ders 9: hipotez testleri -...
TRANSCRIPT
Atatürk Üniversitesi
Hipotez Testleri
Prof. Dr. İrfan KAYMAZ
İstatistik ve Olasılık
Ders 9: Hipotez Testleri
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriTanım
Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu
önceden bilinmeyen iddialardır.
Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen bilgilere bağlı olarak, belirli bir
hata payı ile doğrulanmasına HİPOTEZ TESTİ denir.
Örneğin:
İki üretim yönteminin aynı olup olmadığı,
İki farklı tezgahın üretim hassasiyetlerinin aynı olup olmadığı,
İki farklı antibiyotiğin tedavi etkinliklerinin aynı olup olmadığı
gibi hususlar ayrı birer hipotezin konusudur.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriTanım
Hipotez testi;Örneklerden elde edilen bilgiler ile teoriyi kıyaslayıp KARAR VERMEYİ içerir.
Dolayısıyla aşağıdaki sorulara cevap verilmesi gerekir:
Örneklerden yapılan çıkarımın Kurulan hipotez ile uyumsuz olduğuna nasıl karar
verebiliriz?
Kurulan hipotezi ne zaman ret/kabul edebiliriz?
Hatalı karar verme ihtimalimiz nedir?
hipotez testi
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testi Nedir?
Örnek:Formula 1 araçlarının süspansiyon sistemindekullanılan bir parçanın ömrünün normal dağıldığıve ortalamasının 10.000 ve standart sapmasınınise 2.000 olduğu belirlenmiştir.
Bu parçayı üreten firmanın mühendislikdepartmanı, parçaların ömürlerinin artırmak içinyeni bir üretim yöntemi geliştirmişlerdir.
Yeni üretim yöntemiyle üretilen parçaların ömürleri daha uzun olabilir mi?
Bu soruya hipotez testi kullanarak cevap verebiliriz.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testi Nedir?
Örnek Çözüm:Bu karar verme problemini basitleştirmek birkaç kabul yapalım:
Yeni üretim yönteminden elde edilecek parçaların ortalama ömürleri en
azından eski üretim yönteminden elde edilecekler kadar olacaktır.
Standart sapma ve dağılım tipi (normal dağılım) olarak kalacaktır.
Yukarıdaki ifadelerden:X->yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrünü göstersin
İki durum ortaya çıkar:
1.Yeni üretim yöntemi ile elde edilen parçaların ömrü daha uzun değil ise m=10.000
2.Yeni üretim yöntemi ile elde edilen parçaların ömrü daha uzun ise m>10.000
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testi Nedir?
Örnek Çözüm (devam):Bu iki ifade, yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü ile ilgili iki hipotezi ortaya koyar:
BİRİNCİ HİPOTEZ:Yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü eski üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü kadardır: m=10.000.Aralarında fark yoktur (ömürler arasındaki fark sıfırdır) dolayısıyla bu hipotez SIFIR Hipotezi (H0) olarak adlandırılır.
İKİNCİ HİPOTEZ:Yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü eski üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömründen fazladır; m>10.000. Alternatif hipotez olarak adlandırılır ve H1 ile gösterilir.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testi Nedir?
Bu hipotezleri test etmek için:
Yeni üretim metoduyla üretilmiş 25 örnek parça alalım.
Ve şu varsayımı dikkate alalım:
Bu örneklerin ortalama ömürleri 11.000 çevrimden daha fazla ise: H0-> RET
Bu örneklerin ortalama ömürleri 11.000 çevrimden daha az ise: H0-> KABUL
Testin kurulumu:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testi Nedir?
Kurulan test ne kadar iyi?
Kurulan testi değerlendirmek için iki tip hata tanımlanır:
I. Tip hata ( ): H0 hipotezi doğru iken H0 hipotezinin reddedilmesi
II. Tip hata (b ): H0 hipotezi yanlış iken H0 hipotezinin kabul edilmesi
= P{I. Tip hata yapma} = P{Ho reddedilir | Ho doğru}
b = P{II. Tip hata yapma} = P{Ho reddedilemez | Ho yanlış}
Bu örnek için:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testi Nedir?
Elde edilen sonuç ne anlama geliyor?
Dikkate aldığımız 25 örneğin ortalaması: 11.500 çevrim olarak hesaplanmış olsun
Bu durumda Ho hipotezi reddedilir. Yani:Yeni üretim yöntemi ile imal edilen parçaların ömrü 10.000 çevrime eşit değildir.
H1 hipotezi kabul edilir. Yani: Yeni üretim yöntemi ile imal edilen parçaların ömrü 10.000 çevrimden daha fazladır.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testinin Temel Kavramları
Bir hipotezin kurulmasında aşağıdaki şartların yerine getirilmesi önerilmektedir:
Bilimsel ilişkiler bakımından anlamlı ve mantıklı olmalıdır.
Önceki bilgilere dayanmalı ve bilimin temellerine uygun düşmelidir.
Bilimsel yöntemlerle doğruluğu denetlenebilmelidir.
Hipotez testleri:
parametrik : Hipotez testinde verilere ait ortalama, varyans ve oran gibi
değerler kullanılır
parametrik olmayan (non parametrik) : verilere ait sıralama ve işaret gibi
göstergeler kullanılır
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHata Tipleri ve Testin Gücü
Hipotez testlerinde doğru bir hipotezin reddedilmesi veya yanlış bir hipotezin kabul edilmesi olasılıkları da vardır. Bu olasılıklar hata tipleri ile açıklanmaktadır.
Doğru bir hipotezin reddedilmesi halinde işlenen hataya I. tip hata (),
Yanlış bir hipotezin kabul edilmesi halinde işlenen hataya da II. tip hata (b)
Hipotez testinin çalışma prensibi:
Örnek veriler Kriter Ho reddedilir veya reddedilemez Çıkarsama
Bir hipotez testi sonucunda 4 durumla karşılaşılabilir:
1. H0 doğru iken H0 reddedilemez (doğru karar) Teste Anakütleye göre2. H0 gerçekte yanlış iken H0 reddedilir (doğru karar) göre
H0 Doğru H0 Yanlış3. H0 doğru iken H0 reddedilir (I. Tip hata ) H0 ret I. tip hata Doğru
karar4. H0 yanlış iken H0 reddedilemez (II. Tip hata b) H0 kabul Doğru karar II. tip hata
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHata Tipleri ve Testin Gücü
Bir testin ne kadar iyi olduğu bu olasılıklarla belirlenir. Anakütle yerine örnek üzerinde çalışıldığı sürece iki hata tipini birlikte ortadan kaldırmak mümkün değildir. Birisinin çok küçültülmesi diğerinin aşırı derecede büyümesine neden olur. Sadece örnek büyüklüğü artırılarak iki hata tipi birlikte kontrol altında tutulabilir. Öte yandan, yapılan testin gücü testin gücü=1-b formülü ile ölçülmektedir.
Araştırmalarda genellikle doğru bir hipotezin reddedilme riski olan I. tip hata ile ilgilenilmektedir.I. tip hata (), aynı zamanda testin önem seviyesini de göstermektedir. I. tip hata için çoğunlukla =0.05 veya =0.01 değerleri , nadiren de =0.10 değeri kullanılmaktadır.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriTek ve Çift Yönlü Testler
Alternatif hipotezin (H1) kuruluş biçimine göre testler tek veya çift yönlü olarak
adlandırılır.
H1:m>m0
H1:m<m0 biçiminde ise test tek yönlü
H1:m m0 biçiminde ise test çift yönlü
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriTek Ve Çift Yönlü Testler
Örneğin:Yeni geliştirilen bir üretim yönteminin eski yöntemden daha iyi olup olmadığı karşılaştırılacaksa
İki tezgahın üretimi karşılaştırıldığında
Hipotez testi:
Hipotez testi:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testinin Aşamaları
Hipotez testlerinde işlemler 5 adımda yürütülür:
1.Hipotezler (Ho ve H1) kurulur. Hipotezler anakütle parametreleri üzerine kurulur.Örneğin:bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere eşit olup olmadığı test edilecekse “Ho:m=m0 ve H1:m>m0 veya m<m0 veyam m0” şeklinde hipotezler kurulabilir.
2.İncelenen olayın dağılımına bağlı olarak karşılaştırmada esas alınacak tablo değeri (teorik değer) belirlenir.Örneğin:Alternatif hipotezin kuruluş biçimine bağlı olarak t dağılımı kullanılacaksa t, n-1 veya t/2, n-1 , Z dağılımı kullanılacaksa Z, veya Z/2 ilgili tablo değerini gösterir.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriHipotez Testinin Aşamaları
3. Olayla ilgili veriler toplanır ve olayın dağılımına uygun test istatistiği hesaplanır.
Örneğin:
t dağılımı kullanılacaksa olayla ilgili toplanan veriler kullanılarak th=( -m)/Sx
veya Z dağılımı kullanılacaksa Zh=(X-m)/ test istatistikleri hesaplanır
4. Tablo değeri ile test istatistiği karşılaştırılarak H0 hipotezi hakkında karar (kabul
veya red) verilir.
Genel kural: Test istatistiği > Tablo değeri H0 reddedilir
örneğin t dağılımı kullanılacaksa |th| >|t, n-1| veya |th| >|t/2, n-1| H0 reddedilir
örneğin Z dağılımı kullanılacaksa |Zh| >|Z| veya |Zh| >|Z/2| H0 reddedilir
5. Yorum yapılır: Adım 4 de elde edilen sonucun ne anlama geldiği sözel olarak
ifade edilir.
Örneğin alınan verilere (örneklere) göre anakütle ortalamasının belirli bir değere
eşit olup olmadığı test ediliyorsa “ hata {veya (1-) güven} seviyesinde anakütle
ortalamasının ...... değerine eşit (veya değerinden farklı) olduğu söylenebilir”
şeklinde bir yorum yapılabilir.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriStandart Normal Dağılımı ile yapılan testler
Dağılımın normal olduğu veya normale yakınsadığı durumlarda ortalama ve oranlarla ilgili testlerde Z dağılımı kullanılabilir. Ancak, bunun için aşağıdaki şartlardan birinin gerçekleşmesi gerekmektedir:
Anakütle varyansı bilinmelidir.Anakütle varyansı bilinmiyorsa örnek hacmi 30 veya daha fazla olmalıdır.
Z dağılımı yardımıyla yapılan testler şunlardır: Bir ortalamanın testi İki ortalama farkının testi Bir oranın testi İki oran farkının testi
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriBir Ortalamanın Testi
Herhangi bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere (m0) eşit olup olmadığı
değerleri kullanılarak hipotez testi ile incelenebilir
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriBir Ortalamanın Testi
Örnek:
Spor malzemeleri üreten bir firma, ürettiği olta iplerinin dayanma mukavemetiortalamasının 15 kg/mm2, standart sapmasının 0.5 kg/mm2 olduğunu açıklamıştır.
Firmanın bu iddiasını test etmek isteyen bir tüketici örgütü firmanın üretimindenrastgele 50 olta ipi almış ve ortalamasını 14.8 kg/mm2 olarak belirlemiştir.
%1 hata seviyesinde olta ipleri mukavemetinin 15 kg/mm2 ye eşit olup olmadığını testediniz.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriBir Ortalamanın Testi
Örnek Çözüm:Tüketici örgütünün aldığı örneklerden elde ettiği 14.8 kg/mm2 değeri ile firmanın beyan ettiği 15 kg/mm2 değeri arasındaki 0.2 kg/mm2 lik farklılığın tesadüfi mi olduğu, yoksa önemli bir farklılık mı olduğu test edilecektir.
=0.01 hata {veya (1-)=0.99 güven} seviyesinde olta ipleri mukavemetiortalamasının 15 kg/mm2 ‘den farklı olduğu söylenebilir.Başka bir ifadeyle, tüketici örgütünün gözlediği farklılık tesadüfi (şans eseri) değil,önemli bir farktır.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez Testleriİki Ortalama Farkının Testi
Örnek:Varyansları 56 ve 65 olan iki anakütleden sırasıyla 25 ve 30 birimlik örnekleralınmış ve birinci örneğin ortalaması 92, ikinci örneğin ortalaması da 88 olarakhesaplanmıştır.
Anakütle ortalamalarının farklı olup olmadığını %5 hata seviyesinde test ediniz.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez Testleriİki Ortalama Farkının Testi
Örnek Çözüm:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez Testlerit Dağılımı ile Yapılan Testler
Zaman, para ve kaynak bakımından karşılaşılan sıkıntılar nedeniyle bilimsel
çalışmalarda genellikle az sayıda örneğin incelenmesi ve elde edilen sonuçlardan
tümevarım yöntemiyle anakütle hakkında çıkarsama yapılmaktadır.
Çalışmalarda genellikle anakütle varyansı (2) bilinmez, ancak örnek varyansı (S2)
elde edilen verilerden hesaplanabilir.
Ayrıca, yukarıda sayılan nedenlerden dolayı yeterli sayıda örnek alınamaz.
Bu gibi durumlarda elde edilen sonuçların istatistiksel analizi yapılırken küçük
örnekler için geliştirilen t dağılımından yararlanılır. Genel olarak, t dağılımı ile
yapılan hipotez testlerindeki işlemler Z dağılımı ile yapılan testlerdeki işlemlerin
benzeridir. Sadece test istatistiği (th) ve tablo değeri (t,n-1 veya t/2,n-1 ...., vb)
farklıdır.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez Testlerit Dağılımı ile Yapılan Testler
t dağılımı yardımıyla yapılan testler şunlardır:
Bir ortalamanın testi
İki ortalama farkının testi
Grup karşılaştırması (bağımsız gruplar)
Eşleme testi (bağımlı gruplar)
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriBir Ortalamanın Testi
Anakütle varyansının bilinmediği ve küçük örneklerin kullanıldığı çalışmalardaherhangi bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere (m0) eşit olup olmadığıaşağıda tanımlanan hipotez ile kararlaştırılabilir.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriBir Ortalamanın Testi
Örnek:
Bir bölümde okuyan öğrencilerin not ortalamasının 70 olduğu bölüm yöneticileri
tarafından iddia edilmektedir. Bu iddianın doğru olup olmadığını test etmek üzere
Bölüm öğrencileri arasından rasgele seçilen 26 öğrencinin notları tespit edilmiş ve
ortalaması 67, varyansı 9 olarak hesaplanmıştır.
%99 güven (%1 hata) seviyesinde Bölüm yöneticilerinin iddiasının doğru olduğu
söylenebilir mi?
(Başka bir ifadeyle, sözü edilen bölümdeki öğrencilerin not ortalamalarının 70 den
az olduğu söylenebilir mi?)
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriBir Ortalamanın Testi
Örnek Çözüm:Anakütle varyansı bilinmediğinden ve örnek hacmi 30’dan küçük olduğundan dolayı küçük örneklerin analizi için geliştirilen t dağılımı ile hipotez testi yapılacaktır.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
Gamma dağılımının bir özel şekli olan ki-kare (2) dağılımının k ile gösterilen vepozitif tamsayı değer alabilen tekparametresi vardır. Dağılımın buparametresine serbestlik derecesi denir.Küçük serbestlik dereceleri için dağılımsağa çarpık iken serbestlik derecesi arttıkçayavaş yavaş simetrikleşmektedir. X,parametresi k olan ki-kare dağılmış birdeğişken aşağıdaki şekilde yazılır.
X serbestlik derecesi k olan ki-kare dağılmış bir rastgele değişken olarakokunur.2 dağılmış rastgele değişkenlerin, bilinen serbestlik derecelerine bağlı olarakilgilenilen olasılıkları için tablolar hazırlanmıştır.2 değişkeni, kareler toplamı ile ilgili olduğundan daima pozitif değerler alır.
X k~ 2
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
Tablo değeri okurken dikkat edilmesi gereken hususlar:
2 tablosunda en sol tarafında serbestlik dereceleri, en üst tarafında ise kuyruk bölgesinde kalan çeşitli olasılıklar verilmiştir. Tablonun içindeki değerler ise o sütunun üzerindeki olasılıklar için kritik değerlerdir.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
Tablo değeri okurken dikkat edilmesi gereken hususlar:
2 dağılımı çarpık bir dağılımdır.
t ve Z dağılımlarından farklı olarak sol kuyruk altında kalan alan ile sağ kuyruk
altında kalan alan birbirine eşit değildir.
hipotez testinde alternatif hipotez çift yönlü ise alt ve üst kritik değerlerin ayrı
ayrı hesaplanması gerektiği görülecektir.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
Tablo değeri okurken dikkat edilmesi gereken hususlar:
Bu nedenle, sol kuyruktaki alanlara karşı gelen kritik değerler ayrıca verilmiştir.
Sol kuyruktaki alanlara karşı gelen bu değerleri bulmak için tablonun üstünden
(1-) olasılığı için verilen sütunu bulup, karşı gelen kritik değer okunmalıdır.
Sağ kuyruktaki alanlara karşı gelen değerleri bulmak için tablonun üstünden ()
olasılığı için verilen sütunu bulup, karşı gelen kritik değer okunmalıdır.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
Varyansla ilgili testlerin yanısıra sayımla belirlenen kalitatif (niteliksel)
karakteristiklerle ilgili testlerde genellikle 2 dağılımı kullanılmaktadır.
2 dağılımının yaygın olarak kullanıldığı testler şunlardır:
Varyansla ilgili testler (veriler nicelikseldir, yani ölçümle elde edilir)
Uygunluk (uyum) testi
Bağımsızlık testi
Homojenlik testi
Bağımlı grupların testi
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
VARYANSLA İLGİLİ TESTLER
İncelenen veri grubunun değişkenliğinin belirlenmesi ve bunun kontrol altında tutulabilmesi birçok alanda olduğu gibi endüstriyel alanlarda da önemlidir.
Genellikle geliştirilen bir sistemdeki veya makinadaki sistematik sapmalar (ortalamanın hedef değerinden sapması gibi) kolaylıkla giderilebildiği halde sözü edilen sisteme veya makinaya ait hassasiyet (hassasiyet, sistemin değişkenliği ile ters orantılıdır) kolaylıkla değiştirilemez.
Sözgelimi, geliştirilen bir ölçü aleti ölçtüğü nesnenin büyüklüğünü gösterirken (bir anlamda tahmin ederken) gerçek değerden önemli miktarda sapma ortaya çıkıyorsa (yani ölçümüm standart sapması büyükse) bu aletten fazla bir yarar beklenemez.
Bu gibi nedenlerle varyansın (2‘nin) tahminlenmesi ve bunun için kurulacak hipotezlerin test edilmesi birçok durumda ortalamalar için yapılan hipotez testlerinden daha önemli olabilmektedir.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
VARYANSLA İLGİLİ TESTLER
Not: İki anakütle varyansının birbirine eşit olup olmadığı 2 dağılımı ile
değil, F dağılımı ile test edilmektedir. Çünkü bağımsız iki 2
değişkeni oranı F dağılımı göstermektedir. F dağılımı bir sonraki
derste açıklanacaktır.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
VARYANSLA İLGİLİ TESTLER
Örnek:
Bir çimento fabrikasında üretilen çimentodan yapılan betonların dayanımına
ilişkin standart sapmanın 1.24 kg/mm2 olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test
etmek üzere fabrikanın üretiminden rasgele alınan 25 birimlik örneğin ortalama
dayanma miktarı ölçülmüştür. Daha sonra ölçülen verilerin ortalaması 25
kg/mm2 ve varyansı da 2.4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre fabrika
yöneticilerinin iddiasının doğru olduğu söylenebilir mi? (=0.01)
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan TestlerVARYANSLA İLGİLİ TESTLER
Örnek Çözüm:Varyansın büyük olması istenmeyen bir durumdur.
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
UYGUNLUK (UYUM) TESTİ
Birçok araştırmada gözlenen frekansların H0 hipotezinde öne sürülen teorikfrekanslara uyup uymadığı belirlenmek (test edilmek) istenir.Örneğin:bir atölyede üretilen parçalarının boylarının parametreleri belirli olan birnormal dağılıma uyup uymadığı,bir kavşağa gelen araçların gelişlerarası süresinin parametresi belirli olanüstel dağılıma uyup uymadığı,...., vb konular test edilebilir.
Gözlenen frekansların, teorik olarak beklenen frekanslara uyup uymadığı ile ilgili olarak aşağıda verilen hipotez kurulabilir:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
UYGUNLUK (UYUM) TESTİ
Örnek:Bir zar 120 defa atılmış ve gelen değerler aşağıda verilmiştir.
Bu veriler esas alınarak sözü edilen zarın hilesiz olduğu söylenebilir mi? (=0.05)
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
UYGUNLUK (UYUM) TESTİ
Örnek Çözüm:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
UYGUNLUK (UYUM) TESTİ
Örnek:
Bir fabrika yöneticileri ürettikleri pillerin kullanım sürelerinin
dağılımına uyduğu iddia edilmektedir. Bunun doğru olup olmadığını test etmek için
sözü edilen fabrikanın üretimi olan 40 pil rastgele seçilmiş, kullanım süreleri (saat
olarak) belirlenmiş ve pillerin kullanım sürelerine ilişkin frekans dağılımı aşağıda
verilmiştir. %5 hata seviyesinde pillerin kullanım ömürlerine (sürelerine) ilişkin
derlenen bu verilerin sözü edilen dağılıma uygun olup olmadığını test ediniz.
X N~ ( . ; . ). . . .3 5 0 49
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
UYGUNLUK (UYUM) TESTİ
Örnek Çözüm:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler
UYGUNLUK (UYUM) TESTİ
Örnek Çözüm:
Atatürk Üniversitesi
Hipotez TestleriGelecek Dersin Konusu
Varyans Analizi….