Dinámica de fluidos avanzada I Dr. José Manuel Riesco Ávila

SOLUCIONES EXACTAS – PRIMER PROBLEMA DE STOKES

Lorenzini Gutiérrez Luis Daniel

Maestría en Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato.

Fecha de entrega: 05 de Diciembre de 2011

Problema:

El primer problema de Stokes tiene varias contrapartes en diferentes ramas de la ingeniería y física. En el contexto de la mecánica de fluidos, la situación que se analiza es la que se muestra en la Figura 1. El eje x coincide con una placa infinitamente larga arriba de la cual hay un fluido. Inicialmente, la placa y el fluido se encuentran en reposo. Repentinamente, la placa se pone en movimiento en la dirección x con velocidad constante. Bajo estas condiciones, ¿cuál será la respuesta del fluido a este movimiento en la frontera?

Figura 1. Diagrama del primer problema de Stokes.

1. Planteamiento del problema

Para el análisis del problema se parte de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento en

su forma general (forma diferencial conservativa):

(1)

(2)

(3)

(4)

2

Para un fluido newtoniano, las ecuaciones para conservación de momentum se pueden reemplazar

por las ecuaciones de Navier-Stokes [1]:

(5)

(6)

(7)

Las consideraciones que se toman en cuenta para la simplificación de las ecuaciones de gobierno son

las siguientes:

1. Debido a que el movimiento de la frontera es solamente en la dirección x, el movimiento del

fluido será también en esa dirección. Entonces, la única componente de velocidad diferente de

cero será u.

2. La presión será independiente de y, y como u es independiente de x, la presión también será

independiente de x. Es decir, la presión será constante en todo el fluido.

3. Las propiedades del fluido son constantes en todo el dominio.

4. No hay fuerzas de cuerpo que actúen en la dirección de x.

Con estas observaciones, la ecuación de continuidad se reduce de la siguiente forma:

(8)

Este resultado implica el hecho de que la componente de velocidad u será solamente función de y y t,

es decir, se buscará una solución para u(y,t). Por otra parte, como las componentes de velocidad v y w

son cero, las ecuaciones de Navier-Stokes para las direcciones y y z presentan resultados triviales;

entonces sólo es necesario analizar la ecuación para la dirección x, la cual se reduce de la siguiente

forma:

Eliminando los términos marcados la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

3

Debido a que el fluido se encuentra en reposo antes de que la placa comience su movimiento en t=0,

no puede existir un gradiente de presión ya que la presencia de este ocasionaría un movimiento del fluido.

2. Ecuación de gobierno resultante

Con las observaciones realizadas en la sección anterior y recordando la definición de la viscosidad cinemática, la ecuación de Navier-Stokes en la dirección x se reduce a:

(9)

La ecuación diferencial parcial obtenida es conocida como la ecuación de difusión, donde el

parámetro ν indica que para este caso la difusión será de momentum, el cual es transmitido desde la

placa en movimiento hacia el fluido. Para resolver esta ecuación se necesitan dos condiciones de

frontera y una condición inicial; las condiciones de frontera impuestas por el problema son las

siguientes:

para para

(10)

finita (11)

La condición inicial surge del requerimiento de que como el fluido se encuentra inicialmente en reposo, la velocidad en cualquier punto del fluido debe ser cero para t=0.

para (12)

3. Solución por el método de similitud

Para la solución de esta ecuación, se utilizará el método de similitud. Las soluciones por similitud son

una clase especial de soluciones que existen para problemas gobernados por ecuaciones diferenciales

parciales hiperbólicas con dos variables independientes en donde no existe una escala geométrica de

longitud [2]. Debido a que el primer problema de Stokes presenta las características anteriormente

descritas, será posible su solución utilizando este método. Con estas observaciones, puede esperarse

que la velocidad del fluido u alcanzará algún valor determinado, por ejemplo 0.5U0, para diferentes

valores de y, los cuales a su vez dependerán del tiempo t. Para aclarar esto, supóngase que para cierto

tiempo t1 la velocidad tendrá un valor de 0.5U0 a una distancia y1 de la placa; para un tiempo

posterior t2, la misma magnitud de velocidad existirá a una distancia y2 y un comportamiento similar

se espera para otros instantes de tiempo. Esto implica que debe existir algún tipo de combinación

entre la variable espacial y con la variable temporal t, tal como y/tn, de manera que cuando esta

cantidad sea constante, la velocidad también sea constante. Por lo tanto, se espera una solución de la forma:

4

donde

(13)

En la ecuación anterior, η(y,t) es llamada la variable de similitud y α es una constante de

proporcionalidad que será definida después de tal manera que sus unidades conviertan la expresión

para η en una cantidad adimensional. Si en realidad existe una solución por similitud para el

problema en cuestión, la sustitución de la solución expresada en la Ec. (11) en la ecuación de

gobierno representada por la Ec. (9), resultará en una ecuación diferencial ordinaria con f como la

variable dependiente y η como la variable independiente. Es decir, será posible eliminar las variables

y y t en términos de η. A continuación se muestra el desarrollo en forma completa para obtener las

derivadas correspondientes, en donde es importante señalar el empleo de la regla de la cadena para

derivar correctamente cada una de las expresiones:

definiendo

(14)

(15)

Para obtener la segunda derivada parcial de la ecuación anterior, se emplea cuidadosamente la regla de la cadena una vez más:

Notando que el término dentro del paréntesis del lado derecho puede desarrollarse como:

La ecuación que se obtiene es:

donde

(16)

Sustituyendo las Ecs. (14), (15) y (16) en la ecuación de gobierno original, Ec. (9), se obtiene:

5

(17)

La Ec. (17) no es una ecuación diferencial ordinaria ya que involucra explícitamente al tiempo para

varios valores de n. Sin embargo, para el caso en que n=1/2 la dependencia explícita del tiempo se

elimina y se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

donde

(18)

El paso siguiente consiste en determinar el parámetro α en términos de ν (y U0 si es necesario), de tal

manera que la expresión para η sea una cantidad adimensional. A partir de un análisis dimensional para esta expresión se obtiene:

Entonces, se necesitan obtener las dimensiones de la raíz cuadrada del tiempo por unidad de longitud,

la única posibilidad para obtener α en función de ν y cumplir con el criterio adimensional exige que:

Para conveniencia en la solución de la Ec. (18) un factor de 2 es incluido, de esta forma la variable de

similitud es determinada por:

(19)

Sustituyendo estos resultados en la Ec. (17), la ecuación diferencial que debe resolverse es:

(20)

Recordando que f’=df/dη, la Ec. (19) se puede expresar como:

Multiplicando la última ecuación por dη e integrando indefinidamente:

Tomando la función exponencial para ambos miembros de la última ecuación, se encuentra una expresión para f’:

Regresando f’ a df/dη, separando variables una vez más e integrando se obtiene:

6

Y la solución buscada es de la forma:

(21)

Para encontrar el coeficiente C3 se utiliza la condición de frontera u(0,t)=U0 para t>0:

Para encontrar el coeficiente C3 se hace uso de la condición inicial u(y,0)=0 para y≥0:

Las ecuaciones anteriores implican que cuando la variable de similitud η tiende a infinito, la función

f(η) tiende a cero. Por lo tanto, al sustituir esto en la Ec. (21) con el valor conocido de C3=1 se tiene:

Por la integral probabilística de Gauss [3] se sabe que:

Entonces, para el medio rango (0,∞) esta integral es igual a un medio del valor original:

El valor del coeficiente C2 es entonces:

Una vez conocidos los coeficientes C2 y C3, su sustitución en la Ec. (21) proporciona una solución de la forma:

(22)

El término del lado derecho en la Ec. (22) es conocido como la función error, erf( ), cuyo límite es el

argumento del integrando superior [3]. De esta forma, la solución exacta para el primer problema de Stokes es:

(23)

7

3.1. Solución para una variante al primer problema de Stokes

Cuando se analiza el primer problema de Stokes, una variante que resulta interesante desarrollar es el

caso en que el fluido y la placa se mueven a una velocidad uniforme U0 y la placa es repentinamente

desacelerada a una velocidad cero. En este caso, el método de solución es similar al problema

original y la formulación matemática para este problema es resolver la ecuación diferencial parcial dada por la Ec. (9):

Sujeta a las condiciones de frontera:

para para

(24)

finita (25)

Y la condición inicial:

para (26)

Como se tiene la misma ecuación gobernante que en el problema original, la solución general está dada por la Ec. (21):

Sustituyendo la condición de frontera u(0,t)=0 para t >0 en la ecuación anterior:

Para conocer el valor de C5, se utiliza la condición inicial u(y,0)=U0 para t >0:

Las ecuaciones anteriores implican que cuando la variable de similitud η tiende a infinito, la función

f(η) tiende a la unidad. Por lo tanto, al sustituir esto con el valor conocido de C4=0 se tiene:

De acuerdo a los comentarios realizados para la integral de medio rango de Gauss, el valor de la constante buscada es:

8

Una vez conocidos los coeficientes C4 y C5, su sustitución en la Ec. (21) proporciona una solución de

la forma:

(27)

De esta manera, la solución exacta para esta variante del primer problema de Stokes es:

(28)

4. Resultados de la solución exacta

4.1. Gráficas para el primer problema de Stokes

Como pudo observarse en el desarrollo llevado a cabo en la sección 3, la forma de la solución para el

primer problema de Stokes está determinada por la función error. En la Tabla 1 se muestran algunos valores para esta función:

Tabla 1. Valores numéricos de la función error [4].

η erf (η) η erf (η) η erf (η)

0.00 0.0000000 1.20 0.910314 2.40 0.9993115

0.10 0.1124629 1.30 0.9340079 2.50 0.999593

0.20 0.2227026 1.40 0.9522851 2.60 0.999764

0.30 0.3286268 1.50 0.9661051 2.70 0.9998657

0.40 0.4283924 1.60 0.9763484 2.80 0.999925

0.50 0.5204999 1.70 0.9837905 2.90 0.9999589

0.60 0.6038561 1.80 0.9890905 3.00 0.9999779

0.70 0.6778012 1.90 0.9927904 3.10 0.9999884

0.80 0.7421010 2.00 0.9953223 3.20 0.999994

0.90 0.7969082 2.10 0.9970205 3.30 0.9999969

1.00 0.8208908 2.20 0.9981372 3.40 0.9999985

1.10 0.8802051 2.30 0.9988568 3.50 0.9999993

Figura 2. Gráfica de la función error [5].

9

Para obtener las gráficas correspondientes a este caso del primer problema de Stokes, se utilizó el

software EES®, el cual permite evaluar de manera precisa la función error.

Figura 3. Gráfica del comportamiento de la velocidad respecto a la variable de similitud para una

placa infinita que se pone en movimiento.

En la Figura 3 se muestra la gráfica para la solución al primer problema de Stokes, donde se observa

cómo la velocidad del fluido se aproxima a la velocidad de la placa conforme la variable de similitud

se aproxima a cero. Dicha observación tiene un claro significado físico y además establece la

condición de frontera para resolver el problema. Para el caso contrario cuando la variable de similitud

aumenta, la velocidad adimensional se aproxima a cero; esto cumple el requerimiento de que las

capas de fluido superiores no experimentarán un cambio en su velocidad y permanecerán en reposo.

Con el objetivo de apreciar el efecto de la viscosidad cinemática en la difusión de momentum para el

primer problema de Stokes, se realizaron las gráficas comparando a dos fluidos con propiedades

diferentes, agua y aire a las mismas condiciones de temperatura y presión, las cuales fueron obtenidas por el software EES® y se mencionan en la Tabla 2.

Tabla 2. Propiedades para el agua y aire a T=298 K y P=101.325 kPa

Propiedad Símbolo Agua Aire

Densidad (kg/m3) ρ 997.1 1.184

Viscosidad dinámica (kg/m.s) μ 8.905×10-4

1.849×10-5

Viscosidad cinemática (m2/s) ν 8.931×10

-7 1.561×10

-5

Antes de analizar el comportamiento de las gráficas para cada fluido, es necesario entender el

concepto de espesor de la capa de corte (shear layer thickness), el cual se define como la altura con

respecto de la placa (y) a la cual el efecto de la pared sobre el fluido ha caído al 1% [6]. En el caso de

la placa que comienza su movimiento del reposo, esta cantidad tiene el valor de u(y,t)/U0=0.01,

mientras que para la placa que repentinamente se para u(y,t)/U0=0.99. Ambos valores corresponden a

erf(η)=0.99, o bien η=1.82. Sustituyendo este valor en la Ec. (28), se puede aproximar el espesor de la capa de corte como:

(29)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

u(y,t)/U0

10

Figura 4. Variación del espesor de la capa cortante con respecto a la velocidad del fluido

adimensional utilizando agua a 25 °C y 101.325 kPa.

Figura 5. Variación del espesor de la capa cortante con respecto a la velocidad del fluido

adimensional utilizando aire a 25 °C y 101.325 kPa.

En la Figuras 4 y 5 se aprecia el comportamiento de la difusión de momento utilizando agua y aire

como fluidos, respectivamente. Aunque presentan curvas similares, hay que señalar que el espesor de

la capa cortante varía significativamente entre ambos fluidos. Debido a que a este espesor es

directamente proporcional a la raíz cuadrada de la viscosidad cinemática, se obtienen espesores

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

u(y,t)/U0

c (

m)

t=20 s t=50 s t=50 s t=100 s t=100 s t=150 s t=150 s

Evolución del tiempo

t=300 s t=300 s t=600 s t=600 s

Difusión de momento para agua a 25°C y 101.325 kPa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Evolución del tiempo

Difusión de momento para aire a 25°C y 101.325 kPa

t=20 s t=20 s

t=50 s t=50 s

t=100 s t=100 s

t=150 s t=150 s t=300 s t=300 s t=600 s t=600 s

c (

m)

u(y,t)/U0

11

mayores para el aire con respecto al agua con un orden de magnitud de 4. Estos resultados eran de

esperarse debido a que como el aire es menos viscoso y mucho menos denso que el agua, la difusión de momento desde la placa se facilita a través de este fluido.

4.2. Gráficas para la variante del primer problema de Stokes

Para el caso en que el fluido y la placa se encuentren inicialmente en movimiento con velocidad

constante y la placa se detiene repentinamente, las gráficas obtenidas son solamente un reflexión de

aquellas obtenida en la sección anterior, de acuerdo con la Ec. (28).

Figura 6. Gráfica del comportamiento de la velocidad respecto a la variable de similitud para una

placa infinita que se para repentinamente con un fluido en movimiento.

Figura 7. Variación del espesor de la capa cortante con respecto a la velocidad del fluido

adimensional utilizando agua a 25 °C y 101.325 kPa.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

u(y,t)/U0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Evolución del tiempo

Difusión de momento para agua a 25°C y 101.325 kPa

t=20 s t=20 s t=50 s t=50 s

t=100 s t=100 s

t=150 s t=150 s t=300 s t=300 s t=600 s t=600 s

c (

m)

u(y,t)/U0

12

Figura 8. Variación del espesor de la capa cortante con respecto a la velocidad del fluido

adimensional utilizando aire a 25 °C y 101.325 kPa.

Los comentarios para las Figuras 7 y 8 son los mismos que en el caso anterior, ya que son una

reflexión de este. Los resultados obtenidos son lógicos ya que es de esperarse que conforme pase el tiempo la difusión de momento y el espesor de la capa de corte aumenten.

5. Aproximación al primer problema de Stokes por medio de una solución numérica

Con el objetivo de apreciar que tan aproximada es la solución numérica a la solución exacta, se

decidió reproducir el primer problema de Stokes utilizando el software de dinámica de fluidos

computacional (CFD) FLUENT®. Debido a que el primer problema de Stokes carece de dimensiones

geométricas, debe de modelarse un medio continuo lo suficientemente grande para simular los

efectos de un placa infinita en la dirección x con movimiento y una altura del fluido suficientemente

grande para que la difusión de momento sea lo más aproximada posible al primer problema de

Stokes. Para esto, se definió una geometría rectangular de 10×6 m para simular el efecto de una placa

infinita. El mallado de la geometría 2D fue realizado con elementos cuadrados de 1 mm para asegurar

la convergencia espacial del modelo. En la Figura 9 se muestra el mallado de la geometría y las condiciones de frontera utilizadas para simular el primer problema de Stokes.

Después de establecer las condiciones de frontera para el modelo, se especificaron los detalles de

cada una de estas. Al usar el tipo de frontera Interface, el software asume que existe un fluido

adyacente al definido; en este caso como sólo se simuló el primer problema de Stokes utilizando aire

como fluido las demás interfaces fueron definidas como aire adyacente a las fronteras. Con esto se

mejora la aproximación a un medio infinito.

Para la condición de frontera de pared con movimiento (moving wall) se definió una velocidad

arbitraria de U0=0.05 m/s en la dirección positiva de x, de tal manera que la máxima velocidad que pueda alcanzar el fluido sea U0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Evolución del tiempo

Difusión de momento para aire a 25°C y 101.325 kPa

t=20 s t=20 s

t=50 s t=50 s t=100 s t=100 s

t=150 s t=150 s t=300 s t=300 s t=600 s t=600 s

c (

m)

u(y,t)/U0

13

Figura 9. Dominio computacional, mallado y condiciones de frontera para la solución numérica del

primer problema de Stokes.

Una vez configurado el caso con las condiciones del primer problema de Stokes, se procedió a

calcular la solución a través del código FLUENT®. Debido a que este tipo de soluciones numéricas

consumen mucha memoria y tiempo de computo dependiendo del tipo de malla, solamente se

realizaron las simulaciones para un tiempo de t=20 s y t=100 s con el objetivo de comparar estos

resultados con la solución exacta presentada en la Sección 4.

Figura 10. Contornos de velocidad obtenidos de la solución numérica al primer problema de Stokes

utilizando aire a 25 °C y 101.325 kPa para un tiempo de t=20 s.

14

En la Figura 10 se presentan los contornos de magnitud de velocidad obtenidos de la simulación

numérica, se puede observar que los resultados presentan concordancia con aquellos obtenidos

analíticamente, observando que las capas de fluido más cercanas a la placa en movimiento son

aquellas con mayor velocidad, ya que la difusión de momentum comienza por esa frontera. Al

avanzar en la dirección vertical, se puede observar como el efecto de la placa en movimiento sobre el

fluido va disminuyendo hasta llegar a la velocidad cero del fluido en reposo. En la parte derecha se

muestra la escala geométrica para estimar el espesor de la capa cortante, apreciando un valor de

aproximadamente δc=0.007 m. Comparando este resultado con la gráfica de la solución exacta de la

Figura 5, se puede notar que este valor coincide perfectamente con el espesor de capa de corte

marcado por la gráfica para un tiempo de t=20 s.

Figura 11. Contornos de velocidad obtenidos de la solución numérica al primer problema de Stokes

utilizando aire a 25 °C y 101.325 kPa para un tiempo de t=100 s.

En la Figura 11 se muestran los resultados de la simulación del primer problema de Stokes para un

tiempo de t=100 s, como puede observarse se obtuvo el resultado esperado de que el espesor de la

capa de corte aumentará. Comparando el espesor aproximado de la Figura 11 de δc=0.016 m con el

reportado en la Figura 6, se comprueba que ambos resultados coinciden aceptablemente.

Con estos resultados, se comprueba que los resultados obtenidos de la simulación numérica del

primer problema Stokes se aproximan bastante bien a aquellos reportados en la solución exacta a

manera de validación del modelo numérico y nos ofrecen un enfoque más general y sencillo para la

solución de las ecuaciones de Navier-Stokes.

15

6. Conclusiones

A través del presente trabajo se resolvió de manera analítica y numérica el primer problema de

Stokes. Para la solución analítica se utilizó el método de similitud debido a que las condiciones del

problema lo permitían, llegando a una solución adimensional utilizando la función error para el caso

en que la placa repentinamente cesaba su movimiento y el complemento de la función error para el

caso en que la placa se ponía en movimiento a partir del reposo. Los resultados obtenidos

demostraron que la velocidad para las capas de fluido adyacentes a la placa aumentaba conforme se

disminuía la distancia vertical hasta llegar a la velocidad de la placa. También se mostró el efecto de

la viscosidad cinemática en el espesor de la capa de corte comparando los resultados para agua y aire

a las mismas condiciones, se observó que para viscosidades cinemáticas relativamente altas el

espesor de la capa de corte aumentaba proporcionalmente a la raíz cuadrada de esta propiedad.

Para verificar los resultados del primer problema de Stokes a través de una solución numérica, se

modeló un dominio computacional en dos dimensiones estableciendo dimensiones los

suficientemente grandes para aproximar la solución a la del dominio infinito. Los resultados

obtenidos mostraron un perfecto ajuste con aquellos obtenidos de la solución exacta para aire en t=20

s y t=100 s, validando así el modelo numérico. Esto demuestra que la dinámica de fluidos

computacional representa un excelente opción para analizar un sin número de situaciones en las

cuales una solución exacta no puede ser desarrollada.

7. Referencias

[1] Riesco Ávila J.M. “Apuntes de dinámica de fluidos avanzada I”, Universidad de Guanajuato.

Capítulo II, p. 30.

[2] Currie I.G. “Fundamental mechanics of fluids”, 3rd

ed, Marcel Dekker Inc, 2003-

[3] Wylie C.R., Barret C.L., “Advanced Engineering Mathematics”. 6th ed, Mc-Graw Hill, 1995.

[4] Spiegel M. “Applied Differential equations”, 3rd

ed, Prentice Hall, 1983.

[5] “Error function table". Obtenido el 25 de Noviembre de 2011 de: http://www.eas.uccs.edu/wickert/ece3610/lecture_notes/erf_tables.pdf

[6] White F.M. “Viscous fluid flow”. Mc-Graw Hill, New York, 1974.