DEPENDENCIA LINEAL

Varios vectores libres del plano

se dice que son linealmente

dependientes si hay una combinación

lineal de ellos que es igual al vector cero,

sin que sean cero todos los coeficientes

de la combinación lineal.

PROPIEDADES1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al

menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal

de los demás.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo

si, son paralelos.

También se cumple el reciproco: si un vector es

combinación lineal de otros, entonces todos los

vectores son linealmente dependientes.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son

linealmente dependientes si sus componentes son

proporcionales.

Ejemplo:

Los vectores y son

linealmente dependientes, pues:

Igualando componentes:

Para cualquier valor que tome se obtiene un valor para y otro para

también distintos de cero, luego y son linealmente dependientes.

INDEPENDENCIA LINEAL

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es

linealmente independiente si ninguno de ellos

puede ser escrito con una combinación lineal de

los restantes.

Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1,

0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes,

mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no

lo son, ya que el tercero es la suma de los dos

primeros.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos

redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es

linealmente independiente si ∀

PROPIEDAD:

Si un conjunto de vectores es linealmente

independiente cualquier subconjunto suyo también

lo

Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

EJEMPLOS

= (3, 1) = (2, 3)

Linealmente independientes

Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

= (5, 3 − x ) y = (x + 9, 3x + 1)

Son linealmente dependientes para x = 1 y x = -22