UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI

REFERAT

LA

Hidraulica aplicata

Curgerea laminara si turbulenta a fluidelor

INDRUMATOR DOCTORAT INDRUMATOR DISCIPLINA

Prof. Dr. Ing. Mircea Degeratu Prof. Dr. Ing. Gabriel Tatu

DOCTORAND

Ing. Tudor Baracu

2011

2  

Cuprins

1. Aspecte generale privind regimurile de curgere ale fluidelor 3

2. Ecuatia continuitatii 4

3. Starea de tensiune in fluid 5

4. Ecuatiile Cauchy de miscare a fluidelor 8

5. Ecuatiile Navier-Stokes de miscare a fluidelor 8

6. Ecuatiile Navier – Stokes in forma Helmholz 8

7. Ecuatiile Navier – Stokes in forma Gromeka-Lamb 9

8. Ecuatia Bernoulli a energiei 10

9. Traiectorii de curgere laminara ale fluidului 10

10. Elemente de teoria stabilitatii la curgerea fluidelor 13

11. Curgerea turbulenta a fluidelor. Aspecte generale 15

12. Modelul de mediere Reynolds a ecuatiilor Navier-Stokes (RANSE) pentru

curgerea turbulenta 20

13. Modele algebrice ale turbulentei 22

14. Modelul de turbulenta Prandtl al lungimii de amestec 25

15. Modelul k-epsilon de turbulenta 26

16. Modele de turbulenta de inalta rezolutie. Modelul de turbulenta LES 30

17. Modelul de vascozitate Smagorinsky 30

18. Modele spectrale de turbulenta 31

19. Modelul de turbulenta General Galerkin G2 32

20. Comparatie de simulare prin diverse modele de turbulenta 32

21. Modele de turbulenta. Schema generala de evolutie 33

22. Tehnici de mesh la curgerea externa in jurul unui corp 34

23. Tehnici de mesh la curgerea externa in jurul unui corp 35

24. Rugozitatea 36

25. Curgerea externa in jurul corpurilor simetrice 38

Bibliografie

3  

1. Aspecte generale privind regimurile de curgere ale fluidelor

Osborne Reynolds a evidentiat faptul ca curgerea fluidelor trebuie clasificata in doua regimuri care tind sa se manifeste prin anumite proprietati diferite. La baza lor sta bilantul intre fortele vascoase si fortele inertiale din fluid. De fapt numarul Re care ii si poarta numele este chiar raportul intre aceste doua tipuri de forte.

Intre gele doua regimuri de curgere principale exista o stare intermediara numita regim de tranzitie, astfel ca orice trecere de la un regim de curgere la altul se face trecand prin acest regim, care tinde sa contina proprietati atat din regimul de curgere laminar cat si din regimul de curgere turbulent. Regimul tranzitoriu are la baza doua numere Reynolds, respective numarul Reynolds critic inferior (2320) si numarul Reynolds critic superior ( 500000)

In fapt, fluidul are o trecere absolut continua de la un regim la altul, el nu isi schimba brusc proprietatile chiar cand trece prin stari numite critice, dar stabilirea acestor regimuri de curgere cat si a punctelor critice de stare ale fluidului totusi ajuta la a intelege forma de manifestare a fluidului pentru anumiti parametric dati.

4  

2. Ecuatia continuitatii

In cazul unei curgeri oarecare se considera ca masa care intra intr-un element de volum trebuie sa fie identica cu masa care iese din acel element de volum.

Astfel, se obtine relatia cea mai generala in cazul curgerii nepermanente

0, 0

Diferentiala totala a densitatii este

Deci

In final se obtine

0, 0

In cazul miscarii permanente cand densitatea nu variaza in timp, 0 atunci

0

Daca in interiorul volumului fluidul se distribuie omogen, adica este incompresibil, atunci densitatea nu mai depinde de spatiu

0, 0

5

3. Starea de tensiune in fluid

Prin definitie exista formula tensiunii

De la aceasta egalitate prin definitie se ajunge la relatia diferentiala prin care se obtine tensiunea, anume:

Care vectorial va avea forma:

unde este tensorul tensiunii interne a fluidului, reprezinta proprietatile locale

ale fluidului. Este tensor de ordinal doi.

σ λ∂u ∂u ∂u

2∂u

σ λ∂u ∂u ∂u

2∂u

σ λ∂u ∂u ∂u

2∂u

σ σ∂u ∂u

σ σ∂u ∂u

σ σ∂u ∂u

6

unde λ reprezinta coeficientul de vascozitate secunda, iar este vascozitatea dinamica.

Stokes a introdus ipoteza ca:

λ23

0

dar care s-a dovedit din experimente valabila doar pentru temperaturi si presiuni foarte inalte. In general relatia poate fi valabila pentru gaze si lichide monoatomice, dar nu pentru gaze si lichide poliatomice.

De remarcat faptul ca tensiunile tangentiale vascoase ale fluidului reprezinta fortele interne de frecare din acesta datorita miscarilor relative ale fiecarui strat fata de cele vecine.

Problema se pune la gasirea valorilor proprii ale tensorului in scopul gasirii directiilor principale de tensiune sau deformatie.

‖ m ‖ 0

adica:

0

Se obtine ecuatia de gradul 3: 0

‖ ‖

Cele 3 directii principale de tensiune ale tensorului aflate prin rezolvarea ecuatiei caracteristice de grad 3 mai sunt numite si invarianti ai tensorului intrucat valorile lor raman neschimbate la rotirea sistemului de coordinate. Deci de-a lungul acestor axe nu exista rotire si doar translatie.

Practic cele 3 valori proprii m1, m2, m3 intra in componenta relatiei elipsoidului de alunecare:

1

7  

Cei 3 scalari , , sunt si ei invariant ai tensorului de deformatie, iar A este cel care reprezinta dilatatia.

Astfel, va avea forma:

Pentru fiecare element al tensorului avem relatia

in care 0 0

Elementele de pe diagonala tensorului vor avea forma:

13

13

23

Pentru un fluid incompresibil presiunea este media tensiunilor principale cand 0:

13 λ

23

Considerand vom avea relatia de mai jos (care este mult mai

evidenta in cazul gazelor):

λ23

λ23

u λ23

1 λ

23

  Deci  se  observa  ca      nu  este  un  termen  care  trebuie  mereu  neglijat,  el  fiind  proportional  cu 

coeficientul de vascozitate grosiera  λ . 

In acest moment putem rescrie ecuatiile tensiunilor in forma complete:

σ p λ∂u ∂u ∂u

2∂u

σ p λ∂u ∂u ∂u

2∂u

σ p λ∂u ∂u ∂u

2∂u

σ σ∂u ∂u

σ σ∂u ∂u

σ σ∂u ∂u

8  

4. Ecuatiile Cauchy de miscare a fluidelor

1

1

1

5. Ecuatiile Navier-Stokes de miscare a fluidelor

Combinand ecuatiile de miscare Cauchy cu ecuatiile de tensiune se obtin ecuatiile de miscare laminara nepermanenta Navier – Stokes:

1 ∆

3

1 ∆

3

1 ∆

3

6. Ecuatiile Navier – Stokes in forma Helmholz

, deci

; ;

21 ∆

3

21 ∆

3

21 ∆

3

Sistemul de 3 ecuatii poate fi comprimat in forma vectoriala:

2

1 ∆

3

9  

7. Ecuatiile Navier – Stokes in forma Gromeka-Lamb

Daca fortele , , rezulta dintr-un potential U, atunci:

, prin urmare

, prin urmare

Deci in final ecuatiile in forma Helmholz capaata forma data de Gromeka-Lamb

2∆

3

2∆

3

2∆

3

In forma vectoriala cele 3 ecuatii iau forma comprimata

2 ∆

3

Se obtine astfel expresia energiei unitare totale a elementului de fluid

2

care contine energia cinetica , energia potentiala de presiune si energia potentiala a fortelor

masice .

10  

8. Ecuatia Bernoulli a energiei

2

In situatia cand

, , ∙ , 0

rezulta ca

2

9. Traiectorii de curgere laminara ale fluidului

Vectorul vartej are forma

12

12

12

Rescriem ecuatiile Gromeka-Lamb introducand componentele de vartej

22 ∆

3

22 ∆

3

22 ∆

3

Inmultind fiecare ecuatie cu dx, dy respectiv dz rezulta ca

2

∆udx ∆udy ∆udz13

unde    este  lucrul  mecanic  elementar  al  fortelor  de  vascozitate  care  este  de  fapt  o  energie  disipata 

ireversibila. 

  Determinantul din termenul stang reprezinta energia de rotatie. Daca acest determinant este nul, vom avea 

3 situatii in care doua linii sunt proportionale 

11

Linie de curent – este multimea punctelor prin care trece un element de fluid in timpul deplasarii sale, si este o infasuratoare a vectorilor viteza tangenti la ea; in miscari permanente coincide cu traiectoria, dar in miscari nepermanente doar in anumite cazuri

Linie de vartej – este multimea punctelor prin care trece un element de fluid in timpul deplasarii sale, si este o infasuratoare a vectorilor vartej tangenti la ea.

    

12

Linie elicoidala (vectorul viteza coliniar cu vectorul vartej)

Curgerea laminara este caracterizata prin faptul ca fluidul se deplaseaza in straturi paralele fara intreruperi intre ele.

In acest caz nu exista alti curenti de curgere perpendiculari pe directia principala de curgere a fluidului. Practic regimul laminar dispare atunci cand incep sa apara vartejuri si formatiuni de particule care induc o mixare laterala.

In curgerea laminara efectul vascozitatii fluidului este mult mai mare decat fortele masice, ceea ce face ca orice stare tranzitorie locala ce poate sa apara, sa fie imediat disipata.

13  

10. Elemente de teoria stabilitatii la curgerea fluidelor

Teoria stabilitatii hidrodinamice are ca principal obiectiv de a determina mecanismul prin care se produce tranzitia de la curgerea lamianara la curgere turbulenta si sa il exprime cat mai fidel din punct de vedere matematic.

S-au impus doua metode:

metoda energetica

metoda micilor oscilatii

Miscarea turbulenta evident o descompune intr-o componenta medie si una oscilatorie

Metoda energetica

Este considerat faptul ca variatia energiei cinetice a miscarii perturbatoare este egala cu energia disipata in miscarea perturbatoare plus transportul de energie de la miscarea de baza la miscarea perturbatoare

in care

′ ′ ′2

,′ ′ ′

′ ′ ′ 2 ′ ′

2 ′ ′

2 ′ ′

Astfel daca

miscarea este stabila daca partea din dreapta a ecuatiei integrale este negativa

miscarea este nestabila daca partea din dreapta a ecuatiei integrale este pozitiva

Metoda micilor oscilatii

La baza acestei metode sunt bineinteles ecuatia continuitatii si ecuatiile Navier-Stokes.

Solutiile vor avea forma:

. ..

14  

. ..

. ..

. ..

Pentru a putea fi materializate totusi solutii ale sistemului, u,v,w,p vor fi exprimate doar in termenul de gradul unu, o abatere de la generalitate care are un scop practic.

Ecuatia Orr-Sommerfeld

Are in vedere rezolvarea unei curgeri plane. Pentru aceasta se considera o functie de curent , , complexa. Pe baza ei se calculeaza compotentele fluctuante ale vitezei

,

Se presupune ca oscilatia se compune din mai multe oscilatii separate in directia x, iar , , are expresia

, ,

Ar rezulta

′

In final se obtine o solutie bazata pe radacinile unei ecuatii de grad 4, iar in alta varianta simplificata ecuatia de grad 4 poate fi inlocuita cu una de grad 2.

Ecuatia diferentiala simplificata are forma Rayleigh

" " 0

De la aceasta ecuatie se pune problema gasirii unui ycr. Practic aceasta valoare ycr este cea care defineste grosimea stratului limita, deci asigura tranzitia de la regimul laminar al stratului limita la regimul instabil ce incepe in afara acestuia.

15

11. Curgerea turbulenta a fluidelor. Aspecte generale

Primele investigatii care au fost facute in privinta turbulentei au apartinut lui O. Reynolds si Rayleight prin studii cu privire la stabilitatea curgerii laminare, la sfarsitul secolului 19. Practic Reynolds a prevazut necesitatea unei abordari a turbulentei atat din punct de vedere al teoriei stabilitatii cat si al teoriilor statistice. Un impuls puternic al cercetarilor in acest domeniu l-a adus Prandtl prin scoala sa de la Goetingen incepand cu 1930 cand este formulata riguros o teorie a stabilitatii. Ulterior s-au remarcat multi alti cercetatori in studiul turbulentei, fiecare aducand un nou mod de abordare al acesteia, relevandu-se astfel cat de complex este acest fenomen care nici pana in prezent nu este rezolvat exhaustiv de catre vreo teorie.

Daca in regimul laminar caracterizarea matematica a curgerii este fara echivoc, in schimb in curgerea turbulenta lucrurile sunt mult mai complicate. Apar mult mai multe variabile cu o influenta semnificativa care caracterizeaza curgerea turbulenta, ca atare exista un grad de nedeterminare mult sporit al acestui fenomen. In curgerea turbulenta deplasarea particulele tind sa aiba oscilatii haotice care pot fi interpretate doar probabilistic. S-au incercat unele analogii intre fenomenele de turbulenta si teoria haosului aplicata in sistemele dinamice.

Viteza intr-un punct din masa fluidului nu va fi constanta ci va oscila atat ca valoare cat si ca sens, atat in spatiu cat si in timp. Miscarea nu se va mai produce in straturi paralele ca in cazul curgerii laminare, liniile de curent se incruciseaza si impletesc in timpul curgerii. Apar vartejuri care dupa un anumit parcurs se topesc in masa fluidului.

O caracteristica esentiala a curgerii turbulente este faptul campul de viteze ale fluidului variaza semnificativ si neregulat atat in pozitie cat si in timp. Fluctuatiile de viteza apar cand fortele de inertie sunt suficient de mari in comparatie cu fortele de vascozitate. Practic parametrul esential este raportul

dintre fortele dinamice si fortele vascoase unde L este lungimea caracteristica si U viteza.

Vascozitatea determina atenuarea fluctuatiilor, iar daca deci Re este suficient de mare atunci aceasta atenuare este prea mica iar instabilitatea se va mari.

Pe suprafata de contact fluid-perete viteza fluidului este zero. La o distanta anume de perete viteza fluidului tinde spre o viteza constanta numita viteza de curent liber. Pe directia paralela la perete (tangentiala) viteza fluidului variaza datorita fortelor taietoare. Campul de viteze din apropierea peretelui este numit strat limita de impuls. Grosimea acestui strat limita este definita ca grosimea in care viteza medie este 0.99 .

16

O alta caracteristica importanta este abilitatea de a amesteca fluidul mult mai eficient decat o curgere laminara comparabila.

Eficienta turbulentei in amestecul fluidelor este foarte exploatata in multe aplicatii. Astfel cand se doreste amestecarea a doua fluide se doreste ca acest lucru sa se faca pe cat de repede posibil, si in acest caz se induce fiecaruia un anumit grad de turbulenta.

Turbulenta este de asemenea eficace in “amestecarea” impulsurilor din masa de fluid. Astfel pe aripile de avion sau pe carena de vapor tensiunea taietoare pe perete (si in consecinta frecarea de acesta) este mult mai mare decat daca curgerea ar fi laminara. Acest lucru duce bineinteles la consecinte nefavorabile tehnic.

In zone de turbulenta mare este favorizat transferul de caldura prin cresterea coeficientului de transfer de caldura prin convectie atat la interfata solid-lichid cat si cea lichid-gaz.

Turbulenta este generata de fortele taietoare. Cu cat fortele taietoare sunt mai mari, cu atat turbulenta este mai puternica. In imediata apropiere a peretelui se formeaza un substrat laminar de grosime . Cu cat nivelul general de turbulenta a curgerii este mai mare, cu atat grosimea acestui substrat scade.

Maximum de turbulenta se atinge in zona in care fortele taietoare sunt maxime.

17

Datorita complexitatii sporite a modelului de curgere turbulenta, acesta neputand fi caracterizat clar de o relationare matematica, au aparut diverse modele explicative si de evaluare a curgerii turbulente fiecare in parte avand punctele sale forte respective limitarile sale.

Diferenta principala intre curgerea turbulenta si cea laminara este ca in cazul la prima particulele componente se deplaseaza haotic pe traiectorii neregulate. Aceste deplasari haotice faciliteaza un amestec intens in masa fluidului.

a)distributie viteze la curgere laminara; b) distributie viteze la curgere turbulenta

Cu cat turbulenta fluidului este mai mare, cu atat este amplificat fenomenul de amestec in masa acestuia, ceea ce determina si o egalizare a temperaturilor si vitezelor din sectiunea de curgere diagrama acestora devenind mai aplatizata. Prin amestecul intensificat din masa fluidului particulele migreaza mai des dintr-un strat in altul.

Este foarte important de precizat faptul ca modelele matematice de turbulenta nu simuleaza detaliile miscarii turbulente ci doar efectul acesteia pentru o viteza medie de curgere.

Schema de la care se pleaca pentru studiul turbulentei este ca in figura de mai jos.

Substratul laminar

este in imediata vecinatate a peretelui

regim laminar, straturile de curent sunt paralele

efect predominant al vascozitatii asupra efectelor inertiale moleculare si de amestec

Strat de tranzitie

asigura trecerea de la substratul laminar la zona de turbulenta

uneori acest strat este neglijat, considerandu-se o trecere directa de la substratul laminar la zona turbulenta, fapt preferat in modelarea matematica

regimul este tranzitoriu, straturile de fluid incep sa se intersecteze sau indeparteze local

schimb masic permanent si relativ stabil cu zona turbulenta

efectele vascozitatii sunt aproximativ egale cu cele inertiale moleculare si de amestec

Substrat Laminar

Strat de tranzitie 

Zona turbulenta

18

Zona turbulenta

straturile de fluid se intersecteaza in toata masa fluidului din aceasta zona, amestecul este accentuat, distributie vartejuri.

Efectele vascozitatii sunt dominate de cele inertiale moleculare si de amestec

Sunt multe modele matematice de simulare a turbulentei, dar principalele modele se pot clasifica in in urmatoarele clase:

Modele algebrice

Modele de ecuatii ale energiei turbulente

Modelele algebrice calculeaza tensiunile Reynolds direct din expresia algebrica. Celelalte modele cer o solutie paralela din alte ecuatii diferentiale aditionale care cer un timp suplimentar de rezolvare dar sunt mai exacte.

Modele de mediere Reynolds

Modelele de mediere Reynolds au la baza 3 modalitati de abordare:

Medierea timpului

Medierea spatiului

Medierea ansamblului

Aceste modele de mediere aplicate ecuatiilor Navier-Stokes va forma modelul RANSE (Reynolds Averaged Navier Stokes Equations). Modelul RANSE a fost aplicat cu succes in majoritatea studiilor de turbulenta, mai putin succes a avut in simularea turbulentelor de vartej mari.

Medierea timpului de fapt este un model al turbulentei stationare, in sensul ca curgerea turbulenta nu variaza cu timpul.

Daca f(x,t) este variabila de curgere, atunci dupa ce este integrata in raport cu timpul, se obtine o functie doar in x:

lim→

1,

19

Medierea spatiului este modelul de turbulenta omogena in sensul ca in urma medierii este uniforma in toate directiile.

lim→

1,

Medierea ansamblului este cea mai generala metoda de mediere. In acest caz medierea presupune realizarea unui numar N de experimente ce tinde la infinit. Corespunzatoare fiecarui experiment n va fi o functie , astfel incat toate vor avea o variatie in jurul mediei lor.

, lim→

1,

Astfel, pentru o turbulenta care este si stationara si omogena se poate spune ca toate cele 3 metode de mediere sunt egale.

Pentru ca in majoritatea situatiilor reale este implicata turbulenta neomogena cea mai indicata este metoda medierii timpului. Astfel, se porneste de la descompunerea vitezei intr-o componenta stationara si una variabila.

, ′ ,

in care este valoarea mediata a vitezei in raport cu timpul.

lim→

1,

Practic va fi o functie doar de x, deci:

lim→

1

Media componentei variabile a vitezei va fi 0:

′ , lim→

1, 0

20  

Teoreme de mediere pentru marimi fluctuante

In teoriile ce explica turbulenta fluidelor vom avea adesea situatii de marimi mediate, astfel ca se cuvine sa descriem cateva relatii de baza.

∙ ∙

′ ′ ′ ′

Dar se stie ca medie produsului dintre o marime medie si una fluctuanta da 0, astfel ca:

0

In acelasi timp nu sunt argumente suficiente sa se considere ca media produsului a doua marimi fluctuante ar fi nul.

′ ′ 0

Daca f’ si g’ sunt marimi care depind una de alta poate fi posibil ca:

′ ′ 0

In principiu daca f’ si g’ sunt marimi independente atunci

′ ′ 0

Deci

′ ′ ′ ′

In cazul a 3 marimi mediate vom avea:

′ ′ ′ ′ ′

Particularizand, vom avea relatia:

′

Medierea derivatei partiale a unei functii

Medierea divergentei unei marimi

Medierea integralei unei functii

21  

12. Modelul de mediere Reynolds a ecuatiilor Navier-Stokes (RANSE) pentru curgerea turbulenta

Ecuatiile Navier-Stokes in forma lor diferentiala reprezinta modelul matematic ce descrie curgerea laminara a fluidelor reale. Daca se doreste sa fie descris si modelul turbulent de curgere de catre ecuatiile Navier-Stokes, atunci ele trebuie mediate in timp.

1 1 1∆

Ca urmare a integrarii in raport cu timpul vom avea ecuatiile diferentiale aplicate unor marimi medii

1 ∆

Mai avem relatiile

′ ′′ ′

1 ∆

Daca se ia in calcul ecuatia continuitatii

0

Atunci

1

∆1

′ ′ ′ ′ ′ ′

1 ∆

1′ ′ ′ ′ ′ ′

1

∆1

′ ′ ′ ′ ′ ′

Ecuatii obtinute mai sus se numesc ecuatiile Reynolds pentru curgerea turbulenta incompresibila.

22  

13. Modele algebrice ale turbulentei

Modelele algebrice sunt modelele cele mai simple pentru studiul turbulentei. Consumul de resurse computationale ale acestor modele este mare ceea ce face totusi ca pentru studiul corpurilor cu geometrie complicata sa nu fie recomandate. Aceste modele au la baza aproximarea Bousinesq a vascozitatii de vartej pentru a calcula tensorul de tensiune Reynolds ca produs intre vascozitatea de vartej si tensorul mediu de deplasari relativ. Aproximarea Bousinesq mai este numita si ipoteza Bousinesq sau vascozitatea de vartej Bousinesq.

In 1877 Bousinesq a postulat faptul ca transferul de impuls cauzat de vartejuri turbulente poate fi modelat ca o vascozitate de vartej. Astfel vascozitatii moleculare i se adauga o vascozitate de vartej asa cum in masa fluidului apar suplimentar tensiunile turbulente.

Masura in care transferul de impuls este cauzat de miscarile moleculare intr-un gaz pot fi descrise de o vascozitate moleculara.

Asumarea Bousinesq statueaza ca tensorul de tensiune Reynolds este proportional cu tensorul

mediu de deplasare si poate fi scris in urmatoarea forma:

223

12

Unde este vascozitatea de vartej si nu este o constanta ci un scalar ce depinde de campul de viteze.

Ecuatia poate fi scrisa mult mai explicit:

23

23

Sau in forma matriceala:

′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′

2

2

2

23

0 0

023

0

0 023

Unde k este energia cinetica medie de turbulenta

12

A se mentiona ca la curgerea incompresibila:

0

23

Transportul de impuls molecular

Pentru a intelege aproximarea Bousinesq este nevoie sa discutam transportul de impuls la nivel molecular. Se va considera o curgere plana cu variatie a vectorului viteza in directia y.

Miscarea moleculara este considerata randomizata atat in modul cat si in directie.La nivel molecular vom descompune viteza:

"

Unde U este viteza medie iar " este componenta pulsativa a vitezei.

Astfel fluxul instantaneu de impuls pe directia x prin suprafata dS este

" "

Realizand o mediere de ansamblu a impulsului moleculelor vom avea

" "

→ " "

Deci generalizand vom avea relatiile:

′ ′

′ ′

′ ′

In forma matriceala tensiunile de fluctuatie din masa fluidului la curgerea turbulenta sunt componente ale tensorului

′

′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′

Se poate trage concluzia ca la nivel macroscopic fluctuatiile u’ si v’ apar in locul fluctuatiilor moleculare u” si v”. Aceasta similaritate este baza aproximarii Bousinesq a vascozitatii de vartej.

24  

Consideramo o molecula avand viteza termica vth osciland de o parte si de alta a axei x si in jurul pozitiei medii y=0.

In zona y<0 diferenta de impuls va fi:

∆14

014

Unde este drumul liber mediu (mean free path) al moleculei.

Similar pentru y>0 diferenta de impuls este:

∆14

014

Tensiunea taietoare ce actioneaza asupra moleculei va fi:

∆ ∆12

S-a considerat ca numarul mediu de molecule traversand unitatea de arie in directia +y este nvth/4, unde n este numarul de molecule pe unitatea de volum.

Daca se considera vascozitatea moleculara fiind

12

Atunci tensiunea tangentiala rezultand din transportul molecular al impulsului intr-un gaz perfect este:

25

14. Modelul de turbulenta Prandtl al lungimii de amestec

  Acest model a fost propus in 1925 de Prandtl. El a imaginat un model de fluid in care particulele adera formand bulgari ce se deplaseaza ca o unitate. Acesti bulgari masici se pastreaza intacti la deplasarea in directia transversala la perete pentru o distanta numita lungime de amestec.

Modelul lungimii de amestec este o metoda ce incearca sa descrie transferul de impuls de catre tensiunile de turbulenta Reynolds in stratul limita al fluidului prin intermediul vascozitatii de vartej.

Asa cum arata figura de mai sus, lungimea de amestec este distanta pe care o masa de fluid o parcurge conservandu-si caracteristicile inainte de a se dispersa in masa de fluid.

In analogie cu transportul de impuls molecular, bulgarele masic al lui Prandtl va inlocui moleculele, iar lungimea de amestec va inlocui drumul mediu liber al moleculei . Viteza bulgarelui masic

din lungimea de amestec va fi tocmai viteza de turbulenta.

Tensiunea taietoare turbulenta din fluid va capata forma

12

′

Prandtl mai departe a postulat ca

′ ∙

Deci

12

′ ∙12

Tot in analogie cu proprietatile moleculelor, Prandtl bazandu-se pe relatia Bousinesq a propus formula pentru tensiunea taietoare turbulenta

Rezulta astfel forma vascozitatii turbulente

26  

Avantaje ale modelului:

Usor de implementat

Timpi rapizi de calcul

Buna predictie a curgerilor simple unde corelatiile experimentale pentru lungimea de amestec exista

Dezavantaje:

Nu este capabila sa descrie curgerile in care scara lungimii de turbulenta variaza: orice legat de separare strat limita sau legat de circulatie

Calculeaza doar curgerea medie si tensiunile tangentiale turbulente

Aplicabilitate

Uneori aceasta metoda este folosita pentru curgerile externe simple

Metoda este totusi ignorata in programele computationale

15. Modelul k-ε de turbulenta

  Modelul k-ε clasic de turbulenta foloseste metoda functiilor de perete dezvoltate de Launder si Spalding in care “k” este energia cinetica de turbulenta iar “ε” este rata de disipare a energiei cinetice de turbulenta. Acest model de turbulenta este un model numeric si iterativ.

S-a aplicat la inceput pentru modelarea curgerii otelului lichid in instalatiile de turnare. In prezent modelul k-ε de turbulenta este cel mai folosit in aplicatiile ingineresti.

Se stie ca este foarte dificil pe baza modelelor numerice sa se integreze ecuatiile cu derivate partiale ale sistemului Navier-Stokes.

Pentru a rezolva dificultatile modelelor numerice s-a dezvoltat un algoritm ce include un predictor “k-L” si un corector “ε”.

In aceasta schema iterativa este obtinut un rezultat al modelului predictor “k-L” care ulterior este corectat integrand ecuatia de transport a corectorului “ε”.

Astfel schema iterativa creeaza o bucla cu succesiuni ale perechii predictor-corector pana se atinge o convergenta propusa.

Modelul propune ipotezele de curgere vascoasa incompresibila, proprietati fizice constante, curgere izoterma si absenta fortelor exterioare.

Ecuatiile ce stau la baza acestui model sunt:

Ecuatia continuitatii

0

Ecuatia Navier-Stokes

27  

ρ u u u′

Ecuatia de transport a energiei cinetice de turbulenta

k

Productia de energie cinetica turbulenta

2u u′

Vascozitatea turbulenta (de vartej)

√

Scara de lungime

Presiunea totala din sectiunea de curgere

23

unde

, , , – densitatea, vascozitatea moleculara, vascozitatea turbulenta, presiunea medie de curgere

, – energia cinetica turbulenta, rata de disipare

Valorile default a constantelor empirice folosite in ecuatii sunt:

0.09, 1.44 1.92, 1.00, 1.30

Conditii initiale

Daca initial campul de viteze este considerat zero, atunci pentru modelul va trece un timp ∗ pana sa fie activa o stare stationara de curgere turbulenta.

In timpul fazei initiale de tranzitie considerata laminara cand ∗ este luata in considerare si o vascozitate initiala . Valorile ce vor fi atribuite lui k si la ∗ vor fi unic determinate de si de lungimea de amestec arbitrara ∈ , unde valoarea de prag corespunde marimii celei mai mici vascozitati de vartej admisibila. Vom avea astfel

, , ∗

28  

Conditii de granita

La suprafata de intrare vom avea parametri specifici ce vor descrie curgerea.

‖ ‖ ,

Unde 0.003, 0.01 este o constanta empirica a conditiei de granita.

La suprafata de iesire gradientii tuturor variabilelor sunt egalati cu zero, fapt care corespunde conditiei Neumann “nu face nimic” de conditie de granita:

′ 0, ∙ 0, ∙ 0

La nivelul peretelui solid componenta normala a vitezei este luata zero, deci

∙ 0

In timp ce alunecarea tangentiala este permisa in simularea curgerii turbulente.

Functiile de perete

Trebuie mai departe formulate tensiunile tangentiale si conditiile de granita pentru k si . Trebuie remarcat faptul ca modelul este invalid in vecinatatea peretelui unde numarul Reynolds este mai degraba mic iar efectele de vascozitate sunt dominante.

Pentru a evita rezolvarea unor gradienti mari de viteza ce se amplifica foarte mult ca marime in apropierea peretelui, se folosesc functii de perete aplicate pe o suprafata situata la distanta y de peretele solid.

∙ ′‖ ‖

, ,

Unde 0.41 este constanta von Karman.

Conditiile de mai sus de alunecare libera vor fi impuse pe suprafata anvelopa a curgerii situata la distanta y de perete, si nu pe perete.

Astfel, u este viteza tangentiala care va fi folosita pentru a calcula viteza de frecare din ecuatia

neliniara

‖ ‖ 1

valida in stratul logaritmic unde numarul Reynolds 11.06, 300 .

Strict vorbind stratul limita de grosime y trebuie sa fie eliminat din domeniul de computatie. Oricum se presupune ca este foarte subtire astfel incat ecuatiile pot fi rezolvate in intreg domeniul de curgere prin

functiile de perete. Valoarea lui y se calculeaza cu formula in care ia o valoare arbitrara

29  

Valoarea y rezultata este punctul in care stratul logaritmic intalneste substratul vascos astfel incat

satisface ecuatiile:

‖ ‖ 1

,‖ ‖

De aici rezulta ecuatia de obtinere a numarului ∗ corespunzator stratului de grosime y

∗ 1 ∗ 11.06

∗ va folosi acum si pentru determinarea vitezei de frecare la perete care trebuie sa satisfaca

tensiunea tangentiala pentru ecuatia de impuls.

∙ ′∗

∗

Unde ∗ . √ , ∗

Aceasta expresie furnizeaza o conditie de granita naturala pentru viteza tangentiala

∙∗

∗ ∙

Se obtine ca valoarea de granita a turbulentei de vartej este proportionala cu vascozitatea

∗

Se constata deci ca folosirea conditiilor de granita Dirichlet inseamna ca valorile de granita k si depind de viteza de frecare care este proportionala cu viteza la perete. Acest rezultat pare totusi

nerealistic. De aceea conditiile de granita de la prete trebuie aplicate intr-un sens slab.

∙ 0, ∙1

Aceste conditii de granita naturale vor fi acum atasate suprafetei integrale rezultate din integrarea prin parti in formulare variationala. Deci

∙

0, ∙1

Mai departe este asumat ca in regiunea peretelui, astfel ca valoarea de granita corecta a productiei de energie de impuls trebuie calculata din

‖ ‖∗ , . √

30  

16. Modele de turbulenta de inalta rezolutie. Modelul de turbulenta LES

Unul din aceste modele este cel care implica turbulente mari, deci cu vascozitate mare de vartej (Large Eddy Simulation LES). Aceste modele se preteaza foarte mult la simulari de unde de shock in fluide care bineinteles genereaza turbulente locale. La scara mare unde inertia isi spune mult cuvantul, curgerea incepe sa se comporte independent de vascozitate. Suplimentar la disiparea vascoasa apare si transfer de energie prin imprastiere prin care energia se deplaseaza de la scara mica la scara mare. Este implicata in aceste tipuri de modele similitudinea-proprie a fluidului datorita propagarilor efectelor de la scara mica la scara mare si de obicei solutiile sunt hiperbolice.

Modelul LES este una din metodele de inalta acuratete pentru computarea curgerii turbulente.O metoda este de inalta rezolutie a rezultatelor sale numerice daca:

da cel putin ordinul doi de acuratete in zonele cu suprafata de curgere neteda.

Produce rezultate numerice relativ independente de oscilatiile din fluid

In cazul discontinuitatilor numarul de puncte de grid in zona de tranzitie continand unda de soc este mai mic in comparatie cu metodele monotone de ordinul intai.

17. Modelul de vascozitate Smagorinsky

  Modelul de turbulenta clasic de vascozitate de vartej Smagorinsky pentru curgere incompresibila este obtinut prin inlocuirea vascozitatii constante cu o vascozitate artificiala de vartej turbulenta

‖ ‖

Unde este viteza din ecuatiile Navier-Stokes (NS) cu vascozitate , h reprezinta cea mai mica scara iar ~0.01 .

Energia estimata pentru ecuatiile NS cu modelul de turbulenta Smagorinsky da o valoare de granita termenul

‖ ‖

Care indica faptul ca regiunile de turbulenta ‖ ‖~ asumand disiparea ~1. Acest lucru este

consistent cu cea mai mica scara ~ la care schimbarea lui este ~ , care confirma predictia lui Kolmogorov ca vitezele turbulente sunt continue in sens Holder cu exponent 1/3.

Modelul Smagorinsky este cel mai simplu model de turbulenta si pare sa se comporte rezonabil de bine in sensul ca este in linie cu estimarile Kolmogorov. Modelul Smagorinsky creste vascozitatea efectiva in regiunile de turbulenta si de aceea afecteaza la scara fina curgerea originala, dar de asemenea afecteaza la o scara grosiera datorita actiunii sale asupra Laplacianului. Pentru a minimiza actiunea la scara grosiera a modelului Smagorinsky au fost initiate variante care s-au concentrat pe scara fina a acestuia.

In prezent metodele numerice pentru ecuatiile NS sunt adesea completate de modelul de turbulenta Smagorinsky urmand ideea ca metodele numerice singure nu sunt capabile de a modela turbulenta. Facand aceasta, parametrul h in modelul Smagorinsky va corespunde celei mai mici dimensiuni de

31  

mesh utilizata in modelarea numerica respectiva. In aceasta abordare modelul de turbulenta si stabilitatea modelului numeric sunt considerate elemente separate astfel incat vascozitatea artificiala totala va avea o data o contributie de la vascozitatea artificiala Smagorinsky si o una de la vascozitatea artificiala necesara pentru a stabiliza ecuatiile numerice. In final daca una din vascozitatile artificiale o domina pe cealalta atunci cea dominata va fi eliminata.

Este de remarcat totusi ca modelul Smagorinsky are un rol mic in modelele numerice ce implica “cele mai mici patrate” unde domina vascozitatea artificiala de stabilizare de obicei domina cel putin la scara mica unde disiparea este necesara.

Se pune problema daca nu cumva modelul Smagorinsky poate acoperi si stabilizarea numerica a celor mai mici patrate, deci modelul sa fie suficient si pentru modelare turbulenta si pentru stabilitate. S-a constatat totusi ca nu este suficient de unul singur.

18. Modele spectrale de turbulenta

Modelul Smagorinsky si modelele de scara de similitudine nu sunt singurele care au fost folosite pentru a reprezenta turbulenta la scara de subgrid. Modelele spectrale lucreaza cu distributia de energie turbulenta pe un interval de scara de lungime principala variabila fiind transformata Fourier a componentelor vitezelor

sau mai frecvent amplitudinea ei patratica , spectrele de energie

∗

unde integrala este peste toti vectorii de unda pe o sfera de raza k.

Folosirea reprezentarii spectrale a vitezei implica faptul ca aceste modele spectrale se aplica doar pe turbulenta omogena si izotropica. In ciuda acestor limitari ele pot furniza o considerabila luminare a cailor de extindere catre curgere mai complexa.

Termenii de presiune dispar complet in aceste modele, functia lor va fi de a transfera energia de la o componenta de turbulenta la alta , deci nici in rol in ecuatia energiei. Termenul de vascozitate este responsabil de disipatie:

2

Care actioneaza ca un dren de energie la turbulenta.

Este implicat si un termen de rata de transfer energie de “cut-off”, incat putem defini efectiv vascozitatea de vartej spectrala

2

32  

19. Simularea numerica directa (Direct Numerical Simulation – DNS)

Cea mai ambitioasa abordare a simularii turbulentei este sa se incerce rezolvarea ecuatiilor Navier Stokes fara sa se faca medieri sau aproximari. Pentru aceasta abordare gridul de mesh nu trebuie sa fie mai mare decat scara de vascozitate determinata de Kolmogorov. Metoda DNS poate fi aplicata doar pentru curgere cu numere Reynolds relativ mici si geometrii simple.

20. Modelul de turbulenta General Galerkin G2

  Este o metoda adaptativa de simulare numerica directa DNS. La aceasta metoda o solutie stabilizata pentru elementele finite este folosita pentru a computa solutiile aproximatie ale ecuatiilor Navier-Stokes, mesh-ul este adaptativ rafinat pana este atins criteriul de stop.

Atat criteriul de stop cat si strategia de rafinare a mesh-ului se bazeaza pe estimarea erorii a posteriori in forma de integrala spatiu-timp.

G2 este o metoda cu element finit Galerkin cu stabilizare ponderata a celor mai mici patrate in spatiu-timp.

Stabilizarea modelului G2 actioneaza ca un model de turbulenta automatic intr-o forma generalizata de vascozitate actionand selectiv la cea mai mica scara a mesh-ului.

33

21. Comparatie de simulare prin diverse modele de turbulenta

Comparari presiune pe suprafata

34  

22. Modele de turbulenta. Schema generala de evolutie

Clasa de model Grupa Model Model An Autor

Vascozitate de vartej Liniara (LEVM)

Algebrice sau de turbulentazero-ecuatie

Prandtl de lungime de amestec 1925 Prandtl Von Karmann Cebeci-Smith 1967 Cebeci si Smith Baldwin-Lomax 1978 Baldwin si Lomax Johnson-King 1985 Johnson si King

Unica-ecuatie Prandtl unica-ecuatie Baldwin-Barth 1990 Baldwin si Barth Spalart-Allmaras 1992 Spalart si Allmaras

Dubla-ecuatie

Standard k-epsilon 1972 Jones si Launder Realizabil k-epsilon k-l Taylor si Rayleight k-kl 1972 Rotta k-kτ 1986 Zaierman si

Wolfshtein K-τ 1990 Abid si Anderson RNG k-epsilon 1992 Yakhot si Smith Wilcox k-omega 1988 Wilcox Wilcox k-omega de baza (BSL) 1994 Menter Wilcox k-omega de tensiune tangentiala de transport (SST)

1993 Menter

Vascozitatea de vartej neliniara(NLEVM) sau model algebric detensiune (ASM)

Relatie constitutiva explicitneliniara

Cubic k-epsilon Model algebric explicit de tensiune Reynolds

V2-f 1995 Durbin

Model de tensiune Reynolds (RSM) sau model Reynolds detransport de tensiune (RSTM) sau de al doilea moment deinchidere (SMC) sau turbulenta de ordinul doi

Model de tensiune Reynolds (RSM) 1975 Launder

Model de doua scari (TSM) Model de doua scari (TSM)

Simulare de vartej larg (LES)

Smagorinsky-Lilly Model dinamic de scara-subgrid RNG-LES Model local de vascozutate de vartej adaptata la perete (WALE)

Model de scara-subgrid al energiei cinetice Modele de tratare langa perete pentru LES

Simulare de vartej foarte larg (VLES) Simulare de vartej foarte larg (VLES) Simulare detasata de vartej (DES) Simulare detasata de vartej (DES) Simulare numerica directa (DNS) Metoda spectrelor

Diferente Finite Rezolutie spatiala Rezolutie temporala General Galerkin 2 (G2)

Model de turbulenta langa-perete Model de turbulenta de starea spatiului (SSM - State Space Modelling)

Model de turbulenta ARMA

Modele statistice Model Friedmann-Keller 1924 Model Taylor 1935 Model Kolmogorov

Melor-Herring (MH) (MR) 1973 Patankar-Spalding (PS) 1972 Michel-Ouemard-Durant (MQD)

35

23. Tehnici de mesh la curgerea externa in jurul unui corp

Asa cum se stie mesul trebuie ales pe baza principiului ca in zonele cele mai importante ale modelului studiat sa fie mai des. In acest sens zonele importante sunt zona de strat limita proxima peretelui corpului, respectiv zona de turbulenta ce urmeaza imediat dupa substratul laminar. Daca aceste zone sunt acoperite corespunzator prin mesh-ul generat sunt premize ca rezultatele sa fie foarte realiste. Zonele mai periferice ale modelului nu trebuie in mod obligatoriu sa fie meshate la fel de des intrucat sunt considerate zone mai “linistite” in care nu apar variatii semnificative, deci care nu vor da erori mari.

36

24. Rugozitatea

Turbulenta la curgerea fluidului nu este determinata doar de viteza medie de curgere, ci si deproprietatile suprafetei ce delimiteaza fluidul care curge.

Suprafetele corpurilor solide ce delimiteaza fluidul in curgere nu pot fi perfect netede. Acest lucru este determinat de doua constrangeri:

una structurala a materiei in sensul ca la nivel microscopic aceasta are o structura discreta si nu continua prin retelele de atomi legati ce o formeaza. Aceasta este o constrangere care nu poate fi inlaturata ci trebuie asumata. Nici daca s-ar construi structuri atom cu atom tot ar ramane o rugozitate de suprafata la scara atomica ce e drept, cauzata de zone unde sunt localizati atomi si zone interatomice de vid

una tehnologica care de fapt amplifica prima constrangere. Astfel, aceasta este o rugozitate ce se poate intinde pana la scara macroscopica. Ea incepe de la grupuri de atomi legati ce ies in forme regulate sau neregulate din suprafata teoretica a materialului si succedati de zone de gol.

Din punct de vedere al naturii ei rugozitatea materialului poate fi

naturala – rezultata direct din fabricarea materialului, are un patern de protuberante ale suprafetei specific si continuu, poate fi doar masurata dar nu se ia nici o actiune pentru modificarea ei. La fabricarea materialului se pot face anumite actiuni tehnologice suplimentare pentru a mentine rugozitatea sub control la o anumita scara (prin finisare, tratare chimica, etc). Uneori suprafata ia o configuratie anizotropica care poate fi circulara sau favorizarea unei anumite directii

artificiala – este definita atat ca scara de marime cat si forma protuberantelor de material. Este folosita de obicei in scop de cercetare

Din punct de vedere al scarii de marime rugozitatea poate fi:

de asperitate – au un patern geometric specific determinat de natura materialului si de tehnologia de prelucrare a acestuia. La nivelul lor stratul limita laminar se rupe

de ondulatie – pot fi aleatoare sau induse de modelul constructiv al suptafetei; daca sunt suficient de line ca curbura stratul limita isi poate mentine aderenta la suprafata lor fara sa se dezlipeasca sau rupa

Rugozitatea naturala datorita distributiei aleatoare a protuberantelor determina un aparat matematic foarte complicat care sa le descrie pornind de la forme statistice.

In acest sens s-a conturat necesitatea construirii de rugozitati artificiale si la o scara de marime suficient de mare pentru a prevala fata de rugozitatea naturala la nivel atomic a materialului care devine nesemnificativa.

37

Rugozitate artificiala creata prin particule sferice

Georgianul Johann Nikuradse (1894 – 1979) doctorand al lui Prandtl, mai tarziu in 1933 a publicat rezultate ale cercetarilor sale despre curgerea in conducte in care era construita o rugozitate artificiala.

El a construit rugozitatea artificiala avand la baza granule de nisip cu diametrul k, rugozitatea fiind

∆ fiind numita si rugozitate absoluta. Daca D este diametrul conductei pentru care se face

cercetarea, atunci raportul ∆ este numit rugozitate relativa. Rugozitatea echivalenta ∆ va fi acel

diametru de granule care face ca rugozitatea artificiala sa fie echivalenta cu rugozitatea naturala. Pe baza rezultatelor cercetarilor a construit diagrama de pierderi in conducte care ii si poarta numele.

Din punct de vedere al geometriei elementele rugoase create artificial pot avea mai multe forme, pot avea diverse distantari intre ele.

Problema se pune ce se intampla la nivelul acestor elemente de rugozitate. Practic in topul elementelor de rugozitate liniile de curent sufera o compresie devenind mai dese fapt care creste si presiunea dinamica locala, iar in spatiul dintre elementele de rugozitate apare o depresiune, liniile de curent tind sa se indeparteze una de alta, si apar vartejuri.

38

25. Curgerea externa in jurul corpurilor simetrice

Curgerea in jurul unui cilindru

La curgerea in jurul unui cilindru se observa foarte clar din diagrama variatia presiunii pe suprafata acestuia, avand maxime in punctele din fata si din spate, si minim intr-un punct intermediar in care de fapt incepe sa se separe stratul limita.

Desprinderea stratului limita la curgerea in jurul unui corp

Fluidul in curgere intampinand un corp in fata lui va cauta sa treaca pe langa el, deci curentul se va rupe in doua in regim laminar deoarece fortele de vascozitate domina fortele de inertie. Deoarece este eliminata o suprafata de curgere libera a curentului fiindu-i luat locul de corp, liniile de curent se vor indesi in jurul corpului, debitul de fluid din vecinatatea corpului va scadea fortat, dar in virtutea conservarii energiei acest lucru va duce la marirea presiunii in jurul corpului. Fluidul din vecinatatea corpului isi pierde treptat viteza iar presiunea creste. In punctul S fluidul nu mai are suficienta energie

39

cinetica, datorita unei presiuni mari care s-a dezvoltat stratul limita se desprinde si incepe sa se formeze un contracurent de directie opusa in proximitatea corpului.

Curgerea in jurul unei carene

In zona prova a carenei are loc o despicare laminara a stratului limita, care se va atasa de peretetii carenei pentru o lungime anume. Spre zona pupa stratul limita incepe sa se desprinda, desprindere care mai departe este accelerata si de faptul carena incepe sa scada progresiv in latime. In urma carenei va ramane o zona de turbulenta dominata de vartejuri.

40

Curgerea pe o placa plana

In acelasi mod se manifesta curgerea externa si pe alte profile precum placa plana. Astfel pentru o anumita lungime curgerea este laminara prin dominarea fortelor vascoase asupra celor inertiale. De la un anumit punct incepe o zona de tranzitie cand stratul limita se separa. O ultima zona este de turbulenta, vectorul viteza incepe sa se uniformizeze de-a lungul sectiunii de curgere.

41  

Bibliografie

Rahul Pandit - Statistical Properties Of Turbulence (2009)

Alexei Kritsuk - The Statistics Of Supersonic Isothermal Turbulence

Nore, C - Decaying Kolmogorov Turbulence In A Model Of Superflow (1997)

Ahmadikia H - Comparative Analysis Of K-L Turbulence Model With Other Models In Supersonic Flows (2004)

Hitoshi Tanaka - Turbulence Models For Rough Turbulent Boundary Layers

Sodja, Jurij - Turbulence Models In Cfd (2007)

Naseem Uddin - Turbulence Modeling Of Complex Flows In ... (2008)

Bardina, J E - Turbulence Modeling Validation (1997)

Celik, B Ismail - Introductory Turbulence Modeling (1994)

Rubenstein, R - Turbulence Modeling Workshop (2001)

Florea J., Panaitescu F. - Mecanica Fluidelor (EDP 1979)

Tennekes H., Lumley J.L. A first course in turbulence (1972)

Wilcox, David C Turbulence Modeling For Cfd (1994)