derivÆcie neceloŁíselnØho rÆdu: história, teória,...

ZačiatokJJ IIJ I

1 / 90Späť

ObrazovkaZavrieťKoniec

Konferencia Slovenskej matematickej spoločnostiJasná, 23. novembra 2002

Derivácie neceločíselného rádu:história, teória, aplikácie

Igor PodlubnýKatedra informatizácie a riadenia procesov

Fakulta BERGTechnická univerzita v Košiciach

ZačiatokJJ IIJ I

2 / 90Späť


Obsah1. Trochu histórie

2. Súčasné definície

3. Aproximácia a princíp „krátkej pamätiÿ

4. Diferenciálne rovnice neceločíselného rádu (DRNR)

5. Maticový prístup k diskretizácii DRNR

6. Niektoré oblasti aplikácie

7. Sústavy a regulátory neceločíselného rádu

8. Geometrická interpretácia

9. Fyzikálna interpretácia

10. Záverečné poznámky

ZačiatokJJ IIJ I

3 / 90Späť


. . . od celého k necelému . . .-

-1-2 0 1 2

xn = x · x · . . . · x︸︷︷︸n

xn = en lnx

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n− 1) · n,

Γ(x) =

∞∫0

e−ttx−1dt, x > 0,

Γ(n + 1) = 1 · 2 · 3 · . . . · n = n!

ZačiatokJJ IIJ I

4 / 90Späť


Interpolácia operácií

f,df

dt,d2f

dt2,d3f

dt3, . . .

f,

∫f (t)dt,

∫dt

∫f (t)dt,

∫dt

∫dt

∫f (t)dt, . . .

. . . ,d−2f

dt−2,d−1f

dt−1, f,

df

dt,d2f

dt2, . . .

ZačiatokJJ IIJ I

5 / 90Späť


5

Začiatok – rok 1695

G.W. Leibniz(1646�1716)

G.F.A. de L�Hospital(1661�1704)

Privedie to k paradoxu...

Jedného dňa však od tohto zdanlivého paradoxu budú

odvodené užitočné dôsledky.

Ale čo bude v prípade n = ½?

n

n

dtfd

ZačiatokJJ IIJ I

6 / 90Späť


G. W. Leibniz (1695–1697)V listoch J. Wallisovi a J. Bernullimu sa Leibniz tiež zmieňujeo možnosti derivovania neceločíselného rádu v tom zmysle, žeje možné prijať za definíciu vzťah

dnemx

dxn= mnemx,

v ktorom rád derivovania n môže byť necelý (1697).

ZačiatokJJ IIJ I

7 / 90Späť


L. Euler (1730)

dnxm

dxn= m(m− 1) . . . (m− n + 1)xm−n

Γ(m + 1) = m(m− 1) . . . (m− n + 1) Γ(m− n + 1)

dnxm

dxn=

Γ(m + 1)Γ(m− n + 1)

xm−n.

Euler navrhol považovať tento vzorec za platný aj pre zá-porné alebo racionálne hodnoty n. Po dosadení m = 1a n = 1

2 Euler odvodil vzťah

d1/2x

dx1/2=

√4xπ

(=

2√πx1/2

)Eulerove výpočty neskôr prevzal S. F. Lacroix do svojejúspešnej učebnice ( Traité du Calcul Différentiel et du Cal-cul Intégral, Courcier, Paris, t. 3, 1819; str. 409–410).

ZačiatokJJ IIJ I

8 / 90Späť


J. B. J. Fourier (1820–1822)Prvý krok ku zovšeobecneniu pojmu derivovaniapre ľubovoľné funkcie urobil J. B. J. Fou-rier (Théorie Analytique de la Chaleur, Didot,Paris, 1822; str. 499–508).

Po uvedení svojho známeho vzorca

f (x) =1

2π

∞∫−∞

f (z)dz

∞∫−∞

cos (px− pz)dp

Fourier poznamenáva, že

dnf (x)dxn

=1

2π

∞∫−∞

f (z)dz

∞∫−∞

cos (px− pz + nπ

2)dp,

pričom tento vzťah môže slúžiť ako definíciaderivácie rádu n aj pre necelé n.

ZačiatokJJ IIJ I

9 / 90Späť


N. H. Abel (1823–1826)N. H. Abel: Solution de quelques problemes à l’aided’intégrales définies (1823). Œuvres completes de NielsHenrik Abel, vol. 1, Grondahl, Christiania, 1881, pp. 11–18.

V skutočnosti Abel získal riešenie rovnicex∫

0

s′(η)dη(x− η)α

= ψ(x),

pre ľubovoľné α (nie iba pre α = 12):

s(x) =sin (πα)

πxα

1∫0

ψ(xt)dt(1− t)1−α .

Ďalej Abel vyjadril získané riešenie pomocou integrálu nece-ločíselného rádu α:

s(x) =1

Γ(1− α)d−αψ(x)dx−α

ZačiatokJJ IIJ I10 / 90Späť


J. Liouville (1832–1855)Tri prístupy:

I. Nasledujúc Leibniza:

dmeax

dxn= ameax,

f (x) =∞∑n=0

cn eanx,

dνf (x)dxν

=∞∑n=0

cn aνn e

anx




II. Integrály neceločíselného rádu:∫ µ

Φ(x)dxµ =1

(−1)µΓ(µ)

∞∫0

Φ(x + α)αµ−1dα

∫ µ

Φ(x)dxµ =1

Γ(µ)

∞∫0

Φ(x− α)αµ−1dα

alebo (po substitúcii τ = x + α, τ = x− α)∫ µ

Φ(x)dxµ =1

(−1)µΓ(µ)

∞∫x

(τ − x)µ−1Φ(τ )dτ

∫ µ

Φ(x)dxµ =1

Γ(µ)

x∫−∞

(x− τ )µ−1Φ(τ )dτ.




III. Derivácie neceločíselného rádu:

dµF (x)dxµ

=(−1)µ

hµ(F (x)− µ

1F (x + h)+

+µ(µ− 1)

1 · 2F (x + 2h)− . . . )

dµF (x)dxµ

=1hµ

(F (x)− µ

1F (x− h)+

+µ(µ− 1)

1 · 2F (x− 2h)− . . . ).

(Rovnosť v zmysle limh→0

).

Liouville bol prvý, kto si uvedomil možnosť prístupu k de-finovaniu derivácií a integrálov neceločíselného rádu zľava asprava.



G. F. B. Riemann (1847; 1876)Riemann využil zovšeobecnenie Taylorovho radu pre odvode-nie vzorca pre integrovanie neceločíselného rádu, ktorý uvá-dzame v súčasných označeniach (pôvodné Riemannove ozna-čenia sú príliš ťažkopádne):

D−νf (x) =1

Γ(ν)

x∫c

(x− t)ν−1f (t)dt + ψ(t)

Ľubovoľnú (komplementárnu) funkciu ψ(x) Riemann zavie-dol v dôsledku neurčitosti dolnej hranice integrovania c —nedostatok, ktorý sa v rámci jeho prístupu odstrániť nedal.



N. Ya. Sonin (1869)A. V. Letnikov (1872)

H. Laurent (1884)N. Nekrasov (1888)

K. Nishimoto (1987–)

Cauchyho vzorec:

f (n)(z) =n!

2πi

∫C

f (t)(t− z)n+1

dt

Pre necelé n = ν máme namiesto pólu bod vetvenia funkcie(t− z)−ν−1:

Dνf (z) =Γ(ν + 1)

2πi

x+∫c

f (t)(t− z)ν+1

dt



7

Riemannova–Liouvilleova definícia

G.F.B. Riemann(1826�1866)

J. Liouville(1809�1882)

∫ +−αα

τ−ττ

α−Γ=

t

an

n

ta tdf

dtd

ntfD 1)(

)()(

1)(

)1( nn <α≤−



8

Grünwaldova–Letnikovova definícia

A.K. Grünwald A.V. Letnikov

∑

−

=

α−

→

α −

α−=

hat

j

jta jhtf

jhtfD

00h

)()1(lim)(

[x] � celá časť x



9

Ďalšie definície

M. M. M. M. Caputo Caputo Caputo Caputo (1967):(1967):(1967):(1967):

)1(,)(

)()(

1)( 1

)(nn

tdf

ntfD

t

an

n

tCa <α≤−

τ−ττ

−αΓ= ∫ −+α

α

K.S. K.S. K.S. K.S. MillerMillerMillerMiller, B. , B. , B. , B. RossRossRossRoss (1993):(1993):(1993):(1993):

),,,(,)()( 2121

nn tfDDDtfD ααα=α= αααα K

rK

r



10

„Ľavá“ a „pravá“ derivácia (R–L)

a t b

)(tfDtaα )(tfDbt

α

„minulosť“ f(t) „budúcnosť“ f(t)

∫ +−αα

τ−ττ

α−Γ=

t

an

n

ta tdf

dtd

ntfD 1)(

)()(

1)( : Ľavá""

∫ +−αα

−τττ

−

α−Γ=

b

tn

n

bt tdf

dtd

ntfD 1)(

)()(

1)( :Pravá""



Aproximácia

Na ekvidistantnej sieti s krokom h používame aproximáciupomocou konečných diferencií neceločíselného rádu, ktorápochádza z definície Grünwalda-Letnikova:

aDαt f (t) ≈ 1

hα

[ t−ah

]∑j=0

(−1)j(αj

)f (t− jh),

[x]- celá časť x



Príklad: Heavisideova funkcia

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 01

23

45

6

-1

-0.5

0

0.5

1

derivative order independent variable

Fractional derivatives of function y=H(t)



Príklad: sin (t)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 01

23

45

6

-1

-0.5

0

0.5

1


Fractional derivatives of function y=sin(t)



Príklad: ln (t)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 01

23

45

6

-1

-0.5

0

0.5

1


Fractional derivatives of function y=log(t)



Princíp “krátkej pamäti”Koeficienty vo vzorci Grünwalda-Letnikova:

0 5 10 15 20 25 30 35-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

alpha =1.5; 30 binomial coefficients

aDαt f (t) ≈ t−LD

αt f (t), (t > a + L)

Dĺžka „pamätiÿ L závisí od požadovanej presnosti výpočtu.



21

Princíp „krátkej pamäti“ v praxi: tepelný tok cez stenu vysokej pece

0

2/12/10

)()(),()()(

TtTtftfDctfDctq

surf

tLtt

−=ρλ≈ρλ= −

2

2

xu

tuc

∂∂λ=

∂∂ρ

J.B.J. Fourier(1768�1830)



11

Diferenciálne rovnice neceločíselného rádu

)1,0(),)(,),(),(,()(

121

)1()2()1(

nnbtatytytytFty

nn

nn

≤α<−α<α<<α<α<<<=

−

−αααα

K

K)(

1,,1,0,0)()( −== nkay k K



G. M. Mittag-Leffler



Funkcia Mittag-Lefflera: definícia

Eα,β(z) =∞∑k=0

zk

Γ(αk + β), (α > 0, β > 0)

E1,1(z) = ez,

E2,1(z2) = cosh(z), E2,2(z

2) =sinh(z)z

.

E1/2,1(z) = ez2erfc(−z);

erfc(z) =2√π

∞∫z

e−t2dt.



Funkcia Mittag-Lefflera:najdôležitejšie vlastnosti

Laplaceova transformácia funkcie M-L:

∞∫0

e−sttαk+β−1E(k)α,β(±atα)dt =

k! sα−β

(sα ∓ a)k+1,

(Re(s) > |a|1/α).

Derivácia neceločíselného rádu:

0Dγt (tαk+β−1E

(k)α,β(λtα)) = tαk+β−γ−1E

(k)α,β−γ(λt

α)



14

Analytické metódy riešenia DRNR

! Integrálne transformácie (Laplace, Fourier, Mellin)

! Metóda radov! Babenkova symbolická metóda! Metóda ortogonálnych mnohočlenov! �Neceločíselná� funkcia Greena



MetódaLaplaceovej transformácie

LT derivácie Riemanna-Liouvillea:

L{ 0Dαt f (t); s} = sαF (s)−

n−1∑k=0

sk[

0Dα−k−1t f (t)

]t=0

(n− 1 < α ≤ n).

Príklad LT-1:

0D1/2t f (t) + af (t) = 0, (t > 0);[

0D−1/2t f (t)

]t=0

= f0

Riešenie LT-1:

F (s) =f0

s1/2 + a,

f (t) = f0 t−1/2E1

2 ,12(−a√t).



Príklad LT-2:

0Dαt y(t)− λy(t) = h(t), (t > 0);[

0Dα−kt y(t)

]t=0

= bk, (k = 1, 2, . . . , n),

(n− 1 < α < n)

Riešenie LT-2:

sαY (s)− λY (s) = H(s) +n∑k=1

bksk−1

Y (s) =H(s)sα − λ

+n∑k=1

bksk−1

sα − λ

y(t) =n∑k=1

bktα−kEα,α−k+1(λt

α) +

+

t∫0

(t− τ )α−1Eα,α(λ(t− τ )α)h(τ )dτ



Funkcia Greena: definícia



Funkcia Greena: použitie



Funkcia Greena: príklady

Jednočlenná rovnica:

a 0Dαt y(t) = f (t)

G1(t) =1a

tα−1

Γ(α)

Dvojčlenná rovnica:

a 0Dαt y(t) + by(t) = f (t)

G2(t) =1atα−1Eα,α(−b

atα)



Funkcia Greena

Trojčlenná rovnica:

a 0Dβt y(t) + b 0D

αt y(t) + c y(t) = f (t)

G3(t) =1a

∞∑k=0

(−1)k

k!

(ca

)k×

× tβ(k+1)−1E(k)β−α,β+αk(−

b

atβ−α)



Maticový prístupk diskretizácii

derivácií a integrálovneceločíselného rádu



Trojuholníkovité pruhovanématice

Dolné TP matice:

LN =

ω0 0 0 0 · · · 0ω1 ω0 0 0 · · · 0ω2 ω1 ω0 0 · · · 0. . . . . . . . . . . . · · · · · ·

ωN−1. . . ω2 ω1 ω0 0

ωN ωN−1. . . ω2 ω1 ω0

,

Horné TP matice:

UN =

ω0 ω1 ω2. . . ωN−1 ωN

0 ω0 ω1. . . . . . ωN−1

0 0 ω0. . . ω2

. . .

0 0 0. . . ω1 ω2

· · · · · · · · · · · · ω0 ω1

0 0 0 · · · 0 ω0

,

Pre TP matice rovnakého typu platí: CD = DC.



Operácia orezávania

%(z) =∞∑k=0

ωkzk −→ truncN (%(z)) def=

N∑k=0

ωkzk = %N(z)

Funkcia %(z) generuje postupnosť dolných TP matíc:

LN , N = 1, 2, . . .

alebo horných TP matíc

UN , N = 1, 2, . . .

Vlastnosti:

truncN (γλ(z)) = γ truncN (λ(z))

truncN (λ(z) + µ(z)) = truncN (λ(z)) + truncN (µ(z))

truncN (λ(z)µ(z)) = truncN(truncN (λ(z)) truncN (µ(z)))



Operácie s TP maticami

AN =N∑k=0

ak(E−1 )k = λN(E−1 ), BN =

N∑k=0

bk(E−1 )k = µN(E−1 ),

λN(z) = truncN (λ(z)) , µN = truncN (µ(z))

Sčitovanie a odčitovanie:

AN ±BN ←→ truncN (λ(z)± µ(z))

Násobenie konštantou:

γAN ←→ truncN (γλ(z))

Násobenie TP matíc:

ANBN ←→ truncN (λ(z)µ(z))

Inverzná matica:

(AN)−1 ←→ truncN(λ−1(z)

)



Spätné diferencie 1. rádu

f ′(tk) ≈1h∇f (tk) =

1h

(fk − fk−1) , k = 1, . . . , N.

h−1 f0

h−1 ∇f (t1)h−1 ∇f (t2)

...h−1 ∇f (tN−1)h−1 ∇f (tN)

=1h

1 0 0 0 · · · 0−1 1 0 0 · · · 0

0 −1 1 0 · · · 0· · · · · · · · · . . . · · · · · ·

0 · · · 0 −1 1 00 0 · · · 0 −1 1

f0

f1

f2...

fN−1

fN

B1N =

1h

1 0 0 0 · · · 0−1 1 0 0 · · · 0

0 −1 1 0 · · · 0· · · · · · · · · . . . · · · · · ·

0 · · · 0 −1 1 00 0 · · · 0 −1 1

, β1(z) = h−1(1− z)



Spätné diferencie 2. rádu

B2N =

1h2

1 0 0 0 · · · 0−2 1 0 0 · · · 0

1 −2 1 0 · · · 0· · · · · · · · · . . . · · · · · ·· · · 0 1 −2 1 0

0 0 · · · 1 −2 1

β2(z) = h−2(1− 2z + z2) = h−2(1− z)2



Spätné diferencie p-tého rádu

BpN =

1hp

ω0 0 . . . 0 0 0 0 0

ω1 ω0 0 . . . 0 0 0 0

ω2 ω1 ω0 0 . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . .

0 . . . 0 ωp ωp−1 . . . ω0 0

0 0 . . . 0 ωp ωp−1 . . . ω0

ωj = (−1)j

(p

j

), j = 0, 1, 2, . . . , p.

βp(z) = h−p(1− z)p



Vlastnosti matíc BpN

Pre funkcie βp(z) platí:

β2(z) = β1(z)β1(z)βp(z) = β1(z) . . . β1(z)︸︷︷︸

p

βp+q(z) = βp(z)βq(z) = βq(z)βp(z), (p, q ∈ N)

odkiaľ vyplýva, že

B2N = B1

N B1N ,

BpN = B1

N B1N . . . B

1N︸︷︷︸

p

,

Bp+qN = Bp

N BqN = Bq

N BpN , (p, q ∈ N)



Dopredné diferencie p-tého rádu

F pN =

1hp

ω0 . . . ωp−1 ωp 0 . . . 0 00 ω0 . . . ωp−1 ωp 0 . . . 0. . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0 ω0 ω1 ω2

0 0 0 0 . . . 0 ω0 ω1

0 0 0 0 0 . . . 0 ω0

ωj = (−1)j

(p

j

), j = 0, 1, 2, . . . , p.

Generujúca funkcia pre F pN je taka istá ako pre Bp

N :

βp(z) = h−p(1− z)p



Vlastnosti matíc FpN

F 2N = F 1

N F1N ,

F pN = F 1

N F1N . . . F

1N︸︷︷︸

p

,

F p+qN = F p

N FqN = F q

N FpN ,

(BpN) = F p

N , (F pN) = Bp

N .



Integrovanie (1-krát)

g1(t) =

t∫a

f (t)dt,

g1(tk) ≈ h

k−1∑i=0

fi, k = 1, . . . , N.

tk = kh, (k = 0, . . . , N)



g1(t1)g1(t2)g1(t3)

...g1(tN)

g1(tN + h)

= h

1 0 0 0 · · · 01 1 0 0 · · · 01 1 1 0 · · · 0· · · · · · · · · . . . · · · · · ·

1 · · · 1 1 1 01 1 · · · 1 1 1

f0

f1

f2...

fN−1

fN

I1N = h

1 0 0 0 · · · 01 1 0 0 · · · 01 1 1 0 · · · 0· · · · · · · · · . . . · · · · · ·

1 · · · 1 1 1 01 1 · · · 1 1 1

,

ϕ1(z) = h(1− z)−1.

B1NI

1N = I1

NB1N ←→ truncN (β1(z)ϕ1(z)) = 1←→ E.



Integrovanie (2-krát)

g2(t) =

t∫a

dt

t∫a

f (t)dt,

g′′2(t) = g′1(t) = f (t) in (a, b)

g2(tk) = hk−1∑i=0

g1(ti) = hk−1∑i=1

g1(ti) = hk−1∑i=1

hi−1∑j=0

fj =

= h2k−1∑i=1

i−1∑j=0

fj = h2k−2∑j=0

(k − j − 1) fj =

= h2((k − 1)f0 + (k − 2)f1 + . . . + 2fk−3 + fk−2),

k = 2, 3, . . . , N.



g2(t2)g2(t3)

...g2(tN )

g2(tN + h)g2(tN + 2h)

= h2

1 0 0 0 · · · 02 1 0 0 · · · 0

· · · · · · . . . · · · · · · · · ·· · · 3 2 1 0 0N · · · 3 2 1 0

N + 1 N · · · 3 2 1

f0

f1...

fN−2fN−1fN

I2N = h2

1 0 0 0 · · · 02 1 0 0 · · · 0· · · · · · . . . · · · · · · · · ·· · · 3 2 1 0 0N · · · 3 2 1 0

N + 1 N · · · 3 2 1

,

ϕ2(z) = h2(1− z)−2.

B2NI

2N = I2

NB2N ←→ truncN (β2(z)ϕ2(z)) = 1←→ E. (1)



Integrovanie (p-krát)

gp(t) =

t∫a

dτp

τp∫a

dτp−1 . . .

τ2∫a

f (τ1)dτ1,

IpN = h

γ0 0 0 0 · · · · · · 0γ1 γ0 0 0 · · · · · · 0· · · · · · . . . · · · · · · · · · · · ·· · · γ2 γ1 γ0 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · . . . · · · · · ·γN−1 · · · · · · γ2 γ1 γ0 0γN γN−1 · · · · · · γ2 γ1 γ0

,

BpNI

pN = IpNB

pN ←→ truncN (βp(z)ϕp(z)) = 1←→ E.



Ľavé R-L derivácie

aDαtkf(t) ≈ ∇

αf(tk)hα

= h−αk∑j=0

(−1)j(α

j

)fk−j , k = 0, 1, . . . , N.

h−α∇αf(t0)

h−α∇αf(t1)

h−α∇αf(t2)...

h−α∇αf(tN−1)

h−α∇αf(tN )

=

1hα

ω(α)0 0 0 0 · · · 0

ω(α)1 ω

(α)0 0 0 · · · 0

ω(α)2 ω

(α)1 ω

(α)0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . · · · · · ·ω

(α)N−1

. . . ω(α)2 ω

(α)1 ω

(α)0 0

ω(α)N ω

(α)N−1

. . . ω(α)2 ω

(α)1 ω

(α)0

f0

f1

f2...

fN−1

fN

ω

(α)j = (−1)j

(α

j

), j = 0, 1, . . . , N.



BαN =

1hα

ω(α)0 0 0 0 · · · 0ω

(α)1 ω

(α)0 0 0 · · · 0

ω(α)2 ω

(α)1 ω

(α)0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . · · · · · ·ω

(α)N−1

. . . ω(α)2 ω

(α)1 ω

(α)0 0

ω(α)N ω

(α)N−1

. . . ω(α)2 ω

(α)1 ω

(α)0

βα(z) = h−α(1− z)α.

BαNB

βN = Bβ

NBαN = Bα+β

N ,

aDαt ( aD

βt f (t)) = aD

βt ( aD

αt f (t)) = aD

α+βt f (t),

f (k)(a) = 0, k = 1, 2, . . . , r − 1,

r = max{n,m}



Ľavý R-L integrál

aD−αt f (t) =

1Γ(α)

t∫a

(t− τ )α−1f (τ )dτ, (a < t < b),

IαN = (BαN)−1

.

IαN ←→ ϕN(z) = truncN(β−1α (z)

)= truncN (hα(1− z)−α) .

IαN = hα

ω(−α)0 0 0 0 · · · 0ω

(−α)1 ω

(−α)0 0 0 · · · 0

ω(−α)2 ω

(−α)1 ω

(−α)0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . · · · · · ·ω

(−α)N−1

. . . ω(−α)2 ω

(−α)1 ω

(−α)0 0

ω(−α)N ω

(−α)N−1

. . . ω(−α)2 ω

(−α)1 ω

(−α)0



Príklad: Riesz-ovo jadro

1Γ(1− α)

1∫−1

y(τ ) dτ|t− τ |α

= 1, (−1 < t < 1),

Exaktné riešenie:

y(t) = π−1Γ(1− α) cos(απ

2

)(1− t2)(α−1)/2.

Numerické riešenie:

−1D−(1−α)t y(t) + tD

−(1−α)1 y(t) = 1,

(B−(1−α)N + F

−(1−α)N )YN = FN



Príklad: Riesz-ovo jadro

α = 0.8

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

analytical solutionnumerical solution (h=0.005)



Príklad (Caputove derivácie)

y(α)(t) + y(t) = 1, (2)

y(0) = 0, y′(0) = 0, (3)

Exaktné riešenie:

y(t) = tαEα,α+1(−tα). (4)

Numerické riešenie:

{BαN−2 + EN−2} {S0,1YN} = S0,1FN . (5)

pričom zo začiatočných podmienok máme:

y0 = y1 = 0



Príklad (Caputove derivácie)

α = 1.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

analytical solutionnumerical solution (h=0.01)



Aplikácie?



16

Hlavné oblasti aplikácie (1)

Nové reologické modely.Nové matematické modely (zákony)deformovania väzkopružných materiálov.



17


Vplyv histórie procesu na jeho stav.Modelovanie „pamäti“ procesu.

Derivácia 0Dtαf(τ) slúži pre modelovanie

vplyvu histórie procesu f(τ) (t.j. množiny hodnôt f(τ) pre τ < t)na jeho stav v čase t.

Starnutie materiálov, opotrebovanie, atď.



18


Dynamické procesy vo fraktáloch.Matematické modely dynamických procesovvo fraktáloch (samopodobných štruktúrach alebomateriáloch) vedú k DRNR, pričom rád rovnicezávisí od fraktálnej dimenzie.

Pórovité materiály, chemické reakcie, difúzia, nové typy elektrických obvodov, fyziológia, chaotické procesy, ekonofyzika atď.



19


Teória riadenia procesov.Dynamické sústavy neceločíselného ráduako adekvátnejšie modely reálnych dynamických objektov a procesov.Regulátory neceločíselného rádu.Robustné riadenie.



20


Fyzika „neceločíselného rádu“?Hookeov zákon:

Newtonova kvapalina:

Newtonov II. zákon:

xkF =

xkF ′=

xkF ′′=

)()( )( txktF α=

Diffusion–wave equation: 2

2

xu

tu

∂∂=

∂∂

α

α



Asereje – The Ketchup Problem



22

xtxfk

xtxf

t ∂∂−=

∂∂

∂∂ ),(),(

Klasický prístup:Klasický prístup:Klasický prístup:Klasický prístup:„rýchlosť zmeny lokálneho tvaru povrchu kvapaliny závisí od aktuálneho sklonu tohto povrchu“

Vyrovnávanie hladiny taveniny vo vysokej peci (1)

xtxf

∂∂=γ ),(tan

−−ρ

+−ϕ= ktea

Mktextxf 1)(),(



23

Vyrovnávanie hladiny taveniny vo vysokej peci (2)

xtxf

∂∂=γ ),(tan

Skutočný vzťah príčinaSkutočný vzťah príčinaSkutočný vzťah príčinaSkutočný vzťah príčina––––dôsledok:dôsledok:dôsledok:dôsledok:„geometrické charakteristiky objektu sa menia v dôsledku jeho pohybu“

xtxfk

xtxfDt ∂

∂−=

∂∂α ),(),(

0

( ) ( )( )αα

αα −−

ρ+−ϕ= ktE

aMktExtxf 1,1, 1)(),(

α = 0.85 α = 1.5



24

Laná v Nižnej Slanej (regr. 2)



25

Laná v Nižnej Slanej (regr. 3)



27

Laná v Nižnej Slanej (model necelého rádu)

)0(

)()(

,,,1

00

21

m

tyDataty

yyym

ktm

kk

n

≤α<

−=∑−

=

α−

K

?),,0(, −=α mmkak

)1,0(,0)0(;)()( )(1

00 −==−=+ ∑

−

=

α mkztaatzatzD km

k

kkmmt

3255,1=α



Sústavy a regulátory

neceločíselného rádu



28

Sústavy a regulátory neceločíselného rádu

Gc(s) Gs(s)++++

��

W(s) E(s) U(s) Y(s)

00

11

11

1)( ββ−β−

β ++++=

sasasasasG

nn

nn

sK

)()()()( 00

11 tutyDatyDatyDa n

nn

n =+++ β−β−

β K



29

PIλλλλDμμμμ regulátory

µλ− ++== sKsKKsEsUsG DIpc )()()(

)()()()( teDKteDKteKtu DIpµλ− ++=



30

Prednosti PIλλλλDμμμμ regulátorov – príklad

Porovnanie prechodových charakteristík„reality“ a „modelu“.



31


Riadenie „reality“ a „modelu“pomocou PD regulátora,optimálneho pre „model“.



32


Riadenie „reality“ a „modelu“pomocou PD regulátora,navrhnutého pre „model“,po jeho „rozladení“(pri TD = 1).



33


Riadenie „reality“pomocou PD regulátora,optimálneho pre „model“,a pomocou PDμ regulátora.



Digitálna realizácia:PLC B & R 2005



Geometrická interpretáciaintegrovania necelého

rádu:tiene na stenách

0Iαt f (t) =

1Γ(α)

t∫0

f (τ )(t− τ )α−1 dτ, t ≥ 0,

0Iαt f (t) =

t∫0

f (τ ) dgt(τ ),

gt(τ ) =1

Γ(α + 1){tα − (t− τ )α}.

Pre t1 = kt, τ1 = kτ (k > 0) máme:

gt1(τ1) = gkt(kτ ) = kαgt(τ ).



0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

t, τgt(τ)

f(t)

„Živý plotÿ a jeho tiene: 0I1t f (t) a 0I

αt f (t),

pre α = 0.75, f (t) = t + 0.5 sin(t), 0 ≤ t ≤ 10.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10t, τg

t(τ)

„Živý plotÿ: ako sa mení jeho základpre 0I

αt f (t), α = 0.75, 0 ≤ t ≤ 10.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Gt(τ)

F(t

)

„Živý plotÿ: najdôležitejší tieňpre 0I

αt f (t), α = 0.75, f (t) = t + 0.5 sin(t), 0 ≤ t ≤ 10.

Interval medzi „zábermiÿ ∆t = 0.5.



„Pravýÿ R-L integrál

tIα0 f (t) =

1Γ(α)

b∫t

f (τ )(τ − t)α−1 dτ, t ≤ b,

0

12

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10g

t(τ) t, τ

tIα10f (t), α = 0.75, 0 ≤ t ≤ 10



Riesz-ov potenciál

0Rαb f (t) =

1Γ(α)

b∫0

f (τ )|τ − t|α−1 dτ, 0 ≤ t ≤ b,

0

12

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10g

t(τ) t, τ

0Rα10f (t), α = 0.75, 0 ≤ t ≤ 10



Ako si predstavujeme čas?

0 1t

7654311 2

t3 4 5 6 70

Výpočet drahy pri spomaľujúcich sa hodinách

Subjektívne Zaznamenaná Objektívne„sekundyÿ rýchlosť [m/s] („kozmickéÿ)

„sekundyÿ

0 10 01 11 12 12 33 13 74 12 155 11 316 10 637 9 127

SN = 10 ·1+11 ·1+12 ·1+13 ·1+12 ·1+11 ·1+10 ·1 = 79.

SO = 10·1+11·2+12·4+13·8+12·16+11·32+10·64 = 1368.



Fyzikálna interpretáciaStieltjes-ovho integrálu

SO(t) =

t∫0

v(τ ) dg(τ ).

Stieltjesov integrál môže byť interpretovaný ako skutočnávzdialenosť, ktorú prešiel pohybujúci sa objekt, pre ktorý bolizaznamenané správne hodnoty rýchlosti a nesprávne hodnotyčasových intervalov, pričom závislosť medzi nesprávne zazna-menaným časom τ a správnym časom T je daná známoufunkciou T = g(τ ).



Fyzikálna interpretácia

R-L integrálu:tiene minulosti

SO(t) =

t∫0

v(τ ) dgt(τ ) = 0Iαt v(t),

gt(τ ) =1

Γ(α + 1){tα − (t− τ )α}.

R-L integrál SO(t) funkcie v(τ ) môže byť interpretovaný akoskutočná vzdialenosť, ktorú prešiel pohybujúci sa objekt, prektorý boli zaznamenané lokálne hodnoty jeho rýchlosti (sub-jektívna rýchlosť) a lokálne hodnoty času (subjektívny čas),pričom závislosť medzi lokálne zaznamenaným časom τ (po-važovaným za rovnomerný) a kozmickým časom T (plynúcimnerovnomerne) je daná známou funkciou gt(τ ).



Záver?

Nie, začiatok!



34

Namiesto záveru (1)

G.W. Scott BlairG.W. Scott BlairG.W. Scott BlairG.W. Scott Blair ((((1950195019501950))))::::

“We may express our concepts in Newtonian terms if we find this convenient but, if we do so, we must realize that we have made a translation into a language which is foreign to the system which we are studying.”



35


S. S. S. S. WesterlundWesterlundWesterlundWesterlund ((((1991199119911991))))::::

“Expressed differently, we may say that Nature works with fractional time derivatives.”



36


K.K.K.K. NishimotoNishimotoNishimotoNishimoto (19(19(19(1989898989):):):):

“The fractional calculus is the calculus of the XXI century.”

derivÆcie neceloŁíselnØho rÆdu: história, teória,...

Documents