descubrimiento y prueba de teoremas diagram áticos:...

1

Descubrimiento y prueba de Descubrimiento y prueba de

teoremas diagramteoremas diagramááticos: ticos:

EEl caso del Teorema de Pitl caso del Teorema de Pitáágorasgoras

Dr. Luis Alberto Pineda Cortés

IIMAS, UNAM

Luis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

h2 = a2 + b2


Prueba del TeoremaPrueba del Teorema


Prueba del TeoremaPrueba del Teorema


¿por qué tomarse la molestia?¿por qué tomarse la molestia?

�Creatividad y el proceso de descubrimiento

�Aprendizaje

�Razonamiento formal pero no verbal

�Un reto para el descubrimiento y prueba de

teoremas


¿Qué clase de conocimiento?¿Qué clase de conocimiento?

2


PiagetPiaget


La inteligencia (Piaget)La inteligencia (Piaget)� Toda acción:

– Movimiento

– Pensamiento

– Sentimiento

es una respuesta a una necesidad

� Toda necesidad es la expresión de un desequilibrio interno o externo

� Toda acción tiende a:

– Reestablecer el equilibrio del sistema

– Llevar al sistema como un todo a un equilibrio más estable


La inteligencia (Piaget):La inteligencia (Piaget):

La coordinación de las acciones


El desarrollo mentalEl desarrollo mental

Inteligencia práctica

Instintos

Costumbres

perceptuales y motoras

Intuición global

Intuición estructurada

Operaciones concretas

Pensamiento formal


El desarrollo mentalEl desarrollo mentalLo abstracto

Lo concreto


Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal


El desarrollo mentalEl desarrollo mentalComposicional

Holístico


Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal

3


La inteligencia (Piaget):La inteligencia (Piaget):

Las acciones de niveles superiores

emergen de la coordinación de las

acciones de los niveles inferiores


Sistemas inteligentesSistemas inteligentes

Sistemas

simbólicos

Sistemas

Subsimbólicos


Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal


Sistemas inteligentesSistemas inteligentes


Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal

Sistemas

esquemáticos

Sistemas

simbólicos

Sistemas

Subsimbólicos


El conocimiento en AIEl conocimiento en AI

Clases de

similaridad

Conceptos

analíticos

Conceptos

sintéticos

Sistemas

esquemáticos

Sistemas

simbólicos

Sistemas

Subsimbólicos


Elementos del razonamiento Elementos del razonamiento

diagramáticodiagramático

� Intuición estructurada

�Principios de conservación

� Interpretación

�Reinterpretación e inferencia perceptual

�Abstracción


Elementos de la creatividadElementos de la creatividad



� Interpretación

�Reinterpretación e inferencia perceptual

�Abstracción

4


Intuición estructuradaIntuición estructurada











5




Los esquemas de acciónLos esquemas de acción


Esquema de intuición estructuradoEsquema de intuición estructurado

rota traslada


rota





Razonamiento esquemáticoRazonamiento esquemático

diagi, focoiDiagi+1, modi

Esquema

de

Accióni

Propagación del flujo de atención

6





�Esquemas básicos con diferentes

grados de estructura y referidos a

ciertos objetos individuales o focos de

atención

�Puntos de decisión donde se enlazan

los esquemas

�El esquema se aplica de manera global,

pero se puede analizar!




Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal





� Interpretación

�Reinterpretación

�Abstracción


Los principios de conservaciónLos principios de conservación



7


¿Qué pasa?¿Qué pasa?


Aumentan el volumen y peso del Aumentan el volumen y peso del

aguaagua


Mientras se disuelve el azúcar...Mientras se disuelve el azúcar...

¿Se conserva la sustancia (agua + azúcar)?



¿Se conserva el peso?



¿Se conserva el volumen?


Una vez disuelto el azúcar se Una vez disuelto el azúcar se

constata la constancia del peso...constata la constancia del peso...

8


Y del volumen...Y del volumen...



(menores de 7 años)(menores de 7 años)

�Niegan la conservación del azúcar:

¡si desaparece ya no existe!

�A fortiori, niegan la conservación del

peso y el volumen!



(hacia los 7 años)(hacia los 7 años)

�El azúcar disuelto sigue en el agua:

– Explicación por transmutación: como un jarabe

mezclado con el agua (algunos niños)

– Explicación atomista: El azúcar se convierte en

bolitas invisibles (los más avanzados)

� No hay conservación del peso y el volumen:

– “Las bolitas no tienen peso ni volumen”

– Los niños esperan que el peso y volumen se

igualen con el otro vasoLuis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005


(hacia los 9 años)(hacia los 9 años)

�Hay conservación del peso:

– “Las bolitas tienen todas su propio peso, y la

suma de todas éstas es el peso de los

terrones de azúcar disueltos”

� No hay conservación del volumen:

– “Las bolitas no tienen volumen”

– ¡Los niños esperan que el volumen se iguale

con el otro vaso!



(hacia los 11 o 12 años)(hacia los 11 o 12 años)

�Hay conservación del volumen:

– Las bolitas tienen todas su propio volumen,

y la suma de estos espacios es el volumen de

los terrones disueltos


Conservación de áreaConservación de área

9




Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal

Principios

de

Conservación





� Interpretación


�Abstracción


InterpretaciónInterpretación

� Un cuadrado de área x2 representa al

número x2

� La operación de agrupar dos áreas en el

mismo diagrama representa a la operación

de sumar

� El principio de conservación de área

representa a la operación de igualdad


InterpretaciónInterpretación

h2 = a2 + b2

¿El diagrama es el objeto representacional y ¿El diagrama es el objeto representacional y

el concepto aritmético lo representado?el concepto aritmético lo representado?


Morfismo representacionalMorfismo representacional

h2 = a2 + b2

¡El diagrama y la fórmula aritmética son ¡El diagrama y la fórmula aritmética son

representaciones!representaciones!Luis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

h2 = a2 + b2

El concepto geométricoEl concepto geométrico

DiagramaDiagrama FórmulaFórmula

RepresentaRepresenta RepresentaRepresenta

10



DiagramaDiagrama

RepresentaRepresenta

Interpretación directaInterpretación directa


h2 = a2 + b2


FórmulaFórmula

¿Representa?¿Representa?

Pero no al revés: ¡la Pero no al revés: ¡la

fórmula aritmética es fórmula aritmética es

simplemente falsa!simplemente falsa!


h2 = a2 + b2


DiagramaDiagrama FórmulaFórmula


SiSi

SiSi

SiSi


h2 = a2 + b2







Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal

Interpretación





� Interpretación


�Abstracción

11


Conceptos Conceptos

sintéticos, sintéticos,

rereinterpretaciones interpretaciones

e Inferencia e Inferencia

PerceptualPerceptual

Ludwig Wittgenstein


Cambio de perspectiva conceptual:

La Reinterpretación


La Reinterpretación


Reinterpretación del fondo


La reinterpretación de la figura


Esquema de rotación con

conservación de área

12


Esquema de rotación con

conservación de área


Reinterpretación y visualización:Esquema perceptual global y estructurado,

con conservación de área


La inferencia perceptual

Un cuadrado sobre la hipotenusa de un

triángulo rectoLuis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

La inferencia perceptual

Union de los cuadrados sobre los lados

rectos de un triángulo recto




Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formal

Reinterpretación





� Interpretación


�Abstracción

13


¿Una prueba concreta?¿Una prueba concreta?

¿Cómo sabemos que la relación es cierta ¿Cómo sabemos que la relación es cierta

para todos los triángulos rectos?para todos los triángulos rectos?Luis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

Un caso de metonimiaUn caso de metonimia

¡Tomamos a un objeto concreto para ¡Tomamos a un objeto concreto para

referirnos a la clase entera!referirnos a la clase entera!


El pensamiento formalEl pensamiento formal

�La generalización

– Cuantificación lógica

– Creación de sistemas generales

�La abstracción

– Capacidad de referirse a objetos

hipotéticos de carácter general

– Razonamiento verbal


Representación de la Representación de la

abstracción abstracción �El concepto de función matemática

captura de manera general a la noción

intuitiva de abstracción

�Abstraer es conocer, tener en la mente,

una función matemática!

�Una abstracción es una representación

compacta que se refiere a una clase en su

totalidad, ya sea que ésta tenga un

número finito o infinito de instancias


El abstractor funcional El abstractor funcional λλ

�Una función matemática se representa:

λx.f(x)

�λ: símbolo de abstracción funcional

� f: nombre de una función

� x: argumento de la función


El abstractor funcional El abstractor funcional λλ

�Aplicación funcional:

– λx.triángulo-recto(x)

– λx.triángulo-recto(x)( )

– triángulo-recto( )

– Si!

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Referencia abstracta vs concretaReferencia abstracta vs concreta

� Forma representacional externa:

� Referencia concreta:

– triang-rect(punto(p1), punto(p2), punto(p3))

� Referencia abstracta:

– λx,y,z.triang-rect(punto(x), punto(y), punto(z))




Instintos

Costumbres


Intuición global



Pensamiento formalAbstracción


El proceso creativoEl proceso creativo

�Búsqueda de forma con un esquema de

intuición estructurada

�Tomando en cuenta principios de

conservación

�Bajo un esquema de interpretación

�Supervisada por un proceso de

reinterpretación

�En el contexto de una abstracción


El Modelo ComputacionalEl Modelo Computacional


Módulos computacionalesMódulos computacionales� Lenguaje de representación e intérprete para el

conocimiento:

– Geométrico

– Aritmético

� Representación y aplicación de:

– Esquemas de acción

– Principios de conservación

– Función de interpretación

� Reinterpretación e inferencia perceptual:

– Descripciones concretas

– Descripaciones abstractasLuis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

Lenguaje de representación Lenguaje de representación

geométricogeométrico

�Predicados para referirse a objetos geométricos, con sus propiedades y relaciones

�Abstracción funcional: λx.f(x)

�Descriptor geométrico para referirse a objetos en contexto: t <= f

– Si f(a) es verdad (t <= f ) = t tal que x es (posiblemente) una variable en t

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Lenguaje de representación Lenguaje de representación

aritméticoaritmético

�El cálculo lambda

– Representación de los números

cuadrados

– Operadorores para funciones “+” & “sq”

– Evaluación y aplicación de funciones

�Sistema intérprete


Principio de conservación de áreaPrincipio de conservación de área

�Conservación global:

– λPλQ(area(P) = area(Q))

�Conservación estructurada:

– λPλQλx(area(P(x)) = area(Q(x))


Y en la aritmética...Y en la aritmética...

�Concepto de igualdad:

– λPλQ(P = Q)

�Conservación de la igualdad:

– λPλQλx(P(x) = Q(x))


h2 = a2 + b2

Se interpreta comoSe interpreta como

Función de interpretaciónFunción de interpretación


Función de interpretaciónFunción de interpretación

�Función de interpretación:

– φ(x <= f ) = λ([u], u2) si el tipo de x en f es sq

– φ(union) = +

– φ(g(y1, y2) <= f ) = φ(g)(φ(y1 <= f ), φ(y2 <= f ))


modi+1 = traslada(rota(foco, – 90º, vértice_recto(foco)), δ))

Donde δ = a – b

Esquema de acción:


Atención sobre objetos y partes de objetos!

rota traslada

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diagi, focoiDiagi+1, modi

Esquema

de

Accióni

Propagación del flujo de atención


Descripción concretaDescripción concreta

� Diagrama:

� Descripción:

sq1 <= triang-rect(rt1) &

cuadrado(sq) &

lado(hipotenusa(rt1), sq1)


Descripción abstractaDescripción abstracta

� Diagrama:

� Descripción: y <= f1

� Donde:

f1 = λxλy.triang-rect(x) &

cuadrado(y) &

lado(hipotenusa(x), y)


Descripción concretaDescripción concreta

� Diagrama:

� Descripción:

union(sq1, sq2) <= triang-rect(rt1) &

cuadrado(sq1) &

cuadrado(sq2) &

lado(lado-a(rt1), sq1) &

lado(lado-b(rt1), sq2)


Descripción abstractaDescripción abstracta� Diagrama:

� Descripción:

union(y, z) <= f2� Donde:

f2 = λxλyλz.triang-rect(x) &

cuadrado(y) &

cuadrado(z) &

lado(lado-a(x), y) &

lado(lado-b(x), z)Luis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

Síntesis computacional del Síntesis computacional del

teorema de Pitágorasteorema de Pitágoras

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La semilla...La semilla...

� Diagrama:

� La espectativa geométrica:


� La espectativa aritmética:

– λPλQ(P = Q)



� Diagrama:




– λPλQ(P = Q)



� Diagrama:




– λPλQ(P = Q)



� Diagrama:




– λPλQ(P = Q)


Reinterpretación de fondoReinterpretación de fondo

� Diagrama:




– λPλQ(P = Q)


Reinterpretación de FiguraReinterpretación de Figura

� Reinterpretación: Preserva el área

� La espectativa:

– λPλQλx(area(P(x)) = area(Q(x))(w <= f1)

– λPλQ(P = Q)(λ([u], u2)

18



� Diagrama:


λPλQλx(area(P(x)) = area(Q(x))(w <= f1)

λQλx(area((w <= f1)(x)) = area(Q(x))



� Diagrama:


– λPλQ(P = Q)(λ([u], u2)

– λQ((λ([u], u2) = Q)



� Diagrama:


– λQλx(area((w <= f1)(x)) = area(Q(x))

– λQ((λ([u], u2) = Q)



� Diagrama:

� La espectativa:

– λQλx(area((w <= f1)(x)) = area(Q(x))

– λQ((λ([u], u2) = Q)



� Reinterpretación (se preserva el área):

� La espectativa:

– λQλx(area((w <= f1)(x)) = area(Q(x))(union(y, z) <= f2)

– λQ((λ([u], u2) = Q)(+((λ([v], v2), (λ([w], w2))



�Diagrama:

�La espectativa geométrica:

– λQλx(area((w <= f1)(x)) = area(Q(x))(union(y, z) <= f2)

– λx(area((w <= f1)(x)) = area((union(y, z) <= f2)(x))

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�Diagrama:

�La espectativa aritmética:

– λQ((λ([u], u2) = Q)(+((λ([v], v2), (λ([w], w2)))

– λ([u], u2) = +((λ([v], v2), (λ([w], w2))

– λ([u, v, w], u2 = +(v2, w2))



� λx(area((w <= f1)(x)) = area((union(y, z) <= f2)(x))

� Donde:

f1 = λw.triang-rect(x) &

cuadrado(w) &

lado(hipotenusa(x), w)

f2 = λyλz.triang-rect(x) &

cuadrado(y) &

cuadrado(z) &

lado(lado-a(x), y) &

lado(lado-b(x), z)


Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

x

λx(area((w <= f1)(x)) = area((union(y, z) <= f2)(x))

w

y

z

λ([u, v, w], u2 = +(v2, w2))Luis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

El programa de descubrimientoEl programa de descubrimiento

λαλβ(α = β) λαλβ(α = β) λαλβ(α = β)

λβ(h2 = β)

λαλβ(α = β)

λβ(h2 = β) h2 = a2 + b2λβ(h2 = β)


El programa de descubrimientoEl programa de descubrimiento

λαλβ(α = β)

Descripción

Interpretación

Abstracción

λβ(h2 = β)

Descripción

Interpretación

Abstracción

h2 = a2 + b2

Descripción

Interpretación

Abstracción

Reinterpretación


El ProgramaEl Programa

� Síntesis de teoremas diagramáticos a partir de:

– Principios de conservación

– Esquemas de producción diagramáticos

– Descripciones abstractas de diagramas

– Una interpretación

�Producto del sistema:

– Función matemática sobre el dominio de la

geometría que representa al teorema

– Función aritmética que representa al teorema

20


Programa InteractivoPrograma Interactivo� Inferencia computacional:

– Aplicación de esquemas de acción

– Aplicación de Principios de conservación

– Síntesis y aplicación de conceptos geométricos

y aritméticos

� Inferencia mixta:

– Selección de foco y esquema de acción

� Inferencia humana:

– Síntesis de descripciones de objetos

geométricos en contextoLuis A. Pineda, IIMAS, UNAM, 2005

El retoEl reto

�Construcción de un programa probador y

descubridor de teoremas diagrámaticos

�Descubrir nuevos teoremas


Modelo computacional delModelo computacional del

proceso creativoproceso creativo�Búsqueda de forma con un esquema de

intuición estructurada

�Tomando en cuenta principios de

conservación

�Bajo un esquema de interpretación

�Supervisada por un proceso de

reinterpretación

�En el contexto de una abstracción

FINFIN

descubrimiento y prueba de teoremas diagram áticos:...

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