de–nicija plohegradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/matematika/psgg dg... · 2017. 5. 23. ·...
TRANSCRIPT
Definicija plohe
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 1 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija.
Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3
pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija.
Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3
je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 2 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) =
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.
Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =
= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,
parametarske jednadzbe
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 3 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) =
r′u(u, v) =(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) =
r′v (u, v) =(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) =
r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =
(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) =
r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =
(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) =
r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =
(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
derivacije prvog reda su:
∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =
(x ′u(u, v), y
′u(u, v), z
′u(u, v)
),
∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =
(x ′v (u, v), y
′v (u, v), z
′v (u, v)
),
derivacije drugog reda su:
∂2r∂u2
(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y
′′uu(u, v), z
′′uu(u, v)
),
∂2r∂u∂v
(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y
′′uv (u, v), z
′′uv (u, v)
),
∂2r∂v2
(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y
′′vv (u, v), z
′′vv (u, v)
).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 4 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha.
Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0)
naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,
ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v)
naziva se v−krivulja plohe r.Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer.
Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:
a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,
b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.
Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje.
Trazena krivulja je:
a) krivuljaρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:
a) krivuljaρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) =
r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) =
(u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) =
r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) =
(−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja
ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 5 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:
ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.
Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.
Geometrijska interpretacija:
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 6 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
je sfera x2 + y2 + z2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 7 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
je konus x2 + y2 = z2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 8 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)
je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2
)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 9 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3
zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom
r(u, v) = (cos v , sin v , u)
je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 10 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3,
pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.
Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3
zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3
razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena.
Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani,
onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + us1 + vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.
Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 11 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3,
pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.
Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3
zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2
parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom
r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2
je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 12 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini
definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I .
Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3
definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 13 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini
definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I .
Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3
definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒
P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom
r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)
parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .
P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 14 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,
ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),
r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:
ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.
Uocimo da je:
r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 15 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo:
ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori
(tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0),
onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 16 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija.
Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ U
ako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0,
u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U.
Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna
ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,
uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0
ekvivalentan je uvjetu da matrica[x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]
ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.
Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi
r′u × r′v =
∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[
x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v
]ima puni rang (tj. rang 2).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 17 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena.
Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji,
pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici),
pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:
u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,
u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.
Naime, singularitet moze biti svojstven:
parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,
samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 18 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer.
Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije:
a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1,
b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.
Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje.
Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sfera
konus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:
sferakonus
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 19 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) =
(sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) =
(cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)
r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) =
(− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ =
= sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0
⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔
sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔
u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)
r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0
⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]
⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 20 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] .
Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒
{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) =
(0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1)
- sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni pol
r(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) =
(0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1)
- juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 21 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) =
(u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) =
(cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) =
(−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ =
− u cos v · i− u sin v · j+ u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.
Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔
−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔
u = 0,v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)
r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)
r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)
(r′u × r′v )(u, v) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos v sin v 1−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:
(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0
u = 0⇔ u = 0,
v ∈ [0, 2π]
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 22 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .
Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒
r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) =
(0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0)
- vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
Parametrizirana ploha
Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:
r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 23 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija.
Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.
Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne,
ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U,
ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b))
takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b))
i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0
za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V .
Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne,
onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje.
Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)
v ′a(a, b) v ′b(a, b)
∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.
Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 24 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒
{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a =
r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a
~r′b = r′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b =
r′u · u′b + r′v · v ′b⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b =
u′av′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)
⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)
⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b =
(u′av′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =
∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )
Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔
vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Parametrizirana ploha
Uocimo da vrijedi:
~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r
′u · u′b + r′v · v ′b
⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )
⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b
∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b
v ′a v ′b
∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 25 / 28
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija,
pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini.
Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
Eksplicitno zadana ploha
Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:
eksplicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,
eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).
Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju
r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,
pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 26 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija,
pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru.
Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha
i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.
Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S ,
ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,
globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S ,
ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:
implicitno zadana ploha je skup
S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,
implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.
Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :
lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 27 / 28
Implicitno zadana ploha
Teorem.
Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.
Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P
i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3
takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28
Implicitno zadana ploha
Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi
gradF (P) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 28 / 28