deficiency penaksir parameter pada distribusi gamma
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
i
DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA
oleh
ANIS TELAS TANTI
M0106003
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2012
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
SKRIPSI
DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA
yang disiapkan dan disusun oleh
ANIS TELAS TANTI
M0106003
dibimbing oleh
Pembimbing I
(Drs. Sugiyanto, M.Si) NIP. 19611224 199203 1 003
Pembimbing II
(Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom) NIP. 19750120 200812 2 001
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari kamis, tanggal 5 Januari 2012
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Dr. Sri Subanti, M.Si 1.
NIP. 19581031 198601 2 001
2. Drs. Sutrima, M.Si 2.
NIP. 19661007 199302 1 001
Surakarta, Januari 2012 Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan
Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc, (Hons)., Ph.D.
NIP. 19610223 198601 1 001
Ketua Jurusan Matematika
Irwan Susanto, DEA.
NIP. 19710511 199512 1 001
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
ABSTRAK
Anis Telas Tanti, 2012. DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA
DISTRIBUSI GAMMA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Sebelas Maret.
Sebuah penaksir merupakan fungsi dari sampel data yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Ada dua jenis penaksir yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Tingkat keakurasian penaksir titik dalam menaksir bergantung pada besarnya ukuran sampel. Deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel besar, yang digunakan untuk membandingkan dua buah penaksir yang berbeda. Deficiency dicari dengan menggunakan MSE dari kedua penaksir. Penaksir yang dipilih adalah maximum likelihood estimator (MLE) dan uniformly minimum variance unbiased (UMVUE). Hal ini dikarenakan kedua penaksir dapat diasumsikan identik jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah �.
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan deficiency pada distribusi gamma, yang merupakan anggota dari distribusi keluarga eksponensial pada sampel berukuran besar.
Untuk menentukan deficiency penaksir pada distribusi gamma, langkah-langkah yang ditempuh adalah menentukan taksiran parameter dengan menggunakan MLE dan UMVUE. Kemudian menentukan MSE dari MLE dan UMVUE. Selanjutnya mengurangkan MSE dari MLE terhadap MSE dari UMVUE sehingga diperoleh deficiency penaksir parameter pada distribusi gamma.
Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh deficiency penaksir dari MLE terhadap UMVUE pada distribusi gamma. Deficiency yang diperoleh merupakan hasil selisih MSE pada MLE dan UMVUE. Nilai deficiency bergantung pada nilai parameter dari distribusi gamma.
Kata kunci: Deficiency, Distribusi Gamma, MLE, UMVUE.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
ABSTRACT
Anis Telas Tanti, 2012. DEFICIENCY OF PARAMETER ESTIMATION IN
GAMMA DISTRIBUTION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret
University.
Estimator is a function of sample data that used to estimate unknown parameter of population. There are two kinds of estimator, it is point estimator and interval estimator. In point estimation, level of accuracy depend on sample size. Deficiency is a part of large-sample theory, that used to compare of two different estimator. Deficiency can be found using MSE from two estimators. Estimators that selected are maximum likelihood estimator (MLE) and uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE). They are selected because they can be assumed identic if natural parameter of exponential family distribution is θ.
The purpose of this research is to determine deficiency on gamma distribution, which a kind of an exponential family distribution on large sample.
Determining deficiency of estimator on gamma distribution will be solved using 3 steps. First, estimating parameter for gamma distribution using MLE and UMVUE. Second, determining MSE from MLE and UMVUE. The last step is determining different value from MSE of MLE with MSE of UMVUE, such that it can be obtained deficiency of estimator on gamma distribution.
The result shows that it can be obtained deficiency of MLE with UMVUE on gamma distribution. It is obtained from different value of MLE and UMVUE. Deficiency value depend on parameter value from gamma distribution.
Keywords: deficiency, gamma distribution, MLE, UMVUE.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayahNya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si, sebagai dosen pembimbing I yang telah
memberikan bimbingan, nasehat dan pengarahan dalam penyusunan
skripsi ini.
2. Ibu Titin Sri Martini, S.Si, M.Kom, sebagai dosen pembimbing II yang
telah memberikan bantuan dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.
3. Kedua orang tua dan kakak penulis atas doa dan dukungannya sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
4. Nugroho Arif Sudibyo dan Lee Jemy yang telah membantu dan memberi
semangat penulis menyelesaikan skripsi ini.
5. Seluruh rekan-rekan angkatan 2006 yang telah menemani berjuang
menyelesaikan skripsi ini.
6. Semua pihak yang telah membantu dan mendukung terselesaikannya
skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Januari 2012
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
PENGESAHAN .................................................................................................. ii
ABSTRAK .......................................................................................................... iii
ABSTRACT .......................................................................................................... iv
KATA PENGANTAR ........................................................................................ v
DAFTAR ISI ....................................................................................................... vi
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 2
1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 2
1.5 Manfaat Penelitian .................................................................................. 2
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 3
2.1 Tinjauan Pustaka ..................................................................................... 3
2.2 Teori-Teori Penunjang ............................................................................ 3
2.2.1 Konsep Dasar Statistika ................................................................ 4
2.2.2 Konsep Big-O dan Little-o ............................................................ 4
2.2.3 Distribusi Gamma ......................................................................... 5
2.2.4 Maximum Likelihood Estimator .................................................... 6
2.2.5 UMVUE ........................................................................................ 7
2.2.6 Momen .......................................................................................... 8
2.2.7 Distribusi Keluarga Eksponensial ................................................. 8
2.2.8 Ekspansi Taylor ............................................................................. 9
2.2.9 Konsep Deficiency ........................................................................ 9
2.3 Kerangka Pemikiran ................................................................................ 10
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................ 11
BAB IV PEMBAHASAN .................................................................................. 12
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
4.1 Deficiency Penaksir pada Distribusi Keluarga Eksponensial ................. 12
4.1.1 Penentuan MSE pada Penaksir Maksimum Likelihood ................. 16
4.1.2 Penentuan MSE pada UMVUE ...................................................... 19
4.1.3 Deficiency dari MLE terhadap UMVUE ....................................... 21
4.2 Estimasi Parameter pada Distribusi Gamma ........................................... 22
4.3 Deficiency Penaksir pada Distribusi Gamma ......................................... 26
BAB V PENUTUP ............................................................................................. 29
5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 29
5.2 Saran ........................................................................................................ 29
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 30
DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................... 31
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sampel data
observasi yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak
diketahui. Ada dua jenis penaksir yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Dalam
penaksiran titik, suatu parameter ditaksir dengan menggunakan satu bilangan saja.
Misalnya menaksir parameter-parameter �, �, dan � dengan menggunakan
statistik-statistik �̅, �, atau ��.
Pada umumnya, probabilitas suatu penaksiran titik untuk tepat sekali sangat
kecil dan ketidakakurasian sebuah penaksir dalam menaksir disebut fungsi resiko.
Fungsi resiko dalam setiap penaksiran besarnya berbeda-beda, bergantung pada
ukuran sampel. Biasanya semakin besar ukuran sampel yang digunakan maka
resikonya pun akan semakin kecil. Hal ini dikarenakan semakin besar ukuran
sampel maka informasi yang diperlukan untuk menaksir semakin tersedia.
Pembahasan deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel
besar yaitu membandingkan dua metode penaksir pada sampel berukuran besar.
Konsep deficiency sendiri diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann (1970), konsep
ini diperluas oleh Gudi & Nagnur (2004) yang meneliti deficiency antara penaksir
tak bias yang saling asymptotically efficient pada distribusi keluarga eksponensial
satu parameter. Penaksir yang dipilih adalah maximum likelihood estimator
(MLE) dan uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE).
Menurut Greenwood & Nikulin (1996), secara umum MLE dan UMVUE
merupakan dua buah penaksir yang berbeda, namun kedua penaksir ini dapat
diasumsikan identik jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial
adalah . Karena adanya asumsi identik tersebut, maka dapat ditentukan
deficiency dari kedua penaksir dengan membandingkan nilai MSE-nya. Menurut
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2
Gudi & Nagnur (2004), MSE dari kedua penaksir diperoleh pada order di atas
��, dimana n adalah ukuran sampel.
Peneliti tertarik untuk melanjutkan hasil dari Gudi & Nagnur (2004), yaitu
menentukan deficiency penaksir pada distribusi gamma yang merupakan anggota
dari distribusi keluarga eksponensial. Ide dari penentuan deficiency tersebut
adalah menentukan MSE dari MLE dan UMVUE. Selanjutnya MSE dari kedua
penaksir dibandingkan sehingga diperoleh deficiency.
1.2.Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah dapat disusun rumusan masalah yaitu
bagaimana menentukan deficiency dari MLE dan UMVUE pada distribusi
gamma.
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah menentukan deficiency
dari MLE dan UMVUE pada distribusi gamma.
1.4. Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini secara teoritis, dapat
menambah pengetahuan tentang fungsi resiko dalam setiap penaksiran sampel
berukuran besar, serta pengetahuan tentang estimasi parameter pada anggota
distribusi keluarga eksponensial. Secara praktis, diharapkan dapat menentukan
penaksir yang sesuai dengan distribusi data yang ada, serta dapat membandingkan
fungsi resiko dari penaksir yang digunakan sehingga menghasilkan suatu
kesimpulan yang bermanfaat.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
3
BAB II
LANDASAN TEORI
Bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi
penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini. Guna
mendukung penulisan skripsi ini penulis menyajikan teori-teori penunjang pada
bagian kedua yang berisi definisi-definisi sebagai dasar pengertian untuk
mempermudah pembahasan selanjutnya. Kerangka pemikiran yang menjelaskan
alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini diberikan pada bagian ketiga.
2.1 Tinjauan Pustaka
Konsep deficiency pertama kali diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann
pada tahun 1970. Kemudian, konsep ini diperluas oleh Gudi & Nagnur (2004)
yang meneliti deficiency antara penaksir tak bias yang saling asymptotically
efficient pada distribusi keluarga eksponensial satu parameter. Pada tahun 1920,
Rao menjelaskan tentang konsep deficiency pada estimator best asymptotically
normal (BAN).
Nomachi & Yamato (2001) juga melakukan penelitian terhadap perbedaan
asymptotic antara LB-stat, V-stat, dan U-stat dengan menggunakan deficiency.
Selanjutnya, Yuniar (2008) melakukan penelitian terhadap deficiency pada
distribusi geometris yang merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial
satu parameter.
2.2 Teori - Teori Penunjang
Pada bagian ini diberikan definisi dan teori yang mendukung dalam
mencapai tujuan penelitian. Berikut ini diberikan gambaran singkat mengenai
konsep dasar statistik, distribusi keluarga eksponensial, distribusi gamma,
UMVUE, MLE, momen, ekspansi Taylor, konsep deficiency, dan konsep little-oh
dan big-oh.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4
2.2.1 Konsep Dasar Statistik
Konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam penelitian
ini adalah ruang sampel, variabel random, fungsi kepadatan peluang dan harga
harapan. Lima definisi dan teorema dibawah ini diambil dari Bain & Engelhardt
(1992).
Definisi 2.2.1. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil observasi yang
mungkin dari suatu percobaan.
Definisi 2.2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan ruang
sampel S ke bilangan real, ��� � � dengan e merupakan hasil yang mungkin
dalam S.
Definisi 2.2.3. Variabel random X dikatakan variabel random kontinu jika
terdapat fungsi densitas probabilitas ���� sehingga fungsi distribusi kumulatif
dapat dinyatakan sebagai ���� � � ������� ��.
Teorema 2.2.1. Suatu fungsi ���� disebut fungsi kepadatan peluang untuk
variabel random kontinu X jika dan hanya jika memenuhi sifat
1. ���� � 0 untuk setiap x
2. � ������� �� � 1.
Definisi 2.2.4. Diberikan X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas
probabilitas ����. Harga harapan dari X dinyatakan dengan
���� � � �������.���
Definisi 2.2.5. Variansi dari variabel random X yang mempunyai harga harapan
���� adalah
���� � � �� ! �� �"��
� �� �� ! �� �"�.
2.2.2 Konsep Big-O dan Little-o
Menurut Binmore (1977), Big-O & Little-o merupakan hubungan kedua
fungsi ketika nilai kedua fungsi tersebut menuju tak hingga. Keduanya digunakan
untuk membandingkan nilai rata-rata dari dua fungsi yaitu ���� dan #���, dimana
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5
� mendekati ∞ atau 0. Penentuan Big-O & Little-o bergantung pada dua kasus
yang mendasari yaitu ketika � mendekati ∞ dan � mendekati 0. Binmore (1977)
memberikan definisi Big-O sebagai berikut
Definisi 2.2.6. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → ∞,
fungsi f merupakan O(g) jika terdapat konstanta ' % 0 dan �( % 0 sedemikian
hingga |*���|+��� , ' untuk semua � % �(.
Definisi 2.2.7. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → 0,
fungsi f merupakan O(g) jika terdapat konstanta ' % 0 dan �( % 0 sedemikian
hingga |*���|+��� , ' untuk semua � , �(.
Selanjutnya, Binmore (1977) juga menuliskan definisi tentang Little-o seperti
dalam definisi 2.2.8 dan definisi 2.2.9.
Definisi 2.2.8. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → ∞,
fungsi f merupakan o(g) jika -./�→� |*���|+��� � 0.
Definisi 2.2.9. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → 0,
fungsi f merupakan o(g) jika -./�→�0|*���|+��� � 0.
2.2.3 Distribusi Gamma
Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan distribusi gamma
yang mengacu pada Bain & Engelhardt (1992).
Definisi 2.2.10. Variabel random X yang berdistribusi gamma mempunyai fungsi
kepadatan peluang
���� � 1 2345�6� �6�2��� 37 ; � % 00; �:�#-�.; (2.1)
dengan < % 0 dan = % 0.
Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang diformulasikan pada definisi
berikut
Definisi 2.2.11. Fungsi gamma didefinisikan sebagai
�<� � � �6�2�����, @A@B< % 0.�( (2.2)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6
Menurut Bain & Engelhardt (1992), fungsi gamma memiliki 3 sifat penting
yaitu
1. Γ�C� � �C ! 1�Γ�C ! 1�, C % 1, 2. Γ�� � � ! 1�! , � 1,2, …, 3. Γ G2
�H � √Π. Berdasar 3 sifat penting tersebut dapat digunakan untuk menentukan harga
harapan dan variansi dari distribusi gamma yaitu
1. � �" � <=, 2. ��� �" � <=�.
2.2.4 Maximum Likelihood Estimator (MLE)
Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan maximum
likelihood estimator (MLE) yang mengacu pada Lehmann (1983).
Definisi 2.2.12. Jika fungsi kepadatan peluang bersama pada x1,....,xn
dinotasikan dengan ���2, ��, … , ��� maka fungsi likelihood dari himpunan
pengamatan x1,....,xn dinyatakan sebagai
K�� � ∏ ���M; � ��MN2 ���2; �����; � …����; �
dengan parameter yang tidak diketahui.
Definisi 2.2.13. Misalkan K�� merupakan fungsi likelihood suatu himpunan
pengamatan �2, ��, … , ��, dengan merupakan parameter yang tidak diketahui,
maka harga O dalam ruang parameter P yang memaksimumkan K�� disebut
sebagai MLE dari dan dinyatakan sebagai
�Q�2, ��, … , ��; OR � /�B�S∈U ���2, ��, … , ��; �.
Untuk memaksimumkan K�� harus ditentukan nilai - K�� yang
merupakan fungsi naik. Sehingga
- KQO; �2, ��, … , ��R �/�B�S∈U - K�; �2, ��, … , ���.
MLE dari diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
� - K��� � 0.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
7
Jika ada k parameter yang tidak diketahui, maka MLE dari M diperoleh
dengan menyelesaikan
V - K�2, �, … , W�VM � 0; . � 1,2,3, … , B. Definisi 2.2.14. Jika O adalah suatu MLE dari suatu sampel acak �2, ��, … , ��
maka penaksir tersebut dikatakan Asymptotically Efficient pada ukuran sampel
tak hingga dan memenuhi kondisi
√QO ! R → Y G0, 2Z�S�H
dimana [�� adalah informasi Fisher yang memenuhi 0 , [�� , ∞.
Teorema 2.2.2. Sifat invarians dari MLE adalah jika O adalah MLE dari dan
jika g() adalah fungsi dari maka #�O� adalah MLE dari #��.
2.2.5 Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator (UMVUE)
Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan uniformly minimum
variance unbiased estimator (UMVUE) yang mengacu pada Lehmann (1983).
Definisi 2.2.15. Misalkan #�� adalah suatu fungsi yang terestimasi (estimable)
dari suatu sampel acak 2, �, … , � iid �S, ∈ Ω. Penaksir tak bias
]� 2, �, … , �� dari #�� disebut UMVUE jika ∀ ∈ Ω, berlaku
_��Q]� 2, �, … , ��R ` _�� G]a� 2, �, … , ��H
untuk setiap penaksir tak bias ]a lainnya.
UMVUE dapat ditentukan dengan mencari statistik cukup untuk keluarga
�S, ∈ Ω dan mengkondisikan setiap penaksir tak bias padanya seperti yang
ditunjukkan oleh definisi berikut
Definisi 2.2.16. Misalkan ]� 2, �, … , �� adalah tak bias untuk suatu fungsi
#�� dan T adalah statistik cukup untuk keluarga �S, ∈ Ω, maka
b� 2, �, … , �� � ��]� 2, �, … , ��|c�
adalah UMVUE untuk #��.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
8
2.2.6 Momen
Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan momen yang
mengacu pada Bain & Engelhardt (1992).
Definisi 2.2.17. Misalkan 2, �, … , � merupakan sebuah sampel acak
berukuran n dan didefinisikan k buah momen sekitar rata-rata sampel pertama
sehingga
/dA � 1 e�Mf�
MN2 , A � 1,2, … , B.
Penentuan k buah momen sekitar rata-rata populasi pertama dirumuskan
sebagai berikut
�dA � �� f�. Secara umum, momen populasi �dA merupakan fungsi dari k buah parameter
yang tidak diketahui. Dengan menyamakan momen sampel dan momen populasi
akan menghasilkan k buah persamaan dalam k buah parameter yang tidak
diketahui f, yaitu
/dA � �dA; A � 1,2, … , B. Solusi dari persamaan di atas dinotasikan dengan O2, O�, … , OW menghasilkan
penaksir momen untuk 2, �, … , W .
2.2.7 Distribusi Keluarga Eksponensial
Berikut ini diberikan penjelasan yang berhubungan dengan distribusi
keluarga eksponensial yang mengacu pada Lehmann (1983).
Suatu fungsi kepadatan peluang (fkp) termasuk ke dalam distribusi keluarga
eksponensial, jika fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk
f�x; θ� � exp ∅2�θ�T�x� n ∅��θ� n Q�x�" ; x ∈ p, θ ∈ Ω (2.3)
dengan, θ adalah parameter natural dan Ω adalah ruang parameter.
Berdasar persamaan (2.3) di atas, T(x) merupakan statistik cukup untuk
distribusi keluarga eksponensial. Persamaan (2.3) tidak unik karena nilai T(x)
dapat diganti dengan T(x)/c atau secara umum dapat dibuat transformasi linear
dari T(x).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
9
2.2.8 Ekspansi Taylor
Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan ekspansi Taylor
yang mengacu pada Purcell (2003).
Definisi 2.2.18. Misalkan f(x) sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval
terbuka a, maka f analitik pada a jika �W��� ada untuk semua k, ekspansi Taylor
didefinisikan sebagai berikut
���� � ∑ *r�s�W! �� ! ��W�WN( .
Aproksimasi Taylor ke-n secara umum dapat dituliskan
���� � ∑ *r�s�W! �� ! ��W�WN( , untuk semua x mendekati a.
Jadi aproksimasi Taylor orde pertama dapat dituliskan
���� � ���� n �d����� ! �� , untuk semua x mendekati a.
Dan aproksimasi Taylor orde kedua dapat dituliskan
���� � ���� n �� ! ���d��� n ���s�t�! �dd���, untuk semua x mendekati a.
2.2.9 Konsep Deficiency
Berikut ini diberikan penjelasan yang berhubungan dengan konsep
deficiency yang mengacu pada Lehmann (1970).
Metode A adalah penaksir titik yang memiliki ukuran sampel n dan
expected squared errors yang dinotasikan ��. Sedangkan metode B adalah
penaksir titik yang memiliki ukuran sampel besar yaitu B� dan expected squared
errors yang dinotasikan ��′. Ukuran sampel n pada metode A dianggap ekuivalen
dengan ukuran sampel B � B� pada metode B sedemikian hingga �W′ sama
dengan ��. Secara identik �� dan ��′ berbentuk
�� � v�w n s
�wxy n z� 2�wxy� (2.4)
dan
��′ � v�w n {
�wxy n z� 2�wxy� (2.5)
dengan r > 0.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
10
Diberikan kn adalah penyelesaian persamaan �W|d � �� dimana → ∞,
�� → 0 maka �W|′ → 0 dan B� → ∞, dengan persamaan (2.4) dan (2.5)
ditunjukkan bahwa
2�w }1 n s~��2�
v� � � 2W|w 1 n {~��2�
vW| " sedemikian hingga,
B�/ → 1 (2.6)
dengan, B� � n �� maka persamaan (2.6) dapat ditulis kembali menjadi
1 n �|� � }1 n {~��2�v� �2/� }1 n s~��2�
vW| �2/� � 1 n {�v� ! {
�vW| n z G2�H. (2.7)
Berdasarkan persamaan (2.7) dapat ditunjukkan bahwa
�� → {�sv� . (2.8)
Persamaan (2.8) dinamakan asymptotic deficiency.
2.3 Kerangka Pemikiran
Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun kerangka pemikiran untuk
menyelesaikan masalah yang telah dirumuskan, tingkat keakurasian sebuah
penaksir dalam menaksir bergantung pada ukuran sampel. Jika semakin besar
ukuran sampel yang digunakan maka tingkat keakurasiannya semakin tepat.
Secara matematis, hasil dari penaksiran sampel besar berupa nilai limit. Oleh
karena itu diperlukan metode penaksir yang tepat. Deficiency merupakan bagian
dari pembahasan teori sampel besar. Deficiency dicari dengan menggunakan MSE
dari kedua buah penaksir. Penaksir yang dipilih adalah MLE dan UMVUE. Kedua
penaksir tersebut merupakan penaksir yang berbeda, namun dapat diasumsikan
identik, jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah .
Karena adanya asumsi identik dari kedua penaksir ini, maka dapat dibandingkan
mana dari kedua penaksir tersebut yang lebih deficient.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
11
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur yaitu
dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku dan jurnal
yang dapat mendukung pembahasan tentang deficiency penaksir parameter.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam menentukan deficiency penaksir
parameter adalah
1. Menentukan taksiran parameter dari distribusi gamma.
2. Menentukan MSE dari MLE pada distribusi gamma.
3. Menentukan MSE dari UMVUE pada distribusi gamma.
4. Menentukan deficiency pada distribusi gamma dengan menggunakan hasil
pengurangan dari langkah 3 terhadap langkah 4.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
12
BAB IV
PEMBAHASAN
Pembahasan deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel
besar. Konsep deficiency sendiri diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann.
Menurut Hodges & Lehmann (1970), deficiency adalah hasil dari membandingkan
mean square error (MSE) dari MLE dan UMVUE yang diperoleh pada order di
atas ��. Pembahasan disini mengacu pada Gudi & Nagnur (2004).
4.1 Deficiency Penaksir pada Distribusi Keluarga Eksponensial
Suatu fungsi kepadatan peluang (fkp) termasuk ke dalam distribusi keluarga
eksponensial jika fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk
���; � � exp ∅2��c��� n ∅��� n ����" , � ∈ �, ∈ Ω
dengan adalah paramater natural dan Ω adalah ruang parameter. Menurut Gudi
& Nagnur (2004), jika #�� adalah fungsi yang terestimasi (estimable) dari
variabel random 2, �, … , � iid terhadap distribusi keluarga eksponensial, maka
berlaku asumsi
b��C2′ �� n C�′ �� � 0 (4.1)
dengan C2′ �� % 0, untuk setiap ∈ Ω dan b�� adalah fungsi dari .
Jika c��� adalah statistik cukup untuk distribusi keluarga eksponensial
maka fungsi b�� diasumsikan sama dengan ��O�. Nilai c��� dapat berupa O
dengan O � 2� ∑ c��M��MN2 .
Menurut Zehna (1966), fungsi log likelihood pada distribusi keluarga
eksponensial adalah unimodal dan MLE yang merupakan fungsi dari O adalah
unik. Hal ini menyatakan bahwa #�O� adalah MLE dari #��, sedangkan ��O�
adalah UMVUE dari #��.
MLE #�O� dan UMVUE ��O� dapat diasumsikan identik yaitu #QOR ≡��O�, apabila parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah .
Hal ini diuraikan oleh Greenwood & Nikulin (1966). MLE dan UMVUE
merupakan penaksir yang saling asimtotically efficient sehingga berlaku √QO !
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
13
� → Y G0, 2Z�S�H, dengan [�� adalah informasi Fisher yang memenuhi 0 ,
[�� , ∞. Berdasarkan hasil dari Gudi & Nagnur (2004), nilai √QO ! R adalah
√QO ! R � ���S�√�Z n ���S�����S~�Z�
��/tZt n ���S�t�������S�����/tZ� n ���S�t}�����S���������S���
���/tZ� nz G��tH. (4.2)
Jika dimisalkan ekspektasi dari matrik informasi Fisher yaitu
�M� � � ��� ���*��;S��S �M ��t ���*��;S�
�S n [��� (4.3)
maka,
��-d��M-dd� n [��� � �M� .
Ekspektasi dari turunan ketiga fungsi log likelihood -�� adalah
� -ddd��" � !3� -d��-dd� n [�" ! � -d��"�. (4.4)
Menurut Gudi & Nagnur (2004), nilai 2Z memiliki turunan terhadap yaitu
��S G2
ZH � ���yy~��0Zt sehingga persamaan (4.4) menjadi
� -ddd��" � !�3�22 n ��(�. (4.5)
Selanjutnya, persamaan (4.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.2) dan
diperoleh
√QO ! R � ���S�√�Z n ���S�����S~�Z�
��/tZt n ���S�t���yy~��0����/tZ� n z G��tH.
Dari persamaan di atas dapat dicari pendekatan momen dari √QO ! R
pada order ke ��. Misalkan �M � ��O ! �M untuk . � 1,2,3,4 dan menggunakan
hasil pada Gudi (2004) diperoleh
1. �( � 1
2. �2 � ��O ! � � {�S�� � ! �yy~��0��Zt n z���� (4.6)
3. �� � ��O ! �� � 2�Z n �{��S�
�tZ n ��S��t n {�S�"t
�t n z���� (4.7)
4. �� � ��O ! �� � ! ���yy~���0���tZ� n z���� (4.8)
5. � � ��O ! � � ��tZt n z���� (4.9)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
14
dengan �2, ��, ��, � adalah momen pusat dari O, {�S�
� adalah order bias pertama
dari penaksir O, ¡′�� adalah turunan dari ¡�� terhadap , ¢�� adalah koefisien
dari �� pada varians dari penaksir O dan diberikan
¢�� � }��Z�0t��yyt�~ �yy~��0"t�Z£ �
sehingga,
_��QOR � �QO ! R� ! G�QO ! RH�. (4.10)
Selanjutnya, persamaan (4.6) dan (4.7) disubstitusikan ke dalam persamaan
(4.10) dan diperoleh variansi dari penaksir O yaitu
_��QOR � 2�Z n �{��S�
�tZ n ��S��t n z����. (4.11)
Berdasarkan definisi MSE oleh Johnson (2004) diketahui bahwa
¤¥�QOR � _��QOR n G¦.��QO, RH�. (4.12)
Persamaan (4.7) dan (4.11) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.12) diperoleh
¤¥�QOR � 2�Z n �{��S�
�tZ n ��S��t n {�S�"t
�t n z����.
4.1.1 Penentuan Mean Square Error dari MLE
Jika terdapat turunan dari #�O� dan ��O� pada ekspansi Taylor, maka dapat
diperlihatkan bahwa rangkaian ekspansi Taylor dari #�O� sebagai berikut
#QOR � #�� n +��S�QS§�SR2! n +���S�QS§�SRt
�! n +����S�QS§�SR��! n
+�����S�QS§�SR£
! n ⋯ (4.13)
dengan #M��, . � 1,2,3, … adalah turunan ke-i dari #�� terhadap . Menurut
Gudi & Nagnur (2004), order bias yang pertama, varians, dan MSE dari MLE
#QOR dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (4.13).
Lemma 4.1.1.
Order bias yang pertama dari penaksir #QOR adalah
��#QOR ! #��� � #d�� }! �yy���0��Zt � n #dd�� } 2��Z�
Bukti. Langkah pertama adalah mengambil ekspektasi pada kedua sisi dari
persamaan (4.13) diperoleh
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
15
��#QOR� � #�� n +��S���QS§�SR�2! n +���S��}QS§�SRt�
�! n +����S��}QS§�SR���! n
n +�����S�� QS§�SR£" ! n ⋯. (4.14)
Dengan mensubtitusi persamaan (4.6) hingga persamaan (4.9) pada
persamaan (4.14) yaitu
��#QOR� � #�� n #d�� }! ��yy~��0���Zt � n +���S�
� } 2�Z n �{��S�
�tZ n ��S��t n
{�S�"t�t � n +����S�
© }! ���yy~���0���tZ� � n +�����S�
� } ��tZt� n z����. (4.15)
Suku dengan order kurang dari z��2� pada persamaan (4.15) diabaikan
sehingga diperoleh
��#QOR� � #�� ! #d�� }��yy~��0���Zt � n +���S�
� } 2�Z� n z����. (4.16)
Sehingga, order bias pertama dari #QOR adalah
��#QOR ! #��� � {�+�S���
��#QOR ! #��� � #d�� }! ��yy~��0���Zt � n #dd�� } 2
��Z�. (4.17)
Untuk selanjutnya ��#QOR ! #��� ditulis {�+�S��
� .
Teorema 4.1.2.
Varians dari penaksir maksimum likelihood adalah
_���#QOR� � #d���_���QOR� ! #d��#dd�� }� �yy~���0��tZ� � n #dd��� } 2
��tZt� n#d��#ddd�� } 2
�tZt� n z����.
Bukti. Berdasar definisi varians yang dijelaskan oleh Bain & Engelhardt (1992)
diketahui bahwa
_���#QOR� � � }#QOR ! ��#QOR���.
Setelah diketahui rumus varians secara umum, langkah pertama yang harus
dilakukan adalah mengurangi persamaan (4.13) oleh persamaan (4.16) yaitu
}#QOR ! ��#QOR��=�+��S�QS§�SR2 n +���S�QS§�SRt
� n +����S�QS§�SR�© n +�����S�QS§�SR£
� n⋯� n #d�� }��yy~��0�
��Zt � ! +���S�� } 2
�Z� n z����. (4.18)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
16
Selanjutnya mengambil ekspektasi pada kedua sisi pada persamaan (4.18),
dan diperoleh
� }#QOR ! ��#QOR��=�+��S�� QS§�SR"2 n +���S�� QS§�SRt"
� n +����S�� QS§�SR�"© n
+�����S�� QS§�SR£"� n ⋯� n #d�� }��yy~��0�
��Zt � ! +���S�� } 2
�Z� n z����. (4.19)
Kemudian persamaan (4.19) dikuadratkan kedua sisinya dan dilakukan
penyederhanaan, dengan mensubstitusi nilai-nilai �M, . � 1,2,3,4, …, yang
merupakan pendekatan momen pada order di atas �� sehingga persamaan (4.19)
menjadi
_���#QOR� � #d��� } 2�Z n �{��S�
�tZ n ��S��t � ! #d��#dd�� }� �yy~���0�
�tZ� � n#dd��� } 2
��tZt� n #d��#ddd�� } 2�tZt� n z����. (4.20)
Menurut definisi MSE oleh Johnson (2004) diperoleh nilai MSE dari #QOR yaitu
¤¥��#QOR� � _���#QOR� n G{�+�S��� H�
¤¥��#QOR� �#d��� } 2
�Z n �{��S��tZ n ��S�
�t n ��yy~��0�t �tZt � ! Q#d��#dd��R }� �yy~���0�
�tZ� n��yy~��0�
��tZ� � n #dd��� } 2��tZt n 2
�tZt� n #d��#ddd�� } 2�tZt� n z����. (4.21)
4.1.2 Penentuan Mean Square Error dari UMVUE
Misalkan �QOR adalah UMVUE dari #��, dengan asumsi �QOR konvergen
terhadap ekspansi Taylor, sehingga
�QOR � ��� n ª��S�QS§�SR2! n ª���S�QS§�SRt
�! n ª����S�QS§�SR��!
n ª�����S�QS§�SR£ ! n ⋯ (4.22)
dengan �M��, . � 1,2,3, … adalah turunan ke-i dari ��� terhadap . Menurut
Gudi & Nagnur (2004), perhitungan MSE dari �QOR dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan (4.22).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
17
Teorema 4.1.3.
Mean Square Error (MSE) dari �QOR adalah
¤¥���QOR� � #d��� G 2�Z n ��S�
�t H ! #d��#dd�� G�yy~��0�tZ� H n #dd��� G 2��tZtH n
z����. Bukti. Mean Square Error (MSE) dari �QOR adalah
¤¥���QOR� � _����QOR� � ���QOR ! #����
� ��Q�QOR ! ���R n Q��� ! #��R��. (4.23)
Karena �QOR adalah penaksir tak bias dari #��, sehingga persamaan (4.23)
menjadi
¤¥���QOR� � � �G�QOR ! ���H�� ! ��� ! #��"�. (4.24)
Berdasar hasil pengurangan dari persamaan (4.22) terhadap ��� diperoleh
��QOR ! ���� � ª��S�QS§�SR2 n ª���S�QS§�SRt
� n ª����S�QS§�SR�©
n ª�����S�QS§�SR£� n ⋯. (4.25)
Selanjutnya, kedua sisi pada persamaan (4.25) dikuadratkan dan diambil
ekspektasinya. Sehingga diperoleh nilai dari ���QOR ! ����� adalah
���QOR ! ����� � �d����� n �d���dd���� n Gª���S�t n ª��S�ª����S�
� H � nz����. (4.26)
Karena �QOR adalah penaksir tak bias dari #��, maka dengan mengambil
ekspektasi pada kedua sisi dari persamaan (4.25) diperoleh
#�� ! ���" � �d���2 n ª���S�� �� n ª����S�QS§�SR�
© �� n ª�����S�� �
nz����. (4.27)
Persamaan (4.27) disubstitusi dengan persamaan (4.6) hingga persamaan
(4.9) yaitu
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
18
#�� ! ���" � �d�� G{�S�� H n ª���S�
� G 2�Z n �Q{��S�R
�tZ n ��S��t n �{�S��t
�t H nª����S�
© «!G��yy~���0��tZ� H¬ n ª�����S�� G 2
�tZtH n z����. (4.28)
Langkah selanjutnya adalah menurunkan persamaan (4.28) dan
mengabaikan order diatas z���� diperoleh
#′�� ! �′��" � �d�� G{d�S�� H n �dd�� G{�S�
� ! ���yy~��0���Zt H n �ddd�� G 2
��ZH nz���� (4.29)
dengan catatan, ��S G2
ZH � ! ���yy~��0�Zt .
Berdasar persamaan (4.25) nilai dari {�S�
� adalah ! ��yy~��0���Zt n z����,
maka persamaan (4.29) menjadi
�d�� � #d�� n �dd�� �3�22 n 2��(�2[� ® ! �ddd�� « 1[¬ ! �d��¡d��
nz����. (4.30)
Persamaan (4.30) diturunkan terhadap sehingga diperoleh
�dd�� � #dd�� n z��2� (4.31)
�ddd�� � #ddd�� n z��2�. (4.32)
Kemudian persamaan (4.28) dikuadratkan menjadi
#�� ! ���"� � #d��� G��yy~��0�t �tZ£ H n +���S�t
�tZt ! #d��#dd�� G�yy~��0��tZ� H nz����. (4.33)
Hasil dari (4.30) hingga (4.32) disubstitusi dengan hasil pada (4.6) hingga
(4.9) maka persamaan (4.26) menjadi
���QOR ! ����� � #d��� G 2�Z n ��S�
�t n �{�S��t�t H n +��S�+���S�
��tZ� Q!3��22 n��(�R n #dd��� G �
�tZtH n z����. (4.34)
Selanjutnya persamaan (4.33) dan (4.34) disubstitusi ke dalam persamaan
(4.24) menjadi
¤¥���QOR� � #d��� G 2�Z n ��S�
�t H ! #d��#dd�� G�yy~��0�tZ� H n #dd��� G 2��tZtH n
nz����. (4.35)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
19
4.1.3 Deficiency dari MLE terhadap UMVUE
Setelah diperoleh hasil ¤¥��#QOR� dan ¤¥���QOR� maka dapat dicari nilai
dari deficiency. Berikut akan ditunjukkan nilai deficiency dari MLE terhadap
UMVUE yang dinyatakan oleh Gudi & Nagnur (2004).
Teorema 4.1.4.
Deficiency dari MLE #QOR terhadap UMVUE �QOR ditunjukkan sebagai berikut
��#QOR, �QOR� � ! }��yy~¯��0�Zt � +���S�+��S� n 2
Z �+����S�+��S� n 2
�+���S�+��S����
n 2¡d�� n [ ¡��"�".
Bukti. Menurut Gudi & Nagnur (2004), deficiency dari MLE terhadap UMVUE
dapat dicari dengan cara mengurangkan ¤¥��#QOR� pada persamaan (4.21)
dengan ¤¥���QOR� pada persamaan (4.35), sehingga diperoleh
��#QOR, �QOR� � ¤¥��#QOR� ! ¤¥���QOR� ��#QOR, �QOR� � ! }���yy~¯��0�
�Zt � +���S�+��S� n 2
Z �+����S�+��S� n 2
�+���S�+��S���� n �2¡d�� n
[ ¡���"�. (4.36)
Deficiency MLE terhadap UMVUE dapat disimpulkan dari persamaan (4.36)
yaitu
��#QOR, �QOR� � ! }��yy~¯��0�Zt � +���S�+��S� n 2
Z �+����S�+��S� n 2
�+���S�+��S����
n 2¡d�� n [ ¡��"�". (4.37)
Jika,
#2�� � �+���S�+��S��
#��� � �+����S�+��S� n 2
�+���S�+��S���� � }+����S�
+��S� n 2 °#2��±��
dan
#��� � 2¡d�� n [ ¡��"�" maka persamaan (4.37) dapat ditulis sebagai berikut
��#QOR, �QOR� � ! }��yy~¯��0�Zt � #2�� n +t�S�Z n #���. (4.38)
Berdasarkan persamaan (4.38), #��� menunjukkan bias pada penaksir
maksimum likelihood.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
20
4.2 Estimasi Parameter pada Distribusi Gamma
Para peneliti ingin membuat keputusan yang berkaitan dengan nilai numerik
suatu parameter populasi untuk mendapatkan keputusan tentang besar nilai-nilai
parameter populasi berdasarkan data sampel, oleh karena itu digunakan sebuah
proses yang disebut penaksiran.
Suatu estimasi titik dari suatu parameter populasi adalah suatu nilai
tunggal dari suatu titik O. Sehingga dapat dilakukan estimasi dengan berbagai
metode yang telah tersedia. Metode yang digunakan dalam estimasi parameter
dari distribusi gamma adalah MLE dan UMVUE. MLE adalah suatu metode
statistik yang populer digunakan untuk menentukan estimasi titik sebuah
parameter. Sedangkan dalam statistik yang disebut UMVUE adalah penaksir tak
bias yang memiliki nilai variansi paling kecil jika dibandingkan penaksir tak bias
lainnya untuk semua nilai yang mungkin dari parameter.
Fungsi kepadatan peluang dari distribusi gamma dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut
���|, <� � 2S45�6� �6�2��� S7 .
Parameter dalam persamaan tersebut diestimasi dengan menggunakan MLE.
Estimasi terlebih dahulu dilakukan dengan membentuk fungsi likelihood yang
menyatakan fungsi probabilitas bersama dari M. Jika diberikan n buah pengamatan untuk setiap grup i, misalkan � M� untuk
. � 1,2, … , , maka fungsi densitas probabilitas untuk setiap pengamatan pada
setiap grup i dari distribusi gamma dinyatakan sebagai
���M|, <� � 16Γ�<� �M6�2���² S7 . Setiap pengamatan pada setiap grup i diasumsikan saling independen.
Fungsi likelihood diperoleh dari perkalian masing-masing fungsi kepadatan
peluang setiap pengamatan. Hal ini dinyatakan dengan
K��M|, <� � ³���M|, <��
MN2
� ∏ �²4´yµ´¶²/·S45�6��MN2
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
21
� Γ�<�"����6 exp G! ∑ �²|²¸yS H∏ �M6�2�MN2
dan fungsi log likelihoodnya adalah
-�, <� � ln K��M|, <� � ln » Γ�<�"����6 exp!∑ �M�MN2 ®³�M6�2�
MN2¼
-�, <� � ! ln Γ�<� ! < ln n �< ! 1�∑ ln �M�MN2 ! ∑ �²|²¸yS . (4.39)
Persamaan (4.39) memuat parameter yang akan diestimasi. Parameter
tersebut adalah dan <. Estimasi yang dilakukan pertama adalah estimasi
terhadap parameter . Langkah awal untuk mengestimasi adalah mencari
turunan pertama dari persamaan (4.39) terhadap , yaitu
���S,6�
�S � ���S,6��S }! ln Γ�<� ! < ln n �< ! 1�∑ ln �M�MN2 ! ∑ �²|²¸yS �
� ! �6S n ∑ �²|²¸ySt . (4.40)
Langkah selanjutnya adalah memaksimumkan fungsi log likelihood pada
persamaan (4.39) dengan menyamakan persamaan (4.40) dengan 0 yakni
V-�, <�V � 0
! �6S n ∑ �²|²¸ySt � 0
sehingga,
∑ �²|²¸ySt � �6
S
∑ �²|²¸y�6 � O. (4.41)
Setelah mengestimasi parameter , estimasi dilakukan untuk parameter <
dengan MLE. Langkah awal untuk mengestimasi parameter < adalah mencari
turunan pertama dari persamaan (4.39) terhadap <, yaitu
���S,6�
�6 � ���S,6��6 }! ln Γ�<� ! < ln n �< ! 1�∑ ln �M�MN2 ! ∑ �²|²¸yS �
� ! 5��6�5�6� ! ln n ∑ ln �M�MN2 . (4.42)
Langkah selanjutnya adalah memaksimumkan fungsi turunan pada
persamaan (4.42) dengan menyamakan persamaan tersebut dengan 0, yakni
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
22
! 5��6�5�6� ! ln n ∑ ln �M�MN2 � 0. (4.43)
Fungsi 5��6�5�6� pada persamaan tersebut sulit untuk diselesaikan sehingga
metode yang digunakan untuk menyelesaikannya adalah dengan mensubstitusikan
persamaan (4.41) ke dalam persamaan (4.43) yakni
! 5��6�5�6� ! ln ∑ �²|²¸y�6 n ∑ ln �M�MN2 � 0
! 5��6�5�6� ! ln∑ �M�MN2 ! ln < n ∑ ln �M�MN2 � 0
5��6�5�6� n ln < � ∑ ln �M�MN2 ! ln∑ �M�MN2 . (4.44)
Persamaan (4.41) merupakan hasil estimasi dari distribusi gamma dengan
menggunakan MLE dimana nilai <½ diperoleh dari penyelesaian persamaan (4.44).
Setelah diperoleh estimasi O dengan MLE, selanjutnya akan dicari UMVUE
untuk parameter . Penentuan UMVUE dari , yang terlebih dahulu dilakukan
adalah menentukan nilai dari
�+��S��t
���� ¾t¾·t �¿ *��|S,6�� (4.45)
kemudian dibuktikan bahwa estimator O adalah estimator tak bias.
Jika estimator O adalah estimator tak bias maka langkah selanjutnya adalah
menentukan variansi dari estimator O. UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak
bias mencapai batas bawah variansi.
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), batas bawah Rao Cramer atau Cramer
Rao Lower Bound (CRLB) untuk variansi O adalah
_��QOR � �+��S��t���� ¾t
¾·t �¿*��|S,6�� , #�� � , #d�� � 1. (4.46)
Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan turunan kedua dari
fungsi log likelihood pada persamaan (4.39), diperoleh
�t�St -�, <� � 6
St ! ��S�. (4.47)
Kedua sisi pada persamaan (4.47) diambil ekspektasinya dan diperoleh
� } �t�St -�, <�� � � } 6
St ! ��S��
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
23
� } �t�St -�, <�� � ! 6
St. (4.48)
Selanjutnya adalah mensubstitusikan persamaan (4.48) ke dalam persamaan
(4.45), dimana nilai #d�� � 1 ,sehingga diperoleh
�+��S��t
���� ¾t¾·t �¿ *��|S,6�� � 2
��G� 4·tH � St�6.
Berdasarkan persamaan (4.41), akan dilakukan pembuktian terhadap
ketakbiasan estimator O. Estimator O dikatakan tak bias apabila �QOR � yaitu
�QOR � � G∑ �²|²¸y�6 H � 26 � G∑ �²|²¸y� H � . (4.49)
Karena �QOR � memenuhi syarat estimator tak bias maka O adalah
estimator tak bias. Langkah selanjutnya adalah membuktikan bahwa estimator tak
bias O mencapai batas bawah variansi yaitu
_���O� � �+��S��t���� ¾t
¾·t �¿*��|S,6��
dengan, nilai _��QOR � _�� G∑ �²|²¸y�6 H � 26t _����̅� � St
�6 sehingga dapat
dibuktikan bahwa
_���O� � �+��S��t���� ¾t
¾·t �¿*��|S,6��
St�6 � St
�6. (4.50)
Berdasarkan pembuktian yang diperoleh pada persamaan (4.49) dan
(4.50), terbukti bahwa estimator O � ∑ �²|²¸y�6À merupakan UMVUE dari .
4.3 Deficiency Penaksir pada Distribusi Gamma
Anggota distribusi keluarga eksponensial yang digunakan dalam penulisan
ini adalah distribusi gamma. Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi
gamma jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk
���; , <� � 2S45�6� �6�2��� S7 , � % 0, < % 0, % 0. (4.51)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
24
Distribusi gamma merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial bila
fungsi kepadatan peluang distribusi gamma pada persamaan (4.51) dapat
dinyatakan sebagai berikut
���; , <� � exp }! �S n �< ! 1� log � ! < log ! log �<�� . (4.52)
Berdasarkan persamaan (4.52) diketahui statistik cukup yang lengkap
berdasar pada suatu sampel berukuran n untuk distribusi keluarga eksponensial
adalah c � ∑ M�MN2 dengan
∅2�� � ! 2S; ∅��� � !< log ! log Γ�<�; c��� � �; ���� � �< ! 1� log �
dan,
∅2′�� � 2St;∅�′�� � ! 6
S;∅2dd�S� � ! �S�. (4.53)
Selanjutnya, persamaan (4.53) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1) sehingga
diperoleh
b�� � }! ∅td�S�∅yd�S�� � Ã! �4·y·t Ä � <; bd�� � < ; bdd�� � 0. (4.54)
Ekspektasi dari statistik cukup T(x) yaitu,
� c���" � �c��� exp ∅2��c��� n ∅��� n ����" ��
� b�� � <
� c���"� � �c���� exp ∅2��c��� n ∅��� n ����" ��
� b��� n Å��S�∅yd�S� � <�� n 6y·t � <�� n <�
� c���"� � �c���� exp ∅2��c��� n ∅��� n ����" ��
� b��� n �Å�S�Å��S�∅yd�S� ! Å��S�∅ydd�S�
Q∅yd�S�R� n Å���S�Q∅yd�S�Rt
� <�� n 3<�� n 2<�
� �<� n 3<� n 2<��
dan,
[ � � Ã! �t�St log ���; , <�"Ä � ∅2d�S�Å��S� � 6
St. (4.55)
Persamaan sebelumnya disubstitusikan ke dalam persamaan (4.4) diperoleh
�M� � Q∅2′��RMQ∅2′′��R�� c��� ! b��"M~�, untuk setiap nilai i dan j (4.56).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
25
Berdasar persamaan (4.56) diperoleh,
�22 � Q∅2′��R2Q∅2′′��R2� c��� ! b��"�
� ∅2′′��bd�� � ! �6S� (4.57)
�(� � Q∅2′��R(Q∅2′′��R�� c��� ! b��"�
� ∅2′′��� Å��S�∅yd�S� � ! �6
S
��( � Q∅2′��R�Q∅2′′��R(� c��� ! b��"�
� !∅2′′��"bd�� n ∅2′��bdd��
� �22 n ∅2d�S�Å���S� � �6S�. (4.58)
Seperti telah disebutkan sebelumnya, deficiency ditentukan dari nilai MSE kedua
penaksir. Langkah berikut adalah menentukan nilai MSE dari kedua buah
penaksir. Langkah pertama adalah menentukan MSE dari penaksir maksimum
likelihood. Berdasar persamaan (4.21), MSE dari penaksir maksimum likelihood
adalah
¤¥��#QOR� �#d��� } 2
�Z n �{��S��tZ n ��S�
�t n ��yy~��0�t �tZt � ! Q#d��#dd��R }� �yy~���0�
�tZ� n��yy~��0�
��tZ� � n #dd��� } 2��tZt n 2
�tZt� n #d��#ddd�� } 2�tZt� n z����. (4.59)
Karena penaksir maksimum likelihood tak bias maka nilai ¡d�� dan ¢�� sama
dengan nol sehingga persamaan (4.59) menjadi
¤¥��#QOR� � #d��� } 2�Z n ��yy~��0�t
�tZt � ! Q#d��#dd��R }� �yy~���0��tZ� n
��yy~��0���tZ� � n #dd��� } 2
��tZt n 2 �tZt� n #d��#ddd�� } 2
�tZt� n z����. (4.60)
Selanjutnya persamaan (4.55),(4.57) dan (4.58) disubstitusikan ke dalam
persamaan (4.60) diperoleh,
¤¥��#�O�� � #d��� }St�6� ! Q#d��#dd��R } �S�
�t6t� n #dd��� } �S£ �t6t� n
#d��#ddd�� } S£�t6t� n z���� (4.61)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
26
persamaan (4.61) merupakan MSE dari MLE pada distribusi gamma. Setelah
ditentukan MSE dari MLE, langkah selanjutnya adalah menentukan MSE dari
UMVUE. Berdasar persamaan (4.35), MSE dari UMVUE adalah
¤¥���QOR� � #d��� G 2�Z n ��S�
�t H ! #d��#dd�� G�yy~��0�tZ� H n #dd��� G 2��tZtH n
z����. UMVUE merupakan penaksir tak bias sehingga nilai ¢�� sama dengan nol
dan dengan menggunakan persamaan (4.58) maka persamaan (4.35) menjadi
¤¥���QOR� � #d��� G 2�ZH n #dd��� G 2
��tZtH n z����. Persamaan (4.55) disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut diperoleh
MSE dari penaksir UMVU yaitu
¤¥���QOR� � #d��� GSt�6H n #dd��� G S£
��t6tH n z����. (4.62)
Berdasar persamaan (4.61) dan (4.62) telah diketahui MSE dari MLE dan
MSE dari UMVUE pada distribusi gamma. Penentuan deficiency pada distribusi
gamma dicari dengan mengurangkan ¤¥��#�O�� pada persamaan (4.61) dengan
¤¥���QOR� pada persamaan (4.62) yaitu
��#QOR, �QOR� � ¤¥��#�O�� ! ¤¥���QOR� ��#QOR, �QOR� � 2�" +���S�
+��S� n " �+����S�+��S� n 2
�+���S�+��S����. (4.63)
Jika,
#2�� � +���S�+��S� ;
#��� � �+����S�+��S� n 2
�+���S�+��S����
dan
#��� � 2¡d�� n [ ¡��"�" maka persamaan (4.63) dapat ditulis sebagai berikut
��#QOR, �QOR� � 2�"#2�� n "#��� n #���. (4.64)
Karena penaksir maksimum likelihood tak bias maka #��� bernilai nol dan
persamaan (4.64) menjadi
��#QOR, �QOR� � 2�"#2�� n "#���. (4.65)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
27
Jika fungsi yang terestimasi (estimable) adalah
#�� � �1 ! <�� (4.66)
maka dari persamaan (4.66) diperoleh,
#d�� � !<�1 ! <���2
#dd�� � <��1 ! <����
#ddd�� � !<��1 ! <����. (4.67)
Berdasarkan persamaan (4.67) diperoleh nilai #2�� dan #��� sebagai berikut,
#2�� � +���S�+��S� � �6t�2�S6�|´t
��6�2�S6�|´y
� !<�1 ! <������~2
� !<�1 ! <��2
� ! 6�2�S6�
#��� � �+����S�+��S� n 2
�+���S�+��S���� � 6t
�2�S6�t n 6t �2�S6�t � ¯6t
�2�S6�t. Persamaan #2�� dan #��� disubstitusikan ke dalam persamaan (4.65) diperoleh
deficiency dari MLE dan UMVUE pada distribusi gamma sebagai berikut
��#QOR, �QOR� � 2�" G! 6�2�S6�H n " G ¯6t
�2�S6�tH � ¯S£6t �2�S6�t ! �S�6
�2�S6�.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
28
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Deficiency merupakan selisih antara MSE dari MLE dan UMVUE.
Deficiency penaksir pada distribusi keluarga eksponensial diberikan oleh
persamaan
��#QOR, �QOR� � ! }�Wyy~¯W�0�Zt � #2�� n +t�S�Z n #���
dengan #��� menunjukkan bias pada penaksir maksimum likelihood.
2. Distribusi gamma merupakan anggota dari distribusi keluarga
eksponensial. Deficiency penaksir pada distribusi gamma yaitu
��#QOR, �QOR� � ¯S£6t �2�S6�t ! �S�6
�2�S6�. Nilai deficiency tersebut bergantung pada parameter < dan .
5.2 Saran
Dalam tulisan ini penulis memberikan teori tentang deficiency pada
distribusi keluarga eksponensial, oleh karena itu dapat dilakukan penelitian
dengan menerapkan teori ini dalam studi kasus. Distribusi yang digunakan pada
tulisan ini adalah distribusi gamma sedangkan penaksir yang digunakan dalam
tulisan ini adalah penaksir maksimum likelihood dan UMVUE. Oleh sebab itu
dapat dilakukan penelitian dengan menggunakan distribusi dan penaksir yang
berbeda.