der aharonov-bohm-effekt - heidelberg universitywolschin/qms14_4.pdf · 2014. 11. 14. ·...
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Der Aharonov-Bohm-Effekt
Lars Henkelmann 07.11.2014
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Gliederung1. Einführung2. Begriffe3. Beschreibung
1. Magnetischer Aharonov-Bohm-EffektEin topologischer Effekt?
2. Elektrischer Aharonov-Bohm-Effekt
4. Interpretation
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Definition
„ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein elektrisch geladenes Teilchen von einem elektromagnetischen Feld beeinflusst wird,
obwohl es auf eine Region eingeschränkt ist, in welcher E=0 und B=0“
Nach : http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov-Bohm_effect am 03.10.2014
http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov-Bohm_effect
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Ein Beispiel
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Historisches● Zunächst rein
theoretisch● Erste Beschreibung:
Ehrenberg/Siday 1949
● Aufmerksam machten: Aharonov/Bohm 1959
David Bohm
Yakir Aharonov
http://www.theosophy-nw.org/theosnw/science/sc-pruyn.htm
http://gazette.gmu.edu/images/Aharonov_Y.jpg
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Historisches● Experimentelle
Bestätigungen: 1960-1962● Experimente angefochten:
Abschirmung der Felder evtl. unzureichend?
● Endgültige Bestätigung: Tonomura et al. (1986) benutzten Supraleiter zur Abschirmung
Magnet und Abschirmung im Experiment von Tonomura et. al.
Aufgenommenes Bild
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Felder und Vektorpotential
Klassisch ist die Beschreibung über Felder bzw. Vektorpotential äquivalent
Das Vektorpotential enthält mehr Informationals die Felder, daher Eichinvarianz
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Eichinvarianz mit QMForderung: Invarianz unter Multiplikation mit lokaler Phase
freie Schrödingergleichung:
nimmt die Form an:
Vergleiche mit Schrödingergleichung im elektromagnetischen Feld:
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Eichinvarianz mit QMAus Vergleich:
Entspricht umgeeichten A=0, Φ=0
Daher Eichtransformation insgesamt:
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Magnetischer Aharonov-Bohm-Effekt: Aufbau
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Magnetischer ABE● Berechne Einfluss des Magnetfelds auf Interferenzmuster
Experimentelles ErgebnisTonomura et. al. (1986)
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Magnetischer ABE
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Experimentelle Ergebnisse
Zeit
H.Boersch et. al. (1961)
Ort auf dem Schirm
Zeitverlauf der Intensitätsverteilung
2-dim. Schirmbild
A. Tonomura et al. (1986)
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Ein topologischer Effekt?● Bei der vorherigen Rechnung war Topologie des zugänglichen
Raumes wichtig● Beschreibung mittels topologisch/geometrischer
Eigenschaften?➔ Berry-Phase!
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Berry-Phase● Quanten-System abhängig von äußerem, klassischem
Parameter R● langsame Änderung von R ; adiabatische Entwicklung des
Systems ● Dann:
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Berry-PhaseAnsatz zur Wellenfunktion (von eben):
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Berry-PhaseAnsatz zur Wellenfunktion (von eben):
Einsetzen in zeitabhängige Schrödingergleichung führt auf:
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Berry-PhaseAnsatz zur Wellenfunktion (von eben):
Einsetzen in zeitabhängige Schrödingergleichung führt auf:
Integration von 0 bis T ( R(T) = R(0) ) gibt Beitrag über geschlossenen Weg C:
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Klassisches Analogon: Krümmung
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Parallel_Transport.svg on 27.10.2014
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Berry Phase beim Aharonov-Bohm-Effekt
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Lösung der Schrödingergleichung
Hamiltonoperator:
Lösungen durch Eichtransformation:
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Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:
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Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:
Zustand unseres Systems:
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Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:
Zustand unseres Systems:
Setze Zustand in allg. Ausdruck ein:
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Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:
Zustand unseres Systems:
Setze Zustand in allg. Ausdruck ein:
bekannte Aharonov-Bohm-Phase
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Elektrischer Aharanov-Bohm-Effekt : Schema
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Erstes Zeitintervall
t < t0
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Zweites Zeitintervall
t0 < t < t
1
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Drittes Zeitintervall
t1 < t
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Elektrischer ABE: Lösung für die Teilstrahlen
Räumlich konstantes Potential verändert Hamiltonoperator:
Neue Lösung ist (H zu H0 eichen):
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Die verschiedenen Teilstrahlen
t0 < t < t
1
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Elektrischer ABE: Relative PhaseLösung ist Summe der Teillösungen:
Mit relativer Phase:
Erinnerung: Phase beim Magn. Effekt:
Zusammen: relativistische Verallgemeinerung:
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Interpretation: Felder vs. Vektorpotential
Klassisch:● Felder entscheidend● Vektorpotential ist
Rechenhilfe● Vollständige und lokale
Theorie mit Feldern möglich
Quantenmechanisch:● Beschreibung nur mit
Feldern ist zwingend nichtlokal
● Lokale Beschreibung: Vektorpotential
● Vektorpotential ist physikalisch fundamental
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Interpretation: Eichinvarianz● In beiden Fällen bleibt die Eichinvarianz gewahrt● Dies gilt auch für den Aharonov-Bohm-Effekt:
● Sowohl B als auch die Fläche, über die integriert wird, sind eich-invariant, daher auch Φ
B
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Interpretation
“It would therefore seem natural at this point to propose that, in quantum mechanics, the fundamental physical entities are the potentials, while the fields are derived from them by differentiations."Y. Aharonov, D. Bohm (1959)
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LiteraturAharonov, Y.; Bohm, D. (1959) . Physical Review 115: 485-491.
Tonomura, A; Osakabe, N; Matsuda, T.; Kawasaki, T.; Endo,J. ; Phys. Rev. Lett. vol. 56, pp. 792-795 (1986).
Rollnik, H.(2003) „Quantentheorie 1 Grundlagen Wellenmechanik Axiomatik" 2. Aufl. Springer S.181-191
Schwabl, F. (2007) „Quantenmechanik eine Einführung" 7. Aufl. Springer S.151-155
Berry M. V.; (1980) Eur. J. Phys. 1 240-244.
Folie 1Folie 2Folie 3Folie 4Folie 5Folie 6Folie 7Folie 8Folie 9Folie 10Folie 11Folie 12Folie 13Folie 14Folie 15Folie 16Folie 17Folie 18Folie 19Folie 20Folie 21Folie 22Folie 23Folie 24Folie 25Folie 26Folie 27Folie 28Folie 29Folie 30Folie 31Folie 32Folie 33Folie 34Folie 35Folie 36