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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Ich gehe davon aus, dass Sie die Lebesguesche Integrationstheorie - PowerPoint PPT Presentation

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IIch gehe davon aus, dass Sie die Lebesguesche Integrationstheoriebeherrschen. Zur besseren Lesbarkeit des Skripts ist ein Kurzkursim Skriptum. Sollten Notationsfragen sein, so bitte dort nachsehen.

Dies ersetzt aber in keinster Weise den Besuch einer entsprechenden Vorlesung !

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Erinnerung

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IErinnerung

definiert den positiven und den negativen Anteil einer LV

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Erinnerung

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DESHALB

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Diese Definition ist nicht konstruktiv !!!

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Diese Definition ist nicht konstruktiv !!!

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Existenz

Integrierbarkeit

Eindeutigkeit

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IDieses Bild gibt eine intuitive Erklrung fr die Bedeutung des bedingten Erwartungswerts:

Angenommen, ein System x beinhaltet die Information F in dem Sinne, dass x Fx =Fmessbar ist. Nun kennen Sie diese Information F nicht, sondern Sie kennen aus Beobachtungen heraus nur eine Teilinformation G.

Sie suchen nun eine Beschreibung des Systems, die nur auf der Beobachtung G beruht und x in bester Weise schtzt. Sie suchen also eine G-messbare Zva y, die im Sinne von best mglichst nahe an x liegt.

y kann man als (besten, hier im Sinne des quadratischen Kriteriums) Schtzer von x aufgrund der Beobachtung G bezeichnen (s.Statistik)

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Marina Bay SingaporeCourtesy of starwood

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EIGENSCHAFTEN

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IEINSCHUB

WIEDERHOLUNG

NOTATION (wegen zweier Fragen):Fast sichere Eigenschaften: Wir hatten schon bemerkt, dass hufig Zufallsvariablen dasselbe beschreiben, wenn sie sich nur auf Nullmengen unterscheiden:

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und x, y zwei reelle Zvaen darauf. Man sagt x ist gleich y P-fast sicher (, P-almost surely, mit Wahrscheinlichkeit 1, ) wenn

Man schreibt

x=y P-f.s. oderx=y P-a.s. oderx=y (P)

usw. Hufig versteht man fr Zvaen auch x=y automatisch als P-a-s.

Allgemeiner sagt man, eine Eigenschaft a gilt P-fast sicher, falls es eine Nullmenge A gibt, so dass fr alle Elemente auerhalb von A gilt: a ist richtig.

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IEIGENSCHAFTEN

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IExplizite Berechnung des bedingten Erwartungswerts: Seien x,y Zva mit gemeinsamer Dichte

Sei die Randdichte von y. Dann ist die bedingte Dichte von x bzgl y definiert durch

Die bedingte Dichte ist eindeutig definiert auerhalb der Nullmenge, wo Null wird. Die Gre

Ist der bedingte Erwartungswert von x bzgl y. Hier ist E(x|y) als Baire Funktion von y dargestellt: E(x|y)=z(y)

Offensichtlich muss gelten

so dass wir das Analogon der Bayes Formel erhalten, hier fr die Dichten:

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IBeispiel

Man interpretiere (mn) als den Wert einer Aktie zum Zeitpunkt n. Was bedeutet die obige Aussage ?

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Vergleich Gleichverteilung und Binomialverteilung, n=6, p=1/2

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IVarianz fr die Binomialverteilung in Abhngigkeit von p

Dies hngt eng zusammen mit der Entropie eines Systems: Gegeben eine diskrete Wkt mit (p1,,, pn), so heit H= -S pi ln pi die Entropie des Systems. Sie ist eine Gre, die die Unordnung in einem System misst: Fr p=q hat die Binomialverteilung ein Hchstma an Unbestimmtheit

Entropie

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IEXPERIMENTERGEBNISErwartungswert und Varianz sind zwei Gren, die das Auskommen in einem Experiment charakterisieren sollen. Konkret: Im Beispiel oben haben wir gesehen, dass der Ewert nicht ausreicht. Deshalb haben wir die Varianz hinzugenommen.

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IEXPERIMENTERGEBNISLassen sich diese Ergebnisse lesbarer zusammenfassen.

In diesem Fall ja: Wenn Sie hier wissen, dass die Verteilungsannahme Bernoullirichtig ist, so reicht zur gesamten Beschreibung die Angabe

p=0.5.

Aber:

Department Mathematics-Statistics: Stochastics IIm Beispiel oben haben wir gesehen, dass der Ewert nicht ausreicht. Deshalb haben wir die Varianz hinzugenommen. Aber auch diese beiden reichen i.a. nicht aus, um die Verteilung zu charakterisieren. Da var(x)= E(x^2)-E(x)^2 knnen wir auch fragen: Charakterisieren die Momente

E(x^n) , n N

die Verteilung eindeutig. Auch das ist i.a. nicht korrekt.Dies ist ein eigenstndiges Problem, das wir hier nicht weiterverfolgen wollen.

Wir wollen mit verwandten Gren nun versuchen, den Zusammenhang zwischen Zvas zu charakterisieren

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Quantiles

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Erinnerung: Die Lp Rume sind normierte Rume. Sie sind Banachrume. Lp und Lq sind fr 1/p+1/q=1, p>1 dual zueinander. L2 ist ein Hilbertraum.Kolmogorov !

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Natalie Mueller41Department Mathematics-Statistics: Stochastics I

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IGalton Board Irrfahrt

ABER :

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics IGalton BoardBetrachten Sie

n

Lsst sich hier etwas sagen ber die Konvergenz der Reihe ? !!

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GGZZGS

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Die Binomialverteilung konvergiert gegen die Normalverteilung

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Diverse Konvergenzarten:

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In allgemeinerer Form finden Sie die Aussage in den bungen !

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s. Begriff der Uniformen Integrierbarkeit in den bungen !

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Die Konvergenz nach Wkt kann also keine Normkonvergenz sein !

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Dice ExpGGZ

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GGZ

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GGZFrage eines Studenten: z(k) ist die Summe bis k von unabhngigen Zvaen, z(n)-z(k) ist die Summe der k+1sten bis n-ten unabhngigen Zvaen. Damit haben wir Borelfunktionen unabhngiger Zvaen, die wieder unabhngig sind.

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Aus der Analysis ist beka

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