Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

04.03.2014

Rastgele değişken kavramı

Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler

İki boyutlu rastgele değişkenler

Beklenen değer

Varyans

04.03.2014

Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla eşleştiren fonksiyona rastgele değişken denir.

Her rastgele değişleni tanımlayan bir (kümülatif) dağılım fonksiyonu vardır

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 • 𝐹 𝑥 sürekli artan bir fonksiyondur

• lim𝑥→−∞

𝐹 𝑥 = 0

• lim𝑥→∞

𝐹 𝑥 = 1

04.03.2014

Eğer örnek uzay belirli sayıda elemandan ya da sayılabilir sayıda elemanın sonsuz serisinden oluşuyorsa (mesela tam sayılar), buna kesikli örnek uzay denir.

Kesikli örnek uzaydaki elemanları bir sayıyla eşleştiren fonksiyonlara kesikli rastgele değiken denir.

Kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu tanımlıdır:

𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑖𝑥𝑖≤𝑥

04.03.2014

10 metre uzunluğundaki sentetik kumaş parçasındaki defo sayısını belirten X rastgele değişkeni aşağıda gösterilen olasılık fonksiyonuna sahiptir.

a) X’in kümülatif dağılım fonksiyonu nedir?

b) 10 metredeki defo sayısının 2’den fazla olma olasılığı nedir?

c) 10 metredeki defo sayısının en fazla 1 olma olasılığı nedir?

𝒙 0 1 2 3 4

𝑓 𝑥 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01

04.03.2014

a) 𝐹 𝑥 =

00,410,78

𝑥 < 00 ≤ 𝑥 < 11 ≤ 𝑥 < 2

0,940,991

2 ≤ 𝑥 < 33 ≤ 𝑥 < 44 ≤ 𝑥

b) 1 − 𝐹 2 = 1 − 0,94 = 0,06 c) 𝐹 1 = 0,78

𝒙 0 1 2 3 4

𝑓 𝑥 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01

04.03.2014

İki zar aynı anda atılıyor. X rastgele değişkeni zarların üstünde gelen sayılardan büyük olanı olsun. X’in olasılık fonksiyonu nedir?

𝑓 𝑥 =

1/363/365/36

𝑥 = 1𝑥 = 2𝑥 = 3

7/369/3611/360

𝑥 = 4𝑥 = 5𝑥 = 6𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥

04.03.2014

Bir rastgele değişken bir ya da birden fazla aralıktaki her gerçek (reel) değeri alabiliyorsa buna sürekli rastgele değiken denir.

Sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlıdır:

𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

−∞

04.03.2014

Bir öğretim üyesi dersini hiç bir zaman zamanında bitirememekte, dersin süresinden sonraki iki dakika içinde bitirmektedir. X rastgele değişkeni, dakika olarak dersin süresinden sonra geçen zamanı göstersin. X’in yoğunluk fonksiyonu

𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟

olsun

a) 𝑘’nın değeri kaçtır?

b) dersin süresinden sonraki bir dakika içinde bitme olasılığı kaçtır?

04.03.2014

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =∞

−∞

𝑘𝑥2𝑑𝑥2

0

=1

3𝑘𝑥3

𝑥=2=8

3𝑘

⇒ 𝑘 =3

8

3

8𝑥2𝑑𝑥 =

1

0

1

3×3

8𝑥3

𝑥=1=1

8

04.03.2014

Aynı deneylerin sonucu olan birden fazla rastgele değişken olabilir, örneğin: ◦ Bir kimya deneyinin sonunda ortaya çıkan sıcaklık

ve pH.

◦ Bir hastanın yaşı ve kilosu

◦ Bir banka müşterisinin aylık kredi kartı harcaması

Ortak dağılım fonksiyonu: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦

04.03.2014

Örnek uzak kesikli ise Ortak Olasılık Fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦

Örnek uzay sürekli ise Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:

𝛿2𝐹 𝑥, 𝑦

𝛿𝑥𝛿𝑦= 𝑓 𝑥, 𝑦

04.03.2014

Tek bir değişkene ait marjinal olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun diğer değişken üzerinden toplanması (integrali) ile bulunur:

𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦𝑦 ℎ 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦𝑥

𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 ℎ 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

04.03.2014

Bir süpermarkette hem normal hem de ekspres kasa vardır. 𝑋1 normal kasada bekleyen müşteri sayısını, 𝑋2 ekspres kasada bekleyen müşteri sayısını göstersin. 𝑋1 ve 𝑋2’nin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verildiği gibi olsun.

0 1 2 3 0 0,08 0,07 0,04 0,00

1 0,06 0,15 0,05 0,04 2 0,05 0,04 0,10 0,06 3 0,00 0,03 0,04 0,07 4 0,00 0,01 0,05 0,06

𝑥1

𝑥2

04.03.2014

a) Her iki sırada da birer müşteri olması olasılığı nedir? b) Her iki sırada da aynı sayıda müşteri olması olasılığı nedir? c) Bir kasada diğerinden en az iki fazla müşteri olması 𝐴 olayı olsun. 𝐴’yı 𝑋1 ve 𝑋2 olarak ifade edip olasılığını hesaplayın d) İki kasada toplam 4 müşteri olma olasılığı nedir? e) İki kasada en az 4 müşteri olma olasılığı nedir?

0 1 2 3 0 0,08 0,07 0,04 0,00

1 0,06 0,15 0,05 0,04 2 0,05 0,04 0,10 0,06 3 0,00 0,03 0,04 0,07 4 0,00 0,01 0,05 0,06

𝑥1

𝑥2

04.03.2014

a) P 𝑋1 = 1, 𝑋2 = 1 = 𝑓 1,1 = 0,15

b)P 𝑋1 = 𝑋2 = 𝑓 𝑥1, 𝑥1 = 0,08 + 0,15 + 0,10 + 0,07 = 0,4𝑥1

c) 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑋1 ≥ 𝑋2 + 2 + 𝑃 𝑋2 ≥ 𝑋1 + 2 = 0,04 +0,04 + 0,05 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,04 = 0,24

d) 𝑃 𝑋1 + 𝑋2 = 4 = 0,03 + 0,10 + 0,04 = 0,17

e)𝑃 𝑋1 + 𝑋2 ≥ 4 = 𝑓 𝑥1, 𝑥14𝑥2=4−𝑥1

= 0,463𝑥1=0

04.03.2014

Bir rastgele değişkenin alabileceği tüm değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır.

Rastgele değişkenin merkezi yönelimi için bir göstergedir.

𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥𝑥

𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 × 𝐸 𝑥

04.03.2014

Bir tesisteki haftalık propan gazı tüketimininin metreküp birimi ile gösteren 𝑋 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

𝑓 𝑥 = 2 1 −

1

𝑥21 ≤ 𝑥 ≤ 2

0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑦𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑑𝑒

a) 𝑋’in beklenen değeri kaçtır?

b) Haftalık tüketimin ortalamadan az olma olasılığı nedir?

04.03.2014

𝜇𝑥 = 𝑥 × 2 1 −1

𝑥2

2

1

𝑑𝑥 = 2 𝑥 −1

𝑥

2

1

𝑑𝑥

= 2𝑥2

2− ln 𝑥

𝑥=2

−𝑥2

2− ln 𝑥

𝑥=1

= 2 2 − ln 2 −1

2

= 3 − 2 ln 2 ≅ 1,614

𝑃 𝑋 < 𝜇𝑥 = 2 1 −1

𝑥2𝑑𝑥 =

𝜇𝑥

1

= 2𝑥 +2

𝑥 𝑥=1,614− 2𝑥 +

2

𝑥 𝑥=1≅ 0,47

04.03.2014

Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır.

Değişkenlik (yayılım) için bir göstergedir.

𝜎𝑥2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥

2

𝜎𝑥2 = 𝑋 − 𝜇𝑥

2𝑓 𝑥

𝜎𝑥2 = 𝑋 − 𝜇𝑥

2𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

04.03.2014

Varyansın kareköküne standart sapma denir

𝜎𝑥 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋

Varyans hesaplamak için kısayol: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2

𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2𝑉𝑎𝑟 𝑋

𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌

04.03.2014

Bir önceki alıştırmadaki propan gazı tüketiminin varyansı nedir?

𝐸 𝑋2 = 𝑥2 × 2 1 −1

𝑥2𝑑𝑥 = 2 𝑥2 − 1𝑑𝑥 =

2

1

2

1

21

3𝑥3 − 𝑥

𝑥=2−

1

3𝑥3 − 𝑥

𝑥=1= 2

4

3=8

3

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 =8

3− 1,6142 ≅ 0,0617

04.03.2014

Üç madeni para atılıyor, 𝑋 rastgele değişkeni tura gelenlerin sayısı olsun. Buna göre 𝜇𝑥 ve 𝜎𝑥

2kaçtır? 𝑆 = 𝑌𝑌𝑌, 𝑌𝑌𝑇, 𝑌𝑇𝑌, 𝑌𝑇𝑇, 𝑇𝑌𝑌, 𝑇𝑌𝑇, 𝑇𝑇𝑌, 𝑇𝑇𝑇

𝑓 𝑥 =

18 0, 3

38 1, 2

0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑦𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑑𝑒

𝜇𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 = 0 ×1

8+1 ×

3

8+ 2 ×

3

8+ 3 ×

1

8=3

2

𝐸 𝑋2 = 𝑥2𝑓 𝑥 = 02 ×1

8+12 ×

3

8+ 22 ×

3

8+ 32 ×

1

8=

3+12+9

8= 3

𝜎𝑥2 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 3 −

3

2

2

=3

4

04.03.2014