Given the following distance ­ time graph represented by the function: 

distance

time

x313f (x) =  x21

8+

Sketch a graph for the velocity time graph.

velocity

time

Velocity ­ time graph comes from the derivative of the distance ­ time graph. 

f '(x) =  x2 +  x14

acceleration

time

Acceleration describes how fast the velocity is changing with time.

Since f '(x) is a function we can calculate it's derivative: 

(f ') ' (a)f ''(a) =  f '(a + h) ­ f '(a)

hlimh      0 =

f ''(a) is called the second derivative of f at a 

ddx

(dy)dx

d2ydx2

=

also written as:

acceleration

time

Acceleration is the derivative of the velocity curve. 

Remember that the derivative of a function tells you whether the function is increasing or decreasing. 

Since f '' is the derivative of f ' 

1. If f ''(x) > 0 on an interval, then f ' is increasing 

2. If f ''(x) < 0 on an interval, then f ' is decreasing 

Concave UP

When the tangent slopes are increasing the graph of f is concave up

a b

Concave DOWN

When the tangent slopes are decreasing the graph of f is called concave down

a b

Given a function with it's derivative defined as:

f ' (x) = (ln x)2 ­ 2(sinx)2 for 0  <  x   6<

Graph f ' (x) and it's derivative  f '' (x) 

a) On which intervals is f increasing?

b) On which intervals is f concave up? 

c) Given f (0.1) = 0, sketch a possible graph of f

Given a function with it's derivative defined as:

f ' (x) = (ln x)2 ­ 2(sinx)2 for 0  <  x   6<

Graph f ' (x) and it's derivative  f '' (x) 

a) On which intervals is f increasing?

Given a function with it's derivative defined as:

f ' (x) = (ln x)2 ­ 2(sinx)2 for 0  <  x   6<

Graph f ' (x) and it's derivative  f '' (x) 

b) On which intervals is f concave up? 

Given a function with it's derivative defined as:

f ' (x) = (ln x)2 ­ 2(sinx)2 for 0  <  x   6<

Graph f ' (x) and it's derivative  f '' (x) 

c) Given f (0.1) = 0, sketch a possible graph of f

Exercise 2.6

Questions 5, 7, 15, 17, and 19