay que contar la cantidad de minutos esperados para ser atendido en un

Banco por todos los clientes que ingresaron el mes de mayo.

3.2.- Variables Aleatorias Discretas y Continuas.

Si la variable aleatoria sólo puede tomar un valor de un conjunto limitado de

valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, sí se puede

tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una

variable aleatoria continua.

3.3.- Distribución de Probabilidad.

Una distribución de probabilidad, de una variable aleatoria X, es una descripción

del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada a c/u de

estos valores.

Existen dos tipos de estas distribuciones o funciones de probabilidad:

Función de probabilidad, cuando se habla de variables discretas

Función de densidad de probabilidad, cuando se trata de variables continúas.


El estudio de las Distribuciones de probabilidad por si solo es una materia. En esta

guía vamos a trabajar con las más importantes. Dentro de las discretas

analizaremos la distribución Poisson y en las Continuas la Distribución Normal y la

“t” de Student.

3.4- Distribución de Poisson.

Pueden tomar solo ciertos valores dentro de un rango de datos.

Pueden tomar infinitos valores dentro de un rango de datos.


Dado un intervalo de números reales, suponga que el conteo de ocurrencias es

aleatorio en dicho intervalo. Si este puede dividirse en subintervalos

suficientemente pequeños tales que:

1. la probabilidad de ocurrencia más de una ocurrencia en dicho subintervalo

es cero.

2. la probabilidad de ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los

subintervalos, y es proporcional a la longitud de éstos.

3. el conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de los

demás subintervalos.

Ejemplo del Uso de la Distribución de Poisson.

Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que exactamente 5

clientes lleguen durante la siguiente hora (ó en cualquier hora del día) laboral. La

observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han

entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10 por hora.

!x

xλ

λ-e

x)P(X

u= 10

x= 5

e= 2.71828

P(x) = P(5) =

P(5) = 0.0378 --------3.78%

Respuesta: Existe un 3.78% de probabilidad de que

exactamente 5 clientes ingresen en la tienda durante la siguiente hora


El mismo ejercicio se lo puede resolver utilizando la Tabla que está al final de la

Guía.

Como vemos el resultado es el mismo. 3,78%

Ejercicios Resueltos utilizando la probabilidad de Poisson.

1.- Se sabe que pasan 18 autos por minuto en el segundo anillo de la Avenida

Cristo Redentor. ¿Cuál es la probabilidad que en el próximo minuto pasen 26

autos?


2.- En Equipetrol hay un promedio de 3 peleas / noche cada fin de semana. El

asistente de seguridad de la nueva discoteca “Tentation”, desea estimar la

probabilidad que el sábado hallan 4 peleas en la zona y busca a un estadista. ¿Qué

usted le respondería?


3.5 Distribución Normal de Probabilidades.

La distribución Normal de Probabilidades es la más importante de todas las

distribuciones de Probabilidad La misma tiene un conjunto de propiedades que se

muestran a continuación.

Propiedad 1. La distribución Normal de Probabilidades es Simétrica (Coeficiente de

Asimetría igual a cero)

Propiedad 2. La distribución Normal de Probabilidades es Mesocúrtica. (Curtosis

igual a cero)

Propiedad 3. La media de la población cae dentro del grafico y coincide con el

centro de la grafica. En la distribución Normal de Probabilidades la media

aritmética es igual a la mediana e igual a la moda.

Propiedad 4. Los dos extremos de la distribución normal se extienden

indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal (desde luego, esto es imposible de

mostrar de manera grafica)


Propiedad 5. Para definir una distribución normal se necesitan solamente dos

parámetros la media y la desviación estándar.

Distribución Normal de Probabilidades.

Fórmula de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

Para entender mejor este tema veamos un ejercicio de Aplicación.

A. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 20 a 35 minutos?

→%

B. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 15 a 53 minutos?

→42,22%

→39,97%

Z = 82,19%

σ

μ-xz

15 35 53

20 35


C. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 41 minutos?

→16,28%

Z = 50 – 16,28% = 33,72%

D. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 19 minutos?

→37,29% + 50% = 87,29%

E. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 21 a 33 minutos?

→34,13%

→5,57%

Z = 34,13% - 5,57% = 28,56 %

35 41

19 35

21 33 35


UNIDAD 4

Estimación Estadística.

4.1 Estimación por Intervalos de Confianza.

Usted se habrá preguntado. ¿Por qué se llama Estadística Inferencial?, ¿Qué es

inferir?, ¿De qué se tratará la Unidad?, bueno, esta es una de las partes más lindas y

apasionantes de la Estadística Inferencial, los intervalos de confianza como su

nombre lo dice son aproximaciones reales que otorgamos a la población según los

valores seleccionados en la muestra. Es importante dividir este estudio en dos,

primero en el caso de las muestras grandes. (Mayores de 30) y por segundo las

muestras pequeñas (menores que 30) todo esto vamos a explicarlo muy fácilmente

en este capítulo de nuestra guía.

Como tal Inferencial viene de inferir, generalizar, ejemplo, si se realizó una encuesta

a 300 estudiantes de la Universidad con la intención de conocer la aceptación del

nuevo método de inscripciones por internet, en el estudio se mostró que el 40%

estaba satisfecho con el método y un 60% no, por lo tanto inferimos que toda la

universidad piensa lo mismo. Este proceso que hemos hecho tan fácilmente tiene

su grado de complejidad que vamos a desmenuzar en esta parte de la guía.

Pautas para que un intervalo de confianza funcione.

1.- Para que tenga validez el intervalo de confianza la encuesta debe estar hecha

por muestreo.

2.- Los intervalos como su nombre lo dice son infinitos valores entre un rango no

un valor específico.

4.2 Intervalo de confianza para calcular una media poblacional (u), cuando

conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a 30 datos.

La única forma de hallar “u” media poblacional, es trabajando un censo, como no

podemos trabajar con censos en la mayoría de las ocasiones por su elevado costo


tomamos una muestra, los resultados de la muestra debemos inferirlos a la

población mediante un intervalo de confianza.

Ejemplo:

Se tomo una encuesta de 100 personas en Santa Cruz para estimar la demanda de

pantalones jeans, los datos mostraron un promedio de gasto anual en estas

prendas de 150 dólares. Estudios anteriores mostraron una varianza poblacional

de 81 dólares. Estime con los datos de esta muestra los valores de la población con

un 95% de confiabilidad.

Fórmula:

√ La Desviación estándar del promedio puede calcularse de esta

forma.

Solución:

Como podemos ver en los datos del problema nos dan la Varianza, que hallándole

la raíz podemos tener la desviación estándar, también tenemos el tamaño de la

muestra, solo nos faltaría el valor del estadígrafo “Z”, que ya aprendimos a

buscarlos en el capítulo de Distribuciones de probabilidad.

Como podemos ver nos piden un 95% de confiabilidad, por lo tanto buscamos en

la tabla el valor de “Z” con un 95% de confiabilidad y tenemos que es 1.96, luego

sustituimos y lo demás es una simple operación matemática.

√

√

( )

Ahora podemos hacer el intervalo de confianza.

[ ]

[ ]

Interpretación: Estamos seguros que en el 95% de todas las posibles muestras que

se pudieron haber obtenido en la población, los valores de la media oscilan entre

148.23 y 151.76 dólares.


4.3 Intervalo de confianza para calcular una media poblacional (u), cuando

“NO” conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a 30

datos.

En caso de que no conociéramos el valor de la varianza poblacional, tomamos la de

la muestra.

Ejemplo:

Usted es el jefe de personal de la fábrica de caramelos “Dulcete” que tiene sus

instalaciones a las afueras de la Ciudad de Santa Cruz, en este momento la

empresa tiene un buen posicionamiento en el mercado cruceño, datos de nuestros

socios de negocio indican que dos empresas del mismo rubro de la Argentina van

a incursionar en el mercado local, hace falta investigar el mercado de los caramelos

en Santa Cruz completa, teniendo en cuenta que los niños de 3 a 11 años son el

95% de nuestros clientes se los va a tomar como población objetivo. Se visitan 100

colegios y se hace una encuesta a 15.000 estudiantes mostrando un promedio de

gasto de 40 bolivianos por mes. Con un valor máximo de compra de 85 bolivianos

y un mínimo de 5 bolivianos. Calcular el intervalo de confianza que muestra los

datos de toda la población de niños de Santa Cruz con un 90% de confianza.

Solución:

Como podemos ver tenemos el valor del Rango, que sería (85 – 5), en este caso 80

bolivianos, la teoría estadística muestra que el Rango dividido entre 4 es la

Desviación Estándar. En este caso 80/4= 20.

El valor de “Z” para un 90% de confianza es 1.64

√

[ ]

[ ]

Interpretación: Estamos seguros que en el 90% de todas las posibles muestras

que se pudieron haber obtenido en la población, los valores de la media oscilan

entre 39.7306 y 40.2694 dólares.


4.4 Intervalo de confianza en muestras pequeñas. (Distribución “t”)

Anteriormente trabajamos con muestras grande (≥30); pero hay casos en que no se

puede trabajar con este tipo de muestras, ejemplo. Si usted es el encargado de

probar la seguridad de los autos Toyota y para realizar su prueba tiene que chocar

un auto contra un muro, le garantizo que no va a chocar 30 autos o más. En estos

casos que tenemos muestras pequeñas trabajamos con la distribución “t” de

student.

Fórmula:

Ejemplo:

El promedio de ventas que debe tener la sucursal de “Ford” en Argentina es de

100.000 al mes para dólares por mes para cubrir sus costos de producción y

mantenimiento de la empresa. Usted ha sido contratado como asesor e

investigador de mercado y tiene que sugerirle al gerente general ¿Qué hacer con la

situación de la empresa?, ya que con menos de 100.000 dólares al mes no puede

seguir operando. Los datos de los últimos 7 meses muestran un ingreso promedio

de 90.675 dólares y una desviación estándar de 5.000 dólares. Con un 99% de

confiabilidad ¿Qué consejo profesional le diría al gerente general?

El valor de “t” para un 99% de confianza es 3.7007, y los grados de libertad son 7-

1=6

√

[ ]

[ ]

R) En este caso, podemos aconsejarle al gerente que cierre la empresa por que los

resultados muestran que con un 99% de confiabilidad las ventas están entre 83.681

y 97.668 dólares que no cubren el costo de producción.

4.5 Intervalo de Confianza para hallar una proporción poblacional.


En el caso de las proporciones a diferencia de las medias siempre vamos a utilizar

“Z”, no importa que sean muestras grandes ó pequeñas.

Fórmula:

Que es lo mismo que decir. √

Ejemplo:

Usted es el jefe de campaña del candidato “Augusto Hernández” para las

elecciones municipales, en la encuesta que usted tomó a 1.000 ciudadanos con su

grupo de trabajo, el candidato tenía el 40% de los votos, teniendo en cuenta un

95% de confiabilidad y teniendo en cuenta que para ganar la elección se requiere

el 36.85% de los votos, ¿Qué le diría al candidato?

Como vemos p= 0.4, q= 0.6, n= 1000 y “Z” para un 95% de confianza es 1.96.

√

√

= ( )

[ ]

[ ]

Respuesta) Puede decirle al candidato que está tranquilo que estamos seguros que

en un 95% de todas las posibles muestras que se pudieron haber tomado, el

candidato aparece como ganador. ¡¡Felicidades!!.


UNIDAD 5

Muestreo

Teoría del muestreo.

OBJETIVOS

Reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas.

Reconocer los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas.

Calcular el tamaño de la muestra para población finita e infinita.

Resolver problemas de aplicación a la economía.

5.1 Muestreo.

Uno de los temas más importantes de la Estadística Inferencial es sin duda alguna

el Muestreo. Es la parte de la ciencia que divide a la investigación científica de la

búsqueda empírica de resultados, la correcta selección del tamaño de la muestra es

sumamente importante en el mundo empresarial, ya que frecuentemente

requerimos realizar encuestas e investigaciones de mercado para tomar decisiones

que es la base de un profesional exitoso.

Si bien hay muchísima bibliografía acerca del tema en esta guía hemos intentado

sintetizar solo los argumentos más importantes y que les resultarán más útiles a los

profesionales de las Ciencias Económicas, Administrativas y Financieras.

Existen como tal dos tipos de muestreo, el probabilístico y el No probabilístico, el

muestreo probabilístico es cuando todos los elementos de la población tienen la

misma probabilidad de ser seleccionados en la Muestra y obviamente el no

probabilístico es el que muestra lo contrario. En este Manual solo trabajaremos con

el muestreo probabilístico y necesariamente con poblaciones finitas (que se

conocen todos los elementos de la población) ya que estos son los más utilizados

en las investigaciones de mercado de nuestro rubro de trabajo.


Aparte de las fórmulas de muestreo existen criterios que necesariamente deben

cumplirse a la hora de realizar una investigación.

Criterios de Muestreo.

1. Se debe tomar información en todas las áreas y horarios. (Si queremos

realizar una encuesta en la Universidad UTEPSA, es importante que

tomemos la opinión de estudiantes de todos los horarios, ya que la opinión

de los estudiantes de la mañana puede diferir mucho a los de la noche)

2. Si usted no va a realizar la encuesta debe adiestrar muy bien a los

encuestadores y si es posible realizar una auditoría de trabajo de campo5.

3. Tomar la información en diversos días no el mismo. ¿Por qué?, En

muchas ocasiones hay lugares que las personas visitan solo rara vez y otros

todos los días.

Para seleccionar los datos tenemos que tomar en cuenta que existen varios

métodos de selección.

1. La Entrevista Personal.

2. Entrevistas por teléfono.

3. Cuestionarios Auto aplicados (Encuestas)

4. Observación Directa.

Nota: Intente que la mayor cantidad de sus preguntas sean cerradas. Las preguntas

más importantes no pueden tener la opción No se no respondo.

Planeación de una encuesta por muestreo.

1. Establecimiento de objetivos: Usted debe saber de ante mano lo que

quiere investigar, los objetivos deben ser muy claros y concisos.

2. Población Objetivo: Usted debe delimitar su población. No siempre nos

interesa trabajar con la población en su conjunto sino una parte de ella.

Ejemplo. Si usted es vendedor de acciones de bolsa con un valor superior a

los 1.5 millones de dólares no creo que le interese mucho encuestar a

estudiantes ó personas de recursos medios.

3. El Marco Muestral: El Marco muestral es una lista donde están todos los

elementos de la población, ejemplo si usted va a estudiar el nivel de

satisfacción de los obreros del ingenio Guabirá, el marco muestral sería la

nomina de todos los trabajadores.

5 Este tema se trabajará en profundidad en la materia de investigación de mercado.


4. Diseño de Muestreo: Seleccione que tipo de muestreo va a utilizar,

aleatorio simple, sistemático, por conglomerados ó polietápico6 (Varios

muestreos a la vez)

5. Método de Medición: Entrevistas, encuestas, observaciones, entrevistas por

teléfono, etc.

6. Instrumento de Medición. Como tal este paso se refiere a elaborar el

cuestionario en sí.

7. Selección y adiestramiento de investigadores de Campo: Este es una de

las partes más importantes, tome el tiempo que sea necesario para esto y

dele la importancia que se merece, de instrucciones claras.

8. Prueba Piloto. Se realiza con dos objetivos, uno es calcular la varianza

poblacional y otro es saber más ó menos como está elaborado el

cuestionario.

9. Organización y Trabajo de Campo: Como tal es el trabajo de campo en sí.

Ir y tomar la información a la calle, a la empresa ó por correo.

10. Organización del Manejo de Datos. Ya está toda la información

seleccionada y requerimos organizar el trabajo, ¿Quién va a tabular?, ¿Quién

va a dictar?, etc.

11. Análisis de los datos: Es el tratamiento ó procesamiento de la información y

las propuestas de solución a problemas, hipótesis ó toma de decisiones.

5.2 Muestreo Aleatorio Simple:

Este es sin duda alguna el más utilizado de todos los muestreos, sus usos son

infinitos, y es tan sencillo de entender como tener una bolsa con 40 bolillas y

seleccionar 10 a azar, evidentemente todos los elementos de la población tienen la

misma probabilidad de ser seleccionados en la muestra.

Para seleccionar el tamaño de la muestra utilizando el muestreo aleatorio

simple debemos tener en cuenta ¿Que nos interesa de la población?

La media poblacional. Ejemplo (Cuál es el gasto promedio en CD´s de los

estudiantes Universitarios de Santa Cruz de la Sierra, Bolivia)

Una proporción poblacional. Ejemplo (Cuál es la proporción de estudiantes

de Santa Cruz que compran CD´s.

6 El muestreo polietápico está diseñado para investigaciones de mercado muy grandes con poblaciones

superiores a 500.000 personas, elementos u observaciones.


Un total poblacional. Ejemplo (Cuál es el total de dinero que gastan

estudiantes de Santa Cruz comprando CD´s.

En esta guía no vamos a trabajar con los totales, pero si es importante que

conozcas que existe este tipo de estadígrafo llamado (tao) ó total7.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar la Media Poblacional.

Recordemos que la media poblacional es (miu) ó (mu) y se denota con la letra (u)

Fórmula:

( )

Donde:

n: Es el tamaño de la Muestra.

N: Es la Población.

E: Límite para el error de estimación.

: Varianza Poblacional

Nota: Una vez seleccionado el tamaño de la Muestra se seleccionan de la población

utilizando la tabla de Números Aleatorios.

Ejemplo 1:

5000 son las cuentas en moras de la Cooperativa “LUNA”, se sabe por

estudios anteriores que la desviación estándar de las mismas es de 35 dólares, Hay

que llamar a los clientes para saber ¿Cuál ha sido el motivo del retraso en sus

obligaciones? Evidentemente no se puede llamar a los 5.000 porque incurriría un

elevado costo para la cooperativa, por lo que hay que seleccionar una muestra. Es

evidente que se puede utilizar el muestreo aleatorio simple debido a que cumple

con los requisitos del mismo.

A) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el

error de estimación de 5 dólares.

B) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el

error de estimación de 10 dólares.

Respuesta inciso “a”

No nos dan la Varianza poblacional pero si la desviación Estándar, y la

varianza es la desviación estándar al cuadrado.

= 1225

7 Para más información acerca de este tema. Scheaffer Richar Editorial Iberoamérica, “Elementos de

Muestreo”


N= 5.000 B= 5

=

( ) =

( )( )

( ) =

( ) = 188.64 ≈ 189

Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que seleccionar

189 si es que queremos un límite para el error de estimación de 5 dólares.

Respuesta inciso “b”

= 1225

N= 5.000 B= 5

=

( ) =

( )( )

( ) =

( ) = 48.53 ≈ 49

Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que seleccionar

49 si es que queremos un límite para el error de estimación de 10 dólares.

Nota: Notemos que mientras más grande es el error que aceptamos más pequeña

es la muestra.

Ejemplo 2.

Usted es el gerente de Marketing de la empresa comercializadora de

calzados “Zapatitos de Cristal”, en los últimos meses se ha detectado un descenso

de las ventas netas, su asesor sugiere que se realice una investigación de mercado

para detectar si ha sido debida a un ciclo comercial ó a la llegada de nuevos

competidores. Se tomó una prueba piloto donde se pudo detectar en los

encuestados un valor máximo de compras de 80 dólares y un mínimo de 20. Con

un error de estimación de 4 dólares cuantas encuestas se deben tomar para saber

por qué ha sido el descenso en las ventas teniendo en cuenta que los clientes con

dirección y número de celular están en la base de datos de la empresa y suman

3.000.

ó , ni la

varianza de la población, pero nos dan el rango, que en este caso sería 80-20= 60.

Por regla estadística el rango dividido entre 4 es la desviación estándar.

Por lo tanto 60/4= 15, y la varianza es la desviación estándar al cuadrado. 152= 225

N= 3.000 B= 5

=

( ) =

( )( )

( ) =

( ) = 55.23 ≈ 56

Respuesta: Se debe tomar una encuesta a 56 de los clientes.


Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción

poblacional. ( )

Recordemos que la proporción poblacional es ( )

Fórmula:

( )

Donde:

n: Es el tamaño de la Muestra.

N: Es la Población.

B: Límite para el error de estimación.

p: proporción poblacional de éxitos en casos anteriores ó la prueba piloto.

q: proporción poblacional de fracasos en casos anteriores ó la prueba piloto.

Ejemplo:

El señor Juan propietario de la Finca Ganadera “Juanito” ha detectado que

están muriendo animales. Juan es propietario de 10.000 cabezas de ganado y el

costo del estudio (análisis de sangre) por animal es de 5 Bs. Juan solo puede tener

un error de estimación del 5% y no tiene el dinero suficiente para realizarle el

estudio a todos los animales. Cuál es la Muestra probabilística que debe

seleccionar Juan para realizar el estudio que verifique la proporción de animales

que están enfermos y cuál es el presupuesto que necesita para llevar adelante

análisis de sangre.

Nota: En el anterior estudio se calculo que el 20% de los animales estaban

contaminados con un virus.

N= 10.000 p= 0.2 q= 0.8 B= 0.05

=

( ) =

( )( )( )

( )( ) ( )( ) = 250

Respuesta: Con un límite para el error de estimación de 5% el tamaño de la

muestra debe ser de 250 animales para el estudio y el presupuesto sería de 250*5=

1.250 bolivianos.

Ejemplo 2.

El gerente de Recursos Humanos de la fábrica de Juguetes “Juguetón” leyó

la semana pasada el buzón de quejas y sugerencias internas y detectó que un 30%

de las quejas eran acerca del mal trato del Supervisor “Fernández”, preocupado por

esta situación decide realizar una encuesta para determinar si realmente existe tal

molestia entre los trabajadores ó es solo problema de una camarilla, El problema es


que hay 50.000 obreros y encuestarlos a todos sería en un período muy largo de

tiempo. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra que necesita tomar el

gerente para realizar dicha encuesta teniendo en cuenta un límite para el error de

estimación de 0.04?

N= 50.000 p= 0.3 q= 0.7 E= 0.04

=

( ) =

( )( )( )

( )( ) ( )( ) =

= 519.55 ≈ 520

R) El gerente requiere tomar una muestra de 520 empleados para determinar la

situación del señor Fernández.

4.3 Muestreo Sistemático:

El muestreo sistemático es muy parecido aleatorio simple, de hecho mantiene

hasta las mismas fórmulas, la única diferencia es que en este se divide la población

entre la muestra y hallamos un valor que vamos a llamar “K”, tomamos un primer

valor y sistemáticamente sumamos “K” y seleccionamos la observación.

Ventajas del Muestreo Sistemático:

1.- Es el más fácil de llevar a cabo en el campo.

2.- Está menos expuestos a errores de selección que cometen los investigadores de

campo.

3.- El muestreo Sistemático puede proporcionar mayor información que la que

puede proporcionar el muestreo aleatorio por unidad de costo.

Selección del tamaño de la muestra para hallar el promedio poblacional.

Fórmula.

( )

Como podemos ver es la misma muestra que el muestreo aleatorio simple.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra los valores de las edades de los integrantes del Club

Social. (Guajurú). Con un error de estimación de 4 años. ¿Cuál debe ser la muestra

que se debe seleccionar? y realice mediante el muestreo sistemático, seleccione

los valores y halle el promedio de la muestra e infiera a la población.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75


45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28

Evidentemente que una población de este tamaño (80) se puede estudiar en su

totalidad pero con fines pedagógicos hemos tomado la decisión de seleccionar una

muestra y luego sistematizar.

Edad Máxima: 90 años, Edad Mínima: 20 años, Rango = 70 años.

No nos olvidemos que el Rango dividido entre 4 es la desviación estándar. 70/4=

17.5. La varianza es la desviación estándar al cuadrado. 17.52= 306.25

N= 80 B= 4

=

( ) =

( )( )

( ) =

( ) = 9.08 ≈ 10

K= 80/10= 8

Evidentemente tenemos que seleccionar 10 de los 80 socios. El primer valor lo

tomamos aleatoriamente entre los primeros 10 valores, en nuestro caso fue el

tercero, entonces seleccionamos el tercer valor y sistematizamos sumando “K” que

en este caso es 8.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75

45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28

Ahora realizamos el estudio entre los 10 valores seleccionados en la muestra.

El promedio de las edades de la muestra es 54 años. Ahora realizamos el intervalo

de confianza para inferir a la población. Como es una muestra pequeña (10)

tenemos que utilizar la “t” de student.


S= 17.5, √ √ = 3.16. Grados de libertad sería n-1, 10-1= 9, y el nivel de

significación al no dárnoslo es el 95%. Siguiendo los pasos que están en la tabla es

2.262 el valor de “t”

( )

√

( )

[ ]

[ ]

Respuesta: Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se

pudieran haber seleccionado la media estará entre 41.47 y 66.52 años.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción

poblacional. ( )

Fórmula:

( )

Ejemplo:

Los siguientes datos muestran la opinión que tuvieron las 130 personas que

asistieron al cine “Peliculón” el día de su reapertura. Encuestas anteriores muestran

que el 65% de los visitantes ven las mejoras como positivas. Debido a que tabular

130 encuestas es mucho según el gerente, se decide tomar una muestra con un

error de 0.15 y un 95% de confiabilidad, aparte realice un estudio estadístico

completo. Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo

Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo

Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo


Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo




Solución.

N= 130 p= 0.65 q= 0.35 E= 0.15

=

( ) =

( )( )( )

( )( ) ( )( ) =

= 31.02 ≈ 32

Si bien en estadística siempre redondeamos al mayor valor, en

el caso del cálculo de la “K” se utiliza el enfoque matemático.

Ahora tomamos un número aleatorio entre los primeros 4 número en nuestro caso

fue el 2. O sea, la segundo observación que nos va a servir como punto de partida

y primer valor. Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo




Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo




Hacemos el estudio de las variables cualitativas de los treinta datos y tenemos que

la proporción de clientes que estuvo satisfecha (positivo) fue el 0.4687, o sea 15 de

32 encuestados.

Ahora vamos a hallar el intervalo de confianza.

Como estamos trabajando con muestras grande trabajamos con “Z” no con “t”


√

( )

[ ] Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras

que se pudieron haber seleccionado la proporción de clientes que creen que el

cambio fue positivo está entre 0.3035 y 0.6339.

Muestreo Estratificado.


Es sin duda alguna uno de los tipos de muestreo más importante, se utiliza

mucho en las investigaciones de mercado en la parte de segmentación. Este tipo

de muestreo se utiliza cuando nos interesa el peso de una determinada parte del

mercado. En palabras más sencillas cuando tenemos que segmentar la muestra en

varias submuestras.

Muestreo Estratificado cuando nos interesa calcular la media poblacional.

Fórmulas:

( )

(

)

Evidentemente lo vas a comprender mejor con un ejemplo. Disfrútalo.

Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar la media

poblacional.

5.1 La cadena de tiendas de ropas deportivas GLENN, necesita saber el

promedio de gasto que tienen los hombres y las mujeres de la UTEPSA para decidir

qué tipo de publicidad se va a lanzar. Es sabido que la Universidad tiene 8.000

estudiantes y de estos 6000 son mujeres. Se hizo una prueba piloto que demostró

que el gasto en ropa deportiva máximo en el caso de los hombres es de 50 $us en

promedio por mes y el mínimo de cero, que son las personas que no gastan nada

en ropa deportiva. En el caso de las mujeres la que más gasta en ropa deportiva es

150 dólares y evidentemente hay chicas que no usan ropa deportiva.

¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para estimar el promedio de

gasto en ropa deportiva por mes conociendo que el límite para el error de

estimación es de 10 dólares?

Respuesta:

Es evidente que en este caso debe de utilizarse el muestreo estratificado

debido a que los hombres y las mujeres forman dos grupos de consumidores

completamente diferentes.

En este caso no nos dan la desviación estándar ni la varianza de la población

pero nos dan el Rango, por propiedad estadística podemos decir que la desviación

estándar es el rango Dividido entre 4.

Rango de Gasto de hombres (50 dólares)

Rango de Gasto de Mujeres (150 dólares)

σ (hombres) = 50/4 = 12.5 dólares

σ (mujeres) = 150/4 = 37.5 dólares.


( )( ) ( )( )

(

) ( )

= 0.10

(

) ( )

= 0.90

Por lo tanto w1 = 0.1 y w2= 0.9

Ahora para encontrar n debemos calcular las siguientes cantidades.

( ) ( ) 8.437.500 = 8.750.000

( )

= ( )

( )

38.85 ≈ 39 Este es el tamaño de la muestra total que debemos tomar de la

población.

n (hombres) = nw1 = 39*0.1 = 3.9 ≈ 4

n (mujeres) = n w2 = 39 *0.9 = 35.1≈ 35

La empresa debe encuestar a 4 hombres y 35 mujeres.

Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar una proporción

poblacional.

En una encuesta de televisión una empresa publicitaria planea utilizar

entrevistas por teléfono. Los tamaños de los estratos son N1= 155, N2= 62 y N3 =

93. Que representan la cantidad de viviendas que hay en cada una de los tres

barrios de la Ciudad. Los resultados de encuestas anteriores muestran que en el


barrio uno ven el programa el 35% de los habitantes, en el 2 un 40% y en el tres un

60%, con un límite para el error de estimación de 0.10 .Calcular el tamaño de la

muestra.

P1= 0.35, P2= 0.40, P3= 0.60, por lo tanto.

q1= 0.65, q2= 0.60, q3= 0.40

∑Ni= 310

(

)

= n(0.5)

(

)

= n(0.2)

(

)

= n(0.3)

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

= 72, 46

B= 0.10 D= B2/4

( )( )

=

( )

( )

= 71, 83 ≈ 72

n1= 72(0.5) = 36

n1= 72(0.2) = 14.4≈ 14

n1= 72(0.3) = 21.6≈ 22

Respuesta: En total hay que seleccionar 72 familias, 36 del barrio 1, 14 del 2 y 22

del 3


Tablas

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