（付録） 「デルタ関数」 1. ローレンツ関数 2. ガウス関数 3. Sinc関数 4. Sinc2関数 5. 指数関数 6. 量子力学：デルタ関数 7. プレメリの公式 8. 電磁気学：デルタ関数 9. デルタ関数：スケール・微分

暫定版 修正・加筆の可能性あり

デルタ関数（delta function）

７０３－1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , 1, 0 0, 0f x x dx f x dx x xδ δ δ δ∞ ∞

−∞ −∞= = ≠ = = = ∞∫ ∫

ローレンツ関数（１）

減衰波のフーリエ変換 参考文献：篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.80、現代工学社

( ) ( ) 2 2

2tf t e Fγ γωγ ω

−= ↔ =+

偶関数の場合

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0 0

2 20 0

2 cos

1 1 2

i t i ti t

i t i t

F f t e dt f t tdt e dt e dt

e ei i i i

γ ω γ ωω

γ ω γ ω

ω ω

γγ ω γ ω γ ω γ ω γ ω

∞ ∞ ∞ ∞− + − −−

−∞

∞ ∞− + − −

= = = +

= − + − = + =

+ − + − +

∫ ∫ ∫ ∫

フーリエ逆変換

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 102 2

1 1

i tf t F e d f F d

d

ωω ω ω ωπ πγ ω

π γ ω

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

= → =

=+

∫ ∫

∫７０３－2

ローレンツ関数（２）

デルタ関数

( ) 2 20

1limγ

γδ ωπ γ ω→

=+

ローレンツ関数

0ω = ω

拡がり ローレンツ関数：半値全幅（FWHM: Full Width at Half Maximum）

2 2 2

22 20

122

ω γ

ω

γ γγ ω γ

γγγγ ω

=

=

+= =

+

( )

2 2

2 20

1 1

1lim

d

d dγ

γ ωπ γ ω

γ ω δ ω ωπ γ ω

∞

−∞

∞ ∞

−∞ −∞→

=+

=+

∫

∫ ∫

2 γ

( ) 2 2

2F γωγ ω

=+

2FWHMωγ

∆=

７０３－3

ガウス関数（１）

Gaussianのフーリエ変換はGaussian 参考文献：篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.81、現代工学社

( ) ( ) ( )2

2exp exp4

f t vt Fv vπ ωω

= − ↔ = −

偶関数の場合：積分公式を利用

( ) ( ) ( )

( )2 2

22

2,2 ,

exp cos exp4

cos 2 exp4

i t

x t ab a vax ab

F f t e dt vt tdtv v

e abx dx ea v v

ω

ω

π ωω ω

π π ω

∞ ∞−

−∞ −∞

∞ = = =− −

−∞

= = − = −

= →= −

∫ ∫

∫

フーリエ逆変換

( ) ( ) ( ) ( )2

1 102 2

1 exp 142

i tf t F e d f F d

dvv

ωω ω ω ωπ π

ω ωπ

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

= → =

− =

∫ ∫

∫７０３－4

デルタ関数

( )2

0

1lim exp42v vvωδ ω

π→

= −

( )

2

2

0

1 exp 142

1lim exp42v

dvv

d dvv

ω ωπ

ω ω δ ω ωπ

∞

−∞

∞ ∞

−∞ −∞→

− =

− =

∫

∫ ∫

ガウス関数（２）

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( )2

exp4

Fv vπ ωω

= −

vπ

4 ln 2FWHM

v

ω∆

=

FWHM: Full Width at Half Maximum ln：自然対数（natural logarithm)

ω0ω =

ガウス関数：半値全幅

FWHM

2 1exp 2 ln 24 2

4 ln 2

vv

v

ω ω

ω

− = → =

∆ =７０３－5

正規分布：normal distribution（Gaussian distribution）、但し、平均値は零。

( )2

20

1lim exp22σ

ωδ ωσπσ→

= −

ガウス関数（３）

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2( ) ( ) ( )2 22 exp 2F ω π σ ω σ= −

vπ

2 2ln 2FWHMω

σ

∆

=

ω0ω =

正規分布：半値全幅

FWHM

2

2

1exp 2ln 22 2

2 2ln 2

ω ω σσ

ω σ

− = → =

∆ =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

2 2 2 2

2

exp exp4

2exp exp2 2 2

f t vt Fv v

tf t F

π ωω

σ σ π ων ωσ σ

= − ↔ = −

= → = − ↔ = −

分散：variance

７０３－6

７０３－7

( )( )( )

1

0

tf t

t

τ

τ

<= ≥

( ) ( ) sin2i t i i

i t i t e e eF f t e dt e dti i

τω ωτ ωττω ω

ττ

ωτωω ω ω

− −∞ − −

−∞ −−

−= = = = = − ∫ ∫

1

0 t2τ

時間領域

フーリエ変換：実数（偶関数）

Sinc関数（１）

孤立方形波のフーリエ変換 参考文献：篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.77、現代工学社

フーリエ逆変換

( ) ( ) ( ) ( )1 102 2

1 sin 1

i tf t F e d f F d

d

ωω ω ω ωπ πωτ ω

π ω

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

= → =

=

∫ ∫

∫

７０３－8

デルタ関数

( ) 1 sinlimτ

ωτδ ωπ ω→∞

=

( )

1 sin 1

1 sinlim

d

d dτ

ωτ ωπ ω

ωτ ω δ ω ωπ ω

∞

−∞

∞ ∞

−∞ −∞→∞

=

=

∫

∫ ∫

Sinc関数：零点の位置

2 3, , ,...

2

π π πωτ τ τπωτ

= ± ± ±

∆ =

Sinc関数（２）

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

πτ

3πτ

πτ

−3πτ

−

2πτ

−

0ω =

2τ

ω

2πτ

( )F ω

( ) sin2F ωτωω

=

参照：図中赤線

７０３－9

( )( )( )

2

1

0

t tf t

t

ττ τ

τ

− + <= ≥

( ) ( ) 20

20

12 cos

1 sin2

i t tF f t e dt tdt

t t

τω

τ

ω ωτ τ

ωτ τ ω

∞ −

−∞

= = − +

= − +

∫ ∫

( )

2 20 0

22 2 2 2 2

0

1 sin 22 sin

2 cos 2 41 cos sin2

tdt tdt

t

τ τ

τ

ω ωτ ω ωτ

ω ωτωτωτ ω ω τ ω τ

− − =

= − = − =

∫ ∫

1 τ

0 tτ

時間領域

フーリエ変換：実数（偶関数）

Sinc2関数（１）

三角パルス波のフーリエ変換 参考文献：篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.77、現代工学社

フーリエ逆変換

７０３－10

デルタ関数

( )2

2

1 sinlimτ

ωτδ ωπ ω τ→∞

=

( )

2

2

2

2

1 sin 1

1 sinlim

d

d dτ

ωτ ωπ ω τ

ωτ ω δ ω ωπ ω τ

∞

−∞

∞ ∞

−∞ −∞→∞

=

=

∫

∫ ∫

Sinc2関数（２）

( ) ( ) ( ) ( )

2 222 2 2 2

2

2

1 102 2

1 4 1 1sin sin 12 2

1 sin 1

i tf t F e d f F d

d d

d

ω

τ τ

ω ω ω ωπ π

ωτ τω ωτ ωπ ω τ τ π ω τ

ωτ ωπ ω τ

∞ ∞

−∞ −∞

→∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

= → =

= → =

→ =

∫ ∫

∫ ∫

∫

７０３－11

( ) 1f t =

( ) ( ) lim

sin 1 sinlim lim 2 2 lim

i ti t i t

i i

eF f t e dt e dti

e ei

τωω ω

ττ

ωτ ωτ

τ τ τ

ωω

ωτ ωτπω ω π ω

−∞ ∞− −

−∞ −∞ →∞−

−

→∞ →∞ →∞

= = = −

−= = = ×

∫ ∫

孤立方形波のフーリエ変換：参照703-7

デルタ関数：参照703-8

( ) ( )1 sin 1lim2

i te dtω

τ

ωτδ ω δ ωπ ω π

∞ −

−∞→∞= → = ∫

指数関数（１）

定数のフーリエ変換

７０３－12

指数関数（２）

デルタ関数：位置・波数ベクトル

( ) ( )31 , , , ,

2i

x x xe dV k k k kδπ

∞ −

−∞

= = = ∫

k rkr k k

電磁気学：デルタ関数（703-19）

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 2

3 3 3

2 2

2 2

14

1 1 12 2 2

i ii

i i i

r x y z

e ee dV dV dVk k

e i e k e

δπ

δπ π π

− −∞ ∞ ∞−

−∞ −∞ −∞

− − −

∂ ∂ ∂ = ∆ − ∆ ≡ + + ∂ ∂ ∂

∆ = = − = ∆ −

∆ = − = −

∫ ∫ ∫k r k r

k rk k k

k r k r k r

r

r

k

3

, ,2 3 2.

1 1 1 2, , 0, 1, 2,...4 2

i i

i x y z i ie edV k n n

r k L k Lπ

π π

− −∞

=−∞

= = = ± ±

∑∫k r k r

kk

参照：砂川重信「量子力学I」ｐ319、岩波書店

７０３－13

( ) ( ) ( ) ( )22

0 02 2

Ei tEi tF e dt F E e dt Eτ τωωω πτδ ω π τδ== → =∫ ∫

確認作業

例1：指数関数の積分。 但し、積分範囲に注意

量子力学：デルタ関数（１）

( )

2 22 2

00

22

2220

1 2 2 sin2 2

sin4 1 2sin 2 22

2

i ii t i i ii t

i t

e e e ee dt e ei i i i

e dt

ωτ ωττ ωτ ωτω ωττ ω

τ τω

ωτω ω ω ω

ωτωτ πτ πτδ ω

ω τω π

−

→∞

− −= = = =

→ = = →

∫

∫

0τ

デルタ関数の性質：説明省略

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1a Ea

δ ω δ ω δ ω δ ω δ= → = =

デルタ関数の性質：下記も参照

量子力学でお馴染み フェルミの黄金律：Fermi's golden rule 参考文献：砂川「量子力学」p.195、岩波書店など

デルタ関数：参照703-10

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 0

00 00

0 0 00

2 2 2 20

lim lim lim lim

1 1lim lim lim lim lim

1 lim

i i tj i ti

t i t i

eF e dti i

e e e ei i i i i i

ii

τω γ ττ ω γ τω ω γ γ

γ τ γ τ

τγ τ ω τ γτ ωτ

γ τ γ τ γ

γ

ωω γ

ω γ ω γ ω γ

ω γω γ ω γ

− −− −→ − >

→+ →∞ →+ →∞

− − − −

→+ →∞ →+ →∞ →+

→+

→ =

−

−= = =

− − −

= + + +

∫

７０３－14

量子力学：デルタ関数（２）

例2：指数関数の積分。 但し、このままでは「積分」が で収束しない。

( ) ( ) ( )( )

0 00

1lim lim lim limi t i

i t i t e eF e dt e dti i

τω τ ωττ τω τ ω τ

τ τ τ τω

ω ω

− −− − −

→∞ →∞ →∞ →∞

−= = = =

∫ ∫

1τ

非常に小さい正の数を導入：γ

2 20

2 20 0

lim 0, 0

1 0

1 1 1 1lim lima a

a aP d d d P

γ

ε

εε γ

ω ωω γ

ωω

ωω ω ωω ω ω ω γ ω

→+

−

− −→+ →+

= =+

= ≠

= + → = + ∫ ∫ ∫

７０３－15

量子力学：デルタ関数（３）

途中経過：実数部と虚数部

( ) ( )2 2 2 2 2 20 0 0 0lim lim lim limj tie dt i i

τ ω τ

τ γ γ γ

γ ω ωπδ ωω γ ω γ ω γ

− −

→∞ →+ →+ →+= − = −

+ + +∫

実数部：参照703-3

虚数部： ω＝０のとき「零」 これは便利：コーシーの主値積分 • Cauchy's principal values of integral • ω＝０で、虚数部は「零」になるから、ω＝０は積分区

間（実軸）から除外する。

Ｐ：コーシーの主値（Cauchy‘s principal values）

整理：デルタ関数（実数部）＆コーシーの主値（虚数部）

( ) ( )0

lim i t ie dt Pτ ω τ

τπδ ω

ω− −

→∞

= − ∫

量子力学でお馴染みの積分 • Weisskopf-Wigner spontaneous emission • Lamb shift 参考文献：J.J.サクライ「上級量子力学第Ｉ巻」p.82、丸善、P.Meystre, M. Sargent III「Elements of Quantum Optics（Third edition）」p.300、Springerなど

７０３－16

プレメリの公式（１）

前頁：デルタ関数（実数部）＆コーシーの主値（虚数部）

( )

( )0 0

1lim limi te dti i

τ ω τ

τ γ ω γ− −

→∞ →+=

−∫

非常に小さい正の数を導入：γ 参照：703-14

( ) ( )0

1lim iPi iγ

πδ ωω γ ω→+

= − −

Sokhotski–Plemelj theorem：実軸

( ) ( )0

1 1 1 1lim '' '

P i P ii iγ

πδ ω πδ ω ωω γ ω ω ω γ ω ω→+

= → = + − ± − − −

( ) ( )0

lim i t ie dt Pτ ω τ

τπδ ω

ω− −

→∞

= − ∫

プレメリの公式 • クラマース・クロニッヒの関係式でお馴染み • Kramers-Kronig relation • 参考文献：飽本「今日から使える複素関数」p.163、講談社

７０３－17

プレメリの公式（２）

普通に考えれば

( )0

0

1 1 1lim P iiγ

ω

πδ ωω ω γ ω→+

=

= ∞ = ±

コーシーの主値積分：分母が零になる値を跨いで積分する場合、分母が零になる値を避さけよ！

00

1 1 1 1 10 lim lna aa b

b b b

aP P d di bγ

ω ω ωω γ ω ω ω ω

>>→+

≠ → = = → = = ± ∫ ∫

00

1 1 1 1lim , 0a a

a aP d d d P

ε

εεω

ω ω ωω ω ω ω

−

− −→+=

= + = ∫ ∫ ∫

分母が非零の領域：分母が零になる値を跨いで積分しない場合、主値積分を意識する必要はない

分母が零の領域：主値積分は無視できるが、純虚数のデルタ関数になる！

( ) ( )0 0

1 1 10 lim lim 0 0ii iγ γ

ω πδ ω δ ωω γ γ πγ→+ →+

= → = = = → = =± ±

７０３－18

電磁気学：デルタ関数

点電荷に対するガウスの法則：真空中

( ) ( ) ( ) 30 0

E ,4

r rr E r qr

ρε πε

∇ = =

( ) ( )r rdV q q dV qρ δ= ⇔ =∫ ∫

点電荷に対する電荷密度：位置（原点ｒ＝０）

( ) ( )r rqρ δ∴ =

δ関数の一例

ガウスの法則へ代入

δ関数の定義：超関数（distribution function） • Diracのデルタ関数と呼ぶ場合もある。

( ) 3

14

rrr

δπ

= ∇

点電荷に対する静電ポテンシャル（電位）：δ関数

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1 ,4

rE r r r r

rρ

φ φ δε π

= −∇ ↔ −∆ = ↔ = ∆ − ∆ = ∇ ∇

δ関数の一例

( ) ( )3

1 1,4 4

rr rr r

δ δπ π

= ∇ = ∆ −

Δ：ラプラシアン

( ) ( ) ( )

( )

-

@ 00 @ 0

r r r' r'

rr

r

dV f fδ

δ

=

∞ == ≠

∫

( ) ( ) ( ) ( )- ' ' 'r r' x x y y z zδ δ δ δ= − − −

厳密：体積分 dV dxdydz=

参照：403-5

７０３－19

デルタ関数：スケール変換

デルタ関数：偶関数

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

1 a

x xa

a a d a da

a d a a d a dδ δ

δ ω δ ω δ ω ω δ ω ω

δ ω ω δ ω ω δ ω ω

>

= −<

= → =

→ − − →− =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

変数：スケール変換

( ) ( ) ( ) 2 20

1, limγ

γδ ω δ ω δ ωπ γ ω→

= − ± =+

参照：703-3

発展型：説明省略

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )0

0

0

0

1 , 0g d gdg d

ff g d

dg d

ω ω

ω ω

δ ω ω ωω

ωω δ ω ω

ω

=

=

= =

=

∫

∫

注意：零点が複数個ある場合は加算する。

７０３－20

デルタ関数：微分（１）

部分積分

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

' ' ' 0

'' ' ' '' '' 0

''' ''' 0

f x x dx f x x f x x dx f

f x x dx f x x dx f x x dx f

f x x dx f

δ δ δ

δ δ δ

δ

∞ ∞∞

−∞−∞ −∞

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

∞

−∞

= − = −

= − = =

= −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

デルタ関数の一次導関数：奇関数

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' '

' ' ' 0

' ' ' 0

x x

f x x dx f x x dx f

f x x d x f x x dx f

δ δ

δ δ

δ δ

∞ ∞

−∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

= − −

= − = −

− − = − = −

∫ ∫∫ ∫

７０３－21

デルタ関数：微分（２）

ベクトル解析：部分積分

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

, , , , ,

z

z

z

x x z x z x

x z x z

x z

A x x z x z A x

x z A x A z

x A x x z

dV dx dx dx dV f dV f

dV f f

x z x z x z

x x x z z z

dV dV

dV

dV f

δ δ

δ

δ δ δ δ

δ δ

δ

δ

= → ∇ − = ∇ −

= − − ∇ = −∇ − = − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = ∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

×∇ − = − ∇ − ×

= − ∇× = ∇ ×

×∇ − = −

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z

x z x A x

x z x A x

x A z z A z z A z

dV f

dV f

f f f

δ

δ

∇ − ×

= − ∇×

= ∇ × = ∇ × + ∇ ×

∫∫

７０３－22

デルタ関数：微分（３）

ベクトル解析：続き

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )

z

z z z

A x x z x z A x

x z A x A z

x A x x z

z A z z A z A z z

F x A x x z A x x z F x

x z A x F x x z A x F x

x z A x F x x z A x F x A x

dV dV

dV

dV f

f f f

dV dV

dV dV

dV dV

δ δ

δ

δ

δ δ

δ δ

δ δ

∇ − = ∇ −

= − − ∇ = −∇

∇ −

= −∇ = − ∇ − ∇

∇ − = ∇ −

= ∇ − = ∇ −

= − − ∇ = − − ∇ + ∇

∫ ∫∫

∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z z

F x

x z A x A x F x

A z A z F z F z A z A z F z

dVδ

= − − ∇ + ∇

= − ∇ + ∇ = − ∇ − ∇

∫

注意：ディアド