de stelling van castigliano - pure · de stelling van castigliano is in wezen een specialisering...

35
De stelling van Castigliano Janssen, J.D. Gepubliceerd: 01/01/1967 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: • A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website. • The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. • The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication Citation for published version (APA): Janssen, J. D. (1967). De stelling van Castigliano. (DCT rapporten; Vol. 1967.016). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 10. Nov. 2018

Upload: dobao

Post on 10-Nov-2018

216 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

De stelling van Castigliano

Janssen, J.D.

Gepubliceerd: 01/01/1967

Document VersionUitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differencesbetween the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact theauthor for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

Citation for published version (APA):Janssen, J. D. (1967). De stelling van Castigliano. (DCT rapporten; Vol. 1967.016). Eindhoven: TechnischeHogeschool Eindhoven.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 10. Nov. 2018

Page 2: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

TECHNISCBE HOGESCHOOL EINDHOVEN NEDERLAND AFDELING DER W E R K T U I G B O ~ E LABORATORIUM VOOR TECHN%SCHE MECHANICA

TEGHNOLOGIGAL UNIVERSIW EINDHOVEN NETHERLANDS DEPARTMENT OF MECHANICAL ENGINEERING LABORATORY OF ENGINEERING MECHANICS

De stelling van Castigiiano

door

J . D . Janssen

T.H. - Report WE 67 - 16

Page 3: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

Samenvatting.

De stelling van Castigliano wordt gebruikt om uitspraken te doen over verplaatsingsgrootheden bij balkconstructies. De 'gebruikelijke formulering van deze stelling heeft een aantal nadelen, die het onmogelijk maakt dat deze stelling terecht in een aantal situaties wordt gebruikt. Aangetoond wordt dat in een aantal gevallen toepassing van de stelling principieel onjuist is. (Ook al zijn de uiteindelijke resul- taten in orde.) De stelling van Castigliano wordt zodanig uitgebreid en geformuleerd,dat een veel ruimere toepassing mogelijk wordt.* De benodigde resultaten worden verkregen door een specialisering van het principe van minimale complementaire energie en door een direct op het doel gerichte werkwijze.

(Dit rapport is een samenvatting van een gedeelte van rapport WE 65 - 12)

Page 4: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

Inhoudsopgave.

i. De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano 1

2 . Nadelen van de klassieke stelling van Castigliano 5

3. Cómplementaire elastische energie 7

4 . De uitgebreide stelling van Castigliano 1 1

5. Bewijs van de uitgebreide stelling van Castigliano 13 zonder gebruik te maken van variatieprincipes

6. Enige toepassingen van de uitgebreide stelling van Castigliano 15

Page 5: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

1. De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano.

De hier bedoelde stelling werd door Castigliano zelf aangeduid als "het tweede gedeelte van de stelling over de afgeleide van de vervor- mings arbeid".

Beschouwd wordt een elastisch lichaam dat belast wordt door n gecon- centreerde krachten (of koppels) Pi (i = 1 , ..., n). De arbeid-absorberende component van de verplaatsing van het aangrij- pingspunt van de kracht P. wordt f. genoemd. 1 1

Wordt de vormveranderingsenergie die in het lichaam opgehoopt is, U ge- noemd en wordt U berekend als functie van P stelling van Castigliano:

..., Pn, dan luidt de 1'

(i = i, ..., n) ( 1 . 1 ) 'n) - 3U(P1> ..., - fi api

Het bewijs van deze stelling is eenvoudig. Voor de vormveranderingsener- gie geldt:

(sommatieconventie!) (1.2) u = 4 P.f. 1 1

Het verband tussen de verplaatsingsgrootheden en de krachtgrootheden kan gegeven worden als

Substitutie van (1.3) in (1.2) levert:

u = I 01 P.P, ij I J 2

Uit (1.4) volgt direct de te bewijzen stelling:

Page 6: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 2 -

De stelling wordt meestal ook gebruikt wanneer behalve geconcen- treerde krachten ook nog verdeelde oppervlakte- of volumekrachten

op het lichaam inwerken. De hiervoor gegeven afleiding moet dan enigs-

zins worden gemodificeerd. Bij het differentiëren van de vormveranderingsenergie - die nu uiter- aard ook een functie van de verdeelde belasting is - moet deze belas- ting constant gehouden worden.

De in ( 1 . 1 ) geformuleerde stelling bezit veel meer beperkingen dan hiervoor expliciet vermeld is. Voldaan moet worden aan de volgende eisen: a. het materiaalgedrag is lineair (zie (1.3))

b. de optredende verplaatsingen zijn "klein" (zie (1.3) en ( 1 . 2 ) )

c. in onbelaste toestand is het lichaam spanningsloos (zie (1.3))

d. beweging als star lichaam moet verhinderd zijn (anders is f. niet 1

eenduidig te bepalen) e. alle ondersteuningen zijn star en spelingsloos ,

Het is duidelijk dat het voor een zinvolle toepassing van de stelling noodzakelijk is dat U inderdaad expliciet bepaald kan worden als func- tie van P een aantal kunstgrepen - mogelijk. Een zinvol gebruik is dan mogelijk bij de bepaling van de verplaatsing van een bepaald punt in een bepaal- de richting. Een gevolg hiervan is dat deze stelling een geschikt hulp- middel is bij het bepalen van steunpuntsgrootheden bij statisch-onbepaal- de constructies.

..., P . Voor balkconstructies is dit - soms met behulp van I ' n

Voor een paar veel voorkomende situaties geven wij in het kort aan op welke wijze de stelling gebruikt kan worden.bij de berekening van in- teressante grootheden. De volgende beschrijving houdt meteen het ophef- fen in van een aantal beperkingen.

Zonder op dit ogenblik een bewijs te geven, vermelden wij dat niet-lineair elastisch materiaalgedrag het noodzakelijk maakt de vormveranderingsener- gie U te vervangen door de complementaire energie U', zodat de stelling dan luidt:

_ - - fi au * api

Page 7: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 3 -

Voor uitwendig statisch onbepaalde constructies worden zoveel van de uitwendig statisch. onb~epaaldë::;: grootheden (zeg: m) als belastings-

grootheden beschouwd, dat de overblijvende constructie statisch-bepaald is. Deze kkrachten worden Q (i = 1, ..., m) genoemd. Op deze constructie wordt de stelling van Castigliano toegepast, waarbij de vormveranderings-

energie een functie is van P1, ..., Pn, Q,, ..., Vanwege de starre ondersteuningen zijn de arbeid-absorberende componenten

van de grootheden Q. nul. Er geldt dus:

i

. Qm

1

= O (i = i , ..., m) - au*' aQi

Uit de m vergelijkingen uit! (15:6) volgt:

O Qi = Qi (Pl, ..., Pn) (i = 1 , ..., m)

Bovendien geldt:

= f. (i = 1 , ..., n; j = 1, ..., m) 1

au" ( ä q ) - - O

Qj = Qj

Wanneer bepaalde ondersteuningen elastisch zijn, is een geschikte werk- wijze te verkrijgen door deze elastische ondersteuningen als een gedeel- te van de constructie op te vatten.

De inwendig statisch onbepaalde grootheden-voor inwendig statisch onbe- paalde constructies worden gezien als belastingsgrootheden van een con- structie die door geschikte snedevlakken en aangepaste verbindingen tus- sen de oevers van de snede te verkrijgen is uit de oorspronkelijke con- structie. De inwendig statisch onbepaalde grootheden noemen wij R. (i = 1 , ..., r). Zowel op de rechter- als op de linkeroever van de snede is een kracht,ge- naamd R. aanwezig. Het onderscheid tussen beide grootheden duiden wij aan met R. t l ) en Ri ('). De gebruikelijke redenering is:

1

1

i beschouw U (P l... ,Pn, R,. .. ,Rr).

Page 8: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 4 -

Er geldt (formeel wiskundig):

(géén sommatie)

Deze twee laatste termen worden met een beroep op de stelling van Cas- tigliano - zonder commentaar - gerdentificeerd als de arbeidabsorberen- de componenten van de verplaatsingen van het aangrijpingspunt van R. resp. R. . De aansluitvoorwaarde leert dan:

( 1 ) 1

(2) 1

- - - O ( 1 , ..., r) au ' aRi (1.10)

Onze bezwaren tegen deze werkwijze zullen hierna ter sprake komen.

Bij symnetrisch of antimetrisch belaste symmetrische constructies leve- ren symmetriebeschouwingen grote voordelen. Dit brengt essentieel mee, dat de meeste belastingskrachten in paren voor- komen. Vaak wordt gebruik gemaakt van eenzelfde formele weg als hiervoor is aange- geven. Toepassing van de stelling van Castigliano, gecombineerd met sym-

metriebeschouwingen is niet altijd geoorloofd.

Page 9: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 5 -

2. Nadelen van de klassieke stelling van Castigliano.

a. Veel constructies zijn niet of niet kinematisch bepaald ondersteund. Het aanbrengen van de ondersteuningen vereist reeds enig inzicht in de optredende verplaatsingen. Een ondersteuning die bij een bepaald type

L/ belasting de beweging als star lichaam verhindert, is vaak niet vol- * ' ~ , doende (bijv. bij bepaling van inwendag statisch onbepaalde groothe- I'' den, zie ook b).

b. De redenering die leidt tot de vergelijkingen voor de inwendig statisch onbepaalden, is gebaseerd op formele operaties en dient vergezeld te gaan van een gecompliceerde gedachtengang (zie (1.10). Bij de geana- lyseerde constructie kan helemaal niet direct geconstateerd worden dat

de stelling van Castigliano kan worden toegepast. au * % au (2)

Ri ( 1 ) en OP

Ri Immers wanneer R.") # Ric2), zoals tijdens het differentiatieproces optreedt, moet onderzocht worden of het evenwicht gegarandeerd is door de reeds aanwezige ondersteuning. Anders is de stelling immers niet meer hanteerbaar. In veel gevallen is niet aan het evenwicht voldaan.

1

c. Bij het gebruiken van symmetrierelaties moet om Castigliano toe te passen tijdelijk deze symmetrie buiten beschouwing worden gelaten. Slechts één van de krachtgrootheden van een paar wordt immers gevarieerd. Dit betekent dat in wezen alle conclusies die met de symmetrierelaties

k i j n getrokken, tijdelijk buEten beschouwing dienen te blijven. Een consequentie hiervan is, dat in- en uitwendig.statisch onbepaalde grootheden die, gebruik makend van de heersende symmetrie, toch bepaald konden worden, weer als onbekende grootheden optreden of dat de con- structie gewijzigd moet worden om van de bekende relaties gebruik te mogen blijven maken. Het is uit didactisch en uit wetenschappêlijk oog- punt ontoelaatbaar deze moeilijkheden te verdoezelen door formele wis- kundige operaties waarbij zonder commentaar de partiële afgeleiden van de complementaire elastische energie geïdentificeerd worden als ver- plaatsingen (door een beroep te doen op de stelling van Castigliano). Het is noodzakelijk steeds te onderzoeken of aan de gestelde hypothe- sen is voldaans

Page 10: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 6 -

De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano wordt

reeds snel gezien als een formalisme, mede door het in b. en c. ge- signaleerde formalisme. Hierdoor wordt bijna onvermijdelijk dat de- gene die niet duidelijk de achtergronden van het formalisme beheerst, het formalisme verkeerd toepast. Wij hebben bijv. vaak geconstateerd, dat niet alle evenwichtsrelaties in beschouwing worden genomen met name bij problemen waar ook van symmetrie gebruik gemaakt werd.

e. De eis het lichaam voldoende te ondersteunen brengt vaak met zich

mede dat de constructie zijn symmetrie verliest. Er is dan weer een extra redenering noodzakelijk om toch voordelig gebruik te maken van heersende symmetrie of antimetrie.

Page 11: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

3 . Complementaire elastische energie.

De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische enrgie voor bepaalde variaties van het spanningsveld sta- tionair is.

Wij zullen dit principe hier allereerst formuleren en afleiden. Wij werken daarbij in een orthogonaal Cartesisch coördinatensysteem en laten temperatuurspanningen buiten beschouwing. Wij veronderstellen ver-

der dat het lichaam in rust verkeert.

De volgende relaties en definities worden gebruikt:

: componenten verplaatsingsvector

: componenten rektensor

ui

"ij ij

T : componenten spanningstensor

fi : componenten volumekrachten

Tussen de rekgrootheden en de verplaatsingsgrootheden bestaan - ook voor niet-infinitesimale rekken - de volgende relaties:

= 1 (u. + u. .uj ,i) (3.1) 'ij 1 , j j,i + ui,j

De evenwichtsrelaties luiden:

Voor een elastisch lichaam bestaat er een "elastische potentiaal" U, die alleen afhangt van de begingeometrie en de rekstoestand (dus niet afhankelijk van de voorgeschiedenis).

Relaties tussen spanningen en rekken (constitutieve vergelijkingen) zijn te geven als:

Page 12: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 8 -

( 3 . 3 )

O a2u

Als det ( ) # O zijn deze relaties inverteerbaar, zodat geldt: ayij aYkl

ij 'ij = f(T ) ( 3 . 4 3

Afgeleid - kan worden dat de "complementaire elastische potentiaal" U' 'bestaat, gedefinieerd als:

O

( 3 . 5 )

zodat voor een elastisch lichaam in plaats van ( 3 . 3 ) ook gebruikt kan

worden:

O au%' ' a-,13 a T J 1

O Yij = i - + -

(U: opgevat ais functie van T ij ).

De complementaire elastische energie wordt gedefinieerd als:

x U = J" U*dV

vo 1 O

Er geldt:

Hierbij is gebruik gemaakt van het feit dat de spanningstensor en de rektensor symmetrisch zijn.

..

( 3 . 7 )

Page 13: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 9 -

Als geldt:

(3.9) ) ’ I yij = 3 (u. i, j + ui, i , (“kleine” verplaatsingen!”)

gaat (3.8) over in: . . .. .. .. ~>

1J I

6ü* = J u. . ~ ~ l l d V = J (u;&~’~), jdV - I u . 6 ~ . , dV ! 1 j vol J vol vo 1

(3.10)

Gebruik makend van de stelling van Gauss in (3.10) en eisend dat steeds aan het evenwicht voldaan blijft (dus 611J, j = O), ontstaat:

..

ij SU3:= I 6~ ui . n.dS = I u.6pidS 1 OPP * J OPP. (3.11)

(3.12) ij met p. = T n : oppervlaktekrachten.

Opgemerkt dient te worden dat tijdens het variatieproces fi constant blijft.

1 j

Wanneer op het oppervlak S p is voorgeschreven en op S u en wanneer

op S, nul wordt verondersteld, kan bovenstaande relatie geschre- l i 2 i

pi ven warden als:

ö(U* - J u. pi dS) = ö(Uxx) = O 1 si (3.13)

In de literatuur wordt U**soms ook aangeduid als de “complementaire elastische energie”, in tegenstelling met de hier gevoerde nomeclatuur.

~

Uit het voorgaande blijkt dat CUXr: O voor alle variaties van het spanningsveld waarbij voldaan blijft aan het evenwicht. Dit wil zeggen, dat tijdens het variëren voldaan moet blijven aan:

Page 14: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 10 -

en

.. = r l J n op S I (p. gegeven uitwendige belasting) 'i j 1

Opgemerkt wordt dat op plaatsen waar u. is voorgeschreven (oppervlak

S ) p. wel gevarieerd kan worden. 1

2 1

Page 15: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 1 1 -

4 . De uitgebreide stelling van Castigliano.

Wij beperken ons tot een elastisch lichaam (niet noodzakelijkerwijs lineair elastisch), waarin geen temperatuurspanningen optreden. In on- belaste toestand is het lichaam spanningsloos. De optredende verplaat- singen worden klein verondersteld. Het lichaam verkeert in rust.

i Dit lichaam wordt belast door k geconcentreerde krachten N (i = 1 , .., k) en door de oppervlaktespanningen met componenten pi.

De begrippen "kracht" en "verplaatsing" worden in een gegeneraliseerde betekenis gehanteerd, dit wil zeggen dat zij eveneens een "moment" en een "hoekverdraaiing" impliceren.

-

Verondersteld wordt dat de ondersteuningen vervangen kunnen.worden door geconcentreerde krachten (deze krachten maken deel uit van N).

i i De verplaatsingen van de aangrijpingspunten van N noemen wij u (i = l , . . , k) Wanneer

I

-

- -

öpi = O wordt genomen, gaat (3.13) over in:

i i ( 4 . 1 ) * öU = 2 . öN - (sommatie over i van 1 , ..k)

met de eis dat bij dit variatieproces steeds voldaan blijft aan het evenwicht. Wanneer wij alleen variaties van N in de richting van N beschouwen en de volgende definities invoeren:

i i - -

O i P. = N ( 4 2) 1 -

i i u . N

f. = - - - O

1 O

P. 1

dan is (4.1) ook te schrijven als

(géén sommatie) ( 4 . 3 )

(4 .4)

Page 16: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 12 -

Behalve de evenwichtsrelatiec kunnen bij dit variatieprobleem nog

andere betrekkingen zinvol in rekening worden gebracht. Wij denken aan synnnetrierelaties en aan vergelijkingen die volgen uit het prin- cipe actie = reactie. Al deze relaties maken een indeling van de krach-

ten P. mogelijk in twee groepen: O

1

a. onafhankelijk te variëren krachten : P. (i = 1 , ..., n) bijbehorende verplaatsingen fi = f.

1 o

1

b. krachtens de gegeven reJiaties afhankelijk variërende krachten: * 1

P. ' (i = i , ..., m)

x bijbehorende verplaatsingen f. = fi

O

1

(Opm: n + m = k)

De grootheden PT 'zijn functies van de grootheden P. krachtens de gestel- de betrekkingen. De complementaire vormveranderingsenergie is dus te

1 I

dl schrijven als een functie van P. :U (P Pn' P) 1

Naar aanleiding van de gegeven indeling is ( 4 . 4 ) uit te werken tot:

( 4 . 5 )

Omdat alle hieruit:

Pi (i= i , ..., n ) onafhankelijk te variëren zijn, volgt

a Pu I k-

fi + a ~ ; . fk au * api _ =

Dit is de uitgebreide stelling van Castigliano

(4 .6)

Page 17: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 13 -

5. Bewijs van de uitgebreide Stelling van Castigliano zonder gebruik te maaiten s. ,~ :1 van ,-.- variatie principes^ . . ~,

Het is mogelijk de uitgebreide stelling van Castigliano (4.6) af te lei- den zonder expliciet gebruik te maken van variatieprincipes. Ofschoon de hier gevolgde weg veel minder elegant is dan de in 4 . gegeven afleiding, is het soms zinvol te beschikken over een iets primitiever bewijs van de stelling.

De indeling van de krachten in twee groepen en de daaraan toegevoegde be- namingen zijn identiek met die in 4 .

Wij beperken ons tot lineair-elastische lichamen, waarvoor dus geldt:

u*'= u (5.1)

Bekijk de twee belastingssystemen I en 11.

I. P*, ..., Pi> ...> Pn, P Y " ..., 1 , ..., P* , p m

X I Het gegeven verband tussen PT len Pi is hetzelfde als dat tussen APi en APi. Beide systemen voldoen dus aan alle relaties. De elastische energie voor systeem I is:

Die bij aanwezigheid van I + 11:

u + - au . AP. + O ( A P ~ ~ ) (géén sommatie) (5 .3 ) api 1

Deze energie kunnen wij in de lineaire elasticiteitstheorie ook bere- kenen uit de superpositie van beide systemen, waarbij gebruik gemaakt kan worden van het feit dat de elastische energie gelijk is aan de door uitwendige krachten verrichte arbeid.

Bij aanwezigheid van alleen systeem I1 geldt:

Page 18: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 14 -

Het daarna aanbrengen van systeem I levert:

: aanvullingsarbeid) + UI, I1 ( UI, I1

Voor de aanvullingsarbeid geldt:

= fiAPi + f? . AP“; (géén sommatie over i; ( 5 . 5 ) wel over j) UI, I1 J j

Er geldt dus dat de elastische energie voor systeem (I + 11) gelijk is aan:

, ( 5 . 6 )

U + fiAPi + f: i AP * I -t O (APi2)(géén sommatie over i) J j

Gelijkstelling van beide uitdrukkingen voor de elastische energie in systeem (I + 11) levert (zie ( 5 . 3 ) en ( 5 . 6 ) :

__ au . AP. = f.AP. + fit . AP*’I + O(APi 2 ) (géén sommatie over i) ( 5 . 7 ) api 1 1 1 j j

In de limset AP. 7’ O gaat ( 5 . 7 ) over in: 1

Het is duidelijk dat (5.8) identiek is met ( 4 . 6 ) .

Page 19: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 15 - 6. Enige toepassingen van de uitgebreide stelling van Castigliano.

In de in dit hoofdstuk vermelde voorbeelden zullen wii ons beperken tot vlakke balkconstructies, die bestaan uit lineair elastisch mate-

riaal. De weergave der resultaten zal in een gestyleerde vorm plaats vinden.

Wanneer een krachtgrootheid van een deze grootheid afhankelijk is van de krachtgroctheden, die niet voor-

zien zijn van een .

is voorzien, betekent dit dat

a.<-Berekening van de doorzakking van een statisch bepaalde constructie.

i' Voorbeeld:

Systeem isoleren van omgeving:

I P

Evenwicht: P* = PF(P) ; P2 1

Vomveranderingsenergie: U = U (P, Pf (P), P2 x (P))

>c f dPf * dP2 d U - f + f -+f2 dP 1 dP Castigliano: - - dF

x Geometrische conditie: f;' = f2 = o

dU - Resultaat: - - dP

Een andere indeling der krachten is mogelijk:

I p*

Page 20: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 16 -

Evenwicht : P%+(Pl) ; P;= P2 * (P,) Vorrnveranderingsenergie: U = U (P P (Pl), P1, Pr(P1))

*EX-+ f* - dPf - -

2 dP1 du - f, + f dP1 dp 1

Castigliano:

?f f =f2 = o 1 Geornettische condities:

6 dP * - - dU - f - dP 1 dP 1

Resultaat:

N.B. Wanneer nu P gezien wordt als functie van P: dan geldt: 1

dU - dU dP* +dP* dU -d f - dP1 + = =

_ = dP, dP* * dP1

b. Bepaling van een statisch onbepaalde grootheid.

Voorbeeld :

Systeem isoleren:

?i* x * Evenwicht: P2 = F2 (P,, P4)

P 3 = P3 * (P1> P4)

1 ' p4) Vormveranderingsenergie: U = U (P

ap; ~ ar3 x - + f - au - x - _

f4 + f2 ap4 3 ap4 Castigliano: ap4

x * 2 3 4 Geometrische condities: f = f = f = O

Page 21: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 1 7 -

- = o au ap4

Resultaat: P = P (Pl) 4 4

Ook de doorbuiging onder P, kan uiteraard berekend worden.

ap ' * - _ au - apl

* - ap2 + f * 3 - fl + f2 apl 3 apl Castigliano:

Resultaat: au f l

- =

a p l

Het linkerlid bevat naast P ook P Met behulp van het hiervoor gevonden verband P kan f

I 4' 4 = P4(Pi)

uitgedrukt worden in PI. 1

N.B. Het is uiteraard mogelijk om,nadat via Castigliano P = P (P ) 4 4 1 bepaald is, P op te vatten als een afhankelijke grootheid. U wordt dan louter een functie van PI. Deze weg verdient met het oog op het uit te voeren werk geen aanbeveling.

4

C. Bepaling van een statisch onbepaalde bij gebruik van syrmnetrie-beschou- wingen.

Voorbeeld:

Systeem isoleren:

S yrmne t r ie :

Evenwicht:

1c 54 % P5 = P3 ; P2 = P4

p; = p* = _ 4 2

I ' p3) Vormveranderingsenergie: U = U (P

Page 22: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

: 18 - *

x ap5 ap * * Castigiiano: - = au

ap3 2 3P3 4 ap3 5 ap3 f 3 + f IC - ap2 + f * - 4 + f -

a ? * * apq P IC apg * + f - 5f1+f 2 - + f a p l 2 4 - a p l 5 apl

a p I

li * f = f = f = f 5 = o

3 2 4 ~ condities: Geometrische

Synmet r ie )---

- _ P = P @ ) 3 3 1

3 au - o ap3

Resultaat:

eu _ - - f l a p l

d . Bepaling inwendig statisch onbepaalde.

Voorbeeld:

.* Evenwicht: P2 = P1

Snede aanbrengen.

??"

Page 23: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 19 - 9%

Pgx- = P3; P X = P4; P8 = P5 7 Actie = Reactie:

Vormveranderingsenergie: U = U (P l , P3, P4, P5)

Castigliano (voorbeeld): 96 * +4 * aps

8 ä q + f % ap6 + f -

6 ap5

Gebruik afhankelijkheid Ster-grootheden:

ap? ap * ap ’ a p r - = 6 = 7 = 0;- = 1 ap5 a pg ap5 ap5

* Geometrische aondities (aansluitvoorwaarden): f 5 + f s = o

2 Wanneer wij de verplaatsing van de aangrijpingspunten van P

ten opzichte van elkaar wensen te berekenen, dan gaan wij als volgt te werk:

en P 1

Castigliano:

Afhankelijkheaii Ster-grootheden:

ap; ap * ap? + - - a p r _ _ - 1 ; A = -

ap 1 ap 1 ap 1 ap 1 - o

* Resultaat: - _ au - fl + f* (gezochte relatieve verplaatsing)

ap 1

e. Bepaling inwendig statisch onbepaalde bij gebruik van synunetrie-be- schouwingen.

Page 24: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 20 -

t " Voorbeeld: "ii- Beschouwde systeem:

* % = p (= -) P p2 5 1 2 Evenwicht en symmetrie:

Vormveranderingsenergie: U = U (PI)

Castigliano:

x 6

- + f dP 1

jc dPr

2 dP1 * - + f - - d* - f l + f

dP 1

dP6 - dP 1

Symmetrie: * * x x * f 2 = f3 = f5 = f6 = o; f4 = fl

apt Afhankelijkheid Ster-grootheden: -

ap 1 = 1

.k 4

- - Resultaat: dA - f + f dP1 1

Met name in het laatste voorbeeld kan de constructie als star geheel

bewegen. Voor de verplaatsingsgrootheden is in het voorgaande de situ- atie bekeken dat zij voldoen aan de symmetriebetrekkingen. Ook wanneer een beweging als star lichaam ten opzichte van deze sitaa-

tie zou optreden, levert de uitgebreide stelling van Castigliano in het

geheel geen moeilijkheden.

Page 25: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

T.H.E. wE-67/ 1 6.

De s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o

Toe l i ch t ing op s t e l l i n g 9 b i j he t p r o e f s c h r i f t llOver de t o r s i e t h e o r i e van Vlasov voor dunwandige rechthoekige kokers", S t e l l i n g ; 9: De s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o d i e gewoonlijk bewezen wordt met behulp van het p r i n c i p e van minimale complementaire energie kan zodanig

worden gemodificeerd dat de bruikbaarheid a a n m e r k e w toeneemt.

De gebruikelbke formulering van de s t e l l i n g van Castí&l.i.&no (door Cast igl iano z e l f aangeduid als -het tweede gedeëlte van-de s t e l l i n g over de a f g e l e i d e van de vervormingsarbeid"; C a s t i g l i a n o beperkte z ich t o t de l i n e a i r e e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e j. Gegeven is een e l a s t i s c h lichaam; he t onbelas te lichaam is spannings- l o o s ; er t reden geen temperatuurspanningen op; de optredende v e r p l a a t - singen zijn "klein"; h e t lichaam is kinematisch bepaald ondersteund zodat geen beweging als star lichaam op kan treden, A l l e ondersteunin-

gen z@ star en zonder spe l ing . D i t lichaam wordt ondermeer b e l a s t door een aantal geconcentreerde krachten, aangeduid als P,.,, P...*

wemde van i. De arbeidabsorberende component van d e v e r p l a a t s i n g van h e t aangrijpingspunt van de kracht Pi heet f i ( i = 1, . . . . B n). De complementaiEe e l a s t i s c h e energie U* is o.a. een f u n c t i e van P . ( i = n) en verder van de eventueel aanwezige oppesvlakte- krachten ( h i e r schematisch aangeduid met p). W i j v e ronders te l l en dat

U' als functze van ?.(i = n) en p t e berekenen is. U i t is moge- Qk bij c o n s t r u c t i e s opgebouwd u i t balken, terml dan bovendien g e e i s t moEt worden d a t de c o n s t r u c t i e ia- en ui tweadig statisch bepaald is.

Bij i e d e r e kracht behoort een andere l.

1

1

Onder deze veronders te l l ingen g e l d t :

3U*(P1 *. . . ,P ,P) n = f . (i = q,...., n). a ei 1 =: Bij een l i n e a i r - e l a s t i s c h lichaam geldt U* = U, waarbij U de e l a s - t i sche energ ie van h e t l i chaam is.

Page 26: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 2 -

H e t bewijs van de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o voor lichamen waarvoor de wet van Hooke n i e t g e l d t , kan eenvoudig worden a f g e l e i d u i t h e t z.g.

"principe van minimale complementaire energie ( w i j komen hier nog op

terug). I n de J i n e a i r e e l a s 8 i c i t e i t s t h e o r i e is h e t bewijs als v o l g t :

f. = a . . P (i = , I , . . . , n) ( s o m a t i e c o n v e n t i e ) ( j = n) 1 1 3 j

aij: i n v l o e d s g e t a l l e n van Maxwell

u* = u = 3 P . f . = $a. .P.P. 13. LJ 1 3

- a. .P = fi. au* "pf- 1J j

Een a a n t a l c o n s t r u c t i e s voldoen n ie t aan a l l e e i s e n d i e bij de a f l e i - d i n g v a n de s t e l l i n g werden g e s t e l d 1 . uitwendig stat isch onbepaalde c o n s t r u c t i e s

bjjvoorbeeld:

_------- ................................. e e l van de uitwendig statisch onbepaalde grootheden t de overblijvende c o n s t r u c t i e s ta t isch bepaald is.

Noem deze krachten Bi (i = I,...., m). O p deze c o n s t r u c t i e wordt de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o toegepast met U* C?,,s.., Vanwege de starre ondersteuningen ge ldt :

Q,.3q.,%r;p).

U i t deze m verge lmingen v o l g t : (i = m). O

Qi EI Qi (Pq>*.*Pn, $2 Bovendien g e l d t :

(i = i , . .9n; j = 1 ,.., m). (%?)='i O

j Q . = Q

J

2. ondersteuningen zijn e l a s t i s c h ___-__-_--_- -_-_---_________ Be e l a s t i s c h e ondersteuning wordt als g e d e e l t e van de c o n s t r u c t i e gezien.

3 . inwendig s ta t isch onbepaalde c o n s t r u c t i e s ------- -------------_ De inw%aaaia stat isch onbepaalde grootheden (d ie nioeten voldoen aan h e t p r i n c i p e "ac&ie = reactie") worden gezien als be las t ingsgroot - heden van een c o n s t r u c t i e d i e door geschikte snedevlakken en aan- gepaste verbindingen tussen de oevers van de snede t e verkrijgen is

u i t de oorspronkelijke cons t ruc t i e . De inwendig s t a t i s ch onbepaalde grootheden noemen wiJ Ri(i = la..$ r). Zowel op de r e c h t e r als op de l i n k e r oever van de snede is een krachs genaamd R aanwezig. H e t onderscheid tussen beide grootheden i duiden w i j aan met R f') en R~ ( 2 ) . De gebruikeiijke redenering is:

beschouw U* (Pq,,ea8Pn,R1.e,R,, p), i

Page 27: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 3 -

Er geldt (formeel wiskundig): (2)

au* au* +Y.=-+- au* dBï: au* au* (1 dag Y=-

(%I* dRi aRi(" a Ri ") "i aRi") 3Ri .-

(géén sommatie) Deze twee laatst9 termen worden -zonder conunentF?ai;- gegdentifLceerd : ' ' '

as.. dé-:~beidabsoi?berende,compone,nten-uan'.de v (1 1 a&&jpingsp.%t '+an R

De aansluitvoorwaarde l e e r t dan:

( 2 ) resp. Ri , ., . . . . .

_' i

O (i = I,.., r). au* E r =

Onze &ezwaren tegen deze werkwijze z u l l e n w i j elders geven.

4. symmetrisch of ant imetr isch b e l a s t e c o n s t r u c t i e s Bij deze c o n s t r u c t i e s leveren symmetriebeschouwingen g r o t e voordelen. D i t brengt e s s e n t i e e l mee, da t de meeste be las t ingskrachten i n paren voorkomen. Wiet a l l e krachten hebben dus een anderernaam schouwing van de h e l f t van de c o n s t r u c t i e kan u i t k o m t brengen. Een

andere manier gaat u i t van de h e l e c o n s t r u c t i e en maakt gebruik van e e n z e l f d e f o w e l e weg als i n 3? gevolgd door de s t e l l i n g van C a s t i -

g l i a n o en symmetriebeschouwingen voor de verplaats ingen.

Page 28: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 4 -

Nadelen van de k l a s s i e k e s t e l l i n f z van C a s t i g l i a n o

1. Vee l c o n s t r u c t i e s zijn n i e t of n i e t khematisch bepaald ondersteund.

Het aanbrengen van de ondersteuningen vereist r e e d s e n i g i n z i c h t i n de optredende verplaats ingen. Een ondersteuning d i e bij een be-

paa l& t ype b e l a s t i n g de beweging als star l ichaam verhinderd is vaak n i e t voldoende (bijv. bij bepal ing van ïnwendig s t a t i s ch onbe- paalde grootheden).

2. De redenering d i e l e i d t t o t de vergelijkingen voor de uitwendig s t a t i s c h onbepaalden is gebaseerd op formele o p e r a t i e s en d i e n t vergezeld t e gaan van een gecompliceerde gedachtengang. BQ de gea- na lyseerde c o n s t r u c t i e kan helemaal n i e t d i rekt geconsta teerd worden

au* en - ''* dat OP --q- (1)

de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o kan worden toege-

( 2 ) moet onderzocht worden of he t (1) u R~ aR. past. Immers, w a n d e r R~ evenwicht gegarandeerd is door de r e e d s aanwezige ondersteuning, a n v e e l peva ì l en is d i t n i e t h e t geva l .

+ R~

3. Bij het gebruiken van symmetr iere la t ies moet om C a s t i g l i a n o t o e t e passen tjjdelijk deze symmetrie bui ten beschouwing worden ge la ten. D i t betekent da t i n wezen a l l e c o n c l u s i e s d i e met de symmetriere- l a t i e s zijn getrokken tìjdelijk bui ten beschouwing dienen t e blijven, Een consequentie h iervan is dat i n - en uitwendig statisch onbepaalde grootheden d i e gebruik makend van de beersende symmetrie tóch be- paald konden worden weer als onbekende grootheden optreden of dat

de c o n s t r u c t i e gewijzigd moet worden om van de bekende r e l a t i e s ge- b ru ik te mogen bli jven maken. Het is u i t didactisch oogpunt ontoe- laatbaar deze moeilijkheden t e verdoezelen door f o r n e ï e wiskundige o p e r a t i e s waarbij zonder commentaar de partiele a f g e l e i d e n van de complementaire e l a s t i s c h e energie g e i d e n t i f i c e e r d worden als ver- p laa t s ingen (door een beroep t e doen op de s t e l l i n g van Cas t ig l i ano) . Het is noodzakel+ s t e e d s te onderzoeken of aan de g e s t e l d e hypo- thesen voldaan is.

4. De g e b r u i k e l m e formulering van de s t e l l i n g v a n C a s t i g l i a n o wordt door de s tudent r e e d s s n e l gezien als een formalisme, mede door he t i n 2 en 3 ges igna leerde formalisme. Hierdoor wordt bijna onvermjjde- 1% d a t degene d i e n i e t duidel* de achtergronden van het formalisme beheers t h e t formalisme verkeerd toepas t . Hij hebben b3v. vaak gecon-

Page 29: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 5 -

s t a t e e r d da t n i e t a l l e e v e n w i c h t s r e l a t i e s in beschouwing worden genomen met name bij problemen waar ook van symmetz?.ie gebruik ge- maakt werd.

5. De e i s he t l ichaam voldoende t e ondersteunen brengt vaak met z i c h mede d a t de c o n s t r u c t i e zijn symmetrie v e r l i e s t . E r i s dan weer een e x t r a redenering noodeakelíjk.

Page 30: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 6 -

De u i tgebrb ide s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o

Enige begripEen en n o t a t i e s

Wij werken i n een orthogonaal Car tes i sch coordinatensysteem en l a t e n

temperatuurspanningen buiten beschouwing. bVij veronders te l l en verder d a t h e t lichaam i n r u s t verkeerd.

_-- -------_------

Componenten v e r p l a a t s i n g s v e c t o r : Ai

volumekrachten : f i

rektensor (symm.) : Y p spanningstensor (symm.) : ri J

Evenwicht sverge l ik ingen : rij + fi = O (,j: d i f f . )

R e l a t i e s tussen rekken en verplaats ingen: '3

yij = 3 (u. . + u + u ) ~ $ 3 j 4 i, joUj ,i Elastisch lichaam: er b e s t a a t een " e l a s t i s c h e po tent i aa l " U. d i e

alleen'afhangt am de begiageometrie en de rek-

toes tand (dms n i e t afhankelijk van de voorgeschiedenis). R e l a t i e s tussen Spanningen en rekken:

,+i = ( " o ~ "o). 'Yij 3 Y j i

ij at u.

A l s de t ( A f g e l e i d kan worden dat de !'compleinentaire e l a s t i s c h e po tent i aa l " Uo* b e s t a a t , gede f in ieerd als

zodat

(Uo* opgevat als f u n c t i e van ,ij I ) *

) # O v o l g t u i t deze relaties, dat g e l d t : y'ij = f('ï ). 3Yi j V k a

I 1 ,-. ai 33 uo* = -uo + r y,, + 1 y, 4 .T y,3 + qz + P y , , + 72'r*,

Y i j

Minimale complementaire e l a s t i s c h e energie

Complementaire e l a s t i s c h e energie: U* =

Er geldt :

------------------_9________D_____F_____--

V o l

v o l vo l A l s y. = 3 (ui + u j dus "kleine" veyplaats ingsn! geldt:

i j 4 j 2.

Page 31: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

Gebraik makend van de s t e l l i n g van G a u s s en e isend dat steeds aan he t evenwicht voldaan b l u f t (dus a'CxJ,j = O ) o n t s t a a t :

. . n

OPP * met pi = z i j n : oppervlaktekrachten.

(Wanneer op he t oppervlak SI p. is voorgeschreven en op S2 Vi en 5

3. wanneer $pi op S., nul w&dt veronders te ld kan bovenstaande relat ie

- geschreven worden als

n

I n de l i t e r a t u u r wordt e l a s t i s c h e energie").

= $(U**) = o.

U** vaak aangeduid als de %ornplementaire

Page 32: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 8 -

Bewijs van de u i tgebre ide s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o

Gegeven een e l a s t i s c h lichaam ( n i e t noodzakeljjkwijs l i n e a i r e l a s t i s c h ) ; geen temperatuurspanningen; i n onbe las te toestand spanningsloos; k l e i n e verp laa t s ingen ; l i chaam i n rus t . D i t lichaam wordt b e l a s t door k geconcentreerde krachten 2 (i=l,. . ,k) i

en door de oppervlaktespanningen met componenten p..

Verondersteld wordt dat de ondersteuningen vervangen kunnen worden door geconcentreerde krachten (deze krachten maken d e e l u i t van De verp laa t s ingen van de aangrijpingspunten van 2 noemen w i j g (i=I,*.,k).

Wanneer sp. = O wordt genomen gaat de hiervoor a f g e l e i d e s t e l l i n g mer i n :

I

5

I i

I

i i SU* = - - u.8R (sommatie van I $..Id

met de e i s dat bij d i t sa r i a t i eprob leem s t e e d s voldaan b l i j f t aan he t evenwicht e Beschouwen wij a l l e e n v a r i a t i e s van 2 i n de r i c h t i n g van 2 en de f in ie ren

i i

O W Q P. I =\SI

$ i 0 &*E fi 6

'i

r - (géén sommatie)

dan g e l d t : O 0

SU* = f i SPi.

Behalve de e v e n w i e h t s r e l a t i e s kunnen nog andere betrekkingen z i n v o l i n rekening worden gebracht bij d i t var ia t ieprobleem. W i j denken aan sym- m e t r i e r e l a t i e s en a a n vergeldkingen d i e volgen u i t het pr inc ipe a c t i e =

o r e a c t i e . Al deze r e l a t i e s maken een inde l ing van âe krachten P mogelj3r i lil twee groeperi:

o n a f h a n k e w t e v a r i e r e n krachten: Pi (i = ? ? * . * , n )

krachtens de gegeven r e l a t i e s afhanke1j;llr var ierende w a c h t e n :

O

i v e r p l a a t s i n g f . = f I

v e r p l a a t s i n g f i - - fi*.

(Opm: n + m = k).

De grootheden Pi* zijn f u n c t i e s van de grootheden Pi krachte& de ge- s t e l d e betrekkingen. De vormveranderingsenergie is dus t e schrijven

als een f u n c t i e van Pi: ü*(P.,,oe.,Pn> p).

Page 33: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 9 -

Het a f g e l e i d e p r i n c i p e gaat dus over i n :

Omdat a l l e 6 P. (i = 1,. . , n) onafhankelijk t e v a r i e r e n zijn v o l g t h i e r u i t 1 apk*

i ûPi O f k * "

- - au* - f a pi -+ -

D i t is de u i t g e b r e i d e s t e l l i n g van Cas t ig l i ano .

Page 34: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 10 - Bewijs van de uitgebreide s t e l l i n g van C a s t i n l i a n o zonder gebruik t e maken van variat ieprincipes

De indeling van de krachten en de benamingen zijn i n het voorgaande weergegeven. W i j beperken ons t o t lineair-elastische lichamen dus U* = U.

Bekijk de twee belastingssystemen I en 11.

I. P,>.*.pPi, .... rP n ,P1*>..**'PI*,....,P m * 9 p

11. Og.*..,AP.*.*.aO, I AP.,">.r*., APi*s.e.e* A m * , O.

Het gegeven verband tussen Pi* en Pi is hetzelfde als dat tussen APic e n APi. Beide systemen voldoen dus aan a l l e re l a t i es . De e las t ische esergie voor systeem I is U (Pl,s..*P , p); die bij aan-

au 2 wezigheid van I 4 11: U + -.AP. 4 O (AP. Deze energie kunnen w i j i n de l ineaire e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e ook bere- kenen u i t de superpositie van beade systemen, waarbij gebruik gemaakt kan worden van het f e i t dat de elast ische energie gelijk is aan de door de uitwendige krachten verrichte arbeid. Bij aanwezigheid van a l leen systeem I1 geldt:

2

n (ge én sommatie). api I 1

UII = o UPi ) *

Het daarna aanbrengen van I1 l ever t : (UI, aanvullingsarbeid) UI, 11

f. APi + f *.APjy (géén sommatie over i; wel over j) UI, I1 = 1 j

Er geldt dus d a t de e3ast ische energie voor I + I1 gelijk is aan: 2 U + f. APi 4 f * APj* 4 O (AP. ) sommatie over i).

I 5 1

Selijkstell ing van beide uitdrukkingen voor de e las t ische energie voor I 4 I1 l ever t :

2 .APA = f i A P i + f *.AP * + O (AP. ) (geén sommatie over i). au a pi j j I -

- I n de l imiet dP, 4 0 l e v e r t deze r e l a t i e :

Bij het gebruiken van de uitgebreide s t e l l i n g van Castigliano wordt men gedwongen zich rekenschap t e geven van a l l e r e l a t i e s die gebruikt wor- den om t e komen t o t de gemaakte indeling.

Page 35: De stelling van Castigliano - Pure · De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische

- 11 - - H.B. : I n b e t voorgaande zijn de begrippen "kracht" en "verplaats ing"

i n een gegenera l iseerde vorm gebru ik t , d.w.z. dat aak koppels en hoekverdraaiingen gelezen kunnen worden.

20 j u n i 1967,

&;ir. J.D. Janssen.