department of mathematics - the university of aucklandbutcher/theses/priscillathesis.pdf · htyty $...

163

Upload: others

Post on 21-Jul-2020

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� � ���� ���� ��� �

���

� ���� ��������� ������� �!��"#�����$�

%'&)(+*-,/.10 %324(65879(6:6:<;#=�5>0

?A@CBEDGFCHIFJFCKELNMOHP@6@6DGQRHTSRUNVXWC@CHTVZY\[]K4YT^NYTM_DGS`@�aZ[b@CBEDcWdDGe`K4HTWCDGM_DGS`@CF�[faZWJ@CB4DgQEDihZWCDiDcaZ[j VZF6@6DiWkaZ[mlEniHPDGS4noDcHTSp?kU4UNYTHTDGQ j VX@CBEDGMqVX@CHIniFirs BEDctuS4HPvZDiWwFCHP@yxzaZ[{?kK4nd|-YIVZS4Q}rN~X�Z���-�

Page 2: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 3: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � ����" � �

s B4DkFCKEL�� DGno@�aZ[}hZDia�M_Di@6WdHTnuHTS`@6DihZWdVX@CHPa�S noa�S4noDiWdS4F @CBEDunoa�S4F6@6WdK4no@CHTa�SOaZ[\S-K4M_DiWdHIniVZYNHTS`@6DihZWdV��@6aZWdF�� B4HIndB'niVZS FCK4ninoDGFCFC[]K4YIYPx UNWCDGF6DiWCvZDz@CBEDzVZF6x M_U4@6aZ@CHInqL DGB4VGv HPa�KEWgaZW)HTS`vXVXWdHTVZS`@CFcaZ[�@CBEDVXU4UNWCa�EHTMqVX@6DJF6a�YIKE@CHPa�S4Fir`noa�M_UNKE@6DGQ_[]aZW noDiWC@CVZHISqQEx S4VZMqHTniVZYEF6x F6@6DGMqFG���BEDiWCDGVZF a�SEDJaZ[ @CBEDVZHTMOF��kBEDGS)LNK4HTYTQNHTSEh V niYTVZFCFdHTniVZY S`K4MqDiWdHTniVZY HTS`@6DihZWdVX@6aZW HTFb@6acMqHTSNHTMqHTF6D @CBED�DiWCWCaZW{U4WCa Q4K4noDGQL-xO@CBED/M_Di@CB4a-Q}r @CBED DGM_U8B4VZFCHTF�HTSz@CBED/noa�S4F6@6WdKNno@CHPa�SRaZ[9V)hZDia�M_Di@6WdHIn/HTS @6DihZWwVX@6aZW YTHPDGF�HTS HP@CFVXLNHIYTHP@yx @6a UNWCa-QNK4noDOS-K4M_DiWdHTniVZY F6a�YTKE@CHPa�SNF � HP@CB @CB4DznoaZWCWCDGno@ e-K4VZYTHP@CVX@CHPvZDOL>DGBNVGv HPa�KEWc[]WCa�M@CBED)Q4H�� DiWCDGS`@CHTVZY\DGe-K4VX@CHPa�S4FG� s B4HIFJYPDGVZQ4Fk@6az@CB4D F6U DGniHP^Nn QEDGFCHPh�S aZ[mS`KNM_DiWdHTniVZY9HTS @6DihZWwVX@6aZWdF@6aOFCa�YPvZDgnoDiWC@CVZHTS @yx-U>DGFJaZ[1Q4x-S4VZMOHTniVZY}F6x F6@6DGMqFi�� @k@CK4WdS4Fka�KE@k@CBNVX@u@CB4D)YTVZS4h�K4VXhZD aZ[�� HPD)hZWCa�KEU8FkVZS4Q��9HPD VZYPhZDiLNWdVZF HTF U8VXWC@CHTniK4YTVXWwYPxpFCK4HP@6DGQ@6a @CBED LNK4HIYTQ4HTSEh aZ[ hZDia�M_Di@6WdHTn HTS`@6DihZWdVX@6aZWdFir�L8VZF6DGQ�a�S�@CBEDGHPWOVZno@CHPa�SNFqa�S�MqVZS4HP[]a�YTQ4Fi��?hZDia�M_Di@6WwHTn HIS @6DihZWdVX@6aZW�� BNHTndBpUNWCa-QNK4noDGF S-K4M_DiWdHIniVZY\F6a�YTKE@CHTa�S4F YPx HTSEh_a�S @CBED)MqVZS4HP[]a�YTQRaZ[mVQEx S4VZMqHIniVZY8F6x F6@6DGM�v HTV @CBED � HPDuhZWCa�KEUpVZno@CHPa�S}r4HIF VZSRHTS`@6DihZWdVX@6aZW��kB4HTndBzL DGYPa�SEh�F @6a_V niYTVZFCFaZ[1S`KNM_DiWdHTniVZY}M_Di@CB4a-Q4FJ|-SEa�� S VZF�� HPD hZWCa�KEU M_Di@CBEa Q4Fi�s B4D_@CBEDiaZWCx L>DGBNHTS4Q�� HPD hZWCa�K4U3M_Di@CBEa Q4FcB4VZFcL>DiDGS FC@CK4Q4HPDGQ D�� @6DGS4FCHPvZDGYTx L-x WdDGF6DGVXWdndB4DiWdFHTS3@CBEDztuS4HPvZDiWwFCHP@yx aZ[���DiWdhZDGS VZSNQ'@CBEDRtkSNHPvZDiWdFCHP@+x aZ[ s Wda�S4Q4BEDGHTM r��kaZW�� V xZ���B4HIYPDq@CBED@CBEDiaZWdDi@CHTniVZYEVZF6U DGno@CF{aZ[��9HPD�hZWCa�KEUqHTS`@6DihZWdVX@6aZWdF{VXWdDJQEDivZDGYPaZUNHTS4hkWdVXU8HTQ4YPxZrX@CBED�U4WCa noDGQ4KEWdDGF9[]aZWVXU4U8YPx-HISEhuFdK4ndBqHIS @6DihZWdVX@6aZWwF @6agFCa�YPv-HISEh hZDGSEDiWdVZY4UNWCaZLNYPDGMqF1HTS U8B x FCHTniVZY4FdniHPDGS4noDGFmVXWCDkSEaZ@mxZDi@[ K4YTYPxRK4S4Q4DiWdF6@6a-a-Q}� � S @CB4HIFJ@CBEDGFCHIFir�� D FCBNVZYTY YPa-aZ| VX@kFCa�M_D aZ[{@CB4DgLNVZFCHIngnoa�S4noDiU4@CFuL DGB4HTSNQ@CBEDk@�� a MqVZHISOniYTVZFCFCDGFmaZ[�� HTDJhZWCa�KEU M_Di@CBEa Q4Fir`SNVZM_DGYPx @CBED j VXh�S`KNF�F6DiWwHPDGFmD�� UNVZS4FCHTa�SqVZS4Q@CBED kK4SEhZD���!cKE@6@CV�� j K4S`@CBED���!cVZVZFJMqDi@CBEa-QNFi� � S UNVXWC@CHIniK4YTVXWGr FCK4nwB"�9HPDuhZWCa�KEUpM_Di@CBEa Q4F�VXWCDVXU4U8YTHPDGQ'@6a F6a�YPvZDpF6DivZDiWwVZY FCx-F6@6DGMOF aZ[kQ4H�� DiWCDGS @CHIVZY DGe-K4VX@CHPa�S4FG� s B4DOU DiWC[]aZWdMqVZS4noD aZ[J@CBED�9HPDkhZWda�KEUpHTS @6DihZWwVX@6aZWdFJVXWCD @CBEDGSRnoa�M_UNVXWdDGQ#� HP@CBz@CBED/F6@CVZS4Q4VXWdQRS-K4M_DiWdHIniVZY8M_Di@CB4a-Q4F�FCKNndBVZF @CBEDqniYIVZFCFCHTniVZY$ KNSEhZD���!cKE@6@CVRM_Di@CBEa Q4Fi��%mWCDGYTHIMqHTS4VXWCxRWCDGFdK4YP@CF HTS4Q4HIniVX@6D @CB4VX@&�9HPD)hZWCa�KEUM_Di@CB4a-Q4F VXWCDgVXLNYPD/@6azU4WCDGF6DiWdvZDgF6a�M_DcUNWCaZU DiWC@CHPDGF�aZ[1@CBEDgS-K4M_DiWdHIniVZY}F6a�YTKE@CHPa�SNF�HTS4BEDiWCDGS`@JHTS@CBEDgUNVXWC@CHTniK4YIVXW�Q4x-S4VZMOHTniVZY}F6x F6@6DGMpr4LNK4@JVX@JhZWCDGVX@ noa�M_U8KE@CVX@CHPa�S4VZY\noa�FC@i�

Page 4: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 5: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � ��� ��� � � �#� �#�����

� HPWdFC@kVZS4Q []aZWCDGM_a�F6@ir � � a�K4YTQ YTHP|ZD @6aR@CB4VZSE| % WCaZ[+����a�B4S�� K4@CndBEDiWGr []aZW/B4HTFkUNVX@CHPDGS4noD VZS4Q| HTS4Q4S4DGFCFi���uHTF hZWCDGVX@ DGS`@CB-K4FCHTVZFCM []aZW)MOVX@CBEDGMqVX@CHTniF HTF)VZS HTS4F6UNHTWdVX@CHPa�S @6a M_DZrmVZS4Q @CB4HTF@CBEDGFdHTF�� a�K4YTQ SEaZ@�B4V vZDuL DiDGS U a�FCFCHPL8YPD�� HP@CB4a�KE@�B4HIF h�K4HIQ4VZS4noDZ� � Q4HTQzSEaZ@�B4VGvZD @CBED/nwB4VZS4noD@6a v-HTFdHP@mVZYTYEaZ[}@CBED� QEDGF6@CHTS4VX@CHTa�S4F��a�SzB4HTF� YPa�S4DGYPx UNYTVZSEDi@mh�KNHTQED�@6aghZDia�MqDi@6WdHTn HIS @6DihZWdVX@CHTa�S4F�PrLNK4@JK4S4QEDiW�B4HTF�FdKEU DiWCv-HIFCHPa�S}r � MOVZS4VXhZDGQ @6aOFC@6aZU L`xRF6a�M_DgaZ[b@CB4D []VZM_a�KNF VX@6@6WdVZno@CHPa�SNF����kD��-@ir � � HTFCB @6a @CB4VZSE| @CBEDqM_DGM L DiWdF/aZ[�@CBED �uK4M_DiWdHIniVZYm?kSNVZYPx-FdHTF��uWCa�KEU VX@ s BEDOtuS4H��vZDiWdFdHP@yx aZ[�?kKNnC| YTVZS4Q}r HIS4niYTK4Q4HISEh��uWG� JaZL DiWC@���BNVZS}r��uWG�z?uYTYTHIF6a�S�� DGVXWdQ\r �HTYTY$ WdHPh�B`@ir�uHTnoa�YPDi@6@6D j a�HPW r{l BNHPWdYPDix��uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH r��uWG�#% HPDiWdWCD �\Dia�S4DOVZS4Q l @6D��>DGS l ndB-K4Y��Z�s B4DGHPWbFdKEU4U aZWC@ HTFbDGFCFCDGS @CHTVZY-@6a/M_DZrZDGF6U DGniHTVZYIYPxcHTS)Mgx)VX@6@6DGM_U4@CF1@6a D��-U8YTVZHTS)VuFdKEL �6DGno@�� BNHTndB� VZM a�SNYPx)FdYPa � YTxgL Dih�HTS4S4HISEhk@6a)K4S4QEDiWwF6@CVZS4Q}r�VZS4Qq[faZW B4VGv HTSEhcWdDGVZQqnoWdHP@CHTniVZYIYPxgUNVXWd@CFmaZ[ @CB4HTF@CBEDGFdHTFi�?uYTF6aErbMgx hZWdVX@CHP@CK4Q4D_hZa`DGF @6a %mWdaZ[+� � WCx S��CK4YP[����JWCDGS VZS4Q��uWG��� YPDGS4V���DGYTYPDGQEa�S4HbaZ[ s BED�kaZW�� Dih�HTVZS tuS4HPvZDiWwFCHP@yx aZ[8l niHTDGS4noD�VZS4Q s DGnwB4SEa�YPaZhZxZr`VZS4Q��uWG� s HTS4V���B4VZScaZ[ s BED��uVX@CHPa�S4VZYs VZHTndB-K4SEh � S4F6@CHP@CKE@6D aZ[ s DGndB4S4a�YPaZhZxZr s VZH � VZS}� s BEDGHTWkDGS4noa�K4WdVXhZDGM_DGS`@ VZSNQ �kHTYTYTHTS4h�SEDGFCF�HTSVZS4F���DiWdHISEh_Mgxpe-KEDiWdHPDGF�a vZDiWuFCKNndB YPa�S4hqQ4HTF6@CVZS4noDGFGr4HTFJQEDiDiUNYTxzVXU4U4WdDGniHTVX@6DGQ}��uWG�! uHPv HPDGS !cHPWC|>rN[]WCa�M @CBED �kDiU8VXWC@CM_DGS`@kaZ[ j VX@CBEDGMqVX@CHIniF/VX@ s B4D tuS4HPvZDiWdFCHT@yxpaZ[ ?uK4nC| �YTVZSNQ}r}HTFuvZDiWCx VZno@CHPvZDzHTS B4DiWcFCKEU4U aZWC@k[faZWcVZYTYbaZ[ BEDiWcF6@CK4QEDGS`@CFi� � ��a�KNYTQ YTHP|ZD)@6ap@CVX|ZDq@CB4HTFaZU4U aZWC@CKNS4HP@yx @6a VZnC| SEa � YTDGQEhZDqBEDiW � aZWC| VZF @CB4D_aZWCh�VZS4HTF6DiW aZ[ @CBEDOl K4MqMqDiWclEndBEa�YTVXWwFCB4HPUNF% WCaZhZWdVZMqM_DZ� s B4HIFJU4WCaZhZWwVZM UNWCa v HTQEDGFk^NS4VZS4niHIVZY VZFCFCHIF6@CVZS4noDGFu@6apF6@CK4QEDGS`@CF a vZDiW/@CBED FCK4M �M_DiW U>DiWwHPa-Q\r-VZS4Q HP@�DGS4VXLNYPDGQpMqDc@6aq^NS4HIFCBRMgx @CBEDGFCHTF�� HP@CBEa�KE@�^NSNVZS4niHTVZY � aZWCWdHPDGFi�

j x FCHTS4noDiWdDc@CB4VZSE| F hZa @6aO@CB4D)~X�Z��~zU a�F6@ � hZWdVZQ4K4VX@6D MqVX@CBEDGMOVX@CHTniFkFC@CK4QEDGS`@CFkVX@ s BED tuS4H��vZDiWdFdHP@yx aZ[b?uK4nd|-YTVZSNQ}rEDGF6U DGniHTVZYTYPx ��WwHTVZSRv VZS��uVZM r j VXWd|"�9HTK}r ?kM x %9DGS`xZr>l-aZU8B4HTV"��BEDGS}r kHTndB4VXWwQ# mVZYTDZr$�uV v-HIQ lEHTM_UNF6a�S\r%� VGv HTQ� DGYTnwB}r\VZS4Q�� VGv HTQ&�uWdVZS`@i� � BNVGvZDqnoa�M_D @6a VXU��U4WdDGniHTVX@6Dc@CBEDgHIM_U aZWC@CVZS4noD/aZ[bWCDih�K4YTVXW noa�S`@CVZno@CF � HP@CBR[]DGYTYPa���MqVX@CBEDGMqVX@CHIniF F6@CK4Q4DGS @CFi� s B4HTFxZDGVXW � a�K4YTQ SEaZ@_B4V vZDpL>DiDGS U a�FCFCHTLNYPDq[]aZW_M_DZr � HP@CB4a�KE@ @CB4DGHPW_noa�M_UNVZS4HPa�SNFCB4HPU\r1YTVZKEh�B`@6DiWVZS4Q FCKEU4U aZWC@i�l HIMqHTYTVXWdYTxZr � VZM HIS4QEDiL4@6DGQ @6ap@CBEDq~X�Z��~pQEDGMqa�S4F6@6WdVX@6aZWdFgHTS ?!�' �� ? � []WCa�M @CBED"�uDiUNVXWC@ �M_DGS`@CF�aZ[ j VX@CB4DGMqVX@CHTniF VZSNQ l-@CVX@CHTF6@CHIniF�VX@ s BED/tuS4HPvZDiWdFCHT@yxOaZ[1?uK4nC| YTVZS4Q}r4HIS4niYTK4Q4HISEh %1VZK4Y��BNVZSEhEr � WdVZQ � K4DGS}r%�uDiWCDi| � V�gr !cWdHTF6@+x lEK}r�%bDi@6DiW��uK}r(� VZSEDi@�%9DGVXWwF6a�S}r}VZS4Q DGH)�uVZS}�

Page 6: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

���

� DGHTSEh @CBED�a�S4YTx" SEa�S �yFC@CVX@CHTF6@CHTniF��Q4DGM_a�S4F6@6WdVX@6aZW�HTS_?!� �9?�� ��VZF{L aZ@CB []KNS_VZS4Q_ndB4VZYIYPDGSEh �HTSEhEr}DGFCU>DGniHIVZYTYPx � B4DGS @CB4DqYTVXL � VZFc[]K4YIY9aZ[ F6@CVX@CHTF6@CHIniFcF6@CK4QEDGS`@CF�� s B4VZSE| F []aZWcMqVX|-HISEhR@CBEDYTVXL FCKNndB V_[ K4SRUNYIVZnoD/@6a � aZWC| HIS}�� VZFC@�LNKE@JSEaZ@ YTDGVZF6@irNV_B-K4MgL8YPD/VZnC| SEa � YTDGQEhZDGM_DGS`@khZa-DGFJ@6aq@CB4D/UNVZF6@ VZS4Q U4WCDGF6DGS`@JF6@CV��'VX@@CBED��kD � � x-S4S)L4WwVZS4ndB_aZ[>@CBED�'VZHT@CVX|ZDiWCD ��HT@yx � HPL4WwVXWCxZrZDGF6U DGniHTVZYTYPx @CBED�@6DGVZM noa-aZWdQ4HIS4VX@6aZWj VXWCh�VXWCDi@ ��K4S4Q4VZYTY roM xgl VX@CKEWdQNVGx FCKEU DiWCv HTF6aZWdF j a�BNVZMqM_DGQ � VXWdKE|>r� aZL`x S �B4HP@�� DGYTY r VZS4Q��BEWwHTF6@CHTSED j VXWC@6DiW r\Mgx noa � ��aZWC|ZDiWwF BNHTVZS4SEa�S !/a vXVZnoDiv HTndB'VZSNQ % WdVXh�VX@CH mVZFCHTFdB @i� s BEDGHPWK4S4Q4DiWdF6@CVZS4Q4HISEh_VZS4QpDGS4noa�KEWwVXhZDGM_DGS @ a vZDiWk@CBED UNVZF6@kDGHPh�B @ xZDGVXWdF B4VGvZD L>DiDGS @6WCDGM_DGS4Q4a�K4FirVZS4Q @CBEDGHPWJQ4DGQ4HTniVX@CHPa�S @6aqF6DiWCv HTSEh)@CBED � HIQEDiW noa�MOM K4SNHP@yx HTF�V)hZWCDGVX@ F6a�KEWwnoDuaZ[1HTS4FCUNHPWdVX@CHPa�S@6a M_DZ� � @ � HIYTY VZY ��VGx F/WCDGMOHTS4Q M_D @CB4VX@cSEaZ@/a�S4YPx niVZS U DiWdF6a�S4VZY9[]KNYP^NYTM_DGS`@ L D []a�K4S4Q HTS@CBEDpYPDGVXWdSNHTSEh VZSNQ�Q4HTFCnoa vZDiWCxZr LNK4@)VZYTFCa HIS @CB4DRFdB4VXWdHTSEh aZ[ a�S4D F_|-S4a � YPDGQ4hZD"�kHP@CB3aZ@CB4DiWU DiaZUNYPDZ� s BED �kHTYTYTHTS4h�SEDGFCF�@6aOMqVX|ZDgV_h�HT[f@�aZ[1| SEa � YTDGQEhZD/@6aqaZ@CBEDiWdFkHTF�@6WdK4YTxOU4WdHInoDGYPDGFCFi�

Page 7: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � ��� " ������

Page 8: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 9: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ��" ������ �

��� r�� j VZSNHP[fa�YIQ4Fi���� � HPD hZWCa�KEU ��� ?uFCF6a niHTVX@6DGQ � HPD/VZYPhZDiL4WwV ��� tkS4HTvZDiWdFCVZY DGS`vZDGYPaZUNHTSEhqVZYThZDiL4WdV aZ[{V � HTD VZYThZDiL4WdV � ���� ���� s BEDcFCDi@JaZ[{VZYTY WCDGVZY}vXVZYTKEDGQR[ K4S4no@CHPa�SNFi������� s VZSEhZDGS`@kFCUNVZnoDgVX@JU a�HTS`@���� � ����� ���� l Di@�aZ[1VZYIY vZDGno@6aZWk^4DGYIQ4F�a�S � ������ s B4DcQ4H�� DiWCDGS @CHIVZY aZ[9[ K4S4no@CHPa�S � � �� ���� ��� "! ��# s BED&�9HPDcQEDiWdHPvXVX@CHPvZD/aZ[ � � �� ���� �kHP@CBRWCDGF6U DGno@�@6aq@CBEDgvZDGno@6aZWk^4DGYIQ � � ���$&%(' ) s BED+*4a�� aZ[{V vZDGno@6aZWk^4DGYIQ ���$ s BEDcnoa`aZWwQ4HTS4VX@6DcMqVXUNUNHTSEh []WCa�M � @6a � ���, s BEDcF6Di@JaZ[bWCDGVZY\S-K4M L>DiWwFi���- s BEDcF6Di@JaZ[1HTS`@6DihZDiWdFi�� � Q s BED/HTQ4DGS @CHP@+x MOVX@6WdH�� ���.0/ DiWCaZ@CBpaZWdQEDiWkHTQEDGS`@CHP@yxRQ4H�� DiWCDGS`@CHTVZY>aZU>DiWwVX@6aZWkHTSRDGS`vZDGYPaZUNHTS4hqVZYPhZDiL4WdV ���1+2 � DiWdS4a�K4YTYTH S-K4MgL DiWdF �1&3547698:1<;=47>�6@? ~ 8:10A0476@?9BC8 VZS4Q VZYTY a-QNQ 10DFEHG VXWCDc� � ���IJD l-Di@�aZ[1@6DiWdMqF HTSR@CBED j VXh�S`KNFJF6DiWdHPDGFJD��-UNVZSNFCHPa�Spnoa�S`@CVZHTS4HTSEh"K-@CB HTS`@6DihZWdVZYTFi��L�M l-Di@JaZ[b@6DiWdMqF HISR@CBED j VXh�S-K4FkF6DiWdHPDGF�D�� UNVZS4FdHPa�SRaZ[1U>a���DiW5N �� l � S � s BED+O �yQ4HIM_DGS4FCHPa�SNVZY8F6U DGniHTVZY aZWd@CBEaZhZa�S4VZY �9HPD hZWCa�KEU\��QPCRS O � s B4D+O �yQ4HTM_DGS4FdHPa�S4VZY>F6U DGniHTVZY aZWC@CBEaZhZa�S4VZY�� HPDcVZYThZDiL4WdV �� ?uQ s BEDc?uQ��6a�HTS`@�WCDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S}�� VZQ s BEDcVZQ��6a�HTS @�aZU DiWdVX@6aZW �� D�� U s BED/D�� U a�SEDGS`@CHTVZY}MqVXU\�� D�� UNM j VX@CYTVXL$ FkMqVX@6WdH�� D��-U a�SEDGS`@CHTVZY}[ K4S4no@CHPa�S\�� QED�� U�� H�� DiWCDGS`@CHTVZY aZ[1@CBED/D��-U a�SEDGS`@CHTVZY\MOVXU\�� niV x s BED ��V x-YTDix MqVXU �� Q4niV x � H��>DiWdDGS @CHTVZY\aZ[b@CB4D ��VGx YPDixpMqVXU\�� niniF6|���VZS4a�S4HTniVZY}noa-aZWdQ4HTS4VX@6DGFJaZ[b@CB4DcF6DGnoa�S4Q | HTS4Q\�� Q4niniFC| s B4DcQ4H�� DiWCDGS @CHIVZY aZ[b@CB4DcniVZSEa�S4HTniVZY\noa-aZWdQ4HIS4VX@6DGF�aZ[1@CBEDcF6DGnoa�S4Q |-HIS4Q}���T9T s BED/MqVX@6WwH�� � @6a � vZDGno@6aZWuWCDiU4WdDGF6DGS @CVX@CHTa�Sp[faZWJFC|ZD � �yF6x MqM_Di@6WdHTn/MOVX@6WdHTnoDGF�HTS PCR� O � ���U9U s BED vZDGno@6aZW � @6a �yMOVX@6WdH�� WCDiU4WdDGF6DGS @CVX@CHTa�Sp[faZWJFC|ZD � �yF6x MqM_Di@6WdHTn/MOVX@6WdHTnoDGF�HTS PCR� O � �

Page 10: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 11: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� �$����� ����

���������� � � � �

�������������� ��� ����������� ���

� � � � � � � ��� ��� � �

! �"�� � � �#��� �%$&'�#���������� $��( � ���)�#*,+-��.���/� $ �( � ���)�#*10 ����2 �3�/� $ ��� �

4 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � � 46 � 6 � S`@6WCa Q4K4no@CHPa�SO�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 66 � 6 � 6 �uDia�M_Di@6WwHTn � S @6DihZWdVX@CHTa�S VZS4Q j aZ@CHPvXVX@CHPa�Sp[]aZW � HTD �uWCa�KEU j Di@CBEa Q4F �/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 66 � ~ %mWCDGYTHIMqHTS4VXWCx j VX@CBEDGMqVX@CHIniF �c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 66 � ~-� 6 � H�� DiWCDGS @CHIVZY j VZS4HT[fa�YTQA@ �c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� ~6 � ~-� ~ s VZSEhZDGS @ {DGno@6aZWGr s VZSEhZDGS`@���K4S4Q4YTD VZSNQ {DGno@6aZW � HPDGYIQ �/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� �6 � ~-� � � H�� DiWCDGS @CHIVZYTFir �uDiWdHPvXVX@CHPa�S4Fir4VZS4Q � HPD��uDiWdHPvXVX@CHPvZDGF �/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� B6 � ~-�CB � S @6DihZWdVZY)��KEWCvZDGFJVZSNQ � YPa � �c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� D6 � ~-�ED % KNFCB � []aZW�� VXWwQ VZSNQ % K4YIY�� LNVZnC| j VXUNF �c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� B6 � ~-� B JDGYIVX@CHPa�S4FCB4HTU L Di@ ��DiDGS � HPD �uDiWdHPvXVX@CHPvZDGF VZSNQ % K4YIY�� LNVZnC| Fi� �c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� F6 � � � HPD �uWda�KEU VZS4Q �9HPDc?kYThZDiL4WdV �c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� G6 � �-� 6 � HTD�� WCa�KEUIH �c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� G6 � �-� ~ � HTD ?uYPhZDiL4WwVKJ �c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~6 � �-� � � � U a�SEDGS`@CHTVZY j VXU VZS4Q �\Di[]@�� HTDc?kYPhZDiLNWdV_?kno@CHTa�S �c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 B6 � �-�CB s BED � H�� DiWCDGS`@CHTVZY}aZ[1@CBED�� � U a�SEDGS`@CHTVZY j VXU VZS4QpHP@CF � S`vZDiWdF6D �g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 G6 � �-�ED �uDGSEDiWwHTn %mWCDGFCDGS @CVX@CHPa�S aZ[)� H�� DiWCDGS`@CHTVZY$��e`K4VX@CHTa�S4F�a�SL@ �c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� ~Z~6 � �-� B � HTD s x-U>D���e`KNVX@CHPa�S4F��/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� ~Z�6 � �-�MF s BED ��VX|ZDiW � ��VZMqU4L DGYTY�� �uVZK4FCQEaZW � � aZWdM)K4YTV �c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� ~Z�6 � �-�EN �\Di[]@JVZS4Q kHPh�B`@ s WdHTv-HTVZYIHTFCVX@CHPa�S4F)�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� ~6D

Page 12: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

$�� � ( 5 � +��)0 0 5������� �

;= � � 2 ��� ��� � ��� $ � "�9� � ��� ��~-� 6 j VXh�S-K4Fkl-DiWdHTDGF � � UNVZS4FCHTa�S4F �c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� ~ F~-� ~ a`aZ@6DGQ s WCDiDGF��c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� �X�~-� � %ba���DiW�� aZ[{V a`aZ@6DGQ s WdDiD �/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� �3B~-�CB s HTM_D�� l-x MqM_Di@6WCx VZS4Q��uWdQ4DiW�aZ[b@CB4D j VXh�S-K4Fkl DiWdHPDGF � �-UNVZSNFCHPa�S��c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� �6N~-�ED j K4YP@CHTv VXWdHIVX@6D��/K4VZQEWdVX@CKEWdD �g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� �6G~-�ED-� 6 � VZK4FCF ��� DihZDGS4QEWCD�� K4VZQEWdVX@CK4WCD/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� �6G~-�ED-� ~ j K4YT@CHPv VXWwHTVX@6D � VZK4FCF ���\DihZDGS4QEWdD�� K4VZQEWwVX@CKEWCD �c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� B ~

� + >�� ��� ; � � � � �#� � �>�� � ��-� 6 � Dia�M_Di@6WdHTn � S`@6DihZWdVX@6aZWdF HISp@CBED& ! j ! niYIVZFCF �c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� B/F�-� ~ s BED ! j ! ��YTVZFdF �c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� DZ~�-� � ��VZSEa�S4HTniVZY�� a-aZWdQ4HIS4VX@6DGF�aZ[1@CBED � HPWdF6@�!cHIS4Q��/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� DZ��-� �-� 6 s BED�� � U a�SEDGS`@CHTVZY j VXU �g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� D3B�-� �-� ~ s BED ��V x-YPDix j VXU �c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� D F�-�CB ��VZSEa�S4HTniVZY�� a-aZWdQ4HIS4VX@6D aZ[b@CB4D l-DGnoa�S4Q !cHIS4Q �c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� D6G�-�ED �! j ! �uWdQEDiW!��a�S4Q4HP@CHPa�SNF#�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� B ��-�ED-� 6 tkS4HTvZDiWdFCVZY$��S vZDGYPaZU8HTSEh_?kYThZDiL4WdV�� aZ[1V � HPDcVZYThZDiL4WdV J��c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� B ��-�ED-� ~ � � []a�YTQ#��VXWd@6DGFCHTVZS % WCa-QNK4no@CF�aZ[ � HPD �uWda�KEUNF �c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� B 6�-�ED-� � � HPD�����KE@CnwBEDiW l-DiWwHPDGF�[faZWk@CBEDc?uS4VZYPx-@CHTngl-a�YTKE@CHTa�S3�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� B ~�-�ED-�CB � HPD�����KE@CnwBEDiW l-DiWwHPDGF�[faZWk@CBEDc?kU4U4WCa � HTMOVX@6D l-a�YTKE@CHPa�S �/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� B�B

� ! 2 �?��� � � "� $ � ��� � �?������� ���BE� 6 �uVXWdM_a�SNHTn�� FCniHTYTYIVX@6aZWdFq�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� F DBE� ~ � aZWCDGS ����e`K4VX@CHTa�S4F �c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� F GBE� � l U>DGniHIVZY � WC@CBEaZhZa�S4VZY j VX@6WdH�� � H�� DiWCDGS @CHIVZY$� e-K4VX@CHPa�S4FR�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� NZ~BE� �-� 6 j VX@6WdH � � �-U a�SEDGS`@CHTVZY VZS4Qp@CB4D %1VZQ��D ?kU4U4WCa � HTMOVX@CHPa�S4FA�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� NZ~BE� �-� ~ ! BOVZSNQ ! j ! B DGFCK4YP@CFk�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� N3BBE� �-� � � a�M_U DGS4FCVX@6DGQ � WCWCaZWJ?uQ4Q4HP@CHTa�SR[faZW �! M_Di@CBEa Q �c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� N BBE� �-�CB � a�M_U DGS4FCVX@6DGQ � WCWCaZWJ?uQ4Q4HP@CHTa�SR[faZW �! j ! M_Di@CBEa Q��/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� N6NBE�CB � H�� DiWCDGS`@CHTVZY � e-K4VX@CHPa�S a�Sp@CBED)l-U8BEDiWCD �g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� GZ~BE�ED kHPh�HTQ#� a-Q4x��ux S4VZMqHTniF#�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� G6DBE�ED-� 6 l-x-FC@6DGMqF�aZ[ %1VXWC@CHTniYPDGF��c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� G6DBE�ED-� ~ JaZ@CVX@CHTSEh HPh�HTQ � a QEx �c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� G BBE�ED-� � � K4YPDiW ��e`KNVX@CHPa�S4F�aZ[ j aZ@CHTa�S �c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� G6GBE�ED-�CB � SEDiWChZxRVZS4Q#��a�VZQ�� a�HIS @!�uWdLNHP@CF�aZ[1@CBED& HTh�HTQ � a-QEx �/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6 � 6BE�ED-�ED JaZ@CVX@CHPa�S aZ[1V JDGno@CVZSEh�K4YIVXW ��YPa-nd|!�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6 ��~BE�ED-� B HPh�HTQ � a QEx#%mWCaZLNYTDGM HTSR@CBED �! j ! � WdVZM_D � aZWC| �g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6 ���BE�ED-�MF �kK4MqDiWdHTniVZY JDGFdK4YP@CF �/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6 � B

� & �#��� � 2 � � ��� 4"4��D-� 6 �9HPD hZWCa�KEU MqDi@CBEa-QNF �c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6�6 FD-� ~ � KE@CKEWCD aZWC| �c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6�6 G

� +-��������)�"* � ��� 2 �%��� 4 !�

Page 13: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� 5 � ( 5 � ��� � 8���� $�� � �

� ;= ����� &'� � � 4 ��u� 6 �kVXWdMqa�S4HTn�� FCniHIYTYTVX@6aZWdF_�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~ F�u� ~ �\aZWCDGS ����e`KNVX@CHPa�S4F_�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~6N�u� � l-U DGniHTVZY$�uWC@CBEaZhZa�S4VZY j VX@6WdH � � H�� DiWCDGS`@CHTVZY � e-K4VX@CHPa�SNFR�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 �X��u�CB HPh�HTQ#� a QEx � e-K4VX@CHPa�S4F �/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 �6N� � �.� � � � �3 � >�: 4 � �

Page 14: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 15: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� � � � � " � ��� �

6 � 6 ���������� ����������������������������� ��! #"$����%&�'����()"*"��'�+��,�-�����'�."'�������/ �c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� ~ B~-� 6 01���-"��%2"'��33�4 5���*"�(�768���������1����'���4!�9���-�:�������;/ �c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� �6D�-� 6 01���-"��%2"'��33�4 5���<0<=>����%?0<=@68=BAC�"�(��9%��3/ �c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� B F�-� ~ D �'%93�$E�����%9�"������:�4 5���*"�(�70<=@68=BAC�"�(��9%?�- F���?"��C���G%93�1H�/ �c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� FX�?g� 6JIK������-�L3���'���G�M 5����AN(����+������O�- 1�P"'������Q3&RTS1(�3�T������+�����OU�VXW5H:/ Y�Z\[�S1�]"'(_^a`2bdce�-��%f^�ghbic�jk�/

�*(�l"����h"'�����C��(��.S<�<"'(�m��'�����$�n!"PS4���f3��oG(h���������V)����)"�(��-��+�����p�- 4Rq[rS1(����l"�(�l�n�-"�"���A"'�����7o����)"'����:�s"'(�@�G�."������*�� q"'(�@�����������r��'�����'�3/�t$��q��)"�3���G�."'���G���:���%p������- ����G%9��1H:/ �/�c�c� 6 ~Z�?g� ~ 013�����"'�4 5�'��Au���������������v0$=�HmAC�"�(��9%r/ �g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~3B?g� � 013�����"'�4 5�'��Aw0$=�HmAC�"�(��9%?S1�]"'(eo!��AC�n����'�."'3%p��'�����1��%�%9�"������q/ �c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~3B?g�CB 013�����"'�4 5�'��Au���������������v0$=@68=�HlAC�"�(��9%r/ �c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~6D?g�ED 013�����"'�4 5�'��Aw0$=@68=�HlAC�"�(��9%?S1�]"'(eo!��AC�n����'�."'3%?��'�'���*��%�%9�"������q/ �/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~6D?g� Bx013�����"'�M 5����Ay0<=�H?Am�"�(��9%h 5���K"�(�m�'3o!"'���������,�-�M������oGze���{������"'�-���l 5��3l�'�-"G�."'����;[rS1�]"'(h|$W}c�Z$b~ c�j c)Y9������c�j�k!��/ �c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~ B?g�MF 013�����"'�� 5����AB0<=@68=�HKAC!"�(���%lS1�"�(l"�(�*!�9�n����3�)"��,�-��A �-�7 5����"�(�*�'3o\"G�-�������,�-������9oGz@�������:�P"G�-���� 5��3�����"'�."'����;[�|$W�c)Z�b ~ c�j c�Y����9��c�j�k!��/ �/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~ B?g�EN 013�����"'�� 5�'��AN0$=@68=�HOAm�"�(��9%{S1�"�({"�(�pE4��������8A ���;[; 5����"�(� �'3o!"'�-�������,�-�������9oGz8��T���:�P"G�-���� 5��3�����"'�."'����;[�|$W�c)Z�b ~ c�j c�Y����9��c�j�k!��/ �/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� 6 ~ B

Page 16: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 17: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� � � � � ���� ��� �

6 � 6 j VZS4HT[fa�YTQ � � HT@CBRa vZDiWdYTVXUNUNHTSEhqnoa-aZWdQ4HTSNVX@6DcndB4VXWC@CF�������� �/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� �6 � ~ ��� WdDGYTVX@6DGQ4SEDGFCFG�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� F6 � � % K4FCB�� [faZW���VXWdQpMqVXU �k�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� N�-� 6 � HIFJVZSpDGe-K4HPvXVXWdHTVZS`@JMqVXU []aZW VZYTY � � � � �c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� B N�-� ~ � e-K4HPvXVXWdHTVZS`@ MqVXU� $ � � 8 � ���C� T � � HT@CB WCDGF6U DGno@u@6az@CB4D)VZno@CHPa�SNF 1�� a�S � VZS4Q���a�S

� r4[faZWkVZYTY � � � VZS4Q � � � ���g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� B G�-� � � e-K4HPvXVXWdHTVZS`@mMqVXU�� $ � � 8 � ����� T � � HP@CBqWdDGF6U DGno@ @6a)@CBED DGYPDGMqDGS @ D��-U ���� � � � r � BEDiWCD

� � � rE[faZWkVZYTY � � , VZS4Q ��� � ���/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� DX��-�CB � � WCDGYIVX@6DGQ4SEDGFCF�L Di@ ��DiDGS HTSE^NS4HT@6DGFCHTMqVZY8hZDGSEDiWdVX@6aZWdF ��� VZS4Q ��� �E�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� D 6�-�ED $ � WCDGYTVX@6DGQ4S4DGFCF�L Di@�� DiDGS HTS4^NS4HP@6DGFCHIMqVZY4hZDGSEDiWwVX@6aZWdF ��� VZS4Q � � � �g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� D 6�-� B � � WCDGYIVX@6DGQ4SEDGFCF�L Di@ ��DiDGS���� 4 QED�� U! ;" �� � VZSNQ$#%� 4 " # � �{�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� D6DBE� 6 &;���(' �����M�����-"L�- n�����������)3���'���L�����-������"F��"�3�����Q3� 5���F��������"'�� 5�'��A>0<=C[�I��-���'�3[��-��%m68����������AC!"�(���%��

�- F���G%9��*H:/F�*(���p������+��% "'(�@����]"'�����;+.�-����@���'�������Ad���eUsV8W�H�/ )�Z![� 5����Ad^a`Kb cl"'� ^�g�b c�jk�/ �c� F6FBE� ~ * ����+�����*"'(�����:%9��G%��-AC�n3%@���9�P"'�A ��7U�V�W5H:/ ))Zn 5���q"�(�s��)"�3��+.���-^,+ ~ c���H�c.��[! 5���;S1(��,oG(@^,- ^/.<b Y-c�c�/

�*(�2"'���0)h���G�-��(����-�' �����"'�l�- <����AC��'�,o��-��������9"'������21rW�^�Z7�-�)�-������"7"���AC&^\[FS1�]"'( R byk43-Y�c�/�*(�@�n�-"�"'��A5)C���G�-��(��1����K"'(�7%9�76n3��3��o!��1�:�"PS�3��?����AC��'��o3�-�q�������9"������:�4 5����Ad3��oG(?�� �"'(�2)��)"'����G�."'���G������%p"�(�@(����(���p��o�o����G�."� D98 U�H��9/ �c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� F N

BE� � * ����+�����l"�(�K�.+���G%��-AC�n3%p���9��"��Au��OUsVeW�H�/ )�Zs 5���*"'(����)"�3��+.���r^,+ ~ Y�Y-c��'Y:)�c.��[- 5���1S1(���oG(?^<; ^/.<bY-c�c�/��*(�1"�����)����'����(��L����*�����-"G�L�- v����AC��'��o3�-���������9"������:�!1vW�^�ZL�-�)�-������"�"'�AC<^\[�S1�]"'(&R&b k43-Y�c�/�*(�@�n�-"�"'��A5)C���G�-��(��1����K"'(�7%9�76n3��3��o!��1�:�"PS�3��?����AC��'��o3�-�q�������9"������:�4 5����Ad3��oG(?�� �"'(�2)��)"'����G�."'���G������%p"�(�@(����(���p��o�o����G�."� D98 U�H��9/ �c�g�/�c�c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� F N

BE�CB )M%9��AC������������������'����(�����(��.S1�����$"�(�=&;����3��Q��-"�"'�'��o\"����'�; 5����A HK%��>6v��'��)"F��)"�3���G�."'���G��[�S1(���C������+)�����UsV8W�H�/ H)Z!/?1-`Mb ~ kA@9�CB$Y9k��'�-H-��[�^a`Mb c�[9^�g�bBk3c�[9�-��%eR&b kA3-Y�c�/ �c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� NX�

BE�ED )�o!��AC�:������)"4�������9"'������,DpW5^�ZsbBWFE�W5^�Z\�/1rW5^�Z\��G:W�^�Z�Z4�-�)�-������"s"���ACM^\[) 5�'��Ad������+�����7"�(�H&;����3��QMU�V��:�4'"��������<��OUsV8W�H�/ H)Z!/?1-`Mb ~ kA@9�CB$Y�k��'�-H-��[�^a`Mb c�[9^�g�bBk3c�[��-��%OR&bBkA3�Y-c�/ �/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� N 6

BE� B &;���(' ����� �����"K�� s������������3���'���M�-������:�P"��P"'������Q3� 5���M�'3�����"'�$ 5����A 0<=d�-�:%h0<=@68=iAC�"�(��9%��KS1�"�(���G%9��G�JI�b Y9��)���H�[) 5����Au������+)�����m"�(�@����"��,�-�r+.�����@���������3Ad���OU�V8W5H:/ ��Z\/L^a`Mb c �-��%p^�g�b c�j�k�/ N6D

BE�MF * �����9"������:�s 5�'��Ad0$=B�-��%p0<=@68= AC�"�(��9%��*�� KI�b H�[�S1(�3�?������+�����lUsVeW�H�/ ��Z!/��*(�M��! #"1(�����%?���,%9���G�-��(O�,�*"�(����'�'���*��8%�!".WF1�Z\/*�*(�7�'���()"<(��-��%e���,%97���G�-��(p�,�1"'(�7��'�'���1���O"�(�7����"'(�������������"P��- !1v[9����+���?��� "�(��YA'������'AML 1ONP1QB�RSL./F^a`Kb c�[�^�glb k3cC����%?Rpb k43�k3c�/ �/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� N6D

BE�EN &;���(' �����O�����-"l�- 1��������������'�'���������-������"��P"'�������Q� 5���7��������]"G�@ 5�'��A "�(�2���������������s0<= AC!"�(���%;[��-��%0<=dAC�"�(��9%fS1�]"'({o���AC�:3���'�."��%h3���'���K��%�%��]"'����;/�T4��"�(h���)"�3���G�."����'�K������+�3%e"�(� �����"��,�-�L+.�-�������'�������Ad���+���?��eU�V8W5H:/ ��Z\[� 5�'��Ad^ ` b cm"��C^ g bBk3c�/ �c�/�c�c�g�/�c�c�/�c�c�/�g�c�c�/�c�c� N F

Page 18: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

$ ��� � � ( 5 � +��)0 0 5������� �

BE�EG &q���(' �����������-"s�� r��������������'�������-�)�-�����P"4�P"'������Q31 5���s��������"'�� 5����A "'(�$����������������0<=@68= AC!"�(���%;[)����%0<=@68=BAC�"�(��9%OS1�"�(eo!��Am�n��:���-"�3%?3���'���4��������C"'(� �������������� ���� /,T���"�(O����"'����'�-"����G�4�����+�3%"�(�@�����"��,�-�;+.�-��������'�������Au��eUsVhW5H�/ ��Z![9 5�'��Ad^a`Mb cl"��C^�g�bBk3c�/ �c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� N6G

BE� 6 � &q���(' �����8�����"m�� M�������:�-�4��'�����m�����-������"m��"�3������Q�p 5���C�'3�����"'�l 5����A "�(�O�������������-�*0<=@68=yAm�"�(��9%r[�-��% 0<=@6h= AC�"�(��9% S1�"�(&o���AC�n����'�."'3%C��'�'������%�%9�]"'����;/?T4�-"�( ���)"�3���G�."����'�L������+��%l"�(�M����"��,�-�+������K���������3Ad���OU�V8W5H:/ ��Z\[9 5�'��Au^ ` b cl"�� ^ g b k3c�/ �g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� G 6

BE� 6�6�������A �����+������pU�V{W�H�/�k3c)Z\[n"�(�m"'���hHp���G�-��(:�M�����"�(�C�������"��������$ 5����A 3��oG(8��)"'����G�."'���M�����"�"'3%f���"�(�C������ ���o!m�- ��&�����"@����(�3���/7�*(�m�:��"�"���A Hp���'����(��M�-�'�"'(�m%��>6v��'���o�l�n!"PS4�3�f�������9"������:� 5����A D98 UsH)�l�-��%?���oG(?�- q"'(�@HC��)"'����G�."'���G��/ 1 ` b ~ c���c���k!��[�^ ` b c�[9^ g b��-H�[9����%eR&b k43-Y-c�/ � GZ�

BE� 6 ~ ������A �����+������MU�V W5H�/�k3c)Z\[�"'(�*+������,�."'����7���7"�(�4������-"�(l�- :�������9"'�����+��o\"'���G�������-������"q"'�AC4^q�,�������"�"��% 5���13��oG(p���)"�3���G�."����3/ 1 ` b ~ c���c��3k!��[�^ ` b c�[�^ g b���H�[�����%eR2b k43-Y-c�/ �g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� G3B

BE� 6 � &q���(' �����f�����" �- ������������43���'���C�-�)�-������" ��"�3�����Q3p 5���C"�(�8�������������m+�����9o!�"P�T|���W�^�ZOW5��! #"GZ![<�-��% "�(��:�)���"������X+�3o!"�������-W5^�ZpW5�'���(�"\Z\[F 5�'��A �����+������e"'(�&�'�����%T�n�9%9�T���'�������A S1�"�(_"'(� )8Am�"�(��9%��0<=�H�[�0<=@68=�HOS1�]"'(T"�(�&!�9�:������)"'������A �-���������:[�����%T0<=@68=�HOS1�]"'(T"�(�OE4���)����hAC������������/|���W}c�Z�b ~ c�j c)Y9���9��c�jk�� [9^a`Mb c�[�����%?^�g�b k43�k�c�/ �c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6 � N

BE� 6 B�� ���"�"'����X"�(�f����"'�."'���� �- 7����fo����'����hW��� #"GZ![K����% )X%9��AC��������������M�'�-"G�."������ �� @"�(�f���o\"G�-���������������9oGzv[4�� "�(�e�������,% �n�9%9� ���������3AO/���"2�,� �'�-"G�."������{���'3o!�,������ �-�n���9" "'(� E ���'��:o!�����-�<�-���,�3/ ��W�c�Z�b ~ �9��c���c-� [�^ ` b c�[�^ g b k�c�[��-�:%ORpb kA3.H�c�/ �c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6 � G

BE� 6 D!� ���"�"'����X"�(�f����"'�."'���� �- 7����fo����'����hW��� #"GZ![K����% )X%9��AC��������������M�'�-"G�."������ �� @"�(�f���o\"G�-���������������9oGzv[1��� "�(�h�'�����% �n�9%9� ���'�������AO/"��"?���p����"'�-"������X�'������(��� �-�n����"&"�(� E ��������o!�������K�-���,�3/ ��W�c�Z�b ~ �9��c�j c�k��9c�j ����[9^a`Mb c�[9^�g�b k�c�[�����%?Rpb k43�H�c�/ �/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6�6 �

BE� 6 B � ���"�"'����X"�(�f����"'�."'���� �- 7����fo����'����hW��� #"GZ![K����% )X%9��AC��������������M�'�-"G�."������ �� @"�(�f���o\"G�-���������������9oGzv[q���{"�(�&�������,%h�n�9%9�{�����������AO/#��"7�,�@����]"'��������h�'�-"G�."������O�'������(���f�-�n���9"@"'(� 1h��������o!��������.�9�������'���9o����-"�3%mS1�"�( R�$�[9o�����������@�����P"G�-����$AC��"������ �- r"'(�$�'�����,%C�:�9%9��/ ��W�c�Z�b ~ c�j c)Y9������c�j�k!��[^ ` b c�[9^ g b k�c�[�����%?Rpb kA3.H�c�/ �c�/�c�g�c�/�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6�6 �

BE� 6 F 0<3�����]"G�r 5�'��A 0<=�H$����%@0<=@68=�HnW5!�9�:ZrS1(���7������+�����<"�(���'�����,%��:�9%9�����'�������AO/q�*(�,)<o���AC�:������)"G��-�'M�-�������,�-�4+�3��9o!�"P�m|���W�^�Z���?�:�9%9�po!�����G%9�����."'3�KW#"����&��! #"\Z\[9"'(�������'Ai�- q"'(�K�:�)���"������?+��o\"���� 5����A k8o!��������C�- �"�(�e����"'�."'����{�'3o!"'���������,�-� ����9oGz W5"���� �'����()"GZ![�"'(�e��'�'���C�� "'(�8������A �- "�(�m�-�����������$AC��AC3��"'��A ���8�:�9%9�eo��)���'%�����-"���QL&%'��W�^�ZCL&W5�n�-"�"'��A ��! #"\Z\[;�-�:%O"�(�l��'�����<���8"�(�( �-AC���]"'�����,�-� L&) W5^�ZCLmW��:��"�"���Au�'���()"GZ\/ �3W}c�Z�b ~ c�j c)Y9���9��c�jk�� [9^ ` b c�[9^ g b H)c�[��-�:%?R&bBkA3.H�c�/06�6�6

BE� 6 N 0<3�����]"G�M 5����Ay0<=�H�[r0<=@68=�HnW5����nZ\[;�-�:% D98 U�H)� S1�]"'({�&"����3�'����o!l�- $k�c+*-,/.-[rS1(�3�{������+�����2"�(��������,% �:�9%9� �����������AO/ �*(��,�e�,�h� �����-"8�� l"'(��) o���AC�:������)"G�e�- �-�������,�-�e+�3��9o��]"P� ��W5^�Z\[%9�������,��������_�'3�����"'�C 5�'��A "�(�f��3o!����% (��-� @�- �"�(�h����"'����'�-"������ �:3�����9% 5����A ^eb ~ Y-c�c���H)c�c.��/|���W}c�Z�b ~ c�j c)Y9���9��c�jk�� [9^a`Mb c�[9^�g�b H�c�c�[9�-�:%ORpb kA3.H�c�/ �c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6�6 �

BE� 6 G �*(�p%9�76n3��3��o!?�n!"PS4��� ��������"'�� 5�'��A D98 UsH)�e����%�)h�-"'(���m��)"'����G�."'���G��[F0<=�H:[�0<=@68=�H:W�!�9�:Z![�-��%e0<=@6h=�H:W�o3����Z4 5���K%9���'o!�'!"'�Q33%O+.�-������<�- �^1���e"'(�����)"�����'�-"������O�n��'��9%r[nS1(���f�����+������ "�(��������,%&�n�9%9�&���������3AO/�|��3W�c)Z�b ~ c�j c�Y����9��c�jk�� [�^ ` b c�[�^ g b H�c�c�[��-�:%?R&bBkA3.H�c�/ �c�g�/�c�c�/� 6�6 B

BE� ~X� �*(����'�'���$���8"'(�m�����'A �- �"'(�m�������������$AC��AC��)"'��A ��f�:�9%9�8o������G%9��:�."���QL�%��!W�^�ZCLl�-�)�-�����P"M"���AC^\[r 5����AN0<=�H:[;0<=@68=�H:W�!�9�:Z![q0<=@68=�HnW�o�����Z![rI�t10 *�* W����������hI�������� ' * ��,%9��F�"�3�'�-"��������GZ\[;����%I�t10 *�* W���������2�������7'�3$�S*"����h�"�3�'�-"������:Z![:S1(�3�h������+)����� "'(�m�������,%O�:�9%9�e���������3AO/$�*(�����'����(���O"�(�l��! #"K(��-��%h���,%9l��(��.S<�<"�(�l��������"'�< 5����A �-���;"�(�l���)"�����'�-"����'�*������"��%r/43$�-"'7"�(:�."M���e"�(��� #"4(�����% ���'����(;[)��������"'�s 5�'��A �-���:�� r"�(�K����"'����'�-"����G�L��9o���9"�"�(��0<=�HlAm�"�(��9%p�-�'<+�3���Co!������"�����!"'(������������Tk3c *5. /O�*(�2�'����()"7(��-�:%T���G�-��(T�,�7�8�'o��-��3%{+���G�������{�- *"�(�2�� #"l(�����%{���G�-��(q/|���W}c�Z�b ~ c�j c)Y9���9��c�jk�� [9^ ` b c�[9^ g b H�c�c�[9�-�:%ORpb kA3.H�c�/ �c�c�c�/�c�g�/�c�c�c�/�c�g�/�c�c�/� 6�6 D

BE� ~ 6 �*(��3���'�������"�(� ( �-AC��"������,�-� L�)XW5^�Z Ls�����������"�"���Am*^\[� 5�'��A 0$=�H�[-0<=@68=�HnW5����nZ\[-0<=@68=�HnW�o3���9Z![I�t10 *�* W���������OI��-���'� ' * 3��%���q�"�3�'�-"��������GZ\[v�-�:%hI�t10 *�* W5��������6������7'�3$�S*"'���8�"�3�'�-"������:Z![:S1(�3������+������&"'(� �'�����%f�:�9%9�f���'�������AO/#3<��"�m"�(:�."@"�(� ��������"'�K 5�'��A �:��"�(XI��-�:����W5�('��GZ<���)"�3���G�."�����-��%O"'(�mI������'�3W5 ' �:Z$�-�'7+�3���Oo!������@"'�&3��oG(e�-"'(����[n��� "'(���e�-���:��-�M���$�p�������������"��G�-����()"$�������o!�'���'�*cm���p"�(�@���'����(;/�|���W}c�Z�b ~ c�j c)Y9���9��c�jk�� [9^ ` b c�[9^ g b H)c�c�[9����%eR&b k43�H�c�/ �g�/�c�c�/� 6�6 B

Page 19: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

����� %3=����

� ������ � � � ������ " � � ��� ����� ��� " ���" �� � � "#�������

� S @CBNHTF ndB4VXU4@6DiW ��D � HTYIY9YPa-aZ| VX@cF6a�MqD)aZ[ @CBED_M_aZ@CHPvXVX@CHPa�S []aZWcF6@CK4QEx HTSEh �uDia�M_Di@6WdHIn � S`@6DihZWdVX@6aZWdFirVZS4QpHTS`@6WCa Q4K4noDcF6a�M_DgaZ[9@CBEDg@6DiWdMqHTSEa�YTaZh�HPDGF � B4HTnwB#��D � HTYTY>L D/K4FCHTSEh_YTVX@6DiWka�S}�

��� ��������������� ��!"�#�$�%&$�%'$ (*)�+-,.)0/2143'5*6879/2)�:;1=<>/=3?+97�<�7A@CBD+�/=3FE�<G/=3&+-7�HI+;1*J#3?)�(K1=+9LNMCBO)0/=PN+Q@SRs BED FCKEL �6DGno@ aZ[ hZDia�M_Di@6WwHTn_HTS`@6DihZWdVX@CHPa�S'noa�S4noDiWwS4F @CBED_noa�S4F6@6WdKNno@CHPa�S aZ[�S-K4M_DiWdHIniVZYbHIS @6DihZWdVX@6aZWwF�� B4HTnwBniVZS FCK4ninoDGFCFC[]K4YIYPxRU4WCDGF6DiWCvZD @CBED_VZF6x M_U4@6aZ@CHIn L DGB4V v-HTa�KEWkaZWcHIS vXVXWdHTVZS`@CFuaZ[ @CBED_VXU4U4Wda�EHTMqVX@6D F6a�YTKE@CHPa�SNFirnoa�M_UNKE@6DGQ []aZW�noDiWC@CVZHTSRQEx S4VZMqHTniVZY>F6x F6@6DGMqFi� �BEDiWCDGVZF�@CBED VZHTM�aZ[ V niYTVZFCFdHTniVZY8S-K4M_DiWwHTniVZY8HIS @6DihZWdVX@6aZWJHIF@6a_MqHTS4HTMOHTF6DJ@CBED DiWCWdaZW UNWCa-QNK4noDGQOL-xO@CB4D MqDi@CBEa-Q\r`@CBED DGM_U8B4VZFCHTF�HTSz@CBED/noa�S4F6@6WdKNno@CHPa�S aZ[9V)hZDia�M_Di@6WdHTnHTS`@6DihZWdVX@6aZW)YIHPDGFgHTS3HP@CFgVXLNHIYTHP@yx @6a U4WCa Q4K4noDqS-K4M_DiWdHTniVZY�F6a�YTKE@CHTa�S4F � HP@CB3noaZWCWCDGno@ e`K4VZYIHP@CVX@CHPvZDOL DGB4V v-HTa�KEW[fWda�M @CBEDgQ4H �>DiWCDGS`@CHTVZY DGe-K4VX@CHPa�S4FG� � S ��B4VXUN@6DiW 6 aZ[ ! 6 B # rN@CB4DgHTS4VZniniKEWwVZniHPDGF�aZ[{F6a�YTKE@CHTa�S4F � BEDGSpFCa�YPv-HISEhD�� VZMqUNYPDGF YTHP|ZDR@CBEDpFCHTMqUNYPDRMqVX@CBEDGMqVX@CHTniVZY�U DGS4QNK4YTK4M aZW_@CBEDpQ4H�� DiWCDGS @CHIVZY�DGe-K4VX@CHPa�SNF_QEDGFCnoWdHPL8HTSEh @CB4Da�KE@6DiW�FCa�YTVXW�F6x F6@6DGM�K4FCHTS4hcniYTVZFCFCHTniVZYNHTS @6DihZWwVX@6aZWdFir F6DiWCvZDkVZF VgMqaZ@CHPv VX@CHTa�Sq[]aZW�K4FCHISEh/hZDia�M_Di@6WdHTnknoa�S4noDiU4@CF@6a HTM_U4WCa vZDz@CB4D e-K4VZYTHP@CVX@CHTvZDzL DGB4V v-HPa�K4W aZ[ S-K4M_DiWwHTniVZY�FCa�YTKE@CHPa�S4FG� � @ L DGnoa�M_DGF_VXUNUNVXWCDGS`@ @CB4VX@ � B4DGSF6a�YPv HTSEh F6a�M_D Q4x-S4VZMOHTniVZY F6x-FC@6DGMqFir�@CBEDJniYIVZFCFCHTniVZYEM_Di@CB4a-Q4F VXWCDJHTS4VXU4UNWCaZU4WdHTVX@6D L DGniVZK4F6DZr HIS_F6a�M_DJniVZF6DGFirHP@ HIFgSEaZ@)DGSEa�KEh�B @6a WdDGQ4K4noD @CBEDODiWCWdaZWdFgUNWCa-QNK4noDGQ'L-x'@CBED HTS @6DihZWwVX@6aZWG� s BEDzHTS`@6DihZWdVX@6aZWqFCB4a�K4YTQ'VZYTFCaL DcQEDGFCHPh�SEDGQ @6aOU4WCa Q4K4noD/S-K4M_DiWdHIniVZY\F6a�YTKE@CHTa�S4F � B4HTnwBpU4WCDGFCDiWCvZDgnoDiWC@CVZHTS HTS`v VXWdHIVZS @CF�aZWk@CBEDge-K4VZYTHP@CVX@CHTvZDL DGB4VGv HPa�KEW�aZ[b@CBEDgF6x F6@6DGMp�

� @)@CK4WdS4F a�KE@_@CB4VX@_@CB4DRYIVZSEh�K4VXhZDpaZ[�� HPD��uWCa�K4UNF_VZS4Q � HTDR?uYPhZDiL4WwVZF_HTF_FCK4HP@6DGQ []aZW_@CBEDpLNK4HIYTQ4HTSEhaZ[khZDia�MqDi@6WdHTnpHTS`@6DihZWdVX@6aZWdFir�LNVZFCDGQ a�S�@CBEDGHPWqVZno@CHPa�SNF_a�S�MqVZS4HP[]a�YTQ4FG� ? hZDia�M_Di@6WdHTn HIS @6DihZWdVX@6aZW � B4HTnwBU4WCa Q4K4noDGFzS`K4MqDiWdHTniVZY FCa�YTKE@CHPa�S4F YPx HTSEh'a�S�@CBED MqVZS4HP[]a�YTQ aZ[gV Q4x-S4VZMOHTniVZYkFCx-F6@6DGM r HTF VZS�HTS`@6DihZWdVX@6aZW� B4HTnwB_L DGYPa�SEh�F @6a)V niYTVZFCF�aZ[\S`K4MqDiWdHTniVZYNMqDi@CBEa-QNFm| SEa � SzVZF � HPDJhZWda�KEUzM_Di@CB4a-Q4FG� s BED @CBEDiaZWdx_L>DGBNHTS4Q@CB4HTF�U8VXWC@CHTniK4YTVXWuniYTVZFCF aZ[ M_Di@CBEa Q4F HIF Vq[ VZFCniHTSNVX@CHTSEhOnoa�M LNHTS4VX@CHTa�S aZ[{UNKEWdDgVZS4Q VXU4UNYTHPDGQpMOVX@CBEDGMqVX@CHTniFirVZS4QgHIS/@CB4HTF}@CB4DGFCHTFir���D � HTYTYXD�� UNYPaZWdD F6a�M_D�aZ[E@CBED�QEDi@CVZHIYTF\VZS4Q VXU4UNYTHTniVX@CHTa�S4F}aZ[E@CBEDGF6D � HPD hZWCa�KEU MqDi@CBEa-QNFi� ��UT V���WSX"!"YZ!"��[\��]_^ [`��a�WAYb[`��!c�Qds BED)[fa�YIYPa � HISEhzVXWCD F6a�M_D aZ[�@CBED @6DiWdMqF � B4HTnwB �kHTYTY\L D M_DGS`@CHPa�SEDGQ HTS FCKELNF6DGe-KEDGS`@unwB4VXU4@6DiWdFG� � KEWC@CBEDiWD��-U8YTVZS4VX@CHPa�S4FuVZS4Q U4Wda`aZ[ F niVZS L>D)[]a�K4S4Q [fWCa�M#@CB4D YIHTF6@ aZ[�@6D��-@CFgHTS @CBED � HTLNYTHPaZhZWdVXU8B xZr>DGF6U DGniHTVZYTYPx ! 6 # r

Page 20: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

! 6 G # r ! 6 B # r4VZS4Q ! ~6N # �$;%�� %&$ � 3�� )�1=) 79/=3?<���BD<�7S3?HI+��'@�� Di[]aZWCD � D niVZS�Q4HTFCniK4FdF @CB4D QEDi^NS4HT@CHPa�S aZ[ V3Q4H�� DiWCDGS @CHIVXLNYPDRMqVZS4HP[]a�YTQ}r ��D S4DiDGQ�@6a3K4S4Q4DiWdF6@CVZS4Q @CBEDS4aZ@CHPa�S4F)aZ[kV @6aZU a�YPaZh�HTniVZY�F6U8VZnoDZ� �uDGSEDiWdVZYIYPx3F6U DGVX| HTSEhErmV @6aZU a�YPaZh�HTniVZY�F6UNVZnoD HTF)V F6Di@_[]aZW �kB4HTndB HP@CF@6aZU a�YPaZhZxpB4VZFJL>DiDGS F6U DGniHP^4DGQ}� � WCa�M ! 6 # r�� DgB4VGvZD @CBED/[]a�YTYPa �kHTSEh_QEDi^NS4HT@CHPa�S}�� �� � � � � �#� 4 � 4 ������������������������ ���!�"��#$���%�&�'#(� )*���+��#(�-,!#/.%01�2�-,3�4�������5#+�6�2�2��78�:9;����#/7<�(#'�-�>=?�:9@��ACBD�(#'�-��DA �/,E�-,F���-G

HJILKNM�O � =*��7 PQ) � = IR�ITS 9VU ; 8 U A � =WGX�-,!#/7YU ;QZ U A � = I["I8\ ,!#4A!7 ����7]�^94��7 _8�������5#+�6�2�2��7`�^9W����#/7a�(#'�-�&���4����#'7 I

� WCa�M�@CBED VXL>a vZDZrN@CBEDcnoa�SNnoDiU4@ aZ[1VqQ4H�� DiWCDGS`@CHTVXLNYPD/MqVZSNHP[fa�YIQ � HTF QEDi^NSEDGQpHTS ! ~Z� # VZS4Q ! G # �� �� � � � � �#� 4 � b�;c�#(� � B�#4�d�����!�����+�J�2�����e�f�!�J�D#4��7 Pg��7a���2�h�i�L��7 � ���j�k�����-�h#��(�2����7Y�:9T�',F��./�-�Tld�"P"#AN�Y�^9$�-,!#m�!���-.�� U � 8 ��� � In\ ,�#/7 � ���o��7 O1p P���lg#'7�������7 ���bP�� qo#/.+#/7C�2���"B'�h#nrs��.%�Dl3�(���-,(tnl3��7 � 9/���hPn� 9o#+�"�/,�:9L�-,!#>9'�����h��01�-7��<,F����PiG

HJITu �"�/,vP"��l3����7wU � �^9T�-,!#4�/,!��.D� U � 8 ��� � �x�T��7]����#/7y��ACBD�(#'�m�:9 � Gm��7 Pk�-,!#4PJ��l3���-7�� K U � O ����z�#'.� Id\ ,F�����x� � 4|{ � U � G}0~,!#'.:#d#��J�/,w#'�h#'l3#'7C�>��7 � B�#'����7����L���v���>�h#��i�D�@��7�#W��� #/7a��ACB/�'#'�}U � I

R�IT� ��.v#/z�#/.D_w�/,!��.D� U � 8 ��� � Gj�-,�#/.+#8#+�����D�-�k�D��#/7��DA B/�'#(�-�W� �j� ,1� ��A �',a�-,F�J� ��� �x�g�y,F��lg#+��ld��. p�C,"����lWG

��� � U � T � �Q� , � 8�^9;U � ��7C���4� � � , � I@� ���f#T�-,F�J�Q,F��lg#+��l3��.f�C,"����l����j�3B/� �(#+�(�2����7 � � 0~,!#/.+# � � ��7 P � ;� ��.+#4B����-,����7C�2��7CA���A���G���7 Pv�-,�#4��l3�(�F#n��7 Pk��7Cz�#/.��'#4�-l3�(��#n�:9L����#/7a�(#'�-�4��.+#n�-,!#'lW�'#/��z�#/�4����#'7y���^� I

["IT� ��.k��7 _Y�20m�]�/,F��./�-� U � 8 ��� � ��7�P U � 8 � � � ��A �',]�-,!���j�-,!#g��7C�f#'.��(#+�6�2�2��7�U � Z U � ���d7 ��7�#'l;�b�2_NG�-,!#4l3���CG

� � � 4 � ��� � ;� � � � U � Z U � � T � � U � Z U � � 8���j�-7(�}7C�-�f#'��_vP�� qj#/.+#/7C�2���"B/�5#�9'��.4���-�!�!����.��W�^9%� 8f� I?kYIY}aZ[1@CBEDga vZDiWdYTVXU4UNHISEhOndBNVXWC@CF���� � � � � T � � VXWCD QNH��>Dia�MqaZWCUNB4HTFdM H � DZ�JFCM_a-aZ@CB [ K4S4no@CHPa�S � HP@CB VFdM_a`aZ@CB HTS vZDiWwF6D � rNVZF�U4WdDGF6DGS @6DGQpHIS � HTh�KEWCD 6 � 6@� � � KEWC@CBEDiWdMqaZWCDZr4V_Q4H�� DiWCDGS`@CHTVXLNYPD MqVZS4HP[]a�YTQ � HTF�FCVZHTQ@6azL DcVOFCKEL8MqVZS4HP[]a�YTQzaZ[1VzQ4H�� DiWCDGS`@CHTVXLNYPD/MqVZS4HT[fa�YTQ � HP[ � � �Ar8VZS4Q @CBEDgHTQEDGS`@CHP@+x MqVXU aZ[ � HTS @6a� HTFJVZSRDGM L DGQ4Q4HTS4h H � DZ� s BED U4WCaZU DiWC@CHTDGF�aZ[ � WCDGF6@6WdHIno@6DGQp@6a � VXWCD/@CBEDcFCVZMqDgVZF�@CBED/U4WdaZU>DiWd@CHPDGF�aZ[

� � � � aZW/a�KEW UNKEWCU a�F6DGFir F6@6WdHIno@CYPx F6U DGVX|-HISEhO@CBED_MqVZSNHP[fa�YIQ � HTF WdDGVZYTYPx VRFCKEL8MqVZS4HP[]a�YTQpaZ[ QNHTM_DGS4FCHTa�S� r4DGM L>DGQNQEDGQ HTSR@CBEDcMOVZS4HP[]a�YTQ ,1� rNVZF F6@CVX@6DGQ HIS ! 6 G # �

� � p P��-lg#/7��D�2��7 ���~l3��7 � 9/���hP � �x�n� � p P���lg#'7�������7 ���Q�Dld�6���-,y�DAF.-9'�J��# � � ,1� 9/��.4�/��l3#�g� O I

?uYP@6DiWdSNVX@CHPvZDGYPxZrJLNVZFCDGQ a�S�YPa-niVZYunoa-aZWdQ4HTS4VX@6DGFGr�@CB4HTFOMOVZS4HP[]a�YTQ aZWpFCKELNMOVZS4HP[]a�YTQ �<� niVZS�L D QEDi^NSEDGQHIM_UNYTHTniHT@CYPx_VZF�@CBED/vXVZS4HTFCB4HISEh aZ[1V_FCM_a-aZ@CBR[ K4S4no@CHPa�S}� �/HPvZDGSR@CB4VX@JYPa niVZYTYPxZr4HTSRV_SEDGHTh�B L a�KEWdB4a`a Q U aZ[bVU a�HTS`@;��� � r>@CBED MqVZSNHP[fa�YIQ � � , � niVZS L>Dg@CBEa�KEh�B`@kaZ[mVZFuVzFdKEWC[ VZnoDgaZ[mQ4HTMqDGS4FCHPa�S � r>QEDi^8SEDGQ L-xVqh�HPvZDGS noa�S4FC@6WdVZHTS`@ ! 6 B # r

� 4 K # � U�� � # � 4 � O 8 6 � 6@�

Page 21: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � 8 ���� � � � �9"��:<;= �>����� � � � � �

�������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

U �

� ����, � , �

U ��

��� �

� HPh�KEWdD 6 � 6 � j VZS4HP[]a�YTQ � � HP@CBRa vZDiWwYTVXU4UNHTS4hqnoa`aZWdQNHTS4VX@6DcndBNVXWC@CF���� �Z�

� BEDiWCD @CBEDqnoa�SNF6@6WdVZHTS`@ � � U T , M HTF/Q4H �>DiWCDGS`@CHTVXLNYTDZr � � �&4 � r VZS4Q @CBED_WwVZSE| aZ[ � � � � HIF DGe`K4VZY1@6aN 4 O > � ��kaZ@6Dg@CB4VX@ HISR@CBEDgniYTVZFCFdHTniVZY���KE@CndB4DiW @CBEDiaZWCxZrN@CBEDgMqVZS4HT[fa�YTQ � HTF QEDi^NSEDGQpVZF @CBEDcDGS`@CHPWCD O �yQ4HIM_DGS �FCHPa�S4VZY WdDGVZY}vZDGno@6aZWuFCUNVZnoD ,~� �?uSpD�� VZMqUNYPD/aZ[1K4FCHTSEh @CBEDgv VZS4HIFCB4HTSEh)[ K4S4no@CHPa�SR@6aOQ4Di^NSED/VqMqVZS4HT[fa�YTQRHTFJ@CBEDcnoa�S4F6@6WdVZHIS @J[]aZW VqKNS4HP@

F6UNBEDiWdDZr� �� � 4 � A ;�� � AA�� � AG >�698

� BEDiWCD � 4 �� ; 8 � A98 � G � � , G r4VZSNQ� � � 4 6 HP[9VZSNQpa�S4YPx HP[ � �� � 4 � �?uSEaZ@CBEDiWuD�� VZM_U8YPD HTF @CBED �uVZMqHTYT@6a�S4HTVZS DGS4DiWChZx �� �C,1� � ,1� T , aZ[mVzF6x F6@6DGMpr � B4HIndB niVZS L D@CBEa�KEh�B`@/aZ[�VZF/@CBEDqMqVZS4HT[fa�YTQ � aZ[�Q4HTM_DGSNFCHPa�S�O{� s B4VX@cHTFir\[]aZW � � , T , � VZS4Q�� � , T , � r @CB4Dv VZSNHTFCB4HTS4h [ K4S4no@CHPa�S � HTF�QEDi^NS4DGQpVZF ! 6 G # r

� � �� � 8 � ��:� � 4�� � ��:� 8 � �� � � >�� � � � 8 � � � � 8 � ��:� 8 � ��:� � , � 8 � � ,��� SO@6DiWdMOF�aZ[bMqVX@6WdHTnoDGFGr VZS4aZ@CBEDiW�D�� VZM_U8YPDuHIF @6a_K4F6Du@CBEDuaZWC@CBEaZhZa�S4VZY}noa�SNQ4HP@CHPa�S4F QEDi^NSNHTSEhc@CBED F6Di@�aZ[

aZWC@CBEaZhZa�S4VZY{MOVX@6WdHTnoDGF = O � 4���� � ����� 4 � Q�� aZ[ O O > 6@� ? ~RQ4HTM_DGS4FdHPa�S4Fir8@6aRQ4Di^NSED V MOVZS4HP[]a�YTQ@CBED/vXVZS4HTFCB4HISEh [ K4S4no@CHTa�S � aZ[{VqMqVZS4HT[fa�YTQ � ! 6 G # r� ��Q� 4 � � � � > � Q�� 4 � 8

� BEDiWCD � QpHTF�@CB4D+O � O'HTQEDGS`@CHP@yxRMqVX@6WdH �>�$�%�� %-� ��<�7N:;)G7-/�� ) 5 /2+;1 �!��<�7A:;) 79/#" LS7A@>�?) <�7S@$� ) 5 /2+;1#% 3?)C�'@�\Di@'& � , T � L D VpFdM_a`aZ@CB niK4WCvZD_a�S @CBEDqMqVZSNHP[fa�YIQ � r FdK4ndB @CB4VX@'& � �&4 �3a�S � � s BEDGS @CB4DvZDGno@6aZW � VX@JU a�HTS`@J��� � QEDi^NSEDGQpVZF ! 6 G # r

� 4 �� �& �� �)(((( )+* 3

8 ,K� � , 8

Page 22: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

HIFcniVZYTYPDGQ3@CBEDq@CVZSEhZDGS`@gvZDGno@6aZW a�S � VX@ U a�HTS @ � � � � s BEDqF6Di@ aZ[�VZYTY{@CVZSEhZDGS`@CF VX@5� HTF niVZYTYPDGQ @CBED@CVZS4hZDGS @cF6U8VZnoD aZ[m@CB4D MqVZS4HT[fa�YTQ � VX@ � r QEDGSEaZ@6DGQ L`x ����� � � @ HTFJ@CBED F6Di@uaZ[mDGe-K4HPvXVZYPDGS4noD niYIVZFCF6DGFuaZ[niK4WCvZDGFJVX@J��� � rEh�HPvZDGS L`x ! & # � ! 6 # � s BNHTF�M_DGVZS4F�@CB4VX@�@ ��azniKEWCvZDGF!& ; VZS4Q & A HTS ! & # � B4V vZDc@CBED/FCVZM_D@CVZS4hZDGS @uvZDGno@6aZW � VX@ U a�HTS`@J� � � KEWC@CBEDiWwM_aZWCDZr ����� B4VZF�@CBED F6@6WdK4no@CKEWdDcaZ[{VqYTHTSEDGVXW�vZDGno@6aZW/F6U8VZnoDZ� H � DZ�HT[,� 8 � � ���9� r4@CBEDGS � � � � � ��� VZS4Q � �Q� � �9� []aZW � � , � �s BED�F6Di@maZ[}VZYTY @CVZS4hZDGS @ FCUNVZnoDGFm[]aZW VZYTY U a�HTS`@CF ��� � HTF{niVZYIYPDGQ @CBEDJ@CVZSEhZDGS`@mLNKNS4Q4YPD aZ[ � r`VZS4QqHP@mHTFQ4DGSEaZ@6DGQ)L`x � � 4 { ��� � � � � � s B4HTF noa�S4FCHTF6@CF9aZ[4VZYTY U>a�FdFCHPLNYPD{@CVZS4hZDGS @ � [faZW1VZS`xcU a�FCFCHPLNYTDbL8VZF6D�� U a�HTS @� � � � ?kYIF6aErbS4aZ@6DO@CB4VX@ [faZW)V � �yQNHTM_DGS4FCHTa�S4VZYmMqVZS4HT[fa�YTQ � r � � HTF V ~ � �yQ4HTM_DGS4FdHPa�S4VZYmMqVZSNHP[fa�YIQ}rL DGniVZK4FCD&��D SEDiDGQp@6aOF6U DGniHP[]xOL aZ@CB � VZF�� DGYTY}VZFJ@CB4D/U>a�HIS @J� rEDGVZnwB aZ[ � Q4HTM_DGS4FdHPa�S4F�WCDGF6U DGno@CHPvZDGYPxZ�? vZDGno@6aZWJ^NDGYTQ HTF�FCHTM_UNYTx V MqVXU ��� T � � r4FCK4nwBz@CBNVX@�[faZW�V U a�HTS`@���� � r " � � � ����� �s BEDkF6Di@ aZ[ VZYTYNvZDGno@6aZWJ^4DGYTQNFma�S � HTF QEDGSEaZ@6DGQ �� ���� � � KEWC@CBEDiWwM_aZWCDZrEVZQ4Q4HP@CHTa�SqVZS4Q M K4YT@CHPUNYTHTniVX@CHTa�S_aZ[vZDGno@6aZWu^4DGYTQNF�VXWCDgQEDi^NS4DGQpHTSR@CBEDgK4FdK4VZY � V xZ� s BNVX@JHTFirE[]aZW 8 � � �� �� � VZS4Qp[]aZW VZYTY ��� � r

� � � � � � 4 " � � � � � � ��� <� � � 4 �= � " � � � 8 ,�� � , �

$;%�� %�� � 3�� )�1=) 79/=3?<��&R ���*)�143?E><>/=3?+-7SR �A<�7A@CJ#3?)��*)�143?E><>/=3FE-)GR� Di@ �� ���� L D/@CBEDcF6Di@JaZ[{FCMqa`aZ@CB}rEWdDGVZY}v VZYIKEDGQR[]KNS4no@CHPa�S4F�a�S V_MqVZS4HP[]a�YTQ � � s B4VX@JHIFir

�� ���� 4 K � � � ��� T , O ��kaZ@6D @CB4VX@ � ���� B4VZF VZSzVZYPhZDiLNWdVgF6@6WwK4no@CKEWCDZr FCK4nwBq@CB4VX@ [faZW�VZYTY � 8 �H8�� � � ���� VZS4Q ��� � r � D B4VGvZD � ��� � � 4 � � � � � � r � � � � � 4 � � � � � r>VZS4Q � � � � � � � 4 � � � � � � �� � � �+! 6 # �? QEDiWdHPvXVX@CHPa�S a�S �� ���� HTFuVzMqVXUNUNHTSEh� �C� ���� T �� ���� � HP@CB @CBED []a�YTYPa�� HTSEhOU4WCaZU DiWC@CHPDGF [faZWVZYIY � 8 � � �� ���� ! � # r

��yYTHTSEDGVXW � � � � 4 � � � � � r ��<� � 4�� � � 8 ,�� � , �� DGHPLNS4H �� kK4YPD � ��� 4 � � � � � � � �� a-niVZY\aZU>DiWwVX@6aZW � � � 4 � � � r , aZU DGSpF6Di@CF�� � � � DzniVZS QEDi^NSEDqV vZDGno@6aZW ^4DGYTQ L-x F6U DGniHP[fx HTSEhpV QEDiWdHPvXVX@CHPa�S aZU DiWdVX@6aZW a�S �� ���� VZS4Q3v-HInoDqvZDiWdFCV �s B4HTF�HTF�U4WdDGF6DGS @6DGQ VZF�@CBED �uDiWdHTv VX@CHPa�S s BEDiaZWCDGM 4HIS#��B4VXU4@6DiW BOaZ[ ! 6 # �

+ >��/�#���� 4C� 4C� S 9 � ���e�}7 �2�f#TP��-l3#'7�������7 ���b��7�P����kGQ�-,�#j�����-�h#��(�2����7w�^9j���-��P"#'.��-zi���2����7��T��7 �� �� � ����<.+#+��� z�#+�(����.&�����J��#d�x�'��l3��.�� ,"�2�k��� �� ���� IoS 7<����.D�2���'A!�h��.�Gb9'��.d#+�J�',wP"#/.D��z����2����7 �-,!#'.:#n�x�W�<A!7 ���'AC# � �� ���� �DA �/,E�-,F��� ���L�-,!#Tc~��#WP"#/.D��z����2�-z�#401�2�-,E.:#/����#��(�@��� � �� ���� I

� S j K4S`@CBED���!cVZVZF� F�UNVXU DiW ! ~ B # r s BEDiaZWdDGM 6 � 6 HTF h�HTvZDGSpVZF�V UNWCaZU a�FCHP@CHPa�S}r � B4HTnwBzFC@CVX@6DGF�@CB4VX@�@CBEDiWCDHIF VgSNVX@CKEWdVZYEa�SED�� @6a � a�S4D noaZWdWCDGF6U a�S4QEDGS4noD L>Di@ ��DiDGS QEDiWdHTv VX@CHPa�SNF{a�S �� ���� VZSNQqvZDGno@6aZW�^4DGYTQ4F a�S � �� KEWC@CBEDiWdMqaZWCDZr\@CBED_QEDiWdHTv VX@CHPa�S noaZWCWdDGF6U a�S4Q4HTSEhz@6a V h�HPvZDGS vZDGno@6aZWg^4DGYIQ � �� ���� HTF/niVZYTYTDGQ @CB4D ( � �� ��� � � � � � ���#����� @ � � � �> �3��� � ���6� ����� � s B4D�S4aZ@CVX@CHPa�SqHTFbh�HPvZDGS_L-x ! # ���� ���� T �� ���� � � SYTa-niVZYbnoa`aZWwQ4HTS4VX@6DGF �� ; 8 � � �F8 ���@� [faZW V � Q4HIM_DGS4FCHPa�SNVZY\MqVZS4HP[]a�YTQ � r VZS4Q vZDGno@6aZW/^4DGYTQ 4�� � � ��"!$# r@CB4D � HPDcQ4DiWdHPvXVX@CHPa�SRa�S �� ���� � HP@CBRWdDGF6U DGno@�@6a r � B4DGSpVXU4UNYTHPDGQ @6a � � �� ���� HTFir

"! � # 4&% � �(' �' � � � 6 � ~ �

l HTMqHIYTVXWdYPxZr$� D niVZS noa�S4FCHTQ4DiW)@CB4DpLNHTYTHTS4DGVXW)noa�MqM)KE@CVX@6aZW ! 84 # � �� ���� � �� ����"T �� �� � r�VZFqVQ4DiWdHPvXVX@CHPa�SRa�S �� ���� r8FCKNndBp@CB4VX@kHP[ 8 � � �� ���� VZS4Qp[]aZW VZYTY � � � ���� r���DgBNVGvZDZr! 8 �0# � � 4 "! � !�� # # >� ! "!�� # # �

Page 23: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � 8 ���� � � � �9"��:<;= �>����� � � � � �

�ka � DivZDiWGr HT[ � �� ���� HTF)^�� DGQ}rm@CB4DGS @CBEDpMqVXU ! 84 # � �� ���� T �� ���� HIF)V QEDiWwHPv VX@CHTa�S a�S�� ���� � s BNHTFJHTFk@CBED ( � � � �/� � � �� � � � �#� � � @ � � � �> ���� � ���6� ��� � ! ~ B9# � � S YPa-niVZYbnoa-aZWdQ4HTS4VX@6DGFGrHP[ @CB4Dc@�� aqvZDGno@6aZWu^4DGYTQ4F VZSNQ � VXWCDgh�HPvZDGSpL-xZr

4 % � � '' � � 8 VZS4Q � 4 % � � � '' � � 8

@CBEDGSp@CBED&�9HPDcQEDiWdHTv VX@CHPvZD �kHP@CBRWCDGF6U DGno@�@6a HTF�h�HPvZDGS L-xZr

! 8 � # 4 <� >�+ 4 % � ' �� � ' � �' � � >�

��' �' � ��� '' � � 8 , � � �� ���� � 6 � � �

� S @CB4HTFkniVZF6DZr HTF L aZ@CB VzvZDGno@6aZW/^4DGYTQ VZS4Q VOQ4DiWdHPvXVX@CHPa�S aZU DiWdVX@6aZWG� s BEDgvZDGno@6aZW ^4DGYIQ ! 8 � # HTF aZ[f@6DGSWCDi[]DiWCWCDGQR@6aOVZF @CBED � HTD � VZnoaZLNH � � WdVZnd|ZDi@ ! 6 # �s BED � ��� �������� � "� aZ[ � � �� ���� HTF}QEDGS4aZ@6DGQ ��� � s B4HTF HTF}@CBEDmQ4DiWdHPvXVX@CHPvZD{aZ[ @CBEDmYPa niVZYZWCDiU4WCDGFCDGS @CVX@CHPa�SaZ[ � rNFCK4nwBp@CB4VX@ HTSpYTa-niVZY\noa-aZWdQ4HIS4VX@6DGFirE@CBEDgnoa�MqU>a�S4DGS @CF aZ[ ��� HTF�h�HTvZDGS L-xZr

���� � � 4 ' �' � � �s B4HTF�MqDGVZS4F @CBNVX@ � D niVZS WdD �JWdHP@6Dc@CB4DgD�� U4WCDGFCFCHTa�Sp[faZWk@CBED��9HPDgQEDiWwHPv VX@CHTvZDca�S �� ���� �kHP@CBpWCDGF6U DGno@J@6a � �� ���� HTS ��e 6 � ~ � VZFir

"! � # 4�% � �(' �' � � 4&% �

� ���� � � 4 ��� � <� 8 ,H� � �� ���� � 6 �CB �

$�%�� %�� 6 7-/2)�:-1=<��� LN12E-)GR <�7A@ %T�&+��\Di@ � �� ���� r8VZS4Q$# � , T � L DcVqniKEWdvZDca�S � FCK4nwBp@CB4VX@ VX@ � 4 � r�# � � 4 ��� � �� �" � � � � ��� 4C� ���%�o7v��7C�f#f��.:�����'A!.�z�#j�^9$�-,�#oz�#��(����.Q��#/�hP ��� T �0� ���1�;�!����7C� � � � ���o�d�(AF.Dz�## ��, T � 01�2�-, # � � 4 � G1��A �',8�-,!���Q� H ��G

�� � # 4 # � 8 # � � 4 ��� � �

� aZ@6Dg@CB4VX@ � # ? � � HTF VqniKEWCvZD/[]WCa�M , T � � �� �" � � � � ��� 4C� � �W� P�� qo#'.:#'7C�2�����;# �'A ���2����7 #/zi����zN��7�� ��7 � ���v�`P�� qo#'.:#'7C�2�����$# �(A��J�2�2��7 �^98�-,!#j9'��.Dl� H �^��G

# � 4 " # � 8 � � � G���7 P # � � 4 ��� � G0~,!#/.+# � �� �� � Ik\ ,!#��@��0|�^9 ���&�-,!#4l3��� $&%(' )<� � T � Gm��A �/,8�-,F���-G

# ��:� 4 $&%(' ): # � � � 4 $&%�' ) � � 8 ,K� � , 8�x�&�-,!#L�'����A!�2����7`���<�-,!#nP�� qo#'.:#'7C�2�2���~# �(A ���2�2��7 #/zi����zN��7��v��7 � I� aZ@6D @CB4VX@u@CBED<*4a � aZ[ HTFuQEDi^NSEDGQ HTS FCKNndB V ��VGx @CB4VX@uVZF � vXVXWdHPDGFir # �� � 4 $&%(' ) � � HTFk@CBED HIS @6DihZWdVZYniKEWCvZD � BNHTndBpF6@CVXWd@CF VX@2# � � 4 � � � ! ~ F # r

" $&%(' 3� � � � 4 �� � $&%(' ): � �)(((( )+* 3

8 $+%�' 39 � � 4 � �

Page 24: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

�kaZ@6Dq@CB4VX@ " $+%�' 3� � � � � � ��� r\VZS4Q @CBED vZDGno@6aZWc^4DGYIQ HTFuaZ[]@6DGS WCDi[]DiWCWCDGQ @6a VZF @CBED � �e � � ����� � �?"�� ������� ��"���"* �3>9������������� �s B4HTF=*4a���aZU DiWdVX@6aZW $+%�' ) FCVX@CHTF6^NDGF�@CBED/[]a�YTYPa �kHTSEh_HTQEDGS`@CHP@yx ! 6 G # r

$&%(' 4 $��%�' ; 8�kB4HTndB niVZS L D/U4Wda vZDGQ � HP@CBp@CBED)FCniVZYTHTS4hqaZ[1@CHTM_D � L-xpVOnoa�S4F6@CVZS`@ � r FCK4nwB @CB4VX@Q# �� � �=4 $&%�' 9): # 3 � HTF@CB4DgF6a�YTKE@CHTa�SR@6aq@CBEDgHTSNHP@CHTVZY8v VZYTK4D/U4WCaZLNYPDGM r-[]aZW2# 3 � � r

# � �� �:� 4 " # �� � � � 8 # � � 4 # 3)���KE@ HP[ ��DuB4VGvZD VgnwB4VZSEhZDuaZ[ v VXWdHIVXLNYPD FCKNndBq@CBNVX@ � ��:� 4 # �� � � r-@CBEDGS�� �� � HTF{@CBEDuF6a�YTKE@CHTa�S_@6a @CB4DkHTS4HT@CHTVZYvXVZYTKED/UNWCaZLNYPDGMpr

� � �� � 4 # � �� �:� 4�� # � �� � � 4�� " # �� �:� � 4�� " � ��:� � 8[]aZW�� � � 4 # � � 4 # 3 � l-a�� ��:� B4VZF @CBED+*4a���� ��:� 4 $��%(' ) # 3@� r8VZS4Qph�HPvZDGSp@CBNVX@2# �� �:� 4 � ��:� r

$+%�' 9): # 3@� 4 $��%(' ) # 3 � �l aq[faZW � 476 r���DgBNVGvZDc@CBED HTQEDGS`@CHP@yx h�HPvZDGS VXL a vZDZr>FCHTS4noD/@CB4D/DGe`K4VX@CHTa�S BEa�YTQ4F�[]aZW VZYTY # 3 � � �$;%�� %�� � LSR P�� HI+;1 <�14@�<�7A@�� Lm�������A<�5�� BO<�M`R� Di@ � � � T � L DOV Q4H�� Dia�M_aZWCUNB4HIFCM#L Di@�� DiDGS3@ ��a MqVZS4HP[]a�YTQ4F � VZSNQ��A�" D niVZS3@CVZYT| VXL a�KE@@CB4DqUNK4FCB�� [faZW���VXWdQ VZS4Q UNKNYTY�� LNVZnd| MqVXUNF/L Di@ ��DiDGS @CB4Dq@�� a MqVZS4HT[fa�YTQNF � VZS4Q �Ar VZninoaZWdQNHTSEhp@6a @CBED[]a�YTYPa�� HTSEh QEDi^NS4HP@CHTa�S4F{L DGYPa �g�$� Di@ � � �� ���� r � � �� � � r�� ; HTFm@CB4DuHTS`vZDiWdF6DkaZ[}@CBED MqVXU4UNHTS4h �\rEVZS4Q� � ��� � T � � HTF�@CB4DgQEDiWdHPvXVX@CHPvZD/aZ[ � �� �� � � � � �#� 4 � �b� \ ,!#@� AF��, p 9'��.�0m��.^Pv��7 PT� A!�-� p B+�J���n�^9&�%9�A!7 �6�2�2��7Y��.&�dz�#��(����.~��#'��P3�x�&P"#��}7�#+P3��7w�-,!#9'���-����01��7��80m��_n� H ���

� \ ,!#j� AF��, p 9'��.�0m��.^P]�^93�&9�A!7 �6�2�2��7 � � �� ���� ���h��7�� � ���T�J��z�#/7 B'_E�-,!#3ld�D� �! � ��� � T , G��A �',v�-,F�J� 9'��.n�T������7 � # � � G

�! � � # � 4 � � � ; � # � � 6 �ED �� \ ,!# � A!�-� p B+�J���g�^9L�$9�A!7 �6�2�2��7 � � � � � ������7�� � ���%�J��z�#/7`B/_ � � ��� � T , G%��A �/,E�-,F�J�C9'��.4��!���-7C� � � � G

� � �� � 4 � � � � �� � � 6 � B �� \ ,!#@� AF��, p 9'��.�0m��.^P8�^9&�gz�#��(����.1��#'��P � � �� �� � ���h��7�� � �x�%���-z�#'7aB'_ �� � �9� � T � � G~��A �/,�-,F����9'��.4�&�!���-7C� # � � G

�! �Q� # � 4 � � � � � � ; � # � � 6 �MF �� \ ,!#m��AF�-� p B��J���d�^9j�dz�#+�6����.Q��#/�hP#" � �� � � ������7�� � �������-z�#'7wB/_ � " �9��� T �0� GQ��A �',k�-,F���9'��.4�&�!���-7C� � � � G

� " � �� � 4 � ; � " � �� � 6 �EN �4 � ; � � � " � � � �� � 8

0~,!#'.:# � 4 � ; � I

Page 25: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � 8 ���� � � � �9"��:<;= �>����� � � � � �

��� �����

� �

� ��� � � � ���� ���

� �

��

����� � * � ���

����� � ��� � �

� HPh�KEWdD 6 � ~ � � � WCDGYTVX@6DGQ4S4DGFCFi�

�kaZ@6D @CBNVX@ @CB4D noa�S4noDiUN@ aZ[gUNK4YTY�� L8VZnC| FOVZYTYPa�� Fz[faZWR@CBED @6WdVZS4FCYIVX@CHPa�S aZ[g@�� a�@CVZSEhZDGS @RvZDGno@6aZWdFpVX@Q4H�� DiWCDGS`@ U a�HTS`@CF a�S � @6a V FCHISEh�YPDknoa�MOM_a�S U>a�HIS @i� � [ � B4VZF�YPa niVZY noa`aZWwQ4HTS4VX@6DGF � � VZS4Q � B4VZF�YPa niVZYnoa`aZWwQ4HTS4VX@6DGF�# � r4@CB4DGSp@CBEDcnoa�M_U a�SEDGS`@CFJaZ[b@CBEDcUNKNFCB � []aZW�� VXWwQ �! � HTF ! 6 # r

� � � � # � 4 ' � �' � � �

� � ; # � � 4 ' � �' � � �

� �� � �� KEWd@CBEDiWdM_aZWCDZr4HT[9@CBEDcMOVXU�� HTF�SEaZ@ VOQ4H�� Dia�M_aZWCUNB4HIFCMpr ��DgniVZS F6@CHTYTY>@CVZYP|RVXL a�KE@�@CBED WdDGYTVX@6DGQ4SEDGFCF

aZ[9@CB4Dc@�� aqvZDGno@6aZWu^4DGYTQ4Fir4FdK4ndBp@CBNVX@ � � �� ���� VZS4Q " � �� � � VXWCD � � WCDGYTVX@6DGQ HT[+r� � � � 4 " � � � 6 �EG �

s B4HTF HTFkQ4DGSEaZ@6DGQ L-x ��� � " r VZS4Q YPDGVZQNF @6a @CBED noa�MqM K4@CHPv-HT@yx HTS � HTh�KEWCD 6 � ~O[]WCa�M ! 6 # ���kaZ@6D @CB4VX@ HP[� HTFkVzQ4H �>Dia�M_aZWdUNB4HTFCM rE@CBEDGS ��� � " HIFJDGe-K4HPvXVZYPDGS @k@6a FdVGx HTSEhO@CBNVX@ � HTF @CBED U8K4YTY�� LNVZnd|zaZ[ " � s BEDWCDGYTVX@6DGQ4S4DGFCF�aZ[b@�� aOvZDGno@6aZWu^4DGYTQ4F � HIYTYNL DcQ4HIFCniK4FCF6DGQR[ KEWC@CB4DiWJHTSpYTVX@6DiW nwB4VXU4@6DiWdFi�� HPh�KEWCD 6 � � � FCBEa�� F B4a ��@CB4DgUNK4FdB � [faZW � VXWdQpMOVXU aZ[ � � aZWC|-F a�S V_vZDGno@6aZW ^4DGYIQ � � �� ���� r>VZSNQa�S @CBED *4a � $0) aZ[ � � � aZ@6D @CB4VX@ � � $0) � � ; HTFu@CBED UNK4FCB � []aZW���VXWdQ aZ[ *4a � $&) L-x MqVXU � � � @uVZYTFCaHTM_UNYIHPDGF @CBNVX@J@CBED *4a�� aZ[1@CBED/UNK4FdB � [faZW � VXWdQRaZ[1V_vZDGno@6aZWu^4DGYTQpHTF�@CB4DcUNK4FCB�� [faZW���VXWdQRaZ[1HP@CF *4a�� ! 6 # �

$�%�� %�� �K)C�&<G/=3&+-7AR PA3&M��\)�/ ) ) 7�J�3?)��*)�1 3FE�<G/=3?E-) R <�7A@ � Lm����� �S<�5��QR %� S ! ~ B # r�@CBED UNK4YTY � LNVZnC| aZ[cV3vZDGno@6aZWR^4DGYIQ " � �� � � rkVZno@CHISEh VZFz@CBED Q4DiWdHPvXVX@CHPa�S aZU DiWdVX@6aZW a�S @CB4DUNK4YTY � LNVZnC|zaZ[bV_[ K4S4no@CHTa�S � � �� � � HTF�QEDi^NS4DGQ VZFir

� " � ! � � # 4 � " ! � # � 8 � BEDiWCD � ��� T �A� 6 � 6 � �� aZ@6Dz@CB4VX@ � � � � T , r�F6a � � � �� �� � r$� BNHTYPD_@CBEDqU8K4YTY�� LNVZnd| aZ[�@CBEDzvZDGno@6aZW ^NDGYTQ " � �� � � rHTF)QEDGSEaZ@6DGQ L`x3@CBEDpMqVXU � " ��� T � � rmVZS4Q HTS3@CBNHTF niVZFCDZr HP@ HTF VZYIF6a @CBED Q4DiWdHPvXVX@CHPa�S3aZU DiWdVX@6aZW � " � ! # �9�� ���� T � ���� �

� KEWd@CBEDiWdM_aZWCDZr @CBEDiWCDpVXWCDR@�� a WCDGYTVX@CHPa�SNF L Di@ ��DiDGS �9HPDRQEDiWdHPvXVX@CHPvZDGF)a�S �� �� � r �� ���� r�VZS4Q UNKNYTY��LNVZnC| Fi� s BEDixpVXWdHIF6DcL DGniVZK4F6D���D)niVZS WCDiU8YTVZnoD � � � T � �kHP@CBp@CBED<*4a � $&%�' )=� � T � aZ[{Vqh�HPvZDGS^�� DGQ vZDGno@6aZW�^4DGYIQ � �� ���� � JDGniVZYTY4@CB4VX@m@CBED �9HPD�QEDiWdHPvXVX@CHPvZD�a�S �� ���� �kHP@CB)WCDGF6U DGno@m@6a � �� �� �HTFJ@CB4D MqVXU "! #=���� ���� T � ���� r}VZS4Q @CBED��9HPD Q4DiWdHPvXVX@CHPvZDca�S �� �� � � HP@CB WCDGF6U DGno@ @6a � �� �� �HTF ! 84 # ���� �� � T �� ���� � s B4DGS#��DgBNVGvZDc@CBEDg[fa�YTYTa � HTS4h YTDGMqMqV �( ��� �� 4 � 4 � � ��. � � � ���� ��7 P � � �� ���� G$�-,!#Wc~��#3P�#/.D��z����2��z�#D� "! # ��7 P ! 84 # ��.+#3.+#/�h���f#�Pw����-,!#%� A!�-� p B+�J���6�4�^9&�-,�# �@��0 $&%(' ) B/_<�-,!#>9'�����h��01�-7��<.:���f#D�W�:94�/,F��7���#/GC9/��.4���-� � � , � H ��G

Page 26: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

��������

� * ,

� �

� .

� �

�� + � ��� �� ��� *-,

��� 11 � � ���

� HTh�KEWCD 6 � � � %�K4FCB � []aZW���VXWdQpMqVXU\�

�� �� $ %�' ) ��� 4 $ %(' ) "!�� # 8 6 � 6�6@�

�� �� $ %(' ) ��� 4 $ %(' ) ! 8 � # � 6 � 6 ~ �

� .^�6�^9 I s aqU4Wda vZD���e 6 � 6�6@� r>[faZW ��� � r � � �� ���� r8VZS4Q � �� ���� � DgB4VGvZDZr�� � $

%�' ) � � � � 4 �� � � � $+%�' ) � � � 4 �J� $&%(' ) � � �

�� � $&%�' ): � �

4 �J� $&%(' ) � � �J@ " $&%(' ) � � � 4 �J� � <� $&%�' ): � � �4 !�� # $&%�' ): � � � 4 $ %�' ) � "!�� # � � � �

s a U4WCa vZD���e 6 � 6 ~ � r FCHTS4noD � HTF9VuvZDGno@6aZWm^NDGYTQ}r @CBEDGS)L`x s BEDiaZWCDGM 6 � 6 r�@CBED a�SED�� @6a � a�SEDJnoaZWdWCDGF6U a�S4QEDGS4noDL Di@ ��DiDGS vZDGno@6aZW_^4DGYIQ3VZS4Q QEDiWdHPvXVX@CHPa�S M_DGVZS4F)@CB4VX@ HP@ HTF)FCK��zniHPDGS @ @6a UNWCa vZDR@CB4VX@)L aZ@CB FCHIQEDGFcaZ[ ��e 6 � 6 ~ � VXWdD DGe-K4VZY � B4DGSOVZno@CHTSEh a�SzVZS VXWCLNHT@6WdVXWCx)[]K4SNno@CHPa�S � � �� ����5! 6 # ��l-aEr []WCa�M @CBEDkYPDi[]@ B4VZSNQOFCHTQ4DaZ[ ��e 6 � 6 ~ � r VX@ � 4 � r � DgB4VGvZDZr�� ) $ %(' ) � !�� # � � (( )+* 3

4 �� ) (( )+* 3 $ %�' ) � ! $ %�' ) $ %�' ) � � # � � L-x���e 6 � 6 � �

4 �� ) (((( )+* 3$ %�' ) � ! $ %�' ) � # � � �

4�$ %�' ) "! � ! $ %(' ) � # # � � (((( )+* 3� � ! $ %�' ) "! $ %(' ) � # # � � (((( )+* 3

L-x���e 6 � 6�6@�4�$ %�' ) "! � ! $ %(' ) � # # � �)(((( )+* 3

� � ! $ %�' ) "! > $ %(' ) � # # � �)(((( )+* 3VZS4Q � DGHPLNS4H �� kK4YPD

4�$ %�' ) "! � ! $ %(' ) � # # � � (((( )+* 3� � ! $ %�' ) � "! > � # � # � � (((( )+* 3

L-x���e 6 � 6 � �4� ! � !�� # # � � � � ! "! > � # # � �4� ! � !�� # # � � >�� ! "!�� # # � �4 ! 8 � # !�� # � � �

Page 27: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � � ( � � � �� 2 � "� � ( � �I� � � ����� �� WCa�M @CBED/WdHPh�B`@JB4VZS4QpFCHIQED/aZ[)��e 6 � 6 ~ � r VX@ � 4 � r � DgB4V vZDZr

$ %�' ) ! 8 � # !�� # � �)(((( )+* 34 ! 8 � # !�� # � � �

l HTS4noD�L aZ@CBqFCHIQEDGF1aZ[ � e 6 � 6 ~ � VZno@CHTSEhga�S � � �� ���� VZFmVcQ4DiWdHPvXVX@CHPa�S aZU DiWdVX@6aZW x HPDGYTQ @CBEDJFdVZM_DJWCDGFCKNYP@ir@CBEDGS ��e 6 � 6 ~ � HTF�noaZWCWCDGno@i��kaZ@6D�@CB4VX@{[faZW{@CHIM_D Q4DiU>DGSNQEDGS @ " ��:� 8 � ��:� � �� ���� r VZSNQ � �� � � �� ���� r ��e 6 � 6�6@� VZSNQ���e 6 � 6 ~ �L DGnoa�M_DZr

�� �

� $ % ) � ' ) � �� � � 4 $ % ) � ' )� �� � !�� ��:� # � '

' � � ��:� � 8 6 � 6 � ��� �

� $ % ) � ' ) � �� � � 4 $ % ) � ' )� ! �� � 8 � ��:� # � '

' � � ��:� � � 6 � 6 B �� aZW�@CBEDGHPW�U4WCa-aZ[]FGr`UNYTDGVZF6DkWdDi[fDiW�@6a���B4VXUN@6DiW B aZ[ ! 6 # ��?kYTFCaEr S4aZ@6Du@CBNVX@ �kBEDGS � 4 � r ��e 6 � 6�6@� WCDGQ4KNnoDGF@6aEr

�� � $

%(' ) � � (((( )+* 34 "!�� # � 6 � 6 D �

� [�� DcK4F6D s VGx YPaZW FJD�� UNVZS4FdHPa�SRa�S $ %(' ) � VXWda�K4S4Q � 4 � rNVZS4Q VXUNUNYPx���e 6 � 6 D � r � Dc^NS4Q}r

$ %�' ) � 4 $ %(' ) � (((( )+* 3� �

� '' � $

%(' ) ��� (((( )+* 3 �� A~ �� ' A' � A $

%(' ) ��� (((( )+* 3 �� G� �� ' G' � G $

%�' ) ��� (((( )+* 3 � 44

4 � � � "!�� # � � A~ "! "!�� # # � � G� � "! "! "!�� # # # � 44

4�%D * 3

� DK%� D !�� # � 6 � 6 B �

s B4HTFkHTFu|-S4a � S VZF @CBED ( � � ���/� � �/� �#� ��#� � * ��� � � r}VZS4Q HP@ � HTYTY L D)K4FCDGQ @6apQEDiWdHTvZD @CBED �9HPD�����KE@CndBEDiWF6DiWdHPDGFgHTS ��B4VXUN@6DiW)�-� s B4HTFgVZYTF6a YPDGVZQNFc@6a @CB4DqU4WCa-aZ[�[faZW @CBEDqaZWdQEDiW)noa�S4Q4HP@CHTa�S4FcVZFCF6a niHTVX@6DGQ � HP@CB @CB4D K4S4hZD���!cKE@6@CV�� j K4S @CB4D���!cVZVZFkMqDi@CBEa-QNF�HTS���B4VXU4@6DiWu�-�

���� � !"W�� ���#� [ ����� !"W � X���W�����[? �9HPD�hZWCa�KEU � VZS4Q HP@CF{VZFCFCa-niHTVX@6DGQ � HPD�?kYThZDiL4WdV � VXWCD�@CBED�LNK4HIYTQ4HTSEh LNYPa nC| FbHIS��kB4HTndB)@CBED � B4a�YPD�@CBEDiaZWCx[faZW �9HPDkhZWda�KEUpM_Di@CBEa Q4F�HTS hZDia�M_Di@6WdHTn/HTS`@6DihZWdVX@CHPa�SRHTF LNVZFCDGQpKEU a�S}� � S @CBED [fa�YIYPa � HISEh F6DGno@CHTa�S4Fir�� D �kHTYTYF6Di@ KEU FCa�M_DcaZ[b@CBEDc@6DiWdMqHISEa�YPaZh�HPDGF�K4FCDGQ HTSR@CBEDcYTVX@6DiWundB4VXUN@6DiWdFi�$�%�� %'$ J#3?)�(K1=+9LNM��?�hZWCa�KEU HIFcV F6Di@�� HP@CB'V hZWCa�KEU aZU>DiWwVX@CHPa�S}r1YTHP|ZDqM)K4YP@CHPUNYIHTniVX@CHPa�S}r\FCKNndB'@CBNVX@ HP[ � 8�� � � r1@CBEDGS'@CBEDGHTWU4WCa Q4K4no@JHTFkVZYTF6aOHIS � � s B4HIF�hZWCa�KEU aZU>DiWwVX@CHPa�S M)K4F6@JL DgVZFdF6a-niHIVX@CHPvZDZ� s BEDchZWda�KEU � M KNF6@ noa�S`@CVZHTS VZSHTQEDGS`@CHP@yx DGYPDGM_DGS`@���rNVZS4Q DivZDiWdx DGYTDGM_DGS @kHTS � M)K4F6@kVZYTF6aqB4V vZD VZS HIS vZDiWdFCDZ��l HTMOHTYTVXWdYPxZr-V � HTDchZWCa�KEU �HTF{VgQNH��>DiWdDGS @CHTVXL8YPD�MqVZS4HP[]a�YTQ H � DZ�mV/hZWCa�K4U � B4HTnwB_niVXWCWdHPDGFm@CBED F6@6WdKNno@CKEWCDJaZ[ VgQ4H �>DiWCDGS`@CHTVXLNYTD�MOVZS4HP[]a�YTQ � rF6ap@CBEDGHPWgDGYPDGM_DGS`@CFgniVZS L Dqnoa�S`@CHTS`K4a�K4FCYPx v VXWdHTDGQ}�zl HTS4noDqV �9HPD_hZWCa�KEU � HTF/VphZWda�KEU\r @CB4DGS @CBEDiWCDqHTFgVhZWCa�KEUpaZU DiWdVX@CHPa�S\r � ��� T � rNFCVX@CHIF6[fx HTSEh @CBEDg[fa�YTYTa � HTS4h)UNWCaZU DiWC@CHPDGF ! 6 G # r

?uFCF6a niHTVX@CHPv HP@yx � � �� K � 4 � � �< K 8 , �H8�� 8 K�� � �� QEDGS`@CHP@yxRDGYPDGM_DGS`@���� � � � 4�� 4 � � 8 ,H� � � �� S vZDiWwF6D � ; � � � ; � 4 � � ; 4 � 8 ,H� � � �

Page 28: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4�� 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

s BED_U4WCa Q4K4no@u[faZW V � HPD_hZWCa�K4U � HTF/QEDi^NS4DGQ HTS @�� a � V x-Fg[faZW VZYTYbDGYPDGM_DGS`@CFL� 8�� � � r L-x @CB4D YPDi[f@�VZSNQ� WdHPh�B`@�NM)K4YP@CHPUNYIHTniVX@CHPa�S4F HTSR@CBED/hZWCa�K4U\r��� � � 4 � �F8 � � � � 4 � � , � 8�� � � �

� �� � � � � �#� 4C� �e�oc�#(� � B�#W�8P�� qo#/.+#/7 �2�2�"B'�h#4l3��7C� 9'���hPE��7 P � B�#W�-,!#Tc1��#o�J.^��AN� I ��� �5#29/��Jc~��#j��.:��AN��"�(�2����7 ��7 � ���L�3�Dl3�(���-,yl3���J����7�� � �S� � � T � �DA �/,E�-,F���1� R� ��G

� � 8 � � 4 � � 4 � 8 , ��� � ��7 P<�-,!#4��P"#'7C�2�-�2_8#/�5#/lg#/7 � �<� � 8� �C; ��A98 � � 4 � �S; 8 � ��A�8 � � � 8 , ��� � G���7 P �S; 8 ��A � � � 6 � 6 F �

� aZ@6D @CB4VX@ � � � ��� T � HTF VzYTa-niVZY$� HTD hZWCa�K4U VZno@CHPa�S HT[{@CBED_VXL>a vZD WCDGYTVX@CHPa�S4Fua�S4YTx BEa�YTQ [faZWDGYTDGM_DGS @CF1HTSg@CBED�SEDGHPh�B`L>a�K4WdBEa-a-Q aZ[E@CBED�HTQEDGS`@CHP@+x � � � � � K4WC@CBEDiWdM_aZWdDZr � HIF Vk@6WdVZS4FCHP@CHTvZD�VZno@CHPa�S a�S � rHT[b[]aZW DivZDiWdxpUNVZHPW N ; 8 N A � � rN@CBEDiWCD D�� HIF6@CF VX@uYPDGVZF6@Ja�SED DGYPDGM_DGS`@ � � � FCK4nwB @CB4VX@�� �H8 N ; � 4 N A! ~6G # �� �� � � � � �#� 4C� ���o�?,F��l3�+�F#/7�#���AF�L�f�!�J��#n�x�L�kl3��7 � 9/���hPv01�2�-,y�k�2.:��7��D�-�2�-z�#Lc~��#$�J.^��A6� �"�(�2����7E� R �+� I

� SpMqa�F6@JniVZF6DGF�� DgQEDGVZY�� HP@CBpYTHTS4DGVXW �9HPD/hZWCa�KEU8Fir @CB4VX@ HTFir hZWCa�K4UNF � HP@CBRDGYTDGM_DGS @CF�� B4HTnwBpVXWCDcYTHTSEDGVXWaZU DiWdVX@6aZWwF a�S)F6a�M_D�vZDGno@6aZW1FCUNVZnoD � �� D�niVZS WCDiU4WCDGF6DGS`@ @CB4DGF6D�YTHISEDGVXW\aZU DiWdVX@6aZWdF L`xcMqVX@6WwHTnoDGFi� � a�S4FCHTQ4DiW@CB4D � �������"� � � ������ ( � � � �3� 2 ��� � � � rE@CB4DuhZWda�KEURaZ[9YTHTS4DGVXW�aZU DiWdVX@6aZWdF�a�SR@CB4DuWdDGVZY O �yQNHTM_DGS4FCHTa�S4VZYvZDGno@6aZW F6UNVZnoD � �kB4HTndB VXWCDRLNH �6DGno@CHPvZDZ� D QEDi^8SED V MqVX@6WwH��3WCDiU4WdDGF6DGS @CVX@CHTa�S aZ[k@CBEDGF6DRaZU DiWdVX@6aZWdF L-x@CVX| HTSEh V LNVZFCHTF�HTSq@CBEDkvZDGno@6aZWJF6UNVZnoD � r-VZS4QOL`xznoa�S4FCHTQEDiWwHTSEh/@CBED VZno@CHPa�S aZ[}@CBEDuaZU>DiWwVX@6aZWdF a�Sz@CBEDuLNVZFCHTFvZDGno@6aZWwF ! � # �

�\Di@ K � ; 8 � A98 � � �@8 � � O L>D)VOL8VZFCHTFuHTS vZDGno@6aZWgFCUNVZnoD � � s BEDGS @CBED<O � O MqVX@6WdH�� �%� � � WCDiU4WCDGFCDGS @CHTS4h@CB4DgYTHTSEDGVXW�aZU DiWdVX@6aZW � � � � � � HTFJQ4Di^NSEDGQRL-xZr

� � � 4 �%� * ;� � � � � 8 []aZW � 47698 � � �F8 O �

� S @CB4HTF���VGxZr9@CBED hZDGSEDiWdVZYmYIHTSEDGVXW � HPD hZWCa�K4U � � � � HTF/HTF6a�MqaZWCUNB4HTng@6ap@CBED � �����/�3"� � � ������ �? ��� �%$( � � � �� 2 � H�� ��� � � � � O � HTF/V hZWCa�KEU aZ[ VZYTY1HTS vZDiWd@CHPLNYPD<O � O�MqVX@6WdHTnoDGFir}@CBNVX@cHTFir � � O � 4 K � �Q4Di@ � ���4 � O � s BEDkhZWCa�KEUOaZU DiWdVX@CHTa�SzHTF�MqVX@6WdH��qM)K4YP@CHPU8YTHTniVX@CHPa�S}r�VZSNQO@CBEDuHTQEDGS`@CHP@yx DGYPDGMqDGS @�HTFmh�HTvZDGSOL-x@CB4D O � O'HTQEDGS`@CHP@+xzMqVX@6WdH � � Q �

� �EVZM_UNYPDGFcaZ[�MOVX@6WdH�� � HPD_hZWda�KEUNFgHIS4niYTK4QED @CBEDzF6U DGniHTVZYmYTHTS4DGVXWcMqVX@6WdH�� � HTDqhZWCa�KEU ) � O � rb@CBEDOaZW �@CB4aZhZa�S4VZY9MOVX@6WdH�� � HPD/hZWCa�K4U = O � rNVZSNQ @CBEDgFCx-M_U8YPDGno@CHTn/MqVX@6WdH �#�9HPD/hZWCa�KEU ) � ~�K � � s BEDix VXWdD niVZYTYPDGQ@CB4D � ���� � � � #� �� �� �%$ ( � � � �3� 2 � � r VZS4QqVXWdDJ@CBED FCK4L4hZWCa�KEUNF1aZ[ @CBED hZDGSEDiWdVZYNYIHTSEDGVXWmMqVX@6WdH � �9HPD�hZWCa�KEU� � O � � s BED_[]a�YTYPa�� HTSEhRF6DGno@CHPa�S3HTF/VRL4WdHPDi[�Q4HTFCniK4FdFCHPa�S aZ[ FCa�M_D_aZ[�@CB4DqMqVX@6WdH���� HPD hZWCa�KEU8FcVZS4Q @CBEDGHPWUNWCaZU DiWC@CHPDGFi�s BED FCKELNF6Di@zaZ[gYTHTS4DGVXWzaZU DiWdVX@6aZWdF�� � � � O � � HP@CB�QEDi@ � ��4 6 QEDi^NSEDGFz@CBED � � ��� � "� � � ������

�? ��� �%$ ( � � � �3� 2 ��� � ��� � rE@CB4VX@ HIFir ) � O � 4 K � � � � O � � QEDi@ � � 4 6 O �s BED �#���3>9� � �#��"� �? ��� �%$ ( � � � �3� 2 ��� ��� �uHIFJh�HPvZDGS L`x = O � 4 K � � � � O � � � � � 4 � Q O �

�HP@CB3WCDGF6U DGno@c@6a @CB4DOaZWC@CBEa�S4aZWdMqVZY{LNVZFdHTF K � ;F8 � A98 � � � 8 � � O r1aZ[�@CBED O �yQ4HIM_DGS4FCHPa�SNVZY1WCDGVZY{vZDGno@6aZW_F6UNVZnoD� rE@CBEDiWdDgHTF�V_LNHIYTHTSEDGVXW�[]aZWdMprEh�HPvZDGSpL-xZr� �4� 8 �C��� 4�� � � 8 [faZW � 8f� 4 698 � � �@8 O �

Page 29: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � � ( � � � �� 2 � "� � ( � �I� � � ����� 4"4

s BED/vZDGno@6aZWdF ��8 # � � @CBEDGS B4V vZDg@CBED/[]a�YTYPa�� HTSEh_QEDGnoa�MqU>a�FdHP@CHPa�S4Fir []aZW � � 8 #O�J� , r

� 4 �% � * ; �� � � 8 VZS4Q # 4 �% � * ;

# � � � 8VZS4Q

� ��8 # � 4 % ��� � � #(� � �4� 8 �C� � 4 % ��� � � #O� � � � 4 % � � ��#O� 4 � � # 4 # � ��� 6 � 6 N �s BEDzFCKELNF6Di@gaZ[�aZU>DiWwVX@6aZWdF � � � � O � � B4HTnwB'YPDGVGvZD � e 6 � 6 N � HTS`vXVXWdHTVZS`@gHTFc@CB4DOaZWC@CBEaZhZa�SNVZY �9HPDhZWCa�KEU\� D niVZS noa�S4FCHTQ4DiW @CB4DcMqVX@6WdH��RWCDiU4WCDGFCDGS @CVX@CHPa�SRaZ[b@CBEDcYTHISEDGVXW�aZU DiWdVX@6aZWdF�L-xO@CBEDGHTWJVZno@CHPa�S4Fir�� HT@CB

WCDGF6U DGno@m@6a)@CBED aZWd@CBEa�SEaZWdMqVZYNLNVZFCHTF K � ; 8 � � � 8 � � O � �/HPvZDGSq@CB4VX@ � � � � O � YPDGVGvZDGF���e 6 � 6 N � HIS vXVXWdHTVZS`@ir@CBEDGSp[]aZW VZYTY � 8 # � � � DgB4V vZDZr� � 8 # � 4 � � ��8 �Q# �

� � � 8 # � 4 � � # 4 � � � � �Q# � 4 � � � � �Q# �s BEDcVXL a vZD HTF�@6WdKEDcHT[9VZS4Qpa�SNYPxzHP[ � HTFJVZSpaZWC@CB4aZhZa�S4VZY MqVX@6WwH��>r

� � � 4 � Q � 6 � 6 G �l-aErE@CBEDcaZWd@CBEaZhZa�S4VZY MOVX@6WdH��"�9HPD/hZWCa�KEU HTF�h�HPvZDGS L-x = O � 4 K �7� � � O � � � � � 4 � Q O �

� KEWd@CBEDiWdM_aZWCD/[]WCa�M ��e 6 � 6 G � r � DgB4VGvZDZr654 QEDi@ � Q � 4 Q4Di@ � � � � 4 Q4Di@ � � � QEDi@ � � 4 QEDi@ � � A �

� DGSNnoDZr{@CBED Q4Di@6DiWdMqHTS4VZS`@gaZ[�aZWd@CBEaZhZa�S4VZY�MqVX@6WdHTnoDGF DGe-K4VZYTF�� 6 � s B4DzFCKEL8F6Di@gaZ[ MOVX@6WdHTnoDGF � � = O �� HP@CB QEDi@ � � 4 6 HTF V FCKEL4hZWCa�K4U aZ[ = O � niVZYTYPDGQ @CBED � � ��� � "� �"��>9� � ���9"� �? ��� � $ ( � � � �3� 2 � r)}= O � 4 K � � = O � � QEDi@ � � 476 O �s a Q4Di^NSEDu@CBED ��:9� � ���/� � � � �? ��� �%$ ( � � � �3� 2 ����� � �� � r ��D/F6@CVXWC@ �kHP@CBzVq~�K �yQNHTM_DGS4FCHTa�S4VZY4WCDGVZYvZDGno@6aZWuFCUNVZnoD � r�� HP@CBpV_LNHIYTHTSEDGVXW�F6|ZD � �yFCx-MqMqDi@6WdHTn []aZWdMpr

� ��8 # � 47> � # 8 � � 8 ,K��8 # � � �� SEDcniVZSpUNWCa vZDc@CBNVX@ � B4VZFJV_LNVZFdHTF K � ; 8 � � �F8 � A D O FCK4nwBp@CB4VX@ ! � # r

� �4� 8 � ��� D � 4�� � � 8 , � 8f� 47698 � � �@8 K 8VZS4QR@CBEDgFC|ZD � �yF6x MqM_Di@6WCxpHTM_U8YTHPDGFir

� � ��� D�8 �4� � 47> � �4� 8 � �� D � 47> � ��� 8 , � 8f� 47698 � � �F8 K �� [ ��8 #Q� � r @CBEDGS � HT@CB WCDGFCU>DGno@u@6aR@CBED)LNVZFCHTFuQEDi^NSEDGQ VXL a vZDZr � 8 # B4VGvZD_@CB4D)QEDGnoa�MqU>a�FdHP@CHPa�S4Fir8[faZW

� � 8 #O��� , ! � # r� 4

D% � * ; �

� �4� � D% � * ; �

�� D � �� DS8 # 4D% � * ;

#O� �4� � D% � * ;

# ��� D � �� DS8VZS4QR@CBEDcL8HTYTHTSEDGVXW�[]aZWdM HTF�h�HTvZDGSpL`xZr

� ��8 # � 4 % � � � ��# ��� D � �4� 8 � �� D � � % � � � �� D #(� � � �� DS8 �C� �4 % � � � ��# ��� D�� ��� > % � � � ��� D #(� � � �

4 % � � ��# ��� D0> % � � �� D #O� 4 � ��� # 8 6 � ~X� �

Page 30: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

�kBEDiWCD � HTF�VqMOVX@6WdH��RaZ[9@CBEDg[faZWdM r

� 4 � � � Q D � D> � Q D � D � �'� 6 � ~ 6@�s BED/FCKEL8F6Di@�aZ[bYTHISEDGVXW�aZU>DiWwVX@6aZWdF �7� � � � � �kB4HTndBRYPDGV vZD�� e 6 � ~X� � HIS vXVXWdHTVZS`@�HTF�@CBEDcF6x M_UNYPDGno@CHIn�9HPD)hZWCa�KEU ) � � � �/tkFCHISEhz@CB4D LNVZFdHTF K � ; 8 � � �@8 � A D O QEDi^NS4DGQ []aZW @CBED WdDGVZYbFCx-M_U8YPDGno@CHTncvZDGno@6aZW F6UNVZnoD � r@CB4DgMqVX@6WdH��RWCDiU4WdDGF6DGS @CVX@CHTa�SpaZ[1@CB4HTF�F6x M_UNYPDGno@CHInuMOVX@6WdH�� � HPD/hZWCa�K4U ) � ~�K � M)K4F6@JFdVX@CHTF6[]xZr

� � 8 # � 4 � � ��8 �Q# � ,K��8 # � �� � � 8 # � 4 � ��� # 4 � � � � � �Q# � 4 � � � ��� �Q# �

s BEDcVXL a vZD HIF�@6WdKEDcHP[1VZS4Qpa�S4YTxzHP[bMqVX@6WdH���� FCVX@CHTF6^4DGFGr� � � � 4 � 8 � B4DiWCD � HTF�h�HPvZDGSpL-x � e 6 � ~ 6@� � 6 � ~Z~ �

�kDGS4noDZr8@CBEDcF6x M_UNYPDGno@CHTn/MOVX@6WdH�� � HPD hZWCa�KEU HTFJQEDi^NS4DGQRL`xZr) � ~�K � 4 � �7� � � ~�K � � � � � � 4 � � �

$;%�� %�� J�3&)��]�&:;) �S1=<���/HPvZDGS V UNVXWC@CHIniK4YTVXW � HPD hZWCa�K4U � r4HP@�B4VZF�VZS VZFCFCa-niHTVX@CHTvZD&� HPD/VZYPhZDiL4WwV � 4���� � r�� BNHTndBRHTF�@CBED @CVZSEhZDGS`@FCUNVZnoDpVX@)@CB4DRHIQEDGS @CHT@yx �RaZ[ @CBED � HPDzhZWCa�KEU � � � S U8VXWC@CHTniK4YTVXW r1HT[ � HTFg^8S4HP@6D��yQ4HTMqDGS4FCHPa�S4VZY r @CBEDGS�HP@CF�9HPD VZYPhZDiLNWdV � HTFqV3YIHTSEDGVXWOF6U8VZnoD aZ[ @CBED FdVZM_D Q4HIM_DGS4FCHPa�S\� ?kYIF6aEr � HTFzniYPa�F6DGQ KNS4QEDiWq@CBED LNHTYTHTS4DGVXWGrFC|ZD � �yF6x MqM_Di@6WdHTncaZU>DiWwVX@CHPa�Sph�HPvZDGSpL-x @CBED � HTD&��WwVZnC|ZDi@ir ! 84 # ��� � � T � r4QEDi^NS4DGQpVZFir

! � 8 ��# 4 � �<> � � 8 , � 8 � � � � 6 � ~Z� �?uYP@6DiWdSNVX@CHPvZDGYPxZr`HIS @6DiWwMqF{aZ[>@�� agFCM_a-aZ@CBqniKEWCvZDGF�� � , T � r � , T � FCK4nwB_@CB4VX@mVX@�� 4 �/VZS4Q � 4 � r� � � 4 � � 4 � VZSNQ @CBEDGHPW QEDiWdHTv VX@CHPvZDGF � � � � 4 �'VZS4Q� � � � 4 � r @CBED��9HPDgLNWdVZnC|ZDi@ ! 84 # �S� ���"T �HIF�h�HPvZDGSpL-x ! 6 G # r

! � 8 ��# 4 ' A' � ' � � � � ��:� � > � �)(((( 2 * )+* 3

� 6 � ~3B �s BED/U4WCa-aZ[]FJ[faZWJ@CB4DgVXL a vZDgniVZS L>D []a�K4S4Q HIS l-DGno@CHPa�S 6 � �-� �-�s B4HTF � HPD L4WdVZnC|ZDi@ M)K4F6@ VZYTF6azFdVX@CHTF6[]x @CB4D []a�YTYPa�� HTSEhqV��EHPa�MqFk[faZW VZYTY � r � r�� � � r>VZSNQ � 8�� � , VZFnoa�SNF6@CVZS @CF ! �X� #�W�����H�)�Z r

! � � � � �H8 � # 4 � ! � 8 � # � � !��H8 � #S8! � 8 ��# 4 > ! � 8 � #�8

! � 8@! �H8 � # # � ! � 8@! � 8 � # # � ! � 8@! � 8 ��# #�4 � �� YPDGMqDGS @CF�aZ[ � VXWCDcK4S4HIe`KEDGYTx Q4Di@6DiWdMqHTSEDGQ L-xz@CB4DGHPW�v VZYTK4DGF�VX@�@CBEDcHTQEDGS`@CHP@yx ��� � �� JDGniVZYTY @CBNVX@ ��DBNVGvZD/@CBED� WdHPh�B`@�EM KNYP@CHPUNYTHIniVX@CHPa�S}r � � � � 4 �= � � � rE[]aZW�VZYIY � 8�� � � � s a_QEDGSEaZ@6D @CBED FCVZM_D aZU DiWdVX@CHPa�SHISp@CBED/@CVZSEhZDGS`@kF6U8VZnoDZrNFCVGx � � � [faZWJDivZDiWdxv� � � r���DgBNVGvZDg@CB4DcMqVXU4UNHTS4h ! ~ F # r

� �� 4���� � � �9� T � � � �� aZWo� � � r � � � 4���� � r4@CB4HTF�aZU DiWdVX@CHTa�SpHTF�h�HPvZDGSpL-xZr

� �� �� � 4 � � � 6 � ~6D �

Page 31: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � � ( � � � �� 2 � "� � ( � �I� � � ����� 4 �

� DGSNnoDZr4@CBED/@CVZSEhZDGS`@ F6UNVZnoDcVX@kVZS x U a�HTS @ � � � niVZS L>D/HTQ4DGS @CHP^NDGQ �kHP@CB � 4���� � K4FdHTSEh @CBEDcSEaZ@CVX@CHPa�S� �� r4[]aZW VZYTY�� � � ! ~ F # r

� � � 4 � � �� �� � � � � �H8 � 8VZS4Qz[faZWJVZYTY � � � VZS4Qk� � � r � D niVZSRQEDGS4aZ@6D V)vZDGno@6aZWJ^NDGYTQOaZ[9@CBEDu[faZWdM � � � � 4 � �� �� � VZF�V � ��� >��� � � "� � "��� � �/� ���"�k���� � �?uSEaZ@CBEDiW HTMqU>aZWd@CVZS @JHTQ4DGVqHTF�@CBEDgVZno@CHTa�S aZ[{V �9HPDcVZYPhZDiL4WdV a�S � rNQEDGSEaZ@6DGQ L`xpVqFCMqa`aZ@CBp[ K4S4no@CHTa�S

� �9� � � T � r � BEDiWCDcHT@CF�QEDi^NS4HP@CHTa�S niVZS L Du[]a�K4S4QpHIS �kDi^8S4HP@CHPa�S 6 � 6 ~-� � VZndB ^�� DGQRDGYPDGM_DGS`@ � � �hZDGSEDiWdVX@6DGFkV_vZDGno@6aZWk^NDGYTQRa�S � rNQEDGSEaZ@6DGQ � ���9��� T � � VZS4QpQ4Di^NSEDGQpL-x ! ~6N # r

� � � � � 4 �� � � ��/� 8 � �)(((( )+* 3

8 , ��� � � 6 � ~ B �� aZ@6DR@CB4VX@ FCHTSNnoD � � � noaZWdWCDGF6U a�S4Q4F @6a @CB4D vZDGno@6aZW_^NDGYTQ � �� � � �� �� � r�VZS4Q3vZDGno@6aZWO^4DGYTQ3HIF VZYTFCa|-S4a � S VZF @CBED)HTSE^NSNHP@6DGFCHTMqVZY8hZDGSEDiWdVX@6aZW []WCa�M l DGno@CHPa�S 6 � ~-�CBEr @CBEDGS @CBED � ��.� � ����� � ��"� � ������� ��"� �"*�>��L��6� � ��� noaZWCWCDGF6U a�S4Q4HISEh @6a � � � HTF�QEDGSEaZ@6DGQ L`x ! 6�6 # r

� � 4 � � � �s BEDOVXL a vZDzSEaZ@CVX@CHPa�S ��VZF K4FCDGQ L`x j K4S`@CBED���!cVZVZF)HTS'B4HIFcQ4HTFCniKNFCFCHPa�S aZ[�@CBED" K4SEhZD���!gKE@6@CV�� j KNS @CBED��!cVZVZF ! j ! � @CBEDiaZWCx HTS ! ~6N # � � aZWcM_aZWCD QEDi@CVZHTYTFGr8UNYTDGVZF6D WdDi[fDiW @6a l-DGno@CHPa�S 6 � �-� �RVZS4Q���B4VXUN@6DiW �zaZ[@CB4HTF�@CBEDGFdHTFi�

�ka �cr � � � HTFuV vZDGno@6aZWc^4DGYTQ HTS �� �� � r9VZS4Q @CB-K4F � � � � � � � � � [faZW/VZYTYH�� � � s B4DiWCDi[faZWdDZr[faZW VZYTY � � � r � � � � � � � � T ����� � � [ � 4 � r9@CB4DGS � � � � � � HTS���e 6 � ~ B � HTF/@CB4DOFCVZM_DOVZF@CBED_SEaZ@CVX@CHPa�S � �� � � �(��T ���9� HTS @6Wda-Q4KNnoDGQ VX@/@CB4D_L>Dih�HIS4S4HTSEhOaZ[�@CB4HIFuFCDGno@CHPa�S}� � DGS4noDZrbQ4H�� DiWCDGS`@CHTVZYDGe`KNVX@CHPa�S4F/DivZa�YPv HTSEh a�S � r � HT@CB WCDGF6U DGno@c@6a FCa�M_DOU a�HTS`@ � � � HTS @CBEDz@CVZSEhZDGS @)F6UNVZnoD ����� rbniVZSL DzWCD � WdHP@6@6DGS VZF_HTSE^NSNHP@6DGFCHTMqVZYmhZDGSEDiWdVX@6aZWdF_aZ[k@CBEDpVZno@CHPa�S � � l K4nwB�Q4H�� DiWCDGS @CHIVZY DGe-K4VX@CHPa�S4F)h�HPvZDGS L-x@CBEDqHTSE^8S4HP@6DGFCHTMOVZY\hZDGSEDiWdVX@6aZW ��� []aZWcF6a�M_D � � � r VXWdD_U4WCDGF6DGS`@6DGQ'HTS @CBEDGHTWuhZDGS4DiWdHTn []aZWdMqF ! ~6N # � s BNHTFnoa�S4noDiU4@ HTF HIM_U aZWC@CVZS @uHP[$��D VXWCD @6a K4FCDg@CBED ! j !�M_Di@CBEa Q @6aRF6a�YPvZD)@CBED)QNH��>DiWdDGS @CHTVZY\DGe`K4VX@CHTa�S4F a�S� � j aZWCD)HTSE[]aZWdMqVX@CHPa�SRniVZS L>D/[]a�K4S4QpHIS l-DGno@CHPa�S 6 � �-�EDqaZW []WCa�M ! ~6N # �

�ka � � D ��VZS @g@6a noa�S4FCHTQ4DiWc@CBEDqnoa�S4noDiU4@gaZ[�V � HPDqVZYPhZDiLNWdVpBEa�M_a�M_aZWdUNB4HTFCM r � B4HTnwB YPDGVZQ4F/@6a @CB4D[]VZMqa�K4Fu@CBEDiaZWCDGM#niVZYTYPDGQ ?uQEa F s BEDiaZWCDGM noa�S4S4DGno@CHTSEh @CBED hZDGSEDiWdVZY$� HPD)@CBEDiaZWCx � HP@CB @CBED_MqVX@6WdH�� WCDiU �WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S4F�aZ[ �9HPDcVZYPhZDiL4WdVZF ! � # �� �" � � � � ��� 4C� ��� � ��.k�20m�vc1��#<��� ��#NB/.:�i� � ��7 P��"Go�wl3���J����7�� � � ��T �]���3�����-�h#�P]� ( � �?"� � �/���>9���������#� � > � �� � 9�G

HJI � ��� T �E�x�4�k����7�#���.&l3���CG>��A �/,E�-,F�J� 9'��. � 8�� � , ��7�Po9/��.W����� � 8 � � � G}0>#L,F��z�#DG� �� � � � � � 4&� � � � � � � �� � �

R�IT� ��.W���-� � 8 � � � ��7 P<�-,!#Lc~��#WB'.^�"����#(� ! 84 # G�0>#&,F��z�#/G� ! � 8 ��# � 4 ! � � � 8 � �� � # �

� �" � � � � ��� 4C� �e� \ 0m�wc1��#E��� �F#6B'.^�i� � ��7�P�� ��.:# � � �#�?�"� � > � � r � �4 �NtY0~,�#/7 �a,F��l3��l3��.f�C,"����l� ��� T �n�x�;B/� �(#+�(�2�-z�#&r�� I # I ��7�# p ��� p ��7�#$��7 PW��7C���Dt I@S 7v���-,!#'. 0m��.^P���G1�20m�oc1��#$��� ��#6B'.^���%��.:#;���/��l3��.f�C,"���0~,!#/7]�-,!#L,!��l3��l3��.�� ,"�x�Dl ���j�-7 z�#/./�2��B'�h# I

Page 32: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

� �� � � � � �#� 4C� 4����o�j7w���/��l3��.f�C,"����l �-7 � � � T � �x�4�������5#+P8��7 2 �������#� � > � �� I� S ! � # r @CBED noa�SNnoDiU4@ aZ[mVOWCDiUNWCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S [faZW V �9HPD VZYThZDiL4WdV HTF QEDi^8SEDGQ HIS @6DiWdMqFkaZ[ V"� HPD)VZYPhZDiL4WdVB4a�M_a�M_aZWCUNBNHTFCMp� �kaZ@6Dg@CB4VX@J@CB4DcQEDi^NS4HP@CHTa�S4F [faZW � � O � VZS4Q � � � � VXWCDgh�HPvZDGS YTVX@6DiWG�

� �� � � � � �#� 4 � 4"4C�4� � � � �9���� � �3� � �3�/���������� � �#� � �:9<�Ec~��#8��� ��#NB/.:� � �x�v�w,F��l3��l3��.f�C,"����l � �^9� ��7 ���E�-,!#4��#'7�#/.:���~���-7�#���.4c~��#3��� ��#NB/.:� � � � � �^94���-7�#+��.g�D��#/.:������.��<��7��8z�#��(����.W�f�!�J��#n� I � �? ��� �%$�3� � �3�/���������� � �#� ���&�3,F��l3��l3��.f�C,"����l�� �:9 � �-7C���<�3l3���2.D���3c1��#W��� ��#NB/.:� � � O � �^9 O � O l3���2.D�2�D#D� I

�\Di@ � L D V WCDiU4WdDGF6DGS @CVX@CHTa�S aZ[ � � s BEDGS DivZDiWCx DGYTDGM_DGS @���� � HTFkMOVXU4U DGQ @6a WCDiU4WdDGF6DGS @6DGQ L-x � VYIHTSEDGVXWuaZU>DiWwVX@6aZW � � � VZno@CHTS4h a�S � r\VZS4Q @CBED BEa�M_a�M_aZWCU8B4HTFCM � FCVX@CHTF6^NDGF��uDi^NSNHP@CHPa�S 6 �EN-�)l-aEr [faZW/VZYTY� 8 � � � VZS4Q VZYTY � 8�� � , r

� �� � � � ��� 4 � � � � � � � �� � 8 � BEDiWCD � � � 8 � ���� � � � � � r 6 � ~ F �� ! � 8 ��# � 4 ! � � � 8 � ���� # � 6 � ~6N �

�B4DGS @CBED)aZU DiWdVX@6aZWdF � � � []aZW�� � � VXWCD)MOVX@6WdHTnoDGFir>@CBEDGS @CBED)WCDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S HTFuVzMqVX@6WwH�� WCDiU4WCD��FCDGS @CVX@CHPa�S\� s B4HIF MOVX@6WdH��RWCDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S HIFJVqMqVXU � �9� T � � O � FCK4nwB @CB4VX@ir� � � � � � O � 8 , ��� �H8

[]aZW��kB4HTndB @CB4D�WCDGYTVX@CHPa�S4FdB4HPUNF1HTS ��e 6 � ~ F � VZS4Q"��e 6 � ~6N � F6@CHTYTY BEa�YIQ � BEDGS �)HTF{WCDiUNYIVZnoDGQ_L`x)@CBED MOVX@6WdH��aZU DiWdVX@6aZW � �� aZ@6Dg@CB4VX@ � BEDGSR@CBED/vZDGno@6aZWuF6UNVZnoD � HTF ^NS4HT@6D QNHTM_DGS4FCHTa�S4VZY r-@CBEDGSpndBEa-a�FCHTS4hqV LNVZFCHTF�HTS � @CKEWdS4F�V

WdDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S � HTS`@6acVcMqVX@6WdH �)WCDiUNWCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S � VZS4Q_v HTnoDJvZDiWwFCV � s B4HTF{HTFmU4WCDGF6DGS`@6DGQOM_aZWdD�[faZWdMOVZYTYPxHIS � � ��� ��+'>��/�#���� ! 6 G # �+ >��/�#���� 4 � � � � ��� � + >9���"�3��� � � u z�#'.�_k�}7 �2�f# p P��-l3#'7�������7 ��� c1��#a��� ��#NB/.:�����y�x�'��l3��.f�C,"���`��� ��DACB+��� ��#NB/.:�8�^9L�-,!#4l3���2.D���y��� �F#6B'.^� � � O � 9'��.T�/��l3# O � 6 I�kaZ@6DJ@CB4VX@mV FCHIMqHTYTVXWbWCDGFCK4YT@bQEa-DGF{SEaZ@{BEa�YTQ)[]aZWmVZYTY-^NS4HP@6D��yQNHTM_DGS4FCHTa�S4VZY �9HPD�hZWda�KEUNFirZLNK4@1HT@1HIF9@6WwKED�[faZW{@CBED^8S4HP@6D��yQ4HTMqDGS4FCHPa�S4VZYbYPa niVZY � HPD_hZWda�KEUNFi� s B4VX@cHIFir\h�HPvZDGS'VR^8S4HP@6D��yQ4HTMqDGS4FCHPa�S4VZYbYPa niVZY � HPD_hZWda�KEU'VZno@CHPa�S}r� D niVZSO^NSNQqVZSODGe-K4HPvXVZYPDGS`@ YPa niVZYNVZno@CHPa�SzL-xqVgMqVX@6WdH � �9HPDJhZWCa�K4U\� l-aEr`h�HTvZDGSO@CB4VX@ s BEDiaZWCDGM 6 � ~gHIFm@6WdKED[]aZW VZYIY1^NS4HP@6D��yQ4HIM_DGS4FCHPa�SNVZY��9HPD_VZYPhZDiL4WdVZFirbVZS4Q ^NSNHP@6D��yQ4HTM_DGSNFCHPa�S4VZYbYPa niVZY � HPD_hZWCa�K4UNFir\@CBEDGS'@CBEDOVXL a vZDniVZS L DcFCK4MqMqVXWwHTF6DGQRHTSR@CBEDc[]a�YTYPa�� HTSEh ��VGxZr>VZFJe`K4aZ@6DGQ []WCa�M ! 6 G # �

� ��.���.^�J�6�2�2�����-��_n��7 _L����7 ��#s���e�-74��#'7�#/.:���"c~��# �-,�#+��.D_iGQ�-,!#'.:#o#+�J�x�/�-� �4����.D.:#/���!��7 P��-7��d����7���#��b�01�2�-,"��7]l3���2.D�h�kc~��#W�-,!#���.�_ I�� �2�D#&z�#/.��/�iG�� .:�J�(�2�������-��_y��7 _<.:#/��A!���@�-,F�J��,F���hPi�4�-7]�-,!#Wl3���2.D��������'#4.+#/l3���-7��Lzi������Pk01�-�-,"�-7`�-,!#j�F#/7�#'.^���bc~��#L�-,�#+��.D_ I?kQ4a F s BEDiaZWCDGM�U4WCa v HTQEDGF V noa�S4SEDGno@CHPa�S�L Di@�� DiDGS�@CBED VXLNF6@6WdVZno@#� HPD @CBEDiaZWCx VZSNQ�@CB4DGHPW MOVX@6WdH��

WdDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S4Fi� s BNHTFJniVZS L>D QEDGM_a�S4F6@6WwVX@6DGQ M_aZWCD)niYPDGVXWdYPxRL-xpYPa`aZ| HTSEhqVX@ F6a�M_DgaZ[{@CBEDgD��EVZM_UNYPDGF aZ[�9HPDcVZYPhZDiL4WwVZFJL DGYPa �g�s azHTS @6Wda-Q4KNnoD/@CBED � �����/�3"� � � �9���� ( � � "� � ����� J� �� � r � Dg^4WdFC@Jnoa�S4FCHTQEDiW @CBEDgF6Di@kaZ[1VZYIY\YTHTSEDGVXW

aZU DiWdVX@6aZWwFka�S @CBED)^NS4HP@6D��yQ4HIM_DGS4FCHPa�SNVZY8WdDGVZY vZDGno@6aZW/F6UNVZnoD � ! � # � s BEDgM)K4YP@CHPUNYIHTniVX@CHPa�SpVZS4Q VZQ4Q4HP@CHTa�SpaZ[@CB4DGF6DJYTHTSEDGVXW1aZU DiWdVX@6aZWdF{VXWdDJQEDi^NSEDGQ)HTS)@CBEDJK4FCKNVZY ��VGxZr`[faZWmVZYTY � 8�� � , rK� 8 � � � � � � r�VZS4Q @CBED�HTQ4DGS @CHP@+x�<� � r �� � � � ��� � 4 � � � � � � �� � � 8

� ��� � 4 � �� � � 8

Page 33: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � � ( � � � �� 2 � "� � ( � �I� � � ����� 4 �

VZYPa�SEh � HT@CBR@CBEDcLNHTYIHTSEDGVXW L4WdVZnC|ZDi@kaZU DiWdVX@CHPa�Sph�HPvZDGS L`xR@CBEDcnoa�MqM)KE@CVX@6aZW HTS � e 6 � ~Z� � r! � 8 ��# 4 � �<> � � �

?uF�� HP@CB @CBEDqQ4HTFCniKNFCFCHPa�S a�S � HPD)hZWCa�KEUNF/VZSNQ @CB4DGHPW/MqVX@6WdH�� WdDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S4F/HTS'l-DGno@CHTa�S 6 � �-� 6 r � DniVZS'@CVZYP| VXL a�KE@c@CB4D � �����/�3"� � � �9���� �? ��� � $ ( � � "� � �����3 J� � � � � HP@CB WdDGF6U DGno@g@6a @CB4DGHPWgVZno@CHPa�S4Fa�S V LNVZFCHTF K � ; 8 � � �F8 � � O HTS @CB4D O �yQ4HTM_DGS4FdHPa�S4VZY\vZDGno@6aZW F6UNVZnoD � � � S @CBNHTFuvZDGno@6aZWgF6UNVZnoDZr\DivZDiWdx YTHISEDGVXWaZU DiWdVX@6aZW2� niVZSpL D/WCDiU4WCDGF6DGS`@6DGQpL-xpV O � O'MqVX@6WdH��$� 4 ��� �cFCKNndBp@CB4VX@ir

� � � 4 �%D * ;

� D � D � 8 []aZW � 47698 � � �@8 O{�

s BED F6Di@ aZ[ O � O�MOVX@6WdHTnoDGF)aZL4@CVZHTSEDGQ HTS3@CB4HTF�� V x HTF)V O A �yQ4HTM_DGS4FdHPa�S4VZY{vZDGno@6aZWOFCUNVZnoDZ� �kDi^8S4HTSEh Vnoa�MqM)KE@CVX@6aZWbFdHTMqHTYTVXWwYPx�@6a!��e 6 � ~Z� � r VZSNQ/@CVX|-HISEh�@CBED MqVX@6WwH�� M)K4YP@CHTUNYTHTniVX@CHPa�S VZF @CBEDmU4WCa Q4K4no@}aZU DiWdVX@CHTa�Sa�S � r�� D BNVGvZD)@CBEDghZDGSEDiWwVZY9YTHISEDGVXW MqVX@6WdH � �9HPDgVZYPhZDiLNWdV � � O � ���kaZ@6D)@CB4VX@ L-x ?kQ4a F s B4DiaZWCDGMpr � � O �HTF�HTF6a�MqaZWCUNB4HTnk@6a � � � � �� �EVZM_UNYTDGF1aZ[>@CB4DJMqVX@6WdH�� � HPDJVZYThZDiL4WdVZFmnoaZWCWdDGF6U a�S4Q4HTSEh @6ac@CB4D niYTVZFCFCHIniVZYEMqVX@6WdH�� � HPD�hZWda�KEUNF{HTS4niYIK4QED

@CBED F6U DGniHTVZY�YIHTSEDGVXWOMqVX@6WwH�� �9HPD VZYPhZDiLNWdV P � O � r�@CBED aZWd@CBEaZhZa�S4VZY MOVX@6WdH�� � HPD VZYThZDiL4WdV R� O � rJVZS4Q�@CB4DF6x M_UNYPDGno@CHTn�MqVX@6WwH�� �9HPDJVZYPhZDiL4WwV P � ~�K � � s BEDix VXWCD Q4HIFCniK4FCF6DGQ_HIS_M_aZWCDJQEDi@CVZHTYNHTS @CBEDJ[]a�YTYPa�� HTSEh/F6DGno@CHPa�S\�s BEDgU4WCa-aZ[{[faZWk@CBED)noa�SNQ4HP@CHPa�Spa�S @CBED � � ��� � "�1� � �9����A�? ��� � $ ( � � "� � ������� � ��� � HTFkLNVZF6DGQ a�S@CBEDcHTQEDGS`@CHP@+xz[]aZWJ@CBEDgMOVX@6WdH��RaZU>DiWwVX@6aZW � � � � O � r

QEDi@ D�� U �� � � � 4 D�� U s WdVZnoD �� � � � � 6 � ~6G �s BED U4WCa-aZ[)[faZW���e 6 � ~6G � HTFRh�HPvZDGS HIS�l-DGno@CHPa�S 6 � 6 � aZ[ ! � # � �ka � WCDGniVZYTY/@CBNVX@ @CBED'F6U DGniHTVZY/YTHISEDGVXWMqVX@6WdH�� � HTDqhZWCa�KEU3HIFch�HPvZDGS3L`x ) � O �+4 K � � � � O � � QEDi@ � �+4 6 O � � Di@ K4FcQ4Di^NSED_@CBED MqVX@6WdH��� ��:� 4 D�� U �� � � � ) � O � @6akL D V FCMqa`aZ@CBgUNVX@CBgHTS ) � O � r�� HP@CB � � � � O � [faZW9[]K4WC@CBEDiW\D�� UNYTVZS4VX@CHTa�S}rUNYPDGVZF6D/WdDi[fDiWJ@6aRl-DGno@CHPa�S 6 � �-� � � � s BEDcnoa�S4QNHP@CHPa�SpQEDi@ � � 476 []aZW �7� ) � O � YPDGVZQ4F�@6aEr

604 QEDi@ � �� � � 4 QEDi@ D�� U �� � � � 4 D��-U s WdVZnoD �� � � �� s WwVZnoD � � 4 � �

l HTS4noD s WdVZnoD ! � 8���# 4 � [faZW � 8�� � P � O � r{@CBED FCU>DGniHIVZY YTHTS4DGVXW MqVX@6WdH � � HPD VZYPhZDiL4WdV P � O � HIF BEDGSNnoDh�HPvZDGSpL-x P � O � 4 K � � � � O � � s WdVZnoD � � 4 � O �s a ^NSNQ3@CBEDRnoa�S4Q4HT@CHPa�S3[]aZW @CBED �"��>�� � ���9#�'�? ��� �%$ ( � �<"� � ����������� � r � DpVXh�VZHTS noa�S4FCHTQ4DiWV FCMqa`aZ@CB niKEWCvZD � ��:� 4 D�� U �� � � � = O � VX@ �<4 � @CB4WCa�KEh�B @CBED KNS4HP@/DGYPDGM_DGS`@ � Q aZ[�@CBEDRMqVX@6WdH��aZWC@CBEaZhZa�S4VZY � HPD hZWCa�K4U = O � � � Di@ MqVX@6WdH�� � � � � O � � s BEDGS�L-x�@CB4D'aZWC@CBEaZhZa�S4VZYIHP@yx�noa�S4Q4HT@CHPa�S

� ��:� � � �� � 4 � Q}r�� DgniVZS D��-UNVZSNQR@CB4HTF�L-x s VGx YPaZWuF6DiWdHPDGFir� Q 4 � ��:� � � �� � 4 � Q � � � � 44 � � � Q � � � � 44 � 4 � Q � � � � � � � � = �� A � �

� aZW�MqVX@6WdHTnoDGFGr`WCDGniVZYIY4@CB4VX@ � 4����@� � s BEDGS ��DuniVZSO^NSNQq@CBED noa�SNQ4HP@CHPa�SO[faZW R O � L-x QNH��>DiWdDGS @CHTVX@CHISEh@CBED VXL>a vZD_noa�S4Q4HP@CHPa�S � HP@CB WCDGF6U DGno@k@6a � 4 � � s BNHTF YPDGVZQNF @6aR@CBED F6|ZD � �yF6x MqM_Di@6WwHTngMqVX@6WwH�� noa�S4Q4HT@CHPa�S� � � � 4 � �1?kYTFCaEr @CBED noa�MOM KE@CVX@6aZW1aZ[ @�� akFC|ZD � �yF6x MqM_Di@6WdHTn MqVX@6WdHTnoDGF9HTF\V FC|ZD � �yF6x MqM_Di@6WdHTn MqVX@6WdH�� �s BEDGS}r � DcniVZS QEDi^NS4Du@CB4D/aZWC@CBEaZhZa�S4VZY\MOVX@6WdH��"�9HPD/VZYPhZDiL4WdV_VZFGr R O � 4 K � � � � O � � � � � � 4 � O �

�kaZ@6D @CB4VX@u[]aZWk@CBED F6U DGniHTVZY aZWC@CBEaZhZa�S4VZY1MqVX@6WdH � �9HPDghZWda�KEU )m= O � r HP@CFknoaZWdWCDGF6U a�S4Q4HTS4hqMqVX@6WdH�� �9HPDVZYPhZDiL4WdV)HTF�VZYTF6a)h�HPvZDGS L-xq@CBED hZWCa�KEURaZ[ F6|ZD ���yF6x-MOM_Di@6WdHTn MqVX@6WdHInoDGF VZF�HIS R� O � rEFCK4nwBR@CB4VX@ � D/B4VGvZD/@CB4D� � ��� � "�-�"��>�� � ���9#� �� �� �%$ ( � �I"� � �����3 r PCR� O � 4 K � � � � O � �� � � � 4 � O ! � # �

Page 34: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

s BEDRF6@6DiUNF @6a ^NS4QNHTSEh @CB4DRnoa�SNQ4HP@CHPa�S [faZW_@CB4D � :9� � ���/�6� � �7�� �� �%$ ( � � "� � �����3 � � � �� �qVXWCDFdHTMqHTYTVXW�@6a_@CBED Q4HTFCniK4FdFCHPa�SOVXL a vZDZ�� D�� VZS`@�@6a_noa�S4FCHTQ4DiW V FCM_a-aZ@CBpniKEWCvZD � �� � � P � ~�K � @CBEWCa�KEh�B @CBEDKNS4HP@mDGYPDGMqDGS @ aZ[}@CBED hZWda�KEU VX@ � 4 � � r-FdK4ndBz@CB4VX@ � ��:� 4 D�� U �� � � � ) � ~�K � []aZW � � � � ~�K � � s BEDGS\rD�� UNVZS4QNHTSEh @CBEDgnoa�S4QNHP@CHPa�SR[]aZWJ@CBEDgF6x M_UNYTDGno@CHTn MqVX@6WdH�� � HPD/hZWda�KEU HTS � e 6 � ~Z~ � r� 4 � ��:� � � � �� � 4 � Q � � � � � 44 � � � Q � � � � 44 � 4 � � � � � � � � � � � = �� A � �

� x�@CBED'FCVZM_D'VXWdh�K4M_DGS`@ VXL>a vZD [faZWp@CB4D'noa�S4Q4HP@CHPa�S�HTS R� O � r���D ^8S4Q�@CB4VX@p@CBED noa�S4Q4HP@CHTa�S�[faZWp@CBEDFCx-M_U8YPDGno@CHTn/MqVX@6WdH �#�9HPD/VZYPhZDiL4WdVqHIF�h�HPvZDGS L-xZrP � O � 4 K � � � � ~�K � � � � � � � � 4 � O � 6 � �X� �

� KEWC@CB4DiWdM_aZWCDZr{HP[ � D noa�S4FdHTQEDiWg@CB4D MqVX@6WwH�� aZU>DiWwVX@6aZW � � P � ~�K � @6a L DzaZ[�@CBEDz[]a�YTYPa�� HTSEhpL8YPa-nd|[]aZWdMpr�� BEDiWCD�� 8:1 8 � 8 VXWCD<K � KRMqVX@6WwHTnoDGFir� 4 � � 1� � 8

@CB4DGS}rNFCKEL8F6@CHP@CKE@CHTS4h @CB4HIF�LNYPa nC| [faZWdM�aZ[ � HTS`@6a"� e 6 � �X� � r�� Dc^NSNQ}r� 4 � � � � � �4 � � � Q

> � Q � � � � 1� � � � � � � �1 � � � � � � Q

> � Q � �4 � � > � � � � � � �

>� � � ��� �1 ��> 1 � � ��kDGS4noD @CBEDcMqVX@6WdH�� � � P � ~�K � BNVZF�@CBED/LNYPa nC| []aZWdMpr

� 4 � � 1� > � � �08 � HP@CB 1 4 1 � r � 4 � � �

$;%�� %�� ���QM\+-7N) 79/=3?<���BO<�M <�7A@CJ�)�H / J�3&)��]�&:;) �S1=< �*5 /=3?+-7s BEDuYIHTSE|_L Di@�� DiDGS � HPDkhZWCa�KEU � VZS4QRHP@CF VZFCF6a niHTVX@6DGQ � HTDuVZYPhZDiLNWdV � HTF @CBEDuD�� U>a�S4DGS @CHTVZY MqVXURD�� U}� � @�HTFQ4Di^NSEDGQ VZF�@CB4DgMqVXU D�� U �9� T � rNFCK4nwBp@CB4VX@J[]aZW VZYTY}MOVX@6WdHTnoDGF � � � r

D�� U ���� 4 �%D * 3

� DK%� �

�kaZ@6D @CB4VX@O@CB4D D�� U>a�S4DGS @CHTVZYkMqVXU�HTFqV YPa-niVZYkQ4H�� Dia�M_aZWCUNBNHTFCM FCM_a-aZ@CB�MqVXU � HT@CB HTS`vZDiWdF6D � HTS @CBEDS4DGHPh�B L a�KEWwBEa`a Q'aZ[k��� � r{L-x'@CBEDpHTS`vZDiWdF6D []KNS4no@CHPa�S'@CB4DiaZWCDGM ! �X� # � ?kYIF6aEr{h�HPvZDGS @CBEDpS4VX@CKEWCDzaZ[ @CBEDD�� U a�SEDGS`@CHTVZY\MqVXU\r4HT@JMqVXUNFJ� � � @6aq@CBEDcHTQ4DGS @CHP@+xzDGYTDGM_DGS @ ��� � �s BED D�� U a�SEDGS`@CHTVZY MqVXU�VZYTYPa�� Fz[faZW @CBED noa�MqUNKE@CVX@CHPa�S�aZ[c@CBED�*4a � [faZWRV h�HPvZDGS vZDGno@6aZWp^NDGYTQ aZWHISE^NS4HP@6DGFdHTMqVZY8hZDGSEDiWdVX@6aZW ��� � []aZW � � � r4FCK4nwBp@CB4VX@J@CBED�*4a � aZU DiWdVX@6aZWuHTFir

$ ��� ' )�4 D�� U ��/��� �tuFCHTS4h @CB4HTF)QEDi^NSNHP@CHPa�S}r���DRniVZS QEDiWdHPvZDz@CBED"�9HPDOLNWdVZnC|ZDi@ []aZW � 8 � � � r1HIS ��e 6 � ~Z� � VZS4Q ��e 6 � ~3B � r�kB4HTndB VXWCDcSEa �AU4WCDGF6DGS`@6DGQ HTSR@CB4Dc[fa�YIYPa � HISEh)YTDGMqMqV �

Page 35: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � � ( � � � �� 2 � "� � ( � �I� � � ����� 4 �

( ��� �� 4 � b� � ��.W����� � 8 � � � G}0>#L,F��z�#W�-,!#>9'�����h��01�-7��EP"#��}7 �2�2�2��7��m9'��.L�-,!#Tc1��#nB/.:�J����#'�-G

! � 8 � # 4 � � > � � 8! � 8 � # 4 ' A

' � ' � � � � ��:� � > � � (((( 2 * )+* 3�

� .:�(�^9 I � HPWdF6@ir � Dgnoa�M_U a�F6Dc@CBED�*4a �cr� 2 ' ) # � 4 $ " ' 2 � $ � ' ) � $ " ' 2 � $ � ' ) # �

4 D��-U �:� � � D�� U ��/��� � D�� U > �(� � � D�� U >���� � # � �s a � WdHP@6D/@CB4HTF�HISR@CBEDgK4FCKNVZY s V x-YPaZWkF6DiWdHPDGF�D�� UNVZS4FdHPa�SR[faZW �cVZS4Q � VX@ � 4 � 4 � r

� 2:' ) # � 4 � 3 ' 3� # � � � � '' � � 2:' 3 # �)(((( 2 * 3 � � �� '' � � 3 ' ): # �)(((( )+* 3

� � � A~ �� ' A' � A � 2 ' 39 # �)(((( 2 * 3

� �� A~ �� ' A' � A � 3 ' ) # �)(((( )+* 3

� � ~ � �~ � � ' A' � ' � � 2:' ): # �)(((( 2 * )+* 3 � �= � G � � = �� G � � = � � A � � = � A � � �

��KE@ SEaZ@6Dz@CB4VX@ VX@ � 4 � r � 3 ' ): # �<4 � � D�� U ���� � � � � D��-U >2�/��� # �<4 #8r{VZS4Q VX@ ��4 � r � 2:' 39 # � 4D��-U �:� � � � � D�� U > �(� � � � # � 4 #8��l a_@6DiWdMqF FdK4ndB VZF �� 2 � 2 ' 39 # � r �� ) � 3 ' ): # � VZS4QpaZ@CBEDiWuB4HPh�BEDiW�aZWdQ4DiW@6DiWdMqF LNVZF6DGQ a�SR@CBEa�FCDu@ ��aqVZYIY8vXVZS4HTFdB}�b?uYTF6aEr @CBED&*4a���VX@ � 4 � 4 � HTF�@CBED/HTQEDGS`@CHP@yx �Z� �kDGS4noDZr�� D VXWdDYPDi[]@ � HP@CBR@CBED/[]a�YTYPa�� HTSEhEr� 2:' ): # � 4 # � � � � ' A' � ' � � 2 ' ) # �)(((( 2 * )+* 3 � �

= � � A � � = � A �:� �

� KEWC@CB4DiWdM_aZWCDZr4HP[�� DcYTVXL DGY � # � 4 ���� 2 � ) � 2:' ) # � (((( 2 * )+* 3rE@CBEDGS � DgB4V vZDZr

� 2:' ) # � 4 # � � � � # � � = � � A � � = � A � � �� [�� VZSNQ � noa�MqM)KE@6D#� HP@CB DGVZndB aZ@CB4DiWGr{@CBEDGS @CBED *4a � HTF)FCHTM_U8YPx � 2 ' ) # � 4 #3VZS4Q VZYTY FCKELNF6DGe-KEDGS`@@6DiWdMqFJVXWdD��iDiWCaE�s aOnoa�M_UNKE@6D � # � rNFCKELNFC@CHP@CKE@6D/@CBED/D�� U a�SEDGS @CHIVZY}D��-U8VZS4FCHPa�SR[]aZWJ@CBED+*4a��AVZS4Q Q4H�� DiWCDGS @CHIVX@6DZr

� # � 4 ' A' � ' � � 2:' ) # � (((( 2 * )+* 34 '' �� '' � D��-U �(� � � D��-U ���� � � D��-U > �:� � � D�� U >���� �)(((( )+* 3

� (((( 2 * 34 '' � ! D��-U �:� � � � � D�� U > �(� � � � � D�� U �(� � � � � D�� U > �(� � � >���� # (((( 2 * 34 '' � ! D��-U �:� � � � � D�� U > �(� � > � # (((( 2 * 34 � � � � � � � � � � > � �

4 � � � > � � � 4 ! � 8 � # �l-aEr4VZSEaZ@CBEDiW�� V xRaZ[�� WdHP@CHTSEh)@CBED *Na ��HTFGr

� 2:' ): # � 4 # � � � ! � 8 � # � = � � A � � = � A �:� 8

Page 36: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

�kBEDiWCDZr4[]aZW FCMqVZYIY �gVZS4Q � rE@CBED VZM_a�K4S`@JaZ[bnoa�MOM KE@CHTv-HP@+xRL>Di@ ��DiDGS�� VZS4Q � HTF�MqDGVZFCKEWCDGQpL-x @CBEDc@CBEDGHPWnoa�MOM KE@CVX@6aZWuL4WdVZnd|ZDi@ ! � 8 � # �� aZW!��e 6 � ~3B � r � B4HIndBpHTF�@CBED F6DGnoa�S4Q QEDi^8S4HP@CHPa�SpHTSR@CB4D&�\DGMqMqV r8YPDi@�@CBEDiWCDcL D/@ ��aOFdM_a`aZ@CB niKEWCvZDGF

� �(, T � VZS4Q �(, T � r\FCK4ndB @CB4VX@ � � � 4 $ " ' 254 D�� U �:� � VZSNQ ��:� 4 $ � ' ) 4 D��-U ���� � � s BEDixM)K4F6@uaZL Dixp@CBED noa�SNQ4HP@CHPa�S4F � � � 4 � � 4 �Zr�� � � � 4 � r VZS4Q� � � � 4 � � s BEDGS}r 4 ! � 8 ��# VZSNQ @CBEDD�� U4WCDGFdFCHPa�S HTS ��e 6 � ~3B � VXWCDcDGe-K4HPvXVZYPDGS`@i� s B4HTF�HTF�L DGniVZK4FCDZr� # � 4 '

' �� '' � � � � � ��:� � � > � � (((( )+* 3

� (((( 2 * 3 4'' � ! D�� U �:� � � � � D��-U > �:� � # (((( 2 * 3

8�kB4HTndB B4VZF�@CBEDcFCVZMqDcWCDGFCK4YT@�VZF @CBED/U4WCDiv HPa�K4F�Q4Di^NS4HP@CHPa�SRK4FdHTSEh @CBED *4a�� � 2:' ): # � �

� DGFCHTQEDGFg@CBEDzQEDi^8S4HP@CHPa�S aZ[�@CBED � HPDqLNWdVZnC|ZDi@ir{@CBEDzD��-U a�SEDGS`@CHTVZY�MqVXU VZYTFCa U4WCa v-HIQEDGFcVZS HTM_U aZWC@CVZS`@YIHTSE|OL Di@ ��DiDGS @CBED � HTD/hZWCa�KEU VZno@CHPa�S ��VZS4Qp@CBEDcYTHTDcVZYPhZDiL4WdV_VZno@CHPa�S � Q4HTFCniK4FdF6DGQRHTS l-DGno@CHPa�S 6 � �-� 6 VZS4Ql DGno@CHPa�S 6 � �-� ~-� s B4HTF�WCDGYIVX@CHPa�S4FCB4HTU HTFJh�HPvZDGS VZFJ@CB4D/[fa�YTYTa � HTS4h HIS ! ~6N # �� �� � � � � �#� 4 � 4 �� S 9 � �C��� � T � �x�T�d�5#29/� c~��#%�J.^��A6� �J�6�2�2��7 G1�-,�#/7a�-,!#j�5#29/� c~��#&��� �F#6B/.:�<�J�(�2����7���9� ��� T � ���$���-z�#/7`B/_iG

� ��H8 � � 4 � D��-U �� � 8 � � 8 6 � � 6@�9'��. � � � �'�h�i�'#W��� � G>��7 P ��� � I

� HPvZDGSR@CB4VX@ � D/SEa � BNVGvZDc@CB4HIF noa�SNSEDGno@CHPa�SRL Di@�� DiDGS � HTDuhZWda�KEU VZno@CHPa�SpVZS4Q �9HPDuVZYThZDiL4WdV_VZno@CHPa�SpHTS�uDi^NSNHP@CHPa�S 6 � 6 ~-r � D niVZS SEa��AWdD �JWdHP@6Dc@CB4D)HTS4^NS4HP@6DGFCHIMqVZY>hZDGSEDiWdVX@6aZWcHTS ��e 6 � ~ B � VZF @CB4D []a�YTYPa�� HTSEhqHTS��aZWCa�YTYTVXWCx 6 � 6 ! 6�6 # �& �"�3�#� �����: 4C� 4C�nc #'� � � ����� T � B�#Y�-,!#vc~��#���.:��AN� �;�6�2�2��7 GW01�2�-, c~��#a��� �F#6B'.^� � ��7 �-,!#l3��7C� 9'���hP � Id\ ,!#'7w�-,!#L�-7(�}7 �2�f#D�D��l3���C�F#/7�#'.^������.L�^9T�-,!#L�"�(�2����7a����.D.:#/���!��7�P���7F�8��� � � � ��� �J��z�#/7YB'_iG

� � � � 4 �� � � D�� U ���� � 8 � � (( )+* 3

8 , ��� � � 6 � �Z~ �\ ,��x�L�-7(�}7C�-�f#/���-ld��� ��#'7�#/.:������.4�x�L�-,!#4z�#+�6����.}��#'��P " � � ��7 � G ���-z�#'7w�-7���#+�6�2�2��7 H"I5R�I��CIs B4HTF�HISE^NS4HP@6DGFdHTMqVZY>hZDGSEDiWdVX@6aZW � � Q4DGFCnoWdHPL DGF�@CBED Q4HPWCDGno@CHPa�S aZ[b@CB4D M_aZ@CHPa�S a�S � r8FdKEL �6DGno@J@6aO@CBEDVZno@CHTa�SqaZ[ @CBED �9HPD�hZWCa�KEUqDGYTDGM_DGS @�D��-U ��/��� � � aZ@6Dk@CB4VX@m@CB4HTF �9HPDJhZWCa�K4UqDGYPDGM_DGS`@ VX@ � 4 �cHTFmD��-U � � 4 �ZrVZSNQ'HP@CFcQEDiWwHPv VX@CHTvZD VX@ �04 � HTF/FCHTMqUNYPxph�HPvZDGS3L`x � � � � � S @CK4WdS}r}@CBED �9HPD hZWCa�KEU3VZno@CHTa�S'VZFCF6a niHTVX@6DGQ�kHP@CB HP@CF�HTS4^NS4HP@6DGFCHIMqVZYNhZDGS4DiWdVX@6aZW ��� r4HTF�@CBED+*Na ��aZ[ ��� a�S � ! 6�6 # �

( ���?�? 4C� �e�$c�#(� � �S� � � T � B�#L�-,!#oc~��#;�J.^��A6� �J�6�2�2��7]��7 � I@� ��.L���-� � � � G � D�� U ���� � 84 �H�� T � G>�x�&�-,!# � ��0|�^9L�-,!#4�-7(�}7C�-�f#/���-ld������#'7�#/.:������. � � I� .^�6�^9 I DGniVZYTY @CB4VX@)@CBED *Na � M KNF6@)FdVX@CHTF6[]x @CBED Q4Di^NS4HP@CHPa�S'aZ[J@CBEDRHTS @6DihZWwVZY niK4WCvZD HIS&�uDi^NS4HP@CHTa�S 6 � �-�� HPWwF6@ir [faZW @CBED HTS4HP@CHIVZY noa�S4Q4HT@CHPa�S}r!� D�� U � � 8 � � 4 � � 8 � �54 �9�/l-DGnoa�SNQ4YPxZr}HP[ � D QNH��>DiWdDGS @CHTVX@6D)@CBED � HPDhZWda�KEU VZno@CHPa�S � � HT@CBpWCDGF6U DGno@�@6a � r4VZS4Q FCK4LNF6@CHP@CKE@6D/VqnwB4VZSEhZD aZ[9vXVXWdHTVXLNYTDZr���D/^NSNQ}r

�� ) � D�� U ���� � 8 � ��4 �� ) � D�� U � � � 8 � � (( 2 * )4 �� 2 � D��-U � � �:�/� � 8 � � (( 2 * 34 �� 2 � D��-U � � �J D��-U ���� � 8 � � (( 2 * 34 �� 2 � D��-U � � � 8 � D�� U ���� � 8 � � � (( 2 * 3L`x �uDi^NS4HP@CHPa�S 6 � B

4 � � � D�� U ���� � 8 � � � L-x���e 6 � �Z~ � �

Page 37: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � � ( � � � �� 2 � "� � ( � �I� � � ����� 4 �$�%�� %�� � PN) � 3�� )�1=) 79/=3?<�� +-H�/=PN) ��� M\+97N) 79/=3?<�� BO<�MC<�7A@C3F/=R 6 79E-)�14R )s BED Q4Di^NS4HP@CHPa�SNF{[faZW L aZ@CBq@CBED Q4H�� DiWCDGS`@CHTVZYEaZ[\@CB4D D�� U>a�S4DGS @CHTVZY8MqVXURQED��-URVZS4QzHP@CF�HIS vZDiWdFCDkQED�� U ; r-VXWdDHTM_U aZWC@CVZS`@kHTS @CBED D�� UNYTVZS4VX@CHPa�SNF aZ[�@CBED j VXh�S-K4F � � UNVZS4FCHTa�S4Fir VZS4Q j K4S`@CBED���!cVZVZF� F ! j !�l ndBEDGMqDHTS � HTD/hZWCa�KEU M_Di@CBEa Q4Fi�

� Di[faZWdD&��D/L Dih�HTSpB4a � DivZDiWGr � DcSEDiDGQp@6aOQEDi^8SED @CBEDcVZQ��6a�HTS @�WdDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S ?uQ � aZ[9@CB4D&� HPD/hZWCa�K4U� rNVZS4QR@CB4DgYTHTSEDGVXWJVZQ � a�HTS`@�aZU DiWdVX@6aZWkVZQ � B4HTnwBpVZno@CFJa�S @CB4DcnoaZWCWCDGF6U a�S4Q4HISEh �9HPDcVZYPhZDiL4WwV � ! 6 G # �� �" � � � � ��� 4C� 4 ��� \ ,!#n�;P:�/���-7C� .+#���.:#/�'#/7 �����2�2��7*�^9d�-,!#nc~��#&��.:��AN�CG ?uQ � �H� T � 9'��.g���-� � � � G%�x�P"#2�m7�#+Pv�i��G

?kQ �� ���� 4�� ��� ; 8 9/��. � � � G>��7 P � � � 80~,"�-�h#n�-,�#d�JP^�'���-7C�%����#'.^������. VZQ " �S� T � �x�W�-,!#dP"#'.��-zi���2�-z�#3�^94�-,!#L�;P^�'���-7C��.:#s� .+#D�'#'7C�����2����7 ?kQ � G>01�-�-,.:#/����#��(�@���<�-,!#d#/�5#/lg#'7C� � � � �����-,!#4�2P�#/7C�2�2�2_ �<� � G}�-7]�-,!#nP��-.:#��(�2����7 �^9 � � � � R � � I

( ��� �� 4 � � � \ ,!#W�JP^�'���-7C� ����#/.:������. VZQ " � � T � �x�L�-,!#Tc1��#nB'.^�J����#(�m�-7C�2.:�(P�A ��#�P8�-7 ��#��(�2����7 HJI�["I5RFI� � " �� � 4 ! � 8 � # 4 � � > � � 8 , � 8 � � � 8

01�-�-,E�-,!#>9'���-����01��7��8.:#��'A!.��D��z�#nP"#2�m7 �-�2����7�G VZQ �" ���� 4 � � 8 VZQ � ;" �� ��� G O 47698 ~ 8 � � � I� .:�(�^9 I l KEU4U a�F6D � HTF�VZS DGYPDGM_DGS`@JHTSR@CBEDcMqVX@6WdH �"� HTDuhZWda�KEU � rNFCKNndBp@CB4VX@ � 4 D�� U �� � � r4[]aZWJVZYTY!��� � � D)niVZS Q4H�� DiWCDGS`@CHTVX@6Dg@CB4D ?uQ�� a�HIS @kWCDiU4WCDGF6DGS`@CVX@CHPa�S ?kQ �� ���� VX@ � � � r��kHP@CB WCDGFCU>DGno@k@6a � 4 � � � r>HIS@CBEDcQ4HPWdDGno@CHPa�SRaZ[J��� � r

�� � ?kQ �� �� �)(((( � * �

4 �� � ?uQ������ ) � � �� �)(((( )+* 3

4 �� � D�� U �� � �/� D��-U >2� � �)(((( )+* 3

4 �� �

� � Q � � � � �� � � A~ � � 44 � � � � Q > � � � �� � � A~ � > 44 � (((( )+* 34 � � >� � � = �� � � (( )+* 34 ! � 8 � # �

� S ! ~6N # r ��D BNVGvZDu@CBEDJ[]a�YTYPa �kHTSEh/WCDGYTVX@CHTa�S4FCB4HPU8F9[]aZW @CB4D QEDiWdHPvXVX@CHPvZDJaZ[ @CBEDkD��-U a�SEDGS`@CHTVZY4MOVXUqD��-U � ��/��� [faZWuVZYTY!� 8 � � � r��kHP@CBRWCDGF6U DGno@J@6a � rEh�HPvZDGSpL-x s BEDiaZWCDGM 6 � �-�+'>����"�3��� 4 � �e� � ��. �� � G@�-,!#3P"#/.D��z����2�-z�#3�:9W�-,!#k#+�/�!��7�#'7C�2�2���1ld�D� �x�T���-z�#'7 B/_ D��-U � � � � � �C�"T� ���� " � � G}�DA��',E�-,F����0~,!#/7`���"� ����#+PE��� � � � G

�� �D�� U � � ��� �)(((( )+* 3

4 D��-U � � ��� � � (((( )+* 34 � ����� " � � QED�� U " �� � � 6 � �Z� �

0~,!#/.+# � ����� " � �9� T � ����� " � � Id\ ,!#jP�� qo#'.:#'7C�2�����b�:9;�-,!#&#��D�!��7b#/7C�2������ld�D� QED��-U " �9� T � �x�;�-,�#o���-7�#���.l3���CG}�DA��',E�-,F����0~,!#/7`���"� ����#+PE��� � � � G

QED��-U " ���� 4D�� U VZQ " ��> � QVZQ " ���� 4

�%D * 3

6 K � 6@� � VZQ

D" ���� 8 6 � �3B ���7 P<�-,!#4�-7 z�#'.��(#n�^9 QED�� U " �x��G

Page 38: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� 5 ������ �.2 �6� � �#�7"� �78 �3��� � � � �9��:<;= �>����? � � � �

Q4D��-U? ;" ���� 4 VZQ "D�� U VZQ " ��> � Q �� � 4�%D * 3

1&DK%� VZQ D" �� � 8 6 � �6D �

0~,�#/.+# 1&D ��.+#L�-,�# � #/.D7 ��A!�-���~7 A!lgB�#'.���G}�-,!#1�m.��/�1�'#'z�#'.^���e�^9j0~,"���/,E��.+#;�J��z�#/7YB'_ 1&3 4 6 G 1<;=47>�6@? ~ G1&A5476@?9B G 1�� 4 > 6@? �X� G 1��5476@? B ~ G ��7 P 1&D&4 � 9'��.4���-� �(P"P K � � I� .^�6�^9 I s aOF6DiDg@CB4VX@�@CBEDgYPDi[]@�VZS4QpWdHTh�B @JB4VZSNQpFCHTQEDGF�aZ[ � e 6 � �Z� � VXWCDgDGe`K4VZY r���DcniVZSp@6WdDGVX@ � VZSNQ � VZFMOVX@6WdHTnoDGFirNVZSNQ ��aZWd|z[]WCa�M L aZ@CB YPDi[]@JVZS4QpWwHPh�B @JBNVZS4QpFCHTQED/aZ[ � e 6 � �Z� � � � [�� DcD��-U8VZS4QR@CBEDgYPDi[]@JB4VZS4QFdHTQEDcVZS4Q QNH��>DiWdDGS @CHTVX@6D �kHP@CBRWCDGF6U DGno@�@6a � 4 � r4@CBEDGS ��DcBNVGvZDZr

�� � D��-U � � ��� � (((( )+* 3

4 �� � (((( )+* 3

� Q � � � ��� � � 6~ � � A � � � � � � � � � = �� A � �

� 6� � � G � � � A � � � � � � � � A � � = �� A � � � 44

� 6O � � � � � � � ; � � � � A � � � 44 � � � � ; � � = �� A � � � 44

4 � � 6~ � � � � � � � � 6� � � A � � � � � � � � A � � 44

� 6O � � � ; � � � � A � � � 44 � � � ; D � � D � 44 � � � � ; � � 44 6 � � B �

� �-U8VZS4Q4HTSEh @CBED/WwHPh�B @JBNVZS4Q FCHTQ4DuaZ[ � e 6 � �Z� � ��DgBNVGvZDZr� ������ " � � QED��-U " ���� 4 Q4D��-U " ����< D�� U � �

4 � D��-U VZQ " �J> � QVZQ " � ����< D�� U � �4 � � Q � 6~ � VZQ " � 6� � VZQ A" � 6

B � VZQ G" � 44 � �� �J D��-U � �4 �

� � 6~ � � � > � � � � 6� � � A � > ~�� � � � � � A � � 44 � D��-U � � � 6 � � F �� WCa�M B4DiWCDJa�S}r % WCaZ[ �$��KE@CnwBEDiW�BNVZFmQEDiv HTF6DGQ_VcSEaZ@CVX@CHTa�S_@6agBEDGYPUqMOVX@CndBz@CBED�U a � DiWdF{aZ[ @6DiWdMqF{aZ[ @CBED

YTDi[f@�VZS4Q WdHPh�B`@�B4VZS4QRFCHTQEDGF aZ[)� e 6 � �Z� � � � HPvZDGS @CB4VX@JMqVX@6WwHTnoDGF�MqVGx SEaZ@�noa�MqM)KE@6DZr4VZS4QR@CBED @6DiWdMqF�HTS@CB4DJD��-U8VZS4FCHPa�S)hZDGSEDiWdVZYIYPx)HIS vZa�YPvZDJFCa�M_D�U a � DiWdF{aZ[ MqVX@6WdH�� �zM)K4YP@CHPU8YTHPDGQc@6ag@CBEDJYPDi[]@mVZS4Q�� aZW{WdHPh�B`@mB4VZS4QFdHTQEDgaZ[mMOVX@6WdH�� � r � D)SEDiDGQ @6aRnoa�S4FCHTQEDiWu@6DiWdMqFuFCK4nwB VZF�� � ; D � � D ��� Di@�� � QEDGSEaZ@6DGFuVz@6DiWdM �kHP@CB Vnoa�M LNHTS4D/@6aZ@CVZY\U a � DiW O{rE[faZW � VZS4Q � MqVX@6WdHTnoDGFi� �\Di@ � D QEDGSEaZ@6DGFJ@CBED�K � @CBpU a � DiWJaZ[<� M)K4YP@CHPUNYIHPDGQq@6a� a�Sp@CBEDgWdHPh�B`@JB4VZS4QpFCHTQ4DZ� � aZW D��EVZM_UNYPDZr

� T � ; � 3 4 � ;� � T � A � 3 4 � A� � T � A � ;� � � T � G � ; Di@Cn �

�kDGS4noDZr-DGVZndBz@6DiWdM HTSq@CBED�D��-U8VZS4FCHPa�SqniVZSqL>D�WdDiU4WCDGF6DGS`@6DGQOK4SNHTe`K4DGYPxcL-x @CBED�� VZSNQ � S4aZ@CVX@CHPa�S4Fi� �ka �cr��e 6 � � B � L DGnoa�M_DGFir�� � D�� U � � �/���)(((( )+* 3

T � � 6~ � � A � Q � �Q� � 6� � � G � Q � � � � A � � 44

� 6O � � � � Q � � � 44 � � D � 44 � � � ; � �

Page 39: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

4 � � ( � � � �� 2 � "� � ( � �I� � � ����� 4

l HTMqHIYTVXWdYPxZr � e 6 � � F � niVZS L DgWdD �JWdHP@6@6DGS � HP@CB @CBNHTFkS4aZ@CVX@CHPa�S}���kaZ@6D @CB4VX@uD��-U � � HTFuM)K4YP@CHPUNYIHPDGQR@6az@CB4DWdHPh�B`@�aZ[bQ4D��-U " ���� rNF6aqD�� U � � niVZSpL D/WCD �JWdHT@6@6DGS VZF�D�� U � �Q� �� ������ " � QED�� U " �� � T �

� � 6~ � � A � Q > �Q� � 6� � � G � Q > � � A � 44 � D��-U � � �4

� ��� � � ��� > �Q� � ;A�� � A ��� > � � A � 44�> ��� ��� > �Q� ����� � �Q�

4 � ��� � � � > �Q� � >�� � � � >��Q� � ��� � � �

4 � ��� � ��> ��� � �Q� � � >��Q� � �������� ������� �����������! "�$# �%��� "� � � ��& �����('*)�� �,+ -) � � �.��� ��� � �/)��0 "12� �!� � � �43� "�!3� ��� � ��> ��� � �Q� � � > �Q� � 4 � � � � �6587A�� �65:9G � � 44 �J> � � � � � � 5 � � 7A�� � 5 � � 9G � � 44 � � � > �Q�

4 � � � > �Q� � 5;7 =<�> � 7 �A�� � 5:9 =<�> � 9 �G � � 44 � � > �Q�

4 � � 6?�@ � A � � � �Q� � 6A�@ � G � � � � � � A � � 44�������B��� �4C & ��DE "1 � �/)F)G�H)�� � 1 �!I )F�: "� � ��� � �J������� ��������� IK� � + � ? � � ��� � � �/��� � )+* 3 3MLN�����O� +P� "���FQ C 6-R A B � "� � Q C 6-R A F � ��� )�� � �� +S� R�T�.U:� � )�� �J������� ��������� I � � � ��� ;" ���� 3M�"#:� �!� D � )��� -) � ��� " ���V "�W "�� "1�XY)���� I & ���)������Z���[ � " 3\���L � �! "�[���YD �!� )�)�� �%������� ����������� & �O��)��� -) ! 6 G # 3� ��� ;" ���� 4 � � "��� � " �J>�� � � �� �4 � � � > 6? � " � 6

6 ? � A] > 6F ?-^ � �] � 44 � ���� �_ �") � )��� -)B)�� � �� � � �!� � �/)��F���`)�� � -#8�aD � � �!� � � �B�! "�Z# �b���:��� ��� � � #YX & �����('.)�� �bcd�!� �(� & 1�1��e� & + # �!� �fFg 3:�G�S)��: -)�)�� � -#\�hD � ����� & +i+ -)����������jQ CZk�l R A D�m R� �on l G-p 3d)�� � -#\�hD � ���")� -)������ I � � )�� � � ��q �!��� �Y)��� "1r� I )�� ����� ��� � �/)��0 "1 + ���s�N� � � ���4+tl R A��0����!I �!����� � )G�V "�e)�� �vu-wKx8y8zjzhu-w0{ew |:}~w �4|(zEwK�8� � )��� -)e���!3a)�� � )� "�(' � �Y)��T -)� �����Y) "��[� �! "��# �����:��� ��� � � "�� "���� k~� m 3�LN� �!��� � �H� R�� I )�� � � ��q �!��� �/)��0 "1 �4C & -)������*��� ������� ��� � �*& ������'N)�� �j} �Y��zNzhu-wK{ewK|;} w �4|�zaw �;� 3I � � )� "�(' � �Y)��j'���D � �� "� " � ��� k~� m 3()�� � � �4C & -)��������r������� � � ���4+�l R AbLN��1�1� "101;�� hD � ��1���'��Y)�1�X � ��q �!��� �Y)���:��� ���������:� R �

� �����Tk � � ��� m ((((�� *\��� � ����� " � � � ��� " k � m� ��� " k � m�� � �%g *\� k���l m gk�� � l m @ � g" k � mO�� ��� M�" k � m�� � � � l? � " k � m � �%g *\� fBg� @ � g" k � m �_ �") � )��� -)��0�S)������v�! "� � 3�)�� �Ncd�!� �(� & 1�10�(� & + # �!� � I � � � ��� M�" k � m � ��q �!� ����1�X*���S)�� � ����'�� I � � )�� � � � ���� �) �!��+ � �" k � m ���H)�� � � �!� � � � R

Page 40: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � �8zhua� ����� zaw �;� |:� �� uE��} w� w~�e|�u � � |(zayT�� |(zaw � �$;%�� %�� (*) 7N)�1 3&5 � 1=) R ) 79/2<>/23&+-7 +;H4� 3�� )�1=) 79/=3?<�� ��� LA<G/=3&+-7AR +97 ��N� � #: "�����B) � ���:��� C & � � I � � U;�����(' � ��q �!��� �/)��0 "1 �4C & -)������:�r��� + "��� I ��1 � � '���D � �H#YX�� � U;����)������ l R�� 3:���#�X$)�� �*+ �aD �4+S� �/)���� I )�� � � � � "1�' � # � . "�)��������[��� � R � � )������ � � � � 38 "� �! �"� � � # �)�� � � & � D � ��� � 3Y)�� � �P#�XS)�� �N� ��'��/)����/D- � �� "�Y)vD � �)G� � U � 1 � ���$# � �)������ l R A R ?�3�L � �� 4D � )�� � � ��q �!��� �/)��� "1�4C & -)������23 I � �&% � � "� � I � � "1�1�' � � 3

)( k*% m � � (+ � � k � k*% � k*% mGmGm � �-, ��. + � � � k k*% mGmO� k ^ m � ' � k�l R A0/ m� ��n�?0/ p 321 & �Y)�� �4365 " "�����Y) � � ��& � � � )�� � ' � � �!� �0� :��� � � �Y)� -)������H� I � ��q �!��� �Y)��� "1 �4C & -)��������r��� � 3�#: "� � ���� � � � "1�' � # � P "�)������7�8� � � � � � R9 �4� � �:ezEwK�8��; � ; �=<w#%������A!lg# �-,!���e�-,!#'.:#$#+�����D�-� �$c1��# ��� �F#6B/.:�r�301�2�-,n�$c~��#%B/.:�J���J#'� n?> � > p � � � � � � G�&�h#�9D��c~��#%��� ��#NB/.:�4�J�6�2�2��7 �@� � � � � � G ��7 PW�19DA!7 �(�2����7 �A�0� � � � � Gb��A �/,n�-,F�����-,�#;P�� qo#'.:#'7C�2�2���#��'A ���2����7d9'��. k*% m � � ����7 B�#L01.��2���f#/7a�-7a�-,�#>9/��.Dl��

�( k*% m � k � � k*% � k*% mGmGm k k*% mGmO� k ^ m � ' � k�l R A0B m0~,�#/.+# � � � �DCV� ��� k~� m �x�4P"#��}7�#�P<��7 u �<r H"I5R�E t I�e�H� �!� )�� �J��� 1� -)������:����� # � ) L �!� �W)�� � � ��q �!��� �Y)��� "1 �4C & -)������W���ZQ C k�l R A0/ m "� � )�� � ' � � �!� ��� I � ��+��� � �0�PQ C$k�l R A0B m 3:�0�S) �!��+ ��� Ieu-wKx8y8z,zhu-wK{ew |:}~wK�h|(zaw �;� 3�����:��� � �!�����! 1� "�!����'�)�� �N� ��'��/) + & 1�)�� 1��0�! -)�������0� � � � ' � � & 3 �GF kIH m � H >J' � , H � ' �[� �LV��)���)�� � � � � ' � � & "�)������M3�LN� � � � � � n�?0B p 3K kIH � ' m � K F kIH m � H >L' � H �[� � ' � � �

M ��D � �$)��� -) H � ���ek*%ON m �`� I � � �A�0� � � � � 3()�� � �`Q CWk�l R A0/ m # � �� +S� �!3 �( � � (+ k � k*% � mGm � C � � + k � k*% � mGm� PP %K k ���Tk*% � k*% � mGmO� m (((( � *\�N� P

P %� k*% � k*% � mO� m (((( � *\�� � k � k*% � mGm k mRQ� �[�")�� �!� Ld� � � �!3\1 � ) & �V�� hX`)��� -)B)�� � � � ��'����: "1 � ��q �!��� �Y)��� "1 �4C & -)������W���V'���D � �[#YXTS k*% m �VU k k*% mGm R�N� � �M3���� � � I )�� �H+ W�� � "��� & +S )������:�,# � ����� � )�� � )�� � � � X I � � )�� �YX&5 1 5 +S� )���� � ���b)��� -)S)�� �!����� ���G)��* � � � ' � � & "�)������ K � & ��� )��� -) I � �J� D �!� X �����Y) k*% m � � 3 , % � �d3NL � �! "� ��� L � ��) � )�� �� � ��'����� "1 � ��q �!��� �Y)��� "1 �4C & -)������$�0�H)�� ��I � ��+ 3

U k k*% mGm � PP %(((( � *\� K k ����k*% � k*% � mGmO� mO� LN� �!��� �A�0�[Z � � � Q

\ ��� � -'� "���23�)��:��� � � U:� � ��)�� � ���(U:����) � ��� + "1�' � � �!� -)G� ��N^] � I )�� � "�)������ K 3��� ����� � ��� � �0�('H)G�[)�� �I & ���)������_�!�`�aZ � � � Rb�& � )�� �!��+ � ��� 3�)�� � ' � � �!� ��� I � ��+ � I Q C.k�l R A0B m I � � + -) � ��� � ���! "�S# �r��� L � ��)G) � �S���*)�� �j+ � ���jI + ��1��0 �I � ��+ n l B p 3 & ������'J)�� � � ��q �!��� �Y)��� "1\� I )�� ����� ��� � �Y)��� "1\'���D � �`������� � � ���4+ l R A�3

( k*% m � PP %K k ����k*% � k*% � mGmO� m^cccc �ed � � P

P % k ���Tk*% � k*% � mGm > m^cccc �ed �� n � ��� � k � k*% � mGm > ���Tk ^ m�p > � � k*% � m > � k ^ m � ' Q� ��)����0�j�! "� � 3:)�� �gf �hLo� I )�� � D � �)G� � U � 1 � � � k*% � m ��� k~� m �0�j'���D � ��#�X.)�� � � � � ' � � & "�)������M3 k*% m � K k ����k*% � k*% � mGmO� ' m � ���Tk*% � k*% � mGm >h' Q

Page 41: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

; � ��� w � � ua� � : |:� � � w � 9 } x:� � ua| ���������� ������������ �=����������� �"!# � \� �!�� "1��! "� � � I Q C k�l R A0B m ���BLN� � �Z)�� �*I & ���)������ � �2� Z � � � � �!\� � � �V����1�X$��� % � �d3�� & ���)��� -)*L � �� hD � )�� �HI & ���)������ N � � � � )G� ���! 1� "� � � R ��� � � � ��� �! "101 � � )�� � $ }~w �T��|�u�% � w � z � :v��'& � |(zaw �8�e� n l B p R( �����('*)�� ��� ��'��/)��0�/D- � �� "�Y)rD � �)G� � U � 1 � 3�Q CWk�l R A0B m # � �� +S� �!3

( k*% m � k �*) N8k*% mGm k k*% mGm �,+ (+.- �0/ k*N8k*% mGm �,132 - �0/ k k*% mGmO� k ^ m � ' Q k�l R�� ^ mLN� �!��� 3� "� % � � DE � � � �!3v)�� � � � � � � "� � N � � � � ��� ) L�� � & � D � �*��� � � � "� � ���� � \� �)���D � 1�X R 1 ���% "�(�")�� �!� �(�")� -)������ I � � )�� �S� ��'��/)��0�/D- � �� "�Y)FD � �)G� � U � 1 � R _ �") � )��: -)%)�� � �� +S� �0�) � & �%I � � )�� � 1 �!I )����YD- � �� "�Y)dD � �)G� � U � 1 � 3 � � �(�") � �54 (+.- �0/ k*N8k*% mGm 38 "�N���(�hLV�$����n�?�6 p R_ �hL�3(1 � )87 �`� � � # � )�� � ���Y) � ' � "18� & � D � � I Q C$k�l R�� ^ m �G)� � )����('* -)87 k ^ m �:9 �[� � � R ��� � �M37,�0�r)�� ��I & � � +S� �Y)� "1M�G��1 & )������HLN�����O���� -)����GU � �!37 ( k*% m �:+ (; - �0/ k*N8k*% mGm �<1 2 - �0/ k 7 k*% mGmO� 7 k ^ m �:9 Q k�l R�� l m��� � �M3\)�� �Sx;���T�YuE|:}B�4�8} � zaw �;� k*% m � � � I Q C k�l R�� ^ m LN��)�� ��� � 8� �)F)G��)�� �*� ��'��/)%���YDE � �� "�/)FD � �)G� �U � 1 � 1 2 - �0/ 3;���j�(�hL '���D � ��#�X.)�� �3= 1 �!I )����/D- � �� "�Y)?> f �aLA@ � & �O��)��� -)!3 k*% m � @CBEDGFIHKJ . � k ' m � 4 ; - �0/ k ' m � 7 k*% m >h' Q k�l R�� ? m��� � -#\�hD � ��� ���� � � �/) � � + � ���%I � �O+ "1�1�X�����n�?�6 p "�N)�� �%I ��101��hLN�0�(' R� �� | ; �0L��M N.OPORQSNUTVNXWGNZY\[<Y\T.WU]^O^T_Y\Ta`cb?dSTfe\N � � � � � �hgji Qk]lbUQnmUYoO^]�m�p8NfmqORQSNrM�]�NsO^`atuNNVv.duY�O^]^w\[x]R[5yzvr{}|�~��*�a�o~�� QSN?[X] �PORQSN�b.d�Tfe\N N �0� � � ]�mz��]�eoNU[�WU` g

N8k*% m �<+ (+�- �0/^��� k �( k*% mGmO��UwoTrY\�R� % � � g ORQSN3�'N?[�NUT_Y\��mUw\��duO^]^w\[ O�wqyzvX{}|k~��*�f�Z]�m��o]Re\N?[cW?`�yzvx{�|�~��u�?� g Y\[���ORQSN��fd�[���Y\��NU[�O�Yo�mUw\��duO^]^wo[ 7 ��d�mUO�m?YoO^]0mR�a`3yzvr{}|k~���|U�\~�����l� �r���c���������\� �¡�¢<��£���¤}¤^�U¥¦���!\§�� �o¨ª©����k¢«�"¤��b � � ) L�� � #:��) � � X + -) � ��� � �­¬� "� �sf LN�����O� ��� & � & "1�1�X��(��� 3 �� +i+ & )� -)��0�('(3�L � Lr "�/)S)G��U;� � + -) � � �q®Pk*% m � & �O��)��� -) I � � � + "1�1 % � �d3���Tk*% ¬ m ����k*% f m � ���Tk�®Pk*% mGmO� k�l R�� A mLN� �!���¯®ik*% m ���j)�� � �T hX�1�� �N��� "���������23 ®Pk*% m � °±² d � ® ² % ² R ��� � '"�� "1T����)G�iU:� � ��� 10���!��) ���:��� ���������:� I � �)�� � �� �?³ �!� � �/)��,��� ®Pk*% m ���Z) �!��+ �F� I �� +i+ & )� -)G� � �, "�)����('���� + -) � ��� � �´¬� "� �Wf R ��� �J������� ���������I � �µ®Pk*% m ����¶��(�hLN�� "�N)�� �,c \¶ �!�h3�· +P # � 1�1 3¹¸ & �Vº(� � q k~cz·8¸ m b � ��+ & 1� R� ��n l � p 3()�� ��I ��1�1��aLN���('3» �4+P+ �� �aD��0º � �� 3º���q �!��� �Y)��� "1 �4C & -)������ I � �µ®ik*% m ����Q C8k�l R��0� m R� �� | ; �½¼��µM N.O ¬ Y\[*� f WGN�[*wo[�¾¿baw\����dSO^]R['���­YoO^Tf]lbaNfm?~s� QSNU[ g yzvr{}|k~���À?�¡]�m¯O^Tad�N g Y\[*� ® ]�m¯ORQSNmUw\��duO^]^wo[xO�w�ORQuN¯]�[�]^O^]lY\��eÁYo��d�Nzt*T_wkWU�½NU� g

S® � ¬c f  l? n ¬ � f � ® p  °Ãgd �fFg� @ oº g Ä k ¬c f mO� ®Pk ^ m � ^ Q k�l R��0� m

i QSNUTVN fFg �kN?[*woO¹N�ORQSN´ÅµNUTf[*w\dS�R��]�[�dS�­WaNUTamU~

Page 42: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � �8zhua� ����� zaw �;� |:� �� uE��} w� w~�e|�u � � |(zayT�� |(zaw � �� T¿w�w¿�U~ b � � � + "1�1'7r "��º % 3" "��ºb B� + ���")�� + -) � � ��I & ���)�������� k 7 � % m 3"��������½º �!� )�� �dI ��1�1��hLN����' ���:��� ���������23���Tk 7 ¬ m ���Tk*% f m � ���ek � k 7 � % mGmRQ k�l R���� m�F��q �!��� �Y)��� -)����('.)�� � 1 �!I )V "��º � ��'��/)B�� "��º[���½º � � I Q C�k�l R���� m LN��)�� ��� � \� �)N)G�s7 & �����('S)�� �b� ��'��/)�) � ��D�� 3 "10���� -)������$�0����� � � ���4+ l R A�3; "��º$� & #;�G)���) & ) � Q C�k�l R���� m ���/)G�i)�� �%���:��� ���������23(L � U:��ºM3¬ ���Tk 7 ¬ m ����k*% f m � �� 7 ���Tk � k 7 � % mGm� º ��� 5 - ; . �0/ � �� 7 � k 7 � % m >�� ���k � k 7 � % mGm� º � ���� - ; . �0/ � �� 7 � k 7 � % m > k � ���k 7�¬ m � �� k*% f mGm� ¬ � º � ���� - ; . �0/ � �� 7 � k 7 � % m Q��������º������ ���� ��������� �"!#� � P%$^P 7&� k 7 � % m('�) �+*��\¶��,*�- �+�.��/�� � ���+��!Eº�� �� '�� 7 � k 7 � % m � º�� ��10 �� - ; . �0/ k ¬ m � °Ã g

d �fBg�32 �oº g � - ; . �0/ k ¬ m

� ¬ � l4 �oº � - ; . �0/ k ¬ m  °Ã gd �fFg�32 �oº g � - ; . �0/ k ¬ mRQ k�l&5 ��6 m_ � � * ' ��! ) �,*��\¶��,*�- �,�.��/�� � ���7��!98;: k�l&5 ��� m('� ��Tk�� 7 ¬ m � ��Tk�� % f m � � ���k�� � k 7 � % mGmO�����º­º���q<� � ���=*��>�&*?�A@<��*�-����½º���� ) ��*�- � ��� ��BC*D*?� % '=) �EB����F����ºG���G� ���� ���H����� �G!#� � *�- � � � *��>��Iuº � � �>/J�&*���/����!K� k 7 � % m;) �>*�- � ��� ��BC*A*?� %L5�� % � k 7 � % m � º�� �� 0 �0 � - ; . �0/ k f m � °Ã g

d �fBg�32 �oº g 0 � - ; . �0/ k f m

� f � l4 �oº 0 � - ; . �0/ k f m  °Ãgd �fFg�32 �oº g 0 � - ; . �0/ k f m� f  l4 �oº � - ; . �0/ k f m  °Ãg

d �fFg�32 �oº g � - ; . �0/ k f mO� k�l&5 � 6 m) -��>BH-M�>� W�N��?*O*�- �GI���!#*O* � ��/P�.��I>�>���&*���� �Q��!"º � �� 0 �� - ; . �0/ k f m�� 5+R ! ) �GBC� S � � ��8;: k�l&5 ��T mO) ��*�-M8;: k�l&5 ��� m(') �,�?���,*�-��&* ®Pk*% m � � k 7 � % m�U ; d8� 5 �A- ��� ®ik*% m �.�V*�- �+�?� I>N�*���� �"*?��*�- �jº���q3� � ����*��>��I<��:PN��&*���� � 'P

P % ®Pk*% m � �� 7 � k 7 � % m cccc ; d8�  PP %� k 7 � % m cccc � Q# N @��?*���*�N�*��>� W�8K: k�l&5 ��6 m ����ºQ8K: k�l&5 � 6 m('X) �,-��Y/�� '

PP % ®ik*% m � Z ¬ � l4 �oº � - ; . �0/ k ¬ m  °Ãg

d �fFg�32 �oº g � - ; . �0/ k ¬ m[Vcccc ; d8� Z f  l4 �oº � - ; . �0/ k f m  °Ãgd �fFg�32 �oº g � - ; . �0/ k f m [[cccc �� ¬«Â f  l4 n ¬c f � ®Pk*% m�p  °Ãgd �fBg�32 �oº g Ä - �0/ k ¬«Â f mRQ

Page 43: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

; � ��� w � � ua� � : |:� � � w � 9 } x:� � ua| � L�A-��>� BC� S I���*?���A*�- � �� �P��! *?� � ��S�S�� l&5 6 5� ��* ®ik*% m @<�"W ��/���� @�� � � ���%I�� � �?� � �>��� ®ik*% m � ± °² d � ® ² % ² 5 � ��q<� � ����*��.�&*��>� W ) ��*�- � ��� ��BC*�*?� %�P�>��I½º�� ' S®Sk*% m � ® �  4 ® � %  T ®�� % �  > > > k�l&5 � / mR ! ) �7��N @X�?*���*�N *?� *�- �O�H��SG�7�����PI�� � ��� � ����� ®Pk*% m � ± ® ² % ² �>�=*?� 8;: k�l&5 �0� m(' ����º S��&*�B(-�*�- � BC�=� ³ B��>����*��

® ² @<��* ) �����Q*�-��>�V����º 8;: k�l&5 � / m('3) �+����º"*�- �7� ���� ���H����� ��� !#� �µ® ² *?��@<� '® � � ¬«Â f �® � � l4 n ¬ � f p��®�� � ll 4 n ¬ � n ¬ � f p�p  ll 4 n f � n f � ¬ p0p��®�� � l4 � n ¬ � n f � n f � ¬ p0p�p��Q Q Q

-�� � ��� ���� ��������� ����! � � S ®�� � � ) � � º � � �Q�H�>S I>�>���.º N��H�>� WM*�- �� ��BC��@X� R º�����*���*�� �.� #P��BC*���� � l&5 T 5 4 5¸ ����BC� ' *�- �,S��&* � � �s® % m -����V*�- �7� ���� �������>� � '® % m � ® � %  ® � % �  ®�� % � Â�� % � m� ¬«Â�� m %  l4 n ¬ � � p % �  ll 4 n ¬ � n ¬ � � p�p  n � � n � � ¬ p�p m % � Â�� % � mO�) -��>B(-��>�8¶%� � ) �Q���A*�- ��� ·8¸ !#� � S N�I>� 5

������� �����Z���§������ � �5�C�k�������¤¹�}! ������� ��!R � *�- � �� ��/%��� N��E�?��BC*���� ��� ' SG� �?*A��!9*�- ��º �������>*���� ��� W ��/����Q� � �,@����?�.ºQ� � *�- � � ��W -=*A* � ��/%�>��I>�>�H�&*���� ��� ' ! � �º���q<� � ���=*��>��I ��:=N��&*��>� ��� ) ��*�-M*���� W����=*��+W �>/����M@��x¬�� � � �! ' ) - � � �3¬ � � ����º"� �s� 5�R � SG� ��*� ���� ��������� ��� ' *�- � � ��� � ����I>��W -=* º���q3� � ����BC���E@<��* ) ����� *�- � I>��! *O����º � ��W -�*OBC� ��/����=*���� ��� 5 \ � � �>S � � *����=*º��>�?*��.��BC*���� � @<��* ) ����� *�- ��* ) � �>�7*�-��&*,*�- �FI���!#*,BC� �=/�����*���� �nº ��� ��*?��� B���I>B�N�I>�&*��>� ���Pº � � ���.� *�- �F� ��BC�BC�=� � º��>���&*?���;��! � SG�Y/%�>� W ��@�W ��BC* '%) -��>I��A*�- � � ��W -=*;BC� �=/����=*���� �sº ��� ��*?��� *�-��&* ��! *�- � @3�Sº#�GBC�P� � º��>���&*?�����! *�- ����@�W?��BC* 5 �E- �F� ��BC� BC�=� � º��>���&*?�F�>�,��! � ��SG��� � �.º �>� � ��BC� '�) -��>I���*�- � @3�Sº#� BC�=� � º��>���&*?�F�>�,�! � ��SG�7� � �.º ) ��*�-��>� *�- �7@<�Sº#� ' �?��*�-��&*V*�-��.� ! � ��S��+�>�VSG�Y/%�>� W ) ��*�- *�- �7@<��º#� ' ��@���� � /��.º ) ��*�- � ��� ��BC**?��*�- �+� ��BC�,BC�=� � º��>���&*?��� 5b � � �����$� � ��! � � ����BC� ' R -���/�� I.�>�?*?�.º"�?� SG�+��! *�- �,S�� � �7! � ��:=N ���=*�I%� N��?�.º B���I>B�N�I>�&*���� ���V�>�"@<��*�-"*�- ��� �I���!#*A����º � ��W -=*V-�����º�* � ��/P�.��I>�>���&*���� ���K!#� � S��&* � �.BC��� ' �>��� �&@�I��'& 5 & 5

Page 44: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ¼ � �8zhua� ����� zaw �;� |:� �� uE��} w� w~�e|�u � � |(zayT�� |(zaw � �

���&@�I>�'& 5 & � �������������� ������������������������������� �"!#����$%�����'&'!(!�����)*�������+����!��������,� ��!#*A� � ��/P�.��I>�>���&*���� � X �>W -�*A� � ��/%�>��I>�>�H�&*���� �4#- /. �10

> . + - /. � . >04 � � Z � � � + � � Z � � �

4 (F N � '-> N + (F N � N >L'4 ( � � � C F � + ( � � �DC F �� ' � N# �,+32/465 - 2 / ' � '$>�� �� N# � N � ' � 4

2/4�5 - 2 / ' � � �� N >J'�8� � Z � � � �@� � Z � � �

�*) N ' � 77 � � ' � % N cc �ed � ��) N# ' � 77 � � % N � ' cc �ed ���) � � � � � ��) � � � � �! 77 � � �� 98  % N cc �ed � � 4 (

2/465 -�: / ; º � �� : N 77 � � �� 98  % N cc �ed � �,+ (2/465 -�: / ; º � �� : N º � �� : N# � � °±

< d � - 0 � / =- <?> � //@ �oº <: N º � �� : N � °±< d � �- <?> � //@ �oº <: N º � �� � � Z � � � � Z � � �

º � �� 0 �: N � � N  �� �oº : N  °±< d � A =< @

�oº <: N º � �� 0 �: N# � N*� �� �oº : N#  °±< d � A =< @

�oº <: N#

Page 45: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

�����������

������� � ����������� � � � � � �!��"#�

R � · -�� *?� � 4 '�) �;�?*�N�º#�7*�- �;� :�� � ��BH- ��! *�- �%$ �&W �=N�� �?� � �>��� � �� �������>� � ' ) - ���,�?� I>/P�>��WA*�- � S��&* � � �º��'&<� � ���=*��>��I3��:=N��&*��>� � ' S % )( ¬ %$ % +*N����>��W-,;�>B�� � º ��*?� � �&*���� ��� 5�R ��*�- � B����?� ) -���� %$ �.� ������I���S�����* �>��� � ���AW � � N ' *�- ���F*�- �ES��&* � � � ¬ %$ �>� �>�F*�-��OBC� ��� ��� � ��º��>� W � ���O��I�W���@ � � ' ����º *�- �´º��.&3� � ���=*��>��I���:=N��&*��>� � @<��BC� SG���V� � ���EW � � N ��:PN��&*���� � 5#P� ' *�- �/$ �&W �=N��O��� � �����A� �� �����H��� �QS N��?* ��I>�?� � ��� ��BC*E*�- ���?* � N�BC*�N � �+��! *�-�� � �>�,W � � N ' ��! ��* �>�E*?� @<�N��?�.º����E*�- �7@������>�A! � � ��W���� SG��* � �>B+�.��*?��W � �&*?� �Y5# I>�?� ' ) �"�>�=* � ��º�N�BC��*�- � � �=��*?�.º * � ��� *�- ��� � � ���H�?�PB��.�&*?�.º ) �>*�- *�- � *?� � S�� �>� *�- �0$Q�&W �PN����?� � �>���� �� ��������� � 5 8K��BH-Q*?� � S �.��*�- �+� �� �������>� �"! ���&*�N � ���E�F�PN�S @<� � ��!9�����?*?�.ºQBC� S�S N *��&*?� � �O����º S N�I�*�� I���>�=*?��W � ��I>� ! � � S *�- � � � �.º � �.��* ��*?� � �&*���� � ��BH-���SG� ' ����º *�- � � @<��BC� SG���>��B � �������>� W I �MBC� S I�� � ��� ) �� �� ����º�*?� -���W - � � � � º � � � 5 � ) �>I>I �����E*�-��&* N����>��W7*�- � � �P��*?�.º * � ����� �� �Y/%�½º ���;� = ��- � � * 3 -�����º>PSG��*�- �Sº��! ����º��>� W,��I>IX*�- � � ��B�N � �H��/��E*?� � SF� � ��:=N�� � �.ºF!#� � � � � *��>B�N�I>� � � � º � � �>� *�- �1$Q�&W �PN��V�?� � �>���K� �� �������>� � 5# I>�?� '%) � ) �.I>I�º��.��B�N����;@ � ��� f �G*�- �7�½º ��� ��!�� � ) � �%2 ���H�?�PB��.�&*?�.º ) ��*�- *�- � � �=��*?�.º"* � �����V! � � S *�-��$Q�&W �PN����?� � �>��� � �� �����H��� � ' ����º *�- ��BC� ��BC� *�*�-��&*�� * � N���B��&*?�.º�$Q�&W �PN����?� � �>��� � ��� ��BC*�� *�-�� *��>S�� 3�$�%S�SG��* � � �� � � � * � 5 �A-��>� I����oº�� *?� SF� W � �"� �.º�N�BC*���� � �.� *�- �M�=N�S,@<� � ��!+*?� � S�� � ��:PN�� � �.º �>� *�-��� �� ��������� ��N *?��� � � *��>B�N�I>� � � � º � ��5 ¸ ����BC� ' �>*K����W ���>��B�����*�I � � �.º�N�BC���K*�-�� BC� S N�*��&*���� ����I3BC� �?*;��!1*�-��$Q�&W �PN�� �?� � ����� � �� �������>� � 5� N ��*?� *�- �F���&*�N � ����! *�- �FS N�I�*�� I>���.��*?��W � ��I.�+�>� *�- �F*?� � S��+��! *�- �F� �� ��������� � '�) �F�����.º *?� N�� 3º � � �?*�����º - � ) *?� N���� S N�I�*���/&� � �>�&*?� :=N��oº � �&*�N � � *?��� ��� � � �>SF�&*?� ��N�BH- S N�I>*�� 3 º��>SG��������� ����I1�>�=*?��W � ��I>� '����º �>� � � *��>B�N�I.� � ' *�- � �>S � � *����=* � � I��O*�-��&* � ��W�����º � � � I%�%� � S��.��I ��! º ��W � ���´7 I>���%� �>� *�- �O:PN��oº � � 3*�N � � ��!,� 4o7M� � º � � � ��� � � �>S��&*���� � 5 R � *�-�� I>����* �?��BC*��>� � ' *�- �M��N @"W ��BC* ��! :PN��oº � �&*�N � � ����º �?� S���>S I>��SG����*��&*��>� ���>����N ��� ) �>I>IX@3�+BC� �����½º � � �.º 53-4+5 6 7%8:9<;>=@?BA)CEDFAG=IH�J/K>7L9>=MDFN:9>=R �POP��BC*���� � & 5 T 5 � '�) � ) � � �O�>�=* � �Sº�N�BC�.º *?��*�- �Cº��'&3� � ����*��>��IX��:PN��&*���� � � � *�- �7S��&* � � � � ��� W � � N 'P) -��>B(--����V*�- �7!#� � S '

SQ SR )(�T SR * Q Q SR +* Q VU G(XW QY ��*?� *�-��&*V��!1*�-��O! N���BC*��>� � T[Z]\ Z_^ `ba­º � ����º��;� ��I%�G� � R ' ��N�BH- *�-��&* ) �7-��Y/��O*�-��O! N���BC*��>� � ' �����¬ Zc\ `ba ' *�- ��� *�- �,�&@<�Y/��+@<��BC� SG��� ��I>�>����� � SF�&* � � � º��'&<� � ����*��.��I<��:=N��&*��>� � '

Page 46: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� ����� ��� �� ����� ��� : � �� � �8�SQ SR G( ¬ SR Q SR +* Q VU G( Q�� Q 4 5 & R � *�-��>��B����?� ' *�- � �?� I>N *��>� � *?� 8K: 4 5 & B���� @<�"! � N���º @�� *�- � $ �&W �=N��F�?� � ������� �� �������>� � ' ����º) � ) �.I>I ! � I>I>� ) *�- �5º��>��B�N����H��� ��� �>��� &���� ����º�� & B�� �>� *�- � �?��BC*��>� � @<��I�� ) 5 Y ��*?� *�-��&* 8K: 4 5 & �>���

� ���+W � � N ��:=N��&*���� �Q��! Q SR �.�V��� ��I���SG���=*E�>�Q��S��&* � � � � �>�+W � � N ! ' ����º *�-��,S��&* � � � ¬ SR �.�A�>��*�- �BC� �H� ��� � ��º��>��W � ���V��I�W���@ � � a 5 O%� ' *�- � $ �&W �=N��;�?� � �����9� �� �����H��� �G��I>�?�+� ���.º��D*?� � ��� ��BC*D*�- �A��* � N�BC*�N � ���!9*�- �,W � � N N���º�� � BC� �����½º � � �&*���� � 5�A- �7@����H�>B7�½º ���G�>�A*�-��&* �>�"*�-��+W���� � � ��I�� � �#" BC� S�S N *��&*���/�� B����?� '�) � ) ����* *?�F�?��� � B(-Q!#� � �FSF�&* � � �! N���BC*��>� �%$ SR ��N�BH- *�-��&*A*�- �,��� I>N *���� � Q SR !#� � 8;: 4 5 & �>��º ����B � ��@<�.º ��� 'Q SR )( � �� $ SR $ Q�� Q 4 5 4 R *7*�N � ��� � N *7*�-��&*+*?� �X��º *�- �G� �� I>�>B���*O� ���� ��������� �M!#� � $ SR ' ) �F� ���.ºM*?�Q��� I�/������ ��*�- � � º��'&3� � ����*��>��I��:PN��&*���� �&� &���� ' S$ SR )( º � �� 0'( -*) / ¬ SR $ M* $ VU �( U Q 4 5 T � �xº � � �>/�� 8K: 4 5 T ' I���*�N�� ���H��N�SG�"8K: 4 5 4 - � I0º��,����º ) �rº��.&3� � ���=*��>�&*?�"��* ) ��*�- � ��� ��BC* *?� RN����>� WG�A- ��� � ��S!& 5 T !#� � *�- �jº�� � ��/&�&*���/��7��!�*�-��+� �� � � ���=*��>��I1S�� 5P

P R Q SR �(PP R � �� $ SR $ Q��

SQ SR �( +,+2 4�5 - ( --) /0/ ; º � �� ( -*) / � PP R $ SR > Q��( º � �� ( --) / . S$ SR 0/21 � �� $ SR $ 31 Q�� Q 4 5 �

· � S � � �>��W�8;: 4 5 � ) ��*�-�8;: 4 5 & ����º 8;: 4 5 4 'X) �+�X��º"*�-��&* '¬ SR )( º � �� ( --) / . S$ SR / QR �=/�� � *��>� W�*�-��+�&@3� /�� �%����I½º�� *�- �¯º ����� � �.º � ��I>�&*���� ����-�� �.��8K: 4 5 T (5

X ��B���I>I3*�-��&* *�- � �?� � �>���;!#� � º � �� 0' -����;*�-��O!#� � S W ��/���� @��F8K: & 5 T�� �>�"�A- ��� � ��S & 5 T 5 �A-���� ' 8;: 4 5 T B�����@<�7! N � *�- � � � �� ����º �.ºQ��� 'S$ SR )( ¬ SR 54 &4 �6$ SR +* ¬ SR �u &

&�4 �6$ SR +* �7$ SR +* ¬ SR �8�� 19191 4 5 � # � I �P�>��W *�- � �½º ���O��!: ��; � ��<&�>=? �� � =@� �;�A � 4@� '�) �EB����G����ºG���G� �� I>�>B���*9� ��� � � �.S��&*���� �G*?�B$ SR (5 �A-��.�� :�� � � �>S��&*��>� � �>�AB���I>I>�.º�*�- � $ �&W �=N��E�?� � �>���V� �� ��������� �C� &���� ' ����º �>��º�� � ��/��.º ��B�BC� � º��>� W�*?��*�-��,�?*?� �@<��I�� ) 5� ��*5$ � @<� *�- � �>����*��.��I&���?*��>S��&*?�;*?� *�- � �?� I>N *��>� �B$ SR (5 Y ��*?� *�-��&* 8;: 4 5 T -���� *�- � �>����*��.��I�BC� ��º���*���� �$ VU :( U ' �?� ) ��B���� I���* � N � �>����*��.��I ���?*��.S��&*?�G@<�D$ � ( U 5 Y � )+' ��! ) ����N�@��?*���*�N *?�E$ � ( U �>�=*?�"8;: 4 5 � '3) �,� � �+I���!#* ) ��*�- ' S$ SR ( ¬ SR +* $ VU )( $ � ( U *����º �>�=*?��W � �&*?� ) �>*�- � ��� ��BC*V*?� R ' )F

�S$ �G P G (

)F� ¬ �G P G Q

O%� ' *�- �+� � �?*V��*?� � �&*���� � ' º���� ��*?�.º @��2$ ' SR �%����I½º�� *�-��7! � I>I>� ) �>��W�� :�� � � �>S��&*��>� �"*?�H$ SR '

Page 47: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � ����� ��� �� ����> ����� � �� � �8�� ���$ SR 54 $ VU �(

)F� ¬ �G P G

� $ ' SR �()F� ¬ �G P G Â $ � (

)F� ¬ �G P G Q 4 5 6

Y � )+'�) �,��N�@��?*���*�N *?�78;: 4 5 6 �>�=*?��8K: 4 5 � 'S$ SR )( ¬ SR 4 &4 �7$ ' SR +* ¬ SR �u &

&�4 �6$ ' SR +* �7$ ' SR +* ¬ SR �>� 4 19191E*����º��>�=*?��W � �&*?�,*?�F����º"*�- �+�?��BC� ��ºQ��*?� � �&*?� $�� SR '$�� SR )(

)F� ¬ �G P G 4 &4 )F

� �7$ ' �G +* ¬ �G � P G Â&&�4 )F

� �6$ ' �G +* �7$ ' �G +* ¬ �G �8� P G  19191 4 5 6 O%�>S��.I>� � I%� '=) �,�HN @��?*���*�N�*?� 8;: 4 5 6 �>�=*?�F8K: 4 5 � *?���X��º"*�- �+*�-�� � º"��*?� � �&*?�B$ � SR '

$ � SR )()F� ¬ �G P G 4 &4 )F

� �7$�� �G +* ¬ �G � P G  &&�4 )F

� �6$�� �G +* �7$�� �G +* ¬ �G �8� P G  19191 4 5 � � ��BV¶���N�@��?*���*�N *��.� W $ ' SR ����º $ � SR �>�=*?�,8K: 4 5 � ! � � $ � SR �P����I0º��D�+BC� S I>� � � ���� ���H����� ���>�=/�� I�/ "�>� W�S N�I�*�� I��O�>�=*?��W � ��I>� �>�����0º � � ����*?�.º�BC� S�S N�*��&*?� � � 5 # ! *?� � �?� SG� � �� ��������� � ' *�- � � � �?*;!#� ) *?� � S��V� � �º��>� I>�����.º"@<��I�� ) ! � � ��I>I<*?� � S��AN *?��*�- �7* � � I��7�>�=*?��W � ��I>� '

$ � SR #()F� ¬ �G ' P G ' 4

&4 )F�

��� F� ¬ �G � P G � * ¬ �G '

��P G '

 &�)F�

�� F�

���F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G �

��P G � * ¬ �G '

��P G '

 &&�4 )F

��� F� ¬ �G � P G � *

�� F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G '

�� ��P G '

4 &4�� )F�

� F�

� �F� ¬ �G �� P G � *

� �F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G �

�����P G � * ¬ �G '

��P G '

4 &4�� )F�

�� F� ¬ �G � P G � *

�� F�

�� �F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G �

��P G � * ¬ �G '

�� ��P G '

4 &4�� )F�

� F�

� �F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G �

��P G � *

� F� ¬ �G � P G � * ¬ �G '

�� ��P G '

4 &�)F�

� F�

� �F�

���F� ¬ �G � P G � * ¬ �G ��

��P G � * ¬ �G �

��P G � �� P G '  19191

Page 48: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�¸ ����BC� ' *�-��1$ �&W �PN��V�?� � �����;� �� ��������� �"B���� @<� � � ) � ��*?*?��� ���V����N�S�S��&*��>� �F��! *?� � S���� < SR '%) - � � �����B(-�� < �>� �OI>�>� ��� � BC� S,@��.���&*���� � ��!�*?� � S���*�-��&*D�>��B�I.N�º � � � ��BC*�I%���� & �>�=*?��W � ��I>� ����º�� BC� S�S N�*��&*?� � � � &��� '

$ SR )(°Ã< d �

� < SR +* 4 5 � ) - � � �7*�- �+� � �?*V!#� ) *?� � S��A�.��8K: 4 5 � � � �+W �>/�����@�� '� � SR �(

)F� ¬ �G ' P G '

� ' SR �( 4 &4 )F�

� F� ¬ �G � P G � * ¬ �G '

��P G '

� � SR �( &�)F�

� F�

� �F� ¬ �G � P G � * ¬ �G �

��P G � * ¬ �G '

��P G '

 &&�4 )F

� � F� ¬ �G � P G � *

� F� ¬ �G � P G � * ¬ �G '

�����P G '

� � SR �( 4 &4�� )F�

� F�

� �F� ¬ �G �� P G � *

� �F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G �

�� ��P G � * ¬ �G '

��P G '

4 &4�� )F�

��� F� ¬ �G � P G � *

��� F�

�� �F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G �

��P G � * ¬ �G '

�����P G '

4 &4�� )F�

�� F�

���F� ¬ �G �� P G � * ¬ �G �

��P G � *

�� F� ¬ �G � P G � * ¬ �G '

�� ��P G '

4 &�)F�

�� F�

�� �F�

����F� ¬ �G � P G � * ¬ �G �

��P G � * ¬ �G �

��P G � �� P G '

Y ��*?� *�-��&* 8;: 4 5 � �>�,*�- �F� ��� � � �>S��&*?� �?� I>N *���� � *?�Q*�- ��º��'&3� � ����*��>��I ��:=N��&*��>� � 8K: 4 5 T (5�R * �>���@P/%��� N�� *�-��&*+*�-�� *?� � S��+�>� *�- � $ �&W �=N��+�?� � ����� � �� �����H��� � � � �G@<��BC� S��>� W"�>��B � �������>� W I%� BC� S I�� � ! � �*?� � S��V�>�=/�� I�/P�.� W -��>W -F/&��I>N ��� ��!� 5 R * �>� ��I>�?� ��@��?� � /��.º"*�-��&* ����B(-�*?� � S �>� S��oº �O� N * ��! �>�=*?��W � ��I>�V����ºBC� SFS N *��&*?� � �,� � *�-���S��&* � � � !#N���BC*���� ��¬ SR �>�M8;: 4 5 T ' ����º ����-�� � *�-�����º � ��*��&*��>� � N����>��W � �=��*?�.º@X�>��� � ��* � ����� -����O@<����� � � *?�����H��/���I%�qº ��/���I�� �.º *?� � � �� ���?���=*O����BH-M*?� � S�� �>�Q*�- � $Q�&W �PN�� � �� ��������� � 5R ��*�- � !#� I>I�� ) �>� W �?��BC*���� � ' ) � ) �>I.I �� ��������* �O@ � �>��!���N�S�SF� � �+��!3*�- �VBC� ���?* � N�BC*��>� ����!3��N�BH- � �P��*?�.º�* � ����� 5314 3 � N<N��MA� �� C A)A)= �7!#� I>I�� ) *�-��Cº��.��B�N������>� �F�>� � &���1����º!� 4 U �3!#� � *�- �O*�- ��� � ����!�*�- � � �=��*?�.º * � ����� !#� � *�- �-$ �&W �PN��V�?� � ������ �� �����H��� � 5

b � � �?* ' � ��B���I>ID*�-��&*,����BH- *?� � S �.�M*�- �_$ �&W �=N�� �?� � �>���7� �� ��������� � B���� @<��W � � N �.ºM*?��W���*�- � � @����BC� SFS N *��&*?� � �V� � ��Â�& �.��*?��W � ��I.� 59R ! ) � ' ! � � *�- � SG� SG���=* ' ��W � � � �O*�- � = � N *?� � " SG� �?*?> �>�=*?��W � ��IX! � � S U

Page 49: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � �M� =@ <�� �@ � ���*?� R ' *�- ��� ����BH-�*?� � S �.�F*�- �O� �� ��������� �"-���� ��:PN���I3�=N�S @<� � �;��! BC� S�S N *��&*?� � �A����º"�>�=*?��W � ��I>� 5 � ) �>I>Iº ��� ��*?�,�HN�BH-Q*?� � S��A@�� ®�� �G ' *�- ��� � ��B���I.� � BC� ���?*����=*���� �� ' ����º *�-��+@��>��� � �F* � ��� ��� < �������PB��>�&*?�.º) ��*�- ����BH- *?� � S �.�"*�- �7� �� ��������� � 5 Y ��*?�+*�-��&*E*�- �+�?��* � < �>��B�I>N�º ��� ��I>I<* � ����� ) ��*�-"*�- �+����SG�+�PN�S @<� ���!�� �>�=*?��W � ��I>� ����º � BC� SFS N *��&*?� � � 5z¸ ����BC� 'X) � B���� � � ) � ��*?�,*�- � � ��� � � �>S��&*���� �Q�>� 8K: 4 5 � ���E*�-��! � I.I�� ) �.� W '

$ SR (°Ã< d �

� < SR )(°Ã< d �

�� �� =

� �� )F� ®�� �G P G * R�� U Q 4 5 & U ����º ����� � ®�� �G '�) �+�?*�� � *A@��sº �������>��W ®�� �G �&* � ( U '

® ��� �G G( ¬ �G +* ) - � � � � � � � ! � � � ( U '����º�I���* � � @<�7*�- �+����*A��! � �=��*?�.º * � ����� ) �>*�-"� � �,���>��W I�� /�� � *?� � ' *�-��&*E�>� '¬ �G � � � Q

b � � S ,;�>B�� � º ��*?� � �&*���� �M�>� OP��BC*���� � 4 5 & ' !#� � � � &�����º ������ > � � > ' '<) �GB�����º ���X� � ®�� �G *?�@<� '® � �G )(

�F� ® � �G ' P G ' *a® � � �G

��* 4 5 & & ) - � � � *�- � � �=��*?�.º * � ����� � ' ���� ����º � � ���� � 5 ,K�.BC*?� � �>��I>I%� 'X) �3º ������*?� ���M�>�=*?��W � ��I ���O� /�� � *��>B���I@ � ����B(- ' ����º���BC� SFS N *��&*?� � ���A* ) �F@ � ����B(- ��� W?� �>� �.º�@�� �FBC� S�SG� � � �P��* ' *�-��&* �>� '����º 5�A- ��� ' 8;: 4 5 & & �>�V�����?�%B��>�&*?�.º ) ��*�-"*�- � � �=��*?�.ºQ* � ����� ���� > � � > ' �>�"*�-��7! � I>I>� ) �>��W ) ��� '

�F� ®�� �G ' P G ' *a®�� � �G

�� � � (� ' � � ��� > � � > ' Q 4 5 &�4

��� N��H�>� W 8K: 4 5 &�4 ' ��I.I @X�>��� � � * � �����Q�����?�%B��>�&*?�.º ) ��*�- ��I>IO*�- �M*?� � S����.� *�-�� $ �&W �PN�� �?� � �>���� �� ��������� ���KB�����@<� � ��B�N � ����/���I%��º ����� �.º 5 # I>�?� ' *�- � BC� ����*�����*�� �� B�����@<� º ���X� �.ºG@�� *�-�� � �P��*?�.º�* � ���*�- ��� � � 5 M ����� � ��I>I%� ' �,@X�>��� � � � �P��*?�.º * � ��� � � � �� ���?���=*��>� W,*�-�� *?� � SF�;�>� *�- �1$Q�&W �PN�� �?� � �>���K� �� �������>� �-����V*�- �7!#� � S ' ! � � 7 � & '� (

� '� � � �

� ;

4 5 & T Y ��*?� *�-��&* *�- �7��N�@ " * � ����� � ² !#� ��� � 4 � � �´º ����� �.º ��I>��W -=*�I%�­º��.&3� � ���=*�I%���>� 8K: 4 5 & T *�-����"*�- � �?� �>� 8K: 4 5 &�4 (5 ��*�-�8;: 4 5 & T ' *�- �+BC� ����*�����*�� �� �.�AB���I>B�N�I>�&*?�.º @�� � &��� '

� �� � ( � )( &� �� #(

� ;7 2;�² d '

� �� ² +* 7 � > * 4 5 &��

Page 50: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�) - � � � � ; � � �7*�- � � � � � � N�I>I.���PN�S,@<� � � 5�¸ ����BC� ' ) �>*�-F*�- �+-���I ��!�*�- � � �P��*?�.º"* � ����� ' ) � B�������� ) BC� �#"*��.�=N � *?�Pº � � ��/�� *�- �V-���W - � � � � º � � *?� � S��D�>� *�- � $Q�&W �PN�� ��� � ����� � �� ��������� ���>��8K: 4 5 & U (5 b N � *�- � � SG� � � '!#� � �HSG�=��*�-QS��&* � � � !#N���BC*���� �s¬ SR ' �>*AB�����@<� �� �Y/��.ºQ*�-��&*A!#� � � � > � &��� ')F� ®�� �G P G ( � SR < > ' � � � < Q 4 5 & �

� ) �.I>ID�?���"�>� *�- � � � � * �?��BC*���� � *�-��&*,*�-��>�7� � º � � B���� @3� �>S �� � /��.º N � � ' ����º *�-��&* �QI>��* I������*?� � S��E� � �+��BC*�N���I>I%�"� ���.º �.º�*�-���� �?*��&*?�.ºQ�.��8K: 4 5 & � ' ��!�*�- �,SG��*�-���º �.� *��>SG��" �$�%S�SG��* � �.B 5b � � � � )+' ) � ) �>I>I�I>�=�o¶ �>�¯º���*����>I%�&* - � ) *�- � * � �����D� � �V@�N��>I�*�N����>� WO*�- � � �P��*?�.º�* � ���V*�- ��� � � � N *�I>�>���.º�� ��/P�>� N���I%� 5OR � *�- ��!#� I>I�� ) �>� W '�) � ) �>I>I º � � ��/�����I>I���!K*�- � � �P��*?�.º * � ����� � �>� *�- �G�?��* � < ( � � > � � > '!#� � U � � � T 5

b � � � ( U '�) �jº������ �.º"*�- � � �=��*?�.º�* � ���+*?��@<� '� ( � � Q

b � � � ( & '�) �,-���/�� 2 ' (!2 � ( U ' �?��*�- � � �=��*?�.º�* � ��� � � ' �>� W �>/�����@�� '� ' ( � � ( � (

� ' � �( �� '

b � � � ( 4 '�) �,-���/��+* ) � BH- � �>BC���E! � � *�- � ��� �%2 ' ����º 2 � '8K��*�-�� �L2 ' ( &+����º 2 � ( U '� ' ( � � ( � (

� ' � �( � �

\ �L2 ' ( U ����º 2 � ( & '� ' ( � � ( � (

� ' � �( � �

b � � � ( T '�) �,-���/��+*�- �,! � I>I>� ) �>��W�B(- � �>BC���E��! 2 ' ����º 2 � '8K��*�-�� �L2 ' ( U ' ����º 2 � ( 4 ' �>� ) -��>B(- B����?� ) �,-��Y/��+* ) � � ���H��@��>I>�>*������ '� ' ( � � ( � (

� ' � �( � �

� ' ( � � ( � (� ' � �

( � �

Page 51: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � �M� =@ <�� �@ � ���\ �%2 ' ( &7����º 2 � ( & '� ' ( � � ( � (

� ' � �( � �

\ �%2 ' ( 4�����º 2 � ( U '� ' ( � � ( � (

� ' � �( � �

� ' ( � � ( � (� ' � �

( � �

b � � ����B(-�* � ��� � ' ) �7B������ � ) ����º *�- �7BC� ���?*����=* � �� @��F*�- �O* � ���+�?* � N�BC*�N � � ��- � ) �"�>� 8;: 4 5 & T ����º"*�- �+!#� � S N�I>�G�>��8;: 4 5 &�� (5 X ��B���I.I1*�-��&* '� )( & Q�A- ��� ' !#� � � ' ) �+����º '

� ( � ' ( � �� G( A ' @ � �� ' )( 4 '�

b � � � � ) �+����º '� ( � ' ( � �� �( A

' @ � �� ' ( '�� ( � ' ( � � ( � �� )( A ��

@� �� ' � �� � )( '' �b � � � � ) �+����º '

� ( � ' ( � � ( � �� �( A ��@� �� ' � �� � )( 4 '� �

� ( � ' ( � � ( � � (� �� )( A �

� @� �� ' � �� � � �� � ( U ���>��BC��� � ( U

� ( � ' ( � � ( � �� �( A ��@� �� ' � �� � )( 4 '� �

� ( � ' ( � �� G( A ' @ � �� ' )( 4 '�

� ( � ' ( � �� )( A ' @ � �� ' )( 4 '� �

Page 52: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�R � ���&@XI��O4 5 & ' ��I>IX*?� � S�� �>��*�-�� $ �&W �=N�� �?� � �����K� �� �����H��� �F�������PB��>�&*?�.º ) �>*�-�*�- � � �=��*?�.º * � �����;��! N *?� � � � � �VI>�.�?*?�.º ' ��� ) ��I.IP���9*�-�� /&��I>N ��� ��!X*�- ��� � ��B���I>� � BC� ����*�����*�� � �� (5 Y ��*?�V*�-��&*D�>��8K: 4 5 & U ' ®�� �G �.�,�>�=*?��W � �&*?�.º � ��BC� SG� � �F! � � S U *?� R 5�¸ ����BC� ' *?� ��B�B�N � �&*?��I%� � � �� ���?����*,*�- ��*?� � S�� �>� *�- � $Q�&W �PN����� � ����� � �� �����H��� � ' ) � � ���.º�*?� �oº�º �7/�� � *��>B���IX@ � ����B(-G*?�,*�-��A@<��*?*?� S � �P��* ��!1����B(-F* � ��� 5 b � � � � ��S I�� ') ��*�- � � ' ' -����E� � ) @3��BC� S�� 5Y � ),'P) � B���� � � ) � ��*?�E*�-�� $ �&W �=N�� �?� � ����� � �� �������>� � �>��*?� � S�� ��!1*�- � � �=��*?�.º * � ����� ' �?� *�-��&* 8K: 4 5 & U �.�VW ��/�����@�� '

$ SR #( 4 &4  &�  &&�4 4 &4��

4 &4�� 4 &4�� 4 &�  19191 4 5 & 6 314�� �XN�� A)C�� N�� 7 � NBN�� A � C A)AY � ) *�-��&* ) ��-��Y/���*�- � � �=��*?�.º * � ����*�- ��� � � !#� � *�- ��BC� ���?* � N�BC*���� � ��!E*?� � S��G�.� *�- � $ �&W �=N����?� � ������ �� �����H��� � N *?� ��� � � �PN�S @<� � � ��! BC� S�S N *��&*?� � � ' ) � � ���.º *?� ����º � N *�- � ) *?� BC� ���?* � N�BC*����� :�� � � �>S��&*?� $ SR ��!D�G� ��B����XB � � º � � W ' �HN�BH-�*�-��&* '

$ SR � $ SR Â�� SR > ' �R ��*�-��E!#� I>I�� ) �>� W+�?��BC*���� � '=) �E!#� I>I�� ) *�- �E�HN�S�S�� � �G�>� � &���X!#� � *�- �OBC� ���?* � N�BC*���� ����!1*�- �-$Q�&W �PN�� �?� � ������ �� �����H��� ����!9N *?��� � º�� � W ( � 5b � � S 8;: 4 5 & & �>� OP��BC*��>� �Q4 5 4 '�) �,�>�=* � �Sº�N�BC�.º"*�- �+� ��*��&*��>� � '

®�� �G )( �F� ®�� �G ' �� G ' *a®�� � �G

���

� ��*EN��A�HN � � �?� *�-��&*E�G* � ��� �� < �>� ��! � ) � �L2 '�) -�� � � 2 � U �>�A*�- �,��S���I.I����?*V�>�=*?��W�� � ��N�B(-�*�-��&*!#� � �G�HSG�=��*�- S��&* � � � !#N���BC*���� �s¬ SR � &��� '®�� SR )( � SR

� �R ! ) �rº���� ��*?��� � ��� *�- �"�?��* ��!E��I>I � �=��*?�.º * � ����� ��! � ) � �/2 ' *�- ��� *�-�� * � N���B��&*?�.º $ �&W �PN��G�?� � ������ �� �����H��� ����! � � º � � W �.�VW ��/�����@�� '

$ SR ( 0'�d �

�� ����

� �� )F� ®�� �G �� G � 4 5 &�6

Page 53: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � : � � ���� � � � � �M� =@ <�� �@ � � L

� �&@�I��,4 5 & Z � *�!���$ !���� ����� '�(!�&���� �����*��� ��� ���������� ������������� ,

W � < � � ®�� �G � � �� & � � � � ¬ �G &T � ' � � � � � � ¬ �G � +* ¬ �G ' � � G � 4 '�� � � � �

� � �� �� � � � ¬ �G �� +* ¬ �G � � * ¬ �G ' � � G � � G � '�

� � � � �� � �� � � � ¬ �G � +* �I¬ �G � +* ¬ �G ' � � � G � � G � '' �� � � � �

� � �� �� ����� � � � ¬ �G �� +* �I¬ �G �� +* ¬ �G � � � * ¬ �G ' � � G � � G ��� G � 4 '� �

� � � � �� � �� � �� �� � � ¬ �G � +* �8� ¬ �G �� +* ¬ �G � � * ¬ �G ' � � � G � � G � � G � 4 '� �

6 � � �� �� � ����� �� � � � � ¬ �G �� +* ¬ �G � � * � ¬ �G � +* ¬ �G ' � � � G � � G � � G � 4 '� �

� � � � �� � �� �� ����� � � ¬ �G � +* � ¬ �G � +* � ¬ �G � +* ¬ �G ' � � � � G � � G � � G � 4 '�

� � � � �� � �� � �� � � � ¬ �G � +* � ¬ �G � +* � ¬ �G � +* ¬ �G ' � � � � G � � G � � G � U

Page 54: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ¼ ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�Y ��*?�G*�-��&*+�>� *�- ���&@<�Y/��G��:PN��&*���� � ' *�- ��I.� � W����?* /J��I.N ����!;*�- � � ) � �12 �>�7� ��* ��:PN���I9*?��� � º � � W 5�E-��>�V�>� @<��B���N��?� � ) � �L2 � � �� ���?���=*��V*�- �7� � º � � ��! *�- � � �P��*?�.º�* � ��� �����?�%B��>�&*?�.º ) ��*�- ®�� �G ' ����º � ��**�-����.��*?��W � ��I ��! ® � �G (5 # � ��*�-�� � �.��*?��W � �&*��>� �M! � � S U *?� R ' S N��?* @<��º � � ���>�Q8;: 4 5 &�6 ' ��� *�-��&* *�- ���BC*�N���I � � º � �)W ��! $ SR �.� W ��/���� @�� '

W0(!2  & �b � � S 8;: 4 5 & � ' ) ��¶P��� ) *�-��&*7!#� � � � �=��*?�.ºM* � ��� �� � < ' *�- ���M*�- �G����SG��* � ��� � �>� �>� *�- �G�?��*� � ! � � *�-�� � ) � �%2 � � 5 � ������º 2 !#� � *�- � * � ��� � '%) �+� ���.º"*?��� ����º � � ��I.�&*���� ����-�� @<��* ) ������*�- � � ) � �12 !#� �¯®�� SR ����ºM*�- � � ) � � � 2 ' ����º 2 � ) ��*�- � ��� ��BC* *?� ®�� SR ����º ®�� � SR �>�M8;: 4 5 & & (5�E-��>�VB���� @<�´º � � �,@�� ) � ��*��.� W ®�� � SR ���A���?� � �>���A�>� � ) � � � SR � � ' ��N�B(-�*�-��&* '

®�� � SR G( 0 ² R� �* . ² R � � > ' Â�� ² R � � > �  19191 ! � � � ( & ' 4 ' 5�5�5 *����º"*�- ��� ) �7��N�@��?*���*�N *?�O*�-��>� �?� � �����V�>�=*?��8;: 4 5 & & (5;R ! ) �+�����HN�SG�O*�-��&* ®�� SR �.�;��! � ) � �%2 ' ' �HN�BH-*�-��&* ®�� SR G( � SR � ' *�- ��� *�- �,�>�=*?��W � ��I �>�����½º �O*�- �,BC� S�S N *��&*?� � �>��8K: 4 5 & & @<��BC� SG��� '

)F� ®�� �G �� G (

)F�

0 ' G� Â . ' G

� > ' Â�� ' G � > �  19191 �� G( 0 '2 '  & R � > '  . '2 '  4 R � > �  � '2 '  T R � > �  19191 4 5 & � R � *�-��>� ) ��� '1) ��B���� ����º *�-��,� �� ��������� � !#� � 8;: 4 5 & & ' W ��/���� *�-��&* ® � �>�E��! � ) � �-2 ' ����º ® � � �>���! � ) � �L2 � '

®�� SR #( )F� ®�� �G �� G *a®�� � SR

��

(�

0 '2 '  & R � > '  . '2 '  4 R � > �  � '2 '  T R � > �  19191E*0� R � �  . � R � � > ' �� � R � � > �  19191��

(� �

0 ' * 0 � �2 ' Â & R � > � � > ' Â � �0 ' * . � �2 ' Â & Â � . ' * 0 � �2 ' Â 4 R � > � � > �

 � �0 ' * � � �2 '  &  � . ' * . � �2 '  4  � � ' * 0 � �2 '  T R � > � � > �  19191�( ��� R � > � � > '� ��E-��&*E�>� ' !#� � � '�( � � ' � ) � �L2 ��! ® � SR �.� W ��/�����@�� '

2�(!2 '  2 �  & � 4 5 &� b N � *�-�� � SG� � � ' ) -���� � ' ( � � ' *�- � � ) � �:2 ��! ®�� SR B���� @<�+�>S �� �Y/��.º �.�"*�- �+!#� I>I�� ) �>� W ) ��� ' @�� � � !#� � S��.� WG�G���>S��>I.� � �HN @��?*���*�N�*���� �"�>��*?��8;: 4 5 & & '

®�� SR #( )F� ®�� �G �� G *a®�� SR

��

(�

0 '2 ' Â & R � > ' Â . '2 ' Â 4 R � > � Â � '2 ' Â T R � > � Â 19191E*0 ' R� Â . ' R

� > ' �� ' R � > �  19191 �

Page 55: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � : � � ���� � � � � �M� =@ <�� �@ � � �

( 0�' 4 0

�'2 ' Â & R � � > ' Â 0 ' . ' 4 . ' 0 ' 2 ' Â & 2 ' Â 4 R � � > � Â 4

0 ' � ' 4 � ' 0 ' 2 ' Â & 2 ' Â T R � � > � Â 19191(

�0 ' * . ' � 2 ' Â & 2 ' Â 4 R � � > � Â 4 �

0 ' * � ' � 2 '  & 2 '  T R � � > �  19191�( � � R � � > � � ��A-��&*A�>� ' ! � � � ' ( � � ' *�-�� � ) � �:2 ��! ®�� SR �>�VW ��/���� @�� '2�( 4 2 '  4 � 4 5 4 U ���GW � � N *�- � � �P��*?�.º"* � �����A�>�=*?��*�- �+�?��*�� � � ��! � ) � �%2 ' ) � � � �?*VS��\¶��7*�- �+�½º ���=*�����B��&*��>� � *�-��&**�- �7* � ���+��!D���.� W I�� /�� � *?� ��� � �� ��������*��>��W­¬ �G -���� � ) � �:2�( U '

� ( � � * ) - � � � 2�( U 5OP*�� � *��.� W ) ��*�- � ( & '�) �,-���/��,*�-��7* � ��� � ) ��*�-Q��N @ " * � ����� � ' ����º � � ��B�BC� � º��>� WF*?�F8K: 4 5 &�4 '

� ( � ' * ) ��*�- � ' ( � � (Y ��*?� *�-��&*O�>��*�-��>� B����?� ' � ' ( � �+����º *�-�� � ) � � � 2 ' (�2 � ( U 5 OP��@�� 8K: 4 5 4 U ' *�- � � ) � �:2 ��!® � SR ) -���� � � ' �>� 2�( 4 2 '  4 ( 4 5 - ��� � ( 4 '�) �,-��Y/��,* ) � * � �����A�>� � � 5 �E- �7� � �?*V� ���+�>�VW ��/�����@�� '

� ( � � ) ��*�- � ' ( � � ����º � � ( � � �OP��*�-��&*A*�- � � ) � �L2 ��! � �>� 2�(!2 '  2 �� & ( 4� U  & ( T 5 O%�>S��>I.� � I%� ' *�-��+�?��BC� ��º�* � ��� �>� � ��>� '

� ( � � ) ��*�- � ' ( � � ����º � � ( � � �OP�G*�- � � ) � � 2 ��! � �>� 2�( 2 '  2 �� & ( U  4� & ( T 5 - ��� � ( T '�) �+����º"*�-��&* '� ( � � � ' ( � � � � ( � � 2 ( �� ( � � � ' ( � � � � ( � � 2 ( 6� ( � � � ' ( � � � � ( � � 2 ( �� ( � � � ' ( � � � � ( � � 2 ( �

Page 56: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�¸ ����BC� ' ! � �r � ) � � 2 N *?� 2�( � ' *�- �7�?��* � � BC� �=*����>��� *�- � !#� I>I�� ) �>� W * � ����� ' ) -��.BH- � � � ��! � � º � �WP(!2  &+�>�"*�-�� $Q�&W �PN�� �?� � ����� � �� �������>� � '

� � ( � � W0( & � ' ( ��� � � (�� � WP( T � � (

��� �� W0( � � � (� � � � � W ( �

Y � ) *�-��&* ) � -��Y/�� *�-�� SG��*�- �Sº ��!V@XN��>I½º��.� W * � ����� !#� � ��I.I *�- � *?� � S�� �>� *�- � � ��� � � �>SF�&*���� � *?�$ SR N *?�Q��� �M� � º�� �%W ' ��* ) ���jº��>��BC�Y/�� � �.º *�-��&*+*�-���I>�>� ��� � BC� S @��>���&*��>� � ��!;*�-��F����SG�G� � º�� � * � �����I.�>�?*?�.ºQ�&@<� /�� B���� @3�,��! -���W - � � � � º � � �?*��.I>I 58¸ ����BC� *�-��>� I����oº��A*?� ��! N � *�- � �E� �.º�N�BC*���� �Q��!9*�- � �PN�S @3� ���! *?� � S��V�����.º �.º"! � � *�-��B$Q�&W �PN��V�?� � �>��� � �� ��������� � ��! � � � *��>B�N�I>� � � � º � � W�5 � ) �>I>I3I��P�o¶ �&*V*�-��>� �>�! N � *�-�� � º ��*����>I1�>�"*�-��,� � � *A�?��BC*���� � 5314�� � D�� A�� ?�������A � C�� 7L9 ��IC A)C�N������>AI6 7%8 9<;>= ?BAGCEDFA)=�H�J/K>7L9>=MDFN:9� � � S�OP��BC*���� � 4 5 T '�) �´¶%� � ) *�-��&* � �=��*?�.º"* � �����V@<��I�� � W �>� W *?�G*�- �+�?��* � � > ' ��! � ) � �%2  & � � �+��I>�?���!9� � º�� � W0(!2  & 5�¸ ����BC� ' ��* ) � N�I½º�������S *�-��&*V*?�FBC� ���?* � N�BC*E� $ �&W �PN��E�?� � ����� � �� ��������� �"��! � � º � �W '3) ��� ���.ºQ*?�"�>��B�I.N�º �,��I>I ��! *�- � *?� � S��O�����?�%B��>�&*?�.º ) ��*�-Q* � ����� ! � � S ��I>I��?��*��O��! � ) � � N *?� � � > ' 5¸ � ) ��/�� � ' *�- � �=N�S @<� � ��!9*?� � S��OB���� @3�,!#N � *�- � �A� �.º�N�BC�.ºQ��! ) � BC� �����½º�� � *�- � *��>SG��" �$�%S�SG��* � �"��!D*�- �S���*�- ��º � &��� 5

� ��* Q SR ( @ ) Q�� @<� *�-������ ) ��!O*�- �qº��'&<� � ���=*��>��I ��:=N��&*���� � �>� 8K: 4 5 & (5 �A- ����� ) �>� O^]R�­N?¾mf`\����N.O^Ta]lb � 5 � 5 @ 0 ) ; @ ) (! ' @<��B���N��?�+�>�=*?��W � �&*��>� WF! � � S U *?� R ����º"@���BV¶"*?� U �%����I½º��;*�-��+� � ��W �>����I�.����*��>��I3/&��I>N � 5� N � *�-�� � SG� � � ' ��*V-����A@3����� �� �Y/��.º �>� � 4 &�� *�-��&*V*�- �7* � N���B��&*���� ��@�� � � º � � W ��! *�- �B$ �&W �=N�� �?� � ������ �� �����H��� � W ��/����"�>� 8;: 4 5 &�6 ��I>��� � ��� ��BC*�� *��>S��O�$�%S�SG��* � � 5DR � ��*�- � � ) � � º�� ' ��!1*�- � * � N���B��&*?�.º"��� )-����,*�- �F! � � S '$#@ ) Q�� <( � �� $ SR $ Q�� ' ! � � R&%@U ' *�-���� #@ 0 ) ; #@ ) (' �5 # I>�?� ' ����� ������I%�P*��>BG*��>SG��"� �PS�S���* � �>B S�� )( ) B���� @<� � � �� ���?���=*?�.º �>� *�- � ! � � S ( ) ( � �� ® SR $ '<) - � � � ® SR �.� ��� � �� ��������� ��.� w.����tSw i N?TGm­w¿� R w\[���` � &��� 5�· � S,@��.���>� W���I>I ��!D*�- � �&@<� /�� '3) � -���/�� *�- �j¶�� � � ����N�I�* ) -��>BH- � �.º�N�BC���*�-��,�=N�S,@<� � ��!9*?� � S��A�.�"*�- � $ �&W �=N��E�?� � �����V� �� �����H��� � 5�&*A � �@ ,+ �.- �/- � QSN��fdS[*b.O^]lw\[ $ SR baY\[ WGN�N10UtSY\[*�kNG��]R[�w����jtSw i N?TGm3w¿� R Y\[*�

$ SR ( $��32 0' SR Â�� SR �32 > ' +* 4 � > ��A- ��� � ��S 4 5 �"�>S I>�>��� *�-��&* !#� � � $ �&W �=N�� � �� �����H��� � ��!D� � º�� � � ' � ��I%�"*�- � *?� � S��O�>�Q*�- � �?��*�� N *?� � � � � �7� ���.º��.º 5 �A-��>� �>� @<��B���N��?�O*�- �7I>�>� ��� � BC� S @��>���&*��>� � ��!�* � ����� ! � � S � � �.� ��BC*�N���I>I%� � SR65 ' ����º-�����BC�jº �P���E� ��* � &3��BC* ��� � � º�� � �F� ��� � � �>S��&*���� ����! $ SR (5 � 5 � 5 � � �74B( 4��>���A- ��� � ��S 4 5 � ) �+����º$ SR )( $ � SR  � SR85 (5 O%�D$ � SR �>�;�.��! ��BC* ��� � � º�� � ��� ��� � � �.S��&*���� � 5 # B�BC� � º��>��W,*?�G�A- ��� � ��S 4 5 � ') �,B���� �?*��&*?�,*�- �7*?� � S��E�>�"*�-��B$Q�&W �PN��E��� � �����V� �� �������>� ��N *?��� � º � � 6 �>�"*�- �+!#� I>I�� ) �>� W ) ��� '

Page 57: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��- L � � �>=@��� � ��� � =? �� � � <A� � = � �@ � �$ SR (

)F� ¬ �G ' �� G ' ` � � º � � 4 4 5 4 & 4 &4 )F

�� F� � ¬ �G � +* ¬ �G ' � � G � � G ' ` � � º � � � 4 5 4�4

 &�)F�

� F�

� �F� � � ¬ �G � +* ¬ �G � � * ¬ �G ' � � G ��� G � � G '

 &&�4 )F

��� F�

�� F� � ¬ �G � +* � ¬ �G �� +* ¬ �G ' � � � G ��� G � � G '

4 &4�� )F�

�� F�

���F�

� �F� � � ¬ �G �� +* � ¬ �G �� +* ¬ �G � � � * ¬ �G ' � � G � � G � � G � � G '

4 &4�� )F�

� F�

� F�

� �F� � ¬ �G � +* � � ¬ �G �� +* ¬ �G � � * ¬ �G ' � � � G � � G � � G � � G '

4 &�)F�

� F�

� �F�

���F� � � � ¬ �G � +* ¬ �G �� � * ¬ �G � � � � G � � G � � G � � G ' ` � � º � � 6 4 5 4 T

 19191� � � ��� � �� I.�>B���* � � ��S I�� ) ��*�- � S��&* � � � º��'&<� � ����*��.��I���:PN��&*���� � ' I������?� � ��!#� � *?� *�- ��� ]�Tf`­NVv?d�YoO^]lw\[�>�C� & ��� 5� ��/���� *�-��&* ) � B����nº ��*?� � SF�>� �F��I>I *�- �F*?� � SF�,�>� *�- �_$ �&W �=N�� �?� � �>���+� �� ��������� � N *?� � � º � �LW ') � � � ) �����.ºF*?�3º��>�HB�N���� ) ���%� ��! BC� S N *��>� W ��N�BH- *?� � S�� �PN�SG� � �.B���I>I%��! � � *�- � S��&* � � � !#N���BC*���� ��¬ SR (5�A- �G*?��B(-����>:PN �F��!V�?� I>/P�>��W S N�I>*�� I��G�>�=*?��W � ��I>� �>�´¶%� � ) � ��� S N�I�*��>/J� � �.�&*?��:=N��oº � �&*�N � � '�) -��>B(- �>�7*�-��*?� �>B7�>�"*�-��,� � � *A�?��BC*���� � 5

3-4 6 ;�� �MD� %7%CEDF7 � A�� ;>7� C 7 �M;>C A� � � S *�- � �� ��/%��� N��G����BC*���� ��� ' ) �Q�?���Q*�-��Q� ���.º !#� � N��H�>� W �?� SG� �?� � *���!7:PN��oº � �&*�N � ��*?��BH-����.:=N ��*?���/J��I.N��&*?� *�- � S N�I�*�� I��K�>�=*?��W � ��I>�9� � �.���>� WE�.�,*�- � *?� � SF��!#� � *�- �L$Q�&W �PN��9�?� � �>����� �� �����H��� � $ SR (5 � ��! � � �) �3º��.��B�N����O*�- �3º ��*����>I.� ��!;- � ) *?� � ��� � � �.S��&*?�G��N�BH- �.��*?��W � ��I.�7N����>� W"S N�I�*���/&� � �>�&*?��:=N��oº � �&*�N � � ' I>��*N�� � ��/%��� ) �?� SG�G��!;*�- ���>S � � *����=*Cº���*����>I>� BC� ��BC� � ���.� W � ��N������.��� :=N��oº � �&*�N � � ��! ��� �.��*?��W � ��ID�.� � ���º��>SG��������� � 5��������� �����!\!������ ������§������! #"§���"%$& �����A- � � ��W�����º � � � I%�%� � S��.��I ��!uº ��W � ���#' ' º���� ��*?�.º)(+* -, ' �>� N���N���I>I ��º �������.º � �+*�- �K� �PS�S���* � �>BD�>�=*?� � /&��I� 4 & * & � 5 ¸ � ) ��/�� � ' ��! ) �EI���* ��-���! *9*�- � �>��*?� � /J��I%*?�H� U * & � ' *�- ����*�- � � ��W�����º � � � I%�%� � S��>��I ' � � ) º ��� ��*?�.º( )* -, �>�O��-���!#*?�.º @�� 4 , 4 & ' �?� *�-��&*.( )* -, L( ( * 4 , 4 & (5 �A- �,� � �?*O! � ) ( )* -, � � ��º �������.ºQ*?�"@<��I6?� '

Page 58: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�( )� -, #( &( )' -, #( 4 , 4 &( )� -, #( 6 , � 4 6 ,  &( )� -, #( 4 U , � 4 T U , �  &�4 , 4 &555�A- �O! � I.I�� ) �.� W I>��S�S�� �� ���?���=*��A�?� S��O��! *�- � �� � � � *��>���;��! *�- � � ��W�����º � � � I%�%� � S��>��I>� ) -��>B(- ) �) �>I>I<N��?�+�>�"*�-��jº��>��B�N�������� �"�&@<� N * � ��N��H���>����:PN��oº � �&*�N � �+I>�&*?� � � � 5

� ,+ + � ��- � - � QSN?T_N¡N10o]�mfO tuw\��`\[*wo��]lY\��m ( )* Z � U * & � ` \ g w¿���kN¹�oTVNGNUm ' g �Uw\T ' ( U * & * 4 * � � �"i ]RORQXORQSNt�T¿wat�NUTUO^]lNUm�ORQ�Y�O g'F � ( )� -, ( )* -, �� , ( U * 2 ( '

( )* -, Q�YÁm ' �\]0mUO^]�[�b.O"T_NGY\��� NUT_wÁmj]R[XORQSN�wftuNU[�]R[�O¹NUTfeÁYo� VU * & �UwoT ' ( U * & * 4 * � � � ~� � � *�- �7� N�*�I>�>� � ��!9*�- � �� �P��! ��! � ��S�S��F4 5 6 ' I������?� � ��!#� � *?� �I6�� � � � � � 5�A- �F�0º ��� @<��-��>��ºM*�- � :PN��oº � �&*�N � �F!#� � S N�I>� �>�,*?� � :�� � � �>S��&*?� *�- �"�>��*?��W � ��IK��!A�Q!#N���BC*���� � ��!E��H�>� W I�� /&� � �>�&@XI�� 5 �A-��>� �>� º � � � @��7�X��º��>� WA� ) ����W -�*?�.º ��N�S ��! *�- � !#N���BC*���� �+��/&��I>N��&*?�.º��&*9BC� � *����>� � �>��*�� � � � �Sº ��� �>�+*�- � �>�=*?��W � �&*���� � �>��*?� � /J��I 5 # :�� � � �>S��&*��>� ��� I>�½¶�� *�- � Y � ) *?� �#" · ��*?����!#� � S N�I>�&� N��?�K/&��I>N �����!V*�-���!#N���BC*���� � �&* ��:=N���I.I%� � ��BC�.º � �>�=*�� � � � 5 � N *,�>� *�-��FB����?� ��! *�-�� � ��N����H�>��� :PN��oº � �&*�N � � ' *�- � � �>�=*�� ! � � *�-��O! N���BC*��>� � ��/&��I>N��&*��>� � � � � B(- � �?����!#� � � *��>S���I<��B�B�N � ��B � 5 �A-��&*V�>� ' *�- �+����º ��� � ² !#� � � (& * 4 * T * � � � � � � BH-�� �?���Q*?� S��>���.S��>�?�O*�- �,� �� ��BC*?�.ºQ� �H� � � ��@�*����.� �.º �>� � � !#� � S��.� W�*�- � � ��� � � �>S��&*���� �) ��*�- ) ����W -=*?�.º ��N�S�� 5 R * *�N � ����� N * *�- � � �>�=*�����!+! N���BC*���� � ��/&��I>N��&*���� ��� � � � BC� �=/����������=*�I%� W ��/����@�� *�-������ � � ����!A*�- � � ��W�����º � � � I �P� � SF�>��I>��( )* -, ! � � �>�=*?� � /&��I,� U * & � 5 � N � *�-�� � SG� � � ' *�-�� �>�=*?��W � ��I� :�� � � �>S��&*��>� � W ��/������ � ��BC* � ����N�I>*�� !#� � ����� � I%�%� � S��>��I ��!�º ��W � ��� I������"*�-���� 4o7 ��!,*�- � � �P��*�����!��7 "¹º ��W � ��� � ��W�����º � � � I%�%� � S��.��I ( ); -, � � � N��?�.º 5 �A-�� !#� I>I�� ) �>� W *�- ��� � ��S �?*��&*?����*�- � � ��N������>���:PN��oº � �&*�N � �7!#� � S N�I>��! � � *�- �+� ��� � � �.S��&*���� ����!9�����>��W I��7�>��*?��W � ��I � � � 5�&*A � �@ ,+ �.- L -�� d t�tSwÁm.N�ORQ�YoO � ² g �?w\T � ( & * 4 * � � � * 7 YoT_N�ORQSNjT_w.woORm�w_�¯Y\[ 7 ¾_�kN���T_NaNµM N���NU[*�oT_NztSwo��`\[*w\¾��]lY\� ( ); -, Gg Y\[*��ORQSYoO��Uw\T�NVY�b?Q � ( & * 4 * � � � * 7 ORQSN i NU]K�\Q'ORm . ² YoT_N3�'N^p�[�NG�qWU` g. ² ( 'F �

;��� ��� �

, 4 � �� ² 4 � � � , �� ��� -, ]0mµY\[�` tSw\��`Á[�w\��]^Y\� w_�C�kN¹�oTVNGNC�½Nfmam�ORQ�Y\[ 4o7 g ORQuNU[5ORQSN���Y\d�mGma¾�M N¹�'N?[*�\TVNPv?d�Y��oT¿YoO^dSTVN´]�m"�o]Re\N?[5WU` g

'F � � -, �� , (;ò�� '

. ² � � ² �� T¿w�w¿�U~�� ��B���I>I�*�-��&*O��� '1*�-Xº ��W � ��� � �&W � ��� W��G�>�=*?� �� � I>�&*��>� W � I%�%� � S��.��I �>�E� N����>:PN � � I%�%� � S��.��I����!�º ��W � ���+�&*VSG� ��* ' !#� � '� &´º��>��*��>��BC*;�.��*?� �� � I>�&*��>� � � �>�=*�� � ² ' !#� � � ( & * 4 * � � � * '3 & 5 �A-�� N����>:PN � � I%�%� � S��.��I�� ) -��>BH-��>�=*?� �� � I>�&*?���V*�-��+!#N���BC*���� � T �>�VW ��/���� @�� � � � '� -, G(

* > 'ò�� ' T

� ² 31* > '���� ��� �

, 4 � �� ² 4 � � *

Page 59: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��- L � � �>=@��� � ��� � =? �� � � <A� � = � �@ � �) ��*�-"*�- � �� � � � * � *�-��&* '

T � ² ( � � ² +* ! � � � ( & ' 4 ' 5�5�5 ' �� & 5Y � )+' !#� � � � I%�P��� S��>��I + -, ��!*º ��W � ��� � 7 ' I���*DN�� ) � ��*?� + -, ��� ���37 4 &�º ��W � ��� � �&W � ��� W�� � I%� "� � S��>��I�� ; 0' -, '�) ��*�-"� �Sº ��� � ' * � � * � � � * � ; �&*V*�- �j7 � �=��*��A��!����57 4 &´º���W � ��� � ��W�����º � � � I%�P��� S��>��I( ); 0' -, �.�"*�- �,�>�=*?� � /&��I � U * & � 5 R ��*?��W � �&*��>� W�*�-��.� � �&W � ��� W�� � I �P� � SF�>��I �P����I0º�� '

'F � + -, �� , ( 'F �� ;ò�� ' +

� ² ;���� � � �

, 4 � �� ² 4 � ����� , (

;ò�� '

� 'F �

;��� � � �

, 4 � �� ² 4 � � � ,���+ � ²

(;ò�� '

. ² + � ² ��A-��>� ��-�� ) �V*�-��&*A*�- �+*�- ��� � ��S �>� * � N��7! � � *�-�� � I%�P��� S��>��I + -, ��! º ��W � ��� � 7 5� ��*ON��E�HN � � �?�7*�-��&* ) � � � ) BC� �����½º�� � � � I%�%� � S��>��I � -, ��!�º ��W � ��� � 4o7 5 �¯º���/P�0º � � -, @��� � ��W�����º � � � I%�%� � S��>��I ( ); -, ��! º ��W � ���P7 5 �E-��>� �%����I½º�� * ) � � I%�P��� S��>��I>��� -, ����º + -, ��! º ��W � ���� 7 ' ��N�B(-F*�-��&* ' � -, )( � -, (

); -,  + -, (5 # I>��� ' � ��B���I>IX*�-��&* *�- � � ��W�����º � � � I%�P��� S��>��I>�#( ); -, � � �� � *�- ��W�� ����I � I �P� � SF�>��I>� @�� � ��SFS��F4 5 6 5 O �>��BC��� -, �>� ��! º ��W � ��� � 7 ' *�- ��� ''F � � -, (

); -, �� , ( U �Y � � * ' �H�>��BC��� ² ! � � � ( & * � � � * 7 � � �+*�-������ � � �A��! ( ); -, ' *�- ��� '

� � ² ( � � ² ( ); � ²  + � ² ( + � ² �� �>����I>I � '�) �O�>�=*?��W � �&*?� *�- � � I%�%� � S��>��I � -, ! � � S U *?� & ' ����º N *?*��>��W ��I>IX��! *�- � �&@<�Y/�� *?��W���*�- � � ''F � � -, �� , ( 'F � ��� -, ( ); -,  + -, � � , ( U  'F � + -, �� ,

(;ò�� '

. ² + � ² )(;ò�� '

. ² � � ² �# � ���"�>�=*?� � ���?*��.� W ����*?� ' *�- �7BC� ��BC� * �� ���?���=*?�.º"�>� �A- ��� � ��S 4 5 � B����"@<�E*��\¶������ ��� ��*?� ! N � *�-�� � '�>��*�- �E�������?�A*�-��&* ) �EB���� BC� �����0º � � *�- � � �����>@��>I>��*��7��!1BC� ���?* � N�BC*��.� W,����7O�?*��&W��O�>S I>�.B���* � N�� W���"��+N�*?*��SG��*�- �Sº ) �>*�- � � º � � 4o7 �I6@� 5 �A- ���?� SG��*�- �Sº��jº��Q� � �>�?*,����º � � �r¶P� � ) � ��� *�- � � ��N���� SG��*�- �Sº�� 5 #� ��B�� �7!#� � BC� ����* � N�BC*��>� W ��N�BH- SG��*�- �Sº��E�.� �� ��������*?�.º �>� �I6@� 'X) - � � � *�- �+/&��I>N ��� � ² ����º . ² � � ����I � ���oº#�W ��/���� @�� �A- ��� � ��S 4 5 � 5 �A- � BC�P� ³ B������=*

0 ² � �>� *�- � � N�*�BH- � � � �&@�I�����N�B���� *�- ��� @<�;!#� N���º @�� ���&*��>�?!��P�.� W*�- �+� � º�� � BC� ��º���*��>� ���V!#� � *�- � � N�� W���"��+N�*?*���SG��*�- �Sº ��!D�?*��&W���7 5 � � � ! N � *�-�� � º ��*����>I>� I������?� � ��! � � *?��I6?� 5 � � � � ��S I��,��! �HN�BH- � � ��N����OSG��*�- �Sº ) ��*�-X7 ( 4�����º W ( � �>� �� ���?���=*?�.º @3��I>� )+' ����º *�-��.�*��&@�I�����N��>�VN��?�.º *?�FBC� ���?* � N�BC* � ���7��!�*�- �+�PN�SG� � �>B���I<�>��*?��W � �&*?� � �V!#� � �?� I�/%�>� W��?� SG�7��! *�- �Pº��'&<� � ���=*��>��I��:=N��&*���� ���A�>� · -�� *?� � � 5'� 4 � �� '� '� 4 � ��'�  � �� '�  � �� '�'� '�

Page 60: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�� ������� � "¤ $�� � "���� "%$&� � " ����.� ����� ����§������! #"§�� " $� ����� � I>I�� ) �>� W"*�- �­º��>�HB�N�������� � � � *�- � � ��N���� " � ��W�����º � �G:PN��oº � �&*�N � ���.��OP��BC*���� � 4 5 � 5 & ' ) ��B���� ��� ) I��P�o¶�&*7*�-���º ��*����.I���!;� � I%�%�>� WFS N�I�*��>/J� � �.�&*?� :PN��oº � �&*�N � �,*?�"����º *�- �G�PN�SG� � �>B���I�/&��I>N ��� ! � � *?� � S��7�.�Q*�- �* � N���B��&*?�.º $ �&W �=N�� �?� � ����� � �� ��������� ����!�� � º � � W 5 O%�>SF�>I>� � I%� *?��*�- � � ���µº��>SG�������>� ����I��>�=*?��W � �&*���� � ' *�- �:PN��oº � �&*�N � �F!#� � *�-�� S N�I�*�� I>�­º��>SG�����H��� ����ID�>�=*?��W � �&*���� � �>�+W �>/���� @�� *�- � ) ����W -=*?�.º �HN�S ��!AS N�I�*�� I��/&� � �>�&@XI�� ! N���BC*��>� � ��/&��I>N��&*��>� ��� 5 # ��� � ����N�I�* ' *�- � ) ���>W -�* . ² �>�"� � ) ��I>�?� W ��/���� @�� *�- � S N�I�*�� I���.��*?��W � �&*��>� ����!�*�-�� �� �Sº�N�BC* ��! � �&W � ��� W��,�>�=*?� �� � I>�&*���� � � I%�%� � S��>��I.� 5 � ) �>I>IX! � I.I�� ) *�- �Pº��>��B�N����H��� ��� ���?���=*?�.ºQ�>�C� &����! � � S�� � �Pº ��*����>I>�A��!�*�-��.�VS N�I>*���/J� � �>�&*?�+:=N��oº � �&*�N � � �� �PBC����� 5� �G@<��W �>� ) �>*�- ' I>��*AN��V� ��*?�7*�-��&*V����B(-Q�>�=*?��W � ��I1�>� *�- �B$ �&W �=N��A�?� � ����� � �� �����H��� �"�>� ��!�*�-��O!#� � S '

)( F � 4 ¬ �G ' +* ¬ �G � +* � � � * ¬ �G ; $ �� G ; � � ��� G ' * 4 5 4�� ) - � � � 4 �>�V�FS N�I�*�� I��O/J� � �.�&@�I��7! N���BC*���� � ' 7 �>�V*�-�� �PN�S,@<� � ��!D�>�=*?��W � ��I>� �>�"*�- �+� ���� �����H��� � ' ����º �>�*�-��,�?*?� �������,N��?�.º �.�"*�- �jº��>�HB � ��*��>���&*���� �"��!9*�- � S N�I>*�� I�� �>�=*?��W � ��I 5 � I>�?� ' *�-��+�>��*?��W � �&*���� � � ��W �>� � ( �>�� � I �=*?� � ��!9*�- �+!#� � S '(�( G ' * � � � * G ; \�Z G ' � U * � * G��� � U * G ��� � *�� ( 4 * T * � � � * 7�� *) - � � � 2 � � & * 4 * � � � *���4 &�� ' ! � ���E( 4 * T * � � � * 7 5� �qº��>��B � ��*��>��� 8;: 4 5 4�� '9) ��B(- �P� �?����º��>��*��>��BC* :=N��oº � �&*�N � � � �>�=*�� � ' * � � * � � � * ��� � U * & � 5 �A-��&*�.� ' *�- � � � � �M*�- � � �P��*��"��! � � ��W�����º � � � I �P� � SF�>��I ( )� -, ��!¯º ��W � ����� 5 � *�- ��� B���I>B�N�I>�&*?� *�- �� :�� � � �>S��&*��>� �q¬ < ( ¬ � < ' !#� � � ( & * 4 * � � � * � ����º�! � � S *�- �+:PN��oº � �&*�N � � '

� )( Ã� Ä�� . � 4 ¬ < * ¬ < � * � � � * ¬ < +* 4 5 4 � ) - � � � � ' * � � * � � � * � ; "! ����º ® �; �>�Q*�-�� �?��* ��!F��I>I BC� S,@��.���&*���� ��� ��!�79" *�N I���� ! ! � � S *�-�� �?��* & * 4 * � � � * �#� ' � � B�I>N�º��>� W37 � � ���&*��E��!�*�-��,����SG�,�PN�S @<� � �>�"*�- �+�?��* 5O%�>S��.I>� � I%��*?��*�- � ) ����W -=*�� . ² �>���A- ��� � ��S 4 5 � ' *�- � ) ����W -=*��A�>�"*�-��>�AB����?�,� � �+W ��/�����@�� '

. � (F$�

;�²�� ' �

< � �G ² �� G ² * 4 5 4 6 ) - � � � ' #( ( G ' * � � � * G ; \ Z G ' � U * & � * G�� � U * G � � � *�� ( 4 * T * � � � * 7���.�+*�- � � � ��W �>����I � I%�=*?� � ( ��B���I��.º *?� � N����>*+B�N @<� 5 Y ��*?�"*�-��&* *�- �F! N���BC*���� � � � -, �.�+*�- �"B�� � º��>����I� �&W � ��� W�� �>��*?� �� � I.�&*���� � � I%�P��� S��>��I3�>� OP��BC*���� �Q4 5 � 5 & '� � -, (

�� � � � � �

, 4 � ²� � 4 � ² * %>( & * 4 * � � � * � � 4 5 4�6 Y ��*?� *�-��&*A@<��B���N��?� � ² � � �+��I���S�����*�� �>�"*�- �¯7 " *�N I�� ! ' 8;: 4 5 4 6 �>�E��BC*�N���I>I%�"��S N�I�*�� I>�O�>�=*?��W � ��I� /�� � *�- � �� �Sº�N�BC*+��!µ7"B�� � º��>����I � �&W � ��� W�� � I �P� � SF�>��I>� � < � �G ² (5 � N � *�- � � SG� � � 'D) � B�����º � � �>/�� *�- �� ���� ���H����� � ! � � . � �>� � �H�>S��>I>� � ) ��� ��� �>� *�- � �� �P��! ! � � �A-���� � ��S 4 5 � 5 R ! ) �7I���* *�- � ! � I>I>� ) �>��W+@<� *�- �

� �&W � ��� W��7�>�=*?� �� � I>�&*���� � � I%�P��� S��>��I��&* *�- � � �P��*�� � ² ��! *�- � � ��W�����º � � � I%�%� � S��>��I>� ) ��*�- ��B���I>�>� W '

Page 61: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��- L � � �>=@��� � ��� � =? �� � � <A� � = � �@ � �� SR )(

�Ã< � ' �

<� R ¬ � < G(

�Ã< � '

����à � � = � �R $ 4 � ²� < 4 � ²

���� ¬ � < � 4 5 4 � �A- ��� ) �,B����Q�HN @��?*���*�N�*?� 8;: 4 5 4 � ���V*�- �,!#N���BC*���� �s¬ SR �>��8;: 4 5 4�� ����º"� �� I>�>B��>*�I%�F�>�=*?��W � �&*?� 5Y � ) *�-��&* ) �­¶%� � ) - � ) *?��! � � S N�I.�&*?��*�- ��S N�I�*���/&� � �>�&*?�G:PN��oº � �&*�N � �G! � � S N�I>�"�>� 8;: 4 5 4 � ! � �� ��� � � �.S��&*��>� WG*�- � S N�I�*�� I��7�>�=*?��W � ��I W ��/���� @���8K: 4 5 4�� '1) � � ���.º *?�"��I>�?�­¶%� � ) *�- � � � º � � ��!9*�-��.�� ��� � � �.S��&*���� � 5 �A-��.�V�>� W ��/���� @�� *�- �+!#� I>I�� ) �>� W *�- ��� � ��S � &��� 5��*A � �� + ��- ¼ - M N?O 2 % U WGN¯ORQSN¯�KY\T^��NfmUO"]R[�O¹N¹�'NUTPmUwrORQ�YoO8ORQSNztSwo��`\[*w\��]lY\�� SR )(

��< � '

SR 4 � < wkWGN?`ÁmjORQSN"�Uwo���Kw i ]R['�qw\TUORQ�wV�'w\[*Y\��bGwo[*�\]^O^]^w\[ g

'F � G ² 0' � �G �� G ( U * � ( & * 4 * � � � * 2 �� QSN�w\TUORQ�wV�'w\[*Y\��]RO^`5baw\[*�\]^O^]lw\[�]R� t���]�Nfm¯ORQSYoO8ORQSN�v?d�Y��\T_YoO^dSTVN8�?w\Ta��dS�KY�]�[qyzv�{¹�'~0���f��]�m¯w¿�¯w\T_�kN?T �j 2�UwoTrY\�R�tSwo��`oO�watuN ( Y\[*��Yo���"��dS� O^]It��KNre\Y\Tf]^YkW?�KN´�adS[*b�O^]^wo[um 4 ~ � [ZtSY\TUO^]^b.d��KY\T g ] � � ' * � � * � � � * � � Y\TVNsORQSNT¿w�woORmxw¿�XORQSNqM N��'N?[*�\TVN�tSw\��`\[*w\��]lY\� (� �'N^p�[�NG��]R[ � NVb.O^]lw\[:�'~���~R|r�UwoTZORQSNX]R[�O¹N?Tae\Y\� � U * & � g ORQuNU[ ORQSNv?d�Y��\T_YoO^dSTVN�]�[5y v¡{¹�'~0���f��]�m¯w¿�jw\T_�kNUT 4 � ~��� BC� ��B�I>N�º �"*�-��.�G�?��BC*���� � � � :PN��oº � �&*�N � � ' ) �Q��- � ) - � ) *?� N��?� 8K: 4 5 4 � ����º 8;: 4 5 4 6 *?��=N�SG� � �>B���I>I � BC� ���?* � N�BC*E*�- � S N�I�*���/&� � �>�&*?�,:PN��oº � �&*�N � �,� ��� � � �>S��&*���� ��!#� � *�- �,� � �?*A!#� ) *?� � S��O�>��*�-��$Q�&W �PN�� ��� � ����� � �� ��������� � 5 R � � � *��>B�N�I.� � '&) � ) ����*D*?�7@XN��>I½º ���G��I�W�� � ��*�-�S !#� � *�- � * � N���B��&*?�.º $ �&W �=N���?� � ����� � �� �����H��� �M��!;� � º � �%WX( � 5 � ��B���I>I9*�-��&*,! � � S �A- ��� � ��S 4 5 6 ' ��! ) �FN���� *�-�� � ��N���� " � ��W�����º � �:=N��oº � �&*�N � � ' *�-���� ) �,� ��I%�"� ���.ºQ*?� N��?�7*�-�� � �P��*��A��!9*�- � � ��W�����º � � � I%�P��� S��>��I ( � ��!�º ��W � ��� � ( 4! � � �E��*�-�� � º � � � ��� � � �>SF�&*���� � 5� ��BV¶ �>��O%��BC*���� � 4 5 � ) ��º��.� I>�����.ºM*�- ��*?� � S��,�>� *�- � $ �&W �=N��,�?� � �>���7� �� ��������� � N *?� � � º � � 6 5� ��*EN�� � ��I>�&@<��I<*�- �+S N�I�*�� I>� �.��*?��W � ��I.�V��� ² SR !#� � � ( & * 4 * � � � ' ��� ) � � � ) -���/�� '

$ SR (! ' 4 &4 �� &&�4 �  &� �  19191E*) - � � �7*�-��7� � �?*V!#� N � *?� � S�� � � �+I>�>��*?�.º"@3��I>� ) 5

' SR ()F� ¬ �G ' �� G '

� SR ( )F�

� F� � ¬ �G � +* ¬ �G ' � � G � � G '

� SR ( )F�

� F�

� F� � ¬ �G � +* �I¬ �G �� +* ¬ �G ' � � � G ��� G � � G '

� SR ( )F�

� F�

� �F� � � ¬ �G �� +* ¬ �G � � * ¬ �G ' � � G ��� G � � G '

Page 62: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

�X� ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8� � ) ���=*G*?� N��?�"*�- � S N�I�*���/&� � �>�&*?�":PN��oº � �&*�N � � !#� � S N�I>�&�"*?� � ��� � � �>S��&*?��*�- �"� � ��* !#� N � �>�=*?��W � ��I>� ² SR ' � ( & * � � � * �F�>�"*�- �/$Q�&W �PN��E��� � �����V� �� �������>� � 5 �A- �Pº ��*����>I.�V� � �+W ��/����Q@3��I>� ) 5� � � �?* ' *�- � � �P��*����>� *�- � � ��W�����º � � � I%�%� � S��.��I ( � -, ��!Cº ��W � ��� � ( 4 � � � � ' ( '� 4 � �� ����º� � ( '�  � �� 5 OP� ' *�- �,B�� � º��>����I � �&W � ��� W�� �>�=*?� �� � I>�&*���� � � I%�%� � S��>��I.� �.��8K: 4 5 4�6 � � � '

� ' -, #(, 4 � �� ' 4 � � ( 4 � T ,  &4 � T  & 4 5 4 �

� � -, #( , 4 � '� � 4 � ' (� T , 4 &4 � T 4 & � 4 5 T U � N � *�- � � S�� � � ' *�-��M� :�� � � �>S��&*��>� ���F!#� � *�- �M! N���BC*���� �<¬ SR �&*"*�- �M* ) � � �P��*�� � ' * � �M� � �MW ��/���� @��¬ ' ( ¬ $ '� 4

� �� ����º5¬�� ( ¬ $ '�  � �� (5� � � *�- �VS N�I�*���/&� � �>�&*?� :=N��oº � �&*�N � � ��!�*�- � � � ��* �>�=*?��W � ��I ' SR ' *�- � !#N���BC*���� ��� �.��� �� �G ' $ G( � �G ' '����º"*�- �7�?��*V��!�BC� S @��>���&*��>� ��� ��!��+*�N I���� /&��I>N ��� �>� W ��/����"@���� � ( � �' ( � & +* 4 � 5 �A- � ) ����W -=*�� . �B���� � � ) @<�O!#� N���º"@����>�=*?��W � �&*���� � ��B�BC� � º��>� WG*?�F8;: 4 5 4 6 ' ��� '.� ' � ( 'F � � ' �G ' �� G ' (

&4 .� � � ( 'F � � � �G ' �� G ' (&4 *) -��>BH-��>��*�- �V����SG�V���9*�- � B���I>B�N�I.�&*���� � *?�O�X��º,*�-�� ) ����W -=*�� .�� �>� �A- ��� � ��S 4 5 � !#� � *�- � � ��N���� " � ��W�����º � �:PN��oº � �&*�N � �O��!����>��W I�� �>�=*?��W � ��I>� 5�� ����BC� ' *�- �7S N�I�*���/&� � �>�&*?� :PN���� � �&*�N � � N����.� W � ��N���� " � ��W������ � � � �>��*��!#� � ' SR �>� W ��/����Q@��"8K: 4 5 4 � '

� ' )( .� ' � � �� ' �� .� � � � �� � ( &4 � ' � &4 � � � 4 5 T & � � � *�- �,S N�I�*���/&� � �>�&*?�,:PN���� � �&*�N � �7��!D*�- �,����BC� ��� �.��*?��W � ��I � SR ' *�- �+! N���BC*���� ��� �����Q*�- � BC� S @�� "���&*���� ����!�� ( 4 *�N I����V��!9�PN�S,@<� � �V�.���?��*�� � � � �+W �>/�����@�� '� �� �G ' +* � �G � $ )( � � �G � +* � �G ' � * � � ( � �� ( � & * 4 +* 4 * & � �O%� ' *�- � ) ����W -=*�� . � � � � '. '�� � � ( 'F �

� F� � ' �G ' �� G ' � � �G � �� G � (

&� 4� T&�4 . � �6' � ( 'F �

� F� � � �G ' �� G ' � ' �G � �� G � (

&� � � T&�4 *������*�- �,:PN���� � �&*�N � � ! � � � SR �>� W �>/���� @�� '

� � �( . '�� � � � �� ' * � � �� . � �6' � � �� � * � ' ( . '�� � � � � � * � ' � � . � �6' � � � ' * � � �( /.� '�� � � 4 .� � �6' � � � � * � ' � ( 4 � T6 � � � * � ' � � 4 5 T 4 �A- �GS N�I�*���/&� � �>�&*?��:PN���� � �&*�N � ����! *�-��G*�-�� � � �>�=*?��W � ��I � SR �>�7� I.��*?*�I��GSG� � �FBC� S I>�>B��&*?��� 5 � �+�>�*�-�� �&@<�Y/�� * ) � � � ��S I>��� ' *�- � !#N���BC*���� ��� ����� *�- � BC� S,@X�>���&*���� ����!�� ( T *�N I����A��!D�PN�S,@<� � �E�>� �?��*� � � � �+W ��/���� @�� ' � �� �G ' +* � �G � +* � �G �� $ �( � � �G � +* � � �G �� +* � �G ' � �� � ( � �� ( � & * & * 4 & * 4 * & 4 * & * & 4 * 4 * & 4 * & * 4 & * 4 * 4 ! �

Page 63: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��-��C� � �>=@��� � ��� � =? �� � � <A� � = � �@ � �

� � � ����B(- T " *�N I��7��!D�=N�S,@<� � �V�>� � �� '�) � B���� �����"*�-��,BC� ��� ��� � �����>� W ) ���>W -�*�� . � ' ��N�B(-�*�-��&* ! � � *�-��� � �?* *�N I�� & * & * 4 'X) �,�>�=*?��W � �&*?�,8;: 4 5 4 6 *?������� '. '��6'�� � � ( 'F �

�� F�

�� F� � ' �G ' �� G ' � ' �G � �� G � � � �G �� �� G �:( 4 � T� � � �4�� U �

R �=*?��W � �&*��>��W�! � � ����BH- . � �?� � � �&*?��I � �%����I ��� '.� '��6'�� � � ( 4 � �� � � �� � � .� '�� � �6' � ( 4 � �� � � �� � � .� � �6'��6' � ( � �� � � '' 5.� � � � �6' � ( � �� � � �� � � .� � �6'�� � � ( � �� � � �� � � .� '�� � � � � ( 4 � �� � � '' 5 �� I.�?� ' � ��*?�F*�-��&*,@<��B���N��?�G*�-���!#N���BC*���� � � �>��/�� I>/����+* ) � �����?*?��� BC� S�S N *��&*?� � � !#� �� � SR (5 � ��! � � � ) �! � � S *�- �F�HN�S !#� � *�- � BC� ��� ��� � �����>� W�:=N���� � �&*�N � � � � ' *�- � �PN�S @<� � ��!V!#N���BC*���� � ��/&��I>N��&*���� ���+��!� B���� @<� � ����N�BC��� ! � � S 6 �?� � � �&*?� � ��/J��I.N��&*���� ��� � � ) �Q*?�"4F�?��*��O��! � ���?*?��� BC� S�S N�*��&*?� � � ' ��N �+*?������ ) " �$�%S�SG��* � � �>�"*�-��,BC� S�S N *��&*?� ��5� �� ' * � ' * � � �( � � ' * � � � * � ' � � ( 4 � � � � * � ' � * � ' �� �� ' * � � * � ' �( � � � * � � ' * � ' � � ( U� �� � * � ' * � ' �( � � ' * � � ' * � ��� � ( � � ' * 4 � � � * � ' � � ( � � � � * � ' � * � ' �� �� � * � � * � ' �( � � � * � � ' * � ��� � ( � � � * 4 � � � * � ' � � ( � � � � * � ' � * � � �� �� � * � ' * � � �( � � ' * � � � * � � � � ( U� �� ' * � � * � � �( � � � * � � � * � ' � � ( 4 � � � � * � ' � * � � �Y � )+' N�*?*��>� WG��I>I<��!9*�- �,�&@<�Y/��,*?��W���*�- � � *?�F! � � S *�- �,:PN���� � �&*�N � � � � '�) �7�����"*�-��&* '

� � �( /. � �6'��6' � 4 . '��6'�� � � � � � � * � ' � * � ' � � /. � � � �6' � 4 . '�� � � � � � � � � * � ' � * � ���( Z � T

& 6 � T� U [ � � � � * � ' � * � ' � � Z � T& 6 4 T� U [ � � � � * � ' � * � � � � 4 5 T�T

O%�>SF�>I>� � I%��!#� � *�- �7!#� N � *�-Q�>��*?��W � ��I � SR '�) �,-��Y/��,*�- �7! N���BC*��>� � � ����� � � '� �� �G ' +* � �G � +* � �G � $ #( � � � �G � +* � �G � � * � �G ' �� � ( � �� ( � & * & * 4 & * 4 * & 4 * & * & 4 * 4 * & 4 * & * 4 & * 4 * 4 �� � � ����B(- T " *�N I��7��!D�=N�S,@<� � �V�>� � �� '�) � B���� �����"*�-��,BC� ��� ��� � �����>� W ) ���>W -�*�� . � ' ��N�B(-�*�-��&* ! � � *�-��� � �?* *�N I�� & * & * 4 'X) �,�>�=*?��W � �&*?�,8;: 4 5 4 6 *?������� '. '��6'�� � � ( 'F �

� F�

���F� � ' �G ' �� G ' � ' �G � �� G � � � �G � �� G � ( 4 � T� � � &T U �

R �=*?��W � �&*��>��W�! � � ����BH- . � �?� � � �&*?��I � �%����I ��� '.� '��6'�� � � ( 4 � �� � � '� � .� '�� � �6' � ( 4 '� � � .� � �6'��6' � ( � �� � � '� �. � � � �6' � ( � �� � � '� � . � �6'�� � � ( 4 '� � � . '�� � � � � ( 4 � �� � � '� � �

Page 64: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ����� ��� �� ����� ����� � �� � �8�������*�- �+! N���BC*���� �"��/&��I>N��&*��>� ��� � BC� �H� ��� � �����>��W *?������B(- . � � � � '� �� ' * � ' * � � ( � � � � * � ' � * � ' � ( 4 � � ' * � � � * � ' � �� �� ' * � � * � ' ( � � � ' * � � � * � ' � ( � 4 � � � * � ' � * � ' � ( � � ' * � � � * � ' � �� �� � * � ' * � ' ( � � � ' * � ' � * � ��� ( U� �� � * � � * � ' ( � � � ' * � � � * � � � ( � 4 � � � * � ' � * � � � ( � � � * � � � * � ' � �� �� � * � ' * � � ( � � � � * � ' � * � ��� ( 4 � � � * � � � * � ' � �� �� ' * � � * � � ( � � � � * � � � * � ' � ( U �,;N *?*��>� W���I.I<��! *�-��+�&@3� /��,*?��W���*�- � � *?��!#� � S *�- �+:PN���� � �&*�N � � � � ! � � � SR '� � #( /. '�� � �6' � 4 . '��6'�� � � � � ' * � � � * � ' � � � /. � � � �6' � 4 . � �6'�� � � � � � * � � � * � ' � �( Z � T� � 4 T� U [ � � ' * � � � * � ' � � � Z � T� � � T� U [ � � � * � � � * � ' � � � 4 5 T �

� ����BC� ' ��N @���*���*�N *��>� W�*�- � :=N���� � �&*�N � �7!#� � S N�I>�&�+�>��8;: 4 5 T & *?�F8;: 4 5 T � *?��!#� � S *�-��+� ��� ���%� "SF�&*���� � *?��*�-��B$Q�&W �PN��E��� � �����V��� �������>� � $ SR �%����I ��� '$ SR � � ' 4&4 � � �� &

&�4 � � � &� � � �� 19191�

&4 �� ' � � � � � T&�4 � � � * � ' � � &� U � � � � * � ' � * � ' � 4 &� U � � � � * � ' � * � � � � 19191� � ) ��/�� � ' ����*?� *�-��&*;@��G�A-���� � ��S 4 5 � �>� O%��BC*���� � 4 5 � '%) � �%� � ) *�-��&*K*�-�� �>�=*?��W � ��I>�;BC� ��� ��� � �����.� W*?� � SR ����� � SR � � � ����BH- ��!�� � � � � � ' @�N�* *�-���� � I>�>� ��� � BC� S @��>���&*���� �"�>� ��!�� � � � � � 5 O%� *�-�� � � ��� ��*� &<��BC* *�- �E��B�B�N � ��B �F��!<� N � � :�� ��� �>S��&*��>� ��*?� $ SR �>�D��!1� � � � � �,� ��I � 5 � ����BC� '%) � B���� ��W � � � �A*�-�� I>���?** ) � *?� � S��A�.��*�- �+�&@<�Y/�� ��� ��������� ������� ) �+� � �+*�-���� I���!#* ) ��*�- '

$ SR ( &4 �� ' � � � �� � T&�4 � � � * � ' � � � SR 5 �

R � ��N�S�S�� � � ' ) � B���� BC� ���?* � N�BC* � � ����" �?*?� ��I�W�� � ��*�-�S ! � � *�- � �?� I.N *���� � Q ��!7*�- �����'&3� � ����*��>��I��:PN��&*���� � �>� 8K: 4 5 & ' N����>� W *�- ��* � N���B��&*?����$ �&W �=N��+�?� � �����+��� ��������� �M��! � � � � � � �>�M*�-��G! � I>I>� ) �>��W) ��� � 4 U � '� � � � � �+��*?� ��!9�?*?� ������� ! � � S R *F*?� R * > ' '�) ��*�- Q SR * G( Q * '� ' ( �� Z R * � Z &4 4 � T6 [ [� � ( �� Z R * � Z &4 � � T6 [ [$ � ( &4 �� ' � � � �� � T

&�4 � � � * � ' �Q * > ' ( ��� $ �� Q * �� � � *�- � BC� ���?* � N�BC*���� � ��! � � � � � 6 SG��*�-�� ���,N����>� W�*�-��F* � N���B��&*?���X$ �&W �=N�� �?� � �>���7��� ��������� � ' I������?�� ��! � � *?�C� &���D� � � 4 U � 5 R ��� -�� *?� � � '<) � ) �>I>I �H- � ) �?� SG����! *�-����PN�SG� � �>B���I ��� � � �>SG���=*�� � � !#� � SG���N����>� W�*�- � $ �&W �PN��E�?� � ����� ��� ��������� ����! � � � � � � �� ���?���=*?��� �&@<�Y/�� 5

Page 65: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

����������� �

� � � � � � � ��� " ����� �

��� ������������ ����������� � �"! �#��$��%���'&%(*)+�,�.-%��&/ 10 �� ��"& � � � �"&2�'�3�%�� ��"� � ��"-%� "54 " � �� " $ 6�7 ��"� "4 �%�%�98 � 4B$94�: 0 �� ��"& � ��;=<>���?���?�@�%�A� 0S &%�� ��%�B C��$��%���C&%( 0 �� ��"& � �CDE�F���% ������, @�%$�$,&2�'�C ��C �&G ���� ��"�3��$?�%���������%$ � ��"-%� "54 " � ��H8 � 4I: 0 �� ��"& � �@ �&J��� � �,���F�K �$ ! ��&/$,L%�9 ��"� � � & �����F�B ����%$>�FMN ��O ��,&/�P&/�Q �����"& 0 &%-%�F�"��&/ 6�R� �%�K�%ST�'����$�� ���F������LN�?�"-I�K���� ��%�?�U�?�7LO�O�����%�B ��V���# ����W&%�X�,-/�����%$Y� ! �� �� 0 ;*<>����� 0 �F�%���V ��6�O ��"�I�N 0 ���X�����%$Z��&/$� � ��,&/���>����$�$[�%$,�V� ! ��� � �"�����\ �&]�#� �F����^6� 0 �%����(_&/$ � ^ " &/�3�'�����X�� ��"� � � & �����F�B ����%$�FMB 6�O ��,&/�`��L%&/$,L%�F��;<+&�DE��-/���a�'�, ��ZS7���W����$�$�(b&/$�$,&2�P ���� � �� ��%��$������acd�"-/eTfg� � ��� �ih%h�� ST�'�"�����W ��"�j� � �F�%��&%(Z�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � �d�%� � ���F$?�O �� � �"�F���d�O��� � �?���� ������ � �?�@�K&B&%� � �����O �� " (b�����'(b&%� 0 �$��O ��,&/�Z; $ ��B ��"� "54 �%�%��S"���@�6����&%���,-/�?���%$� �����,LO�O ��,&/�1&%(k ���� � 4B$34 0 �� ��"& � �ml ��� Sn ���� � ������ � &/�"�F�B ����%$ 0 � �&` ����%����(_&%� 0 �F$,� 0 �F�7 ��.�?�3 ����)n�,�I�%$,-%��D����# �&U�, ���)n�,�\-%��&/ ;>oV " W�, ������ 0S &%�� ��%�B > �&a��&% ��I ����O �&% ��"��� 0 � � �?�"-/�R(b��& 0 a_` ���%��%$���&CDE�. ���� �C�ih%h9� ;� (_ ����> ��6����SN�d�j�'�?$�$Y�K&/�6�K�F�7 ����O ��I&/�9p3 ��7 ���� "54 �%�%��fg� � 4 p 4 � $,-%&%���� �� 0 �%� ���F���F�B �� � ��� �ml ��� S" �&���"&2�H� � $��?���, �$ ! �"&q�r ����W��$��%���������%$ � 4 0 �� ��"& � ���������K&%� &%���O �� � ���B �&I ��6���V)n�,�W�%$,-%��D����s���� � �����-"; � $���&"S�d�V�'�?$�$/�� � ��! ��"� � �����,LO�O ��,&/�I&%(6 ��"��&%� � �����K&/� � �, ��,&/���+(_&%�t ��"� � 4 p 4 0 �� ���& � ����?�"-' ��"�R)+�,� " oV " ����"����������,�F� �ml � � S+�%� � ��� �O�� ����� 6$��O�FSn�"&2�u�X�"&B&/�����"-` ��"� 0 �%���,(b&/$ � ^ �%� \

* ���F�� �$, ��\���v ��"�#��$��%���������%$ � 4&%� � ���'�K&/� � �, ��,&/���F;�jwXx yuz)N �{z �E|Z}�~���� ��z*��|[� � N'|[��}X� ���sz ����� � ~#���R�����1 ����?�����F�K ���&/�[S[�d�C����$�$Z(b&/$�$,&2����$,&/���F$ ! ���� � ��^6���, ��,&/�6�'�%� � ��"��&%��� 0 ��(_&/ 6� � �?� �ih%h9� ;\<>�"� ! $��F� � �& ��"�j ��"��&%� ! DE�F����� � �'�6�O '���R�"&2� � ��&q�'���%�' ��"� � 6�"-%� "54 " � �� " p3 ��B ��"� "54 �%�%�s8 � 4 p 4I: �%$,-%&%�X�, �� 0 ;�t�,���� �SY�d���'��$?$Z$,&N& � �O � ��"�s� � �F�#&%(*�%�9�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � �'�� ������F� �F�K � �&U ��d&])n���\-%��&/ �%�K ��,&/���� ' �%� � � � &/� 0 �%���,(b&/$ � � ^ �%� �U� ; �� ��� ��"��� � �� ��%��$���&/� 0 �%���,(b&/$ � �FS6)n�,��-%��&/ C SZ�%� � )n���I-%��&/ �%�K ��,&/� � �O���.-/��L%�F����� � ��� ���� h ;� 7� � �8=�� �8� � - � � -��+��� ^ �O�Y�j� � �s���k��� �%��� � �O� �¡ �¢'�O��� �,�F�k£ � � � � � �j¤%¥��O¦2§ �/¨ � �_� ¤9� �©� §T� �_� �, «ª ¢C�K¬ �b­"�U� � �a¤%¥��O¦2§ �/¨ � � � � �'®9¯ £±° ª ² ª ¢��O�Y�J� �   � �/¨ � �_� ¤J� �r� §T� �b� �>³ � ��¬� � ¯ £´° � ² �¶µ �·  �@�F�%�b­�� � §3¸ ¯ ª ² � �_ \�O� ��¹�¦ �bº¡� ¥ ���%� �k� � §G� � �b­`¥��   §"� ¨ ���»�a�b­"� �7¨ � � � �" �>® �O�Y� � �@� ��¢6� �O¥ � �_�"¼ £ ¢

¸ 8 �'® 8 ¼6½ , :�:d¾ � � 8 ¼6½�¸ 8 , :�: ½ �t­T�K¥�� , �ª �O�Y� ³ ¾ ¸ 8 , : �´µ

Page 66: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �&*�� �������� �� � � ��� * +<'���O ����FS �t�,-/ "�����N; h �K& 0@0 " ��F�W(_&%�W�%$�$ ¼ £ S���&# ����O � ��"�I�%�K ��,&/�6�'&%(t ��"��)n�,�.-%��&/ £ &/�9DE&% �� ª�%� �@� �O���.���F$��O �� � D ! ��"�j�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � ¸ ;���������

���������

� �

� ���� �"!$#&%(' �*)+�"!$#&%('

�t�,-/ "���,�N; h ¯ ¸ ���R�%���FMN ��,LO�O�����%�B 0 � (b&%�'�%$�$ ¼�-1£ ;<>�"� 0 �%�?�G� � �F�`DE�F���?� � �/. p . 0 �� ��"& � �?�j �&3�X�"&B&/���# ��"� 0 �%���,(b&/$ � ª ��� �t�,-/ "�����N; h �&9DE�#�L%�F�K �&%�I� �%�K�s��&a ��6�O W���s���%�1 6���I ���� �0. 0 �� ���& � �F;W<>�6��� 0 �F�%�6�����s�"��� � �&a^6� � ��"���FMN ��,LO�O�����%�B 0 � ¸ DE�� ��d���F�= ����UL%�F�K �&%�U� �%�K���%� � ���� 0 �%���,(b&/$ �3� ; � C��& ��� � �F���� ����O C ����])+�,�`�%$,-%��D�����1�%����&N���?�O �� � �'�, ��v�`)n���I-%��&/ £ �����]L%�F�K �&%�I� �%�K�%Sn�%� � ������ 6����� � ���32N�F�K ��,&/� h ;4�N; l ; � �F���K�%Sn�,( ª ������ $��%�K� � D ! 1U��� � ��-/ "�����N; h S� ��"�F�9�� '���>���O � ����%$Z �&a ������ � &%(t ��"�\�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � ¸ ¯ 1 ² � S6�'�, �� ����I)n���j-%��&/ �%�K ���&/� �65j¯ £�° � ² � &/�� ���� 0 �%���,(b&/$ �C� SY�%� � �%�"&% ��"�����%�K ��,&/�[S6��� !87:9 ¯ 1 ² 16S���������] �� � �F�W�%�`�F$,� 0 �F�7 '�?��1a�%� � 0 � �>�, VD6�%� � �&;16S"(_&%���%$�$E�F$,� 0 �F�B �� ¼ ���] ��"�.)n���j-%��&/ £ ;<2T �����%�K ���&/� 7:9 ��� � ��^Y�"� � ���] ��"�.(b&/$�$,&2�'���"-C$,� 0#0 �TS"�'�"������=����V ��"�\�K&N&%� � ���6�O �� 0 � (b��& 0 1# �& £ ;

� �,+ +?> � -@�.-j�n�F� = ¯ 1 ² £ � � � �i� ¨X� �t� � § ¢V�%�Y��� �O¥ � �b��¼A-1£ �b­"�K¥��#� 0 �?  �  I� �,� � ���s¦T� � � §Y� ��¨X� � � � �� 9 ¯ £ ² £ µCB ­T� � �b­T�]�,� ¨�� � �7¨ � � � �D7 9 � � ¼E- £ � � �b­"�#� � � � �m¤B� � ¥ � 1 �_ U� �GF � � �©�¡  �b­"�]� � §7 9 ¯ 1 ² 1   ¦ ¨ ­��b­ � � ¢ 7 9 ¾ =�H ®JI � 9 I = ½� � �b­�¥��   §�� ¨ �V�»�U�b­T�I�,� ¨�� � ¨ �F�O¥ �O�_��� �5�s� � § = µK�&% ��� ����O a�,(:= ���s ����U� � &/�"�F�B ����%$ 0 � S��� ����J ��6�O �= ¾ � � ¯ 1 ² £ S� ��"�F� 7:9 ���s��� 0P $ ! ��"�oV� � ���ML � � 0S DE�F$�$NL � �% �� � &%�PO©8�o � � : (_&%� 0 �$?� � 8�Q : ST���7 ���& � 6�K� � ���A2N�F�K ��,&/� h ;4�N; �B; �"&%�V� � � 0S $,�%SN�'�, �����F� �F�K > �&#�%�`�F$,� 0 �F�7 >� � 8 , : -3£ S� ���� 0 � 7:RGSUT WV � ¯ 1 ² 1a�%�K ����"-#&/���%�`�F$,� 0 �F�B ³ ����1 ! �,�F$ � �FS

7:RGSUT XV � 8 ³ :k¾ 8b� � H ® I �YRGSZT XV � I � � : 8 ³ :*¾ � � H ® I 8b� � 8 , :*[ � � 8 ³ :�:U\� & 0S �O������-� ����.�OD�&2L%�\�'�� ��UcdM18 h ;(]^� : ���"&2�'�V ����O > ���� 0 � � ����- 7 RGSZT XV � �?�R�%�"&% ��"���'�V� ! &%( �>���, ��?�"- ����\o � � (_&%� 0 �$��T;

K'&2�.SR�"&% ��9 ��6�O @ ��"�9�K& 0S &/���� ��,&/�=&%(� 5��& �FMN ��,LO�O�����%�B 0 � �a���@�%�A�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � ;_2N&"S��d����%�P� $��� � ����9� � �F�v&%(j�G���?�"-/$,� 0 � (b��& 0 1© �& ª S��?�7 �& � �K& 0S &/���, ��,&/�J&%(� 5��& 0 � �C�'���?���A�O����FMN ��,LO�O�����%�B �SB�6� 0 �F$ ! (_&%��� &/���B , - ª SB�d�W���FL%�,= ¯ 1 ² £ SB�K& 0P &/��� � �'�� ��C ��"��)+�,�>-%��&/ �%�K ��,&/�� 8 [ ½ , : ¯ £ ² ª ; �t�,-/ "���A�N; l � � 0 &/���� ��X�O ��F�s ��"�`�K& 0@0 � ��O ��,L%�F�"�F���s&%(W�� ����J�1�K& 0S &/���, ��,&/� 0 � � 8`=C8 [ : ½ , : ¯ 1 ² ª ;*<'����� 0 �F�%���k ����O d�?���� ��F� � &%([�� � ��! ����-j ��"�')n���R-%��&/ �%�K ���&/� � 8 ¼6½ [ : ¯ ª ² ª&/� ��"�@����-/�7 \�6�%� � ��� � ��&%( �t�,-/ "���a�N; l S+ ����a�K& 0@0 " ��O ��,L%�F�"�F���\&%(V ������ � ���O-%��� 0 �%$?$,&q�'�\ ��j �&3�� � �"! ����.�FMB 6�,L¡�%$��F�7 >�%�K ��,&/�9&%( 7 9 ¯ 1 ² 1#&/�b16;� �F���%$�$� ����O R��L%�F�K �&%�>^��F$ � ���V��� 0S $ ! � 0 � 8c ¯ ª ²ed�ª ST�'�"����� d�ª ���� ��"�� ��%�"-%�F�B >� �%�K��&%( ���� 0 �%����(_&/$ � ª ;R��� ��6���'���%���%S����I���%�v�K&/����� � ���> ��"�I�K&/�6���FMB ��F���K�I&%(��FMN ��,LO�O�����%�6�K�%S��'�����X�9� � �F�O����%�W���F$?�O �� � �"�F����8b-/�,L%�F�9D ! ckMG8 h ;4f :�: DE�� 5�����F�3 5��&aL%�F�K �&%�j^��F$ � �<gih �%� � g j9;><>�"�\ ��d&UL%�F�K �&%��^��F$ � �gih �%� � gkj �O���� ����s�?�"^6���, ��F��� 0 �%$[-%�F�"���X�O �&%���j&%(* ��"�C)+�,�I-%��&/ �%�K ��,&/�A8b&%�j ��"� � &q� : �?�3cdM 8 h ;4� l/: S���, ��#���F� �F�K d �&s ��"����� 0 �W�F$,� 0 �F�B lg - 16; � (� "�� ������ � �?���� �������&/�C&%(Z ��"�����"^6�6�, ��F��� 0 �%$�-%�F�"�����O �&%���R�%� �

Page 67: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� -���� � � +D� � � ����� � � � � > � � �� � � � *��� � ��� � ��>���

��

�l�@! #U% ' ����� ��

��

��� � � � �

�6�`%W#��$' ���E� �

� � � ��� �l� %X#�� ' ��� � �

��� ��� ���

� � � ����t�,-/ "��� �N; l ¯ ckMN ��,LO�O�����%�B 0 � � 8`=C8 [ : ½ , : ¯ 1 ² ª �'�, ��`���F� �F�K ' �&# ��"�\�%�K ���&/��� 7 9 &/�81U�%� � � &/�ª S"(_&%�W�%$�$ ¼�-3£ �%� � , - ª ;�, ��j�%����&T�����O �� � � &q�u&/� ª ���%�GDE�C(_&/ 6� � ���D2N�F�K ��,&/� h ;4�N;4�N;a<>�"��&%��� 0 �N; �]DE�F$,&2� ��&qLT� � �F�. ��"�@$���� �DE�� 5�����F�@ ��"�'� � �F��&%(E�FMB ���L¡�O���?�%���K�>�%� � ���F$?�O �� � �"�F����;�K�&% ��' ����O k ��"�'�K&N&%� � �����O �� 0 � = ¯ 1 ² £ ���� ����� ����I(b&/$�$,&2�'���"- � ������ ������,&/������ ��"��� � &/�"�F�B ����%$ 0 � S[�%� � D ! )Z� 0@0 � h ;4�NS[ ��"�s)n�,�I-%��&/ �%�K ��,&/� ����V ��"� � &q�u8b�'�� ��]���F� �F�K > �&;g - 1 : &%( ��"�\����^6���, ��F��� 0 �%$6-%�F�������O �&%�/gih ;��� � � � � �"!$#�%&# �+��� � ¯ ª ² � � � �U  �@�F�/�b­1� � § � �����d�X� � ���k�`� �O��� � �%� �¡  ª �O�Y�\�´µ(' �   � ¢ �,�F��>® 8b� � 8�Q g : ½ [ : ¯ ª ² ª � ���b­T�*)R�O�Q� � �b­T� �b� F �6� �5�  X� � � �T¤N� � ��¥ � �»�%¥ g+ ¢��%�Y� � 5 8b� � 8�Q g : ½ [ : ¯ � ²� � ���b­T��)R�O� � � g j µ;B ­"� �s� �%¥ � §T� �b� ��,�- ª ¢ � �_ I�O� ��¹F¦ �bº¡� ¥ � �O� �d� � § ¢

� 8 �>® 8b� � 8�Q g : ½-, :�:d¾ � 5 8b� � 8�Q g : ½ � 8 , :�: ½ . Q -�/R½ g - 1 ½� �\�%�Y� � � � ¬#� � �b­T� º � ¨ �»�O¥lF��K� �¡  g+ �O��� g j � ¥�� ��0 ¥��K� � �5� �21 g+4365 g j87 ¢

9;: I g<+ ¾ g j I 9 \= ¥��F� ��µ <n&J-%&=(b��& 0 ��"� �FMN ��,LO�O�����%�B a���F$��O ��,&/�����6� �& 9 L»���F$?�O �� � �"�F����S��� ��O�� `D ! � �NO������F�7 ����O ��?�"-© �����FMB 6�,L¡�O�X���%�7 V���F$?�O ��,&/������� ���, ��]���F� �F�K R �&;Q ;

>> Q 8 9 I �'® 8b� � 8�Q g : ½-, :�: ¾ >

> Q � 5 8b� � 8�Q g : ½ 9 8 , :�:? 9 : I >

> Q �'® 8b� � 8�Q g : ½-, : ¾ >> Q � 5 8b� � 8�Q g : ½ 9 8 , :�:U\

2T�����K� �'® ���' ��"�A@�&2� &%(t ��"�I�?�"^6���, ��F��� 0 �%$Y-%�F�"�����O �&%�:g<+rS6�%� � � 5 ���> ��"�B@�&q�«&%(*g j9S6D ! )n� 0@0 � h ;4���� 2N�F�K ��,&/� h ;4�N;4�NS 8 9;: I g + : 8 � ® 8b� � 8�Q g : ½-, :�:k¾ g j 8 �l5 8b� � 8�Q g : ½ 9 8 , :�:�: \C>���>�X�, ����"-� ��������?�@�K& 0S &/���, ��,&/�C��&% ��O ��,&/�@&/�# ��"�'$,��(b *���%� � ��� � �%S/�%� � ��&% ����"-. ����O 9 �����%�@�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � DE�� ��d���F�U ��"�D@�&q��� � ® �%� � �l5 SN�d�����%� � �����,L%�� ��"� � �F���,��� � 9 L»���F$?�O �� � �"�F����8�g + 3E5 g j : DE�� ��d���F� ��"�.���"^Y���, ��F��� 0 �%$6-%�F�"���X�O �&%����;8 9 : I g+ I �'® : 8b� � 8�Q g : ½-, : ¾ 8�g j I 9 I �>® : 8b� � 8�Q g : ½-, :9;: I g<+ ¾ g j I 9 \

K�&q�.S+ �&�-%&�(b��& 0 9 L»���F$��O �� � ���F���jD6�%� � �&9 ��"�@�FMN ��,LO�O�����%���K�s���F$��O ���&/������� S����# ����C ��"� � ��^6���� ��,&/�&%(n ��"�.�?�7 ���-%���%$[�� ���L%�%;k)Z�� R ����E@�&q� �O &/���B ,�- ª D�� � �F��&% �� � �>® 8b� � 8�Q g : ½-, : �� ����] ��6�O >�%�<Q -�/L¡�O�X�,�F��S%�, t���t�%���?�7 ���-%���%$T�� "��L%�� �����&/ "-/� ,�- ª 8�� ;m�%;��O *Q ¾GF S �'® 8b� � 8�Q g : ½-, :k¾ , : S%�'�, ������"^6���� ��F��� 0 �%$-%�F�"�����O �&%�0g + ;IH �I ��"�F�����qL%�\�%���FMN ��O ��,&/����� 0 ��$��O�V �&#cdM18 h ;4� l/: ��� � &%��&/$?$��O� !3h ; h S>> Q �'® 8b� � 8�Q g : ½-, :d¾ g+r8 �'® 8b� � 8�Q g : ½-, :�:U\

Page 68: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� �(� �� �������� � � ��� � �<'�"�F�[S%���'���%� � �NOE�����F�B ����O �� 9 8 �>® 8b� � 8�Q g : ½-, :�: �'�, ������F� �F�K t �&,Q S7�%� � ����V ��"� 9 L»���F$?�O �� � �"�F���tDE�� 5�����F�g+ �%� � g j± �& � �����,L%�j ����j(_&/$�$�&q�'����-"S

>> Q 8 9 8 �'® 8b� � 8�Q g : ½-, :�:�: ¾ 9 : I >

> Q �'® 8b� � 8�Q g : ½-, :¾ 9 : I g+{8 �>® 8b� � 8�Q g : ½-, :�:¾ gkj I 9 8 �>® 8b� � 8�Q g : ½-, :�: \K�&% ��` ����O C ��"�`�ODE&qL%�`���%$��� 6$��O ��,&/�J���"&2�'�s ����O s ��"� @�&q� 9 8 � ® 8b� � 8�Q g : ½-, :�: ���s�%�J���7 ���-%�X�%$R�� "��L%�]&%( ����]�?�"^6���, ��F��� 0 �%$t-%�F�"�����O �&%� g j ��"��&/ "-/� ��"� &/���B 9 8 �'® 8b� � 8 F7: ½-, :�:C¾ 9 8 , : &/� ��"� 0 �%����(_&/$ �3��O �Q ¾ F ;ro ! �����MN "�F�"�F���FSk ������#���7 ���-%�X�%$'�� "��L%�3&/� � 0 ��� @DE�� ��"�1��� 0 �9�%�a ��"�1���7 ���-%�X�%$'�� "��L%�� 5 8b� � 8�Q g : ½ 9 8 , :�: �'�, ��`���F� �F�K ' �&U ��"� &/���B 9 8 , : - � �O 0Q ¾ F ; � �F���K�%SE���I���qL%�� ����\�FMN ��,LO�O�����%�B ���F$��O ��,&/�����6� S

9 8 �'® 8b� � 8�Q g : ½-, :�:d¾ � 5 8b� � 8�Q g : ½ 9 8 , :�: ½ . Q - /R½ g - 1 ½-,�- ª \

��`� 0 &%���j�OD6�� ����%�K '���� � ����"-"S"�'�"�����,= ¯ 1 ² £ �?�V ��"�.�K&B&%� � �����O �� 0 � �%� � ,�- ª S" ��"�F�]D ! ��"��FMN ��,LO�O�����%�B 0 � � 8`=C8 [ : ½-, : ¯ 1 ² ª S����\���qL%�. ��"�.(b&/$�$,&2�'���"-C�K& 0@0 " ��O ��,L%� � ���O-%��� 0 �����t�,-/ "��� �N;4�(b&%�/g - 16;

�6����� � ��� 'P#&%(' ��� � ��

��

�� � � � �

� � � � � �l� %X#�� ' ���E� �

�l� %X#�� ' ���E� �

��������������� � � � � ������� ������� ��� � �

�t�,-/ ����/�N;4� ¯ ckMN ��,LO�O�����%�B 0 � � 8`=C8 [ : ½-, : ¯ 1 ² ª �'�� ��s���F� �F�K � �&j ��"�>�F$,� 0 �F�7 �� � 8�Q g : -3£ S/�'�"�����g - 16S"(b&%�'�%$�$ Q - / �%� � ,�- ª ;�"��& 0 <>�"��&%��� 0 �N; �BS ��� � �"&2�· ����O � 8`=C8 [ : ½-, : ¯ 1 ² ª �?�.�%�G�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � &/�© ��"� @6&q�'�7:RGSZT "!$# � ¯ 1 ² 16S��%� � � 8b� � 8�Q g : ½ [ : ¯ ª ² ª S6�,( �%� � &/��$ ! �,(n ����.���"^6���� ��F��� 0 �%$6-%�F�"�����O �&%���/g + �%� �g&%\�O���#8 � I = : L»���F$��O �� � ;k<'���O >����S

8 � I = : : I g'% ¾ g+ I 8 � I = :U\<'�"���?�"^6���, ��F��� 0 �%$[-%�F�"���X�O �&%�,g + ��� � ��^6�"� � D ! ckM 8 h ;4� l/: ��� � &%��&/$�$��O� !Gh ; h ;\<n&]^6� � &/ " W�'���O � ��"��?�"^6���, ��F��� 0 �%$Y-%�F�"�����O �&%�:g'%.���FS"�d�.���%�3 ����j ��"�.(b&/$�$,&2�'���"-s ��"��&%��� 0 ;�(� � � � � � !$# � # �+��� = ¯ 1 ² £ µ)( ¦q§7§T�   �>�b­ � � � �O¥ g - 1 ¢ � 8`=C8 [ : ½-, : ¯ 1 ² ª �? ��%� ��¹�¦ �bº¡� ¥ � �O� �E� � §� � �b­v¥��   §"� ¨ �'�»�9�b­T� )V�O�  ,7 RGSZT "!$# � ¯ 1 ² 1 ¢'�O�Y� � 8b� � 8�Q g : ½ [ : ¯ ª ² ª µ B ­T� � �b­T� �b� F �6� �5�  X� � � �¤N� � ��¥ � �»�O¥s� �/7:RGSUT "!$# �  K� � �_ _� ¬O�_� ¤]�b­T�I¥���� � � � � ��  ­ � § 8 � I = : : I g % ¾ g + I 8 � I = :�¢*�?  ¤ �_º � �G�K¬¡¢

g&%78+* :k¾ � = H ®, 8�g : ½ * - 1 ½�t­"�K¥�� � = ¯ 1 ² 1 �_  �b­T����¥ �_º2��� � �_ K� � � � � � � �b­T� � �K¥ �bº¡� � �bº � = : ¢� = , ¾.- : / , � 021 I = :, \

Page 69: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# ��� � � �D� � � ����� � � � � > � � �� � � � � �� � ��� � � >���

�$�

= ¥��F� ��µ �"��& 0 ��"�����,-/�B d�6�%� � ��� � �'&%(+ ��"���K& 0@0 � ��O ��,L%� � ���O-%��� 0 ��� �t�,-/ "��� �N;4�NS"�d�����%�`�K&/����� � ���d ����)n�,�R-%��&/ �%�K ��,&/� � �%�d�%�@�FMN ��,LO�%$,�F�B 0 � �� ��X�@ ����O k�d�'�6�FL%�' ����>���F$��O ��,&/�6����� (b&%�YQ - / S��%� � g - 1YS� 8 � RGSZT "!$# � 8 ¼ : ½-, :d¾ � 8b� � 8�Q g : ½ � 8 ¼6½-, :�: ½ .6¼a-3£ SY�%� � ,�- ª ;

o ! <>�"��&%��� 0 �N; �BSk�������K� � ���I�%�©�FMN ��,LO�O�����%�B 0 � S� ����F� ��"�]���"^Y���, ��F��� 0 �%$t-%�F�"�����O �&%��� g � �%� �g+ �O��� � L»���F$��O �� � ; 2N&a�d�s���FL%�� ��"�s�K& 0@0 " ��O ��,L%� � ���O-%��� 0 ��� �t�,-/ ���� �N;(]"; K'&% ��� ����O - : � 8�g : ¯ £ ²d £ ���� ��"� � �����,LO�O ��,L%�s&%(d ��"���g����-/�7 �f 0 �$, �� $������O ��,&/�[;.<'�"� � L»���F$?�O �� � �"�F���jDE�� ��d���F� ����@���"^6���� ��F��� 0 �%$-%�F�"�����O �&%���/g � �%� � g+ �?�V-/�,L%�F��D ! S�(b&%� g - 1YS Q - / S �%� � � &/���B ,�- ª S8�g+ I � : 8b� � 8�Q g : ½-, :d¾ >

> Q � 8 -�� 8b� � 8�Q g :�:�:k¾ 8 � : I - :� : 8�g :U\

� � � �

���� �i� � � �

��� %X#�� ' � � � � � �

�6�`%W# �$' ���E� �

��� �����@��� ' ��� � � �

�t�,-/ ���� �N;(] ¯d� L»���F$��O �� � ���F���RDE�� 5�����F�9����^6���, ��F��� 0 �%$6-%�F�������O �&%��� g � �%� � g+r;K�&q�.Ss�������K� � ���1�%�´�FMB 6�,L¡�%$��F���K� 0 � DE�� 5�����F� £ �%� � ª S� ��"�F�¶������ ��F� � &%(U�� � �"! ���"-A ����� 8`=@8 [ : ½-, : ¯ 1 ² ª �FMB 6�,L¡�O�X���%�7 0 � : ���"-JDE�� 5�����F� 1P�%� � ª ��� �t�,-/ ����3�N;4�NSj�d�G���%�«��� 0S $ !$,&N& � �O s ��"�A=:L»�FMB ���L¡�O���?�%���K�aDE�� ��d���F� 1G�%� � £ S*���, �� ���F� �F�K I �&v ��"� @�&2�'� 7 R`SUT "!$# � ¯ 1 ² 1 �%� ��YRGSZT "!$# � ¯ £ ² £ ;k<>���O �����ST(_&%� * - 1a�d�\�6�FL%�%S

= I 7 R`SUT "!$# � 8+* :*¾ � R`SUT "!$# � I =@8+* :U\H �I����$�$E���F�� ��X���K '&/ "�X���F$,L%�F�> �&U ��"��$,��(_ W���%� � ��� � �.&%(� ��"���K& 0@0 " ��O ��,L%� � ���O-%��� 0 ��� �t�,-/ ������N;4�N;�<'�"�� �����,LO�O ��,L%�F�'&%(� ������'�K& 0#0 " ��O ���L%� � �?�O-%��� 0 8b&%�W ��"�� ��%�"-%�F�7 �$��,(b ��>���81U�%� � £ : S[�O���I���"&q�'�3��� �t�,-/ �����N; � ;@o ! <'�"��&%��� 0 �N; �BSt�������K��= ���j�%�G�FMB ���L¡�O���?�%�7 0 � Sn�d�@�"&2�u���qL%��=0L»���F$?�O �� � �"�F����DE�� 5�����F�G �������"^6�6�, ��F��� 0 �%$6-%�F�"�����O �&%���0g&%.�%� � g � S6�� ��X�` ����O >(b&%� * - 1a�����t�,-/ "��� �N; � S

8`=D: I g&% : 8+* :*¾ 8�g � I = : 8+* :U\�'�"�����%S>�?� �t�,-/ "��� �N; � S' ����1�"&% ��O ���&/�_= : ¯ 1 ² d £ � �F�"&% ��F�U ��"� � > � � � � � ���`� &%(. ��"� 0 � � ���"-= ¯ 1 ² £ ;

� �

� �

� � � ���

� � � � � �� � � �

��� � � � � � � � ��� ����� � � ' �<� � � �

� ��-/ "��� �N; � ¯ =:L»���F$��O �� � �"�F���VD��� ��d���F�3���"^6�6�, ��F��� 0 �%$Y-%�F�"�����O �&%�X�/g&%.�%� � g � ;

Page 70: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� �(� �� �������� � � ��� � �<n& ��&T�K��� � SN���F���%$�$Y ����O � ��"�W�?�"^6���, ��F��� 0 �%$N-%�F�"�����O �&%�<g � �?�*-/�,L%�F�UD ! ��"� � �����,LO�O ��,L%�'&%(Z ���� � C��,-/�7

0 �$, �� $������O ��,&/�Zf 0 � S��� ����� ����O �Sg � ¾.- : � 8�g : ¯ £ ²ed £�½ (b&%� g - 1Y;

�%� � ����O > ��"� � �����,LO�O ��,L%�j&%( ��"� 0 � = ¯ 1 ² £ ���R�, ����F$,( �@�K& 0S &/���, ���&/�]&%( ��d& 0 � ��S � = , ¯ 1 ² 16S�%� � - : / , � ¯ 1 ²ed £ S6�� ��X�` ����O >���\���qL%�%S=D: ¾.- : / , � I � = , ½ (b&%� * - 16;

� �F���K�%SY(_&%�:=:L»���F$��O �� � �"�F���RDE�� 5�����F�� 5��&#L%�F�K �&%�W^��F$ � �lg&%\�%� � g � ���\���qL%�%S6(b&%� * ½ g - 16S8`= : I g'% : 8+* : ¾ 8�g � I = : 8+* :

- : / , � I > = ,I g % 8+* : ¾ - : / , � 8�g :U\<'�"�.�ODE&qL%�I�?�V ��� "�.�,( �d�I���FL%�%S g&%78+* :*¾ > =�H ®, 8�g :U\

�.w�� ���sz����� � ����R���<'�����>���F�K ���&/�3�����#�� 0@0 �O� ! &%(��'���O W��� � �F���R�,(t���I� � $ ! ��"�I ��"��&%� ! ���� ��"� ����LN�,&/ 6�>���F�K ��,&/�3 �&U��N 0 ���X�����%$n�%$,-%&%�X�, �� 0 ;'<'�"� 0 �%���1� � �F�@D��F�6��� � ��"�(C . p . ��$��%����&%(k���B ���-%���O �&%�������> �&U�����>�X�, ��\� � �,(�L(b�����F�B ����%$"�FMN ��O ��,&/�#��L%&/$,LN�?�"-j&/� ª SB�?�7 �&j&/�"�' ����O *��L%&/$,L%�F�d&/� 16;�<>�6�������tDE�F���% ����<1����%�* ��"�>�� ��� ��K � "���&%(R�]L%�F�K �&%�s� �%�K�%S �%� � ��"�@��$��%���������%$ C' 6�"-%�kL . " � �� 8-C . : p9�� ��"& � ���%�GDE�C� � $��,� � �&9�N 0 ���X�����%$�$ !��&/$,L%�a ��6���\�FMN ��,LO�%$,�F�B � �"O������F�B ����%$k�FMB ��O ���&/� &/�?16;1<n& � &9 ��6����St�d�]�K&/���� ��X ��K ��%� �FMN ��,LO�O�����%�B 0 � � 8`=C8 [ : ½-, : ¯ 1 ² ª (b&%� ,�- ª S��%�>�����t�,-/ "���,�N;4�N;� W$���&"S��������K�01#���V ��"�j)n�,�j�%$,-%��D6���s�%����&T�����O �� � �'�, �� ����@)n�,�s-%��&/ £ �%�K ����"-`&/� ª SZ ��"�F�v���@���%� ^6� � ����C�F$,� 0 �F�B ��j&%(lg - 16Sn�� 6���v ����O j���@���%�G�K&/�$L�� ��� ��K * ��"�����"^6���� ��F��� 0 �%$B-%�F�"�����O �&%���W8 � ��^6�"� � D ! ckM]8 h ;4� l/:�: S"�'���?��� � �F���K�X�,DE�� ����>&%���,-/���6�%$ � �NO������F�7 ����%$�FMN ��O ��,&/�3���] ���� 0 �>&%( ����.)n�,�j-%��&/ �%�K ��,&/� �H¯ £�° ª ² ª ;

��]&% ������'��&%� � ��S"���.�V�%�7 > �&a��&/$,L%�. ��"� � �NO������F�7 ����%$E�FMN ��O ��,&/��&/� ª S³ : ¾ c 8 ³ : ½ Q�� F ½*³ 8 F7:d¾ ³�� - ª ½

���"�����\�O >�F�%�X� &/���B ³ 8�Q : - ª (_&%�/Q -�/ Sn ��"�.L%�F�K �&%�W^��F$ � c 8 ³ 8�Q :�: ���%�9DE�j�>���, � ��F���?�] ���� 0 �>&%(t ��"��?�"^6���, ��F��� 0 �%$Y-%�F�"�����O �&%�:g<+ S

c 8 ³ :*¾ g<+ 8 ³ :*¾ >> Q � 8b� � 8�Q g : ½�³ : ½

(b&%�j��& 0 � g - 1`�'���?�������F$��O ��F�� �&a ���� � �"O������F�B ����%$+�FMB 6�O ��,&/�9&/� ª ;������K��g9����(_&/ �� � S6 ��"�� ����%����(_&%�ML0 �O ��,&/�# �&��%�@�FMN ��,LO�%$,�F�B k� ! �� �� 0 &/�;1���� � &/�"�>D ! ��&/$,LT���"-j ��"� � �NOE�����F�7 ��?�%$"�FMB 6�O ��,&/�@-/�,L%�F�#DE�F$,&q�¶8b(_&%� ����\�K&B&%� � �����O �� 0 � = ¯ 1 ² £ S6�%� � g - 1#�'�, ��]���F� �F�K > �&@ ��"�.����^6���, ��F��� 0 �%$6-%�F�������O �&%�0g+ : S

*;: ¾ � =�H ®, 8�g : ½ * 8 F7:d¾ * � \

� �F���K�%S *t8�Q : SR(b&%��Q - / S\���# ��"�3��&/$? " ��,&/�=&%(j ��"�3�FMB 6�,L¡�%$��F�7 � �NO������F�7 ����%$>�FMB ��O ���&/�Q��L%&/$,LT���"- &/�E16;�j���K� *t8�Q : ����� � ��& � � 0 �O �� � ������"-` ��"�]��$��%�����?���%$k���B ���-%���O �&%���s$�� � �a ��"� C� ��"-%�kL . � � �� 0 �� ���& � S ��"�F� ����\�K&%�����F� &/� � ���"-s��&/$� " ��,&/� ³ 8�Q : - ª ���%��DE�j(b&/ �� � D ! ��"�I)n�,��-%��&/ �%�K ��,&/�[S��'�� ��]���F� �F�K > �&@ ��"�� �"&2�'� &/���B �S���� ! ³�� - ª S ³ 8�Q :�¾ � 8`=C8+*t8�Q :�: ½�³�� :U\

Page 71: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# !�� > �e�8� ��� > � � �M� � � � � > � � �P� �/� � ��� � �<� � � � � � � !

K�&% ��. ����O >L%��� ! &%(b ��F�[S� �&C���F$��O ��j ����.�F$,� 0 �F�B <g - 1a �&@ ��"�j&%���,-/�?���%$ � �NOE�����F�7 ��?�%$Y�FMN ��O ��,&/��&/� ª Sg`��� � ��^6��� � �%�> ���� 0 � ¸ ¯ / ° ª ² 16S6�'�, ������F� �F�K > �&U��& 0 � ����LN�,&/ 6��$ ! � �� ���� 0 ���"� � &/�?�7 '$?� � �³ 8�Q : &/� ª S"-/�,L%�F�9D ! ��"�\)+�,��-%��&/ �%�K ���&/� �P¯ £¶° ª ² ª � l���� ;*<>���O '���FS

g�8�Q :*¾ ¸ 8�Q ½ � 8`=@8+* 8�Q :�: ½�³ 8�Q :�:�: (_&%�/Q - / ;<>����� � ��� � &%( 0 � � �?�"-`(_&%� g - 1 ���.����(b������� � �&1�%�I ��"� � � � � > � � � �?> S �� ���� ����O I ����#&%���,-/�?���%$� �NOE�����F�B ����%$��FMB ��O ���&/�����%�`DE�j�>���, � ��F�`�%�'�%�����"^6�6�, ��F��� 0 �%$Y-%�F�"�����O �&%�0g+ �'�� ��]���F� �F�K R �&@ ��"�.�%�K ��,&/�� �%� � ��"� 0 � � ���"- ¸ ¯ / ° ª ² 1YS"�'�����X�`���V&%(_ ��F�9-/�,L%�F��D ! ��"� � �NOE�����F�B ����%$E�FMB 6�O ��,&/� � hFl�� ;

� �F���K�%S7���>���%�#��&/$�L%�R ��"� � �NOE�����F�B ����%$T�FMB 6�O ��,&/�C��L%&/$,LT���"-j&/�s ��"���"& 0 &%-%�F�"��&/ ��k� �%�K� ª ����O k���%�DE� � �F���K���,DE� � �%�I�%� ���"^Y���, ��F��� 0 �%$n-%�F�"���X�O �&%� g+ ; H �"�F� ���F���F�B ����"-� ����?�� ��"��&%� ! �%�\�%�©�%$,-%&%���, �� 0 S ��"�j(b&/$�$,&q�����"-C�� �� �>���"&/ �$ � DE�� �� � �F� ¯�� � � > ���6��� � � ��� � � ����� 0 �� ����O � ��"��L%�F�K �&%�.^��F$ � c -�� 8 ª : &qL%���\ ��"����& 0 &%-%�F�"��&/ ��j� �%�K� ª ���%�1DE�I�>�X�, � ��F�v�%�W�%����"^6�6�, ��F��� 0 �%$�-%�F�"���X�O �&%�0g+ &%(� ��"���%�K ��,&/� � ¯ £·° ª ² ª ;\8�� ;m�%; c ¾ g+ (_&%�W��& 0 ��g - 1U�'�����X�� �F���K����D��F�� ����@&%���,-/���6�%$ � �NOE�����F�7 ��?�%$t�FMB ��O ���&/�[; : <>���C(_&/$�$�&q�'����-]�� ��� ��K � "���a��� � �F���,-/��� � (_&%�� �������-U&/����� �� &%(t���¡ ��`&%� � ���>��$?�%���������%$ C� ��"-%�kL . � � �� 0 �� ��"& � �&#� � ��& � � 0 �O ��j ��"�\��&/$� " ��,&/� ³ (_��& 0 Q � ¾GF �&Q ®�� F &%(+ ��"�\&%���,-/�����%$ � �NO������F�7 ����%$��FMN ��O ��,&/� � h%h�� ;h ; �"&%�� ��"�.&%����-/�����%$ � �NOE�����F�B ����%$E�FMB 6�O ��,&/�[S

³ : ¾ c 8 ³ : ½ Q � F ½ ³ 8 F7:*¾ ³�� - ª ½� �� ���� 0 ���"�V ��"� 0 �%�6�,(_&/$ � ª SN)n�,�V-%��&/ £ �%� � )n���V�%$�-%��D���� 16; K�� � �SB^6� � ��"�>)+�,�V-%��&/ �%�K ��,&/��P¯ £ ° ª ² ª ST�%� � ��"� 0 � � ����- ¸ ¯ / ° ª ² 1C�� ��X�U ����O d ���� � �"O������F�B ����%$6�FMB ��O ���&/�U���%�DE�j�>���� � ��F�`�%�'�%������^6���, ��F��� 0 �%$6-%�F�������O �&%�/g+ ;l ; � ��&B&/��� ��"� ������ ����%$ &/�?�7 �* � ¾ F �?� 16; �"&%�3�%� ! �����, ��?�%$ &/���B ³��_- ª ���©�6�FL%� ³�� ¾� 8`=C8+* �q: ½�³ �q: S6�'�"������= ¯ 1 ² £ ;�N;:2N&/$�L%�W ����j�FMB ���L¡�%$,�F�B � �NOE�����F�B ����%$6�FMN ��O ��,&/��&/��16S" ������"-s�%� ! �¡ ��]&%� � ��� C� ��"-%�kL . � � �� 0 �� ��"& � ;<>�6���V�FMB 6�,L¡�%$��F�7 � �NOE�����F�B ����%$E�FMN ��O ��,&/�����>-/�,L%�F�`D ! S

*�: ¾ � =�H ®, 8 ¸ 8�Q ½�³ :�:*¾ � =�H ®, 8 ¸ 8�Q ½ � 8`=C8+* : ½�³�� :�: ½ *t8 F7:*¾ * � \�W�F�"&% ��I ������R� � ��& � � 0 �O ��,&/�] �&a ��"�.��&/$� " ���&/��* 8�Q ® : D ! ��� ! S * ® ;

]"; �t��� � ����G�K&%�����F� &/� � �?�"- � : ��& � � 0 �O ���&/� �&A ��"�G��&/$� � ��,&/� ³ ®�� ³ 8�Q ® : SjD ! ��"� �FMN ��,LO�O�����%�B 0 � � 8`=@8 [ : ½�³�� : ¯ 1 ² ª S �'�, ��G���F� �F�K \ �&3 ��"�a���6�, ����%$ &/���B ³��A- ª ;]<'���O \����S ��"� ³ 8�Q ® :� � ��& � � 0 �O ��W����-/�,L%�F�#D ! ³ ® ¾ � 8`=C8+* ® : ½�³�� : ;*<'�������K& 0S $��� ��F�k&/�"�W�� �� &%([ ��6���*�%$,-%&%���� �� 0 SB�%� ����\�"&2� ���FL%���%��� � ��& � � 0 �O ��,&/�] �& ³ 8�Q ® : - ª �O Q ®�� F ;

�jw�� H�>���W�C}�~�� � �����|��@}��s�! Ez*�"�$#% �sz'&G}�|[�( ´��}X�����G ������\���F�K ��,&/�[S �d�a�'��$�$�$,&N& � �O \ ��"� � �NOE�����F�B \���"&/�?�K�F�\&%(R ��"�U$,&T���%$k�K&N&%� � �����O �� 0 � � = ¯ 1 ² £ S�'�����X�v���%� DE�s 6��� � �&�(_&%� 0 ��"� � �NOE�����F�7 ��?�%$+�FMN ��O ��,&/�G(_&%� *t8�Q : ��L%&/$,LT���"-`���1 ��"�@$?���"�F�O�j� �%�K� 16;��� �O�� ����� 6$��O�FS"���I�'�?$�$[$,&N& � �O W ��"�.� � &/�"�F�B ����%$ 0 � �%� � ��"� � � ! $�� ! 0 � (b&%�� ����I� 0S $,� 0 �F�B ��O ��,&/�`&%( ��"�6C . p . 0 �� ��"& � SN�%� � �"&2� ���¡ ��a&%� � ��� C' ��"-%�kL . " � �� 0 �� ��"& � ���������K&%� &%�X�O �� � ���B �&\ ����6C . p .������� 0 �\� � $������� �$ ! ;�<'�"�\ ����I&%(� ��"�\� � &/�"�F�B ����%$ 0 � � � �%� � ���� � � ! $,� ! 0 � ��� ! �O������& 0 �� �� 0 �F�����(b������� � �&#�%�' ��"� ��> �T�;� ��� > � � �M� � � � � > � � �S� � � � �9� �� �*) � � � ;

Page 72: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �(� �� �������� � � ��� � ���������� ��� ������������������������ �<'�"�#� � &/�"�F�7 ��?�%$ 0 � = ¾ � � ¯ 1 ² £ �V�%�I ����"!GD ! p9 ��B ��"�kL . �%�%�s��� � l�� � St�'�"�F�G ���� C . p .�����"� 0 �����%� ���F���F�7 ��"!a���@�, ��k^6���%$T(b&%� 0 ; H ������$�$N^����� d$,&B& � �O k ������%$,-%&%���� �� 0 S/ ��"�F�#(_&/$?$,&q�A ����#!"�� ��%��$�?� � l�� � ;

$ �,L%�F�# ����O * ½ g - 16SN�%�%!*�j�?�� ��"�>&%�&!����k&%(E ��"� C� ��"-%�kL . " � �� 0 �� ��"&'![S7 ����> ��� ������O ��"!#� � ���F�����,&/�&%(t ��"�I���7L%���X���j&%(+ ����(!��NOE�����F�B ����%$E&%(+ ����.� � &/�"�F�B ����%$ 0 � ���`ckMv8 h ;4� �/: S�<'�"��&%��� 0 h ;4�#���V-/�,L%�F��D ! S)'*,+�- .0/21 8+* ½ g ½ � :k¾43 H

55687 �

7 69;: �<! 6, 8�g :U\<'�����I ��� ������O ��"! �>='?����F������&/� �'�?$�$*DE�] ����"! ��� ���� C . p . W$,-%&%���� �� 0 S��%�CMB �&% ��"!©(b��& 0 � l�� � Sk�%��! �!6������ ������,&/�U(_&%�> ��X ������O ����"-C ��6���R�������,�F�'�O $�A@ l ���V-/�,L%�F�3�O > ��"�j�F�%!�&%( ��6���R���F�K ��,&/�[;�(� � �������� � � ��� � �����& 0 Q � ¾GF �&;QCB ¾ED S�&/�"�\�� ��8?9&%( ����AC . p . W$,-%&%���, �� 0 �?�R-/�,L%�F�`D ! ����.(_&/$?$,&q�'�?�"-C�����"� 0 � ¯)Z�� GFIHKJ L`�%�%!NMOL`DE�] ��"���K&N�8P#���,�F�B ��@&%(��%�NQ L5�� ��O-%�%S �Nfm ��=&%�R!"���@��$��%�����?���%$ C' ��"-%�kL . " � ��

0 �� ��"&'!��%�%!`$��� TS H ¾VUVWL 7 ® F H�J L S³ �R¾ ,(_&%�YX ¾¶h ½ l ½ \"\"\ ½ Q* H ¾VD U WL 7 ® F HKJ LRZ 9 L9 H ¾ ¸ 8 D S H ½R[ 8+* H ½�³�� :�:Z 9 H ¾ !"�>=\?Y���7L[8+* H S 9 H S � :�F�%!g ¾ED U WL 7 ® M LRZ 9 L³ ® ¾ [ 8�g ½�³�� :

K�&% ��\ ��6�O ¸ ¯ / ° ª ² 1YS��%�%!` ��"�.)+�,�.�%$,-%��D����C�%�K ���&/�9��� [ ¯ 1 ° ª ² ª ; �����&N���?�O ��"!Q�'�� ��Q ����?�a�%$,-%&%�X�, �� 0 S'p3 ��B ��"�kL . �%�%�]�%$���&]?����F���F�B ��"!P ��"�3(b&/$�$,&2�'���"-© ��"��&%��� 0 �]�%�%!$�� 0@0 �v��� � l�� � Sk��������� ���`�'��$�$^!������� �������� &%�&!"���C �& -%�� @�vDE�� � ����@ ��%!"���X�� ��%�%!�����-9&%(' ����]�� ��� ��K � "���DE�F���?�%!U ��"�BC . p . W$,-%&%���, �� 0 ;

�(� � � � � � ! # # B ­T�A_Y`bac` ' � ¤B�O¥ � �b­7�   � �O¬¡  � � �b­T�I� �O�6� � �O� � ª �ed ª � �O¥ ,�- ª ¢ª �\¾gf � - ª hji g H - 1 ½   ¦ ¨ ­��b­ � � � ¾ [ 8�g 6 ½ \ \ \ ½R[ 8�g 5 ½R[ 8�g ® ½-, :�:�:&k \

= ¥��q� �Kµ <'������(_&/$�$�&q�'��(_��& 0 ����I&%D6������L¡�O ���&/�3 ��6�O W�%$�$ �l?%?���&"="� 0 �O ��,&/���� ��lm%�e?6$��%�K�s���3 ��"�s)n�,�s�%$,-%��D����1YS6�%�%!` ����O ' ��"�.)n�,�.�%$�-%��D����C�%�K ��,&/� [ ¯ 1 ° ª ² ª ;<>�"�9�n!"�F�GDE�F������!Ap9 ��B ��"�kL . �%�%�Ffg� C . p . ?����F���F�7 ��O ���&/�P���a��� 0 �?$��O�@ �& ��"�c!"���X�,L¡�O ���&/�A(b&%�a ��"��FMN ��,LO�%$,�F�B #!��"O������F�B ����%$n�FMB ��O ���&/�9(b&%� *t8�Q : -/�,L%�F�1�F�O��$���������� 2N�F�K ��,&/� �N; l ;���9 ��6���'���%���%SZp3 ��B ��"�kL . �%�%�?6��&qL%�"! ����O `�,( * : - � 8�1 : DY�%���"!H&/�P ����1�>='?E&/�"�F�B ����%$ 0 �l? �?�#-/�,L%�F�HD ! ��"�1L%�F�K �&%��^��F$n![SR�'�"�����¸ ¯ ª ² 16S��%�%! [ ¯ 1 ° ª ² 1YS

* : 8�Q :*¾ !"�>='? H ®, 8 ¸ I [ 8+* ½-, :�: ½ (_&%� Q - / S , - ª S6�%�%!�* - 16S ����F� * : 0 ��� jDE� [ L»���F$?�O ��"!G �&� ��"�C&%�X�,-/�����%$tL%�F�K �&%�I^��F$o! ³ : ¾ c 8 ³ : ��L%&/$,LT���"-]&/� ª ;;K�&% ��@ ����O \��� ��6���d��&% ��O ��,&/�[ST ��"��)n�,���%$,-%��D������%�K ��,&/� [ SN���d ��"�j�K& 0 ?E&/���, ���&/�@&%(Z ��d&s�FMN ��,LO�O�����%�B 0 �l?Y� �

I =�SN�'�"������ ¯ £�° ª ² ª SY�%�%!�= ¾ �>='? ¯ 1 ² £ ;V<>���?�R�K& 0@0 � ��,LN�� ! ���%�9DE�.�����F�3���` ��"� � ��-/ "��� �N;qpNS�L%��� !��� 0 ��$��O�V �& �t�,-/ ���� �N;(]a�%�%!��t�,-/ ���� �N;qr@��� 2T�F�K ��,&/� �N; h ;<>�"�b!"�� ��%��$?�>�O���.-/�,L%�F�9���] ��"�.(b&/$�$,&2�'���"-s)Z� 0@0 �C(_��& 0 � l�� � ;

Page 73: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# !�� > �e�8� ��� > � � �M� � � � � > � � �P� �/� � ��� � �<� � � � � � ���

� �

� �`%W# �$' �3� � � �`%('M# �$' � � � � �

� �`%W# �$' �3�6����� �`%('M# �$' � � � �

� � ��� �� �� �� � � � � � � �� � � � � �

�;��� � �

� �� � � �

� ��-/ "��� �N;qp ¯ [ L»���F$��O ��"!����F���>DE�� 5�����F� * : ¾ !"�>=\? H ®, 8�g : �%�%! ³ : ¾ c 8 ³ : ; � � �D> !$# $# �n�F� c - � 8 ª :�� �+�b­T�d§T� �b� � ,�- ª � �W�b­T� º � ¨ �»�%¥�F���� � c 8 , :�¾ 8 [���¸ 8 , :�: 8 , :n� �O¥   �O�#�¸ ¯ ª ² 1 µ �_� * : - � 8�1 :j�_  �b­T� º � ¨ �»�O¥ F��K� � ¤ �bº � �G�K¬¡¢

* : ¾ !"�>='? H ®, 8 ¸ I [ 8+* ½-, :�: ½ � �%¥ ,�- ª ¢ 8G�N; hq:�b­T� � * : 3�� c µ= ¥��F� ��µ <n&`DE��-/���1 ����?�A?���&N&%(�S[���F���%$?$t ��"�G!"��^6���� ��,&/�1&%(d ��"�@$�&N���%$t-%��&/ %?G�%�K ��,&/� �¶¯ £ ° ª ² ª �?����F$��O ��"!` �&# ��"�\)n�����%$�-%��D����@�%�K ��,&/� [ ¯ 1 ° ª ² ª (_��& 0 ckMv8 h ;4� hq: S

[ 8+* ½-, :*¾ � 8b�>='? 8+* : ½-, : ½ (b&%� * - 16S6�%�%! ,�- ª S�%�%!] ��"�(!������,LO�O ��,L%�j&%(+ ����.�>=\?E&/�"�F�B ����%$ 0 �l?3���`<>�"��&%��� 0 h ;4�C���V-/�,L%�F�9D ! S

�>='?+8+*�� Q g : :��� ! 7 � ¾ - :R`SUT�� ,��I !"�>='? , 8�g : (b&%� * ½ g - 16;

�"&%� * : �&aDE� [ L»���F$��O ��"!9 �& c 8+* : 3�� c : S����.�"���"!� �& ?���&qL%�\ ��"�j(_&/$?$,&q�'�?�"-s���F$��O ��,&/������� ?ZS[ : 8+*;: ½-, :�¾ c

I [ 8+* ½-, :U\ 8G�N; l/:2N ��O�� �����-�(b��& 0 ����\$,��(b >���%�%!`���o!��j&%( cdM18G�N; l/: S��d�I���FL%�. ����.(_&/$?$,&q�'�?�"-"ST(_&%� * - 1a�%�%! ,�- ª S

[ : 8+* : ½-, : ¾ � : 8b�>=\?t8+* : : ½-, : : !��F�"&% ��F�> �� 0 � !"�����,LO�O ��,L%�%;¾ � : 8 - :R`SUT�� ,�� I !"�>='? , 8+* : : ½-, : !"������L¡�O ��,L%�j&%(t�>='?Z;¾ � : 8 - :R`SUT�� ,�� I !"�>='? , 8 !"�>='? H ®, 8 ¸ I [ 8+* ½-, :�:�: ½-, : �� "D6�� ��, � � ��A!���^6���, ��,&/�U&%( * : ;¾ [ : 8 - :R`SUT�� ,�� 8 ¸ I [ 8+* ½-, :�: ½-, :U\

2N ��O�� �����- (b��& 0 ����3����-/�7 U���%�%!Q���o!"�9&%(IckM 8G�N; l/: SW�d�v���%�H�����>���, ��3�, a���P ��"�1(_&%� 0 &%(j ��"�1-%�F�"�����?�?����F���F�B ��O ��,&/�`&%(�!��"O������F�B ����%$��FMN ��O ��,&/�9�?� ����� 0 ?� ��,&/� h ; h ��� 2N�F�K ��,&/� h ;4�N;qrNS

cI [ 8+* ½-, :*¾ 8 [��K¸ 8 [ 8+* ½-, :�:�: 8 [ 8+* ½-, :�:k¾ 8 [�� g : 8 [ 8+* ½-, :�: ½ 8G�N;4� :

�'�"����� c - � 8 ª : S [ ¯ 1 ° ª ² ª S ¸ ¯ ª ² 16S/�%��!I��� 0 �lm%�V ��"�R�� "D6�� ��, � " ��,&/� g ¾ ¸ I [ 8+* ½-, : - 1Y;

Page 74: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� �(� �� �������� � � ��� � �C>�F���%$�$� ����O R�F�%�X�Ag - 1@-%�F�"�����O ��F�>��L%�F�K �&%�'^6�F$o!#&/� ª LT���� ��"�j���"^6���� ��F��� 0 �%$"-%�F�������O �&%�>-/�,L%�F�`���� &%��&/$�$��O� !1h ; h 8b�'�6�����`���> ��"�.��� 0 �\�%�' ��"� �g-%�F�"�����?�b?����F���F�B ��O ��,&/�[fY��� ����� 0 ?� ���&/� h ; hq: S

g+ ¾ 8 [�� g : 8 , :�¾ >> Q [ 8�Q g ½-, : ���� ! 7 � ¾

>> Q � 8b�>='?+8�Q g : ½-, : ���� ! 7 � (_&%�0Q - / S ,�- ª ;

���F���K�%SY�d�\���%�������>���, ��j ����.���,-/�B >���%�%!`���n!"��&%(tcdM18G�N;4� : �%��S8 [ � g : 8 [ 8+* ½-, :�: ¾ [ 8�Q g ½R[ 8+* ½-, :�: : �� ! 7 � : !"�F�"&% ��F�' �� 0 � !"������L¡�O ��,L%�%;¾ � 8b�>='? 8�Q g : ½ � 8b�>=\?�8+* : ½-, :�: : �� ! 7 �¾ � 8b�>='? 8�Q g :*[ �>='?+8+* : ½-, : : �� ! 7 � D ! $,&T���%$Z)n�,��-%��&/ %?9�%�K ��,&/�[;¾ � 8 -:RGSUT � ,�� I �>=\?n8�Q g : ½-, : : �� ! 7 � D ! ���,-/�B 0 6$, �� ?6$��?���O ��,&/�[;¾ � : 8 - :RGSUT�� ,�� I �>='?+8�Q g : : ½-, : �� ! 7 �¾ � : 8 - :RGSUT�� ,�� 8�g : ½-, : �>='?+8�Q g : : h ! 7 � ¾ g6;

¾ � : 8 - :RGSUT�� ,�� 8 ¸ I [ 8+* ½-, :�: ½-, : �� �D6�� ��, � " �� g ¾ ¸ I [ 8+* ½-, : ;���F���K�%ST�������%�#�����' ����O dD�&% ��# ��"��$���(_ k�%��!@���,-/�B k���%��!@���o!"�F�*&%(ZckM`8G�N; l/: �O���'�FMN ��%$ SB�%��!#��& * : 3���� c S���������9�K& 0 ?6$,�� ��F�R ���� ?���&N&%(n&%(t ��"�\�ODE&2L%�\)Z� 0@0 �T;

$ �,L%�F�� ����O t�����"&2�A���FL%�R�%���>='?����F������&/�\(b&%�t ��"�VL%�F�K �&%��^��F$o! * : S%�'�����X�I�?� [ L»���F$��O ��"!� �&� ��"�V&%���,-/���6�%$L%�F�K �&%��^��F$o! ³ : ¾ c 8 ³ : S"���.���%�` ��"�F� ?Y " V��L%��� ! ��6���"-s �&%-%�� ��"�����?�a ����j(_&/$�$�&q�'����-��K&%��&/$?$��O� ! (b��& 0 � l�� � ;� � �E� ��� > ��� !$# � # B ­T�   �O� ¦"� � � � �»�3�b­"�s¤B� � �K¥ ��¨ §Y¥��   � � � � � � � � � � ³ : ¾ g+ �_  ¤ �bº � �"¢n� �O¥   ¦�� ¨F� � � ��� ¬  � � �_� Q ¢d�O �¢ ³ 8�Q :�¾ [ 8+*t8�Q : ½-, : ½�t­"�K¥�� * 8�Q : - 1 ¢�� �O¥ Q - / ¢> �� � �_ _� ¬ �b­T� �%� ��¥�� � � � � �t��¹�¦ � � � � �

*;: ¾ !"�>='? H ®, 8 ¸ 8�Q ½R[ 8+* ½-, :�:�: ½ *t8 F7:*¾GF$\ 8G�N;(] : '-/�%�?�[ST�d�.�O���X�,L%�j�O � ����.�o!"�F��!������� ������"!?�����LT�,&/ ���$ ! �?�b2N�F�K ���&/�8�N; l S��'�"�������������%�B R �&C�>���, ��� ��"�

!6�NO������F�7 ����%$n�FMB 6�O ��,&/�9���9�, ��>-%�F�"���X���.(b&%� 0 ���, ��9����^6���, ��F��� 0 �%$�-%�F�"�����O �&%���0g+ ;R<>���F�����I���%�3^6�%!��%��FMN ��,LO�%$,�F�B (!��NOE�����F�B ����%$t�FMN ��O ��,&/�G(b&%� *+S+�'�6����� ���.-/�,L%�F�GD ! ��"�#���BL%�������@&%(V ��"� !��NOE�����F�7 ��?�%$�!"�>=\? H ®, ;<'�����W����?�&/�����,D6$,�jDE�F���% ����� ����I ��d&`L%�F�K �&%�.^6�F$o!�� c �%�%!c!��>=\? H ®, �O��� [ L»���F$��O ��"![;�2T���6�K� * : ��L%&/$,L%�F�j&/� ����I$������F�O�'L%�F�K �&%�j�C?6�%�K� 16S6 ��"�F�3 ����<!��� ��,&/���%$ 0 �� ���&\!���$�� m%�. �����C' 6�"-%�kL . " � �� 0 �� ��"&'!��'���%�1DE�\ ����"! �&��l?�?���&"="� 0 �O ��� ��"�C��&/$� � ��,&/��(b&%� * 8�Q : - 1��O j��& 0 �s �� 0 � QX;����6�K� *t8�Q : ����(b&/ ��%![S��d�C���%�1 ��"�F�1^6�%! ����.�FMB 6�,L¡�%$��F�7 ³ 8�Q : D ! �������-� ����.)n�,�j-%��&/ %?©8��%$,-%��D���� : �%�K ��,&/��-/�,L%�F�9��� � &%��&/$�$?�O� ! �N; l ;<n&C^Y�������a ������R���F�K ���&/�[S"�d�.��&q� !��?���� ����d&/�"�.$��%�� R �����&%��� 0 ?����F���F�7 ��"!��?� � l���� S"�'�����X�`���V���F$��O ��"!] �& ����.&%�&!"���>&%( ��"�BC . p . 0 �� ��"&'![;

�(� � � � � � ! # � � # B ­T�Y_Y`bac` ' � ¤B�O¥ � �b­7� ­ �¡ j� � �,� �¡  �*�%¥ � ��¥ � � �%¥ �O�6¬ � � � � �m¤B� � ¥ �@�/¨ � � � � [ � �9�O��¬� �O�6� � �O� � ª ¢*� � �b­"�b_Y` ' �m¤7�%¥ � �b­7� �_��º �O� º � �a�_  � � �O¥ � ��¥ � µ= ¥��q� �Kµ <'�"�8C . p . 0 �� ��"&'! ���%�W&%�&!"�����#��(*�d�@���%� 0 �O ���� ��"�s^��X�� � � h ���� 0 �j���9 ����s)+�,�C�������,�F�&%(V ��"�@�N 0 ���X�����%$t��&/$� " ��,&/� ³ ® 8 D�: �O D ¾ F Sn�'�, ��1 ��"�#^����� � � h ���� 0 �.���v ��"�@)+�,�C�������,�F��(b��& 0 ��"��%�6�%$ ! ��?���%$Z��&/$� " ���&/�a&%(tckMv8 h ;4� f : �?� W���� 0 ?� ��,&/� h ; h �O Q ¾GF ;k<'�����V���%�`DE�b!"&/�"�jD ! ������"-� ��"�.)n�,�kLoV " ��X�"���I�������,�F� !"��L%�F$�&<?��"!vD ! p9 ��B ��"�kL . �%�%�I��� �����W�F�O��$?�,���j�d&%�&mY;��&q����L%���FSt ��"�C ��"��&%��� 0 ���%�G�%$���&DE�b?���&qL%�"!����, ��"&/ " R ��"�. 6���.&%( ��"�\)n���kL5o� � ����"���W�������,�F��;YK�&% ��\ ��6�O C . p . W$,-%&%���� �� 0 ���V�FMN ��,LO�%$,�F�7 �&!"&/���"-@�#�����"-/$,�j��$��%���������%$ C . �� ��8?3�?�] ��"�\)n���.�%$,-%��D���� 1a&/�� ��"� !��"O������F�B ����%$[�FMN ��O ��,&/�9���`ckM 8G�N;(] : S ����F�3 ��X�%����(b���������"-#D6�%� m� �&] ��"� 0 �%����(_&/$o! ª LT���# �����)+�,�I�%$,-%��D6���a�%�K ���&/� ³ ® ¾ [ 8+* ® ½�³�� : ; 2T�����K� 1����

Page 75: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# !�� > �e�8� ��� > � � �M� � � � � > � � �P� �/� � ��� � �<� � � � � � � %

�@L%�F�K �&%�j�C?6�%�K�%S��%�%! [ �?�>�#� 0 &B&% �� 0 �l?%?6�?�"-"S" ��"�F�� ����\&%�&!"����&%(IC . p . &/� ª �����O �$,�F�%�� W�%�'����-/��%�R ��"�.&%�R!"���>&%( ��"�\�K&%�����F� ?�&/��!����"-��FMB 6�O ��,&/�`&/�A1Y; W$���&"ST���a�N 0 ���X�����%$Y�K& 0 ?6 " ��O ��,&/�U&%(ncdM98G�N;(] : S * : ���k-/��L%�F�aD ! !"�>='? H

®, ST�'�����X�a�?�k ��� 6�����O ��"!]�O � ����

9 ¾ 8 � @ l/: ��v ���� 0 ;.<>�����W���WDE�F���% ����C�%$�$ od���X�"&/ �$�$��»fg�'�K&N�8P#���,�F�B ��j(_&%��&'!%! 9 �C�U�O��� � ����&"Sn��&U ��6�O (_&%�W�%��������&%�'�F�� �� 0 �O ��\&%(�!"�>='? H®

, &%(�&%�&!"�����@8 D 3 > ® : SY&/��$ ! ���� 0 �W 2?� �& 9 ¾ �b@ l �O�����"���"!"�"![;R<>�6������%�`DE�.�����F� 0 &%���.��$,�F�O��$ ! �,(+�d�.�'���, ���&/ " > ��"�\ ���� 0 �>���] ����.�>=\?Y�%�����,&/�[S"�� 6���` ����O �S!��>=\? H ®, 8�g :d¾ g @ hl �<! ®, 8�g : � hhFl �<! 5, 8�g : � F @ h� l F �<!��, 8�g : � F @ [ [ [

�'�"�����' ��"��^6���� k ���� 0 g@���k&%([ ��"�W&%�&!"�����@8 DY: S"���F�K&/��!# ���� 0 �<! ®, 8�g : �?�*&%(Z ��"��&%�&!"�����@8 D 5 : SN ��6�,�&!C ���� 0�<! 5, 8�g : �����#8 D��q: S7^6(_ ��C ���� 0 �<! �, 8�g : �����#8 D�q: ST�%�%!@��&I&/�[;�<>������� 0 ?6$��,�F� ����O d(_&%���.�N 0 ���������%$ 0 �� ��"&'!&%(t&%�&!"��� � ¾ ]"S��,(t�d�I���%�B W �& ?����F������L%�\ ����?�R&%�&!"���W�'�"�F���� "D6�� ��, � � ����"-C���B �&ackMG8G�N;(] : SE���\&/��$ ! �"���"! ��"�W�>=\?6�%�6���,&/�U 2?a �&s ��"�W ����,�R!@ ���� 0 ST�'���F� 9 ¾ l ; �'�F���K�� ��"�W ��� ��6���O ��,&/�]��� !��>=\? H ®, ���# ����6C . p . �$�-%&%���, �� 0 !"&N�F�>�"&% R���"!� ��K�. ��"�j&%�R!"���>&%(t ��"�.�N 0 ���������%$[�����"� 0 �%;�������� ��� � ��������g��� ��(T ��"��)n�,�d-%��&/ 2?� ��%!"��� �K&/�����o!"���X�O ��,&/�\���+�'MN ��<!"���O ��?�k)n���*-%��&/ 2?ZS¡ ��"�F�I�d�V���%�I���8?6$��%�K�d ��"�k�>='?E&/�"�F�7 ��?�%$0 �l?ZS"�'�� ��] ��"� � � ! $,� ! ����%����(_&%� 0 ��� ! ¯ 1 ² £ � h � � ;

<>�"�.MN ��<!"�X�O �����)n�,�j-%��&/ %? £�� S"�'�"������� - $ )d8�� : S6���T!"��^6�"�"!`�%� � ��� S£ ��¾gf ¼�- $ )d8�� : ¯ ¼�� � ¼ ¾ � k ½

�%�%!] ��"�\MN ��<!"�X�O ����j)n�,�.�%$�-%��D����C���V-/�,L%�F�9D ! S1 ��¾gf * - 1���8�� : ¯ * � � ��� * ¾ F\k \

K�&% ��� ��6�O � ��"�I&%�� ��"&%-%&/���%$t)+�,�\-%��&/ %? �C8�� : SY ��"���C?E�F�����%$Z&%�� ��"&%-%&/���%$t)n�,�I-%��&/ 2?32 �s8�� : SE�%�%!9 ����� ! 0 ?6$,�F�K ����9)n�,��-%��&/ 2? 2\?n8�� : �O���vMB 6�<!"���O �����)+�,��-%��&/ %?6��; <>���?�@���%�HD��3�����F�P��(W ���� 0 �O ���� =�� �?�!"��^6�"�"!� �&#DE��� ¾ O!©8b ����I�o!"�F�B ��, ! 0 �O ���� = : (_&%�� ��"�.(b&%� 0 ���FS��%�%!�� ¾�� (b&%�'��L%�F� !�� 0 �F�����,&/����(_&%� ��"�.� ! 0 ?6$,�F�K ��?��-%��&/ 2?ZS"�'�������%S �1¾�� F O!

@R ! F! \ W� ! 0 �l?#""8%$ : �'�����X�3�����%���%$ ! ����s�O F �%�%!v�� ��X�v ����O &"�8%$ : "�8O@�$ :'¾�h �'��$�$nDE���OD6$��� �& 0 �l? ����MB 6�<!"���O ����C)+�,�C�%$,-%��D����b1 � �&3�, ��.�K&%�����F� ?�&/��!����"-`MN ��<!"���O ����C)+�,�s-%��&/ 2? £'� � � � ;#<>���?�j������$� %!��F�� ����

!����O-%&/���%$)(t�<!+*�U�l?%?���&0=T� 0 �%�7 �� � h f � S �%�%! &/�"�@�� ���� �>="� 0 ?6$��s�?�j ��"�C(� ����K ��,&/�#"�8%$ :W¾ � ® >-, �� ® H , � ;C�� � h � � S ��"� � � ! $,� ! ����%�6��(_&%� 0 ���>���](��%�K T!"��^6���"!`�%�> ��"�j(b&/$�$,&2�'���"-"S��� ! 8%$ ½/. :d¾ 8 h � . $ :8 h @ . $ : ½ .D-�/10 f�F\k \

<>�"�1�<!"LO�%�7 ��O-%�v&%(. ����?�"-G ��"� � � ! $,� ! ����%�6��(_&%� 0 �%�U ��"�1�K&B&%�&!6�����O �� 0 �l?_= ¯ 1 ² £ ���@ �������F$��O ��,L%�F$ ! $�&q� �K&/�� a���P�, ��#�K& 0 ?6 " ��O ��,&/�H�%�a�K& 0 ?6�O���"!P�'�, ��A ����9�>='?�&/���F�7 ����%$ 0 �l?Z;_K�&% ��1 ��6�O a�,(. ¾ ®5 S[ ��"�F�v ���� � � ! $,� ! ����%�6��(_&%� 0 ������� 0 ?6$ ! ����2( �<!+*� #?%?���&"="� 0 �O ��,&/�1 �&` ��"�s�>='?�&/���F�7 ����%$ 0 �l?nS!"�F�"&% ��"! - 8 h ½ hq: SY�'�"�����j(b&%�> ��d& 0 �O ������K�F� *3�%�%!AgU���] ��"�\MN ��<!"�X�O ����j)n�,�j�%$,-%��D6��� 1 � S��� ! 8+* :*¾43 O!G@ * l65 H ® 3 O! � * l65 \ 8G�N;qr :

2T� 0 �?$��O��$ ! �&� ��"�T!��"O������F�B ����%$"&%([ ����'�>='?�&/���F�7 ����%$ 0 �l?a���#<>�"��&%��� 0 h ;4�\��� � ���l?� ���� h SB ��"��!��NOE�����F�B ����%$!���� ! , �%��!��, ��>���BL%������� !6��� ! H ®, �O���b?����F���F�7 ��"!3���] ��"�j(b&/$�$,&2�'���"-C$,� 0@0 �T;

Page 76: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �(� �� �������� � � ��� � � � � �?>�!$# �2� # � �%¥ * ½ g - 1 � ¢ �b­T� � ��¥ �bº¡� � �_º �s� � �b­T��� �O¬ ��� ¬ ��¥ �%�" _� �O¥ � �_  ¤ �bº � � ��¬2¢

>> Q ��� ! 8+*�� Q g : �� ! 7 � ¾.- :������� I !���� ! , 8�g :*¾ !���� ! , 8�g :*[ ��� ! 8+* : ½

�t­"�K¥�� !���� ! , 8�g :.�O��� !6��� ! H ®, 8�g :\� ¥����b­T� �O� �K¥�� � � � � �+� � �b­T�� �O¬ �,� ¬ ��¥ �O�" _� �O¥ � �%�Y�a� �  j�b��º ��¥   �.� � § ¢!���� ! , 8�g : ¾ 3 O!G@ * l65 H ® g 3 O! � * l 5 H ® 8G�N;qp :!���� ! H ®, 8�g : ¾ 3 O!G@ * l 5 g 3 ! � * l 5 ¾ g @ hl �<! , 8�g : @ h

] * g2* \ 8G�N; � := ¥��q� �Kµ )n�� � ����%���� 0 �. ����O ' ����(!"�����,LO�O ��,L%�.&%(� ���� � � ! $,� ! ����%�6��(_&%� 0 ���%�' ��"�.(b&%� 0 -/�,L%�F�1�ODE&qL%�I(_&%�* ½ g - 1 � ;IH �\���%��^Y�%!`�%�`�>='?����F������&/�](_&%�T!6��� ! , 8�g : D ! ����?�"-s ��"�j(_&/$?$,&q�'�?�"-"S

O! �J��� ! 8+* :*¾43 O!e@ * l 5 H ® l O! \ 8G�N; �/:<+&G?���&qL%�\cdMv8G�N; �/: SY�d�I ����j ��"�(!���^6���, ��,&/�U&%( ��"� � � ! $�� ! ����%�6��(_&%� 0 ���`ckMv8G�N;qr : S

O! �J��� ! 8+* : ¾ ! � 3 O!G@ * l 5 H ® 3 O! � * l 5 ¾ 3 !e@ * l 5 H ® 3 3 O!G@ * l 5 � 3 ! � * l 5-5¾ 3 !e@ * l 5 H ® l O! \

�"&%�R ��"� � � ! $,� ! ����%����(b&%� 0 &%(+��� ! 8+* � Q g : �'�"�����:Q -�/ S[�d�j�O-/�%���` ����� ��"�A!"��^6�6�, ��,&/�U���acdM98G�N;qr :�%��!`���F�O�����%��-%�. �&@^6�%!ZS O!G@ * l @ Q gl�� ��� ! 8+* � Q g :k¾ O! � * l � Q gl�� \ 8G�N;4f :c�=\?Y�%�%!����"-C��� ! 8+* � Q g : ������"-C< � ! $,&%���>�������,�F�R�>='?6�%������&/�[S

��� ! 8+* �?Q g : ¾ ��� ! 8+* : � Q � >> Q ��� ! 8+*�� Q g : ���� ! 7 � � �@8�Q 5 :¾ ��� ! 8+* : � QO!���� ! , 8�g :*[ ��� ! 8+* : ���#8�Q 5 :U\2T&"S6�� "D6�� ��, � " ����"-� ��"�\�ODE&2L%�\���`ckMv8G�N;4f : S��d�.^Y�%![S O!G@ * l @ Q gl��� ��� ! 8+* : � Q !6��� ! , 8�g : [ ��� ! 8+* : ���@8�Q 5 :���¾ O! � * l � Q gl�� \���NOE�����F�B ����O ����"-C ��6���R�>='?����F������&/�]�'�, ��]���F�C?E�F�K R �&;Q S6�%�%!� ��"�F������ Q ¾GFs! �,�F$o!��FS

@ g l ��� ! 8+* : � 3 O!e@ * l 5 !6��� ! , 8�g : ��� ! 8+* : � ¾ g l3 O!e@ * l 5 !6��� ! , 8�g : ��� ! 8+* : � ¾ g l

O! �J��� ! 8+* : � \2" "D6�� ��, � � ����"-sckMv8G�N; �/: S��%�%!] ����(!"��^6���� ��,&/�U&%( ���� � � ! $,� ! ����%����(b&%� 0 ���B �&@ ��"�.�ODE&2L%�%S6���.^6�%![S

3 ! @ * l 5 !���� ! , 8�g : 3 O!e@ * l65 H ® 3 O! � * l65 ¾ g 3 O!e@ * l 5 H ®3 ! @ * l 5 !���� ! , 8�g : 3 O!e@ * l 5 H ® 3 O! � * l 5 3 O!G@ * l 5 ¾ g3 ! @ * l 5 !���� ! , 8�g : 3 O!e@ * l 5 H ® 3 O!G@ * l 5 3 O! � * l 5 ¾ g

!���� ! , 8�g : ¾ 3 O!G@ * l 5 H ® g 3 ! � * l 5 H ® \

Page 77: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � � > �e�8� ��� > � � �M� � � � � > � � � � � � ��� � � �;� � � � � � �

2T� 0 �?$��O��$ ! S�(_&%�\ ��"�@���BL%�������G!���� ! H®

, SZ&/�"�#���%�G�?�7L%���� j ����@&<?E�����O �&%�(!���� ! , �'�����X� �%�K ��.&/� ��"� 0 �O ���� =� S!6��� ! H ®, 8�� :k¾ 8 !���� ! , : H ® 8�� :k¾ 3 O!e@ * l65 � 3 ! � * l 5 \

<>�����k���%�@DE�'�>='?6�%�%!"�"!#���7 �&I ��"�'�X�,-/�7 d���%�%!#���o!"�R&%(ZckM�8G�N; � : ���BL%&/$,LT���"-j ��"�W�<!���&/�?�7 *&<?E�����O �&%�V�<![; W�`� 0 ?E&%�� ��%�B V��&% ��.�K&/���K����������-� ���� � � ! $,� ! ��X�%����(b&%� 0 S"���V ����O >�, R���V�"&% >���F�K�F�����O����$ ! �%�`�l?%?���&"= L� 0 �O ��,&/�3 �&] ��"���>=\?E&/�"�F�B ����%$ 0 �l? ������"-# ��"� (t�<!+*� #?%?���&0=T� 0 �O ��,&/�[;DH �C���%�3���8?6$��%�K� . ¾ h��Ol �'�� ���%�"&% ��"���'��&/�$L � ����&#�K&N�8P#���,�F�B �SY�%�%!] ���� � � ! $,� ! ����%����(_&%� 0 �?�>�� ���$�$�LO�%$��o! � h f � ;

�jw H�>���W�C}�~�� � �����|��@}��s�! Ez �$#� �sz��\z*~ �W��� ��}����<>�"� � �%�"&/�������%$Z�K&N&%�&!��?���O ��.&%(� ��"�\���F�K&/�%! mT���%!]�V�%��!"��L%�F$,&<?E�"!�D ! �W�>���F���%��!3p3�O�� ����������F����� � � h � ;<>�"���o!"�F�'�?�n �&����8?6$?�%�K�k&/�"�V�����"-/$�� 0 �l?%?Y���"->&%( = ¾ �>=\?��'�, ��I ��"�^?���&'!� ��K Z&%(6 ��"� 0 �O ���� =.�>='?�&/���F�7 ����%$?�D6�%���"!C&/�# ��"�RD6�%���?��&%(E ��"�')n���>�%$,-%��D����:16;�<>�6�������%�#$,�F�<!@ �&I�.�� �� ?����������"-'���"!� ��K ��,&/�C���C�K& 0 ?6 " ��O ��,&/���%$�K&/�� �S6���?���K�j�F�%��� 0 �O ���� =U�>=\?E&/�"�F�B ����%$[&%(t�CD6�%�����V�F$,� 0 �F�B '���%��DE�����F$��O ���L%�F$ ! �X�"�F�l?9 �&a�K& 0 ?6 " ��%;2T 2?�?�&/���j ����O 7u¾ �� ® ½ \ \ \ ½ �� � ���R ����\D6�%���?�>&%(*�%� � !�� 0 �F�����,&/���%$[)n���\�%$,-%��D����;16;R<>�"�F��* - 1U�?��C$����"�F�O�>�K& 0 D6���6�O ��,&/�`&%( ������RD6�%������S

* ¾ * ® ® � * 5 5 � [ [ [ � * �� �� ½�'�"����� * ® ½ \ \ \ ½ * � �O���. ��"�I�K&B�8P#�����F�7 ���;k��` ��6���R���%���%S6���\���%���K&/�6���o!"���FS

�>='?+8+* ® ® � [ [ [ � * � � :*¾ �>='?+8+* ® ® : �>=\?t8+* 5 5 : [ [ [ �>=\? 8+* � � : -3£ \<>�"�d�OD�&2L%���?�Z ��"�^!"��^6���, ���&/�j(_&%�+ ��"� � > �e�8� ��� > � � �M� � � � � > � � �N� ��� � � �

� � �8� � ) � � � �'�, ��j���F�C?E�F�K �&@ ��"�.)+�,�.�%$,-%��D����@D6�%����� 7 S"�'�"�����j ��"� 0 �l?9�����Cm ¯ 1 ² £ ���%�> ��"�j(_&%� 0 S����� m�� �

5H 7 ® * H

H�� ¾ �>=\? 8+* ® ® : �>='?+8+* 5 5 : [ [ [ �>='?n8+* �� �� :U\<+& !������,L%�1 ��"�v�>=\?����F�����,&/�H(b&%�` ��"� !��NOE�����F�7 ��?�%$'&%(������CmES'���v 6���v ��"�v���,-/�B a �����LN���%$?�����O ��,&/�[S>�%��!�K&/�����o!����+ ��"�V�K&N�8P#���,�F�B �� � * ® ½ \ \ \ ½ * � � S � g ® ½ \ \ \ ½ g � � �'�� ��.���F�C?E�F�K t �&W ��"�VD6�%����� 7 (b&%� * ½ g - 16;�2" 2?%?E&/��� ����O V�d���V�%�7 V �&C�<!%!U ��"�� 5��&C�F$,� 0 �F�B �� * ½ g - 1@ �&%-%�� ��"���FS * � Q gC(b&%�<Q -�/ ;�)Z�� .8+* ® �3Q g ® : !"�F�"&% ��F� ��"�v^����� ]�K&N�8P#���,�F�B `�'�, ��H���F�C?E�F�K ] �&= ��"�vD6�%����� ® - 7 ;u<>�"�F�ZS> ��"� !"������L¡�O ��,L%�1&%(\ ���� �F$,� 0 �F�B �>=\? 8�8+* ® � Q g ® : ® : ���V-/�,L%�F�9D ! S

>> Q �>=\? 8�8+* ® �?Q g ® : ® : ���� ! 7 � ¾ g ® ® �>='?+8�8+* ® � Q g ® : ® : ���� ! 7 � ¾ g ® ® �>='?+8+* ® ® :U\

2T� 0 �?$��O��$ ! S7��(Z�d�.��&q� �K&/�����n!"���R�%$�$E�K&B�8P#�����F�7 ��R(b&%�V ��"�jD6�%���?� 7 ST ��"�F�] ��"�j�����Cm 0 �l?%?6�?�"-I(b&%�)* �3Q g#�?�-/�,L%�F�`D ! �G?���&'!� ��K V&%(t ��"� 0 �O ���� =]�>='?�&/���F�7 ����%$?�V�'�, ��]���F�C?E�F�K > �& 7 ;*<'������!"������L¡�O ��,L%��&%(������Cm`����S>> Q �����Cm

�UH 7 ® 8+*�H�� Q g H : H � ���� ! 7 �

¾ >> Q 8��>='?+8�8+* ® � Q g ® : ® : [ [ [ �>=\? 8�8+* � � Q g � : � :�: ���� ! 7 �¾ g ® ® �>=\? 8+* ® ® : [ [ [ �>=\?+8+* �� �� : � �>='?+8+* ® ® : g 5 5 �>='?+8+* 5 5 : [ [ [ �>=\? 8+* �� �� :

� [ [ [ � �>='?+8+* ® ® : [ [ [ �>='?+8+* � H ® � H ® : g � � �>=\? 8+* � � :¾ � g ® ® � �

5H 7 ® glH �! RGSZT�� , 1�1 � [ [ [ �! RGSZT�� ,�� 021 � � 0 1 � 8 H :�b[ �>='? � �

5H 7 ® * H

H�� �������- �!���� �W��^6�6�, ��,&/� h ; h �N;

Page 78: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �(� �� �������� � � ��� � �2T&"S� ��"�(!��"O������F�B ����%$�&%(t ��"�.�����Cm 0 �l?%?Y���"-C���R-/�,L%�F��D ! S

!6�����Cm ����� 1 ,�� � � ��5H 7 ® g H

H�� ¾ g ® ® � �5H 7 ® g H #! R`SUT�� , 1 � 1 � [ [ [ #! RGSZT�� ,�� 021 � � 0 1 � 8 H :U\

�'&2�d��L%���qST��&/$,LN�?�"-j(_&%�d ��"���?�7L%������� 0 �l?%?6�?�"-b!������Cm H® ���*�I�C?E�F�����%$����� ��� �D ���F�K ����@�, ��*&q�'�a���,-/�B �SB�%�%!����$�$E�"&% >DE�.�K&/�����n!"�����"!`���] ����?�V ��"�F������; ��&%�'(� "�� ��"���Y!"�� ��%�?$���S2?6$,�F�%���j����(_���' �& � � h�� �%�%! � h f � ;

�.w�� ����� � �´|��Cz*| ��W���@} E} ���s�<'�"�T!"������L¡�O ��,&/�@&%([&%�&!"���d�K&/��!��, ��,&/���t(b&%�k �������$��%���������%$ C' 6�"-%�kL . " � �� 0 �� ��"&'!��k���*D6�%���"!@&/�# ��"��< � ! $,&%��������,�F���>='?6�%�����,&/�Z;\<>���������A!"&/����D ! 0 �O ���������-U ����@�K&B�8P#�����F�7 ��.�?�3 ����s< � ! $,&%�.�>='?6�%�����,&/�1&%(k ��"�@�l? L?6��&"="� 0 �O �����&/$� " ���&/�@(b��& 0 ��"�6C' 6�"-%�kL . " � �� 0 �� ��"&'![SB���, ��@ ��"�W�K&B�8Pa���,�F�7 ��V���# ��"��<+� ! $,&%���>='?6�%�����,&/�&%(t ��"�\�>=T�%�K '��&/$� " ��,&/� � � � ;

��� 0 �%���,(b&/$o!��W�"&q����L%���FS[���C�"���"!v �&` ����� ��"�C)n�,�s�������,�F�����B ���&'!� ��K�"!1��� 2N�F�K ��,&/� h ; l ;qp] �&]���8?6$��%�K� ����' ����<!��� ��,&/���%$"< � ! $,&%�d�����X�,�F��;�<>������$��F�<!��� �&\ ����T!"��^6���� ��,&/��&%(Z�.�C?E�F�����%$T(b&%� 0 &%(E ��"�')+�,�>���������F�k���%$�$,�"! ����@)n�,�kL5oV " ��X�"���I�����X�,�F��S[�'���?���v�V�%�.���B ���&\!6 ��K�"!1D ! p9 6�7 ��"�kL . �%�%�.��� � l p � ;C<>�"�C)+�,�kL5oV " ����"�����������,�F��%$?$,&q�'�j 6�� �&`^6�%!1 ��"�C&%�&!"���.�K&/��!��, ��,&/���W(b&%�j ��"� C . p . 0 �� ���&\! ���v�`��� 0 ��$��O����� ! �&` ����@��$��%���������%$&%�R!"���'�K&/�%!��� ��,&/����;�� � l p � STp3 ��B ��"�kL . �%�%�����"&2�d�"!a ����O d�� k����?E&/�����,D6$,�V �& !������,L%�> ��"�W��$��%�����?���%$"&%�&!"�����K&/�%!��, ��,&/�6��D6�%���"!&/� ��"�@�K&N&%�&!������O ��kL»(b�����#���� � ����"-"Sn���, ��v���F�C?E�F�K j �&� ��"� 0 �%���,(b&/$o! ª �%�%! (b&%�\�ODE�F$����%� )n���@�%$,-%��D�����16;��G ����a���F�K&/�%! ?6�l?E��� � l � � St ��"�a)n�,�kL5oV " ��X�"���I&%�R!"���\ ��"��&%� ! ���(!"��L%�F$�&<?��"! (b ��� ��"���\��&3 ����O \ ����@&%�&!"����K&/��!��, ��,&/���t���%��DE�^!������,L%�"!� �&j�%�C�O��D6�, ����O� ! &%�&!"���t(_&%��-%�F�������%$T)n�,��-%��&/ 2?6�F;+��� ��"�V���F�� t&%(� ������t�X���l?� ����FS���.(b&/$�$,&2� ������>�l?�?���&/�%���9 �& !"������L%�j ��"�.&%�&!"�����K&/�%!��, ��,&/�6��STD6�%���"!`&/�9 ��"�BC . p . W$,-%&%���� �� 0 !"��^6�"�"!�?��2N�F�K ��,&/� �N;4�N;�����K�� ��"�s&%�&!"���j�K&/�%!��� ��,&/����&/�3 ���� 0 �%���,(b&/$o!��'�O����(b&/ ��%!ZSE�� � � "�X���'&/ � W ��6�O W ���� ! �O���s ��"�s��� 0 ��%�\ ��"�@��$��%���������%$t&%�&!"���\�K&/��!��, ��,&/���W(b��& 0 ��"� C . 0 �� ��"&'![S !��F���K���,DE�"!v��� � p � ;���F���K�@ ����?�j���j�%�"&% ��"����V� ! �& ?���&qL%�\ ����O '<>�"��&%��� 0 �N; h F ��� 2T�F�K ��,&/� �N;4�@�?�R�K&%�����F�K �;�'&2�d��L%���qSNDE��(b&%���>�������%�!������� 6���t ��"�#!��� ��%��$��k�?�C ��"�'�K&/���� ��� ��K ��,&/�#&%([ ��"�'&%�&!����d�K&/�%!��� ��,&/���t(b&%�d ��"�

C . p . 0 �� ���&\![SN���W�"���"!a �&�^����� 0 �F�7 ���&/�# ��"�����6�,L%�������%$Y�F�7L%�F$�&<?6���"-��%$,-%��D����\&%( 16SN�'�����X� !"�F���K�X�,DE�F� ����U����-/�"���I&%�R!"����!������,LO�O ��,&/� &<?E�����O �&%�X��S*�%�%!© ��"� Q+L»(b&/$o! � �O�� ��F�����%�]?���&'!� ��K \��&% ��O ��,&/����(_&%�s ��"�U)n�,�-%��&/ 2?9�%�%!�)+�,�.�%$,-%��D��X�T;������� � � � � ���� �����e��� ���� � ������� ��� ����,��� ���(���T��]����� �����"!<'�"�d�F�BL%�F$,&<?6�?�"-W�%$�-%��D����$#=�%$?$,&q�'� (b&%�t ��"���?�7 ���&'!� ��K ���&/�.&%(6����-/�"���+&%�R!"����!��NOE�����F�7 ��?�%$/&<?E�����O �&%����S%����������O���\�"���"!"�"!��?�] ��"�(!"������L¡�O ��,&/�6�V&%(+ ��"�\&%�&!"���'�K&/�%!6�, ��,&/���V(b&%�> ��"�AC . p . 0 �� ��"&'! � l � � ;

�������"-# ���� �g����-/�7 �f��K&/�7L%�F�B ��,&/�[S[���F���%$?$n ����O j�%�1�F$,� 0 �F�B :g - 1 !"��^6�"�F�� ��"�����,-/�B ����BL¡�O�X���%�7 �L%�F�K �&%�^6�F$o!`�O #F -3£ �%�#!"�F�"&% ��"!9�?� 2N�F�K ��,&/� h ;4�N; l SY ��"�F�[S� # 8 F :*¾ - :% 8�g :U\

�� 0 &/�� ����%���F��SE�������%�3 ��lm%� - :% 8�g :V¾ g [ FYS��%�%!3 ��"��@�&q�´ �&a ��6���'�X�,-/�7 W���BL¡�O���?�%�7 >L%�F�K �&%�j^6�F$o!9���-/��L%�F��D ! ��"� � $,��(_ �f 0 �$, ��o?6$������O ��,&/�]��� 0 ��$��O�� �&@ ��"�.-%�F�������%$Z��&/$� � ��,&/�`��� 2N�F�K ��,&/� h ;4�N;qpNS=�&(' J ! 8 F :*¾*) R`SUT�� !$# � 8 F :*¾ �>='?+8�Q g :*[ F \

Page 79: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � ����� � � �*� � � �;� � � �i� �8��� � �

)Z�� . 6�W�K&/�6���o!"��� ¸ �%�j�`� 0 &N&% ��v���F�%$NL»LO�%$� "�"!1(� ����K ��,&/�1&/� ��"�C)+�,�s-%��&/ 2? £ (b&%�.�"&q�.;s<>�"�F�ZSE�%��F$,� 0 �F�B lg - 1@���%�]�%�K R�%�R� !"���X�,L¡�O ���&/�#&%( ¸ (_��& 0 ���������-/�7 �S"�%�� ��"��)n�,�A!"�����,LO�O ��,L%�W&%( ¸ ���, ��#���F�C?E�F�K �&@ ��"�j����-/�7 >���BLO�O�����%�B RL%�F�K �&%��^��F$n! � # � l � � S8 � ¸ � g : 8 F :d¾ �

� Q ¸ 8b�>='?n8�Q g : [ F : ���� ! 7 � \ 8G�N; h F7:H �>���%�C ��"�F�C�?�7 ���&'!� ��K�V���,-/����� &%�R!"���t���,-/�B t�?�7LO�O�����%�B �!��NOE�����F�7 ��?�%$7&<?E�����O �&%���*D ! �, ������O ����"-W ��"�R^��X�� &%�&!"���d&<?����X�O �&%�V�?�#ckM�8G�N; h F7: ;�<>���O �����S7�������%�U�?�7 ���&'!� ��K�' ��"�����F�K&/��!a&%�R!"���k����-/�7 ����7LO�O�����%�B k&<?E�����O �&%��%��S

8 � ¸ � 8+* [ g :�: 8 F :�¾ 8 � � ¸ � * � g : 8 F :�¾ � 5� Q � Q ¸ 8b�>='?n8 Q * :*[ �>='?+8�Q g :*[ F : ���� ! 7 � \ 8G�N; h%hq:

K�&% ��` ����O s ��"�]�>=\?����F�����,&/� * [ g ���© ��"�`���F�K&/�%! &%�&!"���s���,-/�B C���BL¡�O���?�%�7 I&<?����X�O �&%�@���"&/ �$o! �"&% sDE��K&/�"(� ����"!]�'�, ��`� 0 �O ���� = ?���&'!� ��K �; W$���&"S� ��"�.�� 0 &%( 5��& !��NOE�����F�B ����%$E&<?E�����O �&%���>�?�Y!"��^6�"�"!`�%�FS� ¸ � 8+* �?g :k¾ � ¸ � *�� � ¸ � g ½

�%�%!] ��"� � ����&% ���&%�&!"�����o!"�F�B ��, ! &<?E�����O �&%���'���T!"��^6�"�"!`�� 6���` ����O �S� ¸ � � ¾ ¸ \

�$?$E&%(+ ��"�I�OD�&2L%�\$,�F�<!��> �&@ ��"�.(b&/$�$,&2�'���"-e!"��^6�6�, ��,&/�]��� � l � � ;� �7� � � �i� �8� !$# � � # B ­"��� ���bº ��¥  �� �Y� ��º �K�,�X§ �b� ¤ � �m¤B� � ¥ � # � �'� � � � � �m¤B� � ¥ � 1 ¨ � �" X�_  �   � �'� �_� �b��ºO� ¥ � �O� ��O� �K¥�� � � � � �+� §"�K¥ � �»�O¥   ¤N� � ��¥ � �5� �9��¬ef � ½ 1 k ¦ �Y� �K¥I�b­T�s�X§"��¥ � � � � �"  [ �%�Y� � � � F � � �`�7� � º � µ������ ��� �O� �� �� ���l � ������ ������ ��\� � ���$�#���� ���� �� �)Z�� £ W !"�F�"&% ��\ ��"�(Q L»(b&/$o! � �O�� ��F�����%� ?���&\!� 6�K �&%(t�@)+�,��-%��&/ 2?ZS��� 6���` ����O £ W ¾ £�° [ [ [ °3£ ;d)Z�� <1 WDE���, ��V)n�����%$,-%��D��X� 1 W ¾ 1 ° [ [ [ ° 1YSN�%�%!]$,�� # W DE�W ��"���F�BL%�F$,&<?6�?�"-��%$�-%��D����TS # W ¾ # ° [ [ [ ° #\;k<'�"��F$,� 0 �F�B ��V&%( £ W S 1 W S��%�%! # W �O���(Q+L» � 2?6$��F�k&%( £ S 16S"�%�%! # ���F�C?E�F�K ��,L%�F$ ! S"�%�%!]�%$�$� ��"��D6�%���?�'&<?E�����O ��,&/�6��O��� !"��^Y�"�"! �K& 0 ?E&/�"�F�B L»�'�����@&/�G ��"�@ � 2?6$��F��; �"&%���>=T� 0 ?6$,�%S+��( g ¾ 8�g ® ½ g 5 ½ \ \ \ ½ g W : - 1 W S+�%��! �F�%���g H - 1a(_&%�YX ¾¶h ½ \ \ \ ½ Q7S��%�%!�$?� m%���'������(b&%� * - 1 W S" ��"�F�9�d�.�6�FL%� � l � � S�>=\?+8�g : ¾ 8b�>='?+8�g ® : ½ \ \ \ ½ �>='?+8�g W :�: ½

*�� g ¾ 8+* ® � g ® ½ \ \ \ ½ * W � g W :U\ �$?��&"S" ��"�. ��F����&%�Y?���&'!� ��K VD6�%���?�V(_&%�/1 W ���>�?�7 ���&'!� ��K�"!`�%� � l � � S

1 W ¾ / W�� 1 ½�� ��X�` ����O <1 W ���V ��"�\$?���"�F�O�R�C?6�%�`&%( L%�F�K �&%����&%(t ��"�j(_&%� 0 S

� � g ¾ 8 � ® g ½ � 5 g ½ \ \ \ ½ � W g : ½ . � - / W ½[½ g - 1 \2T� 0 ��$��O��$ ! SR(b��& 0 2N�F�K ���&/�C�N;qrN; h Sj ��"�G�o!"�F�B ��, ! &<?E�����O �&%�9��� # �?� !"�F�"&% ��"!��7;«�(I�d�G�6�FL%� � ¾8 h ½ h ½ \ \ \ ½ hq: � S� ��"�F�` ��"�.�n!"�F�7 ��� ! ���] ��"� Q+L»(_&/$n! # W �?�V-/�,L%�F�`D ! S

� W ¾ � � � ¾ 8�� ½ � ½ \ \ \ ½ � :U\�� "�� ������ 0 &%���%S" ��"�(?���&'!� ��K R��� # W ���%�> ��"�.��&% ��O ��,&/�[S8 � � g :*[ 8�" ��� :*¾ 8 � [ " : � 8�g [ � : ½ . � ½ " -�/ W ½Z½ g ½ � - # \ 8G�N; hFl/:

K�&% ��9 ����O v8�g [ � : ���@��&% # ��"� 0 �O ���� = ?���&'!� ��K �S�D6 " C ��"�1�"&% ��O ��,&/�Q(_&%�a ��"�3����-/�"���@&%�&!"���a���,-/�B ���BL¡�O���?�%�7 T!6�NO������F�7 ����%$n&<?E�����O �&%�F; W$���&"S�-/�,L%�F�3 ����O � ½ " - / W SY ����F��� [ " ¾ " [ �NSYDY " > ��"� !��NOE�����F�B ����%$&<?E�����O �&%���<g]�%�%! � �O���.-%�F�"�����%$?$ ! ��&/�$L5�K& 0@0 " ��O ����"-"S� ��6�O '��� g [ ���¾ � [ g6;

Page 80: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �(� �� �������� � � ��� � �������� �T�� � � �� �,�� ������,�� � �O��� ���j � �j� � ���<���� ��� ������ �<'�"��)+�,�I�������,�F��SE���B ���&\!6 ��K�"!9�O W ��"���F�%!9&%( 2N�F�K ��,&/� h ; l ;qpNSZ���W ����"!3 �& ?���&qLT�o!"�I�U���������F�'�>='?6�%������&/�9&/�0 �%���,(b&/$o!���; H �I�'��$�$E�"&2�«$,&N&<mU�O � ��"�.�C?E�F�����%$[(b&%� 0 &%(t ��"�I)n�,�.�����X�,�F��S����%$�$,�"!� ��"�\)n���kL5o� � ����"���W�������,�F��;<'�����*����$�$TDE�' ����"!# �&�!������,L%�> ��"�W�������,�F�d�>='?6�%�����,&/�@&%([ ��"�W�%�6�%$ ! ��?�>��&/$� " ���&/�;g�8�Q : - 1s(_&%�6Q - / S�����������X���O���%�K ������?���F�' ����j-%�F�"�����%$n�?���, ����%$YL¡�%$? "�b?���&%D6$�� 0 �'�, ��]���F�C?E�F�K R �&a ��"�j���,-/�B >���BL¡�O���?�%�7 RL%�F�K �&%�W^��F$o![S

³ : ¾.- :� � ! � 8 ¸ 8 ³ :�: ½ ³ 8 F7:*¾ ,�- ª ½ Q - /V½ 8G�N; h � :���"����� ¸ ¯ ª ¾ £ ² 16SO��� 0 �?$��O�[ �&' ��"�d(b 6���K ��,&/�.���. ��"�k-%�F�"���X����?����F���F�7 ��O ��,&/�I&%(2!��NOE�����F�B ����%$%�FMN ��O ��,&/����?��ckMv8 h ;4� f : ;

K'&% ��9 ����O #(b&%�@ ������s ! ?E��&%(�(� ����K ��,&/� ¸ S� ��"� !���^6���, ��,&/�6�I&%(�?6 �$?$NL»D6�%� mJ�%�%!N!������,LO�O ��,&/�=�O���� ��"���� 0 �`�%�I ����!"��^Y���, ��,&/���.(_&%�s ��"�U���F�%$NL»LO�%$� "�"!©(b 6���K ��,&/� ¸ ¯ ª ² / ��� 2N�F�K ��,&/� h ; l ;qpv�%�%! 2N�F�K ��,&/��N;qrN; h ;s<>���?�����WDE�F���% ����s���C���%� �K&/�����o!"���� ��"�s(� ����K ��,&/�1���1 ��"� !"�����,LO�O ��,&/�v�%�%! ?6 �$?$NL»D6�%� m !���^6���, ��,&/�6�D ! �K& 0 ?E&/�"�F�B ���ST�'�, ��#���F�C?E�F�K � �&s��& 0 ��DY�%���������@ ��"�W���F�%$�L%�F�K �&%�>�C?6�%�K�016; ���F���K�%ST�d�j���%�]�l?%?6$ ! �� ����!���^6���, ��,&/�6�^!6������ ������"!`��� 2N�F�K ��,&/� h ; l ;qp#�%�%!�2N�F�K ���&/� �N;qrN; h �&@ ����\)n�,�.�������,�F�V(b&%� ¸ ¯ ª ² 16;

��© ��"�](b&/$�$,&q�����"-9���F�K ���&/����S*���a����$�$k 6���a ����U�"&% ��O ���&/��� g � H ���%��! 8 � ¸ � g : � H ��S��'�����X�©�O���]�>='?6$��%�����"!DE�F$,&2�.; W� Q - / LO�O���,�F�FS g�8�Q : - 1# ����%�K�F�'&/ " '�@�� ���L%�.����16;*� ���X» ��c!"�����,LO�O ��,L%�%S��O Q ¾GF S6�?�V-/�,L%�F��D ! S

g � H � ¾ � H� Q H gE8�Q : ���� ! 7 � \

2"� 0 ��$��O�X$ ! ST(_&%�W ��"�I)+�,�(!"���X�,L¡�O ���L%�.&%( ¸ 8 ¸ ¯ ª ² / &%� ¸ ¯ ª ² 1 : ���, ������F� ?��F�K ' �&ag - 16S6 ����(X» ��!������,LO�O ��,L%�j&%(�ckMv8G�N; h F7: S���� # W ���R-/��L%�F�`D ! S

8 � ¸ � g : � H � ¾ �� Q 8 � ¸ � g :U\

)Z�� c DE�>�jL%�F�K �&%�d^6�F$o![S =�� J ! D��R ���� @�&q�P&%( c SB�%�%! ¸ D��>�\� 0 &N&% ��@(� ����K ��,&/�[S%�F�� ��"��� ¸ ¯ ª ² /&%� ¸ ¯ ª ² 16;6= �� J !�¸ !"�F��&% ��F�> ��"�b?6 6$�$NL»D6�%�&m#&%( ��"�.&%D ���F�K ¸ �%$,&/�"-C ��"�E@6&q� &%( c ; H ���K&/�7 ����N "�j �& 6���C ��"� �g���,-/�B �fZ�K&/�BL%�F�7 ��,&/�©(b��& 0 )n�,�C ! ?E�C�FMN ��O ��,&/���j�?�D2N�F�K ��,&/� h ;4�N;qpNSt�� ��X� ����O j(b&%�\�%�G�O��D6�� ����O� !�� ���L%� ³ 8�Q : - ª ¾ £ �%� Q - / LO�O���,�F�FS c 8 ³ 8�Q :�:�¾ � # � ! � 8 ³ 8�Q :�:W¾ - :� � ! � 8�gE8�Q :�: �?�� ������X�,-/�7 j���BLO�O�����%�B L%�F�K �&%�W^��F$o!]���, ��]���F�C?E�F�K > �&@ ����. �� 0 � !"�8?E�F�%!��F�7 R�� "��L%� g�8�Q : - 1#(b&%� Q - / ;<n&U^6�%!9 ��"�s�>=\?6���F�����,&/�9(_&%�� ��"�s���,-/������&%�&!����A!������,LO�O ��,&/��&%( ¸ ���9 ��"�s�F�7L%�F$,&<?Y���"-a�%$�-%��D���� #\SE�d� 6���IcdMv8 h ; h%hq: �%�%!9ckMG8 h ; h � : ����2N�F�K ��,&/� h ; l ;qpNS�D6 " >�'�� ��Ag�8�Q : - 1a(b&%�/Q - / �%�K ��?�"-a�%��� !"������L¡�O ��,&/�&<?E�����O �&%�W(b��& 0 ��"�.�X�,-/�7 ��%�'����2T�F�K ��,&/� �N;qrN; h ;R�( ¸ ���'���%!"�8?E�F�%!"�F�B V&%(t �� 0 �,Q S� ��"�F�9D ! ckM 8 h ; h%hq: �d��6�FL%�s ��"�\^6���� >&%�&!���������-/�7 '�?�7LO�O�����%�B #!��"O������F�B ����%$[&<?E�����O �&%�qSY(b&%�0Q - / �%�%! � # � ! � ��"�I���,-/�B ����BLO�O�����%�B L%�F�K �&%�W^��F$o! !���^6�"�"!��O > ����jD���-/�?�������"-�&%(Y2N�F�K ��,&/���N;qrN; h S

�� Q = �& '���� J ! ¸ � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � � # � ! � � ¾ = �& ' ��� J ! � ¸ � gE8�Q : � � � � ½ 8G�N; h ] :

�������K�j(b&%�'�%� ! ³b- ª S" ��"�.����-/�7 >���BLO�O�����%�B �L%�F�K �&%�W^��F$o!`�?��!"��^6�"�"!��%� � # � ! � 8 ³ :�¾.- :� 8�g�8�Q :�:k¾ g�8�Q :*[ ³ S ����F� ���a���%� �� "D6�� ��, � " �� � # � ! � �'�, ��3gE8�Q : ��� cdM=8G�N; h ] : ;3<+&9^6�%!G ��"�a���F�K&/��!G&%�&!"���I���,-/�B I���BLO�O�����%�B !6�NO������F�7 ����%$E&<?E�����O �&%�qS��d� !��NOE�����F�7 ��?�O ��.ckMv8G�N; h ] : �%���K&%�&!6���"-C �&acdM18 h ; h � : S

Page 81: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � ����� � � �*� � � �;� � � �i� �8��� � !

� 5� Q 5

= �& '���� J ! ¸ � ¾ �� Q = �& ' ��� J ! � ¸ � g�8�Q : � � � � �� "D6�� ��, � � ���cdM18G�N; h ] :

¾ = �& '���� J ! � ¸ � g�8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � � �� Q � ¸ � gE8�Q : � � � �

¾ = �& '���� J ! � ¸ � g�8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � � � ¸ � g�8�Q : � ® � � \ 8G�N; h r :2T� 0 ��$��O��$ ! S6 ��"�s ����,�&!3&%�&!"���j����-/�7 ����BL¡�O���?�%�7 A!��NOE�����F�B ����%$n&<?E�����O �&%�.���%�vDE��(_&/ 6�%!1D ! �� "D6�� ��, � � ����"-ckMv8G�N; h r : �%�%!9 ������"-CcdM18 h ; h � : S

� �� Q � = �& ' � �� J ! ¸ � ¾ �

� Q = �& '���� J ! � ¸ � gE8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � � � ¸ � g�8�Q : � ® � � �

¾ = �& ' � �� J ! � ¸ � g�8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � [ gE8�Q : � � � � � ¸ � gE8�Q : � ® � [ g�8�Q : � � �� �� Q � ¸ � g�8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � � � ¸ � gE8�Q : � ® � � �

¾ = �& ' � �� J ! � ¸ � g�8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � [ gE8�Q : � � � � � ¸ �_l gE8�Q : � ® � [ g�8�Q : � � �� � ¸ � gE8�Q : � � � [ gE8�Q : � ® � � � ¸ � g�8�Q : �W5 � � ½ 8G�N; h p :

�%�%!`��&@&/��(_&%�>&% ����������,-/�����R&%�&!"���T!��"O������F�B ����%$E&<?E�����O �&%���F;K�&q�.S6��(n���\���B ���&\!6 ��K�j ��"�.�"&% ��O ��,&/� 7 � S����\���FL%�\ ��"�.(b&/$�$,&q�����"-e!"��^6���� ��,&/�U-/�,L%�F�`DE�F$,&q�\;

� �7� � � �i� �8� !$# � � # � �%¥��b­T� � �b­�¥ � ¤O­B� �b��º¡� ¥ � �O� � �O� �K¥�� � � ��� ���X§"��¥ � �»�O¥@� � ¸A�t­ ��¨ ­ �?  � � �#� 0 �_��� ��§"� � 0� � � � ¢� �� Q � = �& ' ��� J ! ¸ � ¾ = �& ' ��� J ! � ¸ � 7 � 8�gE8�Q :�: � ½ 8G�N; h � :

7 � 8�g�8�Q :�: - # �_ \� � F � � � ¥�� ¨ ¦T¥  X�bº ��� ¬]�¡ �¢7 � 8 : ¾ �

7 ® 8�g�8�Q : � � � : ¾ g�8�Q : � � �7 � 8�gE8�Q :�: ¾ 7 � H ® 8�gE8�Q :�:�[ g�8�Q : � � � � �

� Q 7 � H ® 8�g�8�Q :�: � \ 8G�N; h �/:

<>����� 0 �F�%�6�> ����O R(b&%� � ¾GF ½ \ \ \ ½ �NS6���\���FL%�\ ��"�.(b&/$�$,&q�����"-s�>=\?6���F�����,&/�6�V(_&%� 7 � S7 � 8 : ¾ � 8G�N; h f :

7 ® 8�g�8�Q : � � � : ¾ gE8�Q : � � � 8G�N; l F7:7 5 8�g�8�Q : � � � ½ g�8�Q : � ® � : ¾ gE8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � � g�8�Q : � ® � 8G�N; lThq:

7 � 8�g�8�Q : � � � ½ g�8�Q : � ® � ½ g�8�Q : �W5 � : ¾ gE8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � [ g�8�Q : � � � � l g�8�Q : � ® � [ gE8�Q : � � �� g�8�Q : � � � [ g�8�Q : � ® � � g�8�Q : �W5 � 8G�N; l%l/:

<>�"�F�[S7 ��"���ODE&qL%�����,-/�B k���BL¡�O�X���%�7 !��NOE�����F�7 ��?�%$T&<?����X�O �&%���d�?�@ckM`8G�N; h ] : �&IcdM]8G�N; h p : S����%�#DE�>�����>���� � ��F�

Page 82: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �(� �� �������� � � ��� � ��%�FS

= �& ' ��� J ! ¸ ¾ = �& '���� J ! � ¸ � ��� Q = �& ' � �� J ! ¸ � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � 7 ® 8�gE8�Q : � � � : �

� 5� Q 5

= �& ' � �� J ! ¸ � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � 7 5 8�gE8�Q : � � � ½ gE8�Q : � ® � : �� �� Q � = �& ' � �� J ! ¸ � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � 7 � 8�gE8�Q : � � � ½ gE8�Q : � ® � ½ g�8�Q : �W5 � : � \

H �I����$�$Z�"&2�´ 6���I)n� 0@0 � h ;qr#��� 2N�F�K ��,&/� h ;4�N;qpa(_&%��)n�,�I ! ?E�I�FMN ��O ��,&/���FSY�%�%!3 ��"� �[ �� !"������L¡�O ��,L%�7 � 8�g�8�Q :�: �"&% ��O ��,&/�` �& 0 &\!6�,( ! ��"�j)n�,�.�����X�,�F�R�O R ��"�j�F�%!]&%(Y2N�F�K ��,&/� h ; l ;qpN;V<>�������'�?$�$Y$��F�<!] �&@�@�������,�F��>='?6�%�����,&/�J&%(� ������%���%$ ! ������%$R��&/$� " ���&/�?gE8�Q : - 1G(b&%�;Q - / SW���������J�X���O���%�K ����������F�@ ��"�`������ ����%$kLO�%$� "�?6��&%D6$,� 0 -/�,L%�F�3���`ckMv8G�N; h � : ;

�"��& 0 )n� 0@0 � h ;qr]�'�� ��3���F�C?E�F�K W �&9 ��"�C)n�,�s ! ?E�@ckMN ��O ��,&/� ���vcdM©8 h ;(] F7: S �d�@�� �D6�� ��, � " ��C���1 ��"�-%�F�������%$[(b&%� 0 &%(n ��"�.�?���, ����%$6L¡�%$� ���?6��&%D6$,� 0 -/�,L%�F�]D ! cdM18G�N; h � : S��%�%!U^6�%!U ����O <g�8�Q : - 1#�?�V-/�,L%�F�]D ! Sg�8�Q : ¾ - :� � ! � 0 1 8 ³ : 8�Q :�:¾ - :� � ! � 0 1 8 - :� � ! � 8 ¸ 8 ³ 8�Q :�:�:�:d¾ ¸ 8 ³ 8�Q :�: �� "D6�� ��, � � ���cdM 8G�N; h � :

¾ ¸ 8 QN8�Q :J[ , : �� "D6�� ��� � " ��� ��"�.(� ��%!�� 0 �F�B ��%$[��&/$� � ��,&/�¾ ¸ 8 ) W � ! � 8 , :�:*¾ ¸ 8`= & ' ��� J ! 8 , :�: D ! ckMv8 h ;(] l/:¾ = �& ' ��� J ! ¸ � 8 , :U\ 8G�N; l � :

����& 0 cdM18G�N; h � : �%�%!�cdM18G�N; l � : S��d�I���FL%�. ����.(_&/$?$,&q�'�?�"-e!"�����,LO�O ��,L%�F�R(b&%� g�8�Q : - 1U�O Q ¾ F Sg�8 F7: � � � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � 7 � 8 : � �� ! 7 � 8 , :*¾ � ¸ � 7 � 8 : 8 , :g�8 F7: � ® � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � 7 ® 8�g�8�Q : � � � : � �� ! 7 � 8 , :*¾ � ¸ � 7 ® 8�g�8 F7: � � � : 8 , :g�8 F7: �N5 � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � 7 5 8�g�8�Q : � � � ½ gE8�Q : � ® � : � �� ! 7 � 8 , :�¾ � ¸ � 7 5 8�g�8 F7: � � � ½ gE8 F7: � ® � : 8 , :

;;;gE8 F7: � � � ¾ = �& '���� J ! � ¸ � 7 � 8�g�8�Q : � � � ½ \ \ \ ½ g�8�Q : � � H ® � : � �� ! 7 � 8 , :¾ � ¸ � 7 � 8�g�8 F7: � � � ½ \ \ \ ½ g�8 F7: � � H ® � : 8 , : ½

���"�����j ��"�A@6&q��=¶�O /Q ¾GF ���R ��"�.�o!��F�7 ��, ! 0 �l?Z;o ! ��"�G!"��^Y���, ��,&/�3&%(d ����@)n�,�C���������F�j���vckM©8 h ; h p : S��%�%!v ����s�ODE&2L%�%Sn���@���FL%�#�`�������,�F���>='?6�%�����,&/�(b&%�/gE8�Q : �O Q ¾ F ���] ���� 0 �>&%( ����.���,-/�"���R&%�&!����>���,-/�B >���BL¡�O���?�%�7 Y!��"O������F�B ����%$�&<?E�����O �&%���'-/�,L%�F���ODE&qL%�%S= �& ' ��� J ! ¸ 8 , : ¾ = �& ' ��� J ! ¸ ���� ! 7 � 8 , : � Q �� Q = �& '���� J ! ¸ ���� ! 7 � 8 , : �

Q 5l : �5� Q 5 = �& ' � �� J ! ¸ ���� ! 7 � 8 , : � [ [ [

? g�8�Q : ¾ gE8 F7: � � � � Q g�8 F7: � ® � � Q 5l : g�8 F7: �N5 � � [ [ [<'�����R��� ?����F���F�7 ��"! 0 &%���j(b&%� 0 �%$�$ ! ���] ��"�\ ��"��&%��� 0 DE�F$,&2�r(_��& 0 � l � � ;

Page 83: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � ����� � � �*� � � �;� � � �i� �8��� ���

��� � � � � � ! # ��� # �n���*³ 8�Q :C� �@�b­T�   �O� ¦"� � � � �»�`�b­T� �_��� � � � � ºO� � ¦��W§Y¥�� � ���K� �b� � ¹ 1��7µ���� 7 ¢��O�Y� g�8�Q :@� ��b­T� ¨ �%¥X¥��   §T� �Y�O�b� ¤ ¨ ¦T¥ º �W� � 1 � � F � � ���b� �+�K�s� ���/µ��/µ B ­T� �"¢ �b­T�R� � � 0� ¦"� ¨ ­T��¥   �K¥ � �  �¨ ­ � ¥ �7¨ �5�K¥ �_ X�b� ¤�b­ �_  �� = �_  ¤ �_º � �G�K¬¡¢g�8�Q :*¾ �5

687 �Q 69;: gE8 F7: � 6 � ½

�t­T�K¥�� g�8 F7: � 6 � ¾ � ¸ � 7 � 6 ��8�g�8 F7: � � � ½ gE8 F7: � ® � ½ \ \ \ ½ gE8 F7: � 6 H ® � : 8 , :�¢��O�Y� 7 6 8 :j�_  ¤ �bº � � ��¬ � ¹ 1��Bµ ��� 7 µ<����������o!���� ����� �"!#��$%$ �&!#������$(')�*��+,�*�&$-���%�"./���kL5o10 ��!2� �*34���*35���&�76�$%!(��� �"!*��6����5��!*6��%896&������3:�>='?�6�$%������$<;p=0�$>��� �kL . 6�6��-��$?��3��'!%0%!#�"!@��� � �A'B6C3&DE�<?)�*356C����3-����3(��� �=����F�� �*3���3&! �*3 !%�NO)�*3��&$>���G6��1�<?H�*326C����35�-��$@���%�

./���kL�I10 ��!2� �*3"���*32���&�*J7.K�*�"��� � �A'�6C3&D �<?)�*356C����3�! �&$ ������;gHL F>Md¾ � ¸ � gHL F>M � � � L , M ½

��0%!2�@���%6C����� �N'�6C3(�%�o!%�&�O���%�N$%����6C������$%� � ¸ � 6�$%!PL , M +"�����%��$Q�����e! �*R�$%��������$<J3KS�����T���%6C�����%����U(6l?B���� � !��NOH�*35�&$>����6��K�<?H�*326C����3V��$ #W'�6�!&mX���;1BJY8Y�%6C�S�G�*;%��� �Z�%��F�� �*3Y��3R! �*3�!��NOH�*35�&$>����6��K�<?H�*326C����35�S!*6�$[')�3��*+Y35�������&$T��$N��� �����%��3����%6�$%!<; 6�!*!#��3&!���$ F����-\4]^LG�_J�`+f M ���-\:]aLG�_Jcb�b M 6�$%!X8Y� �*��35�&U �_J�`�`C;

gHL F>M � � � ¾ � ¸ � 7 � L M L , Mk¾ � ¸ � �?L , M[¾ � LG�_Jcbi] MgHL F>M � ® � ¾ � ¸ � 7 ® L�g)L F>M � � � M L , M*¾ � ¸ � g)L F>M � � � L , M*¾ � ¸ � �dL , M*¾ � LG�_Jcb<r MgHL F>M �W5 � ¾ � ¸ � 7 5 L�g)L F>M � � � ½ gHL F>M � ® � M L , M*¾ � ¸ � L�gHL F>M � � � [ gHL F>M � � � �?g)L F>M � ® � M L , M

¾ � ¸ � L � [ � � � M L , Mk¾ � [ � � � LG�_Jcb<p MgHL F>M � � � ¾ � ¸ � 7 � L�g)L F>M � � � ½ gHL F>M � ® � ½ g)L F>M �W5 � M L , M

¾ � ¸ � L�gHL F>M � � � [ g)L F>M � � � [ gHL F>M � � � �ebigHL F>M � ® � [ gHL F>M � � � � g)L F>M � � � [ gHL F>M � ® � � gHL F>M �N5 � M L , M¾ � ¸ � L � [ � [ � �@b � [ � � � [ � � � [ � � � M L , M¾ � [ � [ � �eb � [ � � � [ � � � [ � � � LG�_Jcb � M

�%0 35��� �*35U���3���;B���f+4���G$>g��*3��S��� �h'�6C3#?�6C�����*35$[02?����o!%� ! �d+"$K;%���%���i�����&�o!��1��� ��3��&�G6C������$%���%�o?j')�*�k+4�*�&$��� �&���l�<?)�*356C����35�m6�$%!^���%�Z�&���&U��&$>��6C35� !%�"OH�*3��&$?����6����V��$n��� �l��356<!%��������$%6��fI10 ��!5� �*3m���%�*��3���;K3��8?%35�&���&$>���"!'?�j3��_�����"!X��3��*�&� � b � � J62_��6C35����$ Fl+"�����T6G!��NOH�*35�&$>����6��)�&]_0%6C������$K;

³ :oL�Q M*¾ � L ³ L�Q M�M ½8Y� �Z�&���&U��&$?��6C3��c!��NOH�*35�&$>����6��G�S6C3��l��� ��!#��Ue?)������������$%�S���:��� �e! �*35��gp6C����g��&�V��� � ;<+"�%�G!5�n6C3���$ �*�"! �"!n� ��3��� �h896&������3S���*32���&�i�>='?�6�$%������$��1���9�����G0 ������$%�1+"�%�&$ ! �*35��g���$ Fl��� �h!*��6��5����!*6��<��3&!%�*3"!#��$%!%��������$%� � � � J

2_� ;�+"�����^��� �(35�?�����"!q��3��*�&�����=3��8?%3��&���&$?�h��� �r�%��F�� �*3m��3&!%�*3(!%�NO)�*3��&$?����6��f�<?)�*356C����35�*;f\:]@LG�_Jcbi] M ���\:]^LG�_Jcb<r M !*6�$='H�m35�*+Y35�������&$T6��*;

g)L F>M � � � ¾g)L F>M � ® � ¾g)L F>M �W5 � ¾ �

g)L F>M � � � ¾ �sb � � �

+"�%��!2�NF���g��&�i��� ��R%35����?�6C35�i������� ����3&! �*3"!#��$%!���������$%�1���f02?X���(��3R! �*3 ] ;%����3Y��� �AC .�t . U��*��� �'!<J

Page 84: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �(� �� �������� � � ��� � �8�6C'B��� �_J�`Y!%���C?B��6&���9��� �i��3��*�&�7����3E')��������� �i��356<!���������$%6�� C"0�$ F��kL . 0 ����6mU��*���%�\!(6�$�!l� ��37���%� C"0%$ F��kL

. 0 ����6iL t 0�$>��� �kL . 6�6��[U��*���%�\!P02?P���e��3R! �*38] J K"�����q���%6C�=��$ ��� � !*��6��5����!*6��mI10 ��!5�%�*3X��� �*��3���;m��� �U-6�$%�������o! ª 6�$%!j��� �m./���SF�3���0%? £ 6C35�A!%�*R�$ �"!j���l'H�V��� � 3��&6��Hg��&!#����3"�C?B6�!#� / � � b<p � ;%6�$%!j��� �VF�3���02??�3��\!�0%!#�i���1��� �h��0%U ���9g��&!#����35� � b f � J78Y� �h.����m6���F��*'%356 1-���i� ?�6�$%$ �"!j'_�r��� �h�G$ R�$%�����&�5��U(6��%F��&$%�*356C����35�g+ ¾ �� V � ;1���a���%6C� 1 ����6C')�&���G6�$<;�� �� V � ½ �� V���� ¾ F J � 0 �T��� ���%�G��!#��U(UO0%��6C����g_�����e��$?1�;,��3��*�&��+"�����?)�*35UZ0 ���"!n'%356�$�!5� �&�m6C3���!#��$%�5�o! �*3m�o! �&$?����!*6�� J �%��3h�>=�6�UG?�����;)� ��3m���%� CS0%$ F��kL . 0%����6TU��*��� �'![���4��3&! �*3] ;�+4� m�$ � + ���%6C�*;

� : : L � : � ½ � M�¾ � : : L � ½ � : � MU\�S�&$%!#��;B��� �m��+,�-3��_�����"!X��35�*�&�Y')�&���d+ 6C35��!#��$%���o!%�*3��"!T�o! �&$?����!*6�� J

¾ \�"� +4�*g��*3d;9+S� �&$a��� �(F�35��02?q0%$%!%�*3�!#��$%���o!%�*356C������$ ���m$%��$$L�!#��U(UZ0 ��6C����g���;E6�����$qU�������!*6����&�O+"� �&$

0�����$ F^��� ��C .�t . U��*��� �'!<;:��� �&$ ��� � ?)�*35UO0%��6C������$e���V��� �T'%356�$%!2� �&�(��$@���%�T��3��*�&�-6C3��X!#��$����o! �*3��"!���8?�6C356C���&����J�� $a����� �*3Z+4��3R!%�*;9+4�-!*6�$Q$ �=����$ F��*3���3��&6C�l6����E'�356�$%!5� ?)�*35UO0%��6C������$%�h6��O��� �-��6�U(�-��3��*��J V����� ;<���:+4�l'�6����"!n��� �l6C')�dg��(6�$%6����_���G�"��$n��� � �c���*���*D)�G$>gC6C35��6�$?�"g��&!#����3hR��&�o![6��m�G$=��� �Z��35��F��G$%6�� ?B6l?H�*3'_� t 0%$?��� �kL . 6�6�� � b � � ;K��� �&$q��$^����U��-!*6����&�&;/+,��+"�����9�%6&g�� !%�NO)�*3��&$>���G6��9!#�_�8P-!*���&$?���h����3�����U(�����4��� �?)�*35UZ0 ��6C������$q���i��� �('%326�$%!5� �&�O��$a��� �r3��_�����"!q��3��*�&�&J��%��3O�>= 6�Ue?�����;f0%���G$ FT��� �r���*� ���G$>gC6C35��6�$?�mg��&!#����3R��&�o!<; ��� �m���%��3&!N��3&! �*3T!��NOH�*35�&$>����6��H�<?)�*356C����30gHL�Q M 6C� Q ¾GF ���iF���g��&$X6��*;

gHL F>M � � � ¾ � [ � [ � � � [ � �eb � [ � � � [ � � �¾ � �sb � � \

����� �T�� � � �� �,�� ������,�� � �O��� ���j � � ����� ����� �;�l � ��� ������ �� $a��� �e?�3��*g_����0%�m���&!#������$<;�+4�-F�6&g��r6X'%35���*�^!%����!*0%�5������$[��$q� � + ���=!#��$%����320%!#�m��� �-.����kL�I10 ��!5� �*3Z���*35���&�!2�%6C356�!#���*35�G����$ Fm��� �Y�G$%������6��?gp6��G0 � ?%3���'����&U ��$�\4]rLG�_J�`+� M J:8"�%���9F���g��&�E��� �Y6�$�6����?���G!,������0 ������$ g)L�Q M - 1h� ��3Q - / ;H6�$%!����&6<!%�f���h���%�i3��&��6C������$%�5�%� ?Z'H�*�k+4�*�&$(��� �i'�6C3:�o!%�&$>�����k���<?)�*356C����35� � - # 6�$%!l��� �i�&���&U��&$>��6C35�!��NOH�*35�&$>����6��G�/��$���� �,!*�G6�������!*6��?I,0%��!5� �*3f��3��*�,��� �*��3��(!����C?���6d���"!���$O8�6C'B���6�_J�`CJ�KS�d+@+4�,+16�$>�9���m!#��$%����350%!#����%�Z.����kL�I10 ��!5� �*3 ���*35���&�Y����3S��� �Z6l?%?%3��0=��GU(6C���O�����G0 ������$X����g�;H'�6����"!=��$=���%�O����350�!#��0 3������E���%��C .Ot .6���F���35�����%U ��$ 2��&!#������$8�_J4�_;�+"����!5�j+"���G��')�b! �8?)�&$%! �&$?�1��$T��� �h�����8?��5� � � D J78Y�����16l?%?%3��0=���U-6C���h������0 ������$�G$b1r����! �&$%�����"!� g)L DHM J

8Y� �Z!*��6�������!*6��/+,6d�=����! �*RB$%��$ F(���%�O��3&!%�*3S���76 C"0%$%F��kL . 0 ����6jU��*��� �'!=��$ / � ;<���"���j�56&�=����6C�S��� �U(�*��� �\!r�%6��4��3&! �*3 �m����� ³ @� ³ � ¾ �-L D 3��

® M ;?+"�%�*3�� ³ ���E���%�S6�$%6����_����!Y������0 ������$r6�$%!� ³ ���:��� �"$_0%U��*35��!*6��6l?�?%3��"= ��U(6C������$ ! �8?)�&$%! �&$?�7��$r�����8?���� � � D Jl2���U-����6C35����;���$-��� � C .�t . U��*��� �'!<;_���B+,�S!#��$����o! �*3,6�!*0 3�g�� ³ L DBM - ª ;H��� �&$n��� �*3����>= �������V6j!#��3�3��&�C?)��$%!%�G$ F(!*0 3�g��� gHL DHM - 1Ng���6-./�&U(U(6n`CJqr_J 2_� ;H��� ��! �*R�$%��������$���<��3R! �*3:����3:��� �DC .�t�. U(�*��� �\!r!*6�$-')�i����0%$%!-'?�l�&]_0%6C����$ Fh���%�S./���kL�I,0%��!5� �*31���*35���&�7� ��3,��� �"6�$%6����?����!!*0%3�g��bgHL�Q M - 1B;E+"����� ��� �T���*35���&�O� 35��U ���%�N$_0%U��*32��!*6��:6l?%?�3��"= ��U(6C������$� g)L DBM - 1a� 3���U ��� � C .Ot .6���F���35�����%UTJ �%��35U(6�������; t 0%$?��� �kL . 6�6��T?%3��&���&$?���"!T���%�G�i��$T��� �m��������� +"��$ Fe! �*R�$���������$ � b � � J

Page 85: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � ����� � � �*� � � �;� � � �i� �8��� � %

896C'���� �_J�` ¯ ������� � � ��� � ��� ������ ���� � �� ��� �� � ����� ����C . 3��_�����"!T��3��*�&� C .�t�. 3��_�����"!T��3��*�&�

��3&! �*3 ��3��*� �&���&U��&$?��6C3�� ��3&!%�*3 ��35�*� '�6C3S�o! �&$?�������!%�"OH�*3��&$?����6���� �<?)�*356C����3V��$ #

` � ` �b � : � b �� � : : L � ½ � M � ��� �� � : � : � � �] � : : : L � ½ � ½ � M ] ��� ��� �] ����

��!� : : L � : � ½ � M ] ��� �

] ] ��� �] � : � : : L � ½ � M ] ��� �] � : � : � : � ] �

Page 86: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � �(� �� �������� � � ��� � �� ��� � ��� � �;� ! # � %�#������ ³ L�Q M ��� ­ � ����� � ¬ � � ¨3  �%� ¦ � � � ��� � � ­ � �� = � � � ¹ 1k�7µ ��� 7 ¢ ����� � ��� ³ L DBM �� ­ ��� ¦N� � ¥ � ¨ � �   �O� ¦ � � � ��� � ��� ¥#� ���   ��� §Q� � � ­ � _Y`ba ` � � ¤B�O¥ � � ­7� ¢�¨ � �   � ��� ¥ �����   � � ¦ � ¨ � � � � � � � ­ �  ��� §   ��� � Dnµ ' �   � ¢ gHL�Q M ����� g)L DHM � ¥ ��� ­ � ¨ �O¥ ¥ �   §T� ��� � � ¤ ¨ ¦N¥ º �  .� � 1 ¤ �bº ��� �¬ ��� ��� � �/µ����

gHL�Q M ¾ - :� � ! � 0! L ³ : L�Q M�M ½ g)L DHM ¾ - : "� �$# � 0� L ³ : L DHM�MU\B ­ �%� ¢ � ­ �'&���� ­!( � ­ �   (O¥ ��� ¥ � � ��¢

g � H � ¾ g � H � ½ � (O¥ X ¾GF ½ \ \ \ ½ ��@ ` µ S�G��� ;%���Y���i!#��$?g��&$%���&$?�"���-6�$�6����_���m��� �m��3&! �*3Y���f��� �AC .�t�. U��*��� �'!X������� �BC .Ot . 6���F���35�����%U ���

+"35�������&$^0%����$%Fr��� �GQ+L� ���n!n!*6C35���&����6�$ ?%3��'!%0%!#� $ ����6C������$KJO.K�*�m0%�m$%�d+ ��$?��3��'!%0%!#�����%��� �������d+"��$%FQ+L� ���o!?�3��\!�0%!#��� ¯ £ W ¾ £H° [ [ [ °#£ ; ¸ W ¾ ¸a° [ [ [ °@¸ ;>6�$%!r��� �"'B6�����!Y�<?)�*356C������$%�:6�!#�i��$r6�!#��Ue?)��$ �&$?� L+"������o6����%����$<JZ./�*� 1 W ')�l��� �(!#��3�3��&� ?H��$�!%��$ FN./����6���F��*'�356N��� £ W ;/��0�!5�^���%6C� 1 W ¾ / W � 1�;/6�$%! # W ��� ��� ��&$?g��&���<?��G$ F(6���F��*'%356(����1 W J

�"�&$�!#��;%+4�Z�%6&g��O��� ��$ ����6C������$%�i����3"��� �BC . !#�_�8P-!*���&$?���S��$N���%�BC .�t�. 6���F���32�����%UT; F���g��&$='?�N��� ���������� +"��$ F ;

) W ¾ ) �+* ½ M W ¾ M � �,* ½ , W ¾ L ,+½ \ \ \ ½-, M*¾ L ³ L F>M ½ \ \ \ ½�³ L F>M�M ½6�$�!l+4�i!*6�$l3��*+Y32�����4���%��Q+L�����6CF�� C .�t�. 6���F���35�����%U ��$?���m6Z`ZL�����6CF��"U��*��� �'!Z'?� �c����6�! m���$ F D���� �i��$?���*35$%6������6CF��&�"����F��*��� �*3dJ48Y�%�G�iU��&6�$%�i���%6C�"+4��$%�d+ �%6dg���;

* ¾-.../*�0* 5JJJ* W

1$222354 D

-..../F6070�� ! F60 5 � ! [ [ [ F80 W � !F 5 0�� ! J J J JJJJJJ J J J

F W 0�� ! [ [ [ [ [ [ F W W � !

1$22223-.../Z 9 0Z 9 5JJJZ 9 W

1$222354 D L ) � � ! M Z 9 4 D ) W Z 9

9 4-.../9 09 5JJJ9 W

1$2223 4

-.../9 L;:VL��>='?�L+*�0 M=< , M�M9 L;:VL��>='?�L+* 5 M=< , M�M

JJJ9 L;: L��>=\?9L+* W M=< , M�M1$2223 4 9 W L;: L��>=\?fL+* M=< , W M�M 4 9 W L��>='?�L+* M*[ , W M

4 9 W L ) RGSUT�� ,�� L , W M�M 4 L ) �RGSUT�� ,�� 9 W M L , W MZ 9 4

-.../Z 9 0Z 9 5JJJZ 9 W

1$2223 4

-.../! �>='? , L 9>0 M! �>='? ,@? L 9 5 MJJJ! �>='? ,BA L 9 W M

1$2223 4 ! �>='? , L 9 M

g 4 D L MB0 Z 9 0 � M 5 Z 9 5 � [ [ [ �NM W Z 9 W M 4 D L MB0 �O! < M 5 �O! < \ \ \�< M W � ! M Z 9 4 D L M � � �O! M Z 9 4 D M W Z 9 C 0 4 : L��>=\?�L�g M=< , M 4 �>=\?�L�g M*[ , 4 )YRGSZT�� # � L , MU\2�� ;%��� � Q+L� ���n!T!*6C3����&����6�$ ?�3��\!�0%!#�1���9���%�-`m����6CF���C .�t�. U��*��� �'!X���*;

, W 4 L , < \ \ \B< , M* 4 D ) W Z 9 * - 1 W9 4 9 W L ) RGSUT�� ,�� L , W M�M 4 L ) �RGSUT�� ,�� 9 W M L , W M g - 1 W LED_Jcb ��MZ 9 4 ! �>='? , L 9 M Z 9 - 1 Wg 4 D M W Z 9 g - 1 C 0 4 ) RGSUT�� # � L , M C 0 - F \

Page 87: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � ����� ��� ����� � �;� ��� �8��� �

CY�&!*6��G�f���%6C�m+4��0%��� g<L DBM ��� !%�&$ ��������� ��$?0�U��*35��!*6��f������0%������$^��$�1X+"�%��!2�n!2�%6C356�!#���*35�G���&�m��� � ��� (��$n\:] LED_J�`�D M J(8"� �&$^����U(���G6C3"���T��� ��./���kL�I,0%��!5� �*3����*35���&�V� ��3m���%�l6�$�6����?���G!Z������0 ������$ gHL�Q M ��$n8Y� �*��3��&UD_J�`�`C;���� �h.����kL�I10 ��!5�%�*3S���*35���&�i� ��3 gHL DBM ���1F���g��&$T'_��;

gHL DHM 4 g)L F>M � � � � D g)L F>M � 0 � � D 5b : gHL F>M

�W5 � � [ [ [ LED_Jcb f M+"� �*3��� g<L F>M � H � ! �&$%�����&� ��� � X��� ! �*35��gp6C����g��Z��� g<L DBM +S�����n3��&�C?)�&!#� ���N�����8?���� � � D 6C� D 4 F J � �7+4�(!*6�$R�$%!-��� � �>=\?%35�&��������$%�4����3 g � H ��;���� �&$j+,�m!*6�$!%�*35��g��V��� � ��3&! �*3i!#��$%!%��������$%�7����31��� �EC .�t�. U��*��� �'!<;?'_�U(6C��!5����$ F����%�&����!%�*35��gC6C����g��&�:+S�����(��� �A! �*35��gp6C����g��&�lg � H � ��$(��� � 6�$%6����_����!S./���kL�I10 ��!2� �*3i���*35���&�*;_6�!*!#��3&!%��$%F��� �V�*R�$%��������$ D_J�` �?J:I10 �7')�*����3��i+4�S!*6�$ ! �m�������*;�+,�S$ �*�"!(��� !%���5!*0%���f��� �Y��������� +"��$ Fm./�&U(U(6m��3���U � b � � J � � �D>2!$# �;� # � ��� gHL DBM - 1 � ��� F � � � ���� � F ���;��� ( � ��� ����� ���>���

gHL DHM 4 ! �>='? # L�g � 0 � M=<� �>��� � g 4 D M W Z 9,����� g � 0 � �"! ���>�������#��$ ������$�� � �;���%�7��!'& �)(�� � ( D*������ $BL DBM 4 �>=\?9L+* M,+ F W � * 4 D ) W Z 9 +.- W � ����� *9L DBM �"! ���>� ��/>& ���#��(=�102! ( 03/>��� ( �4!#� &5��0 �6�70 � ��� F � � ����� � F ���;��� ( � �����8��� !7/�(�� ���!��� � �9�!�6$�� � *9L DBM 4 - :" , �$# � 0�: L $ : L DHM�M��<; �>�%� �

*fL DBM 4 ! �>=\? , L+*� 0 � MU\

= � (�(>= � 8/�e?�3��dg��O���%���1����3 gHL DHM?+.- ;%+,������6C35�Y+"����� �V�*R�$%��������$�D_J�` �?;�+"�%�*3���; g)L DHM 4 - :"� � # � 0@: L C :L DBM�M=<

� 3���U ��� � Q L�����o! CBA t A V��F���35�����%U ��$Q\:] LED_Jcb ��M ;4+4�m�$ �d+ ���%6C� C L DHM 4 �>='?�L�g M6[ , + F J � �i+,���0 '���������0 ���h���%�G�"��$?���r���%�O6C')�dg���;K6�$%!n0%���Z8Y� �*��3��&U `CJ Dr� ��3V��� ��! �*35��gC6C����g������:��� �O�>='?)��$ �&$?����6��/U(6l?/;+4�h��6&g���;

g)L DBM 4 - : �WRGSUT � # � � � � 0@: �� D �>='?�L�g M [ , � 4 - : �WRGSUT�� # � � 0�: [ - :� 0�:

- :� �� D �>='?�L�g M �

4 - :R`SUT�� H # � [�� D �>='?�L�g M 4 - :RGSUT�� H # � [ - :R`SUT�� # � [ !%�>=\? #

� g� D � 4 ! �>=\? # L�g � 0 � MU\

C ��U(�G��6C35���^+"�����@���%�=!*0 3�g�� *fL DBMD+E- W ;,�5��$%!#� $BL DHM 4 �>=\?�L+* M%+ F W ;4��� �&$ +4�=�50 '���������0%���j����������$?����V�*R�$%��������$�D_J�` �?;

*9L DHM 4 - :" , � # � 0@: L $ :L DBM�M 4 - :R`SUT�� H ,�� �� D �>='?�L+* M �

4 - :RGSZT�� H ,�� [ - :R`SUT�� ,�� [ ! �>='? , � *� D � 4 ! �>='? , L+*

� 0 � MU\

�%0 35��� �*35U���3���;9��3���U ./�&U(U(6 D_J�`�`C;EF���g��&$q����6C� g 4 D M W Z 9 6�$%! * 4 D ) W Z 9 �G$ ��� � Q L�����o! CFA t A6���F���35������UT;�+,�O!*6�$^U(6lm��Z��� ����'B���*3�gC6C������$=����6C�S+"�%�&$ D 4 F ; gHL F>M 4 F 6�$�! *fL F>M 4 F J C � g)L F>M 6�$�! *9L F>M �G$T.K�&U(U(6 D_J�`�`�6C3��h$ � + F���g��&$X'?��;

g<L F>M 4 !%�>=\? # � � � L�g)L F>M � 0 � M 4 g)L F>M � 0 � < *fL F>M 4 !%�>=\? , � � � L+*fL F>M

� 0 � M 4 *fL F>M � 0 � \

Page 88: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

% � �(� �� ����� � ��� � � "� � ��%��3S��� �h����F�� �*3i��3&! �*3#! �*35��gC6C����g��&�i��� gj6�$�! *[6C� D 4 F ;%+,���%6dg���;

g)L F>M � H � 4 gHL F>M � H �0 � < LED_J D F>M

*9L F>M � H � 4 *9L F>M � H �0 � \ LED_J D�` M

K"� +h;:���^R�$�! ���%�j�>='?%3��&�5������$%�O� ��3����%� !%�*35��gC6C����g��&�Z��� * 6�$%! gQ6C� D 4 F '�6����"!Q��$@��� � Q+L� ���o!CFA t A 6���F���35������UT; +4�O$ �*�"!T���-0%���m��� � �@�� � ��%��� � � ;%+"�%�G!5�T����6C���&�"���%6C�*;

� ( � � = /!� (���� ( � c L�� M 4 9 L�� M� L�� M)� ��� � � ��� �����#�"$�������$�� (>= c L�� M � �;��� �7��!'& �)(�� � ( � �"!�6��$������ �c� � � L�� M 4

�5687 �

�9 � 9 � 6 � L�� M� � � H 6 � L�� M 4

�5687 �

� :9;: L�� @ 9 M : 9 � 6 � L�� M� � � H 6 � L�� MU\

H � �&$[6l?%?������"!j���-6(��0%$�!#������$N�������%�h� ��32UT; c L DBM 4 D 9 L DBM 6C� D 4 F ;%+,���%6&g���;

c� � � L DHM h # 7 � 4 � 9 L DBM � � H 0 � h # 7 � \

C � ;%� ��3/g 4 D M W Z 9 + - 6�$�!�* 4 D ) W 9 + - W ;%��� �&��3Y! �*32��gp6C����g��&�Y6C� D 4 F 6C3�� � b � � ;g)L F>M � H � 4 X �

� H H 0 �� D � H H 0 � L M W Z 9 M ���� # 7 � 4 X M W Z 9

� H H 0 � ���� # 7 � < LED_J D�b M*fL F>M � H � 4 X �

� H H 0 �� D � H H 0 � L ) W Z 9 M ���� # 7 � 4 X ) W Z 9 � H H 0 � ���� # 7 � \ LED_J D�D M

� ��UO'���$%��$%F=\:] LED_J D F>M 6�$�!Q\4] LED_J D�` M +"�����Q\:] LED_J D�b M 6�$%!Q\:] LED_J D�b M +,�N�%6&g��T��� �N$_0%U��*35��!*6��������0 ������$%�� gN6�$%!� *n��$N���*35U(�Y���9���%�h!#�?�8P-!*���&$>���V��$N��� �(Q+L� ���n! CBA t A 6���F���35�����%UT;

g)L F>M � H � 4 LKX � ` M M W Z 9� H � �� # 7 � < LED_J Di] M

*9L F>M � H � 4 LKX � ` M ) W Z 9 � H � �� # 7 � \ LED_J D<r M� 3���U ��� �a�k+4�e�&]_0%6C������$��T6C'H� g���; +4� $ � + m_$%�d+ ���%6C�� g<L F>M 6�$%! *9L F>M 6C35� !%�8?H�&$�! �&$>�N��$ ��� �

!%�*35��gC6C����g��(��� Z 9 L DBM +S�����a3��&�C?)�&!#�h��� D 6C� D 4 F J C �G$%!#� Z 9 L DBM 4 ! �>='? , � # � L 9 L DHM�M5+ - W �G$^��� � Q+L� ���o!CFA t A 6���F���32�����%UT;9+"� �&$ D 4 F ; Z 9 L F>M 4 F ;E6�$%! Z 9 L F>M 4 9 L F>M J[I,� 6n����U(���G6C3h6C3�F�0%U��&$?�O6��Z��$q\4]LED_J D F>M ;H+,�hR�$%!<;

Z 9 L F>M � H � 4 9 L F>M � H � < ����3 D 4 F J�S�&$%!#��;H\:]^LED_J Di] M 6�$%! LED_J D<r M !*6�$X')�����N')�m3��*+Y32�������&$X6��*;

gHL F>M � H � 4 LKX � ` M M W 9 L F>M� H � < LED_J D<p M

*9L F>M � H � 4 LKX � ` M ) W 9 L F>M � H � \ LED_J D � M�f��$%6�������;���� �m�>='?%3��&�5������$N����3 9 L F>M � H �,����?%35�&���&$>���"!=��$N��� �h��������� +"��$ FZ��� �*��3��&U ��$ � b � � J

Page 89: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � ����� ��� ����� � �;� ��� �8��� % �

��� � � � � �"!$# � � # ; �>� � �E� 0 � / �'(��>��� !����#�E��! � � � � 1k������� 7 =%( � ���>� ��/>& ���#��(=�10�! ( 03/ ��� ( � gHL DHM + - ( ( � 0�7��!'& ( ���1� � �� ( ���>�9! ( 03/>��� ( � C L DBM + F ��! �"$��%� �� ���>� � � (�/ �7!7� ( � � � g � H � � � � � 1���� ��� 7 � � � ��� �b9 L F>M � H ��!� ! ���>� =�( � & �

9 L F>M � H � 4 � H L ) W 9 � � � < b ) W 9 � 0 � < \ \ \�< X ) W 9 � H�� 0 � M4 � 9 W � � H L ) W 9 � � � < b ) W 9 � 0 � < \ \ \�< X ) W 9 � H�� 0 � M L , W MU\

( �������!� � ���>� � ( � ����� ( � � H L M � � ! � �6��� ( �1/�(=��� � � ( � (B��� ( � ��� � � ��� � �,���>� Q 0 =�( 0��D(=�1� ����!7�E��� ! ���#/�(���/ � � �� �>�%� *fL F>M � H � 4 LKX � ` M ) W 9 L F>M � H � � ��� �%�

� � L M 4 � W� 0 L *fL F>M � � � M 4 *fL F>M � � � <

����� ���>� X ��� �����#�"$������"$�� ��! !#� &5��0 �1� � ( � � 1�������� 7 �� H L *9L F>M � � � < *9L F>M � 0 � <����< *EL F>M � H�� 0 � M 4

� H�� 0 L *fL F>M � � � < *9L F>M � 0 � <���B< * � H��� � M�� *9L F>M � � � � �� D

� H�� 0 L *fL F>M � � � < *fL F>M � 0 � <���B< * � H��� � M �

= � (�(>= � 8/� ?%3��dg��r8Y� �*��3��&U D_J�`&b_;9+,�-����6C35����3���U .K�&U-U(6D_J�`�`-6�$�!q0%���(./�&U(U(6 `CJqrX���=R�$�!a6�$ �>=��?%3��&���5����$j� ��3 9 L F>M � � � J

Ha�(! �*RB$ �m��� ��!*0 35g�� $BL DBM 4 �>=\?9L+* M,+ F W +"� �*35� * 4 D ) W Z 9 ;%6�$%!X��$T./�&U(U(6 D_J�`�`C;B+4�O�%6&g���; *EL DBM 4 - :" , �$# � 0�: L $ :L DHM�M�

8Y� �&$N'_�j./�&U(U(6X`CJqr_;B��� �E@%� + +"�%��!2�T3��8?%35�&���&$>���Y��� �mF��&$ �*356���������0 ������$ C L DBM ���(��� ����� (9; C : L DBM 4 � ", �$# � L C L DHM�M 4 - : "� �$# � L *9L DBM�M=< C L F>M 4 , W <

���1F���g��&$T'_��;� &��� ����� J # L , W M 4 ) " , �$# � L , W M�

�"���������%6C�"��$N���%�G�Y!*6�����; $HL DBM 4 �>='?�L+* M ���1��� �h�o0%$%!�6�U��&$>��6��<������0 ������$T��6C���G��� ����$ F ; $ : L DHM 4 � ", � # � L $BL DBM�M=< $�L F>M 4

C � ;_+4�m!*6�$j3��*+Y35����� 9 L DBM � � � 6��,��� �A?�0%�����'�6�! ml���K��� �D@%� + +S�����-35�&�C?)�&!#�4���Z���%���435��F��?�4��$?gC6C35��6�$?�4g��&!#����3R%�&�o! � ", � # � ; 9 L DBM � � � 4 L ) ������ � ,�� 9 W M L , W M 4 L ) �", �$# � 9 W M L , W M 4 L � �&��� ����� J # 9 W M L , W M�

8�� !%�"!)�*3��&$?����6C��� 9 L DBM +"�����N3��&�C?)�&!#�i��� D 6C� D 4 F ;%+,��!*6�$=0%���h\:]^LED_J�` � M ��������6C�*;� �� D � 3 � �&#�� ����� J # 9 W 5 ���� # 7 � 4 � �&��� ����� J # L � 9 W � � � L *9L DBM�M�M ���� # 7 �

4 � 9 W � � � L *fL F>M � � � < *EL F>M � 0 � <���B< *fL F>M � � � 0 � M��"�&$�!#��;�6�����$ F(+S�����T\:]^LED_J D � M ;B���%���<��� ! �*35��gC6C����g��m��� 9 L DBM 6C� D 4 F ���iF���g��&$T'_��;

9 L F>M � � � 4� �� D � 3 � �& �� ����� J # 9 W 5 ���� # 7 � L , W M

4 � 9 W � � � L *fL F>M � � � < *fL F>M � 0 � <���@< *9L F>M � � � 0 � M L , W M4 � 9 W � � � L ) W 9 L F>M � � � < b ) W 9 L F>M � 0 � <���B< � ) W 9 L F>M � � � 0 � M L , W M4 � � L ) W 9 L F>M � � � < b ) W 9 L F>M � 0 � <���@< � ) W 9 L F>M � � � 0 � M$

Page 90: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

% � �(� � �.����� � ��� � � "� � �� 3���U 8Y�%�*��3��&U D_J�`&b_;%+,� $%�d+ �%6dg��m��� � � �������d+"��$%F��>='?%3��&��������$%�,� ��3i��� �b! �*32��gp6C����g��&�4��� 9 L F>M '�6����"!

��$[6������X��3&!%�*3 C"0%$%F��$� Ah0 ����6(U��*���%�\!<;

9 L F>M � � � 4 � � L M 4 � W9 L F>M � 0 � 4 � 0 L ) W 9 L F>M � � � M 4 ) W 9 L F>M � � �9 L F>M � � 4 � L ) W 9 L F>M � � � < b ) W 9 L F>M � 0 � M 4 ) W 9 L F>M � � � � ) W 9 L F>M � � � �eb ) W 9 L F>M � 0 �9 L F>M � � � 4 � � L ) W 9 L F>M � � � < b ) W 9 L F>M � 0 � < D ) W 9 L F>M � � M4 ) W 9 L F>M � � � � ) W 9 L F>M � � � � ) W 9 L F>M � � � �eb L b ) W 9 L F>M � 0 � M ) W 9 L F>M � � �

� ) W 9 L F>M � � � � b ) W 9 L F>M � 0 � �5D ) W 9 L F>M � � CY�&!*6����9���%6C�m��$ C �&!#������$ D_Jqr_Jcb_;/+4����$?��3��'!%0%!#�"!n��� �eQ�������o!^!*6C3����&����6�$ ?�3��\!�0%!#�S$ ����6C������$%�*JAHa�(!*6�$

$%�d+ �G$%!*��0%! �V��� �h'B6C3Y$ ����6C������$=6��"+4�&�G� ;�� ��3$� + / W 6�$%!�� + #�;

� � � 4 � 9 W � L � � � M L , W M 4 � 9 <����< 9 � L � 0 � <���@< � W � M L , <���B< , M4 L ��0 � <���@< � W � M 4 L ��0 <���@< � W M � � 4 � � � V����� ;�� 3���U ��� �h!*��6������G!*6��KI10 ��!5� �*3S��3&! �*3"!#��$�!%��������$%�&; U F H L 4 S H !*6�$X')�m3��*+"35�������&$T6��*;

)�� 4-..../F6070 F60 ����� F60 WF 0 J J J JJJJJJ J J JF W 0 ����� ����� F W W

1$22223-.../``JJJ`

1$2223 4

-.../U WL 7 0 F60 LU WL 7 0 F �LJJJU WL 7 0 F W L

1$2223 4

-.../S@0S JJJS W

1$2223 4 S

�S�5��$ Fh��� � 6C')�dg�� $ ����6C������$<;���� ��! �*35��gC6C����g��&�4��� 9 L F>M 02?r���Z��3&! �*3��O6C35�V$ � + F���g��&$j�G$(���*35U(�4���K��� �'B6C3"�o! �&$?�������j�<?)�*356C����35�*;

9 L F>M � � � 4 � W 4 � � � 4 � � � LED_J D ��M9 L F>M � 0 � 4 ) W 9 L F>M � � � 4 L ) �+* M L � � � M 4 )�� � � 4 S � � LED_J D M9 L F>M � � 4 ) W 9 L F>M � � � � ) W 9 L F>M � � � � b ) W 9 L F>M � 0 �

4 S � S � � � � � b ) S � � 4 S � S � � � � �eb ) S � � LED_J�� F>M9 L F>M � � � 4 ) W 9 L F>M � � � � ) W 9 L F>M � � � � ) W 9 L F>M � � � �eb L b ) W 9 L F>M � 0 � M ) W 9 L F>M � � �

� ) W 9 L F>M � � � � b ) W 9 L F>M � 0 � �5D ) W 9 L F>M � �4 S � S � S � � � � � � ����L�L ) S M � S M � � � � �eb L S � L ) S M�M � � � �

� D ) S � S � � � � � p ) S � � � �

4 S � S � S � � � � � � �eblS � L ) S M � � b � � � � � � � � D ) S � S � � � � � p ) S � � � � LED_J��%` M

�k�H+,�S��0 'B��������0 ���Y\4]NLED_J D ��M ���O\4]TLED_J��%` M �G$>���h���%�T! �*35��gC6C����g��&�:��� 9 L DHM 6C� D 4 F ��$(\4]HLED_J D<p M ;���� �&$0%?X���(��3&! �*3 � ;%+4�O�%6&g���;

Page 91: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

!$# � �.����� ��� ����� � �;� ��� �8� � % !

�<L F>M � � � 4 M W 9 L F>M� � � 4 L M � �5* M L � � � M 4 M � � � � LED_J��>b M

�<L F>M � 0 � 4 b<M W 9 L F>M� 0 � 4 b L M � �+* M L S � � M 4 b<M � S � � LED_J���D M

�<L F>M � � 4 D<M W 9 L F>M � � 4 D<M � S � � � � � p<M � ) S � � LED_J��� M �<L F>M � � � 4 �,M W 9 L F>M

� � �4 �,M � S � � � � � � � � � M � S � ) S � � b � � � � � � �

�l`&b<M � ) S � � � � �eb �,M � ) S � � LED_J��,r M� 3���U �V�*R�$%��������$ D_J�` �?; ����3,6ZU��*��� �'!r���K��3&! �*3 �_;?+,�S35�&]?0%��3��Y���%6C���HL F>M � H � 4 �)L F>M � H � J C � ;�� ��316 �����

��3&! �*3,U��*��� �'!<;?���)+,�S!#��Ue?B6C3��"��� �V!#�?�8Pr!*���&$>���,��$(\4]XLED_Jcb � � D_Jcb � M �������%�����S��$-\:]XLED_J��>b � D_J��,r M ;�+,�S!*6�$! �*35��g��m���%�m��3&! �*3"!#��$%!���������$%�1����3Y��� �BCFA t A U��*��� �'!<;%���������"!T��$T8�6C'B��� D_Jcb_J

896C'���� D_Jcb���� � � � ��� � � ��� � � ��� � ��� � � � �� ��� �� � � ��� � � � � ��� � � ��� ��V3&! �*3 CFA t A �V3&! �*3 � ��$%!%��������$��

` �HL F>M � � � 4 �HL F>M � � � M � � 4 `b �HL F>M � 0 � 4 �HL F>M � 0 � b<M � S 4 ` ? M � S 4 0

D �HL F>M � � 4 �HL F>M � � D<M � S 4 ` ? M � S 4 0�p<M � ) S 4 ` ? M � ) S 4 0

� �HL F>M � � � 4 �HL F>M � � � �,M � S � 4 ` ? M � S � 4 0�� M � S ) S 4 ` ? M � S ) S 4 0

`&b<M � ) S 4 ` ? M � ) S 4 00 b �,M � ) S 4 ` ? M � ) S 4

0 �

�S���������%6C� ��� �O��3R! �*3m!#��$%!%��������$��#!%�G�C?���6d���"![��$n896C'���� D_JcbN6C3��l��� �Z�56�U���6�� ��� �l��3&! �*3m!#��$%!%��������$%�� ��3"��� �h!*��6������G!*6�� C"0%$%F��$� Ah0 ����6�U��*��� �'!T���f��� �h��6�U(�h��3&! �*3&J78"� �h��Ue?)��3���6�$?��?)����$>�i���1����6C�"����$%!#�m���%�?%3��'!%0%!#���"��$ # W 6C3��l!#��U(UO0%��6C����g�����$n��� �Z���*� � �%6�$%!c?�6C3��V')�*� ��3�� � ;)��� �&$n+,�Z!*6�$ ! �*32��g������ ����6�U(���3&! �*3:!#��$�!%��������$%�7���%6C�46C3���! �&��!#35��'H�"!l'_�l��� �"�&���&U��&$>��6C35�G!%�"!)�*3��&$>���G6����E��$���� �V!*��6������G!*6��%I10 ��!5� �*3,��3��*�&�*J S�SU��&$?������$ �"!X��$N���%�(?%3��*g�����0%�i���&!#������$<;%��� ����$%��� !%�"!)�*3��&$%!#�h�>= �������Y�G$T��� �h��3&!%�*35��$ Fl���f��� �h'%326�$%!5� �&���$[��� �l��3��*�&�*J �V��� �*35+"������;H�*g��*3��_���%��$ FN�&�����l���V�&]_0%��gC6����&$>�*J �S�&$%!#��;K��� �Z��3&! �*3 ���4��� �8CBA t A U��*��� �'!���h���%�r��6�U��N6��O��� �-��3&!%�*3O���i��� � C"0�$ F��$� Ah0 ����6[U��*��� �'! 0%���"!q��$q��� � CFA t A V��F���35�����%UXJX8Y�%���h�G�?%3��&���&$?���"!X6��"��� �m� ���G���d+"�G$ F�8Y� �*��3��&U �G$ � b � � J��� � � � � � ! # � !$#'� ��� ) H L � M L �����>�4( ( � � ( �E���6��! = � ( & � � / �'(��>��� � � 0 � �1/ =�( ��� (�0�� !)!#��(=�10 _ />� !� 0` / �E� � &������ ( � (>= ( � ����� � � � ��� S H 4 U WL 7 0 ) H L �%; � �%� ���>� _Y`ba ` ' 0 ( �7�;����& & � �#!����6��� �%� � ( � (���� ( ���� � �>� ! ( �7����� � ( � ��� � &������ =%( 0 ��� 4 F �

8Y�%�G�i!#��Ue?����*���&�S��� � !%�*35��gC6C������$%�i����3"��� ��CBA t A ��3&!%�*3S!#��$%!%��������$%�*;�6�$�!TF���g��&�V6(+16&�T����?%3�� g_�G$ F���%6C�f��� �1��3&! �*3f���B66CFA t A U��*���%�\!�������� �i��6�U��i6��f��� �1��3&!%�*3E������� �1!*��6������G!*6�� CS0%$ F��$� Ah0%����6VU(�*��� �\!KJ�"�����S���%6C�:8Y�%�*��3��&U D_J�`�D����E�&�����&$?����6������O��� �S��6�U��"6��48Y� �*��3��&U D_J�` F ��$ C �&!#������$ D_J D_;����h��� �#!%����!*0%�5������$� �*3��j+"�����Q��� �N3��_�����"!@��3��*�&��6�$%!Q'�6C3(�o!%�&$>�����k� �<?)�*356C����35����$ # W �G�Z6�$e6������*35$%6C����g��N+16&�Q���T?%3�� g_�G$ F8Y� �*��3��&U D_J�` F J

Page 92: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 93: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

����������� � � � ����������� � � � ������� � �"!$#

8Y�%�G�,�G�Y6�!5�%6l?����*3"��$X���%�h6l?%?�����!*6C������$%�1�������%� t 6CF�$_0%�Y���*35���&�i�>='?�6�$%������$T6�$&%T��� �('S0%$ F��$�*)h0 ����6 �t 0�$>��� �$�*)�6�6��YL+',) t ) M U��*��� �-%%��?%3��&���&$?���.%���$ � �%6l?%���*3EbV6�$&% � �%6l?%���*3 � ;����m������g��i���*g��*356�����3/%%��$%6C3��U(6C��35� =0%%�"!)�*3��&$?����6��_�&]?0%6C������$%�*Jf\:6�!5�r���&!#������$���$l�������f!5�%6l?%���*34� �&6C��0%3��&�76m���8?�6C326C���Y���_�����&U ���B��3/%%��$%6C3��%%�"!)�*3��&$?����6��/�&]_0%6C������$�� ���j')��������g��.%a$_0%U��*32��!*6�������Jm8Y� �l3��&�50%�����V� 35��U ���%�l.����lF�3���02?a��$?���*F�356C����35�h6C35���� �&$ !#��Ue?�6C3��.% +"����� ��� �[35�&��0%�����-� 3���U ����U��n���h��� �n!*��6������G!*6��S��$?���*F�356C����35�N��0�!5� 6��1'S0%$ F��$�*)h0%����6L+',) M U��*��� �-%%�*;?��� �(2 6�0%���1U��*��� �-%%�,U��&$?������$ �.%j��$ � �%6l?%���*3ib_;�6�$3%-��� �V'�0%�G�4% ����$���$?���*F�356C����3,576 \ �,r� 35��U t 6C���G6C'KJ8576 \ �,rX�G�m'�6����.%q��$q6�$ �>='?����G!*���('"0%$%F��$�*)h0 ����6qL ����� ��39% �*3&;�rX����6CF��&� M ����35UZ0%��6�;/���%�6V��35U(6�$&% � (:35��$%!#��?�6���3d;K6�$&%^��� 3���0 F��%��0 � ���%��� !5�%6l?����*3&;K+,��+"�����96�����0%U(�Z����6C�:576 \ �,r ?%35�;%%0�!#�&�S���%�U������:6�!*!*0%356C���S35�&��0%�����*J=< ��31U���3��"�G$ � ��32U(6C������$l��$15>6V\ �,r_;I?B���&6����Y3��*���*3:���@? `BADCJ=E �����(��� �Y�GF !#�BH%������$���7576 \ �,r_;:��� �N�GF-HH�*32��U��&$?���:H)�*3�����35U��.%@��$ ���%���l!2�%6DH%���*3(+"�G���:��$?g�����g��X��$?���*F�356C����35�l'B6����.%@��$@RIF��.%�����BH���� � �:J=6�$3%XRIF��.%T��39% �*3dJ48Y� ��3��&���*gC6�$>�Y��6C'B���&�Y���E3��&�50%�����i6�$&%=��� � t 6C����6C'n!#�-% ��6C35�(H%3��&���&$?���.%=�G$K H3HH�&$3%%�LF K 6�$&% K H&H)�&$&%%�LF-IVJ

:M/N OQP�RTSVUXWZY\[ �^]_[`Y/a9a\PcbdU,Re]�S$%� ��35!#�.% �%6C35U���$%�G![���5!*������6C����35�=!*6�$P')� U��;%%�&�����.% '?� ��� �a��������� +"��$ Fe���&!#��$3% ��39% �*3X�%��U���F��&$ �*��0%�%%�"!)�*3��&$?����6��H�&]?0%6C������$f? �DC;

gih Chkj @l�m;hChkj l�n!C 4 A < L � J�` M

+"� �*3�� g < npo A�;"6�$3% mrq A�J � � m 4 A�;Y��� �&$ ��� �^���_�����&U �G�-0%$&%�6�UZH)�.%<Jts"� +4�*g��*3d;V��� muo A�;��� �&$v%%�"!)�*3��&$>�"���;HH�&�V���E')�&�%6dg_����0%3S6C3��wH)��������'�����J�<%��3V���%�Z6C')�dg��l�%6C35U(��$%��!m����!*�G����6C����3V�&]?0%6C������$<;B���%�!5�%6C326�!#���*35��������!h�&]?0%6C������$X���*; x mzyi{ m x � g8n

b g

8Y� �m��� 35�*�(%%�"!)�*3��&$>��H)�����5��'������������&�7����3Y��� �h35�?�����i���f��� �h!2�%6C356�!#���*35�G������!m�&]_0%6C������$[6C3���;

| � � m x � g8ni} A�;E���%�&$q+,�j��6&g��N!#��UZH����GF 3��_�����l6�$&% ��� �r�%6C32U���$%��!����5!*������6C����3l�����56��4%q���n')�� ��~ �@� ~��3�f� � ~ J � $ ���%�G�r!*6�����;"+4�n�GF;H)�&!#�j��� �^���_�����&U ���Q����!*�����G6C���[6C')��0 �r�����-�&]_0%������'%35��0%UH)������������$<J| � � m x � g8n 4 A�;%��� �&$T+,���%6dg���3��BH)�&6C���.%T3��_�����"6�$3%N��� �h����!*���G��6C����3"����� �1"� � �3�+����~��3��� � ~ J

Page 94: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � � � �@� � �3� ��� � �@� � � � � �| � � m x � g8n o A�;���� �&$j��� �V3��_�����,6C35�V35�&6��H6�$3% %%�G������$%!#�*;�6�$&%r��� �S���5!*������6C����3i���,��6��4%r���l'H��� �@���~��3��� � ~ ; 6�$&%T��� �����_�����&U +"�����)U�� g������-�����Y�&]?0%�G����'%35�G0%UpH)������������$N+S����� ��0 �i6�$?�j���5!*������6C������$��*JEa�Y$ �d+ !#��$%���4% �*3E���%�Y���&!#��$&%l��39% �*37�%��U���F��&$ �*��0%� %%�"!)�*3��&$>���G6��?�&]_0%6C������$lF���g��&$(6��76�$(��$�������6���gC6���0 �H�3���'����&UT;�+"����� g 4 `C; n 4 `�6�$&% m 4 A A ` j ;

h Ch j 1l A A ` j hCh j l,C 4 A < C L+A M 4

x` < C L+A M 4 b L � Jcb M

Ea�X$%�����r���%6C�l����3�\:] L � Jcb M ;,6C�Z���GU�� j 4 A[��� �T���������&U ���O0�$&%%6�UZH)�.%<;f6�$&% ��� �T!#35������!*6��c%%6�UZH��G$ FgC6���0 � ���:F���g��&$j'?� j � 4 bDA A�J:8Y�%�S��$?���*3�gC6������K���GU��ZL+A < bDA A M 6�$3%nL bDA A <�� M !���353���� H���$&%��:���Z���%�����������&U')����$%Fl0�$&% �*39%%6�U HH�.%N6�$&%��dg��*39%%6�U HH�.%X3���� H)�&!#����g�������J

8���������g��m\4]=L � Jcb M +������j$?0�U��*3 ��!*6!�"��$?���*F�356C����3 �*; +,�m!*6�$r35�*+Y3 �����V�����#�$���&!���$&%%��39% �*3i����U&��F��&$ �'��0��%(�"!H�*35�&$>����6!�9�&]_0%6C���)��$a6!�h6*��������&U+�!,4R%3 ������39%%�*3(%��"!)�*3��&$>���G6!���&]_0%6C���)��$(�*;<'?�n0�����$%Fr��� �-��0%'(��������0 ���#��$h C�. hkj 4 ��;�6�$3%X6�g��&!#����3�/jL j M 4 ? C L j M=< �)L j M C; /NL j M 4 ) L j M /TL j M=< L � J D M+S� �*3��10�� ��U-620�3 �LF ) L j M 6�$&%30�� �4��$��)0���6!�)!���$&%(�)0��)��$*/NL+A M 6C3��hF���g��&$X'65�;

) L j M 47 A `x

`x A A ` j-8 < /39+A;: 4 7 x `

b 8

<<�)= ��0��)5!>;?A@�������g!@.%B0�C�@ED&F20�=��LF %��"!�@'=�@�G;0��HF!��@�I6J(F20��)��GK?E�)0�C-0�C�@�L'�#F!�����#L'F!�MD-@'0�C��-%��N�H�)O!@P0�C�@X'�J�G�Q!@$�)RJ�0�0�FBD&@'0�C��;%S9+',) �6:PF!G&% 2�F!J�� ��D&@'0�C��;%(�T9 2�F!J(����:,%��#��L'J�� ��@.%��#G C @�L�0��)��GVUWYXW#Z2W1[PC�@�G\>M?A@������)]!@.%0�C�@T��F!D&@w%���!"@'=�@�G60��#F!��@�I6J�F20��#��G^?��#0�C^0�C�@�_^F2Q�GJ�����@'= �#@���@GF-H(F!G����#��G^D-@'0�C��-%\> H�=�@���@�G60�@.%VF20E0�C�@4@�G&%�!, C @�L�0��)��G�UWYXWYUW K �H��DT�#G60�@'Q!= F20��!= ��F2=�@1�!,��!=9%�@'= ��>�����?�C�@�G3��0�@BH(���#`'@ J*�#�aC�F!�)]!@.%\>�0�C�@��)=aQ��)�!b(F!�"@'=�=��!==�F20��)���a��C���J��4%BL C�F!G�Q!@1=���J�Q�C��)5�b5KFT,cF!L�0��!=d�!,AZ�eWN[PC��#�AL'F!G%b"@��!b(��@'= ]!@.%B,c=���Df0�C�@1G6J(D-@'= �#L'F!�(=�@���J��)0��%(�#� H(�#Fg5!@.%*�#G*[hF2b(�)@ K W#ZR�#G K H&H�@�G&%(�LF K >�,i�!=d0�C�@4�#G;0�@'Q!=�F20��)��G@H�@'= �)�-%B,c=���D jkj 4 A�0�� j�l 4 A Z2W K �#����>�#0A0�J�=�G��N��J�0A0�C�F20a�),\?$@7H(�)�!0A� J�L C%=�@���J(�)0��m��G3F��)�!Q �n�)�!Q���L'F!�)@��!,oQ��)�!b(F!�"@'=�= �!=$F2Q�F!�#G(��0$��0�@BH(���)`'@>J\>�0�C�@�G�����#J�0��)��G��a,c=���Dp0�C�@4_^F2Q�GJ��ED-@'0�C��-%*C�F�]!@TF-b�@'0�0�@'=�F!L'L'J�= F!L�5��#G*L���D H(F2= �#����G3?E�)0�C '�J�G�Q!@$�*)qJ�0�0�F-�!=21F!J�����D&@'0�C��;%(�a�!,h0�C�@R��F!D-@1�!=9%�@'=�WN[PC��H�$L'F!G^b�@1�!b(��@'=�]!@.%*,c=���D <<�)Q�J�=�@ ��W#Z2W��@GF�0'>m?$@30�J�= Gr��J�=-F20�0�@�G;0��)��Gs0��t0�C�@%GJ�D-@'= �HL'F!�A�����HJ�0��)��G��4,i= ��Du�HG;0�@'Q!= F20��HG�QwvNIx9 ��W D�:TF!�)��G�QVFL�@'= 0�F!�#G3�#G;0�@'= ]yF!�M?��)0�CKzIF@.%%��0�@BH(� �)`'@7J 4 Z . UDA�W Ew@1�#G60�@'Q!= F20�@.%%0�C�@7%��"!�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��GBz�= ��0��#5-�g]!@'=0�C�@��HG;0�@'Q!= F20��#��G@H"@'=��)�;% j 4 ? A < � A C{>�?��)0�CB0�C�@ DT�#G;0�@'Q!=�F20��!= ��',) ��>32�F!J(���'>�F!G&%%0�C�@1_^F2Q�GJ��dD-@'0�C��-%��'>F!�H�hD&@'0�C��;%(���!,N�!=9%�@'= ��WT[PC�@�Gt?A@-F!�#���3�HG;0�@'Q!= F20�@-�|]!@'=R0�C�@-��F!D&@wH�@'= �#�;%}?��)0�C}0�C�@&C��)Q�C(�)5*F!L'L'J�= F20�@5>6�v �;X&�#G�_}F20��#F2bo>(?��)0�C�F&�\H"@�L'�#z�@.%30����)@'= F!G�L�@R�!,aZBA � 0{~ Wd�$��DZH(F2=��#����G��dL'F!G^0�C�@�G*b�@(%���G�@1b�@'0n?$@'@�GGJ�D-@'=��#L'F!�A�����#J�0��)��G��R,i= ��D�0�C�@ Dt�#G60�@'Q!= F20��!= ��J�G&%�@'=TL���G����4%�@'= F20��)��G\>�F!G&%r0�C�F20��!,E_}F20��#F2bo��� 576�v �;X�HG;0�@'Q!= F20��!=gW �E�!0�@30�C�F20T0�C�@%�HG;0�@'=�]2F!� j 4 ? A < � A C��#�4b�@��)�g?f0�C�@3L�= �)0��#L'F!�c%�F!DZH(�HG�Q�]2F!�#J�@K�!, j � 4 UDA A�HGrvAIx9 ��W D�:�W�[PC��H�R�#DZHM�#�)@��q0�C(F2040�C�@ %�5�G�F!D&�HL'F!�N��5���0�@�D��#�TJ�G&%�@'=/%�F!DZH�@.%\>�F!G3%r?$@3��C���J��4%�@GF;H�@�L�0��� L'�#�#�#F20��)��G(�E0��*��L'L'J�=�W C �#D&�H�#F2= �)5!>M?A@&L'F!Gw�#G60�@'Q!= F20�@&�|]!@'=q0�C�@&�#G60�@'=�]2F!� j 4 ?�U!UDA < U�DDA C{><?�C��#L�CV�#��G��g?F2b��|]!@ j � 4 UDA A�W C �*?$@K?$��J��4%wG��!0R@GF-H"@�L�04F!G;5V����L'�#�H�#F20��)��G��1�#G�0�C�@KGJ�D-@'= �#L'F!�������#J�0��)��G��1� �#G�L�@&0�C�@��5��0�@�D��#�a�g]!@'=/%�F!DZH�@.%^�#G30�C(�#�dL'F!��@!W<<�)Q�J�=�@���WYU�F!G&%0<<�)Q�J�=�@���W D�L���G;0�F!�HG�0�C�@a=�@���J��)0��h,c=���D�0�C�@a@GF;H�@'= �HD-@�G;0��<D-@�G60��)��G�@.%�F2b��g]!@!W K ����@'@�G,c=���D�0�C�@10�� H DRQ!=�FDH(C��d�#G@<<�)Q�J�=�@ ��WYU>(�����#J�0��)��G�� C 9 j :AF2=�@1��� L'�#�#�#F20��#G�QTF2Q�F!�#G(��0a0��#D-@ j 0�C�=���J�Q�C���J�0a0�C�@�HG;0�@'Q!= F20��#��G H"@'=��)�;%}�#G}0�C�@TJ(G&%�@'=9%�F!D H"@.%^��5��0�@�D*>\?�C��#�#@q0�C�@T=�@���J��)0��E,c=���D�0�C�@��g]!@'=9%�F!D H"@.%V��5���0�@�D�HG*0�C�@R0�� H D-Q!= FDHMC��P�!,z<<�)Q�J�=�@ ��W D&D-�|]!@40��|?$F2=9%}0�C�@4@�I6J��H�#�)b�= �HJ�D�F20 C 9 j : 4 A�>(?��#0�C�G��K��� L'�#�#�#F20��)��G(�F2Q�F!�HG���0 j �#G30�C�@R�HG;0�@'Q!= F20��#��G��#G60�@'=�]yF!�o�!, j 4 ?�U!UDA < U�DDA C{W

Page 95: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� ��� � � � � � ��� � � �+� � � � � � �(�

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

10−15

10−14

10−13

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

log of stepsize, log(h)

log o

f norm

of err

or

Log of error graphs for RK4, Gauss, Magnus methods.

RK4GaussMagnus

<<�)Q�J�=�@ ��W#Z ������ ������������������������������ �!��"����� �$#�% � % �!�&� % �$' �(�)��*�!� % �$� % �)�!�+-,/.10324� �%!% 0�� #�576 ��� # �% +1�8�!9� 5�%��"�� 5 �&� ��:�; 9��&< % ���=�� 5 �!9�� �$# � � � ���>=3��� �4��� ������&+ ��#@?(ACB ��: D�E 0��)� �+GFIHKJML7�!NFPO7JML�Q$R :

K �#����>oG��!0�@-0�C�F2010�C�@�F!L'L'J�= F!L�5wF!L C��)@']!@.%�,i=���D+0�C�@-_}F2Q�GJ��qD-@'0�C��-%w�#��C��)Q�C�@'=�0�C(F!Gw0�C�F20��!,A0�C�@'�J�G�Q!@$�PSqJ�0�0�Ft�!=�0�C�@82�F!J����-D-@'0�C��;%��4�!,�0�C�@3� F!D-@3�!=9%�@'=�W�[PC(�#�4L'F!G b�@%�!b(��@'=�]!@.% �),�?A@*L���DZH(F2= @=�@���J��#0���,c=���D�0�C�@ DB�HG;0�@'Q!= F20��!=��1F!G&%t0�C�F20��!,�576�v �;XW4[PC�@0%��"!�@'=�@�G�L�@����#G^0�C(�#��L���DZH(F2= �#����G}F2=�@-F!�#���H(�)�!0�0�@.%w�#Gt0�C�@-b��!0�0���D D%Q!=�FDH(C����!,�<h�#Q�J�=�@���WYU*F!G&% <<�)Q�J�= @���W DW <��!=qb��!0�CV0�C�@&J�G&%�@'=/%�F!DZH�@.%}F!G3%�g]!@'=9%(F!DZH�@.%x��5���0�@�D&�'>$0�C�@v%��"!�@'=�@�G�L�@*b�@'0n?$@'@�G$5>6�v �;XwF!G&% _^F2Q�GJ��KD&@'0�C��;% F2=�@^��@']!@'=�F!�,%�@'Q!=�@'@��D&F!�#�#@'=T�#GSD&F2Q�G(�)0�J&%�@30�C�F!GS0�C�@ %���!"@'=�@�G(L�@���b"@'0 ?A@'@�GxG6J�D&@'= �#L'F!�a�����#J�0��#��G��R,c=���D '7S �wF!G&%�2�F!J����D-@'0�C��-%��&F2Q�F!�#G(��01576�v �;X����W E �)0�C F�=�@��#F20��#]!@��)5 �#�g?�L���D H(J�0�F20��)��G�F!�EL�����0'>PF!G&%sF�=�@��#F20��)]!@��#5rQ!��;%F!L'L'J�= F!L�5-,c�!=mzIF�@.%K��0�@BHM���)`'@ Jo>;0�C�@���@�b�= �)@',"@GF;H�@'= �HD-@�G;0��N��J�Q!Q!@���0m0�C�@E��J��#0�F2b(�#�#�)0 5q�!,\J����#G�Q�0�C�@�_}F2Q�G6J����@'= �)@��<@GF-H(F!G�� �)��G�0��q�#G60�@'Q!= F20�@���5���0�@�D&���!,"z�= ��0h�!=/%�@'= %��"!�@'=�@�G60��#F!�@�I6J(F20��)��G��`%�@�� L�= �)b(�#G�Q�0�C�@ %�5�G�F!D&�HL'��!,hF!G^J�G�,c�!= L�@.%�C�F2= D&��G��#L�����L'�#�#�HF20��!=�W

Page 96: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � � �@� � �3� ��� � �@� � � � � �

0 20 40−3

−2

−1

0

1

2

3

t

y

RK4

0 20 40−3

−2

−1

0

1

2

3

t

y

Gauss

0 20 40−3

−2

−1

0

1

2

3

t

y

Magnus

0 20 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

−6

t

ODE45 − RK4

0 20 400

1

2x 10

−7

t

ODE45 − Gauss

0 20 400

2

4

6

8x 10

−10

t

ODE45 − Magnus

<<�)Q�J�=�@ ��WYU���� ��$= ��# �1� 9�� �#�5 ��� 5 ��+1��� 5@% < % � ��+ ��# ?(A B ��: D�E �)��/�!9�� ��# �!�&�!=3���>F���� L�� � L�0 �)�����9 � � 9@F�� F��KJ� L�L :�; 9�� � �� D ��� ����9 % ���!� ������ % �� # +1��� � � ��� % �� � � #�%�� B F E ����� ��#�% ��� � +1� F 0�� � �!9�� J R�� � L :�; 9�� � �� � �+D ���!����9 % ���!� �!9�� 5���� ��� � #�� � % ���&��� ��� # # +N��� � � ��� % �� � � #�% �)�!�+ � � � 9 ��(�!9�� D ��# � ����� �3� �� % � #�5 �!9��19 � ��9���<� ��� �!��� � � � ? �"!�:

220 225 230−1

−0.5

0

t

y

RK4

220 225 230−1

−0.5

0

t

y

Gauss

220 225 230−1

−0.5

0

t

y

Magnus

220 225 2300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−7

t

ODE45 − RK4

220 225 2300

2

4

6

x 10−8

t

ODE45 − Gauss

220 225 2300

1

2

3

4

5

6

7x 10

−11

t

ODE45 − Magnus

<<�)Q�J�=�@ ��W D���� ���= ��# � � 9��K3=��&� 5 ��+N� � 5 % < % �!�&+ ��# ?(A B ��: D E �)���� 9�� ��# � �&�!=3����F#�$� �%� L�� � D L& 03�)��'��9 � � 9 F)(�F � J� L�L :�; 9�� � �� D ��� ����9 % ���!� ������ % �� # +1��� � � ��� % �� � � #�%�� B F E ����� ��#�% ��� � +1� F 0�� � �!9�� J R�� � L :�; 9�� � �� � �+D ���!����9 % ���!� �!9�� 5���� ��� � #�� � % ���&��� ��� # # +N��� � � ��� % �� � � #�% �)�!�+ � � � 9 ��(�!9�� D ��# � ����� �3� �� % � #�5 �!9��19 � ��9���<� ��� �!��� � � � ? �"!�:

Page 97: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� � � � � � ��� � � � � � � ���� M � U R � W��������0PcbdY\UXW0][PC�@��o�!=�@�G�`4@�IJ�F20��)��G��>%�@���L�= �)b�@4F3L���DZHM�)@GF">��1%��#D&@�G����)��G�F!� %�5�G�F!D&�#L'F!�h��5���0�@�D+?��)0�C�� H(F2= F!D-@'0�@'= �� >��%F!G3%��mWN[PC��H�d��5��0�@�D C�F!�P0�C�@1,i�!= D�> � � � 9! x ��: � � �

x x

�#" 9 ��W��6: " � �$ x�%"F!G&%3�#�aG���G��#�HG�@�F2=A?E�)0�C%0n?$�KI6J(F %�= F20��#LE0�@'= D&� �# BF!G&% �#"�WN[PC�@XH�=�� H�@'=�0��)@��$�!,�0�C��#��%�@�L�@BH�0��)]!@��#5B���#D H(�)@��5���0�@�D��!,\@�IJ�F20��)��G(�N0�J�=�G-��J�0$0��Rb�@�]!@'=�5&L���D H(�#�#L'F20�@.%\>�F!G&%BFqQ!��;%%��J�D&DKF2=�5��!,\=�@���J��)0��AL���G�L�@'= G��HG�Q0�C�@&�o�!=�@�G�`E@�IJ�F20��)��G��d�H� H�= �g]��4%�@.%3�#G ?'�!U C{W sE�g?$@']!@'=�>���G�@7H�=�� H�@'=�0 5&�!,�vAI^9 ��W��6:$?�C(�#L CB?A@�?��H�#�(D&F2O!@J���@1�!,<�#�d0�C�@qL�C�F2�!0��#LRb"@�C(F�]��)��J�=d�!,<�����#J�0��)��G(�a,i�!=�L�@'= 0�F!�#G H(F2=�F!D-@'0�@'=P]2F!�#J�@��'W

(kG?'�!UDC{>E0�C�@V0�@'= D �*) � � � �H�%�#�6����@��#5xF!������L'�#F20�@.% ?��)0�C 0�C�@w�4%�@�F�0�C�F20��#��G�Q �{0�@'= D b�@�C�F�]��)��J�=3�!,�����#J�0��#��G����#G-F>%�@'0�@'= DK�#G��#��0��HL$��5��0�@�D��#��@GF�C��)b(�)0��HG�Q���@�G����)0��)]!@�%�@BH�@�G&%�@�G�L�@d��G&�#G��#0��#F!��L���G&%��)0��)��G(�'W�[PC(F20D&F2O!@��dF!G65K�)��G�QT0�@'= Dp�#G60�@'Q!= F20��)��G@%��,+BL'J��)0NF!�dG�@�F2= b65&0�=�F.-k@�L�0��!= �#@��a?��#�#�M��@BH(F2= F20�@�@GF-H"��G�@�G;0��#F!�H�)5�,cF!��0'W[PC��#�qb"@�C(F�]��)��J�=4DKF2O!@��4,c�!=�F^b(F!� �#�q,c�!=TL���D H(F2= �#G�Q %��"!�@'=�@�G;0TG6J(D-@'= �#L'F!�AD-@'0�C��-%��'>h@�� H�@�L'�#F!�#�)5V�),d?$@?$F!G60P0��%L C�@�L O*0�C�@RF!L'L'J�= F!L�5*�!,������HJ�0��)��G��a,c=���D GJ�D-@'= �HL'F!�\�#G;0�@'Q!=�F20��!= �EF2Q�F!�HG���0P��G�@4��J�L C^F!�X576�v �;X?�C��#L�CK�#�$C��)Q�C(�)5-F!L'L'J�= F20�@!W <��!=d0�C�@���F!D&@���0�@BHM���)`'@>J\>�0�C�@�0��#D-@��)0N0�F2O!@��d�#GB0�C�@��#G60�@'Q!= F20��)��G1H�@'= �)�-%-,i�!=0�C�@q�����#J�0��)��G��a,c=���D F0H(F2= 0��#L'J��#F2=PD-@'0�C��;%*0��1%��)]!@'=�Q!@1,c=���Dp0�C(F20��!,`576�v �;X����L'F!G�b�@10�C�@qD-@�F!��J�=�@q�!,C��g?�F!L'L'J�= F20�@40�C�F20�D-@'0�C��-%^�H�'WN[PC�F20P�H�'>�0�C�@R�#��G�Q!@'=P0�C�@R�����#J�0��)��G��a,c=���D�FZH(F2=�0��#L'J(�#F2=P�#G60�@'Q!= F20��!=�F2= @F2b(�)@q0��B,i���H�)�g? 0�C�@4�����HJ�0��)��G��d,c=���D 576�v �;X>"0�C�@�G�0�C�@4D-�!=�@TF!L'L'J�= F20�@T0�C�F20ED&@'0�C��;%}�#�'W/( 0E��C���J(�4%*b�@@�F!��5T0��R�4%�@�G60��),c5q0�C��#���)@�G�Q!0�C-�!,M0��HD-@!>;���#G(L�@a�����#J�0��)��G����HG40�C�@0�o�!=�@�G�`d@�I6J�F20��#��G���F2=�@���@�G(���)0��)]!@a0��R�#G(�)0��#F!�L���G&%��)0��#��G��'>�F!G&%����H�)Q�C;0dL�C�F!G�Q!@��E0��&0�C�@1]2F!�#J�@��d�!,<0�C�@R�����#J�0��)��G*�#G*F!G65%��G�@q�!,<0�C�@1�-L���DZH���G�@�G60���L'F!GL'F!J���@ %�= F!��0��#L7%��"!�@'=�@�G�L�@����#G30�C�@R�����HJ�0��)��G��aF20EF-�HF20�@'=�0��#D-@!WK �#����>A�#0T0�J�= G��T��J�0-0�C�F20-0�C�@2���!=�@�G�`3@�IJ�F20��)��G��&F2= @3F!Gs@GF�F!DZHM�)@*�#GSF�_^F20��#F2bx0��6���)b�� F O�G��g?EGF!�43257698 �:� ? Z�UDC{W�6�@']!@��)� H�@.% b5 vNG�Q;:�>�_}F2=�0�C��#G(��@�G\>EF!G3% _^J�G60�C�@$�=<qF!F!�^�#G ���!=�?aF�5!>>6��"!o_^F!GJ�0��#�#�H��@��P0�C�@�L'F!�#L'J��HF20��)��GVF!G&%tQ!= FDH(C��#L'F!� H��g?$@'= ���!,$_}F20��#F2bV0��*�����)]!@��!=9%��#G(F2=�5 %��"!�@'=�@�G60��#F!�o@�IJ�F20��)��G����GwD&F!G��),c���4%���>�J(���#G�Q3F3]yF2=��)@'0n5t�!,>���)@�Q!=���JIHw0�@�L�C�G��#IJ�@��'W?( GV0�C�@-@GF�F!DZHM�)@���,i�!=4�����)]��#G�Q%0�C�@@�o�!=�@�G�`@�I6J(F20��)��G��'>a�)0K�#�K�#G;0�@'= @���0��#G�Qw0�� G��!0�@�0�C�F20B?�C�@�GsJ�� �#G�QV0�C�@8'A<R_B< D-@'0�C��-%\>$0�C�@^D&F!G��#,i���4% � �H�%�@'z(G�@.%VF!�10�C�@ %���D&F!�#Gt�!,$Q!=���JIH(�1F!L�0��#G�Q*��Gw0�C�@�D&��@��#]!@��'>o0�C�@@���)@�Q!=���JIH�C��#�1� �#DZH(�)54DFEh>�F!G&%V0�C�@

���)@BF!�)Q!@'b�= F��H�RF!�#���BD E F!G3%�F2b�@��#�#F!G\W%[PC�@G���)@KF!�)Q!@'b(= F^F!L�0��)��GIH �#�1Q��)]!@�Grb5t0�C�@B��0�F!G&%(F2=9%�]!@�L�0��!=F %&%��)0��#��G\>#H�9 �#J �:>� � l 3,c�!= �*F!G&%4 2KBDFE�>"F!G&%����B0�C�@RD&FDH3H(�#G�QGL �MDON � PRQ �#G K ����J�DZH(0��)��GZ*S#Z1�#�d���#D H(�)5GL �;DTE P DTE},c�!=d0�C��#�a��@'0�0��#G�Q�>�F!G&%30�C�@1Q!@�G�@'= �HL H(=�@���@�G60�F20��)��G*�!,=%��VU�@'=�@�G;0��HF!�(@�IJ�F20��)��G��9c�!=�0�C�@T�HG�z(G��)0�@�� �#D&F!�\Q!@�G�@'=�F20��!=&W.Xx:E�#�E=�@.%�J�L�@.%}b(F!L�O}0��30�C�@4�!=��)Q��#G�F!� %��VU�@'=�@�G;0��HF!��@�IJ�F20��)��G\>�?�C�@'=�@LtF!G&%2Y F2=�@4G��g? 0�C�@q��F!D-@RDKFDHf?�U[Z C{> \9 j :\�]YK9! �:^J ?�C�@'= @_Ya`;D E P D E W( GK�!0�C�@'=$?A�!=9%(�'>;0�C�@��o�!=�@�G�`�@�IJ�F20��)��G��AL'F!GBb�@������)]!@.%&b5-0�C�@ 'A<R_b< D-@'0�C��-%%�#G&�)0�� H�=�@���@�G60N,c�!= D��HGvNI39!c�W'c6:�W K �#����>�b�@�L'F!J���@�0�C�@0���#@aF!�#Q!@'b�= Fq�#�NF2b"@��H�#F!G\>!0�C�@PF %d-����#G60m� H�@'= F20��!=NF % je 9!W�:f�gWTF!G&%&F % Ee 9!W�:\�A-,c�!=0h q Z2WA[PC�@�Go>�0�C�@R�#G6]!@'= ��@R�!,h0�C�@ %��VU�@'=�@�G60��#F!�\�!,<0�C�@q@GF-H���G�@�G;0��HF!�oD&FDH8%�@GF-H i je 9!W�:9�kWM>MF!G&%��HG0�C�@ 'A<R_B<fF!�)Q!�!= �)0�C(DpQ��)]!@�G^�HGbl@�L�0��)��Gm�Wn�>po n;q � n[q W�s�@�G(L�@!>$r.)ts�s � r.5!udsbvxwb8yw �3�!z �#ud57r.) � 57{u.s ~T| �;s ~ rg�}r.)ts8� ��� {~{�5 � �3� v |T�tz s � w | r~r �f� sMr.)�� ~ W

�E�g?q>��)@'0AJ(��,i���H�)�g? 0�C�@EFDH&H(=���F!L CB�!,��o�!=�@�G�`�J���@.%K?�C�@�GKC�@�G6J(D-@'= �#L'F!�#�#5T�����#]!@.%&0�C�@��o�!=�@�G�`E@�I6J(Fd�0��)��G���0�����0�J&%�5�0�C�@�b�@�C�F�]��)��J�=\�!,0�C�@m0�= F.-�@�L�0��!= �)@���,i�!=�FdQ��)]!@�Gq�#G(�)0��#F!�2L���G&%��)0��#��G1/B9 j :\� 9!�h9 j :^J \9 j :^J�"(9 j :�:K4D\��W sE@R��0�J&%(�)@.%30�C�@(H(F2= 0��#L'J��#F2=PL'F!��@4?�C�@�G � � ZBA�>$����Z . �>MF!G&%4�@� U[Z ?'�!U C{W`Ew@4��@'0P0�C�@R�#G(�)0��#F!�

Page 98: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{L���G3%��)0��)��G-/39 j :hF!�N/%9+A;:\� 9kZ��MJ x U�Z*J Xdc6:�>�F!G&%-�#G60�@'Q!= F20�@P�|]!@'=N0�C�@P�#G60�@'=�]2F!� j �p? A�J�ZBA C"?��)0�C-F1L���G���0�F!G;0��0�@BH(���)`'@q�!,`J�� Z . UDA�Wd[PC�@q�#G60�@'Q!= F20��!= ��?A@4J���@.%*,c�!=������)]��#G�Q-0�C(�#�a@GF�F!D H(�)@R�#G(L'�#J&%�@�0�C�@RL'�#F!� ���#L'F!� c!0�C�!=/%�@'=c'A< D&@'0�C��;%o>;0�C�@��#DZH(�H�#L'�)0Tc!0�CK�!=/%�@'=�21F!J����$D-@'0�C��-%\>;0�C�@7'0<4_B< D-@'0�C��-%t9c?�C(�#L CB�#�m0�C�@���F!D-@F!��0�C�@ 'A< D-@'0�C��-%*�#G30�C��#��L'F!��@|:�>MF!G&%3zMG�F!�#�)5!>�_}F20��#F2bo���X5>6�vfc;X�,c�!=EL���DZH(F2=��#����G\W�N�)�!0�0��HG�Q-0�C�@R= @���J��)0��P�HG*0�C�=�@'@ %(�#D-@�G����#��G��d�#G <<�)Q�J�=�@1c�W'c�>M?$@4��@'@40�C�@RFDH&H�@�F2= F!G(L�@q�!,�0�C�@q, F!D-��J��

� �$uds ��� � | r~r�s u�� � ,i=���D F!�#�$,c��J�=��!,P0�C�@*�#G60�@'Q!= F20��!= �&J(��@.% 0��V�����)]!@*vNIx9!c�W'c6:�WS[PC��#�T�#�4OG��g?�G F!�0�C�@4L C(F2�!0��#L4F20�0�=�F!L�0��!=�>\?�C��#L�C��#�E�)�6����@��)5 %�@'z(G�@.%�F!��FK��@'0�0��%?�C��#L�C�F!�#��G�@��)Q�C;b���J�=��#G�Q�0�= F.-�@�L�0��!= �)@��L���G6]!@'=�Q!@!W���#��F3L'�)����@.%V��@'0'>o��J�L�Ct0�C�F20���#��F!Gw�#G6]yF2= �HF!G;0���@'0'>oF!G&%VF20�0�= F!L�0��qF!Gt� H�@�GV��@'0��!,A�#G��#0��#F!�L���G3%��)0��)��G��a?E�)0�C��#G%0�C�@qbMF!���#G3�!,<F20�0�= F!L�0��)��G}�!, Q?'�!U C{W

−200

20

−50

0

500

20

40

60

x

RK4

y

z

−200

20

−50

0

500

20

40

60

x

Gauss

y

z

−200

20

−50

0

500

20

40

60

x

RKMK4

y

z

−200

20

−50

0

500

20

40

60

x

ODE45

y

z

<<�)Q�J�=�@fc�W'c�` D 5�� +1� #�%�� # ������� ����9 %% 9�&� �$# ��� 9�� �>�� � #�' �3� � � � � � �� % �)�!�+�� 5���� �&�!� # � ��# � �&���!��� �� % 0���9�� # % ���= ��# �? ACB � : � E : � HKJ �$R�� ��� � R � ! �%�0�FIHKJML�0 FPO J-R�L�0�� #�5 � J R&� � L :

K �#0�C���J�Q�C^F!�H��,c��J�=�F20�0�= F!L�0��!= �qC�Fg]!@�0�C�@T� F!D-@4,c�!= D��#G�0�C�=�@'@w%(�#D-@�G����#��G��'>�0�C�@Tb�@�C�F�]��)��J�=E�!,m0�= Fd�-�@�L�0��!= �)@���,c=���D %��VU�@'=�@�G60�D&@'0�C��;%(���H�EG��!0�0�C�@���F!D-@!W4[PC��#�EL'F!GVb"@���@'@�Gt,c=���D�0�C�@0H(�)�!0����!,m0�C�@�0�C�=�@'@L���D H"��G�@�G;0��R�!,$�����HJ�0��)��G��1/39 j :�,i=���D @�F!L C��!,a0�C�@-,c��J�=R�HG;0�@'Q!= F20��!=��q0�@���0�@.%\><F2Q�F!�#G���010�C�@K�#G60�@'Q!= F20��)��G0��HD-@q�#G60�@'=�]yF!� j �p? A�J�ZBA C<�#G <<�)Q�J�=�@&c�WYXWf�E�!0�@R0�C(F20d0�C�@10�C�=�@'@qL���DZH���G�@�G60������HJ�0��)��G��$,c=���Dpb��!0�C '0<&cF!G3%�'0<4_B<&c}F2=�@K@GF�F!L�0��)5w0�C�@K� F!D-@!>�F!�q?$@K@GF-H"@�L�0�@.%�,i= ��D 0�C�@1%��#��L'J�� ���)��GvH�=�@']��)��J����#5!W K ����J�D&�HG�Q0�C(F20z576�vfc;X�D-@'0�C��;%:H�=��-%�J�L�@.%R0�C�@AD-����0hF!L'L'J�=�F20�@a�����#J�0��)��G���>g0�C�@�G4?A@aL'F!G���@'@N0�C(F20�0�C�@$b�@�C�F�]��)��J�=��!,�����#J�0��)��G��A,c=���D��!0�C�@'=a�HG;0�@'Q!= F20��!=��c%��TG��!0$,c���#�)�g? 0�C�F20$�!,�576�v\c;X���$,c�!=a0�C�@E@�G60��)=�@��#G60�@'Q!= F20��)��G1H�@'= �)�-%\W[�C��#�1�#�(%(J�@&0���0�C�@B��@�G����)0��#]�)0 5^�!,d�����#J�0��)��G��10���0�C�@K�#G��)0��HF!�hL���G3%��)0��)��G���>�F!G&%��HGV0�C��#�qL'F!��@!>h0�C�@&]2F!�#J�@�!,A/ q F20�0�C�@Tb�@'Q��#G�G��#G�Q-�!,m0�C�@��{0�CV�#G;0�@'Q!=�F20��)��GV��0�@BHoW7<��!=1F!�#��0�C�=�@'@TL���D H"��G�@�G;0����h9 j :^J \9 j :^J�"(9 j :�>o0�C�@�����#J�0��)��G���,c=���D '0<�� 'A<R_b<->\F!G&% 2�F!J�����D-@'0�C��-%��1F2=�@0H�= @'0�0n5}L'�#����@�0��*0�C�@-�����#J�0��)��G(��,c=���DV576�v\c;X,c=���D+0�C�@-�#G(�)0��#F!�o]2F!�#J�@ j �A%0��*=���J�Q�C��#5 j � �W sE�g?$@']!@'=�>�F2,c0�@'=10�C�F20'>������HJ�0��)��G��E,i= ��D 'A<�� '0<4_B<D&@'0�C��;%(�h� �)�g?��#5(%�= �),c0�@.%4Fg?$Fg54,c=���D 0�C�@,576�v\c;X���<0�= F.-�@�L�0��!= �)@���J(G;0��#�60�C�@��)=hb�@�C�F�]��)��J�=���F2=�@aL���DZH(�#@'0�@��)5%(�VU"@'= @�G;0h,i= ��D = ��J�Q�C��)5 j � X SYXWfl��#DK�#�#F2= �)5!>|0�C�@a�����#J�0��)��G(��,c=���D�0�C�@,2�F!J����<D-@'0�C��;%�F2=�@d���#�#Q�C;0��)51b�@'0�0�@'=

Page 99: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� �$uds ��� ��� | � r.5c� � { ���

0�C�F!Gw0�C�����@&,i= ��D '0<�� '0<R_b< D-@'0�C��-%��'>h�#GV0�C�@K��@�G���@&0�C�F20R0�C�@&0�C�=�@'@BL���DZH���G�@�G;0��R�����#J�0��)��G(�1,i= ��D0�C�@021F!J�����D-@'0�C��-%�,c���#�)�g?$@.% 576�v\c;X����0�= F.-�@�L�0��!= �)@���,i�!=�FB�#��G�Q!@'=E�)@�G�Q!0�C^�!,�0��#D&@!>MJ�G60��#�o0�C�@'5 %�= �),c0�@.%FDH(F2=�0qF201=���J�Q�C��)5 j �feW�( GV0�C(�#�1L'F!��@!>��!,$0�C�@-0�C�= @'@-zIF@.%w��0�@BH(���)`'@&�#G60�@'Q!= F20��!= �q0�C�@ 2�F!J����RD-@'0�C��-%H�@'=�,i�!=�D&�$b"@'0�0�@'=E0�C�F!G*0�C�@:'0<�� 'A<R_B<�D-@'0�C��-%��'W

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−20

−10

0

10

20

x3 components of the Lorenz solutions.

RK4GaussRKMK4ODE45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−40

−20

0

20

40

y RK4GaussRKMK4ODE45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

t

z RK4GaussRKMK4ODE45

<<�)Q�J�=�@bc�WYX ` D � �+1�� # � # � % ���� � � #�%�� B F E J B��*B F E � � B F E �� B F E E ��� � ��#�% � � � +N� F 0��)� �+ % ���= �$# � � 9�� ���!� #�'?(A ����� � #�% ��# ? ACB � : � E : � H J � R � ��� � R%� ! �%�0�F H J L�0�F O J R L�0�� #�5 � J R&� � L :

Page 100: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{� M�� ���x�`[`Y\P a�� R b��0U,U W0P a�� Pcb RTY� ���Y��x�`R � WXbdY9P a����1�0PcbeY\UXW0][�C��#�<G�@GF�0h@GF-H�@'= �#D-@�G60<�#�=%�@����)Q�G�@.%T0��1z�0��#G60���0�C�@a,i=�F!D-@'?A�!= O4�!,M0�C�@�'0<R_b< D-@'0�C��-%\>�F!G&%��#�=H�@'= C�FDHM���G�@q�!,<0�C�@RD-����0EF2=�0��)z(L'�#F!��FDH&H(�#�#L'F20��#��G��$�!,<F!�H� WN[PC��H�d�#�db�@�L'F!J���@10�C�@4D&F20�= �LF %��VU�@'=�@�G60��#F!�\@�IJ�F20��)��G*0��b�@a�����)]!@.%��#�=%�@����#Q�G�@.%R0���,c@�F20�J�=�@$0�C�@dF %�]2F!G;0�F2Q!@d�!,"J����#G�Q�0�C�@�'0<R_b< D-@'0�C��-%\>2?�C��#L�C H�= @���@'=�]!@��<����D-@H(=�� H�@'=�0��)@����!,$0�C�@&�����#J�0��#��Gt�HG}0�C�@&��5��0�@�D*W�( GV0�C��H�1L'F!��@!>�?$@&?��#�H��b�@�?A�!= O�#G�Q%?E�)0�Ct0�C�@&D&F20�= �LF����)@Q!= ��JIH l&5-9 ��:EF!G&%V�)0���F!������L'�#F20�@.%����#@TF!�)Q!@'b(= F����69 ��:�>\?�C��#�)@40�C�@-L C�F2=�F!L�0�@'= �#��0��#LT?$@�?$F!G60�0�� H�=�@���@'=�]!@�HGx0�C�@tG6J(D-@'= �#L'F!�E�����#J�0��)��G �#�B0�C�@}�!= 0�C��!Q!��G�F!�#�)0 5s�!,10�C�@VD&F20�= �LF \9 j :�K l&5�9 ��:�W �o@'03J��%L���G����4%�@'=� � C ��l&5�9 ��:�>�F!G3%BJ���@E0�C�@�@GF-H"��G�@�G;0��#F!�"D&FDH3F!�a��J�=aL��6�!=9%(�#G�F20�@�D&FDH&H(�#G�Qq,i= ��D����69 ��:N0��@l&5-9 ��:�W[�C�@�G\>�0�C�@1���)@1F!�)Q!@'b�= FKF!L�0��)��G�?$@1?$F!G60�0��BJ���@q�#�d���HDZH(�)5&0�C�@RD&F20�= �LF3D4J(�)0�� H(�#�HL'F20��)��G\>

H�9!W#J���:f����9c@GF-H�9!W�:^J��\:f� @GF-H�9!W�:����%J ?�C�@'=�@ W K ���69 ��:�>!�bK � ��l35-9 ��:�W[�C�@qF!J�0���G���D-��J(����5���0�@�Dp�!,z%��VU�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G��d?$@q?aF!G;0�0��K�����)]!@R�H�aQ��)]!@�G�b5!> �9 j :F�]L�9! \9 j :�: \9 j :^J \9+A;:\�g j J 9!c�WYX�:?EC�@'=�@& \9 j :/Kml&5�9 ��:�>MF!G&%2Lm`�l&5�9 ��: P ���69 ��:aF!G3%�C�F!�d0�C�@R,i�!= D �#G�_^F20��HF2bu?�U[Z C{>L�9! �:F�$%��HF2Q(9+%��#F2Q(9! J�Zg:^J�Zg: x %(�#F2Q�9+%��#F2Q(9! J�Zg:^J x Zg:^S[�C��#��, J�G�L�0��)��G�L�9! �: H�=��-%�J�L�@���F���O!@'? �n��5D&D&@'0�= �#L-D&F20�= � Ft�#GV0�C�@&L��!= =�@�� H���G&%��#G�Qx���)@-F!�)Q!@'b�= F"���69 ��:�W[�C�@��HG��)0��#F!�ML���G&%��)0��)��G j ?aF!�$Q!@�G�@'= F20�@.%*b5&z(G3%��#G�Qq0�C�@�D&F20�=��LF$#��#GB0�C�@&%7' D-@'0�C��-%%,i�!=dFT= F!G&%���D

�@NB�-D&F20�= � F%�#G^_}F20��#F2bo>�?EC��#L C^C�F!�d0�C�@1,c���#�)�|?��#G�Q�]2F!�#J�@��'> j � '( x A�Sn�DA�e!U*)*)*)!X[�[�dc;U �2e x A�S'c;e!e �.c Z!e[�!X!e �*�!X*) x A�SnZ!U*)!e!Xdc�Z��.c �.c+)[� �x A�S A�e!X[Z�ZBA�U �2U!e!XDA�Udc x A�SnZ!X*)DA ��� A*c;e[Z[�DA;Z � A�SYXDA �2X*) �,)DA �.c;Udc Z�Zx A�S-)dc+)!e!X �.c Z*)DA.)!X*)DA A�SYU�ZBA A �2e*)[Z!U[ZDA�e ��� A�SYU[�!Udc�Z~Zdc A*c �[Z*)[� � /0 S

2��)]!@�G-0�C(F20N?$@POG��g? \9+A;:\�g j >6?A@P?aF!G60N0��R�����#]!@P0�C��#�m��5��0�@�D�0��Rz(G3%�0�C�@�D&F20�= � F������HJ�0��)��G� \9 jkl :,c�!=E����D-@10��#D-@q�#G30�C�@q,cJ�0�J�=�@ j�l W13254�276 8:9<;*=+>@?BA�?DCFEHG3IJGK;.>L9NMO9NGQP�;*R3ITSU9NP$VITWXCQC3=.EY?Z>7[\9<;.>LEHGQ]51G�@�]!@'=�5B�#DZH��!=�0�F!G60m=�@��#F20��)��G(��C�� H-b�@'0n?$@'@�G%@��)@�D-@�G60��a�#G-0�C�@ ���)@�Q!=���JIH2C F!G&%%�)0��AL��!=�=�@�� H���G&%��HG�Q_���)@F!�#Q!@'b�= F Q �#��0�C�@&@GF-H���G�@�G;0��HF!�mD&FDHoW <��!=4D-����04L'F!��@!><@�� H�@�L'�#F!�#�)5t�#GwG6J(D-@'= �#L'F!�<@GF-H�@'= �#D-@�G60��'>o?$@BF2=�@%�@�F!�#�#G�Q3?��)0�CVD&F20�=��LFb���#@TQ!= ��JIH�F!G&%wD&F20�= � Fm���#@�F!�#Q!@'b�= F�W4[�C�@�G\>oF!�qD-@�G60��)��G�@.%w�HGw�dC�FDH�0�@'=&Z2>o0�C�@DKF20�= �LF3@GF;H���G�@�G60��#F!�\@GF-H2` Q�P C �#�dQ��)]!@�G�b65%0�C�@R��J(D*>

@GF;Hh9!W�:\� ^_ `ba jW`n<c Jed#WxK Q S

( G3GJ�D-@'= �HL'F!�ML���DZHMJ�0�F20��)��G��'>�0�C�@1D&FDH3H(�#G�Q"f J(��@.%3�#GK0�C�@�FDH3H�=��.F��#D&F20�@�0�C�@1D&F20�=��LFK@GF-H"��G�@�G;0��#F!�DTJ���0Rb"@-��G�@B��J�L�Cw0�C�F20"f ` Q�P CTW%[�C��#�1F!�#�)�|?��1,c�!=R0�C�@BL'F!�#L'J��#F20��)��G��!,gf�0��^b�@-�!,a0�C�@&�!=9%�@'=4�!,0�C�@q�#G;0�@'Q!=�F20��!=P= F20�C�@'=d0�C�F!G3�!,hD&F!L C(�#G�@7H�=�@�L'�#� �)��Gv? Zh) C{WZi$@�L'F!J���@q0�C��H�A� H�@'= F20��#��G%�H�$�HDZH��!=�0�F!G;0d�#G%0�C�@'A<R_b< K �#Q!�!= �)0�C�D*>�?A@&G�@'@.%�0���z(G&%V?aF�5��q�!,aFDH&H�=�� F��HD&F20��#G�Q30�C��#�1DKF20�= �LFV@GF;H���G�@�G60��#F!��F!L'L'J�= F20�@��#5@�G���J�Q�C\>�� J�L Cw0�C(F20R�)0�?A��J(�4%wG��!0 %�@���0�=��g5t0�C�@KF!L'L'J�=�F!L�5VF!L�C��)@']!@.%�,i�!=q0�C�@&�����#J�0��)��G(�1�#GV0�C�@ '0<4_B<D&@'0�C��;%(�'WK �TD-@�G60��)��G�@.% �#G �dC�FDH�0�@'= �><�#,d0�C�@ ���)@KQ!=���J&H C �#�TI6J�F %�= F20��#L2>h0�C�@�G�0�C�@*�aFg5�#@'5�D&FDHr�!=�0�C�@%(�#F2Q!��G�F!� �hF %kj@qFDH3H�=��.F��#D&F!G60��$L'F!GBb�@�J���@.%&0��-FDH&H(=��.F��#D&F20�@E0�C�@�DKF20�= �LF&@GF-H"��G�@�G;0��#F!�"D&FDHoWT(kG%_^���)@'=F!G3%mlmF!Gm�o��F!G\���,H(FDH�@'=w?�U!X C{>M0�C�@'5*�#�#��0�@.%�G(�#G�@'0�@'@�G!n %�J�b(�)��J���o�?aF�5��E�!,�z(G&%��#G�Q40�C�@4@GF;H���G�@�G60��#F!�\�!,mF

Page 101: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� � s;� 5 �3� �@u�r.)�� z � � �3� 8 � r�u*5 � 32576fs uds � r.5 �3� � � | � r.5c� � { ���

D&F20�= �LF�>2�!,�?�C��HL C40�C�@dD-@'0�C��-%4�!,��hF %kj@PFDH3H�=��.F��#D&F20��#��GR?aF!���#G�L'�#J3%�@.%\W�[PC�@ %��#� L'J������)��GR?$F!��D&�!0��)]yF20�@.%b65K0�C�@EO�G��|?��)@.%�Q!@�0�C�F20$0�C�@1�����#J�0��)��GG�h9 j :N,i�!=aF�D&F20�= �LF %��,U"@'=�@�G60��#F!�M@�I6J(F20��)��G\> �h9 j :\� A�h9 j :�>�C(F!�A0�C�@,i�!=�D*>��h9 j :\�������� j >�?EC�@'=�@���� �#� %�@'z(G�@.%3b5B0�C�@4L���G;]!@'=�Q!@�G60,H��|?A@'=���@'= �)@��'>� �� �g( % l j l 9 j 1: �U c l �b�b��J?�C�@'=�@ ( % �#�R0�C�@%� %�@�G;0��#0n5�D&F20�= � F"W 2��)]!@�Gr0�C�F204,c�!=���J�=wH(F2=�0��#L'J��HF2=0576�vP>h0�C�@%D&F20�= �LF�G��!=�D��!,P0�C�@�����#J�0��#��G4 *�#��J�� J�F!�#�)5%��D&F!�#� >(0�C�@�G�0�C�@4D-@'0�C��-%�b5 �hF %kj@ K H&H�=�� F��#DKF20��)��G��#�E�#�)O!@��)5%0�C�@Rb�@'0�0�@'=�L C����#L�@,i= ��Dp0�C�@1= F!G�Q!@R�!,hD-@'0�C��;%��,%��#��L'J�� ��@.%*�#G ?�U!X C{W[PC�@K9 �tJ��!: �hF %kj@TFDH&H�=�� F��HD&F20��)��G30�����r�#��%�@'z(G�@.%3b5������ �/�p? ����� �29 �:*C i j�� ��� �y9 �:�>M?�C�@'=�@!>

� ��� �|9 1: ��_` a j

9 � l � x n : c � c9 � l ��: c n<c 9 � x n : c `J

����� �|9 1: ��_` a j

9 � l � x n : c � c9 � l ��: c n<c 9�� x n : c 9 x 1: ` S(kG��! �"$#&%�')(%�!,:?�U!X C{>�����D&@K�!,d0�C�@3�#����J�@��qL���G�L�@'= G��HG�Q^0�C�@%J���@B�!,d0�C�@ �<F %kj@*FDH&H�=�� F��HD&F20��)��G��10��z(G&%*� F2=�@0%��#��L'J(����@.%��#Gv%�@'0�F!�#�{W�[PC�@TD&F!�#G H"���HG;0���?�C��#L�C}F2=�@T=�@��)@']2F!G60E0��%��J�=������)]��#G�QK�!,�0�C�@Z576�v�#G*vNIV9!c�WYX�:d�HG�L'�#J&%�@!>| l��HG�Q�J��#F2= �#0n5&�!,+����� ���#�PF�]!��� %�@.%��),Y�}F!G&%,�-F2=�@qL�C�����@�G^0��&b�@q�#F2=�Q!@q@�G���J�Q�C\W| '���J�G&%��*UV@'=�=��!=�DKF2O!@��P0�C�@ �<F %kj@4FDH3H�=��.F��#D&F20��#��G��PJ�G�= @��#�#F2b(�)@!W| �<F %kj@4FDH3H�=��.F��#D&F20��#��G*L'F!G�b�@qJ���@.%*�),.- /-E�#�dG��!0P0���K�#F2= Q!@!W| [PC�@7%(�#F2Q!��G�F!�\FDH&H�= �.F��#D&F!G60R9 ���0��:$�#��H�=�@',c@'=�=�@.%3�|]!@'=�0�C�@1�*U %��HF2Q!��G�F!�\FDH&H�=�� F��HD&F!G;0q9 ��1�0��:�W[��B�|]!@'= L���D-@&����D-@��!,m0�C�@:H�= �!b(�)@�D&�EF!������L'�#F20�@.%t?��)0�C}0�C�@��<F %kj@-FDH&H�= �.F��#D&F20��)��G���>M0�C�@T,c���#�)�g?E�#G�Q,cJ(G&%�F!D-@�G60�F!�dH�=�� H�@'=�0 5B�!,h0�C�@q@GF-H���G�@�G;0��HF!��,cJ�G(L�0��)��G*�#�PJ���@.%\>

� � 92� 43 5 : 5 J?�C�@'=�@ g �#�TL C�����@�G 0��}b�@BF H��g?$@'=��!,d0n?$��>m�!,i0�@�G Q��)]!@�G b5w0�C�@3��D&F!�#�)@���0 H��g?$@'=4�!,�0n?$�t,c�!=T?�C��#L�C- 6- . g 7 Z2Wp[PC�@wF!L�0�J�F!�q=�@���J��)03,c�!=8��f�#�%=�@�L��g]!@'=�@.% b65 =�@BH�@�F20�@.% ��IJ�F2= �HG�Q�W�[PC��H�%D&@'0�C��;% �H�L���G����4%�@'=�@.%V0���b�@���G�@&�!,$0�C�@&D-����0q@ U�@�L�0��)]!@B?$Fg5t�!,$z(G&%(�#G�Q%0�C�@KD&F20�= � F}@GF-H"��G�@�G;0��#F!�{>�F!G&%V0�C�@K�HD��H(�)@�D-@�G60�F20��)��G �!, s � �=� �#G _}F20��#F2bs�#�Tb(F!��@.%S��GS0�C��H�T� L'F!�#�#G�QVF!G&%S��IJ�F2= �#G�Q �<F %Qj@ K H3H�=��.F��#D&F20��#��G0�@�L C�G(�#I6J�@!>�Q��)]!@�GS�#G�9;: <=%�>@?�"$#BADCECEFHGBF$C3,c=���D ?�U!U C{Ww[PC�@ �hF %kj@*FDH&H(=��.F��#D&F!G60TJ(��@.%S�#G s � ��� �#�R0�C�@%��#F2Q!��G�F!�\FDH3H�=��.F��#D&F!G60I�&9 e J e�:�>

�&9 e J e�:9� ( % l j� lKJ~�~ � l jLML A� l jNPO � ~ l jj JMQ ~ j J l jLML J � Q j L( % x j� lKJ~�~ � x jLML � l jNPO � ~ x jj JMQ ~ j J l jLML J � Q j L JF!G&%t0�C�@&L��@ +KL'�)@�G601,i�!=1@�F!L�C H��g?$@'=1�!,A0�C�@-D&F20�=��LF ` �#��F*��L'F!�HF2=qD4J��#0�� H(�)@4�!,N0�C�@&L��@ +KL'�)@�G601,i= ��D0�C�@wH�=�@']��)��J�� H��|?A@'=��!, 4W&9 � W�@!W�L��@ +KL'�)@�G60�R ` ,i�!=� ` �#�EQ��)]!@�Gtb658R ` �y"ER

`i j >�?�C�@'=�@�"2K�DdW : [�C�@= F20��)��>p"�>M�#�dQ��)]!@�G*b5!>

"�� R`

R`i j

� 7 9 U�� x n : c � c9 U���: c n<c 9�� x n : c 8 . 7 9 U�� x 9 n x Zg:�: c � c9 U���: c 9 n x Zg: c 9�� x 9 n x Zg:�: c 8 � �x n(l Zn 9 U�� x n(l Zg: S_}F20��#F2bo���ab(J��H�)0 �n�#G&, J�G�L�0��#��G s � ��� �#�aL��;%�@.%*�HG3��>�b(J�0A0�C�@1��F!D&@�F!�#Q!�!= �)0�C�D��#�aF!�#���-�#D H(�)@�D-@�G60�@.%�#G�_}F20��#F2b^L��-%�@RF!�0s � �=� �� � Wz<��!=�, J�=�0�C�@'= %�@'0�F!�#�#��HM�)@�F!��@1=�@',c@'=P0�� K H&H�@�G&%��LF iEW

2��)]!@�Gt0�C�F20�?$@-C�F�]!@�b�= �#@�S�5 %��#��L'J(����@.%�0�C�@�DKF20�= �LF�@GF-H"��G�@�G;0��#F!�<L'F!�#L'J(�#F20��)��G\>�F!G&%t0�C�@Z%�@'0�F!�#�#�E�!,0�C�@�'0<R_b< K �#Q!�!= �)0�C�D��#G&�aC�FDH�0�@'=\�>�?$@dG��g? ?aF!G60h0��qFDH3H(�)510�C��#�h0�@�L�C�G��#IJ�@$0��q�����)]!@a0�C�@�%��VU�@'=�@�G60��#F!�@�I6J(F20��)��G��#G*vAIt9!c�WYX�:�W

Page 102: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

�� � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{13254�2�� ��� 1\9NG3P���� 8�� 1��XIJ]�3ML;*]21�)]!@�G%0�C�@E�!=/%��#G�F2=�50%��VU�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G(�A�#G%vNI�9!c�WYX�:AF!G&%B0�C�@��#G��)0��HF!��L���G&%��)0��#��G��\ j �HGxl@�L�0��)��Gxc�Wn�>?$@�?$F!G60�0��%�����)]!@�,i�!=�0�C�@�� H�@�L'�#F!���!= 0�C��!Q!��G�F!�<D&F20�= �LFb �9 j :PJ(���#G�Q&b��!0�Ct0�C�@T0�= F %��)0��#��G�F!��'A<fD-@'0�C��;%F!��?A@��H�\F!�P0�C�@ 'A<R_b< D-@'0�C��-%*�#G60�=��;%(J�L�@.%*�#G^�aC�FDH(0�@'=A�W<<�)= ��0��)5!>(?A@4?$F!G60�0��3L C�@�L O�0�C�F20E0�C�@:'A<R_B<fD-@'0�C��-% H�= @���@'=�]!@��E0�C�@q�!=9%�@'= �-�!,�0�C�@ 'A<�D-@'0�C��;%��GB?�C��HL CK�#0A�#�Nb(F!��@.%\W�[��w%��40�C��#�'>;0�C�@ H(=��!b(�)@�D �HGKvNI�9!c�WYX�:N?aF!�A�HG;0�@'Q!= F20�@.%%,c=���D jkj �$AR0�� j�l �$A�S#Z2>?E�)0�C�b��!0�C�@GF-H(�#�HL'�)0('0<�F!G&%�'A<R_B<�D-@'0�C��-%��'>hb(F!��@.%���G�0�C�= @'@ %��VU�@'=�@�G60 iaJ�0�L C�@'=T[hF2b(�)@�F!Jr�#G ?�e C{>?E�)0�C}GJ�D4b�@'=E�!,N��0�F2Q!@��1F!G&%^�!=/%�@'= ���� U J��@� U>\F!G&%��� � J��@� �>\F!G&%�?�Oc�J��@�Oc%= @�� H�@�L�0��)]!@��)5,c=���D �#@',i0d0��B= �)Q�C60'W

Aj� j�A Z

A�� ��A x �� ��jj � �~ jL

Aj� j�j� A j�Z A A Z

jL j� j� jL

<<�)Q�J�=�@�c�WYe %��#�\H(�#F�5��T0�C�@*G�F20�J�= F!�d�#�!Q�F2= �)0�C�Du�!,�0�C�@3Q��)�!b(F!�a@'=�=��!=���,i=���D 0�C�@ %��VU�@'=�@�G;0-D-@'0�C��;%��F2Q�F!�HG���0-��0�@BH(���#`'@@JoW�[PC�@%Q��)�!b(F!�A@'=�=��!=*-� q x q i j --L��!=�=�@��\H"��G3%��#G�Q}0��t@�F!L�C C�F!�)]��#G�Q}�!,���0�@BH(���#`'@@J q?aF!�^L'F!�HL'J��#F20�@.% ,c=���D 0�C�@�U.�nG��!=�D �!,40�C�@ %(�VU"@'= @�G�L�@wb�@'0n?$@'@�G 0�C�@wz(G�F!�������HJ�0��)��Gk q F!G3%] q i j F200�C�@8H�=�@']��)��J�� J q i j W Ew@t�!b(��@'=�]!@}0�C�F20&0�C�@t���)� H�@��-�!,�0�C�@}@'=�=��!= �-Q!@�G�@'= F20�@.%xb5 0�C�@�0�C�=�@'@8'0<4_B<D&@'0�C��;%(��F2= @T= ��J�Q�C��)5 HMF2= F!�#�)@���0��*0�C�����@�,i= ��D�0�C�@�L��!= =�@�� H���G&%��#G�Q '0<�D-@'0�C��;%���Wq[PC��#�E�#DZH(�#�#@��P0�C�F200�C�@���0�= J�L�0�J�= @*�!,E0�C�@ 'A<R_b< D-@'0�C��-%rH�=�@���@'=�]!@��&0�C�@*�!=9%�@'=6�t�!,�0�C�@�J�G&%�@'=��)5�HG�Q8'0<�D-@'0�C��-%\>AF!���0�F20�@.%�b5}[PC�@'�!= @�D �W#ZBA��#G}l@�L�0��)��G}�Wn�W�(kG}0�C�@&L'F!��@-�!,A0�C�@������#J�0��)��G��� },i=���D U2G3%wF!G&%}�y=9%t�!=9%�@'=D&@'0�C��;%(��,i�!=A�����)]��#G�Q1vNI39!c�WYX�:�>;'A<R_b<RU1F!G&%Z'A<R_B<��XH�=��-%�J�L�@.%-���#�#Q�C;0��)5TD-�!=�@PF!L'L'J�=�F!L�5T0�C(F!G-0�C�����@,c=���D�0�C�@&0�= F %��#0��)��G�F!�z'0<4U*F!G&%�'A<1�*D-@'0�C��;%���WB[PC��H��@ U"@�L�0TD&�)Q�C60qb�@ %�J�@&0���0�C�@ H�=�@���@'=�]yF20��#��Gw�!,�!= 0�C��!Q!��G�F!�#�)0 5t�HG^0�C�@-�����HJ�0��)��GtD&F20�= �LFB },i= ��D 'A<R_b< D&@'0�C��;%(�'W sE�g?$@']!@'=�>o0�C�@�=�@']!@'= ��@&�#��0�= J�@T,i�!=0�C�@}L���DZH(F2=��#����G b�@'0n?$@'@�G '0<&c�F!G3%�'0<4_B<&crD-@'0�C��-%��'Wt5�G�@�L���G60�= �)b(J�0��HG�Qw,cF!L�0��!=3D&�)Q�C60&b�@�0�C�@Q!= @�F20�@'=TGJ�D4b"@'=1�!,$@']2F!�#J�F20��)��G��q,i�!=q@�F!L�Cr��0�@BH��!,a0�C�@ '0<R_b< D-@'0�C��;%w0�C(F!Gw0�C�@ '0< D-@'0�C��-%\>�F!G&%C�@�G�L�@�FRQ!=�@�F20�@'=dF!L'L'J�DTJ��#F20��)��GB�!,\=���J�G&%��{�*U�@'=�=��!=N@GF��#��0��$�#GK0�C�@E�����HJ�0��)��G��N,i=���D�0�C�@7'0<R_b< D-@'0�C��;%\W[�C��#�PbMJ��#�4%�J&H^�!,m=���J(G&%��{�*Uw@'=�=��!= ��D&�)Q�C60�b"@4�#F2=�Q!@T@�G���J�Q�C}0��%�|]!@'= L���D-@�0�C�@�F!L'L'J�= F!L�5tF!L C��)@']!@.%tb5H(=�@���@'=�]��#G�Q%0�C�@��!=�0�C��!Q!��G�F!�H�)0n5}�!,$D&F20�=��LFB ">o���30�C�F201�#Gt0�C�@-L���DZH(F2= �#����G\>�=�@���J��)0���,c=���D '0<4_B<&c*F2=�@� �#�)Q�C60��)5B�)@�� �PF!L'L'J�= F20�@40�C�F!G*0�C�����@R,i=���D�'0<&c�WK ��D-@�G60��)��G�@.%TF20�0�C�@Ab"@'Q��HG�G��#G�Qa�!,#l@�L�0��#��G1c�Wn�>����HG�L�@m0�C�@$�����#J�0��)��G_ xKbl35�9 ��:�>!0�C�@N0 ?A�XH�=�� H�@'=�0��)@��?$@1?aF!G;0d0��ZH�= @���@'=�]!@1�#G%0�C�@qGJ�D-@'= �#L'F!�"�����#J�0��)��G��$?�C�@�G3�����)]��#G�Q�vNIt9!c�WYX�:aF2=�@�0�C�@1�!=�0�C��!Q!��G�F!�#�)0 5%F!G&%J(G��)0=%�@'0�@'= D&�#G(F!G;0h�!,MD&F20�=��LF1 "Wt(kG0<h�#Q�J�=�@>c�W �6>;0n?$�>H(�)�!0��<F2=�@d��C��g?�G\W�i$�!0�CZ'0< F!G&%0'0<4_B< D-@'0�C��;%���!,��!=9%�@'=/c-F2=�@1J���@.%\Wm[�C�@��#@',i0aC�F!G&%3���4%�@�Q!= FDH(C3��C��g?��$0�C�@�@'=�=��!=��$�HGB0�C�@�J�G(�)0 %�@'0�@'=�D&�#G�F!G60a,i=���D 0�C�@DKF20�= �LF4 �9 j :aF2Q�F!�#G(��0P0�C�@T�#G;0�@'Q!=�F20��)��G H�@'= �)�-% j Kf? A�J�ZBA C{Wd[PC�@1= �)Q�C60�C�F!G&%�� �4%�@1Q!= FDH(C^�#�d0�C�@4@'=�=��!=��#G0�C�@q�!=�0�C��!Q!��G�F!�H�)0n53�!, �9 j :aF2Q�F!�#G���0P0�C�@q��F!D-@R0��#D-@q�#G60�@'=�]2F!� j W<�=���D+b��!0�CV�!,N0�C�@-Q!= FDH(C����#G <<�)Q�J�=�@�c�W �6>�0�C�@Z'0<R_b<pD-@'0�C��-%w�#��F2b(�)@�0�� H�=�@���@'=�]!@�0�C�@-�!=�0�C��!Q*���G(F!�#�)0n5}F!G&%VJ�G��)0X%�@'0�@'= D&�#G(F!G;0'>�b(J�0�@'=�=��!=����!,$D&F2Q�G��)0�J&%�@BZBA i N @GF��H��0E,c�!=1�����#J�0��#��G���?E�)0�C^= @�� H�@�L�0E0��b��!0�C@H�= � H"@'= 0��)@��'>,i=���D�0�C�@�0�=�F %��)0��)��G�F!�d'A< D-@'0�C��-%%J(���#G�Q�F-��0�@BH(���#`'@��!,zJ � Z . ZBA�Wf(kG30�C��#�aL'F!��@!>�0�C�@'A<R_b< D-@'0�C��-%K�H�mL���G����4%�@'=�@.%&F!�m0�C�@�Q!@'��D-@'0�= �HL��#G60�@'Q!= F20��!=$,i�!=A0�C�@������)]��#G�Q1�!,\0�C�@X576�vr�HG&vNI*9!c�WYX�:�W

Page 103: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� � s;� 5 �3� �@u�r.)�� z � � �3� 8 � r�u*5 � 32576fs uds � r.5 �3� � � | � r.5c� � { ���

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

log(h)

Log o

f norm

of err

or

Log plot of results from explicit RK and RKMK methods.

RK2

RKMK2

RK3

RKMK3

RK4

RKMK4

<<�)Q�J�=�@_c�WYe ` ���� ����N���$�� ������������� �&�!�!��/��� � ��#�% � % �!�&� %��$' �4�)��/�!� % ���$� % �)�!�+ ,/. � #�5 ,/. 6 . +1�8�!9� 5�% � � � 9�� 5 �&� %�� J � � D � ��0 �)� �+ % ���= ��# �7� 9�� ��# � � � ���>=3��� ��� ��� ����$��+ ��# ? ACB � : !�E : FIHKJ LN� #�5 FPO J L�Q$R :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6x 10

−7 Det(y)−1 against time t

time t

De

t(y)

−1

RK4

RKMK4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6x 10

−7 || yTy−I || against time t

time t

|| y

Ty−

I ||

RK4

RKMK4

<<�)Q�J�=�@ c�W �M` � ���� � � #�% �)�!�+ ,/. � #�5 ,/. 6 . +1�8� 9� 5�% �� � J ��0"��9�� # % ��$= ��# � ?(A B � : !�E :�; 9�� ���8� ��9�� #�5 % � 5 ���� ����9 ��% � 9��7��� �!�� �$# 5 �8� B � E : ; 9��7� � ��9 � 9�� #�5 %�� 5 �7���!����9 � % � 9��N�&�!� �� ��# �!9��1�� � 9���� # ��� � � < �� � 0 � � =�� # � <� 9�� � # ��!+�� ��� � ��� : FIHKJ L�0 FPO J-R�L1� #�5 � J-R�� R�L :

Page 104: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{13254�254 � EH[\CFIJGQ] 9Y;*IJP A�=.=+E =�W�PQP3>@;.>7EHG���E = ���e[\I ;.RZEDP[�C�@&D-�!0��)]2F20��)��Gwb�@�C��#G3%^0�C�@&L���D H"@�G(��F20�@.%�@'=�= �!=qF %&%��)0��)��Gw�H��0���=�@.%�J�L�@-0�C�@-=���J�G&%��{�*U @'=�=��!=q?EC��#L C�H��F!L'L'J�DTJ��#F20�@.%}?�C�@�G^0�C�@RL'F!�#L'J��HF20��)��G���C(F�]!@T=�@�F!L C�@.%tD&F!L�C��#G�@(H(=�@�L'�#���)��GoW$[PC�@q=���J�G&%��{�*Ut@'=�= �!=E?��H�#�%���D&�#G�F20�@qF!�#��L'F!�#L'J��#F20��)��G(�a?�C�@�G*?$@qF2=�@ %�@�F!�H�#G�Q�?��)0�C*GJ�D4b"@'=��dL'�)����@q0��&0�C�@RD&F2Q�G��)0�J3%�@��!,aZBA i j J W[PC�@*�4%�@�Ft�!,E0�C��#��L���DZH�@�G���F20�@.% @'= =��!=&F %&%��)0��#��G 9c�!=-�!0�C�@'=�?��#��@3O�G��g?EG F!�-0�C�@���J�DKD&F20��)��G �!,�F�HF2=�Q!@KGJ�DRb�@'=1�!,a��D&F!�#��GJ�D4b�@'= ��:�>oz�=���0qFDH&H�@�F2=�@.%w�#GV0�C�@@2��#�#�V� _b:!�#�)@'= K �)Q!�!= �)0�C(D*>T%��#��L'J(����@.%w�#Gi? � C{Wl�JIH&H�����@�0�C(F20$?$@1��0�F2=�0a?��)0�CB0�C�@�0�= F %��#0��)��G�F!� '0< D-@'0�C��-%\W\�o@'0/ j b"@�0�C�@1�����#J�0��)��GBF20a0�C�@�b�@'Q��#G�G(�#G�Q�!,d0�C�@B��0�@BHoW3[PC�@�GrF^G�@'? ��0�@BHr�HGw0�C�@ 'A< D-@'0�C��;%r�#�1Q��)]!@�G�b65� j � j l�� ><?�C�@'=�@ � �#�4F��#�#G�@�F2=L���D4b(�#G(F20��)��G��!,a, J�G�L�0��)��Gw@']2F!�#J�F20��#��G��1?�C��HL C��#� %�@BH�@�G&%�@�G601��G���0�@BH(� �)`'@ J\W�( ,�J �#�R��D&F!�#� >�0�C�@�G�0�C�@DTJ��)0��4H(�#�#L'F20��)��GR�!,MF���D&F!�H�GJ�D4b�@'=�b54F!G��!0�C�@'=�?��#�#�6L'F!J���@d=�@��)@']2F!G60<�HG�,i�!=�D&F20��)��G40���b�@�H(J�� C�@.%Rb�@'5!��G&%DKF!L C��#G�@>H�=�@�L'�#���#��G\W�sE�g?$@']!@'=�>��),o0�C��H�a@'=�=��!=�>I%�@�G��!0�@.%B"�>�L'F!G*b�@�@���0��#D&F20�@.%\>(0�C�@�G3?A@qL'F!G^F %&%4"-b(F!L O0�� � �#G30�C�@qG�@GF�0���0�@BH^F!�EF&L���DZH�@�G���F20��#��G3,i�!=E0�C�@1=���J�G&%(�#G�QT@'=�=��!=�L�=�@�F20�@.%t�#G30�C�@>H(=�@']�#��J��d��0�@BHoW5�G�@T?$Fg5^0��*@���0��HD&F20�@�0�C��#��=���J�G&%(�#G�Q&@'=�= �!= "�>o�#��0��%0�F2O!@-0�C�@0%(�VU"@'= @�G�L�@4b�@'0 ?A@'@�G � F!G&%m j x j? � C{W��E�!0�@30�C�F20 � %�@�G��!0�@��40�C�@B@GF�F!L�0&F!D-��J�G604?EC��#L C ��C���J(�4%�b�@BF %3%�@.% 0��m j F2,i0�@'=���G�@3GJ�D-@'= �#L'F!���0�@BHo>�F!G&%wL'F!�HL'J��#F20�@.%w?��#0�CtF�=�@�F!����G�F2b(�#@�F!D&��J�G;0R�!,$F!L'L'J�=�F!L�5!>�?�C(�#�)@R0�C�@ %��VU�@'=�@�G�L�@� j x j �#��0�C�@F!L�0�J(F!��F!D-��J�G60�L���G;0�F!�#G(�#G�Q�0�C�@a=���J�G&%(�#G�Q�@'= =��!=�>�0�C�F20<0�C�@PL���D H(J�0�@'=mC�F!��F %&%�@.%40��& j �#G���0�@�F %\W�sE@�G�L�@!>� �#D&�#�#F2=d0��B0�C�@R@GF�F!DZH(�#@q�!,�vNJ��)@'=ED-@'0�C��-%�Q��)]!@�G}�#G�? � C{>M?A@RL'F!Gt���#�#Q�C;0��)53D-�-%��),c5K0�C�@40�= F %��)0��#��G�F!�e'0<D&@'0�C��;%�?��)0�C30�C�@RL���D H"@�G(��F20�@.%*@'=�=��!=EF %&%��)0��)��G30�@�L�C�G��#IJ�@10��&@���0��#D&F20�@q0�C�@R=���J�G&%��HG�Q4@'= =��!=0"�W

vxw � sMr.)�� ~�� 57r.)���� �f� s � { � r�s ~ sMuduy�$u �&~ ~ 57r.5c� �<�=���D jkj 0�� j j >(��G�@4��0�@BH}�!,�0�C�@ '0<fD-@'0�C��-%�?��#0�C�L���DZH�@�G���F20�@.%}@'=�=��!=�F %&%��)0��)��G3��G}F!G}F!J�0���G���D-��J��, J�G�L�0��#��G2YK9! �:$�#�dQ��)]!@�G*b5%0�C�@q,c���#�)�g?E�#G�Q-��L C�@�D-@[`�o@'0�� q > m� >�F!G3% R q b�@10�C�@qL��@ +KL'�)@�G60��P�!,<F!G ~�n��0�F2Q!@!> ���0�C*�!=9%�@'=�L'�#F!�����HL'F!�e'�J�G�Q!@ �=<RJ�0�0�FD-@'0�C��-%\>�F!G&%��#@'0IR q � ��� a j � q � W9�o@'0 "&b�@�0�C�@1=���J(G&%��#G�QT@'=�=��!=d@���0��#D&F20�@!> � �#�a0�C�@q� D&F!�#�L C(F!G�Q!@q0��&0�C�@R�!= �)Q��#G�F!����0�@BHb j >�F!G&%8J}�#�a0�C�@R��0�@BHM���)`'@!W2��)]!@�G jkj >� j >$" j,i�!= �F� Z*J U J S,S,S,J n;q �]YK9! j l J�� � a j � q � n� :@�G&%

� �tJ � �q a j m^q+n;q3l " jj j � jkj l J j �k j l��" j � �x 9! j x j :5�J�0 H(J�0 j j >� j >(F!G&%2" j W

���!0�@a0�C�F20�F20<0�C�@$b�@'Q��#G�G��#G�QP�!,�0�C�@d�#G60�@'Q!= F20��)��GwH�@'= �)�-%\>y0�C�@A= ��J�G&%��#G�QP@'=�=��!=<@���0��#DKF20�@/" j �H��J�� J�F!�#�)5��@'0d0��0A�Wf( G%0�C�@1��J�bM��@�I6J�@�G;0a��0�@BH(�'>p" j �H�A= @BH(�#F!L�@.%%b65B0�C�@�=���J�G&%(�#G�Qq@'=�= �!=PD&F20�= �LFK,c=���D 0�C�@7H�=�@']��)��J����0�@BHoW K �#����>m�),d0�C�@%,cJ�G(L�0��)��G�0��Vb�@B�#G60�@'Q!= F20�@.% �#�TG���G��nF!J�0���G���D-��J���YK9 j J �:�>N0�C�@�GrFV��J�b�0�= F!L�0��)��Gr�!,J x 9 j j x jkj :<D4J(��0mb�@,%���G�@�,i�!=A0�C�@��#G&%�@BH"@�G3%�@�G;0<]2F2= �#F2b(�#@ j F!�N?A@��H� >�0��4L���D H"@�G(��F20�@�,c�!=N0�C�@�=���J�G&%��HG�Q@'= =��!=P0�C�@'=�@!Wl�PG��|?�?A@N?$F!G60�0����HG;0�@'Q!= F20�@AvNI-9!c�WYX�:�>2?��)0�C�0�C�@N�HG��)0��#F!�2D&F20�= � FA j Q��)]!@�Gq�HG1l@�L�0��)��G_c�Wn�W�E �)0�C10�C��#�HMF2=�0��#L'J��#F2=mDKF20�= �LF� j >;�#0��`%�@'0�@'= D&�HG�F!G;0��#�z%�@'0g9! j :F� Zd0��&Z�X>%�@�L'�HD&F!�-H(�#F!L�@��'>6F!G&%*-� �9+A;:�� �9+A;: x ( % ->�Z*S �*�!X!e[Z*)!U!U!e*)!e!U�ZBA ��� i j ~ WF�E�!0�@E0�C(F20Ab�@�L'F!J���@�0�C�@ED&F20�=��LF j �#�NL�= @�F20�@.%B,c=���D %7' D&@'0�C��;%B�#GB_}F20��#F2b,c=���D F*= F!G&%���D ��N��*DKF20�= �LF�>�0�C�@�Gw0�C�@KD&F20�= �LF� j �#�qL�=�@�F20�@.%r0���b�@-�!=�0�C��!Q!��G(F!�m��G��)5t0��^D&F!L�C��#G�@H(=�@�L'�#���)��GoW Ew@��#G;0�@'Q!=�F20�@.%&,c=���D jkj ��A10�� j�l � ZBA�Wm[PC�@d= @���J��)0��'>;,i=���D b"�!0�C&0�C�@P�!= �)Q��HG�F!�-'0< D-@'0�C��;%F!G3%w0�C�@K��F!D&@ '0< D&@'0�C��;%�?��)0�CwL���DZH�@�G���F20�@.%�@'=�=��!=RF %&%(�)0��)��G\>oF2=�@ %��#� H(�HF�5!@.%w�#G <<�)Q�J�= @ c�WnZWB[PC�@GJ�D-@'=��#L'F!��]yF!�HJ�@��PL'F!G�b�@�,c��J�G&%��#G*[hF2b(�)@ K WYU-F!G&%^[�F2b(�#@ K Wn�-�HG K H&H�@�G&%(�LF K W

Page 105: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� � s;� 5 �3� �@u�r.)�� z � � �3� 8 � r�u*5 � 32576fs uds � r.5 �3� � � | � r.5c� � { � �<<�)Q�J�=�@Ac�WnZR�H�NFT�)�!Q*�n�)�!QTQ!= FDH(CB�!,\0�C�@EQ��#�!b(F!��@'=�= �!=$F2Q�F!�#G(��0$C(F!�)]�HG�Q1�!,o0�C�@���0�@BH(���)`'@>JB,i�!=$b��!0�CK0�C�@0�= F %��)0��#��G�F!�z'0< D&@'0�C��;%o>�F!G&%�0�C�@KD-�-%��)z�@.% 'A< D-@'0�C��-%w?��#0�C�L���DZH�@�G���F20�@.%�@'=�=��!=RF %&%(�)0��)��G\WK[�C�@L'F!�#L'J��#F20��#��G��=%���G�@PC�@'=�@dF2=�@E���#D&�#�HF2=�0��10�C�����@P�#GGl@�L�0��)��G�c�Wn�WYUWN[�C�@ � = F20��)����L����#J�DKG����#G�[�F2bM�)@ K WYU1F!G3%[�F2bM�)@ K Wn�KF2=�@4,i��J(G&%�b530�F2O�#G�QK0�C�@4= F20��)�K�!,�0�C�@4�)@',c0EC�F!G3%�L����#J�D&G -� q

x q i j - . -� q i j x q i � -�W K ���C��|?�G��#G�0�C�@�H(�)�!0'>;F20�0�C�@a��0�@BH(���)`'@d,c�!=�?�C��#L�CT@'=�=��!=m�#GT0�C�@P�����HJ�0��)��G��<F2=�@PL'�)����@$0��&ZBA i j J >�0�C�@a=���J�G&%(�#G�Q@'=�=��!=3b�@'Q�F!G 0��i%���D&�#G(F20�@t0�C�@VL'F!�HL'J��#F20��)��G���>EF!G&% =�@���J(�)0��%b"@'5!��G3% 0�C(�#�1H"���HG;0%b�@�L���D-@�J�G�=�@��H�#F2b(�)@!Ws��|?A@']!@'=g>P0�C�@�@ U�@�L�0K�!,�0�C��#�&=���J�G&%��HG�QV@'=�=��!=KL'F!G b�@*0�@�DZH��!= F2= �#�)5r�g]!@'= L���D&@!>��),�0�C�@^L���DZH�@�G���F20�@.%@'=�=��!=�0�@�L C�G(�#I6J�@4�#��FDH&H(�#�#@.%�0��%0�C�@TL'F!�HL'J��#F20��)��G���WE[PC��H�d0�@�L C�G(�#I6J�@T�#D H�=��g]!@.%}��G}0�C�@TF!L'L'J�= F!L�5^�!,m0�C�@�����#J�0��#��G\>�@�� H�@�L'�#F!�H�)5V,i�!=���0�@BH(���#`'@1J ?�C�@�G�0�C�@%=���J�G&%��HG�Q*@'=�=��!=Tb�@�L'F!D-@B���#Q�G��)z(L'F!G60q,c�!=40�C�@%�!= �)Q��HG�F!�'0< D&@'0�C��;%oW

(kG}D-�!= @:%�@'0�F!�#�H�'>M�),�?$@�L���DZH(F2=�@�[�F2bM�)@ K WYU&?E�)0�C^[hF2b(�)@ K Wn��>"0�C�@�L���DZH�@�G���F20�@.%}@'=�=��!=�0�@�L C�G(�#I6J�@�#G�L�=�@�F!��@.%R0�C�@aF!L'L'J�= F!L�5T�!,�0�C�@a�����#J�0��)��G���=���J�Q�C��)51b5��ED-�!=�@�%�@�L'�#D&F!�;H(�HF!L�@��'Wh[�C��#��L'F!GTb�@$�!b(��@'=�]!@.%��),?A@�L���DZH(F2=�@�0�C�@EQ��)�!b(F!�M@'=�=��!=aL����#J�D&G��Nb�@'0n?$@'@�GK0�C�@�0n?$�T0�F2b(�)@��'>@�� H�@�L'�#F!�#�)5�,c�!=N=�@�� J��)0��m,c=���D ��0�@BH(���#`'@��D&F!�#�#@'=&0�C�F!G�JO� Z . edc A ,c=���D b"�!0�C D-@'0�C��-%��'>d?EC�@'=�@�=���J(G&%��#G�Qw@'= =��!=%��0�F2=�0�@.% 0��u%���DK�#G�F20�@^0�C�@�����#J�0��#��G��$,i=���D 0�C�@q�!= �)Q��HG�F!�d'0< D-@'0�C��;%\W

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

10−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

log(h)

log o

f norm

of err

or

Log plot of results from explicit RK methods.

RK4

RK4 with compensated error addition

<<�)Q�J�=�@�c�WnZ ` �>��� �$�� ������4�� ����������*��� �!��4��� � ��#�% � % �!�&� %���' �7�)��4� � % ��� � % �)�!�+ �!9��N�� � � �$# ���", .G+1�8�!9� 5 0>� #�5,/.-+1�&� 9� 5 � � �!9 � �+1� � #�% �3�!� 5 �&�!� �� � 5�5�� � � # :�� ��!9 ��# � ����� �3� �� % % ���=�� 5 � 9�� ��# � � � ���>=3�������4���!������&+ � � =�� #��$#?(ACB � : !�E 0 �)� �+GFIH J L7�! FPO J R L :

Page 106: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{��@']!@'= 0�C�@��)@����'>�@']!@�Gt?��)0�C}0�C��#���#G�L�= @�F!��@.%}F!L'L'J�= F!L�5^,c=���D�0�C�@TL���D H"@�G(��F20�@.%t@'=�=��!=�0�@�L C�G��HI6J�@!>�0�C�@J(G��)0>%�@'0�@'= D&�HG�F!G;0qF!G3%w�!=�0�C��!Q!��G�F!�H�)0n5V�!,a�����#J�0��)��G� VF2=�@ %�@���0�=��g5!@.%oWK[PC��#���#�RF!�1@GF;H�@�L�0�@.%r���#G�L�@-0�C�@L'�HF!�����#L'F!��D-@'0�C��;%-��J(L C&F!�z'A< D-@'0�C��-%-�#�<G��!0`%�@����#Q�G�@.%�0��>H�=�@���@'= ]!@P��J�L C0H(=�� H�@'=�0��)@��<�#G�0�C�@dGJ�D-@'= �#L'F!������#J�0��)��G\W=sE@�G�L�@!>�?$@$?aF!G60h0��qFDH3H(�)510�C�@d��F!D-@dL���DZH�@�G�� F20�@.%�@'=�=��!=<0�@�L C�G(�#I6J�@$0���0�C�@�'A<R_B< D-@'0�C��;%\>F!G3%���@'@q?�C�@'0�C�@'=P0�C��#�a?E�#�#���#DZH�= �g]!@10�C�@RF!L'L'J�= F!L�5*�#G30�C�@R�����HJ�0��)��G��a,c=���Dp0�C�@_���)@1Q!=���JIH}�#G;0�@'Q!=�F20��!=�W

13254�2 1 � EH[\CFIJGQ] 9Y;*IJP A�=.=+E =�W�PQP3>@;.>7EHG���E = ��� 8��e[ I ;*R3EDPEw@�?aF!G;0$0���FDH&H(�)5�0�C�@���F!D-@��4%�@�FR�!,\@���0��#D&F20��#G�QR0�C�@�=���J�G&%��{�*U�@'=�=��!=/"4F!�a�#GK0�C�@ H(=�@']�#��J��N��@�L�0��#��GK0��0�C�@q��0�= J�L�0�J�= @q�#G%0�C�@('0<R_b< D-@'0�C��-%\W 5�G�@qD&F.-k�!= %(�VU"@'= @�G�L�@1b�@'0n?$@'@�G*0�C�@10�= F %��#0��)��G�F!�d'0< D-@'0�C��;%F!G3%r0�C�@@'A<R_b<�D&@'0�C��;%S�#�T0�C�F20�0�C�@3� H�@'= F20��)��GS�#Gr0�C�@*�#G60�@'= G�F!�$��0�F2Q!@��-�!,�F!G�'A<R_b<�D&@'0�C��;%S�#�Q��#]!@�GBb5-0�C�@ ���)@EF!�)Q!@'b�= FTF!L�0��)��G4H2` Q N � P � Wfl��HG�L�@�0�C�@�D&F20�= �LF&@GF-H���G�@�G60��#F!�(�#�$�#G6]!���)]!@.%%�#G&0�C�@'A<R_b< F!�#Q!�!= �)0�C�D*>"0�C�@�Gt0�C�@-�#DZHM�)@�D-@�G60�F20��)��G��!,A0�C�@TL���D H"@�G(��F20�@.%t@'=�=��!=�0�@�L C�G(�#I6J�@TL'F!GVG��3�)��G�Q!@'=b�@����#DZH(�#5R0�C�@�F %&%��)0��)��G&�!,\0�C�@�@���0��HD&F20�@.%K= ��J�G&%��#G�Q1@'=�=��!=/"R0��40�C�@EL'J�= =�@�G;09 -]yF!�HJ�@�F20$0�C�@�b�@'Q��#G�G(�#G�Q�!,<0�C�@4�#G;0�@'Q!=�F20��)��G���0�@BHoWs��|?A@']!@'=g>;?$@PL'F!G-��0��#�#�@���0��#DKF20�@$0�C�@d=���J�G&%��HG�Q�@'=�= �!=m�#G4F1� �#�)Q�C60��)5 %��VU�@'=�@�G60�?aF�5!W9l�JIH&H�����@$0�C�F20<?A@J(��@�0�C�@1@GF;H���G�@�G60��#F!��D&FDH*F!�d0�C�@1L���!=9%��#G(F20�@�DKFDH&H(�#G�Q��#GB0�C�@('0<4_B< D-@'0�C��-%\>�F!G&%%0�C�F20P�HG3_}F20��#F2b?$@*J���@3�)0���D&F20�= �LFr@GF;H���G�@�G60��#F!�>s � �=� 0��wD&FDHS,i= ��D Q � ���69 ��:R0�� C � l&5�9 ��:�Wu2��)]!@�G 0�C�F20�0�C�@DKF20�= �LFbW}K ���;9 ��:�,c�!=10�C��#�1�#G��#0��#F!��]2F!�#J�@0H�= �!b(�)@�D��#G l@�L�0��)��G�c�Wn�*C(F!�1F*��D&F!�#�<G��!= D�>\0�C�@�GV@GF;HMD^9!W�:� C���J��4%tb�@-L'�)����@�0��*0�C�@&�4%�@�G60��)0 5}D&F20�= � Fb( %�W?<qG��g?��#G�QB0�C�F2010�C�@-z(G�F!�<��0�@BH��#GVF '0<4_B<pD-@'0�C��;%w�#�,c��J�G&%3b530�C�@_���#@qF!�)Q!@'b�= F&F!L�0��#��G\>

j ��H�9!W#J j :F� @GF-H(D^9!W�: j J WxK Q J� j J j KBC?J?$@1L'F!G%=�@'?P= �)0�@E0�C��#�$���T0�C�F20a0�C�@EzMG�F!�M��0�@BH3�HG&0�C�@7'0<R_b< D-@'0�C��-%B�H�A�#GB0�C�@�L'�#F!�����HL'F!�MF %&%(�)0��)]!@�,c�!= D*>� � 9c@GF;H<9!W�: x ( %(: j J 9!c�WYe�: j � j l�� S 9!c�W �!:

( , � �H�N��J�+BL'�)@�G;0��#5�� D&F!�#� >�0�C�@�GK0�C�@E=���J�G&%(�#G�Q1@'=�=��!=>"4L'F!G%b�@P@���0��HD&F20�@.%Kb5-0�F2O��#G�QR0�C�@ %��VU�@'=�@�G�L�@!>� �#D&�#�#F2=a0��&0�C�@RL���DZH�@�G���F20�@.%*@'= =��!=���L�C�@�D-@q,c�!=�0�= F %(�)0��)��G�F!��D-@'0�C��-%\>"?� �

x 9! j x j :^S 9!c�WnZ�:K 0E0�C(�#� H����#G60'>"��@']!@'= F!�<F20�0�@�DZH�0���?A@'= @TD&F %�@40��%@���0��#D&F20�@�"%,i�!=�0�C�@wH�=��!b(�#@�D Q��)]!@�Gt�#GtvNI�9!c�WYX�:�>F2Q�F!�HGV,i=���D jkj �pA%0�� j�l ��ZBA�WZ5�G�@��!,N0�C�@�z�=���0�F20�0�@�D H�0��1?aF!��0��3D&�;%��#,i5*0�C�@ 'A<R_b< D&@'0�C��;%V�#GFK���#D&�#�HF2=A?aF�5%0��&0�C�@qD-�-%��)zML'F20��)��G@%���G�@1�#G '0< D&@'0�C��;%3?E�)0�C*L���DZH�@�G���F20�@.%*@'= =��!=PF %&%��)0��#��G\WT( G3��G�@��0�@BH^�!,h0�C�@ '0<4_B< D&@'0�C��;%o>�F2,i0�@'=E0�C�@R�#G60�@'= G�F!�\��0�F2Q!@�� �$q > n[q >(F!G3% on[q F2=�@q,c��J�G&%*F!�E�#G30�C�@_vxwb8yw

� �!z �#ud57r.) � Q��)]!@�G^�#GBl�@�L�0��)��GB�Wn�>(0�C�@�G*0�C�@1,c���#�)�g?E�#G�Q�?$F!� %���G�@!>W ��J ��� a j m� o n�� � 9c@GF;H(D}9!W�: x ( %M: j l " j j �k j l��"?� �

x 9! j x j :�W�E�!0�@q0�C�F20A" j �#�$0�C�@1=���J�G3%��{�*U}@'=�= �!=PD&F20�= �LF%,i=���D�0�C�@>H�=�@']��)��J��a��0�@BHo>�D&F20�=��LF W�K ���;9 ��:�>MF!G&%*DKF20�= �LF j Kml&5�9 ��:�W<<�)Q�J�=�@?c�W-) %��#�\H(�#F�5��E0�C�@&�)�!Q*�n�)�!Q H(�#�!0��!,A0�C�@-Q��)�!b(F!�<@'= =��!=1,i�!=q�����#J�0��)��G���,c=���D�0�C�@&GJ�D-@'= �#L'F!�<�#G��0�@'Q!=�F20��!= ��?�C�@�G���0�@BH(���)`'@@J�?aF!�TC�F!�)]!@.%\W4�E�!0�@B0�C�F20T0�C�@BQ�F!�#G��#G�0�C��#�RD&�;%��#z(L'F20��)��Gw�!,d0�C�@B�!= �)Q��#G(F!�'A<R_b< D-@'0�C��-%��#�1G��!04���)Q�G��)zML'F!G;0�@�G���J�Q�C�0����g]!@'= L���D&@B0�C�@-@ U�@�L�0R�!,$=���J�G3%��#G�Q%@'=�=��!= �R�#GV0�C�@KL'F!�V�L'J(�#F20��)��G��'WV[PC��H�4�#�w%�J�@%0��t0�C�@3=�@��#F20��)]!@��)5wbM�)Q}= ��J�G&%��#G�Q*@'=�=��!=-L�=�@�F20�@.% �#Gr0�C�@*F!L�0�J�F!�$� H�@'= F20��)��G �!,

Page 107: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� � s;� 5 �3� �@u�r.)�� z � � �3� 8 � r�u*5 � 32576fs uds � r.5 �3� � � | � r.5c� � { � �

@GF;Hh9!W�: x ( %�WAvm]!@�G*0�C���J�Q�C30�C��#�a@GF-H�9!W�:$�#�dL'�#����@10��@( %�>�5!@'0P0�C��#��%��VU�@'=�@�G�L�@q�H�$��0��#�#���#F2=�Q!@1?��#0�CB= @�� H�@�L�00��qD&F!L C(�#G�@�H�=�@�L'�H���)��G\W K �mF�= @���J��)0'>�F!�#���HG�,i�!=�D&F20��)��GTb�@'5!��G&%-0�C�@qZ�X>%(�)Q��)0��<�#����F!L�= �#z(L�@.%\W\l�10�C�@d0�@'= D&�� F!�R?$@��#�AF!�� j x j b��!0�C�� J�U"@'=T,c=���D =���J(G&%��#G�Q*@'= =��!= �'><F!G&% "t�#G�0�C��#�RL'F!�HL'J��#F20��)��Gr�#�RG��!0TF�Q!��;%@'=�=��!=$@���0��#D&F20�@!W s�@�G�L�@!>�F!G��!0�C�@'=$?aF�5K�!,�L'F!�#L'J��#F20��HG�Q � D4J���0Nb�@�,c��J�G&%\>�#GB�!=9%�@'=$0��:H�= �;%�J(L�@EF4b"@'0�0�@'==�@���J��#0a�HG30�C��#�dL���DZH�@�G���F20�@.%^@'=�=��!=�� L C�@�D-@R,i�!=P0�C�@ '0<R_b< D-@'0�C��-%\W

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

10−13

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

log(h)

Log o

f norm

of err

or

Log plot of results from explicit RKMK methods.

RKMK4RKMK4 with compensated error

<<�)Q�J�=�@ c�W-) `@�>��� �$�� ���$�� ������������� �&�!� ��4����� �$#�% � % �!�&� %��$' �1�)�� �!� % ���$� % �)�!�+ � 9�� �� � � ��# ��� ,/. 6 . +1�8�!9� 5 0� #�5 , . 6 . +1�8� 9� 5 � � �!9 � �+1��� #�% ��� � 5 �&�!� �� � %��$# � � 9�� �������������� ���� : � ��!9 �$# � ����� �3�!�� %/% ��$=�� 5 �!9�� ��# � � � ���=3�������4��� ������&+ ��#@?(ACB � : !�E 0 �)�!�+ FIHKJML7�!NFPO7J R L :

K G��!0�C�@'=AF20�0�@�D H�0N?$@�D&F %�@E?$F!�A���#D&�H�#F2=<0��R0�C�@ H(=�@']�#��J���@GF�F!DZH(�)@!>6b(J�0m�#G���0�@�F %-�!,\=�@��)5��#G�Q���G&0�C�@b(J��#�#0 �n�#G�,cJ�G(L�0��)��G1s � ��� �#GT_^F20��HF2bo>20�C��#��F20�0�@�D H�0hJ(��@��o0�C�@$F!�)Q!@'b�= F!�HLND&F!G��4H(J��#F20��)��G��!,�0�C�@N@GF-H�=�@������#��G@GF;Hh9!W�: x ( %�?�C�@�Gw0�C�@BD&F20�= �LFV@GF;H���G�@�G60��#F!���#�q,i��J�G3%wb65t0�C�@ %(�#F2Q!��G�F!� �<F %kj@3FDH&H�=�� F��#DKF!G;0 �&9 e J e�:�>Q��)]!@�G3�#G2l@�L�0��)��G�c�Wn�W#Z2W l��>��),o?$@�J(��@�0�C�@��hF %kj@qFDH3H�=��.F��#D&F!G60 �&9 e J e�:A0��-z(G&%B@GF;Hh9 �:�>�0�C�@�G3?$@1C�F�]!@0�C�@1,c���#�)�g?E�#G�Q-F!�P0�C�@1@GF-H�=�@�� ���)��G3,c�!=�@GF-H�9 �: x ��>@GF;Hh9 �: x ( %G� l j�� �� l jNPO � j J( % x j� l J~�~ � x jLML � l jNPO �

~ x jj JMQ ~ j J l jLML J � Q j L 9!c�W-)�:l��#DK�#�#F2=N0��K0�C�@10�@�L C�G(�#I6J�@�D&@�G;0��)��G�@.%*�#G2l@�L�0��)��G4c�Wn�W#Z1,c�!=P0�C�@1D&F20�=��LFB@GF-H���G�@�G;0��HF!� >�?A@qL'F!G %��&F

� ��IJ�F2= �#G�Q�F!G&%&� L'F!�#�#G�Q��2� H�@'= F20��)��G-0��4D&F20�= �LF?WxK"���69 ��:<� J�L C-0�C(F20m?A@PL'F!G&z(G&%-F�Q!��;%&FDH3H�=��.F��#D&F20��#��G0��V@GF;H�9!W�: x ( %\Ww[PC��#�4L'F!GSb�@1%���G�@%�#Gr0�C�@%,i���H�)�g?��HG�Q^?aF�5!>A?�C��#L�Cr�#�TFV���#�)Q�C604D&�;%��#z(L'F20��)��Gr0��t0�C�@F!�)Q!�!= �)0�C(D Q��#]!@�G-�#G K �)Q!�!=��)0�C�D�Z!Z2Wn�W#ZP�#G ?�U!U C{>;F!G3%T�HDZH(�)@�D-@�G60�@.%��#GT0�C�@P_^F20��HF2bZH�=��!Q!= F!Das � ��� �>� � W

Page 108: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{� � | � ud5 �tzf�;��~ � � �3� 5 �tz � �!z �#ud57r.) � � �$uxs � � �������� ~[�C�@-,i���H�)�g?��HG�Q%F!�#Q!�!= �)0�C�D �#��0��^z(G&%V@GF-H�9!W�: x ( %V]��#F30�C�@&F!�#Q!@'b�= F!�#L-D&F!G(� H(J��#F20��#��G^�!,$0�C�@ �<F %Qj@BFDH��H(=��.F��#D&F!G60 �&9 e J e�:�W

l�L'F!�#�HG�Q��!,�0�C�@R�!= �)Q��#G�F!��D&F20�=��LF%]"W�� DKF F\9+A�J�Z l S���!=g9 �)�!Q � 9@-�W - ^ :�:�:W �gW . U � WK �)Q!@'b�= F!�#L1DKF!G�� H(J��HF20��)��GK�!,z'T9 e>Ye�:=� ( %\W � � ������ � � ������������ ���� i ������ � � !� � i �"�" � � �#������$� i �� ��% ��$� � � �"�" � � % ���

" Wl�IJ�F2= �#G�Q4�!,<0�C�@1@GF-H�=�@���� �)��G\W�), 4�#� A�>0�C�@�G*��J�0 H(J�0 W@��#��@!>,c�!=���,c=���D Z10��B�'> � '&(il U &(@�G3%��J�0 H(J�0d?qW@�G&%

�E�!0�@R0�C(F20P0�C�@RF2b��g]!@4F!�)Q!�!= �)0�C�D L��!=�=�@�L�0��)5%Q��)]!@��P@GF-H�9!W�: x ( %*b�@�L'F!J���@1,c�!= � @GF;H�9!W . U�: x ( %�>9c@GF-H�9!W . U�: x ( %(:�9c@GF;H<9!W . U�: x ( %(: l U�9c@GF;H�9!W . U�: x ( %M:F� @GF-H�9!W�: x ( % S<��!= � @GF;Hh9!W . c6: x ( %\>9c@GF-H�9!W . c6: x ( %M:�9c@GF-H�9!W . c6: x ( %": l U�9c@GF;H<9!W . c6: x ( %(:f� @GF;Hh9!W . U�: x ( % �b�b�sE@�G�L�@!>&HMJ�0�0��#G�Q4@']!@'=�560�C(�#G�Q�0��!Q!@'0�C�@'=�>�?$@1L'F!G*�#DZH(�)@�D&@�G;0$0�C�@���G�@1��0�@BH*�!,�0�C�@>'A<R_B< D-@'0�C��;%%?��)0�CL���D H"@�G(��F20�@.%3@'=�=��!=PF %&%(�)0��)��G%�#G%0�C�@�,i���#�#�g?��#G�QR?aF�5!>�,c�!=P�����)]��#G�Q�vNI^9!c�WYX�:d�#G2l@�L�0��)��G�c�Wn�T,c=���D j j �$A0�� jkl � ZBA�Wvxwb8yw � sMr.)�� ~�� 57r.)���� �f� s � { � r�s ~ s u.uy�$u �&~�~ 57r.5c� �<�=���D jkj � A%0�� j�l ��J\>o��G�@���0�@BHw�!,A0�C�@Z'A<R_B< K �)Q!�!= �#0�C�D�?��)0�CVL���DZH�@�G���F20�@.%V@'=�= �!=qF %&%��)0��)��GV�#�Q��#]!@�G�b5B0�C�@R,i���#�#�g?��#G�QT��L�C�@�D-@ `

�o@'0 � q � F!G&% m� b�@30�C�@�L��@ +KL'�)@�G60��&�!,�F!G �n��0�F2Q!@!>����0�C �!=/%�@'=&L'�#F!�����HL'F!��'�J�G�Q!@ �=<RJ�0�0�FD-@'0�C��-%*F!G&%3�)@'0IR q ��� � a j � q � Wf��@'0 "�b"@�0�C�@1= ��J�G&%��#G�QR@'=�=��!=d@���0��#D&F20�@!> � b�@�0�C�@�� D&F!�#�L C(F!G�Q!@q0��&0�C�@R�!= �)Q��#G�F!����0�@BHb j >�F!G&%8J}�#�a0�C�@R��0�@BHM���)`'@!W2��)]!@�G jkj >� j >(F!G&%2" j >,i�!= �F� Z*J U J S,S,S,J �#q �tJ�� � a j � q � o n n q ��L�9 J R q J^H�9 � q J j :�:o n;q �p%�@GF;HM�#G;]\9 �$q > n[q > ��:@�G&%

W ��J ��� a j m� o n�<h�HG&% ,c=���D � � | � ud5 �tz��:� ~ � � �_� 5 �tz � �!z �#ud57r.) � � �$uxs � � �������� ~ W� � )& j l " jj j � jkj l J j �k j l��" j � �x 9! j x j :�W5�J�0 H(J�0 j j >� j >(F!G&%2" j W

�E�!0�@R0�C(F20ALm`[D N � P Q >�F!G&%*0�C�@_���)@qF!�)Q!@'b�= F-F!L�0��#��G^�#�AH2` Q N � P � W

Page 109: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� � s;� 5 �3� �@u�r.)�� z � � �3� 8 � r�u*5 � 32576fs uds � r.5 �3� � � | � r.5c� � { � �

[PC�@B=�@���J��#0��R,c=���Du�����)]��#G�Q}vAIs9!c�WYX�:4?��)0�Cr0�C�@@'0<R_b<�D&@'0�C��;% F!G&%r'0<4_B<�D-@'0�C��-%�?E�)0�C�0�C�@L���DZH�@�G���F20�@.%}@'=�=��!=�0�@�L C(G��#IJ�@!>"F2= @w%��H� H(�#Fg5!@.%^�#G <h�#Q�J�=�@1c�W#ZBA�>\?E�)0�C}GJ�D-@'=��#L'F!�o]2F!�#J�@����#G^[hF2b(�)@ K W'cF!G&%^[hF2b(�)@ K WYXB�#G K H&H�@�G&%(�LF K W K �X<h�#Q�J�=�@1c�W#ZBA%��C��|?��'>"0�C��#�ED-@'0�C��-%^b�@�C�Fg]!@��E�#G}FB� �#D&�#�#F2=d, F!��C��#��G0��40�C�@�L���DZH�@�G�� F20�@.%B@'= =��!=a@���0��#D&F20�@�,c�!=c'A<�D&@'0�C��;%%�#G1<<�)Q�J�=�@Ac�WnZWN[PC��#�AD-�-%��)z�@.% '0<R_b< D-@'0�C��-%H�=��-%�J�L�@.% �����#J�0��)��G��%?�C��#L�C F2=�@���0��#�#�E=�@��#�HF2b(�)@t,i�!=���0�@BHM���)`'@�J � D&F!�#�)@'=30�C�F!GtJ � Z . �!UDA�>R?�C��#L�C �H�0�C�@wH"���HG;0E?�C�@�G}0�C�@4= ��J�G&%��#G�Q&@'=�=��!=1��0�F2=�0�@.%t0�� %���D&�HG�F20�@40�C�@T�����HJ�0��)��G���,i=���D�0�C�@T�!= �)Q��HG�F!� 'A<R_b<D-@'0�C��-%\W

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

10−16

10−15

10−14

10−13

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

log(h)

Log o

f norm

of err

or

Log plot of results from explicit RKMK methods.

RKMK4

RKMK4 with compensatederror addition

<<�)Q�J�=�@�c�W#ZBA�`N���� ���� ������ ��(���$������*�&�!� �� ��� � ��#�% � % �!�&� %��$' � �)�� �!� % ��� � % �)�!�+ �!9�� �� � � ��# ���",/. 6 . +1�8�!9� 5 0� #�5 ,/. 6 .-+1�8�!9� 5 � � � 9 � �+1� � #�% �3�!� 5 �&�!� ���� 5�5�� � � # : � �� 9 ��# � �&���!��� �� % % ��$=�� 5 � 9�� �$# � � � ���= ��� ��� ��� ������&+�$#@? ACB � : !�E 0 �)�!�+GF H J L7� F O J R�L :

Page 110: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{� M � ��Y��x� R � WXbdY9P a������0PcbdY\UXW U W"bN��� ���"���`R �[�C��#�1�#�1F %(�VU"@'= @�G;0��#F!�<@�IJ�F20��)��G�%�@����)Q�G�@.%V0��^b"@&�����)]!@.%wb5t0�C�@K_^F2Q�GJ��R��@'= �)@��1@GF-H(F!G����#��G��1F!G&%w0�C�@'A<R_b< D-@'0�C��-%��'>�F!G&%^�)0P�#�dF!G��!0�C�@'=E@GF�F!D H(�)@1,c@�F20�J�=�@.%��#G 6��VUo_}F!Gf? Z�U C{W

h h j �'( A j

x A�S'cmL����y9 j :xj A A�S#Z jA�S'cmL����29 j : x A�S#Z j A

/0 \9 j :F� T9 j : \9 j :^J \9+A;:f� '( AA Z /0 S 9!c�W#ZBA;:

[PC�@T�����#J�0��)��Gb \9 j :�K�D � �#GtvNI�9!c�W#ZBA;:��#��F%]!@�L�0��!=q�!,NJ�G(�)0��)@�G�Q!0�Co>"@']!���#]�#G�QB��Gt0�C�@�J�G��)0E� H(C�@'=�@!W[�C�F20E�#��>�0�C�@4�����#J�0��)��G*]!@�L�0��!= \9 j :a=��!0�F20�@���F2=���J�G&%^0�C�@R� H(C�@'= �#L'F!�o��J�=�,cF!L�@R?��)0�C�= @�� H�@�L�0P0��B�)0����!= �)Q��#Go>F!G3%�G�F20�J�= F!�H�)5!>o0�C�@&C���D&�!Q!@�G�@'��J��RDKF!G��),c���4%V�#GV0�C��#�1L'F!��@B�#�10�C�@&J�G(�)01� H(C�@'=�@!W&[�C�@-D&F!�#G %��VU�@'=�@�G�L�@b�@'0 ?A@'@�G^0�C��#�a@GF�F!DZH(�)@qF!G&%�0�C�@>H�=�@']��)��J��a@GF�F!DZH(�)@q�HGBl@�L�0��)��G4c�Wn�>"�#�a0�C�F20P0�C�@qDKFDHbLm`[D N � P Q�HGs0�C�@tQ!@�G�@'= �#L8H�=�@���@�G60�F20��)��G �#Gkl@�L�0��)��G�Z2Wn�WYX>E�#�%C�@'=�@}Q��)]!@�Gxb5 0�C�@VD&F20�= �LF �9 j :b` D P ���69 ��:�WE C�@'=�@�F!���#G*0�C�@ H�=�@']��)��J��a@GF�F!DZH(�#@!> L�`�l&5�9 ��: P ���69 ��:�W ���!0�@40�C�F20�,c=���D 0�C�@ %��VU�@'=�@�G60��#F!�\@�IJ�F20��)��G\>0�C�@_���)@1F!�)Q!@'b�=�FT�H�c%�@'z(G�@.%3b5K0�C�@1D&F20�= � F �9 j :�>�?�C(�#L C3�#G%0�C��#�dL'F!��@q�#� Q � ���69 ��:�WA[�C�@�G\>0�C�@1Q!@�G�@'= �#LH(=�@���@�G60�F20��)��G3�!,�0�C�@(%(�VU"@'= @�G;0��#F!�M@�IJ�F20��)��G�9c�!=P�#G�zMG��)0�@����#DKF!��Q!@�G�@'= F20��!= WdXx:�>�?��)0�CB?�C��#L�C%?A@�?aF!G;0d0�������)]!@q,c�!=P0�C�@R�����HJ�0��)��G� \9 j :$�#�PQ��)]!@�G*b5!> #&9 j :\� �9 j :�#&9 j :^J #K9+A;:f�g( % J?EC�@'=�@U#K9 j :P�#�P0�C�@4L��!=�=�@�� H���G&%��HG�QG� Nb�KD&F20�= �LF*�#G^0�C�@1���#@qQ!=���JIH�l&5�9 ��:�WP[PC��#���#�d@GF�F!L�0��)5�0�C�@q,c�!= D�!,<0�C�@:%��VU�@'=�@�G;0��HF!�M@�IJ�F20��)��G^?A@q�����)]!@.%�,c�!=��#G30�C�@q�HF!��0P@GF�F!DZH(�)@qJ�� �#G�Q�0�C�@('0<4_B< D&@'0�C��;%oW[PC�@B���)@�Q!=���J&H F!L�0��)��G �#Gs0�C(�#�KL'F!��@t�#�&Q��#]!@�Gxb5!��9!W#J #R:4� @GF-H�9!W�:O� #�>�H�= �;%�J(L'�#G�QwF�� H�@�L'�#F!��!= 0�C��!Q!��G�F!�<D&F20�= �LF�>(?EC��#L C�?A@T0�C�@�G^J(��@4F!�E0�C�@4�HGIH(J�0PD&F20�=��LF�#�F20E0�C�@Rb�@'Q��#G(G��#G�Q-�!,�0�C�@TG�@GF�0E��0�@BH�HGV0�C�@K�#G60�@'Q!= F20��)��G H(=��L�@�� �'W K 0q0�C�@&@�G3%w�!,A@�F!L�C��#G60�@'Q!= F20��)��Gr��0�@BHo>�?A@-z(G3%V0�C�@ZH������)0��)��GV�!,$]!@�L�0��!= \9 j :/K4D\��b65TD4J(�)0�� H(�)5��#G�Qd0�C�@aDKF20�= �LF"#K9 j :>Kml&5�9 ��:h0���0�C�@d�#G��)0��HF!�kH������)0��#��G1 \9+A;:/K4D\��>!,c�!=mF�=��!0�F20��)��GF20�0�C�@�L'J�=�=�@�G60E��0�@BH},c=���D�0�C�@T�HG��)0��#F!�dH������)0��#��G�F20E0�C�@4b�@'Q��#G�G(�#G�Q-�!,�0�C�@T�#G;0�@'Q!=�F20��)��GvH"@'=��)�;%oW�sE@�G�L�@!>?$@EC(F�]!@�Fq��@�IJ�@�G�L�@��!,dH������)0��#��G-]!@�L�0��!= �9 �9 j :<?��#0�C-=�@�� H�@�L�0m0��40�C�@E�#G(�)0��#F!�;H������)0��)��G \9+A;:�>?�C��#L�C-0�= F!L�@����J�0m0�C�@d0�= F.-�@�L�0��!= �)@��N��G-0�C�@P��J�= ,cF!L�@d�!,"0�C�@PJ�G��#0<�\H(C�@'=�@dF20m@�F!L�C&0��#D-@P��0�@BH&�!,M0�C�@P�#G;0�@'Q!=�F20��)��GZH�=���L�@����'W[��@H�@'=�,c�!= D�0�C�@TGJ�D-@'=��#L'F!�h@GF;H�@'= �#D&@�G;0��'>��)@'01J�����JIH3H"����@R0�C�F20�?$@T?aF!G60�0����HG;0�@'Q!= F20�@-vAIr9!c�W#ZBA;:?E�)0�C^0�C�@4Q��)]!@�GV�#G(�)0��#F!�oL���G&%(�)0��)��Gb �9+A;:�>\�|]!@'=10�C�@40��HD-@T�HG;0�@'=�]2F!� j �Q? A�J edcDCm?��#0�C^F3L���G���0�F!G601��0�@BH(���)`'@�!,�J}� Z . UDA�>hF!G&%V�!=/%�@'= �}� c*,c�!=10�C�@ c��#G60�@'Q!= F20��!= �('A<-> 2�F!J�� �'>�_}F2Q�G6J��RF!G&% '0<R_b<pD-@'0�C��-%��'W51G�L�@RF2Q�F!�#G\>�?$@RF!�#���K�#G60�@'Q!= F20�@q0�C�@R� F!D-@(H�=��!bM�)@�D ?��)0�C�_}F20��#F2bo���X5>6�vfc;X�,c�!=EL���DZH(F2=��#����G\W

( Gt0�C�@T0�� Hw,c��J�=�Q!= FDH(C����#G <<�)Q�J�=�@?c�W#Z!Z2>o?$@0H(�)�!0�0�@.%V0�C�@�0�C�=�@'@Z%��HD-@�G����)��G(F!�o�����#J�0��#��G��� �9 j :��g]!@'=0�C�@��HG;0�@'Q!= F20��#��G H�@'= �#�;%\>(��G}0�C�@TJ�G(�)0E� HMC�@'=�@R,c�!=�0�C�@T,i��J�=1D-@'0�C��;%���J�G&%�@'=EL���G���� %�@'= F20��)��G\>�J����HG�QK0�C�@� F!D-@d��0�@BH(���)`'@ JoW ( 0<�#�<FDH&H(F2=�@�G60<0�C�F20������#J�0��)��G(��,c=���D�0�C�@�'0< �#G60�@'Q!= F20��!=�@']!@�G60�J�F!�#�)5w%�= �),c0���Fg?$Fg54,c=���D0�C�@�� J�=�, F!L�@4�!,A0�C�@T�\H(C�@'=�@!>�?�C��H�)@R�����#J�0��)��G��E,i=���D�0�C�@T�!0�C�@'=10�C�= @'@T�#G60�@'Q!= F20��!= �1FDH3H"@�F2=�0��*F %�C�@'= @40��0�C�@�� F!D-@1��J�=�, F!L�@!W K Q�F!�#G3F!����J�D&�HG�QR0�C�F20 5>6�vfc;X:H�=��-%�J�L�@��$0�C�@�D-����0PF!L'L'J�= F20�@q�����#J�0��)��G��9 \9 j :N?�C�@�G�����)]�HG�Q�0�C�@%��F!D-@3�#G��)0��#F!�<]2F!�#J�@ H�=��!b(�)@�D�>�0�C�@�Gr?$@BL'F!Gr0�F2O!@3F}�)��!O�F2040�C�@1%��VU�@'=�@�G�L�@&�!,P�����#J�0��)��G��b�@'0 ?A@'@�Gr576�v\c;X���RF!G3%V0�C�@&�!0�C�@'=q,c��J�=q�#G60�@'Q!= F20��!= ��W l�J�L C�=�@���J��)0���F2=�@ H(�)�!0�0�@.%w�#GV0�C�@-b��!0�0���D�,i��J�=Q!=�FDH(C��<�#Gw<h�#Q�J�=�@>c�W#Z!Z2W\���!0�@a0�C�F20<0�C�@�%��VU�@'=�@�G�L�@Ab�@'0n?$@'@�G 576�v\c;X����F!G&%T0�C�@a0n?$�&���)@$Q!=���JIH-D-@'0�C��;%��� J�L C*F!�a0�C�@q_}F2Q�G6J(�P��@'= �)@��$@GF-H(F!G����#��G%F!G3%B0�C�@('0<R_b< D-@'0�C��-%%F2= @q���)Q�G��)zML'F!G;0��)5&� D&F!�#�)@'=�>0�C�F!G30�C�@%(�VU"@'= @�G�L�@��db�@'0n?$@'@�Gv576�vfc;X����F!G&%*0�C�@RL'�#F!�����HL'F!�e'0< F!G&%v2�F!J����PD&@'0�C��;%(�'W

Page 111: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � 32576fs uds � r.5 �3� � � | � r.5c� � � � r.)ts � � )tsMuds � �

−10

1−1

01

−1

0

1

x

RK4

y

z

−10

1−1

01

−1

0

1

x

Gauss

y

z

−10

1−1

01

−1

0

1

x

Magnus

yz

−10

1−1

01

−1

0

1

x

RKMK4

y

z

0 50 1000

2

4

6

t

ODE45 − RK4

0 50 1000

0.5

1

1.5

t

ODE45 − Gauss

0 50 1000

0.5

1

1.5

2x 10

−5

t

ODE45 − Magnus

0 50 1000

2

4x 10

−5

t

ODE45 − RKMK4

<<�)Q�J�=�@�c�W#Z!Z*` � � �+ % ���= �$# � ? A B � : R�L E 0 � 9�� �!�� �N��� ����9 % ��� � � 9�� % ���� � � #�% �)�!�+ � � � 9 ��# � ����� �3� ��(������ � � 5 #� 9�� % ���P� � � � ��*� � # � � % ��9��&�!� : ; 9��4� ��P�!�+ �N��� ����9 % ��� � � 9�� 5���� ��� � #�� �4� �8��� �&� # % ���� � � #�% �)�!�+�� � ? � ! � #�5��� � 9 ��"� 9�� � ��# � ����� �3� �� % : � HKJ � L��!L��&R��0 FIHKJ L�0 FPO7J�����0 � #�5 � J R�� � L :

Page 112: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{5�G�@��!,<0�C�@qF %�]2F!G;0�F2Q!@4�!,�J����#G�Q�0�C�@_���)@1Q!=���JIH�D&@'0�C��;%(�P��J�L�C�F!�d0�C�@4_}F2Q�GJ�����@'=��)@��a@GF;HMF!G����)��G���!=R0�C�@Z'0<R_b<�D-@'0�C��-%\>\,i�!=q�����)]�HG�QB0�C(�#��0n5;H"@��!,c%��VU�@'=�@�G;0��HF!��@�IJ�F20��)��G(�E��GV0�C�@&� H(C�@'=�@��#��0�C�F2010�C�@

���)@qQ!=���J&H}F!L�0��)��G �$H�=��-%�J�L�@��P�\H"@�L'�HF!�\�!=�0�C��!Q!��G�F!�hD&F20�= �HL�@��'>(?�C(�#L C\>(?�C�@�G�DTJ��)0�� HM�#�)@.%%0��B0�C�@q]!@�L�0��!= \9 j :0KmD\��> H�=�@���@'= ]!@����#0����)@�G�Q!0�Ct�#G^0�C�@4= �!0�F20��)��G\>����B0�C(F20E�����#J�0��)��G�� \9 j :d?��H�#�\F!�)?aF�5��E= @�D&F!�#G}��G^0�C�@�\H(C�@'=�@!W�[PC��H�N�#�AG��!0N0�= J�@E�),�?$@�J���@EL'�#F!��� �#L'F!�(�#G60�@'Q!= F20��!= �a��J(L C%F!� 'A< D-@'0�C��;%B�!=A0�C�@72�F!J�� �AD-@'0�C��;%\WEw@�L'F!G%��@'@E0�C(�#��b5-�!b(��@'=�]��#G�Q10�C�@E]yF2=��#F20��)��GK�HG-0�C�@E�#@�G�Q!0�C&�!,\0�C�@������#J�0��#��G-]!@�L�0��!= �/ \9 j :�?��)0�C-=�@��\H"@�L�00��B0�C�@q�#G��#0��#F!���)@�G�Q!0�C\>�F20P@�F!L�C�0��#D&@R��0�@BH�,c�!=�F!�#��,c��J�=��#G60�@'Q!= F20��!= ��0�@���0�@.%\>(�HG <<�)Q�J�=�@ c�W#Z�UW

0 20 40 60 80−1

−0.5

0

0.5

1

t

||y(t

)||−

||y(0

)||

RK4

0 20 40 60 80

−0.5

0

0.5

1x 10

−14

t

||y(t

)||−

||y(0

)||

Gauss

0 20 40 60 80

−0.5

0

0.5

1x 10

−14

t

||y(t

)||−

||y(0

)||

Magnus

0 20 40 60 80

−0.5

0

0.5

1x 10

−14

t

||y(t

)||−

||y(0

)||

RKMK4

<<�)Q�J�=�@Gc�W#Z�U ` � � �+ % ���= �$# � ? A�B � : R L E 0�!9�� =3��� � ��� � # �$# �!9�� ��� # ��� 9 �� % ���� � � # =�� � � �� % ��� � ��#�% � � � +1� F � %���$��P� � 5 �)������ � 9 ��# � ����� �3� �� : � HKJ � L�� L��&R 0 FIHKJML�0 FPO J � ��0�� #�5 � J R&� � L :

Page 113: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 �e� �3� 5�� { � �

� M�� � Y�XY�����U�� ��wW0P S Y\[z]( Gx0�C��#�%��@�L�0��)��G ?A@t?��#�H�PL���G���� ��@'=K0�C�@���5�G�F!D&�#L'�K�!,q0�C�@^=��)Q�� �sb�����5 �#Gs,c=�@'@tD-�!0��)��G 9 G���@GF�0�@'= G�F!�,i�!=�L�@|:�>h?EC��#L C�L'F!G�b�@&=�@BH(=�@���@�G60�@����#G�0�@'= D&�q�!,d0�C�@K=��!0�F20��)��GrD&F20�= �LF �9 j :R�#G�l���9 ��:qF2b���J�0RF^zIF�@��H����#G;0*9c0�F2O!@�Gs0��wb�@30�C�@�L�@�G60�=�@��!,�D&F!���-�!,E0�C�@*= �)Q�� � b�����5�:�Wr[PC��#��D&F20�= � F��9 j :�Kyl��-9 ��:T��C���J(� �F!L�0q0��8H(=�@���@'=�]!@&0�C�@����#��0�F!G(L�@-�!,aF H"���HG;0q�#GV0�C�@&= �)Q�� �Vb�����5^?E�)0�CV=�@�� H�@�L�0q0��^�#0��qL�@�G;0�= @K�!,dD&F!���q�HG=��!0�F20��)��GVD-�!0��)��G��'�[���{W��w@�?��#�#���)�6�!O}L'�)����@��)5�F201C��|?�0�C�@TvAJ��)@'=EvAI6J(F20��)��G��E�!,ND-�!0��)��G��E,c�!=�0�C�@4= �#Q�� �b�����5�L'F!G%b�@P0�= F!G���,c�!= D-@��%�#G60��4F����VU�@'=�@�G;0��HF!��@�IJ�F20��)��GB0��4b�@������#]!@��%�HG-0�C�@��0<R_b< ,c= F!D-@'?$�!=�O">F!G��0�C�@q�#D ���!=�0�F!G60!�(F2=�0d0�C(F20P0�C�@RL���F"�d-����#G60d�!=�b(�)0!�M�#F�5��P�#G30�C�@qF2bM��0�= F!L�0E��@'0�0��#G�Q-,c�!=P0�C�@q= �#Q�� �%b"����5��'Z#�{W1Z2%$�2 6 &('D] ;*IJ[ ] E ��S�9<=.;*>*) MLIJ]i$@',i�!=�@�?$@�L'F!G%L���G���� ��@'=N0�C�@�D-�!0��)��GB�!,oFR��5���0�@�D �!,+�(F2=�0��HL'�)@��'>6�#0A�#�A�#D ���!=�0�F!G60N0����#�����#F20�@E0�C��#�N��5��0�@�D,i= ��D 0�C�@4=�@���0��!,m�#0��P@�G6]�)= ��G�D-@�G60'WP[PC�@�G\>�0�C�@40 ?A�3D&F!�#G*0 5,��@��E�!,�,i�!=�L�@���F!L�0��HG�QK��G}0�C�@-�MF2=�0��#L'�)@��P�HG0�C�@q��5���0�@�D F2=�@_Y .0/21�>�0�C�@ � @43�0�@'= G�F!�{��,i�!= L�@��5��J�@10��-0�C�@q@�G6]��)=���G�D-@�G60'>�F!G��4Y. q 1�>�0�C�@ � �#G60�@'= G�F!�{��,i�!= L�@����J�@-0���0�C�@K�#G60�@'= F!L�0��)��G��1?E�)0�CV�!0�C�@'=-�MF2=�0��#L'�)@��1?E�)0�C��#Gt0�C�@&��5���0�@�D*W1s�@�G(L�@!>�0�C�@K,i�!= L�@ Y ` F!L�0��#G�Q���G0�C�@ n �{0�C6�MF2=�0��#L'�)@1�#G30�C�@4��5��0�@�D �#�aQ��)]!@�G�b65!>

Y`�]Y .0/21` l Y . q 1` S

K �#����>0�C�@E��5���0�@�D �!,7�(F2= 0��#L'�)@��N� C���J�� �Kb"@���@'z(G�@��B�#GK� J�L C%FR?aF�5K0�C�F208�(F2=�0��#L'�)@��AG�@��)0�C�@'=A@�G;0�@'=PG��!=�)@�F�]!@R0�C�@R��5���0�@�D*>(���-0�C�F20�L���G���@'= ]yF20��)��G}�#F�?E�P�#G*L'�#F!��� �#L'F!�\D-@�L C(F!G��#L'��L'F!G�b"@qF����(�#�)@��\W[PC�@&D&�!0��)��Gw�!,dF���5���0�@�D �!,9�(F2=�0��HL'�)@��qL'F!G�b�@:��@�� L�= �)b�@��tb65V0�C�@KD&�!0��)��Gw�!,d�)0��qL�@�G60�=�@&�!,dD&F!����W[PC��#�aL�@�G60�=�@q�!,<D&F!���d,c�!=PF-��5���0�@�Dp�!,(�����#G;08�(F2= 0��#L'�)@��'>�@�F!L�C��!,<D&F!��� g ` F!G��3= F"���#J(�<; ` ?��#0�CB= @�����@�L�00��KF!G*�!= �#Q��#G\>��#�=��@'zMG�@��30��&b�@!>v �

� ` g ` ; `� ` g ` S

>�J�= 0�C�@'= D-�!=�@!>�0�C�@qD-�!0��)��G3�!,<0�C��#�$@�G60��)=�@q��5���0�@�Dp�!,(�(F2=�0��#L'�#@��dL'F!G*b�@�0�C���J�Q�C;0��!,h�#G%0�@'= DK�d�!,�0�C�@D-�!0��)��Gt�!,m0�C�@�L�@�G60�=�@-�!,ND&F!���-9c0�= F!G(���#F20��)��GM:�>�0��!Q!@'0�C�@'=R?��)0�C}0�C�@TD&�!0��)��GVF2b"��J�0E0�C�@-L�@�G60�=�@��!,ND&F!���9c=��!0�F20��)��GM:�Q��)]!@�G b5r0�C�@ � �m= �#G(L'�?�(�)@B�!,1_^��D-@�G60��'�)W ( ,�?A@�L���G�� � ��@'=-0�C�@6�������#0��)��G��T�!,�0�C�@@�(F2=�0��#L'�#@��=�@��#F20��)]!@10��K0�C�@RL�@�G60�=�@q�!,�D&F!��� v}>(��J(L C*0�C�F20'>o;`�A;` x

vbJ0�C�@�G\>�0�C�@ � ��= �#G�L'� �(�)@��!,<D-��D-@�G60��'�(�H�PF!�P��0�F20�@��}b�@��)�g?q>| [PC�@qD-�!0��)��G*�!,h0�C�@RL�@�G60�=�@q�!,�D&F!����>

_*` g `<Bv � _,` Y .C/D1`S 9!c�W#Z!Zg:

| [PC�@qD-�!0��)��G�F2b���J�0d0�C�@4L�@�G;0�=�@R�!,<DKF!���'>hhkj E_.` o;

`N g ` o W ` F � _,` o;

`N2Y .C/D1`S 9!c�W#Z�U�:

���!0�@V0�C�F20 Bv���@�G��!0�@��30�C�@VF!L'L�@��)@'= F20��)��G �!,q0�C�@tL�@�G60�=�@V�!,4D&F!� �'WG� �)0�C =�@�����@�L�0%0��S@�F!L CH�(F2=�0��HL'�)@?��)0�C��HG*0�C�@���5��0�@�D*> Y .0/21` �#��0�C�@TF!L�0��#G�QB@43�0�@'= G�F!�h,c�!= L�@!>�� ` � g ` o W ` �#�P0�C�@��#�#G�@�F2=�D-��D&@�G;0�J�D�>M?�C(�#�)@I`� o;`N�� ` F!G�� � ` � o ; ` N Y .C/D1` F2=�@$0�C�@aF!G�Q�J��#F2=<D-��D-@�G60�J�D F!G��40��!= I6J�@A�!,�@�F!L�C�(F2=�0��#L'�#@NF2b���J�0�0�C�@

Page 114: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

�M� � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{L�@�G60�=�@1�!,hD&F!���'W`sE@�G�L�@!>(vAI^9!c�W#Z�U�:aL'F!G*b�@�0�C���J�Q�C60$�!,hF!�a0�C�@�= F20�@1�!,�L�C�F!G�Q!@1�!,hF!G�Q�J��#F2=dD-��D-@�G60�J�D�!,�0�C�@d@�G60��)=�@P��5��0�@�DfF2b���J�0m�)0���L�@�G60�=�@��!,�D&F!���'>6?�C��#L�C-�#�<Q��)]!@�G-b5T0�C�@���J�D �!,"0�C�@P0��!=�I6J�@�� ��J�@d0��q0�C�@@43�0�@'= G�F!��,c�!= L�@��PF!L�0��HG�Q���G30�C�@1��5��0�@�DpF!�#���-L'F!�#L'J��#F20�@��*F2b���J�0a0�C�@1L�@�G60�=�@1�!,�DKF!���'Wm[PC��H�A= @��#F20��)��G���C(�?��HGV=��!0�F20��)��G�F!� ��5G�F!DK�#L'�'> � � ���� � >��#�1F!G(F!�)�!Q!��J��10���0�C(F20q�!,>�E@'?P0���G\���4��@�L���G����HF�? �#GV0�= F!G(���#F20��)��G�F!�D&�!0��)��G\>$YO� � �� � W132%$�2�� �XEN;*9<;*> G�� �X>��H>7P��$EDP '>��!=EF-=��!0�F20��HG�Q-�!b�-�@�L�0'>�?A@4L'F!G*@��)0�C�@'=P?$�!=�O3�#G30�C�@q���MF!L�@B9 �#G�@'=�0��HF!�i:N,i= F!D&@!>��!=P0�C�@1b�����5K,c= F!D-@!Wm[PC�@���(F!L�@-,i=�F!D-@^9 ��@�G��!0�@�� � :�>��#��z 3�@��w�#GV���(F!L�@!>o,c=���D+?�C��HL CVF �����#G;0���GV0�C�@-�!b�-�@�L�0q�#���!b(��@'= ]!@��V0���b�@D&�g]��#G�Q�>"=�@��#F20��)]!@q0��%0�C��#�P,i= F!D&@!W�_�@�F!G6?�C��#�#@!>(0�C�@4b"����5%,i=�F!D-@B9 ��@�G��!0�@��� :�>M�H��FKL���!= ���HG�F20�@4��5���0�@�D?EC��#L C*�H�A= �!0�F20��#G�Q-?��)0�C30�C�@��!b�-k@�L�0'>(F!G��*���&F�����#G;0a�#G30�C�@�= �#Q�� �%b"����5K�H�d��0�F20��)��G�F2=�5B?��)0�C3=�@����"@�L�0a0��0�C�@qb�����5B,i=�F!D-@!WK =��)Q�� �tb�����5}�#�1F���5���0�@�D �#Gt?�C(�#L CV0�C�@:�(�#��0�F!G�L�@-b�@'0n?$@'@�G�F!G65t0n?$�6�����#G;0���?E�)0�C��#Gt0�C�@&��5���0�@�D= @�D&F!�#G��1z�3@�� ��J�= �#G�Q%D-�!0��#��G\W ( ,a?A@BL���G���� ��@'=R��G��)5t=��!0�F20��)��G�F!�<��5G(F!D&�#L'�1�!,a0�C�@B= �)Q�� �Vb�����5!>o0�C�@�G0�C�@'=�@R�#�dF-0�@�G(���!=�=�@��HF20��)��G���C�� �Bb�@'0n?$@'@�G^�#0��PF!G�Q�J��#F2=ED-��D-@�G60�J�D IxF!G���F!G�Q�J��#F2=d]!@��#�L'�)0 5�d>

I � �� S 9!c�W#Z~��: �G��#�#O!@PD&F!��� g �#G ��� g WR,c�!=m0�= F!G(���#F20��)��G�F!��D&�!0��)��G\>;0�C�@��#G�@'=�0��HFE0�@�G(���!=��TC�F!�mL���G���0�F!G60AL���D:�"��G�@�G;0����G(�)5 �),�0�C�@}��5���0�@�D �#����@'z(G�@��s�#Gx0�C�@ � � ~ � L��6�!= �(�#G�F20�@��'W >��!=*F�=��)Q�� �Sb�����5 ?E�)0�CsF�L���G60��#GJ���J���(�#��0�= �)bMJ�0��)��GB�!,hD&F!� �'>��)0��=��@�G(���)0n5 �B�#�dL���G(��0�F!G;0'>"F!G����#G%0�C�@��aF2=�0�@����#F!G*L���!= ���HG�F20�@��'> �K�H�aQ��)]!@�G�b5%F��5D&D&@'0�= �#L1D&F20�= �?3%�!,h]!���#J�D-@q�HG;0�@'Q!= F!�H�-�'�[���{>

���'(�� 9! � l " � : � h�� x

� �$ � h��x� � "[� h��x

� �$� h�� � 9 "E� l � ��: � h�� x� ";� h��x

� "[�$� h��x� "[ M� h�� � 9!� � l � : � h��

/0S 9!c�W#Z c6:

>�=���D��#�HG�@�F2=-F!�)Q!@'b�= F�>mQ��#]!@�GS0�C�F20-0�C�@*�#G�@'=�0��HF^0�@�G����!= ���#����5�D&D-@'0�= �HL2>m0�C�@�GS�)0-�#�T�!=�0�C��!Q!��G�F!�H�)5�(�#F2Q!��G�F!�#�#� F2b(�)@!WN[PC�@10�C�=�@'@RDTJ�0�J�F!�#�#5K�!=�0�C��!Q!��G(F!��@��)Q!@�G6]!@�L�0��!= �E�!,<0�C�@����HF2Q!��G�F!�#�#��@�� �%F2=�@q0�C�@ � u*5 � ��M5 ���3�z� � sM{��!,\0�C�@�= �)Q�� �Kb�����5!>F!G��&0�C�@E@��)Q!@�G6]2F!�#J�@�� � j >�� � >�F!G�� � � F2=�@�0�C�@ � u*5 � � 5 ���3�`� � � s � r�{R� �5 � sMu.r.5 � W��w@-L'F!GtJ(��@R0�C�@ ��= �HG�L'�?�(F!�oF#3�@���F!��0�C�@4b�����53,i=�F!D-@4�!,N0�C�@T��5��0�@�D�b�@�L'F!J���@40�C�@ ��= �#G�L'� �(F!�F#3�@��PF2=�@�z 3�@��3�#GK0�C�@�b�����5!W�[PC��#�$D-@�F!G��$0�C�F20dF!�a0�C�@�= �)Q�� �Kb�����5-=��!0�F20�@��dF2b���J�0dFRz�3@�� �����#G60'>��� ���0�C�@:���)=�@�L�0��)��G(�E�!,$0�C�@��= �HG�L'�?�(F!��F#3@��'W >�J�=�0�C�@'= D-�!= @!>�G��g? 0�C(F20 ���#� ���#F2Q!��G(F!�#�#��@��\>�0�C�@-= @��#F20��)��G���C(�?��HGwvNIr9!c�W#Z~��:q�#�1���#D:�(�#�)z�@��^0��6I��4� � j ���> I�� � � � ��;>�F!G�� I���� � � ��y>o?�C��#L�Cw�#��0�= J�@-��G��#5}�#Gt0�C��#�L���!= ���HG�F20�@P��5���0�@�D*WT( G�0�C�@P���(F!L�@d,c= F!D-@dC��g?$@']!@'=�>Q!@�G�@'= F!�#�#5q0�C�@PIJ�F!G;0��#0��)@����#G�vNI39!c�W#Z~��:<?��H�#�,��@ �"@�G����G^0��#D-@ j F!�P0�C�@1�!b�-k@�L�0P= �!0�F20�@��E�#G*���(F!L�@!W[��B���#D �(�H�),i5&L'F!�HL'J��#F20��)��G���>�,i=���D G��g? ��G\>�?$@q?��#�#��L���G�� � ��@'=d0�C�@q= �!0�F20��)��G�F!� ��5G�F!DK�#L'�a�!,<0�C�@q= �)Q�� �b�����5KF2b���J�0P�)0��dL�@�G60�=�@q�!,hD&F!���'W K �#����>?$@1?��#�H�(0�F2O!@40�C�@�b"����5KL���!= ���HG�F20�@��d0��-b�@�0�C�@ ��= �#G(L'�?�(F!�(F#3�@���!,<0�C�@R= �)Q�� �%b�����5!W>��!=�FP=��!0�F20��HG�Q���5��0�@�D �!, �(F2=�0��HL'�)@��'>2�)@'0�J��hF!����J(D-@N0�C�F20<F20 j ����>20�C�@$���(F!L�@aF!G��4b"����5�L��6�!= ���#G�F20�@��L����HG�L'� ��@!WP[PC(�#�PD-@�F!G��E0�C�F20�0�C�@-�������#0��)��G*�!,mF �(F2=�0��#L'�)@R?��)0�C*=�@����"@�L�0E0��B0�C�@4L�@�G60�=�@4�!,AD&F!����F20�0��#D-@

j ���}�#�1Q��)]!@�Grb65�;�9��;:�>h0�C�@�G ; � 9��;:1� ; � 9��;:�W�(kG�F*=��)Q�� �wb�����5^=��!0�F20��#��G\><0�C�@KG�@'? �"��� �)0��)��Gw�!,a0�C��#��MF2=�0��#L'�)@q�#G30�C�@R���(F!L�@RL���!= ���HG�F20�@qF20P0��#D-@ j >���@ ��@�G����a��G^FG� N2��=��!0�F20��#��G^D&F20�= �?3 �9 j :�>M��J�L C�0�C�F20'>

; � 9 j :f� T9 j :*; � 9��;:^S�E�!0�@K0�C(F20R�#GV0�C�@&b�����5�,c= F!D-@!>�0�C�@:�������)0��)��Gt]!@�L�0��!= ;��1KIDF���#�1L���G���0�F!G;0'>hb�@�L'F!J���@&0�C�@ �������#0��)��GV�!,0�C�@ �(F2= 0��#L'�)@P��G%0�C�@E= �)Q�� �Kb"����5T?��#�#�(G��!0Ab�@�D&�g]��#G�QR?E�)0�C&=�@����"@�L�0$0��T0�C�@�b�����5�,i= F!D&@!W`s�@�G�L�@�?$@�L'F!G= @'?P= �)0�@10�C�@4F2b"�|]!@q@�IJ�F20��)��G�F!�'>

Page 115: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 �e� �3� 5�� { ���; � 9 j :f� T9 j :*; � S 9!c�W#Z�X�:[PC�@�=��!0�F20��)��G^D&F20�= �C3 T9 j :$�#G*vNIt9!c�W#Z�X�:d�#�d�HG30�C�@�l���@�L'�#F!�+��=�0�C��!Q!��G�F!�%���)@�Q!=���J �bl���9 ��:�W �9 j :$�#�dF!G�!=�0�C��!Q!��G�F!��DKF20�= �C3}��J(L CV0�C�F20 �� � (2�s9c0�C�@-� ��@�G60��)0n5tD&F20�= �C3(:�>o���#G�L�@�F%=��!0�F20��)��Gw�!,$F!G;5 �(F2=�0��#L'�#@���#G30�C�@q=��)Q�� �3b�����5BDTJ���0!��=�@���@'=�]!@R�)@�G�Q!0�C^F!G���F!G�Q��)@���>�?�C��#�#@���@'0g9 �:9� Zq���&0�C(F20�0�C�@1=�@�S(@�L�0��)��G��P?E�#�#�Q��)]!@10�C�@qL��!=�= @�L�0PC�F!G���@���G�@����$�!,hF�0�= �HF"���a�!,�]!@�L�0��!=��'W<>�J�=�0�C�@'= D-�!= @!> �9 j :aL'F!G*b�@�,i��J�G��Bb5B�����)]�HG�Q-F��5���0�@�Dp�!,<�!= ���#G(F2=�5����VU�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G��'>MF!�d@43��M�#F!�#G�@��3b�@��)�|?qW

>��!=RF �MF2=�0��#L'�)@-�#Gt0�C�@�=��!0�F20��#G�Q*= �)Q�� �tb�����5!>��#0���]!@��)�L'�#0n5V�#G��aF2=�0�@����HF!GtL���!= ���HG�F20�@��q�#Gt0�C�@&���MF!L�@,i=�F!D-@q�#�aQ��)]!@�G^b65!>W � 9 j :f� � 9 j :/N@; � 9 j :\� '( �

x �� �� �� �x �jx

�� �j �/0; � 9 j :\� � 9 j :2; � 9 j :^S 9!c�W#Z�e�:

?�C�@'=�@ � ��@�G��!0�@��&0�C�@*��O!@'? �n��5�D&D-@'0�= �HLU���;9 ��:TD&F20�=��C3�=�@ ��= @���@�G;0�F20��#��GS�!,�0�C�@*F!G�Q�J��HF2=T]!@��#�L'�)0 5 �]!@�L�0��!=��HG�DT��W�E�!0�@�0�C�F20$�#G-0�C��#�NL'F!��@!>��),M?$@EL���G(��� ��@'=m0�C�@�b(F!���H���!, ���69 ��:�>6Q��)]!@�GBb5T0�C�@���@'0N�!,oDKF20�= �#L�@�� � j J�� � J�� � >

� j �'( � � �� �

x Z� Z �

/0J � � �

'( � � Z� � �x Z � �

/0J � � �

'( � x Z �Z � �� � �

/0J

0�C�@�G\>�0�C�@4D&F20�= �C3%=�@ ��=�@���@�G60�F20��)��G s�#�dF&�#�#G�@�F2=PL���DRb(�HG�F20��)��G3�!,<0�C�@q,c���#�)�|?��#G�Q�>I� j � j l � � � l � � � S[PC��#�ED-@�F!G���0�C�F20�0�C�@�]!@�L�0��!=q=�@ �(=�@���@�G60�F20��)��G � � j J � J � � � � �#D �(�)53L���G60�F!�#G���0�C�@�L��6@ +BL'�)@�G;0���0��0�C�@qF2b��g]!@T�#�#G�@�F2=PL���D4b(�#G�F20��#��G3,i�!=P0�C�@RD&F20�= �C3 K ���;9 ��:�W[�����@'= �)]!@$0�C�@!���VU�@'=�@�G;0��HF!�;@�IJ�F20��)��G�,c�!=<0�C�@a=��!0�F20��)��G-D&F20�= �?3��9 j :�>!?$@PL'F!G ���VU�@'=�@�G60��#F20�@$vAIB9!c�W#Z�X�:?��)0�C3=�@����"@�L�0d0�� j >(F!G��*��J�b(��0��#0�J�0�@10�C�@q��F!D-@R@�I6J�F20��#��G��#G60��&0�C��#�a]!@��)��L'�)0 5%@43���=�@�� ���)��G\>

W � 9 j :f� T9 j :*; � � -9 j :�9 1i j|9 j :*; � 9 j :�:^S�$��D �(F2=��#G�Q�0�C�@qF2b��g]!@4?��)0�C*vNIV9!c�W#Z�e�:P5�)@�� ���$0�C�@q,c���#�)�g?E�#G�Q�> � 9 j :\� T9 j : i j 9 j :^J 9!c�W#Z��!:?�C��#L�C�L'F!Grb"@K=�@�F2=�= F!G�Q!@�� �#G60��^0�C�@ ���VU�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��Grb"@��#�g?q>h?��)0�C �tb�@��#G�Q*0�C�@x��N}�}� ��@�G60��)0n5D&F20�= �C3�W�9 [PC��H�d��C���J�� �3G��!0�b"@1L���G�, J���@���?��)0�C30�C�@RG��!0�F20��)��G*,c�!=�0�C�@q�#G�@'=�0��#FT0�@�G����!= �K�#G*vAIt9!c�W#Z~��:�W : T9 j :\� � 9 j : �9 j :^J T9��;:9�g(2� S 9!c�W#Z~Z�:[PC��#��D-@�F!G(�q0�C�F20R�#,� � �!,a0�C�@-= �!0�F20��#G�Q�= �#Q�� �tb"����5t�#GV0�C�@K���MF!L�@&,i=�F!D-@&�#�1O�G��g?EGw,i�!=4F@�(F2=�0��#L'J(�#F2=0��#D-@ j >"0�C�@�G}?A@�L'F!G ��@'0�@'= D&�#G�@40�C�@T=��!0�F20��)��GtD&F20�= �C3 �9 j :Pb5������)]��#G�Q&0�C�@��#G��#0��#F!�\]2F!�#J�@-�(=��!b(�)@�D �HGvNIw9!c�W#Z~Z�:�W ( 0��#�PF!�H���B�#G60�@'=�@���0��HG�Q-0��BG��!0�@40�C�F20�0�C�@4F!G�Q�J��HF2=P]!@��)��L'�)0n5 � 9 j :d�#G*0�C�@Rb�����5BL���!= ���#G�F20�@���!b�@'5�d0�C�@1,i���#�#�g?��#G�QT= @��#F20��)��G���C(�?�*�#G*�)0��PD&F20�=��C3B=�@ �(=�@���@�G60�F20��)��G\> � 9 j :F� i j 9 j : -9 j :^S 9!c�W#Zh)�:

( ,A0�C�@&F!G�Q�J��HF2=1]!@��)�L'�#0n5t�!,A0�C�@-=��)Q�� �tb�����5 � 9 j :�>��HGV0�C�@-b�����5^,i= F!D&@&�#��OG��g?�G\>\0�C�@�Gw0�C�@-=��!0�F20��)��GD&F20�= �C3 T9 j :aL'F!G^b"@1,c��J�G��3b53�����)]��#G�Q-F:���VU�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G����HD&�#�#F2=a0��KvAIt9!c�W#Z~Z�:�W

Page 116: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{ T9 j :\� �9 j : � 9 j : J �9��;:f�k(D� S 9!c�WYU �;:[�C�@ ��=���!,�0��BvNIV9!c�W#Zh)�:PF!G��^vNIV9!c�WYU �;:dL'F!G�b�@1,c��J�G��*�#G3@��#0�C�@'=��'Z ���!=��'�[�"�{W� �#0�C�0�C�@B0n?$���(�VU"@'= @�G;0��#F!�m@�I6J�F20��#��G��4vAIs9!c�W#Z~Z�:4F!G��rvAIs9!c�WYU �;:R,i�!=T0�C�@K= �!0�F20��)��GSD&F20�= �C3 �9 j :�>?$@KL'F!Gw@�IJ�F20�@KF!G��w=�@�F2=�= F!G�Q!@-0�C�@&0n?$��@�IJ�F20��)��G��q0��*z(G��V0�C�@-,c���#�)�|?��#G�Q3=�@��#F20��#��G���C��?�tb�@'0n?$@'@�G�0�C�@DKF20�= �C33=�@ ��=�@���@�G60�F20��)��G��P�!,� � F!G�� � >

� 9 j : � �9 j : � 9 j : �9 j : i j S[�C�@TF2b��|]!@T�#�����#D:�(�)5%0�C�@ � �d-����#G60�=�@ ��= @���@�G;0�F20��#��G}�!,N0�C�@?���)@RQ!= ��J �t�HG���@'z(G��)0��#��GrZ2W#Z~�W>sE@�G�L�@!>�,i�!=0�C�@q= �)Q�� �%b�����5!>�0�C�@ � �d-k���HG;0d=�@ �(=�@���@�G60�F20��)��G^�#��> � 9 j :\� � � 7. � 1 9 � 9 j :�:F� �9 j : � 9 j : �9 j : i j S 9!c�WYU�Zg:

>�J�=�0�C�@'= D-�!=�@!>h�#GV0�@'= D&�R�!,$0�C�@K��O!@'? �n��5�D&D-@'0�=��#L&D&F20�= �HL�@��R�#G ���69 ��:�><�)0RL'F!G�b"@ �(=��g]!@���0�C�F20R0�C�@F2b��|]!@ � �d-k���HG;0PD&F20�=��C3%= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G��#�a@�IJ��)]2F!�)@�G60d0��&0�C�@q,c���#�)�|?��#G�Q�]!@�L�0��!=�=�@ ��=�@���@�G;0�F20��)��Go>� � 9 � : P*P � J 9!c�WYU!U�:?EC�@'=�@ � ?E�)0�C���J�0 �#�N0�C�@�F!G�Q�J(�#F2=N]!@��)��L'�)0 5&�#G-0�C�@Pb�����5�L��6�!= �(�#G�F20�@��'>�#G-0�C�@E]!@�L�0��!=aG��!0�F20��)��GGD � W[�C�@KG��!0�F20��)��G P*P ��@�G��!0�@��4F�0�= F!G(��,i�!=�D&F20��)��Gw,c=���D 0�C�@K��O!@'? �n��5�D&D-@'0�=��#L&D&F20�= �?3t��G�0�C�@K�)@',c0RC�F!G��� � ��@R0��*�)0�� �.�nL���D ����G�@�G60�]!@�L�0��!=1,i�!= D���Gt0�C�@T= �)Q�C60EC�F!G��}��� ��@!>"F!��@43��(�#F!�#G�@���@�F2= �#�#@'=E�#G}0�C��#����@�L�0��)��GJ(���#G�Q3b(F!���H���HG ����9 ��:�W l��#D&�#�#F2=��)5!>���� ��@�G��!0�@��qF*L C�F!G�Q!@&�!,A= @ ��=�@���@�G60�F20��)��GV,c=���D+]!@�L�0��!=4��GV0�C�@&�)@',i0C(F!G������ ��@�0��B��O!@'? �n��5�D&D-@'0�= �HLqD&F20�= �C3%��G*0�C�@q=��)Q�C;0PC(F!G��*��� ��@!W� >P%�%�� F�[�C�@'=�@KF2=�@B��@']!@'= F!�A?$Fg5�4�!,8��=��g]��#G�Q}vNI 9!c�WYU!U�:�W ��G�@&?aF�5��H�10��}D&F2O!@%J���@&�!,a0�C�@K,i���#�#�g?��#G�Q= @��#F20��)��G���C(�?�(�$,i�!=ED&F20�= �#L�@�� W$J K ���69 ��:�>F"��9 : � 9 x Zg:� _

a j 9x Zg: ������ W W� i J 9!c�WYU[��:

F"� `�9 : PdP W

`� J 9!c�WYUdc6:� ������ . � 1 9 : � @43���9 F"�

�:�9 :^S 9!c�WYU!X�:

lmF2= F"��F2= F.-�F!G �#G �'�dc"� ��=��|]!@�� b65 �#G���J(L�0��)��Gs0�C�F20�vAI 9!c�WYU[��:3�#�%0�= J�@t,c�!=30�C�@wF"�d-����#G;03�"��@'= F20��!=F"�B` Q N Q�P Q W >��!= ��@'0�F!�#�#�'> �(�#@�F!��@1=�@',c@'=P0��%�aC�F��(0�@'=EUT�!,=�'�dc"�{WN[PC�@�=�@��HF20��)��G��#G*vAIt9!c�WYUdc6:PL'F!G^F!�#���b�@ ��=��g]!@��rb5V�HG���J�L�0��)��GoWx��@'01W}� � W j JW � JW � �aF!G�� � � j J � J � �$b"@K]!@�L�0��!= ���#G}D � W@>��!=�0�C�@��)=��O!@'? �n��5�D&D-@'0�= �#LRD&F20�= �C33=�@ ��=�@���@�G;0�F20��)��G(� WBF!G�� �#G"���69 ��:�>(?A@RC(F�]!@!>W@�

'( �xW � W �W � �xW jx

W � W j �/0 F!G�� �

'( �x � �

� �x jx

� j �/0S

[��K��@'@R0�C�F20�vNIV9!c�WYUdc6:��#�a0�= J�@q,c�!= n � Z2>(?A@-���&F&��0�= F!�)Q�C60P,c�!=�?aF2= �*L'F!�#L'J��#F20��#��G*�!,�F"��9 :�W

F"��9 : � � W J � �

'( � W � jx � W j W � j

x � W jW j �

x j W � � W � �

x � W �W j �

x j W � W � �

x � W � �

/0

P*P �� W � � x � W �W � jx � W jW j �x j W �

���'( �

xW � W �W � �xW jx

W � W j �/0��

j � � � � W�� S

Page 117: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 �e� �3� 5�� { �$�

� � ��J�D&�#G�Q40�C�F20EvNIV9!c�WYUdc6:P�#�P0�= J�@1,c�!= n@o Z2>�?$@RC�Fg]!@!>F"� `�9 :f� �1P*P W

`� � � S

���!0�@B0�C�F204� �#G�L�@KDTJ��)0��?�M�)5�HG�QB��O!@'? �n��5DKD-@'0�= �#L&DKF20�= �#L�@��40��!Q!@'0�C�@'=45��)@�� �(�qF!G��!0�C�@'=T��O!@'? �n��5�D&D-@'0�= �HLD&F20�= �C3�>o0�C�@�G � �#�1F���O!@'? �n��5�D&D-@'0�= �#LKD&F20�= �C3V�#Gm���;9 ��:�>hF!G�� � �#�q0�C�@-]!@�L�0��!=4= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G��HG�D\��Wi$5%�#G���J�L�0��)��G\>�vAIt9!c�WYUdc6:d,i�!= n(l Z2>(C�F!�d0�C�@q@43��(=�@������)��Go>F"� ` � j�9 :\� F"�

�9 F"� `

�9 :�:\� F"�

�9 � :\� � W$J � � P*P WU� � � W�9 W�� :\� W ` � j � S

s�@�G(L�@!>(vNIV9!c�WYUdc6:P�H�a0�= J�@1,c�!=EF!�#� n@o ��W>��!=PvAI}9!c�WYU!X�:�WN?$@qL'F!G ��=��|]!@1�)0ab65&?$�!=�O��#G�QT?��)0�C%b��!0�C3��� ��@��A�!,�0�C�@�@�IJ�F20��)��G\>�J(���#G�Q40�C�@1D&F20�= �C3@43�����G�@�G60��#F!� W >�= ��D 0�C�@R�#@',i0PC�F!G��*��� ��@1?$@qC�F�]!@!>� � ����� . � 1 9 :F� @43���9 W�: @43���9 x W�:\� ^_

qa j ^_` a j 9

x Zg: ` W q W `� c n<c S

>�=���D 0�C�@1= �)Q�C60PC�F!G��*��� ��@1�!,hvAIt9!c�WYU!X�:�>"?$@R��J�b(��0��)0�J�0�@1vNIV9!c�WYU[��:PF!G��*=�@�F2=�= F!G�Q!@q0�C�@q��J�DKD&F20��)��G��'>@43���9 F"� � :�9 : � ^_ a j F"�

�9 :� c � ^_ a j Z� c 9 x Zg:� _ a j 9

x Zg: � �� � W W i � ^_ a j

_a j 9x Zg: � W W i 9 � x � : c � c � ^_ a j

_a j 9x Zg: i W W i 9 � x � : c � c

� ^_a j

_ a 9x Zg:� i W W i 9 � x � : c � c � ^_

qa j

_`ba j 9x Zg: ` W q W `9 n : c � c �#@'0 � � �AF!G�� n � � x � >

?�C��#L�C*�#�a0�C�@R�#@',i0PC�F!G��*��� ��@��!,�vNIV9!c�WYU!X�:�>"F!G���C�@�G�L�@10�C�@R=�@��#F20��)��G*�#�P0�= J�@!W><�#G�F!�#�#5!>�0����=��g]!@�vNI�9!c�WYU!U�:�>�?$@�J���@�0�C�@�D&F20�=��C3&@43�����G�@�G60��#F!�M�#GKvAI�9!c�WYU!X�:$F!G��B� J�b(��0��)0�J�0�@��#G&0�C�@D&F20�= �C3 �{0��*�{]!@�L�0��!=�=�@��#F20��)��G�� C��?�*�#G*vNIV9!c�WYUdc6:�>���J�L C�0�C�F20'>� � ��� � . � 1 9 : � @43���9 F"� � :�9 :f� rl F"� � 9 : l ZU c F"� �� 9 : l �b�b�

P*P �l WU� �l ZU c W � � il �b�b� � 9!(2� l W l ZU c W � l �b�b� : � � @43���9 W�: � S� �)]!@�Gt0�C�F20� K�l���9 ��:�>o?$@TL'F!GwF!�#?$Fg5��z(G��}�)0���L��!=�=�@����"��G����#G�Qx���)@TF!�)Q!@'b�= F%@��)@�D-@�G60 WbKm���69 ��:�>\�!=�#G}0�@'= D&�1�!,$F%��@'01�!,Nb(F!���H���HG ���69 ��:�W0sE@�G�L�@!>� L'F!GVb"@T?P= �#0�0�@�GwF!��@43���9 W�:�>oF!G��w�#Gt?�C(�#L CVL'F!��@!>o0�C�@F2b��g]!@q=�@ �(=�@���@�G60�F20��)��G^�#�d�HG30�C�@q,c�!= Dp�!,<vNIV9!c�WYU!U�:�W1Z2%$�2 4 A �3M7I = A�� �Z9<;.>LEKG3] E �U8:EN;.>LEKG[PC�@�vNJ��)@'=$vNIJ�F20��)��G��A�!,�_^�!0��)��G3L'F!G%b"@���@'= �#]!@��&b5KL���G���� ��@'= �#G�Qq0�C�@E@43���=�@���� �)��G��m,c�!=a0�C�@�0��!= I6J�@ � ��!,�0�C�@R��5���0�@�D �#G30�C�@Rb"����5B,i= F!D&@!>�?�C�@'=�@q�)0��A�K�aF2=�0�@����HF!G�L��6�!= ���#G�F20�@��PF2= @1Q��)]!@�G�b5!>

'( � �j� ��� ��/0

�'�( 9 ������ � l � N6I � : j9 ��� �� � l � N6I � : �9 ��� �� � l �� N6I ��: �

/�0

>�=���D l@�L�0��#��Gbc�WYXWYU>o�#,�0�C�@4b�����5*L��6�!= ���#G�F20�@���F2=�@-F!�#�)Q�G�@��^?��)0�C^0�C�@��(= �#G�L'�?�MF!�oF#3@����!,m0�C�@4= �#Q�� �b�����5!>N0�C�@�GS0�C�@��#G�@'= 0��#Ft0�@�G����!=K�#�-FwL���G(��0�F!G;0��"��� �)0��)]!@@���#F2Q!��G�F!�dDKF20�= �C3r�!,���= �HG�L'�?�(F!�$D-��D-@�G60��-�!,

Page 118: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{�HG�@'=�0��#F!� � j > � � >\F!G�� � � W�[�C�@�G\>(0�C�@TF!G�Q�J(�#F2=�D&��D-@�G;0�J(D�L���D:�"��G�@�G;0����#G}0�C�@Tb"����5*L���!= ���#G�F20�@���F2=�@I � j � � j �j >+I �� � � � �� >oF!G�� I �� � � � �� W�l�J�b(��0��)0�J�0��#G�Q&� J�L CVL���D ����G�@�G60��1�#G60��B0�C�@-F2b��g]!@�@�IJ�F20��)��G,c�!= � � >(?$@-��@'=��)]!@RFK��5��0�@�D��!,<0�C�=�@'@ ���VU�@'=�@�G;0��HF!��@�I6J�F20��#��G��EL'F!�H�)@��*0�C�@TvNJ��)@'=EvNIJ�F20��)��G��d�!,N_^�!0��)��G�HG*0�C�@1b�����5BL���!= ���#G�F20�@����'�[�#�{W

� j h �� jh j � 9�� � x � � : �� �� l � ��� � h ���h j � 9�� � x � j : �� �j l � �� 9!c�WYU!e�:� � h ��h j � 9�� j x � � : �j �� l � �� S[�C��#����5��0�@�D��!,�@�IJ�F20��)��G���F!�#�#�g? J��P0��3z(G���0�C�@4]2F!�#J�@4�!,NF!G�Q�J��HF2=�]!@��)��L'�)0n5 � 9 j :P�#G^0�C�@Rb�����53L���!=�

�(�#G�F20�@���F20E0��#D&@ j >M?EC��#L C}�#�P?EC�F20E?$@�G�@'@��^0��3�����)]!@T,c�!=E0�C�@T=��!0�F20��)��GVD&F20�=��C3 T9 j :��#G^vAI�9!c�WYU �;:E,i�!=0�C�@R�!= �)@�G60�F20��)��G}�!,�0�C�@R= �!0�F20��#G�QK=��)Q�� �*b�����5!W/( G^,cF!L�0'>������)]��#G�Q-b��!0�C^��@'0��E�!, �(�VU"@'= @�G;0��#F!�o@�I6J�F20��#��G����#GvAI 9!c�WYU �;:1,c�!=��9 j :qF!G���vAIS9!c�WYU!e�:q,c�!= ���9 j :�?��#�#�<L���D �(�#@'0�@��)5 ��@'0�@'= D&�#G�@-0�C�@:�������)0��)��G�; � 9 j :��!,a0�C�@= �!0�F20��#G�Q&= �#Q�� �3b�����5B�#G30�C�@R���MF!L�@q,i=�F!D-@1b653F!G^J�� �(F20�@�?E�)0�C*vNIw9!c�W#Z�X�:�W>�=�@'@-=��!0�F20��#��GV�!,AF%= �)Q�� �}b�����5��#��?�C�@�Gt0�C�@'=�@-�#��G��%0��!= IJ�@-F!L�0��#G�Q*��Gt0�C�@-��5���0�@�D*>oF!G�� � � ��W

>��!=�= �!0�F20��)��G�F!�<D-�!0��)��G\>M?A@�C�Fg]!@ � � � � �� � >"?�C��#L�C^�#D �M�#�)@��a0�C�F20�0�C�@4F!G�Q�J��#F2=�D-��D-@�G60�J�D I � �#G�0�C�@���(F!L�@RL���!= ���#G�F20�@����#�PL���G���@'= ]!@��\W>l��>�I � �#�az�3@��*b��!0�C*�#G*DKF2Q�G��)0�J���@qF!G��6���)=�@�L�0��#��G\>� � h I �hkj ����J � I � � L���G���0�F!G60~S

�E�!0�@q0�C�F20PF!�#0�C���J�Q�C@I � �#�az 3�@��*�#G3���(F!L�@!>��),�?A@qL���G�� � ��@'=d�)0��dL���D ����G�@�G60��d?��)0�C%=�@����"@�L�0d0��-0�C�@�b�����5L���!= ���HG�F20�@���I � >h�)01�#�1G��!0qL���G���0�F!G60'W:� �)0�C�F*�#�#0�0��)@�=�@�F2=�= F!G�Q!@�D&@�G;0'>�?A@KL'F!G�?P= �)0�@�0�C�@&F2b��g]!@BvNJ��)@'=vAI6J(F20��)��G*,c�!=P,i= @'@RD-�!0��)��G��HG30�C�@1,i���H�)�g?��HG�Q�,i�!= D�>�9c=�@�L'F!�#�\0�C�F20E�#G*0�C�@1b�����5K,c= F!D-@!>�I �q � � q ��q W :�> I � � �� I � j I �� I ��

���x �� �

x �� �� �� �x �jx

��� ��j ��� �� I � jI ��I���

���x � I � S 9!c�WYU �!:

�1G�L�@4F2Q�F!�#Go>M0�C�@ ��@�G��!0�@���0�C�@T��O!@'? �n��5�D&D-@'0�= �HLRD&F20�= �?33= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G}�!,�0�C�@4F!G�Q�J(�#F2=�]!@��)��L'�)0 5]!@�L�0��!= � K4D � WZi$5%�����)]�HG�Q-vNI}9!c�WYU �!:PF!�)��G�Q�?��)0�C*vAI}9!c�WYU �;:d?��)0�C3F�Q��)]!@�G��#G(�)0��#F!� � 9 j :�>�0�C��#�a5��)@�� �(�0�C�@q�!= �)@�G60�F20��)��G@; � 9 j :A�!,<0�C�@q=��!0�F20��HG�Q-= �)Q�� �3b�����5K�#G3,c=�@'@RD&�!0��)��G\WF(kG���@'@��\>�?�C�@�G*J����#G�Q�0�C�@4L'�#F!�����#L'F!��HG;0�@'Q!= F20��!=��P��J�L�C%F!�!�EJ�G�Q!@ �=<qJ�0�0�FTD&@'0�C����B�!=d0�C�@1�#D �M�#�#L'�)0 � F!J(���dD-@'0�C����3�#GK0�C�@�,c���#�)�|?��#G�Q4��@�L�0��)��G\>0�C�@q0n?$� ���,U"@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G��P0��&b�@������)]!@��^F2=�@qvAIw9!c�WYU �!:dF!G���vAIt9!c�WYU �;:�W��G�@q�#D:�"�!= 0�F!G;0!�����#G60d0��BG��!0�@4�#�d0�C�F20E@']!@�G�,c�!=�,c=�@'@q=��!0�F20��)��G(�P?�C�@'= @ � � ��>(0�C�@4D-�!0��)��G��!,<0�C�@=��)Q�� ��b�����5�L'F!G b�@BIJ��)0�@BL���D:�(�#�#L'F20�@��\Ww[PC�@BF!G�Q�J��HF2=4]!@��)��L'�)0 5 � �#�TG��!0�L���G���0�F!G60&�#G�Q!@�G�@'= F!� W�( G, F!L�0'> � �#�PL���G���0�F!G60��#G3,i= @'@R=��!0�F20��)��G^��G��)53�),h0�C�@q= �)Q�� �*b�����5%�#�d=��!0�F20��HG�Q���= @�L'�#��@��)5%F2b"��J�0P��G�@q�!,�0�C�@

�(= �#G�L'�?�MF!��F#3�@��'>����*0�C�F2010�C�@��HG��)0��#F!�hF!G�Q�J��#F2=�]!@��)��L'�)0 5 � 9��;:��#�1F!�#�#Q�G�@��t?��)0�C}��G�@-�!,N0�C�@&F#3�@��'W�vm]!@�G� �#�)Q�C60 ��@']�HF20��)��G-�!, ���9��;:h,i= ��D 0�C�@=��=��#G�L'�?�(F!�F#3��#��=�@���J(�)0��m�#G�����L'�H�#�#F20��)��G��<�!, ��'9 j :<�#G�0�C�@Pb�����5R,c= F!D-@!>F!G��*0�C�@qb�����5BF�����@�F2= �a0�� � ?A�!b�bM�)@!���#G3=��!0�F20��)��GoW>�J�=�0�C�@'= D-�!=�@!>�,c�!=PF�= �)Q�� �%b�����5&?��)0�C ���H��0��#G�L�0aD-��D-@�G60��d�!,<�#G�@'=�0��#F�>���Fg5 � j o � � o � � >��)0��dD-�!0��)��G�HG},c=�@'@T=��!0�F20��)��GwL'F!GVb�@�L���D-@-J�G���0�F2b(�)@!W�( ,m0�C�@T�!b�-k@�L�0q�#G(�)0��#F!�#�)5B=��!0�F20�@��1?��#0�CtF%�#F2=�Q!@-L���D ����G�@�G60��!,0�C�@&�#G��)0��#F!�<F!G�Q�J(�#F2=1]!@��)��L'�)0n5 � 9��;:��#GV0�C�@:���#=�@�L�0��)��Gt�!,A0�C�@ ��= �#G�L'� �(F!��F#3��#�1F!�����L'�#F20�@���?��)0�C � � >�F!G��?E�)0�C}� D&F!�#��L���D:�"��G�@�G;0����#G}0�C�@T�!0�C�@'=�0n?$�6���)=�@�L�0��)��G(�'>(0�C�@�GV�)0��#�E,i��J�G���0�C�F20 � 9 j :EL'F!�#L'J(�#F20�@��^,c=���D0�C�@RvNJ��#@'=avAI6J(F20��)��G��a= F��(� ���)5���@']��#F20�@��d,c=���Dp0�C�@ ��= �#G�L'� �(F!�MF#3��#�dF!�����L'�#F20�@��^?��)0�C � � Wm[PC��H�A= @���J��)0��d�#G?EC�F20'���$OG��|?�G%F!�A0�C�@ |�� { r � � � s4uy�pr � r.5c� � �!,o0�C�@E= �)Q�� �Kb�����56�'�[�#�{W >��!=$0�C�@�F!G�F!�#560��#L'F!� ��@'0�F!�#�H�m�!,o0�C�@,c=�@'@RD&�!0��)��G*�!,<0�C�@1= �)Q�� �Bb�����5!> �(�)@�F!��@1=�@',i@'=�0��%�aC�F���0�@'=4Z�X��!,=��Udc"�{W

Page 119: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 �e� �3� 5�� { � ���

1Z2%$�2 1 A"GZIJ=��+' 9NG3P � E 9NP � EH> GH;�� =��Q>@;.] E � ;.RZI ��> �H> P �$EDP 'l�J ��������@�0�C�F20E0�C�@R=��)Q�� �*b�����5 �(=��!b(�)@�D�?$@R?aF!G;0�0��BL���G(��� ��@'=��H���#G*,c=�@'@4=��!0�F20��)��GS9 � � �;:�>"0�C�@�G�0�C�@sEF!DK�#�)0���G��#F!G%@�G�@'= Q!5��S9 j :$�!,�0�C(�#�P��5���0�@�D �#�PQ��)]!@�G*b5%�)0��PO�#G�@'0��#L�@�G�@'=�Q!5!>

� 9 j :\� ZU �9 j : � � ��� �9 j :^J 9!c�WYU[Z�:?�C�@'=�@ �B�#�a0�C�@��@NB���#G�@'=�0��HF40�@�G(���!=�> �9 j :a�#�a0�C�@4F!G�Q�J��#F2=d]!@��)��L'�)0 5%�!,<0�C�@1=��)Q�� �3b�����5B�#G3]!@�L�0��!=�,i�!=�DD � >�F!G�� � ��@�G��!0�@��a0�=�F!G���������@��!,�0�C�@�]!@�L�0��!=�W >�=���D�0�C�@�L���G���@'=�]yF20��#��GB�!,�@�G�@'=�Q!5!>�?$@�O�G��|? 0�C(F20��S9 j :�#�d�#G6]yF2=��#F!G;0'>�F!G����#G30�C��#�dL'F!��@!>M�)0P�#�dF!�H���&F&IJ�F"��= F20��#L�, J�G�L�0��#��G\W

(kGxF D-�!=�@tQ!@�G�@'= F!��G��!0�F20��)��G\>P0�C�@^@�G�@'=�Q!5x�!,10�C�@}=��)Q�� � b�����5 L'F!Gxb�@}L���G(��� ��@'=�@�� F!�3F!G �#G(G�@'=��=�����J�L�0���,Jb��4��GS0�C�@2���#@%F!�)Q!@'b(= F$���69 ��:�>$F!G�� ��G�@*L'F!G ��@'z(G�@%0�C�@�F!G�Q�J��#F2=-D-��D&@�G;0�J�D I �4�HGr0�C�@b�����5*L���!= ���#G(F20�@��EF!��F!G}@��)@�D-@�G60E�!,m0�C�@ ��J(F!�����(F!L�@ ���69 ��: � �'Z#�{W � �(J�F!�����MF!L�@4�!,NFB]!@�L�0��!=q���(F!L�@ ��#�P0�C�@T��@'0��!,m�#�#G�@�F2=�, J�G�L�0��)��G���> L�` � P D$>�F!G��t�#����@�G��!0�@�� � � WE[��3J�G���@'=���0�F!G���0�C(�#�P?�C�@�G^F����(�H�)@��0��G���#@qF!�)Q!@'b�= F Q >�?$@RG�@'@���0�C�@q,c���#�)�g?E�#G�Q ��@'z(G��#0��)��G�� �'��Z4�{W34s�� � 5�rd5i� � ��� � ���� �"P92� j J S S S~J�� E :��� "$# 6%�>M'B >� �'������@?�� ��%�>�� ? ���: <= �� >�� Q %�� '�?HA/ ����@?2%��Bh������ ': �"A9! j J S S S�J" E :#�@ "$# '�$%��:��"�&�@?�� ��%�>"$# '�$%��:'�)(*��+@ Q� �,�-$%+ #,"$#.� "/�

q 92� :F� � q J Z 7 ��J � 7 hFJ0 # >� � q ?1�,"$# 32 >P%��4 �+54E >-6P'= : ")� �-$*�7+�"�?2%�� F98 % >�:�%; : ?/� "��> %<( >�� " %�> � ` Q P Q � 0 8'B 5� % " =��;� � ` Q � P Q � "$# ':$�� : %<( �>>�E" %�>"�?�<$%+�#,"$#*� " � %�>@���%;BAmK Q � ��� '?WxK Q �9�� � A":�9!W�:f�CAh9�� W�:^S

(kGK0�@'= DK�A�!,�0�C�@E=��)Q�� �&b�����5!>;0�C�@�F!G�Q�J(�#F2=$D&��D-@�G;0�J(D I L'F!G%b�@�?�= �)0�0�@�G%F!�$F��#�HG�@�F2=AL���D4b(�#G�F20��#��G�!,<0�C�@-��J�F!�ob(F!���#�P� J�L C^0�C�F20'> I � I j jED I � � D I � � W l���>(?��)0�C�=�@�����@�L�0P0��K0�C�@qb(F!���#���#G ���;9 ��:PF!G���)0�� �(J�F!��b(F!���H�m�#G ���;9 ��: � >6?A@�C�Fg]!@ I � F!�AF!GK@��)@�D-@�G60A�#GK0�C�@ ��J(F!�����(F!L�@k���69 ��: � �#G-0�C�@�,c���#�)�g?E�#G�Qq��@�G���@!>I � � _

q� q q q 9 _

� � :> q � _ q � q q �q q � � � � J

?�C�@'=�@ I��T�#�TF}]!@�L�0��!=&�HG D\��Ww[PC�@3F2b��g]!@��#�T���#D:�(�)5wvNIs9!c�W#Z~��:��HG�0�C�@%b�����5�L��6�!= �(�#G�F20�@��'W�(kG�0�C��H�F2b(��0�= F!L�0A��@'0�0��#G�Q�>60�C�@��#G�@'= 0��#F�0�@�G����!= �4�#�mL���G�� � ��@'=�@��-F!�AFqD&F����(�HG�Q�,i=���D Q�P Q � WT( G&��J�=NL'F!��@E,i�!=m0�C�@= �)Q�� �}b�����5!>\?�C�@'=�@ �^�H����5D&D&@'0�= �#L�F!G����������)0��)]!@ ��@'zMG��)0�@!>\0�C�@�GV0�C�@&�HG�G�@'=���=�����J�L�0���G Q �#����@'z(G�@��F!�'>� � JW*f� 9�� � :�9!W�:f� 9�� W�:�9 � :^S

FE@�G�L�@!>AF!�)��G�Qw?��)0�C 0�C�@@��@'z(G��#0��)��G��4,i�!=-0�C�@*bMF!��@���,i�!=&���69 ��:TF!G������69 ��: � >N?$@�L'F!GsL���G���� ��@'=T0�C�@@�G�@'=�Q!5�Gf�HG*vNIV9!c�WYU[Z�:PF!�PF!G}�#G�G�@'=8��= ����J(L�0$��G ���;9 ��:d�#G30�C�@1,c���#�)�|?��#G�Q�?aF�5 �'Z �{>G � ZU 9 � : � �� � � ZU _ q � q q q 9 _

� � :> q 9 _ ` �

`�` :> q

��� ZU � � J � F� ZU 9�� � :�9 � :\� ZU I � 9 � :^S 9!c�WYU*)�:�w@RG��|? C�Fg]!@q0n?$�K= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G��d,c�!=�0�C�@1O�#G�@'0��#L�@�G�@'=�Q!5�G&>(F!�E��0�F20�@��^�HG30�C�@q,c���#�)�g?E�#G�Q�>

Ga� ZU 9 I � : � � � � ZU I � 9 � :^S 9!c�Wn� �;:

Page 120: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� �#� � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{�E�!0�@-0�C�F20�0�C�@�@�G�@'=�Q!5t�#���#G���@ ��@�G���@�G;0P�!,A0�C�@�L��6�!= �(�#G�F20�@-��5���0�@�D*>�0�C�@�GV0��!Q!@'0�C�@'=q?E�)0�C^0�C�@ � �d-����#G;0= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G �#G vNI 9!c�WYU�Zg:�>�?A@wL'F!GH��@'= �#]!@}5!@'0*F!G��!0�C�@'=3@�IJ��)]2F!�)@�G60K@43���=�@������#��Gx,c�!=30�C�@}O��#G�@'0��HL@�G�@'=�Q!5 �'Z#�{>

G ��� ZU I � 9 � :\� ZU I � 9 � :\� ZU I � 9 � � 9 � :�:f� ZU 9 � � � I � :�9 � :^J 9!c�Wn��Zg:?EC�@'=�@�D&F20�= �C3 Kbl���9 ��:�W<�P@�L'F!�#�"0�C�F20a�#G �E@'zMG��)0��)��G c�W#Z~Z>�0�C�@���J�F!�M�"�"@'=�F20��!=�� � �#�<��@'z(G�@��\W ( G%0�C�@L'F!��@4�!,m0�C�@R= �)Q�� �*b�����5!>(?�C�@'=�@ I � K$����9 ��: � > � K ���69 ��:�>"0�C�@��J�F!�\�!,�0�C�@ � �*-k���#G60��"��@'= F20��!= � �}L'F!Gb�@qJ���@��\>�F!����0�F20�@��}�#G*vNIV9!c�Wn��Zg:�WP�$��D �(F2= �HG�Q-vNIV9!c�WYU*)�:PF!G��^vNIV9!c�Wn��Zg:�>M?$@1z(G��\>I � � � � � I � S

>(J�=�0�C�@'= D&�!=�@!>�?$@�L'F!G-z(G��T��J�0�?EC�F20 � � � �#�'>��),(?A@�L���G(��� ��@'=<0�C�@d]!@�L�0��!=�{0��*�nDKF20�= �C3}9 ���s:hF!G��-D&F20�=��C3M�0��*�{]!@�L�0��!=K9 P*P :A= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G��'>MF!�P���#D&�H�#F2=d�#G*vNIV9!c�Wn� �;:�>G ��� ZU I � 9 � � 9 � :�: P*P ZU 9 I � : � 9 \� � :\� ZU 9 � I � : � � S

FE@�G�L�@!>(L���D:�(F2= �#G�QT0�C�@�F2b��g]!@1?��)0�C3vAI^9!c�Wn� �;:�>(0�C��H�N5��)@�� ���A0�C�@�=�@��#F20��#��G���C��?�B?�C��#L�CK?$@1?��#�H�(D&F2O!@1J���@�!, >�?�C�@�G������)]��#G�Q�0�C�@1= �#Q�� �3b�����5���=��!b(�)@�DpJ(���#G�Q�0�C�@-�A<R_b< D-@'0�C����\WI � 9���:F� T9���: � I � � �9���: i j I � J 9!c�Wn�!U�:?EC�@'=�@ T9���:/Kbl���9 ��:�>6����T9���:���� �9���: i j W � �#����>"I � �#�hF�]!@�L�0��!=m�!,(L���G���0�F!G;0����#G�D � ,i�!=<,c=�@'@$=��!0�F20��)��G�F!�D&�!0��)��G\>(F!G�� I��'9���:dL C�F!G�Q!@��EF!L'L��!= ���#G�Q-0��&0�C�@q=��!0�F20��#��G^D&F20�= �?3 �9���:aF20�F!G;5%Q��)]!@�G^0��#D-@�� WvNIJ�F20��)��G&9!c�Wn�!U�:�F!�#���=��@'zMG�@���0�C�@NL���F"�d-����#G60o�!=�b(�#0�� �� ��� ���69 ��: � >|?EC��#L C1�H�+��@'z(G�@��1�#G�0�C�@�,i���#�#�g?��#G�Q?aF�5!>

34s � � 57r.5c� � �(� � � � 8 %�>@�:�%;� K Q�� � 0 #+<���!'B �,� "$# B+�% �E' ��%�?�� "I%�>���?$"/��� �5 � Q� �&�"�� �5 � E ��K Q � ` ��� � � �� 9��}:^J���KbC?S F

l��#G�L�@ � � ��� �� � � ��,i�!=E,i=�@'@1= �!0�F20��)��G\>(F!G��I � � � � � I � � � I � J0�C�@�GB?$@�L'F!G*��@'@E0�C(F20$0�C�@�F!G�Q�J(�#F2=$D&��D-@�G;0�J(D �HG&0�C�@�b�����5&L���!= ���HG�F20�@��<I ��9���:m=�@�D&F!�HG��A�HG&0�C�@���F!D-@L���F"�*-k���#G60P�!=�bM�)0�� �� �

,c�!=�F!�#��0��#D-@!W132%$�2%$ �XEN;*9<;*>7EHGBE � 9 �XI�)�;*9NG�� �3ML9�= � MLE )����@'0NJ���L���G�� � ��@'=mF1=�@�L�0�F!G�Q�J��#F2=mb(�#�L OR�!,�J�G��),c�!= D&�)5��(�#��0�= �)bMJ�0�@���D&F!����F!�NF�=��)Q�� �Tb�����54=��!0�F20��#G�Qq�HG�,i=�@'@D&�!0��)��G\W ��@'z(G�@T0�C�@T�!=��)Q��#G}�!,N0�C��#��=�@�L�0�F!G�Q�J��#F2=1b(�)��L�O}F!�q�)0���L�@�G;0�= @-�!,AD&F!����>oF!G��V�)@'0�0�C�@��= �#G�L'� �(F!��dF2=�0�@����#F!G3F#3�@��dF!L�0PF!�d�)0��Nb�����5-,c= F!D-@!WF( ,o?A@ ��@'zMG�@E0�C�@Eb(�#�L OKF!�dC�F�]��#G�QT0�C�@�,i���H�)�g?��HG�Q����HD-@�G����)��G(�'>

� � � 7 ZU �#J � � 7 ZU�� J � " � 7 ZU R.J?EC�@'=�@ ��� U> � �kc�> R0� e>�DKF!����� �g� � � R0� Z�UW3i$5KvAI}9!c�W#Z c6:a�#G4l@�L�0��)��Gxc�WYXWYU>(�#0��$�HG�@'=�0��#F40�@�G����!=�H�dQ��)]!@�G*b5%F����#F2Q!��G�F!�oDKF20�= �C33�!,hL���G���0�F!G;0��'>� �

'( � j � �� � � �� � � �

/0�'( 5j � 9 � � D R �g: � �

� 5j � 9�R � D � � : �� � 5j � 9 �&� D � �g:

/0�'( X!U � �� c�� �� � U � /0 S�9!c�Wn�[��:

Page 121: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 � � �3� 5�� { � ���

l��#G(L�@}@�F!L�C �!,R0�C�@���=��#G�L'�?�(F!�ED-��D-@�G60��3�!,4�#G�@'=�0��#F F2=�@ ���#��0��#G(L�0'>P0�C�@�G ,c=���D 0�C�@ ���#��L'J�� ���)��Gx�HGl@�L�0��)��G?c�WYXWn�>;�),�0�C�@A=�@�L�0�F!G�Q�J��#F2=<b(�)��L�OR�H��=��!0�F20��HG�Q1�#Gq,c=�@'@dD-�!0��)��G\>20�C�@�G�FEQ!�6���TQ!@'��D-@'0�= �#La�#G60�@'Q!= F20��!=��C���J�� � �(=����(J�L�@qG6J(D-@'= �#L'F!��=�@�� J��)0��d,c�!=�?�C(�#L C30�C�@4F!G�Q�J��#F2=�D&��D-@�G;0�J(D I � � �"9���: � 9���:d�!,h0�C�@qb(�)��L�O�#�<L���G���0�F!G60N�#GTb��!0�C ���)=�@�L�0��#��GTF!G��-D&F2Q�G��)0�J���@a�HG40�C�@P���(F!L�@d,c= F!D-@!WDi$@�L'F!J���@P0�C�@ab�����5���= �HG�L'�?�(F!�6F#3@��F2=�@T=��!0�F20��#G�QB?��)0�C}0�C�@R=�@�L�0�F!G�Q�J��#F2=�b(�)��L�O">M0�C�@�G I � 9���:��#G�0�C�@Tb�����5%,c= F!D-@4?��#�#����@'@�D�0��B=��!0�F20�@�?��#0�C=�@�����@�L�0R0��}0�C�@Kb�����5wF#3@���>hbMJ�0R�)0��4D&F2Q�G��)0�J���@ - I���9���:�-�>m��C���J�� ����0��#�#�<b�@%L���G���0�F!G604?��#0�C�=�@�����@�L�0q0��0��#D-@ � W � �#����>�0�C�@ F�F!D&�#�)0���G(�#F!G�� 9���:�>?�C��#L�C-�#G�0�C��#�mL'F!��@!>�#�mQ��)]!@�G-b5T0�C�@PO�HG�@'0��#L$@�G�@'=�Q!5��!,�0�C�@P= �#Q�� �b�����5*�#GtvNIr9!c�WYU[Z�:�>��#��FBIJ�F"��= F20��HLR, J�G�L�0��)��GoW0( 0E?$��J�� �}b�@4�#G60�@'=�@���0��#G�QB0�� ��@'=�,c�!= D ����D&@�GJ�D-@'=��#L'F!�@43���@'= �HD-@�G;0��EJ����#G�Q-0�C�@ �A<R_b<fD-@'0�C���� ���#��L'J�� ��@����#GV�aC�F���0�@'=&�>"F!G��}L���D �MF2= �#G�Q&0�C�@R=�@���J(�)0��P?��#0�C0�C�����@&�!,dL'�#F!� ���#L'F!� �0<�D-@'0�C����\W�>�J�=�0�C�@'= D-�!= @!>��)0q�#�q?A@��#�<O�G��|?�Gw0�C�F20T��5D:�(�)@�L�0��#L�D-@'0�C������ J�L C�F!�0�C�@��#D �(�#�HL'�)0 � F!J�� ��D&@'0�C���� ��= @���@'=�]!@���I6J(F"��= F20��#LT�#G6]yF2= �HF!G;0'W ( 0�?E�#�#��F!�H���Bb�@T�!,N�#G60�@'=�@���0�0��*��@'@-C��g??A@��H��0�C�@���@'=�,c�!= D&F!G�L�@��!, �0<R_b< D-@'0�C�����L���D:�(F2=�@��d?��#0�C*��J�L C^��5D:�(�)@�L�0��#L1�#G60�@'Q!= F20��!= ��W1Z2%$�2�� ��> �K>7P��$E�P ' S =+E �QM7IJ[ >7GB;.RZI ��� 8����Z=.9N[ I�� E = �i$@',i�!=�@ab�@'Q��#G�G(�#G�Qd0��1�#G60�@'Q!= F20��#G�Q�0�C�@=� ��v���=��!b(�#@�D F!�����L'�#F20�@��T?��#0�CR0�C�@a=��!0�F20��#��G4�!,M0�C�@$=�@�L�0�F!G�Q�J��#F2=b(�)��L�O�Q��)]!@�GR�HG�l@�L�0��)��G&c�WYXWYX>!��G�@ND4J(��0�J�G���@'= ��0�F!G��1C��|?�0�C�@N= �)Q�� ��b�����55��= �!b(�)@�D z�0����#G;0���0�C�@mQ!@�G�@'= F!��0<R_b< ,i= F!D&@'?A�!=�O"W >��!=�@43�F!D:�(�)@!>2?A@dG�@'@��T0���z(G��40�C�@$,cJ�G(L�0��)��G�Lm`MC P Q F!G��4L�C������@dFEL���!= ���#G(F20�@D&F��&?�C(�#L C-F!�#�#�g?��mJ(��0��q0�= F!G���,i�!= D 0�C�@P@43��#��0��#G�Q ���,U"@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G-��G � �#G;0��R��G�@P?�C��HL C�@']!���)]!@����G Q Wfl@']!@'=�F!�(F!J�0�C��!=��NC�F"� ����G�@P0�C��H� � Z c"�{> � Zh)��{>6F!G�� �'Z#�{>6@�����@�L'�#F!�#�)5��o@'?��H�mF!G��xl��#D-��>�?�C����(�)��G�@'@'= @��0�C�@���@����)Q�G��#G�Q&�!,m0�C�@?���)@4Q!=���J �VD-@'0�C�������,c�!=������)]��#G�QK0�C�@4�)�|?��!= ��@'=E=��)Q�� �*b�����5 ��=��!b(�)@�DK���'Z#�{W i$J�0�#GB0�C��#�9��=�@���@�G60!���#��L'J(�����)��G\>6?A@1?E�#�#��,c���#�)�|? 0�C�@ ��@'0�F!�#�)@��%?$�!=�OK�!, ��?P=�@�G%F!G��^�$@��H�)@�����G��M�#G �'Z#�{>�?�C��#L�C@�D �(C�F!� �#��@��d0�C�@4L���F"�d-k���HG;0�F!L�0��)��G}�HG*0�C�@q= �#Q�� �3b�����5%@�IJ�F20��)��G^F!G�� ��@'= �#]!@��*0�C�@R, J�G�L�0��#��GBL�`�C P Qb65%0�C�@ � �d-����#G;0d= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G��!,h0�C�@RDKF20�= �#L�@��P�#G"���69 ��:�W>��!=�0�C�@$= �)Q�� �qb�����5��(=��!b(�)@�D*>y0�C�@dD&F!G��#,i��� � � �T���69 ��: � >!?�C�@'=�@A0�C�@dF!G�Q�J��#F2=<D-��D-@�G60�J�D I � 9���:o�HG0�C�@ab�����54L��6�!= �(�#G�F20�@��<�#��F�L'J�=�]!@d�#GT0�C��#� ��J(F!����(F!L�@!W�[PC�@dF!L�0��#G�Q&���#@$Q!= ��J �-�#�<0�C�@d����@�L'�#F!��!=�0�C��!Q!��G�F!�Q!=���J �bCO��l���9 ��:�>MF!G��*0�C�@_���#@qF!�)Q!@'b�= F-�#�P0�C�@1Q!=���J ���!,���O!@'? �n��5DKD-@'0�= �#L1D&F20�=��#L�@��P�#G"���69 ��:�W$[PC6J(�'>�)��L'F!�#�)5^F2=���J(G��VF �"���HG;0�I K � � ���69 ��: � >\0�C�@&�����HJ�0��)��GVL'J�=�]!@:I � 9���:&K ���69 ��: � �#��0�= F!G���,i�!= D&@��V0���FL'J�=�]!@ � 9���:�K ���69 ��:�0�C�=���J�Q�C ��>�]�HF&0�C�@-L'J�=�]!@T0�C�=���J�Q�C^0�C�@-� ��@�G;0��)0 5*@��)@�D-@�G601�#GmC � l���9 ��:�b65�0�C�@

���)@�Q!=���J��^F!L�0��)��G �'Z��{WN[��-zMG��30�C��#�d, J�G�L�0��#��G2LB`�l���9 ��: P ���69 ��:�>M?A@q,c���#�)�|? 0�C�@R��0�@ �M�db�@��)�g? �'Z �{W( ,�?$@-���VU�@'=�@�G60��#F20�@qvNIV9!c�Wn�!U�:P?��)0�C3=�@�����@�L�0d0�� � >�?$@qC�F�]!@!>

� I���9���:� � ��� �9���: i j � T9���:� � �9���: i j I � S 9!c�Wn�dc6:��>M%�%���F�[PC��#�aL'F!G^b"@ ����G�@q@��)0�C�@'=db53z�= ��08��= �HG�L'�?�(�)@���>;?�C�@'= @!>� I���9���:� � � �#�#D� j I �'9�� D � :�� I ��9���:� ���H�#D� j T9�� D � : i j I � � T9���: i j I �

�� �#�#D� j

�T9���: D � ��{9���: D�� 9 � � : � i j I � � �9���: i j I �

�� �#�#D� j

�T9���:�9�� D � �9���: i j � 9���: D�� 9 � �g:�: � i j I � � �9���: i j I �

�� �#�#D� j

��� i . � 1���� �� . � 1 ��� . � 1� ��� . � 1 � �9���: i j I � � �9���: i j I ���

�T9���: i j I � � T9���: i j � 9���: T9���: i j I � � � T9���: i j I �

� � �9���: i j � 9���: �9���: i j I � S

Page 122: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� �>� � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{� �)0�@'= G(F20��)]!@��)5!> �m=��!, W���?P=�@�Gt��J�Q!Q!@���0�@��V0�C�@T,c���#�)�g?E�#G�Q:��= �6�!,�b(F!��@��^��Gt0�C�@ ��=�����J�L�0E= J��)@q?EC�@'=�@!>",i�!=U&D&F20�= �#L�@�� � 9���:$F!G��4W"9���:a���K0�C�F20 � 9���: � W�9���:a�H�d?A@��H�+��@'z(G�@��\>�� � 9 � 9���: � W�9���:�:9� � 9���: W"9���: D � 9���: W\9���:^S[�C�@�G\>���0�F2=�0��HG�Q-?��)0�C@I � � �9���:DI � >����VU�@'=�@�G60��#F20�@1?��)0�C3= @�����@�L�0d0�� ��>�� � I � � �� � T9���:DI � 9���:� � -9���:DI � 9���: D �9���: I � 9���:

� I � 9���: � � �9���: i j �9���:DI � 9���:

� � �9���: i j �9���: �9���: i j I � S��@43�0'>�?A@�?aF!G;0a0��-D&F2O!@10�C�@�,c���#�)�g?E�#G�Q4L�C�F!G�Q!@��!,�]2F2= �#F2bM�)@��A� J�L C%0�C�F20a�#G%FT�#�L'F!�"=�@'Q��)��G3G�@�F2=a0�C�@

�����#G60g�]K]C � l���9 ��:�>m0�C�@B=��!0�F20��)��GSD&F20�= �?3 T9���:q�H�RQ��)]!@�Grb5�0�C�@K=��)Q�C;040�= �)]��#F!�#�#� F20��)��Gw�!,P0�C�@x���)@Q!= ��J �^F!L�0��)��G\> ��@'z(G�@��*�#G ��@'z(G(�)0��)��GwZ2W#Z�U>T9���:\� f&9 � 9���:�:����%J � 9���: K ���;9 ��:^S 9!c�Wn�!X�:[�C�@}L���!= ���#G(F20�@}D&F����M�#G�Q f ` QgP C�L'F!G b�@�@��)0�C�@'=%0�C�@^@43�� D&F�� �!=%0�C�@w�aF�5��)@'5sD&F��oWO���!0�@0�C(F20�0�C�@T�)@',c0�0�= �)]��#F!�#�#��F20��#��G*�!,m0�C��#�����#@4Q!=���J��tF!L�0��)��GVL'F!GwF!�#���Bb�@4J(��@��}F!��0�C�@TL�C�F!G�Q!@��!,m]2F2= �#F2b(�)@���W

l�J�b(��0��)0�J�0��#G�Q�vNIV9!c�Wn�!X�:P�#G60��&vNIV9!c�Wn�dc6:P5�)@�� ���a0�C�@1,c���#�)�g?E�#G�Q�> I � 9���: � � T9���: i j T9���: �9���: i j I �� �49Lf-9 � 9���:�:�����: i j �� � 9Lf&9 � 9���:�: ����:�9Lf-9 � 9���:�:D����: i j I �� �49 � i j f-9 � 9���:�: i j : � f e . � 1 9 � 9���:�:�f-9 � 9���:�: �h9 � i j f-9 � 9���:�: i j :DI �� �49 ��i j f-9 � 9���:�: i j : � f e . � 1 9 � 9���:�:DI � S 9!c�Wn�!e�:

(kGw0�C�@&F2b��|]!@!>�?$@&C�F�]!@BJ���@��w0�C�@-, F!L�0q0�C�F20�C�� l���9 ��:�>h���^�)0��1�HG;]!@'= ��@&�#��0�C�@-0�= F!G����"����@!>�F!G��w0�C�@= @��#F20��)��G���C(�?�3b"@'0 ?A@'@�G^0�C�@q0��#D&@���@'= �)]2F20��)]!@1�!,Zf F!G����)0��5���VU�@'=�@�G;0��HF!� � fT>�� � f&9 � 9���:�:\� � f e . � 1 9 � 9���:�:�f-9 � 9���:�:^S�E�!0�@R0�C(F20��),�f � @43���>�0�C�@�G*0�C�@qF2b��|]!@R=�@��#F20��#��G��#�aQ��)]!@�G*b5*[PC�@'�!=�@�D�Z2Wn�W

���|? =�@�L'F!�H��0�C�F20P,c=���Dp0�C�@RvAJ��)@'=PvAI6J�F20��#��G3,i�!=E,i=�@'@qD&�!0��)��G\>�?$@RC�F�]!@!> I � 9���:\��� � 9���:DI � 9���:^J 9!c�Wn� �!:?EC�@'=�@ � �#�E0�C�@-��O!@'? �n��5D&D&@'0�= �#LTD&F20�= �C3^= @ ��=�@���@�G60�F20��)��GV,c�!= � K�D � W&( ,m?$@-��J�b(��0��#0�J�0�@4vAIr9!c�Wn�!U�:F!G���vNIV9!c�Wn�!X�:P�HG;0��&vAIt9!c�Wn� �!:P?A@4C�F�]!@!> I � 9���:F� � � 9���: �9���: i j I � � � � 9���:�9 � i j f-9 � 9���:�: i j :DI � S 9!c�Wn�[Z�:���|?q>@�I6J�F20�@�vNI�9!c�Wn�!e�:AF!G��BvNI�9!c�Wn�[Z�:N?�C�@'= @P0�C�@�0 ?A�T0��#D-@ � ��@ �"@�G���@�G;0AD&F20�= �C3&@�IJ�F20��)��G��N?�C�����@F!L�0��#��G��P��G*0�C�@RL���G���0�F!G60�]!@�L�0��!=�I � K2D � F2=�@10�C�@R� F!D-@!>�?$@RC�F�]!@!>����i j f-9 � 9���:�: i j � f e . � 1 9 � 9���:�:DI � � � � 9���:5��i j f-9 � 9���:�: i j I �

� f e . � 1 9 � 9���:�: � � f-9 � 9���:�: � � � 9���: � f-9 � 9���:�: � � i j � � � � . e . � 1%1 ��� � 9���:��P*P f&9 � 9���:�: � � � 9���:^J

Page 123: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 � � �3� 5�� { � ���

?�C�@'=�@ P*P ��@�G��!0�@��d0�C�@RL�C�F!G�Q!@q,c=���D DKF20�= �C3 �{0��*�{]!@�L�0��!=�= @ ��=�@���@�G60�F20��)��G��!,h0�C�@ � �d-����#G60d�"�"@'=�F20��!= � �Q��)]!@�G��#G*vAIt9!c�WYU!U�:�W�w@�L'F!GtF!�H���K?P=��)0�@ ��'9���:P�#G^0�@'= D&�E�!,�0�C�@��#G�@'=�0��#F&0�@�G����!= �*F!G��^0�C�@4L���G���0�F!G60 I � >"b5^vNI�9!c�W#Z~��:�>vNIV9!c�Wn�!U�:�>"F!G��4���)@1Q!=���J��^F!L�0��)��G^�HG*vNIV9!c�Wn�!X�:�>

� 9���:\� � i j I � 9���:\� � i j T9���: i j I � � � i j � i j f-9 � 9���:�: i j I � Sl��>�?$@%L'F!GSG��|?�=�@'?P= �)0�@%0�C�@%]!@�L�0��!=-=�@ ��=�@���@�G;0�F20��)��G �!,P0�C�@ �(�VU"@'= @�G;0��#F!� � f e . � 1 9 � 9���:�:qbMF!��@�����G

� 9���:�K ���;9 ��:RF!G����!0�C�@'=4O�G��g?EGrIJ�F!G60��)0��)@��R� J�L CrF!��I � F!G�� ��W6>�=���D C�@'=�@!>�?$@3L'F!G�=�@�F2= = F!G�Q!@K0�C�@@�I6J(F20��)��G*0��&5��)@�� �*F ���,U"@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G*,c�!= � 9���:A?E�)0�C*=�@�����@�L�0d0�� � >� f e . � 1 9 � 9���:�: P*P f&9 � 9���:�: � ��i j@��i j f-9 � 9���:�: i j I � ��� f-9 � 9���:�: � � i j � i j f-9 � 9���:�: i j I �

� � 9���: � � f i je . � 1 � f&9 � 9���:�: � � i j � i j f-9 � 9���:�: i j I � � S 9!c�Wn�*)�:(kG��!0�C�@'= �(F���@'= �<��J�L�C&F!�=��U[Z��{>;0�C��#� ���VU�@'=�@�G60��#F!��@�I6J(F20��)��G � 9���:�@']!���)]��#G�Q1��G�0�C�@P�#�HG�@�F2=<]!@�L�0��!=$���MF!L�@

Q �#�a?P=��)0�0�@�G�F!�'> � 9���:F� � f i j 9 L�9 H � 9 � :�:�: S(kG*0�C��#�PL'F!��@q,i�!=E0�C�@q= �#Q�� �3b�����5!>�0�C�@1���)@qF!�#Q!@'b�= F&F!L�0��)��G�H � 9 � :d�#�a0�C�@RL C�F!G�Q!@R�!,<]yF2=��#F2b(�)@��P�HG*vNI9!c�Wn�!X�:�>

HB��9 � 9���:�:\� ��9Lf-9 � 9���:�:^J���:9� f-9 � 9���:�:����4� T9���:^J 9!c�W'c��;:F!G��30�C�@q, J�G�L�0��#��G2Lm` � P Q �#�dG��|?q>L�9 HE��9 � :�: � f-9 � 9���:�: � � i j � i j f-9 � 9���:�: i j I �L�9 �9���:�: � �9���: � i j T9���: i j I � � � 9���:^S 9!c�W'c�Zg:

�P@�L'F!�H�<0�C�F20R�#Gt0�C�@-@�F2= �H�)@'=q��@�L�0��)��Gw?EC�@'=�@�?A@:��@'= �)]!@�0�C�@:���VU�@'=�@�G60��#F!�<@�IJ�F20��)��GV,c�!=q0�C�@-=��!0�F20��)��GD&F20�= �C3 T9���:h�#G�vNI39!c�W#Z~Z�:�Wf�E�g?q>6?A@PL'F!GK��J�b(��0��#0�J�0�@dvNIB9!c�W'c�Zg:m�#G60��10�C��#�'>����10�C(F20mvNI39!c�W#Z~Z�:��#� ��@'z(G�@���#G30�@'= D&�P�!,h0�C�@qD&F20�= �C3 T9���:$?�C(�#L C3?$@RL'F!G������#]!@RG6J(D-@'= �#L'F!�#�#5!> T9���:\� � 9���: �9���:\�]L�9 �9���:�: �9���:^S 9!c�W'c;U�:F�@�G(L�@!>;0�C�@=���,U"@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G � 9���:��#G-vNI39!c�Wn�*)�:mL'F!G&b"@d0�C���J�Q�C;0N�!,"F!�N��G�@d?�C��#L�C��!= �)Q��#G(F20�@��-,i= ��D0�C�@����VU�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G�vAIt9!c�W'c;U�:P@']!���)]��#G�Q-��G*0�C�@����)@1Q!=���J�� OKml���9 ��: �'Z#�{W

(kGx��J�DKD&F2=�5!>a?�C�@�G G6J�D&@'= �#L'F!�#�)5S�����)]��#G�Q�0�C�@^= �#Q�� � b�����5r@�IJ�F20��)��G �#Gs,c=�@'@tD-�!0��)��GxJ(���#G�Q�0�C�@�0<R_b< �HG;0�@'Q!= F20��!=g>h?$@&?aF!G;0T0��}�����)]!@ � 9���:1�HG�vNI 9!c�Wn�*)�:4�#Gm���69 ��:q�#G���0�@�F"���!,a�����)]�HG�Q*0�C�@K0 ?A� ���),7�,i@'= @�G;0��#F!�P@�I6J�F20��#��G��&Q��)]!@�Gxb65 vAI 9!c�WYU �;:BF!G�� 0�C�@^vNJ��#@'=KvNIJ�F20��)��Gs�HGsvNI 9!c�WYU �!: ���)=�@�L�0��)5 9 F!�K��G�@?A��J(� � ���R�),�J����HG�QqFqL'�#F!��� �#L'F!���#G60�@'Q!= F20��!=a�#�)O!@d0�C�@���J�G�Q!@ �=<RJ�0�0�FqD-@'0�C����\W :4[PC��H���#��b�@�L'F!J���@P0�C�@EvNJ(�)@'=vNIJ�F20��)��G����HG-vNI39!c�WYU �!:mL'F!GKb"@a0�= F!G(��,i�!=�D-@��&�#G60��q�)0���Q!@�G�@'=��#Ld,c�!= D Q��)]!@�G&b5�vNI39!c�W'c;U�:�WQi$5TFRL C�F!G�Q!@�!,\]yF2=��#F2b(�)@��A�#G&0�@'= DK�N�!,o0�C�@A���#@�Q!=���J �3F!L�0��)��G3�#GBvNI�9!c�Wn�!X�:�>�0�C�@����VU�@'=�@�G60��#F!��@�IJ�F20��)��G �9���:<@']!���#]�#G�Q��GBC ��l���9 ��:$L'F!G*b�@�, J�=�0�C�@'=$0�=�F!G���,c�!= D-@��*�#G60�����G�@q�#G%0�@'= D&�d�!, � 9���:A@']!���)]��#G�Q���G*0�C�@F���69 ��:�>�Q��)]!@�Gb653vNIV9!c�Wn�*)�:�W��G�L�@ � 9���: K ���69 ��:R�#�R,i��J�G���b5w0�C�@ �A<R_B<��#G60�@'Q!= F20��!=�>�?$@%L'F!Gr0�C�@�Grz(G��w0�C�@%L��!=�=�@�������G��(�#G�Q=��!0�F20��)��GwD&F20�=��C3 �9���:1K l���9 ��:�b65tF����(�)5��#G�QB0�C�@@���#@4Q!=���J���F!L�0��)��G��#GVvNI 9!c�Wn�!X�:�>�?EC��#L Ct0�= F!G(��,i�!=�D

� 9���:�Km���;9 ��:E0�� K l���9 ��:�>oF!G��tC�@�G�L�@��(=�@���@'=�]��#G�QB0�C�@4�!= 0�C��!Q!��G�F!�#�)0 5^�!,m0�C�@�G�@'? =��!0�F20��#��GwD&F20�= �C3T9���:a�#G3@�F!L�C�0��#D&@q��0�@ �oW� ����J�D&�HG�Q^0�C�F20&F20 �G� ��>$0�C�@3b�����5rF!G�� ���(F!L�@�L���!= ���#G(F20�@��-L����#G�L'� ��@!>N0�C�@�GS0�C�@*F!G�Q�J��#F2=&D&�*�D-@�G60�J�D �HG�0�C�@%���(F!L�@3L��6�!= �(�#G�F20�@ I � �#�RFtL���G���0�F!G604]!@�L�0��!=&F!G��r�#����@'z(G�@���b65w0�C�@B�#G��#0��#F!�mF!G�Q�J��HF2=

Page 124: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{D&��D-@�G;0�J(D I��'9��;:��!,$0�C�@-= �)Q�� �}b�����5}�HG}b�����5}L���!= ���HG�F20�@��'W@l��#D&�#�HF2= �)5!>"0�C�@ �������)0��)��Gt]!@�L�0��!= ; ���#�1FL���G(��0�F!G;0�]!@�L�0��!=�?��)0�CB=�@�����@�L�0d0���0�C�@1b�����5&L��6�!= ���#G�F20�@!>�F!G��3�#�!��@'z(G�@��Bb65%0�C�@1�#G��)0��HF!���������)0��)��G ; � 9��;:�HG*0�C�@q���(F!L�@4L��6�!= �(�#G�F20�@��'W9�1G�L�@q0�C�@1=��!0�F20��#��G^D&F20�= �?3 �9�� E � j :$,c�!=�0��#D-@q��0�@ � � E � j �#�a,c��J�G��\>�?$@RL'F!G0�C�@�Gwz(G��V0�C�@&L��!= =�@�������G����#G�QB]2F!�#J�@����!,dF!G�Q�J��HF2=qD-��D-@�G60�J�D I��'9�� E � j :�>hF!G�Q�J��#F2=1]!@��)��L'�)0 5��'9�� E � j :�>F!G��@�������)0��)��G ; � 9�� E � j : �!,<0�C�@q=��)Q�� �%b�����5Bb653J����HG�Q-vNIV9!c�Wn�!U�:�>"vAIt9!c�W#Z~��:�>�F!G���vAIt9!c�W#Z�X�:�>I � 9�� E � j : � T9�� E � j : i j I � J � 9�� E � j : � � i j I � 9�� E � j :^J; � 9�� E � j : � T9�� E � j :*; � S

132%$�2 � � �3[\I =+>*) 9�M �XIJ]�3M@;.](kG30�C��#�a��@�L�0��#��G3?A@1?��H�#�(�#D:�(�)@�D-@�G60A0�C�@��A<R_b< �#G;0�@'Q!=�F20��!=P0��&�����)]!@�0�C�@1,c=�@'@�=��!0�F20��)��G3�!,h0�C�@�=�@�L�0�F!G��Q�J(�#F2=1b(�)��L�O ��@'z(G�@��V�#G}l@�L�0��)��G�c�WYXWYXW � �#����>o,c�!=qL���D �(F2=��#����G\>\?$@-�����)]!@��V,c�!= � 9���:�F!G�� ; � 9���:EJ����#G�Q0�=�F"���)0��)��G�F!�N�#G;0�@'Q!=�F20��!= �4� J�L CrF!�q0�C�@��EJ�G�Q!@ �=<qJ�0�0�F^D-@'0�C����\>�0�C�@B�#D:�(�#�#L'�)0 � F!J�� �RD-@'0�C����\>hF!G���0�C�@bMJ��#� ���n�HG�� ��v\c;XT�#G3_^F20��#F2b�W � �)0�CB0�C�@�@43�L�@ �(0��)��G%�!,(� ��v\c;X>�F!�#�(�!0�C�@'=d�#G60�@'Q!= F20��!= �dF2=�@��!,�c!0�C%�!= ��@'=F!G���F2=�@R�#D:�(�)@�D-@�G60�@��3?��)0�C3z 3�@�����0�@ �M���)`'@ � � Z . c���W[PC�@ ��J(G�Q!@ �=<qJ�0�0�F3D-@'0�C����s9 �0<_c6:�>�F!G��V��G�@-J���@��Vb65}0�C�@:�0<R_b<p�#G60�@'Q!= F20��!=�>h�#��b(F!��@��V��Gw0�C�@,c���#�)�|?��#G�Q�@43��(�#�#L'�#0 iaJ�0�L�C�@'=�0�F2bM�)@�F!J\>

�j� j�j� � j�Z � � Z

jL j� j� jL( Gt0�C�@ �A<R_B<p�HG;0�@'Q!= F20��!=g>o0n?$�^L'F!G���G��HL'F!��L��6�!= �(�#G�F20�@-D&F��(���!,$0�C�@�z�= ��0�O��#G���f ` QBP CpC�F�]!@b�@'@�G3�#D �M�)@�D-@�G60�@��\W�[PC�@���@�F2=�@�0�C�@�@43�����G�@�G60��#F!�"D&F���F!G��B0�C�@R�aF�5��)@'5%D&F��o> ��@�G��!0�@�� �0<4_B<&c(9c@43��":F!G�� �0<4_B<&c(9 L'Fg5�:�W2�E�!0�@K0�C(F20R,c�!=R0�C�@&@43�����G�@�G60��#F!�mD&F��o>�0�C�@%_}F20��#F2br,cJ�G(L�0��)��G}s � ��� ?$F!�4J���@��\W

(kG30�C�@����,U"@'=�@�G60��#F!�"@�IJ�F20��)��G � 9���:$�#G*vAI}9!c�Wn�*)�:�> � f i je . � 1 �#�aQ��#]!@�G*b65B0�C�@q�#G6]!@'= ��@1�!,h0�C�@����VU�@'=�@�G60��#F!�"�!,0�C�@q@43�����G�@�G60��#F!�\D&F��}�#G*[PC�@'�!=�@�D Z2Wn�>�?�C�@'= @!>�,i�!= � JW�K"���69 ��:�>��@43�� i je 9!W�:f� ^_`ba j

`� c F"�

`e 9!W�:^S

>��!=E0�C�@4�dF�5��)@'5*D&F��o>�0�C�@1,c���#�)�|?��#G�Q-�#G6]!@'= ��@q?aF!�PJ���@��\>��L'Fg5 i je 9!W�:f�kW � ZU F"� e 9!W�: � Z

c � W � S

i$�!0�C-L��6�!= �(�#G�F20�@dD&F��(�h?$@'=�@PJ���@����#G40�C�@!�0<R_b< ,c= F!D-@'?$�!=�OR0��1�����)]!@PvAIK9!c�Wn�*)�:<,c�!= � 9���:/K ���69 ��:�>0�C�@�G �9���:0K l���9 ��:P]��#FK0�C�@?���)@RQ!= ��J �tF!L�0��#��G\W � ,i0�@'=�0�C�F20'>�?$@TF"��]yF!G�L�@T0�C�@������#J�0��#��G��5I � 9���:�> � 9���:�>F!G��@; � 9���:$F!����0�F20�@��}�#G30�C�@���= @']�)��J(�d��@�L�0��)��G\W( 0a�#�$�#G60�@'=�@���0��#G�QT0��-G��!0�@�0�C�F20a0�C�@�= �)Q�� �Bb�����5-�#GB,c=�@'@�=��!0�F20��)��G�F!��D-�!0��)��G3C�F!�$0�C�@�F�F!D&�#�)0���G(�#F!GK�#GvAI�9!c�WYU[Z�:�?�C��#L�C^�#��FKIJ�F"��=�F20��#Lq, J�G�L�0��)��GoW ( 0��#�P?$@��#��OG��|?�G}0�C�F20���5D �M�)@�L�0��#LRD&@'0�C����(����J�L�C}F!��0�C�@

� F!J�����D-@'0�C������'>!F!G��40�C�@d����@�L'�#F!� �(F2=�0��)0��)��G�@����EJ�G�Q!@ �=<qJ�0�0�F�D-@'0�C������hF2=�@dF2b(�)@A0�����=�@���@'=�]!@aIJ�F"��= F20��#L�HG;]2F2= �#F!G60��'W >��!=�L���D �(F2= �#����G��'>�0�C�@1,c���#�)�g?E�#G�Q-U.�n��0�F2Q!@!>#c!0�C��!= ��@'= � F!J�� �PD-@'0�C����3b�@��)�g?q> ���H��L'J�����@��3�#G

Page 125: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 � � �3� 5�� { � � ��aC�F���0�@'=TU>�C�F!�1b�@'@�G��HD �(�)@�D-@�G60�@��V0��}�����)]!@&0�C�@&vAJ��)@'=RvAI6J�F20��#��G��1�#G�vAI 9!c�WYU �!:q,i�!= ���9���:�F!G���vNI9!c�WYU �;:a,c�!=P=��!0�F20��)��G}D&F20�= �C3 �9���:�W

j� � � �L j~ j~ � � �Lj� D

� �L j~ D � �L j~j� j�

i$@�L'F!J���@30�C�@3D-@'0�C����rF2b��|]!@3�H�R�#D �M�#�#L'�)0qF!G��r0�C�@ ��=��!b(�#@�D��#�TG��!0���0��VU<><F}z 3�@���� �����#G604�)0�@'= F20��#��G��L C�@�D-@R�#�dJ���@��\Wm[PC�@qL���G6]!@'=�Q!@�G�L�@T�!,�0�C�@R�#G60�@'= G�F!�\��0�F2Q!@��E/ j F!G��^/ � ��@'z(G�@��3b65%0�C�@ � F!J(���d0�F2b(�)@�F!J�#�1F!L C(�)@']!@��r�HGV0n?$� ���VU�@'=�@�G601?$Fg5��W ��G�@-?aF�5w�#�q0�C�@K�)0�@'= F20��#��G���L C�@�D-@&b(F!��@�����G�0�C�@ � F!J���� � l@�� ��@��D-@'0�C���� 9 ��@�G��!0�@�� � F!J����|9cQ*�n��:�:�>m?�C��HL C C�F!��F}�#�HG�@�F2=TL���G6]!@'=�Q!@�G�L�@!WIl��#G�L�@B0�C�@B=��)Q�� ��b�����5 ��=��!bM�)@�D�#��FBG���G��n��0��VU ��=��!bM�)@�D*>(0�C(�#�ED&@'0�C����t��C���J(� ��?$�!=�O�?��#0�C^=�@�F!����G�F2b(�)@TF!L'L'J�= F!L�5!Wq[PC�@4�!0�C�@'=q�)0�@'= F20��#��G��L C�@�D-@B�#�RF >�J��H�V�=��@'?�0���G�J �+��F20�@}9 ��@�G��!0�@�� � F!J(���g9c,7�nGM:�:�W*[PC��#�1�#�RL���D �(J�0�F20��)��G(F!�m@43��"@�G(���)]!@K���HG�L�@0�C�@���F!L��!b(�HF!GwD&F20�= �C3}�H��J�� �(F20�@��tF201@']!@'= 5t��0�@ ��>\b(J�0�0�C��#��F�����=���F!L�C�C�F!��F*IJ�F"��= F20��#LTL���G6]!@'=�Q!@�G�L�@!W� Q�F!�HG\>�b�@�L'F!J���@�0�C�@q�#G60�@'Q!= F20��)��G@��@'= �#���%�#G%0�C�@1,c���#�)�g?E�#G�QT@43���@'= �#D&@�G;0��dF2=�@1= @��#F20��)]!@��)5%��C��!=�0'>�C�@�G(L�@qF,cJ(�#�V�nG�@'?P0���G3J �+��F20�@1��C���J�� �*G��!0PL'F!J���@qQ!=�@�F205�(=��!b(�)@�D&��W><�)= ��0��#5!>"?$@-L C�@�L O!@���0�C�@��!= ��@'=1�!,N0�C�@ �0<4_B<&c*�#G60�@'Q!= F20��!= �qb65tL'F!�#L'J��#F20��#G�QB0�C�@�@'=�= �!=�=�F20��)����,i�!=0�C�@KF!G�Q�J(�#F2=q]!@��)��L'�)0n5 � 9���:1F!G���0�C�@��������)0��#��GV]!@�L�0��!= ; � 9���:�?EC�@�Gw0�C�@K��0�@ �(���)`'@ � ?aF!�RC�F!�#]!@��\W%[�C�@=�@���J��#0��4F2=�@@���H���(�#Fg5!@��r�#Gr0�C�@%0n?$���)�!Q*�n�)�!Q��(�)�!0����#G ><�)Q�J�=�@xc�W#Z~�>AF!G��r0�C�@3GJ�D-@'=��#L'F!�N]2F!�#J�@��4�!,�0�C�@@'=�=��!=�= F20��)����,c�!= � F!G�� ; � L'F!Gtb�@R,c��J�G��^�HG}[hF2b(�)@ � WYeK,i�!= �A<&c�>"[hF2b(�)@ � W �-,c�!= �0<R_b<&c%?��)0�C�0�C�@@43�����G�@�G60��#F!�\D&F���>�F!G���[hF2b(�)@ � WnZ�,i�!= �0<R_b<&c&?��#0�C30�C�@4�aF�5��)@'5*D&F��o>�F!�H�o�#G � ����@�G����C3 � Wi$5wL C�@�L O�#G�Q^0�C�@&@'= =��!=q= F20��)���4�#GV0�C�@&0�F2bM�)@��'><�)0q�#�10�= J�@&0�C�F20RF!�#�m0�C�=�@'@K�#G60�@'Q!= F20��!= �4F2=�@K�!,a�!= ��@'=

c�W@( 0R�#�1F!�#���}�#G;0�@'= @���0��#G�Q*0��^G��!0�@&0�C�F20q0�C�@BL'�#F!�����#L'F!� �A<&c^�#G60�@'Q!= F20��!=���=�����J�L�@��V0�C�@KD&����0RF!L'L'J�= F20�@=�@���J��#0���?��#0�C40�C�@a�HF2=�Q!@'=���0�@ �(���)`'@ � ,c�!=�0�C�@dF!G�Q�J��HF2=�]!@��)��L'�)0 5 � 9���:o��G�0�C�@a�#@',i0 ���#F2Q!= F!D �HG�><�)Q�J�= @9c�W#Z~�>b(J�0E0�C�@4��F!D&@TD-@'0�C���� ��=�����J�L�@��^0�C�@T�#@�F!��0�F!L'L'J�= F20�@; � 9���:������#J�0��#��G���Gt0�C�@R=��)Q�C;0�C�F!G��t��� ��@-�(�)�!0E�HGL���D �(F2= �H����G%0��T0�C�@��!0�C�@'=d0n?$�:�0<R_b< �#G;0�@'Q!=�F20��!= �'WN[PC�@E,c�!= D-@'=PD&�#Q�C;0$b�@���J�@E0��-0�C�@�F!L'L'J�DTJ��#F20��#G�Q=���J�G����{�*U}@'=�=��!=��#G30�C�@qQ!= @�F20�G6J(DRb�@'=P�!,h@']yF!�HJ�F20��)��G��d0�C(F20P��G�@R��0�@ �}�!,hF!G �0<R_b< D-@'0�C�����DTJ���0=����#G�L���D �MF2= �#����G^0�C�@4= @��#F20��)]!@��)53,c@'? @']2F!�#J�F20��)��G(���#G}FK���#G�Q��)@R��0�@ �t�!,mF!G �A<�D-@'0�C����\W FE�g?$@']!@'=�>o���HG�L�@�0< D&@'0�C���� ���@��NG��!0<��=�@���@'=�]!@�0�C�@P�!=�0�C��!Q!��G(F!�#�)0n5-�!,\0�C�@P=��!0�F20��)��G%D&F20�= �C3 �9���:�>0�C�@�G&0�C�@�@'=�=��!=A,i= ��D0�C��#�dD-@'0�C������H�aQ!=�@�F20�@'=��HG3@�F!L C^��0�@ �^0�C�F!G*0�C�@1�!0�C�@'=�0 ?A� �0<R_b< �#G60�@'Q!= F20��!= �'W� �)��G�Q�?��)0�C��!0�C�@'=AL���G���� ��@'=�F20��)��G�����J�L�C-F!�mL���D �(J�0�F20��)��G�F!��L�����0��NF!G��&F!L'L'J�= F!L�5!>F1Q!����-�#G60�@'Q!= F20��!=��C���J�� �wF!�#���^b�@KF2bM�)@&0�� �(=����(J�L�@K�����#J�0��)��G��1?�C(�#L C �(�#���(�#Fg5}?$@��#��O�G��|?�G�L�C�F2= F!L�0�@'= �#��0��#L'�R,c=���D I6J�F!�H�V�0�F20��)]!@&F!G�F!�)5����#�E�!,N0�C�@�(�VU"@'= @�G;0��#F!�h��5���0�@�D*W >��!=1@43�F!D:�(�)@!>oGJ�D-@'= �#L'F!�h�����#J�0��)��G�� ��=�����J�L�@��t,i= ��D�0�C�@�#G60�@'Q!= F20��)��G �!,P0�C�@%=��!0�F20��#G�Qt=�@�L�0�F!G�Q�J(�#F2=�b(�)��L�O���C���J(� � ��@�D&��G���0�= F20�@%0�C�@3��0�F2b(�#�#�#0n5w�!,P0�C�@%=��!0�F20��)��G?��)0�C%=�@�����@�L�0a0��-0�C�@10�C�= @'@��(= �#G�L'�?�MF!�(F#3�@��d,i�!=0��(�#��0��#G�L�0aD-��D-@�G60��a�!,<�#G�@'=�0��#F�>�D-@�G60��)��G�@��*F20d0�C�@1@�G���!, l@�L�0��)��G c�WYXWn�WQi$5&0�@���0��#G�QR0�C�@��A<R_B< �#G60�@'Q!= F20��!=a?��)0�CK0�C�@�@43�����G�@�G60��#F!�"D&F��o>?A@�?��#�#�(��@'@�0�C��#�mb5��@'0�0��#G�QK0�C�@q=�@�L�0�F!G�Q�J(�#F2=�b(�#�L O%0��K=��!0�F20�@TF2b���J�0E�)0��PL�@�G60�=�@R�!,�D&F!���E�#G*0�C�= @'@R���#�)Q�C60��)5 ���VU�@'=�@�G60d?$Fg5�'>��@ ��@�G����#G�Q4��G*0�C�@q�#G��)0��#F!��F!G�Q�J(�#F2=P]!@��)��L'�)0n5����9��;:$Q��)]!@�GoW

Page 126: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{

10−4

10−3

10−2

10−1

10−13

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

log of stepsize, log(h)

log

of

no

rm o

f e

rro

r

r with RK4, RKMK4(exp, cayley) maps.

RK4RKMK4(exp)RKMK4(cayley)

10−4

10−3

10−2

10−1

10−14

10−13

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

log of stepsize, log(h)

log

of

no

rm o

f e

rro

r

ω with RK4, RKMK4(exp, cayley) maps.

RK4RKMK4(exp)RKMK4(cayley)

><�)Q�J�=�@ c�W#Z~� ` �>��� �$�� ������ ��(���$���������� �!�� ����� �$#�% � % �!�&� %��$' � �)�� � 9�� � # � ��� ��� =����$ � � � < ��� B F E B ���8� � E 0� #�5 �!9��� %�� � � # =�� � � ������ B F E B � � ��9 � E 0��)�!�+ % ��$= ��# � � 9�� � � � � 5 � 5 <N��� ������&+ � � � 9N�!9�� D +1�8�!9� 5�% ,/. ��0�,/. 6 . � � � � 9�!9�� ��� �� # � # � � ���(+ ����� �$# ��0 � #�5 , . 6 . � � � � 9 �!9�� � < ���&< +1����� ��# � : � � B L E J � L�Q L � � ! ��L�Q$R��0�F H J L�0 � #�5FPONJ R&� R�L :

Page 127: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 � � �3� 5�� { � � �

� �)0�C��#G:><�)Q�J�=�@0c�W#Z c�> ><�)Q�J�=�@Ac�W#Z�X>�F!G�� ><�)Q�J�=�@0c�W#Z�e>�0n?$� ���#F2Q!= F!DK�NF2=�@���C��g?EGB�#GK@�F!L C3L'F!��@!WN[�C�@���#F2Q!= F!DK����GV0�C�@-�)@',c0��!,N0�C�@Tz�Q�J�=�@�����C��g? 0�C�@T=��!0�F20��)��GV�!,$F%L��!=�G�@'=��!,N0�C�@�=�@�L�0�F!G�Q�J(�#F2=�b(�)��L�O�?��#0�C=�@�����@�L�0�0��*0�C�@-?�C����#@T= @�L�0�F!G�Q�J��#F2=1b(�#�L O}F20q0�C�@-�#G(�)0��#F!� �"��� �)0��)��G ; � 9��;:�W-[PC�@ ���#F2Q!= F!D+��G�0�C�@-= �)Q�C60��C��|?��qZ�e � ��G(F��(��C��!0��'���!,<0�C�@1= @�L�0�F!G�Q�J��#F2=Eb(�)��L�OK= �!0�F20��#G�Q&?��#0�C*�)0��0��b�����5BF#3�@��'W� C�@�G�0�C�@Bb(�)��L�OV�#�q= �!0�F20�@�� ��= @�L'�#��@��)5VF2b���J�0RF!G65w��G�@K�!,a0�C�@ ��= �#G�L'� �(F!�<F#3��#��>� � 9���:��#�RL���G(��0�F!G;0?��)0�C^=�@�����@�L�0�0�� � WE[PC�@4=��!0�F20��#G�Q3L��!= G�@'=������#G60�,c=���D 0�C�@ �A<R_B< D-@'0�C����t��C��g?E��0�C�@�L'�)= L'J(�#F2=��!=�bM�)0F!�N0��HD-@E�#G(L�=�@�F!��@��$�#G�><�)Q�J�= @ c�W#Z c�WA[PC(�#�m�#�N0�C�@E��0�F2bM�)@�=��!0�F20��#��GB�!,\0�C�@E= �#Q�� �-b�����5!>;?�C�@�GB��@'0$0��4=��!0�F20�@

��=�@�L'�#��@��)5BF2b���J�0d��G�@1�!,<0�C�@-��= �#G�L'� �(F!�MF#3��#�'W

−5

0

5

−5

0

5−5

0

5

x

RKMK4(exp). wb(0)=[5.00, 0.00, 0.00]

y

z

1 11 21 31

41 51 61 71

81 91 101 111

121 131 141 151

><�)Q�J�=�@@c�W#Z c�` � �$��P� ��# � �!9�� � ��!��� � # ��� # � � �� # �&� B �$�&� � E 0�� #�5 D 5 � +1� #�% � # �����!��!��� � # �� � 9�� �!� � �!� # � ��� ������� ��� 0 ��# �!9�� � � � ��5 �� 5 <C��� ����$��+ :�� � ��% �!�� �3� �$# � ���!� � ��% �&��<C��� � �4�!9�� � ��� ��#�� � ������� � ��% :�� � B L E J � ! ��L���L�0FIHKJML�0 FPO J-R�L�0 � #�5 � J R&����L :

( ,0�C�@N=�@�L�0�F!G�Q�J(�#F2=�bM�)�L O1�#����@'0h0���= �!0�F20�@ � = ��J�Q�C��)5"�gF2b���J�0o��G�@A�!,�0�C�@ �(= �#G�L'�?�MF!�!F#3��#��L��!=�=�@�������G��(�#G�Q0��3@��)0�C�@'=�0�C�@��#F2=�Q!@���0��!=10�C�@���D&F!�#�#@���0�D&��D-@�G;0����!,$�#G�@'=�0��HF�>M0�C�@�Gt0�C�@�b(�#�L O^F�����@�F2= �E0�� � ?A�!b�bM�)@!�"F!��)0�=��!0�F20�@��qF2b���J�010�C�@-L�C�����@�G�F#3��#�'W*9�i$5 � =���J�Q�C��)5"�)>\?A@&D-@�F!GV0�C(F2010�C�@&�#F2=�Q!@���0qL���D:�"��G�@�G;0��!, ���9��;:�#��F20�0�C�@�F#3��#��b�@��)��G�Q��#G�Q&0��*0�C�@��#F2=�Q!@���0��!=1��D&F!�#�#@���0�D&��D-@�G;0��!,N�HG�@'=�0��#F�W :}[PC��H�EL'F!GVb�@4��@'@�Gw�#G^0�C�@0n?$� ���HF2Q!= F!D&�q�#G >h�#Q�J�=�@ c�W#Z�X>�?�C�@'= @-0�C�@&b(�)��L�Ow�#�R��@'0q0��^= �!0�F20�@%F2b���J�010�C�@���= �#G�L'� �(F!� � F#3��#�1?��#0�C0�C�@B�HF2=�Q!@���0�D-��D-@�G604�!,��HG�@'=�0��#F�W2(kGr0�C��#�RL'F!��@!>m,i= ��D�0�C�@3�)@',c04C�F!G������ ��@ ���#F2Q!=�F!D*><0�C�@BbM�)�L O��#�RG���)��G�Q!@'=m= �!0�F20��#G�QR�#GKFq��D-��!0�CKL'�)=�L'J��#F2=��!=�b(�#0'>;b(J�0�= �!0�F20��#G�Qq��G��#54=���J�Q�C��)5�F2b"��J�0�0�C�@P�!= �)Q��HG�F!����= �#G(L'�?�(F!��tF#3��#�'>"F!G���0�C�@4F!G�Q�J��HF2=�]!@��)��L'�)0n5 ���9���:a��� L'�#�#�#F20�@���?��)0�C�0��HD-@ � WP[PC�@R�#F2= Q!@���0�L���D:�"��G�@�G;0E�!, ���9���:d�H�0�C�@&�}L���D:�"��G�@�G;0'W

��F!��0��)5!>d0�� ��@�D-��G���0�= F20�@t0�C�@VJ�G���0�F2bM�)@^D-�!0��)��G �!,10�C�@t= �)Q�� �sb"����5!>a0�C�@tb(�)��L�O �#�%��@'0%0��r=��!0�F20�@=���J�Q�C��#5�F2b���J�0A0�C�@���= �#G�L'� �(F!�� KF#3��#�N?EC��#L CBL��!=�=�@�������G��(�N0��T0�C�@���@�L���G��%D-��D-@�G60$�!,o�HG�@'=�0��#F � � >�?�C�@'=�@� j�� � � � � � W i$@�L'F!J���@%0�C�@KF!G�Q�J(�#F2=q]!@��)��L'�)0n5 �� F!G�� �� L'F!G�Q!=��|?f@43�����G�@�G60��#F!�#�)5}?��)0�Cw0��#D&@ ���HG0�C�@3����L'�#�#�HF20��)��G\>�0�C�@�GS0�C�����@*0n?$��L���D ����G�@�G;0��-L'F!G ����D&�#G�F20�@%0�C�@������HJ�0��)��GS��J�L�Cr0�C(F20-0�C�@3b(�)��L�Or�H�G��3�)��G�Q!@'=1=��!0�F20��#G�Q3F2b���J�0�0�C�@��!= �)Q��HG�F!�% tF#3��H�'W&( Gt, F!L�0'>o0�C�@�=�@�L�0�F!G�Q�J(�#F2=1b(�)��L�O^G��g? F�����@�F2= ��0��*b�@� 0�J�D4b(�#�#G�Q����#G*F!�H��� ���)=�@�L�0��#��G��'>�F!�P��C��|?�G*b5B0�C�@q0n?$� ���HF2Q!= F!D&�d�#G@><�)Q�J�= @&c�W#Z�eW

Page 128: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � | � s ud5 � �3� ��� � s ud5 � s � r�{

−5

0

5

−5

0

5−5

0

5

x

RKMK4(exp). wb(0)=[5.00, 0.01, 0.50]

y

z

1 11 21 31

41 51 61 71

81 91 101 111

121 131 141 151

><�)Q�J�=�@@c�W#Z�X ` � ���� � ��# � � 9�� � ��!�3� � # �� # � � �� # �&� B ���8� � E 0 � #�5 D 5�� +1� #�%�� # ��� � ��!�3� � # �� �!9�� �!� � �!� # � ��� ������$ ��� 0 ��# �!9�� � � � � 5 �� 5 <1���!������&+ : � � � % � ��!�3� �$# � � ����9��$<N��� � � � 9�� � ��� ��#�� � ����� � � � % : � � B L E J � ! ��L�Q L�R%��L�Q ! 0F H J L�0�F O J R L�0�� #�5 � J-R�� ��L :

−5

0

5

−5

0

5−5

0

5

x

RKMK4(exp). wb(0)=[0.02, 5.00, 0.10]

y

z

1 11 21 31

41 51 61 71

81 91 101 111

121 131 141 151

><�)Q�J�=�@@c�W#Z�e ` � ���� � ��# � � 9�� � ��!�3� � # �� # � � �� # �&� B ���8� � E 0 � #�5 D 5�� +1� #�%�� # ��� � ��!�3� � # �� �!9�� �!� � �!� # � ��� ������$ ��� 0 ��# � 9�� � � � � 5 � 5 < ��� ������&+ : � � � % ��# � � � ���$��< �!�� �3� �$# � �! ����9���< ��� � � �!9�� � ��� ��#�� � �����(� � � % � %!% � � ��� � 5� � � 9 �

�0 � � � % ��# � � #�% �!�����$� +1�� � # ��*� 9��4� � � ��5 �� 5 < : � � B L E J � L�Q L � � ! ��L�Q�R 0 FIHKJML�0 FPO7J R L�0 � #�5 � J-R���� L :

Page 129: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 ~ ��� ~�� 3 � � �3� 5�� { � � �

�E@430'>?A@E?��#�#����@'@�C��|?x0�C�@ ��@'=�,i�!=�D&F!G�L�@P�!,\0�C�@��0<R_b< �HG;0�@'Q!= F20��!=q9c?��#0�C-0�C�@�@43�����G�@�G60��#F!�(D&F���:�>L���D �(F2=�@���?E�)0�C�0�C(F20-�!,�0�C�@@�0<+D-@'0�C����\W �w@���0�F2=�0�@��S?��)0�CSF!GS�#G��#0��#F!�NF!G�Q�J(�#F2=�]!@��)�L'�#0n5 � 9��;: �� ��S ��U J"X J ��S#Z �NF!G��t�HG;0�@'Q!= F20��HG�Q3�g]!@'=q0�C�@��#G60�@'=�]2F!� �&K � ��J$c��#�m?��)0�CtF%L���G(��0�F!G;0q��0�@ �(���)`'@��!, � ��Z . c���W>�=���D 0�C�@10n?$�B�#G60�@'Q!= F20��!= ��>�0�C�@q=�@�� J��)0��dF2=�@RJ(��@��30��:�(�)�!0d,c��J�=PQ!=�F��(C��P�#G@><�)Q�J�=�@ c�W#Z��6W

0 5 10 15 20 25 30 35 40−4

−2

0

2

4

w1b

Angular velocity wb(t), wb(0)=[0.02, 5.00, 0.10]

RK4RKMK4(exp)

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−5

0

5

10

w2b

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

w3b

time t0 5 10 15 20 25 30 35 40

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−5

time t

||rs (t

)||−

||rs (0

)||

Difference in length of position vector from RK4 and RKMK4(exp).

RK4RKMK4(exp)

RKMK4(exp)

RK4

0 5 10 15 20 25 30 35 40−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−5

time t

||Lb(t

)||−

||Lb(0

)||

Difference in magnitudes of angular momentum in body coordinates.

RK4RKMK4(exp)

RKMK4(exp)

RK4

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−4

time t

H(t

)−H

(0)

Global Error in Hamiltonian for the rigid body.

RK4RKMK4(exp)

RK4

RKMK4(exp)

><�)Q�J�=�@�c�W#Z��M` ,/� % ��� � % �)� �+ ,/. � � #�5 ,/. 6 . � B � � � E ��9�� # % ���= �$# � �!9��1� � � � 5 � 5 <C���!����$��+ :N; 9�� D � �+N �� # � # � % ��� �N� # � �������K=��&�� � � � < ��� B F E ��# � 5 < � �� 5���# �3�!� %7B � �� ���8� � E 0 �!9�� # ��!+ ����!9��7� %�� � � # =�� � � ��K�)�!�+R � �� # �&� �� �!9��1� ��!�3� �$# � �!� � � � # � ��� ��� ���$ ��� B �!�� � � ��9 � E 0��!9��1�&�!� �� ��# �!9�� # ��!+ ���� 9��1� # � ������� +1�+1� # � ��+�$# � 5 < � �� 5��$# �3� � % � � � B F E � B � �� � �+ ���8� � E 0/� #�5 �!9��@�&�!� �� �$# �!9���� ��+ � �$� # � � # ��� B F E � B � �� � �+ � � ��9�� E :� � B L E J � L�Q L � � ! ��L�Q�R 0 FIHKJML�0 FPO J ��L�0�� #�5 � J R&��� L :

[PC�@EQ!= F��(CB��GK0�C�@E0��"�3�)@',c0AC�F!G��%L��!= G�@'=$�!, ><�)Q�J�= @0c�W#Z��4��C��|?��N0�C�@��4L���D ����G�@�G;0��$�!,\0�C�@�F!G�Q�J��HF2=]!@��)��L'�)0n5 � 9���:�W >�=���D�0�C��#� �(�)�!0'>y0�C�@'=�@aF2=�@dG���]��#���#b(�)@ ���VU�@'=�@�G�L�@Ab�@'0n?$@'@�G�0�C�@$�����#J�0��)��G���,i= ��DG�A<&c�F!G��0�C�F20��!,�0�C�@ �A<R_B<_cK?��)0�C�0�C�@R@43�����G�@�G;0��HF!��D&F����M�#G�Q�W�F��|?A@']!@'=g>\0�C�@RQ!= F��MC���G}0�C�@R0��"�V= �)Q�C60�C�F!G��L��!= G�@'=�>?�C��HL C��(�#���(�#Fg5�N0�C�F20aG��!= Df�!,\0�C�@ �������#0��)��G&]!@�L�0��!= -�; � 9���:�-a,i�!=$��G�@�L��!= G�@'=a�!,\0�C�@�=�@�L�0�F!G�Q�J��#F2=b(�)��L�O">!��C��g?E��F���@�L�=�@�F!��@P�#GTD&F2Q�G��)0�J���@A,c=���D �)0��h�!= �)Q��HG�F!�6�#@�G�Q!0�C*9 F�����=�� 3��#DKF20�@��)5KZ � i J :�>!,c�!=m�����#J�0��#��G��,i= ��D �A<&ctD&@'0�C����o>h?EC��#�)@K�����#J�0��)��G��R,i= ��D �A<R_B<_c ��= @���@'=�]!@��T0�C��#�4G��!= D*WV[PC��#�4�#�qb�@�L'F!J���@B?�C�@�G�����)]��#G�QB,i�!=10�C�@-= �!0�F20��)��GwD&F20�= �C3 T9���:&KIl���9 ��:�,c=���D+vNI 9!c�WYU �;:1J����HG�Q �A<&c�>o0�C��#���#G60�@'Q!= F20��!=R�H��G��!0��@����)Q�G�@��}0��@�(=�@���@'=�]!@-0�C��H���!=�0�C��!Q!��G�F!�#�#0n5!>����3�HGV0�C�@-=�@���J��#0�F!G;0�=��!0�F20��)��G��!,<; � 9���:�>o0�C�@&D&F2Q�G(�)0�J���@��!,0�C�@1]!@�L�0��!=��#�PG��!0!��= @���@'=�]!@��\W� ���#DK�#�#F2=Pb�@�C�Fg]�)��J�=EL'F!Gtb�@R�!b(��@'= ]!@��^,c�!=�0�C�@4D&F2Q�G(�)0�J���@4�!,m0�C�@4F!G�Q�J��#F2=�D-��D-@�G60�J�DD- I ��9���:�-�>

Page 130: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � |��s ud5��������� \s ud5

�s � r�{

?EC��#L C���� ����������@����#G���C�@mb���������D��#@�� �oC�F!G��1L!�!= G�@'="����>#�)Q�J�=�@Fc�W#Z��6W�[PC�@m=$����F%�$����GqDKF%��=&�C3�T9���: ��=&����J(L�@��b(' �A<R_B<_cK?�C�@�G)�����)]*�#G�QKvAI�9!c�Wn�*)�:�>����+�!=$��C,�!Q���G�F��-���3D&F!L C��HG�@-��= @�L����$����G\W � G.'�J �+��F%��@R?+����C/��C����=&����F%�$����G4DKF%��=&�C30����z(G���I � 9���:\F!G�� � 9���:�?1��������=�@2��@'=�]!@�)@�G�Q���CqF!G��RF!G�Q��)@3����=$����F%�$����GoWEFE@�G�L�@!>��c=$��D4��C�@b���������D5�)@����1C�F!G��}Q!= F��(C\>\?$@-L'F!G6��@'@7��C�F%� - I���9���:�-8�i=&��D �A<R_b<&c3?+����C)��C�@�@43�����G�@�G.�$�#F��<D&F������HG�QC(F�����C�@9��F!D&@3G��!= D:��C�=$��J�Q�C,��J,�;��C�@<�#G.��@'Q!= F%�$����G ��@'=&�����\>�?EC����)@=��G(L�@3F2Q�F��HG\>>�����#J,�$����G��8�c=$��D �0<&c��@�L�=�@�F���@2�7�#G�DKF2Q�G�����J���@!W}[PC����8�?�8��G�@3F"��]2F!G@��F2Q!@<���PJ��$�HG�QB�"�#@KQ!=$��J � D-@���C,�������g]!@'=7��C�@3L��#F��$�$�#L'F��D&@���C,�����d?+����C3z 3�@��/����@ �A�$�)`'@ � W

F+�|?A@']!@'=g>\?A@-L'F!GVG,����L!��G�L��#J���@���C�F%� �0<R_b<&c ��@'=$� �!=�D=�Pb�@�����@'=���C�F!G��0<&c%?+����C���J,�+���(�!O(�HG�QBF%���C�@9�(=�@2��@'=�]2F%�$����G;������C�@�F�F!D=��������G��#F!G\W�(B�#��J�= G�����J,�#��C�F%�C�#G;��C�����=&�)Q�� �4b�����'0�i= F!D&@'?�!=�O">���C�@!�0<4_B<&c�HG@��@'Q!= F%���!=D�?�AG,���8��@2�$�#Q�G�@��=�����=�@2��@'=�]!@1��C�@ F�F!D=��������G��HF!G=������C�@���'*����@�D Q��)]!@�G<�#GKvAI^9!c�WYU[Z�:�Wf(kGE�cF!L!�'>�c=$��D:��C�@&b���������D =&�#Q�C@�qC�F!G��VQ!= F��(CF�#G >-�#Q�J�=�@ c�W#Z��6>#��C�@:��@'=$���!= D&F!G�L�@G���H��C�@��A<R_b<&cI�#G.��@'Q!= F%���!=�?�-F6������?�!=&��@J��C�F!GK��C�F%�G������C�@6�0<&cwD-@���C����\W l*�#G(L�@E��C�@*= @2��J����$�;�c=$��D �0<R_b<&cwD-@���C,��� C�F��&F��@�L�=�@�F��$�#G�Q9����L����?�#F%�$����GtF�� �+�#G�L�=�@�F���@2�'>\F!G��}DL�)Q�C@��b�@TF ���)= @�L!��L!��G���@�I6J�@�G(L�@;�����C�@T=�@2��J����$���#G ��'9���:�>��C�@3G�@43(�7����@�DM���6�#G;]!@2�$�$�)Q�F%��@J������C�@%F!L'L'J�=�F!L!'N���+��C�@%GJ�D-@'=&�HL'F��3�����#J��$����GO�HGrFP����G�Q!@'=G�#G.��@'Q!= F%�$����G��@'=&�����\W>#�)Q�J�=�@ c�W#Z~Z^= @2��J�����@��Q�#G�F!GK�#G.��@'Q!= F%�$����G ��@'=&����� �@K � ��J$c����#�{>>����?�C��#L�CN��C�@%G6J(D-@'=&�#L'F��$F!G�Q�J��#F2=]!@2���L����R' � 9���:;�#GQ��C�@/��@�L!��G�� C(F����D������C�@J�#G@��@'Q!=�F%�$����G ��@'=&�����O�?� ���������#FS'!@��\W >,�!=L��C�����@43��"@'=T�#D-@�G.�'>

��C�=�@'@��#G.��@'Q!= F%���!=&�PF2= @RJ���@��\> �A<&c�>��0<R_b<&c-?+����C<��C�@1@43�����G�@�G.�$�#F��\D&F���>�F!G�� � ��v\c;X7�c=$��D _}F%�$�#F2boW(kGO��C����RL'F���@!><� ��v\c;X}F!L!�$�TF��TFtL!��G@��=$���{>#�&�#G�L�@L��C�@L�����)@'= F!G(L�@E���!=TL!��G6]!@'=�Q!@�G�L�@J������@��;���}b�@^Z � i j ~ >?EC��#L CN��C,��J�� ���(=$���(J�L�@-]!@'=$'wF!L'L'J�= F%��@B=�@2��J����$��WK[PC�@=� ��@�F/���0���^L!��D:�(F2=�@L��C�@:��@'=$� �!=�D&F!G�L�@G���!�0<&cF!G��6�0<R_b<&c(9c@43��":U�#G.��@'Q!= F%���!=&��?+����C<��C�F%�+���-��C�@�� ��v\c;XW>�=$��D >#�)Q�J�= @�c�W#Z~Z>���C�@ ��F2=�OL���HG�@2�AL!��D:�V����@��<����=�@2��J����$�H�i=$��D�b�����C �0<_c�F!G��@� ��vfc;X>�?�C��?�)@+��C�@

� F��#G.�(��������@��G���#G�@2��=�@ ��=�@2��@�G@�h=�@2��J����$�"�c=$��D �0<R_b<&c�?+����C4@43��-D&F������#G�Q�Wt(R�#���hF����(F2=�@�G.�#��C�F%�-�$���#J,�$����G���c=$��D �0<4_B<&c3F2=�@7��J,� �W���7� �(C�F���@�?+����C^=�@2���"@�L!�����<��C,����@;�i=&��D � ��vfc;XW���GtFBL�������@'=��HG�����@�L!�$����G\>M?A@L'F!GK��F2O!@I��C�@@���VU�@'=�@�G�L�@9���+��C�@3L!��D ����G�@�G.�$�7��� ��'9���:4F%�-@�F!L�C �q]2F��#J�@2�7�#GQ��C�@J�#G.��@'Q!= F%�$����G ��@'=&�����b�@�� ?A@'@�G �A<&c 9��!= �0<4_B<&c6:RF!G�� � ��v\c;XWV[PC�@ ���VU�@'=�@�G�L�@2�TF2=�@ ���������#FS'!@��N�#G >#�)Q�J�=�@ c�W#Zh)>m?�C�@'=�@@�F!L�C�L!���#J(D&G��0�#GP��C�@-z�Q�J�=�@-F2=�@:�������$�����H��C�@:���,U"@'=�@�G(L�@2��b"@�� ?A@'@�G�=�@2��J����$���c=$��D � ��vfc;X3F!G��6����C�@'=�HG@��@'Q!= F%���!=T�1J�G���@'=�L!��G��$� ��@'=�F%�$����G\WE[�C�@?�E�#G.��@'Q!= F%���!=&����@2����@��wC�@'=�@7�#G�L��HJ���@��0<_c�> �A<R_b<&cK?+����CI��C�@@43�����G�@�G.�$�#F��6DKF��o>yF!G����A<R_B<_c�?+����C��aF2'*�)@�'qD&F���W iH'8�!b���@'=�](�HG�QD��C�@H��L'F��)@2�-� �!=� � ��G���C�@<���#F2Q!= F!D=�'>��G�@EL'F!G���@���J�L�@X��C�F%���C�@5���VU�@'=�@�G�L�@db�@�� ?A@'@�G �0<&c4F!G�� � ��v\c;X����mD=�HG��#D&F��(���!=>��C�@A�RL!��D ����G�@�G@�$�3��� � 9���:�>��#GTL!��D �(F2=&�?����G;������C�@9���,U"@'=�@�G(L�@H��C��g?�GTb('-�0<R_b<&c(9c@43��":�F!G���0<R_b<&c(9 L'FS'�:�W FE@�G�L�@X���#��@'@�D=���C(F%�1��C�@7�#F!L OJ���NF!L'L'J�= F!L!'I�HGI�����#J��$����G��X�c=$��DY��C�@ �A<R_b<Z�#G.��@'Q!= F%���!=&��L'F!J���@��)��C�@7�����$�+���m@�G�@'=�Q�'/�#G��C�@ F�F!D=��������G��#F!GKL'F��HL'J��#F%�$����G���Wmvm]!@�G9��C,��J�Q�C �0<4_B<[�#G.��@'Q!= F%���!=&�dF2=�@�F2b��)@������=�@2��@'= ]!@�- I � 9���:�-�F!G��-�; � 9���:�-7�#G6��C�@9�#G@��@'Q!=�F%�$����G\>hb(J,�8���$���#G�F2b����?���\'/��� ��=�@2��@'= ]!@=��C�@K@�G�@'=�Q�'wF!G��N���$�RC��)Q�C�L!��D �MJ,��F%�$����G�F��L!���$�$��=�@�G���@'=&�X���PG,��G��\� ��@�F������!=+����G�QG��@'= D]�#G@��@'Q!=�F%�$����G�?+����C3z 3@��<�!= ��@'= ��F!G��/����@ �A�$�)`'@ � W[PC�@D�#D:�V�!=&��F!G�L�@X������C�@=��=�@2��@'=�]yF%�$����GG����@�G�@'=�Q�'-L'F!G&b�@=���������#F2'!@��G���M?$@+�#G.��@'Q!= F%��@+��C�����=&�)Q�� �4b����,'�(=$�!b��)@�D�J��$�#G�Q � F!J��&��D&@���C,���tF���?$@2��� W � ��D-@�G.�$����G�@�� ��=�@']*����J��&��'!> � F!J��$��D-@���C,���P�?�EF<��'�D ���)@�L!�$�HLD&@���C,���o>"F!G��}?+���?�+��=�@2��@'= ]!@4IJ�F"��= F%�$�#L��#G6]yF2=&�HF!G@�$����J�L�C}F�����C�@@FEF!D=�?������G��#F!G\W=��@2��J����$�1�c=$��D]��C�@�� ?�� F!J��$�TD-@���C,�����B9 ���,U"@'=&���#G6��C�@9����@'= F%�$����GQ��L�C�@�D-@BJ���@��F���!=���C�@BL!��G6]!@'=�Q!@�G�L�@<���X��C�@E�HG@��@'= G(F��>����F2Q!@]2F��#J�@2� :�>EF2=�@ ����������@�� F�����G�Q ?+����C =�@2��J����$�L�c=$��D^��C�@P����C�@'=/�#G.��@'Q!= F%���!=&�'>��0<&c�>5�A<R_b<&c(9c@43���:�>�F!G���A<R_b<&c(9 L'F2'�:D�HG@>-�#Q�J�=�@&c�WYU �KF!G��6>#�)Q�J�=�@ c�WYU�Z2W

Page 131: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 � ��� ��� 3 � � ��5 � { � �=�

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400−4

−2

0

2

4

w1b

Angular velocity in body coordinates, wb(0)=[0.02, 5.00, 0.10]

RK4RKMK4(exp)ODE45

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400−10

−5

0

5

10

w2b

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 4000

2

4

6

w3b

time t

>#�)Q�J�=�@�c�W#Z~Z ` ,�� % ���$� % �)�!�+G,/. ��0 , . 6 . � B ��� � E 0 � #�5 � � ? � ! � � �!9 � � ��$���!� #�� �K���R�L�����0 ��9�� # % ���= ��# � � 9��� � � � 5 � 5 < ���!������&+ : ; 9 � % ��% � ���$�����>� 9�� D � �+N� # � # � % ��"� # � �������(=��&�� � � � < � � B F E 0 5�� % ����� < ��# � �!� % ���$� % �)�!�+� 9�� % � � #�5 9����$�*��*�!9�� �$# �!�&��� �3� � # � �&� � 5 �)� �+GF�J � � L�L�� � L�L : ��� B L E J � L�Q L � � ! ��L�Q$R��0 F H J L�0 F O J ��L�L�0 � #�5� J R&��� L :

Page 132: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� � |��s ud5��������� \s ud5

�s � r�{

0 200 400−4

−2

0

2

4x 10

−4

diff

ere

nce

in w

1b

RK4 and ODE45.

0 200 400−10

−5

0

5

10

diff

ere

nce

in w

1b

RKMK4(exp) and ODE45.

0 200 400−10

−5

0

5

10

diff

ere

nce

in w

1b

RKMK4(cayley) and ODE45.

0 200 400−1

0

1x 10

−3

diff

ere

nce

in w

2b

0 200 400−10

−5

0

5

10

diff

ere

nce

in w

2b

0 200 400−20

−10

0

10

20

diff

ere

nce

in w

2b

0 200 400−5

0

5x 10

−4

diff

ere

nce

in w

3b

time t0 200 400

−5

0

5

diff

ere

nce

in w

3b

time t0 200 400

−5

0

5

diff

ere

nce

in w

3b

time t

>#�)Q�J�=�@1c�W#Zh) ` ; 9�� 5 � � �&�!� #�� � � �8��� �&� # �!� % ���$� % �)�!�+ � � ? � ! � #�5 D ��!9��&� ��# � ����� �3� �� % 0�,/. ��0�,/. 6 . � B � � � E 0� #�5 , . 6 . � B � � < E �)�� 5�� % � �!�8� ��' � 5 =3������� % ��7F �$# � 9�� ��# �!�&���!��� � # � �&� � 5 0 ��9�� # % ��$= ��# � �!9�� � � � � 5 � 5 <��� ����$��+ : ��� B L E J � L�Q L � � ! ��L�Q$R��0 FIHKJ L�0 FPO J ��L�L�0 � #�5 � J R�� ��L :

Page 133: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � v�5 z 5 � ��� ��� 3 � � ��5 � { � � �

[PC�@8�#@�� �PC�F!G��3Q!= F��(C/�#G@>#�)Q�J�=�@&c�WYU �L��C��g?+�X��C�@-������F"��]yF!G.��F2Q!@8����J��$�#G�Q �A<&cKD-@���C,����F��D���=�,�6@2�G,���:��= @2��@'=�]!@/��C�@}G,�!= D ������C�@^F!G�Q�J��#F2=KDG��D&@�G@��J�D - I � 9���:�-�W [�C�@*=&�)Q�C.�&C�F!G�� Q!=�F��(C ��C,�|?+�=��C�@���VU�@'=�@�G�L�@%b�@��n?$@'@�GK��C�@�cP����C�@'==�#G@��@'Q!=�F%���!=&�'>N?EC��#L C F�����@�F2=7���wQ��)]!@<��C�@J��F!D-@3=�@2��J����$�����D��G���'F��C�@�)@����4C�F!G��rQ!= F��(CQ�����!b���@'=�]!@��oW >�=$��DM��C��?�R=&�#Q�C@�TC�F!G��rQ!= F��(C\>#��C�@9�n?H� � F!J��$��D-@���C,��������@'=$� �!=�D-@��b�@�����@'=1��C�F!GI��C�@��A<R_b< �#G.��@'Q!= F%���!=&��Q��)]!@�G)��C�F%�1��C�@����,U"@'=�@�G(L�@2�+�#G)�����#J,�$����G��X�i=&��D � F!J��$�ED&@���C,�����F2=�@qL�������@'=1���&`'@'=$�L�HG<��C����dL!��D �(F2=T������G\W

0 100 200 300 400−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−4

time t

||L

b(t

)||−

||L

b(0

)||

Difference in ||Lb(t)||.

RK4RKMK4(exp)RKMK4(cayley)Gauss(g−s)Gauss(f−n)

0 100 200 300 400−10

−5

0

5x 10

−12

time t

||L

b(t

)||−

||L

b(0

)||

Difference in ||Lb(t)||.

RKMK4(exp)RKMK4(cayley)Gauss(g−s)Gauss(f−n)

RK4

RKMK4(exp)

Gauss(f−n)

Gauss(g−s)

RKMK4(cayley)

>#�)Q�J�=�@Ac�WYU ��` ; 9��K�&�!� �� ��# � 9�� # �� + ��>� 9��4� # � ��� ��� +N�+1� # ���+ ��# � 5 < � �� 5���# ��� � % � � � B F E � ����� �$#�% �(� � +1�F 0 �)�!�+ ,/. ��0(,/. 6 . � B ��� � E 0(,/. 6 . � B � � < E 0(2 ��� ��� B � %��$# � 24� � % % �� � � 5 �&� � � ���!��� � #�% E 0(� #�5 2 ��� ��� B � % ��# �� �����$ �� ����� # � � ���!��� � # E 0"��9�� # % ���= �$# � � 9�� � � � � 5 �� 5 < ��� ������&+ : ; 9��K���!����9 # � 9��K���8� ��9�� #�5 %���5 � % 9�&� % � 9��� � % ��� � % �)� �+ ���$��� 9�� ��# � ����� �3� �� % � ��% � � 5 : �/�� ���!9��3�( # � 9�� �$�&� �(9�� #�5 ��� ����9>0�� � % ���$� % �)� �+ ���$���� � 9�� �$# � ����� �3�!�� %��� � ��� ��� 9�� ,/. � +1�8�!9� 5 ���!� =��&�!< � �� % �4� ����&� 9����/���� # �@R L � : ; 9�� � � ��9 �/9�� #�5 ���!����9 ��% � %�� ����� 5 =��&� %�� # ��� 9�� ���8� �/9�� #�5 ��� ����9 : ��� B L E J � L�Q L � � ! ��L�Q$R��0 F H JML�0�F O J ��L�L�0�� #�5 � J-R�� ��L :

(kG >#�)Q�J�= @�c�WYU�Z2>���C�@ ���,U"@'=�@�G(L�@;�#G)��C�@BFEF!DL��������G��#F!G)���>��C�@-GJ�D-@'=&�HL'F��������HJ,�$����G��EF2=�@����������@��\W (B�����L��)@�F2=G��C�F%�7��C�@<�n?H� � F!J��&�G�#G@��@'Q!=�F%���!=&� ��@'=$���!= D-@��rb"@2�$�7�HGN��C��?�4@43���@'=&�#D-@�G.�'>m?�C����)@=��C�@6�A<R_b<D-@���C,���&F2=�@�G,�qQ��(���-?EC�@�G=��C�@5��=�@2��@'=�]2F%�$����GG����@�G�@'= Q�'=���mJ�G���@'=mL!��G��$� ��@'=�F%�$����G\W (R�H���mF������������HG@��@'=�@2�$����4G,����@1��C�F%�3��C�@1��@']!@'=&���\'=������C���������$�3���\@�G�@'=�Q�'7�i=&��DZ��C�@ �0<R_b< �HG@��@'Q!= F%���!=T�AF2=�@���@ ��@�G���@�G.�C��GL��C�@

Page 134: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� � |��s ud5��������� \s ud5

�s � r�{

L!�(�!= ���HG�F%��@&D&F����qJ���@��\W>�=$��D �#D:���)@�D-@�G.�$�#G�Q9��C�@&L'F!G,��G��HL'F��mL!�.�!= ���#G�F%��@2�����H��C�@-z�=&�$��O*�#G��P���!=8��C����=T�)Q�� �&b����,' ��=$�!bA�)@�D*>.������$L��)@�F2=U��C�F%�U��C�@q�aF2'*�)@�'KD&F������#G�Q��?�N?H�!=&��@���C�F!GE��C�@�@43�����G�@�G.�$�#F��"D&F������#G�Q�W[�C����U�!b���@'= ]yF%�$����G^C�F��PF������Kb"@'@�G*G�����@���b('@��?�=�@�G*F!G��}�$@2�?�)@��,��G����#G �'Z#�{W

0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.03

−0.025

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

time t

H(t

)−H

(0)

Global Error in Hamiltonian for the rigid body.

RK4RKMK4(exp)RKMK4(cayley)Gauss(g−s)Gauss(f−n)

Gauss(g−s) Gauss(f−n)

RK4

RKMK4(exp)

RKMK4(cayley)

>#�)Q�J�=�@ac�WYU�Z*` ; 9�� �&�!� �� �$# � 9�� � ��+ � � �! # � � # ��� B F E � ��� � ��#�% �M� � +1� F 0 �)�!�+ ,/. ��0 ,/. 6 . � B � � � E 0, . 6 . � B � � < E 0�2 ��� ��� B � %��$# � 24� � %!% �� � ��5 ��� � �!�&� �3� � #�% E 0"� #�5 2 ��� ��� B � %��$# � � �����$ �� ����� # � �!�&� �3� � # E 0 ��9�� #% ���= �$# �1� 9�� � � � ��5 � 5 < ��� ����$��+ : �/�� �4� 9��3�/�!9�� �!� % ��� � % �)� �+ � ��!9 24� � %!%�B �� % E ��# � �&���!��� ��/� #�5 � 9�� 24� � %!%�B � # E ���!��=��&�!< � �$ % � � � � � 9 ��!9��&� 0 % �!9��&< ����� ����� � % � %��$# ���$� % � � � � ��9 � � �$# �M� � �! %!% L # � 9�� ���!����9 :��� B L E J � L�Q L � � ! ��L�Q$R��0 FIHKJ L�0 FPO J ��L�L�0 � #�5 � J-R�� ��L :

Page 135: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

�����������

� ��� ����� �������

�����! #" ���>� �%$ �$���'&G���V� � ��� $(�#) ��� �*" �,+ ",-.� '*�#� ����/ � ",0 �1&7� ����23) �1&54����,'8���V� � ���#� ��� �&���*6 ����� � �%$ �'&��� �%$ �$���'& $ �'&.� ) �1&��L��� ���*"87 � �:9." �'+ � 2;� � � ����� /<� � $=�>�#)?-.� &,���34 �*� & 23� &@�$���'& � � �1& � ��� ����� $ +��$�&���'&@6>#�1& ) ����'.A /��5$ �'& $ �1+�� � � ��� � �#� �$��� / ��� �B) �,+ ",-.� 'J��� �����$�&�C4�� � �D+,�,+ ",�E/ � ",0 �F&/� ��� ���,+��,'<��� 7 � �E9." �'+��2;� � � �����X�1& 9.� � 2;� � " � $ �1&.� �*9."=) �$���'&G6

�IH(J KML=N <O@PRQ"�TSUNWVN�5P��;XY �#) ��� �*"[Z �1&.� " ���#+ $\� �K� ��� 4 ) �$� $ � ) & 9 + )]9.� ��� 23) &���� ��� ���*A 7 � �:9." �'+ ��� ) &�� 7 � �M) � 9.� 4 "() �*6�^B� ) ���$�$ � -.�*",� �O��� ���*" � 2 ��� " � ) &.� 23) � ���%23) �$� $*) � $ �'& $\� ���$���,+ $(��) � 7 � � � �*" � -_) �$� -.� �%A �`+��?�V�a4 ).$,0 �*A 7 � �39." �'+��).$ �$���'&��*A ) &��K� ��� ���,U �*",� &.�$� ) �H���+� �#�:� 3����'& � &.�$� ) � 23) �G6 �����b9.� & �*" � $ � ",� � � &.� ) �$���'& �������VU �*",� &.�$� ) ��%c + ) �$���'&�� /!) ������� $ +��&� � �@A ) &��I� � ��� 0.� '/� � �%);/!) �I+�� � �/�1&I� ��� � �*" � -]) �$���'&J��� ",� �,+����$� $ �'& $\�*" &��1& 9 � �#��<+#& 9.� �edf+,��� ) �hg[+#&@� �#� �ed ).) � 23� � � ���J�F& Y �#) ��� �*"ji 6

Y �#) ��� �*"Ik � ",� � � &.� � � ) ���?� $ +��$�$���'&J�'&I� �#� 4 ) �&� $ � �*-.� ���"� 2;� &@�����>� ��� g )]9 &l+���� �*" � � � � 3�� ) &��$���'&�'&/� ��� ���1& �%)]"j23) � " �C36���nm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&@6!^B�D� "=).$\� �P� ��� �$� � ���+��� /o)]" � � �*" � - �F& 9 � ���E� 3�� ) &��&���'&J���pfq �,rI+��$�1& 9 �3� $*)]" �F��� �*"=) �$���'&��*A ) &��N� � � /�� �O� ��� & �*� �F��� �1&.� " ���`+ $\� � ���s" �.��� � �O� ",�*� � �#� � " '.A /<� � $(�) ����� / �C��� " � ���j$ � 2 �`+,� ) �$���'&E����� �*"=2 ���� � � 9'� � " � �*"t/ ��� �3",� � ) �$� -.� ��'G�������$� ��� m�� " �*6 � �?����A@� ��� � � �%) � �`) ��$� 2;� �\��' 232;� � " ' $*) &u4 � +�� � � ��� "=� �#+ $\� � ��� &v+ 2 4 �*" ���H� �*"=2 �8�1&P� ��� g )]9 &v+��8� �*" � � � � 3�� ) &��$���'& ���+ �<��� ) � )]" �$� $ +�� )]" � " � �*"!/o) � 2;� &@�$���'& � �@6w^x& � )]" �$� $ +�� )]" A(����� ��� � " +#& $*) � � �J� �*" � � �X��� � 3�� ) &�� � �:+��9���) &I����� ��� /o�*" ���3� �*"=2 �*AV� ��� &P� ���*",� ��� )s9') �1&)��� ) & � 3*� "=) � " � �*" �1&/� ��� � -.�*"() ��� � 3�� ) &��$���'&)��� pfq �,r(6>#�1& ) ����'.A@� ��� � � �%) ��� 2 +����$� -_)]" � ) � �<c + ) � "=) �,+ "=��/o) �9����� $ +��$� � �@6 ��� �?�C� �%$ �$���'&9�1& Y �#) ��� �*"ok � " � - � � � � )4 " � � �A�,+ 2323)]" '8��� /j�#) �C���C�1& - ��� -.� � /<��� & ) ���A��'(�F& 9 � ��� � ) +��$� � 7y�*9.� &�� ",��c + ) � "=) �,+ ",� ���f&l+ 23�*" � $*) ����'�1&.� �*9."=) � �f�%).$=� � �*"=2 �F&<� ��� g )]9 &l+��1� �*" � � � � 3�� ) &��&���'&@6

����� �<+#& 9.� �edE+,��� ) �hgM+`&@� ��� �ed ).) � q �jdEg[dzr 2;� � � ��� /o) ���1&.� " ���#+ $\� �/�1& Y �#) ��� �*"Ii A ) &��)���D�'& ����1� �#�B23) �1& $ � ) �$� � �=��� 7 � �b9." �'+ � 2;� � � ����� $ �'&��$� � �*",� � �1&K� � ���7� �#� �$���*6�^B�=��� ) & � 2 �V� " � ) &@� $ � ) �$���� 2;� � � �����*A{4 �%$*) +�� � ��� ) ����� / �D� ��� +�� � � �#�z$ � ) �$�&� $*) � �j+#& 9.� �edf+,��� )|2;� � � �����*A /<� ��� � � ",� � �*",- �1& 9 � �#�9." �'+ �/��� " + $ �,+ ",� ���#� ���f23) &���� ��� � ) �$��� $ � ) � � � / ��� �:) � )]" �$� $ +�� )]" �,'v& ).2 � $*) � ��'*��� �%2 6

^x&I� ���z #" ��� � )]" �1��� Y �#) ��� �*"}i AV� ���~$ �'& $\� ���$����� ) & �%c +�� -])]" � ) &.� 2s) � ) &�� ",� � ) � � �`& � �$��4 � � /��*� &-.�%$ ��� "� #� � ��� /��*"=� � "=� � � &@� � �G69l�+ $=� � � �%) � ) ����� / �o+��3��� $ �'&��&� � �*"�) & �%c +�� -]) � � &.�<���nm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&/<� � $(�:�*- ��� -.� ���'&/� �#�z7 � �E) � 9.� 4 "=)3� AA�F&���� �%) �J���C� ��� � " � 9 �1& ) �7���nm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'& �*- ��� - �1& 9 �'&I� �#�23) &�������� � � 6 ���#�3) � -_) &.� )]9.� ���U� � �?� ) ��� " � ).$(� ���0� �`) � )B$ � ) �$�&� $*) � �<+`& 9.� �edf+,��� )B23� � � ��� $*) &�4 �

Page 136: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� � � � �@� | {�� � �

) ������� � � ���P����� -.� � �#�3�%c +�� -_) � � &@�����Cm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&N�'& � A ) �����8��� ) �?�1& �%)]"}-.�%$ ��� " ��� ).$\� 6 � � � �*"� �#�8) ��� " ��3,� 23) �$���'&6��� 23) � � �1& � A"� ���|$ � ",",� �����'&����1& 9|� � �%2;� &.���'&F� �#�s23) &�������� � � $*) &�4 � ���'+#&��+��$�1& 9 � ����7 � �o9." �'+ � ).$ �$���'&@A ) &��7� ���*",� 4('-� ",� � �*",- �1& 9 � ���!9." �'+ �=��� " + $ �,+ ",� �1&;� ��� &l+ 23�*" � $*) �(�����1+,�$���'&G6�<��� �<dEg[d � � 9 � " ��� �#2�/!) �!� ",� � � &.� � �J�1&�� �%$ �$���'& i 6 i A ) &��<� � ��� ) ����� / �U��� " � ���}$ �'&���� " + $ �$���'&<����� ����jdEg[d �1&.� �*9."=) ��� " �F& ) &@'<� $ � � &.�$� `$}$ � 2 �{+,� �*" � ) & 9 + )]9.� 6

����� � �%$ �'&�� � )]" ����� Y �`) ��� �*"Ii � �%) ��� / ��� � � ��� � �*" � -_) �$���'&��+���>� �#� � " � �*"I$ �'&������$���'&�� ) �$��� $ � ) � � �/ ��� � � ��� �<dEg[d 2;� � � ���@6 �����[7 � � �7i!+,� $(���*" � �*" � � � ) ����� / �L� � " � ���B� 3�� ) &��$���'& ����� ���[) & ) ��'.�$� $*) ��$���1+,�$���'&@A ) � /�� ��� ) �<� ��� &v+ 2;�*" � $*) �1�����F+,�$���'& �'& � ��� 2s) &�������� �@6 ����� � "b$ � ���s$ � � &.�$� $*) & � ��� & 4 �$ � 2 � )]",� �@A@�F& ) �$� 2 ��� )]" /o) ' ) �#��� " � ����$ � ) �$�$� $*) � 2;� � � �����%A ) &��;� ��� � " � �*" $ �'&������$���'&���� � "w) & )]" 4���� "=)]" '� " � �*" ��� ) �jdEgMd 23� � � ��� $*) &;4 � � �*" � -.� �G6 ^B�#�,+ " & � �;�'+,�C� �#) �#� ��� � " � �*"w$ �'&������$���'&������ " � ��� �<dzgMd23� � � ��� )]",� � ��� � ).2;�I) �H� � ��� � � " � 2 � ���I$ � ) �$�&� $*) � 23� � � ���GA ) &�� ��� & $\� � ��� �<dEg[d 2;� � � ��� �#) �H� ���� ).2;� � " � �*" � ) �+� ���f$ � ) �$�&� $*) �7�<d 2;� � � ���J�'& /<� � $=� ���D���!4 ) � � �@6

Y �#) ��� �*"[$ �'&.� ) �1& � � `-.� &v+ 2;�*" � $*) � � 3�� �*" � 23� &@�$�8�F&@� �*9."=) � � � 4('P� �#� � / � 2s) �1& $ � ) �$� � �8��� 7 � �9." �'+ � 2;� � � �����*A%� ��� g )]9 &v+��C� �*" � � � � 3�� ) &��$���'& ) &��;� ��� �<dzgMd 2;� � � ���@A��1&.� " ���#+ $\� ���F&�� ��� � ",�*- ���'+��$(�#) ��� �*" �%6@�R4A� �*",-]) �$���'&�� /o�*",�823) � �;",�*9')]" ���1& 9 � ��� � " � �*" ��� "=23) & $\� �F& $ � 2 � )]" ���$�'&6���I� ���8$ � ) �$�$� $*) ��F&@� �*9."=) ��� " ���,+ $=��) ��� ��� �j+#& 9.��� df+,��� )M2;� � � ���@A ) &��F� ��� � ) +��$� 2;� � � ���@A ) ���C���U� ��� � ).23� � " � �*" �) &�� $ �'&���� ) &.�1��� � �A�$�� � � 6

�����B `" ���L� / � � 3�� �*" � 2;� &.�$�L�1& - ��� -.� � � ��� �1&.� �*9."=) �$���'& ���0� ��� �#)]"=2 �'&�� $ ��� $ ���?� ) ��� "|) &�� ���8� ���� �#",�*� ��� 2;� &��$���'& ) � 7 � ",� &� �%c + ) �$���'&��%6 ����� � � "=23�*"�/o) �X����� -.� �:+��$�1& 9 � ��� g )]9 &l+��X� �*" � � � � 3�� ) &��$���'&GA) &��K� ��� � ) ��� �*"3/!) �:� � �$� 9 & � �K��� � �%2 �'&��$� "=) � �B� � / /��B$*) & "=� �#+ $\� � ��� �<dzgMd5��� " + $ �,+ ",� ���F� ���� ).2 ���?� )]" ��� "=2 ���C� ���~$ � ) �$�$� $*) �(�<+#& 9.��� df+,��� )|2;� � � ���@6=� ��� � � �#�~�#)]"(2 �'&�� $ ��� $ ����� ) ��� " AV� ��� g )]9 &v+��� �*" � � � � 3�� ) &��$���'& / � "=0.� �/� )%- �'+ "=) 4A��' /j��� & $ � 2 � )]",� � / ��� � 4���� � � ��� �<+#& 9.��� dE+,��� );) &��J� ��� � ) +��$�23� � � �����*6g �%) & /<� ��� � A=�`+ � ���Q� ��� � � &��$���$� -.� � � � � &�� � & $\� �'& �1&����$� ) � $ �'&������$���'&��*AD�1&.� �*9."=) �$�1& 9 � ���7 � ",� &� �%c + ) �$���'&��J� � � /o� � $ � �%)]" ��' � �`) �J� ����$ � ) �$�&� $*) � �<+#& 9.��� df+,��� )�2;� � � ��� ��� 3 � � � " � �*"M) &���$� � ���$�� � A /!) �<&����X� ��� � � �%) � �F&@� �*9."=) ��� " ���s+�� �E/<��� &J����� - �1& 9 � � �?�8� )]" �$� $ +�� )]" �,'v& ).2 � $*) � ��'*��� �%2 6

����� � � � " � � 3�� �*" � 23� &@�3�F& Y �`) ��� �*"�~/!) �9� � �$� 9 & � �E���;� � � / � ���I) � -]) &@� )]9.� ���y+��&�1& 9 � ��� �<dzgMd23� � � ���P� -.�*" � ��� ��� �#�*"I$ � ) �$�$� $*) �-�1&.� �*9."=) ��� " �*6 ���#� �����1+��$���'&�� q �,rD��� ) & � � �%2;� &.�1���3� ��� ��� �%$ � ) �(� "��� � � 9 �'& ) � 23) � " �C3 7 � �f9." �'+ ����� q i r(A ) &����6��� )s23) �P� " � 2 ��� q i rX���<���$� $ � ",",� �����'&����F& 937 � �~) � 9.� 4 "=)��� q i r(6 � � � 3�� �%$ � � �@A(� ��� �jdEgMd 2;� � � ���L�,+ $*$\� �$���D+�����'�� ",� � �*",-.� �L� ��� � " � � � 9 �'& ) �����R' ) &��3+#&���� � � � �*"��2 �1& ) &.�X����� ��� &v+ 2;�*" � $*) � �����1+,�$���'&�� q �,r� -.�*" � ��� �1&.� �*9."=) �$���'&@� �*" �����@Av4`+,��&v+ 2;�*" � $*) � �����1+,�$���'&��� " � 2� �#�z$ � ) �$�&� $*) �7�<d 2;� � � ���J� ) ��� � �J��� 2;�*� �<4���� �B"=�%c +�� ",�%2;� &.�$�*6 � ������A��F&J� � ��� � 3�� �*" � 2;� &.�*A�� ��� ���$�,+ � �$ �'& $\�*" &��1& 9 � �#�E).$*$ + "=).$ 'J���#� ���E2s) � " �C3 � 3����'& � &.�$� ) � $*) � $ +�� ) �$���'&@A ) &��J� �#�E) � 9 � " ��� �`2 �'& /<� � $=� � ���g ) �$� ) 4O� +#& $ �$���'& � ��� ��

�/!) �}4 ) � � �@A /o�*",� ���,+���� � �@6 �<� ����� �%) � ���/� ���3) ������� $*) �$���'&P���H� ���3$ � 2��

� � &�� ) � � � �*"," � "f) �������$���'&I� �%$(� &�� c + � A /<� � $=� $*) &u4 � +�� � � ��� ) ��� " ��3,� 23) � � � ���;" �'+#&����1& 93�*"=" � " A ) &��4 " � � S�'<� -.�*"($ � 2;� ���$� ).$*$ + 2 +�� ) �$���'& /j��� &I� �#� ��� 2 ���X��� 23).$(� �1& � � ",�%$ ���$���'& �#) �j4 �*� & ",�%).$(��� � �1&/� ���$*) � $ +�� ) �$���'&@6w^B� /!) �5����� $ � -.�*",� �J� �`) �X� ���f$ � 2 � � &�� ) � � � �*"=" � " � �%$=� &�� c + �f$*) &B&,���X�'&���'s4 �}) ������� � �9���� �#�E$ � ) �$�$� $*) ��� $=�#�%2;� A#4`+,� ) �?���=�,+ $*$\� �$�$� +��?��'=���=� ��� �<dEg[d 2;� � � ��� ) � /o� ��� 6

����� � �'+ " � �3� 3�� �*" � 2;� &.��1& Y �#) ��� �*"�z/!) � ) ���nm �*"=� &@�$� ) � �%c + ) �$���'& /<� � $(�3�*- ��� -.� �U�'&9� ��� ��� ���*",� A) &�� /o) �C����� -.� �54.'z4V��� � � ��� g )]9 &l+��>� �*" � � � � 3�� ) &��$���'& ) &��z4('�� �#� �jdEg[d 23� � � ���G6 ��� ���(� )]" �$� $ +�� )]"� 3 ).2 ��� �B)]9') �1& � �%2 �'&���� "=) � � � � �#) �L� ���B7 � �:9." �'+ � 2;� � � ������ " ���#+ $\� &v+ 2;�*" � $*) �X�����1+,�$���'&�� /j� � $=�) � ���*",� ���<� ���;23) &�������� �@A /<� ��� � � � ��� � � " � 2 � ���;$ � ) �$�$� $*) �(�<+`& 9.��� df+,��� )b2;� � � ��� �*-.� &@�,+ ) ����' � " ����� � �)?/o) '.6

�����; & ) � � 3�� �*" � 2;� &@���1& Y �#) ��� �*"�M/!) �8� ��� �1&.� �*9."=) �$���'&F���X� �#�3" � 9 � � 4����,' �%c + ) �$���'&����1&F� ",�*�2 ���$���'&@6 � � -.� & ) � )]" �$� $ +�� )]" �F&����$� ) � ) & 9 +�� )]"<-.� ��� $ ���\' q ���*r ) &��/�1&����$� ) � �V���&���$���'&�� q ���%rH���#� ��� �.4� �%$ �+`&�� �*" � ",�*�z" ��� ) �$���'&@A@&v+ 2;�*" � $*) ���1&.� �*9."=) �$���'& $*) & 4 � �,�'& � ��� &��I���$� ) & 9 +�� )]"j-.� ��� $ ���R' q �,r ) &�� ���$������$���$���'&�� q � r ) � )f9 � -.� &=�$� 2;� � � ���_6w^ &=� � ��� $*) � � A.� ���R7 � ��9." �'+ ��!�������� q i r(A(���$� $ � ",",� �����'&����1& 9}7 � �

Page 137: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ��������� ��� � � �����

) � 9.� 4 "=) ���H��� q i r(A ) &��=� �#�<23) &�������� � � $*) &84 � � �* & � � ) �>� ��� �#+ ) ����� ).$\� ��� q i r��]A /<���*",� � �#�j) & 9 +�� )]"2 � 2;� &.�,+ 2 ���>� ���~" � 9 � �M4V���,'.A I � q �,rD��� )|$ + ",-.� �1&/� � ��� �`+ ) �"��� ).$\� 6 �<��� &@AV� ��� �jdEg[d �1&.� �*9."=) ��� "/ ��� �� 3 � � � " � �*":) &�� 3 � � ��� � �GA1�=+ $*$\� �$���D+�����' � ",� � �*",-.� � � ��� &,� "(2 ����� ���u) & 9 +�� )]":2 � 23� &@�,+ 2- I�� q �,r�-%A ) � /�� �?� ) �>� ��� &,� "=2 ��� � �#� �����$���$���'& -.�%$ ��� " - � � q �,r�-%6<�I&=� ��� ��� ���*"��#) &��@A@� ��� � ).2;� �jdEg[d�1&.� �*9."=) ��� "8/!) �s&���� ) 4�� � ��� � ",� � �*"=-.� � ��� &v+ 2;�*" � $*) � F ).2 �������'&�� ) &@A ) &�� � � ���=�?�;4 � ��� �*-.� � ��� 4 �[)��� ",�%$ � $ �'&�� �%c + � & $\� ����� ��� �1& ).$*$ + "().$ ' $*) +�� � �s4('7� ���<�*-.� &.�,+ ) � � " �����$�1& 9 ��� � ���j) & 9 +�� )]"�-.� ��� $ ���\' q �,r� " � 2 � ��� � " + � �����1+,�$���'&G6 � �0' � �*A-� ���3"=�%) ���'&F��� " � � ��� � m �%$ �;���}+#& 0 &,� / &@A ) &��F��� ",�%23) �1&�� ) &N�"� � &� " �.4�� �%2 ���;4 � ����� -.� � /<��� & ) ���A��'(�F& 9 � ��� �jdEgMd 2;� � � ���<���G�1&.� �*9."=) � � � ���I" � 9 � �s4����,' � " �.4A� �%2 �F&� "=�*�f2 ���$���'&@6

�IH�� �;QzV Q5O@N�� P<O����� ����� ��� �$���%A>�1& 23) &@' ",� ��� �%$ �*A3���;�'&���' ) 4 " � � �D�,+ 232s)]" 'F���+��� 23� ���1� ��� 4 ) �$� $ � � �%) � /<� � $=� �#)%-.�9 �'& � �1&.���P� �#� � �#� � ",� �$� $*) � ) &�� $ � 2 �{+,� ) �$���'& ) � ) ��� �%$ �$�7���1� ���:7 � �b9." �'+ � 2;� � � �����%6 ��� ���;� �%$ �$���'&� �%) ��� / ��� � ��� 2;� ���3� ��� �����$�$�14�� � �D+,�,+ ",�z/ � ",0:/j� � $=� ^ / �'+�� �I�?� 0.� ��� � 3��A��� ",� �D+ " � �#�*" 6<g/���$�1���>� �#��1&,��� "=23) �$���'& 4 � ��� / )]",� � " � 2 -_)]" ���'+�� ",� � �*",� & $\� � � " � - � � � �6�1&P� ��� 4��C4������ 9."=) � � '.A ) &��6�1&�� )]" �$� $ +�� )]" A� " � 2 � ����� 3(� "=�%2;� ��'5+�� � �D+���� ) � �*" �1&6� Z�� �aA /j� � $=� � " � - � � � � )}$ � 2 � "=�%��� &��$� -.� � -.�*",- � �*/ �'&G� ��� �=+�4 �%$ ���� 7 � �}9." �'+ � 2;� � � �����*6�I& �f2s) � " � �*-.� ���"� 2;� &.�D���-� ���E7 � �}9." �'+ �/� �#� � " ' /<� � $(�:�#) ��&,����4 �*� &/�F& $ �1+�� � �<�1&<� � ���X� ��� �$�?�*A

���D� �#� �����'& �*�*" �1& 9;/ � ",0 ��� Y " �'+ $=� ) &�� � " ���$� 23) &@6 ����� Y " �'+ $=� � � " ���$� 23) & 2;� � � ��� ) ��� " ��3,� 23) � � �� ��� ��� � ���X�1&9� ��� &v+ 2;�*" � $*) �A�1&.� �*9."=) �$���'&I�1&L� �#�f7 � �R9." �'+ � !~A /j� � $=� ���U�1& 9.� & �*"=) � 2 � ",�}$ � 2 ����� $*) � � �� �#) &=� �#� �jdEgMd � $=�#�%2;� ��� ) ��� " ��3,� 23) �$�F& 9f�%).$=� �$� � �9�1&=� ��� �?�1& �%)]"t7 � �<) � 9.� 4 "()f� 6W^B� �#) � ) �����z4 �*� &� " � -.� �=� �#) �� ����" �(��� � �L� "=�*� � ��� � " ';+�� � �=�1&G� ���j$ � ) �$�$� $*) ��� " � �*"t) & ) ��'(�&���>��� �����$�&�C4�� � ��� " � ��� Y " �'+ $=���� " ���$� 23) & 2;� � � ���@A ) &��9� �#) �X� ���*",� �?�o&��;���'+ " � � � " � �*"�2;� � � ���E���-� � ��� 0 �1&�� / ��� � ���'+ " ��� )]9.� �*A ) �X�?������$�$�C4�� �j/ ��� � � ��� �<dEg[d 2;� � � �����%6

^x& Y �#) ��� �*"3k A3� ��� g )]9 &l+��G� �*" � � � � 3�� ) &��$���'& /!) �G�1&.� " ���`+ $\� �N���6����� -.� � ��� ���1& �%)]" ���nm �*",� &.�$� ) ��%c + ) �$���'&K�1&�� c q k 6 Z r(A /j���*",� � ���|2s) � " �C3� �?��� � � � &�� � &@���'&K�$� 2;� ���'&���'.6 F+� /��*-.�*" A /<�#� &� "! q �$#��#r(A� ��� &K� �#� � " �.4�� �%2 4 �%$ � 2;� �s&,�'&����1& �%)]"~) &�� $ ������� $*) �$���'& 2;� � � ����� 2 +����;4 � +�� � �K���N����� -.��,+ $(� ���Cm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&��*6 ��� �?� ) ��� " � ).$(� �#) �<4 �*� & � 3(� � &��&� -.� ��'6� �*-.� ���"� � �@A ) &��P���+������� 2;� � � �F& 9� �#) ��^ � �"� � ^ 2s) 'b4 �I) 4A� � ���L���,+���'9�1& 2 � ",� � � � ) ��� A��F&<� ��� �D+,�,+ ",� 6� ��� � ",�*9')]" �������<� ��� �<dEg[d $ � ) �$������F&@� �*9."=) ��� " �*A ) & ) ��� �%$ � /j� � $=� �#) �}&,���R4 �*� & � 3������ ",� �)�F&

� � ��� � ���*",� AC����� ��� +�� � ���+��� ���*";$*) &,�'&�� $*) � $ �(� " ���1& ) � � �%6M^B� /!) � 2;� &@�$���'& � �K�1& Y �`) ��� �*"5i ���D� � �?�� ��� �$���%A�� �#) �;� ���|� 3����'& � &.�$� ) � 23) � ) &��N� ��� Y ) '(� � ' 23) � )]"=�8$*) ��� � � $*) &,�'&�� $*) � $ �(� " ���1& ) � � �����D� �#� #" ��� 0 �1&��G6 �����M$*) &��'&�� $*) � $ �(� " ���1& ) � � �=����� ��� � �%$ �'&�� 0 �1&�� )]",� 2 � ",�M$ � 2 ����� $*) � � �@A ) &�� �1& - ��� -.�� ���|",� ��� ).$\�%2;� &.�G���D�'& � �$�F& 9 � �s� 3����'& � &.�$� ) �H� " Y ) '*� � ' 23) �����1& 9 A / ��� � ) � " ���#+ $ ����� � 3����'& � &@�$� ) �� " Y ) '*� � ' 23) �����1& 9 �*AW4 ) � � �N�'&Q� ��� ���1& �%)]"z$ � 2 4��1& ) �$���'&Q���D� �#� 4 ) �&�����F&N� ���b7 � �|) � 9.� 4 "=)B� 6 �<���) � -]) &@� )]9.� ���D� � ��� 23� � � ���Q����� ��� �,+ " � " ���$�1& 9:"=� �#+ $ �$���'&Q�1& $ � 2 �`+,� ) �$���'& ) � $ �����*A�$�1& $\� � ���b23) � " �C3� 3����'& � &.�$� ) �-��� �%).$(�u� � �%2;� &.�0�1&P� ��� 4 ) �$��� $*) & 4 �~",� � ) �$� -.� ��' $=���%) �F��� $ � 2 �{+,� � 6#F1� /o�*-.�*" A �`+ � ���� ���8$ � 2 ��� � 3,���\' ���X� � ������� �%$ � ) �����$�0���"��� $ A#��� /!) ��� �*�%23� ��4 � ���8���P� 2 ����� � ��������� $ +��$�&���'& ) ��� ",� � � &.�*A) &��@� � � �*" � � ���D���:�����$�$�C4�� � �D+,�,+ ",� ���,+��,'.6

% + ) &.�$� `$*) �$���'&=��� � ���<) � -_) &.� )]9.�}7 � ��9." �'+ � 2;� � � ����� �#)%-.� � -.�*" � ��� � "=) �����$���'& ) � 2;� � � �������� ) ���$�) &,��� ���*"I-.�*" 'I�F&@� �*",� �$�$�1& 9 A 4`+,����� �s$ +����+�,+�4 �%$ ����� $ � -.�*" A ) &�� �1& � "=).$ �$��� � ������� �#)]" �)���<� 2 ��� �%2;� &.�� ) � " ��' ) &�� $ �'&��$����� � &.�$��'.6 �����*"=�z)]",�;23) &.' ) ��� �%2 ���$� ) � c + ) &.�$��� '*�1& 9 � ��� � �*" ��� "=23) & $\� ����&v+ 2;�*" � $*) �2;� � � �����*6 �I& � �,+ $(��) ��� �%2 ���=���;� ���B$ � 2 � )]" �����'&K��� $ � 2 �`+,� ) �$���'& ) � $ �����=�1& - ��� -.� � /<��� & +��&�1& 9 )� )]" �$� $ +�� )]" �1&.� �*9."=) ��� " ���1����� -.� ���nm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&��"� -.�*"w)<$\�*" � ) �F&-� �*" ���������,�$� 2;� 6 ^ &�� ��� &v+ 2;�*" � $*) �

Page 138: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� � � � �@� ��� � � �

� 3�� �*" � 2;� &.�$� � �*" ��� "=2;� �;�1& Y �#) ��� �*" A &�� $ � 2 �`+,� ) �$���'& ) � $ ���$� $*) � $ +�� ) �$���'&�� �`)%-.� 4 �*� &�,�'& � A 2s) �1&���'4 �%$*) +�� �E) � 23) �?��� �%$ �$���'&/�F&J� ��� � ��� �&��� $*) &#&,��� �,� ,+����$� $\� ���L�=+ $=�[)3$ � 2 ����� $*) � � �/���$�,+ � 6 � �5� "=� � � &@�*A��� ",�%23) �F&�� +#& $ � �%)]"t/<�#) � ) ��� " � ).$(� ��� 2 �����H�,+���� � �G��� "!2;�%) �,+ " �F& 9f$ � 2 �`+,� ) �$���'& ) � $ �����H��� "�7 � ��9." �'+ �23� � � �����0�1& ) � ) � "}) &�� $ �'&��$����� � &.� 23) &#& �*" A ) &�� � ��� ����� $ +��&�$���'&[4 � ��� / � " � - � � � ��� ",� ��� 2 �1& )]" '<� � �%) �) 4��'+,� /<�#) � 23�%) �,+ ",�%2;� &.�$� 2 � 9'� �3� "o2 � 9'� �t&���� 4 � �,+���� � �=� � " � ���j$ � 2 � )]" �����'&��>�����,+ $=� �1&.� �*9."=) ��� " �*6

�y"() �����$���'& ) �?��'.A"� � �"��� � +�� � Y�� �$� 2;� A /<� � $(� � � � � &����>�'&L� ��� &l+ 2 4 �*" ��� �"� �*"=) �$���'&��3���z4 � �,�'& � A) � ) 2;�%) �,+ ",� ��� $ �����9� � "b) � )]" �$� $ +�� )]" �1&@� �*9."() ��� " 6 F1� /o�*-.�*" A+� � ���=�R',� � ��� 23�%) �,+ ",�%2;� &.�<���s&,���� �#�s2 ����� "=� ��� ) 4�� �5$ � 2 � )]" �����'&@A"�&�1& $\� � ��� � �*" ��� "=23) & $\� ���H� ���s$ � 2 �`+,� �*" �'& � +�� � �0���6� �*" ��� "=2 � ����F&@� �*9."=) �$���'& $*) & -])]" '=�$� 9 &�� `$*) &.�$��'.6 � &,��� ���*"�2;�%) �=+ ",� ��� $ � 2 �`+,� ) �$���'& ) � $ �����X���3� ���R$ �'+`&@�$�1& 9 ����� ���&v+ 2 4 �*" �����D+#& $ �$���'& �*-]) �1+ ) �$���'&�� ",�%c +�� ",� �;�1& ) &G�1&.� �*9."=) �$���'&@6W^x&7� � ��� $*) � � A � ��� �%$ � ) ����'8��� " � ��� �<dzgMd23� � � ���GA(���H���H� 2 ��� " � ) &.�>��� �������$�1& 9 +���� �5/<� � $=� �?�3� ����� �D+#& $ �$���'&�l+#&�� �*"o$ �'&��$� � �*"() �$���'&@A ) &�� /<�`) � )]",�� �#�� � -.�*"=�#�%) �����A�F& - ��� -.� �G6���+ ������� � � �#) �D� �#� ���nm �*",� &@�$� ) � �%c + ) �$���'& �#) �D� �#� � ������� / �1& 9 �&� 2 ��� � ��� "=2 A

�� q �,r !� q �#r ! � q �#r ��# /<���*",� ��� !~A ��� !�� � 6�<��� &@A3���+� ���B23) � ����!�� � ���;� ��� �D+#& $ �$���'&N���u4 �:$ �'+#&.� � � � � " � ���B$ ���$� $*) � $ +�� ) �$���'&��*A ) � #" �$�9 � ) & $\� ��� / �'+�� �I� �*�%2 � �`) �1��� "j 3 � �)� " � �*"R) &�� $ �'&���� ) &@�0��� � �A�$�� � A 4V��� � � ��� �<dEg[d 23� � � ���GA ) &��� �#�b$ � ) �$�$� $*) �9�<d 2;� � � ���N�'& /<� � $=� � ���b7 � �89." �'+ � 2;� � � ���O�?�E4 ) � � �@A �#)%-.� � ��� � ).2;� &v+ 2 4 �*" ����D+#& $ �$���'& �*-_) �1+ ) �$���'&��0��� "E) &.' 9 � -.� &O��� � �N�1& � �#� �1&@� �*9."() �$���'&@6��!+,�8� � �?���.4�� �*",-]) �$���'&F��� 2 ���$� �%) ���F& 9 A4 �%$*) +�� �z/<�#� & ) �$� 2 +�� ) �$���'&/�?�5�,�'& �z/ ��� � 4V��� � 2;� � � �����+�'&I� ��� � ).2;�~$ � 2 �`+,� �*" AV���j4 �%$ � 2;� � -.�*" '�.4 - ���'+��1� �#) �1� �#� Y�� [�$� 2;� � )]0.� &)��� " � ��� �jdEg[d �1&.� �*9."=) ��� " ���1�$� 9 &�� {$*) &@�$��'J���'& 9.�*" � �#) &)��� " � ����jd �1&.� �*9."=) ��� " 6 ��� ���������#+ � ���J� ���;",� � ) �$� -.� ��'I� )]"=9.� �1& $\",�%) � � �1&P� ��� � -.�*"=���%) � $ ���������3� ��� �<dzgMd� $=���%2;� �1& $ � 2 � )]" �����'&K���F� ��� �<d � $(���%2;� 6 � -.�*"=���%) � $ ���$�L�1& $ �1+�� � �;� ��� &v+ 2 4 �*" �����"� �*"=) �$���'&��� )]0.� &9��� $*) � $ +�� ) � � � �#�<23) � " �C3 � 3��V�'& � &@�$� ) � � ��

��1&3g ) �$� ) 4GA.��� "t� 3 ).2 ��� � A@� " � �#��� 3(� "() �"� �*"=) �$���'&��

"=�%c +�� ",� �Q� � ";�*-]) �1+ ) �$�1& 9 � ���b� 3�� ",� �$�&���'&�� � 3����� /<� � $=� $ �'&.� ) �1&�� ) �,+ 2 ����� ���:) � ���F&@�7�"� �*"=) ��� " �) ���L��� � � � � �*9.",�*� 6 ��+ $=� � � � ) �?��� )]",�3� � ��� � &)�F&��$� � �~�%).$=� �1&.� �*" & ) �C��� )]9.�s$*) � $ +�� ) �$���'&��%A��1& �'& � ��� � ����H� ��� �<dzgMd 2;� � � ���@6 >#+ " � �#�*"=2 � ",� A��,+ $=� � 3*� "=):$*) � $ +�� ) �$���'&�� )]",� &,��� ",�%c +�� ",� �)� � " � �#�3$ � ) �$�$� $*) ��jd 2;� � � ���@A /<� � $(�B23)]0.� �1� ��� � -.�*"=���%) � $ �����1� � " � ��� �jdEgMd 2;� � � ���I��� 2 + $=�M� � 9'���*" � �`) &/� ��� � "$ � ) �$�$� $*) � $ �'+#&.� �*" � )]" �*6 � &,��� �#�*" 4 ) �$� $E23� � � ���I��� $ ����� $*) � $ +�� ) �$���'&@AV�?�D� ���5$ �'+#&.�$�1& 9 ���3� ��� &v+ 2 4 �*"��� 2 +����$�?����� $*) �$���'&�� ",�%c +�� "=� ��4(' �%).$=� �F&@� �*9."=) ��� " 6��o+���� � �?���R',� � ��� 2;�%) �,+ ",�%2;� &.�;� ).$\� �7� ��� � ).2;���� �s$ +����$� � � ) � $ �'+#&.�$�1& 9� � -.�*"=���%) �� $ �����$�*A*�$� 2 ����'E4 �%$*) +�� � � ��� �jdEg[d 2;� � � ��� / �?��� ",�%c +�� ",��) &=� -.�*"��/j��� � 2 �1& 9 � )]",9.� &l+ 2 4 �*" ��� 2 +����$�?����� $*) �$���'&��H�1& $ � 2 � )]" �?���'&<���L� ��� �jd 2;� � � ���@6���+ $=�B$ � 2 � )]" �����'&��� � � / � ���:$ � 2 �`+�� ) �$���'& ) �H�1& ���s$ � � & $ '6���+� ��� �<dEg[d 2;� � � ���@A / ��� � &,� /�� � 9'� �1& 9 ��� � ��� �����$�$�C4A� �9') �F&6�1&I� �#�5c + ) ����� ) �$� -.� 4 �%�#)?- ���'+ " ���H�����1+,�$���'&��*6�F � & $\� A�� ��� � ) � " & � �$�1����,+ $=� $ � 2 � )]" �?���'& ",�%23) �1&��+`& $\�*" � ) �1&@6

��� ����� �%) ��� ���D� ��� � -.�*"=) ���,��� �s$ +����$� � �A�F& 23)]0 �1& 9�$ � 2 � )]" �?���'&�� �'&0� �#� � �*" � � "(23) & $\� �����,�1&.� �*9."=) ��� " �*A) &�� � ��� �%$ � ) �?��'0�1& �*-]) �1+ ) �$�1& 9 � ���o� m �%$ �$� -.� & � �$�-��� 7 � �t9." �'+ � 2;� � � �����"� -.�*" )j/ � � � "() & 9.� ��� � " �.4�� �%2 �%6^B� �#) � ) � /!) '*�I4 �*� & ��� �8$ +����+��� 23)]0.�5",�%) �?�����$� $z$ � 2 � )]" ���$�'&��<4 � � /��*� & -])]" ���'+��I&v+ 2;�*" � $*) � 2;� � � �����*A4 �%$*) +�� �:�%).$=� �F&@� �*9."=) ��� "8�#) �G���$�7� / & �1&���� - � �#+ ) �>��� ",� & 9 � � � ) &�� /��%)]0 & � �$� � �*6�� ��� � � �#�B$ � ) �$�$� $*) �) ��� " � ).$=� A��1&.� �*9."=) ��� " � )]",�f$ �'&���� " + $ � � �<���=����� -.�}� ��� ���*" ���$�nmP� " &,�'& � ���$�Cm ���nm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&��*A ) &��� �#�*",��� 3,����� ) � �*" � � �<��� � � � �$���=� " �.4�� �%2 �*A1�=+ $=� ) ��� � � ��� � A /<� � $(� "=) & 9.� �J� -.�*" ���Cm �*",� &.�J� �*-.� ������ ��� �s$ +����$� � �*6��I& � $*) & � ��� & �*-]) �1+ ) � � � ��� � �*" ��� "=23) & $\� ����� ��� �1&.� �*9."=) ��� " �/�'& �$� 2;��$ � 232 �'&� � �*-.� ���CA ) &�� $ � 232;� &.�0�'& � ���;) � -]) &@� )]9.� � ) &�� ���s$ � � & $ ')���<���Cm �*",� &.� 2;� � � �����*6 F1� /o�*-.�*" A��=+ $=�u) &) ��� �%2 ��� ) � 23)]0 �F& 93$ � 2 � )]" �?���'&��X��� "<7 � �f9." �'+ � 23� � � �����*A,� " ��� ���*"j9.� � 2;� � " � $ �1&.� �*9."=) ��� " �*AV��� 2 � ",���� �s$ +����*6 ��� �?�8���}4 �%$*) +�� � �1&.� �*9."=) ��� " �;�1&F� � �?� $ � ) �$� )]",�8) �?� � � �$� 9 & � �F���)�$��� -.� � )]" �$� $ +�� )]" �R',� � ������ " �.4�� �%2 �%Av&,���X� �#�R/ � � �R-_)]" � � �\'9��� ���nm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&�� /<� � $=�|2 ����� $ � ) �$�&� $*) � 2;� � � ����� $*) &J����� -.� 6^x&=��� 23�<$*) � � �3�?� 0.� � ��� �<dzgMd $ � ) �$�C�����1&@� �*9."() ��� " �*A@� �#�<23) �1& ) �$�=+ 2 ���$���'&G�?�#� �#) �>'��'+ $*) & /�" ��� � � ���

Page 139: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ��������� ��� � � � ���

� " � 9 �1& ) �����nm �*",� &@�$� ) � �%c + ) �$���'&I�F&J� �*"=2 �1���>�1& &���� � �$� 23) � 9.� & �*"() ��� " � / ��� �B",� ��� �%$ �+��� 9." �'+�� ).$ �$���'&��%6��� ��� ) �$�=+ 2 ���$���'& � 2 ����� � ��� �#) �f&,��� �*-.�*" '����nm �*"=� &@�$� ) � �%c + ) �$���'& $*) &u4 � �1&@� �*9."() � � �u4.'P� ��� �jdEg[d� $=�#�%2;� A ) &�� $*)]",�M2 +����;4 � � )]0.� & ���N��� � &@�$����' ) �?������ ���B$ � 2 �V�'& � &@�$�=�?� 0.� � ���B23) &������������ A� �#�7 � �:9." �'+ � ! ) &�� 7 � �B) � 9.� 4 "=) � �F& ) � )]" �$� $ +�� )]" ��'*��� �%2 Ao4 � ��� ",�B) &.' �<dEg[d �1&.� �*9."=) ��� "b$*) &>4 �$ �'&���� " + $ � � �@6=>,� " ��� 2;� ���nm �*",� &@�$� ) � �%c + ) �$���'&��*AA� � ���D� ) � 0B2 � 9'� �j&,���j4 � �V���&�$�C4�� � 6 �����z���%)]" �+���C� �#�� " �.4�� �%2 ��� � ���1& &����1& 9s)|/!) 'I��� $ � ) �&�$����'J�\'�� � ��������nm �*",� &@�$� ) � �%c + ) �$���'&�� /<� � $=� $*) & 4 � ����� -.� �[4('7 � �89." �'+ � 2;� � � ����*A#� "32 � "=�89.� & �*"() ����'.Aw4('F��� ���*" �\'�� � ����� 9.� � 2;� � " � $ �1&.� �*9."=) ��� " �%6��}& � 4 � ��� �*-.� �� �#) � /<��� &Q�,+ $=� $ � ) �$�&� `$*) �$���'&O��� $ � �%)]" ��'�� �* & � �@A#� ��� &N� �#�|$ �'&��$� " + $ �$���'&O��� � � � ���$���#��� "~) � ) � "~) &��$ �'&��$���$� � &@� $ � 2 � )]" �����'&7��� � �*" ��� "=23) & $\� ��� 7 � ��9." �'+ � 23� � � � ��� )]9') �1&����3� ��� � "=) �����$���'& ) � 2;� � � ���� / �����4 � �V���&�$�C4�� � 6 � �5� ",� � � &.�*A � � /o�*-.�*" AA�=+ $=�[);$ � ) �$�$� {$*) �$���'&J�������nm �*",� &@�$� ) � �%c + ) �$���'&�� ",�%2s) �1&���+#& $ � �%)]" A) &��<� � ���+��� ) &,��� ���*" �V���&�$�C4�� � �D+,�,+ ",� ���"��� $I/j� � $=�b/ �'+����B4 �I-.�*" 'J�1&.� �*",� ���$�F& 9 ��� � 3������ ",� �D+ " � ���*" 6

� ��� �>",�*9')]" � ���N� �#�M� � 9'�>$ � 2�� +,� ) �$���'& ) � $ �����$�E��� 7 � �:9." �'+ ��2;� � � ����*AX�,+ $=� ) �L� ����� dEg[d� $=�#�%2;� A / � ",0 ���X�'& 9 ���1& 9 ��� ",� �#+ $\� � ��� &v+ 2 4 �*" ��� $ � 232 +,� ) ��� " ���1&J� ��� �1&.� �*9."=) �$���'& �#" � $\� �$� /<�#� &+��$�1& 9 �=+ $=��23� � � � ���*63^x& �`)]" �$� $ +�� )]" A � ��� ��� �%) ����+��$�1& 9���"=�*�87 � �3) � 9.� 4 "=) ����� ) & ) ��� �%2�� ����� 23)]0.��,+ $(� �1&.� �*9."=) ��� " � 2 � ",�8���s$ � � &.� ) &�� $ � 2�� � �$���$� -.� �1&F���'& 9 � � �*"=2 �F&@� �*9."=) �$���'&��*6 ��� ���*A ).2 �'& 9[23) &.'��� ���*" �*A.���-� ��� � �%$=� &�� $*) ��� � � ) ���*�1&;� ����$ �'&��$� " + $ �$���'&7��� 7 � �!9." �'+ �323� � � � ��� /j� � $=� ��� $ + ",",� &.�$��'8�'+,�$�$��� �� ��� � $ � � � ���-� � ���U� ��� �&���*6

� &,��� ���*"f)]",�%)b/<� � $=� / �'+���� 4 � �1&.� �*",� ���$�F& 9 ��� ��� � ��� ",� � + " � ���*" ����� ���;)���� ��� $*) �$���'&)��� 7 � �59." �'+ �2;� � � ����0��� ��'*��� �%2 �8�������nm �*"=� &@�$� ) � �%c + ) �$���'&��*A-��� ���*" � �`) &F� ���8����).2�� � � ���1& $ �1+�� � � �1& Y �#)�� � �*"� 6^ & �`)]" �$� $ +�� )]" A-��� / �'+�����4 � �1&.� �*",� ���$�1& 9 ��� $ �'&���� " + $ � 7 � �s9." �'+ � 2;� � � ����;����� � ��'6��� " � ���8"=� � � &@�$���'&���� �#� ��' 2�� � �%$ �$� $ ��� "=2 A�� " � �#�s7 � ��� � �����&���'&6��� " + $ �,+ ",� A�� " � ���3$ �'&�� �*",-]) �$���'&F��� � & �*",9 ' ) &��F���J�'&GA/<��� &<� ��� ' )]",�z)���� ��� � �9���L�F&@� �*9."=) � � � ��� F ).2 �������'&�� ) & �#" �.4�� �%2 �U� -.�*"j) ���'& 9�� �*" ����9���-�$� 2;� 6 ��" � 2� �����`",� ��� 2 �F& )]" ' / � ",0 �'&)� ���E" � 9 ���:4���,' �`" �.4�� �%2 AV��� /!) ���.4�� �*",-.� �)� �#) �+� �#��� dEgMd 2;� � � �� $*) &�#",� � �*"=-.� � �#�B) & 9 +�� )]"32 � 23� &@�,+ 2 ���1� ��� ��'*��� �%2 � -.�*" � ���:� &.�$� ",� �1&.� �*9."=) �$���'& � �*" ����@6 �!+,� /<�`) �",�%23) �1&��z+#& $ � �%)]" ��� � � / ���F��� " + $ �,+ ",� � ��� ���nm �*",� &.�$� ) � �%c + ) �$���'&GA>� " � ���:7 � �|9." �'+ �>23� � � � �GA>�,+ $=�� �#) �D� ���}� & �*",9 '<����� ��� ��'(�$� �%2 $*) & ) ���$�;4 ���`",� � �*",-.� � ) � /�� �?� 6

� �1& ) ����'.A�� ���*",�j��� ���$� 23) &.' 9.� � 2;� � " � $ �1&@� �*9."() ��� " �H��� ���*" � �#) & 7 � ��9." �'+ �|2;� � � ����*6W^R���� 2 ' � � � �� �#) �3��� 23� ��� 2 '7�D+,�,+ ",�</ � ",05/ �?��� ) ����� / 2;� ���;���,+��,';� ��� � ��� � " ' ) &�� )���� �?� $*) �$���'&��C��� )}/ ��� �*" "=) & 9.���� 9.� � 23� � " � $ �F&@� �*9."=) ��� " ��4 � '��'&��<� ���E7 � �}9." �'+ �[2;� � � ����*6

Page 140: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 141: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ���� ������� �

� � ��� � �� � � ��� ��� �

�������!)���� � &�� � �8$�� &�� )�� & � � ) 4�� ������� ",��� +�� � �!� ""�'2 � �#� &l+ 2;�*"#�1$*) � ���� �*"#�12;� &�� ��� & Y �#)�� � �*" 6� ) 4�� � � 6 Z �%$'&)(+*�,�&.-#/0/1(2/0354�/1(26879,+&;:=<)>@?A(+4B3DC1-FE93D<)G#-IHKJ�7@-F>K31(+&):=<;>@?MLONQPSR9TVU+WYXZJ�<[C07]\_^I`baA,+>9cd\Def`ga@h)i+Tj 7@-�C0(+EICk,�*@&)-l317@(mJ53nC07@-l-F/1/0(+/n*o-"CpJB-#-F>q-F,2rk7q3Ds@*�3D-tN2s9-#>�CO79,+&;:=<)>@?!(�4ZHZX2J�79<;&)-5C07@-l*o(�C1C1(+6bCk,�*@&)-lr"(2>�C0,�<)>93uC17@-/0,�C1<)(23B(�4vC179-�?+&)(+*9,+&o-F/1/0(+/k3FTvwl&;&�<)>�C1-F?+/k,mC1(2/03xs931-Fcf,�/0-'(�4.(+/kc�-#/yR9T

� d z ) + �"� g )]9 &l+ �{ | ��}n~ ��}

��| | ��}.~���}

��| | ��}.~ ��}

��|

Z+�vZm� � 6 �������������������������@��� � 6 �������������������������@��� � 6 �������������������������@���Z+�]k=� � 6 ������������Z+�=�.k@� ��� � � 6 �������������'k������ �.k'i�Z � 6 ����������������Z.Z�� �@���=�Z+� @� � 6 ��������������Z.Zm�'k.k��9�=� � 6 ����������������Z��=�@� #Z � 6 �������������������9�]i=�9���Z+�=�=� � 6 �����������������@��� �=� � � � 6 ������������������Z.Z%k ��Z�� � 6 ��������������������� 9�@���Z+�vZ��=� � 6 ������������������� i=��� � 6 ���������������������9���9�@� � 6 �����������������������'k@���Z+�]i.k=� � 6 ���������������������'k�� �.i � 6 ����������������������� k � 6 �������������������������#Z+�Z+�=� @� � 6 ������������������������Z+��� � 6 ������������������������� k@� � 6 �������������������������@�'iZ+�vZ%k��=� � 6 �������������������������#Z.Z � 6 �������������������������@��Z � 6 �������������������������#Z%kZ+�]k����=� � 6 �������������������������@�'k � 6 �������������������������@��Z � 6 ������������������������� k�ZZ+�=��Z%k=� � 6 �������������������������@�@� � 6 �������������������������@�@� � 6 ������������������������� i��Z+�vZm�'k @� � 6 �������������������������#Z.Z � 6 �������������������������#Z.Z � 6 ������������������������� �=�Z+�]k=� 9�=� � 6 �������������������������#Z�� � 6 �������������������������#Z�� � 6 ����������������������� lk �

{ "() � � � "=) � � � "=) � ���Z+�vZm� � 6 �������������������������@��� � 6 �������������������������@��� � 6 �������������������������@���Z+�]k=� � 6 �������������������������@��� � 6 �������������������������@��� � 6 �������������������������@���Z+� @� � 6 �@�.k��.i.k.i�Z���Z+�vZ��@��Z � 6 �@�.k��.k � �=��Z�� �@�����.i � 6 �@�.k 9�.i�Z%k@���'k ���Z.ZZ+�=�=� � 6 �@�.k���Z��.i @��Z%i.k��@�.i � 6 �@�.k��=�9� �� ���.k.k@���.i � 6 �@�.k 9�.k ��Z��.i�������� �Z+�vZ��=� � 6 �@�.k��=�@��Z���Z+��� ��� ��� � 6 �@�.k � ���=���@�=�'i@�.i�Z � 6 �@�.k@�vZ+� �.k.k���Zm�'k��'kZ+�]i.k=� � 6 �@�.k���Zm�9�]k��.k�Z%k � #Z � 6 �@�.k���Z����.k.i=�@�=�'i'k � � 6 �@�=�9�=���.i.i #Z��.k����'kZ+�=� @� � 6 �@�.k.k.k.k���� ��Z.Z%k.k@��� � 6 �@��Z���Z+�=��� #Z%i 9� i � 6 Z��.i.i.k.k��@�=�.k.k.i � �Z+�vZ%k��=� � 6 �@�.i k��=�@�.i k@�=�'i � � 6 �@��Z������@�]k.k �����=����� 6 ���.i.i�� i���Zm� � i��'iZ+�]k����=� � 6 Z���� 9�@�vZ���Z%i@� �=� i�� Z 6 ��Z%k k.k��.i����������'k � Z 6 �@�=�����.i�� ��������Z+� kZ+�=��Z%k=� i 6 k��.i � �.i���Z���Z������'k�� 6 Z%i ��Z��@���@�=�@������Z�� Z 6 �]k��=�'i � ��Z���������Z�9�Z+�vZm�'k @� Z 6 �.k � 9��Z��@���'k����@�.i Z 6 �.k@��� i��.i��.k k=� i k 6 �=���'i.k ��� 9�@�=�@� kZ+�]k=� 9�=� Z 6 �=�@�����@� �=�@��� 9� �9�]i Z 6 ��Zm�@����Z%i k����@�=�'k�� 6 �=�@�]k.k��=� 9��Zm�'k=���=�

� ) 4�� ��� � 6 k A � 6 i A � 6 A ) &�� � 6 �|$�� &�� )�� & ",��� +���� ��� ""�'2��Y� � -�� & 9 � c q 6 � r � &�� �%$ � � � & 6 i]� ""�'2�� � ! �� ���Y� ! Zm� A{+ �#� & 9�� &�� �*9."=) � �."#� � ���,$ + �"�,� � � &�� �%$ � � � & 6 i 6 is) &�� � �%$ � � � & 6 i 6 6

Page 142: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� ������� � ���� � � ��� � �

� ) 4�� � � 6 k ����-F31s@&;C03B4�/0(+6 (+/0<;?2<;>9,+&���� R 6 -#C17@(�c T{ � � � q �#r | ��� �f~u^ � |Z+�vZm� Z 6 ����������� �.i.k #Z 9��Z+�@� � 6 �����������@��Z���Z� k.k'i �.i9���Z+�]k=� Z 6 �������������'i=�@�=�@�#Z.Z%i@� li � 6 �������������'i.k�Z���Z+�=�@�.i i@�Z+� @� Z 6 ����������������Z��=�@��� �'i.i@� � 6 ���������������'k=���'k��@�.i@�9���Z+�=�=� Z 6 ������������������Z.Z��9�@� �9� �@� � 6 ������������������Z%k ��Z.Z�� ���Z+�vZ��=� Z 6 ���������������������9� #Z��@� li � 6 ���������������������9�=�����@� i��Z+�]i.k=� Z 6 ����������������������� 9���9� � 6 ����������������������� �� �.i ���Z+�=� @� Z 6 �����������������������9�'k�� k'i � 6 ������������������������� @�'i#Z.ZZ+�vZ%k��=� � 6 � � � � � � � � � � � � �����9�=� � � 6 ������������������������� k@���@���Z+�]k����=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@�@�=��� � 6 �������������������������#Z�9� �Z+�=��Z%k=� Z 6 �����������������������9��� lk�Z � � 6 �������������������������#Z��.k k@�Z+�vZm�'k @� � 6 � � � � � � � � � � � � �����@�@�@� � 6 ������������������������� i@�]i 9�

{ | ��}v~ ��}��

| "() � � �Z+�vZm� � 6 �����������������������9�����@���@� � 6 �������������������������@�����9���Z+�]k=� � 6 �����������'k�����Z+�=� i�Z��@��Z � � 6 �������������������������@�����9���Z+� @� � 6 ��������������Z��@��� �9�=�'i'k���� � 6 �@��Z��.i@�=� 9�=�@��Z��9�����9� Z+�=�=� � 6 ����������������� ����Z2���@�.k ��� � 6 �@�.k.k=�@�.k=�@� � #Z?k=���9���Z+�vZ��=� � 6 �������������������@��Z k�Z.Z?i � � � 6 �@�.k.i��=�@�@� �.k �.i �@� �.i@�@�Z+�]i.k=� � 6 ���������������������'i9�.k�Z+� ��Z � 6 �@�.k i@�=�@� #Zm��� k=� 9�Z+�=� @� � 6 �����������������������lk.i�� �.k � 6 �@��Z+�]k ���.i����.i=�@�9�=��Z2� �Z+�vZ%k��=� � 6 �����������������������9�'k=� k�Z+� � 6 �@���������@�=���=�@� 9� 9��Z+�@�Z+�]k����=� � 6 �����������������������9��Zm����� � � 6 �.i.i�Z+�]i 9� ��� �=�@�@� �����vZZ+�=��Z%k=� � 6 �����������������������9��Z���Z%i Z 6 ���=��Z�� #Z�9��Z+�]k��'i 9�9� Z+�vZm�'k @� � 6 �����������������������9�@��Z2�]k'k 6 k@��� �@� 9�=�@�.i@���vZ���]i#Z��

� ) 4Z� � � 6 i ����-t3Ds9&[Ck3B4�/1(26���� R 6 -"C179(=cMJ�<;C17�r#(+6 E�-F>930,mC1-tc%-F/1/0(+/�,2c@c�<;C1<)(+>�T{ � � � q �#r | � � �f~u^ � |Z+�vZm� Z 6 ����������� �.i.k #Z 9�.k�Z.Z+� � 6 �����������@��Z���Z� k.k'i �@�@�=�Z+�]k=� Z 6 �������������'i=�@�=�@�#Z.Z%k9�=�@� � 6 �������������'i.k�Z���Z+�=� ���]iZ+� @� Z 6 ����������������Z��=�@��� �9�=��� � 6 ���������������'k=���'k��@� 9� i��Z+�=�=� Z 6 ������������������Z.Z��9�@� �@�@�.i � 6 ������������������Z%k ��Z%k.i9��ZZ+�vZ��=� Z 6 ���������������������9� k=� k��9� � 6 ���������������������9�=����Z+�@��ZZ+�]i.k=� Z 6 ����������������������� 9�=� ���@� � 6 ����������������������� ��=�9��Z��Z+�=� @� Z 6 �����������������������9�'k�� �@� � � 6 ������������������������� i #Z2���Z+�vZ%k��=� � 6 � � � � � � � � � � � � � ���9��� � � 6 �������������������������#Z������ �Z+�]k����=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��Z.Z?i � 6 �������������������������#Z+�]i#Zm�Z+�=��Z%k=� � 6 � � � � � � � � � � � � � ���@� ��Z � 6 �������������������������#Z+�]i����Z+�vZm�'k @� � 6 � � � � � � � � � � � � � ���@� ��Z � 6 �������������������������#Z+�]i��vZ

{ | � } ~ � }��

| "() � � �Z+�vZm� � 6 �����������������������9�����@���@� � 6 �������������������������@�����9���Z+�]k=� � 6 �����������'k�����Z+�=� i�Z��9�=�@� � 6 �������������������������@�����9���Z+� @� � 6 ��������������Z��@��� �9�=�'k9��� � � 6 �@��Z��.i@�=� 9������Z+���@�������Z+�=�=� � 6 ����������������� ����Z2���@������Z � 6 �@�.k.k=�@�.k.k@�vZ+�=�=� ��� �9�.kZ+�vZ��=� � 6 �������������������@��Z k�Z.Z���� i � 6 �@�.k.i��=� 9� ��Z�� ��Z?i.k=�9�9�Z+�]i.k=� � 6 ���������������������'i9�.k�Z��� � 6 �@�.k i�Z.Z����.k�� 9�@�@�=� 9�Z+�=� @� � 6 �����������������������lk.i��9�]i@� � 6 �@�.k ��]k��.k��=�'k�Z��'i 9� �Z+�vZ%k��=� � 6 �����������������������9��Z���.i'k � 6 �@�.k�� 9�@�=����Z�� i@� 9�9�.kZ+�]k����=� � 6 �����������������������9�����9�@� � � 6 �@�����@�����9�=� 9��Z+�.i��#Z�Z+�=��Z%k=� � 6 �����������������������9�����#Z� � 6 Z�� k����=�'i ���@�=�.k9�]k � �Z+�vZm�'k @� � 6 �����������������������9�����@��� k � 6 ��Z%k=��Z�#Zm�@� ��vZ�li@�]i ��Z

Page 143: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ���

� ) 4Z� � � 6 ����-t3Ds@&;C03B4�/0(+6 (+/0<;?2<;>�,�&���� � � R 6 -"C179(=c�T{ � � � q �#r | � � �f~u^ � |Z+�vZm� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��Z'Z%i � 6 �������������������������`Z+��Z�� �Z+�]k=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� �.k � 6 �������������������������`Z������9�Z+� @� � 6 � � � � � � � � � � � � � � �@�@�=� � 6 �������������������������`Zm�9� ��Z+�=�=� Z 6 ��������������������������� �@�@��� � 6 �������������������������lk.k'i��@�Z+�vZ��=� Z 6 �������������������������@�'k 9�'i � 6 ���������������������������.i��@�9�Z+�]i.k=� Z 6 ������������������������Zm� i o�]i � 6 ������������������������Z2�.i@� lkZ+�=� @� Z 6 ������������������������Z����Z��@� � 6 �����������������������'k k.k@���@�Z+�vZ%k��=� Z 6 �����������������������'i.k � �@��� � 6 ����������������������� o� �� lkZ+�]k����=� Z 6 ����������������������� 9�@���'k�� � 6 �����������������������@�#Z.Z?k�� Z+�=��Z%k=� Z 6 �����������������������'k=�9�=�9�@� � 6 ����������������������� vk.k��@� Z+�vZm�'k @� Z 6 �������������������������'k �@��� � 6 ������������������������Z i ����@�

{ | ��}n~ ��}��

| "=) � � �Z+�vZm� � 6 ���������������������������@���@��� � 6 �������������������������9���@���@�Z+�]k=� � 6 �����������'i�Z��������@���.k �� � � 6 �������������������������9���@���@�Z+� @� � 6 ��������������Z��������@���#Z��9�vZ � 6 �@�.k�Z+� i��@� �����9���9����ZZ+�=�=� � 6 ����������������Z%k.i �����@�.i@�@� � 6 �@�.k.i.k ���@���=� 9� vi��@� liZ+�vZ��=� � 6 �������������������9��� @�@�@���'i � 6 �@�.k i@�]i=�'i����@�=� k��9�vZ+�Z+�]i.k=� � 6 ��������������������� 9��� �=�9� � 6 �@�.k �=�9�vZ�� 9��Z�� vk����9� �Z+�=� @� � 6 �����������������������'i@����� 9� � 6 �9�����=���@�]i�Z+���@��� k�Z'Z%k Z+�vZ%k��=� � 6 �����������������������'i��@�@�=� � � 6 ����� �� �=�@���.i #Z2�.i��@���Z+�]k����=� � 6 ������������������������Z�� ���'k�� � 6 i����.i�� ��Z�9�.i=�@�#Z�li��'iZ+�=��Z%k=� � 6 ����������������������Z%k���Z��9��� � 6 ��Z������@���=��Z����@� � �@�����9�Z+�vZm�'k @� � 6 ����������������������Z.Zm�9�@� 9� � 6 ������Z��� �����.k�Z�9� k�� � o�

� ) 4Z� � � 6 � ����-t3Ds9&[Ck3y4�/1(26���� � � R 6 -"C07@(�cMJ�<[C07fr#(+6 Eo-#>930,mC0-FcA-#/0/1(2/y,2c@c�<;C1<)(+>�T{ � � � q �#r | � � �f~u^ � |Z+�vZm� � 6 � � � � � � � � � � � � � �9���@�'k � 6 �������������������������`Z+�.k��@�Z+�]k=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� ��Z � 6 �������������������������`Z+�.i@���Z+� @� � 6 � � � � � � � � � � � � � �9���@�'k � 6 �������������������������`Z+�.i��@�Z+�=�=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� ��Z � 6 �������������������������`Z+�.i��9�Z+�vZ��=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� ��Z � 6 �������������������������`Z+�.i���ZZ+�]i.k=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� ��Z � 6 �������������������������`Z+�.i�� Z+�=� @� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@�@���=� � 6 �������������������������`Z+�.k����Z+�vZ%k��=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� ��Z � 6 �������������������������`Z+�.i�� Z+�]k����=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� ��Z � 6 �������������������������`Z+�.i��'iZ+�=��Z%k=� � 6 � � � � � � � � � � � � � �9�vZ'Z%i � 6 �������������������������`Z+�.i liZ+�vZm�'k @� � 6 � � � � � � � � � � � � � �@��� ��Z � 6 �������������������������`Z+�.i@�.k

{ | � } ~ � }��

| "=) � � �Z+�vZm� � 6 ���������������������������@���@��� � 6 �������������������������9���@���@�Z+�]k=� � 6 �����������'i�Z��������@���=�@�'k.i � 6 �������������������������9���@���@�Z+� @� � 6 ��������������Z��������@���#Z���Z%k � 6 �@�.k�Z+� i���� i@� o� ��Z+�=�=� � 6 ����������������Z%k.i �����@��� � � 6 �@�.k.i.k ���=�@�.i.i.i�� ���@����ZZ+�vZ��=� � 6 �������������������9���]i@�=�9����Z � 6 �@�.k #Z%k �.i�� � 9�.i��vZ?k.k@�Z+�]i.k=� � 6 ��������������������� 9�.i'k.k9�=� � 6 �@�.k 9���=� ���.k��=�'i��=��Z%i Z+�=� @� � 6 �����������������������'i=�#Z��'i.i � 6 �@�.k 9�.k�� 9�=�'i=� �9���'i � Z+�vZ%k��=� � 6 ��������������������������Z+� � 9� � 6 �@�.k@� �@�=�.i.i.i�� vk��@�@�@�Z+�]k����=� � 6 ���������������������������#Zm�9�@� � 6 �@���@���]k �.k � 9�@�]k��=�@�.k@�Z+�=��Z%k=� � 6 ���������������������������@��Z'Z%i � 6 Zm�@�����.i 9� �.k@�=���9� ��@���Z+�vZm�'k @� � 6 ���������������������������@��Z+�@� Z 6 9�=�@�.i=�@�.i@�]i���� �9�.k9�=�@�

Page 144: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� ��� ������� � ���� � � ��� � �

� ) 4Z� ��� � 6 � A � 6 � A ) &�� � 6 �|$�� &9� )�� & ",��� +�� � � � ""�'2�� &�� �*9."=) � � & 9 � ���~"#�C9@� �M4 � ��� �`""� 4Z� �%2 � & � c q 6 k�� r) &���� c q 6 i.i r � "#�'2 � �%$ � � � & 6 � 6 � 6 � � �1+ � � � & ��� & $ �1+�� � � ���E) & 9 +�� )]"<-.� � �v$m� ������� q � r ) &�� � ��� �.�@�"� � ��� &-.�%$ � �." �� q � r ��� � �#� 4 � ���.A � ""�'2 � � ! � � ���Y� ! Z�vZm� 6

� ) 4Z� � � 6 � ����-t3Ds@&;C03l4�/0(+6 ��� Rq6 -"C07@(�cf4�(+/�C179-�/0-FrYCk,�>@?2s@& ,�/5*@&)(�r �f<;>�s9>93pCk,�*@&)-!4�/0-#- /1(+C0,�C1<)(+>�X�J�<[C07��lPSa�WB`� a@h a2U������@a9h;i�� T

{ | � } ~�� }��

| � "=) � � � | � } ~ � }��

| � "=) � ���Z+�vZm� � 6 ������������������������� � 6 ������������������������� � 6 ������������������������� � 6 �������������������������Z+�]k=� � 6 �����������@�.i #Z�����Z � 6 ������������������������� � 6 �����9�=�=�@���=�9�=��Z%k � 6 �������������������������Z+� @� � 6 �������������'i�� � ��� � 6 �@�@�]k ��� #Z�� � 9� � � 6 ������� 9���.k.i �@�=��� � 6 �@�.k�� ���@�]k �����.kZ+�=�=� � 6 ���������������'k.i i.k � 6 �@����Z���Z%i.i�Zm��Z%i=� � 6 ���������'i=�@�.k�Zm�@��� � 6 �@�.k���Z%k��=���@�������Z+�vZ��=� � 6 ������������������Z� �@� � 6 �@�.i�� �=�9�]k�� k � 6 ������������Z��=�9�=���.i � 6 �@�.k��=�'i�Z.Z%k�������ZZ+�]i.k=� � 6 ��������������������� � � 6 �@�.i.k=�@���@�]k��=� �=� � 6 ��������������Z.Z��.k.i=� � 6 �@�.k��=���9���]i�Z%i��.kZ+�=� @� � 6 �����������������������@� � 6 �@�.k����=�@�=�����9� 9� � 6 �����������������9� 9��Z � 6 �@�.k��=���'k.i�Z������ �Z+�vZ%k��=� � 6 ������������������������� � 6 �@�.k@�=���.i�Z��=��Z��@� � 6 ������������������� 9��� � 6 �@�.k � ��� 9� � #Z

� ) 4Z� � � 6 � ���5-F31s@&[Ck3�4�/1(26 ��� � � Rl6 -#C17@(�c J�<[C07�C07@-x-���E�(2>@-#>�C1< ,�&=6I,�E�4�(+/vC179-B/0-Fr"C0,+>@?+s@& ,�/�*@&)(=r ��<)>�s9>93pCk,�*@&)-4�/0-#-�/0(�Ck,mC0<;(2>�X��lPSa2Wu`�� a@h a2U������@a@h)i�� T{ | � } ~�� }

��| � "=) � � � | � } ~ � }

��| � "=) � ���

Z+�vZm� � 6 ������������������������� � 6 ������������������������� � 6 ������������������������� � 6 �������������������������Z+�]k=� � 6 ��������Z%k@�=�@�vZm���@� � 6 ������������������������� � 6 ���������9�vZ� �@�]i��@� � 6 �������������������������Z+� @� � 6 �����������@��� 9��� @� � 6 �@�����.k �.i�� 9��Zm��Z � 6 ����������� ��]i.i��.k�� � 6 �@���.k=�9���'i.i i��.iZ+�=�=� � 6 �������������@� ���.k�� � 6 �@� i�Z+�=� 9� ���@�=� � 6 �������������'i=�'k � @� � 6 �@�.i � �@�=�=�9�]k����.kZ+�vZ��=� � 6 ���������������'i 9�=�@� � 6 �@�.i.i.k��.k ��� k���� � 6 ����������������Z���Z%i � 6 �@�.i�Z��.i�Z.Z%i������@�Z+�]i.k=� � 6 �����������������'k�Z�� � � 6 �@�.k�� �.k ���.k@��� �=� � 6 ������������������Z%k=��Z � 6 �@�.k���Zm�@� �=�@�����.kZ+�=� @� � 6 ��������������������Z%i@� � 6 �@�.k�� ��Zm���'i �=�@�@� � 6 ���������������������9�=� � 6 �@�.k��.i.k@���=��Zm�@�.kZ+�vZ%k��=� � 6 �����������������������@� � 6 �@�.k���Z+�]i��.i=�@��Zm� � 6 ����������������������� � 6 �@�.i.k��������.i�Z������

� ) 4Z� � � 6 � � ��-F31s@&;C03�4�/1(26 ��� � � R%6 -#C17@(�c]J�<[C07�C179-��B, �=&)-��f6I,�E�X�4�(2/lC07@- /1-trYC0,+>@?+s9&),+/l*@&)(�r �M<)>ds9>93pCk,�*@&)-4�/0-#-�/0(�Ck,mC0<;(2>�X��lPSa2Wu`�� a@h a2U������@a@h)i�� T{ | � } ~�� }

��| � "=) � � � | � } ~�� }

��| � "=) � ���

Z+�vZm� � 6 ������������������������� � 6 ������������������������� � 6 ������������������������� � 6 �����������������������@�Z+�]k=� � 6 ��������Z��@���]i�Z+�=� � 6 ������������������������� � 6 �������@�.k @��Z��=�@��� � 6 �����������������������@�Z+� @� � 6 ����������Z.Z�9��Z��.k�� � 6 �9�]k���� 9����� � 9�@� � 6 ���������'i�� 9�������@� � 6 �@�@���]k�Z.Z%k.k��@�vZ �Z+�=�=� � 6 �������������9�=�.k��@�]k � 6 �@������� ���.k � �.i���� � 6 �����������'k.k����.i���� � 6 �@�.i �.k=� ����Z�� ���9�Z+�vZ��=� � 6 ��������������� �� �.k � � 6 �@�.i��@�=�����@�=�@� �.i � 6 ��������������Z� k@�]k�� � 6 �@�.k �.k�Z�� i=�9�Z+�]i.k=� � 6 �����������������'i=��Z�� � 6 �@�.k � �.i�Z�9���=�'k � 6 �����������������@� � @� � 6 �@�.k��.i �.i k�� ���@�Z+�=� @� � 6 ��������������������Z�� � � 6 �@�.k@�]k.k ���=�'i �@� � 6 �������������������@��� � � 6 �@�.k�����Z.Z���Z���Z�� �Z+�vZ%k��=� � 6 ����������������������Z.Z � 6 �@�.k��.k��@�=�.k��@�vZ.Z � 6 ���������������������'i � 6 �@�.k��.i������ 9��Z��'i

Page 145: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

������� �����2� �

� ��� � � ��� �

�������!)���� � &�� � �8$�� &�� )�� & ���"�'2;�q��� � ��� g ) �"� ) 4 $�� � ����/�"F� �Y� � & � �." � ��� &v+ 2;�*"#�1$*) � ���� �*"#�12;� &�� �!� & � �#�� � m �*",� &�� � �%$ � � � & ����� Y �#)�� � �*" 6

H=J ���OGSUP� ;L���� X�� L������oV PjO@X�����!� � ��� � /�� & 9 g ) �"� ) 4 $�� � � ��� � �#��� & � � � � �]���G) & � &�� �*9."=) � �." 4 )�� � � � &]� ��� � ���." � �*" g )]9 &l+ �'� �*"#�1������ �{) & �"� � & � & Y �#)�� � �*"jk A`+ � � � � �d�Y� � -.� � ��� � � m �*",� &�� �1) � �%c + ) � � � & � & � c q 6 i r(6������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%��'&(!)%*�)!,+.-)%��/!/02143�5�67���98":<;�!=#>�?+.-$#@�A+CB9D� 3 5�6���� 8*:?EF3� �7�����*!=#7%��2�=#7G�HI�/%7JK%��LHM8"!/H�NM%��O5�3�5�67���98I8*H�J=#7H=8�H�P7N=5*� 8�#7%*�2!/%I:�!�BM%7J/Q�H�J,+� %��R�7��� �"!$#7%*�K�L#�G�HIQ�-AEF3S+T!/%I�=#>�)QI-)%*�)!/1?&VUXW.Y/0,E��Z 3 5�!�J=#�P?EF3[#�8\5]�7�����*!=#7%��K�=#�G�HO�7%*�)!)5)#>��#>�)6 Z ;^! D_3�57!�J=#�PR#@�RQ�-?E`3�E� !$#>�K1a#@��N��)!M#@�LQ/H*N=H*�LQ/H*�)!\YL57J=#�5"b$G�H4!M57!]b=H�6=#@��� #@�L6]%��c8"!/H�NdE� -$#>�K1K-c��%/G"��3)�2Y)HL�"!)%7JO57!Ib=H�6=#@��� #@�L6]%��c8"!/H�NdEC-/1?&VU,WeY�0� BR1c8"!)H*N98�#�f/H� !)%��/!21K%��/!�N��)!c#>�)Q/H*N=H��)Q/H*�)!g!OY)5�G"�=H25�!2!�B=H2H*�LQK%��I!�B=HM8>!)H*NSE� -)%��/!21I-a�7%�G*��3/�KY)H)�*!/%�JO5�!2!�B=H2H*�LQK%��I!�B=HM8>!)H*NSE��h 5L8*H�Q2%*�OJ)%�%�!�8�%��I!�BLH]i)H�6/H��)Q�J/H4N=%�G7U��L%"39#�5�GjEZ�k 1 Z 3 5�!�J=#�P<;^!$#@�Klm; k"n�o�p 8*q�J�!<;�r$D n�s D�t>B9DuWZ/o 1 Z 3 5�!�J=#�P<;^!$#@�Klm; k"n�o l$8*q�J�!<;�r$D n�s D�t>B9DuW%>3�H�6/5\1 k*n�o t@BSE�tv; Z�k l Z)o D�lc8*q�J�!j;�r$D n=k*o t>Buw o E�tu; Z/o t Z k*p7Z k t Z/o D9W-/%��)!I1RH�P7N73A;�%>3�H�6)5=D7t*-=#>�AW � %��/!�N��)!I-/%��)!R�7%/G"��3/�KY)H)�*!)%7JO5*�)QI!)%*�)!2YL5�G*�LH,E!/%��)!I1K!=#>�Rl\B?W��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������O� �12�� � �%2;� &��d� ��� � +#& $ � � � & � � 3�5�67���98":?E`3 A /o� �F2�� � �%2;� &�� � � � & ) & � � ���*" �=$\"#� � � � � A �#�12�� � )]" � �� � " + $ �,+ ",� � � � � ���q� & � � ��� � � ) � � �b4 � � �?/ 6

Page 146: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � � � � � � � � �� �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������G�H�57JR5�G�G<W ��G�%L8�HK5�G�G<WT�/%�J*3 5�!RG�%��)6XW �7G)� W!��21��jW � #>��#*!$#75�G�YL5�G"�=HL8 E-��21 & p=k W o 0XW � #>��#*!$#75�G�-���1?&VU��jW Y���0,E!/�K12:��<W � �=#@�$5�G4YL5�G"�=HXEBc1 k"n�o �jW � �=#*P/H�QR8"!)H*N98�#�f/HXE!�8@N=5*�R1 &(!���� B�V!/��0��W � Y)H)�*!)%7JK%��M#@�LQ�H�N=H*�LQ�H��)!\!2YL5�G*�=HL8 E!)%��/!)rI1I!$8@N$5"�AW ��� !)57J�!=#>�)6� =5767���98_3$H�!�BL%�Q,E-)%��/!)rI1I-����W����3v8"!/H�NL1 ;�!�� p !��$D n BAW!R1I!$8@N=5*�,; k DvW � #>��#*!$#75�G/#�f/H4YL5�J$#�5"b$G�H=8 E-R1I-��jW�/%�Jc#\1 k �(���73u8>!)H�N

&(!)%*�)!�N��)!X+T-)%*�)!�N��)!�0]1g3 5767��� 8*: ;�!,+C-,+.B9DuW � 8�%�G7Y)H\Q�-AEF3-/%��/!)r ; #�l k +���D 1I-/%��)!7N��/!��W � 875�Y$#>�)6]J)HL8@�=G7!�8 E!O1I!$8@N$5"�,; #�l k DuW � ��N)Q)57!/H\J)HL8@�=G7!�8 E-O1I-/%��)!7N��/!,W

H��LQ��G�H�57J]����3u8>!)H*NK!2-a#4!)%��/!�N��)!I-/%��)!7N��/!,W�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

H�� KMP<O@NX ������EQ �oV L=P� 5X^��A��� ������������#��� � ����!#" � � � � " � ��� � " � �$��� �&%&' � ��� � � dEg[d � �)( �*�#� ��� � � ��� � ��� � 'm��+ �"�#� '�+�� � d � � ��� � ����y�*� � ��� !,+*���Q��� � �-% �.� � � ��� �]�Y� �)/ � ��� �10u�*��� �� � c %,+=� � � � �!� ��� � '�� � � � �2 k32��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�����*!=#7%��'&V!)%*�)!X+TU)%*�)!/0]1RH�P7N/J5473�4):�6�H�P�N,;^!$#>�?+ U$#>�?+_8�#*6*3 5 +TJ�BL%j+CbLH�!)5<+.BvD� H�P�N)J7473&4/:�6�H�P7NdE`3� �7��� �"!$#7%*�O�=#7G�H]��%�JO%*�=HM8"!/H�NM%��O5*�MH�P�N$G/#���#"!IJ54�3&4/:�3�H7!�B=%�Q?E� G�%7J)H*�Lf?EF3 #/8�!7B=HI����� �"!$#�%��K�L#�G�HR�7%��/!L5/#>� #@�L6g!�B=H]i/%�J/H��Lf98/q7�=57!=#7%�� 8 E�5: 5;4LH9 /13<�1�6�1>=vw"r2#>�O!7B=HR��G�5L8�8�#��75�GI��5L8*Hj+_8*%9=3?3 5?):R#�84J)H�Q�� ��H�Q\!/%@=3?):,E� 5)�"!$#�%��O1R5�Q�Q=#"!$#7%*�A+e5�G�6�H�b/JL5K#�8I�7%"3�3)�/!L57!=#*Y/Hj+ 8�%I!�B=57!@4&6)#�1>?,6/#I#>�c5�G�6/%7J$#"!�B�3 E� !$#@�R1c#>��N��)!M#@�LQ�H�N=H*�LQ�H��)!\YL5�J$#�5"b$G�H,E� U$#@�R1c�7%/G"��3/�KY)H)�*!)%7JM#>��=9w"rK5�!]b=H�6L#>��� #>�)6I%��c8"!)H*NSE� 8�#*6*3�5<+TJ7B=%j+.bLH�!)5257J)HK�7%�H����L#���#�H��/!�8\#@�O!�BLH]i)%�J/H��)f@8/q��98 E� BM1c8"!/H�N98�#�f�H�;��L#�P/H�Q�D E� !)%*�)!K12P2YL5�G*�LH257!2!7B=H2H��)QK%��c8>!)H�NdE� U)%*�)!K1M��%/G*�73)�KY/HL�"!)%�JR#>�A=vw>rK57!2!�BLH2H��)QK%��c8"!/H�NdEq�1�:jW � %�J�Q/H�J2%��B=3?\3$H�!�BL%�Q,E&F3S+V�L021c8�#�f/H ;�U=#>�vDvW� k 12f/H7J)%=89; 3d+ �vDvW � 5 ; k + k D"13�]�/%7JOH�P7N=G)#���#*!\J54\3$H�!�BL%�Q,EU�!)H>3)NR1IU=#>�Rl]� k W � G)#�HI6�J)%*��NM5/�*!=#7%��c#/8]5�Q�Q=#*!=#7%*�c#>�O!7B=HR�7G�5L8�8�#���5�GI��5)8�H,E

Page 147: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � ��� � ������� � � � � � � � � �

4 k 1OG�%�J/H��)f<;�U�!)H>3)NA+ 8�#*6*3�5<+eJ�BL%j+CbLH�!)5=DuW? k 12Q/H�P�N #@�)Yj; � k + 4 k + q�DvW� o 1 k*n�o t>B�t#? k WU�!)H"3/NO1IU$#@�Rl]� o W4 o 1OG�%�J/H��)f<;�U�!)H>3)NA+ 8�#*6*3�5<+eJ�BL%j+CbLH�!)5=DuW? o 12Q/H�P�N #@�)Yj; � o + 4 o + q�DvW�LrI1 k*n�o t>B�t#? o WU�!)H"3/NO1IU$#@�Rl]�=rjW4)rI1OG�%�J/H��)f<;�U�!)H>3)NA+ 8�#*6*3�5<+eJ�BL%j+CbLH�!)5=DuW?)rI12Q/H�P�N #@�)Yj; �=r<+ 4Lr<+ q�DvW�):21\B t#?)rjWU�!)H"3/NO1IU$#@�Rl]�L:XW4/:21OG�%�J/H��)f<;�U�!)H>3)NA+ 8�#*6*3�5<+eJ�BL%j+CbLH�!)5=DuW?/:212Q/H�P�N #@�)Yj; �L:j+ 4):j+ q�DvWYK1]B n�� tv;.? k l o t#? o l o t ?LrIl@?):$DuW � 5"N�N/J)%�PL# 3�57!$#�%��\Y� �,;^!&6*�)l k DU/%��)!I1KU=#>�RlIYXW � U�6*�)l k!/%��)!I1K!=#>�Rl\B?W�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � +�� � / �]� %&�&'�� ��� ���Z� �K����� � � � � �9� � � " � � ��� ���M� %&�&'�� ��� ���Z� ��� 57Q��,EF3 +*��� Q�H�P7N�#>�/YAE`3 2�� � � � + � �( � / � ��� � � � " 2������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%����R1O57Q�� ; �A+ Y,+ 4 D� 5�Q��XE`3� �7�����*!=#7%��2�=#7G�HI�/%7J43 5�!�J=#�PM�7%>3�3/�)!L5�!)%7J��)1/5�Q�w 4,6"�,;^Y D E� #>�O!�BLHO��G�5L8�8�#��75�GK�75L8*Hj+T!7B=HK5�G76/H*b)JL5 =vw"rR#�8I�7%>3�3)�/!L5�!$#*Y/Hj+T5�Q���w 4&6*�X;�Y D>1��g�/%�JB4���1 k E� 4a#/8�!�BLHR#>�)Q/H�P]�/%�J2!7B=HK57Q���%)#>�/!K%�NLH�JL5�!)%7JK5�Q�w 4AE#*�@4)1�13�

�O1KYXWH*�LQ#*�@4� "13�

�O1 �<WH*�LQ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%��KQK12Q�H�P7N�#>�/Yj; �?+.YX+ q�D� Q/H�P�N #@�)YAEF3� Q/H�P�N #@�)YI1a8 ��3�6��*4/1��g!/%Iq p�o��7h 6*4 n 4 �^t�57Q w 4&6*�X;�Y D� qM#/8�!�BLH2%�J�Q/H�J2%��I!�BLH9=3?]3�H7!�BL%�Qg� 8�H�QO#>��=3?5 3?AE� !�B=HO8 3 5�G�G�H=8"!]YL5�G"�=HI%��2qc#/8 o Eh H�JK1 & k4p=k*n�ock*n�� � p=k*n r3� � k*n : o � p=k*n r5�B�"! n���� 0jW ��h H�J7�=%��=G�G/# ���73)bLH�J�8 E

Page 148: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

����� � � � � � ��� �� �

#��Kq�1�1 oQ$8 ��3M12Y,W

H��LQ#��Kq�1�1/r

Q$8 ��3M12Y pak*n�o E�t75�Q�� ; �?+ YX+ k DvWH��LQ#�� ;�q�1�1�:��Cq�1�1�!=D

Q$8 ��3M12Y pak*n�o E�t75�Q�� ; �?+ YX+ k D_l k*n=k*o E�t�57Q�� ; �A+ Y,+ o DuWH��LQQO12Q=8@�73SW��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������x�Q����� � � � � �9� ��� ��� ��� � ( � +=� �*� H�P7N)J7473�4):�6�H�P�NSE`3 � �Q�Y� �)/ � ��� � 0u�*� � �� ���5%,+=� � � � � !�" �M����� � � � � ��� � �� �-+ �.� � + � +=� �M� ' �#� � � ��� � !�� ��� � ��+ � � � � � � � " 2���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������G�H�57JR5�G�G<W ��G�%L8�HK5�G�G<WT�/%�J*3 5�!RG�%��)6XW �7G)� W6)G�%*b$5�GR8�#�6"3 5gJ7B=%gbLH�!L5 W � N$5�JL5@3�H�!/H�J$8 �/%7J2!�BLH]i)%�J/H��)f@8/q��$57!=#7%*�98 E8�#�6"3 571 k �<WCb=H7!L571� n rjWCJ�B=%�1 o �jW!��21��jW � #>��#*!=#�5�G4YL5�G"�=HL8 EU��21 & k� W p�o$k W !�:�0XW � #>��#*!=#�5�G4Uj; �=D E!/�K1 k �<W � �=#@�$5�GgYL5�G*�=HXEBc1 k"n�o �jW � �=#*P/H�QM8"!/H�N98�#�f�H,E!�8@N=5*�R1 &(!���� B�V!/��0��W � Y)H)�*!/%�JK%��M#>�LQ�H�NLH��LQ�H��/!]!2YL5�G*�LH=8 E!)%��/!)rI1I!$8@N$5"�AW ��� !)57J�!$#>�)6�=5?3 3?\3$H�!7B=%�Q,EU)%��/!)rI1IU����W����3v8"!/H�NL1 ;�!�� p !��$D n BAW!R1I!$8@N=5*�,; k DvW � #>��#*!=#�5�G/#�f�HgYL5�J$#75*b$G�H=8 EUR1IU��jW�/%�Jc#\1 k �(���73u8>!)H�N � 8�%�G7Y/H\!�BLH]i)%�J/H��)f@8/q��$57!=#7%*�98 E

&(!)%*�)!�N��)!X+TU)%*�)!�N��)!�0]1OH�P�N)J54�3&4/:�6�H�P7NX;�!,+ UX+_8�#�6"3 5 +eJ�B=%<+Cb=H7!L5 +.BvDuWU/%��/!)r ; #�l k +���D 1IU/%��)!7N��/!��W!O1I!$8@N$5"�,; #�l k DuW � ��N)Q)5�!)H\J/H=8@�=G7!$8 EUO1IU/%��)!7N��/!,W

H��LQ��G�H�57J]����3u8>!)H*NK!2Ua#4!)%��/!�N��)!IU/%��)!7N��/!,W�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��� ����� �����S� ��������� �!�� �S�#" �$�%�&�('*)+�-, � � � .�%���S� ���0/ �$���1�� �2�&�"�>�433� '�� � � �65 28732:9 !�; +=�"��+���� � �,% � ���< � � � %&�&'�� ��� ���Z� ��=?>&@BADCFE:A ��� � ��� � � + � � ��� � � � " ! + �f� � %,��� � ���� � ; +=�"� +�� � % �Z� � ' � �)��� '�� �*� �*! '�% � � � � ���$G$� 2IH 2 ; � � ��� 2 ; �*� � � � ��+ � � +�� � % �I��� �d� � ��� � " � �&(J; +=�"��+��� %&�&'�� ��� � '�+*� � � � � %&��� � � +*� % � �&+=� � � / ���#�"� � � ��� + � + ��� % � � + ����� " �#� �Y� � � � �I; � � ��� +*����K�+*� 0u� +*�� � 9��@�=� ! ' � �&' ��� � � ��(���� � '�+�� '�%���+=� � � � ��� � +=� �#� � ����.� � � �9� � +�� �MLON��QP 2

Page 149: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� E � � @ =���� � ������ � � � � � ���� � >������ = � =�� � � � � �� �� � � � C � C

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%�� 8O1KH��7N�3 k ; Z D� 8����7 k =5�!�J=#��KH���N=%*�=H��/!$#75�G Y$#�5��)5�Q�HK5*N�N/J)%��=# 3�57!=#7%��dE� 8K1B8����5 k ; Z D\#/8\5"�� p �=#�G�HO# 3/N$G�H"3�H*�)!)57!$#�%��2%��2!��LH4b���#�G�! p #@�� 5�G76/%7J$#*!���3I�98�H�Qgb)U Z5: i Z�h ��%�J2!��=H�3 5�!�J=#��2H��7N=%*�=H*�)!$#75�GjE� � H�H@</%�G*��bc5*�LQ �)5*�Oi/%/5*�?+ =5�!�J=#��"!�%"3)N��)!)57!$#�%�� 8 + Z G�6�%�J=#*!��73 k�k E r p$k E�� � H�H25�G)8�%@8#���5 ,+ 8����5 o +-8����5 )r,E� !�%*N)U�J$#�6��)!�; �)D k$ ��: p�$ �4b)U : �=H9 L57!��#%L%7J54 8u+'& � �<E� ( =)H�Y=#/8�#�%�� ��!XE r ( (*) 57!/H�� k$#$ /n$k�k*n�o$k o r�� r���� o ! (�A� ��5�G�H Z b)U]NL% �LH7JK%�� o 8*%]!��$5�!c#*!$8 �=%�J*3 #/8,+ k"n�o E&V�X+�H�0I1OG�%�6 o ; �=%7J�3?; Z +5 #@�L� D�DvW841g3 5��<; �j+�H�l k DuWZ 1 Z)n�o w78 W� �)5�Q/HK5"N�N/J)%��L# 3�57!$#�%��I�/%7JOH��7NX; Z D�21 Z W�g1 k*n�o W8K1OH�U/H ; 8�#�f�H ; Z D�D lM��t Z W) 1OH�U/H ; 8�#�f�H ; Z D�D p ��t Z Wq21 � WNR1 k W��%�JB4O1 o � q

�g1a�2t ;�q p 4/l k D n ;.4$tu; o t�q p 4)l k D�DuW�21 Z t��jW���21M��t*�XW8K1�8Klc�*�XW#��\N) 1 ) lM�*�XW

H/GL8*H) 1 )cp �*�XW

H��LQNR1� NAW

H*�LQ8K1 ).- 8,W��/ �LQ/%M8���5�G)#>�)6gb)U2J/H�NLH/57!/H�QO8*q7�=57J=#>�L6��%�JB4)1 k ��8 + 8K1 8$t#8,W H*�LQ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � " � � �9� � ( � +=� �*�F� ��0 5 H��7N/J54):,E`3 +*��� �10 5 ��� � � � � � " � ����' �>����� � � +=� � � ��� �"�*� + ��� � � � � �H��7N)J74):L�7%"3/NSEF3 + � � � ��� � � + � � � � � � � " 2 � � � ��" ����� % �.� � � � �"� �)/ � � � 2 5 2[��3�� � 33� '�� � � � 5 287 ! " � �����4 ��� � E`3 ' � ����+ � � � ���52 5 2[��3 2�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 150: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

C ��� � �� � � ��� �� =

�7�����*!=#7%��'&VU)%*�)!�0I1OH��7N/J54/:<; �L#>�?+CU=#>�A+ �9D� H���N)J74):?EF3� �7��� �"!$#7%*�O�=#7G�H]��%�JO%*�=HM8"!/H�NM%��O5*�MH���N$G/#���#"!@=3?/:43�H7!��=%�Q?E� 4 ��� � E`3 ��%��)!)5)#@�98 ) 8��LH��=5"�)!2!/%M8�%/G�Y)HXE� U$#@�R12U2YL5�G"�=H25�!K!��=H�b=H�6L#>��� #>�)62%��c8>!)H*NSE� �M1c8"!/H�N98�#�f�H� U)%*�)!K1IUKYL5�G*�LH257!2!��=H2H��)QK%��I!��=HM8"!/H�NdE4 k 1 4 ��� �u; �=#@�A+.U=#>�9DuW � #>�/!)H7J��$5�GK8>!L5�6�H]YL5�G*�=HL8 E4 o 1 4 ��� �u; �=#@�Ll k"n�o t�A+ U$#@�Ll k*n�o t�dE�t#4 k DvW4Lr21 4 ��� �u; �=#@�Ll k"n�o t�A+ U$#@�Ll k*n�o t�dE�t#4 o DvW4):K1 4 ��� �u; �=#@�Ll��?+.U=#>�Ll��SE�t#4Lr=DuWU)%��/!K12U$#>�Kl � n�� E�tu;�4 k l o E�t 4 o l o E�t#4)r]lB4):�DvW � %��/!�N��)!IY)5�G*�LH=8 E��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�����*!=#7%��'&VU��LH �,+ef�021OH���N)J74):=��%"3/N,; �L#>�?+ U=#>�?+ �A+ f=#@�vD� H���N)J74):=��%"3/NSE`3� �7��� �"!$#7%*�O�=#7G�H]��%�JO%*�=HM8"!/H�NM%��O5*�MH���N$G/#���#"!IJ54/:43�H7!��=%�QX+� 4 ��� � E`3 ��%��)!)5)#@�98 ) 8��LH��=5"�)!2!/%M8�%/G�Y)HXE� �98�#>�)6M�7%"3/N=H*�9875�!)H�Q]H7J�J)%7JR5�Q�Q=#*!=#7%*�SE� U$#@�R12U2YL5�G"�=H25�!K!��=H�b=H�6L#>��� #>�)62%��c8>!)H*NSE� �M1c8"!/H�N98�#�f�H� f=#@�R12J)%����LQL#>�L6]H�J�J)%�J2H=8"!=# 3�57!)H\��J)%>3ON)J/H�Y)%*�98\8"!)H*NSE� U��LH �O1IUKYL5�G*�LH257!2!��=H2H��)QK%��I!��=HM8"!/H�NdE� fK1IJ)%*���LQL#>�)62H�J�J)%�J2H=8�# 3 5�!)H]��J)%"3[�>�)J�J)H*�)!c8>!)H�NdE4 k 1 4 ��� �u; �=#@�A+.U=#>�9DuW � #>�)!/H�J7�$5�GK8"!L576/H\Y)5�G"�=H=8 E4 o 1 4 ��� �u; �=#@�Ll k"n�o t�A+ U$#@�Ll k*n�o t�dE�t#4 k DvW4Lr21 4 ��� �u; �=#@�Ll k"n�o t�A+ U$#@�Ll k*n�o t�dE�t#4 o DvW4):K1 4 ��� �u; �=#@�Ll��?+.U=#>�Ll��SE�t#4Lr=DuW!)H�J*3c1,� n�� E�tv;.4 k l o E�t 4 o l o E�t 4LrIl@4):$D�lKf=#>�?W � !)H�J*3$1�Q/H/G�!L5U��=H �O12U$#>�KlK!/H�J*3SWfO1I!/H�J*3 p ;�U��LH � p U$#@�vDvW � �=#>�)QIJ)%*���LQ p %����IH7J�J/%�J2f,E�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � " � � �9� � ( � +=� �*�#� ! ��0 ; 0 5 +*��� ��0 ; 0 5 " � ��� ' �>����� � � +=� � � �����#�*� + ��� � � ��� � + ��� � ��� � ��+�� � �� � � � " 2� � � � " ����� % �.� � � �Q�Y� �)/ � ��� 2 5 2[��3 2�� � � � ���&+=� � � ��� ��� ��� + ��� � � ! �7��� �<EF3 ��� ( � / � � � � ��� �f� %&�&'�� � � �� � 3 � 2 7�3 ������2 7�3 � � 33� '�� � � � 5 28732��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�����*!=#7%��'&VU)%*�)!�0I1OH��7N/J54�3&4): ; �L#>�A+ U$#@� + �9D� H���N)J7473&4/:?EF3� �7��� �"!$#7%*�O�=#7G�H]��%�JO%*�=HM8"!/H�NM%��KH��7N=G)#���#*!9=3?3 5?g3�H7!��L%�Q2%��K%�J/Q�H�JK:,E� �7��� �2��%��)!)5)#@�98 ��� � ;�r=D p �L8�% ;�r=D E� 3 5"� #*�/%/G7Q�15<�1 � ;�r$D�#/8\5 3 5�!�J=#��]i=#7HI6�J/%���NSE

Page 151: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� E � � @ =���� � ������ � � � � � ���� � >������ = � =�� � � � � �� �� � � � C � �

� i$#7HI5�G�6�H�b/JL5I5/�*!$#�%��?+ G�5@3)bLQ/5 ;^Y,+ N9D"1�H��7N73A;^Y D�t@NK#>� <,E� �=#>�K1a#@��N��)!M#@�LQ/H*N=H�Q/H��/!]Y)5�G*�LH257!IbLH�6=#@����#>�L6]%��c8>!)H�NdE� U$#>�K1KU2Y)5�G"�=HK57!2!��=HgbLH�6=#@����#>�L6]%��c8>!)H�NdE� �R1c8"!)H*N98�#�f/HXE� U)%��/!21IUKYL5�G*�=HI57!2!��LH2H��)QK%��c8"!/H�NdEq21K:XW � %7J/Q/H7JK%��@=5?\3�H7!��=%�Q?E& 3S+ �)0I1c8�#*f/H ;�U$#@�vDvW� k 12f/H�J/%=89; 3S+V�vDvW � 5 ; k + k D>1��\��%�JOH��7N$G/#���#*!IJ74\3�H�!��=%�Q?E4 k 12�7�����u; �=#>�?+ H���N�3?; � k D�t"U$#>�9DuW � G/#7HI6�J/%���NM5)�"!$#7%*�O1KH���N�3?; �vD7t*U? k 12Q/H���N #@�)Yj; � k + 4 k + q�DvW� o 1 k*n�o t�dE�t#? k W4 o 12�7�����u; �=#>�)l k"n�o t��A+.H���N�3A; � o D�t*U=#>�9DuW? o 12Q/H���N #@�)Yj; � o + 4 o + q�DvW�LrI1 k*n�o t�dE�t#? o W4)rI12�7�����u; �=#>�)l k"n�o t��A+.H���N�3A; �=r=D�t*U=#>�9DuW?)rI12Q/H���N #@�)Yj; �=r<+ 4Lr<+ q�DvW�):21��SE�t ?Lr<W4/:212�7�����u; �=#>�)l��?+eH���N�3?; �L:$D�t"U$#>�9DuW?/:212Q/H���N #@�)Yj; �L:j+ 4):j+ q�DvWYK1,� n�� E�tu;.? k l o E�t#? o l o E�t#?LrIl@?/:�DvW � 5"N�N)J/%��L# 3 5�!$#�%��]Y �X;�!�6*�Ll k DU/%��)!I1RH��7N73A;�Y�D�t"U$#>�?W������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%��'&`�=H �/U,+Tf�021OH���N)J54�3&4/:=�7%>3)NX; �=#@�A+ U$#@� + �?+ f=#>�9D� H��7N/J54�3&4):L�7%>3)NSEF3� �7�����*!=#7%��2�=#7G�HI�/%7JK%��LHM8"!/H�NM%��KH��*3/N$G)#���#"!]J54�3&4R%��K%�J/Q�H�JK:j+� ��#*!��a�7%>3)NLH��98�57!/H�QIH7J�J/%�JO57Q�Q=#"!$#�%��SE� �7�����<EF3[�7%*�)!)5)#>� 8�� � �� ;�r$D p �)8�% ;�r$D E� 3 5*��#���%/G�Q�13<�1 �� ;�r=D�#�8\5 3 5�!�J$#*�]i$#�HI6�J/%���NdE� i$#7HI5�G�6�H�b/JL5I5/�*!$#�%��?+ G�5@3)bLQ/5 ;^Y,+ N9D"1�H��7N73A;^Y D�t@NK#>� <,E� �=#>�K1a#@��N��)!M#@�LQ/H*N=H�Q/H��/!]Y)5�G*�LH257!IbLH�6=#@����#>�L6]%��c8>!)H�NdE� U$#>�K1KU2Y)5�G"�=HK57!2!��=HgbLH�6=#@����#>�L6]%��c8>!)H�NdE� �R1c8"!)H*N98�#�f/HXE� f=#>�K1KJ/%����LQ=#@�L6]H�J�J/%�JOHL8"!$# 3 5�!)H\��J)%>3ON)J)H7Y$#�%��98\8"!/H�NSE� �=H ��U21IUKYL5�G*�=HI57!2!��LH2H��)QK%��c8"!/H�NdE� f21IJ)%����LQL#>�L6IH�J�J/%�JKHL8"!=# 3 5�!)H]��J)%>3 �>�/J�J)H*�)!c8>!)H*NSEq21K:XW � %7J/Q/H7JK%��B=5?\3�H�!��=%�Q?E& 3S+ �)0I1c8�#*f/H ;�U$#@�vDvW� k 12f/H�J/%=89; 3S+V�vDvW � 5 ; k + k D>1��]��%�JOH���N$G/#���#"!]J74\3�H�!��=%�Q?E4 k 12�7�����u; �=#>�?+ H���N�3?; � k D�t"U$#>�9DuW � G/#7HI6�J/%���NM5)�"!$#7%*�O1OH���N�3A; �vD7t*U

Page 152: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

C ��� � �� � � ��� �� =

? k 12Q/H��7N #@�)Y<; � k + 4 k + q�DvW� o 1 k*n�o t�dE�t ? k W4 o 12�7��� �u; �=#@�Ll k"n�o t�A+.H���N�3?; � o D�t"U$#>�9DuW? o 12Q/H��7N #@�)Y<; � o + 4 o + q�DvW�=r21 k*n�o t�dE�t ? o W4Lr212�7��� �u; �=#@�Ll k"n�o t�A+.H���N�3?; �=r=D�t"U$#>�9DuW?Lr212Q/H��7N #@�)Y<; �=r<+ 4)rj+ q�DvW�L:K1��SE�t#?Lr<W4):K12�7��� �u; �=#@�Ll��?+eH��7N�3?; �):�D�t"U$#@�vDuW?):K12Q/H��7N #@�)Y<; �L:j+ 4/:X+ q�DvW� �98�#>�)6 � �=#"J�8>!O57!�!)H"3/N)! ����#����R�)5)#7G�H�Q]!)%R# 3)N)J/%�Y/H\!��LHK5)���@�)J)5)�*UI%��c8*%/G*�/!$#�%��98 E� YO1�� n�� tu;�? k l o t#? o l o t#?)rIlB?):�DvW� Q/H�G7!)5]1m;�H���N�3?;�Y D p H7U)H ;V3S+V�vD�D7t*U=#>�\l2f=#@�AW� �=H �/UK1IU=#>�RlKQ/H�G7!L5 W� fK12Q/H�G7!L5 p ; �=H �/U p U$#@�vDvW� %�#"!�� 8 � ����H=8�8*�7�=G2��%"3)NLH�� 8757!/H�Q]H�J�J/%�JO57Q�QL#*!$#�%��I!)HL�����)q=#>�LH,EYR1�� n�� tu;.? k l o t ? o l o t ?Lr]lB?/:�DuWQ/H/G�!L5]1B8�Q=#���� o ;�Y D7t*U=#>�IlOfL#>�?W�=H ��UK12U$#>�KlOQ�H/G�!L5<WfO12Q�H/G�!L5 p ; �LH ��U p U=#>�9DuW�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � ���&+=� ��� � �10 ; 0 � �9� � ( � +=� �*�F�'� ��� � � � � ��� �.� / ��� +�� ��� � + � +=� � �Z� ��� ! � �&'m��%�� � ��( 5�Q��,EF3 ! Q/H���N #@�)YAEF3 !+*���Q��� � ' �>����� � � +=� � � �����"�*� ��� � 8�Q=#���� o E`3 2 � ��� 7 �Z� ��� + ��� � ��� � ��+ � � � � � � � " 2��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�����*!=#7%����O1M57Q�� ; �A+ Y,+ 49D� 5�Q��,EF3� �7��� �"!$#7%*�O�=#7G�H]��%�Jg3�57!�J=#��R��%"3�3)�)!)57!/%�J��/1)57Q w 4&6*�X;�Y D E� �a5*�)QIYR57J)H�3�57!�J$#���H=8� 4[#/8�!��=HR#>�)Q/H��I�/%7J2!��=HK57Q���%L#>�/!K%�NLH�J)57!)%7JK57Q w 4AE#��B4)1�1��

�O12Y,WH��LQ#��B4)1�1 k

�O1]� t*Y p Y=t>�AWH��LQ#��B4)1�1 o

�O1]� t>��t*Y p�o E�t>��t*Y$t@�]lKY=t>��t>�AWH��LQ#��B4)1�1/r

�O1]� t>��t>��t*Y p rXE�t>��t>��t*Y$t@�KlKrXE�t>��t*Y=t>� t@� p Y$t@� t@� t>�?WH��LQ

Page 153: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� E � � @ =���� � ������ � � � � � ���� � >������ = � =�� � � � � �� �� � � � C � �

#*�@4)1�1�:�O1I��t>��t>� t@� t"Y p :?E�t>��t>� t@� t"Y$t>�2l � E�t>� t@� t"Y$t>��t>� p E�E�E

:,E�t@� t*Y=t>��t>� t@�2l2Y=t>� t@� t@� t>�?WH*�LQ#*�@4 ��:

!)H"3/NO1]� t@� t>��t>��t*Y p :,E�t>��t>��t>� t"Y$t@�2l � E�t>��t>� t"Y$t@� t>� p E�E�E:?E�t>� t"Y$t@� t>��t>�Il2Y$t>��t>��t>� t@�AW

�/%�Jc#*1 !�� 4!/H"3/NO1]� t*!/H"3/N p !/H"3/N t>�?W

H��LQ�O1K!/H"3/NAW

H*�LQ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%��KQK12Q�H��7N�#>�/Yj; �?+.YX+ q�D� Q/H���N #@�)YAEF3�; #>�)Y/H�J$8�H]%��2Q/H��7NvD� Q/H���N #@�)YI1a8 ��3�6��*4/1��g!/%Iq p�o��7h 6*4 n 4 �^t�57Q w 4&6*�X;�Y D� �c5*�LQIYR5�J)H�3�57!�J=#���H=8 E� qM#/8�!��LH2%�J�Q/H�J2%��I!��LH9=3?]3�H7!��L%�Qg� 8�H�QO#>��=3?5 3?AE� !��=HO8 3 5�G�G�H=8"!]YL5�G"�=HI%��2qc#/8 o Eh H�JK1 & k4p=k*n�ock*n�� � p=k*n r3� � k*n : o � p=k*n r5�B�"! n���� 0jW ��h H�J��L%��=G�G)# ���73)b=H7J�8 E#*�2q�1�1 o

Q$8@�73M12Y,WH*�LQ#*�2q�1�1�r

Q$8@�73M12Y pak*n�o E�t75�Q�� ; �?+ Y,+ k DvWH*�LQ#*�m;�q�1�1�: �.q�1�1 !LD

Q$8@�73M12Y pak*n�o E�t75�Q�� ; �?+ Y,+ k D_l k*n=k*o E�t�57Q�� ; �A+ Y,+ o DuWH*�LQQ21KQ$8 ��3dW � %*�)!�N��)!2Q,E������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%�� 8O1B8�Q=#���� o ;�Y D� 8/Q=#*��� o E`3� �7�����*!=#7%��2�=#7G�HI�/%7JM��5�G)�@�$G�5�!$#@�L6IH��7N73A;�Y�D p &*QX+� !)%I�=#@�LQ]!��=H]J/%����)Q p %����]H�J�J)%�JOHL8"!=# 3 5�!)H2#>��=3?5 3?/:?E� Yc#/8\5 3 5�!�J=#��?E� H��7N73A;^Y Dg#�8\5*N�N)J)%��=# 3 57!/H�Q�b)U2!��LH,�L57Q/H Z N�N)J/%��=# 3 5�!$#7%*�@=j; � + � Dv+� ��#*!��[8��75�G/#>�L625*�LQc8"q7�=57J$#@�L6O8�%]!��=57!'& H��7N73A;^Y n�o w �=D"0 w o w �,E& 3S+ �)0I1c8�#*f/H ;�Y DvW��� ��5�G�H\Y]b/U]N=% �LH�JO%�� o 8�%I!��=57!M#"!�8 �L%�J�3 #�8�+ k*n�o E&V�X+�H�0I1OG�%�6 o ; �=%7J�3?;�Y,+9 #@�L� D�DvW841g3 5��<; �j+�H�l k DuW

Page 154: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

C � � � �� � � ��� �� =

YR1IY n�o w�8 W � 8���5�G)#@�L6]Y]b/U o w�8 EY o 1 Y=t*Y,W.Y)r21IY o t*Y,W.Y/:K1IY)r)t*Y,W.Y�!I1IY/:Lt*Y,W.Y � 1IY�!/t*Y,W#��a8*1�1�� � �=%M8��75�G/#>�L6I%��IYAE

Q/H*�R1KH�U)H ; 3d+ �vD pck*n�o t*Y2l ! n :�:Lt*Y oIpck*n���� t"Y)r]l k"n �$/o t"Y/: pck"n$k ! ��:3�Lt"Y�!gl,E�E�Ek*n���� ! o �3�)t*Y � W

�O1KQ/H�� - ;^YKl k*n r�rLt"Y)r\l k"n #$�o �)t*Y�!LDuW � N$5�Q�H2H���N$5*� 8�#�%��K��%�JOH��7N p &*Q,EH��LQ#��a8 "1��

Q/H*�R1 H�U/H ;V3S+ �9D pak*n�o t"Y2l ! n :�:=t"Y o]pak"n���� t*Y/r]l k*n?#$/o t*Y�: pck*n=k ! ��:��)t*Y�!4l?E�E�Ek*n���� ! o �5�Lt"Y � W

�O1KQ/H�� - ;^YKl k*n r�rLt"Y)r\l k"n #$�o �)t*Y�!LDuW � N$5�Q�H2H���N$5*� 8�#�%��K��%�JOH��7N p &*Q,E�/%7Jc#g1 k ��8

�O1 ��t �Ol o t �?WH��)Q

H��LQ8R1 �,W � %��)!7N��/!B8AE�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ��� ��� � +�� � / � �Z� ��� + ���]����� � � � � �9� � � � � ��� ��� � ��� � " � �&( � ' �#� � ��Z� � !O� � � ��� � ( � +=� � ��� � � � � ��� � �9� � +��� �3%&+=� � � � � � � �'2 5 2[��3 2���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������G�H�57JR5�G�G<WT�/%�J*3 5�!RG�%��)6XW �7G�%L8�H25�G�G<W �7G)� W!��21��jW � #@� #*!=#�5�G4YL5�G*�LH=8 EU��21 & p �,E r5� ��o�$#$�$ !�r�r�: o ��\p �,E : ��� :�� � r�! � r�! $gp �,E�� o�$�� !7: k� : : $ r W\E�E�E

p �,E�� � !?� k � o �o�� !7� o : p �,E���! $ � ��: � ��r3��� �,E !7� ! $��$ � : o :� k W]E�E�Ep �,E $ : $�� ! :� $ � $ ! $ ���XE o=k �3� ���$ � o �3� ��� �,E o r o : k ��:3��:/r � $ r�r�0jW

!/�K1 k �<W � �L#>�$5�GgYL5�G*�LH=8 E�c1 k"n$k �jW � �L#��/H�QM8"!/H�N 8�#�f�H,E!�8@N=5*�R1 &(!���� ��V!/��0��W � Y/HL�*!/%�JI%��c#>�)Q/H�NLH��)Q/H��/!\!KY)5�G*�LH=8 E� # 3/N$G�H"3�H*�)!IH��7N=G)#���#*!]J54): p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p!)%��/! k 1I!$8@N$5"�AW � 8"!/%�J)5�6/HI5�G�G�%L�757!$#�%��dEU)%��/! k 1 &V0XW � 3 5�!�J=#��M8>!)%�J/H�QK5)82�7%/G"��3/�KY)H)�*!)%7JAE����3v8"!/H�NL1 ;�!�� p !��$D n �AW!R1I!$8@N=5*�,; k DvWUR1IU��jWU)%��/! k 1IU�� ;,��DuW � k 8>!c�7%�G*��3/�R%��43�57!�J$#��O#/84U��]Y/HL�*!/%�J?E�/%�Jc#\1 k �(���73u8>!)H�N

&VU/%��)!7N��/!/0]1KH��7N/J54): ;�!X+TU,+ �9DuW � # 3/N$G�H"3�H*�)!IH��7N/J54/:?E`3U)%*�)! k ;,�7+ #�l k D 12U)%��/!�N��)!j;&� DvW � ��N)Q)5�!)H\Y)5�G*�LH=8 E!K12!)%��/! k ; #�l k DvWUK12U)%��/!�N��)!,W

H��LQ��G�H�57J]����3u8>!)H*NK!2Ua#4U)%��/!�N��)!,W

Page 155: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� E � � @ =���� � ������ � � � � � ���� � >������ = � =�� � � � � �� �� � � � C � �

� # 3)N=G�H>3�H��/!2H��7N$G/#���#*!]J74): �$#*!��[��%"3/N=H�� 875�!)H�Q\H�J�J)%7JR5�Q�QL#*!=#7%�� p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p!/%��)! k ��%"3)N21I!�8 N$5*�?W � 8"!)%7JL576/HI5�G�G�%L��5�!$#�%��SEU/%��)! k ��%"3)N21 & 0jW � 3 57!�J$#*�R8"!/%�J/H�QO5L8I��%/G"��3)�2Y)HL�"!)%7JAE����3u8>!)H*NL1<;^!/� p !��=D n �AW!K12!�8 N$5"�,; k DuWUK12U��<WU/%��)! k ��%"3)N21IU�� ;,� DvW ��k 8"!R�7%/G"��3/�R%��g3 5�!�J=#��R#�8�U��]Y)H)�*!/%�JAEf21Kf/H7J)%L8v;�r<+�r=DuW � J)%����LQ p %����IH7J�J)%7J��%�Jc#g1 k � ���73u8"!/H�N

&VU)%*�)!7N��)!X+Tf��=H �/0I1OH���N)J54/:=��%"3)NX;�!X+CUX+ �A+ f�DvW � # 3/N$G�H>3�H*�)!2H��7N/J54):L�7%>3)NSEF3U)%��/! k �7%"3/N,;&��+ #*l k D 12U/%��)!7N��/!j;,��DuW � ��N)Q)57!/H\YL5�G*�LH=8 E!K1K!/%��/! k ��%"3/N,; #*l k DuWUK1KU/%��/!�N��/!,Wf21Of��=H �?W

H*�LQ�7G�H/5�J\���73u8>!)H�N2!2URfM#gU/%��)!7N��/!,W� # 3)N=G�H>3�H��/!$#@�L6\H��7N=G)#���#*!\J54�3&4): p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p!/%��)! o 1I!�8 N$5"�AW � 8"!)%7JL576/HI5�G�G�%L��5�!$#�%��SEU/%��)! o 1 & 0jW � 3 57!�J$#*�R8"!/%�J/H�QO5L8I��%/G"��3)�2Y)HL�"!)%7JAE����3u8>!)H*NL1<;^!/� p !��=D n �AW!K12!�8 N$5"�,; k DuWUK12U��<WU/%��)! o 1IU�� ;,��DuW ��k 8"!R�7%/G"��3/�R%��g3 5�!�J=#��R#�8�U��]Y)H)�*!/%�JAE��%�Jc#g1 k � ���73u8"!/H�N

&VU)%*�)!7N��)!�0]1OH���N)J7473&4/:<;^!,+ U,+ �vDvW � # 3)N=G�H>3�H��/!2H��7N)J7473�4):?EF3U)%��/! o ;,��+�#�l k D 1KU/%��/!�N��/!j;&� DuW � ��NLQ/57!/HgYL5�G*�LH=8 E!K1K!/%��/! o ; #�l k DuWUK1KU/%��/!�N��/!,W

H*�LQ�7G�H/5�J\���73u8>!)H�N2!2U[#4U/%��/!�N��/!,W� # 3)N=G�H>3�H��/!$#@�L6\H��7N=G)#���#*!\J54�3&4): �$#*!��a�7%>3)N=H*�98�57!)H�QIH7J�J)%7JO5�Q�Q=#"!$#7%*� p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p!/%��)! o ��%"3)N21I!�8 N$5*�?W � 8"!)%7JL576/HI5�G�G�%L��5�!$#�%��SEU/%��)! o ��%"3)N21 & 0jW � 3 57!�J$#*�R8"!/%�J/H�QO5L8I��%/G"��3)�2Y)HL�"!)%7JAE����3u8>!)H*NL1<;^!/� p !��=D n �AW!K12!�8 N$5"�,; k DuWUK12U��<WU/%��)! o ��%"3)N21IU�� ;,� DvW ��k 8"!R�7%/G"��3/�R%��g3 5�!�J=#��R#�8�U��]Y)H)�*!/%�JAEf21Kf/H7J)%L8v;�r<+�r=DuW � J)%����LQ p %����IH7J�J)%7J��%�Jc#g1 k � ���73u8"!/H�N

&VU)%*�)!7N��)!X+Tf��=H �/0I1OH���N)J54�3&4/:=�7%>3)NX;�!,+ U,+ �?+ f�DvW � # 3/N$G�H>3�H*�)!2H��7N/J5473�4):L�7%"3/NSEF3U)%��/! o �7%"3/N,;&��+ #*l k D 12U/%��)!7N��/!j;,��DuW � ��N)Q)57!/H\YL5�G*�LH=8 E!K1K!/%��/! o ��%"3/N,; #*l k DuWUK1KU/%��/!�N��/!,Wf21Of��=H �?W

H*�LQ

Page 156: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

C ��� � �� � � ��� �� =

��G�H�57J]����3u8>!)H*NK!2UOfM#4U)%��/!�N��)!,W�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��� � � �!��� ���� ���0/ �$�%� �� �2� � � ' � � ����� �*� ��� � � �9� � ( � +=� �*�#� " �#� �Y� � � � ������� �*� �Y� �)/ � ��(q��� � �#� ( � � � � ��� �&�"� ��� � � + ��� / ��� � �"� ��� ��+ � � ���� � ' � � ��� " � � ' � '�+*� � ��� � %&��� � � 33� '�� � � ��� 287%��� ��� ��� � ����� ��� � � � 2� � �,' � ! � � �&+���� � ��� � � �&'m� %�� � ��� �' � � �M� �*� ��� ����0 ; 0 � � ��� � � " � ��� H + ��� � � � + ����� ��(�!,+ � +*� ��� + ��� � �%��� � � " � � ' � � � � � %,'�� ��0 ; 0� �9� � ( � +=� �*�F� " � ��� � ��� ��� '�+*� � � � '�+��' �o�*� � � �,+=� ��� ! � � �Y� �)/ � ��� �-�#� ( � � � � ��� �&�"� �Z� � �-2 � � � � " ��� ��� �� �9� � ( � +=� �*� H���N)J7473&4/:�6/��57U?E`3 2��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�����*!=#7%��'& �/%*�)!X+���%*�)!/0]1RH��7N/J5473�4):�6)��5�Uj; �=#>�?+��)#>�?+ei�8u+ �vD� H���N)J7473&4/:�6/��57U?E`3� �7��� �"!$#7%*�O�=#7G�H]��%�JO%*�=HM8"!/H�NM%��O5*�MH���N$G/#���#"!IJ54�3&4/:�3�H7!��=%�QX+� %��O!��=HI6�H��=H7J$#�� ) 8O%��I!��=H]J=#�6L#�Q\b=%�Q�U?E� � 1�� ;��=D7t�� + ���LH�J/H��O#>� �� ;�r=Du+e� ;��=D>1���&)w�� p$k � �$w � p=k�� i$8 +� i�8"1)5"�L67�=G�5�J�3�%>3�H*�)!��73 #>� 8 N$5/�7HO��%�%�J�Q=#@�$57!/H=8"1=�7%*�98>!L5*�/!4Y)HL�"!)%7JAE� i)H7!� 8�!L5*4)H\i�8"1$8;�j+T!��=HR#>��#*!=#�5�G]5*�L6��$G�57J43$%"3�H*�)!7��3[#@�R!��=H�b=%�Q�Uc�7%�%�J/QL#>�=57!)HXE� !�%�%�J�Q=#>�=57!/H 3 5"N2�98*H�Q��=H7J)HO#�84!��=HK��57U)G�H7Uc�7%�%7J/QL#>�$5�!)H\%��I!��LHI�=#"J�8"!94�#>�)Q?E� �=#@�R1c#>��N��)!M#@�LQ�H�N=H*�LQ�H��)!\YL5�J$#�5"b$G�H,E� i�841c��%/G*�73)�KY/HL�"!)%�J2%��Ii�8"1$8;�K57!]b=H�6=#@��� #@�L6]%��M#>�/!)H�6�JL5�!$#�%��SE� �)#@�R1c#>��N��)! � � ;�r$D 3�57!�J=#��j+�� ; �$D"1.&*Q,E� �M1c8"!/H�N98�#�f�H,E� �/%*�)!K1"�2YL5�G*�LH257!2!��=H2H��)QK%��c8>!)H�NdE� ��%*�)!K1 � � ;�r=D_3 5�!�J$#*�K57!2!��=H2H*�LQK%��c8>!)H*NSE� #>�/!)H�6�JL5�!)H�� ^1��<;��=D�t��XE.5)�*!=#7%*�L1=�757U<;�Y D7t>NdE� #>�LH�J�!$#�54!)H�� 8�%7J2�/%7J2!��=H]J=#�6L#�Q]J/HL�*!)5*�)67�$G�57J4b$G�%)�#4AE6)G�%*b$5�G & k & o &*rjW &41KQ=#75�6 ;$& & k & o &�r�0j+��=DuW&F3S+V�L021c8�#�f/H ;��/#>�vDvW� k 12f/H7J)%=89; 3d+ �vDvW � 5 ; k + k D>1��g�/%�JOH��7N=G)#���#*!\J54]3�H7!��=%�Q?E�7!)H>3)NR1M�757Uj; � k D�t��/#>�?W � G/#7H]6�J)%*��Nc5)�"!$#�%��L1L��5�Uj; �9D�t��XE4 k 1@=��j;��7!/H"3/N t�#@�)Y<; &/D7t�#@�)Yj;��7!/H"3)N D�t"i$8�DuW? k 12Q=�757U$#@�)Y<; � k + 4 k DuW� o 1 k*n�o t��t#? k W�7!)H>3)NR1M�757Uj; � o D�t��/#>�?W4 o 1@=��j;��7!/H"3/N t�#@�)Y<; &/D7t�#@�)Yj;��7!/H"3)N D�t"i$8�DuW? o 12Q=�757U$#@�)Y<; � o + 4 o DuW�=r21 k*n�o t��t#? o W�7!)H>3)NR1M�757Uj; �=r=D�t��/#>�?W4Lr21@=��j;��7!/H"3/N t�#@�)Y<; &/D7t�#@�)Yj;��7!/H"3)N D�t"i$8�DuW?Lr212Q=�757U$#@�)Y<; �=r<+ 4)r$DuW

Page 157: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� E � � � � � � �� � ��� �� � � � C ���

�):21�� t#?)rjW��!)H"3/NO1M��5�Uj; �L:�D7t��/#>�AW4/:21@=��X;��7!/H"3)N�t�#@�)Yj; &/D7t�#>�/Yj;��7!)H>3)N D�t"i�8�DuW?/:212Q=��5�U$#@�)Yj; �L:j+ 4):$DuWYK1,� n�� tv;.? k l o t#? o l o t ?LrIl@?):$DuW � 5"N�N)J/%��L# 3 5�!$#�%��]Y �X;�!�6*�Ll k D��%��)!I1a�757U<;�Y D7t��/#>�AW � %*�)!�N��)! �56*�)l k E��%��)!I1 �L#>�Rl��?W�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � +�� � / �]� %&�&'�� � � ���Z� � H���N)J54�3&4/:�6)�757U?E`3 ����� � � � � ��� �07Q� ��� ���A� %&�&'�� � � ���Z� ��� ! =��dE`3 ! QL��5�U$#>�/YAEF3 !+*��� �757UAEF3 2 � � � ��+ � � � " � �Z� ��� + ��� � ��� � � � �,% � � � ��� � ' �&+*��( ��� � '�+*� � � � '�+�� ' �o�*� � � �&+=� ��� � �#�>� ��� ���� �.� � � ��� � +�� � + � � � ��� �0H +��o� � � � + � !�" � � � � =��AE`3 ��� + ���*� " < � � � � � � �F� ' � +=� �#� �]� ��� ! ����2 7�3 " � � ' �+*'�� � + � ��� � � + � � � � ���,! � � � � � � � " � ��� +*� � / ��� � � � � � �]��� � �#� ( � � � � ��� � ��� '�% �#�"� � � 2 � � ���'��� % ��� �� �K��� � �10 ; 0 � � ��� � �Q� �d�Y� �)/ � ��� � � � � ����� ��� � +�� � �5%,+=� � � � � � ���52 5 2 5 N�3 2������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%�� / 1M�757Uj; �vD� ��57U?E`3�7: �=H,!/57U)G�H7UM�7%�%�J/QL#>�=57!)HL8�%��I!��=HI�L#*J$8"!B4�#@�LQR#�8\5�3 5*N�N #@�L6I��J)%"3R6 p �@<,E� &"!c#/8�!��=HI�L#*J�8>!2Q=#75�6�%��$5�G �L57Q/H25"N�N/J)%��L# 3�5*�)!\!)%]!��=H2H���N=%*�=H��/!$#75�G<+� �98�H�Q]!)%]J/H�N=G�5)��H\!��LH�3 5�!�J$#*�2H���N=%*�=H��/!$#75�G2#@�O!��LHR��G�5)8�8�#���5�G =5?3 3?\3$H�!��=%�Q,E� �R143 57!�J$#*�R#>��N��)!]�dE��/ 143 57!�J$#*�2%��/!�N��/!\�SE/ 1c#>�/Yj;�H�U)H ;�r<+�r$D p �dE n�o D t ;�H�U/H ;�rj+�r=D"l��SE n�o DvW������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%�� !212QL��57U=#>�/Yj; �?+.Y�D� Q=��5�U$#@�)YAEF3�7: �=H\Q=#����/H7J)H��/!$#75�G\%��I!��LH"!/57U)G�H7U43 5"N�N #@�L6,E� Q=��5�U$#@�)Y � 6 p �]6X+� �98�H�Q]!)%]J/H�N=G�5)��H]Q/H��7N�#>�)YR#>�O!��LH2%�J=#�6=#@�$5�G =3?5 3?\3$H�!��L%�Q,E� �R1M#>��N��)!]�]3�57!�J=#��,E� YK1M#>��N��)!2Yg3�57!�J=#��,E� !I1K%��)!7N��/!2Q=�757U$#@�)Y43�57!�J$#��,E!I12Y pck*n�o E�t�5�Q�� ; �A+ YX+ k D pak*n :?E�t>� t"Y$t@�AW������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �"!$#�%��'& =)021B=��j; � D� =��dEF3� �7�����*!=#7%��2�=#7G�HI�/%7J �/J=#*!=#>�L6\!��=HK5"�L6��$G�5�JIY)H�G�%)��#*!�UIY)H)�*!/%�JO5)8\5R8 4LH � p 8"U�3�3�H7!�J$#��� 3 57!�J$#*�X+ � 8�H�QM#>�O!��LH]J$#*6=#�Q4b=%�Q�U]N)J/%�b$G�H"3 E� �O1M�7%/G"��3/�KY)H)�*!)%7JK%��R5"�L67�=G�5�J]Y)H�G�%)��#*!�UAE

Page 158: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

C � � � �� � � ��� �� =

� =R1Kr���rM8 4LH �[8"U*3�3�H7!�J=#��_3�57!�J$#���=S& �/0M#>� 8*% ;�r=D E=M1 & � p �X;�r$D �j; o DuW

�X;�r$D � p �j; k DuWp �j; o D �X; k D ��0jW

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � ���,+=�%� � �,��� ��� � +*��(>%�� + � / � � � ' � � � ��� 2 � 3 +*��� ��� ���.�@�"� � � � � �

2 � 3I��� ��� � �#� ( � � � � ���*!�" � � ��� �� � % ��� ��� �M� � �S� � " � ' �#��� � �Z� �*2 � � ��� ��� '�+ �.� ! � � ��� � �9� � ( � +=� � ��(K��� � ( � � ���#� ' �&�����.� ����+=� � � � ��� ��� � � %�� ���� �3%&+=� � � � � ������� � � � � � !�( � / � � � � � � 2 5 2 5 N�3 ! % �"� �&(d��� ����0 ; 0 � � ��� � � " � ��� ��� � H + ��� � � � + ���Z� �&( 2� � � � ���,+=�!��� � �#� ( � � � � ��� ��� + ��� '���+*��(>%Z��+ � �Z� � ' � � � �,� � � � � 33� '�� � � � 5 2[�32[�32���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������G�H�57JR5�G�G<W ��G�%L8�HK5�G�G<WT�/%�J*3 5�!RG�%��)6XW �7G)� W6)G�%*b$5�G & k & o &*r � 3$%"3$H��)!$8�%��M#>�=H7J�!=#�5L8 �/%�J2!��=H]J/HL�*!)5*�)67�$G�57J�b$G�%L�#4AE& k 1"! o W & o 1K:��<W &�rI1 o �<W!��21��jW � #@� #"!$#�5�G4!=# 3�HXEU��21 & !B��� p$k4p=kKk2k2k\p=k4p$k2k W � #@� #"!L5�G N=%=8�#*!=#7%��dE

�"!B� o2p�o2p�oKo2o2oOp�o2p�o W��� !2r2rKr2r p r p r p r p r�0XW

�&�21 & �XE�� o W !<W �XE k 0XW � #@� #"!$#�5�G]5"�L67�=G�5�JIY)H�G�%L��#*!�UM#>�2bL%�Q�UR�7%�%7J/QL#>�$5�!)HL8 E!/�K12:��<W � �L#>�=5�Gg!=# 3�HXE�c1 k"n :3�jW � �L#���H�QM8>!)H�N 8�#*f/H,E!�8@N=5*�R1 &(!���� ��V!/��0��W � Y/HL�"!)%�J2%��M#>�)Q/H*N=H��)Q/H*�)!g!OY)5�G"�=H=8 E� #>��#*!=#�5�G]5*�L6��$G�57J43$%"3�H*�)!7��3S+ 8*1.& �?+ #>�Kb=%�Q�UM��%�%�J�Q=#@�$57!/H=8 E� �98*H�QO5)8�!��=HR#@� #"!$#�5�GI5*�)67�=G�57J�3�%"3$H��/!���3a#>� 8 N$5)��HR�7%�%�J/QL#>�=57!)HL8�5�!K!/1��<+Ti�8 E8*�21 & & k t ��� ; k DuW5& o t �&� ; o DuW'&*rLt �&� ;�r$D>0XW� # 3/N$G�H"3�H*�)!=#>�L6 =3?5 3?g3$H�!��L%�Q��$#*!�� !/57U)G�H7U43 5"N�N #@�L6 p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p8�%��/! o bR1c8*�jW � 5"�L6��$G�5�J�3$%"3�H*�)!7��3S+ b=%�Q�UM�7%�%�J�Q=#>�=57!/H=8 E�L%��/! o bR1 �&�jW � 5"�L6��$G�5�J]Y/H/G�%)��#"!�U,+ b=%�Q�UM�7%�%�J�Q=#>�=57!/H=8 EU)%��/! o bR1IU�� ;&� DvW � NL%=8�#*!$#�%��?+ 8@N=5)��HO�7%�%�J/QL#>�=57!)HL8 E!)%��/! o bR1I!�8@N=5*�?W � !=# 3$H,E����3v8"!/H�NO1 ;�!�� p !��$D n �?W!R1I!$8@N=5*�,; k DvWi�8g1c8*�<W � #@� #*!=#�5�G4ia#>�2bL%�Q�UR�7%�%7J/QL#>�$5�!)HL8*1=#@� #"!$#�5�G ic#>� 8@N=5)�7HK�7%�%7J/QL#>�$5�!)HL8 E�21KH7U)H ;�rj+^r$DvW � � ; �=D"1 &"Q?E&\12QL#�576<;$& & k & o &�r�0X+��=DuW � #@�=H7J�!$#754!/H��98*%�J?E�/%�Jc#\1 k �(���73u8>!)H�N

&(!)%*�)!�N��)!X+���%*�)!�N��)!�0]1OH���N)J54�3&4/:�6)�757U<;�!,+�� +ei�8 + �9DuW8*%��/! o bX;,�7+ #�l k D 1M#>�)Y<;���%��)!7N��/! D�t"i�8uW � b=%�Q�UM��%�%7J/Q=#@�$5�!)H,E�)%��/! o bX;,�7+ #�l k D 1M#>�)Y<; &�D�t/8*%��/! o bX;,�7+ #�l k DvWU�!)H>3)NR1 ��%*�)!7N��)!Rt4U��jWU/%��/! o bX;,�7+ #�l k D 1IU�!)H>3)NX;,� DvW!O1I!$8@N$5"�,; #�l k DuW

Page 159: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� E � � � � � � �� � ��� �� � � � C � C

�]1 ��%*�)!7N��)!XWH*�LQ�7G�H/5�J\���73u8>!)H�N2! � &�!/%��/!�N��/! ��%*�)!7N��)!]U�!)H>3)N?W�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 160: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH
Page 161: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

� � � ������� � � �

L 9 P�� 2 � � � +*�&+ � !�� 2 � 2 ; + �#� � � ��! � 2� +=� � % 2�������� ��������� �"!$#%���%��&('"�$���*)��+�,�-�.'/�0�1'32420�5�76-� 68 �9���:� ! �.� ' � ��� � � � � ��� ��! � ��� � �)� � ; +=��� � � +=� � '�+�� 3 ' ��� �&' ���M�=� ! 3 �&�#� ��( ��� < K ��� ��+;(�! � � "; �*� � 2 9�������3 2

LON�P � 2 � �.�@� � � � 2=<>�?�$#@��&A'"�CBD#FE%&G�IH('KJL�?&-� 8AM ��NO&-��#+�QPR� 8?S 'T2U20�*�96 � 8 �7�����I!0�WV1� X/#%&@#%� 8 �9���Y[Z N�� 8 �7���:� ! � � � � � <����9� ���#� ' �)� �&' � � % ��� � '�+=� � � ��!\� � �,� � � � � �^] 3�� � �10 � ��! � � "_; �*� �2 9�� �@��3 2

LO7�P z 2 z 2 � 2 �a`+*% ��� � � ! � 2 � 2 � �'0 ���"� 2[<>�b#I'"�CBD#cE�&d��� 6fe ��& 8hg Ji�?��� 8 #j'"�0��k-�clL��� 8 #IV1� 6m #%�:�+�7���0����<>�b#W'/� Bn#cE%&G���h'"�0�j'32420�5�76-� 8 �9���:�ok-� e S )��-�96%� ! 3 ��%�� �����A� � ; +=��� � � +=� � '�+��� � � �"� ' � 9 ! � �*� ���< � ����+*����! � ��� � ��� �&+ � 2 9�� �=��3 2

L 5 P � 2 � ��+*�&' �&+ � ��! � 2IG$� /#+*� � �*! z 2 � 2� +��S� 2oV1� X/#%&@#%� 8 �9��� YpZ N�� 8 �9���:� ! � �F� � � � � � ��� ��!� �"�o� �o�F� H � � � � %��Z� ��� � � ��( H'�>��� +*���*! H +�� � � �*� � � + 2 9�� ����3 2

LV��P�� 2 0 2 � % � � � ��!a� 2 G 2 � + �)������2"qAN m #%&+�76-���('"�0���5)��-�r� !� � ��� � � � � � � ��! � � 3 � % �Z� �S� � � ��(H'�>��� +*���*!�� �@� � � � 2 9�� � 7�3 2

LV��P � 2 H 2 � %���' � ��� 2>qaN m #%&+�76-���s'"�$���*)��+�,�It=�It3&G���r�$��&-)IV1� X/#%&@#%� 8 �9��� YpZ N�� 8 �9���:�WHQu[NO�DBn# 6v N 898 �Q'"�0�jw[#��$#%&G���x<>�?�$#@��&/�y# 8?S �z��� ! � � � � �?<������ ���#� ' �)� �&' �A{ % �Z� � '�+=� � � ��!:� � �&� � � � � �] 3o� � � 0 � ��! H � � ' � ��� � ��� 2 9z|��@��3 2

L � P � 2 H 2 � % ��' � ��� 2�qAN m #%&+�76-���U�y# 8?S �z���iJ}��&At3&G���?�0��&+)(VA� X"#�&G#�� 8 �7��� YpZ N�� 8 �9���:� !�� � � � � %�� <� ��� � � � 2

LV��P�~2 H � �S� � � � � � ! � 2 �$" ��� � 2 0O��� z �"� % � ; � ��� � � ��� �*��� � ( � ��� � ��� G �3�&+ �d� ' � � ����!��� � ���9� � ( � +=� ��� � � � ; +*� � � � ��� � !�� � � � � % �Z� ��� � � � � � M � m 20N 8b� �y# 8?S �z���T'32420� � �y#@6 Sn�Y �nB�&9B �

LC|�P ; 2%H � � �3% � �(< � � %&�&+=��! H$2 G$� � � �Y�(< ; �*� � �Y� � ! ; 2%G � ����+ � �< � � ��� ' � 20'"�0���*)��-�r� �i������� ���������'"�0� e S )F�+�76�� ! ��� ' � ��� � � � � ��� ��! ���*� ��� < �� ��� +*��� { % ��� ��� � � ��( H'��2 ! � ��� � ��� �&+ � 2 9z|�� N�3 2

L 9m�QP � 2 � 2�G �*� � +*����! { 2 � 2}{��#� �,' �*2 � � + ��� � � � �T~ � � � ��� � � � %&��( � < 0 % �Y��+ � �*� � %���+ � !�� �M � m 20N 8b� '32420� � �y� 8?Sn� � 2 9z|��=��3 ! 9z|c��N��32

L 9 9 P 0 2=~ ��(4� 2 � � � � � H'� � � � � %&'�� � � ��� � z �m�>� � � �#� ' ���9� � ( � +=� �*�#� ��� � � � ��0 ; 0 H ��+ �#� !� k�! �0� 2 N=������3 ! 5 9-�o�9;2

Page 162: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

C � � ��� � � � ��� ������

L 9 N�P 0 2O~ ��(4��! � 2 ; + � ��� � � �.� ��! 2�� 2 ; %&�9��� � < 0 +*+ ��2 V1� XT�y���� ��#�&�� �fwTNO�9�U#�0#%&-�-�9���� ��� !G$� � + � � � � ��� ��� � � � �*� � +=� � ' � !��$� � / ���#�"� � � ����� ��� ( � ��! ���*� " + � 2 N=������3 2

L 9 7�Pf~2 + �)����� 2 z �m�>� � � �#� ' ����� � ( � +=� � � ��� � � ����� �&+ � � G � � ����� ��� � +�� ~ �5%,+=� � � � � � � ; +*� � <� � � ��� ! � k�! � C 2 N=��� 9�3 ! |�|��c� 9m���9�52

L 9 5 Pf~2 + �)����� ! H$2 0 % � � ' ��!�z 2 � +*�&� ��� 2"w[# � m # 8 &+�76WqAN m #%&+�76-���>k-� 8 # B�&G� 8 �9���:��� 8 &+N�6 8 NO&G# 6e &@#+�z#%&��c�?�DB�'"�CBU��&+� 8?S m �RJ}��&^t3&d���?�0��&+)yV1� X"#�&G#�� 8 �9��� Y[Z N�� 8 �7���:� ! 3 �,�#� ��( ����3����#�)����� �H'�>��� %���+=� � � �&+��&; +=��� � � +=� � ' � 79 ! 3 �&�F� ��( ��� < K ��� � +;(�! � ��� � � � 2 N=��� N�3 2

L 9���P � 2 � �.��� � ����2 ��� �"� (>��� � ! ��� �h�7% � � � % � � ���#� !ie &G�z6+# #@���r�DB��j�d� 8?S # g! �8?S kG�j' M � P ��&-���M ���DB4&G#%� ������� � kGk !�� ���#�.� � � ' �&+ � �p] � � ' �&� � � K ��� ��+;(�! ����� � � � 2 9z|�|@��3 ! 9-�n|32

L 9���P � 2 � �.��� � ��� 2 � % � ���#� '�+�� � �&+�� � �"��� ��� 0O�)� z �"� % ��� ! � � J}��NO�0�4� 8 �7�����o�d� M � m 20N 8 � 8 �9���0������ 8?S # m � 8 �96%�#" t%$G����&G��� g!&!&!&�' ! H + � � �#�(� ( � �$� � / ���#�"� � � { �����"� ! H + � � �#�(� ( � 2 N=��� 9�3 !9m�@�c� 9 N 732

L 9+� P � 2 � �.��� � ��� 2 � � H + ��� � �?<p� � +*� �Y� �*� � ; � ��� �)�������*� � � �JG ��� ' ��� � �(* +=� � � �+� � 0x�)� < ( �"� % �~ �3%&+=� � � � � ! J.��NO�0� �(M � m 20N 8b� ��� 8?Sn� C 2 N=��� 9�3 ! 9 N�|c� 9��=��2

L 9���P � 2 � �.��� � ��� 2F~ �� +*� �#� � � � � �&+=�lz �"� ",� � � ������� ! q1� 8 �96-#%�L' m #�& � �y� 8?Sn� �0�z6 � � � 2 N=��� N�3 !5 7=�F� 5 5 ��2

L 9z|�P � 2 � �.��� � ��� ! 12 ; %&�9��� � < 0 +*+ � ! 3 2 � � �#�.� �Y��! � 2-� +*�&�,+ 2�0x�)� < ( �"� % � ; � ��� ����� ! '(6 8 �fqaN 6m #%&+�76-� � 2 N=������3 ! N9��c��7����32

LON=�QP � 2 � �.��� � ��� ! � 2 ; + � ��� � � �.� ��! 3 2 { 2�� � �#�.� �Y� 2 � � � � � � ��� � � � � ����+=� � � �.� � � � � ; � ��� �)�� � ; +;(>�3% � 33���F�)����� �*�$0O� � � + � G � � ����� ��� � +�� ~ �5%&+=� ��� � � !0� k�! ��� 2 9z|�|�|�3 ! N��9-��7=� 5 2

LON9 P � 2 � �.��� � ��� ! 3 2 { 2 � � �#�.� �Y��! � 2 � 2 � + ��� % �"�.� � 2������ � < � � � � � � � � � � � � (>�< �*�/����� ; +;( <�5% � ; � ��� ����� ! 'T242$� � qAN m #%& � ��� 8?Sn� � � 2 N=��� 9�3 ! 7@��|c� 5 � 9;2

LON N�P z 2 12 z � ��%���! H$2 � 2 K�+*� 0u� +*� 2���� 8 &+�0$ M � m 20N 8 � 8 �9���:� ! �.� ' � � � �1�Z� � � � ��!�� � �&� � �� � ��� � �33���#�)���x� �q��� � ; +=��� � � +=� � '�+�� 3 ' �)� �&' ���B7 !U� � �&� � �� ���o� � � �$� � / ���#�"� � � {�� ���"� ! � +�� � �����*���2 9z|���|�3 2

LON 7�P 3 2 0 +*��( 2�JxNn�$�4� m #%� 8 ��� �At=�>V1� X"#%&@#%� 8 �7���xw[#@� m # 8 &-) !�z � + � %&+=� � � ��� � �B� �0; +=��� � � +=� � ' �9z|9 ! 3 �,�#� ��( ��� < K ��� ��+;(�! � � " ; �*� � 2 9z|�|�|�3 2

LON 5 P � 2 ~ 2 ; + �#�/��� ��! � 2 3 2 � +=� � % 2�k-� 8 &d�c��N�6 8 �9���K! � �y# 6 S �����76�� '"�0�2��) m�m # 8 &-) � ' � ���-�96Y $%2O���-� 8 �9��� t=� M �����-�-�96 ���n� #@6 S �����96 ���3� )F� 8 # m � !�� �#� � �1��� � � � ��! � ��� � �5� � � ��� � �)�1� ; +=���<� � +=� � ' �M9+� ! 3 �&�#� ��( ��� < K ��� ��+;(�! � � " ; �*� � 2 9z|�| 5 3 2

LON���P H$2 ; � � ��� ! H$2 K�+*� 0u� +*� 2 � � � � � ��� � G %�� � � % � � + � � �x�#H'�>��� % � � � � �f~ ��v� � � �9� � +��� � � ; +=� �#� � ! � " � ��� � < �y� / � ; � + �#��0 +=� ��� 2 �O� � � ��� < � % ��� ��� � �1�A� � �nkG'"� u[#4�c�b#65 N=��� 73227� �#� ( � �&+�� � + ����� + ����� + ���1� � � �nkG'"� u[#6�F�9#45 ��� 2 9z|@�=��3 ! �=� 9 < � 7���3 2

LON���P 2 ; %&�9��� � < 0 +*+ ��2>0O��� < � %���' � ��� � � �m�*� � � �*� � %,��( � < 0 % �Y��+ ; � ��� �)�Z� !D� k�! �98 2 9z|�|���3 !�@� Nc�o���@�52

LON@� P 2 ; %&����� � < 0 +*+ � 2 � %&��( � < 0 % �Y��+ ; � ��� �)��� � � 0x�)� z �#� % �Z� !:� k�! ��� 2 9z|�|���3 ! | Nc� 9 9 9;2

LON���P 2 ; %&����� � < 0 +*+ ��2� � (>�:� ������� � %&�&( � < 0 % �Y��+M; � ��� �)�Z�y� � ; +*� � � � � ��� ! 'T2U20� � qaN m #%& ���� 8?SO� ��� 2 9z|�|�|�3 ! 9 9��c� 9 N@�52

Page 163: Department of Mathematics - The University of Aucklandbutcher/theses/Priscillathesis.pdf · HTYTY $ WdHPh B`@ir uHTnoa YPDi@6@6D j a HPW r{l BNHPWdYPDix uK4VZSEhEr1?uSEhZDGYTV s FdVZH

��� � � � ��� ������ C �98

LON�|�P 12 ; %&�9��� � < 0 +*+ � ! � 2 � +*�&�&+ 2 � % � ���F� '�+�� ���9� � ( � +=� � � � ����G � � ����� ��� � +�� ~ �5%,+=� � � � � � � �>��� ( � � �m� % � ; +*� � � � � ��� ! � � J.��NO�0�4� 8 �9���:���G� M � m 20N 8 � 8 �7���0���=�y� 8?S # m � 8 �76��:"?up�7�o�U#� ���$#%�?&G��� g!&!& � ' ! 7=�@�c��79�� ! 3 �&�#� �&( ��� < K ��� ��+;(�! � ��� � � � 2 9z|�|@��3 2

LO7=�QP�{ 2 � 2 � ��/ ��� 2D'T2U20�*�96 � 8 �7������t=��<>�b#fwT&G��NF2 �f!0�AVA� X"#�&G#�� 8 �7��� Y[Z N:� 8 �7����� ! ��� ' � � � �1��� � ��� ��!z � + � %&+=� � � ��� � � � � ; +=��� � � +=� � ' �09m�9� ! 3 �&�#� ��( ��� < K ��� ��+;(�! � � " ; �*� � 2 9z|�| 7�3 2

LO79 P �$2 �$" ��� ��! � 2 ; + � ��� � � �.� � 2 ���9� � ( � +=� ��� �I; � ��� �)�Z�%� + �.�1� � � H +*� � � � '�+�� H'�o�*�/��� �,+=� ���� � � � �033� ' � � � 0q� � � ! qAN m #�& � �y� 8?Sn� � � 2 N=��� 9�3 ! �=� 7c����|=��2

LO7 N�P 3 2 12�3 � �"� (>+=� **2xq1�����*�?�$# ��&aV1)��0� m �96%�"'"�$� M S �4���fH PI� 8?S '32420�5�76-� 8 �7���:�R!0� e S )��+�76�� �� �7��� �@B4)�� M S # m �r� 8 &+)��>'"�0� Y �DB��?�$# #�&-�?�DB ! { ���F�.� % � �'�o� �o� !%; + �#� +*' �3% �.� �Y� � 2 9z|�| 5 3 2

LO7 7�P 3 2 ; 2 � +*� 2s<.# 6 8 NO&@#Qq1� 8 #%� �-&G� m e S )��-�96%��� g �^M � ���-�-�96 ���L�y# 6 S �����76�� ! G � � + � � � � ��� ���{ � � �"� ' � ! � � � �$� � / ���F�"� � � ��� � %,' � ��+*� ��2

LO7 5 P K 2 3 2 K�+ � + � + � +���+*� 2s<\�9# wT&G��NF2 � �[<>�b# '"�CBD#FE%&G��� � '"�0� ! S #%�?& u[# 20&@#+�z#%� 8 � 8 �7����� ! {�� � �<� � ' � < +���� 33���F�)����� � ; �!����� � � �&+�� � �"��� ! { ��� �9� � ' � < +���� ! � � " � ���#�.� � 2 9z|@� 5 3 2