ÑAI HOÏC QUOÁC GIA TP.HCM ÑEÀ THI TUYEÅN SINH LÔÙP 10 NAÊM 2013 TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU MOÂN THI: TOAÙN (Chuyeân) Thôøi gian: 150 phuùt Caâu I: Cho phöông trình: 2 2x 4mx m 2m 1 0(1) vôùi m laø tham soá.

a) Tìm m sao cho phöông trình (1) coù hai nghieäm 1 2x ;x phaân bieät. Chöùng minh raèng: khi ñoù 1 2x ;x khoâng theå taùi daáu nhau.

b) Tìm m sao cho: 1 2x x 1

Caâu II: Giaûi heä phöông trình:

2

2

2

3x 2y 1 2z x 2

3y 2z 1 2x y 2

3z 2x 1 2y z 2

Caâu III: Cho x, y laø hai soá khoâng aâm thoûa maõn 3 3x y x y a) Chöùng minh raèng: y x 1 b) Chöùng minh raèng: 3 3 2 2x y x y 1

Caâu IV: Cho 2M a 3a 1 vôùi a laø soá nguyeân döông. a) Chöùng minh raèng moïi öôùc cuûa M ñeàu laø soá leû. b) Tìm a sao cho M chia heát cho 5. Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa a thì M laø luõy thöøa cuûa 5?

Caâu V: Cho ABC coù 0A 60 . Ñöôøng troøn (I) noäi tieáp tam giaùc (vôùi taâm I) tieáp xuùc vôùi caùc caïnh BC, CA, AB laàn löôït taïi D, E, F. Ñöôøng thaúng ID caét EF taïi K, ñöôøng thaúng qua K vaø song song vôùi BC caét AB, AC theo thöù töï taïi M, N.

a) Chöùng minh raèng: caùc töù giaùc IFMK vaø IMAN noäi tieáp. b) Goïi J laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Chöùng minh ba ñieåm A, K, J thaúng haøng. c) Goïi r laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (I) vaø S laø dieän tích töù giaùc IEAF. Tính S theo r vaø chöùng minh

IMN

SS4

( IMNS chæ laø dieän tích IMN )

Caâu VI: Trong moät kyø thi, 60 thí sinh phaûi giaûi 3 baøi toaùn. Khi keát thuùc kyø thi, ngöôøi ta nhaän thaáy raèng: vôùi hai thí sinh baát kyø luoân coù ít nhaát moät baøi toaùn maø caû hai thí sinh ñoù ñeàu giaûi ñöôïc. Chöùng minh raèng:

a) Neáu coù moät baøi toaùn maø moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc thì phaûi coù moät baøi toaùn khaùc maø moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc.

b) Coù moät baøi toaùn maø coù ít nhaát 40 thí sinh giaûi ñöôïc .

ÑAÙP AÙN Caâu I: a) Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät 1 2x ,x 2 2' 4m m 2m 1 0

23m m 3m 1 0 m 3m 1 3m 1 0

3m 1 m 1 0

1 1m vaø m > -13m 1 0 vaø m 1 0 m3 33m 1 0 vaø m 1 0 1 m 1m < vaø m < -1

3

Khi ñoù: 221 2x .x m 2m 1 m 1 0

Do ñoù 1 2x ;x khoâng theå traùi daáu. b) Phöông trình coù hai nghieäm khoâng aâm 1 2x ;x

1 2

21 2

1m hoaëc m 1 (aùp duïng caâu a)' 0 3S x x 0 4m 0P x .x 0 m 1 0

1m3

Ta coù: 2

1 2 1 2 1 2x x 1 x x 2 x x 1 4m 2 m 1 1

4m 14m 2 m 1 1 m 12

4m 1 02

4m 1m 12

1 4mm 12

1m44m 1

11 m (thích hôïp)2m 2 4m 1 m22

2m 2 1 4m 1m2

Vaäy 1m2

laø giaù trò caàn tìm.

Caâu II: Ta coù: 2 2 23x 2y 1 3y 2z 1 3z 2x 1 2z x 2 2x y 2 2y z 2 2 2 23x 2y 1 3y 2z 1 3z 2x 1 2zx 4z 2xy 4x 2yz 4y

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x 2xy y x 2zx z y 2yz z x 2x 1 y 2y 1 z 2z 1 0

x y x z y z x 1 y 1 z 1 0

2 2 2 2 2 2x y x z y z x 1 y 1 z 1 0

x y;x z;y z;x 1;y 1;z 1 x y z 1 Thöû laïi, ta coù: x;y;z 1;1;1 laø nghieäm cuûa heä phöông trình ñaõ cho.

Caâu III: a) Ta coù: x 0;y 0 vaø 3 3x y x y . Do ñoù : 3 3x y x y 0 . Neân x y 0 x y

Ta cuõng coù : 3 3 3 3 2 2x y x y x y x xy y

Neân 2 2x y x y x xy y

Neáu x = y thì 3 3x y 0 . Ta coù : x = y = 0. Neân y x 1

Neáu x y thì töø 2 2x y x y x xy y ta coù : 2 21 x xy y

Maø 2 2 2x xy y x . Neân 21 x . Maø x 0 . Neân 1 x Vaäy y x 1 b) 0 y x 1 neân 3 2 3 2y y ;x x . Do ñoù : 3 3 2 2x y x y Vì 2 21 x xy y vaø 2 2 2 2x xy y x y . Do ñoù: 2 2x y 1 Vaäy 3 3 2 2x y x y 1 Caâu IV: a) 2 2M a 3a 1 a a 2a 1 a a 1 2a 1 laø soá leû (Vì a, a + 1 laø hai soá nguyeân döông lieân tieáp neân

a a 2 1 )

Do ñoù moïi öôùc caû M ñeàu laø soá leû.

b) 22 2M a 3a 1 a 2a 1 5a a 1 5a

Ta coù: M 5; 5a 5 . Do ñoù: 2a 1 5 . Neân a 1 5

Ta coù : a chia cho 5 dö 1, töùc a 5k 1 k N

Ñaët 2 n *a 3a 1 5 n N ( *n N vì do a 1 neân 2a 3a 1 5 )

Ta coù : n5 5 theo treân ta coù : a 5k 1 k N

Ta coù : 2 n5k 1 3 5k 1 1 5 2 n25k 10k 1 15k 3 1 5

n25k k 1 5 5 *

Neáu n 2 ta coù : n 25 5 , maø 225k k 1 5 ; 5 khoâng chia heát cho 25 : voâ lí.

Vaäy n = 1. Ta coù : 25k k 1 0; k N . Do ñoù : k = 0. Neân a = 1.

Caâu V :

NM K

F

E

D

I

CB J

A

a) Ta coù : MN // BC (gt), ID BC ((I) tieáp xuùc vôùi BC taïi D)

0ID MN IK MN IKM IKN 90 0 0 0IFM IKM 90 90 180 Töù giaùc IFMK noäi tieáp.

Maët khaùc : 0IKN IEN 90 Töù giaùc IKEN noäi tieáp. Ta coù : IMF IKF (Töù giaùc IFMK noäi tieáp) ; IKF ANI (Töù giaùc IKEN noäi tieáp). IMF ANI Töù giaùc IMAN noäi tieáp.

b) Ta coù : IMK IFK Tö ù giaùc IFMK noäi tieáp

IN K IEK Tö ù giaùc IKEN noäi tieáp

Maët khaùc : IE = IF (= r) IEF caân taïi I. IMN caân taïi I coù IK laø ñöôøng cao.

IK laø ñöôøng trung tuyeán cuûa IMN K laø trung ñieåm cuûa MN. MN 2.MK Maø BC = 2.BJ (J laø trung ñieåm cuûa BC)

Do ñoù: MN 2.MK MKBC 2.BJ BJ

Maët khaùc: ABC coù MN // BC AM MNAB BC

(Heä quaû cuûa ñònh lyù Thales)

Ta coù: AM MK MNAB BJ BC

Xeùt AMK vaø ABJ , ta coù: AMK ABJ hai goùc ñoàng vò vaø MN // BC

AM MKAB BJ

AMK ABJ c g c MAK BAJ

Hai tia AK, AJ truøng nhau. Vaäy ba ñieåm A, K, J thaúng haøng. c) AE, AF laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (I) AE = AF, AI laø tia phaân giaùc cuûa EAF

AEF caân taïi A coù 0EAF 60 (gt) AEF ñeàu. EF = AE = AF.

AEF ñeàu coù AI laø ñöôøng phaân giaùc. AI laø ñöôøng cao cuûa AEF

AI EF 1S AI.EF2

IAE vuoâng taïi E AE = IE.cotIAE; IE = AI.sin.IAE 0

0

rAE r.cot30 3.r;AI 2rsin30

Vaäy EF = AE = 3. r

Vaäy 21 1S .AI .EF .2r. 3. r 3. r (ñvdt)2 2

Goïi H laø giao ñieåm cuûa AI vaø EF. Ta coù: IH EF, H laø trung ñieåm cuûa EF vaø 0HIF 60 .

IHF vuoâng taïi H 0 1IH IF.cosHIF r.cos60 . r2

Do ñoù: 2

IEF

1 3. rS .IH.EF2 4

(ñvdt)

Xeùt IMN vaø IEF , ta coù: IMN IFE;INM IEF Do ñoù: IMN IEF g g

2

IMN

IEF

S IMS IF

. Maø IF FM IMIM IF 1

IF

Do ñoù: IMNIMN IEF

IEF

S1 S S

S

Ta coù: 2

2IEF IMN IEF

3. rS 3.r ;S ;S S4

Vaäy IMN

SS4

Caâu VI: Goïi ba baøi toaùn laø A, B, C. a) Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc baøi toaùn A. Neáu moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc baøi toaùn B thì töø giaû thieát ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn C. Neáu moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn B vaø baøi toaùn C thì ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn B; baøi toaùn C. Neáu coù moät thí sinh chæ giaûi ñöôïc moät baøi toaùn, giaû söû giaûi ñöôïc baøi toaùn B. Xeùt hoïc sinh naøy vôùi taát caû caùc hoïc sinh coøn laïi. Theo giaû thieát, coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn B. Vaäy neáu coù moät baøi toaùn maø moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc thì phaûi coù moät baøi toaùn khaùc maø moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc. b) Theo giaû thieát ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc ít nhaát moät baøi toaùn. Neáu coù moät thí sinh chæ giaûi ñuùng moät baøi toaùn. Xeùt hoïc sinh naøy vôùi taát caû caùc hoïc sinh coøn laïi, ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn ñoù. Ta chæ coøn xeùt tröôøng hôïp maø moïi thí sinh giaûi ñöôïc ít nhaát hai baøi toaùn. Goïi soá thí sinh giaûi ñöôïc A, B maø khoâng giaûi ñöôïc C laø x, soá thí sinh giaûi ñöôïc B, C maø khoâng giaûi ñöôïc A laø y, soá thí sinh giaûi ñöôïc A, C maø khoâng giaûi ñöôïc B laø z, soá thí sinh giaûi ñöôïc caû A, B, C laø t (x, y, z, t

N ) Ta coù: x y z t 60 (1) Caùch 1: Giaû söû coù ñieàu traùi vôùi keát luaän cuûa baøi toaùn. Ta coù: x + z + t < 40; x + y + t < 40; y + z + t < 40 Do ñoù : x + z + t + x + y + t + y + z + t < 40 + 40 + 40 2 x y z t t 120 .

Keát hôïp (1) ta coù : t < 0. Ñieàu naøy voâ lí. Ñieàu giaû söû ôû treân laø sai. Vaäy coù moät baøi toaùn maø coù ít nhaát 40 thí sinh giaûi ñöôïc. Caùch 2 : Ta coù : soá hoïc sinh khoâng giaûi ñöôïc A laø y, khoâng giaûi ñöôïc B laø z, khoâng giaûi ñöôïc C laø x. Neáu x > 20 ; y > 20 ; z > 20 thì x + y + z > 60. Maâu thuaãn (1). Do ñoù : trong ba soá x, y, z phaûi coù moät soá khoâng vöôït quaù 20. Nhö vaäy coù moät baøi toaùn maø coù nhieàu nhaát 20 thí sinh khoâng giaûi ñöôïc. Do ñoù baøi toaùn naøy coù ít nhaát 40 thí sinh giaûi ñöôïc. Vaäy coù moät baøi toaùn maø coù ít nhaát 40 thí sinh giaûi ñöôïc.