desarrollo y validaciÓn de mÉtodos espectrales para el anÁlisis y diseÑo de ... ·...

Universidad de Málaga

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación

Tesis Doctoral

DESARROLLO Y VALIDACIÓN DE MÉTODOS

ESPECTRALES PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE

DISPOSITIVOS ÓPTICOS LINEALES Y NO-LINEALES

Autor Juan Gonzalo Wangüemert Pérez

Ingeniero de Telecomunicación

Director Iñigo Molina Fernández

Doctor Ingeniero de Telecomunicación

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN

Reunido el tribunal examinador en el día de la fecha, constituido por: Presidente: Dr.D. ____________________________________ Secretario: Dr.D. ____________________________________ Vocales: Dr.D. ____________________________________

Dr.D. ____________________________________

Dr.D. ____________________________________ para juzgar la Tesis Doctoral titulada Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales, presentada por D. Juan Gonzalo Wangüemert Pérez y dirigida por el Dr.D. Iñigo Molina Fernández, acordó por ____________________________________otorgar la calificación de _________________________________________________________________

Málaga, a____ de________________de 1999

El Presidente El Secretario Fdo: _____________________ Fdo: ____________________ Vocal 1 Vocal 2 Vocal 3 Fdo: _______________ Fdo: _______________ Fdo: _______________

A Susana y a mis hijos, Gonzalo y Nuria

Indice

i

��

Agradecimientos ....................................................................................................... vii

Abstract......................................................................................................................... ix

Resumen ...................................................................................................................... xi

1. Introducción ........................................................................................................... 1

1.1.- Objetivos y Aportaciones de la Tesis ............................................................... 6

1.2.- Organización de la Tesis ................................................................................... 9

2.Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas:

Modelización .........................................................................................................

13

2.1.- El Método de Propagación del Haz .................................................................. 14

2.1.1.- Formulación ............................................................................................ 14

2.1.2.- Tipos de Soluciones ................................................................................ 18

2.1.3.- Propagación en Medios No-Lineales ...................................................... 20

2.1.4.- Limitaciones del Método de Propagación del Haz ................................. 25

2.2.- Wide-angle BPM ............................................................................................... 29

2.3.- Análisis Modal de Guiaondas Ópticas ............................................................. 31

2.4.- Normalización de la Ecuación de Ondas ......................................................... 33

2.5.- Las Condiciones de Contorno y las Condiciones de Salto ............................. 37

3. Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales ........................................... 41

3.1.- El Método de los Residuos Ponderados ........................................................... 42

3.2.- Las Funciones Base ............................................................................................ 45

3.2.1.- Completitud y Ortogonalidad .................................................................. 45

3.2.2.- Condiciones de Contorno ........................................................................ 46

3.3.- Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales ................................................ 47

3.3.1.- Método de Colocación ............................................................................ 48

3.3.2.- Método de Galerkin ................................................................................ 53

Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales

ii

3.4.- El Método de Descomposición de Fourier ....................................................... 55

3.4.1.- Operadores Matriciales ........................................................................... 56

3.4.2.- Submuestreo y Sobremuestreo ................................................................ 58

3.4.3.- Consideraciones de Tipo Numérico ........................................................ 61

3.4.3.1.- Resolución Numérica de las Integrales de Cruce: la FFT ........ 61

3.4.3.2.- Suavizado del Índice de Refracción ......................................... 63

3.4.3.3.- Formulación Compleja vs. Formulación Real ......................... 64

3.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss .......................................... 65

3.5.1.- Operadores Matriciales ........................................................................... 67

3.5.2.- Escalado de las Funciones Base: el Perfil Parabólico sin Truncar .......... 69

3.5.3.- Consideraciones de Tipo Numérico ........................................................ 71

3.6.- Métodos de Resolución ...................................................................................... 72

3.6.1.- El Método de la Autoconsistencia de los Campos ................................ 73

3.6.2.- El Método de Newton-Raphson ............................................................ 74

a) Evaluación del Sistema No-Lineal de Ecuaciones ........................... 76

b) Cálculo del Jacobiano ...................................................................... 79

3.7.- Resultados .......................................................................................................... 82

3.8.- Conclusiones ....................................................................................................... 86

4. Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables ............... 89

4.1.- Introducción ....................................................................................................... 89

4.2.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables ........................ 91

4.2.1.- Definición ............................................................................................... 91

4.2.2.- Ecuación de Ondas en el Dominio Transformado .................................. 91

4.2.3.- Discretización y Resolución .................................................................... 92

4.2.4.- El Método de Descomposición de Fourier Modificado ..........................

4.2.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss .................................

93

95

4.2.6.- Otros Métodos Espectrales con Transformación de Variables ............... 97

4.3.- Resultados .......................................................................................................... 98

a) Manteniendo Fijo el Punto de Trabajo (V y bI) .............................................. 98

b) Realizando un barrido en la frecuencia y grado de no-linealidad .................. 101

4.4.- Conclusiones ....................................................................................................... 104

Indice

iii

5. Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los

Métodos Espectrales con Transformación de Variables ........................

107

5.1.- Introducción ....................................................................................................... 107

5.2.- El O-MFDM y el O-HGDM .............................................................................. 110

5.3.- Autoconsistencia de los Métodos ...................................................................... 111

5.3.1.- El Criterio de Optimización .................................................................... 111

5.3.2.- El Algoritmo de Optimización ................................................................ 112

5.3.3.- Comparación con otras Estrategias de Optimización .............................. 116

5.4.- Resultados .......................................................................................................... 117

5.4.1.- Resultados del O-MFDM y de su Algoritmo de Optimización .............. 118

5.4.2.- Resultados del O-HGDM y de su Algoritmo de Optimización .............. 124

5.5.- Conclusiones ....................................................................................................... 130

6. Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con

Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D .........................

131

6.1.- Introducción ...................................................................................................... 131

6.2.- Los Métodos Espectrales en Guiaondas Ópticas 3D ...................................... 132

6.2.1.- El Método de Galerkin ............................................................................ 132

6.2.2.- El Espacio Funcional de Fourier ............................................................. 135

6.2.2.1.- Operadores Matriciales ............................................................ 135

6.2.2.2.- Consideraciones de Tipo Numérico ......................................... 137

6.2.3.- El Espacio Funcional de Hermite-Gauss ................................................. 138

6.2.3.1.- Operadores Matriciales ............................................................ 139

6.3.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables en

Guiaondas Ópticas 3D .....................................................................................

141

6.4.- Estrategia de Optimización .............................................................................. 143

6.5.- Resultados en Guiondas 3D Lineales ............................................................... 145

6.5.1.- Descripción de las Guiaondas Analizadas .............................................. 145

6.5.2.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-MFDM ................ 147

6.5.3.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-HGDM ................ 150

6.5.4.- Comparación entre los Diferentes Métodos Espectrales Estudiados ....... 152


iv

6.6.- Resultados en Guiaondas 3D No-Lineales ....................................................... 156

a) Guiaonda Strip No-Lineal .............................................................................. 157

b) Fibra Óptica No-Lineal .................................................................................. 160

6.7.- Conclusiones ..................................................................................................... 162

7. Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales ............................... 163

7.1.- Introducción ....................................................................................................... 163

7.2.- Métodos de Propagación del Haz basados en la Transformada de

Fourier .................................................................................................................

165

7.2.1.- Formulación ............................................................................................ 165

7.2.2.- El FFT-BPM ........................................................................................... 167

7.2.3.- Limitaciones del FFT-BPM .................................................................... 171

a) Periodicidad de la Solución ................................................................ 171

b) �z vs. �n2(x) ...................................................................................... 172

c) Los Modos TM ................................................................................... 173

d) Espectral vs. Pseudoespectral ............................................................. 174

7.3.- Las Condiciones de Contorno .......................................................................... 176

a) Condiciones de Contorno Absorbentes (ABC´s) ........................................... 176

b) Condiciones de Contorno Transparentes (TBC´s) ......................................... 177

7.4.- Utilización de las TBC´s en los Métodos Espectrales ..................................... 179

7.5.- Aplicación de la Técnica de Transformación de Variables a Propagación .. 181

7.5.1.- Formulación ............................................................................................ 182

7.5.2.- Resultados .............................................................................................. 183

7.6.- Conclusiones ....................................................................................................... 186

8. Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de

Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales .......................

189

8.1.- Introducción ....................................................................................................... 189

8.2.- Los Absorbentes Perfectamente Adaptados .................................................... 191

8.2.1.- Versión Anisotrópica .............................................................................. 191

8.2.2.- Versión Coordenada Compleja ............................................................... 194

8.3.- Formulación vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML................. 196

Indice

v

8.4.- Resultados .......................................................................................................... 198

8.4.1.- Propagación en Medios Homogéneos ..................................................... 200

8.4.2.- Propagación en Guiaondas 2D ................................................................ 203

8.4.3.- El Modo TM en Guiaondas 2D ................................................................ 207

8.4.4.- Aplicación de las PML a la Simulación de Dispositivos No-Lineales..... 209

8.5.- Conclusiones ....................................................................................................... 210

9. Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación ...................................... 213

9.1.- Conclusiones ....................................................................................................... 213

9.2.- Líneas Futuras de Investigación ....................................................................... 216

Apéndice ...................................................................................................................... 219

Bibliografía ................................................................................................................. 221


vi

��

Quisiera expresar mis más sincero y profundo agradecimiento a Iñigo Molina Fernández

por brindarme la oportunidad de realizar esta Tesis Doctoral bajo su dirección. Sus continuas

enseñanzas, conocimientos y métodos de trabajo han sido piezas claves para la consecución de

los objetivos marcados. A nivel personal, por su dedicación desinteresada y calidad humana.

Todo este esfuerzo no es perecedero sino que constituye ya una parte importante de mi

formación y saber hacer.

Asimismo, quisiera mostrar mi gratitud hacia Alejandro Ortega Moñux y José Manuel

Yanes Montiel por su disponibilidad e inestimable colaboración.

Por último, agradecer al Departamento de Ingeniería de Comunicaciones de la

Universidad de Málaga los medios materiales que ha puesto a mi disposición para la

elaboración de la Tesis, y a sus miembros por darme la posibilidad de desempeñar mi labor en

un equipo de trabajo agradable y enriquecedor. Mariano, no me olvido de ti, gracias por

aguantar mis impertinencias.

Este trabajo ha sido subvencionado por la Comisión Interministerial de Ciencia y

Tecnología (CICYT) en el marco de los Proyectos de Investigación TIC93-0671-C06-06

y TIC96-1072-C04-04.


viii

��

Research on advanced numerical methods to perform both the modal analysis of optical waveguides and the

simulation of electric field propagation in guided-wave photonic devices has developed parallel to the growing

field of integrated optics. Interest was firstly focused on linear structures but in the last years the non-linear Kerr-

type optical waveguides have received considerable attention because of its application to integrated optics for

all-optical signal processing devices. The different numerical methods that can be used to solve the wave

equation is very large, however, the most used can be grouped in two broad categories: the spectral or global

methods and the local methods. In this Thesis, important and novel improvements are proposed to achieve a

better performance of the spectral methods in both modal analysis and optical envelope propagation of linear and

non-linear dielectric waveguides.

With regard to the modal analysis, one of the most frequently technique is the Galerkin method, which is

based in performing a finite series expansion of the field in terms of orthogonal basis functions. The FDM

(Fourier Decomposition Method) and the HGDM (Hermite-Gauss Decomposition Method) represent two simple

and efficient alternatives. Nonetheless, both of them have serious and important limitations. Beginning with the

FDM, due to the periodicity of the basis functions and the open nature of the dielectric waveguides, its accuracy

is highly dependent on the size of the enclosing computational window, which must be fixed before to apply the

method. In relation to the HGDM, the scaling factor typically used for the basis functions works properly if the

electric field distribution is well-confined, but is not suitable for frequencies near mode cuttoff.

Subsequently, the MFDM (Modified Fourier Decomposition Method) was proposed in the bibliography to

overcome the drawbacks presented by the FDM. In this method, a variable transformation of tangent type is

applied to transform the infinite interval into a finite one, solving the resultant wave equation by means of the

FDM. Two advantages are achieved: i) the necessity to define the size of computational window is avoided and

ii) by properly choosing the scaling factor, the field distribution in the transformed space can be adequately

shaped to reduce the number of series coefficients needed to obtain a certain accuracy. In this Thesis, the MFDM

has been extended to non-linear waveguides, however, even though the MFDM has showed a superior

performance than FDM for a broad range of frequencies and nonlinearity values, it still has some limitations: it

can not analyze efficiently nonsymmetrical field solutions, as occurs in highly non-linear situations, and the

method continues being problem-dependent because the optimum scaling factor can only be approximated ‘a

posteriori’ by visual inspection.

In this Thesis two improvements to the MFDM are presented which overcome its main drawbacks: i) to deal

with nonsymmetrical situations, a modified version called the O-MFDM (Offset-MFDM) has been defined. Its

novelty is that a new degree of freedom, the offset, has been introduced in the necessary variable transformation.

ii) a self-consistent optimization algorithm to automatically find the numerical parameters of the variable

transformation is developed which allows blind detection of quasi-optimum values.


x

The new strategy is also applied to the Hermite-Gauss basis functions, yielding the O-HGDM (Offset-

HGDM). In both cases excellent results were obtained in 2D, 3D, linear and non-linear scalar situations.

Respect to the simulation of the optical envelope propagation, the main contribution performed in this work

has been the development of an original formulation of the vectorial-Beam Propagation Method with Perfectly

Matched Layer absorbing boundary conditions suitable for spectral methods. When discretizing the resulting

wave equations applying the Galerkin method with Fourier basis functions, an enormous advantages can be

obtained in relation to the known FFT-BPM, which makes use of the colocation method strategy. Not only the

accuracy is much better but also the typical limitations of the FFT-BPM, like for example the propagation

through strongly guiding waveguides, where the simulation of TE modes are poorly perfomed and there is no way

to analyze the TM modes, can be now treated adequately with the new propagation scheme and PML-

formulation.

��

La investigación de métodos numéricos avanzados, para realizar tanto el análisis modal de guiaondas

ópticas, como la simulación de la propagación del campo eléctrico en dispositivos fotónicos, ha transcurrido

paralela al crecimiento experimentado en el mundo de la óptica integrada. Inicialmente el interés se centró en

estructuras lineales, sin embargo, las estructuras ópticas no-lineales de tipo Kerr han suscitado en los últimos

años gran atención en la óptica integrada por su aplicabilidad al diseño de dispositivos ‘todo-óptico’ para el

procesado de señales. La gama de métodos numéricos que pueden ser utilizados para resolver la ecuación de

ondas correspondiente es muy amplia, no obstante, los más empleados pueden ser agrupados en las dos

categorías siguientes: los métodos espectrales o globales y los métodos locales. En esta Tesis se proponen

importantes y novedosas mejoras para lograr un comportamiento más eficiente de los métodos espectrales, tanto

para resolver el análisis modal como para analizar la propagación de la envolvente óptica en guiaondas

dieléctricas lineales y no-lineales.

En lo que respecta al análisis modal, el método de Galerkin es una de las técnicas más conocidas y

utilizadas. Para su aplicación es necesario definir un conjunto finito y ortogonal de funciones base sobre el que

será aproximado el campo, destacando, por su simplicidad y eficiencia, el FDM (Fourier Decomposition Method)

y el HGDM (Hermite-Gauss Decomposition Method). Sin embargo, ambos métodos poseen serias e importantes

limitaciones. Comenzando por el FDM, debido a la periodicidad de las funciones base y a la naturaleza abierta de

las guiaondas dieléctricas, su precisión es altamente dependiente de la dimensión del periodo o ventana de

cómputo en que se haya encerrado el problema, la cual, además, habrá de ser fijada con anterioridad a la

aplicación del método. En cuanto al HGDM, el factor de escalado que típicamente se suele utilizar para las

funciones base ofrece un pésimo comportamiento si el campo se encuentra poco confinado.

Posteriormente, el MFDM (Modified Fourier Decomposition Method) fue propuesto en la bibliografía para

superar los inconvenientes con que cuenta el FDM. La estrategia seguida por el método se basa en aplicar una

transformación de tipo arcotangente para comprimir el dominio infinito original en uno de dimensión finita, y

resolver la ecuación de ondas resultante mediante el FDM. Con ello se consigue: i) definir una ventana de

dimensión fija sobre cuyos extremos se van a cumplir las condiciones del infinito y ii) si se emplea un factor de

escalado elegido convenientemente, es posible conformar la distribución del campo en el dominio transformado

para que el número de coeficientes requeridos para obtener cierta precisión sea minimizado

En esta Tesis, el MFDM ha sido aplicado a guiaondas no-lineales, sin embargo, aunque el MFDM fue

superior al FDM en un amplio margen de frecuencias y grados de no-linealidad, aún conserva algunas

limitaciones: i) no puede analizar eficientemente perfiles asimétricos del campo, como ocurre en problemas

fuertemente no-lineales, y ii) la precisión del método sigue siendo dependiente de un parámetro, el factor de

escalado, cuyo valor óptimo sólo puede ser aproximado ‘a posteriori’ por inspección visual.

Para superar los inconvenientes que aún mantiene el MFDM, en esta Tesis se presentan las dos mejoras

siguientes: i) para tratar situaciones asimétricas, se ha definido una nueva versión del MFDM llamada O-MFDM

(Offset-MFDM), basada en introducir un nuevo grado de libertad, el centrado u offset, en la transformación de


xii

variables que utiliza el método y ii) se ha desarrollado un algoritmo de optimización autoconsistente para la

determinación automática de los parámetros óptimos de la transformación.

La nueva estrategia ha sido también aplicada a las funciones base de Hermite-Gauss, dando lugar al O-

HGDM (Offset-HGDM ). En ambos casos se obtuvieron excelentes resultados en guiaondas 2D, 3D, lineales y

no-lineales, bajo la aproximación escalar.

Respecto a la simulación de la envolvente óptica, la principal contribución realizada en este trabajo ha sido

el desarrollo de una formulación original del vectorial-BPM con condiciones de contorno del tipo PML

(Perfectly Matched Layer) adecuada para los métodos espectrales. Asimismo, se ha demostrado que se pueden

conseguir enormes ventajas respecto del conocido FFT-BPM si en lugar de discretizar las ecuaciones de onda en

el espacio funcional de Fourier mediante el método de colocación se sigue empleando la estrategia del método de

Galerkin al igual que se hace en el análisis modal. Con ello no sólo se logra una mayor precisión sino que las

típicas limitaciones del FFT-BPM, como la propagación en condiciones de guiado fuerte de los modos TE o la

imposibilidad de abordar bajo cualquier circunstancia la propagación de los modos TM, pueden ser

adecuadamente tratadas con el nuevo esquema de propagación y formulación-PML que se ha implementado.

Capítulo 1:

Introducción

Desde que se comprobó experimentalmente, allá por los años sesenta, la capacidad que

poseen las guías dieléctricas de mantener confinada la luz sobre largas distancias, el campo de

las comunicaciones ópticas ha tenido un desarrollo y crecimiento espectacular. Las razones de

tan rápida evolución se hallan en las notables ventajas que, en comparación con los sistemas

eléctricos, iba a suponer su utilización; a saber, menor tamaño, menores requerimientos de

potencia, y sobre todo, mayores anchos de banda. Sin embargo, para conseguir el máximo

aprovechamiento de la nueva tecnología es necesario no sólo que el medio de transmisión se

base en la propagación óptica, sino que también, el resto de componentes que conforman el

sistema de comunicaciones, realicen la función para la que han sido diseñados en el rango de

frecuencias propio de la fotónica. En este sentido, se podría decir que en la actualidad el

proceso se encuentra en su fase final pues si bien tanto las fuentes, los acoplamientos entre

componentes o las guiaondas encargadas de transportar la potencia, son realizados

exclusivamente con elementos 'todo-óptico', el resto de componentes que en general son

necesarios para el procesamiento o tratamiento de la señal óptica, como por ejemplo,

moduladores, conmutadores, regeneradores, etc., han sido hasta hace poco realizados, y aún lo

siguen siendo, en el dominio eléctrico. Ello obliga a colocar fotodetectores y fotoemisores en

los extremos anterior y posterior del circuito eléctrico que vaya a ser implementado. Las

consecuencias de dicha conversión óptica-eléctrica-óptica es que el ancho de banda potencial

del que se disponía en un principio queda truncado por el que imponga el circuito eléctrico.

La tendencia actual es similar a la que en su día tuvo lugar con los circuitos integrados de

baja frecuencia, y posteriormente con los circuitos integrados de microondas, esto es, ser

capaz de realizar, sobre un único substrato y sin necesidad de llevar a cabo conversión alguna,

todas las funciones para las que fue concebido un determinado sistema o bloque. Sin embargo,

en un circuito óptico integrado, y para evitar la doble conversión, la práctica habitual es que el


2

resto de funciones anteriormente reseñadas se lleven a cabo modificando, mediante la

utilización de señales de control de carácter eléctrico o acústico, las propiedades ópticas del

material. Esta coexistencia entre señales de diferente naturaleza, junto con la a veces

inevitable necesidad de transformar la señal óptica en eléctrica en aras de conseguir el

comportamiento óptimo del circuito, obliga a definir un campo más amplio que el

propiamente abarcado por la óptica integrada, y que es comúnmente denominado

optoelectrónica.

Por otra parte, una rama cada vez más importante y consolidada dentro de la óptica, como

lo demuestra la creciente atención que las revistas especializadas le están dedicando, lo

constituye la óptica no-lineal. La aparición de nuevos fenómenos hacen vislumbrar un futuro

muy prometedor, dada las interesantes aplicaciones que de los mismos se pueden derivar. Este

es el caso, por ejemplo, de la biestabilidad óptica, cuyo principio de funcionamiento

constituye la base para la obtención de puertas lógicas o conmutadores todo-óptico, y en un

futuro, por qué no, del ordenador óptico. Otro caso típico son los diferentes efectos que tienen

lugar en un acoplador direccional no-lineal �JensenOct82�, los cuales harán posible diseñar

dispositivos tan esenciales como moduladores, amplificadores, filtros, etc. Por último, y

aunque sea sólo a título indicativo por su gran relevancia, pues no constituye el tipo de

fenómeno no-lineal que será estudiado en esta Tesis, está la formación de solitones en fibras

ópticas, que permite la propagación de pulsos ultrarrápidos estables sobre muy largas

distancias y que es ya, hoy día, una realidad.

La evolución experimentada en los últimos años en el campo de la óptica integrada ha

sido posible gracias al enorme esfuerzo que se ha realizado tanto en el campo experimental

como en el plano teórico. Comenzando por lo primero, el trabajo de investigación ha estado

centrado en la obtención de materiales idóneos para el diseño de dispositivos todo-óptico. En

este sentido, las propiedades que cabría esperar de los mismos son:

a) Con el fin de mejorar las velocidades de conmutación de los circuitos eléctricos, es

necesario que los dispositivos posean tiempos de conmutación en el rango de los

picosegundos-femtosegundos (10-12-10-15 seg.).

b) Asimismo, para poder manejar niveles aceptables de potencia (del orden de los

miliwatios) es imprescindible que la respuesta no-lineal de los medios que pretendan

ser utilizados sea apreciable (susceptibilidad de tercer orden �(3) en el rango 10-8-10-10

m/V).

Introducción

3

c) Por último, y en aras de lograr un alto grado de integración, sería interesante que los

diversos materiales sobre los que se construyan los posibles dispositivos todo-óptico

sean compatibles con los que se emplean en el diseño de otros componentes

optoeléctrónicos que inevitablemente van a estar presentes en el circuito, como láseres

o detectores.

Los materiales que reúnen los requisitos anteriormente expuestos son los

semiconductores del grupo III-V (InGaAsP/InP y GaAlAs/GaAs) dada la buena característica

óptica no-lineal que presentan. Aunque inicialmente poseían tiempos de conmutación bajos

(del orden de los nanosegundos), sin embargo, los últimos trabajos experimentales publicados

en este campo hablan de una estado actual de la tecnología que se mueve en el margen de los

pico-subpicosegundos �Smith1998�.

En lo que al plano teórico se refiere, hay que destacar la importante contribución que ha

supuesto el disponer de herramientas numéricas eficientes para el análisis y diseño de

estructuras ópticas. Para comprender mejor lo que se pretende obtener de ellas, así como dar

una visión más concreta de cuál va a ser el tipo de dispositivos que se persigue analizar con el

trabajo que resulte de esta Tesis, se ha representado en la Fig. 1.1 la geometría propuesta en

�NiiyamaEne98� para el diseño de puertas lógicas todo-óptico. Ésta se compone de dos fibras

ópticas acopladas a través de un medio no-lineal, cuyo índice de refracción se encuentra

modulado por la intensidad de campo eléctrico. Como resultado de haber realizado un análisis

detallado de su funcionamiento, en dicho artículo se determinan los niveles de potencia y la

longitud que debe tener la guiaonda así definida para comportarse como una puerta AND o

una puerta OR. Asumiendo como hipótesis de partida que las señales presentan una variación

sinusoidal pura (ondas monocromáticas), el estudio previo al que debe ser sometido el

dispositivo en cuestión puede ser

dividido en las dos facetas siguientes

a) Análisis modal

b) Propagación de la envolvente

óptica

En el primer caso, también llamado

caracterización, lo que se busca es

encontrar las constantes de

propagación y las distribuciones de

mediono-lineal(puerta

de salida)

puerta deentrada 1

puerta deentrada 2

núcleo núcleo

cubierta cubierta

xy

z

Fig.1.1: Esquema de puerta lógica propuesto en �NiiyamaEne98�


4

campo de las posibles soluciones estacionarias o modos que una determinada guiaonda óptica

soporta, es decir, conocer, los autovalores y autofunciones de la ecuación de ondas que

gobierna la propagación de este tipo de soluciones. Si la guiaonda bajo estudio se compone de

uno o más medios no-lineales, el análisis modal de la misma se convierte, salvo excepciones,

en un problema que carece de solución analítica, siendo necesario recurrir a la utilización de

un método numérico para resolver el problema no-lineal de autovalores. Por su parte, en el

segundo caso lo que se desea conocer es cómo evoluciona la envolvente óptica a través de una

determinada estructura una vez conocida la excitación inicial. La mayor complejidad que esta

nueva situación plantea hace imprescindible, si cabe aún más, el disponer de las herramientas

numéricas adecuadas para su ejecución. Tanto es así que una de las más importantes

contribuciones realizadas en el ámbito de la simulación óptica se produjo cuando en 1978 Feit

y Fleck sentaron las bases del BPM (Beam Propagation Method) o método de propagación del

haz �Feit1978�, el cual, durante mucho tiempo, se convirtió en el punto de partida de la

mayoría de los métodos numéricos que con posterioridad se han desarrollado.

Con independencia del tipo de estudio que se pretenda realizar, análisis modal o

propagación, la herramienta numérica a utilizar se habrá de enfrentar con el carácter abierto

que poseen los dispositivos ópticos y que los diferencia, por ejemplo, de los que se emplean

en la banda de microondas/milimétricas, lo cuales, típicamente, se encuentran cerrados por un

conductor perfecto. La necesidad de abarcar un dominio de dimensiones infinitas constituye

uno de los aspectos que más va a influir en la precisión final que un determinado método

consiga, además, por supuesto, del esquema de discretización que el propio método imponga.

De hecho, la supremacía de un método sobre otro puede llegar incluso a deberse a la forma

más o menos óptima con que solvente el problema de las condiciones de contorno.

En cuanto a los diferentes métodos numéricos que se pueden emplear para resolver las

ecuaciones de onda que en cada caso resultan, decir que el abanico de posibilidades es

extremadamente amplio. Un estudio comparativo sobre los pros y los contra de los más

conocidos puede ser hallado en �Chiang1994�, para los referentes al análisis modal, y en

�Yevick1994�, para los que versan sobre la propagación de la envolvente óptica. En cualquier

caso, y aunque se trate de una clasificación muy burda, los más frecuentemente utilizados se

pueden agrupar en dos grandes familias:

i) La familia de métodos locales, que engloba a su vez a los basados en diferencias finitas

(FD-Finite Difference) y en elementos finitos (FE-Finite Element); y ii) la familia de métodos

Introducción

5

globales, también llamados espectrales, basados en desarrollar el campo como un sumatorio

finito de funciones base ortogonales definidas en todos y cada uno de los puntos del dominio

de integración.

La comparación entre dos o más métodos numéricos pertenecientes a la misma o

diferente familia no es una tarea fácil. El criterio que más se suele utilizar consiste en calcular

el coste computacional requerido para alcanzar, en un determinado problema, la precisión que

se haya prefijado de antemano. Sin embargo, como muy bien se apunta en el estudio realizado

en �Chiang1994�, de este modo no se está teniendo en cuenta la complejidad que conlleva la

implementación de un determinado método. Como quiera que este aspecto es muy subjetivo y

no existen baremos que permitan su cuantificación, la decisión final de cuál método resulta ser

el más adecuado recae sobre el programador, cuyo grado de formación, y sobre todo su

experiencia, será lo que definitivamente incline la balance para decantarse por uno u otro.

En esta Tesis se apostó desde un principio por los métodos espectrales, tanto para el

cálculo de modos como para la propagación de la envolvente óptica. En ambos casos, los

métodos y herramientas que se han desarrollado contemplan la posibilidad de incluir, en la

definición de la estructura que se vaya a analizar, medios lineales y no-lineales. Aunque, como

ya se ha comentado, resulte difícil realizar una comparación exhaustiva con otros métodos

numéricos, los resultados que se obtuvieron en las diferentes facetas abordadas fueron

contrastados, en la medida de lo posible, con los que se conseguían con otras técnicas, en

concreto elementos finitos y diferencias finitas. Para ello, o bien se simuló alguna situación

disponible en la bibliografía que hubiera sido analizada con dichos métodos, o bien, para un

caso sencillo y que no requiriera un excesivo esfuerzo, se implementaron directamente las

subrrutinas y programas correspondientes. Lo primero se hizo con el análisis modal y lo

segundo en el ámbito de la propagación. No obstante, en la mayoría de las ocasiones, para

saber si determinada herramienta numérica resulta ser interesante, basta con conocer si los

errores que se cometen son razonables y si son competitivos con los que se logran con el resto

de métodos. A modo de referencia decir que errores relativos en la constante de propagación

normalizada por debajo del 1 % y errores cuadráticos medios en el campo eléctrico por debajo

de -30 dB se consideran ya como aceptables. Los métodos espectrales que se han desarrollado

en esta Tesis manejan precisiones que se sitúan con holgura dentro de dichos márgenes, y,

consultada la bibliografía afín, son cuando menos similares a las que se obtienen con otras

técnicas numéricas.


6

1.1.- Objetivos y Aportaciones de la Tesis

El principal objetivo con el que se concibió la presente Tesis fue el de desarrollar y

validar las herramientas numéricas necesarias para el análisis y diseño de dispositivos ópticos

integrados, y más en concreto, aquellos que tuvieran en alguna de sus partes una dependencia

no-lineal del índice de refracción con la intensidad del campo eléctrico. Para ello, fue

necesario descomponer el trabajo a realizar en las siguientes fases:

a) Estado del arte

La principal tarea de esta primera etapa consistió en conocer el trabajo previo que hasta

ese momento se había hecho. Ello permitió identificar los diferentes métodos numéricos que

en el ámbito de la óptica se venían utilizando y delimitar, sobre todo, el máximo grado de

complejidad que en cada caso se había logrado analizar. Es decir, si por ejemplo el método en

cuestión había sido utilizado en guiaondas 2D/3D, lineales/no-lineales, escalares/vectoriales,

etc.

b) Las limitaciones

Como ya se ha adelantado, los diferentes métodos que se iban a desarrollar pertenecen a

la familia de métodos espectrales. Por ello, y una vez que éstos fueron ubicados en la fase

anterior, se estudiaron con especial atención las limitaciones derivadas de su aplicación.

c) Mejorar lo presente

En la última etapa se plantearon versiones modificadas de los métodos espectrales que

conseguían no sólo superar sus limitaciones sino también una notable mejora de sus

prestaciones.

Como resultado de llevar a cabo el proceso anterior en cada una de las facetas en que se

ha trabajado, análisis modal y propagación, se lograron importantes contribuciones que se

pasan a resumir.

Comenzando por el análisis modal decir que como resultado final del trabajo realizado en

esta Tesis se han definido dos nuevos métodos espectrales, el O-MFDM (Offset-Modified

Fourier Decomposition Method) y el O-HGDM (Offset-Hermite Gauss Decomposition

Method) mente. Ambos, que podrían ser englobados en una nueva y más genérica familia de

métodos: los métodos espectrales transformación de variables, son versiones modificadas y

mejoradas del FDM (Fourier Decomposition Method) y HGDM (Hermite Gauss

Decomposition Method). Los nuevos métodos, que a priori presentan una mayor dificultad

Introducción

7

para ser implementados con éxito, dada la dependencia que éstos poseen con las variables que

los definen, han sido dotados con los algoritmos de optimización necesarios para su correcta

utilización y autoconsistencia. El máximo grado de complejidad alcanzado ha sido el análisis

modal de guiaondas ópticas no-lineales tridimensionales de guiado débil, es decir, a una

situación 3D/escalar/no-lineal.

Además de los nuevos métodos espectrales y sus correspondientes algoritmos de

optimización, otra de las aportaciones realizadas en el ámbito de los modos ha sido la forma

en que es aplicado el conocido método de Newton-Raphson para la resolución del sistema no-

lineal de ecuaciones que surge tras el proceso de discretización. En concreto se propone, para

evaluar el sistema no-lineal de ecuaciones, una estrategia similar a la utilizada en la conocida

técnica del balance armónico, y se deducen, asimismo, expresiones analíticas del jacobiano

que permiten un cálculo más preciso del mismo.

En cuanto a la propagación de la envolvente óptica, el trabajo realizado se ha centrado en

mejorar las prestaciones del clásico y conocido método pseudoespectral FFT-BPM (Fast

Fourier Method). Para ello fue necesario primero separar las limitaciones que el método posee

en función de la causa que las origina. Así, el esquema de discretización que el FFT-BPM

utiliza en la dirección longitudinal obliga, por una parte, a seleccionar pasos de propagación

tanto más pequeños cuanto mayor sea el gradiente del índice de refracción que define la

estructura, y por otra, no es susceptible de ser aplicado para resolver la ecuación de ondas que

gobierna la propagación de los modos TM, quedando limitado su uso, única y exclusivamente,

a la ecuación de ondas de los modos TE. Para solventar tales problemas, en esta Tesis se

sugiere emplear un esquema de discretización diferente en la dirección longitudinal, como por

ejemplo el método de integración clásico de Runge-Kutta, o simplemente, la solución

analítica, esto es, el propagador exponencial. No obstante, para que esto sea posible desde un

punto de vista computacional, el número de términos usados en el desarrollo en serie de

Fourier deberá ser acortado. Esto puede ser conseguido sin pérdida de precisión alguna si,

como muy bien se demuestra en la Tesis, en lugar de usar el método de colocación como hace

el FFT-BPM, se emplea el método de Galerkin.

Las restantes limitaciones del FFT-BPM tienen su origen en características conocidas del

espacio funcional de Fourier, a saber, el carácter periódico de la solución obtenida y la

imposibilidad de representar con precisión funciones discontinuas. Lo primero, como se

estudiará con más detalle en los capítulos correspondientes, provoca un pérdida notable de


8

precisión en problemas de propagación, debido a la dificultad de definir condiciones de

contorno eficientes capaces de absorber la radiación saliente que alcanza los extremos de la

ventana de observación. De hecho, si al bajo rendimiento que se conseguía con los

absorbentes eléctricos, única posibilidad de eliminar dicha radiación con los métodos

espectrales, se le une el buen funcionamiento que dieron primero las TBC´s (TBC-

Transparent Boundary Condition) �HadleyEne92�, y luego las PML´s (PML-Perfectly

Matched Layer) �Berenger94Ene92�, con los esquemas de discretización basados en

diferencias finitas, además, por supuesto, de las ya comentadas limitaciones derivadas del

esquema de discretización longitudinal, se justifica el desuso que en los últimos años ha

sufrido el FFT-BPM. Por eso, no debe resultar extraño que, en el campo de la simulación

óptica, los únicos intentos por trasladar las revolucionarias condiciones de contorno PML, que

tanto éxito estaban dando en el campo de las microondas, se hayan realizado con métodos

numéricos pertenecientes a la familia de las diferencias finitas, descartándose, desde un

principio, su posible utilización con la familia de métodos espectrales. Para llenar este

importante vacío, se ha desarrollado en esta Tesis una nueva formulación PML que permite

analizar la propagación mediante técnicas espectrales de una forma eficiente. La formulación

realizada se basa en la versión anisotrópica de las PML y es, en principio, válida para el caso

más general, 3D/vectorial/lineal, aunque en este trabajo sólo ha sido ensayada en casos

2D/vectorial/lineal. Además, bajo ciertas condiciones, también se ha demostrado su validez en

estructuras dieléctricas que contienen en su composición medios no-lineales.

Para finalizar la descripción de las principales contribuciones realizadas en el ámbito de

la propagación, destacar que, aunque la nueva formulación PML junto con el nuevo esquema

de discretización propuesto para los métodos espectrales superó con creces las prestaciones

del FFT-BPM, y por consiguiente, los objetivos que se habían prefijado de antemano, sin

embargo, aún permanece sin resolver la propagación de los modos TM en guiaondas de salto

de índice, no porque se trate de un modo TM, que eso sí es posible, sino por el conocido

fenómeno de Gibbs que sufrirá el campo cuando sea desarrollado en serie de Fourier.

Por último, otra de las grandes aportaciones que se han realizado en la Tesis es que toda

la formulación matemática que es necesario realizar, y que en general suele resultar muy

engorrosa, es notablemente simplificada haciendo uso del concepto de operador matricial.

Como se podrá comprobar a lo largo de la Tesis, su utilización permite discretizar la ecuación

diferencial que se vaya a resolver de forma compacta y sencilla.

Introducción

9

1.2.- Organización de la Tesis

La Tesis ha sido dividida en dos partes. En la primera, que agrupa desde el capítulo

tercero al sexto (ambos inclusive), se describen los diferentes pasos que se fueron realizando

para la obtención de una herramienta numérica eficiente para la caracterización modal de

guiaondas ópticas lineales y no-lineales. Por su parte, en la segunda, formada por los capítulos

séptimo y octavo, se pormenorizan tanto los intentos fallidos por superar las limitaciones del

FFT-BPM, como las aportaciones que finalmente se realizaron en el ámbito de la propagación

de la envolvente óptica, y que permiten superar la clara situación de desventaja en que se

encontraban los métodos espectrales respecto de otros métodos de amplia difusión en el

campo de la óptica, como pueden ser los basados en diferencias finitas. Asimismo, se ha

considerado oportuno agrupar en un capítulo previo (Cap.2) todas las ecuaciones, definiciones

y aproximaciones que se van a utilizar en las dos partes en que ha sido dividida la Tesis. Para

ello, y partiendo de las ecuaciones de Maxwell, se deducen las ecuaciones del método de

propagación del haz (BPM), poniendo especial énfasis en el significado físico de la

aproximación de envolvente lentamente variable, la cual constituye la base de su desarrollo.

La razón de comenzar por las ecuaciones de propagación es que las ecuaciones modales son

fácilmente obtenidas a partir de las anteriores sin más que eliminar la dependencia con la

coordenada z de propagación. Otro aspecto que también será tratado en este segundo capítulo

es el proceso que habitualmente suele ser seguido en la bibliografía para la normalización de

la ecuación de ondas modal lineal y no-lineal, pero que, sin embargo, no lo es para las

ecuaciones de propagación, las cuales son resueltas manteniendo las variables su significado

físico original.

En cuanto al contenido del resto de capítulos, el capítulo tercero comienza por explicar

los fundamentos matemáticos en que se apoyan los métodos espectrales y pseudoespectrales.

Ello permite demostrar las limitaciones que presentan los métodos clásicos de

descomposición en funciones base de Fourier y Hermite-Gauss, de amplia utilización en el

análisis modal de guiaondas dieléctricas. Asimismo se describen los dos métodos que han sido

empleados para resolver el sistema no-lineal de ecuaciones que se obtiene tras el proceso de

discretización: el método de la autoconsistencia de los campos y el método de Newton-

Raphson, proponiéndose en el caso de este último, y como ya se ha adelantado, una nueva

estrategia para su aplicación.


10

El capítulo cuarto, tomando como punto de partida el MFDM (Modified Fourier

Decomposition Method) propuesto por Hewlett y Ladouceur �HewlettMar95� para mejorar las

prestaciones del FDM en el análisis modal de guiaondas ópticas lineales, tiene por objetivos el

demostrar que el método es también superior en problemas no-lineales pero que sigue

careciendo, al igual que el FDM, de los criterios que garanticen su utilización óptima.

El capítulo quinto es el de mayor importancia de la primera parte de la Tesis, pues se pone

fin al proceso en el que se pretendía mejorar los métodos clásicos FDM y HGDM. Para ello,

se definen el O-MFDM y el O-HGDM y se establecen los criterios con los que se consigue su

autoconsistencia en guiaondas 2D/escalares. El capítulo finaliza demostrando la eficiencia de

ambos métodos en un amplio abanico de situaciones: modo fundamental, modos superiores,

lineal y no-lineal.

El éxito obtenido con el O-MFDM y O-HGDM en guiaondas planares invitaba a realizar

su extensión al caso 3D. En el sexto y último capítulo de la primera parte de la Tesis se

analizan estructuras 3D lineales que confirman el buen funcionamiento de los métodos y de

sus correspondientes algoritmos de optimización en una situación más realista. El capítulo

finaliza realizando el análisis modal de dos guiaondas 3D no-lineales, la guiaonda strip no-

lineal y la fibra óptica no-lineal, de gran interés para el diseño de dispositivos todo-ópticos por

los fenómenos de conmutación e histéresis que presentan. Los resultados obtenidos no sólo

corroboran una vez más el excelente comportamiento de los nuevos métodos espectrales en

relación con sus predecesores, sino que además, al ser contrastados con los que aparecen en la

bibliografía y obtenidos mediante otros métodos numéricos, permiten demostrar la alta

eficiencia numérica que con ellos se consigue.

En lo que respecta a la segunda parte de la Tesis, en el capítulo séptimo se analizan, en

primer lugar, las causas por las que el conocido FFT-BPM ha quedado relegado a un segundo

plano en relación con el FD-BPM o FE-BPM, que son, por una parte, el haber despreciado la

naturaleza no-conmutativa de los términos de difracción y de guiado, y por otra, el carácter

periódico de las funciones base que dificulta la utilización de condiciones de contorno

eficientes como por ejemplo las TBC´s. En un intento por superar ésta última, el capítulo se

cierra con los resultados poco satisfactorios que se obtuvieron cuando la técnica de

transformación de variables fue aplicada a los problemas de propagación.

En el octavo y último capítulo de la Tesis se presenta otra de sus aportaciones más

importantes. En él se define una formulación novedosa de las condiciones de contorno

Introducción

11

perfectamente adaptadas (PML) adecuada para los métodos espectrales y que tanto éxito han

tenido en el ámbito de las microondas. Su perfecta absorción para todo ángulo, frecuencia y

polarización es verificada analizando situaciones muy diversas, tales como, propagación en

medio homogéneos, en guiaondas 2D y en medios no-lineales. Por último, se demuestra cómo

mejorar la eficiencia del FFT-BPM y eliminar muchos de los problemas derivados de su

esquema de propagación. Para ello, es necesario reducir el número de términos del desarrollo

en serie de Fourier para aplicar, bien el propagador exponencial, bien cualquier integrador

clásico de eficiencia demostrada, como el método de Runge-Kutta. Para disminuir la

dimensión del problema basta con emplear el método de Galerkin, o versión todo-espectral,

del espacio funcional de Fourier en lugar del método de colocación, o versión

pseudoespectral, tal y como se hace con el FFT-BPM.


12

Capítulo 2:

Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas:

Modelización

Los diferentes dispositivos utilizados en el campo de la óptica integrada consiguen

desempeñar la función para la que han sido diseñados conformando adecuadamente las

propiedades dieléctricas de los medios que los forman. La óptica geométrica es una conocida

técnica con la que es posible modelar el mecanismo de propagación de la luz a través de una

estructura utilizando la teoría de rayos. Esta atractiva y práctica herramienta de análisis resulta

ser de gran utilidad, no sólo porque permite la introducción de conceptos y términos básicos,

sino porque además, en algunos casos, puede aportar información relevante, como es, por

ejemplo, el cálculo de las curvas de dispersión de un slab de salto de índice [Tamir1988]. No

obstante, en ocasiones se requiere profundizar en ciertos aspectos, para lo cual es necesario

recurrir a la teoría electromagnética y realizar una descripción completa del problema. Es el

caso, por ejemplo, del cálculo de los perfiles de campo y cómo se propagan éstos por el

interior del dispositivo.

El objetivo de este capítulo es justamente derivar las ecuaciones aproximadas (modelos)

que gobiernan la propagación a través de los dispositivos ópticos, y que serán utilizadas en los

diversos capítulos de que consta esta Tesis, destacándose claramente las condiciones en que

dichos modelos son válidos. Se han distinguido dos situaciones diferentes, propagación y

modos. La primera hace referencia a cómo evoluciona con la distancia de propagación una

cierta excitación inicial. Mientras que la segunda se centra en la caracterización de las

soluciones estacionarias que se propagan a través de las guiaondas ópticas, es decir, aquellas

que mantienen invariante su perfil de campo y su constante de fase con la distancia de

propagación.


14

2.1.- El Método de Propagación del Haz

El conocer cómo se propaga una determinada distribución espacial de campo a través de

un medio no-homogéneo constituye uno de los problemas clásicos de la óptica. Que duda

cabe, que disponer de los métodos matemáticos adecuados para su resolución sitúa al

diseñador de dispositivos ópticos en una situación ventajosa para abordar su cometido. El

método de propagación del haz (Beam Propagation Method, BPM) es, actualmente, la

herramienta más utilizada para simular la propagación de la envolvente óptica a través de

circuitos ópticos integrados. Aunque durante mucho tiempo el término BPM fue utilizado

para designar la versión original formulada por Feit y Fleck �Feit1978�, las múltiples

versiones que con posterioridad han ido surgiendo hasta la fecha, y que con toda seguridad lo

seguirán haciendo durante algún tiempo, ha provocado que el término BPM se use en un

sentido más amplio. En concreto, cualquier técnica numérica que resuelva el problema antes

indicado y que haga uso de las ecuaciones que seguidamente se van describir, es denominada

BPM. De esta forma el término BPM hará referencia, en esta Tesis, al modelo utilizado

(ecuación diferencial) más que a la técnica concreta que se emplee para su resolución. Para

diferenciar unas técnicas numéricas de otras se les suele añadir uno o varios prefijos para

indicar, por ejemplo, la manera en que han sido discretizadas las ecuaciones (FFT-BPM�Fast

Fourier Transform, FD-BPM�Finite Difference, FE-BPM�Finite Element, ...), la dimensión

del problema analizado (2D-BPM� Two-Dimensional, 3D-BPM�Three-Dimensional), o el

grado de acoplamiento entre las componentes de los campos (Vectorial-BPM, Semivectorial-

BPM y Escalar-BPM).

Por último, recalcar una vez más el carácter generalista y de compendio que se pretende

dar en este apartado, dejando para los capítulos 7 y 8 todos aquellos aspectos relacionados con

su resolución numérica.

2.1.1.- Formulación

Si se asume régimen permanente sinusoidal, las ecuaciones que gobiernan la propagación

de los campos eléctrico y magnético (� ��( , )r t y

� ��( , )r t ) a través de un medio dieléctrico, sin

fuentes ni cargas libres, lineal, isótropo y no-homogéneo vienen dadas por las conocidas

ecuaciones de Maxwell

� � � � �� E r j H ro o( ) ( )� � (2.1)

Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización

15

� � � � ��

� �

�

�

H r j n r E ro o o( ) ( , ) ( )� � �2

donde n r o2( , )

�

� representa el índice de refracción del medio a la pulsación �o y los vectores

�

�

E r( ) y �

�

H r( ) constituyen, respectivamente, las componentes fasoriales del campo eléctrico y

magnético, las cuales, como es bien sabido, son definidas a partir de las siguientes relaciones

� ��

�

�

�

�

�

�( , ) =1

2r t E r e E r ej t j to o( ) ( )*

� � ��

� ��

�

�

�

�

�

� ( , ) =1

2r t H r e H r ej t j to o( ) ( )*

� � ��

Aplicando el operador divergencia a las ecuaciones (2.1) y (2.2), y teniendo en cuenta que

la divergencia del rotacional es cero, se obtienen dos nuevas relaciones

� � � �( )n E2 0�

��

H 0

conocidas como la condición de cero-divergencia, y que resultarán de mucha utilidad en la

resolución del sistema de ecuaciones planteado.

A continuación, aplicando el rotacional a las ecuaciones (2.1) y (2.2) es posible obtener las

ecuaciones vectoriales del campo eléctrico y magnético respectivamente, a saber

��

E k n Eo2 2

� � � � � � ��

H k n Ho2 2

donde ko es la constante de propagación en el vacío.

Llegados a este punto, en el campo de la óptica, se suele adoptar una forma de resolución

diferente a la planteada en el campo de las microondas. En lugar de manipular las ecuaciones

para plantear dos ecuaciones diferenciales en función de las componentes longitudinales del

campo eléctrico y magnético (Ez,Hz), éstas se manipulan para plantear un sistema de

ecuaciones diferenciales acopladas para las componentes transversales del campo eléctrico

(Ex,Ey), o bien para las componentes transversales del campo magnético (Hx,Hy). Una vez

resuelto, la componente longitudinal correspondiente es hallada usando la condición de cero-

divergencia ( (2.5) ó (2.6) ), mientras las otras tres componentes son obtenidas de forma

inmediata mediante las relaciones (2.2) ó (2.1), dependiendo de si el sistema fue planteado para

el campo eléctrico o magnético respectivamente.

Por simplicidad, y en lo que resta del desarrollo, el problema será resuelto para las

componentes transversales del campo eléctrico, cosa que por otra parte suele ser lo habitual,

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)


16

aunque el mismo proceso que se va describir a continuación podría ser aplicado para obtener

ecuaciones similares para las componentes transversales del campo magnético.

En primer lugar, se utiliza la siguiente relación vectorial

� � � � � �� ( ) ( )� � �

E E E2

lo que permite escribir la ecuación (2.7) de la siguiente forma

� � � � � � �2 2 2� � �E k n E Eo ( )

donde es fácil comprobar que, si se usa un sistema de coordenadas cartesianas, es en el

segundo miembro de la igualdad anterior dónde se encuentra el acoplamiento entre las tres

componentes del campo eléctrico. La componente longitudinal (Ez) puede ser puesta en

función de las transversales (Ex,Ey) usando la condición de cero-divergencia (2.5)

� ��

� � � � � � � �n E n E n E En

nE E n E2 2 2

2

220

� � � � � � �

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ln )

Si además, el dispositivo óptico es invariante en la dirección longitudinal o lo hace

lentamente, lo que constituye la primera aproximación realizada en el método de propagación

del haz o BPM, se cumplirá que

n x y z n x y2 2( , , ) ( , )� ó �

�

n

z

20

por lo que la ecuación (2.11) se podrá poner como

� � � � �� E n Et t( ln )2

donde el subíndice ‘t’ indica que se aplica sólo sobre las componentes transversales.

Introduciendo (2.13) en la ecuación (2.10) y quedándonos con las componentes transversales

de la misma, se llega finalmente a la siguiente ecuación de ondas vectorial

� � � � � � � �2 2 2 2� � �E k n x y E n Et o t t t t( , ) ( ( ln ) )

la cual, escrita en función de sus componentes transversales conduce a las dos ecuaciones

diferenciales acopladas que se estaban buscando

� � � � � ��

�

�

��

�

�

�

��

� � � � � ��

�

�

��

�

�

�

��

2 2 22 2

2 2 22 2

E k n x y Ex

n

xE

x

n

yE

E k n x y Ey

n

xE

y

n

yE

x o x x y

y o y x y

( , )ln ln

( , )ln ln

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)


17

El punto más importante en la obtención de las ecuaciones finales del BPM lo constituye la

aproximación paraxial o aproximación de envolvente lentamente variable. Como se verá

posteriormente, es dicha aproximación la que determina sus principales limitaciones, por lo que

será importante analizar con detalle sus implicaciones a fin de tener delimitado el tipo de

situaciones que método es capaz de simular. La aproximación de envolvente lentamente

variable (Slowly Varying Amplitude, SVA) comienza por escribir el campo eléctrico

transversal de la siguiente forma � �

E x y z x y z et tj zN( , , ) ( , , )� � �

��

donde �

�t x y z( , , ) representa la envolvente del campo eléctrico transversal y �N la constante de

propagación de referencia, también llamada de normalización. Lo que se persigue es

descomponer el campo en dos términos, uno que varíe lentamente, la envolvente, y otro que

asuma las variaciones rápidas. Dado que una de la aproximaciones que ya se han hecho es

suponer que la estructura bajo análisis varía lentamente en dirección z, el módulo de la

envolvente también lo deberá hacer, de ahí que el único término rápido que se considere sea el

de la fase (�N).

La introducción de (2.16) en (2.15) resulta ser inmediata, salvo para el Laplaciano, que,

dado que contiene derivadas respecto de la dirección longitudinal, debe ser desarrollado

convenientemente. Haciéndolo se obtiene

� � � � � ��

��

�� 2 2 2

2

22

� �

�

�

�

E jz z

et t t Nt

N tt j zN� �

��

��

� �

�

�

Si la constante de normalización �N es fijada de forma que se garantice la variabilidad

deseada para la envolvente, lo cual como veremos resulta crucial en la precisión del método, la

siguiente aproximación podrá ser realizada

22

2j

z zN

t t��

�

� �

�

� �

��

lo que finalmente permite obtener las ecuaciones del vectorial-BPM para las envolventes

transversales del campo eléctrico, también llamada ecuación vectorial paraxial o de Fresnel, las

cuales, tras manipular (2.15), pueden ser escritas matricialmente como

2 jz

P P

P PNx

y

xx xy

yx yy

x

y�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

� �

��

��

en donde los operadores diferenciales se han definido de la siguiente manera �HuangMar92�

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)


18

� � � �

� �

� � � �

� �

Px n x

ny

k n

Px n y

nx y

Py n y

nx

k n

Py n x

ny x

xx x xx

o N x

xy y yy

yy y yy

o N y

yx x xx

��

�

�

��

� �

��

��

�

�

��

� �

� �

��

�

�

��

� �

��

��

�

�

��

� �

� �

��

��

�

��

��

��

�

��

��

��

�

��

��

��

�

��

1

1

1

1

22

2

22 2 2

22

2

22

2

22 2 2

22

2

Así pues, las ecuaciones (2.19) y (2.20) constituyen el modelo vectorial BPM que se usará,

de forma general en este trabajo, para analizar la propagación en guías dieléctricas lineales.

Debe siempre recordarse que en la modelización se han empleado dos únicas aproximaciones:

i) Que la variación del índice de refracción con la dirección de propagación es muy pequeña.

ii) Que la envolvente del campo es lentamente variable en la dirección de propagación.

2.1.2.- Tipos de Soluciones

Una vez deducidas las ecuaciones generales del método de propagación del haz, es

importante clasificar el tipo de soluciones que se pueden derivar de las mismas así como

aclarar la nomenclatura habitualmente utilizada en la bibliografía para identificarlas. La tabla

2.1 resume, en función del tipo de estructura a analizar (2D ó 3D), la relación existente entre

los operadores diferenciales para el caso general y para las diferentes aproximaciones que

cabría considerar.

En guiaondas 3D, es decir en aquellas en donde el índice de refracción varía

transversalmente en las dos direcciones del espacio, en general, las soluciones contendrán las

seis componentes del campo electromagnético. Es lo que se conoce como análisis vectorial

del problema. Los campos transversales se encuentran acoplados entre sí y se propagan con

características diferentes. Por ejemplo, si la guiaonda es excitada inicialmente en z=0 por una

distribución espacial de campo eléctrico horizontal (Ex (x,y,0)�0,Ey (x,y,0)=0) al cabo de una

cierta distancia se habrán generado componentes verticales de campo eléctrico, es decir, parte

de la potencia se habrá convertido a la polarización ortogonal. La complejidad que supone

implementar métodos numéricos capaces de resolver las ecuaciones (2.20) en su totalidad,

invita a realizar ciertas aproximaciones, las cuales, bajo ciertas circunstancias, dan un

(2.20)


19

resultado bastante cercano a la realidad. Es el caso del análisis semivectorial, en donde se

desprecian los acoplos mutuos, pero la propagación mantiene un carácter dependiente de la

polarización (�SternFeb88�,�WeisshaarAgo95�, ..., entre otros). Si además se cumple la

condición de guiado débil, es decir, el salto del índice de refracción es pequeño en cualquiera

de las direcciones transversales, lo que se traduce matemáticamente como

11

112

2

2

2

n

n

xy

n

n

y� ��

�

�

�

se obtiene lo que se conoce como solución escalar del problema. En este caso las

polarizaciones están desacopladas y los campos transversales son degenerados, esto es, la

propagación a través del dispositivo se produce de la misma forma independientemente de la

polarización de la excitación inicial. Esta situación resulta ser atractiva por dos motivos,

primero porque reduce el problema a la mitad, pero por otra parte, y lo que es más interesante,

porque la mayoría de las guiaondas usadas en óptica integrada satisfacen dicha condición.

Únicamente aquellos dispositivos en los cuales por su propio mecanismo de funcionamiento se

requiera un acoplo fuerte entre las polarizaciones, por ejemplo un conversor pasivo de

polarización en el cual se produce un interfaz aire-dieléctrico, deberán ser tratados teniendo en

cuenta el carácter vectorial de la luz en su totalidad �März1995�.

Tabla 2.1

Estructuras

3D

n2(x,y,z)

Vectorial

(Caso general)

� Pxx� Pyy

� Pxy� Pyx

� Solución híbrida

�Polarizaciones

acopladas

Semivectorial

� Pxx� Pyy

� Pxy= Pyx=0

�Polarizaciones

desacopladas

Escalar

(Guiado débil)

� Pxx= Pyy

� Pxy= Pyx=0

�Polarizaciones desacopladas y

degeneradas

Estructuras

2D

n2(x,z)

Vectorial

(Caso general)

� Pxx� Pyy

� Pxy= Pyx=0

� Polarizaciones desacopladas �

soluciones tipo TE y TM

Escalar

(Guiado débil)

� Pxx= Pyy

� Pxy= Pyx=0

�Polarizaciones desacopladas �

soluciones TE y TM degeneradas

(2.21)


20

Las estructuras ópticas 2D, también llamadas ‘slabs’ representan una situación bastante

interesante de analizar, no sólo por la simplificación que supone su estudio, lo cual permite

analizar, caracterizar y comprender fenómenos similares que van a ocurrir en guías más

complejas, sino además, porque muchas guiaondas 3D, o bien poseen un perfil del índice de

refracción (ej. guiaonda ‘rib’) cuyo campo se parece mucho a los presentados en los slabs,

pues se encuentra muy confinado en una dirección y varía suavemente en la otra, o bien son

iluminadas de tal forma que, a efectos prácticos, se pueden aproximar por slabs. Los slabs, en

el caso general, presentan dos tipos de soluciones diferentes y desacopladas, llamadas

solución Transversal Eléctrica (TE) y solución Transversal Magnética (TM), las cuales

poseen, respectivamente, las siguientes componentes de campo eléctrico y magnético:

TE: Ey, Hx, Hz

TM: Hy, Ex, Ez

Quiere eso decir que en una estructura 2D no es necesario realizar aproximación alguna

sobre las ecuaciones de ondas para que el problema vectorial se comporte como uno

semivectorial (componentes transversales desacopladas). Al igual que en el caso

tridimensional, si además se cumple la condición de guiado débil, el problema se convierte en

escalar, con lo que las polarizaciones vertical y horizontal conducen al mismo resultado. No

obstante, si se analizan con detalle las ecuaciones (2.20) se puede comprobar una importante

diferencia entre el caso 3D/escalar y el 2D/escalar. En el primero, la aproximación de guiado

débil permite simplificar las ecuaciones de onda de las dos componentes transversales,

mientras que en el segundo la simplificación afecta únicamente a la ecuación de ondas de los

campos transversales magnéticos (TM), no teniendo ningún tipo de consecuencias sobre la

ecuación de ondas de los campos transversales eléctricos (TE). Tal apreciación conviene tener

siempre presente porque cuando a lo largo de la Tesis se aborde la resolución de la ecuación

de ondas de un problema 2D/escalar, aunque ésta sea sólo un aproximación para los campos

TM, tanto peor cuanto menos se cumpla la condición de guiado débil, sin embargo, para los

TE será la que realmente hay que resolver.

2.1.3.- Propagación en Medios No-Lineales

Como ya se ha comentado en el capítulo 1, uno de los objetivos de la presente tesis lo

constituye el desarrollo de herramientas numéricas eficientes capaces de analizar la

propagación en medios ópticos no-lineales, dada la gran potencialidad que éstos presentan


21

para el diseño de dispositivos todo-óptico. Es por ello importante conocer cómo se ven

afectadas las ecuaciones de Maxwell cuando se consideran este tipo de medios.

Si la no-linealidad es de tipo eléctrico, es necesario modificar la relación constitutiva del

medio correspondiente al vector inducción eléctrica, que, de forma general y en el dominio del

tiempo, se podrá escribir como el siguiente desarrollo en serie �Agrawal1989�

� �

�

�

�

�

�

�

�

��

�

��

��

� � �� o

t t tr t t t r t dt t t t t r t r t dt dt( , ) ( ' ) ( , ' ) ' ( ' , ' ' ): ( , ' ) ( , ' ' ) ' ' '( ) ( )1 2

donde (i) es una magnitud, en general tensorial, que representa la susceptibilidad de orden ‘i’.

Obsérvese que en la expresión anterior se ha supuesto que el medio es causal y que sólo existe

dispersión temporal y no espacial. Los dos primeros términos del desarrollo se corresponden

con el comportamiento lineal, y son los únicos que se consideraron en el apartado anterior. Su

transformada de Fourier da directamente el índice de refracción

n r r2 11( , ) ( , )( )� �

� � ��

Las no-linealidades que se consideran habitualmente en medios ópticos son las de orden

dos y orden tres. Estas obedecen a fenómenos físicos diferentes, por lo que sus valores

dependerán del tipo de cristal utilizado, no teniendo por qué existir simultáneamente

�R.W.Boyd1992�. En esta tesis se trabajará con lo que se conoce como no-linealidad de tipo

Kerr, la cual se traduce matemáticamente como:

(2) = 0 y (3) (t) = (3) · �(t-t’)· �(t-t’’)· �(t-t’’’)

es decir, el índice de refracción en un punto del espacio y en un instante de tiempo se ve

modificado por el valor cúbico del campo eléctrico en ese punto del espacio y en ese instante

de tiempo, careciendo por lo tanto de memoria espacial y temporal. Si dicha ausencia de

dispersión en el término cúbico es trasladada a la ecuación (2.22), el vector inducción eléctrica

podrá ser escrito como

� � � � � ��

� � � � � �( , ) ( , ) ( ' ) ( , ' ) ' ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )r t r t t t r t dt r t r t r to

t

o� � � ��

��

�

� �

��

�� 1 3

El tensor (3) se compone de 81 coeficientes (3i+1=34). El valor concreto que cada uno adopta

determina la contribución que cada producto de tres componentes de campo eléctrico tiene

sobre cada una de las componentes del vector inducción eléctrica. Con ello, las componentes

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)


22

‘x’ , ‘y’ y ‘z’ de la parte no-lineal del vector inducción eléctrica (�xNL,�y

NL,�zNL) se calcularán

sumando todas las posibles contribuciones, lo cual puede ser escrito matemáticamente como

� � � �xNL

o x k l m kk l m

l m con k l m x y z� � � � � ��

( )

, ,

, , ( , , )3

� � � �yNL

o y k l m kk l m

l m con k l m x y z� � � � � ��

( )

, ,

, , ( , , )3

� � � �zNL

o z k l m kk l m

l m con k l m x y z� � � � � ��

( )

, ,

, , ( , , )3

es decir, que cada componente del tensor es identificado por la combinación de cuatro

subíndices � j k l m( )3 . El primero indica la componente del vector inducción eléctrica sobre el

que se aplica el resultado de la operación, mientras que los otros tres subíndices informan de

las tres componentes del campo eléctrico (�x, �y ó �z) que están siendo multiplicadas.

Las expresiones (2.26), (2.27) y (2.28) se ven notablemente simplificadas, y con ello el

tipo de problemas no-lineales a analizar, si se restringe el caso de estudio a campos

linealmente polarizados. Así, tomando el eje y como dirección de polarización, la expresión

que finalmente será utilizada en esta Tesis para describir el comportamiento no-lineal de una

determinada estructura dieléctrica viene dada por

� � � � � ��

y o y y

t

o yyyy y y yr t r t t t r t dt r t r t r t( , ) ( , ) ( ' ) ( , ' ) ' ( , ) ( , ) ( , )( )� � � � � �

� � � ��

��

�

� � � � �

��

�� 1

No obstante, para que el nuevo término no-lineal pueda ser introducido en las

ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia (ecuaciones (2.1) y (2.2)), y dado que

se asume régimen permanente sinusoidal, es necesario deducir cuáles son sus componentes

fasoriales. Para ello, partiendo de la descomposición fasorial del campo que se hizo en (2.3)

� ��y yj t

yj tr t E r e E r eo o( , ) =

1

2

� � �( ) ( )*� � ��

y calculando a continuación, primero su potencia cuadrada y luego su potencia cúbica, se

concluye que

� ��y y yj t

yj tr t E r E r e E r eo o2 2 2 2 2 22( , ) =

1

4

� � � �( ) ( ) ( )* � ��

��

��

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.3)

(2.30)


23

y que

� � � � �

�y y yj t

y yj t

yj t

yj t

y yj t

y yj t

y y yj t

y yj t

y

r t E r E r e E r E r e E r e

E r e E r E r e E r E r e

E E E e E E E e E

o o o

o o o

o o

3 2 2 3 3

3 3 2 2

3

2 2

3

4

3

4

1

4

( , ) =1

8

1

2

� � � � � �

� � � � �

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

*

* * *

* * *

� � � � � ��

� � � � � � �

� � � � � � � � � �

�

� �

�

� � �

� � �

� � � �e E ej ty

j to o3 3 31

4� ��

��

�*

El resultado al que se llega es que la propagación a través de un medio no-lineal de tipo

Kerr genera armónicos a �o y a 3�o. La mayoría de textos que tratan medios no-lineales

desprecian la contribución del tercer armónico en el análisis. La justificación estriba en que el

grado de acoplamiento entre los campos a �o y a 3�o depende fundamentalmente de que se

cumpla la condición conocida como ‘phase matching’, esto es, cuanto más se parezcan las

fases de los campos mayor será el grado de acoplamiento Lee1986�. Esta condición de ‘phase

matching’ entre los armónicos �o y 3�o ocurre en muy raras ocasiones y de forma poco

eficiente en guías ópticas Agrawal1989�.

Haciendo uso del resultado obtenido en (2.31), y realizando las hipótesis comentadas

anteriormente, es posible seguir un proceso similar al explicado en el punto 2.1.1 y obtener las

ecuaciones que gobiernan la propagación de los campos eléctricos transversales a través de

medios no-lineales. Para el caso 3D-escalar, la ecuación de ondas no-lineal de Fresnel que se

obtiene viene dada por

23

4

2

2

2

22 2 3 2

2

jz x y

k n x ykN o

N

o�

��

�

� �

�

� �

��

��

�

��

�

��

�

�

��

�

�

�( ) ( , )�

en donde por simplicidad, y así se hará en el resto de la Tesis, se han evitado los cuatro

subíndices que deben aparecer en la susceptibilidad de tercer orden, sin olvidar que dicho

parámetro, a raíz de haber supuesto campos linealmente polarizados, ya no se trata de una

magnitud tensorial sino escalar. Asimismo, nótese que se ha definido una nueva función,

�(x,y), la cual, con el objetivo de representar con una sola ecuación diferencial el

comportamiento de toda la guía, y dado que normalmente en las guiaondas coexisten medios

lineales y no-lineales, adopta una funcionalidad boolena, esto es, vale la unidad en aquellos

puntos del espacio pertenecientes al medio no-lineal y cero en el resto. Si la estructura bajo

(2.31)

(2.32)


24

análisis poseyese medios no-lineales con características diferentes, la ecuación (2.32) seguiría

siendo válida para su estudio si simplemente la función �(x,y) es modificada de forma que

asuma los valores o grados de no-linealidad en los diferentes puntos del espacio.

La forma de medir el grado de no-linealidad de un medio varía según la bibliografía

consultada. Habitualmente se suelen definir dos constantes, n2 y n2 , las cuales se relacionan

con la susceptibilidad de tercer orden según las siguientes equivalencias

3

423

2 22

� �( )

� � � � � � �n n c n no

donde ‘c’ es la velocidad de la luz en el vacío y ‘n’ el índice de refracción lineal.

Aunque existe cierta confusión respecto a la forma en que n2 y n2 son identificadas, es

fácil diferenciar a cuál de las dos se refiere pues sus dimensiones son respectivamente de

(m2/V2) y (m2/W) �TranMay94�.

Dependiendo del signo de la susceptibilidad de tercer orden los medios con no-linealidad

de tipo Kerr pueden a su vez ser divididos en dos categorías diferentes. Si ésta es mayor que

cero se les llama ‘auto-enfocantes’ (‘self-focusing’), mientras que si es negativa se les llama

‘desenfocantes’ (‘defocusing’). Para comprender mejor el por qué de dicha definición, y a

modo de ejemplo, las Fig.2.1. (a) y (b) muestran la propagación de la envolvente del campo

eléctrico a través de un slab de salto de índice con no-linealidad de tipo Kerr en alguno de los

medios que lo componen. Por ejemplo en la Fig. 2.1. (a) la no-linealidad es de tipo self-

focusing y se sitúa en el substrato. Se puede observar cómo, excitando inicialmente con el

modo fundamental de la guía, y debido al carácter no-lineal, el índice de refracción en el

substrato es incrementado en función de la potencia de la excitación inicial y del grado de no-

linealidad del medio. Si el producto de ambos es comparable al índice de refracción lineal, las

condiciones de guiado se ven modificadas de forma que el campo tiende a desplazarse hacia el

medio en donde el índice de refracción es mayor, y por tanto a ‘enfocarlo’ hacia la zona no-

lineal. Por contra, en la Fig. 2.1(b) la no-linealidad es de tipo defocusing y se sitúa en el

núcleo. De la misma se deduce claramente que se produce el efecto opuesto, esto es, la no-

linealidad hace disminuir el índice de refracción del núcleo. Si dicha disminución es tal que el

índice de refracción del núcleo es menor que el de la cubierta y/o substrato, se pueden

producir dos condiciones de guiado diferentes, núcleo-cubierta y núcleo-substrato,

produciéndose como consecuencia un desplazamiento del campo hacia la zona de mayor

índice, y por tanto a alejarlo de la zona en donde ahora se concentra la no-linealidad.

(2.33)


25

2.1.4. Limitaciones del Método de Propagación del Haz

Una vez deducidas las ecuaciones que utiliza el método de propagación del haz para el

análisis de la propagación electromagnética en medios lineales y no-lineales, resulta

importante detenerse en las aproximaciones que se han realizado para su obtención a fin de

tener delimitado no sólo el tipo de problemas que el método es capaz de analizar, sino

además, y quizás lo que es más importante, conocer ciertos aspectos relacionados con su

correcta aplicación e interpretación.

Ya se ha comentado en la deducción del método que la piedra angular del mismo radica

en la aproximación de envolvente lentamente variable. Para que dicha aproximación pueda ser

aplicada, o lo que es lo mismo, el error que se cometa sea mínimo, es necesario ser capaces de

extraer del campo eléctrico la parte que varía rápidamente en dirección z, la cual, como ya se

ha demostrado, sólo contiene un término de fase representado mediante la constante de

normalización o de referencia (βN). Si se conoce la constante de propagación del campo

eléctrico en la dirección de propagación, el mejor resultado, como cabía esperar, se obtiene si

la βN se fija de antemano igual a dicho valor [HuangMar92]. Cuanto mayor sea la diferencia

entre ambas, mayor será la variación que la fase de la envolvente debe asumir en dirección z,

y por tanto, menos válida la condición de variación lenta de la envolvente, materializada

matemáticamente mediante la expresión (2.18).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

Fig. 2.1(b): Efecto desenfocante en medios no-lineales: propagación de la envolvente óptica a travésde un slab con no-linealidad en el núcleo. Datos:nnucleo=1.57; ncubierta=nsubstrato=1.55; ancho delslab=2.5 µm; λ=1.3µm; 0.75χ(3)= -1 (m/V)2.

−10 −5 0 5 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

Fig. 2.1(a): Efecto autoenfocante en medios no-lineales: propagación de la envolvente óptica através de un slab con no-linealidad en el substrato.Datos:nnucleo=1.57; ncubierta= nsubstrato=1.55; ancho delslab=2.5 µm; λ=1.3µm; 0.75χ(3)=0.4 (m/V)2


26

La mayoría de los dispositivos susceptibles de ser analizados mediante la técnica del BPM

realizan la propagación de la potencia óptica a través de los diferentes modos guiados que

soporta la estructura en cuestión. Se ha comprobado que una buena elección para la constante

de referencia �N es la constante de propagación del modo guiado, si, a la frecuencia de trabajo

sólo existe un modo propagándose, o la media aritmética de las constantes de propagación, si

nos encontramos en situación multimodo �HuangMar92�.

Analicemos a continuación una situación, a priori más simple, pero que es la que hace que

a la aproximación de envolvente lentamente variable también se le llame aproximación

paraxial. Supóngase que se desea analizar la propagación a través de un medio homogéneo

excitado inicialmente por un haz gaussiano. En este caso la teoría electromagnética nos dice

que las soluciones, llamadas ondas planas por tener un frente de ondas plano, presentan el

siguiente aspecto

� � � �

�

E r E eojk r( ) � � � �

donde �Eo es la amplitud de la onda plana, y

�k el vector de onda. Este último nos informa de

la dirección de propagación de la onda en el espacio. La propagación del haz gaussiano es

resuelta calculando el espectro angular de ondas planas de la excitación �Lee1986�, esto es,

descomponiéndola en infinitas ondas planas y calculando la amplitud y vector de onda de cada

una de ellas. Este proceso es llevado a cabo de una manera sencilla pues se puede demostrar

que el espectro angular no es más que la transformada de Fourier de la excitación inicial. Por

ejemplo, y para simplificar, supóngase que nuestro haz gaussiano en z=0 está polarizado en la

dirección �y y que es invariante en dicha dirección, esto es, la propagación se produce en el

plano XZ. Haciendo uso de las propiedades de la transformada de Fourier, el espectro angular

es otra gaussiana tanto más ancha cuanto más estrecha sea la de la excitación. La relación

matemática entre ambas viene dada por

Excitación Inicial: �E x y e

xxs( ) ��

��

�

2

✟ EspectroAngular: E k x ex s

k xx s

( ) � ��

�

2

2

en donde la variable angular kx es la proyección del vector de onda sobre el eje x, por lo que

espectro angulares anchos se traducen en haces con mucha difracción. En la Fig. 2.2 se ha

representado la excitación gaussiana y su espectro angular.

(2.34)

(2.35)


27

La relación entre el vector de onda kx y la dirección � respecto del eje z con que se

propaga la onda plana correspondiente se obtiene fácilmente a partir de la relación de

dispersión en el medio, a saber

k k k n kx z o2 2 2 2 2� � �

k k nx o� �sen�

k k nz o� � cos�

Es obvio que si pretendemos simular la propagación de un haz a través de un medio

homogéneo mediante el BPM, la constante de propagación de normalización �N debiera ser

elegida como la proyección del vector de onda �

k sobre el eje z, esto es kz. Si el haz tiene poca

difracción, el error que se comete será pequeño si se fija la �N igual al módulo del vector de

onda en el medio (k), o al valor medio de todas las kz presentes en el haz, mientras que, si el

haz posee mucha difracción, el BPM no representará bien la propagación a través de la guía

dada la gran dispersión de valores de la constante de propagación kz, y por tanto, la mayor

desadaptación entre estos y el valor de �N seleccionado. La posterior aparición de diferentes

versiones del BPM, en las que no se realiza la aproximación de envolvente lentamente variable,

y por tanto, permiten analizar situaciones de espectro angular ancho, hizo que al método recién

expuesto se le conozca como paraxial-BPM, para diferenciarlo de éstos últimos, a los que se

les denomina wide-angle BPM, los cuales serán tratados más adelante a lo largo de este

capítulo.

Otra de las limitaciones impuestas en el desarrollo del BPM fue que el índice de refracción

variara lentamente en la dirección z. Esta simplificación permite, por una parte,

desacoplar la componente longitudinal del campo eléctrico Ez de las componentes

-5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eje x

excitacion

-5 0 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

kx

espectro angular

(a) (b)

Fig. 2.2: Relación entre excitación la excitación gaussiana y el espectro angular

(2.36)

(2.37)

(2.38)


28

transversales Ex y Ey, lo cual reduce enormemente

el grado de dificultad de las ecuaciones a resolver

�KriezisMay97�; y por otra, garantizar que el

módulo de la envolvente varíe lentamente en la

dirección z, condición necesaria para la aplicación

de la SVA. En la Fig. 2.3 se representa una

situación típica en el ámbito de la óptica integrada.

En ella, una guiaonda slab sufre, a partir de una

cierta distancia, una inclinación que la aleja de la

dirección axial. Si despreciamos la radiación que el

efecto pudiera producir, es evidente que cuanto

mayor sea el ángulo de inclinación , mayor será la

derivada del módulo de la envolvente en la dirección z, y por consiguiente, menos válido el

resultado arrojado por el BPM. Aunque la fase de la envolvente también sufre un cambio

importante tras la inclinación, este problema puede ser siempre solventado sin más que

cambiar la �N para que se adapte a las nuevas variaciones que le impone el campo eléctrico.

Para finalizar, comentar otra de las consecuencias, quizás la más importante, que tiene la

aplicación de la aproximación de envolvente lentamente variable. El hecho de haber

eliminado en el desarrollo matemático la derivada segunda con respecto a la dirección de

propagación (�2/�z2=0), es equivalente a considerar únicamente la propagación en un sentido,

esto es, a despreciar la onda reflejada. Que duda cabe que, para que dicha situación sea

factible, es necesario que no ocurran discontinuidades del índice de refracción en la dirección

longitudinal, lo cual, como ya se ha comentado en el párrafo anterior, constituye una de las

aproximaciones que se hicieron a lo largo del desarrollo. Obsérvese, que la simplificación que

se ha realizado transforma el problema a resolver, catalogado como un problema de valor

contorno pues el campo eléctrico en un plano z depende no sólo de la excitación inicial sino

además de la carga final, en un problema de valor inicial. Aunque existen en la literatura

versiones del BPM que contemplan la posibilidad de propagación simultánea en los dos

sentidos (‘Bidirectional-BPM’), no son más que la combinación de un BPM-unidireccional

con un algoritmo adecuado para el tratamiento de las reflexiones en los interfaces

�März1995�. Es por ello que en esta tesis, por simplicidad en el desarrollo y validación de los

métodos que se van a presentar, se ha trabajado siempre con el caso unidireccional.

x

z

Fig. 2.3: Limitación del BPM: inclinación de

una guiaonda slab.


29

2.2.- Wide-Angle BPM

Con el objetivo de superar la paraxialidad impuesta por el BPM, han surgido recientemente

diferentes estrategias conocidas como ‘wide-angle BPM’, las cuales, al no realizar la

aproximación de envolvente lentamente variable, permiten analizar situaciones con espectro

angular ancho (véase, por ejemplo, �BertlottiMay94�, �HadleyOct92�, �MaApr96�, �IlicDic96�,

�ChiouJul97�, entre otros). El objetivo de este apartado de la tesis no es, ni mucho menos,

profundizar sobre las diferentes técnicas ‘wide-angle’ que existen en la bibliografía, máxime

cuando, como se verá en la segunda parte de la tesis, no serán objeto de estudio por medio de

las técnicas espectrales; sino más bien, y llegados a este punto, dar al lector una visión global

del problema de la propagación en dispositivos ópticos, planteando las ecuaciones que habría

que resolver para realizar un análisis más exhaustivo.

Para simplificar, supóngase un situación 2D-escalar lineal. La ecuación de ondas para el

campo eléctrico viene dada por

�

�

�

�

2

2

2

22 2 0

E

x

E

zk n x y Eo� � � � �( , )

la cual también se podrá escribir como

�

�

2

2 0E

zLE� �

en donde se ha definido el operador ‘L’, para incluir todas las operaciones transversales que

actúan sobre el campo eléctrico

Lx

k no� � ��

�

2

22 2

A continuación, el problema suele ser abordado de dos maneras diferentes pero

completamente equivalentes. La primera de ellas consiste en solucionar directamente la

ecuación (2.40), que es por ejemplo el planteamiento seguido en el ‘método de líneas’

(‘Method of Lines’, �BertlottiMay94�), en cuyo caso el campo eléctrico en un plano z+�z se

obtiene directamente a partir del campo en el plano z como

E z z e E zj L z( ) ( )� � ��

en donde los signos ‘-’ y ‘+’ corresponden a las ondas incidente y reflejada respectivamente.

La otra vía es muy similar a la empleada en el BPM-paraxial, esto es, el campo eléctrico es

escrito previamente como el producto de dos términos, la envolvente compleja ‘�(x,z)‘, y el

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)


30

término de fase ‘ e j zN� � ’, pero con la diferencia de que ninguna imposición es hecha sobre la

velocidad de variación de la envolvente en dirección z. Con ello la ecuación a resolver se

podrá escribir como

� �

��

��

��

2

222 0

zj

zLN N� � �

en donde se puede comprobar que es exactamente igual que la del BPM-paraxial solo que,

como era de esperar, no se ha eliminado el término correspondiente a la derivada segunda de

la envolvente del campo. La solución formal de la ecuación (2.43) puede ser también

fácilmente obtenida aplicando el método de Laplace. Las raíces de la ecuación característica

son

S j LN12, ( )� ��

lo que permite escribir la envolvente del campo en un plano z+�z en función de la envolvente

en el plano z como

� ��

�( ) ( )z z e z

j L zN � ��

��

lo cual, como no podía ser de otra forma, es equivalente al resultado obtenido en (2.42).

En ocasiones, en lugar de considerar la ecuación (2.43) se suele plantear esta otra

� ��

��

zj LN� �

pues conduce formalmente al mismo resultado. Obsérvese que cuando el operador raíz

cuadrada es desarrollado en serie de Taylor y son despreciados los términos de orden superior

la ecuación que se obtiene es la paraxial-BPM �März1995�.

En el campo de la óptica, el operador raíz cuadrada es habitualmente desarrollado

utilizando los cocientes polinómicos de Padé ( véase por ejemplo �HadleyOct92� ó �IlicDic96�

para las expresiones exactas de los mismos). Haciendo uso de ellos, en �HadleyOct92�,

�MaAbr96� y �IlicDic96�, entre otros, se comparan los resultados de simulaciones obtenidas

mediante técnicas BPM-paraxiales y wide-angle-BPM para situaciones tales como la

propagación de una fuente puntual (máxima difracción) a través de un medio homogéneo, o la

propagación a través de un slab inclinado respecto del eje z un cierto ángulo (� ��z elevada),

que son situaciones límite para el método paraxial, apreciándose notables diferencias entre

ambos, tanto mayores cuanto mayor sea el espectro angular de la excitación, o mayor el

ángulo de inclinación de la guiaonda. Asimismo, y como era de esperar, el error cometido con

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)


31

esta nueva familia de métodos presenta, en función del orden de la aproximación de Padé

utilizada, una mayor insensibilidad a la constante de propagación de referencia empleada.

2.3.- Análisis Modal de Guiaondas Ópticas

Entre los diferentes objetivos planteados en el capítulo primero de esta tesis, el que será

tratado con una mayor extensión a lo largo de la misma es el desarrollo y validación de

herramientas para el cálculo eficiente de los modos en guías dieléctricas lineales y no-lineales,

dado que, como ya se ha comentado, es donde se han realizado una mayor cantidad de

aportaciones. Ello será expuesto en los capítulos 3, 4, 5 y 6, por lo que, al igual que se ha

hecho con la propagación, antes de entrar en detalle sobre el trabajo realizado, es conveniente

plantear las ecuaciones que se van a utilizar en su desarrollo. La razón de haber mostrado en

primer lugar las ecuaciones concernientes a la propagación se debe a que, si bien éstas serán

usadas con posterioridad en los capítulos 7 y 8, las ecuaciones modales pueden ser deducidas

de forma inmediata a partir de las anteriores, como se verá seguidamente.

El análisis o diseño de ciertos dispositivos ópticos pasa, en ocasiones, por tener

caracterizada cada una las guiaondas que lo componen. La caracterización o análisis modal

consiste en determinar, en función de la frecuencia, las soluciones estacionarias que la

estructura es capaz de soportar. Este tipo de soluciones, también llamadas modos, se

distinguen por propagarse con una cierta constante de propagación y por mantener invariante

su distribución transversal de campo eléctrico y magnético. En general, siempre se podrán

escribir de la siguiente manera � �

��

E x y z x y e

H x y z x y e

j z

j z

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

� �

� �

�

�

�

�

�

�

en donde � es la constante de propagación del modo en la dirección z, y �

�( , )x y y �

�( , )x y la

distribución espacial de los campos eléctrico y magnético respectivamente.

Dependiendo del margen de valores en el que se encuentre la constante de propagación,

los modos se pueden clasificar en guiados y radiados �März1995�. En guiaondas dieléctricas

lineales, los modos guiados forman un conjunto discreto, mientras que los radiados forman un

conjunto continuo. Todos ellos forman un conjunto completo de funciones, es decir, cualquier

campo se podrá escribir como una combinación lineal de los mismos. En cambio, en las

guiaondas dieléctricas no-lineales, dado que el índice de refracción viene caracterizado por el

propio campo que se pretende conocer, además de la frecuencia, será necesario especificar,

(2.47)


32

cuando menos, la potencia del modo a calcular. En ocasiones, en dispositivos que presenten

ciclos de histéresis será necesario además incluir el camino o evolución de la potencia (véase

por ejemplo el análisis modal de una fibra óptica no-lineal realizado en �NiiyamaEne98�). Por

ello, y a diferencia del caso lineal, los modos guiados que una guiaonda no-lineal soporta

forman un conjunto continuo de soluciones.

Las ecuaciones que gobiernan la propagación de ondas monocromáticas y estacionarias a

través de guías dieléctricas invariantes en la dirección longitudinal pueden ser fácilmente

deducidas a partir de la ecuaciones que gobiernan la propagación de la envolvente óptica del

campo eléctrico transversal (ecuación (2.19)). Como se recordará, éstas fueron obtenidas

suponiendo una variación lenta de la envolvente y concentrando la variación rápida en el

término de fase. Comparando con la expresión genérica de los modos (2.47), resulta obvio

entonces que, si eliminamos de la ecuación (2.19) la dependencia con z de la envolvente y

sustituímos �N por �, lo que se obtiene son justamente las ecuaciones que se están buscando.

La clasificación realizada en la tabla 2.1 para los diferentes tipos de soluciones, así como la

nomenclatura habitualmente utilizada para identificarlas, sigue siendo válida sin más que

añadirles el calificativo de ‘modos’. Las técnicas de caracterización de guiaondas que se van

presentar se han probado en estructuras 2D y 3D, siempre bajo la aproximación escalar, con lo

que la ecuación de ondas de mayor orden que será analizada viene dada, para los casos lineal y

no-lineal respectivamente, por

� �

�

� �

��

2

2

2

22 2 2

x yko n x y � � �( , )

� �

�

� �

��

2

2

2

22 2 3 2 23

4x yk n x y x yo � ��

�� ( , ) ( , )( )�

en donde se puede comprobar que si el medio es lineal los modos son autofunciones de la

ecuación diferencial y la constante de propagación sus autovalores. Si el medio es no-lineal, si

bien no constituye un problema de autovalores y autofunciones en sentido estricto, pues, como

se ha explicado, el medio depende de la propia función a calcular, normalmente se le suele

calificar como un problema no-lineal de autovalores. Esto está en consonancia con uno de los

métodos de resolución de ecuaciones no-lineales que suelen ser empleados para su resolución

y que será explicado en detalle en el capítulo siguiente.

(2.48)

(2.49)


33

2.4.- Normalización de la Ecuación de Ondas

En el año 1974 Kogelnik y Ramaswamy �Kogelnik74� demostraron que las propiedades de

guiado de un slab de salto de índice quedan unívocamente determinadas si se conocen la

frecuencia normalizada y el coeficiente de asimetría. Desde entonces, en lugar de trabajar con

parámetros físicos (perfil del índice de refracción y frecuencia de trabajo), en el ámbito de la

óptica, la práctica habitual suele ser someter a la ecuación de ondas a un proceso de

normalización que permita escribirla en términos de dichos parámetros. De hecho,

posteriormente, Chelkowski y Chrostowski �ChelkowskiSep87� hicieron lo propio con un slab

no-lineal, introduciendo un nuevo parámetro que tuviera en cuenta, conjuntamente, el grado de

no-linealidad del medio y la potencia del modo.

Antes de explicar cuáles son los pasos de que consta el proceso de normalización, tanto

para el caso lineal como para el no-lineal, es necesario conocer cómo se definen los parámetros

ópticos normalizados. Para ello supóngase una guiaonda genérica 3D no-lineal como la

mostrada en la Fig 2.4. Se compone de un núcleo (nf) rodeado en sus diversas caras por dos

medios materiales indefinidos, substrato y cubierta (ns y nc, nf>ns>nc). La no-linealidad es de

tipo Kerr y se ha situado en el substrato.

Existen tres parámetros ópticos normalizados, frecuencia, coeficiente de asimetría y

constante de propagación, los cuales se definen respectivamente como:

Frecuencia normalizada (V): Depende del tamaño eléctrico de la zona de guiado y de la

diferencia entre los índices de refracción del núcleo y del substrato. Cuando se trate de un

nf

ns , � s(3)

nc nc

nc

x

y

2dy

2dx

Fig. 2.4: Geometría general de una guiaonda 3D


34

problema tridimensional como el representado en la figura es necesario definir dos frecuencias

normalizadas (Vx y Vy), una para cada dirección1

V k d n nx o x f s� � � �2 2

V k d n ny o y f s� � � �2 2

El término n nf s2 2� es lo que se suele denominar apertura numérica (NA).

Coeficiente de asimetría (a): Informa de lo diferentes que son el substrato y la cubierta.

an n

n nas c

f s

��

��

2 2

2 20

Constante de propagación normalizada (b): Es una medida del grado de confinamiento del

modo en cuestión

bk n

n n

o s

f s

�

��

�

�

�2

2

2 2

En problemas lineales su valor se encuentra comprendido entre cero y uno. Si se aproxima a

uno indica que el modo encuentra muy confinado en el núcleo, mientras que si se aproxima a

cero, el campo se expande fundamentalmente por el resto de la estructura. Al cociente (�/ko) se

le suele denominar índice de refracción modal o efectivo (Neff).

En problemas no-lineales será necesario definir además un nuevo parámetro (bI), el cual

depende del grado de no-linealidad del medio (�s(3)) y de la potencia del modo. No obstante, y

para facili tar su aparición en la ecuación de ondas, en lugar de definirlo en función de la

potencia, se suele hacer respecto del valor del campo en algún punto de la zona no-lineal,

normalmente en la frontera entre ésta y la zona lineal. Matemáticamente se escribe como

bx y d

n nI

y

f s

s

�

��

� � ��

�

34

2

2 2

30

2

��

( )( , )

( )

En cuanto a cuáles son los pasos que hay que aplicar para transformar la ecuación de ondas

definida en términos de los parámetros físicos de la guía en otra equivalente definida en

términos de los parámetros ópticos normalizados definidos anteriormente, éstos se pueden

sintetizar en los siguientes puntos:

1 En la bibliografía no existe unanimidad sobre la definición de la frecuencia normalizada, apareciendoindistintamente normalizada al ancho y al semiancho. En la Tesis se utilizará esta última.

(2.50)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.54)


35

1.- En primer lugar las variables independientes (x e y) son normalizadas bien al ancho, bien al

semiancho, dependiendo de cómo hayan sido definidas las frecuencias normalizadas. En

nuestro caso, los nuevos ejes quedarían establecidos como

X x dx� /

Y y dy� /

con lo cual la ecuación (2.49) que gobierna la propagación de los modos por la estructura

quedaría tal que

1 1 3

42

2

2 2

2

22 2 3 2 2

d X d Yk n X Y X Y

x yo

� �

�

� �

��

��

�� ( , ) ( , )( )

2.- A continuación, los diferentes términos son multiplicados y divididos por la apertura

numérica al cuadrado, con lo que si todo es pasado al lado izquierdo, la ecuación puede ser

escrita como

� � � �k NA

k d NA X k d NA Y

n X Y N

NA

X Y

NAo

o x o y

eff2 22

2

2 2

2

2

2 2

2

3 2

21 1 3

40� � �

��

��

�

��

�

�

�

�

��

�

��

� �

�

� �

�

� ��

( , ) ( , )( )�

en donde ya se identifican claramente las frecuencias normalizadas.

3.- El término entre corchetes se compone a su vez de otros dos términos, el lineal y el no-

lineal. La manipulación del primero permite escribirlo de la siguiente forma

n X Y N

NA

n N

NAa b X Y cubierta

n N

NAb X Y nucleo

n N

NAb X Y substrato

eff

c eff

f eff

s eff

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

1( , )

( , )

( , )

( , )

��

��

��

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��

es decir, en función del coeficiente de asimetría y de la constante de propagación

normalizada, que era lo que se buscaba. Si se define el índice de refracción normalizado

como

(2.55)

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)


36

n X Y

a X Y cubierta

X Y nucleo

X Y substrato

2 1

0

( , )

( , )

( , )

( , )

�

� � �

� �

� �

!"

#"

$

%"

&"

la ecuación (2.58) se convierte en

1 1 3

42

2

2 2

2

22

3 2

2V

X Y

X V

X Y

Yn X Y

X Y X Y

NAX Y b X Y

x y

� �

�

� �

�

� ��

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( )

� � ��

�

�

�

��

�

4.- Por último, si el campo eléctrico es normalizado al valor del mismo en algún punto de la

zona no-lineal (por ejemplo el interface entre el substrato y el núcleo)

��

�( , )

( , )

( , );X Y

X Y

X YX Y

o oo o� � � �0 1

es posible escribir el término no-lineal en función del parámetro bI definido en (2.54), lo

que permite escribir finalmente la ecuación de ondas en su versión normalizada

1 1

22

2

2 2

2

22 2

V

X Y

X V

X Y

Yn X Y b X Y X Y X Y b X Y

x yI

� �

�

� �

��

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � ��

� ��

Como conclusión al proceso de normalización realizado es importante destacar los

siguientes comentarios:

i) La razón de haber normalizado la ecuación de ondas correspondiente a los modos que

soporta la estructura se debe a que normalmente el análisis modal se hace siempre en

términos de los parámetros ópticos normalizados, no así con la propagación, en la que la

práctica totalidad de las simulaciones publicadas en la bibliografía son realizadas sobre

dispositivos definidos por sus parámetros físicos.

ii) Independientemente del método que se utilice para la resolución de la ecuación (2.63), lo

cual será tratado en el capítulo siguiente, ésta queda definida cuando se especifiquen los

parámetros (a,Vx,Vy,bI). Su solución debe proporcionar la constante de propagación

normalizada (b) y la distribución espacial normalizada del campo eléctrico (�( , )X Y ).

Ahora bien, en ocasiones el propio método impone que además se deba introducir como

dato para su resolución la constante de propagación normalizada, con lo cual, si se fija de

forma arbitraria, la solución que se obtenga no tiene por qué satisfacer la condición de

normalización (�( , ) )X Yo o �1 ). Por ello, resulta interesante saber cómo transformar dicha

(2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)


37

solución en otra que sí satisfaga tal condición. Si por ejemplo, el conjunto de parámetros (a,

Vx, Vy, bI, b, �(X,Y)) es solución de la ecuación (2.63), es fácilmente demostrable que el

conjunto (a, Vx, Vy, bI’, b, �‘(X,Y)) con bI

’ = bI · ��(Xo,Yo)�2 y �‘(X,Y) = �(X,Y)� �( Xo,Yo) es

también solución de la misma.

2.5.- Las Condiciones de Contorno y las Condiciones de Salto

Hasta el momento, en lo que va de capítulo, aún no se ha hecho mención alguna a cómo

son aplicadas las condiciones de contorno. Que duda cabe que, como cualquier problema

electromagnético, además de las ecuaciones de Maxwell, será necesario imponer las

condiciones de salto o frontera que se han de satisfacer en los posibles interfaces que contenga

la estructura bajo análisis. Las guiaondas ópticas poseen ciertas características que las

diferencian, por ejemplo, de las guiaondas más habitualmente empleadas en las bandas de

microondas/milimétricas. En concreto las primeras son estructuras abiertas, por lo que, en

principio, el dominio a analizar se extiende hasta el infinito; mientras que las segundas suelen

estar encerradas por un conductor perfecto, lo que fija unas determinadas condiciones de

contorno sobre sus extremos y permite delimitar la zona de interés a un espacio finito y

conocido de antemano. Esta notable peculiaridad se ha convertido en el caballo de batalla de

los diversos métodos numéricos que se han desarrollado en el campo de la óptica integrada

durante los últimos años para la discretización de las ecuaciones que se acaban de exponer (un

resumen de los mismos es realizado en [Chiang1994� para los modos y en [Yevick1994� para

propagación). De hecho, el mayor o menor éxito de una determinada técnica numérica radica,

entre otras cosas, en dónde y cómo son fijados los extremos de la ventana de computación.

Aunque el problema debe ser tratado de forma diferente dependiendo del tipo de situación a

resolver, modos o propagación, simplemente, y a modo de ejemplo, supóngase que se desea

aplicar una cierta técnica numérica. Una forma de medir su eficiencia consiste en fijar la

precisión a obtener y evaluar el coste computacional necesario para su obtención. En ese caso

resulta obvio comprobar que el coste computacional crecerá con el tamaño de la ventana de

computación, por lo que interesará trabajar con tamaños de ventana reducidos y lo más

ajustados posibles a la zona de interés. Este truncamiento, necesario en la mayoría de las

ocasiones, del dominio infinito original en uno de dimensión finita, obliga a conocer cuáles van

a ser las condiciones de contorno que van a existir sobre sus extremos. Cuando lo que se

persigue es la caracterización de los modos guiados que soporta una estructura, éstos imponen


38

una condición de campo nulo en el infinito, por lo que parece razonable truncar allí donde el

campo se hace prácticamente cero. En cambio, si se está analizando la propagación de la

envolvente óptica a través de una estructura, el problema resulta menos evidente, pues, dado

que hay radiación saliente, independientemente del punto en donde se produzca el

truncamiento, las condiciones de contorno cambian con la distancia de propagación.

Los métodos espectrales poseen, por su propia naturaleza, ciertas dificultades para superar

con eficiencia este problema. De hecho, el principal obstáculo con que se encuentran para

incrementar su eficiencia numérica tiene su origen justamente en las condiciones de contorno.

Los mayores esfuerzos realizados hasta la fecha se han centrado básicamente en superar dicha

limitación, y las aportaciones que se presentan en este trabajo no podían ser menos. En

concreto, en el ámbito de los modos, la aportación realizada perfeccionará notablemente a una

técnica espectral ya existente; mientras, en el ámbito de la propagación se propone una nueva

formulación que mejora considerablemente la eficiencia de las condiciones de contorno

utili zadas anteriormente. Por ello, no nos extenderemos de momento más sobre el tema,

dejando para los correspondientes capítulos un análisis detallado del mismo y de cuál ha sido

su evolución a lo largo del tiempo, con el objeto de justificar y comprender mejor el trabajo

desarrollado.

En lo que respecta a las condiciones de salto que se deben satisfacer en los diferentes

interfaces existentes en la guiaonda, y en cómo pueden afectar a la resolución de la ecuación

diferencial, es conveniente hacer las siguiente reflexiones. Por una parte, al tratarse de guías

dieléctricas y no contener ninguna inhomogeneidad de tipo magnético, las únicas

componentes de campo que pudieran presentar algún tipo de discontinuidad son las

correspondientes al campo eléctrico. Las condiciones de contorno que se deben cumplir entre

dos medios con características diferentes son obtenidas, como es sabido, a partir de las

ecuaciones de Maxwell en forma integral �Nikolski1976�. Quiere eso decir que,

implícitamente, están incluidas en las ecuaciones diferenciales que se han deducido y deberán,

por tanto, ser satisfechas por el tipo de soluciones que se están buscando. No obstante, existen

ciertas situaciones límite que pudieran dar lugar a errores en su resolución y que convienen ser

comentadas. En �März1995� se realiza un análisis exhaustivo e interesante acerca de la

continuidad o discontinuidad presentada, no sólo por las componentes de campo eléctrico y

magnético, sino lo que es más interesante, de sus derivadas respecto a la dirección normal y

tangencial del interface. La situación más desfavorable ocurre cuando se está resolviendo el


39

problema 3D/vectorial, sin ningún tipo de aproximación, en guías de salto de índice. En ese

caso, las derivadas del índice de refracción darán lugar a la aparición de deltas en la ecuación

diferencial (ec. 2.15 ó 2.20), lo que ocasionaría, entre otros, problemas de convergencia

�MarcuseFeb92�. Sin embargo, como ya se ha comentado, las técnicas espectrales que se van

presentar para el cálculo de modos sólo se han utilizado en guiaondas 2D y 3D escalares,

mientras que en propagación se llegó a analizar el caso vectorial pero en una situación 2D, por

lo que, de momento, dicha situación no se producirá. Entre las posibles líneas futuras de

investigación que se manejan, y que serán comentadas en el capítulo 9, que duda cabe que, la

adaptación de las técnicas propuestas al caso 3D/vectorial se erige como la extensión natural

de las mismas.

Capítulo 3:

Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales

Habiéndose ya expuesto en el capítulo anterior los fundamentos electromagnéticos de las

guiaondas ópticas, y deducido a partir de los mismos, las diferentes ecuaciones de ondas que

gobiernan la propagación de la envolvente óptica y de los modos o soluciones estacionarias

por estructuras dieléctricas, el siguiente paso a realizar consiste en abordar su resolución

numérica. En esta primera parte de la Tesis que ahora se inicia, y que comprende los capítulos

3, 4, 5 y 6, se presentará el trabajo realizado en lo que al análisis modal se refiere, dejando

para los capítulos 7 y 8, el correspondiente a la propagación. Evidentemente, el problema de

propagación contiene los mismos operadores transversales que el problema modal, y sólo se

diferencia de él en la aparición de la coordenada longitudinal, por lo que gran parte de la

información que se va a presentar seguidamente será de aplicación directa en la segunda parte

de la Tesis.

Dos son los objetivos que se van a cubrir en el presente capítulo:

i) Explicar los fundamentos matemáticos en los que se apoyan los métodos espectrales y

pseudoespectrales.

ii) Demostrar las limitaciones que presentan los métodos clásicos de descomposición en

funciones base de Fourier y Hermite-Gauss. Su conocimiento resulta de vital importancia

para comprender y justificar los diferentes pasos que condujeron a la principal aportación

realizada en esta Tesis, y que será detalladamente abordada en capítulos sucesivos.

Para acometer tales objetivos, ha sido necesario desarrollar una formulación original que

permita, de manera sencilla y elegante, discretizar el conjunto de ecuaciones diferenciales a

resolver.

En cuanto a la resolución del sistema no-lineal de ecuaciones que se obtiene tras el

proceso de discretización, dos han sido los métodos empleados. El método de la


42

autoconsistencia de los campos, y el método de Newton-Raphson, proponiéndose en el caso

de este último, una nueva estrategia para su aplicación.

3.1.- El Método de los Residuos Ponderados

El método de los residuos ponderados es, actualmente, una de las herramientas más

extendidas y desarrolladas para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales e integrales

en diferentes ámbitos científicos. El objetivo del método de los residuos ponderados, como el

de cualquier otro método numérico, consiste en transformar la ecuación a resolver en un

sistema de ecuaciones algebraico, cuya solución representa una aproximación al problema

original. En realidad, el método de los residuos ponderados abarca, a su vez, una amplia gama

de métodos, los cuales se diferencian, fundamentalmente, en la forma en que son ejecutados

los pasos de que consta el proceso anteriormente mencionado. Por ello, y a modo de síntesis,

se ha considerado conveniente realizar, junto con la explicación de los fundamentos y

principios generales del método, una clasificación de las diferentes versiones del mismo, que

permita ubicar los métodos que van ser objeto de estudio por parte de esta Tesis.

Supóngase que se desea resolver la siguiente ecuación diferencial definida sobre el

intervalo � con condiciones de contorno homogéneas en sus extremos

� � � �L x x a b

a

b

�

�

�

( ) ,

( )

( )

� � � �

�

�

0

0

0

�

en donde ‘L’ es el operador diferencial que actúa sobre la función �(x) a calcular.

Dos son los pasos esenciales que hay que aplicar para su resolución numérica. El primero de

ellos consiste en aproximar la función �(x) en el espacio funcional definido por el conjunto de

funciones base �Fk(x)�N

� � �( ) ( ) ( )x x F xN k kk

N� � �

�

�0

Su sustitución en la ecuación (3.1) permite definir la función residual o residuo como

� �R x L xN( ) ( )� �

la cual no es más que una medida del error cometido, pues la aproximación será tanto mejor

cuanto menor sea el residuo.

(3.1)

(3.2)

(3.3)


43

El segundo y definitivo paso tiene la misión de generar, a partir de la ecuación (3.3) 'N+1'

ecuaciones que relacionen los 'N+1' coeficientes ��k�N entre sí. Estas son obtenidas forzando

que el producto escalar entre el residuo y unas ciertas funciones peso �Wi(x)�N sea cero

� � � � �R x W x R x W x dx i Ni ia

b

( ), ( ) ( ) ( ) , ,2,...,* 0 0 1

y cuya posterior manipulación permite escribir finalmente el sistema de ecuaciones en forma

matricial

� � � �M k� �� 0

Aunque el método expuesto es, desde un punto de vista conceptual, bastante simple, su

implementación no resulta ser tan inmediata. La pregunta clave que cabría hacerse es: ¿Qué

tipo de funciones base y funciones peso deben ser seleccionadas para conseguir, con el

mínimo número de términos, la mejor aproximación posible?. La respuesta a esta pregunta ha

sido el objetivo perseguido por los diferentes métodos numéricos que se han desarrollado a

raíz de la formulación presentada, y que seguidamente se pasan a comentar.

El Método de Colocación

El método de colocación, también llamado de ‘interpolación’ o de los 'puntos' (‘point

matching’), toma como funciones peso ‘N+1’ deltas de Dirac distribuidas a lo largo del

dominio de validez de la ecuación

W x x x xi i i( ) ( )� � ��

La sustitución de (3.6) en el sistema de ecuaciones (3.4) da como resultado

R x i Ni( ) , ,2,...,� �0 0 1

es decir, los coeficientes ��k�N son obtenidos forzando que la función aproximada �N(x) y la

función a calcular �(x) sean iguales en un número finito de puntos del dominio. La precisión

del método no sólo dependerá, como es obvio, del número de puntos de interpolación, sino

además de cómo son distribuidos dichos puntos en el intervalo �.

El Método de Galerkin

Cuando las funciones peso son elegidas iguales a las funciones base que definen el

espacio funcional en donde se está realizando la aproximación, es decir

W x F xi i( ) ( )�

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)


44

se obtiene lo que se conoce como método de Galerkin. En este caso el sistema de ecuaciones

(3.4 ) se puede escribir de la siguiente forma

R x F x dx i Nia

b

( ) ( ) , ,2,...,*� � � 0 0 1

el cual, como se puede observar, presenta, a priori, una manipulación más difícil para ser

escrito en forma matricial que el obtenido por el método de colocación. No obstante, como se

explicará en el siguiente apartado, si las funciones base son elegidas de forma que satisfagan

la condición de ortogonalidad, este proceso adquiere un alto grado de simplificación.


Cuando las funciones base se encuentran definidas para todos y cada uno de los puntos del

dominio � (funciones base globales) se obtienen los llamados métodos espectrales y

pseudoespectrales. Ambos se diferencian en que los primeros hacen uso de la estrategia de

Galerkin, mientras que los segundos hacen lo propio con la de colocación. Espacios

funcionales típicos que pertenecen a esta categoría son, por ejemplo, el de Fourier, Hermite-

Gauss, Chebyshev, Legendre, entre otros. La característica fundamental de esta familia de

métodos es que la utilización de un mayor número de términos en el desarrollo implica

incrementar el orden o grado de las funciones base.

Los Métodos Locales

Por contra, cuando las funciones base se encuentran sólo definidas sobre una porción del

dominio �, valiendo cero en el resto, los métodos, independientemente de la estrategia

seguida en lo que a las funciones peso se refiere, son denominados locales. Éstos, a diferencia

de los métodos globales, incrementan su precisión a base de aumentar el número de

subintervalos en los que es dividido el dominio y manteniendo fijo el grado de la función

base, la cual por otra parte, suele ser un polinomio de orden inferior. El método de los

elementos finitos es, por excelencia, su ejemplo más típico.

A la vista de la clasificación anterior, conviene hacer algunas reflexiones al respecto. En

principio se tenderá a considerar como método más eficiente aquel que consiga alcanzar una

precisión determinada con el mínimo número de términos. Sin embargo, este razonamiento

puede llevar a conclusiones erróneas. Si comparamos por ejemplo el método de Galerkin

(3.9)


45

frente al de colocación, resulta evidente que, puesto que el primero minimiza el residuo en

todo el intervalo y el segundo sólo lo hace en un número finito de puntos, logrará utilizar un

menor número de términos. Sin embargo, como se verá en sucesivos apartados, la

formulación del sistema matricial que caracteriza a cada uno de los métodos requiere, en

general, un esfuerzo computacional mayor para el método de Galerkin que para el método de

colocación. Algo similar ocurre cuando los métodos globales son comparados con los

métodos locales, pues los primeros dan lugar a matrices del sistema densas y de menor tamaño

que las que generan los segundos, las cuales, sin embargo, son poco densas. Este importante

matiz debiera ser tenido en cuenta a la hora de realizar la confrontación entre ambos, ya que el

número de operaciones necesario para resolver el sistema planteado por un método global

puede llegar a ser superior al correspondiente a un método local. Otro aspecto que también

debiera ser enormemente valorado antes de decantarse por uno u otro método, es la

posibilidad de disponer de algoritmos rápidos para evaluar, a partir de los coeficientes, la

aproximación en el número de puntos que se desee (ec. (3.2)), y viceversa. Es el caso, por

ejemplo, de los espacios funcionales que van a ser utilizados en esta primera parte de la Tesis,

Fourier y Hermite-Gauss. El primero posee una transformada rápida (Fast Fourier Transform-

FFT), mientras que el segundo carece de ella.

En definitiva, la valoración de las prestaciones que un determinado método numérico

ofrece sería ambigua si simplemente se midiera la dimensión del espacio funcional sobre el

que se realiza la aproximación, por lo que es necesario tener en cuenta además otros aspectos

relacionados con el coste computacional que su implementación representa.

3.2.- Las Funciones Base

Antes de empezar a profundizar sobre la aplicación de los métodos espectrales y

pseudoespectrales a la caracterización de guiaondas ópticas, conviene recordar ciertas

propiedades generales que deben ser satisfechas por los espacios funcionales a utilizar, así

como reflexionar sobre la manera en que éstos pudieran afectar a la forma de imponer las

condiciones de contorno.

3.2.1.- Completitud y Ortogonalidad

La completitud y ortogonalidad son dos propiedades que, si bien su cumplimiento por

parte de los espacios funcionales acarrea consecuencia diferentes, suelen ir normalmente


46

ligadas la una con la otra. La razón de esta ligazón fue descubierta por Sturm y Liouville en el

siglo XIX. Ambos demostraron que existen una clase de problemas ('problemas de Sturm-

Liouville') cuyas autofunciones forman espacios funcionales completos y ortogonales.

Respecto a lo que cada una de ellas implica, la completitud garantiza que cualquier función

perteneciente a la clase de funciones que está siendo objeto de estudio pueda ser representada

con la precisión que se desee. Por su parte, la ortogonalidad resulta ser una propiedad muy

atractiva pues por un lado permite calcular de forma sencilla los coeficientes espectrales de

una determinada función y por otro garantiza que los coeficientes óptimos son independientes

del orden (número de términos) de la aproximación. Matemáticamente se puede formular

diciendo que el producto escalar entre sus funciones base respecto de una posible función de

peso �(x) satisface la siguiente relación

� � � � � �F x F x F x F x x dxm n m n na

b

mn( ), ( ) ( ) ( ) ( )* � ��

en donde �mn es la función delta de Kronecker y �n es la norma o constante de normalización,

la cual pudiera depender del orden de la función base. Aplicando dicha propiedad a la

ecuación (3.2), se deduce con facilidad cuál es la expresión exacta del coeficiente k-ésimo de

la aproximación

� �kk

kx F x� � � 1

�( ), ( )

3.2.2.- Condiciones de Contorno

El sistema de ecuaciones (3.5) resultado de la aplicación del método de los residuos

ponderados a la ecuación diferencial que se pretende resolver, no contiene aún ninguna de las

condiciones de contorno especificadas en la ecuación (3.1). Existen dos formas diferentes de

hacerlo. La primera, también llamada explícita, consiste en eliminar dos de las filas que

definen la matriz del sistema de ecuaciones, las cuales pudieran ser por ejemplo las

correspondientes a los coeficientes de menor peso, e introducir las dos ecuaciones que

garantizan el cumplimiento de las condiciones de contorno, las cuales se pueden escribir,

haciendo uso de la ecuación (3.2), en función de los coeficientes a calcular

(3.10)

(3.11)


47

� �

� �

( ) ( )

( ) ( )

a F a

b F b

k kk

N

k kk

N

� � �

� � �

�

�

�

�

0

0

0

0

La otra posibilidad, conocida como implícita, se basa en seleccionar un espacio funcional

en el que todas y cada una de sus funciones base satisfagan de forma natural las condiciones

de contorno homogéneas que impone el problema en cuestión. De esta forma, al escribir la

aproximación como suma de funciones base se estaría garantizando su cumplimiento sin

necesidad de imponer ecuaciones adicionales. Por ejemplo, si se están calculando los modos

de una guía de onda cerrada por conductor perfecto, parece claro que una buena elección

pudieran ser las funciones base senoidales pues satisfacen de forma natural la condición de

campo nulo (Dirichlet) sobre los contornos de la guía. Si el problema a analizar no tuviera

condiciones de contorno homogéneas en los extremos del dominio, siempre es posible

transformar el problema original en otro equivalente que sí tenga condiciones de contorno

homogéneas, y por tanto seguir utilizando esta estrategia.

A pesar de que no es lo habitual, existen otros espacios funcionales en donde ninguna de

las dos técnicas anteriormente mencionadas son utilizadas. Es el caso, por ejemplo, del

espacio funcional de Fourier aplicado a un dominio infinito. Aunque este tema será analizado

más adelante en detalle a lo largo del presente capítulo, pues es la situación que se presenta en

una guía dieléctrica, adelantar que el problema puede seguir siendo analizado sin necesidad de

añadir condición adicional alguna, sin más que elegir el periodo de las funciones base lo

suficientemente grande como para asegurar que el campo que va a haber en sus extremos sea

prácticamente cero.

3.3.- Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales

La utilización del método de Galerkin y de colocación junto con espacios funcionales

globales da lugar, como ya se ha indicado, a los métodos espectrales y pseudoespectrales

respectivamente. Con independencia del espacio funcional que se vaya a emplear, existen

ciertas condiciones bajo las cuales la aplicación de los mismos da lugar al mismo resultado.

Por ello, y antes de particularizar a los espacios funcionales de Fourier y Hermite-Gauss, se

van a describir cómo son discretizadas las ecuaciones modales deducidas en el capítulo

anterior, a fin de definir y establecer una serie de conceptos y relaciones fundamentales

(3.12)


48

comunes a todos ellos que serán ampliamente utilizados a lo largo de la Tesis. Todo ello va

acompañado de una de las aportaciones que se han realizado para su implementación, y que

no es otra que el desarrollo de una formulación compacta basada en el concepto de operador

matricial.

Supóngase que se desea caracterizar, por ejemplo, la guiaonda óptica 2D-escalar lineal

indicada en la figura 3.1. Se trata de un slab de

salto de índice formado por un medio de índice

de refracción nf, llamado núcleo o ’film’, rodeado

por dos medios ilimitados en la dirección x,

llamados substrato y cubierta, con índices de

refracción, respectivamente, ns y nc. La guiaonda

es invariante en las direcciones y y z, siendo ésta

última la que se toma como dirección de

propagación. La ecuación de ondas

correspondiente a los modos guiados TE viene

dada por

� �

��

2

22 2 2( )

( ) ( ) ( )x

xk n x x xo� � � �

donde �(x) es la distribución transversal del campo eléctrico, � su constante de propagación y

ko el vector de onda en el vacío a la frecuencia de trabajo.

El primer paso para su resolución, consiste en sustituir la expresión (3.2) en la ecuación

diferencial (3.13), lo cual da lugar a

��

�� k

k

k

N

o k kk

N

k kk

NF x

xk n x F x F x

2

20

2 2

0

2

0

( )( ) ( ) ( )

� � �

� � ��

��

�

� �

Seguidamente, los coeficientes de la aproximación pueden ser calculados aplicando la

estrategia de Galerkin o la de colocación.

3.3.1.- Método de Colocación

Si la ecuación (3.14) es particularizada en ‘N+1’ puntos arbitrarios del dominio, la

ecuación i-ésima correspondiente al punto xi se podrá escribir como

��

�� k

k i

k

N

o i k k ik

N

k k ik

NF x

xk n x F x F x i N

2

20

2 2

0

2

0

0 1( )

( ) ( ) ( ) , ,2,...,� � �

� � ��

��

�

� � �

ynúcleo: nf

substrato: ns

cubierta: ncx

z

2d

Fig 3.1: Guiaonda slab lineal de salto de índice

(3.13)

(3.14)

(3.15)


49

la cual puede ser también puesta en forma matricial, adoptando el siguiente aspecto

� � � � � � � � � � � � � �F x k p T Tk i k o k k'' ( ) � � � � � � �

� �

� � � �2 1 2 1

en donde las letras con barra se refieren a vectores columna y las letras con doble barra se

refieren a matrices. Las expresiones de cada una de las matrices que aparecen en la ecuación

anterior vienen dadas por

� �F xF x

xk i

k i' ' ( )( )

��

�

��

�

�

�

2

2

� � � �p diag n xi� ( ( ))2

� � � �T F xk i�

�1

( )

La matriz � �F xk i''( ) contiene por columnas el resultado del muestreo de la derivada

segunda de las funciones base en los puntos de colocación xi. La matriz diagonal � �p se

obtiene a partir de las muestras de la función n2(x) en los puntos de colocación. Por último, la

matriz � �T�1

, formada a partir de los valores procedentes del muestreo de la función base

Fk(x) en los puntos de colocación y situándolos en la columna k-ésima, es lo que se suele

denominar como ‘matriz transformada inversa’, pues a partir de los ‘N+1’ coeficientes de la

aproximación calcula el campo en ‘N+1’ puntos cualesquiera del dominio. Su inversa, la

matriz � �T , es lo que se llama ‘matriz transformada directa’ y permite calcular los ‘N+1’

primeros coeficientes de cualquier función que pretenda ser aproximada a partir del valor de la

función en ‘N+1’ puntos del dominio. Con ello se pueden escribir las siguientes relaciones de

transformación

� � � � � �� ( )x Ti k� ��1

� � � � � �� k iT x� � ( )

las cuales permiten pasar, de forma unívoca, del dominio de los coeficientes al dominio de los

puntos, y viceversa, respectivamente.

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)


50

A raíz de lo anterior se pueden extraer las siguientes e importantes conclusiones del

método de colocación:

i) El problema puede ser planteado de dos formas completamente equivalentes. Tomando

como incógnitas, bien los ‘N+1’ coeficientes de la función ��k�N , bien los ‘N+1’ valores que

la función adopta en los puntos del dominio seleccionados ��(xi)�N. Es a lo que se

denominará, respectivamente, trabajar en el dominio de los coeficientes o en el dominio de los

puntos. Las matrices que definen cada uno de los sistemas pueden ser directamente obtenidas

a partir de la ecuación (3.16). Para la primera de ellas, se multiplica por la izquierda por la

matriz transformada directa, obteniéndose

� � � � � � � � � � � � � � � �T F x k T p Tk i k o k k� � � � � � � � ��'' ( ) � � � �2 1 2

que se puede reescribir con forma de un problema de autovalores, como

� � � � � �M k k� � �� 2

donde la matriz del sistema � �M viene dada por

� � � � � � � � � � � �M T F x k T p Tk i o� � � � � ��

''( ) 21

Mientras que, si se está trabajando en el dominio de los puntos, sólo es necesario sustituir el

vector columna de los coeficientes por la expresión (3.21) que lo relaciona con el valor de la

función en los puntos de colocación, llegándose a

� � � � � � � � � � � �F x T x k p x xk i i o i i'' ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �� 2 2

que se puede poner como

� � � � � �m x xi i� � �� ( ) ( )2

donde se deduce la matriz del problema de autovalores dada ahora por

� � � � � � � �m F x T k pk i o� � � �''( ) 2

Finalmente, si se comparan las ecuaciones (3.24) y (3.27), es posible deducir cuál es la

relación existente entre ambas matrices, concluyéndose que

� � � � � � � �M T m T� � ��1

ii) Analizando las ecuaciones (3.22) y (3.25) es posible introducir el concepto de operador

matricial. La idea es bastante simple y se basa en calcular la matriz que, multiplicada por el

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)


51

vector de incógnitas de la función sobre la que se realiza una cierta operación (multiplicación

derivación, ...), de como resultado el vector de incógnitas correspondiente a la función

resultado de la operación. Por ejemplo, comenzando por la ecuación (3.22), el operador

derivada segunda y operador producto en el dominio de los coeficientes vienen dados por

� � � � � �DD T F xk i� � ''( )

� � � � � � � �P T p T� � ��1

mientras que, haciendo uso de la ecuación (3.25), los mismos operadores en el dominio de los

puntos vienen dados, respectivamente, por la matriz

� � � � � �dd F x Tk i� �''( )

y por la matriz � �p , la cual fue previamente definida en (3.18). Al igual que se hizo con la

matriz del sistema, es posible relacionar los operadores en ambos dominios. Para el operador

producto la expresión que los relaciona es directamente la ecuación (3.30), mientras que para

el operador derivada segunda se obtiene una expresión similar dada por

� � � � � � � �DD T dd T� � ��1

Obsérvese que a lo largo del desarrollo se han utilizado las mayúsculas para hacer referencia

al dominio de los coeficientes, y las minúsculas para el dominio de los puntos.

iii) Por último, y quizás la propiedad más importante que caracteriza al método de colocación,

es que los coeficientes obtenidos como consecuencia de la resolución del sistema de

ecuaciones (3.23) dependen, y esa dependencia suele ser muy fuerte, de los puntos de

colocación seleccionados.

Para comprender mejor el significado de esta afirmación, supóngase que, en lugar de estar

resolviendo una ecuación diferencial, se desea calcular la proyección, o aproximación, de una

cierta función f(x) conocida, en el espacio funcional definido por las funciones base �Fk(x)�N,

pues las conclusiones así se extraigan serán directamente aplicables al caso de la ecuación

diferencial.

Existen dos formas diferentes de evaluar los coeficientes que definen la aproximación. La

primera consiste en hacer uso de la propiedad de ortogonalidad y obtener su valor exacto que

es aquel que produce un error cuadrático medio mínimo, esto es, calcular el producto escalar

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)


52

entre la función a aproximar y cada una de las funciones base, lo cual es equivalente, como se

demostrará en el siguiente apartado, a aplicar el método de Galerkin cuando lo que se pretende

resolver es una ecuación diferencial. Llamando � �fk a los coeficientes que se obtienen con

esta estrategia, éstos vendrán dados por la ecuación (3.11), la cual es repetida nuevamente por

comodidad

f f x F xkk

k� � � �1

�( ), ( )

La otra forma de hacerlo emplea un planteamiento similar al utilizado con el método de

colocación. Forzando la igualdad en ‘N+1’ puntos arbitrarios del dominio entre la función a

aproximar y la función que resulte de la aproximación, es posible plantear un sistema de

ecuaciones cuyas incógnitas representan, en este caso, una ‘aproximación’ a los coeficientes

buscados. Llamando � �qk al valor de dichos coeficientes aproximados, éstos pueden ser

calculados usando la expresión de transformación (3.21), a saber

� � � � � �q T f xk i� � ( )

en dónde se puede comprobar su dependencia con la ubicación del mallado utilizado. A la

función que resulte de la aproximación, qN(x), se le suele llamar ‘polinomio de interpolación’,

pues tal y como ha sido obtenida satisface la siguiente relación

� � � �f x q xi N i( ) ( )�

A modo de ejemplo, se representan en la Fig. 3.2 los resultados obtenidos cuando una

gaussiana es aproximada en el espacio funcional de Chebyshev (N=3) para tres conjuntos

diferentes de puntos de interpolación. En la Fig. 3.2(a), además de los polinomios de

interpolación resultantes, se han señalado la posición que ocupan en el dominio los puntos de

colocación. El mallado 1 ha sido fijado colocando las muestras de forma equiespaciada,

pensando que de esa manera se obtendría una mejor aproximación, mientras que el mallado 2

se ha distribuido de forma no-uniforme concentrando las muestras en la parte derecha del

dominio, pues es ahí donde la amplitud de la función es mayor. Como se puede comprobar en

dicha figura, ninguno de los dos mallados consigue una buena aproximación en todo el

intervalo. Sin embargo, si los puntos de interpolación son obtenidos calculando las raíces de la

función base de orden ‘N+1’ (orden siguiente al último término considerado), la aproximación

obtenida es la mejor de todas las posibles �Boyd1989�. Es lo que en la figura se ha

(3.33)

(3.34)

(3.35)


53

denominado mallado óptimo. Como se puede observar la aproximación mantiene un buen

compromiso en todo el intervalo. Por su parte, los resultados presentados en la Fig.3.2(b) son

una confirmación de los anteriores. En ella se muestran los coeficientes exactos de la

gaussiana junto con los que resultan de utilizar los mallados. Se puede comprobar cómo, con

sólo 4 puntos, los coeficientes correspondientes al mallado óptimo son prácticamente iguales

que los que se obtienen cuando la expresión exacta es utilizada.

3.3.2.- Método de Galerkin

En este caso, el sistema matricial de ecuaciones se obtiene forzando la ortogonalidad entre

cada una de las funciones base que están siendo utilizadas en el desarrollo en serie y la

ecuación (3.14). Suponiendo que la función peso, respecto de la cual el espacio funcional en

cuestión satisface la condición de ortogonalidad es igual a uno, la ecuación correspondiente a

la función base i-ésima sería

��

�� k

ki

a

b

k

N

o ka

b

k

N

k i k k ia

b

k

NF x

xF x dx k n x F x F x dx F x F x dx

i N

2

20

2 2

0

2

0

0 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,2,...,

* * *��

� � �

� � �

�

la cual, escrita en forma matricial, adopta el siguiente aspecto

� � � � � � � � � �DD k Pk o k k� � � � � �� 2 2

-1 -0.5 0 0.5 1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5aproximaciones: f(x) vs. qN(x)

mallado 1

mallado 2

mallado óptimo

gaussiana

0 1 2 3-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4coeficientes: fk vs. qk

mallado 1

mallado 2

mallado óptimo

coef. exactos

(a) (b) Fig. 3.2: Comparación de las aproximaciones polinómicas obtenidas con diferentes puntos de interpolación. (a) polinomios de interpolación resultantes y ubicación de los puntos de colocación, ‘O mallado 1’, ‘+ mallado 2’, ‘* mallado óptimo’ (b) amplitud de los coeficientes.

(3.36)

(3.37)


54

en donde como se puede observar, al igual que se hizo con el método de colocación, es

posible definir los operadores derivada segunda y producto en el dominio de los coeficientes.

Las expresiones de los mismos vienen dados en este caso por

DD F xF x

xdxik i

k

a

b

� �� * ( )( )�

�

2

2

P n x F x F x dxik i ka

b

� � 2( ) ( ) ( )*

en donde el subíndice ‘i’ hace referencia a la fila, mientras que el subíndice ‘k’ hace lo propio

con la columna.

Una vez derivadas las ecuaciones, el método de Galerkin admite los siguientes

comentarios de carácter general:

i) La construcción de las matrices que definen el sistema de ecuaciones requieren, en

principio, un esfuerzo computacional mayor que las correspondientes al método de

colocación.

ii) A igual número de coeficientes, la precisión obtenida con el método de Galerkin es

superior que la lograda con el método de colocación �Boyd1989�.

iii) Existen ciertas condiciones bajo las cuales los métodos espectrales y pseudoespectrales

conducen al mismo resultado. Éstas se pueden concretar en el siguiente enunciado: ‘Si

las integrales que definen el método de Galerkin (ec. (3.38) y (3.39)) son resueltas

numéricamente mediante una integración gaussiana en cuadratura, y se utilizan como

puntos de integración los mismos puntos de interpolación que producen el mejor

resultado del método de colocación, esto es, las raíces de la primera función base no

considerada en el desarrollo en serie, se puede afirmar que ambos métodos son

completamente equivalentes �Boyd1989� ‘.

La decisión sobre cuál de las dos estrategias presentadas, Galerkin o colocación, resulta

ser más eficiente para la resolución de un determinado problema no tiene, a priori, una

respuesta inmediata. En general, se puede decir que va a depender muy mucho del espacio

funcional utilizado, así como del tipo de problema que se esté resolviendo. Por ejemplo, los

operadores derivada segunda que resultan cuando se emplean los espacios funcionales de

Fourier y Hermite-Gauss son, respectivamente, matrices diagonales y tribanda, por lo que, el

(3.38)

(3.39)


55

inconveniente, anteriormente reseñado, que suponía el cálculo de la matriz del sistema, se ve

enormemente aminorado, pues sólo será necesario calcular algunos de sus elementos. Si

además, se dispone de algoritmos eficientes, como es el caso de la FFT, para calcular, de

forma rápida y con la precisión deseada, los coeficientes espectrales, el esfuerzo

computacional disminuye aún más, máxime si se tiene en cuenta que los diferentes elementos

que componen la matriz producto son directamente los coeficientes del desarrollo en serie de

Fourier de la función sobre la que se aplica el operador producto, en este caso el índice de

refracción.

El tipo de problema que pretende ser analizado también puede influir en la decisión final.

Por ejemplo, el análisis modal de una determinada guiaonda óptica es habitualmente abordarlo

mediante el método de Galerkin. Ello se debe a que del tiempo total requerido para resolver el

problema, la mayor parte se consume en calcular los autovalores y autovectores de la matriz

del sistema, y en menor medida, la construcción de la propia matriz, por lo que, a poco que el

método de colocación incremente su número de términos para igualarse en precisión al

método de Galerkin, su coste computacional experimentará un notable aumento. Sin embargo,

cuando los métodos espectrales son utilizados para resolver la propagación de la envolvente

óptica, la decisión dependerá del esquema de discretización que se utilice en la dirección de

propagación. Aunque este aspecto será tratado con más detalle en los capítulo 7 y 8, adelantar

que por ejemplo el conocido FFT-BPM emplea una estrategia de colocación, ya que su

algoritmo de propagación se basa en evaluar la derivada segunda en el dominio de los

coeficientes y el producto por el índice de refracción en el dominio de los puntos.

3.4.- El Método de Descomposición de Fourier

La aplicación del espacio funcional de Fourier a la caracterización modal de guiaondas

ópticas fue originariamente propuesto en �HenryFeb89�. El método, conocido en el ámbito de

la óptica integrada como ‘Fourier Decomposition Method’ (FDM), se caracteriza por utilizar

el siguiente conjunto de funciones base

F x kXo

xk ( ) sen� ��

�

�

siendo Xo (semiperiodo) el tamaño de la ventana de observación en donde se realiza la

aproximación. La razón de utilizar esta versión particular del espacio funcional de Fourier es

que las funciones base así definidas satisfacen de forma natural sobre los extremos del

(3.40)


56

intervalo las condiciones de contorno homogéneas que deben cumplir los modos guiados en

el infinito. En esta Tesis, en lugar de utilizar el espacio funcional propuesto en �HenryFeb89�

se prefirió emplear desde un principio las exponenciales complejas de Fourier, por tratarse de

un caso más general que engloba a las anteriores. Así, cada vez que en esta Tesis se haga

referencia al FDM, se dará por hecho que las funciones base que han sido utilizadas serán las

siguientes

F x e KXok

jkK xXo

Xo( ) � �2�

las cuales satisfacen la siguiente condición de ortogonalidad

e e XojmK x jnK x

Xomn

Xo Xo� � ��

y en donde Xo y KXo son, respectivamente, el periodo y pulsación del armónico fundamental.

Aunque existen ciertas diferencias en la forma en que son aplicados ambos espacios

funcionales (por ejemplo, con el primero, la ventana de observación es igual al semiperiodo,

mientras que en el segundo es igual al periodo Xo), como muy bien se analiza y demuestra en

�Luque1996�, lo cierto es que las precisiones que finalmente se obtienen son prácticamente

iguales.

Por lo tanto, y teniendo en cuenta que el orden de la función base puede tomar valores

positivos y negativos, el desarrollo en serie de la distribución espacial del campo eléctrico que

se va a utilizar adopta el siguiente aspecto

� �N kjkK x

k N

Nx e Xo( )

/

/� �

��

�2

2

3.4.1.- Operadores Matriciales

Las expresiones exactas de los operadores derivada segunda y multiplicación por una

función necesarios para la resolución de la ecuación de ondas (3.13) son, en el espacio

funcional de Fourier, de fácil deducción, pues tanto la derivada de una exponencial compleja

como el producto de dos exponenciales complejas entre sí da lugar, a su vez, a otra

exponencial compleja. Particularizando las expresiones (3.38) y (3.39) y desarrollándolas se

obtienen, respectivamente, los elementos de dichos operadores matriciales, a saber

(3.41)

(3.42)

(3.43)


57

DD F xF x

xdx e

e

xdx

jkK e dx jkK Xo

ik ik

Xo

jiK xjkK x

Xo

Xoj k i K x

XoXo ik

XoXo

Xo

� � � � �

� � � � �

� �

�

�

�

*

( )

( )( )

( ) ( )

�

�

�

�

�

2

2

2

2

2 2

P n x F x F x dx n x e e dx n x e dx

N e e dx N e dx N Xo

ik i kXo

jiK x jkK x

Xo

j k i K

Xo

ljlK x

l N

Nj k i K

Xol

j k i l K x

Xoi k

l N

N

Xo Xo Xo

Xo Xo Xo

� � � �

� ��

�

��

�

�

��

� � �

��

� �

��

� � ��

��

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )

( ) ( )

i N N k N N � �( / , ..., / ) ; ( / , ..., / )2 2 2 2

lo cual permite extraer las siguientes conclusiones acerca de los mismos:

i) La matriz que realiza la operación derivada segunda es una matriz diagonal.

ii) Por contra, la matriz que hace lo propio con la operación multiplicación por una función es

una matriz densa. No obstante, si el índice de refracción n2(x) es desarrollado en serie de

Fourier, el aspecto que toma dicha matriz es el de una matriz circulante, pudiéndose poner

del modo siguiente

� �P

N N N N

N N N N

N N N

N N N

N N N N

N

N

N

�

�

�

��

�

�

��

� � �

� � �

�

�

0 1 2

1 0 1 1

1 0 1

1 0 1

2 1 0

...

...

... ...

... ...

...

Tal resultado no es más que otra forma de escribir una de las más conocidas propiedades

que cumple el espacio funcional de Fourier: ‘el producto de dos desarrollos en serie de

Fourier da como resultado otro desarrollo en serie de Fourier cuyos coeficientes espectrales

se pueden calcular a partir de la convolución de las dos secuencias de coeficientes

espectrales con que son definidos cada uno de los operandos’.

Con el fin de conseguir la precisión adecuada en todos y cada uno de los coeficientes

espectrales resultantes de la operación producto, es necesario tomar, al menos, el doble

número de términos que los utilizados para el desarrollo en serie del campo eléctrico. Esto

justifica el por qué en la expresión (3.45) el desarrollo en serie del índice de refracción se

ha truncado con 2N+1 coeficientes.

(3.44)

(3.45)

(3.46)


58

iii) Por último, destacar que aunque la norma (Xo) figure en las expresiones finales de los

operadores derivada segunda y multiplicación por una función que se han obtenido, ésta

puede obviada a la hora de su implementación pues es un factor común que aparece en

todos los términos de la ecuación diferencial discretizada.

3.4.2.- Submuestreo y Sobremuestreo

El carácter periódico del espacio funcional de Fourier dota al método de ciertas

peculiaridades que convienen ser analizadas a fin de hacer una correcta utilización del mismo.

El principal inconveniente que presenta la aplicación del FDM es que la precisión obtenida

depende, y mucho, del periodo o tamaño de la ventana de computación seleccionado. Dado

que su dimensión óptima, esto es, aquella que minimiza el error cometido para un número de

coeficientes dado, depende del perfil de campo que se pretende resolver, su determinación 'a

priori' , necesaria para la implementación del método, se convierte en el problema a resolver.

Para comprender mejor el significado de la afirmación anterior, así como la forma en que

tal limitación fue inicialmente solventada �HenryFeb89��Marcuse1991�, se presentan en la

figura 3.3 los efectos producidos cuando un determinado perfil de campo eléctrico es

periodizado con periodos de diferente tamaño. En la gráficas del lado izquierdo se ha dibujado

lo que ocurre en el dominio del espacio, mientras que las correspondientes al lado derecho

representan la transformada de Fourier de las anteriores. Cuando la función buscada es

aproximada mediante un desarrollo en serie de Fourier, el problema, que originalmente se

extiende desde menos infinito hasta infinito, se convierte en periódico. Para diferenciar ambas

funciones, y solo de cara a la explicación de este apartado, se ha utilizado el subíndice ‘p’ para

hacer referencia a la versión periódica del modo a calcular. Por otra parte, es bien conocido de

teoría de la señal �Openheim1983�, que cuando una señal no-periódica es convertida en

periódica, el espectro resultante es una versión muestreada del espectro de la señal original. La

relación matemática entre ambos espectros viene dada por

� �k XoXoKx k K� � � �

1( )

es decir, las muestras, que representan directamente el vector de coeficientes buscados, se

encuentran separadas entre sí por una distancia inversamente proporcional al tamaño de

ventana seleccionado. Dependiendo del valor de este último cabe contemplar tres situaciones

(3.47)


59

diferentes : submuestreo, sobremuestreo y muestreo óptimo, las cuales, representadas en la

figura 3.3 en orden descendente, se pasan a comentar.

El submuestreo, también llamado aliasing, se produce, como es sabido, cuando la

velocidad de muestreo es baja. Dado que en este caso el muestreo se produce en el dominio de

la frecuencia, una distancia intermuestral alta implica un periodo pequeño. Es decir, como se

puede observar en la Fig. 3.2 (c), si la velocidad de muestreo no supera un determinado

umbral, habría zonas en el dominio del espacio en las que el campo se vería contaminado por

el campo del periodo contiguo, siendo imposible su correcta obtención.

Si por contra, la velocidad de muestreo frecuencial es elevada, lo cual garantiza que no va

0

1

0

4

0

1

0

4

0

1

0

4

1

00

4

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

x

x

x

x

Kx

Kx

Kx

Kx

Xo

aliasing

Xo

Xo

sobremuestreo

muestreoóptimo

KXo

KXo

KXo

�(x) �(Kx)

�p (x)

�p (x)

�p (x)

�(Kx)�k

�(Kx)�k

�(Kx)�k

Fig. 3.3: Influencia del periodo en la precisión del FDM: Submuestreo (c)-(d) , sobremuestreo (e)-(f) y muestreo óptimo (g)-(h). Las figuras (a) y (b) representan, respectivamente, el perfil y espectro espacial del modo a calcular.


60

a haber solapamiento entre los campos en el dominio del espacio (Fig. 3.3 (e)), puede ocurrir

que con el número de coeficientes o muestras utilizados sea insuficiente para abarcar todo el

espectro de la señal. Es decir, sería necesario incrementar el número de términos para alcanzar

una precisión determinada. Este fenómeno es mostrado en la Fig. 3.3 (f).

Por último, la situación más favorable se presenta cuando el periodo o ventana de

observación es fijado de tal forma que el campo eléctrico sea prácticamente cero en sus

extremos (Fig. 3.3 (g)). Con ello no sólo se evita el aliasing, sino lo que es más importante

desde el punto de vista computacional, se asegura que, con el número de coeficientes

utilizados, la precisión obtenida es la mejor de todas las posibles (Fig. 3.3 (h)). Además,

aunque hasta el momento no se ha hecho mención alguna a cómo el FDM fuerza las

condiciones de contorno homogéneas en el infinito, nótese que con esta estrategia lo que se

está haciendo realmente es responder a esta pregunta, pues al calcular la distancia a partir de la

cual se puede considerar que se satisfacen dichas condiciones, se elude la necesidad de que

éstas sean forzadas de forma explícita.

Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, se puede concluir que la aplicación del

FDM a la caracterización modal de guiaondas ópticas se ve dificultada por el carácter abierto

que dichas estructuras poseen, pues no es posible conocer, 'a priori', cual va a ser el periodo o

ventana de observación que mejores prestaciones ofrece. La forma inicialmente adoptada para

abordar dicho inconveniente se basa en una idea simple e intuitiva. Resolviendo el problema

la primera vez con un tamaño de ventana arbitrario, y observando el aliasing o sobremuestreo

que se hubiera podido ocasionar en la solución obtenida, es posible modificar iterativamente

la dimensión del periodo en la dirección contraria al efecto producido hasta alcanzar la

situación quasi-óptima representada en la Fig.3.3 (g).

Una vez explicado el por qué la precisión del FDM va a depender del periodo fundamental

de las funciones base, y para concluir este importante apartado, sería deseable conocer las

condiciones de trabajo bajo las cuales el método presentará un peor comportamiento. Para ello

recuérdese que la caracterización modal puede ser acometida una vez que la frecuencia de

funcionamiento es especificada. Pues bien, que duda cabe que si ésta se encuentra cerca de la

frecuencia de corte del modo que pretende ser analizado, el campo se encontrará muy

extendido en la cubierta y substrato. Esto obligará a utilizar tamaños de ventana elevados, y

por tanto, distancias entre muestras espectrales bajas. Es decir, la conclusión final es que la


61

precisión del método empeorará a medida que el punto de trabajo de la guiaonda se acerque a

la frecuencia de corte del modo.

3.4.3.- Consideraciones de Tipo Numérico

3.4.3.1.- Resolución Numérica de la Integrales de Cruce : la FFT

Como ya se ha comentado, el nexo entre los métodos espectrales y pseudoespectrales se

produce si las integrales de cruce que definen a los primeros son resueltas mediante una

integración gaussiana en cuadratura, y se utilizan como puntos de integración las raíces de la

primera función base no considerada en el desarrollo en serie. Cuando dicha integración

numérica es aplicada al espacio funcional de Fourier, se puede demostrar que la expresión

resultante es justamente una DFT (Discrete Fourier Transform), por lo que su evaluación

podrá ser realizada de forma rápida y eficiente gracias a la utilización de la FFT (Fast Fourier

Transform).

Para demostrar tan importante propiedad supóngase la misma guiaonda de salto de índice

representada con anterioridad en la Fig. 3.1. El cálculo de los coeficientes del desarrollo en

serie de Fourier del índice de refracción, necesario para la construcción de la matriz producto

definida en la ecuación (3.46), se puede abordar de dos formas diferentes. De manera exacta,

resolviendo manualmente la ecuación (3.11), lo cual sólo es posible si ésta poseyera solución

analítica; o bien de manera aproximada, calculando el valor de los armónicos mediante una

integración numérica. La integración gaussiana en cuadratura se reduce, en el espacio

funcional de Fourier, a la clásica y simple integración por rectángulos �Boyd1989�,

encontrándose los puntos de cuadratura uniformemente distribuidos a lo largo del periodo

(señalados con una 'x' en la Fig. 3.4). Con ello, el valor aproximado del armónico k-ésimo

vendrá dado por la siguiente expresión1

� �

NXo

n x e dxN x

n x n x e x

Nn n e

kjkK x

Xo n

N jkN x

n x

n

N jkN

n

Xo� � ��

� � � �

� �

�

�

� ��

�

� �

� �

�

1 1

1

2 2

0

1 2

2

0

1 2

( ) ( )�

� ��

�

�

1 El hecho de muestrear el índice de refracción en el dominio de los puntos convierte a los coeficientes espectrales en periódicos (NN/2=N-N/2), de ahí que en este apartado se hable de un total ‘N’ coeficientes en lugar de ‘N+1’como se ha venido haciendo hasta ahora, sin que ello signifique que no sea tenido en cuenta en el sistema de ecuaciones.

(3.48)


62

es decir, los 'N' coeficientes pueden ser evaluados calculando la DFT a la secuencia resultante

de muestrear el perfil en los puntos de integración señalados. Matricialmente se puede escribir

como

� � � � � �� NN

DFT n nk � �1 2

Si además, el número de puntos utilizados es una potencia de 2 (N=2m), es un hecho bien

conocido que dicha multiplicación matricial, la cual necesita N2 multiplicaciones, puede ser

acelerada con la utilización de la FFT, cuyo número de operaciones varía con N· log2N.

Simbólicamente, se va a representar cómo

� � � �NN

FFT n n Nk �1 2( , )

indicando que con 'N' muestras de la función se calculan los 'N' primeros coeficientes

espectrales.

Ahora bien, sabiendo que la FFT es rápida, ¿ Qué sentido tiene usar en este caso la versión

pseudoespectral si las integrales de cruce pueden ser obtenidas de forma rápida y con la

precisión que se desee ?. Por ello, lo habitual es trabajar con un número 'M' de puntos de

integración elevado (M>>N), de forma que los 'N' primeros armónicos se calculen con la

precisión necesaria. La forma de reprensentarlo es la siguiente

� � � �NM

FFT n n Mk �1 2( , )

Similares comentarios cabría realizar si lo que se pretende es pasar del dominio de los

coeficientes al dominio de los puntos; bien porque se ha finalizado el problema y se desea

representar, a partir de los armónicos, los perfiles de campo resultantes, bien porque en una

fase intermedia del método de resolución empleado (por ej. en problemas no-lineales) sea

necesario evaluar alguna función (el propio campo) en el dominio del espacio. En cualquier

xXo

n2(x)

�x

Fig. 3.4 : Integración numérica del índice de refracción

(3.49)

(3.50)

(3.51)


63

caso, si los puntos donde se quiere conocer el valor del campo están equiespaciados, se puede

demostrar, que la aplicación de la ecuación (3.43) conduce directamente a la DFT-inversa

� �� n DFT N k� � ��1

por lo que, en este caso, la utilización de la FFT-inversa, invita a no quedarse con un número

de puntos de interpolación igual al número de coeficientes considerados (‘N’), sino que, sin

incrementar apenas el esfuerzo computacional, es posible evaluar el campo en el número de

puntos equiespaciados (‘M’) que se desee. Para ello, basta con aplicar el siguiente

procedimiento:

i) Se añaden a los extremos del vector de coeficientes tantos ceros como puntos de

interpolación de más se pretenda calcular (M-N).

ii) Se desnormaliza (multiplica) el nuevo espectro al número total de puntos de

interpolación (M).

iii) Se aplica la FFT-inversa al vector de coeficientes resultante.

3.4.3.2.- Suavizado del Índice de Refracción

Una de las limitaciones que presenta el espacio funcional de Fourier se produce, como es

bien sabido, cuando la función a aproximar contiene discontinuidades. La imposibilidad de

converger hacia la función original con número finito de armónicos da lugar a lo se conoce

como fenómeno Gibbs �Oppeheim1983�. Téngase en cuenta que, tal y como ha sido planteado

el sistema de ecuaciones, para obtener una buena aproximación del campo eléctrico con ‘N+1’

armónicos, es necesario que el perfil del índice de refracción sea representable con ‘2N+1’

armónicos. Que duda cabe que dicha situación se va a presentar en guiaondas de salto de

índice. Es de suponer, y de hecho ocurre, que tales estructuras necesitarán un mayor número

de coeficientes para ser analizadas que los que harían falta para guiaondas de índice gradual,

aún cuando las distribuciones espaciales de campo eléctrico apenas difieran entre sí. Además,

cuando se trata de problemas no-lineales, los métodos de resolución utilizados, los cuales

serán explicados, por otra parte, en apartados sucesivos, presentan ciertos de problemas de

convergencia.

La forma habitual de aminorar tales efectos es similar a la utilizada en el tratamiento de

señales. Esto es, colocando un filtro paso bajo previo que limite el contenido espectral de la

señal. En la Fig. 3.5 se muestra, a modo ejemplo, el efecto que, sobre el espectro del índice de

refracción, tiene el utilizar suavizados de tipo coseno alzado. En ella se puede observar cómo,

(3.52)


64

a medida que se incrementa el factor de suavizado, el espectro aumenta su velocidad de

decaimiento. Aunque no existe ninguna regla de carácter práctico que garantice un buen

comportamiento del método numérico, y a su vez, variaciones imperceptibles en el campo y

constante de propagación de la nueva guiaonda, la mejor estrategia la da la propia práctica.

Por ejemplo, comparando los modos y constantes de propagación que resultan cuando los

perfiles son variados ligeramente, da una idea de hasta dónde se puede llegar en la función a

utilizar. En general, un pequeño suavizado suele ser suficiente para mejorar, notablemente, la

convergencia del método.

3.4.3.3.- Formulación Compleja vs. Formulación Real

El espacio funcional de Fourier, tal y como se ha planteado, da lugar a un sistema matricial

de autovectores complejos, aún cuando la función a aproximar sea real. No obstante, cuando

esto último ocurre, los coeficientes espectrales de orden positivo se relacionan con sus

homónimos negativos a través de la siguiente relación

� �k k��

*

Esta propiedad puede ser aprovechada para acelerar el tiempo de cálculo necesario para

obtener los autovalores y autovectores de los modos guiados de una determinada guiaonda, los

cuales, como es sabido, son funciones reales. El factor de reducción que se consigue es

aproximadamente de cuatro. La explicación es bastante sencilla de entender sin más que darse

cuenta que planteando solamente la mitad de las ecuaciones, las correspondientes por ejemplo

a la parte positiva del espectro, y separando en parte real e imaginaria, se obtiene un nuevo

sistema de ecuaciones de orden 'N+1', pero en este caso real. Teniendo en cuenta que la

-1 -0.5 0 0.5 10.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6n2(x)

n21(x) ____

n22(x) ____

n23(x) _ _ _

0 10 20 30 40 50 60-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0n2(Kx)

dB

n21(Kx) ____

n22(Kx) ____

n23(Kx) _ _ _

(a) (b)

Fig. 3.5: Efecto del suavizado en el índice de refracción. (a) Distribución espacial. (b) Espectro.

(3.53)


65

multiplicación de dos números complejos da lugar a cuatro multiplicaciones de números

reales se deduce fácilmente el por qué de tal reducción en la velocidad de cálculo.

Siguiendo un planteamiento similar a la formulación compleja, es posible desarrollar los

operadores matriciales para las operaciones derivada segunda y multiplicación por una

función, los cuales, actuando ahora sobre el vector de incógnitas siguiente

� �� or r

Nr i r

Ni T

1 2 2 1 2 2... .../ /

deben generar el vector de coeficientes correspondiente al resultado de la operación. Aunque

esta formulación real ha sido implementada satisfactoriamente en los programas

desarrollados, dado que la precisión obtenida para un número de coeficientes determinado

permanece, como es lógico, invariante, se ha considerado más adecuado presentar la versión

compleja por dos razones, primero, porque más fácil e intuitiva de formular, y segundo,

porque es válida tanto para el análisis modal como para la propagación de la envolvente

óptica.

3.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss

Tal y como ha quedado reflejado en el apartado 3.4, el principal inconveniente que presenta

la aplicación del espacio funcional de Fourier a la caracterización modal de guiaondas ópticas

abiertas, tiene su origen en que las funciones base poseen un carácter periódico, y por tanto,

no satisfacen las condiciones de contorno homogéneas en el infinito. Esto obliga a encerrar el

problema en una ventana de cómputo (periodo), cuyo tamaño, además de no poder ser

conocido 'a priori', influirá enormemente en la precisión final del método. El primer intento

realizado para superar tales limitaciones fue la utilización del espacio funcional de Hermite-

Gauss (Hermite-Gauss Decomposition Method-HGDM) �GallawaMar91�. Este presenta dos

propiedades que lo hacen atractivo para este tipo de problemas, a saber �Tamir1988� :

i) Sus funciones base se encuentran definidas en el intervalo (-,+) y además satisfacen de

forma natural las condiciones de contorno homogéneas en los extremos de dicho intervalo.

ii) Cuando el perfil del índice de refracción de la guiaonda bajo estudio es de tipo parabólico

(sin truncar), se puede demostrar que los modos que dicha estructura soporta son

justamente las funciones base de Hermite-Gauss.

(3.54)


66

La primera de ellas evitará el tener que definir una ventana sobre la que resolver el

problema, y la segunda augura un reducido número de funciones base para la caracterización

modal de un amplio abanico de guiaondas ópticas.

Las funciones base que definen el espacio funcional en cuestión se obtienen como el

producto entre la gaussiana normal (media=0, varianza=1) y los polinomios de Hermite de

orden 'k', justificando de esa forma el nombre que el mismo recibe. Su expresión matemática

viene dada por:

F x e H xk

x

k( ) ( )� ��

��

2

2

donde Hk(x) es el polinomio de Hermite de orden 'k', el cual se define como �Tamir1988�

� �H x e

d e

dxk

k xk x

k( ) ( )� � ��

12

2

Estos pueden ser también obtenidos haciendo uso de la siguiente relación de recursividad

�Boyd1989�

H x

H x x

H x x H x n H x

o

n n n

( )

( )

...

( ) ( ) ( )

�

�

� � ��

1

2

2 2

1

1 1

La condición de ortogonalidad viene dada en este caso por

e H x H x dx nxm n mn

n�

��

��

� � � � � ��2 1 2 2( ) ( ) !/� �

en donde se puede observar que, a diferencia del espacio funcional de Fourier, la norma crece

exponencialmente con el orden de la función base. Con el fin de evitar problemas de

'overflow', habitualmente se suele trabajar con funciones ortonormales las cuales se obtienen

sin más que dividir por la raíz cuadrada de la norma

F xe H x

kk

x

kk

( )( )

!/�

�

� �

��

2

2

1 2 2�

En la Fig. 3.6 se han representado las cuatro primeras funciones base. Obsérvese el parecido

de las mismas con los modos guiados TE de una guía 2D de salto de índice.

Para finalizar esta introducción al espacio funcional de Hermite-Gauss, añadir dos nuevas

peculiaridades que conviene tener presentes pues lo diferencian, aún más, del espacio

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)


67

funcional de Fourier. La primera de ellas es que cualquier función real da lugar a un vector de

coeficientes espectrales reales, y la segunda que el desarrollo en serie que define la

aproximación varía desde 0 hasta N, pues las funciones de orden negativo carecen de sentido.

Con ello, la proyección del campo eléctrico sobre el espacio funcional de Hermite-Gauss

adopta, en este caso, el siguiente aspecto

� �

�N k

x

kk

k

Nx

e H x

k( )

( )

!/� �

�

� �

��

��

��

2

2

1 20 2

3.5.1.- Operadores Matriciales

Al igual que hizo con el espacio funcional de Fourier, las expresiones de los operadores

derivada segunda y multiplicación por una función son obtenidas sin más que particularizar

las expresiones (3.38) y (3.39) con las funciones base que se acaban de definir.

(3.60)

-4 -2 0 2 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8k = 0

x-4 -2 0 2 4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8k = 1

x

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8k = 2

x -6 -4 -2 0 2 4 6-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8k = 3

x Fig. 3.6: Representación gráfica de las cuatro primeras funciones base de Hermite-Gauss


68

Operador derivada segunda

DD F x

F x

xdx x F x F x dx k F x F x dx

k k k k k

ik ik

i k i k

i k i k i k

� � � � � � � �

� � � � � � � � � �

��

��

��

��

��

��

� �

� � �( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ), , ,

�

�

� � �

2

22

2 2

2 1

1

21 2

1

22 1

1

21

i N k N� �( ,..., ); ( ,... )0 0

en donde se ha hecho uso de las siguientes igualdades

d F x

dxx F x k F xk

k k

2

22 2 1

( )( ) ( ) ( )� � � � �

x F x F x dx k k k k ki k i k i k i k2

2 21

21 2

1

22 1

1

21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ,

��

��

� ��

las cuales son demostradas en el apéndice I.

Operador producto

P n x F x F x dx n xH x

i

H x

ke dxik i k

ii

kk

x� � � � ��

��

��

��

�

��

��

� �2 21 2 1 22 2

2( ) ( ) ( ) ( )

( )

!

( )

!/ /� �

i N k N� �( ,..., ); ( ,... )0 0

Analizando las expresiones obtenidas se pueden realizar la siguientes observaciones:

i) La matriz que realiza la operación derivada segunda es una matriz tribanda, que puede ser

escrita como

� �DD

A C

A C

B A C

B A C

B A C

B A

B A

A k

B k k

C k k

�

�

�

�

��

� � �

� � � �

� � �

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

1

22 1

1

21 2

1

21

... ...

...

...

... ...

( )

( )( )

( )

iii) En lo que respecta al operador producto, dado que la multiplicación de dos funciones de

Hermite-Gauss no produce otra función perteneciente al mismo espacio funcional, tal y

como ocurría con Fourier, los diferentes elementos que componen la matriz han de ser

calculados uno a uno resolviendo la integral definida en (3.64). Este va a ser el principal

inconveniente con que cuente el HGDM, pues, como se recordará del apartado anterior, la

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

(3.65)


69

construcción del operador producto en el FDM no suponía costo computacional alguno ya

que, además de resultar una expresión sencilla (matriz circulante), sus elementos podían ser

calculados de forma rápida y con la precisión deseada a través de la FFT. Exceptuando casos

especiales en los que existan expresiones analíticas, la ecuación (3.64) debe ser resuelta

numéricamente, con lo que, además de incrementar notablemente el tiempo necesario para la

resolución del problema de autovalores y autovectores como se verá en el capítulo 5, el error

cometido en su evaluación afectará a la precisión final del método.

3.5.2.- Escalado de las Funciones Base: el Perfil Parabólico sin Truncar

Cuando las funciones de Hermite-Gauss son utilizadas para la discretización de una

determinada ecuación diferencial, se observa de inmediato la necesidad de amoldar las

funciones base a la geometría del problema que se pretende resolver. Es decir, que la zona de

variación de la función a aproximar (por ejemplo, el slab del salto de índice definido en la Fig.

3.1 tiene dimensiones físicas del orden de las micras) y la de las funciones base (Fig.3.6)

posean magnitudes similares. Esto puede ser realizado de dos formas diferentes pero

equivalentes: bien reescalando las funciones base, bien aplicando un cambio de variable a la

ecuación diferencial. La primera de ellas es la habitualmente utilizada en la bibliografía,

mientras que la segunda será la adoptada en esta Tesis, pues, como se verá en sucesivos

capítulos, permite definir una nueva y más genérica familia de métodos, los métodos

espectrales con transformación de variables, a la que también va a pertenecer el espacio

funcional de Fourier, y cuya aplicación eficiente representa el principal objetivo de esta

primera parte de la Tesis.

Quiere eso decir que, al igual que ocurría con el FDM, el HGDM contiene un grado de

libertad (el escalado) que requiere ser fijado antes de su aplicación, con lo que nuevamente la

precisión del método dependerá de lo acertada que sea la decisión. Sin embargo, si bien el

FDM solucionaba tal limitación mediante inspección visual de la solución obtenida y

repitiendo la resolución del problema hasta que el tamaño del periodo fuera el adecuado, no

ocurre lo mismo con el HGDM, en donde el problema es resuelto una sola vez y siempre con

el mismo escalado. Ante tal estrategia, cabría hacerse las siguientes preguntas:

1.- ¿Cuál es escalado utilizado y por qué?

2.- ¿Es realmente dicho escalado el mejor de todos los posibles?


70

La primera de las cuestiones es respondida a continuación, mientras que en el apartado

correspondiente a resultados (3.7) se demostrará que el planteamiento clásico no es siempre el

más adecuado.

Como ya se ha indicado en la presentación del HGDM, cuando el perfil del índice de

refracción es de tipo parabólico sin truncar, las autofunciones o modos de la ecuación de

ondas son justamente las funciones base de Hermite-Gauss. En la Fig. 3.7 se representan,

respectivamente, el perfil parabólico

truncado y sin truncar. Que duda cabe que,

aunque el último carezca de sentido físico

(el índice de refracción toma valores

negativos), cuando el campo se encuentre

muy confinado, representará una muy buena

aproximación al primero. El escalado que

debe ser aplicado para que las funciones

base satisfagan de forma exacta la ecuación

de ondas viene dado por �Tamir1988�:

F x H x ek k

x

( ) ( )� ��

��

��

2

2 F x H S x ek k

S x

( ) ( )

( )

� � ��

��

�

��

2

2

S kd no

f� ��

�

el cual, como se puede observar, actúa realizando una compresión de la mismas, tanto mayor

cuanto más alta sea la frecuencia de trabajo. Esto parece razonable pues a medida que

aumenta la frecuencia el campo en la guía tiende a confinarse. Ahora bien, si se recuerda la

definición de frecuencia normalizada del capítulo anterior (ecuación (2.50) y (2.51)), y

considerando que la apertura numérica (NA) para el perfil parabólico sin truncar es igual a nf

(el índice de refracción del substrato se toma igual a cero), otra forma de escribir el escalado

sería la siguiente

S xx

dV X V� � � � �

x

� �n x n x df2 2 21( ) ( / )� �

d

n2f

___ parabólico sin truncar_ _ parabólico truncado

Fig. 3.7: Representación de los perfiles parabólico truncado y sin truncar de una guiaonda 2D

(3.66)

(3.67)


71

la cual, independientemente del perfil que posea la guiaonda en cuestión, resulta ser el

escalado utilizado por el HGDM �GallawaMar91� �RasmussenMar93� �WeisshaarAgo95�.

Además permite justificar por qué cuando el HGDM es aplicado a la caracterización modal de

guiaondas ópticas sea más cómodo trabajar con la ecuación de ondas normalizada.

3.5.3.- Consideraciones de Tipo Numérico

Como ya se comentado en el inicio del presente capítulo, una propiedad deseable para

cualquier espacio funcional que pretenda ser utilizado tanto con el método de Galerkin como

con el método de colocación, es la de disponer de un algoritmo rápido que permita pasar del

dominio de los coeficientes al dominio de los puntos y viceversa. Si bien el espacio funcional

de Hermite-Gauss fue introducido para intentar superar las limitaciones impuestas por el

FDM, y a priori, parecía reunir los requisitos necesarios para lograrlo (condiciones de

contorno homogéneas en el infinito, reducido número de funciones base y matriz derivada

segunda tribanda) lo cierto es que, además de necesitar un escalado previo de las funciones

base, similar a la necesidad de prefijar la ventana de computación en el FDM, no posee una

transformada rápida directa e inversa que realice la misma función que la FFT. Esta

circunstancia será particularmente tanto más grave cuantas más veces haya que realizar dicha

operación. Por ello, una de las razones de por qué en la bibliografía afín la mayoría de las

referencias sobre la aplicación de este espacio funcional al análisis modal de guiaondas

ópticas sea para medios lineales, es que, como se verá en el siguiente apartado, los métodos de

resolución utilizados para el caso de problemas no-lineales hacen uso de algoritmos que

requieren, para su aplicación, pasar continuamente del dominio de los coeficientes al dominio

de los puntos, y viceversa. Algo similar ocurre cuando se está analizando la propagación de la

envolvente óptica, en la que en cada paso de propagación es necesario realizar las

transformaciones directa e inversa para evaluar la no-linealidad.

En definitiva, tanto el cálculo de los coeficientes de una función, como la evaluación de la

función en un número finito de puntos a partir de sus coeficientes, será realizado aplicando

directamente las expresiones (3.11) y (3.2), respectivamente. Por supuesto, en el caso de la

primera, y tal y como se mostró en la Fig. 3.2, la mejor aproximación se consigue cuando la

integral es resuelta utilizando como puntos de integración las raíces de la función de base de

orden N+1 (orden siguiente al último término considerado en el desarrollo).


72

3.6.- Métodos de Resolución

Habiéndose ya presentado los espacios funcionales de Fourier y Hermite-Gauss, y deducido

las expresiones que adoptan los operadores matriciales cuando el método de Galerkin hace

uso de los mismos, el siguiente y definitivo paso consiste en su aplicación a la resolución de la

ecuación de ondas modal en estructuras planares lineales y no-lineales. Si se hace uso de la

normalización explicada en el capítulo anterior (apartado 2.4), las ecuaciones a resolver

serían, respectivamente, las siguientes

� �

��

2

22 2 2( )

( ) ( ) ( )X

XV n X X V b X� � � � � �

� �

��

2

22 2 2 22

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

X

XV n X b X X X V b XI� � ��

��

Su discretización mediante cualquiera de los dos métodos expuestos (FDM y HGDM)

conduce a un sistema algebraico de ecuaciones, cuyas incógnitas son los coeficientes del

campo en el espacio funcional correspondiente. La utilización de la formulación matricial de

operadores propuesta en esta Tesis, permite escribir de forma compacta dichos sistemas de

ecuaciones

� � � � � � � � � �DD V P V bk L k k� � � � � � �� 2 2

� � � � � � � � � � � �DD V P P V bk L NL k k� � � ��

� � � �� 2 2

k � (-N/2,...,N/2) Fourier

k � (0,...,N) Hermite-Gauss

en donde se observa que para problemas no-lineales el operador producto ha sido escrito como

suma de dos términos, el lineal y el no-lineal. El primero de ellos realiza la multiplicación del

índice de refracción por el campo, mientras que el segundo hace lo propio con el sumando

dependiente del módulo del campo al cuadrado.

El sistema de ecuaciones (3.70) representa, como ya se dicho en alguna ocasión, un

problema clásico de autovectores y autovalores. Su resolución por cualquiera de los paquetes

informáticos disponibles en el mercado no conlleva problema alguno. Para la elaboración de

esta Tesis se ha usado la subrrutina suministrada con el programa MATLABTM. Sin embargo,

no ocurre lo mismo con el sistema no-lineal de ecuaciones (3.71), que requiere, para su

(3.68)

(3.69)

(3.70)

(3.71)


73

resolución, acometer el desarrollo e implementación de métodos numéricos específicos. Por

ello, antes de presentar los resultados que se obtienen y dado que su ámbito de aplicación se

extiende también a las técnicas espectrales con transformación de variables que serán tratadas

en sucesivos capítulos, se van a explicar los métodos que se han empleado al efecto en esta

Tesis, el método de la autoconsistencia de los campos y el método de Newton-Raphson.

3.6.1.- El Método de la Autoconsistencia de los Campos

Aunque se trate de un método propuesto hace ya bastantes años �DiosJul89�, este

método representa, actualmente, la herramienta más utilizada para el caracterización modal de

guiaondas ópticas no-lineales (véanse por ejemplo �SouzaJul91�, �EttingerFeb91�

�NiiyamaSep95� �NiiyamaEne98� ), por su facilidad de implementación, robustez y precisión

en la solución obtenida. Analizando la ecuación (3.69) se comprende fácilmente la esencia de

la estrategia utilizada por el método, y que no es otra que comprobar que el campo que se

pretende calcular debe ser tal, que introducido en el término no-lineal de la ecuación

diferencial, y resolviéndola como si de un problema lineal de autovalores se tratara, dé como

resultado el propio campo. Por consiguiente, partiendo de una aproximación inicial del campo

eléctrico, que pudiera ser la misma solución lineal del problema, es posible alcanzar el campo

y la constante de propagación buscados sin más que repetir el proceso hasta que las

variaciones producidas entre el campo introducido y el que se obtiene tras el resolver el

problema lineal coincidan, o su diferencia se encuentre por debajo de una cota de error. Otro

criterio igualmente válido para detener el proceso de búsqueda, y que es el utilizado en la

Tesis, es que la diferencia entre las constante de propagación obtenidas en dos pasos sucesivos

sea menor que un determinado valor. En la Fig. 3.8 se ilustra el algoritmo que debe ser

implementado para su aplicación. Un análisis del mismo permite realizar los siguientes

comentarios:

i) La aproximación inicial que se utilice para arrancar el método, puede ser en principio,

cualquiera. Ahora bien, que duda cabe que cuanto más se parezca a la solución final, menor

será el número de iteraciones que haya que realizar para lograr la convergencia. Cuando se

resuelve de forma aislada un problema no-lineal con una potencia determinada, la práctica

habitual suele ser inicializar con la solución que resulta cuando en el índice de refracción

sólo se considera la contribución lineal. No obstante, cuando se hace un barrido en potencia


74

con el fin de representar las curvas de dispersión de una determinada guiaonda (Neff

vs.Potencia), lo más razonable consiste en aprovechar la solución no-lineal obtenida en el

paso anterior del barrido. Ambas opciones condujeron, en todos los casos probados, a

buenos resultados.

ii) Dado que la solución que se obtiene como consecuencia de resolver un problema lineal

puede estar multiplicada por cualquier constante, es necesario que el perfil del campo

eléctrico que va a modular al índice de refracción se normalice previamente a la potencia

deseada.

iii) Aunque el algoritmo representado en la Fig. 3.8 se haya hecho en el supuesto caso de

trabajar con la ecuación de ondas sin normalizar, y por tanto, tomando como datos de

entrada los parámetros físicos del problema; en el caso de resolver la ecuación de ondas

normalizada el proceso a aplicar sería prácticamente igual. Únicamente cambiarían los

parámetros de entrada, que pasarían a ser (V, n X2( ) , bI), y la forma de normalizar el

perfil del campo. Como se recordará del capítulo anterior, para que el bI adquiera su

auténtico significado el campo debe estar normalizado en algún punto de la zona no-

lineal, típicamente en el interfaz con la zona lineal. Por lo tanto, la operación a realizar en

la iteración i-ésima sería simplemente la siguiente

��

�

ii

ierfaz

XX

X X( )

( )

( )int

��

3.6.2.- El Método de Newton-Raphson

Otra forma de afrontar la resolución del sistema no-lineal de ecuaciones algebraicas

definido en (3.71) puede ser recurrir a cualquiera de los métodos matemáticos clásicos

existentes en la bibliografía. En esta Tesis se ha optado por el conocido método de Newton-

Raphson. Para su aplicación, es necesario reescribir el sistema a resolver de la forma siguiente

� � � � � � � � � �G Mk L k k� � � �� 0

(3.72)

(3.73)


75

Fig. 3.8: Algoritmo del método de la autoconsistencia de los campos

Introducción de los datos de entrada

�Frecuencia de trabajo: ko ó V

�Perfil lineal del índice de refracción : n2(x) ó n X2( ) �Grado de no-linealidad del medio: �(3) bI �Potencia del modo: Po

Inicialización

� Cálculo de la aproximación inicial del campo

n x n x xTot L L L2 2( ) ( ) ( ),� � � �

� Normalización del campo inicial a la potencia deseada

Pko

x dx xP

Pxo

o

LL L

oL�

��

��

� � ��

��

�1

22�

�

�� ( ) ( ) ( )

Resolución del problema lineal

� Modificar el índice de refracción no-lineal

n x n x n xTot L NLi2 2 2 2

( ) ( ) ( )� � ��

��

�

� Resolver el problema lineal

n x n x n x xTot L NLi i i2 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ),� � �

��

� � ��

� Normalización del campo a la potencia deseada

Pko

x dx xP

Pxi o

o

ii i o

ii�

�

�

��

��

�

�

��

��

�

� � � �1

11 2 1

111

2

�

�

�� ( ) ( ) ( )

� �

� �

i i

i i

x x umbral

umbral

�

�

�

�

1

1

( ) ( )

sí Fin

no


76

donde la matriz � �ML incluye todos los operadores matriciales lineales y el vector columna

� �� k representa los coeficientes espectrales del término no-lineal. Ambos viene dados,

respectivamente, por

� � � � � � � �M DD V P b IL L� � � ��

2

� � � � � �� k NL kV P� �2

en la que � �I es igual a la matriz identidad.

El algoritmo que debe ser aplicado para su resolución mediante el método de Newton-

Raphson se muestra en la Fig. 3.9. Dos son los pasos que deben ser afrontados para su

ejecución: a) la evaluación del sistema no-lineal de ecuaciones y b) el cálculo del jacobiano.

La forma en que ambos han sido llevados a cabo constituye una de la aportaciones realizadas

en la elaboración de la Tesis �WangüemertSep95�, por lo que seguidamente se pasan a

detallar.

a) Evaluación del Sistema No-Lineal de Ecuaciones

La única dificultad que implica la evaluación del sistema de ecuaciones en la iteración i-

ésima se encuentra en el término no-lineal, esto es, en encontrar una expresión analítica de

� �� k en función de las incógnitas o coeficientes espectrales del campo � �� k . En principio,

esto no supone problema alguno, pues haciendo uso de la formulación matricial de operadores

que se ha desarrollado, se puede escribir que

� � � � � � � � � � � � � �� k NL k I kV P V b P x P x P x� � � � � � � � �2 2 2 ( ( )) ( ( )) ( ( ))*

en donde las matrices � �P x( ( )) , � �P x( ( ))� y � �P x( ( ))*� representan, respectivamente, los

operadores producto aplicados a las funciones �(x), �(x) y �*(x). Este planteamiento es

justamente el que se propone en �GhafouriEne95� para la propagación de solitones en fibra

óptica, cuando la ecuación no-lineal de Schrodinger es discretizada mediante un desarrollo en

serie de Fourier. No obstante, la formulación que en dicho artículo se emplea para expresar el

término no-lineal carece de la sencillez y compacidad mostrada en la ecuación (3.76). A pesar

de todo, el camino que se acaba de exponer no es ni mucho menos eficiente, pues cada vez

(3.74)

(3.75)

(3.76)


77

que el término no-lineal requiera ser evaluado, se deben realizar tres multiplicaciones de una

matriz por un vector, lo cual incrementa notablemente el tiempo de cálculo.

La estrategia que aquí se propone es similar a la utilizada en la técnica del balance

armónico para el análisis en gran señal de circuitos no-lineales. El término lineal es evaluado

en el dominio de la frecuencia (en nuestro caso en el de los coeficientes), mientras que el no-

lineal es evaluado en el dominio del tiempo (en nuestro caso el de los puntos espaciales)

�CamachoSep83�. Piénsese, por ejemplo, que en el espacio funcional de Fourier la ecuación

(3.76) representa tres convoluciones de los coeficientes espectrales -3· (N+1)2

multiplicaciones- mientras que si es realizada en el dominio de los puntos, se necesitarán

únicamente tantas multiplicaciones como puntos de representación se desee. Con ello, el

proceso de evaluación conllevaría los siguientes pasos, a saber

1.- A partir de los ‘N+1’ coeficientes espectrales de la iteración i-ésima, obtener la

distribución espacial del campo eléctrico en el número de puntos ‘M’ que se desee

(M>3N)2.

2.- Evaluar punto a punto, en el dominio de los puntos, el término no-lineal �(X).

3.- Retornar al dominio de los coeficientes, aplicando, al vector de puntos espaciales ��xi��M,

la transformada directa del espacio funcional sobre el que se esté trabajando.

A continuación se esquematiza el proceso a realizar:

� �� k � �T�1

� ��( )Xi � � �( ) ( ) ( ) ( )*X V b X X XI� 22 � ��( )Xi � �T

�1 � �� k

Tal y como ya se ha explicado, en el FDM las transformadas directa e inversa pueden ser

aceleradas a través de la FFT, mientras que en el HGDM es necesario realizar la operación

matricial directa e inversa.

En cualquier caso, se puede concluir que la estrategia propuesta en este Tesis para calcular

los armónicos del término no-lineal del sistema de ecuaciones precisará un tiempo de cálculo

menor que el requerido por la estrategia sugerida en �GhafouriEne95�.

2 Aunque se trate de una regla de carácter práctico, se puede justificar si se tiene en cuenta que el espectro del término no lineal �(X) va a tener un ancho de banda igual a la suma de los anchos de banda de los términos que se multiplican, por lo que si desea una cierta precisión en sus coeficientes, la función cuando menos debe estar suficientemente muestreada.


78

Fig. 3.9 :Método de Newton-Raphson

Estimación inicial del campo

�est

X( )

� �� kest

� �T

� Evaluar el sistema de ecuaciones

� � � � � � � � � �G Mki

L ki

ki

� � � �� 0

� Calcular su jacobiano y evaluarlo

� �JGi k

m

i

��

��

�

�

�

��

� Determinar la corrección a realizar

� � � � � �J Gi

ki

ki

� � ��

� Modificar la solución

� � � � � �� ki

ki

ki�

� �1

�

� � � �� ki

ki

umbral�

�1

sí

� ��k Fin

�( )X

� �T�1

no


79

b) Cálculo del Jacobiano

Si se parte de la hipótesis que el campo eléctrico puede ser una función compleja1, las

incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones, tanto en el espacio funcional de Fourier como en

el de Hermite-Gauss, tomarán valores complejos. Con ello, la expresión del jacobiano podría

ser la siguiente:

� ��

� � � �J

J J

J J

rr

ir

ri

ii

�

�

�

��

�

�

��

donde las submatrices � �Jrr , � �Ji

r , � �Jri y � �Ji

i se han definido como

� �JG

rr k

r

mr

��

�

��

�

�

��

�

��

� �JG

ir k

r

mi

��

�

��

�

�

��

�

��

� �JG

ri k

i

mr

��

�

��

�

�

��

�

��

� �JG

ii k

i

mi

��

�

��

�

�

��

�

��

k, m � (-N/2,...N/2) Fourier

k, m � (0,...N/2) Hermite-Gauss

es decir, el jacobiano será una matriz real de dimensión 2(N+1) x 2(N+1). Los superíndices ‘r’

e ‘i’ denotan la parte real e imaginaria respectivamente.

Teniendo en cuenta la ecuación (3.73) y (3.75) se puede escribir que:

� � � � � � � � � ��

��

��

��

GJ j J M M V Pk

mr r

rri

Lk

mr L NL

�

��

�

��

�

��

�

�� 2

1 Aunque no es el caso, pues se están calculando los modos de una guiaonda no-lineal, el hecho de considerar el campo eléctrico como una función compleja se debe a la posible aplicabilidad de la formulación que se va a presentar en problemas de propagación de la envolvente óptica.

(3.77)

(3.78)

(3.79)

(3.80)

(3.81)

(3.82)


80

� � � � � � � � � ��

��

��

��

GJ j J j M j M j V Pk

mi i

rii

Lk

mi L NL

�

��

�

��

�

��

�

�� 2

con lo que, al igual que ocurría con la evaluación del sistema de ecuaciones, la aparición del

operador matricial no-lineal � �PNL ralentiza considerablemente el tiempo requerido para su

cálculo. Por ello, y siguiendo un planteamiento similar al descrito anteriormente (trabajar en el

dominio de los puntos), se ha desarrollado una formulación alternativa más eficiente para el

cálculo del jacobiano. La clave para su obtención se basa en observar el siguiente hecho:

‘Si el desarrollo en serie del término no-lineal �(X) en el espacio funcional sobre el que se

esté trabajando es derivado respectivamente respecto a la parte real e imaginaria del

coeficiente espectral m-ésimo, se puede comprobar que los coeficientes espectrales de la

función resultante son justamente los elementos de la columna m-ésima de la matriz que se

está buscando’.

Matemáticamente, esto puede ser escrito como

��

��

��

��

( )( )

XF X

mr

k

mr k

k�

��

��

��

��

( )( )

XF X

mi

k

mi k

k�

Por lo tanto el problema se reduce a obtener una expresión analítica de dichas funciones, cuyo

posterior desarrollo en serie proporcione directamente los elementos de la matriz.

Aplicando la regla de la cadena, y teniendo en cuenta la hipótesis realizada sobre el campo

eléctrico, las funciones definidas en (3.84) y (3.85) pueden también ser escritas como

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )X X

X

X X

X

X

mr r

r

mr i

i

mr

� �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )X X

X

X X

X

X

mi r

r

mi i

i

mi

� �

en donde cada una de las derivadas parciales que aparecen en las ecuaciones (3.86) y (3.87)

pueden ser obtenidas de forma inmediata a partir de la expresión de �(X) y del desarrollo en

serie del campo ó �(X)

(3.83)

(3.84)

(3.85)

(3.86)

(3.87)


81

� � � �R XX

XV b X X X j X X

r Ir i r i( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �

��

��

�� 2 2 2

2 3 2�

� � � �S XX

XV b X X X j X j X

i Ir i r i( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �

��

��

�� 2 2 2

2 2 3�

��

��

��

��

��

��

( ) ( ) ( )( )

X Xj

XF X

mr

r

mr

i

mr m� � �

��

��

��

��

��

��

( ) ( ) ( )( )

X Xj

Xj F X

mi

r

mi

i

mi m� � �

Las ecuaciones (3.90) y (3.91) necesitan ser particularizadas a los espacios funcionales de

Fourier y Hermite-Gauss, con lo que se obtiene

Fourier

��

��

( )cos( )

XmK X

r

mr Xo�

��

��

( )sen( )

XmK X

i

mr Xo�

��

��

( )sen( )

XmK X

r

mi Xo� �

��

��

( )cos( )

XmK X

i

mi Xo�

Hermite-Gauss

��

��

( )( )

XH X e

r

mr m

X�

�2

2 ��

��

( )X i

mr

� 0

��

��

( )X r

mi

� 0 ��

��

( )( )

XH X e

i

mi m

X�

�2

2

lo cual, introducido en (3.86) y (3.87), permite escribir finalmente las siguientes expresiones

para el FDM y HGDM respectivamente

Fourier

��

��

( )( ) cos( ) ( ) sen( )

XR X mK X S X mK X

mr Xo Xo� �

��

��

( )( ) sen( ) ( ) cos( )

XR X mK X S X mK X

mi Xo Xo� � �

(3.88)

(3.89)

(3.90)

(3.91)

(3.92)

(3.93)

(3.94)

(3.95)


82

Hermite-Gauss

��

��

( )( ) ( )

XR X H X e

mr m

X�

�2

2

��

��

( )( ) ( )

XS X H X e

mi m

X�

�2

2

Por lo tanto, y a modo de resumen, el esquema para el cálculo sería el siguiente:

1.- A partir de los coeficientes espectrales del campo en la iteración i-ésima, se obtiene la

distribución espacial del campo eléctrico (Transformada Inversa).

2.- Las funciones R(X) y S(X) son evaluadas en el dominio de los puntos (ecuaciones (3.88) y

(3.89)).

3.- A continuación, y para cada uno de los coeficientes espectrales, se evalúan las ecuaciones

(3.94) y (3.95) para el FDM, y las ecuaciones (3.96) y (3.97) para el HGDM.

4.- La aplicación de la Transformada Directa al resultado obtenido en el punto anterior

conduce directamente al resultado buscado, esto es ��k/��mr y ��k/��m

i.

En el caso del FDM, el proceso de cálculo puede resultar incluso más rápido, no sólo por la

utilización de la FFT como ya es bien sabido, sino porque si se observan las expresiones

(3.94) y (3.95) la funciones R(X) y S(X) se encuentran multiplicadas a su vez por funciones

(senos y cosenos) que son deltas en el dominio de los coeficientes, por lo que ��k/��mr y

��k/��mi pueden ser obtenidas a partir de los coeficientes espectrales de R(X) y S(X), a saber

� ��

��

k

mr k m k m k m k mR R j S S� � � �

� � � �

1

2

� ��

��

k

mi k m k m k m k mS S j R R� � � �

� � � �

1

2

3.7.- Resultados

Con el fin de corroborar las limitaciones que presentan los métodos espectrales expuestos a

lo largo del capítulo, FDM y HGDM, se han seleccionado algunos de los resultados obtenidos

cuando ambos espacios funcionales son aplicados a la caracterización modal de un slab de

salto de índice con substrato no-lineal de tipo Kerr. El interés que dicha estructura ofrece no

(3.96)

(3.97)

(3.98)

(3.99)


83

es otro que el de disponer de soluciones analíticas con que cuantificar el error cometido en la

constante de propagación y en el perfil del campo eléctrico �ChelkowskiSep87�. En la

Fig.3.10 se han representado, respectivamente, el aspecto que toman las funciones que definen

la geometría del problema a analizar, esto es, el índice de refracción lineal normalizado y la

situación de la no-linealidad. Asimismo, y para ubicar mejor el punto de trabajo sobre el que

se realice la caracterización (V, bI), se han reproducido en la Fig. 3.11 los diagramas de

dispersión universales del slab simétrico (a=0) no-lineal �ChelkowskiSep87�.

En la Fig. 3.12 se representan las distribuciones de campo eléctrico y sus correspondientes

constantes de propagación normalizadas

cuando el FDM es simulado con tres

tamaños de ventana Xo diferentes (XO1=22,

XO2=62 y XO

3=152). En ella se puede

observar como, para un número dado de

coeficientes (N=32), la precisión resultante

es sensible al tamaño de ventana utilizado,

obteniéndose la mejor aproximación

cuando su dimensión es aproximadamente

igual a la zona del espacio en la que se

encuentra confinado el campo (Xo(óptimo)

� XO2). Valores inferiores a éste causan

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

submuestreo

sobremuestreo

muestreo óptimo

�(X)

bexacta = 0.1893 bXo

1 = 0.1966 bXo

2 = 0.1910 bXo

3 = 0.1608

Xooptimo

Fig. 3.12: Distribuciones de campo del modo fundamental obtenidas con el FDM para diferentes tamaños del periodo. Datos físicos normalizados: V=0.5; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=32; XO

1=22, XO2=62 y

XO3=152

-1 1 X-a

1

Substrato Nucleo

Cubierta

n2(X)�(X)

Fig. 3.10: Indice de refracción lineal normalizado y situación de la no-linealidad de un slab no-lineal de salto de índice.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V

b

bI=0

bI=0.2

bI=0.4

bI=0.6

bI=0.8

Fig. 3.11: Curvas de dispersión universales del modo fundamental (TE) de un slab no-lineal. La línea discontinua representa el punto de trabajo en el cual el máximo del campo eléctrico cae en el interface substrato-núcleo.


84

aliasing en el dominio del espacio (Xo=XO1), mientras que valores superiores (Xo=XO

3),

ocasionan, como consecuencia de abarcar cada vez una porción menor del espectro, un efecto

oscilatorio en la distribución espacial, tal y como se puede observar en dicha figura. Otro

punto significativo de gran importancia es el elevado número de coeficientes que se han

necesitado para analizar una estructura 2D. Por ejemplo, para cometer un error relativo en la

constante de propagación del 1 % se han utilizado 32 armónicos, lo cual, pensando en un caso

3D pudiera llegar a ser una cifra prohibitiva. Que duda cabe que este problema será tanto más

grave cuanto más expandido sobre el substrato y la cubierta se encuentre el campo, o lo que es

lo mismo, cuanto más cerca del corte se esté trabajando.

En lo que respecta al HGDM, en las figuras 3.13, 3.14, 3.15 y 3.16 se demuestra por qué el

escalado típicamente utilizado para las funciones base (V ) resulta ser inapropiado para

frecuencias bajas. Por ejemplo, si se comparan las figuras 3.13 y 3.14, que presentan

respectivamente los perfiles de campo obtenidos para dos frecuencias de trabajo diferentes:

una cercana al corte (V=0.5) y otra más alejada (V=2), se puede observar cómo en un

problema lineal, y con sólo cinco coeficientes (N=4), la aproximación conseguida en el primer

caso (V=0.5) es muy mala (error relativo en la b del 72 %); mientras que en el segundo caso

(V=2) se logra una mejora más que notable (error relativo en la b del 0.6 % ). La justificación

de tal comportamiento se puede comprender si se tiene en cuenta que el escalado propuesto es

exacto para el perfil parabólico sin truncar, con lo que cuanto más confinado se encuentre el

campo en la zona del espacio en la que el perfil parabólico truncado y sin truncar coincidan

(ver Fig. 3.7), tanto mejor será el resultado obtenido.

Una situación particularmente interesante, que permite confirmar la hipótesis anterior, se

produce en una guía asimétrica, en la que, como se puede comprobar en la Fig. 3.15, existen

dos zonas claramente diferenciadas, el substrato (decaimiento más lento) y la cubierta

(decaimiento más rápido). Pues bien, sorprendentemente, la aproximación obtenida con el

HGDM se ajusta con suficiente precisión a la solución analítica allí donde el campo se

encuentra confinado (núcleo y cubierta), pero por contra, sigue siendo bastante pésima en el

substrato. Por último, podría pensarse que en problemas no-lineales de tipo selfocusing, en los

que el campo al mismo tiempo que se confina se desplaza hacia a la zona no-lineal, el HGDM

pudiera dar buenos resultados. La realidad es bien diferente como se puede observar en la Fig.

3.16, pues incluso en la zona lineal (núcleo y cubierta) la aproximación obtenida con el

HGDM deja mucho que desear. Nótense además los dos hechos significativos siguientes.


85

Primero, que por tratarse de una situación fuertemente no-lineal (bI=0.8), y a pesar de ser la

frecuencia de trabajo baja (V=0.7), el alto valor de la constante de propagación indica que el

campo se ha introducido de forma considerable en el substrato, y por tanto, su presencia ha

incrementado notablemente el valor del índice de refracción respecto del caso lineal. Y

segundo, que el que ambas distribuciones de campo valgan uno en el interface núcleo-

substrato se debe al propio proceso de normalización que se explicó en el capítulo segundo.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

�(X)

X

núcleo

HGDM ‘__ _ __’

Sol. Analítica ‘____’

bHGDM = 0.73048

bexacta = 0.73484

Fig. 3.14: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=2; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

�(X)

HGDM ‘__ _ __ ’


Núcleo

bHGDM = 0.0516

bexacta = 0.1893

Fig. 3.13: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=0.5; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

�(X)

X

HGDM ‘__ _ __’

Sol.Analítica ‘____’

núcleo

bHGDM = 0.6433

bexacta = 0.9226

Fig. 3.16: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=0.7; a=0; bI=0.8. Datos numéricos: N=4.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

�(X)

X

HGDM ‘__ _ __’


núcleo

bHGDM = 0.0705

bexacta = 0.1394

Fig. 3.15: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=0.9; a=10; bI=0. Datos numéricos: N=4.


86

3.8.- Conclusiones

Para finalizar este importante capítulo, se resumen a continuación los principales puntos

que han sido tratados a lo largo del mismo, así como las conclusiones finales a las que se ha

llegado:

Se han explicado las diferencias existentes entre los métodos espectrales y

pseudoespectrales, así como las condiciones bajo las cuales la aplicación de los mismos

conduce a idénticos resultados.

Se han sentado las bases teóricas y matemáticas sobre las que se apoyan los diferentes

métodos numéricos y técnicas que se han desarrollado en esta Tesis. En concreto, se ha

introducido el concepto de operador matricial, el cual, independientemente del espacio

funcional sobre el que se realice la aproximación, permite, de manera sencilla y compacta,

discretizar el conjunto de ecuaciones diferenciales a resolver.

Para la resolución del sistema no-lineal de ecuaciones que surge tras el proceso de

discretización, se han explicado dos métodos numéricos, el método de la autoconsistencia

de los campos y el método de Newton-Raphson. En el caso de este último se han realizado

dos aportaciones originales de esta Tesis : i) evaluar el término lineal en el dominio de los

coeficientes y el término no-lineal en el dominio del espacio, similar a como se hace en la

técnica de balance armónico para el análisis en gran señal de circuitos no-lineales, y ii) se

han obtenido expresiones analíticas para el cálculo del jacobiano.

Haciendo uso de la formulación propuesta, se han presentado los métodos clásicos de

descomposición de Fourier y Hermite-Gauss, deduciéndose las expresiones que adoptan los

diversos operadores matriciales en dichos espacios funcionales. Asimismo, se han

explicado cuáles son sus principales limitaciones, y se han puesto de manifiesto mediante

el análisis de los resultados obtenidos cuando ambos son aplicados a la caracterización

modal de un slab no-lineal de tipo Kerr. En el caso del FDM, estas se concretan en la

necesidad de encerrar el problema a resolver en una ventana de cómputo, cuya dimensión

afecta notablemente a la precisión conseguida, especialmente en frecuencias de trabajo

cercanas al corte. La imposibilidad de conocer a priori cuál es el tamaño idóneo que


87

minimiza el error cometido obliga a realizar repetidas pruebas visuales hasta lograrlo.

Además, el elevado número de términos que se necesitan para conseguir precisiones

razonables en estructuras bidimensionales (2D) sugiere su inviabilidad en problemas

tridimensionales (3D). En lo que respecta a Hermite-Gauss, la necesidad de escalar las

funciones base a la dimensión del problema a resolver, hace que, nuevamente, la precisión

obtenida por el método sea altamente dependiente de un parámetro que debe ser prefijado

de antemano. Por los resultados que se han mostrado, se ha podido comprobar que el

escalado clásico propuesto en la bibliografía funciona bastante mal en situaciones en las

que el campo se encuentra poco confinado, o incluso en aquellos que aún estando

confinado son no-lineales.

Capítulo 4:

Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables

4.1.- Introducción

El método de descomposición de Fourier (FDM), como se ha podido comprobar en el

capítulo anterior, representa una herramienta sencilla y directa para el análisis modal de

guiaondas dieléctricas. Sin embargo, la naturaleza abierta de la estructura bajo estudio, junto

con el carácter periódico de sus funciones base, obliga a definir, con anterioridad a su

aplicación, una ventana de computación cuya dimensión determinará la precisión final lograda

por el método. El problema surge debido a que, en general, no es posible estimar el tamaño

óptimo (esto es, aquél que para un número de coeficientes dado minimiza el error cuadrático

medio) si no se conoce, al menos, una primera aproximación de la distribución espacial del

modo que se pretende calcular. Además, en situaciones cercanas a la frecuencia de corte del

modo, en las que el campo se expande hacia el substrato y la cubierta, las dimensiones

exigidas a la ventana de computación, obligan a utilizar un número de coeficientes

excesivamente grande si se quiere mantener una precisión aceptable.

Para superar tales limitaciones, Hewlett y Ladouceur propusieron lo que se ha dado en

llamar el método de descomposición de Fourier modificado (Modified Fourier Decomposition

Method - MFDM) �HewlettMar95�. Aplicando una transformación de tipo arcotangente a la

variable independiente, el dominio infinito original es elegantemente comprimido en uno de

dimensión finita. Con ello se consiguen dos cosas:

1.- Definir una nueva ventana de dimensión fija sobre cuyos extremos siempre se van a

cumplir las condiciones de contorno del infinito.

2.- Comprimir el perfil del campo a calcular, con lo que, si se introduce un factor de escalado,

y éste es elegido adecuadamente, es posible conformar el campo de tal forma que el perfil

que resulte en el dominio transformado requiera, para aproximarlo en el espacio funcional

de Fourier, un menor número de coeficientes que los necesarios en el dominio original.


90

No obstante, como el propio artículo adelanta, y al igual que ocurría con el FDM, no es

posible determinar el factor de escalado óptimo (es decir, aquél que para un cierto número de

términos minimiza el error cuadrático medio) si no se conoce previamente una solución

aproximada del campo buscado, por lo que, aunque el MFDM sea, a priori, potencialmente

superior al FDM, lo cierto es que sigue careciendo de las herramientas que lo conviertan en un

método autoconsistente. Por ello, la estrategia a seguir es similar a la empleada en el FDM,

esto es, ajustar de forma visual e iterativa el factor de escalado que logra un mejor

comportamiento.

Las estructuras que fueron analizadas en �HewlettMar95� para evaluar la bondad del

método fueron guiaondas 3D/escalares lineales y simétricas. Los resultados que allí se

muestran, en lo que a precisión se refiere, son en general satisfactorios y superiores a los

obtenidos con el FDM. Además, y lo que es más importante, se demuestra que utilizando un

único factor de escalado, el cual es determinado en base a consideraciones de tipo geométrico,

es posible conseguir, para los modos de orden inferior, una buena convergencia en un amplio

margen de frecuencias.

Tomando como punto de partida el trabajo de Hewlett y Ladouceur, el siguiente paso

dado en la elaboración de esta Tesis fue realizar la extensión del MFDM a guiaondas

2D/escalares no-lineales �WangüemertMay96� �MolinaJul98�. Los objetivos que se van a

cubrir en el presente capítulo son los siguientes:

a) Definir una nueva familia de métodos, los métodos espectrales con transformación de

variables, a la cual van a pertenecer entre otros, el MFDM y el HGDM.

b) Explicar la forma en que éstos son utilizados para la resolución de la ecuación de ondas.

c) Mostrar los resultados que se obtienen cuando el MFDM es aplicado al análisis modal de

un slab de salto de índice con substrato no-lineal de tipo Kerr.

d) Demostrar, en base a ello, que también en problemas no-lineales el MFDM presenta un

comportamiento superior al FDM. Asimismo, se comprobará que la hipótesis de Hewlett y

Ladouceur sobre la validez de un único factor de escalado para un amplio margen de

frecuencias se puede extender además a diferentes grados de no-linealidad.

e) Plantear, con vistas al capítulo siguiente, las limitaciones que aún existen en el MFDM.


91

4.2.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables

4.2.1.- Definición

Un método espectral con transformación de variables es aquel en el cual, en lugar de

discretizar la ecuación diferencial a resolver por cualquiera de las técnicas vistas en el capítulo

anterior, se discretiza una ecuación diferencial transformada obtenida a partir de la anterior

tras la aplicación de un cambio de variables.

4.2.2.- Ecuación de Ondas en el Dominio Transformado

Considérese, al igual que en el capítulo anterior, que se desea caracterizar una guiaonda

2D no-lineal. La ecuación de ondas normalizada que gobierna la propagación de los modos

TE linealmente polarizados a través de dicha estructura, viene dada, como ya es sabido, por

� �

��

2

22 2 2 22

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

X

XV n X b X X X V b XI� � ��

��

A continuación, si se aplica un cambio de variables sobre la variable independiente ‘X’ del

tipo

U f X� ( )

la ecuación de ondas original (4.1) se transforma en esta otra definida sobre el dominio

transformado ‘U’

� �f UU

Uf U

U

UV n U n U U V b Unl1

2

2 22 2 2 2( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �

� �

�

��

��

en donde, por comodidad, se ha definido una nueva función, el índice de refracción no-lineal

normalizado, cuya expresión viene dada por

n U b U Unl I2 2

2( ) ( ) ( )� � � ��

Los dos primeros términos de la ecuación (4.3) son una consecuencia de aplicar la regla de la

cadena sobre la derivada segunda del campo respecto de la coordenada original ‘X’. Por lo

tanto, las expresiones de las funciones f1(U) y f2(U) que en ella figuran dependerán del tipo de

transformación utilizada, a saber:

f UdU

dX1

2( ) � �

��

f Ud U

dX2

2

2( ) �

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)


92

4.2.3.- Discretización y Resolución

Para la resolución de la ecuación de ondas en el dominio transformado se pueden utilizar

cualquiera de los métodos de discretización vistos en el capítulo anterior, Galerkin o

colocación, asociados con cualquiera de los espacios funcionales que satisfagan las

condiciones de ortogonalidad y completitud. La potente formulación matricial de operadores

desarrollada permite escribir, independientemente del espacio funcional utilizado, el siguiente

sistema no-lineal de ecuaciones

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �P f U DD P f U D V P n U P n U V bk k L NL nl k k( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))1 22 2 2 2� � � � � � � �

�

��

�

��

donde las matrices � �P f U( ( ))1 , � �P f U( ( ))2 , � �P n UL ( ( ))2 y � �P n UNL nl( ( ))2 representan, en el

espacio funcional sobre el que se esté realizando la aproximación, los operadores producto

aplicados a las funciones f1(U), f2(U), n U2

( ) y n Unl2

( ) respectivamente.

Ahora bien, analizando la expresión (4.7) y comparándola con la que resultaba cuando los

métodos espectrales eran aplicados sin transformación de variables, se observa que ahora para

calcular la matriz del sistema se necesitan un mayor número de operaciones matriciales. En

concreto la diferencia se halla en que el operador derivada segunda en el dominio original se

ha transformado en este otro

� � � � � � � �P f U DD P f U D( ( )) ( ( ))1 2� � �

es decir, que el incremento computacional que se va a producir cuando se resuelva un

problema de autovalores de dimensión N+1 será aproximadamente el tiempo que lleva el

multiplicar dos matrices y sumarlas ( 2(N+1)3 multiplicaciones ). Llegados a este punto la

pregunta que cabría hacerse sería la siguiente: ¿tiene sentido mejorar el error que se consigue

con un determinado método espectral a costa de complicar la construcción de la matriz del

sistema?. Aunque este tema será tratado en detalle en el capítulo sexto, pues se compararán

exhaustivamente tanto las precisiones como los tiempos de cálculo que logran, por una parte,

los métodos espectrales clásicos de Fourier y Hermite-Gauss, y por otra, los que se proponen

en esta Tesis, adelantar que la respuesta a la pregunta anterior es que sí. La razón está en que

el incremento computacional planteado no lo es tanto, pues en el espacio funcional de Fourier

los operadores derivada son diagonales, por lo que el número de operaciones de más sería

(4.7)


93

aproximadamente 2(N+1)2, mientras que en el caso del espacio funcional de Hermite-Gauss la

transformación de variables que se propone es lineal, con lo que realmente no va a existir

coste adicional alguno.

Obsérvese el significado que ahora adopta el vector de incógnitas � �� k en la ecuación

(4.7), y que no es otro que el vector de coeficientes del campo eléctrico en el dominio

transformado. Quiere eso decir que un mismo campo �(X) en el dominio original dará lugar,

dependiendo de la transformación utilizada y de los propios parámetros de la transformación,

a diferentes funciones �(U) en el dominio transformado, y por tanto, a diferentes vectores de

coeficientes sobre un espacio funcional determinado. Una vez obtenida la solución, la forma

de calcular el campo en un número finito de puntos del dominio original sería la siguiente

� �� k � �T�1

� �( ) ( )U F Ui k k ik

�� X F U� �1( ) � �( ( )) ( )X F U Ui i i� �

�1

En lo que respecta a la resolución del sistema no-lineal de autovalores y autovectores

(4.7), cualquiera de los métodos numéricos tratados en el capítulo tercero, Newton-Raphson y

autoconsistencia de los campos, son de aplicación inmediata.

Los diferentes métodos espectrales pertenecientes a la nueva familia de métodos que se

acaba de exponer, se diferencian en el tipo de transformación realizada y en el espacio

funcional sobre el que se discretice la ecuación de ondas resultante en el dominio

transformado.

4.2.4.- El Método de Descomposición de Fourier Modificado

El cambio de variable propuesto por Hewlett y Ladouceur es el siguiente

U tanX

x�

�

��

��

2 1

� �

el cual convierte el dominio infinito original en uno de dimensión finita definido entre �-1,1�.

El parámetro �x es lo que se suele denominar factor de escalado. La presencia de este grado de

libertad en la definición de la transformación permite controlar el grado de compresión a

realizar. Para ilustrar de qué manera actúa sobre una determinada distribución de campo, en la

Fig. 4.1 se muestra cómo es transformado el modo fundamental de un slab simétrico y lineal

de salto de índice para tres valores diferentes de �x.. En ella se puede observar que valores

altos del factor de escalado tienden a confinar el campo en el dominio transformado, mientras

(4.8)


94

que valores pequeños producen el efecto contrario. Más adelante, en el apartado dedicado a

los resultados se podrá comprobar como, al igual que ocurría con el FDM con el tamaño del

periodo, la precisión del método dependerá del factor de escalado que se haya seleccionado.

Las expresiones que adoptan las funciones f1(U) y f2(U), necesarias para terminar de

definir la ecuación de ondas en el dominio transformado, son fácilmente deducidas a partir de

la ecuación (4.8). Las derivadas primera y segunda de la nueva variable respecto de la

coordenada espacial original vienen dadas por

dU

dX X

x

x�

��

��

�

�2 1

1

12�

�

�

d U

dX

X

Xx

x x

x

2

2 2 22

21

1

� �

��

��

� �

��

��

�

�

�

��

��

��

� �

�

que junto con la relación de la transformada inversa

(4.9)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.5

0

0.5

1

0.5

0

-0.5

0 0.5 1

X

X

U(X)

�(X)

�(U)

U

�x = 0.25 ‘ ’ �x = 1 ‘ ’ �x = 4 ‘ ’

Fig. 4.1: Efecto que la transformación arcotangente utilizada por el MFDM tiene, para tres valores diferentes de �x, sobre el modo fundamental de un slab lineal y simétrico de salto de índice.

(4.10)


95

Xtan U

�

�

x� �

��2

permiten escribir finalmente las funciones f1(U) y f2(U) de la siguiente forma

f U Ux

12

22

2( ) cos� � �

��

��

�

��

�

��

��

�

f U U Ux

2 234

2 2( ) sen cos�

� �

��

��

��

��

��

� �

Por último, en lo que a la discretización de la ecuación de ondas resultante se refiere, ésta

es acometida mediante la estrategia de Galerkin en el espacio funcional de Fourier, lo cual era

de esperar a raíz del nombre que el propio método recibe. Con ello, el campo eléctrico es

escrito como

� �( )/

/U ek

j k K U

N

NUo� � � � �

�

�2

2

en donde, en este caso y a diferencia del FDM, la pulsación del armónico fundamental viene

determinada por la dimensión finita del dominio transformado (KUo=2�/Uo; Uo=2).

En el artículo de Hewlett y Ladouceur, no obstante, se distinguen dos situaciones

diferentes: i) funciones base senoidales y ii) funciones base cosenoidales. La razón de usar un

espacio funcional u otro se justifica, respectivamente, en base a la conveniencia de forzar en el

infinito, bien la condición de campo cero (Dirichlet), bien que la derivada respecto a la

dirección normal sea cero (Neumann). La primera situación se produce cuando el campo se

encuentra guiado, mientras que la segunda ocurre cuando la frecuencia de trabajo se acerca al

corte y el campo puede tender a un valor constante y distinto de cero �HewlettMar95�. En esta

Tesis se usarán siempre las exponenciales complejas, por ser un caso más general que engloba

a las anteriores. Un análisis comparativo de los tres espacios funcionales se puede encontrar

en �Luque1996�.

4.2.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss

Como ya se explicó en el capítulo anterior, existen dos formas diferentes, pero

equivalentes, de aplicar el método de descomposición de Hermite-Gauss. La primera es la que

habitualmente se suele usar en la bibliografía, y se basa en escalar las funciones base para que

se amolden a las coordenadas espaciales del problema que se pretende resolver. La segunda,

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)


96

que será la que de aquí en adelante se emplee, se basa en realizar un cambio de variable que

adecue las coordenadas transversales a las funciones base standard de Hermite-Gauss.

En definitiva, el cambio de variable a aplicar sobre la ecuación de ondas normalizada

(4.1) es el mismo que el escalado utilizado para las funciones base en el capítulo tercero

(ecuac. (3.67)), esto es

U V X� �

el cual, como se recordará, es una recta centrada en el origen y cuya pendiente es igual a la

raíz cuadrada de la frecuencia de trabajo. Para mostrar la manera en que consigue el efecto

deseado, en la Fig. 4.2 se ilustra como los perfiles de campo correspondientes a dos

frecuencias diferentes de trabajo son comprimidos de tal forma, que los perfiles resultantes en

el dominio transformado sean prácticamente iguales entre sí e iguales a la función base de

orden cero de Hermite-Gauss.

El carácter lineal de la transformación utilizada permite simplificar las expresiones de las

(4.15)

-8 -4 0 4 8-20

-10

0

10

20

-10

0

10

00.5 1

-8 -4 0 4 80

0.5

1

�(X)

U(X)

X

X

�(U)

U

V1: ‘__ __’

V2: ‘_____’

V1> V2

Fig. 4.2: Interpretación gráfica del cambio de variable propuesto por el HGDM.


97

funciones f1(U) y f2(U), siendo respectivamente

� �f U V V12

( ) � �

f U2 0( ) �

que, sustituidas en la ecuación (4.3), dan lugar a la siguiente ecuación de ondas en el dominio

transformado

� � � �VU

UV n U n U U V b Unl

2 2

22 2 2 2� � � � � � �

� �

��

( )( ) ( ) ( ) ( )

en la que, como se puede observar, el cambio de variable utilizado no ha supuesto, a

diferencia del MFDM, incremento de costo computacional alguno en la ecuación a resolver.

4.2.6.- Otros Métodos Espectrales con Transformación de Variables

Aunque la herramienta de optimización que se ha desarrollado en esta Tesis, y que será

presentada en el capítulo siguiente, haya sido solamente aplicada a los métodos con

transformación de variables anteriormente expuestos, MFDM y HGDM, la utilización y

combinación de otros cambios de variables y espacios funcionales diferentes abre un nuevo y

amplio abanico de posibilidades sobre el que cabría en un futuro seguir trabajando. Por

ejemplo, en �Luque1996�, además de la transformación de tipo arcotangente, se emplearon, en

el espacio funcional de Fourier, las de tipo tangente hiperbólica y algebraica, cuyas

expresiones respectivas vienen dadas por

U tanhX

x�

�

��

�

�

UX

X x

��2 2�

las cuales también comprimen el dominio infinito original en uno de dimensión finita definido

entre �-1,1�. Los resultados a los que se llegó en todos los casos fueron, eligiendo

convenientemente el correspondiente factor de escalado, satisfactorios y superiores a los que

se obtenían con el FDM. En cuanto a los espacios funcionales, en �MolinaJul98� los

polinomios de Chebyshev junto con el cambio de variable de tipo arcotangente definido en

(4.8), han sido aplicados con éxito a la caracterización modal de slabs no-lineales de salto de

índice, demostrándose, igualmente, una dependencia entre la precisión conseguida y el factor

de escalado.

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)


98

4.3.- Resultados

Como ya se ha indicado, una de las aportaciones realizadas en esta Tesis ha sido extender

el ámbito de aplicación del MFDM a guiaondas ópticas no-lineales. Para mostrar el

funcionamiento del método, así como evaluar sus prestaciones con referencia a su predecesor

el FDM , se va a analizar el mismo tipo de guiaonda utilizada en el capítulo anterior, esto es,

el slab de salto de índice con no-linealidad en el substrato de tipo Kerr. Con el fin de llevar a

cabo un análisis lo más general posible, se han distinguido dos situaciones diferentes:

a) Manteniendo fijo el punto de trabajo (V y bI ).

b) Realizando un barrido en la frecuencia y en el grado de no-linealidad.

a) Manteniendo fijo el punto de trabajo (V y bI ).

En la Fig. 4.3 se han representado, en el dominio original, los perfiles de campo

resultantes de aplicar el MFDM, en el punto de trabajo indicado en el pie de figura, con tres

valores diferentes del factor de escalado. Asimismo, además de la solución analítica tomada

de �ChelkowskiSep87�, se ha representado la solución obtenida con el FDM. Analizando

dicha figura se observan dos cosas: primero, que la precisión del MFDM depende del factor

de escalado utilizado, tal y como ya se había adelantado cuando éste fue presentado; y

segundo, que existe un valor del factor de escalado en el que, con sólo ocho coeficientes, la

solución obtenida y la analítica son prácticamente indistinguibles. Para cuantificar mejor lo

bueno o malo que son cada uno de los perfiles obtenidos, se muestran en la Fig. 4.4 los errores

relativos cometidos en la zona del espacio en donde principalmente se concentra el campo.

Estos han sido calculados como

Error relativo XX X

X

a

a( ) log

( ) ( )

( )� �

��

�

��

��

20 10

� �

�

donde �a

X( ) es la solución analítica.

En ella se puede comprobar claramente la superioridad del MFDM frente al FDM cuando el

factor de escalado es convenientemente prefijado. Es más, incluso para los valores de �x

considerados como peores, el error que se comete es comparable al logrado con el FDM.

(4.21)


99

Sin embargo, lo que se deduce de lo

anterior, es que el método, al igual que

el FDM, sigue siendo dependiente de un

parámetro, en este caso el que define la

transformación. La cuestión a resolver es

: ¿Cómo seleccionar el mejor factor de

escalado de todos los posibles, es decir,

aquel que, para un número determinado

de coeficientes, logra la mejor

precisión?. La estrategia de optimización

propuesta en �HewlettMar95� es bastante

simple y se concreta en el siguiente

enunciado:

‘El factor de escalado óptimo será aquel que convierta el perfil de campo a calcular en el

dominio original en otro en el dominio transformado que varíe de la forma más suave

posible’.

La justificación a la utilización de dicho razonamiento se comprende fácilmente si se tiene

en cuenta que el número de coeficientes que una señal necesita para ser representada, con

-2.5 0 2.5-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

X

Error Relativo(x)

dB

FDM ‘_ _ _’

MFDM (�x=1,�x=5) ‘__ _ __’

MFDM (�x=2.4) ‘_______’

Fig. 4.4: Error relativo de campo eléctrico cometido con el FDM y con el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=8; Xo (FDM)= 20;

FDM ‘_ _ _’MFDM (�x = 1 y �x = 5) ‘__ _ __’MFDM (�x = 2.4) ‘_____’Sol. Exacta ‘_______’

-10 -5 0 5 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

�( )X

Fig.4.3: Perfiles de campo en el dominio original obtenidos con el FDM y con el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=8; Xo (FDM)= 20;


100

cierta precisión, en serie de Fourier, será tanto mayor cuanto más rápido varíe la señal en

función de la variable respecto de la cual es definida. De hecho, la clave del éxito del MFDM

se basa en que un perfil de campo puede contener zonas de variación rápida en el dominio

original, requiriendo por tanto un excesivo número de coeficientes, mientras que,

adecuadamente conformado, el perfil que resulte en el dominio transformado varíe de forma

suave y uniforme a lo largo del mismo. Para comprobar si el factor de escalado que

proporcionaba un buen resultado en el ejemplo anterior se ajusta al criterio propuesto por

Hewlett y Ladouceur, se han representado en la Fig. 4.5 los tres perfiles de campo que se

obtienen en el dominio transformado. Resulta evidente constatar que el �x que mejor y más

suave distribuye el margen dinámico del campo en la ventana de cómputo es justamente aquel

con el que mejor aproximación se conseguía. Si además se pintan sus correspondientes

espectros, que duda cabe que éstos deberán presentar un comportamiento que confirme aún

más tal hipótesis. No obstante, a la hora de su representación debe tenerse cierto cuidado,

pues, como consecuencia de la transformación realizada, sus energías serán diferentes para

cada valor del factor de escalado. Como adelanto de la estrategia de optimización que se va a

proponer en el capítulo siguiente, se han pintado en la Fig. 4.6 sus respectivos espectros

normalizados. El armónico k-ésimo del nuevo espectro se define como

Pkn k

kk N

k N�

��

�

�

�

2

2

2

2

/

/

en donde se puede observar que la constante de normalización utilizada no es más la energía

(4.22)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

k

�x = 2.4 ‘______’

�x = 1 ‘__ _ __’

�x = 5 ‘_ _ _’

Espectro normalizado (dB)

Fig. 4.6: Coeficientes espectrales normalizados en el dominio transformado obtenidos al aplicar el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=32; Xo (FDM)= 20.

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

U

�( )U

�x = 1 ‘__ _ __’ �x = 2.4 ‘_____’ �x = 5 ‘_ _ _’

Fig. 4.5: Perfiles de campo en el dominio transformado obtenidos con el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=8; Xo (FDM)= 20;


101

de la señal. Utilizando un número de términos lo suficientemente alto como para tener una

visión más completa del mismo, se puede ver en dicha figura que el espectro que más

concentra su energía en los armónicos más bajos es nuevamente el correspondiente al mejor

de los factores de escalado utilizados.

Por último, la superioridad del MFDM frente al FDM queda claramente corroborada si se

analizan sus velocidades de convergencia. Para ello, se ha representado en la Fig. 4.7 el error

cuadrático medio (MSE) del campo, definido como

� �MSE dBW

X X dxa

W

( ) log ( ) ( )� � ��

��

��10

110

2� �

en función del número de términos considerados en el desarrollo en serie. Es necesario, a fin

de que la comparación realizada sea correcta, que ambos se encuentren trabajando en sus

condiciones quasi-óptimas, esto es, el

FDM con su ventana de cómputo (Xo 20)

y el MFDM con su factor de escalado

(�x=2.4). Además, también la ventana de

integración ‘W’ utilizada en cada caso

debe ser la misma. Lo más razonable, y así

se ha hecho, es hacer que ésta sea igual al

periodo del FDM, pues su solución sólo es

conocida en dicha zona. Obsérvese que,

aunque las velocidades de convergencia

son similares en ambos casos (-10 dB/10

términos si 10<N<30), se ha conseguido

una mejora de aproximadamente 10 dB.

b) Realizando un barrido en la frecuencia y en el grado de no-linealidad.

Tal y como ha quedado patente en el apartado anterior, el éxito del MFDM radica en una

buena selección del factor de escalado. Ahora bien, como quiera que éste depende de cómo

sea el perfil de campo a calcular, cabría pensar que sería necesario realizar un proceso de

optimización cada vez que se modificara el punto de trabajo (frecuencia y/o grado de no-

linealidad). No obstante, como seguidamente se podrá comprobar, con un único factor de

escalado el comportamiento del MFDM es superior al del FDM en un amplio margen de

(4.23)

0 10 20 30 40 50 60 70-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

-45

-40

-35

-30

MSE (dB)

FDM ‘__ _ __’ MFDM (�x = 2.4) ‘_______’

N Fig. 4.7: Convergencia del MFDM frente al FDM. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: Xo (FDM)= 20.


102

frecuencias y grados de no-linealidad. Esto no debe sorprender, pues ya en guiaondas 3D

lineales y simétricas Hewlett y Ladouceur demostraron que si el factor de escalado era igual al

ancho del núcleo (�x = 2) y para V<5 los resultados obtenidos eran satisfactorios.

El método de Newton-Raphson, a diferencia del método de la autoconsistencia de los

campos, necesita para ser aplicado, no sólo la frecuencia (V) y grado de no-linealidad (bI) que

determine unívocamente el punto de trabajo, sino además la constante de propagación (b).

Dado que en el caso del slab no-lineal de salto de índice, ésta puede ser obtenida a través de la

relación de dispersión �ChelkowskiSep87�, se ha utilizado dicho método para seguir las

curvas de dispersión universales del modo fundamental mostradas en el capítulo tercero en la

Fig. 3.9. Teniendo en cuenta que, en base a la normalización empleada en la ecuación de

ondas, la distribución de campo que se obtenga debe valer la unidad en el interface núcleo-

substrato, una forma de medir la bondad del método espectral correspondiente puede ser

calcular el error cometido en la estimación del bI, el cual es definido como

� �E XbI(%) ( )� � � �100 1 12�

En las Figs. 4.8 y 4.9 se muestra dicho error cuando se emplea el FDM y el MFDM,

respectivamente, para seguir las curvas de dispersión universales del slab no-lineal. Para todas

las frecuencias y grados de no-linealidad indicados, ambos métodos han sido ejecutados

manteniendo constantes sus parámetros característicos, esto es, el periodo y el factor de

escalado. En el caso del FDM, el experimento fue realizado con dos tamaños diferentes del

periodo (Fig. 4.8 (a) y (b)). Comparando los resultados se observa en primer lugar que los

errores cometidos con el FDM se mueven en un margen de valores que es un orden de

magnitud superior al logrado con el del MFDM. En las Figs. 4.8 (a) y (b) se percibe,

claramente, la ya comentada dependencia que el FDM tiene con el tamaño de ventana

utilizado. Por ejemplo, cuando ésta es prefijada a un valor más pequeño (Xo=12), los mejores

resultados se obtienen para frecuencias elevadas, pues en las frecuencias bajas se va a producir

el conocido fenómeno de aliasing en el dominio del espacio, mientras que si el tamaño de la

ventana es mayor (Xo=20) se produce el efecto inverso, esto es en las frecuencias más bajas se

comportará mejor y en las altas se producirá el consabido efecto del sobremuestreo en el

dominio de la frecuencia. En cuanto al MFDM, se observa que si bI>0.4 y 0.25<V<2 los

errores cometidos se encuentran siempre por debajo del 1 %, lo cual confirma la robustez del

método. Además, el valor del factor de escalado empleado (�x = 2.4) es sólo ligeramente

superior al propuesto por Hewlett y Ladouceur para el caso lineal. Un hecho que pudiera

(4.24)


103

parecer sorprendente en dichas figuras es que tanto el MFDM como el FDM presentan un peor

comportamiento a medida que el problema se hace más lineal (bI más cerca de cero). La razón

no es ni mucho menos achacable a ninguno de los métodos sino al parámetro que se ha

utilizado para cuantificar el error, el cual, al ser dependiente de la amplitud del campo carece

de sentido en problemas lineales.

0.5 1 1.5 2

0.5 1 1.5 2

Fig. 4.8: Error cometido en la estimación del bI (ec. (4.24)) cuando las curvas de dispersión universales del slab no-lineal son seguidas utilzando el FDM con dos tamaños de ventana diferentes. Datos físicos normalizados: a=0 ; Datos numéricos :N=32 (a) Xo=12; (b) Xo= 20.

0.5 1 1.5 2

Fig. 4.9: Error cometido en la estimación del bI (ec. (4.24)) cuando las curvas de dispersión universales del slab no-lineal son seguidas utilzando el MFDM. Datos físicos normalizados: a=0 ; Datos numéricos :N=32 ; �x = 2.4.


104

4.4.- Conclusiones

Una vez concluido el estudio de los métodos espectrales con transformación de variables,

y para finalizar el presente capítulo, se resumen a continuación sus principales características,

destacando las ventajas que, frente a los métodos espectrales clásicos, supone su utilización.

Asimismo, se plantean las limitaciones que aún están por resolver, pero que serán tratadas en

el siguiente capítulo.

Los métodos espectrales con transformación de variables representan una nueva y más

genérica familia de métodos para la caracterización modal de guiaondas ópticas. Dos son

los pasos que conlleva su aplicación :i) la obtención de una ecuación de ondas definida

sobre unos nuevos ejes (el dominio transformado), la cual se alcanza tras la aplicación de

un cambio de variable sobre la/s coordenada/s transversal/es del problema a resolver y ii) la

resolución de la misma por cualquiera de los métodos clásicos de discretización (Fourier,

Hermite-Gauss,...).

Las características de la transformación de variables a utilizar dependerán, en parte, del

espacio funcional con que luego se vaya a discretizar la ecuación de ondas resultante en el

dominio transformado. Por ejemplo, el MFDM convierte, mediante una transformación de

tipo arcotangente, el dominio infinito original en uno de dimensión finita. Por su parte, el

HGDM, simplemente reescala de forma lineal la dimensión transversal del problema.

En el caso del MFDM, su aplicación al análisis modal del slab de salto de índice con no-

linealidad de tipo Kerr ha confirmado el superior comportamiento que el mismo ya

presentaba en problemas lineales. Aunque el método siga siendo dependiente de un

parámetro (el factor de escalado), que también debe ser prefijado con anterioridad a su

aplicación, si es adecuadamente elegido se puede mejorar notablemente la precisión

lograda por el FDM. Es más, a diferencia de éste, que como se recordará era muy sensible

al periodo del armónico fundamental, con un único factor de escalado se consiguen

precisiones aceptables en un amplio rango de frecuencias y grados de no-linealidad.

Asimismo, a pesar de que la comparación entre el FDM y el O-MFDM no haya sido todo

lo completa que debiera pues habría que computar también los tiempos de cálculo que cada


105

uno necesita, y ésto se hará en el capítulo sexto, se ha demostrado que realmente las

diferencias no van a ser muy significativas.

Por contra, el MFDM sigue careciendo de alguna estrategia o algoritmo que lo convierta en

una técnica realmente autoconsistente, esto es, que pueda calcular de forma automática, y

sin necesidad de exigir por parte del usuario una cierta experiencia que garantice una

decisión mínimamente acertada, cuál es el escalado óptimo. Además, hasta el momento se

ha considerado únicamente el modo fundamental y siempre en situaciones no

excesivamente asimétricas (perfiles simétricos en el índice de refracción lineal sumado al

grado de no-linealidad que pudiera existir), por lo que no es posible realizar generalización

alguna sobre su aplicabilidad en condiciones adversas y diferentes a las analizadas.

Si a estos inconvenientes se les suman los ya explicados en el capítulo anterior para el otro

método espectral con transformación de variables, el HGDM, todo parece indicar que el

siguiente paso en la mejora de los mismos pasa, en primer lugar, por introducir nuevos

grados de libertad en la definición de las transformaciones, que permitan tratar situaciones

más complejas que las consideradas hasta ahora. Y segundo, si cabe con más motivo aún a

raíz de lo anterior, desarrollar una estrategia, robusta y sin colaboración alguna por parte

del usuario, que sea capaz de determinar los parámetros óptimos o quasi-óptimos de las

transformaciones para un amplio abanico de situaciones. Ambas aspiraciones son los

objetivos del siguiente capítulo.

Capítulo 5:

Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los

Métodos Espectrales con Transformación de Variables

5.1.- Introducción

A pesar de que la aparición de los métodos espectrales con transformación de variables, y

muy particularmente el MFDM, supuso, en el ámbito de la óptica integrada, una contribución

importante en el camino hacia la obtención de métodos numéricos eficientes para la

caracterización modal de guiaondas ópticas, lo cierto es que éstos aún adolecen, a la hora ser

aplicados, de los mismos inconvenientes que tenían sus antecesores, los métodos espectrales

sin transformación de variables. Dichas pegas se pueden resumir en los dos puntos siguientes:

a) Existencia de un grado de libertad en la definición del método (periodo o factor de

escalado) cuyo valor afectará a la precisión final alcanzada.

b) Dificultad para determinar, a priori, cuál es el valor con el que se logra un mejor resultado.

En lo que al espacio funcional de Fourier se refiere, el primer intento por superar tales

limitaciones fue realizado por Ramanujam et al. �RamanujamMar96�. Haciendo uso de la

teoría de Wenzel-Kramers-Brillouin (WKB) en conjunción con el método del índice efectivo,

la estrategia que propusieron los autores de dicho trabajo para la determinación de la ventana

de cómputo necesaria para la aplicación del FDM, se basa en estimar la constante de

propagación del modo a calcular y, a partir de la misma, especificar la posición de los 'turning

points', o puntos en donde comienza el comportamiento evanescente del campo, y las

velocidades de decaimiento, con lo que, consecuentemente, es posible determinar la distancia

a la cual el campo se encuentra ya por debajo de un cierto valor. Además, la aproximación

inicial que se obtiene del campo, permite realizar una estimación acerca del número de

términos que será necesario considerar en el desarrollo en serie de Fourier. Sin embargo, la

técnica, aunque ingeniosa, sigue padeciendo las limitaciones implícitas del FDM, como es el


108

peor comportamiento en frecuencias cercanas al corte. Por ello, como el propio artículo de

Ramanujam et al. sugiere, cabría pensar en un método híbrido que combinara las ventajas del

MFDM con las herramientas que en él se describen. Los diferentes intentos que se realizaron

durante la elaboración de la presente Tesis para conseguir dicha simbiosis resultaron en balde

pues chocaban siempre con la dificultad que presenta el WKB para ser aplicado en problemas

no-lineales.

Ante tal situación, parecía claro la necesidad de perfeccionar el MFDM, en lo que a su

autoconsistencia se refiere, y dotarle de las herramientas necesarias para su automatización,

esto es, de aquellas que permitan determinar, con la mínima sobrecarga computacional, los

parámetros óptimos de la transformación. Ahora bien, cuando dicho cometido fue abordado se

observaron algunas situaciones en las que no resultaba fácil determinar, ni siquiera por

inspección visual, cuál era el factor de escalado que mejor resultado lograba. Un ejemplo

típico tiene lugar en problemas fuertemente no-lineales. A modo de ejemplo, supóngase la

misma guiaonda considerada en el capítulo anterior, esto es, el slab de salto de índice con

substrato no-lineal de tipo Kerr. En la Fig. 5.1 se ha representado el perfil de campo que

soporta dicha estructura cuando el grado de no-linealidad existente es elevado. En ella se

puede observar claramente cómo se ha producido un desplazamiento notable del campo hacia

el substrato, situándose incluso el máximo del campo en la zona no-lineal. Como se recordará

del capítulo anterior, la estrategia propuesta en �HewlettMar95� para la optimización del

factor de escalado consistía en pintar los perfiles de campo que resultan de aplicar, al perfil

original, la transformación arcotangente utilizada, la cual es escrita nuevamente por

comodidad

El factor de escalado que más suave

distribuyera el margen dinámico del campo

en la ventana de cómputo era considerado

como óptimo. En las Figs. 5.2 y 5.3 se han

pintado, respectivamente, los perfiles de

campo y sus correspondientes espectros

normalizados para tres valores diferentes del

factor de escalado. En la primera de ellas se

-5 -1 0 1 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X

�( )X

núcleo

Fig. 5.1: Perfil de campo en el dominio original en una situación de elevada no-linealidad. Datos físicos normalizados: V=0.8; a=0; bI=0.9258

(5.1) U tanX

x�

�

��

�

��2 1

� �

Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables

109

comprueba cómo la asimetría del problema analizado provoca que la zona sobre la que se

produce la compresión o estiramiento del campo se sitúe sobre la zona evanescente, con lo

que resulta imposible, variando sólo el factor de escalado, una redistribución uniforme y

gradual del campo sobre el eje transformado. Sin embargo, si a la transformación arcotangente

se le permite cierto descentramiento, por ejemplo situarla sobre el máximo de la distribución,

el perfil obtenido cambia literalmente, y se comporta de la manera deseada. Observando los

espectros normalizados en la Fig. 5.3 se puede confirmar la aseveración anterior. De los

espectros representados, el que presenta un menor ancho de banda resulta ser, claramente,

aquel cuya transformación fue desplazada hacia la zona del máximo.

En definitiva, las mejoras que, sobre el MFDM, se han realizado en esta Tesis y que se

van a describir a lo largo del presente capítulo son �MolinaJul98� �Wangüemert1998�:

a) La definición de una nueva versión del MFDM, que de aquí en adelante se denominará O-

MFDM (Offset-Modified Fourier Decomposition Method), basada en introducir en la

transformación arcotangente un nuevo grado de libertad, el centrado (offset), con el que

poder analizar situaciones asimétricas.

b) El desarrollo de un algoritmo autoconsistente para la determinación automática de los

parámetros óptimos de la transformación.

La notable mejoría que, en el MFDM, supuso la introducción de un descentramiento en la

transformación empleada, así como el buen funcionamiento observado en el algoritmo de

2 4 6 8 10 12 14-100

-80

-60

-40

-20

0

16k

Espectro normalizado (dB)

�x= 1.8; Ox= -1.7

�x= 1 ‘__ _ __’ �x= 4 ‘_ _ _ _’ �x= 1.8 ‘_____’

Fig. 5.3: Influencia del centrado en los espectros normalizados del dominio transformado. Datos físicos normalizados: V=0.8; a=0; bI=0.9258.

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

U

�( )U �x =1 ‘__ _ __’ �x =4 ‘_ _ _ _’ �x =1.8 ‘_____’ �x =1.8; Ox= -1.7 ‘ ‘

Fig. 5.2: Influencia del centrado en los perfiles de campo en el dominio transformado. Datos físicos normalizados: V=0.8; a=0; bI=0.9258.


110

optimización que al efecto fue desarrollado, sugirió la posibilidad de que ambas fueran

adaptadas al espacio funcional de Hermite-Gauss, el cual, como se recordará, se presta a ello,

pues presentaba peores resultados en frecuencias cercanas al corte, como consecuencia del

factor de escalado utilizado, y en situaciones asimétricas, como las que se producen en

problemas no-lineales. Existe en la bibliografía consultada por el autor un único intento de

utilizar una estrategia de optimización para encontrar el factor de escalado óptimo del HGDM

�RasmussenMar93�, aunque la filosofía en la que se basa es totalmente diferente a la que aquí

se va a presentar y ha sido aplicada exclusivamente en guiaondas lineales y simétricas, lo que

limita su potencialidad. En una posterior sección de este capítulo se tratará este tema con más

detalle.

Por lo tanto, similares mejoras han sido igualmente realizadas sobre el HGDM, a saber, la

definición de una nueva y más general versión del mismo, que se llamará de aquí en adelante

el O-HGDM (Offset-Hermite-Gauss Decomposition Method), y el desarrollo de un algoritmo

autoconsistente que determine, de forma automática, los parámetros óptimos de la

transformación �OrtegaSep98�. Ambas contribuciones serán también objeto de estudio por

parte del presente capítulo.

5.2.- El O-MFDM y el O-HGDM

El método de descomposición de Fourier modificado con descentramiento y el método de

descomposición de Hermite-Gauss con descentramiento, que para diferenciarlos del MFDM y

HGDM se les designará respectivamente por O-MFDM y O-HGDM (Offset-Modified Fourier

Decomposition Method y Offset-Hermite-Gauss Decomposition Method), también pertenecen

a la familia de métodos espectrales con transformación de variables. Por lo tanto, todo lo

concerniente a la forma en que son aplicados puede ser hallada en el capítulo anterior. La

única particularidad que los diferencia de su correspondiente predecesor es la transformación

de variables utilizada.

En el caso del O-MFDM, se propone la siguiente

U tanX Ox

x�

�

��

�

��2 1

� �

en la que se puede observar que, respecto de la utilizada por el MFDM (ec. (5.1)), además del

factor de escalado (�x) se ha introducido un nuevo grado de libertad, el centrado u offset (Ox).

(5.2)


111

Por su parte, para el O-HGDM, la transformación propuesta es la siguiente

� �U X Ox x� � �

que, como se puede comprobar, no sólo se ha permitido un cierto desplazamiento

respecto del origen de coordenadas (Ox), sino que, además, el factor de escalado (�x) puede

adoptar cualquier valor, y no como ocurría en el HGDM, que éste era siempre igual a V .

5.3.- Autoconsistencia de los Métodos

A raíz de las nuevas versiones de métodos espectrales con transformación de variables

que se acaban de definir, resulta evidente, si cabe aún más, la necesidad de disponer de

herramientas que determinen los parámetros óptimos de las transformaciones. Téngase en

cuenta que el resultado que ahora se obtenga dependerá de dos parámetros (�x y Ox), por lo

que la estrategia de Hewlett y Ladouceur de ir visualizando, y corrigiendo en base a lo

observado, los diferentes perfiles de campo en el dominio transformado, se convierte en una

tarea inviable en situaciones prácticas.

5.3.1.- El Criterio de Optimización

La idea fundamental del criterio que se plantea en esta Tesis para decidir, ‘a priori’,

cuáles son los parámetros con los que mejor resultado se obtiene, se basa en una idea bastante

simple, la cual por otra parte ya se ha dejado entrever. Si se recuerdan los diferentes resultados

que se han ido mostrando del MFDM, junto a los perfiles de campo en el dominio

transformado, se representó lo que se dio en llamar el espectro normalizado, el cual como se

recordará era definido como

� ��

� �

Pk xk x

k xk

��

� �

�

�

2

2

y cuya forma dependía del factor de escalado empleado en la transformación. Pues bien,

parece obvio pensar que el factor de escalado óptimo sea aquel que, para una cierta precisión,

requiera un menor número de términos en el dominio transformado, o lo que es lo mismo,

ocupe un menor ancho de banda. La implementación de este criterio pasa por la definición de

algún parámetro que permita medir dicho ancho de banda. En esta Tesis se propone utilizar la

varianza del espectro normalizado, la cual puede ser escrita como

(5.3)

(5.4)


112

� � � ��

� �

Var O k P O

k O

Ox x

kk x x

k x xk

k x xk

� �

� �

� �

, ,

,

,

� �

�

��

�

2

2 2

2

en donde, en caso de ser usada con el O-MFDM y O-HGDM, dependerá de los nuevos

parámetros de la transformación (�x y Ox), tal y como ha sido puesto de manifiesto en la

expresión anterior.

La minimización de la función definida en la ec.(5.5) mediante el algoritmo que

seguidamente se va a presentar, condujo a excelentes resultados en el caso del O-HGDM. Sin

embargo, para el O-MFDM los mejores resultados se alcanzaron cuando lo que se minimizaba

era la varianza de los coeficientes espectrales de la derivada segunda del campo en el dominio

transformado. Es decir, que si �(X) es la distribución de campo en el dominio original y

�(U,�x,Ox) es su imagen en el dominio transformado, los coeficientes a considerar en el caso

del O-MFDM serán los de la función d2�(U,�x,Ox) /dU2. Esto no supone problema alguno,

pues éstos pueden ser calculados de forma directa sin más que aplicar, a los coeficientes de la

función �(U,�x,Ox), el operador derivada segunda del espacio funcional de Fourier.

Matemáticamente se puede escribir como

� � � �

�

( , , ) ( , )U O O ex x k x x

jkU

U

k

o� �

�

��

�

��

�

2

� �d U O

dUk O ex x

Uo k x x

jkU

U

k

o2

22 2

2� �

� ��

�

( , , )( , )� � � �

�

��

�

��

�

con lo que la función a considerar en el caso del O-MFDM resulta ser finalmente la siguiente

� ��

� �Var x Ox

k k x Oxk

k k x Oxk

�

� �

� �

,

,

,

�

��

�

6 2

4 2

5.3.2.- El Algoritmo de Optimización

Habiéndose obtenido las funciones a ser minimizadas, el siguiente paso hacia la

consecución de la autoconsistencia de los métodos espectrales con transformación de

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)


113

variables, consiste en la definición de un algoritmo que, partiendo de una situación inicial

arbitraria, sea capaz de converger hacia el mínimo de tales funciones. Los pasos de que consta

el algoritmo, que fue implementado al efecto, son los siguientes:

1. Inicializar los parámetros de la transformación con unos valores arbitrarios (�xo,Oxo)

obtenidos a partir de estimaciones que pueden ser muy burdas.

2. Resolver la ecuación de ondas en el dominio transformado con dichos parámetros. Con ello

se obtendría el vector de coeficientes � �� k xo xoO( , ) y la constante de

propagación� �( , )xo xoO .

3. Determinar, a partir del vector de coeficientes � �� k xo xoO( , ) obtenido en el apartado

anterior, el conjunto de parámetros (�x opt,Ox opt) que minimizan las ecuaciones (5.5) y (5.8)

para el O-HGDM y O-MFDM, respectivamente.

4. Utilizando los valores óptimos (�x opt,Ox opt) repetir el proceso desde el punto dos hasta que

los valores óptimos que resulten no cambien en dos iteraciones sucesivas.

De entre los diferentes puntos que lo componen, el único cuya ejecución pudiera suscitar

algún tipo de incertidumbre sobre la forma en que es implementado, que duda cabe que ese es

el tercero, o lo que es lo mismo, el cálculo del mínimo de la función Var(�x,Ox) cuando

solamente se conoce el valor que la misma toma para los parámetros (�x0,Ox0) usados en la

inicialización. Con independencia del método de optimización que se decida emplear

(gradiente conjugado, Fletcher-Powell, o incluso, por simplicidad, evaluando la función en un

amplio margen de valores y localizando la posición del mínimo), la cuestión a solventar se ha

planteado en la Fig. 5.4, y se puede expresar de la siguiente forma:

Si � �� k xo xo NO( , )

0es el vector de coeficientes espectrales que se obtiene tras resolver el

problema lineal o no-lineal de autovalores con unos parámetros iniciales arbitrarios (�x0,Ox0)

y con N0 coeficientes ¿cómo calcular el vector de coeficientes � �� k x x NO( , )1 1

1 (N1>N0)

para otros parámetros de la transformación (�x1,Ox1) diferentes de los anteriores?


114

La respuesta a dicha pregunta se ha puesto también de manifiesto en la Fig. 5.4. Haciendo

uso de la transformada inversa, es posible evaluar la función �0(U) sobre el eje transformado

'U' y posteriormente, deshaciendo el cambio de variable con los parámetros de la

transformación (�x0,Ox0) empleados, obtener la función �(X) en el dominio original 'X'. A

continuación, si se realiza el proceso inverso al que se acaba de describir, esto es, primero se

aplica el cambio de variable sobre la coordenada espacial 'X' para los parámetros de la

transformación deseados (�x1,Ox1), y seguidamente, al perfil de campo �1(U) en el dominio

transformado, se le calcula la transformada directa del espacio funcional sobre el que se esté

trabajando, el resultado al que se llega resulta ser, finalmente, el vector de coeficientes

buscado.

� �� k x xO0 0, � �� k x xO1 1,

k kN O N 1

¿ ?

U

� 1(U )

X

� (X )

U

� 0(U )

� �� 0 0 0( ) , ( )U O F Uk x x kk

� �� k x xk

kON orm a

U F U1 1 11

, ( ), ( )� � �

X = F -1(U ,� x0,Ox0) U = F (X , � x1,Ox1)

Fig. 5.4: Relación existente entre los coeficientes espectrales en el dominio transformado para dos conjuntos diferentes de los parámetros de la transformación.


115

Ahora bien, si se recuerdan las consideraciones de tipo numérico que en su momento se

hicieron en el capítulo tercero sobre el cálculo de las transformadas directa e inversa de

Fourier y Hermite-Gauss respectivamente, la puesta en práctica del proceso anterior para su

utilización en el algoritmo de optimización del O-MFDM y O-HGDM, queda reducida a la

realización de los siguientes pasos, a saber :

1.-Se establece un vector de N1 muestras sobre el eje transformado ‘U’ � �U i N11

,

La posición que ocupen las muestras dependerá del espacio funcional sobre el que se esté

trabajando, Fourier o Hermite-Gauss. En el primero, éstas se situarán de forma

equiespaciada a lo largo de la ventana de cómputo (intervalo �-1,1�), mientras que para el

segundo su ubicación queda especificada conocidas las raíces del polinomio de Hermite-

Gauss de orden N1+1(puntos de cuadratura).

2.-Se calculan los puntos en que debería ser evaluado el perfil de campo �0(U) para dar lugar

al mismo vector de amplitudes que resultaría cuando el perfil �1(U) es evaluado sobre el

vector de muestras � �U i N11

, (véase la Fig. 5.5). Matemáticamente se puede expresar como

O-MFDM:

� �U i N11

, � � � �X O tan Ui x x i� � ��

��1 1 12

��

, � ��

U tanX O

ii x

x0

1 0

0

2, � �

�

��

�

�

�

� �

O-HGDM:

� �U i N11

, � ��

X OU

i xi

x� 1

1

1

,

� � � � �� U X Oi x i x0 0 0, � �

3.-A partir del vector de coeficientes� �� k xo xo NO( , )0

, y haciendo uso de los desarrollos en

serie que corresponda en cada caso, Fourier o Hermite-Gauss, se evalúa la función �0(U)

sobre el vector de muestras � �U i N0,1

� � � � � � � �� 0 0, 0 0 0, 1 11

01 1

U O F U Ui N k x x kk N

i N i N��

��

��

��

��

��

� � , , (5.9)


116

4.-Por último, los coeficientes espectrales

buscados � �� k x x NO( , )1 11

pueden ser

obtenidos sin más que aplicar, al vector de

amplitudes � ��1 11

U i N,��

�� , la FFT en el

caso del O-MFDM o una integración

gaussiana en cuadratura en el caso del O-

HGDM.

5.3.3.- Comparación con otras Estrategias de Optimización

Para concluir esta importante contribución sobre la autoconsistencia de los métodos

espectrales con transformación de variables, conviene contrastar la estrategia que aquí se ha

planteado con otras que, con tal motivo, hayan sido previamente desarrolladas. Como ya se

adelantó en la introducción del presente capítulo, el único antecedente encontrado en la

bibliografía especializada ha sido hallado en �RasmussenMar93�. Basándose en el hecho de

que la constante de propagación calculada mediante el HGDM se encuentra siempre por

debajo de su valor exacto, la estrategia seguida en dicho trabajo para el análisis modal de

guiaondas lineales y simétricas, consiste en calcular cuál es el factor de escalado que

maximiza la constante de propagación �(�x), y por consiguiente, que mejor precisión logra. La

idea, aunque atractiva, requiere un excesivo costo computacional para ser implementada. Por

ejemplo, como el propio artículo indica, si se utiliza el método de Newton, son necesarias

entre ocho y diez iteraciones para converger hacia el punto óptimo. Como quiera que no se

dispone de expresiones analíticas de la derivada segunda de la constante de propagación

respecto del factor de escalado (d2�/d�2

x,), su aproximación numérica necesita al menos de

tres evaluaciones de la función �(�x) en cada iteración, o lo que es lo mismo, resolver un total

de treinta veces el problema de autovalores y autovectores, con el consabido coste que ello

supone.

U

�0(U)

�1(U)

Fig.5.5: Relación entre las muestras � �U i N11

,

(marcadas con ‘o’) en que pretende ser evaluada la

función �1(U), y las muestras � �U i N01

, (‘*’) donde

debe ser evaluada la función �0(U) para da lugar al mismo vector de amplitudes.


117

Sin embargo, el hecho más significativo de la estrategia que acaba de ser presentada en

esta Tesis, es que necesita resolver el problema de autovalores y autovectores una sola vez en

cada iteración. Además, como se podrá comprobar en el siguiente apartado, el número total de

iteraciones que se contabilizó en los diversos casos probados es siempre bastante reducido,

por lo que el tiempo de cálculo empleado en la optimización es claramente mucho menor que

la técnica de Rasmussen et al.

5.4.- Resultados

La aplicación del algoritmo de optimización a los nuevos métodos espectrales con

transformación de variables que han sido propuestos en este capítulo, el O-MFDM y el O-

HGDM, ha sido probada en un amplio abanico de situaciones, obteniéndose en todos los casos

resultados muy satisfactorios. Con el fin de cuantificar mejor la precisión lograda por el

mismo se han analizado dos guiaondas no-lineales que posean solución analítica, a saber, el

slab de salto de índice con no-linealidad de tipo Kerr en el substrato �ChelkowskiSep87�, la

cual, como se recordará, ya ha sido

utilizada con anterioridad (véase la Fig.

3.10 del cap.3), y el slab de índice gradual

con perfil exponencial y con no-linealidad

en el substrato también de tipo Kerr

�MihalacheDic91�. En la Fig. 5.6 se ha

representado el perfil del índice de

refracción lineal normalizado de esta

última, así como la función �(X), la cual,

como es sabido, determina, en la ecuación

de ondas no-lineal normalizada, la zona en

donde se sitúa la no-linealidad1.

A continuación se presentan los resultados más significativos que se han obtenido. Estos

han sido divididos en dos partes, dependiendo del método espectral empleado, Fourier o

Hermite-Gauss. Además, en cada una de ellas, y con el fin de conocer el grado de

1 Dado que en el slab de índice gradual, el núcleo, o zona en la que el campo tiene un comportamiento oscilatorio, no es posible identificarlo a priori, el eje de abscisas normalizado (X), y por lo tanto también la frecuencia normalizada (V), son definidos respecto de la abscisa en la que el índice de refracción ha decaído ‘e’ veces su valor en el origen.

n X2

( )

�( )X

X

(1+a)e-X -a

Substrato Cubierta

(1+a)/e

10

Fig. 5.6: Indice de refracción lineal normalizado y situación de la no-linealidad del slab de índice gradual utilizado para evaluar el funcionamiento del O-MFDM y de su algoritmo de optimización .


118

aplicabilidad de la técnica propuesta, se ha comprobado su comportamiento tanto en

guiaondas lineales como no-lineales, así como para el modo fundamental y modos superiores.

5.4.1.- Resultados del O-MFDM y de su Algoritmo de Optimización

Para evaluar de forma conjunta cuáles son los parámetros de la transformación que

consiguen un comportamiento del O-MFDM superior al FDM, y además, hasta que punto el

algoritmo de optimización propuesto era capaz de converger hacia unos parámetros de la

transformación (�x,Ox) quasi-óptimos, se van a representar, en una sola gráfica y superpuestos,

los mapas de contorno de los errores cometidos por el O-MFDM para diferentes valores de

(�x,Ox) y el camino seguido por el algoritmo de optimización. Dado que la resolución del

problema de autovalores aporta la constante de propagación del modo y su distribución

espacial de campo eléctrico, se han considerado dos medidas del error, el error cuadrático

medio (MSE) del campo, ya utilizado en el capítulo anterior (ec. (4.23)), y el error absoluto de

la constante de propagación, definido este último como

� �Err b O bb x xa� � 10 10log ,�

donde b(�x,Ox) es la constante de propagación normalizada que se obtiene al aplicar el O-

MFDM y ba su valor exacto. Para identificar con claridad los valores de �x y Ox para los

cuales el O-MFDM es mejor que el FDM, los cortes realizados en ambos mapas de contorno

se han situado para valores iguales y menores que los obtenidos con el FDM. De esta forma, la

curva correspondiente al valor de 0 dB delimitará la zona de interés. Además, para evitar la

dependencia que presenta el FDM al tamaño de ventana seleccionado, y con ello, la posible

ambigüedad que se pudiera derivar en la interpretación de los resultados, los errores

cometidos con el FDM se han calculado, en todos los casos analizados, con el tamaño de

ventana que mejor se ajustaba al perfil de campo que se iba a calcular.

Tomando como referencia el slab de índice gradual definido en la Fig. 5.6, los resultados

que se obtuvieron en los casos lineal y no-lineal fueron, respectivamente, los siguientes.

Caso Lineal

Trabajando a una frecuencia en la que existen tres modos propagándose (V=6), se han

representado en las Figs. 5.7 (a), 5.7 (b), 5.7 (c) y 5.7 (d) los mapas de contorno del MSE

(5.10)


119

correspondientes al modo fundamental para diferente número de armónicos (N: 10, 20, 30 y

40). Un análisis de las mismas permite hacer las siguientes consideraciones:

i) Para cualquier número de armónicos, existen ciertos valores de �x y Ox para los cuales el

error cometido con el O-MFDM es del orden de 10 dB mejor al logrado con el FDM.

ii) El punto final alcanzado por el algoritmo de optimización se encuentra siempre dentro de la

zona de mejora, con valores que oscilan entre los 7 y 10 dB. Otra característica del

algoritmo de optimización que merece ser destacada es el escaso número de pasos con que

es capaz de converger hacia el par de parámetros quasi-óptimos. Aunque como es lógico,

estos dependerán de lo bueno o malo que sea el punto de arranque, lo cierto es que, en

todos los casos analizados, los valores oscilaban siempre entre cuatro y ocho pasos.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

�x

MSE(FDM)= -57 dB -5 dB/corte

Mejora 8.8 dB

0 dB

Fig 5.7 (c): Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=30.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

�x

MSE(FDM) = -49.42 dB -5 dB/corte

Mejora: 7.1 dB

0 dB

Fig 5.7 (b): Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=20.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

�x

MSE(FDM)= -62.53 dB -5 dB/corte

Mejora: 9.6 dB

0 dB

Fig 5.7 (d): Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=40.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

�x

MSE (FDM) = -36.14 dB -5 dB/corte

0 dB

Mejora : 7 dB

Fig 5.7 (a) : Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.


120

iii) Cuando se aumenta el número de términos, los mapas de contorno pierden definición, lo

cual es lógico pues el error del FDM es cada vez menor. Sin embargo, se observa que tanto

la zona de mejora del O-MFDM como el punto final al que llega el algoritmo de

optimización permanecen prácticamente invariantes. Esta propiedad resulta de gran

importancia por doble motivo, primero porque permite confirmar la hipótesis utilizada en

la definición del algoritmo, esto es, que los parámetros óptimos son aquellos que

minimizan la varianza de la derivada segunda del campo en el dominio transformado; y

segundo, porque desde un punto de vista práctico, los parámetros quasi-óptimos de la

transformación pueden ser inicialmente determinados con un número bajo de coeficientes,

ahorrando con ello esfuerzo computacional, para luego, ejecutar el O-MFDM con dichos

parámetros quasi-óptimos y con el número de coeficientes necesario en función de la

precisión que se desee lograr.

En cuanto a los modos superiores, el comportamiento observado fue similar al que se

acaba de comentar para el modo fundamental. A modo de ejemplo se representan en la Fig.

5.8 y 5.9 los mapas de contorno del MSE y el camino seguido por el algoritmo de

optimización para los dos primeros modos superiores respectivamente. Nótese que en este

caso, la referencia (0 dB), o error cuadrático medio del FDM, es mayor, a igual número de

términos, que la correspondiente al modo fundamental. Esto parece razonable, pues al estar

trabajando a la misma frecuencia, el campo ahora se encuentra menos confinado, con lo que,

al tener que aumentar la ventana de cómputo, el error cometido empeora. Si a esto se le une la

menor sensibilidad del O-MFDM a los parámetros de la transformación, cuestión que ya fue

verificada en el capítulo anterior, el resultado observado es que la zona de mejora se ve

notablemente incrementada. Similares comentarios cabría hacer para el modo fundamental si

éste fuera analizado con una frecuencia menor que la empleada en las Figs. 5.7, tal y como se

pone de manifiesto en la Fig. 5.10, en donde se muestra el resultado obtenido a frecuencia

mitad.

La superioridad del O-MFDM frente al FDM queda claramente confirmada cuando se

analizan sus respectivas velocidades de convergencia. En la Fig. 5.11 se representa, para el

modo fundamental y a tres frecuencias de trabajo diferentes, el MSE en función del número de

armónicos con que se haya aproximado el campo en serie de Fourier. Con el fin de conocer no

sólo la mejora que, respecto al FDM, ha supuesto la utilización del algoritmo de optimización,

sino además, hasta que punto los parámetros hacia los que éste convergió se pueden


121

considerar como quasi-óptimos, se ha pintado también en dicha figura el mínimo MSE que se

hubiera podido lograr con el O-MFDM si los parámetros de la transformación hubieran sido

elegidos exactamente iguales a los óptimos. En ella se puede confirmar una característica de

los métodos espectrales con transformación de variables ya observada en el capítulo anterior,

la menor dependencia que presenta la precisión obtenida con la frecuencia de trabajo.

Asimismo, se puede concluir que el comportamiento seguido por la técnica de optimización

propuesta se sitúa siempre dentro de la zona de mejora, y que la distancia que lo separa del

punto óptimo es sustancialmente menor que la mejora final conseguida.

0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

�x

MSE(FDM) = -23dB -5 dB/corte

0 dB

Mejora 9.7 dB

Fig 5.8: Caso lineal, primer modo superior (TE1). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.

1 1.5 2 2.5-0.5

0

0.5

1

Ox

MSE(FDM)= -12 dB -5 dB/corte

�x

0 dB

5 dB

Mejora: 12 dB

Fig 5.9: Caso lineal, segundo modo superior (TE2). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.

0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

OX

�X


Mejora : 14.7 dB

0 dB

Fig. 5.10: Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=3; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.

10 20 30 40-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

MSE (dB)

N

V=1.5 ‘__ _ ’ ; V = 3 ‘_ _’; V = 6 ‘_____’

O-MFDM(mínimo)

FDM

O-MFDM+algoritmo

Fig. 5.11 Convergencia del O-MFDM versus FDM para el modo fundamental y a tres frecuencias diferentes de trabajo.


122

La buena sintonía, que como se ha podido comprobar, existe entre los mapas de contorno

del MSE y el camino seguido por el algoritmo de optimización, no fue, sin embargo, tan

evidente, cuando lo que se utilizaba como referencia eran los mapas de contorno del error

absoluto de la constante de propagación definido en la ec. (5.10). Aunque la zona de mejora

de ambos mapas se sitúa prácticamente en los mismos valores de �x y Ox, la mayor falta de

homogeneidad que presenta la constante de propagación en el interior de dicha zona a medida

que aumenta el número de términos, hace más difícil determinar si el error cometido en el

punto final se aleja mucho o poco del mínimo error alcanzable. Por ejemplo, en las Figs. 5.12

(a) y 5.12 (b) se muestran los mapas de contorno del error absoluto de la constante de

propagación del modo fundamental para los mismos datos datos de simulación utilizados en

las Figs. 5.7 (a) y 5.7 (b), las que, como se recordará, se diferenciaban únicamente en el

número de términos con se habían obtenido. Obsérvese el alto grado de correlación existente

entre las zonas de mejora que allí se obtuvieron y las que ahora resultan. Asimismo, es de

destacar que, a pesar de que la medida de error empleada ofrece una mayor sensibilidad a los

parámetros de la transformación, la mejora conseguida sigue siendo del orden de unos 10 dB.

Caso No-lineal

Si ya en el caso lineal el O-MFDM ha demostrado ser claramente superior, es en los

problemas no-lineales donde se consiguen las mayores mejoras, no sólo respecto al FDM sino

también con relación a su predecesor, el MFDM. En cuanto al FDM, una forma simple de

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

�x

Errb(FDM)= -23.21 dB -5 dB/corte

Mejora : 9 dB

0 dB

Fig. 5.12 (a): Mapa de contorno del error absoluto de la constante de propagación definido en ec. (5.10). Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.

0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ox

�x

Errb (FDM)= -30.57 dB -5 dB/corte

Mejora : 10 dB

Fig. 5.12 (b): Mapa de contorno del error absoluto de la constante de propagación definido en ec. (5.10). Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=20.


123

entender la causa de dicho incremento pudiera ser la siguiente: al ser ahora el problema

dependiente de la propia distribución que se pretende calcular, una mala estimación de la

misma conllevaría a su vez una mala definición del índice de refracción, y por consiguiente,

un problema diferente del original. En cuanto al MFDM, el desplazamiento que sufre el perfil

de campo hacia el medio no-lineal provoca una asimetría del problema que no puede ser

contemplada correctamente únicamente con el factor de escalado, como ya se puso de

manifiesto al comienzo del capítulo.

En la Fig. 5.13 se representa el mapa de contorno del MSE correspondiente al modo

fundamental en una situación fuertemente no-lineal. Además, para comprobar la robustez del

algoritmo de optimización, se ha superpuesto en dicha figura el camino descrito por éste

cuando es inicializado desde muy diversos puntos, alcanzándose, en todos los casos

simulados, la zona de mínimo error. Obsérvese, asimismo, que la mejora final conseguida es

sustancialmente superior a la del caso lineal (26 dB), y que si se hubiera empleado el MFDM

(Ox �0.5), no hubiera sido posible, en ningún caso, mejorar el resultado del FDM. Si se analiza

el error obtenido en la constante de propagación (Fig. 5.14), el reducido número de términos

empleados en la simulación, permite obtener una mapa de contorno bastante bien definido, el

cual confirma, el buen comportamiento del método en problemas no-lineales. Por último, en

la Fig.5.15 se han representado, además del analítico, los perfiles de campo obtenidos con el

FDM y con el O-MFDM en los puntos inicial y final del algoritmo de optimización. El perfil

del índice de refracción lineal ha sido también pintado sobre dicha figura para destacar la

fuerte no-linealidad de la situación analizada. Nótese que, a pesar de la muy mala

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Ox

�x

Errb = -7.468 dB -5 dB/corte

0 dB

Mejora : 17 dB

Fig. 5.14: Caso no-lineal, modo fundamental (TE0). Mapas de contorno del error absoluto de la constante de propagación (Errb). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI= 0.96. Datos numéricos: N=10.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

OX

�X


Mejora: 26 dB

0 dB

Fig. 5.13: Caso no-lineal, modo fundamental (TE0). Mapas de contorno del MSE y trayectorias seguidas por el algoritmo de optimización para diferentes valores iniciales. Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI= 0.96. Datos numéricos: N=10.


124

aproximación inicial utilizada, la

solución alcanzada es prácticamente

indistinguible de la exacta, confirmando

una vez más la validez y robustez del

método en situaciones adversas.

5.4.2.- Resultados del O-HGDM y de su Algoritmo de Optimización

Siguiendo un proceso bastante paralelo al que se acaba de presentar para el O-MFDM, el

O-HGDM y su algoritmo de optimización fueron sometidos a un conjunto de pruebas que

permitieran verificar su validez. Para ello, el slab de salto de índice con no-linealidad en el

substrato de tipo Kerr (véase la Fig. 3.10 del cap. 3) fue analizado en unas condiciones y

situaciones muy diversas, alcanzándose en todos los casos probados, un comportamiento igual

o superior que el obtenido con el HGDM. Como herramienta de apoyo, se hará uso del mismo

tipo de gráficas, esto es, de un mapa de contorno que representa el error cometido en función

de los parámetros de la transformación utilizados en la resolución del problema, sobre el que

se superpone el trayecto descrito por el algoritmo de optimización. Para identificar con

claridad la mejora conseguida, los cortes sobre dicho mapa se normalizan tomando como

referencia (0 dB) el valor obtenido con el HGDM (�x= V1/2 y Ox=0). Sin más dilación, se

describen a continuación una síntesis de los resultados más significativos.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

X

�( )X O-MFDM(�x0 = 0.4, Ox0=-0.6 )

Solución exacta O-MFDM (�x opt = 0.2, Ox opt=-0.1 )

FDM

n X2( )

Fig 5.15: Distribución de campo eléctrico del modo fundamental (TE0) obtenida con el FDM y con el O-MFDM para dos parejas de valores diferentes de los parámetros de la transformación, las correspondientes a los puntos inicial y final del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI= 0.96. Datos numéricos: N=10.


125

Caso Lineal y Simétrico

Como se recordará del capítulo anterior, la principal limitación que presentaba el HGDM

era que el escalado empleado no se adecuaba bien al perfil de campo a calcular a medida que

éste se expandía cada vez más por el substrato y/o cubierta. Para demostrar, en primer lugar, la

notable mejora que supone el permitir que el factor de escalado pueda adoptar cualquier valor,

se comparan en las Figs. 5.16 (a) y 5.16 (b) los perfiles de campo y las constantes de

propagación que resultan cuando el HGDM y el O-HGDM son utilizados, respectivamente, en

dos frecuencias de trabajo distintas. En la primera de ellas, que corresponde a una frecuencia

baja, se puede observar cómo el factor de escalado al que converge el algoritmo de

optimización consigue, con sólo cinco coeficientes (N=4), una mejora sustancial en la

solución obtenida, no sólo en la distribución espacial del modo, sino también en la constante

de propagación. En la segunda figura, que corresponde a una frecuencia más elevada y en la

que, por tanto, el campo se encuentra más confinado, se observa como la solución obtenida

con el HGDM es ya de por sí bastante buena. Sin embargo, la solución dada por el O-HGDM

continúa dando resultados superiores aunque, en este caso, las diferencias entre ambas

técnicas son menores.

Una forma de delimitar el margen de frecuencias en las que el O-HGDM es superior al

HGDM, consiste en hacer uso de la propiedad que satisface la constante de propagación y

representar el cociente entre ésta y su valor exacto, el cual será siempre inferior a la unidad.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

�(X)

Sol. Analítica ‘______’

O-HGDM (�x=0.43) ‘__ _ __’

HGDM (�x=0.866) ‘_ _ _ _’

bexacto= 0.3313

bO-HGDM= 0.3203

bHGDM= 0.2832

Fig. 5.16 (a): Caso lineal y simétrico, modo fundamental. Datos físicos normalizados: V=0.75; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X


O-HGDM (�x=1.16) ‘__ _ __’

HGDM (�x=1.41) ‘_ _ _ _’

bexacto= 0.7348

bO-HGDM= 0.7311

bHGDM= 0.7305

�( )X

Fig. 5.16 (b): Caso lineal y simétrico, modo fundamental. Datos físicos normalizados: V=2; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.


126

Tal representación ha sido realizada en la Fig.

5.17. En ella se puede comprobar que es

necesario subir hasta una frecuencia

normalizada de aproximadamente 2 ó 2.5

para que los resultados obtenidos por ambos

métodos sean prácticamente coincidentes.

Caso Lineal y Asimétrico

Una vez cuantificada la mejora conseguida por el nuevo método en lo que al factor de

escalado se refiere, el siguiente paso consiste en evaluar la importancia del otro grado de

libertad que fue introducido en su definición, el centrado u offset. Para ello, se ha considerado

una situación muy asimétrica que, tal y como se recordará, al ser las velocidades de

decaimiento en el substrato y cubierta bien diferentes, tampoco era posible analizarla

correctamente con el HGDM. En la Fig. 5.18 se ha representado el mapa de contorno del MSE

junto con el camino seguido por el algoritmo de optimización. En ella se puede observar, por

una parte, que el error cometido depende tanto del factor de escalado como del centrado,

aunque si bien es cierto que presenta una menor sensibilidad en el caso de éste último; y por

0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V

bobtenido/bexacto

O-HGDM ‘_____’ HGDM ‘__ _ __’

Fig. 5.17: Evolución del error cometido en la constante de propagación en función de la frecuencia de trabajo. Datos físicos normalizados: a=0 bI=0. Datos numéricos: N=4.

-25 -20 -15 -10 -5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sol. Analítica ‘______’

O-HGDM (�x= 0.425; Ox= -3.1) ‘__ _ __’

HGDM (�x=0.866) ‘_ _ _ _’

bexacto= 0.0393

bO-HGDM= 0.0289

bHGDM= 0.0054

�( )X

X Fig. 5.19: Perfiles de campo obtenidos en los puntos inicial (HGDM) y final del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados V=0.75; a=10; bI=0. Datos numéricos: N=15.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0

-5

-5

-10

-15

-15

-20

-20

-25

MSE (HGDM) = - 15.61 dB -5dB/corte

�x

Ox

-5

Fig. 5.18: Caso lineal y asimétrico, modo fundamental. Mapa de contorno del MSE y trayectoria del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados V=0.75; a=10; bI=0. Datos numéricos: N=15.


127

otra, que el punto final alcanzado, además de encontrarse muy cerca de la zona en la que se

logra un mejor comportamiento, consigue una mejora del MSE cercana a los 20 dB. En la Fig.

5.19 se comparan los perfiles de campo obtenidos. En ella se percibe que, aunque la mejora es

realmente apreciable, el método, como consecuencia de la propia naturaleza de las funciones

bases (las cuales decaen como e x� 2), sigue teniendo serias dificultades cuando el campo se

atenúa muy lentamente hacia el substrato.

Caso No-Lineal

Una situación que, aún estando el campo relativamente confinado, tampoco podía ser

analizada con precisión con el HGDM se producía en los problemas fuertemente no-lineales.

Para ilustrar cómo se comporta en este caso el O-HGDM, se representan en las Figs. 5.20 y

5.21 los mapas de contorno del MSE y del Errb en función de los parámetros de la

transformación empleados. Obsérvese, que la máxima mejora que se podría alcanzar en

ambos casos ronda los 20 dB, y que, en el punto de convergencia, la mejora conseguida tanto

en el campo como en la constante de propagación se encuentra comprendida entre los 15 y 20

dB. Los resultados concretos de dicho punto son detallados a su vez en la Fig. 5.22,

pudiéndose comprobar, una vez más, el buen comportamiento del método.

Otro resultado interesante de analizar consiste en representar cómo varían los parámetros

a los que converge el algoritmo de optimización a medida que se aumenta el número de

coeficientes, pues su invariabilidad sería una prueba más sobre la veracidad de la hipótesis en

la que se basa el criterio de optimización. Además, como ya se indicó en el caso del O-MFDM,

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1-1.5

-1

-0.5

0 5

0

-5

-5

-10

-10

-10 -15 -15

-15

-20

-20

-20

-20

-20

MSE (HGDM) = -21.55dB -5dB/corte

�x

Ox

Fig. 5.20 : Caso no-lineal, modo fundamental. Mapa de contorno del MSE y trayectoria seguida por el algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; a=0 ; bI=0.8. Datos numéricos : N=7.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1-1.5

-1

-0.5

0

0

-10

-10

-20

-20

20

20

-20

-20

-20

-20 -20

Errb (HGDM)= -7.44 dB -10dB/corte

Ox

�x Fig. 5.21 : Caso no-lineal, modo fundamental. Mapa de contorno del error absoluto de la constante de propagación y trayectoria seguida por el algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; a=0 ; bI=0.8. Datos numéricos : N=7.


128

si ello ocurriese, los parámetros quasi-óptimos de la transformación pueden ser inicialmente

determinados con un número bajo de coeficientes, requiriendo por lo tanto un menor tiempo, y

luego, en función de la precisión que se desee lograr, ejecutar el O-HGDM con el número de

coeficientes que sea necesario. Para ello, se muestran en la figura 5.23 cómo se sitúan sobre el

plano �x-Ox los parámetros quasi-óptimos alcanzados por el algoritmo para diferente número

de coeficientes y para diferentes frecuencias de trabajo. Nuevamente, el resultado obtenido se

corresponde con el que cabría esperar si el criterio utilizado fuera realmente cierto.

Finalmente, la superioridad del O-HGDM en problemas no-lineales queda claramente

confirmada cuando su velocidad de convergencia es comparada con la del HGDM. En las

Figs. 5.24 y 5.25 se representa cómo evoluciona el MSE a medida que el número de

coeficientes espectrales es incrementado para dos frecuencias de trabajo diferentes. Varios son

los comentarios que se pueden realizar a raíz de las mismas, a saber:

i) La velocidad de convergencia del O-HGDM es poco dependiente de la frecuencia de

trabajo, mientras que la del HGDM presenta, sin embargo, un comportamiento bastante

sensible a ésta, convergiendo tanto más rápido cuanto mayor sea la frecuencia.

ii) En baja frecuencia, el O-HGDM consigue, con sólo dos coeficientes (N=1), un MSE de -30

dB. Por su parte, el HGDM necesita nada menos que 11 coeficientes para lograr la misma

precisión.

iii) Cuando se comparan las precisiones conseguidas por ambos métodos a igual número de

coeficientes, las malas prestaciones del HGDM en frecuencias bajas son más que

evidentes, pues partiendo de una peoría inicial que ronda los 15-20 dB, tan sólo se consigue

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

�x

Ox

V=2 ; bI =0.8

V=0.75 ; bI =0.8

V=1 ; bI =0.8

Fig. 5.23: Invarianza de los parámetros quasi-óptimos de la transformación. Datos numéricos: N:2,3,...,10.

-10 -5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X


HGDM (�x=0.866) ‘_ _ _ _’

O-HGDM ‘__ _ __’

(�x= 0.55; Ox= -1.35)

�( )X

nucleo

bexacto= 0.8899

bO-HGDM= 0.8860

bHGDM= 0.7128

Fig. 5.22 : Caso no-lineal, modo fundamental. Perfiles de campo obtenidos en los puntos inicial (HGDM) y final del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; a=0 ; bI=0.8. Datos numéricos : N=7.


129

reducir a 10-15dB si el número de coeficientes es incrementado notablemente.

Modos Superiores

La estrategia de optimización propuesta para el O-HGDM fue también probada con los

modos superiores. Al igual que ocurrió con el O-MFDM, los resultados obtenidos fueron

excelentes en todos los casos analizados. A modo de ejemplo, en la Fig. 5.26 se comparan los

perfiles de campo y constantes de propagación del primer modo superior en una situación en

la que, además, existe no-linealidad en el

substrato de tipo Kerr. Los comentarios que

cabría hacer en torno a la misma son

similares a los ya realizados para el modo

fundamental. Únicamente, es de destacar,

que el mal funcionamiento que el HGDM

ofrece a la frecuencia reseñada en la figura,

se debe a que, al tratarse de un modo

superior, será necesario subir más en

frecuencia para lograr un comportamiento

aceptable.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

N

O-HGDM '____'HGDM '__ _ __'

MSE (dB)

Fig. 5.25: Convergencia del O-HGDM y del HGDM. Datos físicos normalizados : V=2 ; bI=0.8 ; a=0.

-10

N

-20

-30

-40

-50

1 3 5 7 9 11 13 15 17

MSE (dB)

O-HGDM '____' HGDM '__ _ __'

Fig. 5.24: Convergencia del O-HGDM y del HGDM. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; bI =0.8 ; a=0.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

�( )X


O-HGDM ‘__ _ __’

(�x= 1.2; Ox= -0.25)

HGDM ‘_ _ _ _’

(�x=1.58)

bexacto= 0.4041

bO-HGDM= 0.3967

bHGDM= 0.3778

núcleosubstrato

Fig. 5.26: Caso no-lineal, primer modo superior (TE1). Datos físicos normalizados: V=2.5; a=0; bI=0.4. Datos numéricos: N=5.


130

5.5.- Conclusiones

Como colofón de este importante capítulo, se resumen a continuación las principales

aportaciones realizadas a lo largo del mismo:

Se han definido dos nuevos métodos espectrales con transformación de variables, el O-

MFDM y el O-HGDM. Ambos no son más que simples extensiones del MFDM y del

HGDM, a los que se le ha introducido un nuevo grado de libertad, el centrado u offset,

con que hacer frente a situaciones asimétricas, como las que tienen lugar en problemas

fuertemente no-lineales.

La introducción de un nuevo grado de libertad complica, aún más, la determinación de los

parámetros de la transformación para los que el método espectral consigue un mejor

comportamiento. Por ello, se ha desarrollado una estrategia autoconsistente para la

determinación, a ciegas, de los parámetros óptimos de la transformación. Ésta se basa en

la minimización de la función varianza, la cual no es más que una forma de medir el

ancho de banda de los coeficientes espectrales. En el caso del O-MFDM, los mejores

resultados se obtuvieron cuando el espectro a minimizar era el de la derivada segunda del

campo en el dominio transformado; mientras que, para el O-HGDM, ocurrió lo propio

cuando se consideraron, directamente, los coeficientes espectrales del campo en el

dominio transformado.

La principal ventaja que presenta la estrategia de optimización que ha sido propuesta, en

comparación con otras que con anterioridad han sido empleadas, es que, en cada

iteración, sólo es necesario resolver una vez el problema de autovalores y autovectores, lo

cual reduce considerablemente el tiempo total de cómputo.

La aplicación de la técnica de optimización a los métodos espectrales con transformación

de variables O-MFDM y O-HGDM ha sido probada en muy diversas y variadas

situaciones, obteniéndose, en todos los casos, resultados muy satisfactorios.

Capítulo 6:

Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con

Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D

6.1.- Introducción

Aunque las guiaondas planares o slabs representan el punto de partida por excelencia para

la comprensión de los diversos fenómenos que tienen lugar en la propagación óptica a través

de estructuras dieléctricas, y por supuesto, constituyen una buena referencia sobre la que

chequear y evaluar el mejor o peor comportamiento de una determinada herramienta

numérica, que duda cabe que, el trabajo que en el ámbito del análisis modal se ha realizado y

descrito en los capítulos anteriores, quedaría incompleto si únicamente fuera aplicable a

guiaondas 2D. Por ello, el principal objetivo del sexto y último capítulo de esta primera parte

de la Tesis, no es otro que el de extender tanto el O-MFDM como el O-HGDM, así como sus

correspondientes algoritmos de optimización, a guiaondas dieléctricas 3D. De hecho, es en

este tipo de estructuras donde los métodos numéricos adquieren especial importancia;

primero, porque en la mayoría de los circuitos ópticos integrados el confinamiento de la luz se

produce en las dos direcciones del espacio, y segundo, porque, salvo contadas excepciones, las

guiaondas de canal habitualmente utilizadas en óptica integrada no son resolubles

analíticamente. En la Fig. 6.1 se muestran las configuraciones más representativas.

Existen en la bibliografía muy diversos y variados métodos para abordar el problema del

análisis modal en guiaondas 3D. Éstos pueden ser divididos en dos grandes grupos: i) los

métodos aproximados y ii) los métodos numéricos. Los primeros, en un intento por simplificar

el problema, transforman la estructura a analizar en una combinación de slabs, cuya

resolución puede ser por lo tanto realizada de forma analítica. Su principal ventaja radica en la

facilidad de implementación y ejecución, mientras que la falta de precisión constituye su

punto más débil. Entre ellos cabe destacar, por su popularidad, el método del índice efectivo.

Por su parte, los segundos, sometiendo la ecuación de ondas 3D a cualquiera de los métodos


132

numéricos de discretización más extendidos, a saber, elementos finitos, diferencias finitas,

desarrollo en serie de funciones ortogonales, o el método de la ecuación integral, permiten,

con un mayor esfuerzo de implementación y ejecución que los anteriores, calcular la

distribución del campo y la constante de propagación que la estructura soporta con la

precisión que se desee. Un resumen detallado de los pros y contras que cada uno de ellos

presenta puede ser hallado en �Chiang94�.

Por último, y antes de pasar a desarrollar los diferentes puntos de los que se compone el

capítulo, comentar que una de las razones de peso que invitaba a implementar la versión 3D

del O-MFDM y O-HGDM fue que la práctica totalidad de los métodos numéricos existentes

en la bibliografía afín disponen, cuando menos, de una versión 3D-escalar de los mismos, y,

en ocasiones, también de una versión 3D-vectorial (véanse por ejemplo �MarcuseFeb92�

�WeisshaarAgo95�).

6.2.- Los Métodos Espectrales en Guiaondas Ópticas 3D

6.2.1.- El Método de Galerkin

Desde un punto de vista conceptual, los pasos a seguir para resolver la ecuación de ondas

que gobierna la propagación de los modos en guiaondas 3D mediante el método de Galerkin

es exactamente igual al empleado en el caso 2D. Únicamente, y como consecuencia de la

ns

nf

(a) Buried

ns

nf

nc

(b) Strip

ns

nfnc

(d) Rib

ns

nf

nc

(c) Embedded strip

Fig. 6.1: Geometría y nomenclatura de varios tipos de guiaondas de canal.

Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D

133

doble dependencia transversal que ahora presentan las diferentes funciones que en ella

intervienen, es necesario superar el obstáculo matemático que supone su manipulación.

En primer lugar, es necesario definir un espacio funcional sobre el que aproximar la

distribución transversal del campo a calcular

� � �( , ) ( , ) ( , )X Y X Y F X YN k kk

N

� � ��

0

en donde las funciones base �Fk(X,Y)�N satisfacen las condiciones de completitud y

ortogonalidad sobre el dominio �o, a saber

� � � � � � �F X Y F X Y F X Y F X Y x Y dx dyk l k l k kl

o

( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , )* � ��

y donde los coeficientes que definen la aproximación son calculados a partir de la siguiente

expresión

� �kk

kX Y F X Y� � � �1

( , ), ( , )

Habitualmente, las funciones base empleadas son separables, esto es, se pueden escribir como

F X Y B X B Y m N n Nk m n x y( , ) ( ) ( ) ( , ) ; ( , )� � � �0 0

con lo que el índice 'k' puede ser calculado a partir de los índices 'm' y 'n' como

k n N mx� � � �( )1

y el desarrollo en serie descrito en (6.1) puede ser también escrito de la siguiente manera

� �( , ) ( ) ( )X Y B X B Ym

N

mn m nn

Nx y

� � ��

0 0

Es decir, que el conjunto de coeficientes espectrales admite dos representaciones diferentes

que convienen ser aclaradas, bien como un vector columna � �� k , la cual se conoce como

formulación de índice único, o bien como una matriz � ��mn , en donde el subíndice ‘m’ indica

la fila y el subíndice ‘n’ hace lo propio con la columna. La primera resulta necesaria para

plantear el sistema como un problema de autovalores y autovectores. Por su parte, la notación

matricial resulta interesante para que, una vez calculados los coeficientes, obtener la

distribución espacial del campo en el dominio de los puntos, o, simplemente, para pasar de un

dominio a otro en cualquier fase del proceso, como ocurre en los problemas no-lineales. Para

pasar de la notación vectorial a la matricial, o viceversa, sólo es necesario definir la forma en

que son colocados/leídos los respectivos coeficientes, por filas o por columnas.

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(6.4)

(6.5)

(6.6)


134

Seguidamente, si dicho desarrollo es introducido en la ecuación de ondas a resolver, la

cual, y sólo con vistas a simplificar la formulación matemática que se va a presentar, es

considerada en su versión lineal, a saber

1 12

2

2 2

2

22

V

X Y

X V

X Y

Yn X Y X Y b X Y

x y

� �

�

� �

��

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )� � � � �

se obtiene la siguiente ecuación

1 1

1 1

2

2

20

2

2

20

2

0 0V

F X Y

X V

F X Y

Yn X Y F X Y b F X Y

con N N N

xk

k

k

N

yk

k

k

N

k kk

N

k kk

N

X Y

��

��

�

��

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( ) ( )

� � � ��

�

��

�

��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

�

��

� � �

la cual, multiplicada por cada una de las funciones base que conforman el espacio funcional y

forzando la condición de ortogonalidad definida en (6.3) permite escribir finalmente el

siguiente sistema matricial de ecuaciones

� � � � � � � � � � � � � �1 12 2V

DDV

DD P bx

X ky

Y k k k� � � � � � ��

en donde las matrices � �DDX , � �DDY y � �P representan, respectivamente, las operadores

matriciales derivada segunda respecto a 'X', derivada segunda respecto a 'Y' y multiplicación

por una función. Las expresiones exactas de dichos operadores vienen dadas por

DD F X YF X Y

XdX dYXik i

k

o

� * ( , )( , )�

�

2

2�

DD F X YF X Y

YdX dYYik i

k

o

� * ( , )( , )�

�

2

2�

P n X Y F X Y F X Y dX dY

con i N y k N

ik i k

o

� � �

� �

2

0 0

( , ) ( , ) ( , )

( , ..., ) ( , ..., )

*

�

las cuales se encuentran ya en disposición de ser particularizadas a los espacios funcionales de

Fourier y Hermite-Gauss.

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)


135

6.2.2.- El Espacio Funcional de Fourier

Las exponenciales complejas de Fourier adoptan, en este caso, el siguiente aspecto

F X Y B X B Y e e KXo

KYok m n

jmK X jnK YXo Yo

Xo Yo( , ) ( ) ( ) ;� � � � � �2 2� �

donde KXo y Xo son la pulsación y periodo fundamental en la dirección X, y KYo e Yo la

pulsación y periodo fundamental en dirección Y.

En cuanto a la condición de ortogonalidad, ésta es definida como

e e dX dYXoYo si m r y n s

restoj mK X nK Y j rK X sK Y

XoYo

Xo Yo Xo Yo( ) ( )� � ��

��

0

con lo que la distribución transversal del campo eléctrico puede ser escrita como

� �( , )/

/

/

/

X Y e emnjmK X jnK Y

n N

N

m N

NXo Yo

Y

Y

X

X

� � ��

2

2

2

2

6.2.2.1.- Operadores Matriciales

Antes de obtener las expresiones que los diferentes operadores matriciales adoptan en el

espacio funcional de Fourier, es conveniente plantear las ecuaciones que permiten pasar del

índice único 'k' a los índices 'm' y 'n', y viceversa, pues, aunque el sistema matricial de

ecuaciones es planteado en función del primero, la manipulación y simplificación matemática

es más sencilla si se trabaja con los segundos. En las Fig. 6.2 se representa de el criterio que se

ha empleado.

(6.13)

(6.14)

(6.15)

-Nx/2 Nx/2-Ny/2

0

Ny/2

0

m

n

k = (n + Ny/2)·(Nx + 1) + (m + Nx/2)

m = �k mod (Nx + 1)� - Nx/2

n = �k div (Nx + 1)� - Ny/2

k (final)

k (inicial)

Fig. 6.2: Relaciones matemáticas para calcular los valores de los índices 'm' y 'n' a partir del índice único 'k' y viceversa. Las operaciones 'div' y 'mod' dan como resultado la parte entera y resto de la división entre dos números.


136

Operadores derivada segunda respecto a X y derivada segunda respecto a Y :

Descomponiendo las funciones base Fi(X,Y) y Fk(X,Y) en sus correspondientes

exponenciales complejas en las direcciones X e Y, y definiendo subíndices diferentes para

cada una de ellas, tal que

F X Y B X B Y e ei r sjrK X jsK YXo Yo( , ) ( ) ( )� � � �

F X Y B X B Y e ek m njmK X jnK YXo Yo( , ) ( ) ( )� � � �

los operadores matriciales � �DDX y � �DDY , al igual que ocurría en el caso 2D, son de fácil

deducción y dan lugar también a matrices diagonales. Sustituyendo las expresiones (6.16) y

(6.17) en las ecuaciones (6.10) y (6.11), se obtiene

DD e jmK e dX dY jmK XoYoXikj rK X sK Y

XoX Y

j mK X nK YXo ik

Xo Yo

o o

Xo Yo� � � � �

� � �

( ) ( )( ) ( )2 2

�

DD e jnK e dX dY jnK XoYoYikj rK X sK Y

YoX Y

j mK X nK YYo ik

Xo Yo

o o

Xo Yo� � � � �

� � �

( ) ( )( ) ( )2 2�

las cuales, teniendo en cuenta que los subíndices ‘m’ y ‘ n’ se relacionan con el índice único

‘k’ a partir de las expresiones matemáticas que se establecieron en la Fig. 6.2, pueden ser

finalmente escritas del modo siguiente

� � � �DD K diag diag diag

N vecesX Xo X X

Y

� � �

� � �

2

1

.... ...

� � � �DD K diag diag diag diag

N veces

Y Yo N N

Y

Y Y� � �

� � �

�2

2 0 2

1

/ /.... ...

� �diag diag N N N NX X X X X� � � � � � �( / ) ( / ) ... ( ) ... ( / ) ( / )2 2 1 1 0 1 2 1 22 2 2 2 2 2

� �diag diag N N

N veces

N Y Y

X

y� � � �

� � �

/ ( / ) ... ( / )22 22 2

1

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6.20)

(6.21)

(6.22)

(6.23)


137

Operador producto:

Si sobre la ecuación (6.12) que define el operador producto, las funciones base Fi y Fk

son sustituidas por la descomposición hecha en (6.16) y (6.17), y además, el índice de

refracción es desarrollado en serie de Fourier, la expresión de partida queda transformada en

la siguiente

P n X Y e e dX dY

n X Y e e dX dY

n e e e e dX dY

n e e dX dY n

ikj rK X sK Y j mK X nK Y

XoYo

j m r K X j n s K Y

XoYo

pqjpK X jqK Y

qp

j m r K X j n s K Y

XoYo

pqj m r p K X j n s q K Y

XoYoqr m s

Xo Yo Xo Yo

Xo Yo

Xo Yo Xo Yo

Xo Yo

� � � �

� � � �

� � ��

��

�

��

� � ��

��

�

��

� � �

� �

� �

� � � ��

��

�

2

2

( , )

( , )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ), �� n

p

XoYo

en donde, al igual que antes, los valores concretos que adoptan los subíndices (r,s) y (m,n) son

determinados a partir de las ecuaciones que los relacionan respectivamente con los índices

únicos ‘i’ y ‘ k’. Obsérvese que la ecuación (6.24), como cabía esperar, no es más que la

convolución bidimensional entre los coeficientes espectrales del índice de refracción y los

coeficientes espectrales del campo eléctrico.

6.2.2.2.- Consideraciones de Tipo Numérico

Una de las ventajas que fueron resaltadas del espacio funcional de Fourier en el caso 2D

fue la posibilidad de realizar la transformada directa e inversa de una manera rápida y

eficiente gracias la utilización de la FFT. En el caso 3D, dicho algoritmo, el cual, como se

recordará se define sobre un vector de muestras, se puede seguir utilizando sin más que definir

la FFT de una matriz. Para ello, supóngase que se desean calcular los coeficientes del

desarrollo en serie de Fourier del perfil del índice de refracción. Haciendo uso de la propiedad

de ortogonalidad y realizando una integración aproximada por prismas de sección rectangular,

se llega a la siguiente expresión

(6.24)


138

nXoYo

n X Y e e dX dY

N x N yn r x s y e e x y

N Nn r x s y e e

mnjmK X jnK Y

XoYo

X Y

jmN x

r x jnN y

s y

s

N

r

N

X Y

jmN

r jnN

s

s

N

r

N

Xo Yo

X YYX

X YYX

� � � �

��

� � � �

� � �

� �

� �

�

�

�

�

� � � �

�

�

�

�

��

��

1

1

1

2

22 2

0

1

0

1

22 2

0

1

0

1

( , )

( ) ( )( , )

( , )

� ��

� �

��

��

� �

� �

la cual no es más que aplicar la DFT-bimensional a la matriz resultante de muestrear el índice

de refracción en los puntos de integración.

Ahora bien, si dicho doble sumatorio es escrito de la forma

nN N

n r s e emnX Y

jsYo

n

s

N

r

N jrXo

mYX

� ��

�

��

�

�

��

�

�

�

�

� ��

1 22

0

1

0

1 2

( , )

� �

se observa que el cálculo de la DFT de una matriz puede ser descompuesto en dos operaciones

cuyo orden de aplicación es intercambiable. Primero se halla la DFT por columnas, y al

resultado obtenido se le aplica la DFT por filas. Evidentemente, si el número de puntos de

muestreo empleado en cada una de las direcciones transversales es una potencia de 2, la

utilización de la FFT permite reducir el tiempo de cálculo en factor de NXNY/log2(NXNY).

Nótese, la importancia que en el caso 3D tiene el poder disminuir el número total de

operaciones pues, si en el caso 2D la matriz del sistema crecía con N2 ahora lo hace como

(NXNY)2.

6.2.3.- El Espacio Funcional de Hermite-Gauss

La aplicación del método de descomposición de Hermite-Gauss (HGDM) a estructuras

dieléctricas en las que el índice de refracción varía transversalmente en las dos direcciones del

espacio, pasa por aproximar el campo eléctrico en el espacio funcional definido por el

conjunto de funciones base siguiente

F X Y B X B Ye H V X

m

e H V Y

n

con m N y n N

k m n

V X

m x

m

V Y

n y

n

x y

xy

( , ) ( ) ( )( )

!

( )

!( , ..., ) ( , ..., )

/ /� � �

�

��

�

��

��

�

��

��

�

��

22

2

1 2

2

1 22 20 0

� �

(6.25)

(6.26)

(6.27)


139

en donde se puede comprobar que en las direcciones X e Y el escalado empleado es el mismo

que el del caso 2D, es decir, la raíz cuadrada de la frecuencia normalizada (Vx1/2 y Vy

1/2).

6.2.3.1.- Operadores Matriciales

Dado que los índices ‘m’ y ‘ n’ sobre los que corren las funciones base varían entre

márgenes diferentes a los que lo hacían las exponenciales complejas de Fourier, es necesario

definir cuáles son las relaciones matemáticas que indican cómo pasar de éstos al índice único

‘k’ y viceversa. Tales relaciones son las siguientes:

k n N mx� � � �( )1

para pasar de los índices ‘m’ y ‘ n’ al índice único ‘k’ y

m k N

n k div Nx

x

� �

� �

mod ( )

( )

1

1

para realizar la operación inversa.

Operadores derivada segunda respecto a X y derivada segunda respecto a Y:

Haciendo uso de las mismas relaciones matemáticas que fueron empleadas para deducir el

operador derivada segunda cuando la función a aproximar dependía de una única variable

(ecs. (3.62) y (3.63)) es posible obtener los diferentes elementos que conforman tanto la

matriz que realiza la operación derivada segunda respecto a X como la que realiza la

operación derivada segunda respecto a Y. Comenzando por la primera de ellas, el resultado

obtenido, junto con el desarrollo previo necesario para su consecución, es el siguiente

� �

DD F X YF X Y

XdX dY B X B Y

B X B Y

XdX dY

B X B Y X B X m B X B Y dX dY

X B B B B dX dY m B B

X ik

r sm n

r s m m n

r s m n r s

ik� � � � �

��

� � � � � � � � �

� � � � � � � �

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

* ( , )( , )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

�

�

�

�2 2

2

2

2 1

2 1 � � �

� � ��

�

�

��

�

�

��

� � � � � � � � � � � � � � � �

� �

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

� �

B B dX dY

X B B dX B B dY m

m m m m m m

m m

m n

r m s n ik

r m sn rm sn r m sn ik

2

2 2

2 1

1

21 2

1

22 1

1

21 2 1

1

21

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )(

, ,

�

� � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� �

� �

21

22 1

1

21 2 1

1

21 2

1

22 1

1

21

2 2

2 2

) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

, ,

, ,

� � � �

� � �

i k ik i k ik

i k ik i k

m m m m

m m m m m

(6.28)

(6.29)

(6.30)


140

donde el valor del subíndice ‘m’ se determina a partir de la ecuación (6.29) que lo relaciona

con el índice único ‘k’.

Por su parte, el operador derivada segunda respecto a Y es deducido de una manera

completamente equivalente al anterior, por lo que, simplificando los pasos menos

significativos, se concluye que éste viene dado por

DD F X YF X Y

YdX dY B X B Y

B X B Y

YdX dY

n n n n n n

n n

Y ik

r sm n

r m s n rm sn r m s n ik

ik� � � � �

�

�

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � �

��

�

��

�

��

�

��

�

� �

*

, , , ,

( , )( , )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )(

�

�

�

�

� � � � � � �

2 2

2 21

21 2

1

22 1

1

21 2 1

1

21 2

1

22 1

1

21 2 1

1

21 2

1

22 1

1

21

2 1 2 1

2 1 2 1

) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � �

i k N ik i k N ik

i k N ik i k N

x x

x x

n n n n

n n n n n

en donde, de forma similar a como ocurría en la expresión (6.30) con el subíndice ‘m’, el

subíndice ‘n’ se calcula a partir de la ecuación que lo relaciona con el índice único ‘k’.

Analizando las expresiones obtenidas (6.30) y (6.31) se puede comprobar que ambas dan

lugar a matrices tridiagonales. En la primera, las diagonales superior e inferior se encuentran

separadas de la diagonal principal en dos términos, mientras que en la segunda, la distancia de

separación es igual a dos veces el número total de funciones base que se hayan seleccionado

en dirección X. Esta propiedad no debe resultar extraña pues fue ya constatada en el caso

unidimensional.

Operador producto:

Uno de los inconvenientes con que se enfrentaba el HGDM, en comparación con el FDM,

era que el producto entre dos funciones base no generaba otra función perteneciente al mismo

espacio funcional, por lo que los diferentes elementos que formaban la matriz producto debían

ser calculados uno a uno resolviendo la integral de cruce correspondiente, la cual, y salvo

excepciones, sólo podía ser resuelta de forma numérica. Evidentemente, en el caso de

estructuras 3D, dicha pega será aún más grave dado el mayor tamaño que ahora tiene la matriz

del sistema. La expresión del elemento situado en la fila 'i' y columna 'k' viene dada por

(6.31)


141

P n X Y F X Y F X Y dX dY

n X Y B X B Y B X B Y dX dY

con m N n N

r N s N

ik i k

r s m n

x y

x y

� � � �

� � � � �

� �

� �

�

�

�

�

2

2

0 0

0 0

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ,..., ); ( ,..., )

( ,..., ); ( ,..., )

*

en donde, nuevamente, los índice únicos 'i ' y 'k' son calculados, respectivamente, a partir de la

combinación de los índices (r,s) y (m,n) en las direcciones transversales.

Por último, resaltar una vez más el otro aspecto desfavorable del espacio funcional de

Hermite-Gauss y que lo pone en clara desventaja con el de Fourier, y que no es otro que la

ausencia de un algoritmo para poder pasar, de manera rápida, del dominio de los puntos al de

los coeficientes o viceversa, indistintamente.

6.3.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables en

Guiaondas Ópticas 3D

El análisis modal de estructuras dieléctricas 3D mediante métodos espectrales con

transformación de variables conlleva la aplicación de los mismos pasos que los que se

comentaron en una situación 2D. Esto es, i) la definición de un cambio de variable mediante

el cual, la ecuación de ondas original es transformada en otra definida sobre unos nuevos ejes

y ii) la discretización de esta última mediante cualquiera de los métodos clásicos de

resolución. Por ello, las únicas diferencias que se van a generar en la versión 3D de los

mismos se encuentran en el conjunto de ecuaciones que los constituyen, las cuales, como es

lógico, deberán contemplar el incremento que se ha producido en la dimensión del problema.

Ecuación de ondas 3D en el dominio transformado

El punto de partida es la ecuación de ondas a resolver, la cual, nuevamente por

simplicidad, es considerada en su versión lineal

1 12

2

2 2

2

22

V

X Y

X V

X Y

Yn X Y X Y b X Y

x y

� �

�

� �

��

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )� � � � �

(6.32)

(6.33)


142

Se definen a continuación dos cambios de variables independientes que actúan sobre cada

una de las coordenadas transversales

U f X� ( )

V g Y� ( )

y cuya aplicación sobre la ecuación de ondas original (6.33) conduce a la siguiente ecuación

de ondas definida ahora sobre los ejes transformados (U,V)

1 12 1

2

2 2 2 1

2

2 2

2

Vf U

U V

Uf U

U V

U Vg V

U V

Vg V

U V

V

n U V U V b U V

x y( )

( , )( )

( , )( )

( , )( )

( , )

( , ) ( , ) ( , )

� � ��

��

�

��

�

��

�

��

� � � �

� �

�

��

�

� �

�

��

�

� �

Los dos términos comprendidos entre paréntesis surgen como consecuencia de aplicar la

regla de la cadena sobre cada una las derivadas segundas del campo respecto de las dos

coordenadas transversales, X e Y respectivamente, por lo que las funciones f1(U), f2(U), g1(V) y

g2(V) que en ella figuran vendrán definidas como

f UU

X1

2

( ) ��

��

�

� f U

U

X2

2

2( ) ��

�

g VV

Y1

2( ) � �

��

��

�

� g V

V

Y2

2

2( ) �

�

�

El O-MFDM y el O-HGDM

El O-MFDM se caracteriza por utilizar las siguientes transformaciones de variables

U tanX Ox

x�

��

��

�

��2 1

� V tan

Y Oy

y�

��

��

�

��

�2 1�

las cuales convierten el plano infinito original en una superficie cuadrada de área finita y de

dimensiones �-1,1� x �-1,1�.

Por su parte, el O-HGDM emplea las transformaciones siguientes

� �U X Ox x� � � � �V Y Oy y� � �

En ambos casos, tanto los factores de escalado (x,y) como los centrados (Ox,Oy)

mantienen, sobre sus correspondientes ejes, los mismos significados que tenían cuando sólo

(6.34)

(6.35)

(6.36)

(6.37)

(6.38)

(6.39)

(6.40)


143

existía una dimensión transversal, por lo que, cabría realizar idénticos comentarios a los que

allí se hicieron acerca del efecto que cada uno de ellos produce sobre el perfil del campo en el

dominio transformado.

Finalmente, la resolución de la ecuación de ondas que, en cada caso, se obtiene en el

dominio transformado es acometida, respectivamente, en los espacios funcionales de Fourier y

Hermite-Gauss, siendo, por consiguiente, aplicables los operadores matriciales que se

dedujeron en el apartado 6.2. Destacar, únicamente, que en el caso del O-HGDM habrá que

eliminar el escalado que allí se realizó (Vx1/2 sobre Bm(X) y Vy

1/2 sobre Bn(Y)), pues éste ya ha

sido contemplado implícitamente en la definición de las transformaciones.

6.4.- Estrategia de Optimización

Si ya en guiaondas planares se pudo comprobar la importancia que tenía el disponer de

herramientas numéricas capaces de determinar, a ciegas, cuáles eran los parámetros de las

transformaciones que hacían comportarse a los métodos espectrales con transformación de

variables de manera quasi-óptima, que duda cabe que, en guiaondas 3D, en donde la precisión

obtenida dependerá de la correcta elección de cuatro parámetros (x,Ox,y,Oy), el

conocimiento y aplicación de tales herramientas se convierte en un aspecto imprescindible.

La única dificultad que supuso la extensión de la estrategia de optimización que se diseñó

en el capítulo anterior al caso 3D, fue el encontrar cuál sería la función que debiera ser

minimizada, pues el resto de pasos que constituyen el algoritmo de optimización son

completamente similares a los explicados en el apartado 5.3.2., por lo que no se volverán a

comentar.

Las funciones que mejor resultado dieron son bastante similares a las empleadas en el

caso 2D. En concreto, para el O-HGDM se siguió utilizando la varianza del espectro

normalizado, la cual, al tratarse de un espectro bidimensional, es definida como

� ��

� �Var O O

m n O O

O O

x x y ym

mn x x y yn

mmn x x y y

m

�

�

, , ,

, , ,

, , ,

�

� ��

� �

2 2 2

2

(6.41)


144

Por su parte, para el O-MFDM se observó que el algoritmo convergía a las mejores zonas

cuando se minimizaba el espectro de la derivada cuarta del campo en el dominio

transformado, dos veces con respecto a U y dos veces con respecto a V. Es decir, que si

�(X ,Y) es la distribución del campo en el dominio original y �(U,V,x,Ox,y,Oy) su imagen en

el dominio transformado, los coeficientes espectrales cuya varianza debe ser minimizada son

los de la función �2�

2�/�U2

�V2. Éstos pueden ser fácilmente calculados una vez que se

conozcan los coeficientes �mn que determinan la distribución espacial del campo en el dominio

transformado. Para ello, escribiendo primero el desarrollo en serie de Fourier bidimensional

de la función �(U,V,x,Ox,y,Oy)

� �

� �

( , , , , , ) ( , , , )U V O O O O e ex x y ym

mn x x y y

jmU

U jnV

V

m

o o� � ��

�

��

�

�

��

2 2

y derivando dos veces con respecto a ‘U’ y dos veces con respecto a ‘V’, se obtiene el

desarrollo en serie de Fourier de la función buscada

� � � ��

�

� � � �

��

� �

� �

2

2

2

22 2 2 2

2 2

V

U O O

Um n O O e e

x x y y

mUo Vo mn x x y y

jmU

U jnU

V

n

o o( , , , , )

( , , , )

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

y con ello, la distribución de coeficientes espectrales cuya varianza se pretende minimizar.

De este modo, y una vez simplificada, la expresión que fue finalmente utilizada en el

proceso de optimización del O-MFDM viene dada por

� ��

� �Var O O

m n O O

m n O O

x x y ym

mn x x y yn

mmn x x y y

m

�

�

, , ,

, , ,

, , ,

�

� �

� �

� �

� �

6 6 2

4 4 2

(6.42)

(6.43)

(6.44)


145

6.5.- Resultados en Guiaondas 3D Lineales

6.5.1.- Descripción de las Guiaondas Analizadas

Uno de los handicaps que hubo que superar para evaluar el comportamiento de los

métodos espectrales con transformación de variables y de sus respectivas estrategias de

optimización, era la selección de las guiaondas sobre las que se realizarían las pertinentes

pruebas. Evidentemente, y a fin de poder cuantificar las resultados que se obtuvieran, éstas

debieran poseer solución analítica. Como ya se comentó en la introducción del capítulo, tal

propiedad no es satisfecha por la práctica totalidad de las guiaondas 3D usadas en óptica

integrada. Sin embargo, una situación interesante, aún a sabiendas de que su realizabilidad

pudiera carecer de sentido, tiene lugar cuando sobre la ecuación de ondas se puede aplicar el

método de separación de variables. Éste puede ser enunciado de la forma siguiente:

Si el perfil del índice de refracción n X Y2 ( , ) es obtenido a partir de la suma de dos slabs

en cada una de las direcciones transversales del problema, a saber

n X Y n X n Yx y2 2 2

( , ) ( ) ( )� �

se puede demostrar que la distribución espacial del campo eléctrico y la constante de

propagación que dicha estructura soporta a las frecuencias Vx y Vy son separables, pudiéndose

escribir que

� � �( , ) ( ) ( )X Y X Yx y� �

b b bx y� �

donde �x(X), �y(Y), bx y by representan las correspondientes distribuciones de campo y

constantes de propagación que cada uno de los mencionados slabs trabajando a las frecuencias

respectivas de Vx y Vy soportan. Éstos pueden ser más fácilmente calculados resolviendo las

ecuaciones modales que gobiernan la propagación por cada uno de los slabs, y que vienen

dadas por

12

2

22

V

d X

dXn X X b X

x

xx x x x� � � � �

��

( )( ) ( ) ( )

12

2

22

V

d Y

dYn Y Y b Y

y

yy y y y� � � � �

��

( )( ) ( ) ( )

Es decir, que la guiaonda 3D bajo estudio dispondrá de solución exacta siempre y cuando los

perfiles de los slabs que a su vez la definen, n Xx2 ( ) y n Yy

2( ) , sean resolubles analíticamente.

6.45

6.46

6.47

6.48

6.49


146

Obsérvese que, como consecuencia del proceso de cálculo, la constante de propagación

resultante se encontrará comprendida entre los siguientes valores: 0<b<2. Tal consideración

no debe conducir a error pues si se recuerda la definición de la constante de propagación

normalizada hecha en el capítulo segundo, ésta dependía del valor máximo que el índice de

refracción tuviera en la guiaonda, por lo que, al obtenerse en función de bx y de by, cada uno

de los sumandos se encontrará normalizado a los valores máximos de nx X2( ) y de ny Y2

( ) , y

no al valor con que realmente se debería haber hecho.

Con el fin de llevar a cabo la prueba de los algoritmos de optimización correspondientes

de la manera más controlada posible, se decidió emplear dos guiaondas diferentes que se

denominarán de aquí en adelante guiaonda lineal simétrica y guiaonda lineal asimétrica. La

primera es el resultado de sumar dos slabs de salto de índice, mientras que en la segunda se

hace lo propio con perfiles de tipo exponencial. El aspecto que presentan los índices de

refracción resultantes es mostrado en las Figs. 6.3 y 6.4. La razón de emplear tales

combinaciones se debe a que, además de haber sido individualmente analizadas en capítulos

precedentes y disponer de sus soluciones exactas �ChelkowskiSep87��MihalacheDic91� , en el

primer caso el problema queda reducido a una optimización de dos variables (�x y �y), ya que

la simetría que la estructura presenta permite descartar, de entrada, la necesidad de los

descentramientos (Ox y Oy). Por su parte, la guiaonda lineal asimétrica obliga, por su propia

naturaleza, a emplear todos los grados de libertad posibles, lo que permite probar, en una

segunda fase, los criterios de optimización planteados en la situación más desfavorable.

−5

−1 0 1

5

−5

−10

1

50

0.5

1

1.5

2

XY Fig. 6.4: Indice de refracción de la guiaonda lineal asimétrica

−5

−1 0 1

5

−5

−10

1

50

0.5

1

1.5

2

XY Fig. 6.3: Indice de refracción de la guiaonda lineal simétrica


147

Por último, y antes de pasar a mostrar los resultados que se obtuvieron respectivamente

con el O-MFDM y O-HGDM, decir que se ha hecho uso del mismo tipo de representación

gráfica para determinar cuánto de bueno resultaba ser el criterio de optimización, esto es, en

primer lugar se calcula un mapa de contorno que represente el error cometido para diferentes

valores de los parámetros de la transformación, destacándose, sobre el mismo, los márgenes

de funcionamiento en los cuales el método espectral con transformación de variables ofrece

un comportamiento superior al método espectral sin transformación y, en segundo lugar, se

superpone a dicho mapa el camino seguido por el algoritmo de optimización, para poder así

cuantificar si el punto final alcanzado se sitúa en la zona de máxima mejora. Como medida

del error cometido se utilizaron los mismos parámetros que en el capítulo anterior, el error

cuadrático medio para la distribución espacial de campo eléctrico y el error absoluto para la

constante de propagación. Únicamente será necesario modificar ligeramente la expresión del

primero de ellos, dada la doble variabilidad del campo en el plano transversal. Así, la

expresión a evaluar deberá ser la siguiente

� �MSE dBXoYo

X Y X Y dX dYa

YoXo

( ) log ( , ) ( , )� � ��

�

�� 10

110

2� �

donde �a(X,Y) representa la solución analítica y �(X,Y) la distribución de campo obtenida con

el método espectral que pretenda ser evaluado. Las dimensiones de la ventana de integración

(Xo,Yo) fueron seleccionadas siguiendo los mismos criterios que en el caso 2D.

6.5.2.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-MFDM

En las Figs. 6.5, 6.6, 6.7 y 6.8 se muestran algunos de los resultados más significativos

obtenidos en la guiaonda lineal simétrica. Las dos primeras pertenecen al modo fundamental

operando a dos frecuencias de trabajo diferentes, baja y alta respectivamente; mientras que las

dos segundas se corresponden con dos modos superiores, el TE10 y el TE11 respectivamente.

En todas ellas, se puede apreciar claramente que el algoritmo de optimización consigue

converger a las zonas en las que el O-MFDM es netamente superior al FDM, consiguiéndose,

en todos los casos, mejoras en el MSE de 15-20 dB. Por lo demás, los comentarios que cabría

realizar sobre las mismas son similares a los que en su momento se hicieron en el caso 2D.

Por ejemplo, el hecho de aumentar la frecuencia de funcionamiento hace que el FDM pueda

trabajar con ventanas de computación más pequeñas, y por tanto, disminuir el error que éste

comete. Además, al confinarse el campo, los valores quasi-óptimos de las transformaciones se

6.50


148

hacen más pequeños, disminuyendo, notablemente, el tamaño de la zona de mejora. Sin

embargo, la mejora obtenida se mantiene en valores más que razonables. Nótese, asimismo,

que el mapa de contorno del modo TE10 rompe la simetría observada en los anteriores como

consecuencia de que la distribución de campo calculada no es simétrica.

1 2 3 4 5 6

0 dB

MSE(FDM)= -17.94 dB

�x

1

2

3

4

5

6

�y

-5 dB

-10 dB

-15 dB

Fig.6.8: Guiaonda lineal simétrica, modo superior (TE11). Datos físicos normalizados: Vx=2.5; Vy=2.5. Datos numéricos: Nx=8 ;Ny=8.

1.

2

MSE(FDM): -14.199 dB

�x6 10 14 18 22

2

6

10

14

18

22

�y

0 dB

-5 dB

-10 dB

-15 dB

Fig.6.5: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=0.5 ; Vy=0.5. Datos numéricos: Nx=4 ;Ny=4.

0.4 0.8

0 dB

- 5 dB

-15 dB

MSE(FDM)= -17.268 dB

�x

1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

-10 dB�y

Fig.6.6: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=1.5 ; Vy=1.5. Datos numéricos: Nx=4 ;Ny=4.

1 2

0 dB -5 dB

-10 dB

-15 dB

MSE(FDM) = -16.43 dB

�x3 4 5 6

1

2

�y

3

4

5

6

Fig.6.7: Guiaonda lineal simétrica, modo superior (TE10). Datos físicos normalizados : Vx=2.5; Vy=2. Datos numéricos: Nx=6 ;Ny=6.


149

Otra característica que también había sido constatada en el caso 2D fue la invarianza de los

parámetros óptimos de las transformaciones al número de términos con que eran truncados los

desarrollos en serie. Tal propiedad, además de confirmar la hipótesis empleada en el criterio

de optimización, permite plantear como

estrategia de actuación para disminuir el tiempo

de cómputo, ejecutar primero el algoritmo de

optimización con un número de términos

reducido, para luego, en función de la precisión

que se desee lograr, ejecutar el O-MFDM con el

número de términos que sea necesario. En la

Fig. 6.9 se muestran, para el modo fundamental

y a las frecuencias normalizadas indicadas en el

pie de la misma, cómo varían, con el número de

coeficientes empleados, los factores de escalado

a los que el algoritmo convergió. En ella se

puede confirmar que dicha invarianza es

también satisfecha con el criterio que se ha

propuesto para guiaondas 3D.

En cuanto a la guiaonda lineal asimétrica, los resultados obtenidos fueron también, en

todos los casos probados, muy satisfactorios. La dependencia del MSE con las cuatro

variables que ahora entran en juego (�x,�y,Ox,Oy) imposibilita el utilizar, como herramienta de

verificación, el tipo de representación empleada hasta ahora. Sin embargo, si en el punto

alcanzado por el algoritmo se fijan dos de las variables y se realizan variaciones sobre las

otras dos, sería posible determinar si dicho punto resulta ser el óptimo. Por ejemplo, a las

frecuencias de Vx=2 y Vy=2 el algoritmo de optimización fue ejecutado tomando como punto

de partida el dado por los siguientes parámetros: �xo=4,�yo=4,Oxo=0 y Oyo=0. Los diversos

puntos por los que se fue moviendo se muestran en la siguiente tabla:

�x �y Ox Oy

Punto 0 (inicial) 4 4 0 0

Punto 1 2 2 -0.30 -0.3

Punto 2 1.6 1.6 -0.66 -0.66

Punto 3 (final) 1.2 1.2 -0.3 -0.3

4 6 8 10 12 14 16 180

2

4

6

8

10

12

Nx , Ny

�x

�y

Fig. 6.9: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00): Evolución de �x y de �y en función del número de términos. Datos físicos normalizados: Vx=0.5 ; Vy=0.5.


150

Seguidamente, se calcularon los errores cometidos con el O-MFDM cuando los factores de

escalado eran fijados a los valores finales del proceso de optimización (�xopt=1.2,�yopt=1.2) y

los centrados eran variados en el entorno de dichos valores (Oxopt=-0.3,Oyopt=-0.3), e

igualmente, cuando se fijaban éstos últimos y se variaban los primeros. Los resultados

obtenidos son los mapas de contorno representados en las Figs. 6.10 y 6.11. En ellas se ha

destacado también la posición del punto al que se convergió y la mejora que respecto del

FDM se obtuvo. Un análisis de las mismas permite afirmar que el algoritmo de optimización

se ha dirigido hacia las zonas de mínimo error, lo que confirma, una vez más, la superioridad

y buen comportamiento que el O-MFDM presenta cuando es usado conjuntamente con la

estrategia de optimización.

6.5.3.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-HGDM

Al igual que ocurrió con el O-MFDM, el algoritmo de optimización propuesto para el O-

HGDM dotó al mismo de la herramienta de trabajo deseable para cualquier método numérico

que se preste de ser utilizado, esto es, aquella que garantiza su autoconsistencia. En todos los

casos analizados, se observó un alto grado de correlación entre los parámetros numéricos a los

que el algoritmo convergió y las zonas en las que el O-HGDM se comportaba mejor.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

0 dB

MSE(FDM)= -26.2 dB

Ox

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Oy

-5 dB

-10 dB

-15 dB

punto final -18 dB

Fig.6.10: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=2; Vy=2. Datos numéricos: Nx=8; Ny=8; �x=1.2; �y=1.2.

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4- 5 dB

MSE(FDM) = -26.2 dB

�x0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

�y -20 dB

-15 dB

-10 dB

punto final-18 dB

Fig.6.11: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=2; Vy=2. Datos numéricos: Nx=8; Ny=8; Ox=-0.3; Oy=-0.3.


151

Asimismo, se pudo confirmar el hecho ya demostrado en el caso 2D que el factor de escalado

utilizado por el HGDM (�x=Vx1/2) resulta ser poco eficiente en frecuencias de trabajo cercanas

al corte. Para mostrar el buen funcionamiento ofrecido por el algoritmo de optimización se

exponen a continuación algunos de los resultados obtenidos en la guiaonda lineal simétrica y

asimétrica respectivamente, dejando, para el siguiente apartado, un análisis comparativo más

detallado sobre las precisiones logradas por el HGDM y O-HGDM.

Comenzando por la guiaonda lineal simétrica, se representan en las Figs. 6.12 y 6.13 los

resultados correspondientes al modo fundamental y primer modo superior, comprobándose,

claramente en ambas, la veracidad de la afirmación realizada en el párrafo anterior. En cuanto

a la guiaonda lineal asimétrica, en las Figs. 6.14 y 6.15 se comparan, respectivamente, las

distribuciones espaciales de campo eléctrico obtenidas con el HGDM y con el O-HGDM, éste

último para los factores de escalado y centrados resultantes de aplicar el proceso de

optimización. Para corroborar que los parámetros usados por el O-HGDM son mejores que los

del HGDM, el mapa de contorno de la solución exacta ha sido superpuesto al de la solución

obtenida con el O-HGDM. Contrastando las Figs. 6.14 (b) y 6.15 (b) resulta evidente la

superioridad de la nueva versión del método de descomposición de Hermite-Gauss que se he

propuesto en esta Tesis. Nótese que, al igual que ocurría en el caso 2D, el mal funcionamiento

del HGDM se produce, fundamentalmente, como consecuencia de una mayor velocidad de

decaimiento en la zona de campo evanescente.

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5MSE(HGDM)= -27.5 dB

�y

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5�x

0 dB-5 dB

-10 dB

Fig.6.13: Caso lineal simétrica, modo superior (TE10). Datos físicos normalizados : Vx=2; Vy=1.75. Datos numéricos: Nx=6; Ny=6.

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.10 dB

MSE(HGDM)= -29 dB

�y

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1�x

-5 dB

-10 dB

Fig.6.12: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=1; Vy=1. Datos numéricos: Nx=4; Ny=4.


152

6.5.4.- Comparación entre los Diferentes Métodos Espectrales Estudiados

Una vez visto el buen comportamiento que han mostrado tener las estrategias de

optimización propuestas para los métodos espectrales con transformación de variables, la

prueba más concluyente que permite validar, definitivamente, la superioridad de las nuevas

herramientas numéricas, consiste en cuantificar cómo disminuye el error cometido en el

(a)

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X bobt=0.26661 bexac=0.27840

Modo fundamental (O−HGDM). Nx=6, Ny=6, Vx=1.00, Vy=1.00

Y

(b)

-10 -8X

Y

108-4-6 4 60 2-2-10

-8

10

8

-4

-6

4

6

0

2

-2

�x= 0.4; Ox= -0.8;�y= 0.4; Oy= -0.8;

Fig 6.15: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00): (a) distribución espacial de campo obtenida con el O-HGDM y (b) superposición de los mapas de contorno exacto y aproximado. Datos físicos normalizados: Vx=1; Vy=1. Datos numéricos: Nx=6; Ny=6.

(a)

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

bobtenido

=0.1821

Modo fundamental (HGDM). Nx=6, Ny=6, Vx=1.00, Vy=1.00

(b)

-10X

Y

-8 -6 -4 10864-2 0 2

-10

-8

-6

-4

10

8

6

4

-2

0

2

�x= 1; Ox= 0;�y= 1; Oy= 0;

Fig 6.14: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00): (a) distribución espacial de campo obtenida con el HGDM y (b) mapa de contorno. Datos físicos normalizados: Vx=1; Vy=1. Datos numéricos: Nx=6; Ny=6.


153

campo eléctrico y en la constante de propagación a medida que se aumenta el número de

coeficientes empleados en la discretización. Dicha información deberá ir acompañada, como

es lógico, por los tiempos de cálculo requeridos, con el fin de evitar posibles interpretaciones

o conclusiones erróneas. Como quiera que ambos espacios funcionales han demostrado tener

una precisión sensible a la frecuencia de trabajo, dicho aspecto deberá también ser tenido en

cuenta en el análisis. Además, en lo que va de Tesis, aún no se han comparado entre sí los

espacios funcionales de Fourier y Hermite-Gauss, por lo que se aprovechará el presente

apartado para contrastar las precisiones logradas por cada uno de ellos. La guiaonda que se ha

utilizado para realizar el estudio ha sido la guiaonda lineal asimétrica, porque, como ya se ha

comentado, representa, en lo que al número de grados de libertad se refiere, la situación más

compleja con que se tengan que enfrentar los métodos espectrales con transformación de

variables.

En las Figs. 6.16(a) y 6.16(b) se representan, respectivamente, el error cuadrático medio

cometido en la distribución espacial de campo eléctrico y el error relativo de la constante de

propagación normalizada (20 logb b ba a�

), en función del número de coeficientes

empleados en cada uno de las direcciones transversales del espacio y para los cuatro métodos

espectrales que han sido objeto de estudio a lo largo de la Tesis, FDM, O-MFDM, HGDM y

O-HGDM. Ambas figuras han sido obtenidas cuando las frecuencias normalizadas de trabajo

son bajas (Vx=2; Vy=2). Por su parte, en las Figs. 6.17(a) y 6.17(b) se contempla el mismo tipo

de resultados pero para una frecuencia de operación mayor (Vx=4; Vy=4). Un análisis de todas

ellas permite extraer la siguientes conclusiones:

De todos los métodos espectrales, el FDM es el que presenta, con diferencia, el peor

comportamiento.

A medida que se aumenta la frecuencia de trabajo las diferencias entre los métodos

espectrales con transformación de variables y los métodos espectrales sin transformación

disminuyen. Tal acortamiento se aprecia en menor medida en el espacio funcional de

Fourier, pues incluso a frecuencias elevadas el O-MFDM es claramente superior al FDM;

mientras que, en el espacio funcional de Hermite-Gauss, el incremento de frecuencia

provoca, como ya se sabe, que los resultados obtenidos con el O-HGDM y HGDM sean

prácticamente coincidentes o con diferencias menores de 5 dB.

En cuanto a la comparación de los dos espacios funcionales entre si, se observa que el

resultado conseguido por el O-MFDM iguala (o incluso supera, véase la Fig 6.16(b)) el


154

obtenido con el O-HGDM. Este hecho resulta de gran importancia pues permite situar al

espacio funcional de Fourier, en lo que a precisión se refiere, en las mismas condiciones

que el de Hermite-Gauss, cosa que no ocurría (como se puede observar también en las

figuras) cuando ambos espacios son empleados de la forma clásica, esto es, sin

transformación de variables y sin optimización.

Error relativo (b) (dB) Vx=2, Vy=2

-60

-50

-40

-30

-20

dB

Nx, Ny

‘�______�’ O-MFDM ‘�______�’ FDM ‘�__ __ �’ O-HGDM ‘�__ __ �’ HGDM

4 6 8 10 12 14 1816 20

Fig. 6.16 (b): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error relativo de la constante de propagación para una frecuencia baja. Datos físicos normalizados: Vx=2; Vy=2.


MSE (dB) Vx=2, Vy=2

4 6 8 10-60

-50

-40

-30

-20

dB

12 14 1816 20Nx, Ny

Fig. 6.16 (a): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error cuadrático medio del campo para una frecuencia baja. Datos físicos normalizados: Vx=2; Vy=2.


-60

-50

-40

-30

-20

dB

Nx, Ny

Error relativo (b) (dB) Vx=4, Vy=4

4 6 8 10 12 14 1816 20

Fig. 6.17 (b): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error relativo de la constante de propagación para una frecuencia alta. Datos físicos normalizados: Vx=4; Vy=4.


MSE (dB) Vx=4, Vy=4

-60

-50

-40

-30

-20

dB

Nx, Ny

4 6 8 10 12 14 1816 20

Fig. 6.17 (a): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error cuadrático medio del campo para una frecuencia alta. Datos físicos normalizados: Vx=4; Vy=4.


155

Por último, en la Fig 6.18 se recogen los

tiempos de cómputo requeridos por cada uno

de los métodos espectrales en función del

número de coeficientes espectrales empleados

en los desarrollos en serie. En ella se puede

observar cómo los métodos basados en las

funciones base de Hermite-Gauss presentan, a

medida que aumenta el número de términos,

una velocidad de crecimiento mayor. Esto es

lógico si recuerdan las consideraciones de tipo

numérico que hicieron en los apartados

correspondientes sobre el espacio funcional en

cuestión. En cambio, la posibilidad de utilizar

la FFT para la obtención de las integrales de

cruce y de las transformadas directa e inversa por parte de los métodos espectrales basados en

desarrollos en serie de Fourier, disminuye, notablemente, sus respectivos tiempos de cómputo.

Nótese, sin embargo, que el O-MFDM requiere un tiempo de cálculo superior al del FDM.

Dicho incremento, el cual no se observa por ejemplo entre el O-HGDM y HGDM, se debe al

mayor número de operadores matriciales que es necesario evaluar en el dominio transformado,

consecuencia de haber aplicado una transformación de variables no-lineal. Si se recuerdan las

consideraciones que en su momento se hicieron en el capítulo cuarto acerca del coste que iba a

suponer implementar los métodos espectrales con transformación de variables, se dijo que éste

no tenía por qué ser muy significativo. Los resultados mostrados en la Fig. 6.18 permiten

confirmar tales hipótesis y decantan definitivamente la balanza en favor de los métodos

espectrales con transformación de variables. Además, tal y como se apunta en el pie de la

propia figura, el hecho de que en el tiempo de cálculo asignado al O-MFDM y O-HGDM sólo

se haya tenido en cuenta lo que se consume por iteración, se debe a que, como ya se ha

demostrado, la estrategia de optimización es capaz de converger hacia los parámetros quasi-

óptimos de las transformaciones trabajando incluso con un número de términos reducido, por

lo que los tiempos que se apuntan en la Fig. 6.18 son una medida bastante realista.

Por último, contrastando dicha Fig. 6.18 con las mostradas en la página anterior (Figs.

6.16 y 6.17) se puede concluir que para lograr errores inferiores a -50 dB (Nx=Ny � 12) se

pueden usar indistintamente el O-MFDM o el O-HGDM, pues a igual número de términos

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

Nx, Ny

seg.

Tiempos de cálculo

‘�______�’ O-MFDM ‘�______�’ FDM ‘�__ __ �’ HGDM y O-HGDM

Fig. 6.18: Tiempos de computación utilizados por cada uno de los métodos espectrales en la guiaonda lineal asimétrica. Los programas fueron ejecutados sobre un PC pentium II 266 MHz y 64 MB RAM. En los métodos espectrales con transformación de variables (O-MFDM y O-HGDM) sólo se ha considerado el tiempo por iteración.


156

ambos cometen errores similares y no existen diferencias apreciables entre sus tiempos de

cómputo, mientras que, para lograr precisiones superiores, el O-MFDM se erige como el

método mas idóneo, no porque se cometa un error menor, el cual sigue siendo similar al del

O-HGDM, sino por su menor tiempo de ejecución.

6.6.- Resultados en Guiaondas 3D No-Lineales

Entre los principales objetivos fijados al comenzar la elaboración de la presente Tesis,

que duda cabe que, el más importante de todos ellos era el diseño de una herramienta capaz de

realizar el análisis modal de guiaondas ópticas cuyo índice de refracción no sólo variara en las

dos direcciones transversales del espacio, sino que además, presentase un comportamiento no-

lineal con la intensidad de campo eléctrico en ciertas zonas de su geometría. De hecho, su

consecución iba a depender, exclusivamente, de la eficiencia que dicha herramienta tuviera en

problemas más sencillos, esto es, el 2D escalar lineal, el 2D escalar no-lineal y, por último, el

3D escalar lineal. El buen comportamiento que, como se ha podido comprobar, se obtuvo en

todos ellos, invitaba a analizar estructuras dieléctricas como las anteriormente comentadas, es

decir, guiaondas 3D no-lineales bajo la aproximación escalar.

Evidentemente, las guiaondas sobre las que se decidiera aplicar las herramientas

numéricas de análisis no iban a disponer de solución analítica, por lo que es necesario que

éstas hayan sido previamente analizadas mediante otras técnicas numéricas y sus resultados se

encuentren disponibles en la bibliografía. Uno de los fenómenos que tiene lugar en este tipo

de estructuras, y que levanta gran interés para el diseño de dispositivos todo óptico, es la

histéresis óptica (véase por ejemplo el diseño de puertas lógicas tipo AND, OR y XOR

realizado en �NiiyamaEne98� con una de las guiaondas que seguidamente se van a presentar).

Para mostrar dicho efecto se han seleccionado dos estructuras, la guiaonda strip no-lineal

�EttingerFeb91� y la fibra óptica no-lineal �NiiyamaEne98�. Sus respectivas geometrías, así

como los valores físicos de los parámetros con que fueron simuladas, son mostradas en la Fig.

6.19. A continuación se detallan y analizan los resultados que se obtuvieron en cada una de

ellas.


157

Guiaonda Strip No-Lineal

Cuando se incrementa la potencia óptica del modo a calcular esta estructura presenta una

transición abrupta que delimita la zona de funcionamiento lineal de la no-lineal. Dicho

fenómeno puede ser fácilmente observado representando la curva de dispersión del dispositivo

no-lineal (Neff vs. Potencia). En �EttingerFeb91� se realiza un estudio detallado sobre la forma

de controlar los parámetros característicos de la curva. En concreto, se sugiere que la amplitud

del salto entre los dos estados y cómo de abrupto sea el mismo sean determinados,

respectivamente, a partir del máximo incremento que toma el índice de refracción en la zona

no-lineal (�nsat) y de la altura de la tira lineal (‘A’ en la Fig. 6.19). En la Fig. 6.20 se han

particularizado dichos parámetros a los valores que en ella se indican (�nsat=0.2, A=0.8�m) y

se han comparado las curvas de dispersión resultantes de aplicar el FDM y el O-MFDM con la

que se obtuvo en �EttingerFeb91� con el Método de los Elementos Finitos(MEF) usando 1000

elementos de primer orden. Varios son los comentarios que cabría realizar sobre la misma:

n x y nn n

Z

Elineal sat

lineal

o sat

2 2 22 2

1( , ) exp� � � ��

�

�

��

�

�

�

��

�

��

�

�

�

nc=1.55 No-lineal

nf=1.57

ns=1.55

n=1.0

2 �m

1 �m

A

Guiaonda strip no-lineal Fibra óptica no-lineal

Valores de los parámetros:

n2 =10-9 m2/w; Zo=120 �

A = 0.4 ó 0.8 �m �nsat*=0.1 ó 0.2

� = 0.515 �m * �nsat se relaciona con ��sat a través de (nlineal + �nsat)

2 = �lineal + ��sat

nf = 1.57

n x y n nn n

Z

E

nlineal satlineal

o sat( , ) exp� � � �

�

�

�

�

��

�

�

�

��

�

��

12

22�

nc = 1.55

Valores de los parámetros:

n2 =10-9 m2/w; Zo=120 �

D = 5 �m �nsat = 0.04 � = 1.3 �m

D

Fig. 6.19: Geometría de las guiaondas 3D no-lineales utilizadas para el chequeo de los métodos espectrales

(Tomadas de �EttingerFeb91� y �NiiyamaEne98� respectivamente).


158

i) El dispositivo presenta claramente dos

zonas de funcionamiento bien

diferenciadas, la lineal y la no-lineal, las

cuales se sitúan, respectivamente, a la

izquierda y derecha de la discontinuidad.

En la primera de ellas, el aumento de

potencia apenas produce variación

alguna en las características del campo

eléctrico, mientras que en la segunda, el

incremento de la potencia óptica conlleva

un aumento del valor del índice efectivo

debido al desplazamiento sufrido por el

campo hacia la zona de la guía en la que

el índice de refracción es mayor.

ii) Con sólo 64 armónicos (8x8), el O-

MFDM consigue resultados similares a los logrados con el MEF y 1000 elementos. Por su

parte, el FDM requiere el doble número de términos en cada dirección (16x16=256

coeficientes) para acercarse a dicho resultado.

iii) Al igual que ocurría en problemas 2D, la dependencia del problema analizado con la

intensidad de campo a calcular, hace que las mayores mejoras del O-MFDM se logren en la

parte no-lineal de funcionamiento.

Para mostrar el efecto que sobre el campo eléctrico tiene el pasar del régimen de

funcionamiento lineal al no-lineal, se han representado en las Figs. 6.21 y 6.22 los mapas de

contorno del modo para dos valores muy cercanos de potencia situados a la izquierda y

derecha del punto de la curva de dispersión en donde se produce la conmutación. En ellas se

puede comprobar claramente el efecto autoenfocante del medio no-lineal, esto es, al

encontrarse el índice de refracción modulado por la propia intensidad de campo, el hecho de

aumentar la potencia óptica del modo a calcular hace que la distribución espacial de campo

que resulte se haya desplazado y confinado hacia la zona no-lineal de la estructura dieléctrica.

Potencia normalizada0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

1.54

1.57

1.56

1.55

1.59

1.62

1.61

1.60

1.58

MEF (�EttingerFeb91�)

O-MFDM (Nx=Ny=8)

FDM (Nx=Ny=16)

FDM (Nx=Ny=10)

�nsat=0.2; A=0.8�m

Neff

Fig. 6.20: Guiaonda strip no-lineal: Comparación entre las curvas de dispersión obtenidas con el Método de los Elementos Finitos (MEF), el FDM y el O-MFDM. El eje de potencias ha sido normalizado al valor de 0.2 mw para poder

comparar con �EttingerFeb91�.


159

Por último, y para demostrar la

aplicabilidad de la herramienta numérica, se

han simulado diversas situaciones

consistentes en variar el grado de no-

linealidad del medio (�nsat) y la altura de la

tira lineal (A). Los resultados obtenidos, que

en todos los casos analizados fueron

coincidentes con los expuestos en

�EttingerFeb91�, son los mostrados en la

Fig. 6.23. En ella se puede apreciar el efecto,

anteriormente comentado, que, sobre las

curvas de dispersión, tienen los parámetros

�nsat y A. El hecho de que cuanto más

grande sea este último, mayor será el valor

de potencia para el que se produce la conmutación, se comprende fácilmente si se tiene en

cuenta que, a igual frecuencia, el campo se va a encontrar más confinado, y por tanto, con

menor intensidad en la zona no-lineal, por lo que, si desea lograr el mismo efecto que con una

tira de menor tamaño, será necesario incrementar la potencia del modo.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y(�m)

x (�m)

�nsat=0.2; A=0.8 �m Potencia norm.=0.2

Fig. 6.21: Guiaonda strip no-lineal: Mapa de contorno de la distribución espacial de campo eléctrico obtenida con el O-MFDM para un valor de potencia situado en el límite del régimen lineal.

Potencia normalizada

Neff

�nsat=0.2; A=0.8 �m

�nsat=0.2; A=0.4 �m

�nsat=0.1; A=0.8 �m

�nsat=0.1; A=0.4 �m

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.31.54

1.57

1.56

1.55

1.59

1.62

1.61

1.60

1.58

Fig. 6.23: Guiaonda strip no-lineal: Curvas de dispersión obtenidas con el O-MFDM para diferentes grados de no-linealidad (�nsat) y diferentes alturas de la tira lineal (A).

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y(�m)

)

x(�m)

�nsat=0.2; A=0.8 �m Potencia norm.=0.22

Fig. 6.22: Guiaonda strip no-lineal: Mapa de contorno de la distribución espacial de campo eléctrico obtenida con el O-MFDM para un valor de potencia situado en el comienzo del régimen no-lineal.


160

Fibra Óptica No-Lineal

Un ciclo de histéresis en una guiaonda

óptica no-lineal se puede interpretar como la

combinación de dos ciclos de conmutación

como los analizados en la estructura anterior

en los que el paso de la zona de

funcionamiento lineal a la no-lineal y

viceversa se produce para valores de potencia

diferentes. La fibra óptica no-lineal que fue

presentada en la Fig. 6.19 ofrece

precisamente este tipo de comportamiento.

Para poder observarlo es necesario realizar

primero un barrido de potencias en sentido

creciente y luego repetir el proceso en sentido

inverso. En la Fig. 6.24 se han representado las curvas de dispersión de potencia que se

obtuvieron con el FDM y O-MFDM. Asimismo, se ha superpuesto sobre ellas el resultado

hallado en �NiiyamaEne98� empleando el Método de los Elementos Finitos. Aunque,

evidentemente, al carecer de la solución exacta, no es posible cuantificar el error cometido por

cada uno, sin embargo, la mayor similitud observada entre el O-MFDM y lo previamente

publicado (obsérvese, por ejemplo, como los puntos en donde se produce la conmutación

prácticamente coinciden) permite afirmar, una vez más, su superioridad. En la propia figura

también se querido poner de manifiesto la principal limitación del FDM, esto es, la

dependencia entre la precisión y la ventana de cómputo utilizada.

Por último, parece interesante representar las distribuciones de campo eléctrico en las

diferentes zonas del ciclo de histéresis para ver si éstas se corresponden con lo que en él se

observa. Para ello, en las Figs. 6.25 (a), (b), (c) y (d), se han pintado los mapas de contorno

para los valores de potencia más significativos. El orden en que han sido colocadas se

corresponde con lo que se iba observando cuando la potencia era variada, primero en sentido

creciente, y luego en sentido decreciente. El punto más llamativo se produce para la potencia

de 3 mw, pues, dependiendo desde dónde se venga, existen dos soluciones diferentes. Si se

proviene de potencias más bajas, dicho punto sigue trabajando en régimen lineal, mientras que

2 4 6 8 101.56

1.57

1.58

1.59

Potencia (mw)

Neff

O-MFDM(Nx=Ny=6)

MEF

FDM(Nx=Ny=12)

Xo= 20�m y 40�m

Fig. 6.24: Curva de dispersión de potencia de la fibra óptica no-lineal.


161

si se parte de potencias elevadas, al alcanzar dicho valor de potencia aún no se ha producido la

conmutación al régimen lineal.

0 10 20

(A) Potencia=1 mw

(�m)

0

10

20

-10

-20-10-20

x

y

Fig. 6.25(a): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 1 mw (Régimen de funcionamiento lineal).

(B) Potencia =3 mw

0 10 20(�m)

0

10

20

-10

-20-10-20

x

y

Fig. 6.25 (b): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 3 mw en sentido ascendente (Régimen de funcionamiento lineal).

Nx=Ny=12

(D) Potencia=3 mw

0 10 20(�m)

0

10

20

-10

-20-10-20

x

y

Fig. 6.25 (d): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 3 mw en sentido descendente (Régimen de funcionamiento no-lineal).

(C) Potencia=6 mw

0 10 20(�m)

0

10

20

-10

-20-10-20

x

y

Fig. 6.25 (c): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 6 mw (Régimen de funcionamiento no-lineal).


162

6.7.- Conclusiones

Una vez concluído el último capítulo de la primera parte de la Tesis, se resumen a

continuación los principales aspectos tratados lo largo del mismo:

Se han desarrollado e implementado, con éxito, tanto las versiones 3D-escalares de los

métodos espectrales con transformación de variables O-MFDM y O-HGDM como sus

correspondientes algoritmos de optimización.

Para probar la autoconsistencia de los métodos, así como cuantificar la mejora que en cada

caso se podía lograr, se han definido dos estructuras dieléctricas lineales, las cuales,

haciendo uso del método de separación de variables, poseen solución analítica. Además, se

han utilizado tales guiaondas para comparar, entre sí, las prestaciones de los diversos

métodos espectrales que han sido estudiados a lo largo de la primera parte de la Tesis.

Por último, la herramienta numérica ha sido aplicada a la caracterización de algunas de las

guiaondas ópticas no-lineales empleadas en el diseño de dispositivos todo óptico,

observándose una gran concordancia entre los resultados obtenidos y lo publicado en la

bibliografía.

Capítulo 7:

Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales

7.1.- Introducción

El conocer, mediante técnicas espectrales, la evolución de la envolvente óptica a través de

un cierto dispositivo o estructura dieléctrica es un problema que ya ha sido ampliamente

tratado y estudiado en la bibliografía. De hecho, fueron precisamente los métodos numéricos

basados en desarrollar el campo en serie de Fourier los primeros que permitieron tener en

cuenta el efecto de la potencia asociada a los modos radiados, hasta ese momento despreciada

por los métodos habitualmente empleados (por ejemplo el CMA-Couple Mode Analysis-

basado en escribir el campo como una combinación de los modos guiados soportados por la

estructura). Aunque la familia de métodos espectrales, comúnmente denominada FFT-BPM

(Fast Fourier Transform-Beam Propagation Method), fue extensivamente utilizada durante

largo tiempo (aún lo sigue siendo), motivado fundamentalmente, por su facilidad de

implementación; sin embargo, la dificultad que tenía para abordar determinadas situaciones la

convertían en una estrategia ineficiente. Además, como se demostrará a lo largo del capítulo,

su utilización requiere de cierta experiencia por parte del diseñador para decidir si el conjunto

de parámetros con que ha sido realizada la simulación resulta ser el más adecuado. Por tal

motivo, surgieron con posterioridad, muy diversos y variados métodos los cuales, partiendo

del mismo conjunto de ecuaciones, esto es, las que definen el BPM, se diferencian,

únicamente, en la forma en que éstas son discretizadas y en cómo son impuestas las

condiciones de contorno en los extremos de la ventana de computación. Entre los más

importantes cabe destacar el FD-BPM (Finite-Difference-BPM) y el FE-BPM (Finite-

Elements-BPM).

En el ámbito de la propagación, los objetivos planteados al comienzo de la Tesis fueron

bien diferentes a los que se fijaron para el análisis modal. Para esta última, se partía de una


164

situación distinta pues los métodos espectrales en sí resultaban ya competitivos con el resto de

herramientas numéricas existentes, sea diferencias finitas, elementos finitos,..., y el trabajo

realizado fue encaminado a superar una de la limitaciones implícitas del propio método, y que

no es otra que la originada por la periodicidad de sus funciones base. Además, el producto

final conseguido se puede decir que quedó cerrado, pues se concluyó con una herramienta

robusta y eficiente para caracterizar guiaondas 3D-escalares y no-lineales.

La periodicidad, que, como ha quedado demostrado en los capítulos precedentes, ya

resultaba ser perjudicial para el cálculo de modos, tiene un coste computacional inaceptable en

los problemas de propagación. Piénsese que desde el momento en que la radiación saliente

alcance los extremos de la ventana de observación que se haya seleccionado la solución en el

interior del recinto se encontrará solapada con la que se introduce por los periodos contiguos.

Aunque la utilización de otras técnicas numéricas de discretización deberá también afrontar el

problema de las condiciones de contorno, el hecho de que éstas hayan sido capaces de

superarlo de forma eficiente y con sólo un ligero incremento en la carga computacional, como

se podrá comprobar a lo largo del presente capítulo, ha sido la principal causa para descartar la

utilización de los métodos espectrales en el ámbito de la propagación, siendo ampliamente

superados por los métodos basados en diferencias finitas y elementos finitos. Tanto es así, que

casi la práctica totalidad de artículos que en la actualidad se publican en el campo de la óptica

integrada hacen alusión a este tipo de estrategias.

Ante tal situación, que duda cabe que, como ya se ha adelantado, los objetivos iniciales no

podían ser ni mucho menos demasiado pretensiosos, máxime si se tiene en cuenta que por

aquel entonces el estado del arte en la familia de métodos FD-BPM ó FE-BPM se encontraba

muy avanzado, disponiéndose ya de versiones tan complejas como pudiera ser el caso 3D-

vectorial-anisotrópico o el wide-angle-vectorial (véanse, entre otros �XuNov94�, �MaAb96�,

�TsujiSep97�,...). Sin embargo, el éxito logrado con los métodos espectrales en el análisis

modal invitaba a seguir trabajando con ellos también en propagación. Además, el disponer de

una formulación simple y compacta basada en el concepto de operador matricial iba a permitir

abordar, de manera casi inmediata y sin excesivo esfuerzo de programación, la utilización de

los mismos en las ecuaciones del BPM. Pero para ello era necesario resolver el problema de

las condiciones de contorno, o lo que es lo mismo, disminuir el elevado coste computacional

que, como consecuencia de la periodicidad, tenía lugar cuando los métodos espectrales eran

empleados para simular la propagación de la envolvente óptica. En ese sentido, parecía claro


165

que el trabajo debía centrarse, al menos, en la superación de tal inconveniente, pues, si se

consiguiera, es obvio que se abriría un amplio abanico de posibilidades sobre el que seguir

trabajando e investigando.

Varios son los objetivos que se pretenden cubrir en el primero de los dos capítulos

dedicados a la propagación, a saber:

� Estudiar las diversas formas de resolver el problema de la propagación mediante técnicas

espectrales.

� Explicar por qué es necesario terminar adecuadamente los extremos de la ventana de

computación y cuál es la solución clásica que se suele adoptar. Asimismo, se analizará de

qué manera el resto de métodos numéricos han solventado dicho problema.

� Por último, se explicarán los primeros intentos que se hicieron en esta Tesis por mejorar las

prestaciones de los métodos espectrales. El primero de ellos consistió en trasladar el tipo de

condiciones de contorno conocida como TBC (Transparent Boundary Condition)

�HadleyEne92�, que tan buen resultado estaban dando en los métodos basados en

diferencias finitas, a los métodos basados en desarrollo en serie de funciones globales. El

carácter multipunto (no-local) que tienen las derivadas en esta familia de métodos dificultó

su implementación con éxito, por lo que fue necesario recurrir a otro tipo de estrategias.

Por ello se pensó que si el origen del problema tenía lugar cuando la radiación saliente

alcanzaba los extremos de la ventana de computación, por qué no emplear la misma técnica

de transformación de variables utilizada en el análisis modal para comprimir el dominio

infinito original en uno de dimensión finita, y evitar así que en ningún momento de la

propagación el campo radiado pudiera alcanzar los nuevos extremos de la ventana de

cómputo. Los resultados que se obtuvieron, aunque no fueron todo lo satisfactorio que se

esperaba, serán mostrados al final del capítulo.

7.2.- Métodos de Propagación del Haz basados en la Transformada de

Fourier


Supóngase, por simplicidad, que se desea resolver la propagación a través de una

estructura dieléctrica 2D no-lineal, la cual es excitada inicialmente con una cierta distribución

espacial de campo eléctrico. Bajo la aproximación de envolvente lentamente variable, y


166

considerando ondas monocromáticas TE-linealmente polarizadas, la ecuación de ondas que

gobierna la propagación de este tipo de soluciones viene dada por

23

4

2

22 2 3 2

2

jx z

z

x z

xk n x z x x z

kx zN o o

N

o�

��

�

� �

��

��

( , ) ( , )( , , ) ( ) ( , ) ( , )( )� � � � �

�

�

�

�

�

��

�

�

��

que, aunque ya fue deducida y analizada en el capítulo segundo, es escrita de nuevo por

comodidad.

La ecuación de ondas no-lineal expresada en (7.1) puede ser discretizada transversalmente

mediante la utilización del método de Galerkin en el espacio funcional de Fourier. Siendo así,

es necesario en primer lugar desarrollar en serie de Fourier la envolvente del campo eléctrico,

pudiéndose escribir como

� �( , ) ( )/

/x z z ek

jk K x

k N

NXo� � � �

��

2

2

donde KXo representa la pulsación fundamental del espectro, la cual como es lógico, vendrá

determinada por el tamaño del periodo (Xo) o ventana de computación que se haya

seleccionado. Nótese como, a diferencia de lo que ocurría en un problema de análisis modal y

con el fin de poder representar la evolución que experimenta el campo con la distancia de

propagación, es necesario que los coeficientes espectrales que definen la aproximación varíen

con la coordenada longitudinal ‘z’.

A continuación, y haciendo uso de la misma formulación matricial de operadores que se

empleó en el capítulo tercero para la deducción del problema de autovalores y autovectores

del cálculo de modos, es posible obtener un sistema de ecuaciones diferenciales no-lineales de

primer orden definido por

� � � � � � � � � � � �2 2 2jz

zDD z k P P z zN

kk o L NL k N k�

��

��

( )( ) ( ) ( )

��

��

��

donde � �DD , � �PL y � �PNL representan, en el dominio de los coeficientes de Fourier, el

operador derivada segunda , el operador producto de la parte lineal del índice de refracción y

el operador producto de la parte no-lineal del índice de refracción respectivamente.

Si el paso de discretización en la dirección longitudinal de propagación (�z) es lo

suficientemente pequeño como para suponer que el operador no-lineal es constante en cada

paso, la solución formal de la ecuación (7.3) puede ser escrita como

(7.1)

(7.2)

(7.3)


167

� � � � � �� k kz z opag z( ) Pr _ exp ( )� � ��

en donde la matriz � �Pr _ expopag encargada de realizar la propagación viene dada por

� ��

Pr _ expopag e

j zDD k P k P I

No L o NL N

�

��

��

�

22 2 2

��

y es lo que se conoce como el propagador exponencial.

Una situación interesante se produce cuando la estructura a analizar es lineal e invariante

en la dirección longitudinal. Si es así, la solución obtenida mediante (7.4) resulta ser la

solución exacta del problema, por lo que, además de poder elegir el paso �z todo lo grande

que se quiera, dicho propagador exponencial sólo será necesario evaluarlo una vez al

comienzo de la simulación. Aunque computacionalmente pudiera no resultar eficiente, su

principal interés radica en que, al descartar los errores que se hubieran podido producir en el

proceso de discretización longitudinal, permite cuantificar los errores que se cometen en la

dirección transversal, los cuales, a diferencia de los anteriores, no sólo dependen del método

de discretización transversal empleado, sino también, de cómo han sido terminados los

extremos de la ventana de observación, o lo que es lo mismo, de lo eficiente que sean las

condiciones de contorno utilizadas. Este tipo de pruebas son justamente las que se van a llevar

a cabo a lo largo del presente y del próximo capítulo.

7.2.2.- El FFT-BPM

Cuando las propiedades dieléctricas de la estructura a analizar, bien varían

longitudinalmente, bien dependen de la intensidad de campo, la aplicación del operador

exponencial en cada paso puede llegar a convertirse en una operación altamente costosa a

medida que crece el número de términos, por lo que, en aras de evitar su continua evaluación,

se recurre a la conocida técnica del FFT-BPM (Fast-Fourier-Transform BPM), la cual

seguidamente se pasa a detallar.

El punto de partida para comprender el fundamento en que se apoya el método pasa por

escribir el operador exponencial definido en (7.5) de la forma siguiente �März1995�:

� � � � � � � �

� � � � � �

� ��

e

e e e jz

DD DD W W W DD

j zDD k P k P I

jDD

z jW z

jDD

z

No L o NL N

N N N

��

��

��

��

��

�

� � � � ��

��

�

��

��

2

2 2 2 2 23

2 2 2

24

��

� � � , , , , ....

(7.4)

(7.5)

(7.6)


168

en donde, por comodidad, los operadores matriciales producto han sido agrupados en una sola

matriz � �W definida tal que

� � � � � � � �W k P k P Io L o NL N� � � �2 2 2�

y donde la operación matricial � �DD W, representa el conmutador entre DD y W . Este es

definido en la mecánica cuántica como

� �DD W DD W W DD, � � � �

y, como se puede observar en la expresión (7.6), su utilización permite definir propiedades

entre matrices similares a las que existen entre escalares.

Pues bien, el FFT-BPM basa su estrategia final en despreciar todos los conmutadores que

aparecen en (7.6), o lo que es lo mismo, en ignorar la naturaleza no-conmutativa de los

operadores DD y W . Con ello, el operador exponencial es aproximado como

� � � � � � � � � � � � � �

e e e e

j zDD k P k P I

jDD

z jW z

jDD

z

No L o NL N

N N N

��

��

��

��

��

� � �

� ��

�

2 2 2 2 2 22 2 2

��

� � �

Es decir, que la propagación desde ‘z’ a ‘z+�z’ se podría realizar dividiendo el proceso en

tres pasos, a saber:

i) En primer lugar, el campo eléctrico es propagado un distancia �z/2 como si de un medio

homogéneo se tratara. Para ello sólo es necesario tener en cuenta el efecto de la

difracción, o lo que es lo mismo, aplicar, sobre el vector de coeficientes espectrales, la

exponencial del operador � �DD .

ii) A continuación, se concentra en el punto medio del intervalo, el efecto de la

inhomogeneidad del medio. Así, al vector de coeficientes espectrales obtenido en el punto

anterior le es aplicado la exponencial del operador � �W .

iii) Por último, se vuelve a realizar la propagación sobre un medio homogéneo en la segunda

mitad del intervalo.

Ahora bien, si lo que se pretendía evitar era el tener que evaluar el propagador

exponencial en cada paso ¿qué sentido tiene descomponer el problema de una forma en la que

se requiere ejecutar dicho propagador un mayor número de veces?. La respuesta a la pregunta

anterior, y por consiguiente a la esencia del método, se halla en cómo se realiza la exponencial

(7.7)

(7.8)

(7.9)


169

de una matriz. Para ello, supóngase que se desea calcular la operación siguiente: � �e A . Dos

son los pasos que deben ser realizados:

1.- Diagonalizar la matriz � �A , o lo que es lo mismo, calcular sus autovalores y autovectores.

Una vez hecho, la matriz podrá ser escrita como

� � � � � � � �A Vec Val Vec� � ��1

donde la matriz � �Vec representa los autovectores de la matriz � �A ordenados por columnas

y la matriz � �Val es una matriz diagonal cuyos elementos son los autovalores de � �A .

2.- Resolver el producto de matrices siguiente

� � � � � � � �e Vec e VecA Val� � ��1

con la salvedad de que la exponencial de una matriz diagonal da como resultado otra

matriz diagonal, y es fácilmente obtenida sin más que calcular la exponencial a los

elementos de la diagonal.

Quiere eso decir que, si en cada paso se resuelve el propagador exponencial definido en

(7.5), lo que realmente se está haciendo es calculando los modos y constantes de propagación

de la estructura bajo análisis, con el consabido coste que ello supone. Sin embargo, si se

utiliza la descomposición propuesta por el FFT-BPM, las tres exponenciales que es necesario

resolver se aplican sobre matrices que, o bien son diagonales (� �DD ), o bien son fácilmente

diagonalizables (� �W ). Además, como seguidamente se va demostrar, las matriz de

autovectores que en cada caso resulta es justamente la matriz transformada directa, por lo que

el proceso puede aún ser más acelerado con la utilización de la transformada rápida de Fourier

o FFT. Para comprender mejor la afirmación anterior es suficiente con recordar las relaciones

matemáticas que sobre operadores matriciales se establecieron en el capítulo tercero. Por

ejemplo, si la ecuación de ondas es discretizada con el método de colocación

(pseudoespectral), los operadores derivada segunda y producto en el dominio de los

coeficientes se relacionan con sus homónimos en el dominio de los puntos a través de las

relaciones siguientes

� � � � � � � �DD T dd T� � ��1

(7.10)

(7.11)

(7.12)


170

� � � � � � � �P T p T� � ��1

donde, como se demostró en el apartado 3.4.3, las matrices � �T y � �T�1

son, en el espacio

funcional de Fourier, la transformada discreta de Fourier, directa e inversa respectivamente,

por lo que la multiplicación entre matrices puede ser evitada gracias al uso de la FFT, y de ahí

el nombre que el método numérico recibe.

Observando las ecuaciones (7.12) y (7.13) se comprende ahora por qué el término

correspondiente a la derivada segunda (o difracción) es realizado en el dominio de los

coeficientes (� �DD es diagonal), mientras que el correspondiente al operador producto (el de

guiado) es realizado en el dominio de los puntos (� �p es diagonal). En la Fig. 7.1 se resume en

un diagrama de flujos los pasos a seguir para llevar a cabo la propagación mediante el FFT-

BPM. Otra interpretación interesante del método, muy en sintonía con la visión

electromagnética del problema, es que la propagación a través de la guía o estructura es

aproximada suponiendo que ésta se realiza sobre un medio homogéneo, aprovechando así la

(7.13)

Excitación inicial:�(x,zo)

FFT

Espectro inicial:�k(zo)

� �e

jDD

z

N

��

2 2�

�

Propagación (�z/2) enmedio homogéneo

Espectro:�k(zo+�z/2)

FFT-1

Campo:�(x,zo+�z/2)

� � � � � �

e

jk zp p

kIo

NL NL

N

o

��

�

��

�

2 2

22

�

�

�

Corrección de fase

Campo modif.:�m(x,zo+�z/2)

FFT

Espectro modif.:�k

m(zo+�z/2)

� �e

jDD

z

N

��

2 2�

�

Propagación (�z/2) enmedio homogéneo

Espectro final:�k(zo+�z/2)

FFT-1

Campo final:�(x,zo+�z)

Fig. 7.1: Esquema de propagación del BPM clásico o FFT-BPM


171

sencilla descomposición en ondas planas o espectro angular que se puede hacer del campo, y,

únicamente, en la mitad del intervalo se introduce una pequeña corrección de fase sobre la

distribución del campo para tener así en cuenta el efecto que el perfil del índice de refracción

pudiera tener sobre el mismo. Nótese, asimismo, como la no-linealidad puede ser fácilmente

tenida en cuenta aprovechando el paso al dominio de los puntos que tiene lugar en la mitad del

intervalo, pues, antes de realizar la pertinente corrección de fase, es posible utilizar la propia

distribución de campo para evaluar el término no-lineal del índice de refracción.

7.2.3.- Limitaciones del FFT-BPM

a) Periodicidad de la Solución

Cuando en el análisis modal de una determinada guiaonda óptica el campo era

aproximado mediante un desarrollo en serie de Fourier surgía la lógica periodicidad que el

propio espacio funcional introduce. Para solventar el problema, o lo que es lo mismo, para que

la solución que se obtuviera fuera la que realmente es, el periodo o ventana de observación

debía ser elegido de tal forma que la totalidad del campo se encontrara contenido en el interior

de la ventana, pues, de no ser así, se produciría el famoso aliasing, y por consiguiente, el

solapamiento entre soluciones de periodos adyacentes. Que duda cabe que en propagación,

dicha periodicidad seguirá ocurriendo, por lo que se deberán tomar las medidas necesarias

para que su efecto se encuentre controlado. Sin embargo, sus consecuencias son ahora mucho

más severas, pues, aunque se haya seleccionado un tamaño de ventana lo suficientemente

grande, desde el momento que la radiación saliente alcance los extremos de la misma, la

solución en su interior se encontrará contaminada. A modo de ejemplo, es mostrada en la Fig.

7.2 la propagación de un haz gaussiano a

través de un medio homogéneo. Obsérvese

cómo la radiación que entra por el lado

izquierdo de la ventana es justamente la que

sale por el lado derecho del periodo que se

encuentra a su izquierda.

La forma más simple de evitar el

problema consiste en prefijar ventanas de

observación elevadas que garanticen que en

la distancia que se va a realizar la simulación

−10 −5 0 5 100

5

10

15

20

25

30

35

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

Fig. 7.2: Efecto de la periodicidad de la solución en los BPM´s basados en desarrollos en serie de Fourier.


172

no se va a producir el aliasing. Esto, además de ser complicado de asegurar y requerir cierta

experiencia por parte del diseñador, disminuye considerablemente la eficiencia del método,

pues obligaría a trabajar con un número de coeficientes excesivamente grande. Por ello, los

mayores esfuerzos que se han realizado por mejorar las prestaciones de los métodos de

propagación del haz basados en series de Fourier han estado centrados en superar tal

limitación. La ineficacia de las soluciones encontradas hasta la fecha ha hecho que éstos hayan

quedado relegados a un segundo plano, en comparación con los métodos de propagación del

haz basados en diferencias finitas o elementos finitos que superaron con mayor éxito el

problema. Este aspecto será tratado con detalle en el apartado siguiente, pues constituye la

antesala del trabajo que será presentado en el capítulo siguiente.

b) �z vs. �n2(x)

La forma en que el FFT-BPM realiza el paso de propagación da pie a una de las más

serias limitaciones con que cuenta el método, poniéndolo en clara desventaja con sus

competidores (véanse por ejemplo �ChungAgo1990��ScarmozzinoMay91��NoltingFeb95�).

Ésta puede ser cualitativamente ser enunciada como:

‘Cuanto mayor sea el gradiente del perfil del índice de refracción, menor deberá ser el paso

de propagación (�z) para conseguir una precisión determinada’

Para comprender mejor el por qué de la misma basta con analizar nuevamente la

expresión del operador exponencial utilizada en (7.6). En ella se puede comprobar que los

términos de orden superior despreciados por el FFT-BPM, y por consiguiente, los que

determinan su error, dependen del conmutador entre el operador derivada segunda y el

operador suma de todos los productos � �DD W, . Parece obvio que cuanto menor sea dicho

conmutador, mayor podrá ser el paso de propagación (�z). Ahora bien, ¿cuándo ocurre eso?.

La respuesta a dicha pregunta puede ser hallada con la ayuda de la siguiente propiedad

�Messiah1983�:

‘Dos observables A y B conmutan si poseen por lo menos un sistema base común’

En nuestro caso, los dos observables son el término de difracción (�2/�x2) y el término de

guiado n2(x). La base funcional del primero la forman el conjunto infinito de ondas planas,

mientras que la base del segundo está formada por el conjunto de modos guiados y radiados

que la estructura definida por el índice de refracción soporta. Así, cuanto mayor sea el salto de


173

índice mas diferentes serán los elementos de cada una de las bases, y por lo tanto, menos

cercano a cero será el conmutador.

c) Los Modos TM

Para que el FFT-.BPM pueda ser utilizado es necesario que la matriz del sistema pueda

ser escrita como suma de matrices que, o bien son diagonales en el dominio de los

coeficientes, o bien lo son en el dominio de los puntos. Esta es a la razón de por qué el

algoritmo no puede ser empleado, como tal, para resolver la propagación de los campos TM-

linealmente polarizados. Recordando la ecuación que gobierna la propagación de este tipo de

ondas en una estructura 2D (invariante, por ejemplo, en la dirección-y)

� � � �212

2 2 2 2jx z

z x n xn k nN

xx o N x�

��

�

�

�

�

��

( , )�

�

��

�

��

y manipulándola

� �22

22 2 2

2 2

2

2j

x z

z xk n

n

x

n

x xNx x

o N x xx�

��

�

� �

��

�

�

�

�

��

�

( , ) ln( ) ln( )� � � � � � � �

resulta fácil identificar que, además de los términos de difracción y de guiado, aparecen otros

en los que se mezclan las derivadas del campo con las del índice de refracción. Éstos no son

diagonales en ninguno de los dominios posibles de resolución, y son, por tanto, los

responsables de que el BPM-clásico o FFT-BPM tenga un ámbito de aplicación restringido.

En concreto podrá ser utilizado en problemas 2D para las soluciones del tipo TE, y en

problemas 3D, únicamente en el caso escalar. No obstante, si a esto se le une la limitación

explicada anteriormente de que el salto del índice de refracción también afecta a la precisión

del método, se puede concluir que tanto en situaciones 2D como 3D, el tipo de problemas

analizados deben satisfacer las condiciones de guiado débil.

Varios han sido los intentos que, con posterioridad, se han realizado para aumentar su

rango de aplicabilidad. Por ejemplo, en �KriezisAbr95� se propone seguir empleando en

problemas 3D-vectoriales el mismo esquema de propagación que se ha explicado para el FFT-

BPM, esto es, se desprecian los conmutadores, y se calcula el propagador exponencial pero

aplicado sólo sobre todos y cada uno de los operadores transversales que conforman la

ecuación de ondas. Aquellos términos en los que se mezclen las derivadas transversales entre

funciones (véase la ecuación (7.15)) son discretizados siguiendo un esquema de diferencias

(7.14)

(7.15)


174

finitas, mientras que los términos de difracción siguen aprovechando el carácter multipunto de

la transformada de Fourier.

En otro trabajo más reciente �PoladianEne98� se sugiere un simple cambio de variables

para transformar la ecuación (7.15) en otra equivalente pero en la que desaparecen los

términos mezcla de derivadas, con lo que se puede seguir empleando el FFT-BPM para su

resolución. El método, aunque novedoso, sólo es válido para perfiles de índice gradual, con lo

que la asignatura pendiente de los métodos espectrales, los modos TM en guías de salto de

índice abrupto, está aún por resolver.

d) Espectral vs. Pseudoespectral

Una de los aspectos ampliamente estudiados en el capítulo tercero fueron precisamente las

diferencias que existen entre los métodos espectrales y los pseudoespectrales. Como se

recordará, los segundos necesitaban un mayor número de coeficientes para lograr la misma

precisión que los primeros, como consecuencia de haber resuelto las integrales de cruce de

forma numérica. En el ámbito del análisis modal, el poder aproximar el campo con un número

de términos relativamente bajo, hacía más interesante el trabajar con la versión exacta o

espectral de los espacios funcionales. Sin embargo, en propagación, dado que el campo en

cada plano z constante es la suma de los modos guiados y radiados que la estructura soporta,

si se desea tener una buena representación de la evolución de la envolvente, es necesario

trabajar con un número elevado de términos, por lo que apenas existen diferencias entre usar

uno u otro.

Por otra parte, el FFT-BPM, aunque haya sido presentado como una herramienta numérica

capaz de resolver la evolución con la distancia de la envolvente espacial del campo eléctrico,

es también conocido y aplicado en problemas de diferente naturaleza. Por ejemplo, la

ecuación que gobierna la propagación de solitones en fibras ópticas, más conocida como la

ecuación no-lineal de Schrödinger, se parece bastante a la ecuación escalar del BPM, por lo

que, aunque las variables que en ella intervienen tengan un significado físico diferente, puede

ser resuelta siguiendo el mismo esquema de propagación. De hecho lo es, siendo más

conocido en ese ámbito como el SSFM (Split-Step Fourier Method). Pues bien, tanto el SSFM

como el FFT-BPM, el primero para conocer la evolución de la envolvente temporal y el

segundo para conocer la evolución de la envolvente espacial, hacen uso de la versión

pseudoespectral del espacio funcional de Fourier, pues al pasar continuamente del dominio de


175

los puntos (tiempo o espacio) al dominio de los coeficientes y viceversa, establecen una

relación biunívoca entre ambos dominios.

La posibilidad de utilizar la versión espectral del SSFM ha sido ya sugerida con

anterioridad en la bibliografía, primero en �MolinaSep94� para el cálculo de las soluciones

estacionarias de la ecuación no-lineal de Schrödinger (propagación sin dispersión) y

posteriormente en �GhafouriEne95� para resolver la propagación propiamente dicha. Las

novedades que se sugieren en ambos trabajos son respectivamente las siguientes:

i) Que para mejorar la precisión del método la matriz que define el sistema sea obtenida

aplicando el método de Galerkin y no el de colocación

ii) Que en lugar de resolver la propagación alternativamente en el dominio de los puntos y en

el de los coeficientes, ésta se haga íntegramente en el dominio de los coeficientes y sólo al

final, se retorne, en este caso, al dominio del tiempo. Además, plantea la interesante

posibilidad de utilizar el método de Runge-Kutta, o cualquiera de los métodos clásicos de

integración, para resolver el sistema no-lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden

que se obtiene tras el proceso de discretización transversal. Los resultados que se

muestran en el artículo dejan bien a las claras la superioridad de los métodos espectrales

frente a los que hasta entonces se venían usando, los métodos pseudoespectrales.

Aunque este tema se volverá a plantear en el capítulo siguiente, todo esto viene a colación

porque, si bien se trata de problemas completamente diferentes, permite establecer un

paralelismo entre las mejoras propuestas en la bibliografía para superar los inconvenientes del

SSFM y las que se proponen en esta Tesis para hacer lo propio con el FFT-BPM. En nuestro

caso, en la mayoría de las ocasiones, lo que interesa conocer con exactitud no es casi tanto la

envolvente espacial en cada paso de propagación, sino más bien la parte de la misma que

permanecerá guiada, esto es, la que de modo alguno determina con su acoplamiento a las

diferentes partes de que consta el dispositivo, el funcionamiento del mismo. Quiere esto decir

que si se es capaz de tener en cuenta la potencia que se pierde en los modos radiados, aunque

éstos no sean correctamente representados, parece muy interesante trabajar con la versión todo

espectral (Galerkin) pues, con pocos coeficientes, se obtendría una representación más que

aceptable del funcionamiento del dispositivo y además disminuiría notablemente el tiempo de

cálculo requerido para su análisis. Es más, cabría la posibilidad de utilizar, por qué no, el

propagador exponencial, con lo que no sólo se resolvería la propagación de forma exacta, sino


176

que abriría también la posibilidad de abordar el wide-angle-BPM mediante técnicas todo

espectrales.

Para poder implementar, con éxito, técnicas todo espectrales, es necesario primero

solventar el problema de las condiciones de contorno, esto es, determinar la forma en que

deben ser terminados los extremos de la ventana de observación para que el campo que se

calcule en su interior se vea afectado lo menos posible por el truncamiento realizado, y pueda

evolucionar por el dispositivo como si de un medio ilimitado se tratara.

Se estudian a continuación las condiciones de contorno que, hasta la aparición de las PML

(Perfectly Matched Layer-Capítulo 8), fueron habitualmente utilizadas por los métodos de

discretización globales o espectrales y por los métodos locales, las condiciones de contorno

absorbentes (Absorbing Boundary Conditions-ABC´s) y las condiciones de contorno

transparentes (Transparent Boundary Conditions-TBC´s), respectivamente.

7.3.- Las Condiciones de Contorno

a) Condiciones de Contorno Absorbentes (ABC’s)

La forma más simple de evitar que la radiación saliente alcance los extremos de la ventana

de computación consiste en terminarla con un absorbente dieléctrico. Aunque su

implementación es inmediata, pues basta con que a partir de una cierta distancia el índice de

refracción comience a tener una parte imaginaria negativa, sin embargo, su utilización resulta

ser bastante ineficiente. Además, como seguidamente se va a demostrar, su mejor o peor

funcionamiento depende, muy mucho, de los parámetros que definen el absorbente. Para

comprender su funcionamiento, se ha representado en la Fig. 7.3 el problema general de

incidencia oblicua entre dos medios de características eléctricas diferentes. En concreto,

supóngase que ambos medios poseen la misma constante dieléctrica, y que al segundo de ellos

se le introducen pérdidas eléctricas. Como es bien sabido de la teoría electromagnética, el

coeficiente de reflexión que se produce, además de depender de la polarización, del ángulo de

incidencia y de la frecuencia, será tanto mayor en módulo cuanto más diferentes sean los

medios, o lo que es lo mismo, cuanto más grande sea la parte imaginaria del índice de

refracción del segundo. Por ello, si se desea que la reflexión producida sea mínima, es

condición indispensable que la transición entre ambos se produzca de una forma suave, lo

cual, como se puede observar en la Fig. 7.4, va a redundar en el tamaño de ventana que

finalmente resulte. Varios son los parámetros que caracterizan el absorbente: su gradiente o


177

perfil, su amplitud máxima y su ancho. Estos pueden ser claramente identificados en la Fig.

7.4. para un perfil de tipo cosenoidal. Será necesario una adecuada selección de los mismos

para conseguir un comportamiento óptimo del absorbente. Piénsese que tan grave es no

aminorar lo suficiente las reflexiones que se van produciendo a medida que la onda se

introduce en el absorbente como permitir que una fracción importante de la potencia incidente

alcance el extremo del mismo.

En definitiva, los absorbentes eléctricos no parecen ser la mejor solución al problema de

las condiciones de contorno. Sin embargo, el carácter global que poseen los métodos

espectrales y pseudoespectrales ha dificultado la utilización de condiciones de contorno más

eficientes, como pueden ser las TBC´s, lo que provocó que durante mucho tiempo hayan sido

la única opción posible para absorber la radiación saliente en problemas de propagación.

b) Condiciones de Contorno Transparentes (TBC’s)

La introducción de las condiciones de contorno transparentes en el campo de la

simulación óptica �HadleyEne92� supusieron un importante paso hacia la obtención de

técnicas numéricas eficientes para el análisis y diseño de dispositivos ópticos. Aunque en su

versión original fueron pensadas para el FD-BPM, no tardó en aparecer una versión similar

para el FE-BPM [AraiMay93�. La facilidad con que son implementadas en los métodos de

discretización transversal de carácter local, junto con los bajos niveles de reflectividad que

con ellas se conseguían, hizo que pronto, y durante varios años, se convirtieran en la forma

más habitual de abordar el problema de la radiación, lo que justifica el por qué hoy día aún

sigan siendo ampliamente utilizadas por dichos métodos numéricos.

ventana de computación

-50 0 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x (�m)

absorbente absorbentezona deinterés

amplitud

Fig. 7.4: Absorbente con perfil cosenoidal: parámetros fundamentales.

�i �r

�t

medio 1: �o, o

medio 2: �o, o, !E

Fig. 7.3: Incidencia oblicua entre dos medios


178

El fundamento en el que se apoyan las TBC´s es en sí bastante simple. Recuérdese que el

problema de la propagación es un problema de valor inicial, esto es, a partir del campo en un

plano z-constante se calcula el campo en el siguiente paso de propagación. Evidentemente, el

campo que va a haber en los extremos de la ventana de observación forma parte de lo que se

pretende calcular. Ahora bien, si fuera posible estimar el valor del campo que tendría ese

punto del espacio en el supuesto caso de que el problema no hubiera sido truncado, es decir,

en la situación real, que duda cabe que sería posible forzar, en el sistema de ecuaciones, que

en el siguiente paso de propagación el campo en los extremos tenga justamente ese valor. El

único obstáculo por salvar sería cómo estimar el valor del campo en los extremos. Para ello se

supone que el frente de ondas que alcanza los contornos del dominio de observación es una

onda plana, por lo que se puede establecer una relación matemática sencilla entre los dos

puntos más cercanos a los extremos. Por ejemplo, si xa y xb son respectivamente las

coordenadas del lado izquierdo y derecho del contorno, se puede escribir que el campo a

calcular en el siguiente paso de propagación (zn+�z) deberá satisfacer las relaciones que a

continuación se indican

� �( , ) ( , )x z z x x z z eb n b njk xx

d� � � � � ��

� �( , ) ( , )x z z x x z z ea n a njk xx

i� � � � � ��

donde kxi y kx

d son respectivamente las componentes transversales de los vectores de ondas

que existen en los lados izquierdo y derecho de la ventana. Ambos pueden ser fácilmente

estimados a partir del campo obtenido en el paso anterior (zn) y calculando el cociente entre

dos muestras consecutivas que se encuentren cercanas a los contornos. En �HadleyEne92� se

(7.16)

(7.17)

E Z z E x Z z eXon

Xon

jk xx( , ) ( , )2 2� � � � � ��

z

Z=Zn

Z=Zn+�z

�x

�

k�

kx

Ventana de Computación (Xo)

eE x

E xjk x

Xo

Xox� �

�

��

�

( )

( )2

2 2

frente de fasex

Fig. 7.5: Aplicación de las condiciones de contorno transparentes


179

sugiere incluso cómo determinar cuáles son las muestras que mejor estimación dan y las

condiciones que deben cumplir los vectores de onda para que el flujo de potencia sea siempre

desde dentro de la ventana hacia afuera. En la Fig. 7.5 se ilustran las ideas anteriormente

expuestas.

Además de su sencillez, la ventaja más sobresaliente que supone la utilización de las

TBC´s es que, a diferencia de lo que ocurre por ejemplo con condiciones de contorno del tipo

absorbente, es capaz de conseguir coeficientes de reflexión muy bajos sin la necesidad de

incrementar el tamaño de la ventana de observación, y por consiguiente, sin costo

computacional alguno. Sin embargo, no todo son

ventajas. Piénsese en una situación como la

representada en la Fig. 7.6. La coincidencia en el

contorno de dos o más frentes de onda diferentes

dificultará la estimación del vector de ondas a

emplear en la propagación, o lo que es lo mismo, se

forzará un valor de campo en los extremos erróneo

cuyo efecto se hará notar en los sucesivos pasos de

propagación.

7.4.- Utilización de las TBC´s en los Métodos Espectrales

A raíz del éxito cosechado por las TBC´s en la familia de métodos FD-BPM, el primero

de los intentos realizados en la Tesis con el objetivo de mejorar la pobre eficacia que los

absorbentes eléctricos aportaban a la familia de métodos basados en la transformada de

Fourier, consistió en trabajar en la línea de definir unas condiciones de contorno transparentes

aplicables a los métodos espectrales. Sin embargo, ninguna de las pruebas consiguieron llegar

a buen término.

Partiendo de las mismas consideraciones utilizadas por Hadley para deducir sus TBC´s, se

plantearon dos posibles estrategias que se resumen a continuación. La primera de ellas

consistía en ir modificando el campo en los extremos del periodo una vez realizado un paso de

propagación y antes de realizar el siguiente forzando a que tuviera el carácter de onda plana.

De algún modo, lo que se estaba haciendo era ir eliminando la radiación antes de que ésta

penetrara en los periodos contiguos. La otra estrategia se basaba en forzar sobre la propia

matriz del sistema a que el campo en los extremos se comportara de la forma deseada. Para

�

k2

�

k1

frente de fase 1

frente de fase 2

contorno

Fig. 7.6: Situación no abordable por las TBC´s: coincidencia de dos frentes de onda sobre el contorno.


180

ello, y trabajando con la versión pseudoespectral en el dominio de los puntos, las filas de la

matriz correspondiente al primer y último punto del mallado eran sustituidas por las

ecuaciones (7.16) y (7.17).

El origen de todos los problemas

encontrados en la implementación con

éxito de las estrategias anteriormente

expuestas se encuentra en la acción

conjunta de dos efectos. Por una parte, el

carácter multipunto que el operador

derivada segunda presenta con cualquier

método de discretización que se base en

aproximar el campo por un desarrollo en

serie de funciones globales, y por otra, la

periodicidad propia del espacio funcional

de Fourier. Para comprender mejor lo que

ocurre se han representado en la Fig. 7.7 la

primera, la intermedia y la última fila del

operador derivada segunda en el espacio

funcional de Fourier en el dominio de los

puntos. Recuérdese cuál el significado de

la fila ‘i’ de dicha matriz, y que no es otro

que el de informar de los coeficientes a

utilizar para aproximar la derivada

segunda del campo en el punto xi del

mallado, pudiéndose escribir que

d x

dxdd i x dd i x dd i N x

x xN

i

2

2 1 21�

� � �( )

( , ) ( ) ( ,2) ( ) ... ( , ) ( )�

� � � � � � �

en donde dd(i,j) es el elemento situado en la fila ‘i’ y columna ‘j’ de la matriz � �dd . Con ello,

y analizando la Fig. 7.7, resulta fácil comprobar cómo no es posible separar e independizar los

flujos de potencia salientes por cada uno de los extremos del periodo, pues tanto la primera

muestra como la última, al no poder disponer respectivamente de la muestra situada a la

izquierda y derecha, emplean, aprovechando el carácter periódico que la propia línea posee la

fila 1 de la matriz � �dd

fila N/2 de la matriz � �dd

fila N de la matriz � �dd

xix1 xN

xix1 xN

xix1 xN

Fig. 7.7: Operador derivada segunda del espacio funcional de Fourier en el dominio de los puntos: Coeficientes de la primera, intermedia y última fila de la matriz � �dd .

(7.18)


181

muestra situada en el extremo opuesto del periodo. Quiere eso decir, que cualquier

modificación efectuada sobre las muestras de uno de los lados del periodo afectarán,

inevitablemente, a lo que le ocurra a las muestras del lado contrario en el siguiente paso de

propagación.

7.5.- Aplicación de la Técnica de Transformación de Variables a Propagación

La imposibilidad de definir unas condiciones de contorno transparentes tan eficientes

como las que Hadley había obtenido para los métodos basados en diferencias finitas, invitaba

a seguir trabajando en la línea de mejorar las prestaciones de las ABC´s, hasta entonces única

opción con que contaban los métodos basados en desarrollos en serie de funciones globales.

El buen resultado conseguido por el MFDM, o técnica de transformación de variables, en

problemas de análisis modal hizo reflexionar sobre la posibilidad de importar dicha idea al

ámbito de la propagación. De hecho, todo apuntaba a que podría dar buen resultado, pues no

sólo sería posible mejorar la precisión lograda con los métodos sin transformación, sino lo que

es más importante, al comprimir el dominio infinito original en uno de dimensión finita, la

radiación saliente, y con independencia de la distancia de propagación que se pretenda

simular, jamás alcanzaría los extremos de la ventana de computación por situarse ésta en el

infinito.

Cuando la implementación de la técnica se encontraba en fase de elaboración fue

publicado en la bibliografía lo que se dio en llamar ‘el Método de Propagación del Haz sin

condiciones de contorno’ �LadouceurEne96�, lo cual, casualmente, era en esencia la misma

idea anterior, de ahí el nombre que el método recibió, pero con un esquema de discretización

transversal y longitudinal basado en diferencias finitas (Crank-Nicholson) y sólo aplicable al

caso lineal. Entre el trabajo llevado a cabo en la Tesis �WangüemertSep96� y el que acaba de

ser referenciado existen ciertas diferencias que merecen ser destacadas:

� El método de discretización empleado se sigue basando en un desarrollo del campo en

serie de Fourier.

� La formulación desarrollada contempla la posibilidad de tratar tanto problemas lineales

como no-lineales. Tanto es así, que los ejemplos analizados en �WangüemertSep96� son

exclusivamente no-lineales.

� Aunque a priori, y por las razones ya explicadas, no parece necesario tener que adosar

absorbentes en los laterales de la zona de interés, sin embargo, como se demostrará más


182

adelante, lo cierto es que sí tuvieron que ser utilizados para poder atenuar la aparición de

importantes reflexiones observadas a medida que la radiación transversal fluía hacia el

infinito, y provocadas por la disminución progresiva de la densidad de muestreo que por

efecto de la transformación tiene lugar.


Los principales pasos de que consta el método son los siguientes. En primer lugar, se

efectúa, sobre la ecuación no-lineal de Fresnel (7.1), el mismo cambio de variable de tipo

arcotangente definido en el capítulo cuarto, a saber

U tanx

x�

�

�

� �2 1

� �

y donde, al igual que allí ocurría, el factor de escalado "x permite controlar el grado de

compresión de la transformación. Nótese como en este caso no se ha permitido que el

centrado u offset sea uno de los grados de libertad a prefijar por el usuario, pues, al tratarse de

un problema dinámico y variable con la distancia de propagación, no sólo no parece claro

dónde deba situarse, sino que ni siquiera parece que sea posible encontrar, salvo excepciones,

un valor del mismo que se adecue a todas las formas que va a ir adoptando el campo en la

propagación, por lo que se ha fijado al valor de cero.

Llevando a cabo dicho cambio de variable, y haciendo uso de la regla de la cadena, se

obtiene la siguiente ecuación de ondas no-lineal en el dominio transformado

2 1

2

2 22 2 2

2

jU z

zf U

U z

Uf U

U z

Uk n U z n U

kU zN o o nl

N

o�

��

�

� �

�

��

��

��

( , )( )

( , )( )

( , )( , , ) ( ) ( , )� � � � � � � �

�

��

�

�

�

�

�

��

con -1 # U # 1 y z > 0, y donde f1(U) y f2(U) representan respectivamente (�U/�x)2 y (�2U/�x2).

A continuación, la ecuación de ondas (7.19) es discretizada transversalmente de la forma

ya conocida, esto es, utilizando el método de Galerkin con funciones base exponenciales

complejas. Para ello, el campo eléctrico es escrito como

� �( , ) ( )/

/U z z ek

jk K U

k N

NUo� � � �

��

2

2

(7.19)

(7.20)

(7.21)


183

donde KUo es la pulsación del armónico fundamental en el dominio transformado (Uo=2). Y

nuevamente, la utilización de los operadores matriciales permite escribir de forma compacta el

sistema no-lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden que resulta

� � � �2 jz

zAN

kk�

��

��

( )��

��

en donde la matriz � �A viene dada por

� � � � � � � � � � � � � �A P f U DD P f U D k P n U P n Uko L NL nl

N

o� � � � � � � �

�

��

�

�

�

�

�

��

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))1 22 2 2

2�

y para cuya resolución cabría hacer las mismas consideraciones que las realizadas en el

apartado 7.2.

7.5.2.- Resultados

En contra de lo que en un principio cabía esperar, la aplicación de la técnica de

compresión de variables a las ecuaciones del BPM no consiguió mejorar los resultados que se

obtenían con el método de descomposición de Fourier (FDM) y ABC´s en los extremos de la

ventana de computación. La causa hay que buscarla en las ya comentadas reflexiones que se

observaron cuando la radiación alcanzaba zonas poco muestreadas, por lo que, a poco que se

incrementaba la distancia sobre la que realizar la propagación, dicha reflexión distorsionaba

notablemente el resultado obtenido. Ello obligó a utilizar absorbentes eléctricos para que, en

el caso de producirse, el perjuicio ocasionado sea mínimo. Los absorbentes utilizados pueden

ser de dos tipos diferentes. Bien como los explicados en el apartado 7.3.(a), esto es, de

amplitud creciente y a partir de una cierta distancia se mantienen constantes hasta el infinito, o

bien siempre de amplitud creciente y adquiriendo su valor máximo en el infinito. Los diversos

casos analizados demostraron que a efectos prácticos decantarse por uno u otro es indiferente,

pues si desea que no aparezcan las reflexiones es muy importante que el campo se atenúe nada

más penetrar en el absorbente, lo que conlleva utilizar amplitudes muy grandes en el segundo

de los casos a fin de que la atenuación en la zona cercana a la de interés se haga notar.

Para mostrar dicho fenómeno se han mostrado en las Figs. 7.8(a) y 7.8(b) dos situaciones

diferentes. Ambas representan la propagación a través de un slab lineal de salto de índice

excitado inicialmente con una gaussiana. Su ancho ( o spot size1) ha sido elegido lo

1 El spot size o ancho de una gaussiana se define como la distancia respecto del máximo en el cual la amplitud de la gausiana es ‘e’ veces menor que la máxima.

(7.22)

(7.23)


184

suficientemente grande como para poder apreciar el efecto de la radiación. La única diferencia

entre las dos simulaciones está en la amplitud que toma el absorbente en el infinito (102 y 106

respectivamente). En ambas figuras se han pintado también la posición que, en función del

factor de escalado utilizado, ocupan las muestras en el dominio original. Véase como en el

primero de los casos la mayor penetración en el interior del absorbente da lugar a la aparición

de reflexiones, mientras que en el segundo éstas no son percibidas pues el campo es

rápidamente atenuado al entrar en el absorbente. Aunque pudiera parecer que el problema

queda así resuelto, lo cierto es que la situación a la que se llega es similar a la que se produce

cuando se utilizan ABC´s sin transformación de variables, pues como se recordará, los

gradientes no pueden ser excesivamente elevados pues de lo contrario se originarían

reflexiones provocadas por la discontinuidad entre medios. Esto último puede ser observado

en la Fig. 7.8 (b), en donde el alto incremento inicial experimentado por la parte imaginaria

del índice de refracción puede hacer que el campo refractado se vuelva a introducir en la zona

de guiado.

Los mismos problemas surgen cuando se mantiene constante el absorbente y se pretende

calcular el factor de escalado que mejor resultado consigue. El valor que finalmente se

seleccione podrá afectar no sólo a las reflexiones que se ocasionen en la zona de pérdidas,

pues su valor influye en la disposición espacial de las muestras, sino, por las mismas razones

que se argumentaron en un problema de análisis modal, también a la precisión que se consiga

en la zona de interés. Todo ello hace que la implementación óptima del MFDM a problemas

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 250

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000Envolvente del campo: ABC´s con Transf. de variable

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 250

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000Envolvente del campo: ABC´s con Transf. de variable

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

(a) (b) Fig. 7.8: Propagación a través de un slab de salto de índice utilizando el MFDM con ABC´s. Datos del slab: ns=nc=3.337,nf=3.38, ancho del núcleo=4 �m, =1.15 �m. Excitación inicial: gaussiana (spot size=6 �m). Datos del absorbente: perfil cosenoidal, amplitud: (a) 102 y (b) 106, ancho: � ��15�m, ��. Datos numéricos: N=128; �x=12· 10-6.


185

de propagación se convierta en una labor harto tediosa, y además sin la seguridad de obtener

mejores resultados que el método clásico sin transformación.

Para ilustrar lo anterior se ha simulado la forma habitual de evaluar las prestaciones de un

determinado absorbente en el campo de la óptica, y que no es otra que la propagación de un

haz gaussiano a través de un medio homogéneo. Si éste es lanzado con una inclinación

respecto del eje z de coordenadas y su spot size es elegido para que cuando el haz alcance el

absorbente apenas se haya producido difracción, que duda cabe que a partir de una cierta

distancia el haz debería haber desaparecido por completo de la zona de interés (la

comprendida entre los absorbentes), por lo que una buena medida del funcionamiento del

absorbente sería el calcular la evolución de la potencia en dicha zona y observar el valor final

al que se tiende, el cual , evidentemente, debería ser cero.

Cuando dicho tipo de simulaciones fue realizado se pudo comprobar la dificultad de

utilizar los métodos con transformación de variables en propagación. Solamente, y después de

haber optimizado de forma conjunta tanto el valor del factor de escalado como la amplitud del

absorbente, se pudo igualar el resultado obtenido cuando el método espectral era usado sin

transformación de variables (FDM) y ABC´s en los extremos del periodo. Los mapas de

contorno que se obtuvieron en cada caso y en una situación típica son los mostrados en las

Figs. 7.9 y 7.10., pudiéndose confirmar la coincidencia entre ambos. En la Fig. 7.11 se ha

representado también la evolución con la distancia de la potencia normalizada. En ella se

pretende poner de manifiesto la gran sensibilidad que, en problemas de propagación, presenta

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Envolvente del campo: ABC sin transf. de variable

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

Fig. 7.9: Propagación de un haz gaussiano en medio homogéneo (el vacío, =1�m). Método de discretización transversal utilizado: FDM con ABC´s. Datos del absorbente: perfil cosenoidal, amplitud: 0.1, ancho: 10�m ��15�m ,�25�m�. Datos numéricos: N=128.

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 250

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200Envolvente del campo: ABC con transf. de variable

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

Fig. 7.10: Propagación de un haz gaussiano en medio homogéneo (el vacío, =1�m). Método de discretización transversal utilizado: MFDM con ABC´s. Datos del absorbente: perfil cosenoidal, amplitud:106, ancho: � ��15�m, ��. Datos numéricos: N=128; �x= 12· 10-6


186

el método con el factor de escalado.

Véase, por ejemplo, como un valor

erróneo conduce a resultados desastrosos.

7.6.- Conclusiones

Para finalizar el presente capítulo, se resumen a continuación los principales aspectos

tratados a lo largo del mismo:

-Se han analizado cuáles son las dificultades que presentan los métodos espectrales para

ser utilizados en problemas de propagación, lo que justifica el escaso avance que en los

últimos años se ha producido en este tipo de técnicas y que contrasta claramente con el

que por ejemplo sí ha tenido lugar en los métodos basados en diferencias finitas y

elementos finitos (FD-BPM y FE-BPM).

-En este sentido se han desarrollado los fundamentos de la más conocida y universal

técnica espectral en el ámbito de la propagación, el FFT- BPM. Ello ha permitido

comprender mejor sus limitaciones, a saber, su periodicidad, propia del espacio funcional

utilizado, y todas aquellas que se derivan de la aproximación realizada sobre el operador

exponencial.

-El problema de la periodicidad es habitualmente controlado a partir de la colocación de

absorbentes eléctricos en los extremos del periodo. Sin embargo, el elevado costo

computacional que supone su utilización, sobre todo, si éste es comparado con el que

obtienen los métodos FD-BPM con condiciones de contorno transparentes, ha centrado

0 50 100 150 200-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Eje Z (um)

dB

10·log10( Potencia(z) / Potencia(0) )

‘__ __’: FDM+A BC ‘_____’: MFDM + ABC

�x: 12·10-6

�x: 6·10-6

Fig. 7.11: Evolución de la potencia con la distancia. Ventana de integración: �-15�m ,15�m�.


187

los principales esfuerzos del capítulo. En concreto, se han abordado dos posibles

soluciones. Primero, intentar definir unas TBC´s para los métodos espectrales, y segundo,

aplicar la técnica de compresión de variables, que tan buen resultado dio en el análisis

modal, a la propagación. En ambos casos, el comportamiento obtenido no fue todo lo

satisfactorio que se esperaba.

-En cuanto a los problemas originados por la forma de resolver el propagador exponencial,

se propone en primer lugar que en vez de trabajar con la versión pseudoespectral o de

colocación, se haga con la espectral o de Galerkin. Con ello se obtendría una matriz del

sistema de menor tamaño que podría ser resuelta utilizando cualquiera de los métodos

clásicos de integración, como pudiera ser el método de Runge-Kutta, evitando así los

problemas derivados del FFT-BPM. Además, si la radiación fuera correctamente resuelta,

en el sentido de absorber los modos radiados aunque estos no sean perfectamente

representados, cabría la posibilidad de trabajar con un número de términos similar al

empleado en el análisis modal, con lo que se mejoraría notablemente la eficiencia de los

métodos espectrales.

Capítulo 8:

Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones

de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales

8.1.- Introducción

La aparición de las PML (Perfectly Matched Layer) [Berenger94� en el ámbito de las

microondas supuso un cambio drástico en las prestaciones de los absorbentes, alcanzándose,

con anchos reducidos y sin necesidad de cambiar las especificaciones del mismo, coeficientes

de reflexión muy bajos independientemente de la frecuencia, polarización y ángulo de

incidencia. La formulación original propuesta por Berenger fue pensada para ser utilizada,

exclusivamente, con el FDTD (Finite-Difference-Time-Domain). Aunque los resultados

obtenidos demostraron que el nuevo absorbente se iba a erigir en la forma más eficiente de

truncar problemas abiertos, sin embargo, la dificultad de transportar la idea subyacente del

método a otras técnicas de discretización, la cual no es otra que la descomposición del campo

en subcomponentes y definir sobre las mismas unas nuevas relaciones constitutivas, hizo que

pronto surgieran en la bibliografía nuevas formulaciones que facilitaran dicha labor. Entre

éstas cabe destacar, fundamentalmente, dos: de una parte, la basada en el concepto de

coordenada compleja [ChewSep94�, y de otra, más conocida como versión anisotrópica

[SacksDic95�, la basada en terminar los contornos del problema con un material anisotrópico

con pérdidas no sólo de tipo eléctrico, sino también de carácter magnético.

En el mundo de la óptica integrada, la aparición de las PML´s no tuvo, inicialmente, la

misma repercusión que la ocurrida, por ejemplo, en el campo de las microondas. Fue

necesario que transcurrieran algunos años para que surgieran los primeros intentos de importar

la mencionada técnica a las ecuaciones del BPM �HuangMay96��VasalloJun96�

�YevickEne97�. Tanto es así, que sólo ha sido aplicada al caso 2D/escalar. Además, dado que

hasta ahora únicamente se ha hecho uso de la versión de las PML´s basada en la propagación a


190

través de un medio con coordenadas complejas, formulación que es implementada muy

fácilmente en el FD-BPM, su posible utilización en métodos de discretización global está aún

por explotar.

Si a todo ello se le unen los malos resultados obtenidos cuando las TBC´s fueron

aplicadas al espacio funcional de Fourier, así como la imposibilidad de mejorar las

prestaciones de los absorbentes eléctricos con la técnica de la transformación de variables,

ambas analizadas en el capítulo anterior, parece obvio, que el intentar definir unas PML´s

adecuadas para los métodos espectrales se convertía, de forma clara, en el siguiente paso a

realizar en la elaboración de la Tesis y, quizás también, en el último intento por situar a los

métodos espectrales al mismo nivel de eficacia, en lo que a propagación se refiere, que el que

tienen los métodos basados en diferencias finitas o elementos finitos.

Para la consecución de dicho objetivo se ha desarrollado una formulación PML basada en

la versión anisotrópica que puede ser utilizada con métodos globales. Además, con el fin de

obtener el mayor grado de generalización posible, la formulación se ha realizado con la

intención de poder abordar la situación más compleja que pudiera darse, esto es, la 3D-

vectorial �WangüemertSep98�. La técnica ha sido probada en muy diversas y variadas

situaciones (2D/vectorial lineal y no-lineal), obteniéndose, en todos los casos, excelentes

resultados. Para describir el trabajo que se realizó en este ámbito, el capítulo ha sido dividido

en los siguientes puntos:

� En primer lugar se van a describir los fundamentos de las PML´s, tanto la versión

coordenada compleja como la anisotrópica.

� A continuación, se presentará la principal aportación realizada en esta segunda parte de la

Tesis, la obtención de una formulación vectorial-BPM con condiciones de contorno PML

anisotrópicas adecuada para su utilización con métodos espectrales.

� Por último, se mostrarán, por una parte, los excelentes resultados que se obtuvieron en las

diferentes pruebas a las que fue sometida la formulación, y por otra, una nueva forma de

aplicar los métodos espectrales en problemas de propagación, con la que se consigue, no

sólo una mejora notable en la precisión, sino además, superar todas la limitaciones del

conocido FFT-BPM.

Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales

191

8.2.- Los Absorbentes Perfectamente Adaptados

Los absorbentes perfectamente adaptados, o PML´s, se definen como aquellas condiciones

de contorno que consiguen, sin necesidad de cambiar sus especificaciones, satisfacer la

condición de no-reflexión para todo ángulo de incidencia, frecuencia y polarización. Como ya

se ha adelantado, existen básicamente dos formas diferentes de lograrlo, que se denominarán

de ahora en adelante PML-coordenada compleja [ChewSep94� y PML-anisotrópica

[SacksDic95�, respectivamente. Aunque posteriormente surgió una nueva versión, la PML-

escalado del campo �WernerOct97�, lo cierto es que, como en el propio artículo se indica, no

es más que una generalización de las dos anteriores, a partir de la cual éstas pueden ser

fácilmente deducidas.

8.2.1.- Versión Anisotrópica

En el capítulo anterior se pudo comprobar la imposibilidad de conseguir la condición de

no-reflexión con absorbentes eléctricos, dado que el coeficiente de reflexión resultante es

tanto mayor cuanto mayores sean las pérdidas del material. Evidentemente, en un problema de

incidencia oblicua con esas características no existe grado de libertad alguno sobre el que

actuar para anular el valor del coeficiente de reflexión. Únicamente, y así se hizo, se puede

minimizar su valor, para lo cual es necesario una adecuada selección del ancho, amplitud y

perfil del absorbente para que la discontinuidad entre los dos medios se produzca de la forma

más suave. Ahora bien, que duda cabe que si se utilizaran absorbentes que requieran un mayor

número de parámetros para quedar completamente caracterizados, la expresión del coeficiente

de reflexión entre los dos medios dependerá de un mayor número de variables, por lo que,

quizás, pudiera existir alguna combinación de los mismos con la que se satisfaga la condición

de no-reflexión.

Tomando como punto de partida la idea anteriormente expuesta, en �SacksDic95� se

propone utilizar absorbentes anisotrópicos con pérdidas tanto eléctricas como magnéticas. La

introducción de éstas últimas permitirá conseguir la condición de no-reflexión para incidencia

normal, mientras que la dependencia de las propiedades del medio con la dirección, o

anisotropía, permitirá conseguirla para el resto de ángulos. Se resumen a continuación, los

fundamentos y conclusiones más importantes que se pueden extraer de dicho trabajo.


192

En la Fig. 8.1 se ha representado el planteamiento general del problema, la incidencia

oblicua de una onda plana entre un medio homogéneo y un medio absorbente con anisotropía

eléctrica y magnética, la cual, por simplicidad, es considerada diagonal.

La primera condición que debe ser satisfecha entre ambos medios es la igualdad o

adaptación de las impedancias características correspondientes. Con ello quedaría asegurada la

condición de no-reflexión para incidencia normal. Matemáticamente, esto puede ser escrito

como

Z Zmedio medio1 2� � � � � � � � � �� 1 11

2 21

� � ��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

o

o

o

o

Mx

o

My

o

Mz

o

Ex

o

Ey

o

Ez

o

j

j

j

j

j

j

�

�

�

��

�

�

��

� �

�

�

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

es decir, que la amplitud de las pérdidas eléctricas y magnéticas podrá ser todo lo grande que

se quiera siempre y cuando sean iguales entre sí, a saber

� � � ��

�

��

�

��

�

��

� �

�

��

�

��

�

��

� �

�

�

�

�

�

��

�

�

� �

�

�

�

�

�

��

�

�

o

Ex

o

Ey

o

Ez

o

o

Mx

o

My

o

Mz

o

j

j

j

j

j

j

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

�i �r

�t

Medio 1

Medio 2

x

z� � � ��

�

�

��

�

�

� ��

�

��

�

�

o o

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Fig.8.1: Incidencia oblicua desde un medio homogéneo (vacío) sobre un absorbente con anisotropía eléctrica y magnética.

(8.1)


193

� �

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0

�

�

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

�

��

� �

�

�

��

�

�

��

j

j

j

j

j

j

a

b

c

Ex

o

Ey

o

Ez

o

Mx

o

My

o

Mz

o

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

En cuanto a la condición no-reflexión para el resto de ángulos de incidencia, es posible,

forzando la continuidad de las componentes tangenciales de los campos �E y

�H en el interfaz,

establecer una serie de relaciones entre los elementos de la matriz � �� (a, b y c) que

garantizan su cumplimiento tanto para los modos TE (el campo�E sólo tiene componente y en

la Fig. 8.1) como para los modos TM (el campo�H sólo tiene componente y). Por ejemplo,

para la situación representada en la Fig. 8.1, la igualdad entre las fases de los campos da lugar

a la ley de Snell

sen sen� �i r�

sen sen� �i ta b� �

mientras que la igualdad de los módulos permite obtener una expresión del coeficiente de

reflexión en la discontinuidad

R

b

cb

c

TE

i t

i t

� �

�

cos cos

cos cos

� �

� �

para el modo TE, y

R

b

cb

c

TM

t i

t i

��

�

cos cos

cos cos

� �

� �

para el modo TM.

Por lo tanto, si se cumple que

a b� �1 � a b� �1

b c�

se asegura la condición de no-reflexión para cualquier frecuencia, ángulo de incidencia y

polarización. La expresión del campo transmitido hacia el medio PML se puede demostrar que

viene dada por

(8.2)

(8.3)

(8.4)

(8.5)

(8.6)

(8.7) a b c� � �1


194

� �E x z E e et o

k p x jk x zo t o t t( , ) cos (cos sen )� � ��

en donde se ha asumido que las pérdidas en la zona PML pueden ser escritas como

a b c j p� � � � �1 1

Obsérvese, cómo, aunque no exista reflexión para cualquier ángulo de incidencia, sin

embargo, la atenuación sufrida por el campo en el interior del medio PML sí depende de dicho

ángulo, siendo mayor para incidencia normal y nula para incidencia rasante.

La relación matemática obtenida en (8.7) es válida si el interfaz se sitúa en el plano YZ.

En el caso de hallarse sobre los planos XY ó XZ, debe ser sustituida por estas otras

a b c� ��1 ; para el plano XZ

a b c� � �1 ;para el plano XY

Por último, destacar que, aunque la amplitud de las pérdidas ‘p’ puede ser en principio

todo lo grande que se quiera, lo cierto es que, en aras de minimizar las reflexiones numéricas

que se producen siempre que exista una discontinuidad en las propiedades del material

�WuDic95�, la práctica habitual suele ser seleccionar un perfil p(x), continuo, el cual,

partiendo de cero en el interfaz alcance su valor máximo en el extremo de la zona PML, justo

en el punto en donde se ha truncado el problema. El perfil típicamente utilizado es el de tipo

polinómico, y más en concreto el parabólico, pudiéndose escribir como

p x Ax

n

( ) � ��

�

�

��

�

donde ‘A’ es la amplitud máxima de las pérdidas y ‘�‘ el ancho del absorbente.

8.2.2.- Versión Coordenada Compleja

En el apartado anterior se ha comentado la forma en que las PML´s anisotrópicas

consiguen la condición de no-reflexión. Ahora bien, si se analiza la expresión de una onda

plana, (� �

�

�

E E eojk r

� �

� ) el mismo efecto se puede lograr si el campo se propaga a través de un

medio con pérdidas (actuar sobre el vector de onda �k ), como si lo hace a través de una zona

en la que las coordenadas pasan a ser complejas (actuar sobre el vector de posición �r ). Pues

bien, la versión coordenada compleja de las PML hace uso de esta idea para atenuar el campo

en la zona PML. En cuanto a la condición de no-reflexión, ésta es deducida partiendo de unas

ecuaciones de Maxwell modificadas

(8.8)

(8.9)

(8.10)

(8.11)

(8.12)


195

� � � �e oE j H� �

��

� � � � � �h oH j n x y E� �

� � 2( , )

en donde los operadores �ey �hvienen definidos como

� � ex y z

xe x

ye y

ze z

� � �1 1 1�

�

�

�

�

�

� � hx y z

xh x

yh y

zh z

� � �1 1 1�

�

�

�

�

�

y calculando las relaciones que deben satisfacer los factores de escalado ex, ey, ez, hx, hy, y hz

para que la incidencia de una onda plana desde un medio homogéneo sobre otro con

coordenadas complejas se haga con coeficiente de reflexión igual a cero �ChewSep94�.

La principal ventaja que presenta la versión

PML-coordenada compleja es que su implementación

en un esquema de diferencias finitas es inmediata.

Para ello basta con definir un mallado no-

equiespaciado en la zona PML, tal y como se muestra

en la Fig. 8.2, con lo que únicamente es necesario

modificar la expresión con que está siendo

aproximada la derivada segunda del campo al pasar

de la zona de interés a la zona PML. Así, la expresión

a utilizar en un punto xi del mallado perteneciente al absorbente sería la siguiente

�YevickSep91�

� �

�

� � � �2

21

1 1

1

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

x x x

x x

x

x x

xx x i i

i i

i

i i

ii� �

�

��

�

��

��

donde �xi=xi+1-xi y �xi-1=xi-xi-1.

En la zona PML, la distancia entre muestras (�xi en la Fig. 8.2) se incrementa como

consecuencia del aumento negativo que presenta la parte imaginaria de la coordenada

compleja en el medio. Si el perfil que presenta dicho incremento viene dado por la función

p(x) (que pudiera ser el mismo que el utilizado con las PML´s anisotrópicas), el aspecto que

adopta la expresión (8.17) resulta ser finalmente la siguiente

� �

��

2

21 1

11

12 1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

( )( ) ( ) ( )

x

x x jp jp jpx

jp jpx

jpx

x x i i ii

i ii

ii

i��

�

�

��

� � ��

��

�

�

��

�

�

�

��

��

(8.13)

(8.14)

(8.15)

(8.16)

Zona PMLExtremo de la zonade interés

�x �xi=�x(1-jpi)

xreal xcompleja

Fig.8.2: Mallado no-equiespaciado complejo de la zona PML.

(8.17)

(8.18)


196

en donde se puede comprobar que si pi es cero (el punto xi pertenece a la zona de interés) se

reduce a la clásica y conocida fórmula de diferencias finitas para puntos equiespaciados.

8.3.- Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML

Supóngase que se desea analizar la propagación a través de una guiaonda 3D definida por

su constante dieléctrica relativa �(x,y). Si ésta se encuentra inmersa en un medio absorbente

con anisotropía eléctrica y magnética, tal y como se muestra en la Fig. 8.3, las ecuaciones de

Maxwell que gobiernan la propagación electromagnética a través de toda la estructura vienen

dadas por

� �� E j x y Ho c�� ( , )

� �� H j x y x y Eo c�� ( , ) ( , )

donde � ��c x y( , ) y � �� c x y( , ) son matrices diagonales las cuales representan,

respectivamente, las pérdidas magnéticas y eléctricas del material. Dichas matrices valen la

unidad en la zona de guiado mientras que en el interior del absorbente incrementan

negativamente su parte imaginaria.

Si a continuación se desea que el absorbente se comporte como un medio PML, es

necesario imponer las dos condiciones deducidas en el apartado anterior. Primero, la

condición no-reflexión para incidencia normal

� � � � � �� c cx y x y x y

a x y

b x y

c x y

( , ) ( , ) ( , )

( , )

( , )

( , )

� � ��

�

��

�

�

�

0 0

0 0

0 0

y segundo, la condición de no-reflexión para el resto de ángulos. Ello obliga a que se

satisfagan ciertas relaciones entre a(x,y), b(x,y) y c(x,y), dependiendo del plano en que se sitúe

el interfaz guiaonda-PML. Dichas relaciones son mostradas en la Fig. 8.3.

Seguidamente, si se aplica el rotacional a las

ecuaciones (8.19) y (8.20) y se introduce la

condición PML (8.21), se obtiene la siguiente

ecuación de ondas vectorial para el campo

eléctrico

(8.19)

(8.20)

(8.21)

(8.22)

a(x,y) = a(x)·a(y)b(x,y) = b(x)·b(y) c(x,y) = c(x)·c(y)

�(x,y)a = b = c = 1


a(x,y) = a(x)·a(y)b(x,y) = b(x)·b(y)

c(x,y) = c(x)·c(y)a(y) =b 1(y) =c(y)

a-1(x) = b(x) =c(x)


a(y) =b -1(y) =c(y)y

x

a-1(x) = b(x) =c(x)

Fig. 8.3: Geometría de la guiaonda y de la región PML que le rodea. Las relaciones impuestas en las esquinas han sido tomadas de �WuEne97 .

� � � ��

��

��

1 2� �E k x y Eo�( , )


197

la cual, combinada con la ecuación de la divergencia

� �� ( , )x y E��

0

permitirá deducir las ecuaciones de ondas que relacionan las componentes transversales del

campo eléctrico.

Para ello, y teniendo en cuenta que el problema planteado puede ser tratado como un caso

general de guiaonda anisotrópica, es posible seguir un proceso similar al realizado en

[XuNov94� para guiaondas con anisotropía eléctrica únicamente, para obtener las ecuaciones

de onda paraxiales que relacionan las envolventes complejas transversales del campo

eléctrico. Realizándolo, se obtiene

2 jz

P P

P PNx

y

xx xy

yx yy

x

y�

�

�

�

�

�

�

��

��

�

��

�

� �

��

��

donde �N es la constante de propagación de referencia usada en la aproximación paraxial, y Pii

y Pij representan, respectivamente, el operador diferencial copolar y contrapolar de cada una

de las componentes transversales. Éstos vienen dados por

� � � �Px c x

a by c y

k a b bxx xx

o N x��

� ��

��

�

��

�

� � � � ��

� �

�

��

�

�

��

��

1 1 2 2 1

� �Px c y

b by c xxy y

y�

��

�

��

�

�

�

��

�

�

�

� �

�

��

�

�

��

�

1 1

� � � �Py c y

b ax c x

k b a ayy yy

o N y��

� ��

��

�

�

�

��

�

� � � � ��

� �

�

��

�

�

��

��

1 1 2 2 1

� �Py c x

a ax c yyx x

x��

� ��

��

�

��

�

�

�

� �

�

��

�

�

��

�

1 1

La formulación obtenida ha sido probada en estructuras 2D (slabs). En ese caso, como ya

es sabido, las componentes transversales se encuentran desacopladas, resultando dos

soluciones diferentes e independientes, la TE (Transversal Eléctrica) y la TM (Transversal

Magnética). Si la dirección de invariabilidad transversal de la estructura es elegida para que

coincida con el eje y, el aspecto que finalmente toman los operadores diferenciales Pxx(TM) y

Pyy(TE) es el siguiente

� �P Px c x c

kxx TM x o N x� ��

��

��

�

��

� �

�

� �

�

�

��

1 2 2

(8.23)

(8.24)

(8.25)

(8.26)

(8.27)

(8.28)

(8.29)


198

� �P Pc x c x

kyy TEy

o N y� ��

��

�

� �

1 1 2 2�

�

��

��

en donde ya se ha hecho uso de las relaciones previamente definidas que deben ser satisfechas

entre a(x), b(x) y c(x) en el interior del medio PML.

Por último, parece interesante comparar la formulación que se ha obtenido con la que

resulta si en lugar de la versión anisotrópica de las PML´s se emplea la versión de

coordenadas complejas. Partiendo de las ecuaciones de Maxwell modificadas definidas en

(8.13) y (8.14) es posible obtener, siguiendo un proceso similar al anteriormente descrito, las

expresiones de los operadores diferenciales. En el caso de una estructura 2D el resultado al

que se llega es el siguiente

� �

� �P Pe x e x

kxxcc

TMcc

x x

xo N x� �

�

��

��

�

� �

1 1 2 2�

� �

� � �

��

� �P Pe x e x

kyycc

TEcc

x x

yo N y� �

�

��

�

� �

1 1 2 2�

�

��

��

el cual, si es comparado con las expresiones (8.29) y (8.30), permite concluir que ambas

formulaciones son exactamente iguales para los modos TE pero diferentes para los modos

TM. Es más, la versión coordenada compleja trata por igual a los campos transversales

eléctricos y magnéticos en el interior de la zona PML. Estas diferencias ya han sido descritas

con anterioridad en la literatura �WuEne97�, donde son atribuidas al carácter no-Maxweliano

de la formulación coordenada compleja, que da lugar a condiciones de salto en el interfaz con

el medio PML diferentes para los campos normales (�x) .

8.4.- Resultados

La formulación vectorial-BPM con condiciones de contorno PML que se acaba de presentar

puede ser discretizada transversal y longitudinalmente de muy diversas formas. El método que

aquí se propone ha sido ya esbozado en el capítulo anterior cuando se analizaban las

limitaciones del conocido FFT-BPM, y consiste, como se recordará, en utilizar la versión

espectral (método de Galerkin), en lugar de la pseudoespectral (método de colocación), del

espacio funcional de Fourier para discretizar los operadores transversales, y el operador

exponencial o cualquier método clásico de integración (por ej. Runge-Kutta) en la dirección

de propagación. Lo que se persigue con ello es poder disminuir el número de coeficientes del

(8.30)

(8.31)

(8.32)


199

desarrollo en serie de Fourier para que la aplicación del operador exponencial, necesario por

otra parte para poder superar todas las limitaciones implícitas del FFT-BPM, no se descarte de

antemano, sino al contrario, se presente como una opción, desde un punto de vista

computacional, atractiva y competitiva. Además, obsérvese que, las ecuaciones (8.25)-(8.28)

no pueden ser resueltas mediante el FFT-BPM, pues, como ya es sabido, es necesario, para su

aplicación, que el operador diferencial transversal pueda ser escrito como la suma de dos

términos, derivada segunda y el producto por el índice de refracción, cuya discretización con

Fourier de lugar a sendas matrices diagonales en el dominio de los coeficientes y en el

dominio de los puntos, respectivamente. El cruce entre las derivadas del campo eléctrico y los

factores de pérdidas anisotrópicas (a(x), b(x) y c(x)) en el interior del medio PML, de forma

similar a lo que ocurría con los modos TM, incumplen dicha condición e imposibilitan su

aplicación.

Para comprobar y evaluar no sólo la validez del método de resolución propuesto, sino

también el buen comportamiento de las PML´s anisotrópicas, se han analizado muy diversas y

variadas situaciones en estructuras 2D (y-invariantes), obteniéndose en todos los casos,

resultados muy satisfactorios. Aunque el medio PML se comportó de manera muy robusta

ante cualquier cambio en los parámetros que lo definían (tipo de perfil, ancho y amplitud), en

todas las situaciones que a continuación se van a presentar se empleó el medio PML siguiente:

c x jp x jAx

( ) ( )� � ��

�

�

��1 1

2

�

Por su parte, la excitación inicial utilizada fue siempre una gaussiana. El valor concreto

de su ancho (‘spot size’), media y ángulo de incidencia vendrán determinados por el efecto

que en cada simulación se pretendía analizar. En cualquier caso, la expresión genérica de la

misma viene dada por

� ��

�( , ) senx z e e

x x

x j k x xm

s o i m� � ��

��

��

�

��

� � � � �0

2

donde xm, xs y �i son, respectivamente la media, ancho y ángulo de incidencia (medido

respecto del eje z de propagación) y ko el vector de onda del medio desde donde se incide,

habitualmente, y salvo que se diga lo contrario, el vacío.

(8.33)

(8.34)


200

8.4.1.- Propagación en Medios Homogéneos

Como ya se comentó en el capítulo anterior, la forma habitual de evaluar las prestaciones

de un absorbente en el campo de la óptica consiste en lanzar, hacia una de las paredes o

contornos de la ventana de computación, un haz gaussiano con poca difracción y con un cierto

ángulo de inclinación para que, al cabo de una cierta distancia, éste haya sido completamente

absorbido por el medio absorbente. La evolución de la potencia normalizada, y el valor final al

que ésta tiende, será una muy buena medida sobre el buen funcionamiento del mismo.

En la 8.4 (a) se muestra el mapa de contorno obtenido para el modo TE y un ángulo de

inclinación de 15o respecto del eje de propagación. En ella se puede observar cómo el medio

PML realiza, con éxito, las dos funciones para las que fue pensado; primero, ser capaz de

absorber sin reflexión el frente de ondas incidente, y segundo, conseguir, que en un ancho

muy reducido, el campo quede totalmente atenuado. Asimismo, en la Fig. 8.4 (b) se ha

representado la variación con la distancia de la potencia contenida en la zona de interés (la

comprendida entre las líneas verticales de la Fig. 8.4.(a)) y normalizada al valor inicial, para

diferentes ángulos de incidencia. El comportamiento que se observa es el que cabría esperar,

pues, como ya se puso de manifiesto en la ec. (8.8), la atenuación sufrida por el campo en el

interior del medio PML sí que depende del ángulo de incidencia, siendo máxima para

incidencia normal y nula para incidencia rasante. Una prueba que informa de la eficiencia de

los absorbentes es el valor asintótico final al que tienden las diferentes curvas. Si éste es

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 500

50

100

150

200

250

300

350

X (um)

Z(u

m)

(a)

Fig. 8.4: Propagación de un haz gaussiano sin difracción en un medio homogéneo (el vacío), modo TE. (a) Mapa de contorno para un ángulo de inclinación de 15o. (b) Evolución de la potencia normalizada con la distancia de propagación para diferentes ángulos de incidencia. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �= 5�m. Datos de la excitación: xm=0, xs=18�m. Datos físicos: �=1�m. Datos numéricos: N=128

0 1000 2000 3000 4000-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Eje Z (um)

dB

10·log10 ( Potencia(z) / Potencia (z=0))

Modos TE Angulos de incidencia (o): 5-15-25-35-45-55

x

�iz

(b)


201

comparado por ejemplo con el que se obtenía con los absorbentes eléctricos, se observa una

mejora bastante considerable en las condiciones de contorno (del orden de los 40 dB).

Cuando el mismo tipo de experimento fue realizado sobre los modos TM se obtuvieron

los resultados que aparecen en la Fig. 8.5. En ella se puede observar que las curvas presentan

cualitativamente el mismo aspecto, sin embargo, los valores finales a los que todas ellas

convergen se encuentran unos 20 dB por

debajo de los que, para un mismo ángulo, se

obtenían con los modos TE. Dicho resultado

no debe parecer extraño, pues, como se

recordará, la diferencia entre la formulación

PML-anisotrópica y la formulación PML-

coordenada compleja se hallaba

precisamente en el diferente tratamiento de

la polarización que se obtenía con la

primera, mientras que con la segunda, los

modos TE y TM eran tratados por igual e

iguales a su vez al modo TE de la versión

anisotrópica.

El buen funcionamiento de las PML´s queda corroborado si se analiza una situación que,

como ya se explicó en el capítulo anterior, presentaba serias dificultades para ser abordada con

las TBC´s, la coincidencia de dos o más frentes de ondas sobre los contornos del problema.

Una forma de simularla consiste en excitar dos haces gaussianos altamente difractivos

�VasalloJun96�. Los resultados obtenidos con la formulación propuesta son los mostrados en

la Fig. 8.6(a) (mapa de contorno) y 8.6(b) (vista tridimensional). En ellas se puede comprobar

cómo el patrón de interferencia formado es perfectamente absorbido sin reflexión por el

medio PML.

Por último, y con el fin de cuantificar el error cometido en el campo eléctrico en todos y

cada uno de los puntos del dominio de interés, se procedió a resolver la siguiente ecuación de

ondas

��

�

� �

�

( , ) ( , )x z

z

j

k

x z

xo� �

�

��

�

� 2

2

2

0 1000 2000 3000 4000-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Eje Z (um)

10·log10 ( Potencia(z) / Potencia (z=0))

Modos TM Angulos de incidencia (o): 5-15-25-35-45-55

dB x

�iz

Fig. 8.5: Propagación en medios homogéneos. Evolución de la potencia normalizada con la distancia de propagación para diferentes ángulos de incidencia. Modos TM. Datos de la simulación: mismos que Fig. 8.4

(8.35)


202

la cual, como se puede comprobar, no es más que la propagación a través del vacío y donde la

!N ha sido elegida con el siguiente valor

� N o medio ok n k� � � (8.36)

Tal situación resulta ser particularmente interesante pues su solución exacta es conocida y

viene dada por

�( , )x zx

Xes

z

x

Xz� ��

��

�

�

2

donde Xz representa el ancho (o spot size) complejo, el cual es definido como

X x jz

kz so

2 2 2�

Seguidamente, y haciendo uso de la misma definición dada en �VasalloJun96� para

evaluar los errores que se cometen en el campo eléctrico con la distancia de propagación, a

saber

Err z

x z x z

x z

iexacto

ii

exactoi

i

( )

( , ) ( , )

( , )�

"

"

� �

�

2 2

2

se ha comparado la técnica espectral propuesta en esta Tesis con el método habitual de

resolución empleado en el ámbito de la propagación óptica, diferencias finitas y condiciones

(8.36)

−15−10−5051015

0

10

20

30

40

50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eje X (um)

Eje Z (um)

(b)

−10 −5 0 5 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

(a)

Fig. 8.6: Incidencia de dos haces gaussianos altamente difractivos sobre el medio PML, modo TE. (a) Mapa de contorno (b) Vista tridimensional del módulo de la envolvente. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �= 5�m. Datos de la excitación: xm1= -5�m, xm2= 5�m, xs1=0.4�m, xs2=0.4�m. Datos físicos: �=1�m. Datos numéricos: N=128

(8.37)

(8.38)

(8.39)


203

de contorno PML-coordenada compleja en los extremos del dominio. En ambos casos, y para

separar los errores transversales de los longitudinales, se utilizó el propagador exponencial.

Los resultados obtenidos, en función del número de armónicos y en función del número de

puntos del mallado, según corresponda, son mostrados en la Fig. 8.7. En ella se puede

comprobar cómo los errores cometidos con diferencias finitas y 512 puntos son comparables a

los obtenidos con Fourier y 64 armónicos. Aunque, evidentemente, en la comparativa que se

ha hecho entre ambos métodos no han sido tenidos en cuenta los errores numéricos que se

podrían cometer en la dirección de propagación, dada la aplicación del propagador

exponencial, el solo hecho de poder resolver mediante técnicas espectrales y con unos

parámetros numéricos muy competitivos lo

que habitualmente se suele hacer con el FD-

BPM, justifica la importancia de la

formulación vectorial-BPM con condiciones

de contorno PML que se ha presentado. Es

más, como seguidamente se va a demostrar,

su resolución mediante la técnica todo-

espectral propuesta supera con creces, no

sólo los problemas asociados, sino también

la precisión, del hasta ahora único método

espectral utilizado para simular la

propagación de la envolvente óptica, el

FFT-BPM.

8.4.2.- Propagación en Guiaondas-2D

El verdadero interés de la nueva formulación PML desarrollada, así como del método

espectral propuesto para su resolución, radica en la propagación óptica guiada. Para estudiar

cómo responde ante la nueva situación, se han utilizado el mismo tipo de simulaciones y

resultados que los empleados en �ChungAgo90� para comparar exhaustivamente el FD-BPM y

el FFT-BPM. En dicho artículo, un clásico por otra parte en el campo de la simulación óptica,

se dejan bien a las claras las ya conocidas limitaciones del FFT-BPM y cómo pueden

superadas gracias a la utilización del FD-BPM. En el mencionado trabajo, para evaluar las

prestaciones de ambos métodos, se cuantifica la precisión obtenida en la constante de

0 5 10 15 20 25 30 35 4010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Eje Z (um)

Err

(z)

FD−64

FD−128

FD−256

FD−512

Fou−64

Fou−128

Fig. 8.7: Error relativo del campo para Fourier (Fou) y Diferencias Finitas (FD) definido en (8.39) frente a la distancia de propagación. Datos del PML: A=8, �= 1.5�m. Datos de la excitación: xm=0, xs=0.4�m. Datos físicos: �=1�m. Ventana de computación: �-6�m, 6�m .


204

propagación del modo fundamental cuando un slab de salto de índice, en condiciones

monomodo, es excitado inicialmente con una gaussiana. Existen diversas formas para, una

vez realizada la propagación, evaluar el valor de la constante de propagación. La que se ha

empleado en la realización de la Tesis consiste en calcular la pendiente de la fase de la

envolvente compleja del campo a distancias muy alejadas del plano de excitación, una vez que

los modos radiados se han alejado de la zona de guiado y han sido absorbidos por el medio

PML. La razón de su utilización es que con ello se consigue además conocer el grado de

absorción de las PML´s y su comportamiento en presencia de campo evanescente. Téngase en

cuenta que un mal resultado podrá ser debido tanto a la precisión del método de discretización

transversal como a las posibles reflexiones ocasionadas con el medio PML.

Haciendo uso de la técnica anteriormente descrita se han analizado los dos slabs de salto

de índice propuestos en �ChungAgo90�. El primero de salto pequeño (nsubstrato=ncubierta=3.377;

nnúcleo=3.38) y el segundo de salto abrupto (nsubstrato=3.377; nnúcleo=3.38; ncubierta=1.0). El error

relativo cometido en la constante de propagación normalizada en función del número de

coeficientes empleados es el representado en las Figs. 8.8 y 8.9 para guiado débil y guiado

fuerte, respectivamente. Con el fin de evaluar la precisión lograda por nuestro método en

comparación con el FD-BPM y FFT-BPM, en ambas figuras también se muestra el error que

se obtiene si en dirección longitudinal se sigue empleando el propagador exponencial pero en

la dirección transversal los operadores son discretizados usando por una parte diferencias

finitas (FD), y por otra, la versión pseudoespectral (MPE) del espacio funcional de Fourier, lo

cual es equivalente a utilizar el FD-BPM y el FFT-BPM con pasos de propagación (�z) muy

pequeños. De hecho, los resultados así obtenidos coinciden plenamente con los publicados en

�ChungAgo90�. Para que la comparación fuera lo más ecuánime posible, los extremos del

dominio fueron terminados con condiciones de contorno PML en ambos casos, la versión

coordenada compleja para diferencias finitas, y la anisotrópica para el método

pseudoespectral.

La conclusión más importante a la que se llega en �ChungAgo90� es que si bien para

valores de �z pequeños la precisión conseguida con el FFT-BPM y FD-BPM son del mismo

orden de magnitud (véanse sus respectivas velocidades de convergencia en las Figs. 8.8 y 8.9),

sin embargo, a medida que aumenta el gradiente del índice de refracción, el comportamiento

del FFT-BPM se vuelve muy sensible al paso de propagación empleado, degenerando


205

rápidamente a poco que se incremente. Todo lo contrario ocurre con el FD-BPM que presenta

un comportamiento bastante más estable y robusto.

Ahora bien, con la nueva modalidad de técnica espectral sugerida en esta Tesis, la

situación de clara desventaja en la que se encontraban los métodos espectrales cambia por

completo pues, como se puede observar en las Figs. 8.8 y 8.9, las velocidades de convergencia

que se consiguen tanto en guiado débil como en fuerte son muy superiores a la del FD-BPM, y

por supuesto también a la del FFT-BPM. Además, al trabajar con el propagador exponencial,

no existe limitación alguna a la hora de elegir el tamaño del paso de propagación, pudiendo

ser en principio, todo lo grande que se quiera.

En cuanto a lo que ocurre con la distribución espacial del campo, las diferencias

obtenidas son, si cabe, más apreciables. Es más, con el método todo-espectral propuesto, se

consigue un comportamiento bastante interesante. Éste fue planteado en el capítulo anterior y

como se recordará consistía en que, aunque no sea posible representar con un número

reducido de coeficientes lo que ocurre en la fase inicial de la propagación, justo cuando se

produce la radiación, y por tanto, la mayor variabilidad del campo, si se es capaz de absorber

la potencia contenida en los modos radiados será posible obtener una buena representación del

campo una vez que se alcance el modo que la estructura en cuestión soporte, lo cual, por otra

parte, es lo que en la mayoría de las ocasiones interesa conocer para poder diseñar un

dispositivo o analizar su funcionamiento. Para ilustrar la veracidad de la afirmación anterior

se ha representado en las Figs. 8.10 (a) y 8.10 (b) los mapas de contorno que se obtienen

0 16 32 64 128 256-80

-60

-40

-20

0

20

40

N

Error Relativo constante de propagación normalizada (%)

Modo TE-Guiado fuerte:‘o’ FD Diferencias Finitas‘+’ MPE Método Pseudoestectral‘*’ ME Método Espectral

Valores finales (%): FD: -2.01; MPE: -2.65; ME: -0.15

Fig. 8.9: Evolución del error relativo de la constante de propagación obtenido con el FD, MPE y ME. Modo TE-Guiado fuerte. Datos físicos: ns=3.377; nf=3.38; nc=1.0; ancho del slab=4�m; �= 1.15 �m.

0 16 32 64 128-20

-15

-10

-5

0

5

10

N

Error Relativo constante de propagación normalizada (%)

Modo TE-Guiado débil:‘o’ FD Diferencias Finitas‘+’ MPE Método Pseudoestectral‘*’ ME Método Espectral

Valores finales (%): FD: 1.19; MPE: 1.12; ME: -0.01

Fig. 8.8: Evolución del error relativo de la constante de propagación obtenido con el FD, MPE y ME. Modo TE-Guiado débil. Datos físicos: ns=nc=3.377; nf=3.38; ancho del slab=4�m; �= 1.15 �m.


206

cuando la propagación en el citado

slab es resuelta mediante la técnica

todo-espectral con 16 y 128

armónicos respectivamente. Si

ambos son comparados, se podría

pensar que la mala representación

de la radiación que resulta cuando

se trabaja con un reducido número

de armónicos pudiera afectar, y

mucho, a lo que ocurre a distancias más alejadas del plano de excitación. Ahora bien, como

muy se observa en la Fig. 8.11, si se comparan los perfiles de campo eléctrico una vez que el

modo ha sido prácticamente alcanzado, apenas existen diferencias entre las soluciones

obtenidas con 16 y 128 armónicos. No ocurre lo mismo con el método pseudoespectral cuya

solución con 16 coeficientes difiere bastante de la que se obtiene con 128. Este resultado no

hace más que confirmar la mayor velocidad de convergencia que se consigue cuando, en lugar

de utilizar la versión pseudoespectral de un determinado espacio funcional global (como por

ejemplo hace el FFT-BPM con el espacio funcional de Fourier), se utiliza su versión todo-

espectral (método de Galerkin), o, tal y como se dio en llamar en el capítulo tercero,

simplemente espectral.

-20 -15 -10 5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Eje X (�m)

�(x,5000 �m): ME (128) MPE (128)�(x,5000 �m): ME (N=16)

�(x,5000 �m): MPE (N=16)

Fig. 8.11: Comparación entre las distribuciones de campo al final de la propagación

−20 −15 −10 −5 0 5 10 150

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Envolvente modo TE(ME,N=16)

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

−20 −15 −10 −5 0 5 10 150

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Envolvente modo TE(ME,N=128)

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

(a) (b)

Fig 8.10: Mapa de contorno del modo TE obtenido con el método espectral con 16 y 128 armónicos respectivamente. Modo TE, guiado débil.


207

8.4.3.- El Modo TM en Guiaondas-2D

Como se demostró en el capítulo anterior, el esquema de discretización longitudinal

utilizado por el FFT-BPM no puede ser aplicado para resolver la ecuación de ondas que

gobierna la propagación de los campos transversales magnéticos o modos TM a través de una

guiaonda 2D. Sin embargo, con el nuevo esquema de discretización propuesto en esta Tesis,

no es necesario imponer ningún tipo de restricción sobre la matriz que resulte del proceso de

discretización transversal; únicamente, y en aras de no incrementar excesivamente el costo

computacional que conlleva la propagación, es suficiente con reducir sus dimensiones, lo cual,

como se acaba de demostrar, es posible si se trabaja con el Método de Galerkin en lugar de

con el de colocación.

Para demostrar cómo con la nueva formulación PML y la versión mejorada de los

métodos espectrales era posible representar la propagación de los modos TM a través de un

slab, que, evidentemente tendrá que ser de salto abrupto para no degenerar en el modo TE, se

ha representado en la Fig. 8.12(a) y 8.12(b) el mapa de contorno que se obtiene, en un slab

con un perfil en el índice de refracción del tipo secante hiperbólico cuadrado, con la

formulación anisotrópica y con la formulación coordenada compleja respectivamente. Como

ya se adelantó cuando ambas formulaciones fueron presentadas, el comportamiento en el

interior del medio PML es diferente. Esto puede ser confirmado en dichas figuras, en donde se

puede observar la perfecta coincidencia de los mapas de contorno en la zona de guiado y

−20 −15 −10 −5 0 5 10 150

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Envolvente modo TM−PML anisotrópica

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

−20 −15 −10 −5 0 5 10 150

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Envolvente modo TM−PML coordenada compleja

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

(a) (b)

Fig. 8.12: Propagación del modo TM a través de un slab con perfil de tipo secante hiperbólico cuadrado. (a) Formulación PML-anisotrópica. (b) Formulación PML-coordenada compleja. Datos físicos: :nf=4.0, ns=2.0, n2(x)=n2

s+( n2f - n

2s)· sech2(x), �=20�m. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �=5�m. Datos de la

excitación: xm=0, xs=1.25 �m. Datos numéricos: N=128.


208

difieren en la zona PML. Lo más sorprendente de la formulación PML-anisotrópica es que, a

diferencia de lo que ocurría con la propagación en medios homogéneos, el campo en el

interior del absorbente tiende aun valor distinto de cero y con una distribución que se asemeja

cualitativamente al perfil PML que se haya empleado. Tal efecto es mostrado en la Fig. 8.13

en donde los campos (�x) al final de la propagación son comparados con el primer modo TM

que la estructura soporta, que dicho sea de paso, ha sido obtenido numéricamente mediante la

utilización del FDM. En ella se puede

corroborar una vez más el buen

comportamiento de las dos formulaciones

PML, pues los perfiles de los campos, una

vez desprendidos de los modos radiados, son

exactamente iguales que el modo TM en la

zona de interés.

Por otra parte, como es bien sabido, un

problema implícito del espacio funcional de

Fourier es su imposibilidad de representar

funciones discontinuas. En la situación

anteriormente analizada el perfil del índice

de refracción utilizado es una función

continua, y por consiguiente, las

componentes del campo normales al interfaz

son también continuas, como se puso de

manifiesto en la Fig. 8.13. Ahora bien, si el

índice de refracción posee un perfil de salto

de índice abrupto, las componentes

transversales del campo no podrán ser bien

representadas. Para dejar en evidencia este

punto negro del espacio funcional de Fourier

se ha analizado la propagación en un slab de

las características anteriormente reseñadas,

comparándose nuevamente los campos

eléctricos transversales (�x) al final de la

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Campos finales ��x(x,zfinal)�

Eje X (um)

zonaPML

zonaPML

Campo en la zonaPML de la versión

anisotrópica

Fig. 8.13: Comparación entre la formulación PML-anisotrópica y la PML-coordenada compleja: campos al final de la propagación representada en las Figs. 8.11 (a) y 8.11 (b). En la Fig. también se ha pintado el modo TM soportado por la estructura.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eje X (�m)

Campos finales ��x(x,zfinal)�

zonaPML

zonaPML

PML-a PML-cc

Solución exacta modo TM

Fig. 8.14: Comparación entre las distribuciones de campo obtenidas al final de la propagación y el modo TM soportado por la estructura. Datos físicos: slab de salto de índice, nf=1.80, ns=nc=1.55, ancho slab=2.5�m, �=6.3 �m. Datos de la excitación: xm=0, xs=2.20�m. Datos numéricos: N=128


209

propagación con los del modo TM, en este caso obtenido analíticamente. El resultado es el

mostrado en la Fig. 8.14 y en ella se aprecia claramente cómo las PML siguen funcionando

correctamente pero, sin embargo, a raíz de la discontinuidad forzada que debe presentar el

campo en los interfaces núcleo-substrato y núcleo-cubierta, la solución numérica obtenida

sufre el conocido fenómeno de Gibbs.

8.4.4.- Aplicación de las PML a la Simulación de Dispositivos No-Lineales

Para conseguir la condición de no-reflexión entre un medio dieléctrico y el absorbente

PML, además de imponer el mismo ritmo de variación para las pérdidas eléctricas y

magnéticas, se impuso, como condición necesaria, que el índice de refracción en el interior del

medio PML se mantuviera constante e igual al valor del medio desde donde se incidía. Quiere

eso decir, que si el PML es colocado para truncar un medio no-lineal indefinido la

formulación que se ha desarrollado no sería válida pues el índice de refracción dependerá de la

intensidad del campo en cada punto del espacio, y por consiguiente, se producirá una

variación continua de la impedancia característica a medida que el campo penetra en el

interior del absorbente. Sin embargo, la formulación propuesta podrá seguir siendo utilizada

para el análisis de la propagación en dispositivos no-lineales siempre y cuando sea posible

truncar el dominio de observación en las zonas lineales de la estructura bajo estudio. Es el

caso, por ejemplo, de los dos slabs no-lineales representados en las Figs. 8.15 y 8.16. En

ambos casos la no-linealidad es de tipo Kerr y se sitúa en el núcleo, diferenciándose una de la

−10 −5 0 5 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Eje X (um)

Eje

Z (

um)

−10−50510

0

20

40

60

80

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eje X(um)

Eje Z(um)

(a) (b)

Fig. 8.15: Propagación del modo TE a través de un slab de salto de índice con no-linealidad desenfocante de tipo Kerr en el núcleo. Datos físicos: nf=1.57, ns=nc=1.55, ancho del slab:2.5�m, 0.75�(3)= -1(m/V)2, �=1.3�m. Datos de la excitación: modo fundamental del slab lineal. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �=4�m. Datos numéricos: N=128


210

otra en que la primera es desenfocante (‘defocusing’) y la segunda enfocante (‘self-focusing’).

El método de resolución utilizado en ambas simulaciones ha sido Fourier (Galerkin) en la

dirección transversal y el método de Runge-Kutta de cuarto orden en la dirección longitudinal.

Por último, destacar que las situaciones representadas en las Figs. 8.15 y 8.16 no fueron

diseñadas con el fin de conseguir un determinado comportamiento del dispositivo no-lineal,

sino demostrar que también es posible simular, con la nueva formulación PML y mediante

técnicas espectrales superiores a las que hasta ahora se venían utilizando, la propagación de la

envolvente óptica en guiaondas dieléctricas no-lineales.

8.5.- Conclusiones

Los aspectos más importantes tratados a lo largo del presente capítulo han sido los

siguientes:

� Se han descrito los fundamentos teóricos de las PML´s, tanto en su versión anisotrópica

como en su versión coordenada compleja.

� Se ha presentado una nueva formulación del vectorial-BPM con condiciones de contorno

PML adecuada para su utilización con los métodos espectrales. Aunque en principio se

podía haber utilizado cualquiera de las dos versiones PML, se ha optado por la versión

anisotrópica para realizar el desarrollo íntegro y detallado, si bien se exponen las

−10 −5 0 5 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Eje X(um)

Eje

Z(u

m)

−10

−5

0

5

10

0

20

40

60

80

100

0

0.5

1

1.5

2

Eje X(um)Eje Z(um)

(a) (b)

Fig. 8.16: Propagación del modo TE a través de un slab de salto de índice con no-linealidad enfocante de tipo Kerr en el núcleo. Datos físicos: nf=1.57, ns=nc=1.55, ancho del slab:2.5�m, 0.75�(3)=0.25(m/V)2, �=1.3�m. Datos de la excitación: modo fundamental del slab lineal. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �=4�m. Datos numéricos: N=128.


211

ecuaciones finales a las que se habría llegado si se hubiera empleado la versión

coordenada compleja. Las diferencias existentes entre ambas formulaciones han sido

mostradas mediante la simulación de ejemplos concretos.

� En cuanto los resultados presentados, se ha confirmado, en primer lugar, el buen

funcionamiento que la nueva formulación ofrece en un amplio abanico de situaciones, y a

continuación, se ha demostrado cómo es posible mejorar las prestaciones de los métodos

espectrales en el ámbito de la propagación y superar todas la limitaciones que el conocido

y clásico FFT-BPM posee. Con ello se abre la interesante posibilidad de volver a utilizar

los métodos espectrales para el análisis de la propagación de la envolvente óptica y no,

como hasta ahora se viene haciendo, emplearlos exclusivamente para el análisis modal de

guiaondas ópticas.

Capítulo 9:

Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación

9.1.- Conclusiones

Una vez finalizada la exposición de los diferentes capítulos en los que ha sido dividida la

Tesis Doctoral, se resumen a continuación las principales aportaciones y tareas que en ella se

han realizado:

*El FDM y el HGDM

Se han analizado las principales limitaciones que poseen los dos métodos espectrales más

utilizados para el análisis modal de guiaondas dieléctricas lineales, el FDM (Fourier

Decomposition Method) y el HGDM (Hermite-Gauss Decomposition Method). En concreto,

el primero presenta una gran dependencia entre la precisión obtenida y el tamaño de la

ventana de cómputo (periodo) que, con anterioridad a su aplicación, se haya seleccionado. Por

su parte en el segundo, el escalado de las funciones base propuesto en la bibliografía resulta

ser prácticamente el óptimo cuando el campo se encuentra muy confinado en la zona de

guiado, pero se comporta muy mal a poco que el campo evanescente comienza a ser

importante, es decir, a frecuencias más bajas.

*El M FDM

El MFDM (Modified Fourier Decomposition Method), propuesto en �HewlettMar95� para

analizar guiaondas ópticas 3D-lineales superando las limitaciones del FDM, ha sido aplicado

con éxito al análisis modal de guiaondas 2D/escalares/no-lineales. Las claves de las mejores

prestaciones que el método ofrece son dos:

a) Comprimir, mediante una transformación de tipo arcotangente y con un cierto factor

de escalado, el dominio infinito original en uno de dimensión finita. De este modo se

abarca todo el espacio y se evita la dependencia del método con el tamaño de la

ventana.


214

b) Poder conformar, mediante una adecuada elección del factor de escalado, la distribución

espacial del campo en el dominio transformado para que su aproximación mediante un

desarrollo en serie de Fourier requiera el mínimo número de armónicos.

Pese a que se pudo comprobar la robustez del MFDM en un amplio margen de

frecuencias y grados de no-linealidad, el método seguía presentando serias carencias, a saber:

a) Dificultad para analizar problemas asimétricos, por ejemplo, los que se producen cuando

el campo, como consecuencia de la no-linealidad, se encuentra muy desplazado hacia el

substrato o cubierta.

b) La falta de un criterio que permita elegir cuál es el factor de escalado que proporciona el

mejor resultado, con la certeza de no equivocarse y sin la necesidad de llevar a cabo un

proceso iterativo y visual.

*Los métodos espectrales con transformación de variables

Para mejorar, aún más, las prestaciones del espacio funcional de Fourier, se propusieron

en esta Tesis las novedades siguientes:

a) Introducir un nuevo grado de libertad, el centrado u offset, con el que poder analizar

eficientemente situaciones asimétricas. La denominación del nuevo método así definido

fue el O-MFDM (Offset-Modified Fourier Decomposition Method).

b) Definir un criterio de optimización que garantice una elección quasi-óptima de los

parámetros que definen la transformación, en este caso el factor de escalado y el

centrado.

c) Desarrollar un algoritmo de optimización, el cual, partiendo de unos valores iniciales

arbitrarios de los parámetros de la transformación y haciendo uso del criterio de

optimización, sea capaz de converger hacia las zonas de máxima mejora. En comparación

con otras estrategias de optimización, su principal ventaja radica en que sólo necesita

resolver el problema de autovalores y autovectores una vez por iteración.

La autoconsistencia del nuevo método fue probada en guiaondas 2D/escalares en un

amplio abanico de situaciones, lineal, no-lineal, modo fundamental, modos superiores, ...,

obteniéndose, en todos los casos, resultados muy satisfactorios.

La novedosa técnica fue trasladada también con éxito al espacio funcional de Hermite-

Gauss, dando lugar al O-HGDM (Offset-Hermite Gauss Decomposition Method) y

lográndose un comportamiento, cuando menos superior, que el obtenido con su predecesor el

HGDM.


215

*Extensión de los métodos espectrales con transformación de variables a guiaondas

ópticas 3D

La nueva familia de métodos espectrales, el O-MFDM y el O-HGDM, así como sus

correspondientes algoritmos de optimización fueron ampliados para ser aplicados en

guiaondas dieléctricas 3D/escalares lineales y no-lineales. Las primeras sirvieron para

comprobar el funcionamiento de los algoritmos en situaciones 3D, pues se analizaron

estructuras que, aunque de escaso interés práctico, poseían solución analítica. Ello permitió

asimismo comparar las precisiones y tiempos de cálculo de los diferentes métodos espectrales

que han sido objeto de estudio a lo largo de la Tesis. Por otra parte, y con el fin de probar la

capacidad de la herramienta numérica que finalmente se había desarrollado, se analizaron dos

estructuras no-lineales de gran interés para el diseño de dispositivos todo-ópticos, la guiaonda

strip no-lineal y la fibra óptica no-lineal. Los resultados obtenidos con un número muy

reducido de términos mostraron una total concordancia con los publicados en la bibliografía.

*Método de Newton-Raphson y formulación matricial de operadores

Para resolver el problema no-lineal de autovalores y autovectores, además del método de

la autoconsistencia de los campos, se ha empleado el conocido método de Newton-Raphson

con interesantes novedades en la forma de aplicación. Primero, la evaluación del término no-

lineal del sistema de ecuaciones se ha hecho siguiendo una estrategia similar a la que se

emplea en la técnica del balance armónico, y segundo, se han deducido expresiones analíticas

del jacobiano que permiten un cálculo más preciso del mismo.

Otra de las grandes aportaciones realizadas, también en el ámbito matemático, ha sido la

simplificación de la notación presentada. Para ello se ha introducido el concepto de operador

matricial y se ha calculado la matriz que efectúa la operación matemática correspondiente en

función del espacio funcional sobre el que se realice la aproximación.

*Propagación óptica mediante técnicas espectrales

Se han analizado las principales limitaciones que el conocido FFT-BPM posee,

proponiéndose, para mejorar las prestaciones de los métodos espectrales en el ámbito de la

propagación, los siguientes cambios:

a) En primer lugar se ha desarrollado una formulación vectorial-BPM con condiciones de

contorno PML adecuada para los métodos espectrales. La eficiencia de la nueva


216

formulación fue sometida a muy diversas y variadas pruebas: propagación en medios

homogéneos, guiaondas, modos TE, modos TM,..., lográndose una perfecta absorción

para cualquier ángulo, frecuencia y polarización.

b) En cuanto a la discretización de las ecuaciones de ondas que resultan con la formulación,

en la dirección transversal se sugiere seguir usando el espacio funcional de Fourier, pero en

lugar de emplear la estrategia pseudoespectral del método de colocación, tal y como se

hace con el FFT-BPM, se ha comprobado la superior precisión que se consigue con la

todo-espectral del Método de Galerkin. Ello permite disminuir notablemente el número de

armónicos que se requiere para resolver la propagación de la envolvente óptica, por lo que

la utilización del propagador exponencial, o de cualquier método clásico de integración de

probada eficiencia como el de Runge-Kutta, llega a ser computacionalmente factible.

Los cambios sugeridos han permitido analizar situaciones hasta ahora imposibles de tratar

con el FFT-BPM. Es el caso, por ejemplo, de las guiaondas de guiado fuerte, en donde la

propagación de los modos TE presenta una pobre precisión y la de los modos TM es

inabordable.

9.2.- Líneas Futuras de Investigación

Las posibles líneas de investigación que se abren una vez que se ha finalizado son muy

diversas y variadas. Entre ellas cabría destacar las siguientes:

-Estudiar la posibilidad de utilizar otro tipo de transformaciones en los espacios

funcionales de Fourier y Hermite-Gauss que pudieran mejorar las prestaciones de las que

respectivamente se usaron en el O-MFDM y O-HGDM.

-Aumentar la rapidez del algoritmo de optimización. Para ello habrá que implementar

alguno de los conocidos métodos de optimización de funciones, como por ejemplo el

método del gradiente conjugado, con el fin de minimizar el número de evaluaciones de la

función varianza.

-Aplicar los nuevos métodos espectrales con transformación de variables al caso vectorial.

Para ello parece razonable seguir el mismo esquema que se ha seguido en la Tesis para el


217

caso escalar, es decir, comenzar con la ecuación de ondas de los modos TM en

estructuras dieléctricas 2D lineales y no-lineales, y pasar luego al 3D/vectorial lineal y

no-lineal. Asimismo, sería interesante diseñar alguna estrategia que evite el conocido

fenómeno de Gibbs que, como se ha podido demostrar, sufre la distribución espacial del

campo eléctrico en guiaondas de salto de índice abrupto. Que duda cabe que, en el caso

de conseguir esto último, se podría pensar en la forma de trasladar la mencionada

estrategia a la ecuación de ondas que gobierna la propagación de la envolvente óptica.

- Integrar las herramientas numéricas desarrolladas, y las que surjan si se implementan sus

versiones vectoriales, en un único paquete informático que permita realizar el análisis

modal de las guiaondas ópticas que defina el usuario. La idea es que el diseñador

disponga de un producto con un interfaz sencillo, por ejemplo a modo de ventanas, con el

que poder estudiar cualquier tipo de geometría y obtener del mismo todos los cálculos

que le sean necesarios.

-Estudiar y desarrollar métodos de continuación para el correcto trazado de las curvas de

dispersión de guiaondas no-lineales, que unido a los métodos espectrales que se han

desarrollado y validado en esta Tesis, permitan un análisis modal robusto y eficiente de

las mimas.

-En el ámbito de la propagación de la envolvente óptica se podrían mejorar las

prestaciones de los métodos espectrales. Para ello, se plantean las siguientes

posibilidades:

a) Utilizar los métodos espectrales con transformación de variables con la nueva

formulación PML que se ha presentado. Especial interés pudiera tener el espacio

funcional de Hermite-Gauss para analizar la propagación en dispositivos lineales, dado el

reducido número de términos con que necesita trabajar. El caso no-lineal no se considera

en principio factible ante la falta de una transformada rápida de Hermite-Gauss que

permita el paso del dominio de los coeficientes al de los puntos, y viceversa, para evaluar

la no-linealidad.

b) Abordar el wide-angle BPM con métodos espectrales.


218

-Utilizar las diferentes herramientas de análisis que se han desarrollado en la Tesis, modos

y propagación, para el diseño concreto de dispositivos todo-ópticos. Es el caso, por

ejemplo, del acoplador direccional no-lineal por sus potenciales aplicaciones para la

construcción de conmutadores, moduladores, filtros, amplificadores ópticos,..., o de

estructuras no-lineales como la que fue presentada en el capítulo primero y que

recientemente han sido propuestas para la construccción de puertas lógicas todo-óptico.

Apéndice

Apéndice I: Relaciones matemáticas de interés del espacio funcional de

Hermite-Gauss

El espacio funcional de Hermite-Gauss viene definido por el conjunto ortonormal de

funciones base siguiente

F xe H x

kk

x

kk

( )( )

!/�

�

� �

��

��

2

2

1 2 2�

en donde la función Hk(x) representa el polinomio de Hermite de orden k.

Las relaciones matemáticas empleadas para deducir la expresión del operador matricial

derivada segunda en el espacio funcional de Hermite-Gauss fueron las que a continuación se

presentan

x F x F x dx k k k k ki k i k i k i k2

2 21

21 2

1

22 1

1

21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ,

��

�

��

d F x

dxx F x k F xk

k k

2

22 2 1

( )( ) ( ) ( )� � � � �

Los principales pasos de su demostración son los que seguidamente se exponen.

Demostración (A1.2):

Para demostrar la primera de ellas basta con partir de la siguiente relación de recurrencia

que satisfacen los polinomios de Hermite

H x x H x k H xk k k� �� 1 12 2( ) ( ) ( )

e intentar ver en qué se transforma cuando se introducen las funciones base de Hermite-Gauss.

Multiplicando por la exponencial y dividiendo por la norma de la función base de orden

‘k’ se puede deducir fácilmente la expresión siguiente

2 1 2 21 1� � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( )k F x x F x k F xk k k

(A1.1)

(A1.2)

(A1.3)

(A1.4)

(A1.5)


220

Con ello, el producto x· Fk(x), se podrá poner como

x F x k F x k F xk k k� � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( )1

22

1

22 11 1

con lo que multiplicando nuevamente por ‘x’

� � � �x F x k x F x k x F xk k k2

1 11

22

1

22 1� � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( )

y empleando la ecuación (A1.6) para desarrollar los términos que se han encerrado entre

paréntesis, se deduce finalmente la siguiente identidad

x F x k k F x k F x k k F xk k k k2

2 21

21 2

1

22 1

1

21� � � � � � � � � � � �( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La relación entre ésta y la ecuación (A1.2) que se pretende demostrar es a todas luces

inmediata.

Demostración (A1.3):

Para demostrar la segunda relación matemática es necesario partir de la siguiente

propiedad que cumplen los polinomios de Hermite

dH x

dxk H xk

k( )

( )� � � �2 1

Posteriormente, y con el fin de buscar una expresión equivalente pero en términos de las

funciones base, se calcula la derivada primera de la función base

dF x

dx

x e H x k e H x

k

k

x

k

x

kk

( ) ( ) ( )

!/��

� �

��

��

�

��

�

��

�

��

�

2 2

2 21

1 2

2

2�

la cual , y al igual que antes, puede ser escrita en términos de las funciones base

dF x

dxx F x k F xk

k k( )

( ) ( )� � � � � � �2 1

Si a su vez la función Fk-1(x) es escrita, a partir de la relación (A1.5), en función de Fk(x)

Fk+1(x), también se puede escribir tal que

dF x

dxx F x n F xk

k k( )

( ) ( ) ( )� � � � � � 2 1 1

Por último, aplicando una segunda derivada, y volviendo a hacer uso de la ecuación

(A1.5), se llega finalmente a la expresión buscada

d F x

dxx F x k F xk

k k

2

22 2 1

( )( ) ( ) ( )� � � � �

(A1.6)

(A1.7)

(A1.8)

(A1.9)

(A1.10)

(A1.11)

(A1.12)

(A1.13)

Bibliografía

[Agrawal1989� Govind P. Agrawal: ’Nonlinear Fiber OPtics’, Quantum Electronics-Principles and Applications, Academic Press, 1989.

[AraiMay93� Y. Arai, A. Maruta, M. Matsuhara: ’Transparent boundary for the finite-element beam-propagation method’, Optics Letters, Vol. 18, No. 10, pp.765-766, May 1993.

[Berenger94� Jean-Pierre Berenger: ’A Perfectly Matched Layer for the Absorption of

Electromagnetic Waves’, Journal of Computational Physics, Vol. 114, pp.185-200, 1994.

[BertolottiMay94� M. Bertolotti, P. Masciulli, C. Sibilia: ’Mol numerical analysis of

nonlinear planar waveguide’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 12, No. 5, pp.784-789, May 1994.

[Boyd1989� J.P.Boyd: ’Chebyshev & Fourier Spectral Methods’, Springer-Verlag,

1989. [CamachoSep83� C. Camacho Peñalosa: ’Numerical steady-state analysis of nonlinear

microwave circuits with periodic excitation’, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. MTT-31, No. 9, pp.724-730, September 1983.

[ChelkowskiSep87� S. Chelkowski, J. Chrostowski: ’Scaling rules for slab waveguides with

nonlinear substrate’, Applied Optics, Vol. 26, No. 17, pp.3681-3686, September 1987.

[ChewSep94� W. C. Chew, W.H. Weedon: ’A 3D Perfectly Matched Medium from

modified Maxwell´s equations with Stretched Coordinates’, Microwave and Optical Technology Letters, Vol. 7, No. 13, pp.599-604, September 1994.

[Chiang1994� K.S. Chiang: ’Review of numerical and approximate methods for the

modal analysis of general optical dielectric waveguides’, Optical and Quantum Electronics, Vol. 26, pp.113-134, 1994.

[ChiouJul97� Y.P. Chiou, H.C. Chang: ’Efficient Beam-Propagation Method based on

Padé approximants in the propagation direction’, Optics Letters, Vol. 22, No. 13, pp.949-951, July 1997.


222

�ChungAgo90� Y. Chung, N. Dagli: ’An Assessment of Finite Difference Beam Propagation Method’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 26, No. 8, pp. 1335- 1339, August 1990.

�DiosJul89� F. Dios, L. Torner, F. Canal: ’Self-consistent solution for general

nonlinear slab waveguides’, Optics Communications, Vol. 72, No. 1,2, pp. 54-59, July 1989.

�EttingerFeb91� R.D. Ettinger, F.A. Fernández, B.M.A. Rahman, J.B. Davies: ’Vector

finite element solution of saturable nonlinear strip-loaded optical waveguides’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 3, No. 2, pp. 147- 149, February 1991.

�Feit1978� M.D. Feit, J.A. Fleck : ’Light propagation in graded-index optical fibers’,

Applied Optics, Vol. 17, pp. 3390- 3398, 1978. �GhafouriEne95� H. Ghafouri-Shiraz, P. Shum, M. Nagata: ’A novel method for analysis

of soliton propagation in optical fibers’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 31, No. 1, pp. 190- 200, January 1995.

�GallawaMar91� R.L. Gallawa, I.C. Goyal, Y. Tu, A.K. Ghatak: ’Optical Waveguide

Modes: An Approximate Solution using Galerkin’s Method with Hermite-Gauss Basis Functions’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 27, No. 3, pp. 518- 522, March 1991.

[HadleyEne92� G. Ronald Hadley: ’Transparent Boundary Condition for the Beam

Propagation Method’, Journal of Quantum Electronics, Vol. 28, No. 1, pp.363-370, January 1992.

[HadleyOct92� G. Ronald Hadley: ’Wide-angle beam propagation using Padé

approximant operators’, Optics Letters, Vol. 17, No. 20, pp.1426-1428, October 1992.

[HenryFeb89� C.H. Henry, B.H. Verbeek: ’Solution of the Scalar Wave Equation for

Arbitrarily Shaped Dielectric Waveguides by Two-Dimensional Fourier Analysis ’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 7, No. 2, pp.308-313, February 1989.

[HewlettMar95� S.J. Hewlett, F. Ladouceur: ’Fourier Decomposition Method Applied to

Mapped Infinite Domains: Scalar Analysis of Dielectric Waveguides Down to Modal Cutoff’, Journal of Lightwave Technology, Vol.13, No.3, pp.375-383, March 1995.

[HuangMar92� W.P. Huang, C.L. Xu, S.T. Chu, S.K. Chaudhuri: ’The Finite-Difference

vector Beam Propagation Method: analysis and assessment ’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 10, No. 3, pp.295-305, March 1992.

Bibliografía

223

[HuangMay96� W.P. Huang, C.L. Xu, W. Lui, K. Yokoyama: ’The Perfectly Matched Layer (PML) Boundary Condition for the Beam Propagation Method’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 8, No. 5, pp.649-651, May 1996.

[IlicDic96� I. Ilic, R. Scarmozzino, R.M. Osgood Jr.: ’Investigation of the Padé

Approximant-Based Wide-Angle Beam Propagation Method for Accurate Modeling of Waveguiding Circuits’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 14, No. 12, pp.2813-2822, December 1996.

[JensenOct82� S.M. Jensen: ’The nonlinear coherent coupler’, IEEE Journal of Quantum

Electronic, Vol. 18, No. 10, pp.1580-1583, October 1982. [Kogelnik1974� H. Kogelnik, V. Ramaswamy: ’Scaling Rules for Thin-Film Optical

Waveguides’, Applied Optics, Vol. 13, 1974. �KriezisAbr95� E.E. Kriezis, A.G. Papagiannakis: ’A joint Finite-Difference and FFT full

Vectorial Beam Propagation Scheme’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 4, pp. 692- 700, April 1995.

�KriezisMay97� E.E. Kriezis, A.G. Papagiannakis: ’A three-dimensional full vectorial

Beam Propagation Method for z-dependant structures’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 33, No. 5, pp. 883- 890, May 1997.

�LadouceurEne96� F. Ladouceur: ’Boundaryless beam propagation’, Optics Letters, Vol. 21,

No. 1, pp. 4-5, January 1996. [Lee1986� Donald L.Lee: ’Electromagnetic principles of integrated optics’, John

Wiley and Sons, 1986. �Luque1996� M.A. Luque Nieto: ’Análisis de guiaondas ópticas mediante técnicas

espectrales con transformación de variables’, Proyecto Fin de Carrera, E.T.S.I.Telecomunicación, Universidad de Málaga, 1996.

�MaAbr96� F. Ma, C.L. Xu, W.P. Huang: ’Wide-angle full vectorial beam

propagation method’, IEE Proc.-Optoelectronic, Vol. 143, No. 2, pp. 139-143, April 1996.

�Marcuse1991� D. Marcuse: ’Theory of Dielectric Optical Waveguides’, Quantum

Electronics-Principles and Applications. Academic Press, 1991. �MarcuseFeb92� D. Marcuse: ’Solution of the vector wave equation for general dielectric

waveguides by the Galerkin Method’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 28, No. 2, pp. 459-465, February 1992.

[März1995� Reinhard März: ’Integrated Optics: Design and Modeling’, Artech House,

1995.


224

[Messiah1983� Albert Messiah: ’Mecánica Cuántica, Tomo I’, Editorial Tecnos, 1995. [MihalacheDic91� D. Mihalache, D. Mazilu: ’Propagation phenomena of nonlinear guided

waves in graded-index planar waveguides’, IEE Proceedings-J, Vol. 138, No. 6, pp.365-372, December 1991.

�MolinaSep94� I. Molina Fernández, J.G.Wangüemert Pérez: ’Estudio de la propagación

en medios ópticos dispersivos no-lineales mediante técnicas espectrales’, Actas del IX Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’94), pp. 641-645, Las Palmas de Gran Canaria, Septiembre 1994.

[MolinaJul98� I.Molina-Fernández, J.G. Wangüemert-Pérez: ’Variable transformed

series expansion approach for the analysis of nonlinear guided waves in planar dielectric waveguides’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 16, No. 7, pp.1354-1363, July 1998.

�NiiyamaEne98� A. Niiyama, M. Koshiba: ’Three-dimensional beam propagation analysis

of nonlinear optical fibers and optical logic gates’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 16, No. 1, pp.162-168, January 1998.

�NiiyamaSep95� A. Niiyama, M. Koshiba, Y. Tsuji: ’An efficient scalar Finite Element

formulation for nonlinear optical channel waveguides’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 9, pp.1919-1925, September 1995.

�Nikolski1976� V.V. Nikolski: ’Electrodinámica y Propagación de ondas de radio’,

Editorial MIR, 1976. [NoltingFeb95� H.P. Nolting, Reinhard März: ’Results of Benchmark Tests for Different

Numerical BPM Algorithms’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 2, pp.216-224, February 1995

[Oppenheim1983� A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Y.T. Young : ’Signals ans Systems’,

Prentice-Hall International, 1983. �OrtegaSep98� A. Ortega Moñux, J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández:

’Algoritmo de optimización para la aplicación eficiente de métodos espectrales’, Actas del XIII Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’98), pp. 319- 320, Pamplona, Septiembre 1998.

�PoladianEne98� L. Poladian, F. Ladouceur: ’Unification of TE and TM Beam Propagation

Algorithms’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 10, No. 1, pp. 105-107, January 1998.

Bibliografía

225

[RamanujamMar96� N. Ramanujam, L. Li, J. Burke, M. Gribbons: ’Determination of the Truncation Order and Numerical Window for Modeling General Dielectric Waveguides by the Fourier Method’, Journal of Lightwave Technology, Vol.14, No.3, pp.500-507, March 1996.

�RasmussenMar93� T. Rasmussen, J.H. Povlsen, A. Bjarklev, O. Lumholt, B. Pedersen, K.

Rottwitt: ’Detailed Comparison of Two Approximate Methods for the solution of the Scalar Wave Equation for a Rectangular Optical Waveguide’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 11, No. 3, pp.429-433, March 1993.

[RWBoyd1992� Robert W. Boyd: ’Nonlinear Optics’, Academic Press, 1992. �SacksDic95� Z.S. Sacks, D.M. Kingsland, R. Lee, J. Lee: ’A Perfectly Matched

Anisotropic Absorber for use as an Absorbing Boundary Condition’, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 43, No. 12, pp. 1460-1463, December 1995.

�ScarmozzinoMay91� R. Scarmozzino, R.M. Osgood Jr.: ’Comparison of finite-difference

and Fourier-transform solutions of the parabolic wave equation with emphasis on integrated-optics applications’, J. Optical Society of America A, Vol. 8, No. 5, pp. 724- 731, May 1991.

�Smith1998� P.W.E. Smith: ’Towards a practical technology for ultrafast optical

switching’, in Applications of Photonic Technology 3: Closing the Gap between Theory, Development , and Application, George A. Lampropoulos, and Roger A. Lessard, Editors, Proceedings of SPIE Vol. 3491, pp. 3-8, 1998.

�SouzaJul91� J.R. Souza: ’Numerical stability analysis and the route to chaos for

TE1 waves in nonlinear slab waveguides’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 3, No. 7, pp. 651-653, July 1991.

�SternFeb88� M.S. Stern: ’Semivectorial polarised finite difference method for

optical waveguides with arbitrary index profiles’, IEE Proceedings, Vol. 135, No. 1, pp. 56- 63, February 1988.

�Tamir1988� Theodor Tamir(Ed.): ’Guided-wave optoelectronics’, Springer-Verlag,

1988. �TranMay94� H.T. Tran: ’Stability of stationary dark waves guided by nonlinear

surfaces and waveguides’, J. Optical Society of America B, Vol. 11, No. 5, pp. 789-797, May 1994.


226

[TsujiSep97� Y. Tsuji, M. Koshiba, T. Shiraishi: ’Finite Element Beam Propagation Method for Three-Dimensional Optical Waveguide Structures’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 15, No. 9, pp.1728-1734, September 1997.

[VasalloJun96� C. Vasallo, F. Collino: ’Highly Efficient Absorbing Boundary

Conditions for the Beam Propagation Method’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 14, No. 6, pp.1570-1577, June 1996.

�WangüemertSep95� J.G.Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández:’Soluciones estacionarias

en estructuras planares ópticas no-lineales mediante técnicas espectrales’, Actas del X Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’95), pp. 655-658, Valladolid, Septiembre 1995.

�WangüemertMay96� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Spectral methods

applied to the characterization of stationary guided waves in nonlinear optical slabs’, Proceedings 8th Mediterranean Electrotechnical Conference (MELECON’96) , Vol. 2, pp. 689-692, Bari (Italia), Mayo 1996.

�WangüemertSep96� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Técnicas espectrales

con compresión de variable para el análisis de dispositivos ópticos no-lineales’, Actas del XI Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’96), Vol. 2, pp. 320-323, Madrid, Septiembre 1996.

�Wangüemert1998� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Improved variable

transformed Fourier method to analyze nonlinear dielectric waveguides’, in Applications of Photonic Technology 3: Closing the Gap between Theory, Development , and Application, George A. Lampropoulos, and Roger A. Lessard, Editors, Proceedings of SPIE Vol. 3491, pp. 414-420, 1998.

�WangüemertSep98� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Desarrollo de una

formulación PML para el Método de Propagación del Haz’, Actas del XIII Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’98), pp. 313- 314, Pamplona, Septiembre 1998.

[WeisshaarAgo95� A. Weisshaar, J. Li, R.L. Gallawa, I.C. Goyal: ’Vector and Quasi-

vector Solutions for Optical Waveguide Modes using efficient Galerkin’s Method with Hermite-Gauss Basis Functions’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 8, pp.1795-1800, August 1995.

[WernerOct97� D.H. Werner, R. Mittra: ’A New Field Scaling Interpretation of

Berenger´s PML and its Comparison to other PML Formulations’, Microwave and Optical Technology Letters, Vol. 16, No. 2, pp.103-106, October 1997.

Bibliografía

227

[WuDic95� Z. Wu, J. Fang: ’Numerical Implementation and Performance of

Perfectly Matched Layer Boundary Condition for Waveguide Structures’, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 43, No. 12, pp.2676-2683, December 1995.

[WuEne97� J. Wu, D.M. Kingsland, J. Lee, R. Lee: ’A Comparison of Anisotropic

PML to Berenger´s PML and its Application to the Finite-Element Method for EM Scattering’, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 45, No. 1, pp.40-50, January 1997.

[XuNov94� C.L. Xu, W.P. Huang, J. Chrostowski, S.K. Chaudhuri: ’A Full-

Vectorial Beam Propagation Method for Anisotropic Waveguides’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 12, No. 11, pp.1926-1931, November 1994.

[YevickSep91� D. Yevick, J. Yu, M. Munowitz, D. Vezzeti: ’Modal Analyses of

Semiconductor rib waveguides employing nonequidistant grids’, J. Optical Society of America A, Vol. 8, No. 9, pp.1385-1388, January 1997.

[Yevick1994� D. Yevick: ’A guide to electric field propagation techniques for

guided-wave optics’, Optical and Quantum Electronics, Vol. 26, pp.185-197, 1994.

[YevickEne97� D. Yevick, J. Yu, F. Schmidt: ’Analytic Studies of Absorbing and

Impedance-Matched Boundary Layers’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 9, No. 1, pp.73-75, January 1997.

desarrollo y validaciÓn de mÉtodos espectrales para el anÁlisis y diseÑo de ... ·...

Documents